heiberg opera omnia, vol. i

AECHIMEDIS

OPERA OMNIACUM COMMENTARIIS EUTOCII.

E CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT

NOTISQUE ILLUSTRAUIT

J. L. HEIBERGDB. PHIL.

UOLUMEN L

LIPSIAE

IN AEDIBUS B. G. TEUBNERL

MDCCCLXXX.

Iln

IiIPSIA.E : TTPIS B, G. TEUBNBRI,

I. K MADUIGIOUIRO DOCTISSIMO, CLARISSIMO, HUMANISSIMO

EDITOR DISCIPULUS.

PRAEFATIO.

Opus magnum et difficile, sed necessarium et

ab omnibus, qui hanc partem litterarum adtigerunt,

iam diu desideratum, ad quod dissertatione mea,

quae inscribitur Quaestiones Arcbimedeae (Hauniae

MDCCCLXXIX), uiam, quantum potui, muniui, ut opera

Arcbimedis tandem aliquando e legibus artis criticae

ederentur et ita, ut philologis quoque non res modo,

sed etiam uerba ipsa et quasi manum Archimedis

requirentibus satisfieret, id iam ipse efficere conabor.

nam quod primum omnium faciendum erat, ut codex

Florentinus praestantissimus denuo diligenter conferre-

tur, id mihi Florentiae facere licuit mense Octobri anni

MDCCCLXXIX, quo profectus eram pecunia Insti-

tuti Carlsbergici adiutus. quam ob liberalitatem

iis uiris, qui huic instituto praesunt; gratias hoc loco

ago quam maximas, in primis I. N. Maduigio, uiro

doctissimo et clarissimo, praeceptori meo, qui ceteris

suis beneficiis hoc quoque adiunxit.

eodem itinere etiam codicem Uenetum inspexi et

in Arenario totum contuli.

collato codice Florentino mihi persuasi, quaestionem

de necessitudine et coniunctione codicum Archime-

deorum, de qua egi Quaest. Arch. cap. VI, retractan-

dam esse; quare de hac re ad finem huius editionis

VI PRAEFATIO.

uberius disputabo. boc loco pauca tantum dicenda

sunt de ea ratione, quam in bac editione comparanda

secutus sum.

in uniuersum editionem Pappi, quam parauit

Fr. Hultscli, uir doctissimus, tamquam exemplar om-

nium consensu comprobatum mihi imitandam proposui.

itaque non modo notas criticas Graecis uerbis subiunxi,

sed etiam interpretationem Latinam addidi, ad quam

notae res matbematicas plerumque explicantes adcedunt.

Primum igitur quod ad adparatum, quem uocant,

criticum adtinet, eum ita comparaui, ut id maxime

adpareret, quid quoque loco praeberet codex Floren-

tinus, et sicubi emendanda erat scriptura eius, quis

emendationis auctor esset. quare ubicunque a codice

Florentino discessi, in notis eius scripturam primo loco

posui, deinde adiunxi emendatae scripturae auctorem,

ita ut, ubi nihil ultra additum est, omnes auctores

tempore medios, ubi nonnullorum scriptura discrepans

enotata est, ceteros certe cum codice Florentino con-

sentire intellegendum sit. qua in re hoc tamen tenen-

dum est, errores apertos codicum Parisiensium prorsus

omissos esse. ubi sola scriptura codicis Florentini in-

dicatur, errores eius iam in ceteris codicibus correcti

sunt, si collationibus Torellianis fides habenda est;

sed non dubito, quin in multis eius modi locis scrip-

tura codicum Parisinorum parum diligenter enotata sit

(Quaest. Arch. p. 111 sq.). in locis grauioribus*) codices

Parisinos inspexit Henricus Lebegue mea causa ro-

gatus a Carolo Graux, uiro doctissimo mihique ami-

*) Scripturis codd. Parisin. , de quibus me certiorem fecit

H. Lebegue, stellulam adfixi.

PRAEFATIO. VII

cissimo; sed in minutiis iis molestus esse nolui; sic quo-

que quae mea causa fecerunt, permagna sunt et sumnla

gratia digna, quam me iis habere hoc loco testor. —scripturam discrepantem editionum Basileensis et To-

rellii totam recipere opus esse non putaui, sed quid-

quid ad uerba Archimedis emendanda inde sumi posse

uidebatur, excerpsi. ceterum saepissime codicem Floren-

tinum secutus a Torellio tacite discessi, et in eiusmodi

locis silentium pro testimonio scripturae codicis Floren-

tini esto, sicut etiam ubi scripturam eius aliter, ac Bandi-

nius in collatione sua ad editionem Basileensem facta,

quae apud Torellium exstat; indicaui, mihi credi uelim.

in commentario critico his compendiis usus sum:

F = codex Florentinus Laurentianus plut. XXVIII, 4.

V = codex Uenetus St. Marci CCCV.A = codex Parisiensis Nr. 2359.

B = codex Parisiensis Nr. 2360.

C = codex Parisiensis Nr. 2361.

D = codex Parisiensis Nr. 2362.

ed. Basil. = editio Basileensis 1544 fol.

Cr. = interpretatio lacobi Cremonensis ei addita.

uulgo = significat consensum omnium auctorum prae-

ter eos, qui diserte nominati sunt.

corr. = correxit.

comp. = compendium.

Qui recentiore tempore de Archimede scripserunt

uiri docti, haud ita multi sunt, neque ad scripta eius

emendanda multa contulerunt. quibus uti potui sub-

sidiis, haec sunt:

Riualtus — Archimedis opera. Parisiis 1615 fol.

Torellius — Archimedis opera. Oxonii 1792 fol.

^jjlPEAEFATIO. I

Commandinus - A. opera nonnulla latine. Uenetiis

1558 fol. . ... r>^^«;;

Wallis - A. arenarius et dimensio circuh. Oxonu

.g78 8. - Opera III p. 509 sq.

Sturm - Des unvergleicUichen^^^^^^'%f''^;':

bucher, ubersetzt und ermutert. Nurnberg 1670 fol.

Barrowius - Opera Archimedis methodo novo xUu-

strata et demonstrata. Londmi 1675. 4.

Hauber - A. uber Kugel und Cylinder und uber Kreis-

messung, ttbersetzt mit Anmerkungen. Tubmgen

Guteia!ker - A.'s Kreismessung griechisch und deutsch.

Wurzburg 1828. 8., . . j „r

Nizze - A.'s vorhandene Werke, ubersetzt und er-

kVart. Stralsund 1824. 4.

Censor lenensis (Jen.) - Uir doctus ignotus, qm de edi.

tione Torellii censuram proposmtJenaer Litteratur-

zeitung 1795 Nr. 172-73 p. 610-23.

Wurm - Fr. Wmmii censura edxtioms Gutenacken

Jahns Jahrbucher XIV p. 175-85

emendationes nomiullas ipse proposui Q^.^est^ Arch.

can VII et in editione Arenarii ei hbro admncta, qua-

rum partem nunc improbaui, plerasque «cepi^ m

Eutocio quaedam emendare conatus sum Neue Jahr-

b^her fl Philologie und Padagogik, Supplement-

'in?nt'errreUtione Latina, quam totam de meo

conscripsi, id maxime secutus sum, ut ubique sensus

TaL dSucide adpareret, et Archimedea oratxon. fo™^

et demonstrandi ratio quam maxime seruaretur, ita

tamen ut, ubi fieri posset, ea, quae Archxmedes uerbxs

PRAEFATIO. IX

«xposuerat, signis, quibus nostri mathematici utuntur,

exprimerem. quod ut fieret^ interdum ab usu linguae

Latinae longius discedere coactus sum, niaxime in

collocatione uerborum, et parum Latine loqui, ne aut

obscura esset interpretatio aut a Graecis uerbis nimis

discreparet. in multorum uerborum interpretatione

Hultschium secutus sum, uelut, eo praeeunte pro

GrsiecoYum dc7tlcc6Log ceit sequente genetiuo dixi: duplo

maior quam, cett. (Hultsch: Pappus I p. 59 not. 1);

sed ubi haec orationis forma minus apta erat, uelut

pro Graeco dinXa^Cova Xoyov exsLV^ scripsi: duplicem

rationem habere quam, et similia (cfr. Liuius XXXIV,

19, 4; Columella I, 8, 8; Plinius h. nat. XIX, 9;

Quintil. II, 3, 3).^

In notis interpretationi adiunctis maxime id

studui, ut supplerem, quae ab Archimede in demon-

stratione omissa erant, et locos obscuriores illustrarem.

in libris de sphaera et cylindro et libello de dimen-

sione circuli in notis indicaui, quaecunque de genuina

scriptura Archimedis suspicari licet. hi enim libri

non modo dialecto Dorica spoliati sunt, sed etiam

plurimis locis reficti, cum transscriptor et adderet,

quae ei necessaria uiderentur, et omitteret, quae abesse

posse putaret, et omnino suae aetatis sermonem et

rerum mathematicarum nomina, quae tum in usu erant,

inferret. itaque cum intellegerem, in his libris ma-

num Archimedis restitui non posse, satius duxi recen-

sionem posteriorem sequi et tantum modo apertissimos

scribendi errores corrigere. sed praeter quam quod.

*) Hos locos indicauit mihi 0. Siesbyeus, uir: doctissimus.

X PRAEFATIO.

ut dixi, in notis indicaui genuinam Archimedis scrip-

turam, ubicunque aut constabat aut probabili coniectura

restitui poterat, etiam additamenta plurima in Graecis

uerbis uncis [ ] inclusi, in interpretatione omisi; in

interpretatione contra uncis [ ] inclusa sunt, quae ipse

addidi ad Archimedia uerba et demonstrationis rationem

illustranda. de additamentis illis cfr. quae scripsi

Quaest. Arch. p. 69— 78 et Neue Jabrbticher Suppl. XI

p. 384—398. in iis locis, quos postea subditiuos esse

intellexi, semper causam in notis breuiter indicaui; de

ceteris satis esto semel hic illas duas disputationes

citasse. unum locum tamen, in quo longiore dis-

putatione opus est, hic uberius tractare libet.

de sphaera et cylindro I, 41 (apud Torellium I, 47)

p. 172, 8: Kal cag aQCC ro itoXvyovov JCQog t6 Ttokv-

ycovov, 6 M avxXoQ JtQog xov N xvkXov'\ sint spatia

rectangula lateribus polygonorum (P, p) et lineis

angulos iungentibus comprehensa S, 5; quae aequalia

sunt radiis (R^ r) quadratis circulorum My N. et circulis

Nj iVfaequales sunt superficies figurariim circumscriptae

et inscriptae (0, 6). iam Archimedes inde, quod est

S:s = EK^:^A%concludi uult : o — EK^ : AA^. si genuina essent

uerba illa, hoc sic efficeret: S : s == EK^ : AA^^, sed

S:s = R^:r^ = M:N, ei EK^ : AA'^ = P : p] q\iSire

P:p = M:N',sedM:N=0:oet P:p= EK^ : AA^-,

quare : o = EK^ : AA^. quod quam prauum sit,

nemo non uidet; nam polygonorum prorsus peruerse

mentio iniecta est, cum deberet sic concludi:

S:s = R^:r^ = M:N=0:0',sed /S : s == EK^ : AA^] quare 0:0 = EK^ : AA\

PRAEFATIO. XI

augent malum uerba sequentia lin. 13 : rov de avtov, ov

xal t6 TtoXvycovov (debebat esse ra TColvycova)^quae

praecedere debebant uerba: diTtXaOLova loyov tJjcsq r] EKTtQog AA^ cum hoc ex illo concludatur. adparet igitur,

hos duos locos subditiuos esse. sed repugnare uidetur

Eutocius, qui haec habet: STtel dsdsixtac, ort s6tlv wg

to TtoXvycovov TtQog ro TtoXvycovov, ovtcog 6 M xvxXog

TtQog tbv N. sed puto, eum minus proprie loqui et

ad ipsam rationem ab Archimede in priore parte pro-

positionis demonstratam : o = EK^ : AA^ respicere.

nam cum : o == M: N (ex hypothesi) et

EK"" ^AA^^^P^p (Eucl. VI, 20),

hinc ratio F :p = M : N tam facile sequitur, ut Euto-

cius recte dicere possit, hanc rationem simul cum illa

demonstratam esse. eodem modo Archimedes dicit:

sdsC%%"Yi d\ oog i^ ^^ ^Qog AA^ ovrcog rj sk rov

OCSVtQOV tOV M TCVKIoV TtQOg tijV SK tOV TCSVtQOV tov

N Kvxlov (p. 174, 13), cum tamen hoc tantum demon-

strauerit: : o = EK^ : AA^^ unde facile concluditur

B : r = EK : AA. subditiua esse uerba illa, hinc

quoque adparet, quod Archimedes prop. 42 p. 176, 25

hanc ipsam rationem : o = P :p proponit his uer-

bis additis: sxc^tSQog yccQ tcjv koycov dcTtXd^iog s6ti

tov, 6v sisi 7] tov TtsQiysyQa^^svov itksvQa itQog

tijv rot» syysyQa^fisvov itlsvQav (h. e. EK : AA).

haec uerba sine dubio in prop. 41 addidisset, si ibi

quoque hac ratione uti uoluisset*, et praeterea Eutocius

ad prop. 42 uerba sxcctsQog yccQ KtL illustrat, cumtamen satis esset uerba ipsius Archimedis ex prop. 41

adferre. quare puto, uerba illa a transscriptore ad

similitudinem propositionis 42 interposita esse. hoc

XII PRAEFATIO.

ideo quoque pluribus uerbis exposui, ut uno saltem

exemplo additamentum manifeste argueretur, qualia

in bis libris plurima occurrunt.

in his igitur libris dialectum Doricam restituendam

non esse putaui, in ceteris uero in uniuersum eam

tenui rationem, quam proposui Quaest. Arch. p. 78 sq.,

sed eam aspere exigendam esse non censui, ut potius

cautior essem, quam ut in contrarium uitium inciderem.

