hoofdstuk 3 - verdelingenbgnuitwerkingen.wdfiles.com/local--files/a6wic/h3.pdf · moderne wiskunde...

⁄29© Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 3 - Verdelingen

bladzijde 68

1a De gemiddelde score is (5 7 + 17 8 + 34 9 +…+ 1 18 ) : 130 = 10,86.Je kunt het ook invoeren op de rekenmachine. TI 83/84:L1: 7, 8, 9, 10, ..,17, 18 en L2: 5, 17, ..., 1

1-Var Stats L1,L2 geeft x = 10 86, Casio:

List1: 7, 8, 9, 10, ..,17, 18 en List2: 5, 17, ..., 1 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft x = 10 86,

b De score 9 komt het meeste voor dus is de modus 9.De mediaan is 10 (50% is lager en 50% is hoger)

c Q1 = 9 en Q3 = 13, De kwartielafstand is 13 – 9 = 4 d

1716 181514131211109876543210

score

2a TI 83/84:L1: 7, 8, 9, 10, ..,17, 18 en L2: 5, 17, ..., 1

1-Var Stats L1,L2 geeft σ = 2 49, Casio:

List1: 7, 8, 9, 10, ..,17, 18 en List2: 5, 17, ..., 1 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft xσn = 2 49, b 10,86 – 2,49 =8,37

10,86+ 2,49 = 13,35 De scores 9 tot en met 13 wijken dus minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. (34 + 12 + 6 + 17 + 21) : 130 100% ≈ 69,2%

c Kans op meer dan 14 punten is (2 + 7 + 0 + 1) :130 100% ≈ 7,7%

1COLOR_INF_9789001607081_Uitw.indd 29 11-05-09 11:48

⁄30 © Noordhoff Uitgevers bv

Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo C deel 3 Hoofdstuk 3 Verdelingen

bladzijde 69

3a X kan de waarden 0, 1, 2, 3 en 4 aannemen.

P P( ) ( ) ,X rrrr= = = ⋅ ⋅ ⋅ = ≈0 0 0152511

410

39

28

1207920

P P keer en keer( ) ( )X w r= = =

⋅ ⋅ ⋅1 1 34

1611

510

499

38

14407920 0 1818⋅ = ≈ ,


⋅ ⋅ ⋅2 2 24

26

115

10599

48

36007920 0 4545⋅ = ≈ ,


⋅ ⋅ ⋅3 3 14

3611

510

499

58

24007920 0 3030⋅ = ≈ ,

P P( ) ( ) ,X wwww= = = ⋅ ⋅ ⋅ = ≈4 0 045 5611

510

49

38

3607920

De som van de kansen is 1. b E( ) , , , , ,X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 0 0152 1 0 1818 2 0 4545 3 0 3030 4 0 04555 2 18≈ , De verwachtingswaarde van het aantal witte knikkers is 2,18. c Je trekt 4 knikkers waarvan naar verwachting 2,18 witte en dus 4 2 18 1 82− =, , rode

knikkers.

4a P( ) , , ,X > = + =7 0 30 0 15 0 45 ; dus 45% b

0,05

05.00 6.00 7.00 8.00 9.00

kans

cijfer

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

c Het gemiddelde is 5 0 10 6 0 15 7 0 30 8 0 30 9 0 15 7 25⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =, , , , , , d Zie lijn bij b.

5 E(aantal defect) = Je mag in de steekproef 1,27 defecte exemplaren verwachten.

x 0 1 2 3 4P(X = x) 0,0152 0,1818 0,4545 0,3030 0,0455

0 0 41 1 0 26 2 0 12 3 0 11 4 0 07 5 0 02 6 0 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅, , , , , , , 11 1 27= ,




6a S kan de waarden 2 tot en met 10 hebben. b P P( ) ( , )S = = = ⋅ =2 1 1 1

614

124

P P P( ) ( , ) ( , )S = = + = ⋅ ⋅ =3 1 2 2 1 2 16

14

224

P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + = ⋅ ⋅ =4 1 3 2 2 3 1 3 16

14

324

P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + + = ⋅ ⋅ =5 1 4 2 3 3 2 4 1 4 16

14

424

P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + + = ⋅ ⋅ =6 2 4 3 3 4 2 5 1 4 16

14

424

P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + + = ⋅ ⋅ =7 3 4 4 3 5 2 6 1 4 16

14

424

P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + = ⋅ ⋅ =8 4 4 5 3 6 2 3 16

14

324

P P P( ) ( , ) ( , )S = = + = ⋅ ⋅ =9 5 4 6 3 2 16

14

224

P P( ) ( , )S = = = ⋅ =10 6 4 16

14

124

De som van de kansen is 1.

c E( ) .....S = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = =2 3 10 6124

224

124

14424

d E( ) ,D = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 2 3 4 5 6 3 516

16

16

16

16

16

E( ) ,V = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 2 3 4 2 514

14

14

14

e 6 3 5 2 5= +, , klopt!

s 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(S = s) 124

224

324

424

424

424

324

224

124




bladzijde 70

1a I:

II:

III:

b Schutter I: gemiddelde = 2 2 4 3 6 3 8 210

5 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ,

Schutter II: gemiddelde = 5 2 5 410

3 0⋅ + ⋅ = ,

Schutter III: gemiddelde = 5 8 5 1010

9 0⋅ + ⋅ = , c TI 83/84:

