henri lombardi - formes bilin´eaires sym´etriqueshlombardi.free.fr/publis/alg4-1.pdfformes...

Formes bilineaires symetriques

Licence-L2 Mathematiques

H. Lombardi(∗)

18 septembre 2008

Livres de reference– Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudies.

Cours de mathematiques 1 Algebre. Dunod. Reedition 2003.

– Joseph Griffone. Algebre lineaire. Cepadues-Editions. 1990.

– Jean-Pierre Escofier. Toute l’algebre du 1ercycle. Dunod. 2002.

NB : ces notes de cours correspondent au programme 2007-2008.

Table des matieres

C’est ici ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

1 Formes bilineaires symetriques. Premiers pas. 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rappels sur les applications lineaires, les formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . 2

Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Independance lineaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Independance lineaire de formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Forme bilineaire sur le produit de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 4Expression matricielle d’une forme bilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Forme bilineaire non degeneree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Forme bilineaire symetrique sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 7Expression matricielle sur une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Orthogonalite, diagonalisation d’une forme bilineaire symetrique . . . . . . . . 8

2 Espaces vectoriels euclidiens 92.1 Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Inegalite de Cauchy-Schwarz, norme, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

∗ Equipe de Mathematiques, UMR CNRS 6623, UFR des Sciences et Techniques, Universite de Franche-Comte, 25030 BESANCON cedex, FRANCE, email: [email protected]

i

ii Mathematiques. L2. TABLE DES MATIERES

2.2 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Bases orthonormees et matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Orientation et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Produit mixte et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Produit vectoriel (en dimension n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Applications lineaires/orthogonalite 153.1 Operateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Endomorphismes symetriques d’un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . 15

Premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Diagonalisation sur une base orthonormee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Formes bilineaires symetriques sur un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . 17Geometrie d’une application lineaire entre deux espaces euclidiens . . . . . . . . 17

3.4 Isometries d’un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Isometries en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Isometries en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Isometries en dimension finie arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Espaces hermitiens (complexes) 234.1 Produit scalaire hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Procede d’othogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Inegalite de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Bases orthonormees et matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Endomorphismes hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Diagonalisation sur une base orthonormee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Isometries lineaires (applications unitaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Le groupe unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Diagonalisation sur une base orthonormee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Diagonalisation d’une forme hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Geometrie d’une application lineaire entre deux espaces hermitiens . . . . . . . 29Diagonalisation des endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Formes bilineaires symetriques. Theorie generale. 315.1 Matrice de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Orthogonalite, isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Vecteurs et sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Noyau et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Restriction d’une forme bilineaire symetrique a un sous-espace vectoriel . . . . 33Vecteurs et sous-espaces isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Base orthogonale, (( diagonalisation )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Base orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIERES iii

Cas des espaces complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Cas des espaces reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Formes quadratiques 396.1 Definitions, propriete caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Reduction d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

La methode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Coniques et quadriques affines 437.1 Espaces reels affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Introduction au plan reel affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Definition moderne d’un espace affine reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Remarques diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Changement de repere affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Fonctions polynomiales sur un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Polynomes de degre 6 2 sur une droite affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Classification complete des polynomes de degre 6 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 47Dans quelle mesure une courbe de degre 2 est-elle determinee par son equation ? 48Coniques degenerees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 Les quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50L’herbier des quadriques non degenerees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Classification complete en degre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8 Complements de geometrie 538.1 La methode des moindres carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 Les isometries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.3 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Ellipses, hyperboles et paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Intersection avec une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Symetries d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Sections coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Points conjuges par rapport a une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Les deux formes quadratiques associees a une conique . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.4 Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Les droites qui coupent trois droites de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Intersection avec un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Points conjugues par rapport a une quadrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Les deux formes quadratiques associees a une quadrique . . . . . . . . . . . . . . 60

1 Formes bilineaires symetriques. Premiers pas.

Contexte

Nous etudions certains objets qui se presentent naturellement dans le cadre des espacesvectoriels.

Ces espaces vectoriels seront des espaces vectoriels sur un corps K tel que Q, R, Q[√−1]

ou C.Il seront presque toujours de dimension finie, mais quelques definitions et resultats n’utilisent

pas cette hypothese.L’histoire commence avec la geometrie euclidienne et le theoreme de Pythagore, elle se

poursuit avec les geometries non euclidiennes, les series de Fourier, la methode des moindrescarres en analyse numerique, et les espaces de Hilbert en analyse abstraite (etude des espaces defonctions, ou chaque fonction est vue comme un simple point d’un espace de Hilbert, a definiravec soin).

1.1 Introduction

Introduisons notre sujet avec un peu de geometrie et le theoreme de Pythagore.Rappelons tout d’abord un enonce de ce theoreme.

Theoreme 1.1 Si ABC est un triangle rectangle en B alors le carre construit sur l’hy-pothenuse AC est la somme des carres construits sur les cotes BA et BC.

Une preuve du theoreme de Pythagore repose toujours sur un minimum de theorie desparalleles. Cette theorie permet par exemple d’affirmer que si un quadrilatere a 3 angles droits,alors le quatrieme angle est droit aussi. Un autre presuppose est qu’une figure peut etre deplaceed’un endroit a un autre dans le plan.

La figure ci-dessous peut servir a prouver le theoreme de Pythagore (( par puzzle )). Lespresupposes concernant la theorie des paralleles sont visualises sur la figure par le papier qua-drille, qui n’existe que parce que la somme des angles d’un quadrilatere est egale a 4 anglesdroits. L’aire mesuree en carreaux des deux petits carres est respectivement de 16 et 121, doncl’aire du grand est de 137. Sous forme algebrique : a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 = c2 + 2ab.

Figure 1 – Pythagore par puzzle soustractif

2 Mathematiques. L2. 1 FORMES BILINEAIRES SYMETRIQUES. PREMIERS PAS.

En fait il n’est pas besoin que les longueurs des petits cotes s’expriment par un nombreentier d’unites pour que la demonstration fonctionne : on supprime le quarillage et on fait subiraux morceaux 4, 5, 6, 7 les translations convenables.

Si maintenant on represente un plan euclidien par la methode des coordonnees de Descartes,laquelle est legitimee par la theorie des paralleles, on se place de fait dans un espace vectorielreel de dimension 2, on choisit un repere ou les vecteurs de base sont orthogonaux et de memelongueur (prise comme unite de longueur), et la longueur du segment AB s’exprime au moyen

des coordonnees (u, v) du vecteur−→AB sous la forme : AB2 = u2 + v2.

Maintenant l’orthogonalite des vecteurs−→AB et

−−→BC de coordonnees respectives (u, v) et

(x, y) s’exprime a l’aide de la reciproque du theoreme de Pythagore :

(u+ x)2 + (v + y)2 = (u2 + v2) + (x2 + y2), i.e., ux+ vy = 0.

Ainsi apparaıt le produit scalaire de deux vecteurs−→AB et

−−→BC non necessairement orthogo-

naux :AC2 − (AB2 + AC2)

2=−→AB ·

−−→BC = ux+ vy.

C’est un polynome du second degre en u, v, x, y, separement lineaire en (u, v) et en (x, y), quipermet de controler a la fois la longueur des segments :

AB2 =−→AB ·

−→AB =

−→AB2,

et l’orthogonalite des droites :

(AB) ⊥ (BC) ⇐⇒−→AB ·

−−→BC = 0.

Naturellement l’histoire se mord la queue, et en prenant ce qui vient d’etre demontre pourdes definitions, on peut (( demontrer le theoreme de Pythagore par un simple calcul algebri-que )) : −→

AB ·−−→BC = 0 ⇐⇒ AB2 +BC2 = AC2

puisque−→AC =

−→AB +

−−→BC donne, par simple calcul algebrique,

−→AC2 =

−→AB2 +

−−→BC2 + 2

−→AB ·

−−→BC.

Mais ne nous y trompons pas, le vrai theoreme de Pythagore est ce qui fonde la definitiondu produit scalaire.

1.2 Rappels sur les applications lineaires, les formes lineaires et lecalcul matriciel

Applications lineaires

Si E et F sont des K-espaces vectoriels, les applications K-lineaires de E dans F formentun espace vectoriel que l’on note LK(E,F ), ou plus simplement L(E,F ) si le contexte est clair.

Si E et F sont de dimensions finies avec des bases E = (e1, . . . , en) et F = (f1, . . . , fm), uneapplication lineaire ϕ : E → F est caracterisee par sa matrice (aij)i∈J1..mK,j∈J1..nK = Mϕ ∈ Mm,n

definie par

ϕ(ej) =∑

i∈J1..mKaijfi (1)

1.2 Rappels sur les applications lineaires, les formes lineaires . . . 3

(la i-eme colonne de la matrice represente l’image du i-eme vecteur de base dans l’espace dedepart, exprimee sur la base de l’espace d’arrivee).

Par ailleurs, l’ensemble Mm,n est un K-espace vectoriel dont une base est formee par les mnmatrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un, egal a 1.

Le corps K peut etre vu comme un K-espace vectoriel de dimension 1, avec 1 = 1K commebase canonique.

Du point de vue matriciel, les elements de E et F , ecrits sur les bases E et F , sont vuscomme des vecteurs colonnes (comme si c’etait des elements de L(K, E) et L(K, F )), et l’egaliteϕ(x) = y admet la traduction matricielle suivante

ϕ(x) = y ⇐⇒ MX = Y (X =E,E x, Y =F,F y, M =L(E,F ),E,F)ϕ (2)

Supposons maintenant que E ′ soit une autre base de E et que la matrice de passage de E a E ′soit la matrice inversible P ∈ Mn(K). Ses colonnes sont les vecteurs de E ′ exprimes sur la baseE . En d’autres termes P est la matrice de l’identite de E, avec la base E ′ au depart, et la baseE a l’arrivee :

P =L(E,E),E ′,E IdE

de sorte que pour x ∈ E, si X =E,E x et X ′ =E,E ′ x, on obtient X = PX ′.De meme supposons que F ′ soit une autre base de F et que la matrice de passage de F a

F ′ soit la matrice inversible Q ∈ Mn(K), de sorte que pour y ∈ F , si Y =F,F y et Y ′ =F,F ′ y,on a Y = QY ′.

Alors on obtient P X ′ = MQY ′, ce qui donne avec M ′ = Q−1M P :

M ′X ′ = Y ′ (X ′ =E,E ′ x, Y ′ =F,F ′ y, M ′ =L(E,F ),E ′,F ′ ϕ).

Formes lineaires

Un cas particulier important est l’espace des formes lineaires sur E, L(E,K), note souventE?, et appele espace dual de E. Une base de E? est la base duale de E , notee E? = (e?

1, . . . , e?n),

ou e?i est la i-eme forme coordonnee par rapport a la base E :

e?i

(∑jxjej

)= xi.

De sorte que la forme lineaire α : x 7→∑

i aixi s’ecrit sur la base E?

α =∑

iaie

?i .

La notation (e?1, . . . , e

?n) est tout a fait trompeuse dans la mesure ou elle peut laisser croire que

e?i ne depend que de ei. Or si par exemple on remplace e1 par e1 + e2 et si on garde e2, . . . , en,

c’est e?2 qui change et non pas e?

1. Par ailleurs si e1 est multiplie par a et si on garde e2, . . . , en,e?1 est divise par a (ceci s’appelle la contravariance).

Du point de vue matriciel, les elements de E, ecrits sur la base E , sont vus comme desvecteurs colonnes, les formes lineaires elements de E? sont vues comme des vecteurs lignes, entant qu’elements de L(E,K), ou E est muni de la base E et K de la base 1.

Quant a α(x) pour α ∈ E? et x ∈ E, il est obtenu au moyen du produit matriciel d’uneligne et d’une colonne

LX = α(x) (X =E,E x, L =E?,E? α, α(x) ∈ M1,1 ' K),

a condition d’identifier une matrice a une ligne et une colonne a son coefficient.


Remarque. Une maniere savante de reecrire les equations (1) qui definissent la matrice de ϕ surles bases E et F est la suivante :

aij = f ?i (ϕ(ej)) (i ∈ J1..mK, j ∈ J1..nK).

Independance lineaire de vecteurs

Dans un espace vectoriel de dimension finie, si des vecteurs sont donnes par leurs coordon-nees sur une base fixee, les questions de dependance lineaire peuvent se traiter en pratique parla methode du pivot.

Le rang d’une matrice est la dimension de l’espace vectoriel engendre par ses colonnes.C’est aussi le nombre maximum de vecteurs colonnes lineairement independants. C’est aussi ladimension de l’espace vectoriel engendre par les lignes de la matrice. Cette egalite des dimensionsresulte par exemple de la metode du pivot qui ramene la matrice a une forme simple au moyende transformations elementaires qui ne changent ni la dimension de l’espace engendre par lescolonnes, ni la dimension de l’espace engendre par les lignes.

Les questions de dependance lineaire ont aussi une traduction de nature plus theorique entermes de determinants de matrices extraites (les mineurs de la matrice) : le rang d’une matriceest egal a la taille du plus grand mineur non nul. En outre les relations de dependance lineaireentre colonnes (ou entre lignes) peuvent etre fournies par des identites de Cramer convenables.

Lorsque l’espace vectoriel n’est pas de dimension finie, ou lorsque l’on a du mal a exprimerles vecteurs sur une base fixee, les questions de dependance lineaire sont beaucoup plus delicates.

Independance lineaire de formes lineaires

En ce qui concerne les forme lineaires, l’independance lineaire d’un systeme (α1, . . . , αk) adeux significations intuitivement distinctes, dont on demontre l’equivalence.

La premiere est l’independance lineaire en tant qu’elements de l’espace vectoriel dual E?.La deuxieme correspond au point de vue des systemes lineaires. Il s’agit de l’independance

logique des contraintes introduites sur un element arbitraire x de E auquel on impose

α1(x) = · · · = αk(x) = 0.

Aucune des contraintes n’est impliquee par les autres, autrement dit pour chaque j on peuttrouver un xj tel que αi(xj) = 0 si i 6= j (i ∈ J1..kK), mais αj(xj) 6= 0.

La formulation geometrique de ce deuxieme point de vue est que l’intersection de k− 1 deshyperplans αi(x) = 0 n’est jamais contenue dans le k-eme hyperplan.

1.3 Forme bilineaire sur le produit de deux espaces vectoriels

Definition 1.2 E, F , G trois K-espaces vectoriels.

1. Une application β : E × F → G est dite bilineaire lorsque

(a) pour tout x ∈ E l’application β(x,−) : F → G, y 7→ β(x, y) est lineaire, et

(b) pour tout y ∈ F l’application β(−, y) : E → G, x 7→ β(x, y) est lineaire.

On note BilK(E,F ;G) l’ensemble des applications bilineaires de E × F dans G. Si lecontexte est suffisamment clair on note Bil(E,F ;G)

2. Une application bilineaire β : E×F → K est appelee une forme bilineaire sur E×F . Onnote BilK(E,F ) (ou Bil(E,F )) l’ensemble des formes bilineaires sur E × F .

1.3 Forme bilineaire sur le produit de deux espaces vectoriels 5

Remarque. On dit aussi (( β(x, y) est separement lineaire en x et y )) ou encore pour 1a) (( β estlineaire a droite )) et pour 1b) (( β est lineaire a gauche )).

Exemples.

1. Exemple fondamental.

Comment voir qu’une application β : E × F → K, exprimee au moyen des coordonneessur des bases E et F de E et F est une forme bilineaire ?

Reponse : β(x, y) = β(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) doit etre une expression polynomiale du type

β(x, y) = β(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) =∑

i∈J1..nK,j∈J1..mKbijxiyj (3)

ou les bij sont les elements de K definis par bij = β(ei, fj).

Par contre lorsque E et/ou F ne sont pas des K-espaces vectoriels de dimension finie, lachose est plus delicate.

2. Un autre exemple fondamental.

La dualite naturelle entre E et E? : pour x ∈ E et α ∈ E?, β(x, α) = α(x).

On note parfois 〈x |α〉 cette forme bilineaire canonique.

3. Le produit scalaire usuel sur Rn.

Avec x = (x1, . . . , xn) et y = (y1, . . . , yn), β(x, y) = x1y1 + · · ·+ xnyn.

4. Le produit scalaire de la relativite restreinte sur R4.

Avec e = (x, y, z, t) et e′ = (x′, y′, z′, t′), β(e, e′) = xx′ + yy′ + zz′ − tt′.

5. Notons C[0,1] = C([0, 1],R) l’espace des fonctions continues [0, 1] → R. Plusieurs formesbilineaires C[0,1] × C[0,1] → R sont couramment utilisees :

λ : (f, g) 7→∫ 1

0

f(t)g(t)dt

λh : (f, g) 7→∫ 1

0

h(t)f(t)g(t)dt

(f, g) 7→∑n

i=1wif(xi)g(xi)

(h est une fonction continue par morceaux, les wi sont des reels et les xi des points del’intervalle [0, 1]).

