homologia basica e. lima
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ConteudoPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Prefacio da segunda edicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i
Captulo I . Homologia f ormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Complexo de cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Homotopia algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Sequencias e xatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. Limites indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Captulo II. Cohomologia de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. O complexo de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Invariancia homotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. A sequencia de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
4. Cohomologia com suportes compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Recobrimentos vs cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6. O Teorema de Jordan-Brouwer topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7. O Teorema de Dualidade de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8. O grau de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9. Cohomologia de um compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10. A sequencia exata de Cech-Alexander-Spanier . . . . . . . . . . . . . 72
Captulo III. Homologia Simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. O complexo simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3. Primeiros exemplos de homologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4. Subdivisao b aricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5. Aproximacao simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6. Pseudo-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 19
7. O Teorema dos Pontos Fixos de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8. Homologia ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9. Cohomologia simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10. O anel de cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
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CONTEUDO
Captulo IV. Homologia Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
1. Primeiras definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2. Invariancia homoto p i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5
3. Subdivisao baricentrica em homologia singular . . . . . . . . . . . . . 157
4. Cohomologia singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5. Teorema de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6. Cohomologia em termos da homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Captulo V. Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 90
Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Indice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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Prefacio
A Topologia Algebrica pode ser considerada como o estudo de
functores, cada um dos quais vai de uma categoria de espa cos to-
pologicos a uma categoria de natureza algebrica. Um exemplo de
functor desse tipo e o grupo fundamental, visto no livro [GFER],
publicado pelo Projeto Euclides.
O presente livro se ocupa de grupos de homologia. Uma teoria
de homologia e um metodo de associar a cada espaco topologico
de uma certa categoria uma serie de grupos (ou, mais geralmente,
modulos), chamados os grupos de homologia desse espaco, de tal
maneira que espacos homeomorfos tem grupos de homologia isomor-
fos. Diferentemente do grupo fundamental, os grupos de homologia
sao abelianos.
No Captulo I sao apresentadas, de modo abstrato, as nocoes
algebricas e a linguagem homologica adequada, para uso nos tres
captulos seguintes, cada um dos quais dedicado a uma teoria de
homologia referente a um tipo de espaco topologico.
Os Captulos II, III e IV sao basicamente independentes, po-
dendo ser lidos em qualquer ordem, embora o procedimento reco-
mendavel seja seguir a ordem em que sao apresentados.
O Captulo II trata da cohomologia de de Rham, que e baseada
nas formas diferenciais numa variedade. Para simplificar a apre-
sentacao (sem perder a generalidade), as variedades aqui conside-
radas acham-se todas mergulhadas no espaco euclidiano. Isto fazcom que os seus espacos tangentes sejam mais visveis e, principal-
mente, poe a nossa disposicao a vizinhanca tubular, instrumento
conveniente em varias situacoes. Neste captulo sao demonstra-
dos teorema classicos importantes como as dualidades de Poincare
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PREFACIO
e de Alexander, o teorema de separacao de Jordan-Brouwer e ainvariancia topologica dos abertos do espaco euclidiano. E ainda
mostrado como, mediante uma passagem ao limite, pode-se adap-
tar a cohomologia de deRham a conjuntos que nao sao variedades,
como os compactos do espaco euclidiano. Este captulo tambem
comeca a evidenciar a utilidade da sequencia de Mayer-Vietoris,
que sera amplamente empregada no restante do livro.
O Captulo III estuda os grupos de homologia dos poliedros. As
cadeias simpliciais nos levam de volta as ideias seminais de Poincare,
que foram aperfeicoadas, estendidas e aprofundadas sucessivamentepor Emmy Noether, S. Lefschetz, H. Hopf, J. Alexander e outros.
E introduzido o anel de cohomologia e e demonstrado o teorema
dos pontos fixos de Lefschetz.
O Captulo IV se ocupa da homologia singular, cuja abrangencia
inclui qualquer espaco topologico. E completada a tarefa de es-
tabelecer a compatibilidade das tres teorias estudadas no livro,
provando-se que, num espaco triangulavel, os grupos de homologia
simplicial e singular sao isomorfos e dando-se uma demonstracao do
Teorema de de Rham segundo o qual, numa variedade, os grupos
de cohomologia singular sao isomorfos aos grupos de cohomologia
de de Rham. E tambem demonstrado o teorema de Poincare, mos-
trando que o grupo de homologia singular de dimensao 1 e o grupo
fundamental abelianizado.
Este livro foi concebido como um texto introdutorio de Topolo-
gia Algebrica, ao nvel do incio de pos-graduacao.
Agradeco ao professor Cesar Camacho e aos estudantes do IMPA
Jorge Eric e Renato Vianna pelo leitura crtica do manuscrito. A
digitacao ficou a cargo de Wilson Goes, a quem tambem agradeco.
Rio de Janeiro, maio de 2009
Elon Lages Lima
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Prefacio da segunda edicao
Esta edicao traz algumas modificacoes no texto: diversas corre-
coes tipograficas, adicoes visando tornar mais claras certas demons-
tracoes e comentarios complementares e certos topicos. Alem disso,
foi acrescentado um captulo com exerccios. Quero agradecer aos
professores Armando Machado, Henrique Bursztyn e Fernando Codapelas valiosas observacoes crticas.
Rio de Janeiro, marco de 2011
Elon Lages Lima
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Captulo I
Homologia formal
Neste captulo sera feita uma breve apresentacao dos conceitos e
fatos basicos nos quais se fundamentam as diversas maneiras de de-
senvolver a teoria da homologia (e da cohomologia). De certo modo,
os captulos seguintes tratam de casos particulares das nocoes gerais
introduzidas aqui.
1 Complexo de cadeias
Seja A um anel comutativo com unidade. Um complexo de ca-
deias com coeficientes em A e uma sequencia C = (Cp, p) de A-
modulos Cp , p 0, inteiro, e homomorfismos p : Cp Cp1 tais
que p p+1 = 0. Escreve-se
C: Cp+1p+1 Cp
p Cp1 C1
1 C00 0.
Cada elemento x Cp e chamado uma p-cadeia ou uma ca-deia de dimensao p. Se px = 0, diz-se que x e um p-ciclo ou
simplesmente um ciclo.
O conjunto Zp dos p-ciclos e um submodulo de Cp . De fato, Zpe o nucleo do homomorfismo p : Cp Cp1 .
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2 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
Se y = p+1 x, diz-se que a p-cadeia y e o bordo da (p + 1)-cadeia x. O conjunto Bp das p-cadeias que sao bordos de (p + 1)-
cadeias e um submodulo de Cp ; Bp e a imagem do homomorfismo
p+1 : Cp+1 Cp .
Cada homomorfismo p : Cp Cp1 e chamado de operador-
bordo. A menos que seja necessario ser mais explcito, escreve-se
em vez de p , de modo que x = 0 para toda cadeia x Cp .
A relacao fundamental p p+1 = 0 significa que todo bordo e
um ciclo, ou seja, que Bp Zp .
O A-modulo quociente Hp = Hp(C) = Zp/Bp chama-se o grupode homologia p-dimensional do complexo C com coeficientes em A.
Seus elementos sao as classes de homologia
[z] = z+ Bp = {z+ x ; x Cp+1}
dos ciclos z Zp . Se z e z sao ciclos p-dimensionais, tem-se
[z] = [z] se, e somente se, z z = x para algum x Cp+1 . Diz-se
entao que z e z sao ciclos homologos.
Se, para cada p 0, tivermos um submodulo Cp
Cp tal que
Cp+1 C
p entao, pondo
p = p | C
p , a sequencia C = (Cp,
p) e
um complexo de cadeias, chamado um subcomplexo de C.
Considerando, para cada p 0, o A-modulo quociente Cp =
Cp/C
p , existe um unico homomorfismo p : Cp Cp1 que torna
comutativo o diagrama abaixo
Cpp
Cp1
j j
Cp p Cp1 ,onde j e a aplicacao quociente. Por definicao, (jx) = j(x). E
claro que pp+1 = 0, logo a sequencia C = (Cp, p) e um complexo
de cadeias, chamado o quociente de C por C.
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[SEC. 1: COMPLEXO DE CADEIAS 3
Sejam X = (Xp, p) e Y = (Yp, p) complexos de cadeias, cujosoperadores-bordo indicamos com o mesmo smbolo p = . Um
morfismo f: X Y e uma sequencia de homomorfismos fp : Xp
Yp tais que fp(x) = fp+1(x) para todo x Xp . Isto significa que,
no diagrama abaixo, todos os retangulos sao comutativos
Xp+1
Xp
Xp1 X0
fp+1
fp
fp1
f0
Yp+1
Yp
Yp1 Y0
Segue-se das relacoes fp(x) = fp1(x) e fp(x) = fp+1(x)
que, para todo p 0, o homomorfismo fp : Xp Yp transforma p-
ciclos de X em p-ciclos de Y e p-bordos tambem, ou seja, fp(Zp(X))
Zp(Y) e fp(Bp(X)) Bp(Y); logo fp induz, por passagem ao
quociente, um homomorfismo (fp) : Hp(X) Hp(Y), definido por
(fp)[z] = [fp(z)] para toda classe [z] Hp(X) de um ciclo z
Zp(X).
Frequentemente se escreve apenas f : Hp(X) Hp(Y).
O homomorfismo induzido f : Hp(X) Hp(Y) e natural no se-
guinte sentido: se g : Y W e outro morfismo entre complexos de
cadeias, induzindo, para cada p 0 o homomorfismo g: Hp(Y)
Hp(W) entao o morfismo composto gf: X Winduz o homomor-
fismo (gf) : Hp(X) Hp(W) e tem-se (gf) = gf . Evidente-
mente, se id: X X e o morfismo identidade, entao id : Hp(X)
Hp(X) e a aplicacao identidade.
Segue-se imediatamente que se o morfismo f: X Y admite o
morfismo inverso g : Y X entao f : Hp(X) Hp(Y) e invertvel
para todo p 0, sendo (f)1 = g.
Exemplos obvios de morfismos entre complexos de cadeias seobtem a partir de um subcomplexo C C. A aplicacao de inclusao
i : C C e a projecao j : C C/C sao morfismos.
E da maior relevancia ressaltar que, embora i : Cp Cp seja in-
jetivo e j : Cp Cp/Cp seja sobrejetivo, essas propriedades nao sao
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4 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
necessariamente herdadas pelos homomorfismos induzidos i: Hp(C) Hp(C) e j : Hp(C) Hp(C/C).
Exemplo 1. Seja A o anel Z dos inteiros. Consideremos o com-
plexo C no qual C0 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos
a, b, c (que podemos imaginar como os vertices do triangulo abc),
C1 e o grupo abeliano livre gerado pelos smbolos ab, bc, ca (lados
do triangulo) e C2 e o grupo cclico cujo gerador livre chamamos
de abc. Os grupos Cp com p > 2 sao todos iguais a zero. Os
operadores-bordo 2 : C2 C1, 1 : C1 C0 sao definidos assim:
(abc) = ab + bc + ca
(ab) = b a, (bc) = c b e (ca) = a c.