Quibus subsidiis in epigrammate et iis libris, qui

Latine tantum exstant, usus sim, suis locis dieetur.

nunc finem faciam, cum ante gratias egero Nicolao

Anziani, uiro doctissimo, praefecto bibliotbecae Lau-

rentianae, cuius humanitatem egregiam Florentiae

cognoui.

haec habui, quae dicerem de consilio meo in hac

editione paranda. utinam ne uires meae tanto oneri

nimis impares sint!

Scripsi Hauniae Id. Decemb. MDCCCLXXIX.

I

DE SPHAERA ET.CYLINDRO

LIBRI II.

Archimedea , ed. Heiberg. I.

IIqoxsqov iikv d7ts0rdXxcc^sv 6oi xd sis tots xs-

d^scoQrj^sva yQdipavrsg ^srd rcov dTtodst^sav avrmvort Tidv r^rjâ ro JtsQisxo^svov VTto rs svd^stag xal

5 OQdôyovLOv x(6vov ro^^g sTtcrQirov sOn rQiycovov tov

rriv avrriv ^dîv s%ovrog ra r^t^ân xal vipog l'6ov*

[isrd ds ravra sTtinsôvrcov d^scoQrj^drayv nvSv dv-

sXsyxrovy TtsTtQayârsv^sdâ rdg ditodsi^sig avrcov. sGnv

ds rdds' jtQcorov ^svy ort Jtderjg 6cpaiQag r^ smcpdvsia

10 rsrQaitXa^Ca s6rl rot» ^syi^rov xvxXov sitsira ds, onTcavrog r^7]ârog 6cpaiQag rij sTticpavsia l'6og s6rl xv-

xlog^ ov rj sx rov xsvrQov l'6rj s6rl rfj svd^Sia rfj ditb

rrjg xoQvcprjg rov rî]ârog dyo^svrj sTtl rrjv icsQi-

cpsQSiav rov tivkXov, og s6n pdcdg ro£» rî^ârog' TtQog

1. jjatipstv] svTtQatTSiv B.. 2. dTtsGtdXHCifisv] VAD; dnsG-TaX-nd F; ccTcsGzaXyia ceteris uerbis: ffot — — avtav lin. 3

omissis B; „misi" Cr. slg tots] 8vg rcots F. tsQ-saiQrnisva\

d^scoQrinsvu F. 3. tcov] om. F. avtav'] om. F lacunarelicta. 4. ts svd^siag »tat] B; om. F; „a recta et" Cr.

5. Inter sm- et tQitov lacunam habetF. tQLycovov tov] om. F;TQLymvov tov s%ovtog B. 6. triv avtrjv §d6iv] §daiv trjv av-rrjv B; tavtr^v trjv j^dciv F. sôvtog] om. B. 7. yi^std 8s

tavta] lacunam B. sTansaovtcov] dnonsGov rcov F; nscov-

t(ov B. „nunc autem quorundam occurrentium" Cr. tLvavdvsXsyntcov] avtiXsyov F, lacunam B; „quae effectu probatavidentur" Cr. 8. nsnQayinatsviisQâ] Riualtus; nsnQayîatsvov8r] (istd F; nsnQayfia relicta lacuna B. avtav] avtd F;avtd — ndarig lin. 9 om. B lacuna relicta; „demonstrationesconscripsimus" Cr. 9. tdds] ti tdSs F; „huiusmodi" Cr.;

I.

Archimedes Dositheo s.

Antea ad te misi, quae ad id tempus perspexeram,

demonstrationibus adiunctis conscripta: quoduis seg-

mentum linea recta et parabola comprehensum tertia

parte maius esse triangulo eandem basim babenti,

quam segmentum, et altitudinem aequalem.^) postea

autem cum incidissem in theoremata quaedam nondum

demonstrata, demonstrationes eorum confeci. sunt

autem haec: primum cuiusuis sphaerae superficiem

quadruplo maiorem esse circulo maximo^); deinde

cuiusuis segmenti sphaerae superficiei aequalem esse

circulum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice

segmenti ad ambitum ductae circuli, qui basis sit

segmenti.^) et praeterea quemuis cylindrum basim

Huius epistulae restitutionem dedi Quaest. Arch. p. 131,quam hic secutus sum. tota exstat in FB solis (Quaest. Arch.

p. 118—22). In VAD prima uerba: 'Aqxf^l^V^VS — ^'O^ hn. 2

exstant; 'reliqua pars paginae primae uacat (Quaest. Arch.

p. 117; cod. Uenetum postea ipse inspexi); deinde in summapagina 2 sequuntur xaAcog cett. p. 6, 6. Haec sola uerba ex-

trema habent C, ed. Basil.; interpretatio I. Cremonensis prio-

rem partem solam praebet (Quaest. Arcb. p. 122).

1) h. e. tstQccy. naqa^. 17; 24.

2) h. e. tcsqI 6cp. xat v.vX. I, 30.

3) ibid. I, 39—40.

fort. toLCids. ndariq] tr^g F; „omnis" Cr. 10. xvhAov]yiv-nXov tav iv avtri B. ^nsita'] post lacunam slta B. 11.

VLviiXog] B; Kcovct) F; „circulus ille" Cr. 14. ^aaig B; ^dcris F.

1*

4 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

ds tovtOLg, otL Jtccg TcvlLvdQog trjv pd6LV sxav l6riv

tc5 ÊyiOtcy xvxIg) tcjv iv tfj 6(paLQ(x, vtlôg ds lOov

tfj dLaîtQG) trjg 6(paLQCcg avtog ts rj^LolLog ictLV

trjg 6(paLQag, xal rj i7CL(p(x.veLa avtov trjg iTtL^paveCag

5 tr]g 6(paLQag. tavta de ta (Sv(iJtt(6}iata avtfj tfj (pv-

(5£L TCQOVTtrJQxsv TtsQL tcc SLQri^sva ^jriiiata^ rjyvostto

ds vjto tav TtQO rj^cov JtSQl yscoiistQLav dvs6tQa^-

lisvav. vsvorjiccjg ds^ otL tovtcov rcov GjiriiKktcav

iatlv OLKsta, ovz oxvrjdaL^c dv dvtLTtaQaâXstv avtd

10 TtQog ts td tots tsd^scoQrj^sva xal TtQog td doâvta

djtodsLx^^vaL d<5(paXs6tata tcjv vjto Evdoôv JtsQL td

(jtsQsd d^SGyQrjd^svtcsv' otL Jtd6a jtvQa^lg tQLtov i6tl

liSQog JiQL6âtog tov ^d^Lv sxovtog trjv avtrjv tfj Jtv-

Qa^L^L xal vijjog i'60Vy xal ott jtdg xcavog tQLtov ^sQog

15 i6tl toZ xvXlvSqov tov pd6Lv sxovtog trjv avtrjv ta

xcovc) %al vipog l6ov, xal yaQ tovtov JtQovjtaQxovtov

(pv6LXcog JtsQL tavta td ^x^yjâtay Jtokkov jtQO Evdoôv

ysysvrj^svcov d^Ccov koyov ysco^stQcov 6vvsâLvsv vjto

1. 7cag\ ndarjg ecpuiQocq F, ndarjg ccpaiQug 6 B; „cumsquesphaerae" Cr.; fortasse retinenda erat scriptura cod. B et r?5s

6(pccLQ(xg lin. 4 delenda. xriv Bdeiv] F; 6 ^daiv fiev B.

exojv] B; sxovtog F. lerjv'] F; trjv ccvti^v B; om. Cr. 2. Tffov]

B; loaov F. 3. r^] B; om. F. avtog ts rifiLolLog] B;tots rjfiLolLOv F. satLv] F; iatL B. 5. Ss td . . . ccvtij]

om. B; „]iaec autem accidentia" Cr. r^] om. F. * tccvtoc

fi£v ty cpvasL Barrowius. 6. ^yvosfctro] '^yvosLato F; yvosi

B; ov (isvtoL ysyovsv Riualtus;„uerum non fuerant superio-

ribus cognita" Cr. 7. ds vno tav] om. B, lacuna relicta;

vno twv om. F lacuna relicta; suppleuit Riualtus; „qui antenos" Cr., qui sequentia oinisit. dvsatQccfinsvoav] avs lacunarelicta FB; dvsa-iiS(i(i£V03v Riualtus. dvsatisfifisvojv tsd-so)Qr}'\

(isva Barrowius. 8. vsvorjy.ag ds] svorj-notog F; vsvorjy.otog Bi\Tial voriasLsv Barrowius. ort] orav Riualtus; og dv Barro-]

wius. 9. satLv] om. B. olrcsLa ovyC] scripsi; om. lacunairelicta F, B; tatg dnoSsC^saLv Riualtus. oTivTâaLfiL dv] om.iB; dv om. F. dvtmaQaâXsL B. 10. nQog ts td] om. FB

DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 5

habentem circulo maximo sphaerae aequalem, altitu-

dinem autem diametro sphaerae aequalem, et ipsum

dimidia parte maiorem esse sphaera, et superficiem

eius superficie sphaerae dimidia parte maiorem.^) hae

autem proprietates ipsa natura figuris, quas cdmme-

moraui, inde ab initio erant, ignorabantur autem ab

iis, qui ante me geometriae studebant. sed cum in-

tellexerim, eas harum figurarum proprias esse, non

dubitauerim, eas eodem loco ponere, quo et ea, quae

antea perspexi, et ea, quae putantur firmissimis docu-

mentis demonstrata esse eorum theorematum, quae

Eudoxus de figuris solidis proposuit: quamuis pyra-

midem tertiam esse partem prismatis eandem basim

habentis, quam pyramis, et altitudinem aequalem,

et quemuis conum tertiam partem esse cylindri basim

eandem habentis, quam conus, et altitudinem aequa-

lem. nam cum hae quoque proprietates ipsa natura

his figuris essent inde ab initio, accidit, ut ab omni-

Tota epistula usque ad -iiaXcog p. 6, 6 in F manu poste-

riore, saeculi, ut uidetur, XV, scripta est. Riualtus cod. Bsecutus est, cum lacunas eius partim coniecturis partim inter-

pretatione I. Cremonensis Graece uersa suppleret. Torellius

Riualti scripturam praebet receptis coniecturis Barrowii (Ar-

chimedis opera. Londini 1675. 4 p. 1—2); sed in initio cctc-

satdXyiafiiv gol e cod. Ueneto recepit.

1) h. e. I, 31 TtoQiaîcc.

lacuna relicta. xots] xo F; xs B. d-sa^Qrjfisvcc B. -iicci

nQog] naiTCSQ Riualtus; oaansQ Barrowius. 11. dnodsLx^rivat,

dacpaXsataral noXXa lacuna relicta F; noX lacuna relicta B.Tcov vno Erdolov] om. F lacuna relicta; \ov post lacunam

B; tcav vno tov Evdoôv Riualtus. 12. d^scoQYitsvtatv F;Q^scoQsd^svtoov B; corr, Riualtus. 13. iisQog satt B. nvQu-yiCdsi F. 15. ^daiv [isv Torellius. 16. tovtoov'] B; novtcov F; om. Torellius. 17. Inter nQo et Ev$6ôv lacunamhabet B, sed mg. iv toig saxdtoLg xfOQLoigtovtotg ovSsv Xsinst.