Le point 2. dans le fait suivant est une variation sur le theme ab×c =(ab

)c.

Proposition 1.3

1. L’ensemble Bil(E,F ) est un sous K-espace vectoriel de l’espace de toutes les applicationsE × F → K.

2. On a deux isomorphismes naturels{β 7→ βg

Bil(E,F ;G) → L(E,L(F,G))et

{β 7→ βd

Bil(E,F ;G) → L(F,L(E,G))

definis respectivement par βg(x)(y) = β(x, y) et βd(y)(x) = β(x, y), ou si l’on prefereβg(x)(−) = β(x,−) et βd(y)(−) = β(−, y)


3. Dans le cas des formes bilineaires on obtient des isomorphismes lineaires naturelsL(E,F ?) ' Bil(E,F ) ' L(F,E?).

Remarque. La notation Bil(E,F ;G) individualise bien E et F , tandis que l’expression(( application bilineaire de E × F dans G )) peut laisser croire que seule la structure d’espacevectoriel de E × F intervient dans la definition, ce qui n’est pas le cas.

Expression matricielle d’une forme bilineaire

Theoreme 1.4 Considerons des K-espaces vectoriels E et F de dimension finie admettant desbases E = (e1, . . . , en) et F = (f1, . . . , fm), et x ∈ E, y ∈ F :

1. Une forme bilineaire β : E × F → K est caracterisee par sa matrice sur les bases E et F((bij)i∈J1..nK,j∈J1..mK

)= B ∈ Mn,m(K) definie par

β(ei, fj) = bij.

2. Si X =E,E x et Y =F,F y sont les vecteurs colonnes representant x et y sur E et F , onobtient

β(x, y) = tXBY (4)

3. L’application β 7→ B de Bil(E,F ) vers Mn,m(K) definie au point 1. est un isomorphismelineaire.

4. Le K-espace vectoriel Bil(E,F ) est de dimension mn. Une base est donnee par les formesbilineaires qui correspondent aux matrices ayant un seul coefficient non nul, egal a 1.

Nous noteronsB =Bil(E,F ),E,F β

pour dire que B est la matrice de la forme bilineaire β sur les bases E et F .

Remarque. On peut verifier que la matrice de β : E × F → K sur E et F est la meme que lamatrice de βd : F → E? sur F et E?.Quant a la matrice de βg : E → F ? sur E et F?, c’est la transposee de la precedente, puisquecela revient a inverser l’ordre des facteurs E et F .

Exemples. On donne les matrices des formes bilineaires decrites precedemment.

Formule de changement de base

Supposons maintenant que E ′ soit une autre base de E avec la matrice de passage P ∈ Mn(K)de E a E ′. De meme supposons que F ′ soit une autre base de F avec la matrice de passageQ ∈ Mm(K) de F a F ′.

Alors si X et Y (resp. X ′ et Y ′) representent x et y sur les bases E et F (resp. sur les basesE ′ et F ′) on obtient

β(x, y) = tXB Y = t(PX ′)B(QY ′) = tX′( tPBQ)Y ′.

Cette egalite, vraie pour tous x, y caracterise la matrice de β sur les bases E ′ et F ′.Resumons.

Theoreme 1.5 Si P est la matrice de passage de E a E ′ et Q est la matrice de passage deF a F ′, si β ∈ Bil(E,F ) admet la matrice B sur les bases E et F , alors ϕ admet la matricetPBQ sur les bases E ′ et F ′.

Remarque. A comparer a la formule de changement de base pour la matrice d’une applicationK-lineaire.

1.4 Forme bilineaire symetrique sur un espace vectoriel 7

Forme bilineaire non degeneree

Une forme bilineaire β ∈ Bil(E,F ) est dite non degeneree si sa matrice sur des bases de Eet F est inversible (ceci sous-entend que les deux espaces aient la meme dimension finie). Vuela formule de changement de bases, cela ne depend pas des bases choisies.

Il revient au meme de dire βd ou βg est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.Nous ferons une etude de cette notion dans le cas des formes bilineaires symetriques.

1.4 Forme bilineaire symetrique sur un espace vectoriel

Une forme bilineaire β : E × E → K est dite symetrique si l’on a pour tous x, y ∈ E :β(x, y) = β(y, x). Il revient au meme de dire βg = βd.

On note BilsymK(E) (ou Bilsym(E) si le contexte est clair) le sous-ensemble de BilK(E,E)forme par les formes bilineaires symetriques.

Fait 1.6 BilsymK(E) est un sous-K-espace vectoriel de BilK(E).

Expression matricielle sur une base

Lemme 1.7 Considerons un K-espace vectoriel E de dimension finie admettant une base E =(e1, . . . , en). Soit β ∈ Bil(E,E) une forme bilineaire, de matrice B sur la base E. Alors β estsymetrique si et seulement si la matrice B est symetrique, ce qui signifie B = tB.

On note Sn(K) le sous-espace de Mn(K) forme par les matrices symetriques (i.e., B ∈ Sn(K)

si et seulement si B = tB). C’est un K-espace vectoriel de dimension n(n+1)2

. Une base de Sn(K)est formee par :

– les matrices nulles sauf un coefficient diagonal egal a 1,– les matrices nulles sauf deux coefficients en positions symetriques ((i, j) et (j, i) aveci 6= j) egaux a 1.

Les theoremes 1.4 et 1.5 donnent donc dans le cas des formes bilineaires symetriques lesresultats suivant.

Theoreme 1.8 Considerons un K-espace vectoriel E de dimension finie admettant une baseE = (e1, . . . , en), et x, y ∈ E :

1. Une forme bilineaire symetrique β : E × E → K est caracterisee par sa matrice sur labase E (

(bij)i,j∈J1..nK)

= B ∈ Sn(K)

definie par

β(ei, fj) = bij.

2. Si X =E,E x et Y =E,E y sont les vecteurs colonnes representant x et y sur E, on obtient

β(x, y) = tXB Y.

3. L’application β 7→ B de Bilsym(E) vers Sn(K) definie au point 1. est un isomorphismelineaire.

4. Le K-espace vectoriel Bilsym(E) est de dimension n(n+1)2

.


5. Si E ′ est une autre base de E et si P est la matrice de passage de E a E ′, la matrice B′

de β sur E ′ est egale aB′ = tPBP.

En particulier det(B′) = det(P )2 det(B).

Remarque. Comparer la derniere formule avec celle obtenue pour les changements de baseconcernant la matrice d’une application K-lineaire de E dans E.

Orthogonalite, diagonalisation d’une forme bilineaire symetrique

Ce paragraphe ne contient que des definitions.

Deux vecteurs x, y de l’espace vectoriel E sont dits orthogonaux pour la forme bilineairesymetrique β si β(x, y) = 0. On note aussi x ⊥β y, ou, si le contexte est clair, x ⊥ y.

Si E est de dimension finie, une base E de E est dite orthogonale pour β si elle est formeede vecteurs deux a deux orthogonaux.

Il revient au meme de dire que la matrice de β sur E est diagonale.

On dit encore diagonaliser la forme β pour (( determiner une base orthogonale pour β )).Du point de vue du calcul matriciel, si on connaıt la matrice B de β sur une premiere base,diagonaliser β revient a determiner une matrice inversible P telle que tP B P soit diagonale.

2 Produit scalaire (sur un espace reel), espaces eucli-

diens

2.1 Produit scalaire et norme

Produit scalaire

Definition 2.1 Une forme bilineaire symetrique β sur un espace vectoriel reel E est dite po-sitive (resp. negative) si pour tout x ∈ E, on a β(x, x) > 0 (resp. β(x, x) 6 0).Elle est dite definie si β(x, x) = 0 implique x = 0.

Exemples. Une forme bilineaire symetrique definie positive.Une positive mais pas definie.Une ni positive ni negative.

Fait 2.2 Soit β une forme bilineaire symetrique sur un espace reel.

1. Si β(x, x) > 0 et β(y, y) < 0 alors x et y sont lineairement independants et le planVect(x, y) contient un vecteur z 6= 0 tel que β(z, z) = 0 (on dit alors que z est isotropepour β).

2. Si β est definie elle est necessairement definie positive ou definie negative.

Definition 2.3

1. On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel reel E une forme bilineaire symetriquedefinie positive.

2. On appelle espace prehilbertien reel un couple (E, 〈•, •〉) ou E est espace vectoriel reel et〈•, •〉 : E × E → R, (x, y) 7→ 〈x, y〉 est un produit scalaire.

3. On appelle espace vectoriel euclidien un espace prehilbertien reel (E, 〈•, •〉) lorsque E estespace vectoriel reel de dimension finie.

4. On appelle espace affine euclidien un triplet (E , E, 〈•, •〉) ou (E , E) est un espace affinereel de dimension finie et (E, 〈•, •〉) est un espace vectoriel.

Dans la suite nous parlerons d’espace euclidien en sous-entendant en general espace vectorieleuclidien.

Exemples.

Inegalite de Cauchy-Schwarz, norme, distance

Soit E espace vectoriel prehilbertien

Pour u ∈ E, on note ‖u‖ =√〈u, u〉.

Theoreme 2.4 Pour x, y ∈ E, on a

|〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖ (5)

Il y a egalite si et seulement si x et y sont colineaires.

10 Mathematiques. L2. 2 ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

Theoreme 2.5 L’application u 7→ ‖u‖ =√〈u, u〉 est une norme sur E, c’est-a-dire une

application E → R+ satisfaisant les 3 conditions suivantes :

1. ‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0 (u ∈ E).

2. ‖a u‖ = |a| ‖u‖ (a ∈ R, u ∈ E).

3. ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖ (u, v ∈ E).

Si (E , E) est un espace affine euclidien, l’application

d : E × E → R+, (M,N) 7→ d(M,N) =∥∥∥−−→MN

∥∥∥est une distance.

Remarque. Expressions sur une base orthonormee, pour l’inegalite de Cauchy-Schwarz, pourl’inegalite triangulaire. Le resultat obtenu n’est pas si evident a priori. Cela semble encoremoins evident avec des produits scalaires sur des espaces de fonctions.En sens contraire, on peut noter que les deux inegalites ne concernent finalement que deuxvecteurs, donc que tout se passe dans un simple plan euclidien. En outre, si x 6= 0 et si l’onecrit y = ax + z avec 〈x, z〉 = 0, l’inegalite de Cauchy-Schwarz devient evidente par simplecalcul.

Remarque. Quelques relations

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 〈x, y〉‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2

(‖x‖2 + ‖y‖2)

‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 = 4 〈x, y〉

On reconnaıt le theoreme de Pythagore : x ⊥ y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

2.2 Orthogonalite

Fait 2.6 (systemes libres et orthogonalite)Soit E un espace prehilbertien reel.

1. Un systeme de vecteurs non nuls deux a deux orthogonaux dans E est libre.

2. Un systeme de vecteurs u1, . . . , ur dans E est libre si et seulement si sa matrice de GramG = (〈ui, uj〉)i,j∈J1..rK est inversible.

Procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt

Un exemple geometrique dans un espace euclidien de dimension 3. Petits dessins.

L’algorithme general.

On obtient comme consequence le theoreme suivant.

Theoreme 2.7 (Gram-Schmidt)

1. Si E = (e1, . . . , en) est une base d’un espace euclidien il existe une base orthogonaleF = (f1, . . . , fn) telle que pour chaque i ∈ J1..nK on ait

Vect(e1, . . . , ei) = Vect(f1, . . . , fi).

2.2 Orthogonalite 11

2. Formulation matricielle (un peu plus precise). Si B est une matrice symetrique reellepour une forme definie positive, il existe une unique matrice unitriangulaire superieure Ttelle que tT B T soit diagonale.

3. Soit B une matrice symetrique reelle. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(a) B est la matrice d’une forme definie positive.

(b) Il existe une matrice triangulaire inversible T telle que B = tT T .

(c) Il existe une matrice inversible P telle que B = tP P .

Bases orthonormees et matrices orthogonales

Theoreme 2.8 Dans un espace euclidien de dimension n il existe des bases orthonormees.L’expression du produit scalaire pour X =E,E u et Y =E,E v sur une base orthonormee E est〈u, v〉 = tX Y . La matrice de passage d’une base orthonormee a une autre est une matrice Pverifiant tP P = In. Une telle matrice est dite orthogonale. Les matrices orthogonales formentun sous-groupe de GLn(R). On le note On(R).

Remarque. Formulations equivalentes pour les marices orthogonales : si Ci et Cj sont deuxcolonnes, alors tCiCj = δij (symbole de Kronecker). Meme caracterisation avec les vecteurslignes, ce qui peut a priori etre un sujet d’etonnement. En fait cela correspond a une proprietefondamentale et non triviale du calcul matriciel : AB = In ⇒ BA = In.

Dualite

Proposition 2.9 Sur un espace euclidien E toute forme lineaire α : E → R s’ecrit de maniereunique sous forme x 7→ 〈a, x〉. La bijection a 7→ α, E → E? est un isomorphisme canonique enpresence du produit scalaire.

Remarque. En analyse on demontre le (( theoreme de representation de Riesz )) qui est uneextension remarquable de ce resultat au cas des espaces de Hilbert de dimension infinie, lesquelsconstituent la generalisation la plus interessante de la notion d’espace euclidien (notion naturelleet elementaire en dimension finie).

Sous-espaces orthogonaux

Theoreme et definition 2.10 Soit E un espace euclidien de dimension n, avec une baseorthonormee E.

1. Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a E = F ⊕ F⊥.

La projection de E sur F parallelement a F⊥ s’appelle la projection orthogonale sur F .On la notera πF .

2. Si u1, . . . , ur est une base orthonormee de F , on a pour x ∈ E,

πF (x) =∑r

i=1〈x, ui〉ui.

3. Si M est une matrice ayant pour colonnes les ui exprimes sur E, la matrice de πF surcette base est M tM .

4. Une matrice P ∈ Mn(R) represente une projection orthogonale (sur la base E) si etseulement si P = tP et P 2 = P .


Demonstration. 4. La condition P 2 = P caracterise les matrices de projection.

La condition tP = P est necessaire pour les projections orthogonales d’apres le point 3.

Voyons qu’elle est suffisante. Les vecteurs du noyau de P sont ceux de l’image de In − P . Direque tout vecteur du noyau est orthogonal a tout vecteur de l’image revient donc a dire quet(In − P )P = 0, ou encore P = tP P . Ceci resulte de P = tP et P 2 = P . 2

On va voir que ce theoreme se generalise pour une bonne part a un sous espace de dimensionfinie d’un espace prehilbertien complexe quelconque.

Theoreme 2.11 Soit E un espace prehilbertien reel, F un sous-espace de dimension finie etu1, . . . , ur une base orthonormee de F . Notons πF : E → F l’application lineaire definie parπF (x) =

∑ri=1 〈x, ui〉ui. Alors :

1. La restriction de πF a F est IdF .

2. F = ImπF , F⊥ = KerπF et E = F ⊕ F⊥.

3. Pour tout y ∈ F et tout x ∈ E, ‖x− y‖ > ‖x− πF (x)‖, et en cas d’egalite y = πF (x).

4. πF ne depend que de F (pas de la base orthonormee choisie), on l’appelle la projectionorthogonale de E sur F .

Exemple. Sommes trigonometriques et series de Fourier.

Exercice 2.1 Si E est de dimension finie muni d’une base orthonormee E et si M est une ma-trice ayant pour colonnes des generateurs independants de F exprimes sur E , alors l’expressionde la projection πF , vue comme endomorphisme lineaire de E, sur E est donnee par :

M(

tMM)−1 tM.

2.3 Orientation et volume

Le determinant est une application de Mn(R) dans R qui verifie notamment les deux pro-prietes fondamentales suivantes

det(AB) = det(A) det(B) et AA = AA = det(A) In.

Une matrice de changement de base etant inversible son determinant a un signe + ou −.La matrice du changement de base inverse est la matrice inverse et son determinant a le memesigne.

Deux bases sont dites de meme orientation si la matrice de passage de l’une a l’autre a undeterminant > 0. Dans le cas contraire elles sont dites d’orientation opposee.

Il s’ensuit que dans une espace vectoriel reel de dimension n, les bases peuvent etre rangeesen deux classes distinctes, toutes les bases d’une meme classe ayant la meme orientation, opposeea l’orientation de toutes les bases de l’autre classe.

A priori, tant que l’on n’a pas fixe de base de reference, cela n’a pas de sens de dire quel’une des deux orientations est positive et l’autre negative.

Orienter un espace vectoriel reel (de dimension finie) c’est preciser laquelle des deux classesest consideree comme etant d’orientation positive.

2.3 Orientation et volume 13

Produit mixte et volume

On se situe dans un espace euclidien oriente E de dimension n.

Pour u1, . . . , un ∈ E, le reel detE(u1, . . . , un), i.e. le determinant de ce systeme par rapport aune base orthonormee directe E , ne depend pas de la base choisie. On l’appelle le produit mixtedes vecteurs u1, . . . , un. On le note [u1, . . . , un].