Obviamente, a = b = c = 0.
Ve-se sem dificuldade que = 0 em todas as dimensoes. Na
verdade, basta verificar que ((abc)) = 0.
E claro que, em dimensao 2, a cadeia nula e o unico ciclo, de
modo que H2(C) = {0}. Vejamos quais sao os ciclos de dimensao
1. Uma cadeia x C1 e da forma x = m ab + n bc + p ca, onde
m,n,p Z. Tem-se
x = (m ab + n bc + p ca) = m b m a + n c n b
+ p a p c = (p m)a + (m n)b + (n p)c.
Portanto x = 0 m = n = p x = m(ab + bc + ca).
Assim, o ciclo z = ab + bc + ca e o gerador de Z1(C). Como se
tem z = (abc), segue-se que Z1(C) = B1(C), portanto o grupo de
homologia H1(C) = Z1(C)/B1(C) e nulo.
Falta calcular H0(C). Toda 0-cadeia e, por definicao, um ciclo.
Portanto Z0(C) e o grupo abeliano livre gerado por a, b e c. Ja vimosque o bordo de uma 1-cadeia generica x = m ab + n bc + p ca
tem a forma y = x = (p m)a + (m n)b + (n p)c. Como
(p m) + (m n) + (n p) = 0, conclumos que se uma 0-cadeia
y = k1 a + k2 b + k3 c e um bordo entao k1 + k2 + k3 = 0. (A soma
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[SEC. 2: HOMOTOPIA ALGEBRICA 5
k1 + k2 + k3 chama-se o ndice da cadeia y.) Ora, mudando brus-camente de notacao, um exerccio elementar mostra que o sistema
de tres equacoes lineares x y = k1 , y z = k2 , z x = k3 tem
solucao se, e somente se, k1 + k2 + k3 = 0. Portanto uma 0-cadeia
e um bordo se, e somente se, seu ndice e zero. (Ou ainda: duas
0-cadeias sao homologas se, e somente se, tem o mesmo ndice.)
Assim, o homomorfismo In : C0 Z, que associa a cada 0-cadeia
seu ndice, tem como nucleo o conjunto B0 das cadeias que sao
bordos. Passando ao quociente, obtemos o isomorfismo C0/B0 Z,
ou seja, H0(C) Z, pois C0 = Z0 .Em suma: os grupos de homologia do complexo C sao H0(C) =
Z, H1(C) = H2(C) = {0}.
Exemplo 2. Com a notacao do Exemplo 1, consideremos o sub-
complexo C C no qual C2 = {0}, C1 = C1 e C
0 = C0 . Entao
H2(C) = {0} e H0(C) = H0(C) Z mas, como 2 = 0, tem-se
B1 = {0}, portanto H1(C) = Z1 Z. Assim, os grupos de ho-
mologia do subcomplexo C C sao isomorfos a Z nas dimensoes
0 e 1 e nulos nas demais dimensoes. Isto nos da um exemplo em
que o homeomorfismo i : H1(C) H1(C), induzido pela inclusaoi : C C, nao e injetivo.
Ainda neste exemplo, no complexo quociente C = C/C tem-se
C2 = C2 , C1 = C0 = {0}. Portanto H1(C) = H0(C) = {0} e
H2(C) e o grupo cclico infinito gerado pela classe de homologia
do 2-ciclo j(abc) C2 , onde j : C2 C2 = C2/C2 e a aplicacao
quociente. Portanto o homomorfismo induzido j : H2(C) H2(C)
nao e sobrejetivo.
2 Homotopia algebrica
Sejam X = (Xp, p) e Y = (Yp, p) complexos de cadeias e
f, g : X Y morfismos entre eles. Uma homotopia algebrica en-
tre f e g e uma sequencia de homomorfismos de A-modulos D =
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6 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
Dp : Xp Yp+1 tais que p+1Dp + Dp1p = fp gp , ou simples-mente D + D = f g : Xp Yp para todo p 0.
D
Xp Xp-1
D
Yp+1 Yp
f-g
A principal utilidade deste conceito reside no fato de que se
f, g : X Y sao morfismos algebricamente homotopicos, isto e, seexiste uma homotopia algebrica entre f e g, entao os homomorfis-
mos induzidos por f e g nos grupos de homologia coincidem, ou
seja, tem-se f = g : Hp(X) Hp(Y) para p = 0, 1, 2, . . .
Com efeito, sabendo que Dx + Dx = fp(x) gp(x) para toda
p-cadeia x Cp(X), se z Zp(X) e um p-ciclo tem-se z = 0 logo,
escrevendo y = Dz, resulta da que fp(z) gp(z) = y . Assim,
quando os morfismos f e g sao algebricamente homotopicos, as
imagens fp(z) e gp(z) de todo ciclo z Zp(X) sao ciclos homologos.
Logo,f[z] = [fp(z)] = [gp(z)] = g[z],
portanto f = g .
Nos captulos que se seguem, veremos diversas situacoes nas
quais a nocao de homotopia algebrica revelara sua utilidade.
3 Sequencias exatas
Uma sequencia de homomorfismos de A-modulos
. . . Mp+1fp+1 Mp
fp Mp1 . . .
chama-se exata quando o nucleo de cada homomorfismo fp e igual
a imagem do homomorfismo anterior fp+1 .
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[SEC. 3: SEQUENCIAS EXATAS 7
Uma sequencia exata e, portanto, um complexo de cadeias cujosgrupos de homologia sao iguais a zero em todas as dimensoes.
Numa sequencia exata, o homomorfismo fp e injetivo se, e so-
mente se, fp+1 = 0. Por sua vez, fp+1 e sobrejetivo se, e so-
mente se, fp = 0. Em particular, as sequencias 0 Mf
N
e Mg
N 0 sao exatas se, e somente se, f e injetivo e g e
sobrejetivo. Portanto, a sequencia 0 Mf
N 0 e exata se,
e somente se, f e um isomorfismo entre os A-modulos M e N.
Uma sequencia exata do tipo 0 Mi
Nj
P 0 chama-
se curta. Neste caso, i e injetivo, j e sobrejetivo e j1(0) = i(M).O exemplo tpico de uma sequencia exata curta e aquele em que
M e um submodulo de N, i : M N e a inclusao, P = M/N e o
modulo quociente e j : M P = M/N e a aplicacao quociente.
Um morfismo entre duas sequencias exatas (Mp, fp) e (Np, gp) e
uma sequencia = (p) de homomorfismos p : Mp Np tais que
p1 fp = gp p para todo p 0.
Mpfp
Mp1
p p1Np
gp Np1 ,
Sequencias exatas sao um instrumento de uso cotidiano em To-
pologia Algebrica. No que se segue, ao emprega-las, nos valeremos
principalmente de duas de suas propriedades, que estabeleceremos
agora. Uma delas e o Lema dos Cinco e a outra e a Sequencia Exata
de Homologia associada a uma sequencia exata curta de morfismos
entre complexos de cadeias.
Lema dos Cinco. Num morfismo entre sequencias exatas de A-
modulos,M5
f5 M4
f4 M3
f3 M2
f2 M15 4 3 2 1
N5 g5
N4 g4
N3 g3
N2 g2
N1
,
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8 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
se 1, 2, 4 e 5 sao isomorfismos entao 3 tambem e um iso-morfismo.
Demonstracao: Por simplicidade, escreveremos f x em vez de f(x)
e identificaremos, para i = 1, 2, 4 e 5, Mi com Ni e cada x Micom i(x), logo cada isomorfismo i se reduzira a identidade. Isto
conduz ao diagrama comutativo
M
f
4
M3
M2
N3
g
M5
f5
4f3
M1
3g
4
onde as sequencias M5f5
M4f4
M3f3
M2f2
M1 e M5f5
M4g4 N3
g3 M2f2 M1 nao exatas. Devemos provar que
e um isomorfismo. Seja x M3 tal que x = 0. Entao f3x =
g3x = 0 e, por exatidao, existe y M4 com f4y = x. Temos
g4y = f4y = x = 0. Novamente a exatidao nos da z M5 tal
que f5z = y, logo x = f4y = f4f5z = 0. Isto mostra que e
injetiva. Para provar sua sobrejetividade, tomemos y N3. Por
exatidao, f2(g3y) = 0, portanto existe x M3 tal que f3x = g3y,
logo g3x = f3x = g3y, ou seja, g3(y x) = 0. Assim, existe
z M4 com y x = g4z = f4z, donde y = (x + f4z), provando
que e sobrejetiva e completando a demonstracao.
Em seguida, estabeleceremos a existencia da sequencia exata
de homologia associada a uma sequencia exata curta de morfismos
entre complexos de cadeias.
Teorema 1. Seja 0 Ci
Cj
C 0 uma sequencia
exata curta de morfismos entre complexos de cadeias. Existe, para
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[SEC. 3: SEQUENCIAS EXATAS 9
cada p > 0, um homomorfismo : Hp(C) Hp1(C) tal que asequencia
Hp(C)
iHp(C)j
Hp(C)
Hp1(C)
iHp1(C)
e exata.
Demonstracao: Primeiro definiremos o homomorfismo : Hp(C)
Hp1(C) e depois verificaremos a exatidao da sequencia.
Dada a classe [z] Hp(C), existe x Cp tal que jx = z.
Como j x = j x = z
= 0, segue-se que existe z
C
p1 tal queiz = x Cp1 . Tem-se z Zp1 . Com efeito, i(z
) = iz =
x = 0; sendo i injetivo, resulta que z = 0. Poe-se entao, por
definicao, [z] = [z].
Cp
Cp-1
Cp
Cp-1
x z
xz
i
j
Devemos verificar que : Hp(C) Hp1(C) esta bem defi-
nido, ou seja, que as escolhas de z na classe [z] e da cadeia x tal
que jx = z nao afetam o valor de [z] Hp1(C). A escolha mais
geral possvel em [z] seria da forma z+w = z+j w = z+j w,
w Cp+1 , consequentemente a escolha mais geral de x Cp seria
da forma x1 = x + w + i(y), y Cp , que daria jx1 = z
+ w .
Neste caso, teramos x1 = iz + iy = i(z + y ). Portanto, com
as novas escolhas, teramos ainda [z + w ] = [z + y ] = [z] =
[z
]. Poupamo-nos (e ao leitor) da verificacao de que e umhomomorfismo de A-modulos.
A prova da exatidao da sequencia de homologia tem tres etapas.
1) Em Hp(C)j
Hp(C) Hp1(C) o nucleo de e igual a
imagem de j.
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10 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
1a) j = 0. De fato, se [z] = j[z] = [jz] com z = 0 entaoz = i 0, logo [z] = [z] = 0.