18. vno] rd Riualtus; dno Barrowius.


TCccvtav ayvoslG^KL firjd^ v(p' ivog xaravorjd^rjvai. f|-

£6tai ds 7C€Qi tovtav i7Ci(3Ketpa6âL totg dvv7j6oêvoLg,

w(pBLXe fi£i/ ovv Kovovog etL tôovtog ixdidoCdâL tavta.

trjvov yaQ vTtoXa^^dvoêv tcov ^dXiOta dv dvvaiSd-ai

5 xatavorjaai tavta Tcal tijv ccQôôvOav vjcsq avtSv

dnofpaCiv TCOirjâOdâi' doxiiidôvteg 8s Tcalmg s%eiv

fietadidovai totg otxeiOig tcjv â^rj^dtcov, aTCoeteX-

Xoiiev 60i tdg dnodeiêig dvayQdâvteg^ vtcIq (ov

iêatai totg TCeQi td âd^rjâta dva6tQe(poêvoig iiCi-

10 axeifja^dâi. eQQoGo.

FQdcpovtai TCQcotov td re dî(6âta xal td laîâ-

voêva elg rdg dicodeiêig avtcov.

ASlSiMATA.

a. Ei6i tiveg iv iTCiTCedc) xa^TCvXai yQa^âl iceTCe-

15 Qa6êvai, a*C tcov td iteQata iTCiêvyvvoveSv avtc5v

sv&ei^v rjtoi okai ijcl td avrd ei6iv rj ovdev eiov6iv

ijcl td steQa.

p> . 'EtcI td avtd drj xoilrjv xalcj trjv toiavtrjv

yQa^î^v, iv rj dv dvo 6rjêiG)v ka^PavofievcDV onoiov-

20 ovv at êta^v rcov 6rjêiG}v svd^staL rjroi 7cd6ai ijcl

rd avrd 7Ci7Cr6v6iv rrjg yQa^^rjg, rj nvsg ^sv inl td

avtd, tivsg ds xat avtrjg., ijcl td stSQa ds îrjds^Ca.

1. d.yvoBta%'uC\ F, Barrowius; blgQ-cci post lacunam B.

/Lir;^'] jLM7 8' F. Inter i^satat et ds in B lacuna est; sed hucquoque referenda est adnotatio illa (ad p. 4 lin. 17). 4. dv]

om. FB. 6. dnocpuvaiv B. «aZwg] hinc rursus incipiunt Fmanus 1, ACDV, ed. Basil. 7. fiabrjficc lacuna relicta B.

dnoatslloiisv'] om. VAD; XXo(jlsv post lacunam B. 8. uno-SsL^rjg F. 9. nsQi] rs F. 10. sQQcoao] SQQcofisvoo F, SQQcafis-

vcag VABCD; corr. ed. Basil. 11. yâqpovrat] hic rursus in-

cipit Cr. td] to F ; corr. B C. * dîcoficctoc] cc^La>iicc F ; corr.

BC* 12. ccnodsLtrjg F. 13. Titulum hic et p. 8 lin.^21

om. F; hunc et numerorum seriem addidit Torellius. 19. dv]sccv F; corr. Riualtus.


bus geometris, qui tamen plurimi et praestantissimi

ante Eudoxum fuerant, ignorarentur nec a quoquam

intellegerentur. licebit autem omnibus, qui quidem

poterunt, haec inuenta mea examinare. certe Conone

uiuo haec edenda fuerunt; illum enim existimo praeter

ceteros haec intellegere potuisse et aptum de iis iudi-

cium proferre. sed operae pretium me esse facturum

ratus, si haec cum mathematices studiosis communi-

cassem, ad te demonstrationes, quas conscripsi, misi,

quas mathematices peritis licebit examinare. uale.

Primum proponuntur et postulata, et quae ad de-

monstrationes inuentorum meorum adsumpsi.

DEFINITIONES.

1. Sunt quaedam in plano curuae lineae termina-

tae, quae aut totae in eadem parte sunt rectarum

linearum terminos earum iungentium, aut nihil in altera

parte positum habent.

2. In eandem partem cauam lineam eiusmodi uoco,

in qua sumptis duobus punctis quibuslibet lineae rectae

puncta iungentes aut omnes in eandem partem lineae

cadant, aut aliae in eandem partem, aliae in ipsam

lineam, nulla autem in alteram partem.

Scripturam Riualti plerumque neglexi, quippe qui paucatantum ueri similia proposuerit. Ubi nihil aliud diserte dictumest, emendationem ipse proposui Quaest. Arch. p. 131. hoc tan-tum adiicio, lacobum Moor teste Simsono Eucl. elem. p. 404hanc epistulam ex codicibus emendasse, quae emendationes utrumpublici iuris factae sint necne, nescio. sed ueri simile est, eumipso codice Parisino B usum esse, cum constet, eundem uirumalios quoque codices Parisinos mathematicorum Graecorum con-tulisse (Hultsch: Pappos I p. XX).

8 HEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A

.

y , Ô^0LG>s ^vj âl iitLCpdvSLaC tLveg el0lv 7t67tsQa6^

^BvaLy avtal ^sv ovx iv s7CL7ti8(p^ xa df TteQara sxov-

6LV iv i7tL7tid(p^ xal rov i7tL7tidov, iv co ta TtiQata

siovClv^ rjtOL oXaL i^tl ta avta sOovtaL, ?j ovdsv

5 SXOV61V i7tL ta stsQa.

d\ 'ETtl ta avta drj xoCkag xaXa tag tOLavtag iTCL-

(pavsCag^ iv alg av dvo ^tj^sCcov la^âvoîvcov at ^s-

ta^v tcov 6rj^sCG)v svd^staL rjtoi 7ta6aL i7tl ta avta

7tC7ttov6LV trjg i^tLcpavsCag^ r] tLvsg êv i7tl ra avtcc,

10 tLVsg ds xat avtcjv, i7tl ta stsga ds ^rjds^Ca.

s\ Toîa ds 6tSQS0v xaXw, i^tstdav ^cpalqav Ti^vog

teiivfj, xoQvcprjV e^cov ^tQog ta xivtQG) trjg ^cpaCQag^

tb i^7teQLSx6^svov 6x^â\ V7t6 ts trjg i^tLCpavsCag tot5

Ticovov xal trjg i^ttcpavsCag trjg 6(paCQag ivtog tov

15 X(6vov.

15'. *P6^ôv ds KaX(J5 6tSQs6v, i^tstdav dvo xavoi

trjv avrrjv ^d6LV s%ovtsg tag X0QV(pag s%Gi6LV i^p' sxd-

tSQa tov i7tL7tsdov trjg ^d^scag^ 07tG)g ol aôvsg avrcjv

i7t sv^sCag (061 xsC^svol, tb f| d^cpotv totv xcovolv

20 6vyxsC^svov 6tSQsbv 6x^â,

AAMBANOMENA.

Aa^pdvG) ds tavta

a, Tcov td avtd TtiQata i%ov6^v yQa^^cSv ika-

%C6triv slvat trjv sv^stav.

25 /3'. Tcoi/ ds aklcov yQa^(i(Bv, idv iv iTtLîidc) ov6ai

2. sxovaat Barrowius. 10. xar' avrijg len.,

probatNizze. 11. GTSQsov om. F lacuna relicta; —a ds yiaXm atra-

mento euanidiore scriptum esse uidetur. 12. Ttgog] F percompendium, inl Torellius. ta -KsvtQto] scripsi; ro (ioqlov

F, t6 'nivtqov uulgo. 19. novoiv F. 23. tcov] tco tcav F.


3. Similiter etiam superficies quaedam sunt ter-

minatae^ ipsae quidem non in plano positae, terminos

autem in plano positos habentes, quae aut totae in

eadem parte sunt illius plani, in quo terminos positos

habent, aut certe nihil in altera parte positum habent.

4. In eandem igitur partem cauas eiusmodi uoco

superficies, in quibus sumptis duobus punctis rectae

lineae puncta iungentes aut omnes in eandem partem

superficiei cadant, aut aliae in eandem partem, aliae

in ipsas^), nulla autem in alteram partem.

5. Sectorem autem solidum uoco, cum conus sphae-

ram secet uerticem habens ad centrum sphaerae, figu-

ram, quae a coni superficie eaque parte superficiei

sphaerae continetur, quae intra conum cadit.

6. Rhombum autem solidum uoco, cum duo coni

eandem basim habentes uertices habeant in utraque

parte plani, in quo est basis, positos, ita ut axes eorum

in directo siti sint, figuram solidam ex utroque cono

compositam.

POSTULATA.

Postulo autem haec:

1. Omnium linearum eosdem terminos habentium

minimam esse rectam.^)

2. Ex ceteris uero lineis, si in plano positae eos-

1) Archimedes ipse sine dubio scripserat tmv snLq^ccvEicav

lin. 9 propter tag sni(pccv£Lccg lin. 6.

2) Cfr. Eucl. elem. I def. 4: sv&sta yQccfifirj satLV, ^tig i^tcov toig scp' sccvtrjgai^fisiOLg yisttcci et Proclus in Eucl. p. 110,10 Friedleinj 6 S* av 'Aqxiiiridrig ti}v svd^stav wQiaato yQafifirjv

sXaxiatrjv tmv tk avtcc nsqata sxovaav. dioti yag, ag b Ev-TiXsLdLog Xoyog (prjaLv, «| faov 'nSLtaL toig scp* savtrjg aT^^SLOLg^

Slu tovto sXaxLatrj satlv tav to: avtcc nsQata sxovamv.

ta ccvtcc 7C£Qccta £%ov6lv^ dvL6ovs eivcci tccg toiccvtagy

ijteidccv d)(5iv d^tpotEQCci iitl td avtd xotXai, xal ^toi

oXrj 7t£Qila^^dvrjtai rj itiâ ccvtcov vtco trjg itiQag

xal trjg ^vd^^Cag trjg td avtd TtiQata ixovarjg avtfi^ rj

5 tiva fiev 7t£QiXa^^dvr}tai, tiva dl TCOivd £%yIj xal iXd6-

eova £lvai trjv 7t£QiXafiâvoîvr]v.

y. 'Oîoicog de xal tSv i7ti(pav£i(av tmv td avtd

7tiQata i%ov6^Vj idv iv iTtiTtida td 7tiQata ixoOiv,

ikd66ova £ivai tr]v i7ti7t£dov,

10 d\ Tc5v ds dllcDv i7ti(pav£i(DV xal td avtd 7ti-

Qata ixov6(DV, idv iv i7ti7cid(p td 7tiQata ^), dvCoovg

elvai tdg toiavtag^ i7t£iddv cjOiv d^(p6t£Qai i7tl td

avtd oiOikaij xal rjtoi oXrj 7C£Qika^^dvr]tai V7tb trjg

itiQag rj itiâ i7ticpdv£ia aal trjg i7ti7tidov trjg td avtd

15 TtiQata i%ov6rig avtfj^ rj tiva ^£v 7t£QiXa^pdvr}taC,

tiva Se xoivd ixrj, xal iXd66ova elvai trjv 7t£Qila^-

fiavofiivrjv.

e. "Eti d£ tcov dvi^cov yQa^^(Dv xal t(ov dvCâv

i7li(paV£i^V Xal tCOV dvC6C0V 6t£Q£CJV tO fl£iÔV tov

20 ikd66ovog v7t£Qi%£iv toiOvtcD, o ^vptidî^^vov avto

iavta dvvatov i6tiv v7t£Qi%£iv Ttavtog tov ^tQot^dîv-

tog tmv 7tQog dkXrjla k^yoîvcov.

Tovtcav d£ v7tox£i}iiva)v , idv £ig xvxXov TtoXvyco-

vov iyyQacpfjj cpav^QOv^ oti t] 7t£QC^£tQog tov iyyQa-

25 cpivtog Ttolvycivov iXd66G)v i6ti trjg tov xvxXov 7t£Qi-

<p£Q£Cag' £xd6trj ydQ tcov tov 7toXvycivov 7tX£VQ(ov

iXd66cov i6ti trjg tov xvxXov 7t£Qicp£Q£Cag trjg v7to

trjg avtr^g aTtote^voîvrjg.

3. Post it£Qccg F habet sTticpocvsLag, petitum ex lin. 14; del.

Barrowius; nsQiqÊQELag Riualtus. 10. naC] toav? 11. dvi-

covg F per compendium, dvCaag uulgo. 14. 17 sTSQa'] rj ad-


dem terminos habeant^ inaequales esse eiusmodi lineas,

si utraque in eandem partem caua sit, et aut tota

altera ab altera et recta linea eosdem terminos ha-

benti comprehendatur, aut pars eius comprehendatur,

pars communis sit, et minorem esse eam, quae com-

prehendatur.