Il s’agit de la generalisation en dimension n de la notion d’aire orientee d’un parallelogrammeen dimension 2, et de celle de volume oriente d’un parallelepipede en dimension 3. En dimensionn on parle du parallelotope construit sur les vecteurs u1, . . . , un.

Remarque. En dimension 2, le fait d’orienter les aires pour obtenir des formules additives uni-formes est une idee de genie, a rapprocher de la formule de Chasles, qui supprime les cas defigures par la simple vertu d’avoir remplace la longueur des segments sur une droite (munied’une orientation) par une longueur algebrique (une longueur avec un signe) : AC = AB+BC,quelle que soit la position respective des points A,B,C sur la droite.

Produit vectoriel (en dimension n > 3)

Fixons maintenant u1, . . . , un−1 et considerons le produit mixte [u1, . . . , un−1, x] comme uneforme lineaire en x. Il existe un unique vecteur w qui represente cette forme lineaire au sensque [u1, . . . , un−1, x] = 〈w, x〉 pour tout x.

On le note u1 ∧ · · · ∧ un−1. On l’appelle le produit vectoriel de u1, . . . , un−1.On a donc la propriete caracteristique

〈u1 ∧ · · · ∧ un−1, x〉 = [u1, . . . , un−1, x].

On a alors :

1. u1 ∧ · · · ∧ un−1 est orthogonal a chacun des ui,

2. si les ui sont deux a deux orthogonaux et s’ils sont de norme 1, (u1, . . . , un−1, u1∧· · ·∧un−1)est une base orthonormee directe,

3. si les ui sont lineairement independants (u1, . . . , un−1, u1∧· · ·∧un−1) est une base directe,

4. l’application (u1, . . . , un−1) 7→ u1 ∧ · · · ∧un−1 est multilineaire (i.e. separement lineaire enchacun des ui si on fixe les autres vecteurs) et alternee (elle s’annule si deux des vecteurssont egaux),

5. ‖u1 ∧ · · · ∧ un−1‖ est le volume du parallelotope construit sur u1, . . . , un−1,

6. u1 ∧ · · · ∧ un−1 = 0 si et seulement si les vecteurs sont lineairement dependants.

Par exemple en dimension 3, lorsque u1 et u2 sont non colinelaires, u1 ∧ u2 est le vecteur worthogonal au plan Vect(u1, u2), de norme ‖w‖ egale a l’aire du parallelogramme construit surles vecteurs u1 et u2, et oriente de facon a ce que la base u1, u2, w soit directe.

Expression du produit vectoriel sur une base orthonormee

Exemple en dimension 3 : x1

y1

z1

∧x2

y2

z2

=

y1z2 − z1y2

z1x2 − x1z2

x1y2 − y1x2

En fait : on developpe le determinant ∣∣∣∣∣∣

x1 x2 xy1 y2 yz1 z2 z

∣∣∣∣∣∣


selon la derniere colonne.

3 Applications lineaires et orthogonalite

Dans cette section (E, 〈•, •〉) est un espace vectoriel euclidien de dimension n.

3.1 Operateur adjoint

Proposition et definition 3.1 Pour tout endomorphisme (lineaire) ϕ : E → E il existe ununique endomorphisme ϕ? qui verifie

∀x, y ∈ E 〈x, ϕ(y)〉 = 〈ϕ?(x), y〉

On l’appelle l’endomorphisme adjoint de ϕ.Si F est la matrice de ϕ sur une base orthonormee E, tF est la matrice de ϕ? sur cette memebase.

Quelques proprietes immediates :

1. (ϕ+ ψ)? = ϕ? + ψ?.

2. (ϕ?)? = ϕ.

3. (aϕ?) = aϕ?.

4. (ϕ ◦ ψ)? = ψ? ◦ ϕ?.

3.2 Endomorphismes symetriques d’un espace vectoriel euclidien

Dans cette section . . .

Premieres proprietes

Definition 3.2

1. Un endomorphisme ϕ de E est dit symetrique si pour tous x, y ∈ E on a 〈ϕ(x), y〉 =〈x, ϕ(y)〉, autrement dit si ϕ = ϕ?. Si F est la matrice de ϕ sur une base orthonormee deE, cela signifie que F = tF .

2. On note S (E) l’ensemble des endomorphismes symetriques de E : c’est un espace vecto-

riel reel de dimension n(n+1)2

.

Une propriete cruciale

Lemme 3.3 Soient u et v des vecteurs propres d’un endomorphisme symetrique pour des va-leurs propres reelles distinctes. Alors u ⊥ v.

Demonstration. λu 〈u, v〉 = 〈ϕ(u), v〉 = 〈u, ϕ(v)〉 = λv 〈u, v〉. 2

Les projections orthogonalesOn a deja vu (theoreme 2.10 page 11) qu’une matrice de projection P est la matrice d’une

projection orthogonale si et seulement si P = tP . Autrement dit, en terme d’application lineaire,une projection E → E est symetrique si et seulement si c’est une projection orthogonale.

On peut donner une nouvelle demonstration du fait qu’une projection symetrique est ortho-gonale en utilisant le lemme 3.3.

16 Mathematiques. L2. 3 APPLICATIONS LINEAIRES/ORTHOGONALITE

Les symetries orthogonalesSi E = F ⊕ G la symetrie par rapport a F dans la direction G est l’application lineaire

definie par σ(x+ y) = x− y si x ∈ F et y ∈ G.On sait qu’une application lineaire σ : E → E est une symetrie si et seulement si σ2 = IdE :

c’est la symetrie par rapport a K1 = Ker(σ − IdE) dans la direction de I1 = Ker(σ + IdE), quisont deux sous-espaces supplementaires. En outre Ker(σ−IdE) = Im(σ+IdE) et Ker(σ+IdE) =Im(σ − IdE).

Une symetrie est dite orthogonale lorsque les deux sous-espaces supplementaires K1 et I1sont orthogonaux.

Fait 3.4

1. Une symetrie est orthogonale si et seulement si c’est un endomorphisme symetrique.

2. Soit S la matrice d’une application lineaire σ par rapport a une base orthonormee. Alorsles proprietes suivantes sont equivalentes :

(a) σ est une symetrie orthogonale.

(b) S2 = IdE et tS = S.

(c) La matrice S est symetrique et orthogonale, i.e. tS = S et S tS = IdE.

Demonstration. 1. La condition est necessaire : par calcul direct en decomposant les vecteurssur la somme directe orthogonale. La condition est suffisante d’apres le lemme 3.3. 2

Diagonalisation sur une base orthonormee

Lemme 3.5 Soit ϕ un endomorphisme symetrique et F un sous-espace de E stable par ϕ (i.e.ϕ(F ) ⊆ F ), alors F = ϕ(F ) et F⊥ est stable par ϕ.

Lemme 3.6 Soit M une matrice representant un endomorphisme symetrique ϕ. Alors toutevaleur propre de M est reelle.

Demonstration. On calcule avec une base orthonormee. Si MX = λX avec λ ∈ C et X ∈Mn,1(C), on ecrit

tXM X = λ tX X

et puisque tM = M , on obtient tXM = tX tM = t(MX) = λ tX, d’ou

tXM X = λ tX X

En comparant les deux, puisque tX X =∑

i xixi est un reel > 0, on obtient λ = λ. 2

Theoreme 3.7

1. Un endomorphisme de E est symetrique si et seulement si il est diagonalisable sur unebase orthonormee.

2. Une matrice M ∈ Mn(R) est symetrique si et seulement si il existe une matrice P ∈ On(R)et une matrice diagonale reelle D ∈ Mn(R) telles que M = P−1DP .

Demonstration. Resulte par recurrence des deux lemmes precedents. 2

Remarque. Pour faire fonctionner la preuve par recurrence, il suffit de savoir qu’au moins unevaleur propre est reelle. Ce resultat partiel peut etre obtenu sans passer par les complexes enconsiderant une valeur extremale de la fonction x 7→ 〈ϕ(x), x〉 restreinte a la sphere ‖x‖ = 1 (unevaleur extremale existe parce que la sphere est compacte). Si la valeur extremale est obtenue ena alors l’hyperplan tangent a la sphere doit etre confondu, au point a, avec l’hyperplan tangenta la surface 〈ϕ(x), x〉 = 〈ϕ(a), a〉. Un peu de calcul differentiel montre que ceci signifie que lesvecteurs a et ϕ(a) sont proportionnels.

3.3 Formes bilineaires symetriques sur un espace euclidien 17

3.3 Formes bilineaires symetriques sur un espace euclidien

Diagonalisation sur une base orthonomee

Theoreme 3.8 Toute forme bilineaire symetrique β sur E peut etre diagonalisee sur une baseorthonormee, autrement dit il existe une base orthonormee E = (e1, . . . , en) telle que β(ei, ej) =0 si i 6= j.

Sous forme un peu plus abstraite : sur un espace reel de dimension finie, etant donnee deuxformes bilineaires symetriques dont l’une est definie positive, il existe une base qui est orthogo-nale pour chacune des deux formes.

Demonstration. On considere la matrice de la forme dans une base orthonormee et on appliquele theoreme 3.7 page ci-contre. 2

Exemples.

1) Les axes d’une ellipse qui n’est pas un cercle. Les axes d’une hyperbole.

2) Classification des ellipsoıdes et hyperboloıdes dans l’espace euclidien. Cas ou il y a un axe derevolution. Les axes d’un ellipsoıde. Les axes d’un hyperboloıde a une nappe ou a deux nappes.

Geometrie d’une application lineaire entre deux espaces euclidiens

On considere un isomorphisme lineaire ϕ : E → F entre deux espaces euclidiens. La struc-ture metrique donnee par le produit scalaire n’est generalement pas conservee par ϕ. Celasignifie que l’application lineaire ϕ deforme les objets.

Pour comprendre cette deformation, on considere l’image de la sphere unite S de E. C’estun ellipsoıde S ′ de F , d’equation β′(x, x) = 1, ou β′(x, y) = 〈ϕ−1(x), ϕ−1(y)〉 (il s’agit biend’une forme definie positive sur F ).

On considere une base orthonormee F ′ = (f ′1, . . . , f′n) de F pour laquelle l’equation de S ′

est∑

i aix2i = 1 (ai > 0). Cela signifie que les f ′i sont orthogonaux pour β′, donc que les

e′i = ϕ−1(f ′i) sont orthogonaux pour le produit scalaire dans E, avec ‖e′i‖2E = ai. En prenant

bi = 1/√ai l’equation de S ′ est

∑i(

xi

bi)2 = 1 : les bi representent donc les demi-longueurs des

axes de l’ellipsoıde, et si ei = e′i/‖e′i‖ , on obtient bi = ‖ϕ(ei)‖. Les bi sont appeles les valeurssingulieres de ϕ.

On obtient ainsi la (( forme )) de toutes des (( deformations )) lineaires.

Theoreme 3.9

1. Tout isomorphisme lineaire entre deux espaces euclidiens admet une matrice diagonalepositive pour deux bases orthonormees convenables de E et F . Les elements diagonauxranges par ordre croissant, 0 < λ1 6 . . . 6 λn sont appeles les valeurs singulieres del’application lineaire ϕ.

2. Si ϕ s’exprime par une matrice M sur des bases orthonormees E et F de E et F , les λ2i

sont les valeurs propres de tMM .

3. Toute matrice M ∈ GLn(R) s’ecrit sous forme PDQ avec P,Q ∈ On(R) et D diagonalepositive. Les elements diagonaux ranges par ordre croissant, 0 < λ1 6 . . . 6 λn sontappeles les valeurs singulieres de la matrice M .


On peut aussi donner une preuve matricielle du resultat precedent. On note que tMM estune matrice symetrique definie positive, qui peut donc s’ecrire tQD2Q avec Q ∈ On(R) et Ddiagonale positive. On pose alors P = M(DQ)−1 = M tQD−1 et on calcule tP P :

tP P = D−1Q tMM tQD−1 = D−1Q tQD2Q tQD−1 = D−1D2D−1 = In.

Remarque. Lorsque toutes les valeurs singulieres sont egales, la deformation consiste en unsimple changement d’echelle (une homothetie composee avec une isometrie). Le coefficient dedeformation, au sens intuitif de la chose, est donc λn/λ1. Ce coefficient joue un grand role enanalyse numerique matricielle.

3.4 Isometries d’un espace vectoriel euclidien

Le groupe orthogonal

Pour un espace euclidien E on est interesse par les isomorphismes lineaires de E quiconservent la distance euclidienne d(x, y) = ‖x− y‖.

Theoreme et definition 3.10 Soit E un espace euclidien de dimension n.

1. Pour une application lineaire ψ : E → E les proprietes suivantes sont equivalentes :

(a) ψ conserve la distance euclidienne.

(b) ψ conserve la norme.

(c) ψ conserve le produit scalaire.

(d) L’image d’une base orthonormee est une base orthonormee.

(e) L’image de toute base orthonormee est une base orthonormee.

(f) La matrice de ψ sur une base orthonormee est orthogonale.

Une telle application lineaire est appelee une isometrie lineaire, ou encore un endomor-phisme orthogonal.

2. Les isometries lineaires de E forment un sous-groupe du groupe lineaire, appele le groupeorthogonal de E, et note O(E). Apres choix d’une base orthonormee on peut identifierO(E) et On(R).

3. Le determinant d’une isometrie est egal a ±1. Les isometries de determinant 1 sontdites directes, les autres indirectes. Les isometries directes forment un sous-groupe noteSO(E). Le groupe des matrices orthogonales directes est note SOn(R). Apres choix d’unebase orthonormee on peut identifier SO(E) et SOn(R).

Remarque. Isometries en dimension 1. Il y a seulement Id et −Id.

Isometries en dimension 2

Petits dessins.

Proposition et definition 3.11 (Rotations)On considere un plan euclidien (vectoriel) oriente.

1. Une rotation est une isometrie qui admet une matrice Ma,b =

[a −bb a

]sur une base

orthonormee directe, avec a2 + b2 = 1.

3.4 Isometries d’un espace vectoriel euclidien 19

2. La matrice reste la meme par rapport a n’importe quelle base orthonormee directe. Par

rapport a une base orthonormee indirecte, la matrice devient

[a b−b a

].

3. Il existe un reel θ, unique modulo 2π pour lequel Ma,b = Rθ =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]. On dit

que θ est l’angle de la rotation.

Changer l’orientation du plan, c’est-a-dire celle d’une base de reference, revient a rem-placer θ par −θ.

4. Les rotations forment un groupe commutatif :

Ma,bMa′,b′ = Maa′−bb′,ab′+a′b = Ma′,b′Ma,b, Ma,bMa,−b = I2.

L’applicationθ 7→ la rotation dont la matrice est Rθ

est un homomorphisme du groupe (R,+) sur le groupe des rotations : RθRθ′ = Rθ+θ′.

5. La symetrie par rapport a 0, ou demi-tour, de matrice −I2 est l’unique rotation qui soitune symetrie.

Fait 3.12 Sur un espace euclidien E oriente de dimension 2 on a les deux types d’isometrieslineaires suivants :

1. Les isometries directes, ce sont les rotations, qui admettent sur une base orthonormee

directe une matrice Rθ =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

].

Le groupe SO(E) des isometries directes est isomorphe au groupe SO2(R) des matricesorthogonales directes.

2. Les isometries indirectes. Toute isometrie indirecte est une symetrie orthogonale (parrapport a une droite). Sur une base orthonormee arbitraire elle admet une matrice du

type

[cos θ sin θsin θ − cos θ

]: l’axe de la symetrie porte le vecteur (cosα, sinα), ou 2α = θ.

Remarque. Toute matrice S ∈ M2(R) de trace nulle et de determinant −1 est la matrice de lasymetrie par rapport a Ker(S − I2) dans la direction de Ker(S + I2). Pour que la symetrie soitorthogonale il faut qu’en plus la matrice soit symetrique.

Angles et angles orientes

Dans un espace prehilbertien reel arbitraire on peut attribuer un angle θ a deux vecteursnon nuls u, v en posant cos θ = 〈u, v〉 / ‖u‖ ‖v‖. Ceci definit un angle sur [0, π] en radians, ousur [0, 1/2], en tour. Il ne change pas si on change l’ordre des vecteurs. C’est ce qui ressemblele plus aux angles des Grecs : les trois angles d’un triangle sont comptes en degres, entre 0 et180, ou en fraction de tour.

Dans un plan euclidien oriente, on peut definir l’angle d’une rotation, ou d’un couple devecteurs non nuls, ou d’un couple de demi-droites, comme un element de R mod 2π. Nousnoterons ici A(u, v) l’angle des deux vecteurs non nuls (u, v), pris dans cet ordre.

Le gros avantage est la formule de Chasles : A(u, v) +A(v, w) = A(u,w), quelle que soit lasituation relative des trois vecteurs !

S’il s’agit d’un plan affine euclidien, pour tout triangleABC on aA(−→AB,

−→AC)+A(

−→CA,

−−→CB)+

A(−−→BC,

−→BA) = A(

−→AB,

−→BA) = π.


