(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 1

HETAANPAKKENVANONGESTRUCTUREERDEPROBLEMEN

‘Neemikafstandenwachtikaf,ofgrijpikinenvertelikhenwattedoen?'

IntroductieIndemeestewiskunde-enscheikundelessenkrijgenleerlingengestructureerdetakenaangebodenenwordthenpreciesverteldwelketechniekenzetoehebbentepassen.Studentenlerendooraanwijzingenoptevolgen.Ditismeestalniethetgevalmetproblemenensituatiesdieontstaanindedagelijksewereld.Bijwerkelijkeproblemenhebbenleerlingenminderaanoefeningeninhetgebruikvaneenbepaaldevaardigheidofeenbegripenhebbenzijerveelmeeraanomvereenvoudigingenofvoorbeeldsituatiestemaken,debenodigdekennisenproceduresuithun‘gereedschapskist’tekiezen,entecontrolerenofhunoplossingwel“goedgenoeg”isvoorhetuiteindelijkedoel.Hetlijktlogischdatalsleerlingenmoetenlerenomhunvaardighedenzelfstandigtegebruikeninhuntoekomstigeleven,zijeenaantalmogelijkhedennodighebbenominhunlessentewerkenaanmindergestructureerdeproblemen.Ditonderdeelvergelijktgestructureerdeenongestructureerdeversiesvanproblemenenkijktnaardevereistenenuitdagingendieongestructureerdeproblemenopleverenvoorstudentenendocenten.

ActiviteitenActiviteitA:Gestructureerdeproblemenherzien............................................................................2ActiviteitB:Vergelijkgestructureerdeenongestructureerdeproblemen.......................................4ActiviteitC:Neemstrategieënvoorhetbiedenvanhulpinoverweging.........................................6ActiviteitD:Observeerenanalyseereenles....................................................................................8ActiviteitE:Maakeenles,geefdelesenreflecteeropdeuitkomsten............................................9Aanbevolenliteratuurlijst...............................................................................................................10Referenties.......................................................................................................................................10Dankwoord:DitmateriaalisaangepastvoorPRIMASuit:Swan,M;Pead,D(2008).Professionaldevelopmentresources.BowlandMathsKeyStage3,BowlandTrust/DepartmentforChildren,SchoolsandFamilies.InEngelandonlinebeschikbaar:http://www.bowlandmaths.org.uk.WijmogenmettoestemmingvanBowlandTrustdezeinformatiegebruiken.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 2

ACTIVITEITA:GESTRUCTUREERDEPROBLEMENHERZIEN

Benodigdetijd:20minuten

Hand-out1biedtdriegestructureerdeproblemen:

• eentafeltennistoernooiorganiseren• ontwerpeendoosvoor18snoepjes• hetberekenenvandeBodyMassIndex(BMI)

Dezeproblemenzijnongeveergelijkaandieproblemendiewevaakterugvindeninvelewiskunde-ennatuurwetenschaplessen.Deeerstetweezijnpraktischegroepsopdrachtenendederdeiseenopdrachtvooropdecomputer.Dezezijnechtergestructureerdzodatzijdeleerlingendoorhetprobleemheenleiden,begeleidenenbeslissingenvoorhenmaken.

• Werkéénvandeproblemenzorgvuldiguit.• Noteerallebeslissingendievoordeleerlingengemaaktworden.• Herziedeproblemenzodatsommigevandezebeslissingenteruggegevenwordenaande

leerlingen.Ditmaaktzealmindergestructureerd.

ZowordenleerlingeninEentafeltennistoernooiorganiserenverteld:

• hoezijdeleerlingenmoetenbenoemen(A,B,C…etc.);• eenlijstmakenvanallewedstrijdendiegespeeldmoetenworden;• hoezijsystematischdezewedstrijdenmoetenorganiseren;• hoezijdevolgordevandespellenkunnenordenenineentabel;• zeeraanhelpenherinnerendatdespelersnietoptweetafelstegelijkkunnenspelen.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 3

Hand-out1:gestructureerdeproblemen

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 4

ACTIVITEITB:VERGELIJKGESTRUCTUREERDEENONGESTRUCTUREERDEPROBLEMEN

Benodigdetijd:10minuten

Hand-out2bevatongestructureerdeversiesvandezelfdetakendiegebruiktwerdeninactiviteitA.

• Vergelijkdemindergestructureerdeversiesvandeproblemenmetdegestructureerde

versies.• Welkebeslissingenwordenaandeleerlingengelaten?• Welkepedagogischekwestieszullennaarvorenkomenwanneeruzulke

ongestructureerdeproblemengaatgebruiken?

