história da geometria
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História da Geometria. Antonio Carlos Brolezzi IME-USP www.ime.usp.br/~brolezzi [email protected]. China/Japão. Américas. Índia. Grécia. Árabes. Egito. Roma. Mesopotâmia. 3500 aC. 1200 aC. 700 aC. 500. 1000. 1500. 1. História dos conceitos geométricos – linha do tempo. Europa. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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História da Geometria
Antonio Carlos Brolezzi
IME-USP
www.ime.usp.br/~brolezzi
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Grécia
Europa
2009
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Egito
Árabes
Roma
3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC
Américas
Mesopotâmia
Índia
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Grécia
Europa
2009
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Egito
Árabes
Roma
3500 aC 500 1000 1500700 aC 11200 aC
Américas
Mesopotâmia
Índia
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Na matemática, os conceitos estão interligados.
Qual é a sua definição de matemática?
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Logo, geometria não é apenas uma área a parte da matemática.
Sem geometria, não há:NúmerosÁlgebraTrigonometriaFunções…
Matemática é ciência dos Matemática é ciência dos padrões.padrões.
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Com qual matemática você prefere trabalhar?
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1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar
Competências matemáticas no Competências matemáticas no ensino de geometriaensino de geometria
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Matemática como ciência humana: história
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Filósofo grego. Filósofo grego. Discípulo de Sócrates. Discípulo de Sócrates.
Platão era um apelido que, Platão era um apelido que, provavelmente, fazia provavelmente, fazia referência à sua referência à sua caracteristica física, como caracteristica física, como seus ombros largos.seus ombros largos.
Na Academia de Platão, se Na Academia de Platão, se dizia a quem entrava:dizia a quem entrava:““Quem não souber geometria Quem não souber geometria não entre aqui”não entre aqui”
Platão de AtenasPlatão de Atenas (428—347 a.C.)(428—347 a.C.)
Espaço sensível e espaço geométrico: conceitos platônicos
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História das idéias geométricas
Simetrias
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SIMETRIAS
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• Os três conceitos da simetria:
• Translação
• Reflexão
• Rotação
Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza e artenatureza e arte
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Translação
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Translação:
Atividades de translação envolvem:
• Sequencias geométricas:
• Contagem;
• Álgebra;
• Arte matemática;
• Funções e gráficos: coeficiente linear.
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Reflexão
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Reflexão:
Atividades de reflexão envolvem:
• Dobraduras;
• Função módulo;
• Funções e gráficos: funções inversas.
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Rotação
Centro de rotação
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Rotação:
Atividades de rotação envolvem:
• Ângulos, trigonometria;
• Funções e gráficos: coeficientes angulares.
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Letras com Simetria por Reflexão
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Simetria Rotacional com menos de 360º
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Translação com reflexão
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Técnicas de Translação
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Simetria por Reflexão
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Rotação de 90°
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• Programa Tess
• http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm
• Programa para desenhar com simetrias
AtividadeAtividade
Conexões entre geometria, Conexões entre geometria, natureza, arte e arquiteturanatureza, arte e arquitetura
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1. Experimentar2. Conjecturar3. Representar4. Comunicar5. Argumentar
Esse programa permite Esse programa permite trabalhar quais competências trabalhar quais competências
matemáticas no ensino de matemáticas no ensino de geometria?geometria?
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Translação Refletida na obra de M. C. Escher
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• Ver outras obras de Escher, o artista das simetrias
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Maurist Cornelis Escher (1898-1972)
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Céu e Água I
![Page 54: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/54.jpg)
Esboço para Répteis
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Peixe e Barco
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Dia e noite
![Page 57: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/57.jpg)
Queda de água
![Page 58: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/58.jpg)
Desenhando mãos
![Page 59: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/59.jpg)
Faixa de Möebius II
![Page 60: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/60.jpg)
Ciclo
![Page 61: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/61.jpg)
O video arte matemática O video arte matemática mostra exemplos dos mostra exemplos dos conceitos da simetria.conceitos da simetria.
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Sites utilizados:
http://www.tvcultura.com.br/Artematematica
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm
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Geometria analítica, cônicas e outras curvas.
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Os gregos antigos estudaram curvas
associadas ao cone fornecem formas
geométricas muito interessantes, e a matemática está
presente na vida e na natureza.
Podemos enxergar as cônicas observando o corte que o plano da
parede faz em um cone de luz emitido por uma
lanterna.
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As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
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As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
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As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
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As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em
340 aC e depois estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
![Page 73: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/73.jpg)
As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
![Page 74: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/74.jpg)
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que
explicam os movimentos dos
planetas.
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Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
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Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
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Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
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Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
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Agora, vamos construir as cônicas usando
modelos obtidos por dobradura.
![Page 83: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/83.jpg)
As cônicas definidas por lugar geométrico
podem ser construídas a partir de suas
propriedades básicas, usando folhas apropriadas.
![Page 84: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/84.jpg)
Dada uma reta l, chamada diretriz, e um ponto F que não está em l, chamado
foco, uma secção cônica é o lugar geométrico dos
pontos P para os quais a razão
distância de P a Fdistância de P a l
é constante.
Essa constante chama-se excentricidade da
cônica (e).
0<e<1 elipse (“falta”)
e=1 parábola (“comparação”)
e>1 hipérbole (“excesso”)
Temos três casos:
![Page 85: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/85.jpg)
PO + PF = 2a2a = comprimento do fio
OF = 2c2c = distância focal
![Page 86: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/86.jpg)
PO + PF = 2a2a = comprimento do fio
a = semi-eixo maiorOF = 2c
2c = distância focal
x2/a2 + y2/b2 = 1equação reduzida da
elípse
b2 - a2 = c2
e = c/a 0 < e < 1
(excentricidade)define o tipo da órbita
![Page 87: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/87.jpg)
As órbitas dos planetas do sistema solar são elípses
com excentricidade pequena
![Page 88: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/88.jpg)
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
com excentricidade pequena
Órbitas dos planetas externos
![Page 89: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/89.jpg)
As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses
com excentricidade pequena
Órbitas dos planetas internos
![Page 90: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/90.jpg)
Vejamos os valores das excentricidades das órbitas
![Page 91: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/92.jpg)
IPO - PFI = 2a
OF = 2c
b2 + a2 = c2
e = c/a e > 1
(excentricidade)x2/a2 - y2/b2 = 1
equação reduzida da hipérbole
![Page 93: História da Geometria](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062517/568138f6550346895da0ac0f/html5/thumbnails/93.jpg)
É interessante trabalhar as cônicas com programas de geometria dinâmica, como
o gratuito CAR.
Assim, a história da geometria se inicia com a
geometria dinâmica do pensamento grego e
termina com a geometria dinâmica do computador.