Dans un plan euclidien oriente on peut aussi definir l’angle d’un couple de droites commeun nombre reel defini modulo π, a partir de l’angle de deux vecteurs dirigeant ces deux droites.

Ici aussi le grand avantage est la formule de Chasles.On a alors dans un plan affine euclidien la jolie formule A((AB), (AC))+A((CA), (CB))+

A((BC), (BA)) = A((AB), (BA)) = 0, qui aurait beaucoup etonne les Grecs, qui pensaientque la somme des angles d’un triangle faisait deux droits.

Petite note historique. En fait la nature d’un angle n’est pas un nombre, et les Grecs auraienttrouve aberrante l’idee qu’un angle puisse etre un nombre. Le nombre ne constitue que la mesurede l’angle. D’ailleurs c’est un nombre un peu bizarre car il n’est defini que modulo 2π.Les mathematiques abstraites reprennent un point de vue plus proche des Grecs et definissent unangle comme une rotation vectorielle. Dans ce cadre l’angle d’une rotation c’est (( elle-meme )) !et il n’y a pas besoin d’orienter le plan. Quant a l’angle d’un couple (u, v) de vecteurs nonnuls, ce n’est pas (( lui-meme )), mais la rotation qui transforme u/ ‖u‖ en v/ ‖v‖. On a memeenseigne ceci a des lyceens dans des annees etranges.Il y avait alors deux fonctions cosinus. La fonction cosinus usuelle cos : R → [−1,+1], et lafonction (( cosinus d’un angle dans un plan oriente )), que l’on notait Cos.

Ainsi on avait Cos(ρ) = a si la matrice de ρ est

[a −bb a

], ou encore, puisque l’on identifiait

une rotation et une matrice de rotation, Cos

([cos θ − sin θsin θ cos θ

])= cos θ.

Il paraıt meme que cela plaisait a certains eleves.

Isometries en dimension 3

Proposition et definition 3.13 (Rotations et antirotations)On considere un espace euclidien oriente de dimension 3.

1. Une rotation ρ est une isometrie qui admet la valeur propre 1 avec multiplicite 1. Si uest un vecteur propre correspondant de norme 1 (il definit l’unique droite propre ∆ = Rupour la valeur propre 1), le plan P = u⊥ est stable et la restriction de ρ a P est unerotation.

2. Si l’espace est oriente, si on oriente la droite ∆ par u et si (u, v, w) est une base ortho-normee directe la matrice de ρ est determinee de maniere unique, de la forme 1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

et on dit que ρ est une rotation d’axe ∆ (oriente) et d’angle θ.

3. Une antirotation ρ′ est une isometrie qui admet la valeur propre −1 avec multiplicite1. Si u est un vecteur propre correspondant de norme 1 (il definit l’unique droite propre∆ = Ru pour la valeur propre −1), le plan P = u⊥ est stable et la restriction de ρ a Pest une rotation.

Si l’espace est oriente, si on oriente la droite ∆ par u et si (u, v, w) est une base ortho-normee directe la matrice de ρ est determinee de maniere unique, de la forme−1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

θ 6≡ π mod 2π

et on dit que ρ est une antirotation d’axe ∆ (oriente) et d’angle θ, ou encore une antiro-tation de plan Π (si Π = ∆⊥).

3.4 Isometries d’un espace vectoriel euclidien 21

Fait 3.14 Sur un espace euclidien E oriente de dimension 3 on a les types d’isometries line-aires suivants :

1. L’identite.

2. Les isometries directes distinctes de Id. Ce sont les rotations. Parmi celles-ci les symetriesorthogonales par rapport a une droite sont les rotations d’un demi tour.

Le groupe SO(E) des isometries directes est isomorphe au groupe SO3(R) des matricesorthogonales directes.

3. La symetrie par rapport a 0 de matrice −I3.

4. Les isometries indirectes distinctes de la precedente. Ce sont les antirotations. Les anti-rotations d’angle nul sont les symetries orthogonales par rapport a des plans.

NB : On peut voir la symetrie par rapport a 0 comme une antirotation d’un demi-tour dansn’importe quel plan.

Isometries en dimension finie arbitraire

Proposition 3.15 Soit ψ un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien E.

1. Si F est un sous-espace stable par ψ, alors F⊥ egalement.

2. Les seules valeurs propres reelles sont ±1.

3. Considerons la matrice P de ψ sur une base orthonormee.

(a) Les valeurs propres complexes de P sont de module 1.

(b) Si X est un vecteur propre complexe de P pour la valeur propre non reelle λ =cos θ+ i sin θ (θ 6≡ 0 mod π), le vecteur W est vecteur propre pour la valeur propre λ.

(c) Le plan reel H engendre par les vecteurs X +X et i(X −X) est fixe par P .

(d) La restriction de ψ a H est une rotation d’angle ±θ.

Theoreme 3.16 Soit ψ une isometrie d’un espace euclidien E.L’espace E peut etre decompose en une somme directe orthogonale

E+1 ⊕ E−1 ⊕⊕

iHi

ou E+1 = Ker(ψ − IdE), E−1 = Ker(ψ + IdE) et chaque Hi est un plan vectoriel fixe par ψ, larestriction de ψ a Hi etant une rotation d’angle θi 6≡ π mod 2π.

Corollaire 3.17 1. En dimension impaire, il y a au moins un vecteur propre de valeurpropre ±1.

2. L’isometrie est directe si et seulement si la dimension du sous-espace propre pour la valeurpropre −1 est paire.

4 Espaces hermitiens (complexes)

4.1 Produit scalaire hermitien

Sur l’espace vectoriel complexe V = Cn on peut definir une norme en posant

‖z‖ =√∑

j |zj|2 pour z = (z1, . . . , zn).

En effet si zj = xj + iyj avec xj, yj ∈ R on trouve la norme euclidienne usuelle sur l’espace R2n.

Notons que∑

j |zj|2 =∑

j zjzj.Nous allons donner un traitement general de ce type de norme sur un espace vectoriel

complexe, base sur les proprietes algebriques de l’application (( produit scalaire ))

V × V → C definie par ((z1, . . . , zn), (t1, . . . , tn)) 7→∑

j zjtj

Nous allons voir qu’en fait pour les espaces de dimension finie, il n’y a rien de plus que ceque nous venons de dire, car tout espace hermitien admet une base orthonormee.

Definitions

Definition 4.1 Soit E un espace vectoriel complexe. Une application ϕ : E × E → C estappelee un produit scalaire hermitien si les egalites suivantes sont verifiees (pour z, z′, t, t′ ∈ Eet a ∈ C)

1. linearite a droite :– ϕ(z, t+ t′) = ϕ(z, t) + ϕ(z, t′)– ϕ(z, at) = aϕ(z, t)

2. antilinearite a gauche :– ϕ(z + z′, t) = ϕ(z, t) + ϕ(z′, t)– ϕ(az, t) = aϕ(z, t)

3. (( symetrie )) ϕ(z, t) = ϕ(t, z)

4. positivite : ϕ(z, z) ∈ R+

5. non degenerescence : ϕ(z, z) = 0 ⇒ z = 0

On dit aussi forme hermitienne definie positive, conformement aux precisions suivantes.

Definition 4.2 Avec les notations de la definition precedente

6. On parle des forme sesquilineaire quand les items 1. et 2. sont satisfaits.

7. Deux elements z1, z2 de E sont dit orthogonaux (pour la forme ϕ) si ϕ(z1, z2) = 0. Unelement orthogonal a lui meme est dit isotrope.

8. On parle de forme hermitienne quand les items 1., 2. et 3. sont satisfaits.

9. Une forme hermitienne est dite positive lorsque ϕ(x, x) > 0 pour tout x

10. Une forme hermitienne est dite definie lorsque 0 est le seul vecteur isotrope.

La theorie des formes hermitiennes est l’equivalent complexe de la theorie des formes biline-aires symetriques reelles.

Definition 4.3

1. On appelle espace prehilbertien complexe un couple (E, 〈•, •〉) ou E est espace vectorielcomplexe et 〈•, •〉 : E × E → R, (x, y) 7→ 〈x, y〉 est un produit scalaire hermitien.

2. On appelle espace hermitien un espace prehilbertien complexe (E, 〈•, •〉) lorsque E estespace vectoriel complexe de dimension finie.

24 Mathematiques. L2. 4 ESPACES HERMITIENS (COMPLEXES)

Dans la suite (E, 〈•, •〉) est un espace vectoriel prehilbertien complexe

Procede d’othogonalisation de Gram-Schmidt

Lemme 4.4 Un systeme de vecteurs non nuls deux a deux orthogonaux est libre.

On montre ensuite le procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. On reprend le calculqui avait ete fait pour un espace euclidien.

On part de z1, . . . , zn lineairement independants. On construit de proche en proche en sys-teme t1, . . . , tn de vecteurs deux a deux orthogonaux qui engendrent le meme espace. Plusprecisement

Vect(z1, . . . , zk) = Vect(t1, . . . , tk) pour chaque k ∈ J1..nK.Comme corollaire, tout espace hermitien admet une base orthonormee.

Inegalite de Cauchy-Schwarz

Pour u ∈ E, on note ‖u‖ =√〈u, u〉.

Theoreme 4.5 Pour u, v ∈ E, on a

|〈u, v〉| 6 ‖u‖ ‖v‖ (6)

Il y a egalite si et seulement si u et v sont colineaires.

Demonstration. Si u et v sont colineaires le resultat est immediat.Sinon, par le procede d’orthogonalisation on peut supposer que u = ae et v = be + cf avec‖e‖ = ‖f‖ = 1, 〈e, f〉 = 0 et ac 6= 0.Donc ‖u‖2 ‖v‖2 = |a|2 (|b|2 + |c|2) et |〈u, v〉|2 = |ab|2 = |a|2 |b|2.D’ou l’inegalite (‖u‖ ‖v‖)2 > |〈u, v〉|2, et l’inegalite est stricte car |a|2 |c|2 > 0. 2

Theoreme 4.6 L’application u 7→ ‖u‖ =√〈u, u〉 est une norme sur E, c’est-a-dire une

application E → R+ satisfaisant les 3 conditions suivantes :

1. ‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0 (u ∈ E).

2. ‖a u‖ = |a| ‖u‖ (a ∈ C, u ∈ E).

3. ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖ (u, v ∈ E).

L’applicationd : E × E → R+, (u, v) 7→ d(u, v) = ‖u− v‖

est une distance.

Remarque. Expressions sur une base orthonormee, pour l’inegalite de Cauchy-Schwarz, pourl’inegalite triangulaire. Le resultat obtenu n’est pas si evident a priori. Cela semble encoremoins evident avec des produits scalaires sur des espaces de fonctions.

Remarque. Quelques relations

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2Re(〈x, y〉)‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2I(〈x, y〉)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

‖x+ y‖2 − ‖x− iy‖2 = 2 〈x, y〉

4.1 Produit scalaire hermitien 25

On ne reconnaıt plus vraiment le theoreme de Pythagore, ou plus exactement, l’implication nefonctionne plus que dans un sens :

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ⇐⇒ 〈x, y〉 . . . est un nombre imaginaire pur !.

Si x ⊥ y on a bien ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2, mais la reciproque est en defaut.

Bases orthonormees et matrices unitaires

Theoreme 4.7 Dans un espace hermitien de dimension n il existe des bases orthonormees.L’expression du produit scalaire pour X =E,E u et Y =E,E v sur une base orthonormee E est〈u, v〉 = tX Y . La matrice de passage d’une base orthonormee a une autre est une matriceP verifiant tP P = In. Une telle matrice est dite unitaire. Les matrices unitaires forment unsous-groupe de GLn(C). On le note Un(C).

Remarque. Formulations equivalentes pour les marices orthogonales : si Ci et Cj sont deuxcolonnes, alors tCiCj = δij (symbole de Kronecker). Meme caracterisation avec les vecteurslignes.

Corollaire 4.8 (matrice et determinant de Gram)On considere un systeme de vecteurs u1, . . . , ur dans E.Sa matrice de Gram est G = (〈ui, uj〉)i,j∈J1..rK et son determinant de Gram est detG.

1. Le determinant de Gram est toujours > 0.

2. Il est > 0 si et seulement si le systeme est libre.

Demonstration. Si u1 est une combinaison lineaire des autres ui la premiere ligne de G est (lameme) combinaison lineaire des autres lignes.Si les ui sont lineairement independants, on les exprime au moyen d’une matrice P sur unebase orthonormee de l’espace qu’ils engendrent.Alors le calcul donne G = tPP donc detG = |detP |2. D’ou le resultat. 2

Dualite

Proposition 4.9 Sur un espace hermitien E toute forme lineaire α : E → C s’ecrit de maniereunique sous forme x 7→ 〈a, x〉. La bijection a 7→ α, E → E? est une application antilineairecanonique en presence du produit scalaire.

Remarque. En analyse on demontre le (( theoreme de representation de Riesz )) qui est uneextension remarquable de ce resultat au cas des espaces de Hilbert de dimension infinie, les-quels constituent la generalisation la plus interessante de la notion d’espace hermitien (notionnaturelle et elementaire en dimension finie).

Orthogonalite

Theoreme et definition 4.10On suppose E de dimension finie n, avec une base orthonormee E.

1. Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a E = F ⊕ F⊥.

La projection de E sur F parallelement a F⊥ s’appelle la projection orthogonale sur F .On la notera πF .


2. Si u1, . . . , ur est une base orthonormee de F , on a pour x ∈ E,

πF (x) =∑r

i=1〈x, ui〉ui.

3. Si M est une matrice ayant pour colonnes les ui exprimes sur E, la matrice de πF surcette base est M tM .

4. Une matrice P ∈ Mn(R) represente une projection orthogonale (sur la base E) si etseulement si P = tP et P 2 = P .

Demonstration. 1. et 2. Grace au procede d’orthogonalisation, on complete la base orthonormeede F en une base orthonormee de l’espace tout entier, et on fait le calcul.3. est la traduction matricielle du point 2.4. La condition P 2 = P caracterise les matrices de projection.La condition tP = P est necessaire pour les projections orthogonales d’apres le point 3.Voyons qu’elle est suffisante. Les vecteurs du noyau de P sont ceux de l’image de In − P . Direque tout vecteur du noyau est orthogonal a tout vecteur de l’image revient donc a dire quet(In − P )P = 0, ou encore P = tP P . Ceci resulte de P = tP et P 2 = P . 2

On va voir que ce theoreme se generalise pour une bonne part a un sous espace de dimensionfinie d’un espace prehilbertien complexe quelconque.

Theoreme 4.11 Soit F un sous-espace de dimension finie de E et u1, . . . , ur une base ortho-normee de F . Notons πF : E → F l’application lineaire definie par πF (x) =

∑ri=1 〈x, ui〉ui.

Alors :

1. La restriction de πF a F est IdF .

2. F = ImπF , F⊥ = KerπF et E = F ⊕ F⊥.

3. Pour tout y ∈ F et tout x ∈ E, ‖x− y‖ > ‖x− πF (x)‖, et en cas d’egalite y = πF (x).

4. πF ne depend que de F (pas de la base orthonormee choisie), on l’appelle la projectionorthogonale de E sur F .

4.2 Endomorphismes hermitiens

(E, 〈•, •〉) est un espace hermitien

Le premier item dans la definition suivante ne suppose pas que l’espace prehilbertien com-plexe est de dimension finie. Mais ensuite nous passons a la dimension finie.

Definition 4.12

1. Un endomorphisme ϕ de E est dit hermitien si pour tous x, y ∈ E on a 〈ϕ(x), y〉 =〈x, ϕ(y)〉. On dit aussi : ϕ est un operateur hermitien.

2. Si H est la matrice de ϕ sur une base orthonormee de E, cela signifie que H = tH. Ondit alors que la matrice F est hermitienne.

3. On note H (E) l’ensemble des endomorphismes hermitiens de E : c’est un espace vec-toriel reel de dimension n + n(n − 1) = n2 et Hn(C) ⊆ Mn(C) l’ensmble des matriceshermitiennes.

4.3 Isometries lineaires (applications unitaires) 27


Lemme 4.13 Soit ϕ un endomorphisme hermitien et F un sous-espace de E stable par ϕ (i.e.ϕ(F ) ⊆ F ), alors F⊥ est stable par ϕ.

Lemme 4.14 Toute valeur propre d’un endomorphisme hermitien ϕ est reelle.

Demonstration. Supposons ϕ(x) = ax et x 6= 0. Le calcul donne

a 〈x, x〉 = 〈ax, x〉 = 〈ϕ(x), x〉 = 〈x, ϕ(x)〉 = 〈x, ax〉 = a 〈x, x〉 .D’ou le resultat puisque ‖x‖ > 0. 2

Theoreme 4.15 1. Un endomorphisme de E est hermitien si et seulement si il est diago-nalisable sur une base orthonormee avec toutes ses valeurs propres reelles.

2. Une matrice M ∈ Mn(C) est hermitienne si et seulement si il existe une matrice P ∈Un(C) et une matrice diagonale reelle D ∈ Mn(R) telles que M = P−1DP .