1b) O nucleo de esta contido na imagem de j . Com efeito,
se 0 = [z] = [z] entao z = w para algum w Cp . Logo,
tomando x Cp tal que jx = z tem-se x = iz = iw = (iw).
Da (x iw) = 0. Assim z = x iw e um ciclo em Cp com
jz = jx jiw = jx, donde j[z] = [z].
2) Em Hp(C) Hp1(C)
i Hp1(C) tem-se nucleo de i =
imagem de .2a) i = 0. De fato, para todo [z] Hp(C) tem-se [z] = [z],
onde z Zp , iz = x e jx = z. Logo i[z
] = i[z] = [iz] =
[x] = 0 Hp1(C). Logo imagem de nucleo de i .
2b) Se 0 = i[z] = [iz], z Zp1 , entao iz
= x, x Cp . Pondo
z = jx, temos [z] = [z]. Logo nucleo de i imagem de .
3) EmHp(C)i Hp(C)
j Hp(C) tem-se nucleo dej = imagem
de i .
3a) Como j i = (j i) = 0 = 0, vemos que imagem de i
nucleo de j .
3b) Se 0 = j[z] = [jz] entao existe x Cp+1 tal que jz =
x . Como j e sobrejetivo, tem-se x = jx para algum x Cp+1 .
Portanto jz = j x = j x, logo j(z x) = 0. Pela exatidao, existe
z Cp tal que z x = iz. Ora, como i e injetora e vale
iz = iz = (z x) = z x = 0 0 = 0,
segue-se que z = 0. Assim z Zp e i[z] = [iz] = [z x] = [z].
Portanto nucleo de j imagem de i .As vezes e conveniente escrever [z
] = [i1j1z]. Eviden-
temente, i1 e j1 nao sao aplicacoes unvocas porem a classe de
homologia [z] esta bem definida por esta formula, como acaba-
mos de ver.
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[SEC. 3: SEQUENCIAS EXATAS 11
Ha dois exemplos particularmente importantes de sequenciasexatas de homologia. O primeiro e quando se tem um subcomplexo
C C e se toma C = C/C. Neste caso, i : C C e a aplicacao de
inclusao e j : C C e a aplicacao quociente. A sequencia exata
de homologia associada a sequencia exata curta 0 Ci
Cj
C/C 0 chama-se a sequencia exata do par (C, C) e os grupos de
homologia Hp(C/C) = Hp(C) chamam-se os grupos de homologia
relativa do par (C, C).
O segundo exemplo e o da sequencia de Mayer-Vietoris, que
desempenhara um papel central nos captulos seguintes.Para obter a sequencia de Mayer-Vietoris, parte-se de dois sub-
complexos C, C C, tais que C = C + C, isto e, tem-se Cp =
Cp + C
p para todo p 0. Entao os A-modulos C
p C
p , com o
mesmo operador de C, formam um complexo C C. Tambem as
somas diretas Cp C
p , cujos elementos escreveremos como pares
(x, x) com x Cp e x Cp , munidas do operador : C
p C
p
Cp1 C
p1 , dado por (x, x) = (x, x), formam o complexo
CC, cujos grupos de homologia sao Hp(CC) Hp(C)Hp(C)
como facilmente se verifica.Os morfismos i : C C C C e j : C C C, dados por
i(x) = (x, x) e j(x, y) = x y, compoem a sequencia curta
0 C Ci
C Cj
C 0,
que e exata como se ve imediatamente. Dela resulta a sequencia
exata de homologia
Hp(CC)
iHp(C)Hp(C
)j
Hp(C)
Hp1(CC)
chamada a sequencia de Mayer-Vietoris da decomposicao C = C +C). Nela, usamos a notacao em vez de . Os homomorfismos
ie j sao obvios: i[z] = ([z], [z]) e j([z], [w]) = [z w]. Quanto
a , tem-se [z] = [x] = [y ] onde x y = z, x Cp , y C
p e
x = y .
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12 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
A sequencia exata de homologia e natural, no sentido seguinte.Dado um morfismo
0 Xi
Xj
X 0 0 Y
i Y
j Y 0
entre duas sequencias exatas curtas de complexos de cadeias, os
homomorfismos induzidos em homologia por , e determinam
um morfismo entre as sequencias exatas de homologia. Noutraspalavras, o diagrama abaixo e comutativo.
Hp(X)i Hp(X)
j Hp(X)
Hp1(X) Hp(Y)
i Hp(Y)j
Hp(Y) Hp1(Y)
Pelo morfismo entre as duas sequencias curtas, temos i = i
e j = j , donde i = i e j = j . Para
provar que
=
, escreveremos [z
] = [i
1
j
1
z
].Entao
[z] = [i
1j1z] = [i1j1z] = [i1j1z]
= [i1j1z] = [i1j1z] = [z
].
Resulta da a naturalidade da sequencia de Mayer Vietoris: se
X = X +X e Y = Y +Y entao um morfismo : X Y tal que
(X) Y e (X) Y induz um morfismo entre as sequencias
de Mayer-Vietoris de (X,X,X) e (Y,Y,Y).
4 Cohomologia
Um complexo de cocadeias e uma sequencia C = (Cp, p),
p 0, de A-modulos Cp e homomorfismos p : Cp Cp+1 tais
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA 13
que p+1 p = 0. Frequentemente escreve-se simplesmente emvez de p :
C00 C1
1 Cp1p1 Cp
p Cp+1 . . . .
Cada elemento u Cp chama-se uma cocadeia de dimensao p,
ou uma p-cocadeia. Se pu = 0, diz-se que u e um p-cociclo. O
conjunto Zp = Zp(C) dos p-cociclos e um submodulo de Cp, nucleo
do homomorfismo p . A imagem Bp do operador p1 tambem e
um submodulo de Cp e a relacao = 0 significa que Bp Zp. O
modulo quociente Hp(C) = Zp/Bp chama-se o grupo de cohomologiade dimensao p do complexo C. Seus elementos sao as classes de
cohomologia [u] = {u + v; v Cp1} dos cociclos u Zp. Tem-se
[u] = [u] se, e somente se, u u = v para algum v Cp1. Neste
caso, diz-se que u e u sao cociclos cohomologos.
As nocoes e os fatos relativos a cohomologia sao analogos aqueles
ja estabelecidos para a homologia, levando-se em conta apenas que
o operador cobordo : Cp1 Cp aumenta a dimensao, enquanto
que o operador bordo : Cp Cp1 diminui. Isto causa pequenas
mudancas.Por exemplo, se X e Y sao complexos de cocadeias, o homomor-
fismo induzido em cohomologia por um morfismo f: X Y entre
complexos de cocadeias e designado por f : Hp(X) Hp(Y) em
vez de f .
Uma homotopia algebrica entre os morfismos f, g : X Y e
uma sequencia de homomorfismos D : Xp Yp1 tais que D +
D = f g. (No caso de cadeias, tnhamos D : Xp Yp+1 .) Nova-
mente, e claro que se f, g : X Y sao algebricamente homotopicos
os homomorfismos induzidos f, g : Hp(X) Hp(Y) sao iguais.
Finalmente, a sequencia exata de cohomologia determinada pela
sequencia exata curta 0 Ci
Cj
C 0 de morfismos entre
complexos de cocadeias tem a forma
Hp(C)i
Hp(C)j
Hp(C)
Hp+1(C) . . . .
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14 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
Um importante exemplo de complexo de cocadeias se obtem apartir de um complexo de cadeias C = (Cp, p), formado por A-
modulos. Para cada p 0, pomos Cp = Hom(Cp; A) = modulo
dual de Cp , cujos elementos sao os homomorfismos u : Cp A.
O operador = p : Cp Cp+1 e o adjunto de : Cp+1 Cp ,
ou seja, se u Cp entao u Cp+1 e o homomorfismo (funcional
A-linear) definido por (u)x = u(x) para toda cadeia x Cp+1 .
Isto nos da o complexo de cocadeias C = (Cp, p), cujos grupos
de cohomologia Hp(C) sao chamados os grupos de cohomologia do
complexo de cadeias C.A todo morfismo f: X Y entre complexos de cadeias corres-
ponde o morfismo adjunto f : Y X.
Para cada p 0, fp : Yp Xp e definido por
fp v
x = v fp(x), v Yp, x Xp .
Noutras palavras, fp v = v fp .
O homomorfismo induzido em cohomologia pelo morfismo ori-
ginal f: X Y e f : Hp(Y) Hp(X), f = (f) , ou seja,
f
[v] = [f
v] para todo p-cociclo v Zp
(Y). Se g : Y Z e outromorfismo de cadeias, tem-se (g f) = f g : Hp(Z) Hp(X).
No contexto da cohomologia obtida a partir de um complexo
de cadeias, deve-se observar que, dada a sequencia de A-modulos e
transformacoes A-lineares
. . . Mp+1fp+1 Mp
fp Mp1 . . . ,
se ela e exata, nao se segue geralmente que seja tambem exata a
sequencia dual
Hom(Mp1; A)f
p Hom(Mp; A)
f
p+1 Hom(Mp+1; A) ,
na qual fp e o homomorfismo adjunto de fp .
Um exemplo simples e o da sequencia exata de grupos (Z-
modulos) 0 Zf
Zg
Z2 0, onde Z2 = {0, 1} e o grupo dos
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA 15
inteiros modulo 2, f(n) = 2n e g e a pro jecao canonica: g(n) = 0se n e par e g(n) = 1 se n e mpar. A sequencia dual e
0 Hom(Z2;Z)g
Hom(Z;Z)f
Hom(Z;Z) 0.
O grupo Hom(Z2;Z) e zero e Hom(Z;Z) e cclico infinito (iso-
morfo a Z), gerado pelo homomorfismo identidade u : Z Z.
Como f: Z Z e a multiplicacao por 2, o mesmo se da com
f : Hom(Z;Z) Hom(Z;Z), logo f nao e sobrejetivo e a sequen-
cia nao e exata.
De um modo geral, se a sequencia de A-modulos M1 f M2 g
M3 e exata entao g f = 0 de modo que, considerando a sequencia
dual
Hom(M3; A)g
Hom(M2; A)f
Hom(M1; A)
temos f g = (g f) = 0, logo Im(g) N(f). Se quisermos
mostrar que esta sequencia tambem e exata, restara provar que
N(f) Im(g). Para isto, tomamos v Hom(M2; A) tal que
f(v) = 0 e procuramos achar u Hom(M3; A) com g(u) = v.
Nossa hipotese sobre v significa que v(f(x)) = 0 para todo x M1 ,
ou seja, que o homomorfismo v : M2 A se anula sobre a imagem
de f. Pela exatidao da sequencia inicial, essa imagem coincide
com o nucleo de g. Portanto v(y) = 0 para todo y M2 tal
que g(y) = 0. Ou ainda: se y, y M2 sao tais que g(y) = g(y)
entao v(y) = v(y). Ora, estamos em procura de um homomorfismo
u : M3 A tal que u(g(y)) = v(y) para todo y M2 . Acabamos
de ver que esta igualdade define univocamente um homomorfismo
u : Im(g) A. Se este homomorfismo puder ser estendido a todo
o M3 , (nao importa de que modo) teremos g(u) = v.