L1: score en L2: frequentie 1-Var Stats L1,L2 geeft x (gemiddelde) en standaardafwijkings( ) Casio:

List1: score en List2 : frequentie 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft

x x(gemiddelde) en n standaardafwijkings ( ) Voor schutter I: σ = 2 05, , voor II: σ = 1 00, en voor III: σ = 1 00,

2a P( ) ,10 4040 120 200 280 360

401000

0 04=+ + + +

= =

b P( ) ,8 1201000

0 12= = ; P( ) ,6 2001000

0 2= = ; P( ) ,4 2801000

0 28= = ; P( ) ,2 3601000

0 36= =

c P( ) ,10 0 04= , dus bij 100 schoten mag hij 4 keer een score van 10 verwachten. d Gemiddelde score = 10 0 04 8 0 12 6 0 20 4 0 28 2 0 36 4 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =, , , , , ,

3a De kansen om een bepaalde ring van de schijf te raken blijven onveranderd, slechts de score wijzigt. De verwachtingswaarde wordt dus: 9 0 04 7 0 12 5 0 20 3 0 28 1 0 36 3 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =, , , , , , b E( ) , , , , , ,B = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =5 0 04 4 0 12 3 0 20 2 0 28 1 0 36 2 2 c E E( ) ( )A S= + 1 en E E( ) ( ) ,B S= ⋅ 0 5

bladzijde 71

4a Er komen veel schoten in de buitenste ringen, dus de schutter heeft waarschijnlijk een afwijking.

b De schoten komen dicht bij elkaar in het midden van het bord, dus het gemiddelde is hoog en de standaardafwijking laag.

score 2 4 6 8 10frequentie 2 3 3 2 0



s 10 8 6 4 2P(S = s) 0,04 0,12 0,20 0,28 0,36




5a gemiddelde = 90 2 70 4 50 6 30 8 10 10250

1100250

4 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ,

Standaardafwijking met de rekenmachine (gemiddelde kan ook): TI 83/84: L1: 2, 4, 6, 8, 10 en L2: 90, 70, 50, 30, 10 1-Var Stats L1,L2 geeft σ = 2 33, Casio: List1: 2, 4, 6, 8, 10 en List2 : 90, 70, 50, 30, 10 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft xσn = 2 33, b TI 83/84:

L1: 2, 4, 6, 8, 10 en L2 : 0.36, 0.28, 0.20, 0.12, 0.04 1-Var Stats L1,L2 geeft σ = 2 33, Casio:

List1: 2, 4, 6, 8, 10 en List2 : 0.36, 0.28, 0.,20, 0.12, 0.04 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft xσn = 2 33, c De gegeven frequenties van opdracht a komen in verhouding overeen met de kans-

verdeling van opdracht 2b.

6a Omdat je het getrokken balletje telkens teruglegt, kan er bij elke trekking opnieuw een rood balletje getrokken worden.

b De kans op een rood balletje is telkens hetzelfde, namelijk 35 of 0,6.

c P P( ) ( ) , ,X bl= = × = =0 4 0 4 0 02564

P P en( ) ( ) , , ,X r bl= = × × =

⋅ ⋅ =1 1 3 4

10 6 0 4 0 15363

P P en( ) ( ) , , ,X r bl= = × × =

⋅ ⋅ =2 2 2 4

20 6 0 4 0 34562 2

P P en( ) ( ) , , ,X r bl= = × × =

⋅ ⋅ =3 3 1 4

30 6 0 4 0 34563

P P( ) ( ) , ,X r= = × = =4 4 0 6 0 12964


d Voer in op je rekenmachine: List1 of L1: 0, 1, 2, 3, 4 List2 of L2: 0,0256, 0,1536, 0,3456, 0,3456, 0,1296

geeft verwachtingswaarde x = 2 4, en standaardafwijking σ ≈ 0 98, .

x 0 1 2 3 4P(X = x) 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296




bladzijde 72

7a n = 3 en p = 0 05,P(1 verhard flesje en 2 niet) = 3

10 05 0 95 0 13542

⋅ ⋅ =, , ,

b X kan de waarden 0, 1, 2 en 3 aannemen. P( ) , ,X = = =0 0 95 0 85743

P( ) ,X = =1 0 1354

P( ) , , ,X = =

⋅ ⋅ =2 3

20 05 0 95 0 00712

P( ) , ,X = = =3 0 05 0 00013


8a Hij moet precies 21 vragen goed hebben. Hij weet er 10 en moet er dus van de overige 20 vragen 11 goed hebben.

Stel X = aantal goed gegokte vragen, dan is X Bin(20; 0,25)-verdeeld. P( )X = ≈11 0,0030

TI 83/84: binompdf(20, 0.25, 11) = 0,0030Casio: BINM, Bpd; x = 11, Numtrial = 20, p = 0.25; geeft 0,0030

b Bij meer dan 50 punten hoort meer dan 25 vragen goed, dus meer dan 15 goed gegokte vragen.