4.3 Isometries lineaires (applications unitaires)

(E, 〈•, •〉) est un espace hermitien de dimension n

Le groupe unitaire

Pour un espace hermitien E on est interesse par les isomorphismes lineaires de E quiconservent la distance hermitienne d(x, y) = ‖x− y‖.

Theoreme et definition 4.16

1. Pour une application lineaire ψ : E → E les proprietes suivantes sont equivalentes :

(a) ψ conserve la distance hermitienne.

(b) ψ conserve le produit scalaire hermitien.

(c) ψ conserve la norme.

(d) L’image d’une base orthonormee est une base orthonormee.

(e) L’image de toute base orthonormee est une base orthonormee.

(f) La matrice de ψ sur une base orthonormee est unitaire.

Une telle application lineaire est appelee une isometrie lineaire, ou un operateur unitaireou encore un endomorphisme unitaire.

2. Les isometries lineaires de E forment un sous-groupe du groupe lineaire, appele le groupeunitaire de E, et note U(E). Apres choix d’une base orthonormee on peut identifier U(E)et Un(C).

3. Le determinant δ d’une isometrie a pour module 1. Les isometries de determinant 1forment un sous-groupe note SU(E). Le groupe des matrices unitaires de determinant 1est note SUn(C). Apres choix d’une base orthonormee on peut identifier SU(E) et SUn(C).



Lemme 4.17 Soit ϕ un endomorphisme unitaire et F un sous-espace de E stable par ϕ (i.e.ϕ(F ) ⊆ F ), alors ϕ(F ) = F et F⊥ est stable par ϕ.

Lemme 4.18 Toute valeur propre d’un endomorphisme unitaire ϕ est de module 1.

Demonstration. Supposons ϕ(x) = ax et x 6= 0. Le calcul donne

aa 〈x, x〉 = 〈ax, ax〉 = 〈ϕ(x), ϕ(x)〉 = 〈x, x〉 .D’ou le resultat puisque ‖x‖ > 0. 2

Theoreme 4.19 Notons U = U1(C) ⊆ C le groupe multiplicatif des complexes de module 1.

1. Un endomorphisme de E est unitaire si et seulement si il est diagonalisable sur une baseorthonormee avec ses valeurs propres toutes de module 1.

2. Une matrice M ∈ Mn(C) est unitaire si et seulement si il existe une matrice P ∈ Un(C)et une matrice diagonale D ∈ Mn(U) telles que M = P−1DP .


4.4 Complements

Diagonalisation d’une forme hermitienne

On se rappelle la definition d’une forme hermitienne donnee au paragraphe 4.1.On rappelle que l’on note Hn(C) l’ensemble des matrices hermitiennes de Mn(C), i.e. les

matrices verifiant tB = B.Sur un espace vectoriel complexe de dimension finie, une forme hermitienne β s’exprime

comme suit.

Lemme 4.20 Soit F une base arbitraire d’un espace vectoriel complexe F de dimension finie.

1. Une forme hermitienne β : F × F → C est caracterisee par sa matrice sur la base F((bij)i,j∈J1..nK

)= B ∈ Hn(C)

definie parβ(ei, fj) = bij,

2. Si X =F,F x et Y =F,F y sont les vecteurs colonnes representant x et y sur F , on obtient

β(x, y) = tXB Y.

3. Inversement toute matrice hermitienne definit une forme hermitienne sur F via la formuleprecedente.

4. Si F ′ est une autre base de F et si P est la matrice de passage de F a F ′, la matrice B′

de β sur F ′ est egale aB′ = tPBP.

Fn particulier det(B′) = |det(P )|2 det(B).

Theoreme 4.21 Toute forme hermitienne β sur l’espace hermitien E peut etre diagonaliseesur une base orthonormee, autrement dit il existe une base orthonormee E = (e1, . . . , en) telleque β(ei, ej) = 0 si i 6= j.

Demonstration. On considere la matrice de la forme dans une base orthonormee et on appliquele theoreme 3.7 page 16. 2

4.4 Complements 29

Geometrie d’une application lineaire entre deux espaces hermitiens

On considere un isomorphisme lineaire ϕ : E → F entre deux espaces hermitiens. Lastructure metrique donnee par le produit scalaire n’est generalement pas conservee par ϕ. Celasignifie que l’application lineaire ϕ deforme les objets.

Pour comprendre cette deformation, on considere l’image de la sphere unite S de E. C’estun ellipsoıde S ′ de F , d’equation β′(x, x) = 1, ou β′(x, y) = 〈ϕ−1(x), ϕ−1(y)〉 (il s’agit biend’une forme hermitienne definie positive sur F ).

On considere une base orthogonale F ′ = (f ′1, . . . , f′n) de F pour laquelle l’equation de S ′ est∑

i x2i = 1. Cela signifie que les f ′i sont orthogonaux pour β′, donc que les e′i = ϕ−1(f ′i) sont

orthogonaux pour le produit scalaire dans E.On obtient ainsi la (( forme )) de toutes des (( deformations )) lineaires.

Theoreme 4.22

1. Tout isomorphisme lineaire entre deux espaces hermitiens admet une matrice diagonalepositive pour deux bases orthonormees convenables de E et F . Les elements diagonauxranges par ordre croissant, 0 < λ1 6 . . . 6 λn sont appeles les valeurs singulieres del’application lineaire ϕ.

2. Si ϕ s’exprime par une matrice M sur des bases orthonormees E et F de E et F , les λ2i

sont les valeurs propres de tMM .

3. Toute matrice M ∈ GLn(C) s’ecrit sous forme PDQ avec P,Q ∈ Un(C) et D diagonalereelle positive. Les elements diagonaux ranges par ordre croissant, 0 < λ1 6 . . . 6 λn

sont appeles les valeurs singulieres de la matrice M .

Diagonalisation des endomorphismes normaux

La diagonalisation sur une base orthonormee d’un operateur hermitien ou unitaire ϕ a etedemontree au moyen de la propriete suivante : le sous-espace orthogonal d’un sous-espace stablepar ϕ est lui-meme stable par ϕ.

En effet, on considere un vecteur propre v, le sous-espace orthogonal v⊥ est un hyperplanstable par ϕ, et on termine par recurrence.

On est ainsi amene a etudier les operateurs lineaires qui verifient cette propriete. On lesappelle les endomorphisme normaux.

Si M est la matrice d’un tel operateur sur une base orthonormee, elle doit verifier l’egalitetMM = M tM . En effet, on doit pouvoir ecrire M = U−1DU avec D diagonale et U ∈ Un(C)(i.e. tUU = In), et tMM = U−1DDU = U−1DDU = M tM .

Inversement si tMM = M tM . . .

5 Formes bilineaires symetriques. Theorie generale.

5.1 Matrice de Gram

Contrairement a ce qui se passe avec les applications lineaires, on peut definir une matricepour une forme bilineaire relativement a un systeme de vecteurs A = (a1, . . . , ak) qui n’est pasnecessairement une base de E : c’est la matrice de Gram donnee par

GRAMβ(A) =(β(ai, aj)i,j∈J1..kK

)∈ Sk(K).

Remarque. Comme cas particulier, si E est de dimension finie, la matrice de β sur une base En’est autre que GRAMβ(E).

L’interet des matrices de Gram est particulierement evident dans le cas des espaces qui sontde dimension infinie, ou plus generalement des espaces qui n’ont pas de base finie connue. Sila forme β est suffisamment explicite, on a alors acces a des informations sur le systeme devecteurs A qui seraient difficiles a atteindre autrement. Par exemple :

Proposition 5.1 Si la matrice de Gram G d’un systeme (a1, . . . , ak) par rapport a une formebilineaire symetrique β est reguliere (i.e. inversible), les vecteurs ai sont lineairement inde-pendants.

Demonstration. Supposons que∑k

i=1 xiai = 0, le calcul montre que

G

x1...xk

=

0...0

.Puisque G est reguliere, les xi sont tous nuls. 2

Remarque. Nous verrons que la proposition precedente admet une reciproque dans le cas d’unproduit scalaire dans un espace reel.

Dans le cas d’un espace de dimension finie, le fait suivant generalise la formule de changementde base.

Fait 5.2 Si le systeme de vecteurs A = (a1, . . . , ak) s’exprime sur la base E = (e1, . . . , en) sousla forme d’une matrice Q ∈ Mn,k (le j-eme vecteur colonne de Q represente le vecteur aj surla base E), et si B est la matrice de β sur E, alors :

GRAMβ(a1, . . . , ak) = tQBQ.

Remarque. Le calcul qui etablit le fait precedent n’a pas eu besoin de supposer que E etait unebase de E. Il suffit que l’on puisse exprimer le systeme A lineairement en fonction du systemeE pour que les deux matrices de Gram, GRAMβ(a1, . . . , ak) et B = GRAMβ(e1, . . . , en), soientreliees par la formule precedente.

Le determinant de la matrice de Gram est appele le determinant de Gram du systeme(a1, . . . , ak) par rapport a β. On le note

Gramβ(a1, . . . , ak) = det(GRAMβ(a1, . . . , ak)).

32Mathematiques. L2. 5 FORMES BILINEAIRES SYMETRIQUES. THEORIE

GENERALE.

5.2 Orthogonalite, isotropie

Vecteurs et sous-espaces orthogonaux

Etant donnes un K-espace vectoriel E et une forme bilineaire symetrique β : E × E → K,deux elements x et y de E sont dit orthogonaux (par rapport a β) si β(x, y) = 0.

On note ceci x ⊥β y, ou, plus simplement si le contexte est clair x ⊥ y. Puisque la formebilineaire est symetrique, la relation d’orthogonalite est elle-meme une relation symetrique.

Un vecteur x est dit isotrope (pour β) s’il est orthogonal a lui meme, c’est-a-dire si β(x, x) =0. Un corollaire de la proposition 5.1 est la propriete suivante.

Proposition 5.3 Une forme bilineaire symetrique etant fixee, une famille finie de vecteurs nonisotropes deux a deux orthogonaux est libre.

Demonstration. En effet la matrice de Gram de ce systeme est une matrice diagonale, avec deselements non nuls sur la diagonale, donc elle est inversible. 2

Exemples.

Si A est une partie arbitraire de E on note

A⊥ = {x ∈ E | ∀y ∈ A, x ⊥ y }

(eventuellement on utilisera la notation A⊥β).

Proposition 5.4 Pour toute partie A de E la partie A⊥ orthogonale de A est un sous-K-espacevectoriel de E. En outre pour deux sous-espaces F et G de E on a :

1. F ⊆ G ⇒ G⊥ ⊆ F⊥.

2. (F +G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥.

3. F⊥ + G⊥ ⊆ (F ∩ G)⊥.

4. F ⊆(F⊥

)⊥et F⊥ =

((F⊥

)⊥)⊥.

En dimension finie, on apporte des precisions importantes.

Proposition 5.5 Si F est un sous-espace d’un espace de dimension finie E et β une formebilineaire symetrique sur E, on a :

1. dimF + dimF⊥ > dimE.

2. E = F ⊕ F⊥ ⇐⇒ F ∩ F⊥ = {0}.

Demonstration. 1. Posons m = dimF et soit P ∈ Mm,n(K) une matrice ayant pour vecteurslignes une base de F (ecrits sur E). Si X =E x alors x ∈ F⊥ si et seulement si FBX = 0.Puisque FB est une matrice de Mm,n(K), son noyau est de dimension > n−m.

2. Resulte de 1. 2

5.2 Orthogonalite, isotropie 33

Noyau et rang

On appelle noyau d’une forme bilineaire symetrique β sur un espace E le sous-espace vec-toriel E⊥, on le note Ker β. C’est donc l’ensemble des vecteurs orthogonaux a tous les vecteursde E.

Proposition 5.6 On suppose que E est de dimension finie n avec une base E. Si B est lamatrice de β sur E, un vecteur x represente par le vecteur colonne X sur E est dans Ker β siet seulement si BX = 0.

Demonstration. Le vecteur colonneX represente un vecteur de Ker β si et seulement si tY BX =0 pour tout Y . Ceci equivaut a BX = 0. 2

Remarque. La vraie raison de la proposition 5.6 est que Ker β = Ker βd ou βd : E → E? estl’application K-lineaire associee a β.

La forme β est dite non degeneree si son noyau est nul, elle est dite degeneree dans le cascontraire.

On appelle rang de la forme β le rang d’une matrice B qui represente β sur une base E .Ce rang est bien defini (independant du choix de la base E) : c’est ce qui decoule de la for-mule de changement de base. Cela decoule egalement de la formule suivante, justifiee par laproposition 5.6 :

rang de β + dim Ker(β) = dimE.

Theoreme 5.7 Soit β une forme bilineaire symetrique non degeneree sur un espace de dimen-sion finie E. Alors pour tous sous-espaces F et G de E on a :

1. dimF + dimF⊥ = dimE.

2.(F⊥

)⊥= F

3. (F +G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥.

4. F⊥ + G⊥ = (F ∩ G)⊥.

En particulier l’application F 7→ F⊥ etablit une bijection decroissante de l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E dans lui-meme.

Demonstration. 1. On reprend la demonstration de la proposition 5.5. Posons m = dimF etsoit P ∈ Mm,n(K) une matrice ayant pour vecteurs lignes une base de F (ecrits sur E). SiX =E x alors x ∈ F⊥ si et seulement si FBX = 0. Puisque B est reguliere, la matrice FB ameme rang m que P , son noyau est de dimension n−m.2. Resulte de 1. et de l’inclusion F ⊆ (F⊥)⊥.3. Deja vu pour une forme bilineaire symetrique arbitraire.4. Resulte de 2. et 3. 2

Restriction d’une forme bilineaire symetrique a un sous-espace vectoriel

Dans le cas d’un endomorphisme ϕ d’un espace vectoriel, on ne peut pas en general restrein-dre ϕ en un endomorphisme d’un sous-espace F , parce que ϕ(F ) n’est pas en general inclusdans F .

La situation est differente pour les formes bilineaires symetriques : on peut toujours res-treindre une forme β definie sur E a un sous-espace F . On note β|F la restriction de β a F :β|F (x, y) = β(x, y) pour x, y ∈ F .

Si F est de dimension finie la matrice de β sur une base F de F est simplement la matricede Gram de la forme β pour le systeme F .


GENERALE.

Vecteurs et sous-espaces isotropes

Soit β une forme bilineaire symetrique sur un K-espace vectoriel E.Un sous-espace vectoriel F de E est dit isotrope (pour β) si la restriction de β a F est

degeneree.Le sous-espace est dit totalement isotrope si la restriction de β a F est nulle.Pour un sous-espace de dimension 1 les deux notions coıncident et on retrouve la notion de

vecteur isotrope.

Exemples. Vecteurs isotropes pour la forme bilineaire symetrique x1y1 − 2x2y2 sur E = R2.Vecteurs isotropes pour la forme bilineaire symetrique x1y1 + x2y2 − x3y3 sur E = R3.Vecteurs isotropes pour la forme bilineaire symetrique x1y1 − 2x2y2 sur E = Q2.Vecteurs isotropes pour la forme bilineaire symetrique x1y1 + x2y2 sur E = C2.Sous-espaces isotropes et totalement isotropes pour la forme bilineaire symetrique x1y1+x2y2−x3y3 − x4y4 sur E = R4.

Theoreme 5.8 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et β une forme bilineairesymetrique sur E. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors E = F ⊕ F⊥ si et seulement siF est non isotrope.

Remarque. Dans un tel cas, si on dispose de bases de F et F⊥ et que les matrices de β restreintea F et F⊥ sur ces bases sont B1 et B2, la matrice de β sur la base correspondante de E est la

matrice (( diagonale par blocs ))

[B1 00 B2

].

5.3 Base orthogonale, (( diagonalisation ))

Le contexte est toujours le meme : un K-espace vectoriel E de dimension n avec une baseE , une forme bilineaire symetrique β sur E, avec B la matrice de β sur E .

Une base E ′ de E est dite β-orthogonale si ses elements sont deux a deux orthogonaux.

Fait 5.9 Il revient au meme de dire que la matrice de β sur E ′ est diagonale. Du point de vuematriciel, trouver une base orthogonale E ′ c’est determiner une matrice de passage P ∈ GLn(K)telle que la matrice tPB P soit diagonale.

Cette diagonalisation d’une forme bilineaire symetrique est beaucoup plus facile que ladiagonalisation d’un endomorphisme ϕ (qui se fait avec la formule de changement de baseP−1MP ). Cette derniere n’est d’ailleurs pas toujours possible. Par contre :

Theoreme 5.10 Toute forme bilineaire symetrique sur un espace de dimension finie possedeune base orthogonale. Plus precisement une forme bilineaire symetrique arbitraire β admet unematrice du type

D 0

0 0

ou D ∈ Sr(K) est une matrice diagonale inversible (i.e., ses coefficients diagonaux sont nonnuls) et r est le rang de β.

Notons que la deuxieme affirmation du theoreme est une consequence immediate de la premiere.Nous commencons par un lemme.