Assim, o problema de saber se a dual da sequencia exata deA-modulos M1
f M2
g M3 e ainda exata reduz-se a indagar
se um homomorfismo definido no submodulo g(M2) M3 pode ser
estendido a todo o modulo M3 . Nem sempre isto e possvel. Por
exemplo, se P Z e o subgrupo formado pelos inteiros pares, o
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16 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
homomorfismo h : P Z, definido por h(2n) = n, nao pode serestendido a todo o grupo Z.
Na sequencia exata M1f
M2g
M3 ha um caso em que todo
homomorfismo h : g(M2) P, definido no submodulo g(M2)
M3 , pode ser estendido a um homomorfismo h : M3 P, definido
em todo o modulo M3 . E quando existe um submodulo N M3tal que M3 = g(M2) N. Entao define-se a extensao simplesmente
fazendo-a assumir o valor zero em cada y N, lembrando que
os elementos de M3 se escrevem de modo unico como x + y com
x g(M2) e y N.Uma sequencia exata M1
f M2
g M3 chama-se separavel
quando existe um submodulo N M2 tal que M2 = f(M1) N.
No caso de uma sequencia exata curta, como
(*) 0 M1f
M2g
M3 0,
dizer que ela e separavel significa que existe um submodulo N
M2 tal que M2 = f(M1) N. Neste caso, a sequencia dada e
equivalente a
(**) 0 M1f
M1 M3g
M3 0,
onde f(x) = (x, 0) e g(x, y) = y, ou seja, existe um isomorfismo
h : M2 M1 M3 que torna comutativo o diagrama
M
f
1
M2
M3 00
M3M1
h
g
gf
.
Com efeito, sendo f: M1 f(M1) um isomorfismo e sabendo
que todo z M2 se escreve, de modo unico, como z = x + y,
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA 17
onde x f(M1), isto e, g(x) = 0, e y N, pomos h(z) = h(x +y) = (f1(x), g(y)). O homomorfismo h, assim definido, cumpre
h f = f e g h = g, ou seja, torna comutativo o diagrama acima.
A verificacao de que h e bijetivo recai imediatamente na exatidao
da sequencia (*) dada inicialmente.
Portanto (**) e o modelo padrao de uma sequencia exata curta
separavel.
Lema 1. Se a imagem g(M2) e um m odulo livre (em particular,
se A e um corpo, logo os A-modulos sao espacos vetoriais) entao a
sequencia exata M1 f M2 g M3 e separ avel. Em particular, se
o modulo M3 e livre ent ao a sequencia exata curta
0 M1 M2 M3 0
e separ avel.
Demonstracao: Seja (a)L uma base do A-modulo g(M2). De-
finamos um homomorfismo : g(M2) M2 escolhendo, para cada
L, um elemento (a) M2 tal que g((a)) = a . As-
sim g((z)) = z para todo z g(M2). Seja N a imagem de .
Afirmamos que M2 = f(M1) N. De fato, em primeiro lugar,todo x M2 se escreve como x = (g(x)) + (x (g(x))), com
(g(x)) N e g(x(g(x))) = g(x)g((g(x))) = g(x)g(x) = 0,
logo x (g(x)) f(M1) por exatidao. Em segundo lugar, se
y f(M1)N entao y = f(x), x M1 , e y = (z), z g(M2), logo
z = g((z)) = g(y) = g(f(x)) = 0 e da y = (z) = (0) = 0.
Um importante caso particular deste lema e o
Corolario 1. Seja C B um submodulo. Se o modulo quociente
B/C e livre ent ao C e um somando direto em B, isto e, existe umsubmodulo C B tal que B = C C.
Com efeito, se i : C B e a inclusao e j : B B/C e a proje-
cao natural entao a sequencia 0 Ci
Bj
B/C 0 e
exata.
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18 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
Teorema 2. Se M3 e um A-modulo livre (em particular, se A e
um corpo) e a sequencia 0 M1f
M2g
M3 0 e exata,
entao a sequencia dual
0 Hom(M3; A)g
Hom(M2; A)f
Hom(M1; A) 0
e exata.
Demonstracao:
(1) g e injetivo: Seja u : M3 A um homomorfismo tal queg(u) = 0, isto e, u(g(x)) = 0 para todo x M2 . Como g e
sobrejetivo, isto significa que u = 0.
(2) Im(g) = N(f). Sao duas inclusoes a serem verificadas.
A primeira, Im(g) N(f), significa que f g = 0, o que e
claro porque f g = (g f) = 0 pois g f = 0. Para provar
que N(f) Im(g), tomemos um homomorfismo v : M2 A tal
que f(v) = 0, ou seja, v f = 0. Como g e sobrejetivo, podemos
definir o homomorfismo u : M3 A pondo u(g(x)) = v(x) para
todo x M2 . Esta definicao e legtima pois se y M2 e tal queg(y) = g(x) entao g(x y) = 0 e da, pela exatidao da sequencia
inicial, existe z M1 tal que x y = f(z). Como v f = 0, vemos
que v(xy) = v(f(z)) = 0, portanto v(x) = v(y), mostrando assim
que o homomorfismo u : M3 A esta bem definido, sendo claro que
u g = v, isto e, v = g(u).
(3) f e sobrejetivo. Aqui fazemos uso do Lema 1, segundo o
qual a sequencia exata 0 M1f
M2g
M3 0 e separavel,
logo e equivalente a sequencia exata padrao 0 M1 M1
M3 M3 0 e a sobrejetividade de f equivale a dizer que
todo homomorfismo u : M3 A se estende a um homomorfismo
u : M1 M3 A, o que e inteiramente obvio.
Observacao: Se E e um espaco vetorial sobre o corpo K, e praxe
escrever E em vez de Hom(E; K).
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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 19
5 Limites indutivos
Uma quase-ordem num conjunto L e uma relacao binaria em
L que e reflexiva ( para todo L) e transitiva (se ,, L
sao tais que e entao ). Uma quase-ordem anti-
simetrica ( e implicam = ) chama-se uma relacao
de ordem.
Diz-se que a quase-ordem e filtrante quando, dados quaisquer
, L, existe L tal que e .
Exemplo 3. Seja L o conjunto dos intervalos abertos da reta que
contem 0 e tem comprimento 1. Dados I, J L, se escrevermos
I J para significar I J, obteremos uma relacao de ordem em L,
a qual nao e filtrante. Se, entretanto, convencionarmos que I J
significa J I, obteremos uma relacao de ordem filtrante em L.
Exemplo 4. Seja V o conjunto das vizinhancas abertas de um
determinado conjunto X Rn. Dados U, V V, escrevendo U V
para significar que X V U, obtemos uma relacao de ordem
filtrante em V. A opcao de escrever U V quando V U traduz
o fato de que V esta mais proxima de X do que U, ou que e uma
melhor aproximacao aberta de X.
Exemplo 5. Seja C o conjunto das coberturas abertas de um
conjunto X Rn. Dadas as coberturas , C, ponhamos
para exprimir que refina , isto e, para cada B existe A
tal que B A. A relacao e uma quase-ordem filtrante em
C. Com efeito, dadas , C, o conjunto das intersecoes A B,
com A e B , e uma cobertura aberta de X que refina e
, ou seja, tem-se e . Note que esta quase-ordem naoe anti-simetrica, ou seja, nao e uma ordem.
Dada uma quase-ordem no conjunto L, um subconjunto L
L diz-se cofinal quando, para todo L, existe L tal que
.
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20 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
Exemplo 6. No Exemplo 3, se I J significa I J, os intervaloscom extremos racionais formam um conjunto cofinal. Se I J quer
dizer J I entao os intervalos do tipo (1/n, 1/n) constituem um
conjunto cofinal. No Exemplo 4, se X for compacto, as vizinhancas
abertas de X que tem fecho compacto formam um conjunto cofi-
nal em V. No Exemplo 5, se X e uma superfcie, o conjunto das
coberturas abertas localmente finitas e cofinal em C.
Uma famlia (E)L de A-modulos chama-se um sistema indu-
tivo quando
1o) O conjunto L dos ndices e munido de uma quase-ordemfiltrante.
2o) Para cada par de ndices , L com e dado um
homomorfismo : E E de modo que = id: E E e
= : E E se .
Dado o sistema indutivo (E)L , definimos na reuniao disjuntaL
E uma relacao de equivalencia dizendo que x E e equiva-
lente a y E quando existe L , com e , tal que
(x) = (y). Indicaremos com
x a classe de equivalencia doelemento x E segundo esta relacao. O conjunto E das classes
de equivalenciax dos elementos x E , L, chama-se o limite
indutivo do sistema (E)L . Escreve-se E = limE .
Quando se escreve um elemento de E = lim
E sob a formax,
diz-se que x E representa a classex. Se e y = (x),
entao o elemento y E representa a mesma classe, poisx =
y.
O limite indutivo E = lim
E possui uma estrutura natural de
A-modulo: dados
x =
y E, como L e filtrante, podemos suporque os representantes x, y pertencem ao mesmo modulo E e entao
pomosx +
y = (x + y) e, se a A, a
x = (a x). Nao ha
dificuldade em verificar que estas operacoes estao bem definidas e
fazem de E = lim
E um A-modulo.
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[SEC. 5: LIMITES INDUTIVOS 21
Em particular, a classe x de x E e o zero de A-modulo E,
se, e somente se, existe tal que (x) = 0 E . Noutras
palavras, o elemento neutro da adicao em E = lim
E pode ser
representado pelo elemento neutro 0 E para algum L.
Seja E = lim E . Para cada L, existe um homomorfismo
: E E, definido por (x) =x, x E . Valem as seguintes
propriedades:
a) Se entao = ;
b) E = L (E);c) Se x E e tal que (x) = 0 entao existe L tal que e (x) = 0.
Podemos tambem considerar sistemas indutivos de complexos.
Para fixar ideias, vejamos um sistema indutivo (C)L de comple-
xos de cocadeias. Para cada L, temos um complexo
C : C0 C
1 C
r
d Cr+1
e, quando , um morfismo f : C C tal que f = id: C
C e f = f f : C C quando .O limite indutivo do sistema (C)L e o complexo
C: C0 C1 Crd
Cr+1 ,
onde Cr = lim
Cr e d : Cr Cr+1 e definido por d(
x) = (dx),
com x Cr logo dx Cr+1 .
Escreve-se C = limL
C = lim C .
