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8/3/2019 historia-congruencias

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Teora de Nmeros

Congruencias

Adaptado por: Jos Pablo Flores Ziga

Abril 2010


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Introduccin

La teora de nmeros y el tema de las congruencias constituyenuno de los campos de la matemtica de mucho inters ya que sus

resultados facilitan y agilizan los clculos en aritmtica cuando setrabaja con nmeros muy grandes.

Las congruencias desde la antigedad hasta la actualidad haimplicado el desarrollo de muchas aplicaciones como por ejemploen la criptografa.

En el presente trabajo se mostrar la definicin de congruencias yse expresar una motivacin histrica de las congruencias desde el

siglo I d.C hasta la actualidad.En las conclusiones se expondr el punto de vista de la

educacin costarricense actual, la cual es de suma importancia paraun presente o futuro docente.

Al terminar de leer y analizar este documento se espera que sealcance los siguientes objetivos:

Notar la definicin de congruencias

Conocer aportes de Euler, Fermat y Wilson en la teora denmeros.

Familiarizarse con la motivacin histrica del tema de lascongruencias.

Observar algunas aplicaciones de las congruencias.

Considerar el tema de las congruencias en la educacinsecundaria


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Congruencias

Definicin de congruencia:

Motivacin histrica y algunos resultados decongruencias en la teora de nmeros

Siglo I d.CEl matemtico chino Sun-Tsu plante el siguiente problema:

Encuentre los dos nmeros positivos mnimos que tengan residuos2, 3, 2 cuando se dividen por 3, 5 y 7 respectivamente En lanotacin de congruencias este problema busca la solucinsimultnea de las siguientes congruencias:

2 3, 3 5, 2 7Este problema da origen al teorema chino del residuo

Teorema chino del residuo: Considere el siguiente sistema decongruencias:

Suponga que cada pareja de mdulos son primos entre s, es decir,para se tiene , 1. Entonces existe una solucinsimultnea para todas las congruencias que es menor que:

Siglo XII

Qin Jiushao ( 1202-1261)Fue el primer gran matemtico chino del siglo XII, escribi el

tratado Shushu Jiuzhang, este contiene un gran trabajo del teoremachino de restos y solucin de ecuaciones de hasta grado diez.

Sean , , , con 0. Decimos que es congruente con mdulo y escribimos si y solo si divide a


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Siglo XVII

Pierre de Fermat (1601-1665)

Fermat, tambin llamado "el prncipe de los amateurs", era unmatemtico que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Sunico contacto con el resto de la comunidad matemtica fue graciasa Marin Mersenne. Cabe destacar tambin un breve intercambio decartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueronconocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, quelos reenvi e hizo una amplia distribucin. Fermat es mejorconocido por su Enigma, una abstraccin del teorema de Pitgoras,tambin conocido como ltimo Teorema de Fermat, que preocup alos matemticos durante aproximadamente 350 aos, hasta que fue

resuelto en 1995. Junto con Ren Descartes, Fermat fue uno de losprincipales matemticos de la primera mitad del siglo XVII.Independientemente de Descartes, descubri el principiofundamental de la geometra analtica. A travs de sucorrespondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teora deprobabilidades.

Teorema de Fermat:

Si p es primo, todo entero a satisface y todo enteroa no divisible por p cumple: 1

Siglo XVIII

Leonhard Euler ( 1707-1783)

Se lo considera el principal matemtico del siglo XVIII y como unode los ms grandes de todos los tiempos. Vivi en Rusia y Alemaniala mayor parte de su vida y realiz importantes descubrimientos enreas tan diversas como el clculo o la teora de grafos. Tambinintrodujo gran parte de la moderna terminologa y notacin


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matemtica, particularmente para el rea del anlisis matemtico,como por ejemplo la nocin de funcin matemtica. Asimismo se leconoce por sus trabajos en los campos de la mecnica, ptica yastronoma.

Euler demostr que la conjetura de Fermat es falsa. Esto se

cumple para 1,2,3,4, pero no para todo natural; demostr que

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1 641 6700417. Este resultado se puede verificar hoy enda con base en las congruencias.

Teorema de Euler: Si , 1 Entonces 1

John Wilson (1741-1793)El teorema de Wilson es un resultado de teora de nmeros

relacionado con la primalidad de un nmero entero positivo. Fueatribuido a John Wilson por su profesor Edward Waring. ste ltimocoment que Wilson haba dejado anotado este resultado en uncuaderno pero que no lo haba demostrado. El propio Waringtampoco pudo hacerlo y tuvo que ser Lagrange en 1771 quien dio laprimera prueba.

