hoofdstuk 22 de wet van gauss - nat.vu.nlwimu/educ/slides_ch22.pdf · gauss’s law involves an...

Copyright © 2009 Pearson Education, Inc.

Hoofdstuk 22 De Wet van Gauss

• Electrische Flux

• De Wet van Gauss

• Toepassingen van de Wet van Gauss

• Experimentele Basis van de Wetten van Gauss en Coulomb

Presenter

Presentation Notes

Chapter 22 opener. Gauss’s law is an elegant relation between electric charge and electric field. It is more general than Coulomb’s law. Gauss’s law involves an integral of the electric field E at each point on a closed surface. The surface is only imaginary, and we choose the shape and placement of the surface so that we can figure out the integral. In this drawing, two different surfaces are shown, both enclosing a point charge Q. Gauss’s law states that the product E·dA, where dA is an infinitesimal area of the surface, integrated over the entire surface, equals the charge enclosed by the surface Qencl divided by ε0. Both surfaces here enclose the same charge Q. Hence ∫E·dA will give the same result for both surfaces.


Electrische flux:

Electrische flux door een oppervlakte is evenredig met het totale aantal veldlijnen dat door het oppervlak gaat.

22-1 Electrische Flux

Presenter

Presentation Notes

Figure 22-1. (a) A uniform electric field E passing through a flat area A. (b) E┴ = E cos θ is the component of E perpendicular to the plane of area A. (c) A┴ = A cos θ is the projection (dashed) of the area A perpendicular to the field E.


22-1 Electrische Flux Voorbeeld 22-1: Electrische flux.

Bereken de electrische flux door de rechthoek. De rechthoek omvat 10 cm bij 20 cm, het electrische veld is uniform, 200 N/C, en de hoek θ is 30°.

= EA cosθ = 200 x 0.1 x 0.2 x 0.87 = 3.5 Nm2/C

Bestudeer (!): Inproduct

Presenter

Presentation Notes

Solution. The flux is EA cos θ = 3.5 N·m2/C.


Flux door een gesloten oppervlakte :

22-1 Electrische Flux

Oppervlakteintegraal

Som over veldlijnen

Presenter

Presentation Notes

In het algemeen is E niet uniform: deel opp op in stukjes waarin E wel uniform is, en tel op


Het netto aantal veldlijnen door een oppervlakte is evenredig met de lading die omsloten is, en met de flux, dit geeft de Wet van Gauss:

Deze kan gebruikt worden om het elektrische veld te vinden in situaties met een hoge mate van symmetrie.

22-2 De Wet van Gauss

Φ =


22-2 De Wet van Gauss Voor een puntlading

Daarom,

Als we dit oplossen voor E, krijgen we het resultaat dat we verwachten van de wet van Coulomb :

De Wet van Coulomb kan afgeleid worden uit de Wet van Gauss

Presenter

Presentation Notes

Figure 22-7. A single point charge Q at the center of an imaginary sphere of radius r (our “gaussian surface”—that is, the closed surface we choose to use for applying Gauss’s law in this case).


22-2 De Wet van Gauss Als we Coulomb gebruiken om de integraal te berekenen van het veld van een puntlading over een oppervlakte van bol die de lading omvat:

Als we kijken naar het willekeurig gevormde oppervlak A2, dan zien we dat dezelfde flux erdoor heen gaat, als door A1. Dus, is dit resultaat waar voor elk gesloten oppervlakte.

Het maakt ook niet uit hoe de lading verdeeld is !!

Presenter

Presentation Notes

Figure 22-8. A single point charge surrounded by a spherical surface, A1, and an irregular surface,A2.


22-2 De Wet van Gauss

Als een Gaussische oppervlakte verscheidene puntladingen omvat, dan laat het superpositieprincipe zien dat :

Dus is de Wet van Gauss toepasbaar voor elke ladingsverdeling. Maar, let op dat dit alleen slaat op het veld ten gevolge van ladingen binnen het oppervlak – ladingen buiten het oppervlak zullen ook velden creeren.

Ook: alleen handig toepasbaar als E-veld een symmetrie heeft.


22-2 De Wet van Gauss Conceptueel Voorbeeld 22-2: Flux volgens de wet van Gauss.

Beschouw de twee gaussische oppervlakken, A1 and A2. De enige aanwezige lading is lading Q in het centrum van oppervlak A1. Wat is de netto flux door elk oppervlak, A1 and A2?

Presenter

Presentation Notes

Solution: The net flux through A1 is Q/ε0, as it encloses charge Q. The net flux through surface A2 is zero, even though the field is not zero on the surface. Links is E tgv de lading Q in het oppervlak, maar rechts is E tgv lading buiten het oppervlak, maar in en uit, dus totaal netto nul


Elektrische flux

Welk van deze 4 Gaussische oppervlakken heeft een elektrische flux van +q/e door zich heen?

Presenter

Presentation Notes

B


Elektrische flux

Welk van deze 4 Gaussische oppervlakken heeft geen netto elektrische flux door zich heen?