Se E = limL E , definir um homomorfismo f: E F, comvalores no A-modulo F, equivale a definir, para cada L, um
homomorfismo f : E F de tal modo que valha a relacao f =
f sempre que . Com efeito, dado f, obtem-se f pondo
f = f . Reciprocamente, dados os f , definimos f assim: para
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22 [CAP. I: HOMOLOGIA FORMAL
cada x E existe algum x E tal que (x) = x. Entao pomosf(x) = f(x). A relacao f = f mostra que esta definicao e
legtima, isto e, que a escolha de x nao afeta o valor f(x).
O homomorfismo f: lim E F, definido a partir dos f : E
F, e sobrejetivo se, e somente se, F = f(E) e e injetivo se, e
somente se, f(x) = 0 implica que existe tal que (x) = 0.
Por exemplo, se L L e um subconjunto cofinal, o limite
indutivo E = limL
E e isomorfo a E = limL
E . Para chegar a
esta conclusao, definimos o homomorfismo f: E E pondo, para
cada L, f = : E E. Como se ve sem dificuldade,o homomorfismo f e sobrejetivo e injetivo, logo e um isomorfismo
entre E e E.Um exemplo util de isomorfismo e o seguinte. A partir de um
sistema indutivo (C)L de complexos de cocadeias, obtemos um
complexo C = lim C , o qual possui grupos de cohomologia Hr(C) =
Hr(lim C), r = 0, 1, . . . . Por sua vez, para cada r = 0, 1, 2, . . . ,
os grupos de cohomologia Hr(C), L formam um sistema in-
dutivo, o qual possui o limite lim
Hr(C). Afirmamos que existe
um isomorfismo natural f: lim Hr
(C) Hr
(lim C). Afim dedefinir f, basta considerar, para cada L, o homomorfismo
f : Hr(C) Hr(lim
C), definido por f[z] = [
z], onde z Cr
e um cociclo de dimensao r, [z] Hr(C) e sua classe de coho-
mologia ez = (z) e sua imagem em lim
Cr pelo homomorfismo
natural : Cr lim
Cr . Os homomorfismos f cumprem obvia-
mente a condicao f = f quando , logo determinam
um homomorfismo f: lim
Hr(C) Hr(lim
C). Como se ve sem
dificuldade, f e um isomorfismo.
Assim, o processo de tomar o limite indutivo de complexos co-muta com o de tomar grupo de cohomologia. Resulta da, em par-
ticular, que o limite indutivo de um sistema de sequencias exatas
e ainda uma sequencia exata pois esta e, em ultima analise, um
complexo cujos grupos de cohomologia em dimensao > 0 sao nulos.
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Captulo II
Cohomologia de de Rham
A cohomologia de deRham sera nosso primeiro exemplo de uma
situacao especfica na qual se usam os conceitos gerais expostos no
captulo anterior.
Este assunto e geralmente apresentado no contexto aparente-
mente mais geral de variedades diferenciaveis. (Em vez de su-
perfcies no espaco euclidiano, como faremos aqui.) A opcao que
fizemos permite utilizar, sem mudanca de terminologia ou notacao,as nocoes ja introduzidas e os resultados ja demonstrados em [AR2]
e, principalmente, [AR3], textos que contem os pre-requisitos para
este captulo.
Alem disso, como e bem conhecido, toda variedade diferenciavel
e difeomorfa a uma superfcie contida num espaco euclidiano de di-
mensao suficientemente alta, portanto nao ha perda essencial de
generalidade em nossa exposicao. Uma vantagem adicional das su-
perfcies e a existencia da vizinhanca tubular, cuja utilizacao em
ocasioes oportunas simplifica argumentos e permite demonstracoes
convincentes, como se pode ver nos Captulos 4 e 5 de [AR3].
Advertencia: no que se segue, salvo mencao explcita em con-
trario, superfcies e formas serao sempre supostas diferenciaveis e
diferenciavel significa de classe C.
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24 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
1 O complexo de de Rham
A diferenciacao exterior d : r(M) r+1(M) e uma trans-
formacao linear definida no espaco vetorial r(M), cujos elementos
sao as r-formas na superfcie m-dimensional M. Como dd = 0
para toda r(M), a sequencia
(M) : 0(M)d
1(M) m1(M)d
m(M) 0
e um complexo de cocadeias, chamado o complexo de de Rham da
superfcie M.Lembremos que 0(M) e o conjunto das funcoes diferenciaveis
f: M R e r(M) = 0 se r > m = dim M.
O nucleo Zr(M) de d : r(M) r+1(M) e a imagem Br(M)
de d : r1(M) r(M) sao, respectivamente, o conjunto das r-
formas fechadas e das r-formas exatas. Tem-se Br(M) Zr(M) e
o espaco quociente
Hr(M) = Zr(M)
Br(M)
chama-se o grupo de cohomologia de de Rham da superfcie M emdimensao r (muito embora seja um espaco vetorial). Seus elementos
sao as classes de cohomologia
[] = { + d; r1(M)}
das formas fechadas Zr(M).
Exemplo 1. O caso mais simples da cohomologia de de Rham
e H0(M). Tem-se B0(M) = 0 e Z0(M) e o conjunto das funcoes
diferenciaveis f: M R tais que df = 0. Logo H0(M) = Z0(M) =
conjunto das funcoes localmente constantes, ou seja, constantes em
cada componente conexa de M. Em particular, se M e conexa entao
H0(M) = R. No caso geral, em que M =
L
M e a reuniao de
suas componentes conexas, tem-se H0(M) =
L
R onde R = R
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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 25
para todo L. Explicitamente, cada elemento de H0(M) e umafamlia x = (x)L onde x R para todo L. (Note que L
e enumeravel.) Se M = M1 Mk possui apenas um numero
finito k de componentes conexas entao H0(M) = Rk.
Exemplo 2. Seja M = R2{0}. Sabemos que H0(M) = R pois M
e conexa. Vejamos H1(M). A cada forma fechada = adx + bdy
em M, facamos corresponder o numero () =
S1. A corres-
pondencia : Z1(M) R assim definida e uma transformacao
linear nao-nula, portanto sobrejetiva. Seu nucleo contem B
1
(M)pois a integral de uma forma exata ao longo do caminho fechado
S1 e zero. Logo duas formas cohomologas e tem a mesma
imagem () = (). Entao, por passagem ao quociente, po-
demos definir uma transformacao linear : H1(M) R, pondo
([]) = () para toda Z1(M). Alem de sobrejetiva, e
tambem injetiva. De fato, se ([]) =
S1 = 0, afirmamos que
= 0 para qualquer caminho fechado em M = R2 {0}.
Para ver isto lembremos que, como esta no Captulo 1 de [AR3],
e livremente homotopico em R2 {0} a um caminho do tipo
: [0, 2] S1 R2 {0}, (s) = (cos ks, sen ks), para algumk Z. Sendo assim,
=
= k
S1
= 0. Portanto e exata
em M = R2 {0}, ou seja, [] = 0. Finalmente, tem-se ainda
H2(M) = 0 pois, como veremos logo a seguir, os grupos de coho-
mologia de de Rham sao invariantes homotopicos e M = R2 {0}
tem o mesmo tipo de homotopia da superfcie unidimensional S1,
para a qual, evidentemente, vale H2(S1) = 0.
2 Invariancia homotopica
Como sabemos, uma aplicacao diferenciavel f: M N entre
as superfcies M, N induz, para cada r 0, uma transformacao
linear f : r(N) r(M), que associa a cada r-forma em N o
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26 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
seu pullback f r(M), onde
(f)(p)(v1, . . . , vr) = (f(p))(f(p)v1, . . . , f
(p)vr),
para todo p M e quaisquer v1, . . . , vr TpM.
E uma propriedade essencial da diferenciacao exterior sua in-
variancia por mudanca de coordenadas, expressa pela igualdade
f(d) = d(f), em virtude da qual f e um morfismo do com-
plexo de de Rham (N) em (M). Como tal, f induz, para cada
r 0, um homomorfismo
f : Hr(N) Hr(M),
indicado com a mesma notacao f. Quando ha necessidade de ser
mais preciso, escreve-se fr em vez de f. O homomorfismo acima,
definido por f([]) = [f], e natural no sentido de que se tem
(g f) = f g para f: M N e g : N P diferenciaveis.
Em particular, se f: M N e um difeomorfismo e g : N M
e seu inverso entao f : Hr(N) Hr(M) e, para todo r 0, umisomorfismo cujo inverso e g : Hr(M) H(N) pois g f =
(f g) = (idN) = idHr(N) e f g = (g f) = (idM) = idHr(M) .
Esta observacao caracteriza H(M) como um invariante dife-
renciavel. Mais geralmente (porem ainda nao definitivamente, con-
forme o Teorema 1 abaixo), Hr(M) e um invariante do tipo de
homotopia diferenciavel de M.
Isto significa que se f: M N e g : N M sao aplicacoes dife-
renciaveis tais que g f: M M e f g : N N sao ambas dife-
renciavelmente homotopicas as aplicacoes identidades pertinentesentao, para todo r 0, f : Hr(N) Hr(M) e g : Hr(M)
Hr(M) sao isomorfismos, um inverso do outro.
Na verdade, bem mais do que isto pode ser dito. Mostraremos
agora o seguinte:
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[SEC. 2: INVARIANCIA HOMOTOPICA 27
Teorema 1. Uma aplicacao contnua f: M N induz, para cadar 0, um homomorfismo f: Hr(N) Hr(M). Se g : M N
e tambem contnua e homot opica a f (em classe C0) entao g =
f : Hr(N) Hr(M). Consequentemente, seM eN tem o mesmo
tipo de homotopia(em particular, se sao homeomorfas) entao Hr(M)
e Hr(N) sao isomorfos para todo r 0.
Demonstracao: Isto resulta das seguintes observacoes:
A) Pelo Teorema 8, Captulo 4 em [AR3], se as aplicacoes dife-
renciaveis f, g : M N sao homotopicas (homotopia C0
) entaoelas sao diferenciavelmente homotopicas. Logo, pelo Teorema 3
loc. cit., para toda forma fechada Zr(N), existe r1(M)
tal que g f = d, portanto g[] = f[]. Assim, aplicacoes
diferenciaveis que sao C0-homotopicas induzem o mesmo homomor-
fismo em cohomologia.
B) Toda aplicacao contnua f: M N e homotopica a uma
aplicacao diferenciavel.
Com efeito, seja V(N) uma vizinhanca tubular de N Rs.
Definamos a funcao contnua : M R+ pondo, para cada x M, (x) = d(f(x), Rs V(N)). Pelo Teorema de Aproximacao
([AR3], Cap. 4, Teor. 6), existe g : M N diferenciavel tal que
|g(x) f(x)| < (x) para todo x M. Entao, para todo x
M, o segmento de reta [f(x), g(x)] esta contido em V(N). Seja
: V(N) N a projecao natural. A aplicacao H: M[0, 1] N,
dada por H(x, t) = ((1 t)f(x) + tg(x)), e uma homotopia entre
f e a aplicacao diferenciavel g.