3. Similiter etiam inter superficies eosdem termi-

nos habentes, si in plano terminos habeant, minorem

esse planam superficiem.

4. Inter ceteras autem superficies eosdem terminos

habentes, si in plano sint termini, inaequales esse

eiusmodi superficies, si in eandem partem utraque

caua sit, et aut tota altera ab altera et superficie plana

eosdem terminos habenti comprehendatur, aut pars

eius comprehendatur, pars communis sit, et minorem

esse eam, quae comprehendatur.

5. Porro autem inter lineas inaequales et inaequales

superficies et inaequalia solida maius excedere minus

eiusmodi magnitudine, quae ipsa sibi addita quamuis

magnitudinem datam earum, quae cum ea comparari

possint, excedere possit.^)

His autem positis, si circulo polygonum inscribatur,

adparet, perimetrum polygoni inscripti minorem esse

ambitu circuli. unumquodque enim latus polygoni

minus est quam ea pars circuli, quae ab ea abscinditur.

1) Eucl. V def. 4: Xoyov sxsiv Ttgog aXXriXa. (isysd'7} Xiystcci,

a dvvutui TtoXXanXaaia^o^Bva dXX7]X(ov vitSQBXBLv. De hocaxiomate etiam alibi ab Archimede sumpto u. Quaest. Archim.p. 44 sq. Cfr. Eucl. X, 1.

didi. 20. avto scripsi, savto F, uulgo. De propositionumnumeratione u. Quaest. A. p. 154. 25. noXvyovov F. 27.

vTto T^s avtrjg^ vn avtfig^i

12 IIEPI 2<E>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

a .

Êhv tcsqI tcvkIov nokvycovov TtSQiyQafpfj ^ rj roi

7t£QiyQa(p8VTog TCoXvydvov TtsQc^stQog êtâv £6x1 tijs

7t£QLfl£tQ0V tOV XVxAoV. — 7t£Ql yCCQ XVXKoV JtoXvyG)-

5 VOV 7t£QLy€yQd(pd^(0 tb V7tOX£L^£VOV' KiyCJ, OtL rj 7t£QL-

ll£tQOg toij TtoXvytOVOV ^£L^(a)V ietl trjg 7t£QL^£tQ0V tov

xvoiXov.

£7t£l yaQ 6vva^(p6t£Qog rj BAA ii£l^g)v £6tl trjg

BA 7t£QL(p£Q£Lag dLa tb ta avta 7t£Qata £%ov6av 7t£QL-

10 Xa^^dv£LV trjv 7t£QL(p£Q£Lav, oÔLcog dh Kal 6vvafi(p6t£Qog

fi£v r} AF^ FB trjg z/5, 6vva^(p6t£Qog dh rj AK, K@trjg A®, 6vvaiiL(p6t£Qog d£ rj ZH® trjg Z@,

^ £tL ds 6vva^(p6t£Qog rj Ê, EZ trjg z/Z,

okri ccQa rj 7t£QL^£tQog rov 7to^vycivov ft£t-

ôv i6tl trjg 7t£QL(p£Q£Lag rov xvxAov,15

^

20

z a25

Avo ^£y£%Giv dvL6G)v dodîvtav dvvat6v

i6tLV £VQ£LV 8vo ^vd^^Lag dvL6ovg, w6t£ trjv

^^Lôva ^vd^^tav 7tQbg trjv iXd66ova X6yov

£%£LV iXd66ova t] tb ^£lôv îy^dôg 7tQbg tb

£Xa66ov,

£6t(0 dvo ^^yid^rj dvL6a td AB^ ^, koI

£6tG) }i£tôv tb AB* kiyu), otL dvvatbv i6tL

6vo £v%^£Lag dvL6ovg £VQ£tv tb ^lQrniivov

i7tLtayâ 7t0L0v6ag,

8. BA, AA Torellius. 9. nsQdanpav cmn comp. tjv uel

IV F. 10. 8i addidi. 12. ZH, H9 Torellius. 22. fWo)]

loars F; corr. man. 2. 23. to'] ra F. 24. dvicovg F comp.,

dvCGuq uulgo.


I.

Si circum circulum polygonum circumscribitur, pe-

rimetrus polygoni circumscripti maior est ambitu cir-

culi. circumscribatur enim circum circulum polygonum,

quod infra positum est.^) dico, perimetrum polygoni

maiorem esse ambitu circuli.^)

nam quoniam BA -\- AA maiores sunt quam am-

bitus pars, quae est BA,propterea quod eosdem ter-

minos habentes illam am-

bitus partem comprehen-

dunt (Xa^^ccvo^. 2), et si-

militer etiam

^r + rB> z/5

ambitus et

AK+ K0> A®ambitus, porro autem

^E+ EZ> ^Zambitus, tota igitur perimetrus polygoni maior est

ambitu circuli.

11.

Datis duabus magnitudinibus inaequalibus fieri pot-

est, ut inueniantur duae lineae inaequales eiusmodi,

ut maior linea ad minorem rationem habeat minorem

quam maior magnitudo ad minorem.

sint duae magnitudines inaequales ABj /ly et maior

sit AB. dico fieri posse, ut inueniantur duae lineae

inaequales id, quod iussum est, praestantes.

1) Respicitur ad figuram ab Archimede ipso additam; cfr.

prop. 3.

2) Citat Pappus I p. 312, 7 ed. Hultscli.

14 nEPI £*AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

xeCod^G) Slcc tb /3' rov TtQwtov tcjv EvxXeidov tc3

^ LfSov t6 jBjT, Kai xetad^G) tig evd-eta yQa^^r} rj ZH't6 drj FA eam(p eTnavvtLdêêvov vTCeQeêt tov ^.

7tenoXXanXa6Ld(5%^c3 ovv xal eCtco to A®' xal ooa-

5 nXd^Lov e0tL to A0 tov AF^ to0avta7cXd6LOs e6t(D rj

ZH trjg HE. e6tLv aQa (og tb 0A Tcgbg AF, ovtcag

rj ZH TCQbg HE' xal dvdicalCv iatLv cog rj EH TC^bg

HZ, ovtcog tb AF TCQog A®. xal eTCel êtôv eGti

tb A® tov z/, tovte6tL tov FB, tb aQa FA TCQbg tb

10 A® Koyov eXd66ova e%eL^ 7]7CeQ tb FA TCQbg FB' xal

CvvdêvtL rj EZ ccQa TCQbg ZH eXd66ova Xbyov exeL,

7]7CeQ tb AB jCQbg BF [dta Xrj^ây l'6ov df t6 BFTc5 z/' rj EZ ccQa JCQbg ZH eXa66ova Koyov eiei^ TjTteQ

tb AB TtQbg t6 z/. EvQrjêvac elGlv ccQa dvo evdêtat

15 avLOOL 7COLOv0aL tb eTcCtayâ \tovte0tt trjv êCôva

TCQbg trjv iXdaaova Xoyov eêLV iXd^Cova ri tb êtôv

êyedôg JCQbg t6 eXa60ov},

20 Avo êyed^Sv dvCacav dodêvtcov xal kvkXov dvva-

Tov i0ttv elg tbv xvxXov TtoXvycovov iyyQdtpaL Tial

dXXo TceQLyQdâLy oTCcog rj tov TCeQLyQacpoêvov tcoXv-

ycovov TcXevQa TCQbg trjv tov iyyQacpoêvov TCoXvyojvov

TcXevQccv iXd66ova Xoyov e%ri 7] tb êtôv êyedôg

25 TtQbg t6 eXattov.

e6tco td doxtevta 8vo êye^ri td A., B, 6 de do-

dêlg TcvxXog 6 vTtoxeCêvog' Xeyco ovv^ ott dvvatov

i6tL TtoLetv tb inCtayâ,

1. KsCad-a) did xr/l. u. Quaest. A. p. 167. 2. ZH] EHHauber. 6. HE] ZE F; corr. C. 7. ij Zif] to Zif F;corr. Torellius. HE] ZE F; corr. AC. 15. ro snitayiia]

DE SPHAERA ET CYLINDllO I. 15

ponatur per secundam propositionem primi libri

Euclidis^) [Eucl. elem. I, 2] 5Jr= z/, et ponatur linea

recta ZH. Itaque FA magnitudo ipsa sibi addita z/

magnitudinem excedet [A«ft/3. 5]. multiplicetur igitur

et sit A& [> z/]; et quoties AF in A® continetur,

toties contineatur HE in ZH. est igitur @A : AF= ZH: HE [cfr. Eucl. V, 15]. et e contrario [EucL

V, 7 7i6QL(3iia\ EH:HZ = Ar:A0. et quoniam

A&> ô:A0> FB, erit FA : A® < TA : FB.^) et

componendo igitur EZ :ZH<iAB:Br [u. Eutocius].^)

sed Br= ^. itaque EZ : ZH < AB : J. Itaque in-

uentae sunt duae lineae rectae inaequales, quae prae-

stant id, quod iussum est [id est, maiorem ad mino-

rem rationem habere minorem quam maior magnitudo

ad minorem].

III.

Datis duabus magnitudinibus inaequalibus et cir-

culo fieri potest, ut circulo polygonum inscribatur et

aliud circumscribatur, ita ut latus polygoni circum-

scripti ad latus polygoni inscripti minorem habeat

rationem quam maior magnitudo ad minorem.

sint datae magnitudines A^B^), datus circulus autem

is, qui infra positus est. dico igitur, fieri posse, ut

praestetur id, quod est iussum.

1) Proclus in Eucl. p. 68, 12: «al yccg 6 'AQxifiijSrjg ini-

âXcov ra 7cq(ot(o {TlToXsficiLa}) iivrjfiovsvst rov EvnXsLdov.

2) (ûia EH : ZH < FJ : FB.3) Idem demonstrat Pappus II p. 686, 5 sq. cfr. Eucl. V, 18.

4) Desideratur: et maior sit A; cfr. prop. 4.

scripsi; to loov STtitayficc F, ro slqtjiisvov snLtayiicc Torellius.

In linea A@ litteras A %i B permutat F.

16 HEPI S<ÂIPA2 KAI KTAINAROT A

.

10

15

svQrj^dôijav yKQ dvo evêiaL aC @, KA, (ov fiSLôv

€6tG) rj 0, S6t£ tr]v @ TtQog trjv KA iXd66ova loyov

sX^cv 7j t6 ^stôv (leysd-og

TtQog tb eXattov^ xal

rjxd-cj dito tov A rrj AKJCQog OQd^dg rj AM, xal

dno tov K.tfi L6ri

âtrix^co rj KM [dvva-

tov yaQ rovTo]* aal

rix^co6av tov kvkXov

dvo dLa^stQOL itQog oq-

d^dg dkXrilaLg at FE,z/Z. ts^vovtsg ovv trjv

vTto rmv ^HF ycovLav

di^x^ ^*^^ '^V'^ 'îi^^SLav

avtrjg d^xa Tcal aisl

rovro TtoLovvrsg XsLipo-

^sv rLva ycovLav skd6-

6ova ri dL7tXa6Lav rrjg vTto AKM. XsXsLCpd^co xal s6ro rj

20 vTtb NHF, Kal stcs^svx^g) rj NF' rj aQaNF nokvycovov

s6rl TtXsvQa l6o7cIsvqov [sJtSLTCSQ rj vTtb NHF ycavCa

fisrQst rr^v vicb ^HF dQd^r^v ov6av, xal ri NF ccQa

7CSQL(psQSLa ^srQSL rrjv T^^ rsraQrov ov6av xvkXov.