Eenaantalonmiddellijkeproblemenwaardocentenmeekomenzijn:

• Ongestructureerdeproblemenzijnmoeilijker.• Hetislastigeromeenlesinelkaartezettenmetdezeproblemen.• Leerlingenwetenmisschiennieteenshoezehieraanmoetenbeginnen.Moetenweze

daaromalsnogstructureren?• Leerlingenpassennietperdefinitietoewatwezegeleerdhebben.• Alswetesnelhulpbieden,zullenleerlingengewoondoenwatwezeggenennietzelfstandig

nadenken.• Leerlingenzulleneengroterscalaaanbenaderingswijzenenoplossingenvoortbrengen.• Leerlingenhebbenmisschienbevestigingnodigdathetgoedisomeenandereaanpakte

proberenofomeenandereconclusietetrekken.Hand-out3bevatwatopmerkingenoverdeoplossingenvoordedrieproblemen.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 5

Hand-out2:ongestructureerdeversiesvandeproblemen

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 6

ACTIVITEITC:NEEMSTRATEGIEËNVOORHETBIEDENVANHULPINOVERWEGING

Benodigdetijd:30minuten

Docentenvindenhetvaaklastigominteschattenwanneerzehulphebbentebiedenenwanneerzeleerlingenmoetenlatenworstelen.Alszetesnelingrijpen,danhebbendeleerlingengeenkansomteervarenhoehetisomeenkansloosideenatestrevenofomzelfstandigtoteenoplossingtekomen.Alszetelaatingrijpenwordenleerlingengefrustreerd,verveeldenongemotiveerd.Hand-out4bevatwatpraktischeadviezenwanneeruwerktmetongestructureerdeproblemen.Overweegditadvieszorgvuldig:

• Welkeideeënvindtunormaliterhetlastigsteomtoetepassen?Waaromisdit?• Isernogeenanderadviesdatutoezouwillenvoegenaandezelijst?Schrijfuweigen

ideeënonderaan.

Brunergebruiktdemetafoorvaneenstellageomdestructuurdieeendocentbiedttebeschrijven(D.Wood,Bruner&Ross,1976).Dedocentmoedigtleerlingenaantothetbestevanhunkunnenzonderbegeleidingenbiedtalleenhetminimaleaanbegeleidingomhentehelpenteslagen.Dezeondersteuningkantemakenhebbenmethetbeperkenvanhunkeuzes,hettrekkenvandeaandachtnaarbelangrijkeaspectendoorhetstellenvanvragen,ofsomszelfsdoortedemonstrerenwatzemoetendoen.InzijnwerkmetjongekinderencategoriseerdeWood(1988)verschillendeniveausvanbegeleiding,vanminderbegeleidtotmeerbegeleid:geefalgemeenmondelingadvies,geefspecifiekemondelingeinstructies,deelhetprobleemopindelen,demonstreereenoplossing.Woodintroduceerdeooktweecontingentieregels:

“Elkekeerdatheteenleerlingnietluktomteslagenineenbepaaldeactienaeenbepaaldehoeveelheidhulpzoutegemoetgekomenmoetenwordendooreendirectetoenameinhulpofcontrole.Succesvaneenkindgeeftaandatelkeinstructiediedaarnakomtminderhulpzoumoetenbiedendandatwataanhetsuccesvoorafgingomhetkindtoetestaanzelfstandigheidteontwikkelen.”Wood(1988)

Hetbelangrijksteideehierisdatdebegeleidinggestoptzoumoetenwordenzodradeleerlinghetbeginttesnappen,andersversterkthetalleendeafhankelijkheid.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 7

Hand-out4: Praktischadviesvoorhetlesgeveninoplossenvanproblemen

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 8

ACTIVITEITD:OBSERVEERENANALYSEEREENLES

Benodigdetijd:30minuten

Detweevideo’slatenleerlingenziendieaandeongestructureerdeversiesvandezelfdeproblemenwerkenalswaarjullieaangewerkthebben.ZiehoeMichellehetdoetmethet‘organiseereentafeltennistoernooi’probleem.Alsjedevideobekijkt,denkdanoverhetvolgendena:

• Hoezatdelesinelkaar?Welkefaseswerdenerdoorlopen?• Welkehulpmiddelenhaddedocentbeschikbaarenwanneerwerdendezegebruikt?• Waaromwerdervanleerlingenverwachtdatzeintweetallenofkleinegroepjeswerkten?• Hoeintroduceerdededocenthetprobleembijdeleerlingen?• Welkeverschillendebenaderingswijzenwerdengebruiktdoordeleerlingen?• Hoeondersteundededocentdeleerlingendiemethetprobleemworstelden?• Hoemoedigdededocentaandebenaderingswijzenenstrategieëntedelen?• Watdenkjedatdezeleerlingengeleerdhebben?