Uma vez estabelecidas A) e B), o homomorfismo f : Hr(N)
Hr(M), induzido pela aplicacao contnua f: M N, e definidoassim: toma-se uma aplicacao diferenciavel g : M N que seja
homotopica a f e poe-se, por definicao, f = g : Hr(N) Hr(M).
Deve-se observar que o homomorfismo f independe da escolha
de g, em virtude da transitividade da relacao de homotopia: se
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28 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
g, h : M N sao diferenciaveis e homotopicas a f entao g h,logo g = h.
Do mesmo modo se mostra que se f: M N e g : N P sao
aplicacoes contnuas entao (g f) = f g e que se f, g : M N
sao homotopicas entao f = g. Em particular, se f: M N e
uma equivalencia homotopica entao f : Hr(N) Hr(M) e um
isomorfismo para todo r 0.
Um caso especial merece destaque: se f: M N e um ho-
meomorfismo entao f e um isomorfismo de Hr(N) sobre Hr(M)para todo r 0. Assim, embora a estrutura diferencial tenha sido
fortemente utilizada na definicao de cohomologia de de Rham, os
grupos Hr(M) sao invariantes topologicos.
Exemplo 3. Podemos agora completar o Exemplo 2. Como S1 e
R2 {0} tem o mesmo tipo de homotopia, vale Hr(R2 {0})
Hr(S1) para todo r 0. Ora, H2(S1) = 0 pois dim S1 = 1. Por
outro lado, da resulta tambem que H1(S1) R pois ja vimos que
H1(R2{0}) R. Mais geralmente, Rn+1{0} e Sn tem o mesmo
tipo de homotopia, seja qual for n > 0. Logo Hn+1(Rn+1{0}) = 0.
Alem disso, e claro que, para todo r > 0, vale Hr(Rn) = 0 pois Rn e
contratil, ou seja, tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto.
A cohomologia de de Rham possui ainda uma estrutura multi-
plicativa, induzida pelo produto exterior de formas diferenciais. Se
Zr(M) e Zs(M) sao formas fechadas em M entao o pro-
duto exterior e tambem uma forma fechada, pois d( ) =
d + (1)r d = 0. Alem disso, se r1(M) e
s1(M),
( + d) ( + d) = + d + d + d d
= + d[(1)r + + d]
= + d,
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[SEC. 3: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS 29
logo o produto exterior de formas fechadas conserva a relacao deformas cohomologas, ou seja, a aplicacao bilinear
: Hr(M) Hs(M) Hr+s(M),
dada por [] [] = [ ], esta bem definida.
Este produto exterior de classes de cohomologia dota a soma
direta
H(M) = H0(M) H1(M) Hm(M), m = dim M,
de uma estrutura de algebra sobre os reais, usualmente conhecidacomo o anel de cohomologia de de Rham da superfcie M. O ho-
momorfismo f : H(N) H(M), induzido por uma aplicacao
contnua f: M N, respeita essa multiplicacao, ou seja, tem-se
f([] []) = f[] f[].
Quando o espaco vetorial Hr(M) tem dimensao finita, o numero
r = dim Hr(M) chama-se o r-esimo numero de Betti da superfcie
M e a soma alternada (M) = 0 1 + + (1)m m chama-se
a caracterstica de Euler da superfcie M.
3 A sequencia de Mayer-Vietoris
Sejam U, V M abertos na superfcie M, tais que M = U V.
Para cada r 0, consideremos os morfismos : r(M) r(U)
r(V) e : r(U) r(V) r(U V), definidos por () =
(|U, |V) e (, ) = |(U V) |(U V), lembrando que |W
significa a restricao da forma ao conjunto aberto W M. Os
morfismos e dao origem a sequencia curta
0 r(M)
r(U) r(V)
r(U V) 0,
a qual afirmamos ser exata. E obvio que e injetivo e que sua
imagem e igual ao nucleo de . Resta apenas provar que e sobre-
jetivo.
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30 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
Para isto, tomamos uma particao diferenciavel da unidade U +V = 1 estritamente subordinada a cobertura M = UV, portanto
supp. U U e supp. V V. Dada qualquer r(U V),
definimos as formas 1 r(U) e 2 r(V) pondo:
1 = V em U V e 1 = 0 em U (U V),
2 = U em U V e 2 = 0 em V (U V).
Tem-se 1|(UV)2|(UV)=V +U=, logo (1, 2)=.
Como vimos no Captulo I, esta sequencia exata curta da origema uma sequencia exata de cohomologia
Hr(M) Hr(U)Hr(V)
Hr(UV)
Hr+1(M) . . .
que chamaremos a sequencia de Mayer-Vietoris associada a decom-
posicao M = U V.
Os homomorfismos e sao definidos por ([]) = ([|U],
[|V]) e ([1], [2]) = [1|(U V) 2|(U V)].
Por sua vez, : Hr(U V) Hr+1(M) e definido assim: dada
r(U V) fechada, como e sobrejetivo, existem formas 1 r(U) e 2 r(V), nao necessariamente fechadas, tais que =
1|(UV)2|(UV). Entao 0 = d = d1|(UV)d2|(UV)
portanto d1 e d2 sao (r+1)-formas em U e em V respectivamente,
as quais sao obviamente fechadas e coincidem em UV logo definem
conjuntamente uma forma fechada em M = U V, cuja classe de
cohomologia e [].
Exemplo 4. Vamos usar a sequencia de Mayer-Vietoris a fim de
calcular os grupos Hr(M) quando M = R2{p, q}, ondep = (1, 0)
e q= (1, 0). Para isso, tomaremos M = U V com U = {(x, y) M; x < 1/2} e V = {(x, y) M; s > 1/2}. Evidentemente,
U e V sao homeomorfos a R2 {0}, logo seus grupos Hr(U) e
Hr(V) ja foram calculados no Exemplo 2. Alem disso, U V =
{(x, y) R2; 1/2 < x < 1/2} tem o mesmo tipo de homotopia
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de um ponto, portanto Hr(U V) = 0 se r > 0 e H0(U V) = R.Como M e conexa, temos H0(M) = R. O calculo de H2(M) se faz
olhando para o trecho
H1(U V) H2(M) H2(U) H2(V), ou seja, 0 H2(M) 0,
da sequencia de Mayer-Vietoris. Da exatidao resulta que H2(M) =
0. Para calcular H1(M), usamos o trecho
H0(U) H0(V)
H0(U V)
H1(M) H1(U)
H1(V)
0,
(lembrando que H1(U V) = 0), que equivale a sequencia exata
RR
R
H1(M) RR 0,
na qual (x, y) = xy, logo nao e identicamente nulo, portanto
e sobrejetivo. Por exatidao, o nucleo de e todo o R, logo e
identicamente nulo e entao e injetivo. Mas e tambem sobreje-
tivo pois a ultima flexa e igual a zero. Assim, : H1
(M) RRe um isomorfismo.
Resumindo: se M e o plano menos dois pontos entao H0(M) =
R, H1(M) = R2 e Hr(M) = 0 se r 2.
A partir da, por invariancia topologica ou por tipo de homo-
topia, se pode calcular a cohomologia de outras superfcies, como
por exemplo aquela obtida do cilindro R S1 retirando-se dele um
disco fechado.
Exemplo 5. Se M e uma superfcie simplesmente conexa entao
H1(M) = 0. Quando M e um aberto do espaco euclidiano, este eo Corolario 4, Captulo 1 em [AR3]. No caso geral, tomamos uma
vizinhanca tubular V M no espaco euclidiano em que M esta
contida. Entao V e tambem simplesmente conexa pois a projecao
: V M e uma equivalencia homotopica. Dada 1(M)
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32 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
fechada, sua extensao e uma forma fechada em V, portanto,em virtude do corolario acima mencionado, existe f: V R tal
que df = . Entao, g = f|M e tal que = dg. Assim, toda
1-forma fechada em M e exata, ou seja, H1(M) = 0.
Exemplo 6. Grupos de cohomologia da esfera Sm. Ja os conhe-
cemos quando m = 1: H0(S1) = R, H1(S1) = R e Hr(S1) = 0 se
r > 1. Portanto suporemos m 2, o que nos da logo H1(Sm) = 0.
Usaremos uma decomposicao Sm = U V, onde U e V sao abertos
contrateis e U V tem o mesmo tipo de homotopia de Sm1. Por
exemplo, podemos tomar U = Sm {a} e V = Sm {b}, coma = (0, . . . , 0, 1) e b = (0, . . . , 0, 1), ou entao fixar um numero
(0, 1) e por U = {x = (x1, . . . , xm+1) Sm; xm+1 < },
V = {x = (x1, . . . , xm+1 Sm; xm+1 > }. Assim, teremos
Hr(U) = Hr(V) = 0 se r > 0, H0(U) = H0(V) = R e, como
m 2, H0(U V) = R. Logo, o trecho abaixo da sequencia de
Mayer-Vietoris, com r 2,
Hr1(U) Hr1(V) Hr1(U V) Hr(Sm) Hr(U) Hr(V)
pode ser escrito como
0 Hr1(Sm1) Hr(Sm) 0
e da resulta que Hr(Sm) e isomorfo a Hr1(Sm1). Portanto,
Hm(Sm) Hm1(Sm1) H1(S1) = R (onde o smbolo
significa e isomorfo a). Se, porem, tivermos r < m, da resul-
tara m r + 1 2, logo
Hr(Sm) Hr1(Sm1) H1(Smr+1) = 0.
Resumindo: Hm(Sm) = R para todo m > 0 e Hr(Sm) = 0 s e
0 < r < m.
Como observamos na Secao 2, os grupos de cohomologia de
de Rham de uma superfcie, embora tenham sido definidos por meio
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de instrumentos do Calculo Diferencial, sao invariantes topologicos:todo homeomorfismo h : M N entre duas superfcies induz um
isomorfismo h : Hr(N) Hr(M). Ou seja: superfcies homeo-
morfas tem a mesma cohomologia. Segue-se da que se m = n
entao as esferas Sm e Sn nao sao homeomorfas. Consequentemente,
nao pode haver um homeomorfismo entre espacos euclidianos Rm
e Rn de dimensoes diferentes m e n. De fato, se considerarmos,
mediante a projecao estereografica os espacos Rm = Sm {p} e
Rn = Sn {q} como esferas com um ponto omitido, todo ho-
meomorfismo h : Rm
Rn
se estenderia a um homeomorfismoh : Sm Sn pondo-se h(p) = q e h(x) = h(x) se x = p.
Exemplo 7. Seja T = S1 S1 o toro bidimensional. Por meio da
sequencia de Mayer-Vietoris, vamos determinar as dimensoes dos
espacos vetoriais H1(T) e H2(T). Para isto, tomemos T = U V,
onde U e V sao abertos difeomorfos a cilindros, tais que U V e
a reuniao de dois cilindros disjuntos. Lembrando que cada cilindro
tem o mesmo tipo de homotopia de S1, vemos que a sequencia exata
H0
(U) H0
(V)
A
H0
(U V)B
H1
(T)
C
H1
(U) H1(V)
D H1(U V)
e equivalente a
R2A
R2B
H1(T)C
R2D
R2.