P P P( ) ( ) ( ) ,X X X> = ≥ = − ≤ ≈15 16 1 15 0 0000 TI 83/84: 1 – binomcdf(20, 0.25, 15) ≈ 0,0000Casio: BINM, Bcd; x = 15, Numtrial = 20, p = 0.25; geeft 0,999999 dus P X( ) , ,> = − ≈15 1 0 999999 0 0000

Bij minder dan 30 punten hoort minder dan 5 goed gegokte vragen. P P( ) ( ) ,X X< = ≤ ≈5 4 0 4148 Veel kleiner dus. c Om te slagen moet Berend minstens 21 vragen goed hebben. Hij weet er 10 en moet

dus van de overige 20 vragen er minstens 11 goed gokken. P P( ) ( ) , ,X X≥ = − ≤ ≈ − =11 1 10 1 0 9961 0 0039

9a P( ) ,X = ≈10 0 0001 b P( ) ,X ≤ ≈12 1 0000 c P P( ) ( ) ,X X≥ = − ≤ ≈8 1 7 0 0042 d P P P( ) ( ) ( ) ,6 9 9 5 0 0609≤ ≤ = ≤ − ≤ ≈X X X e P P( ) ( ) ,X X> = − ≤ ≈4 1 4 0 1642 f P P P( ) ( ) ( ) ,2 5 4 1 0 6686≤ < = ≤ − ≤ ≈X X X

x 0 1 2 3P(X = x) 0,8574 0,1354 0,0071 0,0001




bladzijde 73

10a Stel X het aantal geslaagde operaties, dan is X Bin(12; 0,8)-verdeeld. P P( ) ( ) ,X X≥ = − ≤ =8 1 7 0 9274 b P P( ) ( ) ,4 8 0 1329niet X= = = c Naar verwachting slaagt de operatie bij 80% van de 12 patiënten, dus gemiddeld bij

9,6 patiënten.

11a M is Bin(3; 0,5)-verdeeld.Je kunt met de rekenmachine een tabel van de kansen maken, dit geeft:

b TI 83/84: L1: 0, 1, 2, 3 en L2: 0,125; 0,375; 0,375; 0,125 1-Var Stats L1,L2 geeft x = 1 5, en σ = 0 866, Casio: List1: 0, 1, 2, 3 en List2: 0,125; 0,375; 0,375; 0,125 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR ; geeft x = 1 5, en xσn = 0 866, Gemiddelde x = 1 5, en standaardafwijking σ = 0 866, c Bij 100 keer gooien kun je 50 keer munt verwachten, bij 800 keer 400 keer munt. d E( )X n p= ⋅

e n = 3 , p = 0 5, invullen geeft σ = ⋅ ⋅ − =3 0 5 1 0 5 0 866, ( , ) , , klopt!

f Bij acht maal gooien is M Bin(8; 0,5)-verdeeld.

Kansverdeling met de rekenmachine bepalen geeft: List1 of L1: waarden van m en List2 of L2: bijbehorende kansen

gemiddelde x = 4 en standaardafwijking σ ≈ 1 414,

Regel controleren: n = 8 en p = 0 5, geeft σ = ⋅ ⋅ − ≈8 0 5 1 0 5 1 414, ( , ) , , klopt!

12a Je mag 120 2016⋅ = keer een zes verwachten.

De standaardafwijking is σ = ⋅ ⋅ − ≈120 1 4 08216

16( ) ,

b E( ) ,Y = ⋅ =100 0 2 20 ; σ( ) , ( , )Y = ⋅ ⋅ − =100 0 2 1 0 2 4

13a Stel X het aantal defecte auto’s, dan is X Bin(500; 0,1)-verdeeld. P( ) ,X ≤ =20 0 0000 b E( ) ,X = ⋅ =500 0 1 50 , dus de winkelier kan 50 defecte auto’s verwachten. c De verwachte standaardafwijking is σ( ) , , ,X = ⋅ ⋅ =500 0 1 0 9 6 708 d E( ) ( ) , ,X X+ = + =σ 50 6 708 56 708 E( ) ( ) , ,X X− = − =σ 50 6 708 43 292 P P P( , , ) ( ) ( ) ,43 3 56 7 56 43 0 6677< < = ≤ − ≤ ≈X X X

m 0 1 2 3P(M = m) 0,125 0,375 0,375 0,125

m 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(M = m) 0,0039 0,0313 0,1094 0,2188 0,2734 0,2188 0,1094 0,0313 0,0039




bladzijde 74

14a

b Met één dobbelsteen: P( )3 16=

Met twee dobbelstenen: P P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + + + =6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 536

De kans op het gooien van 3 met één dobbelsteen is dus groter. c Bij elk staafdiagram geeft de hoogte van de staaf de grootte van de kans aan. Per

diagram zijn de staven even breed. In het eerste diagram zijn alle staven even hoog, in de andere twee niet.

d Als het aantal dobbelstenen toeneemt, neemt ook het aantal mogelijke uitkomsten toe. De bijbehorende staafdiagrammen krijgen steeds meer staven. De vorm gaat op een vloeiende kromme lijken.

15a

30

205554 56 57 58 59 60 61 62

freq

uent

ie

gewicht

40

50

60

70

80

90

b Er komen twee keer zoveel punten, die allemaal half zo hoog liggen. De vorm van de grafiek wordt vloeiender.

c Nee het aantal toppen klopt niet.

bladzijde 75

16a Discreet b Continu c Continu d Continu e Discreet f Discreet/Continu

17 Continu zijn hier de hoogte, de dikte, gewicht en volume. Discreet zijn hier de jaartallen en het aantal jaarringen.

18a Lengte is symmetrisch verdeeld, gewicht niet. Dus grafiek 1 hoort bij het gewicht, grafiek 2 hoort bij de lengte.

b -

19a Continu b Het gemiddelde gewicht is 4,2 gram. c De mediaan is ook 4,2 gram. d Het gebied tussen 4 en 4,4 gram ligt rond het gemiddelde. e Tussen 4 en 4,4 gram is de grafiek hoger dan tussen 3,2 en 3,6 gram.