G}6rs xal rbv xvxlov ^srQst' TCoXvycivov ccQa s6rl

25 JcXsvQa l6o7cXsvqov' cpavsQbv ydQ s6rL rovro]* xa\ rs-

r^ri^d^ci) rj V7cb FHN ycovia d^xa rrj HS svd^sia^ Tcal

d7cb roi; S scpa7Crs6%-a) rov kvkXov r] OSH, xal sx-

^s^Xri^Q^coâv av HNHy HFO. o6rs xal r] HO 7CoXv-

ycovov s6rl 7cXsvQd rov 7CSQLyQag)o^svov tcsqI rbv xv-

2. aatB Tr}v @ om. F; suppleuit ed. Basil. 12. FE] FBF (in fig. B pro E). 16. atsL F, dsl uulgo. 25. IgouXsvqov]

sint enim inuentae duae lineae 0, KA, quarum

maior sit 0^ ita ut @ Sid KA minorem rationem ha-

beat, quam maior magnitudo ad minorem [prop. 2|.

et ducatur ab A puncto linea AM ad AK perpen-

dicularis [Eucl. I, 11], et a K puncto ducatur KMlineae & aequalis [u. Eutocius]. et ducantur duae dia-

metri circuli inter se perpendiculares, FB et z/Z.

si igitur i ^HF in duas partes aequales secuerimus

et rursus dimidium angulum in duas partes aequales,

et hoc deinceps fecerimus, relinquemus angulum quen-

dam minorem quam duplicem angulum AKM. relin-

quatur et sit NHF-^ et ducatur NF. linea NF igitur

latus est polygoni aequilateri ^) [u. Eutocius]. et sece-

tur i NHF in duas partes aequales per lineam HS,et in puncto S tangat circulum linea OSH, et pro-

ducantur lineae*lfiVTJ, HFO. itaque etiam UO linea

latus est polygoni circa circulum circumscripti et

aequilateri^) [u. Eutocius].

sed quoniam i NHF < 2AKM, sed i NHF= 2THr, erit igitur

i THr<AKM.et anguli ad A^ T puncta positi recti sunt; itaque

MK:AK>rH: HT^)

1) Archimedes scripserat lin. 21—22: Tcolvyavov sorl iGo-

nX^VQov xal aqxionXEVQOv nXivqu; u. Eutocius.

2) Archimedes scripserat lin. 28: (oatB v.aL rj OII TCoXvya-VOV BGxlv LGOTtXsVQOV TCXSVQCC; U. EutociuS.

3) U. Eutocius; cfr. quae scripsi Zeitschr, f. Math. u. Physik,hist.-litt. Abth. XXIV p. 179 nr. 8.

LGOTtX. 7} FN uulgo. 26. FHN F, uulgo; NHF Torellius.

HIS!] NS F.

Archimedes, ed. Heiberg. I. 2

18 nEPI SO-AIPAS KAI KTAINAPOT A'.

xAov ««l l0o%XivQOV {<f,aviQ6v, on «al 6ftotW Tp

.Vyo«a,o^sVa, o^ itX,vQa ^ iVr]. ^««l S\ iXaoeov

i,riv ¥, ScMa ^ i^6 NHF r^, M AKM S^-

nXaala S\ r^s vitb THF, iXa60a>v aQa n ^'«o ^H^

5 tni ixo AKM- ocal itOiv 6Q»al at %qos wis A,l

{, &Qa MK JCQOS AK HElt,ova X6yov h^h nîQ n rH

nQhs HT. (n *^ ^ ^^ ^S ^S- .3^« ^ HS ^ôs

HT sAaeeow Aoyov %«, toi>«'<5w ij 710 ;tpos Nl,

^'«so ^ Mif *90S -K^. "Si^' *« ^ *f^ '^9^« -^^

10 £'A«.5«ot;« Aoyov h^H ^%bq xh A tcqos ro B- xai isn

i) (ilv nO nksvQa rov jciQiyQaqioiievov «oAvyravov,

ij Ss FN Tov sVrpa?'»?»*'''»^- °''^*9 wôExaiTO «v(>ffv.

d'.

J7«;iw Svo tieye»mv aviecav ovtq^^gcal toiieas Sv-

15 t/OTW i«Ti ««pl Tov TOftsa «oA^roi/o»' «£9W«,^«6 x«i

&Uo inQ^^"'' «>^^^ '^^" ^^"^ ntQiyeyQaix.\x,ivov JiUv-

Qkv %q6s tnv Toi) iyyeyQaiîiivov %UvQav i%aO<5ova

X6yov h^w n r6 fêtiov (liyeôs ^q6s t6 ilaseov.^

iat€0 yaQ %aUv 8vo iieyi»n «viaa t« E, Z, mv

20 iêtiov i0tm th E, Mos Si t.s 6 ABF ^f^^Q^jJ^^l

tb J- xal 71q6s tc5 J toêhs 6we6tata o AJB. dei

Sn «eQiyQdi>ai. xal iyyQAi>av noXvycavov neQi Tor ABA

T0ft6« re«S hov tae TclevQas ZôîS tmv BJA, o«a>s

yivn^tti t6 inhayfia.

25 ehQnO»a,0av yaQ Svo eimav al H, &K &vi6ov, xal

ae(ia,v ^ H, m6te t^v H ^QOS ti,v 0K iXdocova Xo-

yov h^vv, n t6 ivetiov (viyeôs 7Cq6s t6 ikaosov [Sv-

2. wr] HNr F. 23. BJ, JA Torellius.

sed FH— HS] erit igitur

HS : HT<MK : KA:^: UO : Nr<MK : KJ.')

Porro autem MK : KA<A: 5^); [itaque UO : NF< A : B\ et 770 linea latus est polygoni circum-

scripti, TN autem inscripti, id quod iussum erat in-

ueniri.

IV.

Rursus datis duabus magnitudinibus inaequalibus

et sectore fieri potest, ut circum sectorem polygonum

circumscribatur et aliud inscribatur, ita ut latus poly-

goni circumscripti ad latus inscripti minorem ratio-

nem habeat, quam maior magnitudo ad minorem.

rursus enim

sint E^ Z duae

magnitudines in-

aequales, quarum

maior sit E^ et

sit ABF circulus

centrum habens z/

punctum. et ad

ff- A punctum con-

struatur sector

AAB. oportetigi-

tur polygonum

circumscribi et in-

scribi sectori

Jf7

1) Nam U^'. HT=nO:Nr, quia HIe: t HT= 0$! : FT(ibid.^ p. 178 nr. 4) =20^ :2rT = HO : FN (Eucl. I, 26).Archimedes sine dubio uerba: tovTsaTiv rj TLO nqoq NF lin. 7ante sXcicaovcc Xoyov lin. 6 posuerat.

2) Nam ex hypothesi est : KA < A :.B et = MK.2*

varov yccQ tovro]. xccl a;r6 Toi) oôicjg a%%êC0rig JtQog

OQdâg rfj K@ TtQoCÊ^Xri^d^G} rfj H lOt] rj KA [di>-

varov yaQ, eTtsl êClov iorl 7] H rrjg &K]. re^voni-

vrjg drj rrjg vTtb rc5v A/IB ycavCag dCâ jcat rr^g rj^L-

5 GsCag dCâ xal dsl rovrov ytvo^svov Xstcpd-iîjsraC rig

ycavCa ild66av ov6a rj dtTtXacCa rr^g vito AK&.

XsXelcpô ovv rj vito A/1M' rjAM ovv yCverat Ttolv-

ycovov TtkevQa iyyQacpoêvov etg rov xvjclov. xal idv

reiLoiiev rrjv vito A^M ycovCav bCâ rfj AN xal djto

10 rov N dydyoêv icpanroêvrjv rov kvkXov rrjv NSO,avrrj TtlevQa ecrat rov Ttokvyovov roi; jteQiyQacpoêvov

TteQt rbv avrbv tivtcXov oôCov ra eiQrmevG). xal oôCog

rotg jtQoeLQrjêvocg rj SO TtQbg rrjv AM ikd<50ova Xo-

yov e%eL^ TjjteQ rb E êyed-og TtQbg rb Z.

15«'•

KvkIov dodêvrog xal dvo êyed^dav dvCôv iteQi-

yQaipat jteQi rbv kvkXov TtoXvycavov xal dkko iyyQaxlâL,

co0re rb TteQLyQacpev TtQbg rb iyyQacpev ild(56ova koyov

e%eLV, ri rb êtôv êyedôg TtQbg rb eXa66ov.

20 iTCKeCodâ KvxXog 6 A Kal dvo fieyed^rj dvL0a rd

E, Z Kal êtôv rb E. det ovv TtoXvycovov iyyQdât

BLg rbv kvkXov Kal dXko TteQtyQdipaL , Xva yevrjraL rb

iTtLraxdêv.

1. Tov 0] sic F; K Torellius (cum ed. Bas.), qui etiamin sequentibus, sicut in ipsa figura has litteras permutauit.

2. rij K©] zf) @K trjg KA Torellius; rfi @K rrjg @A ed. Ba-sil. 3. yccQ, knsL F, uulgo; yoLQ tovto, iit&iTtBQ Torellius.

iiELôv F. 6. AK@ F; A@K Torellius. 7. ytVfrai] ydgcomp. F, uulgo; ccqcc Torellius. 8. v.vvXov'] to^boc Torellius.^

10. v.vy.lov] Toiiicog Torellius. 12. kvtiIov] rofifa Torellius.

AB^ aequalia habens latera praeter 5z/, ^A, ita

ut fiat id, quod iussum est. inueniantur enim duae

lineae rectae H, &K inaequales, quarum maior sit i/,

ita ut H: 0K <E: Z [prop. 2]. et a puncto uti

supra [prop. 3] ducatur linea [®A] ad K& perpendi-

cularis, et iungatur KA lineae H aequalis [prop. 3

p. 16, 7]. si igitur L A^B in duas partes aequales

secuerimus et dimidium in duas partes aequales et

hoc deinceps fecerimus, relinquetur angulus minor

quam duplex angulus AK®.relinquatur igitur L ^^M<2AK&. itaque linea

AM latus erit polygoni circulo inscripti [p. 16, 20].

et si L ^^M in duas partes aequales secuerimus per

lineam z/iV et ab iV puncto lineam NSO circulum

tangentem duxerimus, ea latus erit polygoni circum

circulum circumscripti similis^) polygono, quod nomi-

nauimus [h. e. inscripto]. et eodem modo, quo supra

[prop. 3], erit

SO:AM<E:Z.^)

V.

Circulo et duabus magnitudinibus inaequalibus da-

tis polygonum circum circulum circumscribere et aliud

inscribere, ita ut polygonum circumscriptum ad inscrip-

tum minorem rationem habeat, quam maior magni-

tudo ad minorem.

ponantur circulus A et duae magnitudines inaequa-

1) U. p. 18, 1 et Eutocius ad prop. 3 extr.

2) L A^M= 2MJn<2AK@', itaque L^^n<AKG;quare AK : K@ ^ Mzl : JH 3: JN : JU < AK : K@; sedJN:Jn=ON:Mn= SO:AM<AK:K@<E:Z :>:^0'.AM<E : Z. n litteram in figura ipse addidi. •

isr

22 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A

.

Xa^û.vci yaQ dvo evêiag avl&ovg rag T, J,^v

^dl^v ârco V r, ârs r^v T ^q6, r^v ^ fla06ova

Xoyov e%etv r} ttjv E itQog

triv Z. xal rcov F, Jê^rig avdloyov kricpd-ei-

arjgrrjgHêitcDvaQcoccclri

r rrjg H. TceQvyeyQacp^Gi

drj TteQi xvkXov Ttolv-

ycovov xal aXXo eyyeyQdtp-

^cj, 036re rrjv rov 7te-

QiyQafpevrog jtokvycovov

TtkevQav TtQog rr\v rov

eyyQafpevrog ekd66ova Ao-

yov hîv n n^ r «96S r^v H [xa9ms i(vd9ot^svl Sî

15 toiko Si, «al 6 Si7cld0LO? Uyos iroi Sinlaeiov ilae-

6mv ictC. xal Tov (iBV tris «A«v(.5s ^rôs ti,v ,cXsvQav

8,,tld0ws ieri 6 rov Mlvydvov Xqos tbv ôlvycovov

[oaoia ydQ] , tijs Si F ^tôs ti,v H 6 tijs F «pos r,,^ J.

x«l ro TtsQcygacpy uQa ôXvymvov «905 ro eyyQa<pev

20 iXisaova kdyov hî, i',nBQ i, F 7Cq6s rijy J. noUm

,&QU ro :ceQiVQCc9y ^Qosth iyyQa<piv iXa6Sova loyov

txch ^'«S9 tb E JCQbs ro Z.

S'.