Acima temos A(x, y) = (x y, x y) e D(u, v) = (u v, u v).
Pela exatidao, dimIm(C)=dimN(D) = 1. Usando o Teorema
do Nucleo e da Imagem, vemos que dimN(C) = dimIm(B) =
2 dimN(B) = 2 dimIm(A) = 2 1 = 1. Da resulta quedim H1(T) = dimN(C) + dimIm(C) = 1 + 1 = 2. Para obter a
dimensao de H2(T), usamos a sequencia exata
H1(U) H1(V)E
H1(U V)
H2(T) H2(U) H2(V)
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34 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
ou seja, R2 E R2 H2(T) 0. Temos E(x, y) = (x y, x y),
logo dimIm(E) = 1 = dimN() e da dimIm() = 1.
Figura 1.
U
V
U V
U V
T = U V
Mas, pela exatidao da sequencia, e sobrejetivo, portantoIm() = H2(T) e da dim H2(T) = 1.
Uma transformacao linear entre dois espacos vetoriais de di-
mensao 1, ou e um isomorfismo ou e identicamente nula. Re-
sulta desta observacao que a integracao define um isomorfismo
: H2(T) R, dado por ([]) =
T. De fato, a transformacao
linear esta bem definida, pois se [] = [] entao = + d e,
como
Td = 0, temos
T
=
T. Alem disso, nao e iden-
ticamente nula pois a forma elemento de area de T tem integral
diferente de zero. Pelo Exemplo 7, temos dim H2(T) = dimR = 1,logo e um isomorfismo.
Um caso analogo e o da esfera Sm. Novamente a integracao
define um isomorfismo : Hm(Sm) R, onde ([]) =
Sm. Po-
demos mesmo ir um pouco adiante e notar que a proje cao radial
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[SEC. 3: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS 35
f: Rm+1{0} Sm, f(x) = x|x| e uma equivalencia homotopica,logo Hm(Rm+1 {0}) tem a mesma dimensao de Hm(Sm), ou seja,
1. Entao : Hm(Rm+1 {0}) R, ([]) =
Sm, e um isomor-
fismo.
Mais geralmente, se B Rm+1 e uma bola fechada de centro
0 entao claramente Rm+1 B tem o mesmo tipo de homotopia de
Rm+1 {0} e a aplicacao : Hm(Rm+1 B) R, ([]) =
S,
e um isomorfismo, se S e qualquer esfera de centro 0 contida em
Rm+1 B (ou seja, de raio maior do que o de B). Nao importa qual
a esfera S que se tome nessas condicoes: em virtude do Teoremade Stokes tem-se
S
=
S pois S e S formam o bordo de uma
capsula esferica do tipo S [0, 1].
Em particular, se m(Rm+1 B) e tal que
S = 0 para
alguma (e portanto qualquer) esfera de centro 0 e raio maior que o
de B entao existe m1(Rm+1 B) tal que = d.
Ainda com auxlio da sequencia de Mayer-Vietoris, mostraremos
a seguir que se a superfcie M e compacta entao, para todo r 0,
o espaco vetorial Hr(M) tem dimensao finita.
Nossa argumentacao se baseara na existencia de coberturas aber-
tas simples em toda superfcie.
Uma cobertura aberta M =
L
A da superfcie M chama-
se simples quando toda intersecao finita A1 Ak , com
1, . . . , k L, e contratil.
Comecamos estabelecendo o
Lema 1. Sejaf: U V um difeomorfismo entre os abertosU, V
Rn. Para todo a U, existe r > 0 tal que a imagem f(B) de
qualquer bola B = B(a; s) com0 < s r, e um aberto convexo.
Demonstracao: Ponhamos g = f1 : V U, b = f(a) e con-
sideremos a funcao : V R definida por (y) = |g(y) a|2 =
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36 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
g(y) a, g(y) a. Temos yj (y) = 2g
yj(y), g(y) a e
2
yiyj(y) = 2
2g
yiyj(y), g(y) a
+ 2
g
yi(y),
g
yj(y)
.
Como g(b) = a, vemos que
2
yiyj(b) = 2
g
yi(b),
g
yj(b)
.
Assim, a matriz hessiana de no ponto b e igual a matriz de Gram
dos vetores linearmente independentes gy1
(b), . . . , gyn
(b), logo e po-
sitiva (cfr. [AL], pag. 213). Existe, portanto, uma bola B de centro
b contida em V, tal que a matriz hessiana de e positiva em todos
os pontos de B. Entao a funcao : B R e convexa (cfr. [AR2],
pag. 77). Seja B = B(a; r) U tal que f(B) B. Afirmamos
que f(B) e um conjunto convexo. Com efeito, se y1 = f(x1) e
y2 = f(x2), com x1, x2 B, e 0 t 1 entao, pela convexidade de
em B, temos
|g((1 t)y1+ty2) a|2
= ((1 t)y1+ ty2) (1 t)(y1) + t(y2)= (1 t)|g(y1) a|
2 + t|g(y2) a|2
= (1t)|x1a|2+t|x2a|
2 < (1t)r2+tr2
= r2.
Portanto g((1 t)y1 + ty2) B, logo (1 t)y1 + ty2 f(B) e
f(B) e convexo.
Evidentemente, se 0 < s r entao f(B(a; s)) tambem e con-
vexo.
No teorema abaixo, em que M Rn e uma superfcie m-dimensional, usamos a vizinhanca tubular local V(U). Nela, U =
(U0) e um aberto em M, imagem de uma parametrizacao : U0
M, com U0 Rm aberto. Tem-se n m campos de vetores
v1, . . . , vnm : U Rn, diferenciaveis, tais que, para cada y U,
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[SEC. 3: A SEQUENCIA DE MAYER-VIETORIS 37
{v1(y), . . . , vnm(y)} TyM e uma base ortonormal. A partir da,define-se uma aplicacao : U0 Rnm Rn, pondo (x, 1, . . . ,
nm) = (x) +nmi=1
i vi((x)). Fixado a = (x0) U, podemos
restringir suficientemente o aberto U0 x0 em Rm e o numero > 0
de modo que : U0B(0; ) V(U) Rn seja um difeomorfismo,
com (x, 0) = (x) para todo x U0 . transforma isometrica-
mente cada bola (n m)-dimensional x B(0; ), x U0 , na bola
normal B((x); ) T(x)M. A projecao natural : V(U) U
e definida por = 1
1, onde 1
: U0
B(0; ) U0
e a
projecao sobre o primeiro fator. Temos V(U) = yU
B(y; ) e
(B(y; )) = y. (Veja mais detalhes no Captulo 4 de [AR3].)
Teorema 2. Toda cobertura aberta de uma superfcie m-dimensio-
nal M Rn pode ser refinada por uma cobertura simples.
Demonstracao: Para cada ponto a = (x0) M. tomemos uma
vizinhanca tubular local V(U), com a U e U = (U0) contido
em algum aberto da cobertura dada. Pelo Lema 1, existe uma bola
n-dimensional B U0 B(0; ), com centro (x0, 0), tal que (B)
e convexo. Entao W0 = B (U0 0) e uma bola m-dimensional
aberta, logo e difeomorfa a Rm. Seja W = (W0). Como 1(B) =
W0 , tem-se ((B)) = W. O aberto W M contem a e e -
convexo, no seguinte sentido: para quaisquer y1, y2 W e t
[0, 1], tem-se ((1 t)y1 + ty2) W. (Note que (1 t)y1 + ty2
(B) pois (B) e convexo e y1, y2 (B)). Sabemos que W e
contratil por ser difeomorfo a Rm porem, mais geralmente, e facil
ver que todo conjunto -convexo e contratil. Alem disso, toda
intersecao finita de conjuntos -convexos e ainda um conjunto -convexo. (Observe que se U U = entao V(U) V(U) =
V(U U), onde = min{, }.) Portanto, os conjuntos W assim
obtidos formam uma cobertura simples de M que refina a cobertura
inicialmente dada.
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38 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
Em particular, toda superfcie compacta admite uma coberturasimples finita.
Teorema 3. Se a superfcie M e compacta ent ao, para todo r 0,
Hr(M) e um espaco vetorial de dimensao finita.
Demonstracao: Mais geralmente, provaremos que Hr(M) tem
dimensao finita quando M e uma superfcie do tipo finito, isto e,
admite uma cobertura simples finita M = U1 Uk . Isto
sera feito por inducao em k, sendo obvio para k = 1. Supondo o
resultado valido para um dado k > 1, seja M = U1 Uk+1 .Escrevamos V = U1 Uk , de modo que M = V Uk+1 . Pela
hipotese de inducao, Hr(V Uk+1) tem dimensao finita, para todo
r 0, pois VUk+1 = (U1Uk+1)(UkUk+1) e uma cobertura
simples. A sequencia de Mayer-Vietoris associada a decomposicao
M = V Uk+1 contem o trecho exato
Hr1(V Uk+1) Hr(M) Hr(V) Hr(Uk+1),
logo Hr(M) tem dimensao finita, em virtude do Teorema do Nucleo
e da Imagem.
4 Cohomologia com suportes compactos
Dada a superfcie M, para cada r 0, indicaremos com rc(M)
o subespaco vetorial de r(M) cujos elementos sao as r-formas
com suporte compacto. E claro que rc(M) d
rc(M), de modo que os espacos vetoriais rc(M), r 0, consti-
tuem um subcomplexo c (M) de (M), cujos grupos de cohomo-logia re-presentaremos por Hrc (M). Quando M e compacta, tem-se
Hrc (M) = Hr(M).
A fim de dar uma primeira indicacao da diferenca entre Hrc (M)
e Hr(M), consideraremos o caso em que M e a reta real R.
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS 39
Exemplo 8. As formas de grau zero em R sao as funcoes dife-renciaveis f: R R. Pertencem a 0c (R) aquelas funcoes f: R
R, de classe C, que se anulam fora de um intervalo [a, b]. Um
exemplo tpico disso e a funcao de Cauchy f: R R, definida por
f(x) = e1/x(x1) se 0 < x < 1 e f(x) = 0 se x 0 ou x 1.
As formas fechadas de grau zero em R sao as constantes, logo a
constante 0 e a unica forma fechada de grau zero com suporte com-
pacto. Assim, H0c (R) = 0. Na verdade, este argumento mostra
que H0c (M) = 0 para toda superfcie conexa nao-compacta M ou,
mais geralmente, para toda superfcie cujas componentes conexassao todas nao-compactas. Vejamos H1c (R). Toda
1c (R) e
fechada. Temos (x) = f(x)dx, onde f: R R tem suporte com-
pacto. Afirmamos que e exata se, e somente se,R
f(x)dx = 0.