P P P P P P( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ,X = = + + + +5 1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 2 1 2 11 2 1 2 2 6 16

16

16

6216, ) ( , , )+ = × × × =P




bladzijde 76

20a Lengte, afgerond op hele inches, is discreet. b Er zijn meer staafjes, dus fijner verdeeld. De grafiek wordt vloeiender en klokvormig. c Van 10 criminelen zijn er dan telkens maar 0, 1 of 2 met een bepaalde lengte; het

staafdiagram heeft dan nog geen vorm. d Uit de tabel: kleiner dan 60,5 inch zijn 1 + 1 + 6 + 23 + 48 = 79 criminelen, dat is

793000

100 2 63× ≈% , % .

e De modus en de mediaan zitten in de klasse 64,5 – 65,5 inch, het gemiddelde zit in deklasse 65,5 – 66,5.

f x − = − =σ 65 5 2 6 62 9, , ,x + = + =σ 65 5 2 6 68 1, , , , tussen deze grenzen ligt

0 6 317 393 462 458 413 0 6 264 2074 6, , ,× + + + + + × = , dat is 2074 63000

100 69, % %× ≈

NB. Van de klasse [ , ; ,62 5 63 5 ligt 610 deel in het gevraagde gebied, dus neem je

Van de klasse [ , ; ,67 5 68 5 ligt eveneens 610 deel in het gevraagde gebied, dus neem je

0 6 264, × . g x − ⋅ = − ⋅ =2 65 5 2 2 6 60 3σ , , , x + ⋅ = + ⋅ =2 65 5 2 2 6 70 7σ , , , , tussen deze grenzen ligt: 0 2 48 90 175 317 393 462 458 413 264 177 97 0, ,× + + + + + + + + + + + 22 46× = 2864,8

Dat is 2864 83000

100 95, % %× ≈

21a Bij de rooksters: x − = − =σ 3 3 0 5 2 8, , , en x + = + =σ 3 3 0 5 3 8, , ,

Tussen 2,8 en 3,8 liggen er 19, dat is 1930

100 63× =% %

Bij de niet-rooksters: x − = − =σ 3 8 0 64 3 16, , , en x + = + =σ 3 8 0 64 4 44, , ,


100 67× =% %

b Bij de rooksters: x − ⋅ = − ⋅ =2 3 3 2 0 5 2 3σ , , , en x + ⋅ = + ⋅ =2 3 3 2 0 5 4 3σ , , ,


100 93× =% %

Bij de niet-rooksters: x − ⋅ = − ⋅ =2 3 8 2 0 64 2 52σ , , , en


100 97× =% %

0 6 317, .×

x + ⋅ = + ⋅ =2 3 8 2 0 64 5 08σ , , ,




bladzijde 77

22a

b x − = − =σ 105 6 1 5 104 1, , , en x + = + =σ 105 6 1 5 107 1, , , Tussen 104,1 en 107,1 ligt 0 9 23 30 5 15 5 0 1 12 5 68, , , , , %× + + + × = x − ⋅ = − ⋅ =2 105 6 2 1 5 102 6σ , , , en x + ⋅ = + ⋅ =2 105 6 2 1 5 108 6σ , , , , hiertussen ligt 0 4 1 5 9 25 23 30 5 15 5 12 5 0 6 5 94, , , , , , , %× + + + + + + × = Beide vuistregels kloppen hier. c De grafiek is symmetrisch met de symmetrieas op het gemiddelde; beide vuistregels

kloppen. De lengte is normaal verdeeld met µ = 105 6, en σ = 1 5, .

d De grafiek wordt smaller en hoger. e Per rol zit er gemiddeld 5,6 m te veel op, dus totaal 9000 5 6 50 400× =, m.

23a 3 d 1 b 2 e 5 c 4 f 6

bladzijde 78

24a D S= + 100 b E E( ) ( )D S= + 100 c Doordat elk salarisbedrag met E 100,- verhoogd wordt verandert de spreiding niet en

daarmee de standaardafwijking niet. d Alle salarisbedragen worden met de factor 1,03 vermenigvuldigd.

Dan is E E( ) , ( )D S= ⋅1 03De toename bij de hogere salarissen is groter dan bij de lagere salarissen. De spreiding neemt dan ook met de factor 1,03 toe, dus σ σ( ) , ( )D S= ⋅1 03

25a Stel S is de score met de schijf uit opdracht 1. Dan is E( ) ,S = 4 4 en σ( ) ,S = 2 33 (zie opdracht 5). Nu geldt: A S= ⋅5 dus E( ) ,A = ⋅ =5 4 4 22 en σ( ) , ,A = ⋅ =5 2 33 11 65 b Voor B geldt: B S= + 3 dus E( ) , ,B = + =4 4 3 7 4 en σ σ( ) ( ) ,B S= = 2 33

26 E E( ) , ( )F C= ⋅ +1 8 32 dus E( ) ,F = ⋅ + =1 8 25 32 77 σ σ( ) , ( )F C= ⋅1 8 dus σ( ) , , ,F = ⋅ =1 8 2 5 4 5

lengte in m % rollen[100,101 0,5[101,102 0,75[102,103 1,5[103,104 9,25[104,105 23[105,106 30,5[106,107 15,5[107,108 12,5[108,109 5[109,110 1,5