'Oôtes Si, SsCioiiev, oti Sô tisys»mv &vC0a,v «o-

25 »ivtmv x«l toyîms dw«rdr i0tiv tcsqX tbv ro^s'« «0-

Xvymvov TCSQvyQdfaL x«l «Uo iyyQdiâc ofioioi. avta,,

%va tb nsQcyQaq>iv «pos rb iyyQacpsv iXd00ova Xoyov

hV n rb iisttov tiiys»os ^QOS tb sXa00ov.

rZe^ve comp. F. 3. to E «m.roZ ed Baail., To-

rell. 20 «oXX» l»« »«l « B, ed. Basil, Torellms.

les E, Z, quarum maior sit E. oportet igitur poly-

gonum circulo inscribi et aliud circumscribi, ita ut

fiat id, quod iussum est.

nam sumo duas lineas rectas F, z/, quarum maior

sit Ff ita ut F ad z/ minorem rationem habeat quam

E sid Z [prop. 2]. et sumpta linea H media inter

lineas F, z/ proportionali [Eucl. VI, 13], erit igitur

etiam F > if. ^) circumscribatur igitur polygonum

circum circulum et aliud inscribatur, ita ut latus po-

lygoni circumscripti ad latus inscripti minorem ra-

tionem habeat, quam F ad H [prop. 3]. quare

etiam ratio duplicata [laterum] minor est ratione

duplicata [linearum F, H]-^ et laterum ratio duplicata

aequalis est rationi polygonorum [Eucl. VI, 20] [similia

enim sunt, u. p. 21 not. 1]; ratio autem linearum J", Hduplicata aequalis est rationi linearum JT, z/ [Eucl. Vdef. 10]. habet igitur etiam polygonum circumscrip-

tum ad inscriptum minorem rationem quam F ad ^,

et multo etiam magis minorem rationem quam E Sid Z[nam F : ^ <i E : Z ex hypothesi].

VI.

Eodem modo demonstrabimus, datis duabus magni-

tudinibus inaequalibus et sectore fieri posse, ut cir-

cum sectorem polygonum circumscribatur et aliud ei

simile inscribatur, ita ut ^rcumscriptum ad inscriptum

minorem rationem habeat, quam maior magnitudo ad

minorem [cf. prop. 4].

1) Quia H^ = rj <: r\

24 nEPi sÂiPAi: kai ktainapot a'.

(pavBQOv de xal touto, otl, iccv dod^rj KvxXog 7] ro-

^svg xal %g)qCov rt, dvvatov i6tLV iyyqd^povta eig toi/

xvxXov ^ Toi' toîa TtoXvycjva iGonXavQa xal stc del

tig ta HEQLkeiTtoâva tî^âta ksiJtaLv tLva t^riâta

5 Toi; xvxXov i] toêcog^ ccTteQ e6taL ikdcGova Tot5 jCQoxeL-

lievov %g)qCov. tavta ydg iv tfi GtOLêLCjOet TCaQade-

dotac.

deLXteov de^ otL xal xvxXov doQêvtog rj toêog xal

%coqCov dvvatov i6tL TCeQLyQaâL noXvycovov neQl rov

10 xvxXov 7] xov TOftea, m6te td iieQLleLTCOfieva trjg JteQL-

yQacprjg t^riâta ikd66ova elvai tov dodêvtog xcdqCov

eOtaL yaQ ejcl xvxlov deCâvta êtayayetv tbv oôlov

koyov xal iTtl tov toêog.

dedoCd^cj ;cv;cAog 6 A xal xoqCov tL ro B. dvvatov

15 dr] TteQLydjpaL TteQl roi/ xvxXov Jtokvyovov , m6te xd

aTtokrjq^dêvta T^rjâta fieta^v T0i5 xvxkov xal roi) Jto-

kvycivov ikd66ova eivaL rov J5 %g)qCov. xal yaQ ovtcjv

dvo êyedôv dvC6cjv, êCôvog êv 6vva^(poteQov rov

te xcoqCov xal tov xvxXov, ikd66ovog de roi) xvxXov

20 TceQLyeyQdcpd^G) JceQL rox/ xvxXov Tcokvycnvov xal dkXo

iyyteyQdg^d^G) , S6te to TCeQLyQacpev TCQog tb iyyQacpev

iXd66ova koyov eêLv 7] tb eCQrjêvov êtôv êyedôg

JCQbg t6 eka66ov. tovto drj ro neQLyQacpoêvov noXv-

ycjvov i6tLV, ov td TceQLkeC^âta e6taL ikd66ova rou

25 7CQote%êvtog %g)qCov tov B.

el yaQ ro neQLyQacpev TCQbg tb iyyQacpev ikd66ova

koyov e%eL ^ ro 6vva^cp6te^v o te xvxkog xal tb B

6. TtaQaSsdcatcii F. 9. nsQi] ns F. 12. sctai] recepi

ex A, s6t(o F. 14. Tt ita scribitur in F, ut a compendiouerbi rov dignosci non possit. 16. oinoXrjcpd^svta'] scripsi;

dnoXsicpd^svta F, uulgo. 18. ^SLâvog F. 24. nsQiXifiiiata F.

Hoc quoque adparet, dato circulo uel sectore et

spatio fieri posse, ut circulo uel sectori polygona

aequilatera inscribentes et deinceps segmentis relictis

aliquando segmenta circuli uel sectoris relinquamus

eiusmodi, quae minora sint dato spatio. haec enim in

elementis tradita suni^)

Demonstrandum uero, dato circulo uel sectore et

spatio fieri posse, ut circum circulum uel sectorem

polygonum circumscribatur, ita ut segmenta relicta

figurae circumscriptae minora sint dato spatio. licebit

enim, cum in circulo demonstrauerimus, eandem ratio-

cinationem ad sectorem transferre.^)

sit datus circulus A et spatium aliquod B. itaque

fieri potest, ut circumscribatur circum circulum poly-

gonum, ita ut segmenta inter circuli et polygoni am-

bitus comprehensa minora sint spatio B, nam datis

duabus magnitudinibus inaequalibus, quarum maior est

spatium simul cum circulo, minor autem ipse circulus,

circumscribatur circum circulum polygonum et aliud

inscribatur, ita ut circumscriptum ad inscriptum mi-

norem rationem habeat, quam maior magnitudo ad

minorem [prop. 5]. Tum polygonum circumscriptum

eiusmodi erit, cuius segmenta relicta minora sint spa-

tio dato, quod est B.

nam si quidem polygonum circumscriptum ad in-

scriptum minorem rationem habet quam A -^- B i A,

1) EucL elem. XII, 2 (II p. 200 ed. August): rsfivovtsg ^97

tag VTtoXsLTto^svag nsQicpSQsiag 8Cxa y.al sni^svyvvvtsg svQ^siagHttl tovto dsl noiovvtsg y,ataXsLipO(isv tiva t(n](iatd nots tovxvx^ov, d satai iXaGGova tfig vnsgoxijg, 17 vnsQSx^i' o EZH@'Kvy.Xog Tov 2 x<^qCov] cfr. X, 1.

2) Demonstratio eadem est, nisi quod.pro prop. 5 ea usur-panda sunt, quae initio prop. 6 dicta sunt..


j(^G)Qtov TtQog avtbv rov xvxXov, tov 8e iyyqaipoîvov

êo^cov 6 xvxXog^ Ttokka âkXov ro TCEQiyQatpev TtQog

xov xvxkov ikd^Cova koyov 6%£t,

7] xo 6vva^(p6tsQOv o ts xvxXog

xal tb B %coQLOv TtQog avtbv

tbv xvxkov. xal dieXovti aQa

rc!: aTtoXsL^âta tov TtSQLysyQa^-

îvov TtoXvycovov TtQbg tbv xv-

xkov ikd06ova koyov sxst, ^TtSQ

tb B xoqCov TtQbg tbv xvxkov.

ikd66ova ccQa td dTtoXsC^âta

tov TtsQuysyQaîiivov TtoXvycovov

tov B %oqCov. 7] ovtcjg' ijtsl

tb TtsQuyQacpsv itQbg tbv xvxXov

15 iXa66ova koyov sxsi^ ri tb Cvva^cpotsQOV o ts xvxkog

xal tb B xoqCov TtQog tbv xvxkov, did tovto drj ska6-

6ov s6tai tb TtSQiyQacpsv 6vva^cpotiQov. a6ts xal oka

td TtsQiksCfiâta ikd66ova s6tai tov xcoqCov tov B.

oyboCcog d\ xal ijtl tov toîcyg.

10

20 S.

'Eav iv i6o6xsksi xcovci TtvQa^lg iyyQacpfj lôitksv-

Qov sxov6a ^d6iv, 7} imcpdvsia avt^g x^Q^^S ''^VS ^d-

6scog i6ri i6tl tQiycovc) ^d6iv ^sv sxovti i6rjv tij JtSQi-

îitQG) trjg pd6scog, vtfôg ds triv ditb tijg xoQvcpijg iitl

25 ^Cav TtksvQav trjg pd^scog xdd^stov dyoîvrjv.

s6tco xcovog i6o6xskrig^ ov ^d6ig 6 ABF xvxkog,

xal sig avtbv iyysyQdcp^co TtvQa^lg iôitksvQOv sxov6a

2. jLtsiôv F. 7. d7Coh(i(icita F. 13. ovtcag per com-pendium F. 18. 7t£QiXLfi{iata F; corr. AD. 19. inL ego

addidi. 26. Kovog F.

DE SPHAERA ET CYLINDRO I.'

27

circulus A autem maior est poljgono inscripto [p. 10,

23]^ multo igitur magis polygonum circumscriptum ad

A circulum minorem rationem habet quam A-^- B:B.

itaque subtrahendo [per conuersionem propositionis ab

Eutocio ad prop. 2 demonstratae, u. p. 15 not. 3; cfr.

Eucl. V, 17] segmenta polygoni circumscripti ad cir-

culum minorem habent rationem, quam J5 spatium ad

circulum. minora igitur [Eucl. V, 10] segmenta relicta

polygoni circumscripti erunt spatio B. uel hoc modo:

quoniam polygonum circumscriptum ad circulum mi-

norem rationem habet, quam circulus simul cum Bspatio ad circulum, polygonum circumscriptum minus

erit quam A -\- 5^); quare segmenta relicta omnia

minora erunt spatio B [Eucl. I kolv. bvv. 5]. Simi-

liter etiam in sectore dicendum.

VII.

Si cono aequicrurio inscribitur pyramis aequilate-

ram basim habens, superficies eius praeter basim

aequalis est triangulo basim habenti perimetro basis

aequalem, altitudinem autem iineam a uertice ad latus

aliquod basis perpendicularem ductam.

sit conus aequicrurius, cuius basis sit circulus

ABFj et ei inscribatur pyramis basim aequilateram

1) Ex Eutocio adparet, Archimedem lin. 16—17 scripsisae:

8ia 8 7] tovxo sXaaaov iaxv x6 nsQLyQCi(p6(isvov xov avvaficp.

Ceterum Archimedes uix duas demonstrationes dederat; genui-nam hanc fere fuisse puto (Quaest. Arch. p. 74): x6 ovv tzsql-

ysYQafifiivov nQ6g x6 syysyQafifisvov ildaaova loyov sxsi r/ x6

avvaii(p6xsQov o xs Hvyilog xat x6 B xaiQiov nQ6g avx6v x6v v.v-

vlov. Sva Si] xovxo sXaaaov saxi x6 nsQiyQatpo^svov xov avvafi-

tpoxsQov coaxs v.a\ xa nsQiXstfifiata iXdaaova saxai xov BXtOQlOV.

28 HEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

10

âGiV ro ABF. Xsyco, otl rj iTCicpcivsLCC avf^g xoQlg

trjg ^d^scog lOy} s6xl ra stQrjêvc) tQLycovG).

STCsl yaQ L6o6xsXrig 6 xcovog, xal iGoTtksvQog i] ^dcLg

trjg TtvQaîLdog, td v^tpri

5 7\ -^ rc5v TtSQiSXOVtCOV tQLycovov

triv TCVQaîda L6a sOtlv

dXXriXoLg. Ttal ^dOLV ^sv

s%SL td tQiycava tdg AB^BF, FA, vilôg de ro siQrj-

^svov. w0ts td tQiycova

L0a S6tL tQLyCOVG) ^dCiv

^sv s%ovti trjv l'6r}v tatg

AB, Br, FA, viôg ds

trjv SLQrj^svrjv svd^stav

15 \tovts0tiv r} STiifpdvsia tr]g jtvQaîdog xcoQig roi; ABFtQiycovov].

[6a(ps6tsQ0v dXXcog rj dst^Lg]

[s6tG) xcovog L(3o6KsXi^gy ov ^d^Lg ^sv 6 ABF xv-

Tikog, KOQVfpr] ds tb ^ ^rj^stov, xal syysyQdcpdô sig

20 tov xcovov TtVQa^lg pdCLV [^sv] sxovCa lOotcXsvqov

tQLyovov to ABF, xal sitsi.svx^^^^'^ ^^ AA, ^J^j -^-S.

Xsyo, oti td A^B, AAF, BAT tQiyova l'6a iatl

tQiycovo, ov rj ^sv ^d(5ig L6rj i6tl trj nsQi^stQO tov

ABF tQiycovov, rj ds aTto trjg xoQvq^rjg inl trjv pd6iv

1. To] rco F; corr. A. ^dciv iilv sxovacc lgotiX. rQiycovov

TO uel ^doiv t6 rQLyoavov x6 Nizze. 3. ¥.ovog F. 5. tQiym-

vcav errore om. Torellius; sine codicum auctoritate suppleuit

Nizze; habet F. 17. Haec demonstratio altera postea inter-

posita numero ij significatur in F, sed numerum om. iam ed.