5.3 Base orthogonale, (( diagonalisation )) 35

Lemme 5.11 (plan hyperbolique)Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et β une forme bilineaire symetrique qui admet une

matrice du type

[0 bb c

]avec b 6= 0. Autrement dit le premier vecteur de base est isotrope et la

forme est non degeneree.

Alors il existe une base de E pour laquelle la matrice de β est

[0 11 0

]et une autre base pour

laquelle la matrice de β est

[1 00 −1

].

Dans un tel cas on dit que (E, β) est un plan hyperbolique.

Demonstration du theoreme 5.10. Faisons une demonstration par recurrence sur la dimensionde l’espace. En cas de dimension 0 ou 1 il n’y a rien a faire.Supposons la dimension n > 2. La forme β admet la matrice B = (bij) sur une base E =(e1, . . . , en).a) Si la premiere colonne de B, hormis peut-etre b11, est nulle, on considere le sous-espaceF = 〈e2, . . . , en〉 et la restriction β|F de β a F . Par hypothese de recurrence, β|F admet unebase orthogonale F = (f2, . . . , fn). Alors le systeme (e1, f2, . . . , fn) est une base orthogonale deE pour β.b) Si b11 6= 0. Puisque pour i > 2 on a β(e1, ei − λe1) = b1i − λb11, pour λi = b1i/b11 le vecteurest orthogonal a e1. Ainsi la matrice de β pour la base (e1, e2−λ2e1, . . . , en−λne1) est du typeenvisage en a).c) Il reste a examiner le cas ou b11 = 0 avec un coefficient de la premiere colonne non nul.Par exemple b21 6= 0. Alors le plan H = 〈e1, e2〉 est hyperbolique pour β|H. Comme β|H estnon degeneree, on a E = H ⊕H⊥ (theoreme 5.8). Ainsi H admet une base orthogonale par lelemme 5.11, et H⊥ egalement par hypothese de recurrence. 2

Une autre demonstration, matricielle, du theoreme 5.10. Considerons une matrice symetriqueque nous decomposons en 4 blocs :

B =

B1 C

tC B2

avec B1 = tB1 ∈ Mk(K) et B2 = tB2 ∈ Mn−k(K).Si B1 est inversible, on peut utiliser la matrice de passage

P =

Ik −B−11 C

0 In−k

ce qui donne

tPBP =

B1 0

0 B3

avec B3 = − tCB1C +B2.La diagonalisation de B est ainsi ramenee aux diagonalisations de B1 et B3.


GENERALE.

Le cas b) dans la demonstration precedente correspond au cas k = 1 ci-dessus (avec B1 = [b11]inversible).Le cas c) dans la demonstration precedente correspond au cas k = 2 ci-dessus avec B1 =[

0 b21

b21 b22

], detB1 = −b221 6= 0. La diagonalisation de B1 est traitee dans le lemme 5.11. 2

Base orthonormales

Une base E est dite β-orthonormale si la matrice de β sur E est In.

Cas des espaces complexes

Theoreme 5.12 Une forme bilineaire symetrique non degeneree sur un C-espace vectoriel dedimension finie possede des bases orthonormales.Plus generalement une forme bilineaire symetrique arbitraire β admet sur une base convenableune matrice du type

Ir 0

0 0

ou r est le rang de β.

Cas des espaces reels

Theoreme 5.13 1. Une forme bilineaire symetrique arbitraire β sur un espace vectorielreel E de dimension finie admet une matrice du type

Is 0 0

0

0

−It 0

0 0u

ou s+ t est le rang de β et s+ t+ u = dimE.

2. (theoreme d’inertie de Sylvester) En outre les entiers r et s sont uniquement determinespar β.

Demonstration. 1. L’existence resulte de la forme diagonale. Un coefficient diagonal > 0 peutetre remplace par 1 et un coefficient diagonal < 0 peut etre remplace par −1 : en effet si a > 0,alors ax2 = y2 avec y =

√ax, et −ax2 = −y2.

2. Supposons par exemple que l’on ait deux formes reduites, l’une avec (s, t, u) l’autre avec(s′, t′, u′) et s > s′, pour deux bases E = (e1, . . . , en) et E ′ = (f1, . . . , fn). On a donc s+t′+u′ > n.Considerons les deux sous-espaces V = 〈e1, . . . , es〉 et W = 〈fs′+1, . . . , fn〉.Puisque dimV + dimW = s + t′ + u′ > n, ces deux espaces ont au moins une droite Rx encommun avec x 6= 0. On ecrit x =

∑si=1 aiei et x =

∑nj=s′+1 bjfj. Sur la premiere expression on

voit que β(x, x) =∑s

i=1 a2i > 0 (car l’un des ai au moins est 6= 0). Sur la deuxieme, on voit que

β(x, x) 6 0. L’hypothese etait donc absurde. 2

Remarque. On a donc obtenu une classification complete des formes bilineaires symetriques endimension finie sur les espaces reels et complexes. Le probleme de la classification sur Q, c’est-a-dire lorsque l’on part d’une matrice symetrique a coefficients rationnels et que l’on autorise

5.3 Base orthogonale, (( diagonalisation )) 37

uniquement les changements de base dans GLn(Q), est tres difficile et sa solution est due aGauss.

6 Formes quadratiques

On considere un K-espace vectoriel E de dimension finie.La notion de fonction polynome homogene du second degre q : E → K est bien definie :

elle ne depend pas de la base choisie pour E, si q(x) =∑

i aix2i +

∑i<j cijxixj lorsque x a pour

coordonnees (x1, . . . , xn) sur une base, apres changement de base, chaque xi est remplace parune expression lineaire en les nouvelles coordonnees (z1, . . . , zn), et l’on obtient pour q(x) unenouvelle expression, en les zi, qui reste un polynome homogene du second degre.

Si on pose β(x, y) =∑

i aixiyi + 12

∑i<j cij(xiyj + xjyi), on voit que q(x) = β(x, x).

6.1 Definitions, propriete caracteristique

Une forme quadratique sur un K-espace vectoriel E est une application q : E → K qui peuts’exprimer sous forme q(x) = β(x, x), ou β ∈ Bilsym(E).

Fait 6.1 Si q(x) = β(x, x) avec β ∈ Bilsym(E), alors

β(x, y) =1

2(q(x+ y)− q(x)− q(y)) =

1

4(q(x+ y)− q(x− y))

etq(ax) = a2q(x) ∀a ∈ K, ∀x ∈ E.

Ainsi, la forme β est uniquement determinee par q, elle s’appelle la forme polaire de q.

Fait 6.2 Une application q : E → K est une forme quadratique si et seulement si sont verifieesles proprietes suivantes :

q(2x) = 4q(x) ∀x ∈ E(x, y) 7→ q(x+ y)− q(x)− q(y) ∈ Bil(E)

Fait 6.3 Les formes quadratiques sur E forment un K-espace vectoriel naturellement iso-morphe a Bilsym(E).

On parlera de la matrice d’une forme quadratique sur une base de E, de son rang, de vecteurisotrope pour les memes notions concernant la forme bilineaire symetrique associee (la formepolaire).

Si β(x, y) = 0, on dit aussi que x et y sont conjugues par rapport a q.La forme quadratique q (ou sa forme polaire) est dite definie si 0 est le seul vecteur isotrope.

Proposition 6.4 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et q : E → K une formequadratique definie. Alors :

1. La forme q est non degeneree.

2. Pour tout sous-espace vectoriel F on a E = F ⊕ F⊥.

3. Un systeme (x1, . . . , xn) dans E est lineairement independant si et seulement si son deter-minant de Gram est non nul.

Remarque. De maniere generale, pour une forme bilineaire symetrique β sur un espace vectorielE arbitraire et un systeme (x1, . . . , xn) dans E on a Gram(x1, . . . , xn) 6= 0 si et seulement si :a) le sous-espace 〈x1, . . . , xn〉 est non isotrope, et b) les xi sont lineairement independants.

40 Mathematiques. L2. 6 FORMES QUADRATIQUES

6.2 Reduction d’une forme quadratique

Le theoreme 5.10 page 34 de diagonalisation d’une forme bilineaire symetrique peut se relirecomme suit :

Theoreme 6.5

1. Toute forme quadratique sur un K-espace vectoriel de dimension finie n peut s’ecriresous forme

∑ki=1 aiλi(x)

2, ou les λi sont des formes lineaires independantes et les ai desscalaires non nuls.

Ici, k est le rang de la forme quadratique.

2. Sur le corps C, on peut se ramener a la forme∑k

i=1 λi(x)2.

3. Sur le corps R, on peut se ramener a la forme∑s

i=1λi(x)

2 −∑s+t

i=s+1λi(x)

2,

avec les entiers s et t > 0 qui ne dependent que de la forme quadratique. Le couple (s, t)est appele la signature de la forme quadratique (theoreme d’inertie de Sylvester).

Une forme quadratique reelle est dite positive si q(x) > 0 pour tout x, negative si q(x) 6 0pour tout x. Dans le premier cas la signature est (s, 0), dans le second cas (0, t).

Fait 6.6 Une forme quadratique complexe n’est jamais definie, sauf en dimension 1.Une forme quadratique reelle en dimension n est definie si et seulement si sa signature est(n, 0) ou (0, n) (elle est donc soit definie et positive, soit definie et negative).

La methode de Gauss

Pour obtenir une forme reduite, il est en general pratique d’utiliser l’algorithme suivant dua Gauss.

Traitons d’abord deux exemples.

Exemple 1.

x2 + 2y2 − z2 + 4xy − 6xz + 2yz = (x+ (2y − 3z))2 − (2y − 3z)2 + 2y2 − z2 + 2yz =

(x+ (2y − 3z))2 − 2y2 − 10z2 + 14yz = λ1(x, y, z)2 − 2(y2 − 7yz)− 10z2 =

λ21 − 2(y − 7

2z)2 + 29

2z2 = λ1(x, y, z)

2 − 2λ2(y, z)2 + 29

2z2

Les 3 formes lineaires λ1 = x+2y−3z, λ2 = y− 72z, λ3 = z sont bien lineairement independantes.

Exemple 2.

xy + xz + 3yz + xu+ 2yu− zu = xy + x(z + u) + y(3z + 2u)− zu =

(x+ 3z + 2u)(y + z + u)− (3z + 2u)(z + u)− zu = AB − 3z2 − 2u2 − 6zu =14(A+B)2 + 1

4(A−B)2 − 3(z + u)2 + u2

Les 4 formes lineaires λ1 = x+ y+ 4z+ 3u, λ2 = x− y+ 2z+ u, λ3 = z+ u et λ4 = u sont bienlineairement independantes.

L’algorithme general

Considerons q(x1, . . . , xn) =∑

i aix2i +

∑i<j bijxixj. On peut supposer la forme non identique-

ment nulle.

6.2 Reduction d’une forme quadratique 41

1ercas. Il y a un ai 6= 0.Par exemple a1 6= 0. On considere tous les termes contenant x1, on ecrit la somme correspon-dante sous la forme

a1

(x2

1 + 2x1

(∑n

j=2cjxj

))avec cj =

b1j

2a1

de sorte queq(x) = a1q1(x) + q2(x2, . . . , xn)

et

q1(x) =(x1 +

∑n

j=2cjxj

)2

−(∑n

j=2cjxj

)2

.

Il reste a reduire la forme en x2, . . . , xn donnee par

q2 − a1

(∑n

j=2cjxj

)2

.

2ecas. Tous les ai sont nuls. Un des bij est non nul.Par exemple b1,2. On considere tous les termes contenant x1 ou x2. On ecrit la somme corres-pondante sous la forme

b1,2 [x1x2 + x1λ(x3, . . . , xn) + x2µ(x3, . . . , xn)]

de sorte queq(x) = b1,2q1(x) + q3(x3, . . . , xn)

avec

q1(x) = (x1 + µ(x3, . . . , xn))(x2 + λ(x3, . . . , xn))− λ(x3, . . . , xn)µ(x3, . . . , xn) = AB − λµ.

On ecrit

AB =1

4(A+B)2 +

1

4(A−B)2 =

1

4(x1 + x2 + λ+ µ)2 +

1

4(x1 − x2 + λ− µ)2.

Il reste a reduire la forme en x3, . . . , xn donnee par

q3(x3, . . . , xn)− b1,2λ(x3, . . . , xn)µ(x3, . . . , xn).

Cas des formes reelles et des formes complexes

Une fois la forme quadratique ramenee a une somme ponderee de carres de formes lineairesindependantes,

∑i aiλi(x)

2, on obtient facilement les reductions plus poussees pour le cas oule corps de base est C ou R, comme enonce dans le theoreme 6.5 page ci-contre.

Dans le cas reel, il ne faut pas oublier la precision donnee par le theoreme d’inertie deSylvester.

7 Coniques et quadriques (en geometrie affine reelle)

7.1 Espaces reels affines

Introduction au plan reel affine

La notion de plan reel affine est une notion abstraite moderne qui peut etre vue sous deuxangles distincts.

Du premier point de vue on considere la geometrie euclidienne classique, qui est une geo-metrie des figures planes. On peut voir ceci comme une geometrie des puzzles : les composantesd’une meme figure sont les pieces d’un puzzle qu’il s’agit d’assembler entre elles.

La comprehension de cette geometrie des puzzles passe par la notion de (( figures egales )).Deux figures sont egales lorsque l’on peut les amener a se superposer en deplacant l’une d’entreelles. Chez Euclide, cela correspond aux cas d’egalite des triangles : les pieces elementaires dupuzzle sont les triangles. Cette geometrie a ete (( numerisee )) grace a la methode des coordon-nees, systematisee par Descartes.

En termes modernes, la geometrie euclidienne classique est gouvernee par le groupe desdeplacements.

En prenant du recul on s’apercoit alors que certaines proprietes des figures n’utilisentque les proprietes d’alignement et de parallelisme, a l’exclusion des proprietes proprement(( metriques )) : egalite de longueurs ou egalite d’angles. Par exemple le groupe des translationsn’a besoin que des proprietes des parallelogrammes pour pouvoir etre etudie. Plus troublantencore, les homotheties, qui n’ont besoin que du parallelisme pour pouvoir etre etudiees, ne sontpas des deplacements, mais conservent (( la forme )) des figures. On invente alors de nouvellestransformations, les transformations affines, qui conservent les proprietes d’alignement et deparallelisme.

La (( geometrie affine )) que l’on obtient ainsi peut etre vue comme une fille de la geometrieeuclidienne, obtenue au choix, (( en agrandissant )) le groupe des transformations interessantes,ou (( en restreignant )) les proprietes interessantes. Par exemple deux triangles non aplatis de-viennent (( isomorphes )) du point de vue affine : disparaissent les bissectrices, l’orthocentre, lecercle circonsrit, mais restent presentes les medianes et le centre de gravite. Par contre deuxquadrilateres distincts ne sont pas en general (( isomorphes du point de vue affine )). Les centresde gravite des 4 triangles concernes entretiennent une relation surprenante avec le centre degravite de la plaque, la chose la plus remarquable etant que le centre de gravite de la plaquen’est pas une propriete de nature metrique, mais de nature affine.

Selon un deuxieme point de vue, on construit la geometrie affine a partir de la geometrievectorielle. Qu’est-ce que la geometrie vectorielle ? C’est la geometrie des espaces vectoriels. Lafigure emblematique de la geometrie vectorielle plane, la geometrie d’un espace vectoriel P dedimension 2, ce n’est plus (( le triangle )), mais (( la base )) : la figure formee par deux vecteurslineairement independants. Deux bases sont (( isomorphes )) : on peut envoyer l’une sur l’autrepar une transformation lineaire (un automorphisme lineaire du plan vectoriel). Le groupe quigouverne cette geometrie est le groupe lineaire GL(P ). Chaque transformation lineaire a elle-meme une geometrie, qui est donnee par la forme reduite de Jordan dans le cas des espacesvectoriels complexes, et par quelque chose de plus delicat dans les cas des espaces vectorielsreels.

Mais un espace vectoriel E a un grave defaut, du point de vue geometrique : il n’est pas(( partout le meme1 )) parce qu’il possede un point tres particulier, 0E, qui se distingue de tousles autres, et qui est invariant par toutes les transformations lineaires.

1. On dit aussi : il n’est pas homogene.

44 Mathematiques. L2. 7 CONIQUES ET QUADRIQUES AFFINES

Pour passer a quelque chose de (( plus geometrique )) il faut rajouter les translations, defacon a faire perdre a 0E son statut privilegie (( non geometrique )). Le groupe engendre par lestranslations et les automorphismes lineaires est alors le groupe affine.

Ainsi, alors que selon le premier point de vue un plan affine est un plan euclidien dans lequelon oublie l’orthogonalite et l’equidistance (on les a perdues), selon le second point de vue, unplan affine est un plan vectoriel dans lequel on a perdu l’origine.

Nous allons choisir ce second point de vue, plus facile a exposer.

Definition moderne d’un espace affine reel

Nous nous limitons au cas reel, mais presque rien ne serait change au debut en remplacantle corps R par un autre corps de base K.