5

0101,0100,0 102,0 103,0 104,0 105,0 106,0 107,0 108,0 109,0

perc

enta

ge ro

llen

lengte in m

10

15

20

25

30




bladzijde 79

27a De tolletjes hebben geen invloed op elkaar dus zijn X1 en X2 onafhankelijke stochas-ten.

b Met je rekenmachine voor tol A: TI 83/84:

L1: 1, 2, 3 en L2: 0,5; 0,25; 0,25 1-Var Stats L1,L2 geeft x = 1 75, en σ = 0 829, Casio:

List1: 1, 2, 3 en List2: 0,5; 0,25; 0,25 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft x = 1 75, en xσn = 0 829,

Dus E( ) ,X1 1 75= en σ( ) ,X1 0 829= Op dezelfde manier voor tol B: List1 of L1: 1, 2, 3, 4 List2 of L2: 0,25; 0,25; 0,25; 0,25 Geeft E( ) ,X2 2 5= en σ( ) ,X2 1 118= c S kan de waarden 2 tot en met 7 aannemen.

P P( ) ( , )S = = = ⋅ = =2 1 1 12

14

18

216

P P P( ) ( , ) ( , )S = = + = ⋅ + ⋅ =3 1 2 2 1 12

14

14

14

316

P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =4 1 3 2 2 3 1 12

14

14

14

14

14

4116

P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , )S = = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =5 1 4 2 3 3 2 12

14

14

14

14

14

4116

P P P( ) ( , ) ( , )S = = + = ⋅ + ⋅ =6 2 4 3 3 14

14

14

14

216

P P( ) ( , )S = = = ⋅ =7 3 4 14

14

116

d Op je rekenmachine: List1 of L1: 2, 3, 4, 5, 6, 7

List2 of L2: 216

316

416

416

216

116, , , , ,

E E( ) ( ) ,X X S1 2 4 25+ = = en σ σ( ) ( ) ,X X S1 2 1 392+ = =

e 4 25 1 75 2 5, , ,= + dus E E E( ) ( ) ( )X X X X1 2 1 2+ = +

f 1 392 0 829 1 118, , ,≠ + dus σ( )X X1 2+ is niet gelijk aan σ σ( ) ( )X X1 2+

g σ( ) , ,X X1 22 21 392 1 9377+ = ≈ , σ( ) , ,X1

2 20 829 0 6872= ≈ , σ( ) , ,X22 21 118 1 2500= ≈

0 829 1 118 1 3922 2 2, , ,+ ≈ dus (σ σ σ( )) ( ( )) ( ( ))X X X X1 22

12

22+ = +

s 2 3 4 5 6 7

P(S = s) 216

316

416

416

216

116




28a 68% bevindt zich tussen µ σ- en µ σ+ , dus tussen 307 31 276− = en 307 31 338+ = liter. b Voor cola light zijn deze grenzen 65 12 53− = en 65 12 77+ = liter c Naar verwachting 307 65 372+ = liter

d De standaardafwijking van het totaal is σ = + =31 12 33 22 2 , liter

68% bevindt zich tussen 372 33 2 338 8− =, , en 372 33 2 405 2+ =, , liter

29a X kan de waarden 3, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24 en 25 aannemen.

P P P( ) ( , ) ( , )X = = + = ⋅ ⋅ =3 1 2 2 1 2 16

15

230

P P P( ) ( , ) ( , )X = = + = ⋅ ⋅ =4 1 3 3 1 2 16

15

230

P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )X = = + + + = ⋅ ⋅13 1 12 12 1 2 11 11 2 4 16

15 == 4

30

Enzovoorts

De som van de kansen is 1. b Op je rekenmachine: List1 of L1: waarden van X List2 of L2: bijbehorende kansen Geeft E( )X = 14 en σ( ) ,X ≈ 6 408 c Nee, de stochast: het nummer op het 2e balletje is niet onafhankelijk van de stochast:

het nummer op het 1e balletje.

bladzijde 80

30a Met je rekenmachine: List1 of L1: 1, 2, 3, 4, 5, 6

List2 of L2: 16 , 1

6 , 16 , 1

6 , 16 , 1

6

Geeft E( ) ,X = 3 5 en σ( ) ,X ≈ 1 708

b 2 1⋅ X kan de waarden 2, 4, 6, 8, 10 en 12 aannemen, terwijl X X1 2+ de waarden

2, 3, 4, …., 12 kan aannemen.

c S X X X= + +1 2 3

E( ) , , , ,S = + + =3 5 3 5 3 5 10 5

σ( ) , , , ,S = + + =1 708 1 708 1 708 2 962 2 2

31a E E E( ) ( ) .... ( ) ,X X X1 2 10 3 5= = = = en σ σ σ( ) ( ) .... ( ) ,X X X1 2 10 1 708= = = =

b E( ) ,S = ⋅ =10 3 5 35

c σ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( )S X X X= ⋅ = ⋅ = ⋅10 10 102 2 dus σ( ) , ,S = ⋅ ≈10 1 708 5 401

d E E( ) ( )S X= ⋅10 en σ σ( ) ( )S X= ⋅10

x 3 4 5 12 13 14 15 16 23 24 25

P(X = x) 230

230

230

230

430

630

430

230

230

230

230




32a P P P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )X = = + + + + = ⋅ ⋅4 3 5 5 3 2 6 6 2 4 4 5 16

116

536=

b X kan de waarden 1; 1,5; 2; ……; 6 aannemen.