Basil. 18. k'atco] oaats F; corr. B manu 2? (Quaest. Arch.

p. 129). 20. fisv deleo ; cum librarius alibi toties §(xaiv fiiv

scripsisset, particula hic quoque irrepsit.


habens, quae sit ABF. dico, eius superficiem praeter

basim aequalem esse triangulo, quem commemorauimus.

nam quoniam conus aequicrurius et basis pyrami-

dis aequilatera est, altitudines triangulorum pyramidem

€omprebendentium aequales sunt.^) et basim habent

trianguli ABy BF, jTz/ lineas, altitudinem uero eam,

quam diximus. quare trianguli [h. e. superficies py-

ramidis praeter basim] aequales sunt triangulo basim

liabenti lineam aequalem lineis AB, BF, T/i [h. e.

perimetro basis], altitudinem autem lineam, quam dixi-

mus [Eucl. VI, 1].2)

[Demonstratio aliter et magis perspicue exposita]^).

[Sit conus aequicrurius, cuius basis sit circulus ABT,uertex uero z/ punctum; et cono inscribatur pyramis

basim habens triangulum aequilaterum ABT, et du-

cantur lineae AAy AT, AB. dico triangulos AAB,AATjBzlT aequales esse triangulo cuius basis aequalis

sit perimetro trianguli ABT, perpendicularis autem a

uertice ad basim ducta aequalis lineae a z/ puncto ad

BT perpendiculari.

ducantur enim perpendiculares z/jRT, ^dA, ^M \i-

neae; sunt igitur aequales [cfr. not. 1]. et ponatur

triangulus EZH basim EZ aequalem habens perimetro

1) Nam trianguli, quorum latera sunt axis coni, altitudines,

lineae a, b, c (quas in figura addidi), unum latus (axem) com-mune, alteram (a, b, c) aequalem habent et sunt rectanguli;itaque etiam bases aequales habent (Eucl. I, 4),

2) Uerba sequentia subditiua sunt, ut ex collocatione ad-paret; pertinent enim ad xa xqiyoivu lin. 8, ut in interpreta-tione expressi. si ad xQiyc6v(p lin, 11 pertinerent, quod per se

minus accurate diceretur, debebat esse t^ snicpavELa ex con-stanti usu Archimedis.

3) Quae sequitur demonstratio ut subditiua in adnotationesreiicienda erat, sed ne typothetis molestia existeret, retinui.

30 nEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

xdd^stog L6rj tPj itad^BtG) tfj ccTth xov /1 i%\ Trjv BFayoÊvt].

Yiid^G)0av yaQ xad-STOL at ^K^ /i A^ AM. avTai

aâ iGai aXXiqlaig ai0iv. Tcal 7C6i6d^(o TQiycovov xo EZH5 SXOV TrjV ^8V EZ ^d(5iV T^ JtSQiÊTQC) TOi) ABT TQi-

jifcovoi; i6rjv, TTjv ds H& xdxêTov Ttj ziA i'6riv. eTtsl

ovv To V7c6 Toov BF, /AA di7tXd6i6v iOTiv roi; ^BFTQiycovov, e6Tiv de xal t6 êv vito tcdv AB^ ^K dt-

7tkd6iov Tov ABzf TQiycovoVj t6 de vTto AF, z/M10 diitXdîov Tov AAT TQiyojvoVj t6 ccQa vito Trjg Ttegi-

/Li£Tôv Tov ABT TQiycovov, TOVTBCTi Trjg EZ, zal trjg

AA^ T0VTe6Ti Trjg i/©, diJtXdîov i6Ti t^v AAB^BATy AAT TQiymvcov. e6Ti de xal t6 V7t6 EZ, H®6i7tkd6iOV Toi) EZH TQiycovov. l6ov aQa t6 EZH

15 TQiycovov Totg AAB^ BAT, AAT TQiyc6voig\

r

Êdv 7teQl Kcovov i6o6xekrj 7tvQa^lg TteQiyQacp^, rj

i7ti(pdvsia Trjg 7tvQaîidog %coQLg Trjg . ^d6ecog i6ri i6Tl

TQiycovco pd6iv êv e%ovTi Trjv i6rjv Tij 7teQiêTQG) Trjg

20 ^d6ecog^ vtpog de Trjv TtXevQav Toi) zcovov.

e6Tco xcovog, ov ^d6ig 6 ABT xi^x^log, xal ^tvQa^lg

TteQiyeyQdcpd^co^ S6Te Trjv ^d6iv avTrjg^ T0VTe6Ti to ÊZ7tokvycovov^ 7teQiyeyQa^êvov 7teQl t6v ABT xvkXov

elvai. Xeyco^ oTt ri i^ticpdveia Trjg 7tvQaîdog xcoQig Trjg

25 pd6ecog t6ri i6tl Ta eiQrjêvG) TQiycovc).

i7tel yaQ [6 d^cov Toi) xcovov oQdôg i6Ti 7tQ6g Trjv

2. ayoÊVTj scripsi; ccyo^svriv F, uulgo. 10. ABF^yi^rF; corr. Torellius. 16. ^' F; u. ad p. 28, 17. In figura et

deinde in uerbis Archimedis litteras A et K permutauit Torel-

lius. 26. Tov] civtov F; corr. ed. Basil.


trianguli ABFj altitudi-

nem autem H& aequa-

lem lineae z/ A. iam quo-

niam

Brx^A = 2JBr[Eucl. I, 41],

et

ABx/iK = 2AB/Jy

et

Arx^M=2Azjr,

erit igitur rectangulum,

J^ quod a perimetro trian-

guli ABFj h. e. linea

EZ^ et z/^, li. e. linea

H@, continetur = 2x (^z/5 +5z/r+ ^z/r); sed

EZxH&^ 2EZH [Eucl. I, 41]; quare

EZH= AAB + B^r+ A^ri

VIII.

Si circum conum aequicrurium pyramis circum-

scribitur, superficies pyramidis praeter basim aequalis

est triangulo basim habenti lineam perimetro basis

aequalem, altitudinem autem latus coni.

sit conus, cuius basis sit circulus ABFj et circum-

scribatur pyramis, ita ut basis eius, h. e. polygonum

AEZj circum circulum ABT sit circumscripta. dico

superficiem pyramidis praeter basim aequalem esse

triangulo, quem commemorauimus.-

cum enim axis coni ad basim p'erpendicularis sit.

32 nEPI S<I»AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

â(5iv^ rovxi^ti TtQog tov ABF kvkIov, xal] cci Kito

tov KevtQOV tov kvkXov ijcl tccg acpag eTtt^svyvv^svai

6vd-8tai Ka%-£tOi €i6iv £7cl tccg icpaTttoîvag ^ e6ovtai

ccQa Kal aC cctco tijg KOQvq^rjg Toi' kojvov ijtl tccg acpccg

iTti^svyvv^svai Kccd^stoi iitl tag

JE, ZE, Z/1. alHA, HB, HFccQa aC siQTjîvai Kccd^stoi i<5ai

Si6iv dXkriXaig' TtXsvQal yccQ

Si6iV Toi) K(6vov. KSi6d^G) drj to

10 / tQiycovov to ®KA i6rjv s%ov

tr\V \CsV 0K tfj TtSQi^StQC) tov

AEZ tQiychvov.) tr\v df AMkcc-

d^stov i0rjv trj HA. insl ovv to

fisv vTtb AEy AH 8i7tXd6i6v

i6ti tov E^H tQiy(Dvov, t6 ds

vTtb z/Z, HB diTtXdîov i6ti

tov AZH tQiycovov, tb ds vTtb

EZ^ FH di7tld6i6v i6ti tov

EHZ tQiycDvoVy s6tiv ccQa t6

20 / // \ ^ \ v7tbtrjg&KKaltr}gAHytovts6ti

2, trjg MA, di7tkd6iov tcov EAH,ZAH^ EHZ tQiycovcDV. s6tiv

ds KOi tb V7tb t(DV @K, AM di7tkd6i0v tov AK® tQi-

ycovov. did tovto drj i6rj i6tlv r\ iTticpdvsia tijg Ttv-

25 Qaîdog %OQlg trjg pd6sog tQiyojv(p ^d6iv ^sv s%ovtL

i6r]v tfj 7tSQiîtQG) Tov AEZ^ v^ôg ds trjv TtlsvQccv

tOV KCJVOV.

15

4. xal cit] at om. F. 14. AH] AN F. 15. Ez/H]EJN F. 19. EHZ] ENZ F. 25. tQiycovco] xQiyai F.

26. Tov JEZ TQiycovov Nizze.


h. e. ad circulum ABF, et lineae a centro circuli ad

puncta contactus ductae perpendiculares sint ad con-

tingentes [Eucl. III, 18], erunt^) igitur etiam lineae

a uertice coni ad puncta contactus ductae perpendicu-

lares ad ziE, ZE^ Z/1 [u. Eutocius]. itaque perpen-

diculares, quas commemorauimus, HAy i/5, i/JT, aequa-

les sunt; sunt enim coni latera. ponatur igitur trian-

gulus ®KA aequalem habens 0K latus perimetro

trianguli ^EZ, perpendicularem autem AM aequalem

lineae HA. quoniam igitur

ziExAH=2EAH [Eucl. I, 41],

et AZxHB = 2AZH,

et EZxrH=2EHZ,est igitur 0K X AH, uel, quod idem est,

®K X MA = 2 {EAH+ ZAH+ EHZ).

est autem etiam

f)KxAM=2AKS [Eucl. I, 41].

[quare 2AK® = 2{EJH-{- ZAH+ EHZ) d:

AK0 == EAH+ ZAH + EHZ].

est igitur superficies pyramidis praeter basim aequa-

lis triangulo basim habenti perimetro trianguli AEZaequalem, altitudinem autem latus coni.

1) Lin. 3— 6 ArcMmedes scripserat: cd aQcc ccno ttJ? ho-Qvcpijg STcl To: A, B, F STti^svyvvfiEvai ^ocQ^stoc sloiv sit' uvxccgh. e. xccs scpanxoiisvag lin. 3); u. Eutocius.

Archimedes, ed. Heiberg. I.


'Eccv xcovov TLVog i6o6xsXovg dg rov kvxXov^ og

£0X1 ^daig rou xcovov., sv^sta yQa^^rj s^Jtsari^ d-Jto ds

rcov TtSQdtGiv avf^g sv^siat yQa^^al dy%^Gi6iv sitl trjv

5 K0Qvq)riv rov xcjvov, to TtsQikricpd-sv tQiycovov vito ts

trig s^7tsaov6rjg xal rcov s7tLt,sv%^SL6^v sitl trjv xoQvcprjv

sXa00ov s6taL trjg sitLCpavsiag rov xcovov trjg ^sta^v

twv STtl trjv xoQvq)r}V s'JtLt,svx%'SL6mv.

s0tci) Ticovov taoaxsXovg ^da^g o ABF xvxXog, xo-

10 Qvcprj ds ro ^, xal dLrjx^cj tLg sig avtov svd^sta rj

AF' xal dico trjg xoQvcprjg s%l td A^ F s7tst,sv%^co6av

UL AJ^ ^r. Xsyo^ oti ro

AAT tQLyovov sXa^Gov s6tL

trig sTtLcpavsCag rot) xcjvov trjg

15 A ^stai,v tov AAT.tst\ir\6^cxi r^ ABT TtSQLcps-

QSLa dC%a xatd ro 5, xal sjt-

s^sv%d^G)0av aL AB, TB^ AB.s6taL drj taABA^ BTA tQL-

yova ^SL^ova rov A^T tQL-

y ycovov. (p dr] v7tsQS%SL td

SLQrj^sva tQLyova rot» AATtQiycovov, s0to to &. to drj

S rjtoi rc5v AB, BT t^rj^d-

25 ^^^^^r '^T^ ^W'^ sXa606v s6tLV, 7} ov. s6to

Jirj sla660V TtQOtSQOV. S7tSL

ovv dvo slGlv s7tLcpdvsLaL ri ts xovLxr} rj ^sta^v rc5v

A^B ^std rov AEB tiiriiiatog xal r^ rot5 AAB tQL-

1. L F. 5. 7tsqiXri(p&6v] scripsi; nsQLXsLCpd-sv F, uulgo.

6. s^nscovarjg] s-^mscoverig F; postea corr. B.