De fato, em primeiro lugar, se = dg, onde g : R R tem suporte
compacto, entao, tomando [a, b] supp. g, teremosR
f(x)dx =R
dg =b
ag(x)x = g(b) g(a) = 0. Reciprocamente, se tiver-
mosR
=b
af(x)dx = 0 (onde supp. f [a, b]) entao, definindo
g : R R por g(x) =
x
af(t)dt, teremos obviamente g(x) = 0 se
x a e, se for x > b, sera g(x) = ba f(t)dt = R f(t)dt = 0, logog tem suporte compacto. Alem disso, pelo Teorema Fundamen-
tal do Calculo, vale g(x) = f(x) portanto dg = e e exata.
Isto mostra que a transformacao linear A0 : 1c (R) R, definida
por A0 =R
, tem como nucleo o subespaco B1c (R) das formas
exatas com suporte compacto. Como obviamente A0 nao e identi-
camente nula (e portanto e sobrejetiva), segue-se que A0 induz um
isomorfismo A : H1c (R) R, onde A[] =R
.
O exemplo acima ja mostra que a cohomologia com suportes
compactos nao e um invariante do tipo de homotopia, pois umespaco contratil como R tem cohomologia H1c (R) = 0.
Na verdade, uma aplicacao diferenciavel f: M N nao induz,
em geral, um homomorfismo f : Hrc (N) Hrc (M) como no caso
da cohomologia usual pois se e uma forma com suporte compacto
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40 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
em N nao e sempre verdade que seu pullback f tambem tenhasuporte compacto. Um exemplo disso ocorre com a aplicacao de
Euler E: R S1, definida por E(t) = (cost, sent). Se = ydx +
xdy 1(S1) e a forma elemento de angulo em S1 entao tem
obviamente suporte compacto mas o mesmo nao se da com E =
dt em R.
Para tratar da cohomologia com suportes compactos, as aplica-
coes adequadas sao as chamadas proprias.
Uma aplicacao contnua f: X Y, entre subconjuntos X
Rm e Y Rn, chama-se propria quando a imagem inversa f1(K)de cada subconjunto compacto K Y e um subconjunto compacto
de X. Equivalentemente, f diz-se propria quando toda sequencia de
pontos xk X sem subsequencia convergente e transformada por
f numa sequencia (f(xk)) que tambem nao possui subsequencia
convergente em Y. Se X e compacto, nao ha sequencia sem sub-
sequencia convergente em X, logo toda aplicacao contnua f: X
Y e propria.
Se a aplicacao diferenciavel f: M N e propria e rc(N)
entao f rc(M) pois supp. f e um subconjunto fechado docompacto f1(supp. ). Portanto f induz um morfismo f : c (N)
c (M), logo um homomorfismo f : Hrc (N) H
rc (M) em cada
dimensao r 0. Se g : N P e outra aplicacao diferenciavel
propria, vale (gf) = fg : Hrc (P) Hrc (M).
No que diz respeito a homotopias, nao e verdade em geral que
duas aplicacoes diferenciaveis proprias e homotopicas induzam o
mesmo homomorfismo na cohomologia com suportes compactos.
Por exemplo, f, g : R R, definidas por f(x) = x e g(x) = x, sao
proprias e homotopicas (pois R e contratil) mas f, g : H1c (R) H1c (R) sao tais que f
[] = [] e g[] = [], logo f = g, ja que
H1c (R) = 0.
Para que se tenha f = g, deve-se supor que as aplicacoes dife-
renciaveis f, g : M N, alem de proprias e homotopicas, sejam
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS 41
propriamente homotopicas, isto e, que a homotopia H: M[0, 1] N entre f e g seja uma aplicacao propria.
Com efeito, a prova de que aplicacoes diferenciaveis homotopicas
induzem o mesmo homomorfismo em cohomologia tem por base o
Teorema 2 do Captulo 3 em [AR3], no qual se estabelece uma
homotopia algebrica entre f e g. No final daquela demonstracao
se faz uso do homomorfismo H, induzido pela homotopia H: M
N entre f e g. Neste ponto, e necessario (e suficiente) supor que
H e uma aplicacao propria, ou seja, que f e g sao propriamente
homotopicas.Note-se que se a homotopia H: M [0, 1] N e propria entao,
para cada t [0, 1], a aplicacao Ht : M N, onde Ht(x) = H(x, t),
e propria. Em particular, f = H0 e g = H1 sao proprias. A
recproca e falsa: e possvel que, para todo t [0, 1], Ht seja propria
sem que H: M [0, 1] N o seja.
Exemplo 9. Se 0 r < m entao Hrc (Rm) = 0. Isto e claro quando
r = 0 pois Rm nao e compacto.
Seja 0 < r < m. Dada a forma fechada rc(Rm), pelo
Lema de Poincare existe uma forma r1(Rm) tal que d =
. O suporte de , entretanto, pode nao ser compacto. Devemos
encontrar uma (r 1)-forma com suporte compacto em Rm cuja
diferencial seja igual a .
Vejamos inicialmente o caso r = 1. Entao : Rm R e simples-
mente uma funcao C. Seja B Rm uma bola fechada de centro
0 tal que supp. int. B. Como d = se anula no conjunto
conexo Rm B, a funcao e constante, digamos com (x) = c,
para todo x Rm B. Entao a funcao : Rm R, definida por
(x) = (x) c, se anula em Rm B logo tem suporte compactoe, alem disso, d = d = .
Consideremos, em seguida, o caso em que 1 < r < m. Entao
tomamos bolas fechadas B = B[0; ], B = B[0;2] e C = B[0;3]
tais que supp. int. B, e uma funcao f: Rm [0, 1] de classe
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42 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
C, tal que f(B) = 0 e f(Rm C) = 1. Lembremos que d = seanula fora do suporte de , logo a restricao |(Rm B) e fechada.
Como Rm B tem o mesmo tipo de homotopia de Sm1 e o grau de
e r 1 < m 1, vemos que e exata em Rm B, ou seja, existe
r2(Rm B) tal que d = . Entao a forma , de grau r 1
em Rm, definida por = em B e = d(f) em Rm B,
tem suporte compacto, contido em C, pois
x Rm C f(x) = 1 (x) = (x)d(x) = (x)(x) = 0.
Alem disso, em todos os pontos de Rm, tem-se d = d
dd(f ) = d = .
A cohomologia m-dimensional de Rm com suportes compactos
esta contida no
Teorema 4. SejaM uma superfcie m-dimensional conexa e orien-
tada (compacta ou nao). A transformacao linear A : Hmc (M) R,
definida por A[] =
M
, e um isomorfismo.
Demonstracao: Em primeiro lugar, A esta bem definida pois
[] = [] = + d
M
=
M
+
M
d =
M
.
Em segundo lugar, A nao e identicamente nula. Se M e compacta,
basta tomar = elemento de volume para se ter
M = 0. Em
geral, um modo facil de obter mc (M) com
M = 0 consiste
em tomar uma parametrizacao : B(0; 3) U M, uma funcao
: M [0, 1] de classe C com ((x)) = 1 se |x| 1, ((x)) = 0
se 2 |x| 3, (p) = 0 se p / U e por (p) = (p)dx1 dxmpara p U, (p) = 0 quando p M U. Como dimR = 1,
A e sobrejetiva. Resta mostrar que A e injetiva, isto e, que se
mc (M) e tal que
M = 0 entao existe m1c (M) com
= d.
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[SEC. 4: COHOMOLOGIA COM SUPORTES COMPACTOS 43
Consideraremos inicialmente o caso em que M = Rm. PeloLema de Poincare, existe m1(Rm) tal que d = , mas o
suporte de pode nao ser compacto. Tomamos entao uma bola
fechada B, de centro 0, contendo supp. em seu interior. Te-
mosRm
=
B. Seja S = B . Pelo Teorema de Stokes, ve-
se que
S =
B
d =
B =
Rm
= 0. Como foi observado
na Secao 3, resulta da que a restricao de a Rm B e exata:
existe m2(Rm B) tal que d = |(Rm B). A partir
da a demonstracao segue como no Exemplo 9: consideramos bo-
las fechadas B = B[0; ], B
= B[0;2] e C = B[0;3] tais quesupp. int. B e uma funcao f: Rm [0, 1] de classe C, tal que
f(B) = 0 e f(Rm C) = 1. Entao definimos m1(Rm) pondo
= d(f ) em Rm B e = em B. Vemos que tem
suporte compacto, pois se anula fora de C, e d = d = .
Vejamos agora o caso geral, em que M e qualquer superfcie
m-dimensional orientada e conexa.
Tomamos um aberto U0 M difeomorfo a Rm e uma forma
0 mc (M) com supp. 0 U0 e
M
0 = 1. Mostraremos entao
que toda m-forma com suporte compacto em M e cohomologa a
um multiplo constante de 0 . Ou seja, dada arbitrariamente
mc (M), existem k R e m1c (M) tais que = k 0 + d.
Usando particao da unidade, vemos que basta provar isto quando
o suporte de esta contido num aberto U M difeomorfo a Rm,
pois toda mc (M) e soma de formas deste tipo.
Figura 2.
U0
U
W3W2W1
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44 [CAP. II: COHOMOLOGIA DE DE RHAM
Como M e conexa, existe uma cadeia de abertos W0 = U0,W1, . . . , W r = U em M, todos difeomorfos a R
m, tais que Wi1
Wi = , i = 1, . . . , r. Para cada um desses valores de i, tomemos
uma forma i mc (M), com suporte contido em Wi1 Wi , tal
que
Mi = 0. Resulta do que vem de ser provado acima que,
escrevendo quando e sao formas cohomologas com su-
porte compacto, existem constantes k1, . . . , kr para as quais valem
as relacoes
1 k1 0, 2 k2 1, . . . , = kr r ,
portanto k 0 onde k = k1 k2 . . . , kr .
Fica assim estabelecido que dim Hmc (M) 1. Mas ja vimos que
a transformacao linear A : Hmc (M) R, definida por A[] =
M,
e sobrejetiva. Logo dim Hmc (M) = 1 e A e um isomorfismo.
Resulta do Teorema 4 que se M e m-dimensional, compacta,
orientada e conexa entao uma forma m(M) tal que M = 0e exata.Uma importante consequencia do Teorema 4 e a
Invariancia da dimensao: Se as superfcies diferenciaveis M e
N sao homeomorfas entao dim. M = dim. N. Em particular, se
U Rm e V Rn sao abertos homeomorfos entao m = n.
Demonstracao: Seja f: M N um homeomorfismo, com dim. M=
m e dim. N = n. Tomemos U M e V = f(U) N aber-
tos contidos em vizinhancas parametrizadas. Entao U e V sao
superfcies orientaveis homeomorfas, de dimensoes m e n respecti-vamente, portanto Hmc (U) R e H
nc (U) R. Se fosse m > n,
teramos Hmc (U) Hmc (V) = 0. Analogamente, se tivessemos
n