Par contre quand on passe a l’etude des coniques et des quadriques, qui est le veritableobjectif que nous poursuivons ici, le cadre reel est tres important et donne des resultats tresspecifiques.

Definition 7.1

1. Un espace affine reel de dimension n est donne par un triplet (E , E,+) ou– E est un ensemble (l’ensemble des (( points )) de l’espace affine),– E est un espace vectoriel reel de dimension n (l’ensemble des (( vecteurs )) de l’espace

affine), et– + est une loi externe : E × E → E , (A, v) 7→ A+ v,– le tout avec les proprietes suivantes :

∀A ∈ E , ∀u, v ∈ E, (A+ u) + v = A+ (u+ v)

∀A ∈ E , A+ 0E = A

∀A,B ∈ E , ∃!u ∈ E, A+ u = B

Dans le dernier axiome, on note u =−→AB.

2. Un repere cartesien d’un espace affine (E , E,+) est un couple

R = (A, E) = (A, (e1, . . . , en)),

ou E est une base de E. Si M = A +∑

i xiei, on dit que les xi sont les coordonnees dupoint M dans le repere R. Si X est le vecteur colonne des xi on ecrira X =E ,R M .

3. Un sous-espace affine de (E , E,+) est un couple (F , F ) donne par un sous-espace vecto-riel F de E et un sous-ensemble F de E , soumis a la condition :

∃A ∈ F , F = a+ Fdef= {B ∈ E | ∃u ∈ F, A+ u = B }

Il est muni d’une structure d’espace affine en prenant comme loi externe pour F et F larestriction de la loi externe pour E et E.

4. Une application affine d’un espace affine (F , F,+) vers un autre espace affine (E , E,+)est donnee par un couple (ϕ, ψ), ou ϕ : F → E est une application, ψ : E → F est uneapplication lineaire, soumises a la condition :

∀A,∈ F , ∀u ∈ F, ϕ(A) + ψ(u) = ϕ(A+ u)

On appelle transformation affine de E une application affine bijective de E sur E . Legroupe affine de E est le groupe des transformations affines de E.

7.1 Espaces reels affines 45

Remarques diverses

En general on parle de l’espace affine E en sous-entendant les deux autres ingredients (l’es-pace vectoriel et la loi externe). On dit aussi : (( E est un espace affine dirige par E )).

Il serait sans doute plus logique de definir la structure affine au moyen de deux lois externes,la loi + : E × E → E d’une part, et la loi

E × E → E, (A,B) 7→−→AB,

d’autre part. Cela permettrait de n’avoir que des axiomes (( universels )) (i.e., les seuls quanti-ficateurs dans les axiomes sont des quantificateurs universels).

La translation de vecteur u est l’application τu definie par

τu : E → E , A 7→ A+ u.

Il s’agit d’une transformation affine. En outre τu+v = τu ◦ τv et l’application u 7→ τu est unisomorphisme de (E,+) sur le sous-groupe du groupe affine forme par les translations.

En pratique les calculs dans un espace reeel affine de dimension n se ramenent a des calculsdans Rn. En effet si R est un repere cartesien de E , l’application

E → Rn, M 7→ X, ou X =E ,R M

est une application affine bijective, c’est celle qui envoie le repereR sur le repere affine canoniquede Rn forme par l’origine 0 et la base canonique.

Toute propriete dans E peut ainsi etre traduite en une propriete dans Rn, qui est le modelecanonique d’espace affine.

Neanmoins, pour comprendre vraiment ce qui se passe dans E , il ne suffit pas tout a fait desavoir calculer dans Rn. Il faut aussi au moins savoir bien manipuler le changement de paysagedans Rn lorsque l’on change de repere affine dans E .

Changement de repere affine

Un changement de repere affine, deR = (A, E) aR′ = (A′, E ′) se traduit sur les coordonnees,lorsque X =E ,R M, X ′ =E ,R′ M, Q′ =E ,R A

′ par

X = PX ′ +Q′

ou P est la matrice de passage de E a E ′.En effet, si E = (e1, . . . , en), E ′ = (e′1, . . . , e

′n), X = t[x1 · · · xn] et X ′ = t[x′1 · · · x′n] on ecrit

M = A+ u = A+∑n

i=1xiei = A′ +

∑n

i=1x′ie

′i = A′ + u′.

Donc

u = A′ − A+ u′ =−−→AA′ + u′ et u =

∑n

i=1xiei =

−−→AA′ +

∑n

i=1x′ie

′i,

ce qui donne avec des vecteurs colonnes, en reexprimant∑n

i=1 x′ie′i sur la base E : X = Q′+PX ′.

On peut ecrire aussi

X ′ = P−1X +Q. ,

avec Q =E ,R′ A.


Fonctions polynomiales sur un espace affine

Si E est un espace affine, une fonction polynomiale de degre k sur E est une fonctionθ : E → R qui s’exprime dans un repere affine par un polynome de degre k. Ceci ne depend pasdu repere affine choisi. En effet la formule de changement de coordonnees exprime les anciennesen fonction des nouvelles comme des polynomes de degre 1, et vice versa.

Par contre la notion de fonction polynomiale homogene, qui avait un sens dans le cadre desespaces vectoriels, n’a pas de sens dans le cadre des espaces affines : en dimension 2 par exemplel’application E → R qui s’exprime dans un repere R sous forme x2 + y2 s’exprimera apres unetranslation de l’origine (sans changer les vecteurs de base) sous forme (x′ + a)2 + (y′ + b)2, quin’est plus un polynome homogene.

Polynomes de degre 6 2 sur une droite affine

Nous rappelons ici ce que donne l’etude des trinomes ux2 + vx+w lorsque l’on autorise leschangements de variables affines x′ = ex+ f (e 6= 0).

Dans un repere affine convenable, un polynome degre 6 2 sur une droite reelle affine seramene a une et une seule des formes suivantes. Pour chaque forme reduite, on donne (( entitre )) la nature et le nombre des zeros du polynome :

Degre 2 :

1. Deux points reels

(a) x2 − a, a > 0

(b) −x2 + a, a > 0

2. Deux points complexes conjugues

(a) x2 + a, a > 0

(b) −x2 − a, a > 0

3. Un point reel double.

(a) x2

(b) −x2

Degre 1 :

4. Un point reel simple : x

Degre 0 :

5. Aucun point (ni reel, ni complexe) :

(a) a, a > 0

(b) −a, a > 0

6. Tous les points : 0

La complication du resultat laisse mal augurer de ce qui va se passer pour les polynomes dedegre 6 2 en 2 variables.

En fait si l’on s’interesse a l’ensemble des zeros, on peut autoriser la multiplication dupolynome par une constante non nulle, et on perd un degre de liberte.

Alors dans la classification precedente il ne reste qu’un nombre fini de cas :

Degre 2

1. Deux points reels : x2 − 1

2. Deux points complexes conjugues : x2 + 1

3. Un point reel double : x2

7.2 Les coniques 47

Degre 1 :

4. Un point reel simple : x

Degre 0 :

5. Aucun point (ni reel, ni complexe) : 1


Nous allons voir que ce phenomene (classification finie) se produit egalement en dimensionsuperieure.

7.2 Les coniques

On se situe dans un plan reel affine P.

Classification complete des polynomes de degre 6 2

On verifie par un calcul direct qu’un changement de variables affine ne change pas la signa-ture de la forme quadratique donnee par la composante homogene de degre 2 d’une fonctionpolynomiale de degre 6 2.

Par ailleurs si on multiplie a fonction par un nombre < 0 on passe de la signature (k, `) a lasignature (`, k). Si on considere toutes les signatures possibles en dimension 2, qui sont (2, 0),(1, 1), (0, 2), (1, 0), (0, 1), (0, 0), on ne doit donc garder que (2, 0), (1, 1), (1, 0) (on note que(0, 0) correspond a un polynome de degre 6 1).

Pour etudier un polynome de degre 2, on peut d’abord reduire la composante homogene dedegre 2 en suivant la theorie des formes quadratiques en dimension 2. Ensuite, selon la formeobtenue pour la composante de degre 2, on se ramene a une forme plus simple, en essayant desupprimer les termes de degre 1, par exemple par une translation.

On aboutit au resultat suivant.

Toute fonction polynomiale de degre 6 2 sur un plan affine se ramene, apres multiplicationpar une constante non nulle, a une et une seule des formes suivantes (pour chaque forme reduite,on donne (( en titre )) la nature des zeros du polynome) :

Degre 2 :

1. Ellipse : x2 + y2 − 1

2. Hyperbole : x2 − y2 − 1

3. Parabole : x2 − y

4. Ellipse imaginaire : x2 + y2 + 1 (pas de point reel)

5. Deux droites reelles secantes : x2 − y2

6. Deux droites imaginaires conjugees secantes : x2 + y2 (un point reel unique)

7. Deux droites reelles paralleles : x2 − 1

8. Deux droites imaginaires conjuguees paralleles : x2 + 1 (pas de point reel)

9. Une droite reelle (( double )) : x2

Degre 1 :

10. Une droite reelle simple : x

Degre 0 :

11. Aucun point : 1



Dans quelle mesure une courbe de degre 2 est-elle determinee par son equation ?

La reponse a la question est : oui, l’equation d’une courbe de degre 2 est determinee, a unfacteur multiplicatif pres, par les points de la courbe dans P, pour les cas suivants : ellipse,parabole, hyperbole, deux droites secantes, deux droites paralleles.

Si on veut un resultat completement general il faut faire intervenir aussi les (( pointscomplexes )) de la courbe, mais nous n’avons pas bien defini l’espace dans lequel ils se trouvent.

Si on tolere de faire descendre le degre en dessous de 2, une droite double ne peut pas etredistinguee d’une droite simple par la seule consideration de ses points (reels ou complexes).

Coniques degenerees

Parmi les fonctions polynomiales de degre 2 on trouve, outre les ellipses, hyperboles et pa-raboles, les types suivants, les courbes correspondantes sont appelees des coniques degenerees :

1. Deux droites reelles secantes : x2 − y2 = 0

2. Deux droites imaginaires conjugees secantes : x2 + y2 = 0, (un seul point reel), celui decoordonnees (0, 0).

3. Deux droites reelles paralleles : x2 − 1 = 0

4. Deux droites imaginaires conjugees paralleles : x2 + 1 = 0 (pas de point reel)

5. Une droite reelle double : x2 = 0

Voici maintenant l’explication du mot (( degeneree )) en termes de forme quadratique.Si l’expression d’une fonction polynomiale de degre 6 2 dans un repere R est ϕ(x, y) =

ax2 + bxy + xy2 + dx+ ey + f , on peut considerer (( l’homogeneise )) de ϕ en introduisant une(( variable d’homogeneisation )) z et en definissant formellement

ψ(x, y) = z2ϕ(x/z, y/z) = ax2 + bxy + xy2 + dxz + eyz + fz2

Un changement de variables affine en (x, y) (du typeX = PX ′+Q) produit alors un changementde variables lineaire en (x, y, z) = z · (x/z, y/z, 1). Precisement en posant Z = t[x y 1 ] etZ ′ = t[x′ y′ 1 ] on obtient

Z =P Q

0 0 1Z ′

Donc la forme ψ se reecrit en utilisant le changement de variables lineaire correspondant a la

matriceP Q

0 0 1

∈ GL3(R) ci-dessus, et le type de la forme ψ (a changement de variables

lineaire pres) ne depend que du type du polynome ϕ (a changement de variables affine pres).On voit alors facilement, en homogeneisant les formes reduites obtenues pour les polynomes dedegre 6 2 que la forme quadratique ψ est non degeneree seulement dans les 4 cas suivants :ellipse, hyperbole, parabole, ellipse imaginaire.

En outre on verifie que ellipse, hyperbole et parabole donnent en fait le meme type pourψ (rappelons que l’on travaille toujours a constante multiplicative pres), a savoir une formequadratique de signature (2, 1) : x2 + y2 − z2 (sous forme plus imagee : de type + + −).

L’ellipse imaginaire correspond a une homogeneisee de signature (3, 0), du type x2 +y2 +z2.Les coniques degenerees correspondent a des homogeneisees degenerees de signature (2, 0)

ou (1, 1).

7.2 Les coniques 49

Nous appelons forme quadratique dominante (associee a la fonction polynomiale q) la formedonnee par la partie homogene de degre 2 lorsque l’on a choisi un repere cartesien et que l’onexprime q par un polynome de degre 2 en les coordonnees. Le type de cette forme quadratiqueest bien defini car un changement de variables affine (un changement de repere cartesien) induitsur cette forme dominante un changement de variables lineaire.

Nous sommes donc en possession de deux formes quadratiques assocees a q : la formedominante et la forme homogeneisee.

Voici alors un autre regard sur la classification des polynomes de degre 6 2, utilisant le typede chacune des deux formes quadratiques.

Nom Equation Homogeneisee Dominante

ellipse imaginaire x2 + y2 + 1 + + + + +

ellipse x2 + y2 − 1 + + − + +

hyperbole x2 − y2 − 1 + + − + −

parabole x2 − y + + − + 0

2 droites sec. imag. x2 + y2 + + 0 + +

2 droites secantes x2 − y2 + − 0 + −

2 droites paralleles x2 − 1 + − 0 + 0

2 droites par. imag. x2 + 1 + + 0 + 0

1 droite double x2 + 0 0 + 0

1 droite simple x + − 0 0 0

rien 1 + 0 0 0 0

tout 0 0 0 0 0 0


7.3 Les quadriques

L’herbier des quadriques non degenerees

Figure 2 – Ellipsoıde x2 + y2 + z2 = 1

Figure 3 – Hyperboloıde a 1 nappe x2 + y2 − z2 = 1

7.3 Les quadriques 51

Figure 4 – Hyperboloıde a 2 nappes x2 + y2 − z2 = −1

Figure 5 – Paraboloıde elliptique x2 + y2 − z = 0


Figure 6 – Paraboloıde hyperbolique x2 − y2 − z = 0

Classification complete en degre 2

Nom Equation Homogeneisee Dominante

ellipsoıde imaginaire x2 + y2 + z2 + 1 + + + + + + +

ellipsoıde x2 + y2 + z2 − 1 + + + − + + +

hyperbolıde 2 nappes x2 + y2 − z2 + 1 + + + − + + −

paraboloıde elliptique x2 + y2 − z + + + − + + 0

hyperbolıde 1 nappe x2 + y2 − z2 − 1 + + − − + + −

paraboloıde hyperbolique x2 − y2 − z + + − − + − 0

cone imaginaire x2 + y2 + z2 + + + 0 + + +

cone (elliptique) x2 + y2 − z2 + + − 0 + + −

cylindre elliptique x2 + y2 − 1 + + − 0 + + 0

cylindre hyperbolique x2 − y2 + 1 + + − 0 + − 0

cylindre parabolique x2 − y + + − 0 + 0 0

2 plans secants imag. x2 + y2 + + 0 0 + + 0

2 plans paralleles imag. x2 + 1 + + 0 0 + 0 0

2 plans secants x2 − y2 + − 0 0 + − 0

2 plans paralleles x2 − 1 + − 0 0 + 0 0

1 plan double x2 + 0 0 0 + 0 0

8 Complements de geometrie

8.1 La methode des moindres carres

On considere un systeme lineaire reel de m equations a n inconnues. Il peut etre representesous forme matricielle par l’equation

AX = B A ∈ Mm,n(R), B ∈ Mm,1(R), X ∈ Mn,1(R)

On peut egalement interpreter ceci au moyen d’une application lineaire Rn → Rm. Il ar-rive que le probleme a resoudre ait une nature physico-geometrique qui fait que les normeseuclidiennes usuelles sur Rn et Rm ait une signification objective, dont il faut tenir compte.

Alors si le systeme n’admet pas de solution, il est legitime de choisir une solution approcheeen un sens convenable. S’il en admet plus qu’une, on peut aussi estimer qu’il en existe demeilleures que d’autres.

Voici un probleme qui justifie un choix legitime, courant dans les problemes pratiques.

Trouver un X tel que ‖AX −B‖ soit minimum.

Et parmi les X possibles, trouver celui qui est de norme minimum.

Si A est une matrice injective, ce qui correspond a un systeme lineaire surdetermine, on ditque l’on resout le systeme lineaire au sens des moindres carres.

Voici une solution theorique pour le probleme general encadre ci-dessus. Tout d’abord onremplace B par sa projection orthogonale B0 = πF (B) sur l’espace vectoriel F image de A.Ensuite, si X0 est une solution de AX = B0 et si K = KerA, on doit remplacer X0 parX0 − πK(X0) pour trouver la solution (( la meilleure )).

Cette approche, correcte en theorie, est cependant un peu naıve car il arrive que la matriceA n’ait pas un rang bien defini du point de vue numerique. Cela se produit notamment lorsqueses coefficients ne sont connus que de maniere approchee et que la matrice n’est pas clairementde rang maximum. Dans ce cas son noyau et son image ne sont pas bien definis.