Presenter

Presentation Notes

C


Elektrische flux

Gaussische oppervlakken A en B omvatten dezelfde positieve lading +Q. Het oppervlak van A is drie keer groter dan dat van B. De electrische flux door oppervlak A is A) negen keer groter dan de flux door oppervlak B. B) drie keer groter dan de flux door oppervlak B. C) even groot als de flux door oppervlak B. D) drie keer kleiner dan de flux door oppervlak B. E) onafhankelijk van de flux door oppervlak B.

Presenter

Presentation Notes

C


22-3 Toepassingen van de Wet van Gauss

Procedure voor dergelijke toepassingen:

1. Identificeer de symmetrie, en kies een zg. Gauss oppervlak dat daarbij hoort (bijv. langs oppervlakken van constant veld).

2. Teken het oppervlak.

3. Gebruik de symmetrie om richting van te bepalen.

4. Evalueer de flux door integratie.

5. Bereken de omvatte lading.

6. Los de vergelijking op voor .



Sferische geleider.

Een dunne bol met straal r0 bevat een totale netto lading Q die uniform verdeeld is.

Bepaal het elektrische veld op de punten

(a) buiten de bol

(b) binnen de bol.

(c) Wat als de geleider een massieve bol was geweest?

Presenter

Presentation Notes

Figure 22-11. Cross-sectional drawing of a thin spherical shell of radius r0 carrying a net charge Q uniformly distributed. A1 and A2 represent two gaussian surfaces we use to determine Example 22–3. Solution: a. The gaussian surface A1, outside the shell, encloses the charge Q. We know the field must be radial, so E = Q/(4πε0r2). b. The gaussian surface A2, inside the shell, encloses no charge; therefore the field must be zero. c. All the excess charge on a conductor resides on its surface, so these answers hold for a solid sphere as well.



Sferische geleider.

Bepaal het elektrische veld op de punten

(a) buiten de bol

Bewijs: Veld buiten bol lijkt op veld van puntlading

Presenter

Presentation Notes




Sferische geleider.

(b) binnen de bol.

Binnen geladen bol geen veld

Presenter

Presentation Notes




Bolvormige geleider.

(c) Wat als de geleider een massieve bol was geweest?

Beide resultaten hetzelfde. Op massieve bol zit lading ook op oppervlak

Presenter

Presentation Notes

c. All the excess charge on a conductor resides on its surface, so these answers hold for a solid sphere as well. IN geleider geen E-veld!



Bolvormige geleider. (d) Wat als de lading in het centrum had gestaan?

Q

2) In de geleidende schil: (daartoe is ladingsscheiding in schil nodig)

3) Buiten de geleider

Presenter

Presentation Notes




Bolvormige geleider. (d) Wat als de lading in het centrum staat?

Q

Beinvloedt de geleider het veld van Q? Beinvloedt Q de geleider?

nee ja

2) In de geleidende schil:

Presenter

Presentation Notes



22-3 Lading op Schil

(e) Wat als we lading q in het midden hebben en Q op de schil?

Q q

Stel Q = -q E=0 buiten de schil

Presenter

Presentation Notes



Lading Q is uniform vedeeld over niet-geleidende bol met straal r0. Bepaal het electrisch veld:

(a) Buiten de bol (r > r0)

(b) Binnen de bol (r < r0).

Wet van Gauss: niet geleidende bol


(a) Buiten de bol (r > r0)


Geen verschil met geleider


(a) Binnen de bol (r < r0)


Hoeveel lading wordt omvat ?

0 Gauss:

0 0


Niet-geleider met geleidende schil

[Problem 22.39]

Een niet-geleidende bol van straal r0 heeft een uniforme ladingsdichtheid ρE Daaromheen staat een holle geleider, met stralen r1 en r2 en lading Q.

Bepaal het elektrische veld binnen de bol (r < r0).

Q



Hoe zou het E-veld eruit zien?

Bolsymmetrie.

Dus kunnen we gebruiken Q

In alle gevallen: - Bolsymmetrie - Omvatte lading



Binnen de bol (A2)

Gebruik volumeladingsdichtheid ρ

Q

r1 r2



Dit impliceert Qencl=0 dus er moet lading Op binnenkant van schil worden geinduceerd !


22-3 Wet van Gauss: Rechte draad

Probleem 22.48. Een heel lange rechte draad heeft een straal R0. De ladingsdichtheid ρ hangt af van R: ρE = ρ0(R/R0)2. Bereken het elektrische veld buiten de draad, ver van de uiteinden.

Presenter

Presentation Notes

Solution: If the wire is essentially infinite, it has cylindrical symmetry and we expect the field to be perpendicular to the wire everywhere. Therefore, a cylindrical gaussian surface will allow the easiest calculation of the field. The field is parallel to the ends, E.A=0, and constant over the curved surface; integrating over the curved surface gives E = λ/2πε0R.