P P( ) ( , )X = = = ⋅ =1 1 1 16

16

136

P P P( , ) ( , ) ( , )X = = + = ⋅ ⋅ =1 5 1 2 2 1 2 16

16

236

P P P P( ) ( , ) ( , ) ( , )X = = + + = ⋅ ⋅ =2 1 3 3 1 2 2 3 16

16

336

enzovoorts

c Met je rekenmachine: List1 of L1: waarden van x List2 of L2: bijbehorende kansen

Geeft E( ) ,X = 3 5 en σ( ) ,X ≈ 1 208

d E en( ) , ( ) ,X X= =3 5 1 708σ (zie opdracht 30a)

E E( ) ( )X X= en σ σ( )

( )X

X=2

bladzijde 81

33a Stel S is som bij 5 keer draaien Dan is E( ) , ,S = ⋅ =5 23 75 118 75 en σ( ) , ,S = ⋅ ≈5 32 19 71 98

b Stel X is gemiddelde bij 5 keer draaien.

Dan is E E( ) ( ) ,X X= = 23 75 en σ σ( )

( ) , ,XX= = ≈5

32 19

514 40

34a E( )T = ⋅ =10 250 2500 gram

σ( ) ,T = ⋅ ≈10 6 18 97 gram

b E E( ) ( )X X= = 250 gram

σ σ( )

( ),X

X= = ≈10

610

1 90 gram

35a Stel T is totale brandduur Dan is E( )T = ⋅ =25 4 100 uur en σ( )T = ⋅ =25 10 50 minuten

b Stel X is gemiddelde brandduur.

Dan is σ σ( )

( )X

X= = =25

1025

2 minuten

c Volgens de vuistregels ligt 95% tussen de grenzen µ σ− ⋅2 en µ σ+ ⋅2Dus de 2,5% langst brandende kaarsen branden minimaal µ σ+ ⋅2 .µ σ+ ⋅2 komt overeen met 4 uur en 20 minuten

x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

P( )X x= 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136




36a Stel T is totale lengte. Dan is E( )T = ⋅ =12 504 6048 meter en σ( ) ,T = ⋅ ≈12 19 65 8 meter.

b Stel X is gemiddelde lengte.

Dan is σ σ( )

( ),X

X= = ≈12

1912

5 48 meter.

c De standaardafwijking moet dan 3,8 worden (20% van 19).

Dus σ( ) ,Xn

= =19 3 8 , dat geeft n = 5 en dus n = 25 .

bladzijde 82

37a Lager, want s is groter. b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 Stel X is aantal trekkingen, dan is:

P P( ) ( )X r= = =1 25

P P( ) ( )X wwr= = = ⋅ ⋅ =3 35

24

23

15

P P( ) ( )X wwwr= = = ⋅ ⋅ ⋅ =4 35

24

13

22

110

De som van de kansen is 1. Op je rekenmachine List1 of L1: 1, 2, 3, 4 List2 of L2: 0,4; 0,3; 0,2; 0,1 Geeft E( )X = 2 en σ( )X = 1

39a Stel X is aantal keer dat het gekozen getal verschijnt, dan is n = 3 en p = 16 .

b E( ) ,X = ⋅ =3 0 516

x 1 2 3 4P(X = x) 0,4 0,3 0,2 0,1




c Stel W is de winst voor de klant, dan is:

P P( ) ( ) ( )W X= − = = = =50 0 56

3 125216

P P( ) ( ) ( )W X= = = = ⋅ ⋅ =50 1 3 16

56

2 75216

P P( ) ( ) ( ) ( )W X= = = = ⋅ ⋅ =100 2 3 16

2 56

15216

P P( ) ( ) ( )W X= = = = =150 3 16

3 1216

De som van de kansen is 1. d E( ) ,W = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −50 50 100 150 3125

21675

21615216

1216 994 euro

40a,b Schijf 1 TI 83/84:

L1: 0, 24 en L2: 13

23,

1-Var Stats L1,L2 geeft x = 16 en σ ≈ 11 314, Casio:

List1: 0, 24 en List2 : 13

23,

1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft x = 16 en xσn ≈ 11 314, Dus E( )X = 16 en σ( ) ,X ≈ 11 314 . Schijf 2 List3 of L3: 0, 18, 42

List4 of L4: 12

14

14, ,

Geeft E( )Y = 15 en σ( ) ,Y ≈ 17 234 c S X Y= + , dus E( )S = + =16 15 31 euro en σ( ) , , ,S = + =11 314 17 234 20 622 2 euro d Kosten per spel E 32,-, opbrengst per spel E 31,-, dus verlies per spel is E 1,-. Na

40 keer spelen heeft hij naar verwachting niets over.

bladzijde 83

41a µ = + =50 702

60 minuten, µ σ+ =2 70 dus σ = − =70 602

5 minuten

b T X X X= + + +1 2 10......

µ = = ⋅ =E( )T 10 60 600 minuten

σ σ= = ⋅ ≈( ) ,T 10 5 15 8 minuten.

c 9,5 uur = 570 minuten.Met de vuistregel: σ σ− ⋅ = − ⋅ =2 600 2 15 570 .De kans op een totale werktijd van maximaal 570 minuten is 2,5%.

w –50 50 100 150

P(W = w) 125216

75216

15216

1216




42a Als je alle vragen goed hebt, is S n= en is Cn

n= ⋅ =10 10 .