NaderhandzoujedetweedevideokunnenkijkenvanJudithsleswaarinzijdeklasvraagtomeendoosteontwerpenvoor18snoepjes.

Michellebegintdelesdoorhetprobleemteintroducerenenuitteleggenhoezijverwachtdatdeleerlingensamenwerken.Deleerlingenkrijgendan3-4minutenomhuneerste,individueleideeënoverhoezijhetprobleemaangaanpakkentenoteren.Dithelptdeleerlingenomhunideeënteformulerenenwatideeëntedelenindebesprekingmetdegroep.Leerlingenkrijgendaneenaantalminutenomhunideeëntebespreken.Devideotoonthoeleerlingenhetprobleemenderandvoorwaardenonderdekniekrijgen.Sommigenrealiseerdenzichbijvoorbeelddatergeen4tafelsnodigzullenzijn.DaarnaintroduceertMichelledehulpmiddelenwaardeleerlingengebruikvankunnenmaken.Zebenadruktdatzehetprobleemniettesnelmoetenwillenoplossenendatsommigenhetmisschiennietafkrijgen.Zedenktdathetvooralbelangrijkisomnatedenkenoverdebenaderingswijzen.Terwijldegroepenaanhetwerkzijn,luistertMichelleeerst,daarnagrijptzeinomdiepernadenkentebevorderen:

“Jehebtnuéénaanpakgevonden.Jehebtnuontdektdathetniethelemaalgaatwerken,ofwel?Dushoegaanwehetnuverderaanpakken?”

“Leeshetprobleemnogeenkeer.Kijknaardelaatstetweezinnen.”

Leerlingengebruikeneengrootaantalverbeeldingenenhulpmiddelenomhetprobleemoptelossen.Sommigengebruiktentabellen,anderenfiches.Dezemethodeswordenindelaatstediscussiemetelkaargedeeld.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 9

ACTIVITEITE:MAAKEENLES,GEEFDELESENREFLECTEEROPDEUITKOMSTEN

Benodigdetijd:

• 15minutenbesprekingvoordeles• 1uurvoordeles• 15minutennadeles

Kieséénvandedrieproblemenwaarvanudenktdathetgeschiktisvooruwklas.Bespreekhoeu:

• Hetklaslokaalendebenodigdehulpmiddelenzalorganiseren.• Hetprobleembijdeleerlingenzalintroduceren.• Deleerlingenuitzalleggenhoezijsamengaanwerken.• Deleerlingenzaluitdagen/begeleidendiehetprobleemeenvoudig/moeilijkvinden.• Henzalhelpenalternatieveprobleemoplossendestrategieëntedelenenteleren.• Deleszalafsluiten.

Alsumeteengroepaandezemodulewerkt,kanhethandigzijnomelkedeelnemerhetzelfdeprobleemtelatenkiezen,aangezienditdenabesprekingvereenvoudigt.Nuudelesgegevenhebt,isdithetmomentomtereflecterenopwatergebeurdis.

• Welkehoeveelheidaanreactiesgavendeleerlingenopdezemaniervanwerken?Lekensommigenzelfverzekerd?Haddensommigenhulpnodig?Watvoorhulp?Waaromhaddenzehetnodig?

• Welkehulpenbegeleidingvoeldeuzichverplichtomtegeven?Waaromwasdit?Gafuteveelofteweinighulp?

• Welkeverschillendestrategieëngebruiktendeleerlingen?Deeltweeofdrieverschillendevoorbeeldenvanhetwerkvanleerlingen.

• Watdenktudatdeleerlingengeleerdhebbenvandezeles?

Alsertijdoveris,kuntuookdevideo’svandedocentenbekijkenwaarbijzijreflecterenophuneigenlessenvanhettafeltennis-ensnoepdoosprobleem.

(c)CentreforResearchinMathematicsEducation,UniversityofNottingham2010 10

AANBEVOLENLITERATUURLIJST

DebrontekstvoorhetvragenaanleerlingenomwiskundigtedenkenMason,J.,Burton,L.andStacey,K.(1982)ThinkingMathematically,London:Addison-WesleyHetboekdatheelveelvanhetonderzoeknaarprobleemoplossendeheuristiekheeftgeïnspireerd(ofwattedoenalsje’vast’zit)Polya,G.(1957)HowtoSolveIt:ANewAspectofMathematicalMethod,(2eEd)PenguinScience.REFERENTIES

Wood,D.(1988).HowChildrenThinkandLearn.OxfordandCambridge,MA:Blackwell.Wood,D.,Bruner,J.,&Ross,G.(1976).Theroleoftutoringinproblemsolving.Journalofchild

psychologyandpsychiatry,17,89-100.