Par ailleurs, a supposer que le rang de A soit clairement connu, il reste tout le problemede savoir comment conduire les calculs avec des (( reels machine )) (en virgule flottante) pourobtenir une solution fiable.

8.2 Les isometries affines

Pour un espace affine euclidien (E , E) on est interesse par les isometries, c’est-a-dire les

bijections de E qui conservent la distance euclidienne d(MN) =∥∥∥−−→MN

∥∥∥.

Lemme 8.1 Une transformation affine ϕ : E → E conserve les distances si et seulement si sapartie lineaire ψ conserve le produit scalaire. Dans un repere cartesien orthonorme, cela signifieque la matrice de ψ est orthogonale.

Lemme 8.2 Dans un espace affine euclidien, pour deux points distincts A et B, l’ensemble des

points equidistants de A et B est un hyperplan affine : l’hyperplan orthogonal a−→AB passant

par le milieu I = A+B2

du segment [AB]. On l’appelle l’hyperplan mediateur de A et B.

Definition 8.3 Dans un espace affine E (non necessairement euclidien), considerons un reperecartesien (A0, E), avec E = (e1, . . . , en). Notons Ai = A0 + ei. Un tel systeme de n + 1 pointsde E , (A0, A1, . . . , An), est appele un repere affine de E .

54 Mathematiques. L2. 8 COMPLEMENTS DE GEOMETRIE

Exemples. En dimension 1, 2, 3 : deux points distincts, triangle non aplati, tetraedre nonaplati.

Fait 8.4 Dans un espace affine de dimension n, un systeme de n+1 points est un repere affinesi et seulement si il n’est contenu dans aucun hyperplan affine.

Lemme 8.5 Soit (E , E) un espace affine euclidien. Si une bijection de E conserve les distanceset fixe un repere affine, elle est egale a l’identite. Autrement dit encore : si deux bijections de Econservent les distances et transforment de la meme maniere un repere affine, elles sont egales.

Demonstration. Pour le premier point : si ce n’etait pas l’identite, il y aurait un point B qui apour image un point C distinct de B. Mais alors tous les points du repere affine devraient etredans l’hyperplan mediateur de C et B.Pour le deuxieme point on compose la premiere bijection avec la bijection inverse de la se-conde : c’est une bijection qui conserve les distances et fixe le repere affine considere. Donc c’estl’identite. 2

Theoreme 8.6 Si une bijection de E conserve les distances, c’est une transformation affineet elle est egale au produit d’au plus n+ 1 symetries orthogonales par rapport a des hyperplansaffines de E .

Demonstration. Il suffit de construire une transformation affine qui envoie un repere affinedonne R sur un repere affine isometrique R′ au moyen du produit d’au plus n + 1 symetriesorthogonales par rapport a des hyperplans affines. Cela se fait par etapes. La premiere etapeenvoie le premier point de R sur le premier point de R′ au moyen de la symetrie orthogonalepar rapport au plan mediateur des deux points. Ceci transforme R en R1. Ensuite on envoiede la meme maniere le deuxieme point de R1 sur le deuxieme point de R′. On verifie que lepremier point de R1 ne bouge pas. Apres deux symetries orthogonales on a donc transforme Ren R2, les deux premiers points de R2 etant les memes que ceux de R′. Il suffit de continuer.On peut voir la chose fonctionner dans le plan et dans l’espace de dimension 3. 2

8.3 Coniques

Ellipses, hyperboles et paraboles

Une ellipse est une courbe qui possede une equation de la forme x2 + y2 − 1 = 0 dans unrepere affine convenable, l’origine est un centre de symetrie, la courbe est bornee (entierementcontenue dans un parallelogramme).

Elle admet le parametrage t 7→ (cos t, sin t).Du point de vue purement algebrique le parametrage (( rationnel )) suivant est plus interessant :

t 7→(

1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

).

Avec y = t(1 + x). Ce parametrage rationnel est presque une bijection : le point (−1, 0) est lalimite lorsque t tend vers ±∞.

8.3 Coniques 55

Figure 7 – Ellipse x2 + y2 = 1

Figure 8 – Hyperbole x2 − y2 = 1

Une hyperbole est une courbe qui possede une equation de la forme x2 − y2 − 1 = 0 dansun repere affine convenable, l’origine est un centre de symetrie, la courbe est non bornee, ellepossede deux branches, les droites x + y = 0 et x − y = 0 sont asymptotes a chacune desdeux branches. On dit que les directions des droites x + y = 0 et x− y = 0 sont les directionsasymptotiques de l’hyperbole.

Elle admet le parametrage t 7→ (cosh t, sinh t).

Du point de vue purement algebrique le parametrage (( rationnel )) suivant est plus interessant :

t 7→(

1

2

(t+

1

t

),1

2

(t− 1

t

)).


Avec t = x + y. Ce parametrage rationnel est presque une bijection : la valeur t = 0 duparametre est interdite. On obtient une branche pour t ∈ ]−∞, 0[ , l’autre pour t ∈ ]0,+∞[ .

Les (( points s’eloignant a l’infini )) sur l’hyperbole correspondent a t = 0+, t = 0−, t = +∞,t = −∞.

Une parabole est une courbe qui possede une equation de la forme x2−y = 0 dans un repereaffine convenable. Elle ne possede pas de centre de symetrie. Elle est non bornee et elle admetune seule branche. Lorsque x tend vers ±∞ le point M correspondant sur la courbe s’eloigne etla direction de (AM) (pour A fixe) tend vers celle de l’axe des y. On dit que c’est la directionasymptotique de la parabole.

Elle admet le parametrage bijectif t 7→ (t, t2) avec t = x.

Figure 9 – Parabole x2 − y = 0

Intersection avec une droite

Etudier l’intersection d’une ellipse, hyperbole ou parabole, d’equation q(M) = 0 avec unedroite D, revient a etudier la restriction de la fonction polynomiale q a la droite D. Si (A, u)est un repere affine de D, et R un repere affine de P on a(

a+ teb+ tf

)=E ,R A+ tu,

de sorte que q(A+ tu) sera un polynome de degre 6 2 en t.Suivant les cas on aura la situation suivante :– 2 points reels : droite secante– 1 point reel double : droite tangente– 2 points complexes conjugues : droite (( exterieure a la conique ))

– 1 seul point reel : droite qui coupe la conique et qui a pour direction une directionasymptotique de la conique (on dit aussi que c’est une secante dont le deuxieme pointd’intersection est a l’infini)

– aucun point : droite asymptote (on dit aussi que la droite est tangente a l’hyperbole al’infini)

8.3 Coniques 57

– tous les points : ce cas ne se produit pas avec nos trois coniques, car elles ne contiennentjamais 3 points alignes.

Symetries d’une conique

Les transformations affines σ de P qui verifient σ2 = IdP sont appelees des symetriesaffines. Une symetrie affine σ possede au moins un point fixe, car pour tout point M , le point12(M + σ(M)) est fixe. Si on prend un repere affine ayant pour origine un point fixe de la

symetrie on est donc ramene a l’etude des symetries vectorielles qui sont (( bien connues )) :symetrie par rapport a un sous espace dans la direction d’un sous-espace supplementaire, avecpour forme reduite une matrice diagonale ayant les seules valeurs propres ±1.

Parmi les symetries affines du plan P, outre l’identite on trouve donc :

– les symetries-point : symetrie a un seul point fixe A, notee σA ; dans un repere R = (A, E),elle s’exprime par (x, y) 7→ (−x,−y),

– les symetries-droite : symetrie admettant une droite de points fixes D, dans un repereconvenable R = (A, (u, v)), elle s’exprime par (x, y) 7→ (x,−y). La droite D est D =A+Ru, la droite vectorielle ∆ = Rv est appelee la direction de la symetrie. On note σD,∆

cette transformation, on l’appelle la symetrie d’axe D dans la direction ∆.

Theoreme 8.7 (symetries des coniques)

1. Une ellipse ou une hyperbole possede un et un seul centre de symetrie.

2. Une droite D passant par le centre de symetrie d’une ellipse est l’axe d’une et une seulesymetrie-droite qui conserve l’ellipse.

3. Une droite D passant par le centre de symetrie d’une hyperbole, et distincte des asymp-totes, est l’axe d’une et une seule symetrie-droite qui conserve l’hyperbole. De manieregenerale, les symetries qui conservent l’hyperbole sont les memes que celles qui echangentou conservent les asymptotes.

4. Une parabole ne possede pas de centre de symetrie. Toute droite possedant la directionasymptotique de la parabole est l’axe d’une et une seule symetrie-droite conservant laparabole. Il n’y a pas d’autres symetries affines conservant la parabole.

Sections coniques

Lorsque l’on a une courbe C dans un plan affine P, avec un systeme de coordonnees (x, y)par rapport a un repere cartesien R = (A, (i, j)), on peut regarder ce plan comme le plan z = 1dans un espace affine de dimension 3 par rapport a un repere cartesien R′ = (O, (i, j, k)) ou

le vecteur k est−→OA. Considerons alors le cone de sommet O qui s’appuie sur la courbe C . Si

l’equation de la courbe est q(x, y) = 0, l’equation du cone, comme equation en (x, y, z), est,pour z 6= 0, q(x/z, y/z) = 0. Si q est un polynome de degre k en x, y, on peut retrouver unpolynome de degre k en (x, y, z) en prenant qhom = zkq(x/z, y/z) : cela s’appelle l’homogeneisede q (en degre k).

Voici ce que cela donne avec les trois coniques reelles non degenerees :

– une ellipse d’equation x2 + y2 − 1 = 0 donne un cone d’equation x2 + y2 − z2 = 0– une hyperbole d’equation x2 − y2 − 1 = 0 donne un cone d’equation −x2 + y2 + z2 = 0– une parabole d’equation x2 − y = 0 donne un cone d’equation x2 − yz = 0, ce qui donne

apres un changement de variables lineaire x′2 + y′2− z′2 = 0


Ainsi, les trois coniques ne fabriquent qu’un seul cone !

Inversement si on prend un cone x2 + y2− z2 = 0 dans un espace affine E de dimension 3 etsi on l’intersecte par un plan, lequel admet un systeme de coordonnees (x′, y′) par rapport a unrepere R′ = (A′, (u, v)), le point courant du plan M = A′+x′u+y′v admet comme coordonneesdans E :

(x, y, z) = (a1 + b1x′ + c1y

′, a2 + b2x′ + c2y

′, a3 + b3x′ + c3y

′),

d’ou l’equation de l’intersection :

(a1 + b1x′ + c1y

′)2 + (a2 + b2x′ + c2y

′)2 − (a3 + b3x′ + c3y

′)2 = 0.

Le polynome obtenu reste forcement de degre 2, mais cela ne saute pas aux yeux. La raisonest qu’une forme quadratique non degeneree en dimension 3 ne possede pas de sous-espacetotalement isotrope de dimension 2.

Une etude detaillee montre que l’on obtient les types suivants, qui correspondent bien a (( ceque l’on voit )) :

– non degenerees (plan ne passant pas par le sommet du cone)– hyperbole– ellipse– parabole

– degenerees (plan passant par le sommet du cone)– deux droites secantes– deux droites imaginaires conjuguees secantes– une droite double (plan tangent au cone)

Les trois premiers cas correspondent (dans le meme ordre) aux trois seconds : on prend le planparallele passant par le sommet du cone.

Points conjuges par rapport a une conique

Nous introduisons ici la variante affine de la relation d’orthogonalite pour les formes qua-dratiques.

Etant donnee une fonction polynome de degre 6 2, q : P → R, M 7→ q(M), qui s’exprimedans un repere cartesien R sous la forme

ϕ(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f

on peut definir sa forme polaire b(M,M ′) qui s’exprimera en coordonnees dans le meme repereR par

ϕ1(x, y;x′, y′) = axx′ +

1

2b(xy′ + x′y) + cyy′ +

1

2d(x+ x′) +

1

2e(y + y′) + f

de sorte que b(M,M) = q(M). Si on pose

ψ(x, y;x′, y′) =1

2

(∂ϕ

∂x(x, y)x′ +

∂ϕ

∂y(x, y)y′

)on aura ϕ1 = 1

2(ψ(x, y;x′, y′) + ψ(x′, y′;x, y)).

Cette definition ne depend pas du repere cartesien choisi parce que

b(M,M ′) = 2q

(M +M ′

2

)− 1

2(q(M) + q(M ′))

8.3 Coniques 59

en effet :2(

x+x′

2

)2 − 12x2 − 1

2x′2 = xx′

2 (x+x′)2

(y+y′)2

− 12xy − 1

2x′y′ = 1

2(xy′ + x′y)

2 (x+x′)2

− 12x− 1

2x′ = 1

2(x+ x′)

2× 1− 12× (1 + 1) = 1

Les points M et M ′ sont dits conjugues par rapport a la conique C definie par q lorsqueb(M,M ′) = 0.

Proposition 8.8

1. Deux polynomes de degre 6 2 qui definissent la meme relation de conjugaison dans Psont proportionnels (meme si la conique n’a pas de points reels, ou si elle a un seul pointreel).

2. Pour une ellipse, une parabole ou une hyperbole on a :

(a) Les conjugues d’un point arbitraire, distinct du centre dans le cas ellipse ou hyperbole,forment une droite. On dit que la droite est la droite conjuguee du point par rapporta la conique.

(b) On obtient ainsi une bijection entre les points du plan (distincts du centre dans lecas ellipse ou hyperbole) et les droites du plan (ne passant pas par le centre dans lecas ellipse ou hyperbole).

(c) La droite conjuguee d’un point de la conique est la tangente en ce point.

Les deux formes quadratiques associees a une conique

Quand on a classifie les coniques, on a utilise deux formes quadratiques attachees a laconique, definies comme la forme dominante d’une part, l’homogeneisee d’autre part.

On peut essayer de mieux comprendre ces deux formes en donnant des definitions qui nedependent pas du repere affine dans lequel on exprime l’equation de la conique.

Concernant la forme quadratique (( dominante )), voici une explication valable en toute dimen-sion, pour toute fonction polynomiale de degre 6 2 sur un espace affine reel.

Proposition 8.9 Si (E , E,+) est un espace affine et si q : E → R est une fonction polynomialede degre 6 2 on peut ecrire

q(A+ u) = q(A) + À(u) + θ(u),

ou À est une forme lineaire (un element de E?) qui depend de A, et θ : E → R est une formequadratique qui ne depend pas de A.

Demonstration. L’ecriture q(A+ u) = q(A) + À(u) + θA(u) n’est autre que l’ecriture generaled’un polynome de degre 6 2 lorsque le repere affine choisi a pour origine A, et a priori, on a unedependance une possible de θ par rapport a A. Si B = A+ b, on obtient q(B + u) = q(A+ b+u)+À(b+u)+θA(b+u) et q(B) = q(A+b)+À(b)+θA(b). En notant βA(x, y) la forme polairede θA, on obtient q(B+ u) = q(B) + À(u) + 2βA(b, u) + θA(u). Ainsi `B(u) = À(u) + 2βA(b, u)et θA(u) = θB(u). 2

On peut aussi comprendre en analyse que θ ne depend que de q en remarquant que

θ(u) = limt→∞

q(A+ tu)/t2.


Pour cette raison on peut dire que θ est la forme quadratique a l’infini de la fonction polyno-miale q.

Comme consequence on retrouve qu’un changement de variables affine ne change pas lasignature de la forme quadratique donnee par la composante homogene de degre 2 d’une fonctionpolynomiale de degre 6 2.

Concernant la forme quadratique (( homogeneisee )), la chose est un peu plus delicate. Voici uneexplication informelle dans le cas de la dimension 2. Soit P un plan affine et π : P → R unefonction polynomiale de degre 6 2.

On considere le plan affine P comme etant un plan affine plonge dans un espace vectorielE de dimension 3, avec un plongement tel que P ne contienne par l’origine O, c’est-a-dire le0E de E. On peut identifier les vecteurs de P aux vecteurs correspondants de E.

Si R = (A, (u, v)) est un repere affine de P, alors E = (u, v, A) est une base de E. Notons(x, y, z) les coordonnees d’un (( point )) de E sur cette base. Celle-ci donne le repere cartesien(O, E) = (O, (u, v, A)) de E lorsque l’on le considere comme un espace affine. L’equation de Pdans ce repere est z = 1.

Soit p(x, y) le polynome qui exprime la fonction polynomiale π dans le repere R. Alorsla forme quadratique homogeneisee de p : q(x, y, z) = z2p(x/z, y/z), exprime sur la base Eune forme quadratique sur E. Cette forme quadratique est l’equation du cone de sommet Os’appuyant sur la conique dont l’equation dans R est p(x, y) = 0.

8.4 Quadriques

Les droites qui (( s’appuient )) sur trois droites de l’espace

Intersection avec un plan

Points conjugues par rapport a une quadrique

Les deux formes quadratiques associees a une quadrique

henri lombardi - formes bilin´eaires sym´etriqueshlombardi.free.fr/publis/alg4-1.pdfformes...

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