Teorema de Wilson: Sea p un nmero entero mayor que 1.Entonces p es primo si y slo si 1! 1

Siglo XIX

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Fue un matemtico, astrnomo y fsico alemn que contribuy

significativamente en muchos campos, incluida la teora denmeros, el anlisis matemtico, la geometra diferencial, lageodesia, el magnetismo y la ptica. Considerado "el prncipe de lasmatemticas" y "el matemtico ms grande desde la antigedad",Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la

matemtica y de la ciencia, y es considerado uno de los


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matemticos que ms influencia ha tenido en la historia. Fue de losprimeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Si las matemticas son

la reina de las ciencias,la teora de nmeros es

la reina de las matemticasGauss

Gauss, en su monumental obra Disquisitiones Arithmeticaequien, en analoga con el = para la igualdad, introdujo elsmbolo "para denotar que dos nmeros son congruentes.

En aquella poca no existan las computadoras ni lascalculadoras electrnicas, los clculos eran totalmente manuales ocon uso de baco. Las congruencias se resultaron importantes en elclculo de residuos.

Siglo XIX hasta la Actualidad

La teora de congruencias se empieza a desarrollar en el siglo

XIX y actualmente nos ayuda a trabajar con nmeros muy grandesde manera rpida y sencilla por ejemplo calcular el residuo de2 por 7. Tiene aplicaciones en la teora de grupos ycriptografa.

El problema de resolver la ecuacin diofntica esdeterminar una tal, que y den un mismo residuo cuando sondivididas por , puesto que entonces | por lo que setrabajando con congruencias proporciona un mtodo para resolverla ecuacin diofntica.

El teorema chino de restos tiene aplicaciones en muchas reas,incluyendo la astronoma: si k eventos ocurren regularmente, conperodos m1, ..., mk y con el i-simo evento ocurriendo en lostiempos x = ai, ai + mi, ai + 2mi, ... , los k eventos ocurrensimultneamente cada x tiempo, donde para todo i;el teorema prueba que si los perodos mi son primos mutuamenteentre s, cada coincidencia ocurre con perodo m. La conjuncin delos planetas y los eclipses son ejemplos tales eventos.


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Conclusiones

Con base en el contenido:

En la antigedad los clculos se hacan manuales por loque las congruencias contribuyeron a mejorar la rapidez y lasencillez de los mismos.

Las congruencias brindaron mtodos para saber si unnmero natural es primo.

Las congruencias son de mucha importancia ya queactualmente aunque se tiene calculadoras electrnicas y

computadoras, no se puede trabajar con nmeros muygrandes.

Las congruencias brindan un mtodo para resolverecuaciones diofnticas y as encontrar soluciones adiversos problemas.

Las congruencias tienen muchas aplicaciones dentro de lamatemtica como en la teora de grupos, como tambin enotras reas como la fsica, qumica, criptografa entre otras.

Con base en la educacin:

El tema de las congruencias esta fuera del currculum educativode primaria, secundaria y a nivel universitario con respecto acarreras que no son del rea de matemtica. Los algoritmostrabajados en las congruencias son sencillos y es una herramientatil en diversos clculos para problemas de vida cotidiana y deaplicacin de diferentes reas. Los que implica que es fundamentalque los docentes busquen la forma de introducir este tema en laeducacin secundaria tal ves empezando con proyectosextracurriculares que despierten inters en los estudiantes y que seintegre con otros temas de matemtica como la aritmtica,geometra, las funciones, trigonometra y lgebra.

A pesar de que las congruencias no son parte del currculoeducativo, en las olimpiadas de matemtica hay diversos problemasque su solucin sale muy fcil usando los resultados de lascongruencias por lo que el docente debe transmitir el conocimiento

de este tema y no olvidarlo por el hecho de que en secundaria no seve.


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Bibliografa

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119-131Burton, J. (1964). The Theory of Numbers. United States of America. Library ofCongress Catalog Card Number: 55-6187. Pgina 41

Landau, E. (1955). Vorlesungen ber Zahlentheorie. New York, United States ofAmerica. Chelsea Publishing Company. Pgina 111

LeVeque, W. (1968). Teora Elemental de los Nmeros. Mxico. EditorialCentro Regional de Ayuda Tcnica. Pgina 43

Murillo, M; Gonzlez, J. (2006). Teora de los Nmeros. Cartago, Costa Rica.Editorial Tecnolgica de Costa Rica. Pginas 167-194.

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http://www.slideshare.net/acsa/matematicas-china-e-india-presentation

http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://eisc.univalle.edu.co/materias/Matematicas_Discretas_1/notes/arit_modular.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

http://gaussianos.com/el-teorema-de-wilson/

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