22-3 Wet van Gauss: Rechte draad

Neem Gauss oppervlak met straal R, lengte l

Voor wet van Gauss hebben we gesloten oppervlak nodig, dus neem deksels mee. Maar daar geldt:

Dus… geen flux door deksel Alleen veld op ronde cylinderwand mee te nemen

Veld E ⊥ oppervlak dA

Veld E // oppervlak dA

Definieer lading /lengte-eenheid:

Veld in de draad ook te berekenen i.g.v. geleider of niet-geleider

Presenter

Presentation Notes

Solution: If the wire is essentially infinite, it has cylindrical symmetry and we expect the field to be perpendicular to the wire everywhere. Therefore, a cylindrical gaussian surface will allow the easiest calculation of the field. The field is parallel to the ends, E.A=0, and constant over the curved surface; integrating over the curved surface gives E = λ/2πε0R.


22-3 Wet van Gauss: Geladen Plaat

Voorbeeld 22-7: Oneindig vlak met lading.

Lading is uniform verdeeld met een oppervlakte ladingsdichtheid σ (σ = lading per eenheid oppervlak = dQ/dA) over een heel grote maar heel dunne niet-geleidende plaat. Bepaal het elektrische veld op punten bij het vlak.

Gauss oppervlak - groene cylinder

Presenter

Presentation Notes

Solution: We expect E to be perpendicular to the plane, and choose a cylindrical gaussian surface with its flat sides parallel to the plane. The field is parallel to the curved side; integrating over the flat sides gives E = σ/2ε0.


22-3 Wet van Gauss: Geladen Plaat

Voorbeeld 22-7: Oneindig vlak met lading.

Lading is uniform verdeeld met een oppervlakte ladingsdichtheid σ (σ = lading per eenheid oppervlak = dQ/dA) over een heel grote maar heel dunne niet-geleidende plaat. Bepaal het elektrische veld op punten bij het vlak.

Presenter

Presentation Notes

Solution: We expect E to be perpendicular to the plane, and choose a cylindrical gaussian surface with its flat sides parallel to the plane. The field is parallel to the curved side; integrating over the flat sides gives E = σ/2ε0.



Voorbeeld 22-8: Electrisch veld dichtbij een geleidend oppervlak.

Laat zien dat het elektrische veld net buiten het oppervlak van elke goede geleider van willekeurige vorm gegeven wordt door

E = σ/ε0

Waar σ de oppervlakte ladingsdichtheid van de geleider is op dat punt.

Merk op E=0 in geleider

Presenter

Presentation Notes

Solution: Again we choose a cylindrical gaussian surface. Now, however, the field inside the conductor is zero, so we only have a nonzero integral over one surface of the cylinder. Integrating gives E = σ/ε0.



Het verschil tussen een elektrisch veld buiten een geleidende, geladen plaat en buiten een niet-geleidende plaat kan op twee manieren uitgelegd worden:

1. Het veld in de geleider is nul, dus de flux is allemaal door een eind van de cilinder.

2. De niet-geleidende plaat heeft een totale ladinsgdichtheid σ, terwijl de geleidende plaat een ladingsdichtheid σ heeft aan elke kant, en dus effektief tweemaal ladingsdichtheid .

Definitie van σ


Lading binnenkant van geleider ?

Gauss oppervlak als groene lijn: E=0 want binnen geleider. Dus geen flux, dus geen lading.

Presenter

Presentation Notes

Solution: The field must be zero within the conductor, so the inner surface of the cavity must have an induced charge totaling –q (so that a gaussian surface just around the cavity encloses no charge). The charge +Q resides on the outer surface of the conductor.


Lading in cavity

Conceptueel Voorbeeld 22-9: Geleider met een lading binnenin.

Veronderstel dat een geleider een netto lading draagt van +Q en een holte bevat met daarin een puntlading +q. Wat kun je zeggen over de ladingen aan de binnen en buitenkant van de geleider?

Presenter

Presentation Notes

Solution: The field must be zero within the conductor, so the inner surface of the cavity must have an induced charge totaling –q (so that a gaussian surface just around the cavity encloses no charge). The charge +Q resides on the outer surface of the conductor.


• Electrisch flux:

• Wet van Gauss:

• Wet van Gauss kan worden toegepast om E-veld te berekenen, vooral in situaties van symmetrie.

• Wet van Gauss houdt onder alle omstandigheden en is daarom, en is daarom meer algemeen dan de Wet van Coulomb (ook voor bewegende ladingen).

Samenvatting Hoofdstuk 22


22-4 Experimentele Basis voor Wetten van Gauss en Coulomb

De wet van Gauss voorspelt dat de lading op de bal vloeit naar het oppervlak van de cylinder als ze in contact komen. Dit kan getest worden door de lading te meten op de bal nadat die wordt verwijderd – die moet dan 0 zijn.

Presenter

Presentation Notes

Figure 22-22. (a) A charged conductor (metal ball) is lowered into an insulated metal can (a good conductor) carrying zero net charge. (b) The charged ball is touched to the can and all of its charge quickly flows to the outer surface of the can. (c) When the ball is then removed, it is found to carry zero net charge.

hoofdstuk 22 de wet van gauss - nat.vu.nlwimu/educ/slides_ch22.pdf · gauss’s law involves an...

Documents