Heb je alle vragen fout, dan is S = 0 en is Cn

= ⋅ =10 0 0 . Het cijfer ligt dus tussen 0 en 10. b n = 1 , dan heeft S twee waarden, nl. 0 en 1, met kansen van 0,75 en 0,25. C kan dan de waarden 0 en 10 aannemen.

Met je rekenmachine: List1 of L1: 0, 1 List2 of L2: 0,75; 0,25 Geeft E( ) ,S = 0 25 en σ( ) ,S ≈ 0 433

Verder is Cn

S= ⋅10 , n = 1 dus is C S= ⋅10 .

E E( ) ( ) , ,C S= ⋅ = ⋅ =10 10 0 25 2 5

c n = 10 : E( ) , ,S = ⋅ =10 0 25 2 5 en E C( ) , ,= ⋅ =1010

2 5 2 5

n = 20 : E( ) ,S = ⋅ =20 0 25 5 en E C( ) ,= ⋅ =1020

5 2 5

n = 30 : E( ) , ,S = ⋅ =30 0 25 7 5 en E C( ) , ,= ⋅ =1030

7 5 2 5

n = 40 : E( ) ,S = ⋅ =40 0 25 10 en E C( ) ,= ⋅ =1040

10 2 5

d σ( ) ,S ≈ 0 433 (zie opdracht 42b), σ σ( ) ( ) , ,C S= ⋅ ≈ ⋅ =10 10 0 433 4 33

e n = 10: σ( ) , ,S ≈ ⋅ ≈10 0 433 1 369 ; C S S= ⋅ =1010

dus σ( ) , ,C = ⋅ =1010

1 369 1 369

n = 20: σ( ) , ,S ≈ ⋅ ≈20 0 433 1 936 ; C S S= ⋅ =1020

12 dus σ( ) , ,C = ⋅ =1

2 1 936 0 968

n = 30: σ( ) , ,S ≈ ⋅ ≈30 0 433 2 372 ; C S S= ⋅ =1030

13 dus σ( ) , ,C = ⋅ ≈1

3 2 372 0 791

n = 40: σ( ) , ,S ≈ ⋅ ≈40 0 433 2 739 ; C S S= ⋅ =1040

14 dus σ( ) , ,C = ⋅ ≈1

4 2 739 0 685

f De spreiding wordt kleiner naarmate er meer vragen worden beantwoord.

S 0 1C 0 10kans 0,75 0,25

10 20 30 40E(S) 2,5 5 7,5 10E(C) 2,5 2,5 2,5 2,5

10 20 30 40s( )S 1,369 1,936 2,372 2,739s( )C 1,369 0,968 0,791 0,685




bladzijde 84

I-1a De lengte is afgerond op hele cm, kan dus alleen maar hele waarden aannemen en is daarmee discreet.

b Gemiddelde 163,4 cm; standaardafwijking is 8,52 cm c 10 cm d - e De modale klasse is 160 – 165 cm, de mediaan (163 cm) ligt ook in de klasse 160 – 165 cm. f x − = − =σ 163 4 8 52 154 88, , , cm x + = + =σ 163 4 8 52 171 92, , , cm

Tussen deze waarden liggen 35 288 lengten (kies bijvoorbeeld bij indeling een

klasse van 155 tot 172), dat is 3528850071

100 70× ≈% %

g x − ⋅ = − ⋅ =2 163 4 2 8 52 146 36σ , , , cm x + ⋅ = + ⋅ =2 163 4 2 8 52 180 44σ , , , cm

Tussen deze waarden liggen 47848 lengten, dat is 4784850071

100 96× ≈% %

h Het lijndiagram heeft een klokvorm.

I-2a Van 404 personen staan in deze tabel lichaamsmaten of kenmerken. b Het gemiddelde is 55,5 kg en standaardafwijking is 9,25 kg. c Ja, bij benadering d x − = − =σ 55 5 9 25 46 25, , , kg; x + = + =σ 55 5 9 25 64 75, , , kg

Hiertussen liggen 292 gewichten, dat is 292404

100 72× ≈% % .

x − ⋅ = − ⋅ =2 55 5 2 9 25 37σ , , kg; x + ⋅ = + ⋅ =2 55 5 2 9 25 74σ , , kg

Hiertussen liggen 381 gewichten, dat is 381404

100 94× ≈% % . De vuistregels kloppen ongeveer. e Ja, bij benadering. f Voor de schoenmaten geldt: x = 6 77, en σ = 1 9, .

x − =σ 4 87, en x + =σ 8 67,

Hiertussen liggen 274 schoenmaten, dat is 274404

100 68× ≈% % .

x − ⋅ =2 2 97σ , en x + ⋅ =2 10 57σ ,

Hiertussen liggen 394 schoenmaten, dat is 394404

100 98× ≈% % .

De lijngrafiek lijkt op een klokvorm, de vuistregels kloppen ongeveer, dus de schoen-maten zijn bij benadering normaal verdeeld.




I-3a

b x − = − =σ 105 1 1 52 103 58, , , en x + = + =σ 105 1 1 52 106 62, , , Tussen 103,58 en 106,62 ligt 0 92 23 30 5 15 5 0 12 12 5 68 66, , , , , , %× + + + × = . x − ⋅ = − ⋅ =2 105 1 2 1 52 102 06σ , , , en x + ⋅ = + ⋅ =2 105 1 2 1 52 108 14σ , , , , hiertussen ligt 0 44 1 5 9 25 23 30 5 15 5 12 5 0 64 5 94 61, , , , , , , , %× + + + + + + × = . Beide vuistregels kloppen hier. c De grafiek is symmetrisch met de symmetrieas op het gemiddelde; beide vuistregels

kloppen. De lengte is normaal verdeeld met µ = 105 1, en σ = 1 52, . d De grafiek wordt smaller en hoger. e Per rol zit er gemiddeld 5,1 m te veel op, dus totaal 9000 5 1 45 900× =, m.

I-4a - b Bij een hogere waarde van μ verschuift de grafiek naar rechts, bij een hogere waarde

van s wordt de grafiek breder. c Lager, want s is groter en dus is de grafiek breder. d µ = 20 en σ = 3

bladzijde 88

T-1a P( ) , , , , ,X > = + + + =40 0 15 0 09 0 03 0 01 0 28 b E( ) , , ... , ,X = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =35 0 02 36 0 07 44 0 01 39 3

of op de rekenmachine: TI 83/84:L1: aantallen en L2: P(X=x)

1-Var Stats L1,L2 geeft x = 39 3, Casio:

List1: aantallen en List 2: P(X=x) 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR geeft x = 39 3, c Op de rekenmachine, zie opdracht b. Geeft σ( ) ,X ≈ 1 936

T-2a De kans op succes verandert niet en er zijn twee mogelijkheden, kop of munt.

b P P en( ) ( ) , , ,K k m= = =

⋅ ⋅ ≈2 2 35

20 55 0 45 0 2752 3 77

c K is Bin(5; 0,55)-verdeeld, dus E( ) , ,K n p= ⋅ = ⋅ =5 0 55 2 75

d σ( ) , , ,K = ⋅ ⋅ =5 0 55 0 45 0 112

lengte in m % rollen[99,5;100,5 0,5[100,5;101,5 0,75[101,5;102,5 1,5[102,5;103,5 9,25[103,5;104,5 23[104,5;105,5 30,5[105,5;106,5 15,5[106,5;107,5 12,5[107,5;108,5 5[108,5;109,5 1,5

5

0101,0100,0 102,0 103,0 104,0 105,0 106,0 107,0 108,0 109,0

perc

enta

ge ro

llen

lengte in m

10

15

20

25

30




T-3a continu b discreet c discreet d continu

T-4a

4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

d

a

b µ σ− = − =6000 400 5600 uur, µ σ− = + =6000 400 6400 ; Volgens de eerste vuistre-gel heeft 68% van de lampen een brandduur van 5600 tot 6400 uur. Dus geldt B < 5600 voor 1

2 32× =% 16% van de lampen, dus voor 16% van 800 is 128 lampen.

c µ σ− ⋅ = − =2 6000 800 5200 uur, 2,5% van de lampen is de brandduur van minder dan 5200 uur.

µ σ+ = + =6000 400 6400 uur, 16% van de lampen is de brandduur van meer dan 6400 uur.

Tussen 5200 uur en 6400 uur zit 100% – 2,5% – 16% = 81,5%. Dat zijn dus 0 815 800 652, × = lampen.

d Zie a, de klokvorm wordt 2 keer zo smal en 2 keer zo hoog.

bladzijde 89

T-5a E E( ) ( )Z X= ⋅ − = ⋅ − =4 7 4 16 7 57 ; σ σ( ) ( )Z X= ⋅ = ⋅ =4 4 3 12

b E E E( ) ( ) ( )S X Y= + = + =16 19 35 ; σ σ σ( ) ( ) ( )S X Y= + = + =2 2 2 23 4 5

T-6a Stel T is totale brandduur. Dan is E( )T = ⋅ =10 2 20 uur en σ( ) , ,T = ⋅ ≈10 0 25 0 79 uur.

b Stel X is gemiddelde brandduur. Dan is σ( ) , ,X = ≈0 25

100 079 uur.

c Met 75% reduceren betekent dat de standaardafwijking afneemt tot een kwart van 0,25.

σ( ) , ,Xn

= = ⋅0 25 14

0 25 geeft n = 4 en dus n = 16 .




T-7a W kan de waarden –1, 1, 2 en 3 aannemen.

b P P gekozen getal wordt niet gegooid( ) ( ) ( )W = − = = =1 56

3 1225216

P P gekozen getal wordt een keer gegooid( ) ( )W = = = ⋅ ⋅1 3 16 (( )5

62 75

216= Enzovoorts

w –1 1 2 3

P(W = w) 125216

75216

15216

1216

De som van de kansen is 1. E( ) ,W = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≈ −1 1 2 3 0 08125

21675

21615216

1216 euro

c Nee, de winstverwachting is negatief.

T-8 Stel X is het aantal plantjes van de klant dat vrucht draagt, dan is X Bin(25; 0,85)-verdeeld. P( ) ,X = ≈15 0 0016

TI 83/84: binompdf(25, 0.85, 15) = 0,0016Casio: BINM, Bpd; x = 15, Numtrial = 205, p = 0.85; geeft 0,0016

b E( ) , ,X n p= ⋅ = ⋅ =25 0 85 21 25 met

σ( ) ( ) , , ,X n p p= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ≈1 25 0 85 0 15 1 785

T-9a Hoe groter n is des te kleiner wordt de standaardafwijking. b De spreiding van de lengte van 35 jarige vrouwen is groter, dus de klokvormige gra-

fiek is breder.


hoofdstuk 3 - verdelingenbgnuitwerkingen.wdfiles.com/local--files/a6wic/h3.pdf · moderne wiskunde...

Documents