20

DE SPHAERA ET CYLINDRO L 35

IX.

Si in cono aequicrurio ^) linea recta in circulum^

qui est basis coni, incidit, et a terminis eius lineae

rectae ducuntur ad uerticem coni, triangulus^ qui con-

tinetur a linea incidenti et lineis ad uerticem ductis,

minor erit superficie coni, quae est inter lineas ad

uerticem ductas.

sit ABF circulus basis coni aequicrurii, uertex

autem ^ punctum, et in circulum incidat linea AT,et a uertice ad A, F puncta ducantur lineae Azl, zfF,

dico triangulum AAF minorem esse superficie coni,

quae inter A^^ z/jT lineas sit.^)

secetur ABF ambitus in duas partes aequales in

B puncto, et ducantur AB, FB, AB. erunt igitur

trianguli ABA, BFA maiores triangulo A^F^) [u.

Eutocius]. sit igitur @ spatium aequale ei spatio, quo

excedunt trianguli ABA, BFA triangulum AzIF. ita-

que @ spatium aut minus est segmentis AB, BF, aut

non minus. — prius sit ne minus. quoniam igitur

datae sunt duae superficies, conica superficies, quae est

inter lineas AA, AB, una cum segmento AEB et

triangulus AAB, eundem terminum habentes perime-

trum trianguli AAB, maior erit superficies compre-

bendens comprebensa [Aaft/3. 4]. itaque superficies co-

1) Graece genetiuus legitur, qui ad uerbum v.vv,Iqv uel po-tius ad totam sententiam referendus esse uidetur, de qua di-

cendi licentia infra dicetur.

2) Hoc nimis ambiguum est; Archimedes sine dubio bocsaltem loco addiderat: xat r^g ABT nsqiq^sqBiag^ ut prop. 10p. 38, 25; Quaest. Arch. p. 72.

3) Lin. 19—20 Archimedes scripserat: ,}isi^ovcc aqa sgtI zdAB/l^ Bzir zQiycava xov A d F TQiyavov (u. Eutocius).

3*


ycivov to avro jtSQag 6j(ôv6ai rrjv TtsQi^srQOV roi)

tQiycovov rov A/IB^ ^si^cov sorat rj TtsQila^âvovGa

rrjg TtSQilafiâvoÊvrjg. ^Siâv aQa i6rlv 7] xc3Vixr}

STtitpdvsia rj ^sralE^v rc5v A/JB ^sra roi) AEB r^?J-

6 ârog roi) ABzt rQiycovov. oôiog ds 'nal rj ^sra^v

rcDV B/ir ^sra rov FZB rî^ârog ^si^cov s6rlv rov

BAF rQiy(6vov. olrj ccQa r] xovixrj siticpdvsia ^sra

tov @ ;tCL>()toi; ^si^cov s6ri rcov SiQrj^svcov rQiyojvcjv.

rd ds siQrj^sva rQiyova i6a sOrl ra rs A/dT rQi-

10 yoav(p xal rw & XOQico. xoivov dcprjQri^d-co ro ® %g)-

QiOV XoiTtr] ccQa rj ^ciyviKrj STticpdvsia rj ^sra^v rov

AAT ^si^cjv s0ri rov A^F rQtydvov.

S0rc3 drj rb ® sla66ov rcov AB, BF r^rj^drov.

rsybvovrsg drj rdg AB], BF TtSQicpSQsCag di%a otal rdg

15 r]î6Siag avrcov di%a Xsitlô^sv r^riâra sXd66ova ovra

rov ® %oQiov. XsXsicpdô r« sTtl ra5v AE^ EB, BZ,

Zr sv&siov, Tcal STts^svxdôâv at /lE^ AZ. ndliv

roivvv Tcard rd avrd rj ^sv sjticpdvsia roi) xoovov rj

^sra^v rcov AAE ^srd rov STtl rrjg AE r^rjârog

20 ^siôv s6ri rov AAE rQiyovov rj ds ^sra^v rcoi/

EAB iLsrd xov sitl rrjg EB rfiT^ârog ^siôv s6rl rov

EAB tQiyovov. rj aQa STticpdvsta rj ^sta^v rcov AABfisrd rc52/ AE, EB r^rj^drov ^siôv 66ri rc5v AAE,EBA rQiycQvov. sitsl ds td AEA^ AEB rQiyova

25 iLSilovd s6ri rov ABA rQtycovov, Kadôg dsdsixrai,

Ttokko aQa rj sjticpdvsia rov xcovov rj ^sra^v r(»i/ AABybsrd rcov sTtl rcov AE^ EB r^rj^drov ^siôv i6rl rov

5. ^f'] scripsi; cfr. Quaest. Arch. p. 145; 8ri F, uulgo.

6. tmv B/dr] tov ^BF xQiycovov F, uulgo; tmv BJ, JF To-

rellius. 12. AJF] scripsi; AJB F, uulgo; AJ, JT Torel-

lius. 15. rjfiiasiag] r,(iiîccg F, uulgo. 16. XeXKpd-co F.


nica, quae est inter lineas A/dTy ^B, una cum segmento

AEB, maior est triangulo AB/i. et eodem modo

conica superficies, quae est inter lineas 5z/, z/F, una

cum segmento FZBj maior est triangulo B/IF. tota

igitur superficies conica [quae est inter lineas Azl, ATet ambitum AEBZF] una cum spatio ® maior est

triangulis, quos commemorauimus [ABA^ B^F].^)

sed trianguli AB/J, BAF aequales sunt triangulo AJFuna cum spatio ® [ex hypothesi]. subtrahatur @ spa-

tium, quod commune est. itaque, quae reliqua est

conica superficies, quae est inter lineas A^, JTz/, maior

est triangulo AAF.iam sit S spatium minus segmentis AB, BF. si

igitur ambitus AB, BF in duas partes aequales se-

cuerimus et dimidios ambitus in duas aequales, relin-

quemus aliquando segmenta minora quam ® spatium

[prop. 6 p. 24, 1]. relinquantur segmenta, quae sunt

in lineis AE, EB, BZ, ZF, et ducantur ^E, z/Z.

rursus igitur eodem modo [quo supra p. 34, 2^] su-

perficies coni, quae est inter lineas ^z/, ZlE, cum

segmento in linea AE posito maior est triangulo AAE,et coni superficies, quae est inter lineas EA, zfB, cum

segmento in EB linea posito maior est triangulo E^B.quare superficies, quae est inter A^, zlB, cum seg-

mentis AE, EB maior est triangulis A/IE, EBA. sed

quoniam trianguli AE^ , ^EB maiores sunt ABzltriangulo [u. Eutocius, p. 34, 19], multo igitur magis

superficies conica, quae est inter lineas A^, AB, cum

segmentis in AE, EB positis maior est triangulo AAB.

1) Nam ex hypothesi est \ ^ E B -^ FZ B segmentis.

38 IIEPI SÂIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

A/JB TQiycovov. dtcc tic avta de Tcal rj i%i(pccvELa rj

^sta^v rc5v B^F ^sta tcov sitl tcjv BZ, ZF ^slôv

s0tlv tov Bz^r tQLycjvov. okrj ccQa rj STtitpdvsLa ri

^sta^v tciv A^r ^sta tc3V slqtj^svcjv t^rj^dtov ^sl-

5 Jcjv i^tl t(ov AB^, ^BF tQLycjvcov tavta ds s6tLV

t6a ttp A^r tQLycovco xal tS S j^ôqlcj' (hv td SLQri-

^sva t^riâta iXd06ova TOt) x^Q^^^- ÔLJtrj ccQa rj

iitLCpdvsLa rj ^sta^v t<DV AAF ^sl^gjv iotlv tov A/^TtQLytavov.

10 L.

Êdv s7tLipavov6aL dj^^d^cicSLv tov nvKkov, og iotL

pdîg tov x(6vov, iv ta avtS ijtLTtsdcD ov0aL rc5 tiv-

%k(p xal 0v^7tL7ttov0aL dkkrilaLg^ dito ds tav d^pcav Tcai

trjg 0v^7ttc36sog i7tl trjv %OQV(pr]v tov xcSvov svd^staL

15 dxd^do^Lv, td 7tSQLS%6^sva tQLycova vTtb toov S7tLâvov-

6cov Tcal tcov i7tl trjv xoQvtpriv roi) ncavov i7tL^svj(^d-SL-

6c5v svd^stov ^SLôvd i6ti trjg tov xcivov iTtL^pavsCag

trjg d^tola^âvo^svrjg V7t avtojv.

s6tcj Kmvog, ov ^d(3ig ^sv 6 ABF Tcvxlog^ xoQVCpr]

20 ds to E ari^SLOv, %al tov ABF xvxXov i(pa7tt6^svaL

r]x^G)(3av iv t(p avt(p iTtL7tsd(p ov6aL aC A^, r^, xal

d7t6 rov E Orj^SLOv, 6 iotLV KOQVcpr] rov tccjvov, iTtl

td A, A, r i7tsisviQ^G)0av al EA, Ezl, EF' Isya),

ort td AAEf zJEF tQLyova ^SLôvd i(jti trjg kcdvl-

25 Tc^g i^tLcpavsCag trjg ^staîf tcjv AE, FE sv^slov Kal

trjg ABF 7tsQi(pSQsCag.

1. Se] scripsi; drj F, uulgo. 2. BJT] scripsi; ABF F,

uulgo; BJ, z/r Torellius. BZ, ZF rftT^jttaTcov Nizze. 6. to

@ F; corr. Torellius. av] «g Nizze. 8. AJF] AzJE F; corr.

ed. Basil. 10. la' F. 19, Kovog F. 25. STCKpccviag F.


eodem autem modo adparet superficiem, quae inter

B^, /ir lineas sit, cum segmentis in BZ, ZF positis

maiorem esse triangulo B/iF. tota igitur superficies,

quae est inter Azt , ^F lineas, una cum segmentis, quae

commemorauimus \^AE, EB, BZ, ZF], maior est trian-

gulis ABJ, ^BF, qui sunt triangulo AAT et spa-

tio & aequales [ex hypothesi]. ex illis [h. e. superficie

conica, quae inter lineas AA , AF et AEBZF am-

bitum est, et segmentis AE, EB, BZ, ZF] autem

segmenta, quae commemorauimus, minora sunt spatio ®[ex constructione]. quare quae reliqua est superficies

mter AA, AF lineas posita^ maior est triangulo AAF})

X.

Si ducuntur lineae tangentes circulum^ qui basis

est coni [aequicrurii] ^), in plano circuli positae et con-

currentes, a punctis autem contactus et concursus ad

coni uerticem lineae ducuntur, trianguli, qui a con-

tingentibus et lineis ad uerticem coni ductis continen-

tur, maiores sunt superficie coni, quae ab his lineis

abscinditur.

sit conus, cuius basis circulus ABF, uertex autem

punctum E, et ducantur lineae circulum ABF contin-

gentes in plano eodem positae, AA, FA, et ab Epuncto, quod est uertex coni^ ad A, A, T puncta du-

cantur lineae EA, EA, ET. dico^ triangulos AAE,ztET maiores esse quam coni superficiem^ quae inter

lineas AE, TE et ambitum ABT est.

1) Nam etiamsi aequalia essent segmenta spatio 0, idemfieret (Eucl. I yioiv. ivv. 5); eo magis cum segmenta etiam mi-nora sint.

2) Hoc uerbum Archimedes uix omiserat; Quaest. Arch. p. 73.

40 nEPI S<E>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.

tJx^co yccQ rj HBZ icpaTttoêvr} rov xvxXov xal

jcaQaXXriXog ov(5a rfj AF dCxcc r^rjd^SL^rjg trjg ABF7C£QLcp£Q£Lag xata ro B' Tcal ccTto tcav i/, Z inl to Ei7i£t,£v%%^ci0av «r HE^ ZE. xal in^l ^£Lôvg £Lalv aC

5 H^, z/Z trjg HZ^ xoLval TtQo^x^Lad^coOav at HA^ ZJT*

okaL aQa aC A/i^ AT ^£Lôvg £l61v to5i/ AH^ HZ^ ZF.

xal iTtel ai AE^ EB^ EF TtX^vQaC £l<5lv roi) kcovov^

L6aL £i6Lv Slcc to L6o6K£Xrj £LvaL roi' xSvov. bÔLcog

d£ xal xad^^tOL £l6lv [cog id^Lxd^rj iv tco Xij^fiatLy r«

10 d£ vTto tcov xadîtcov xal tcov pd6£cov tcov AEzf, ^FEtQLyoovcov ii£Lt,ovd i6tL toov AHE^ HEZ, ZEF tQL-

y(6voov. £l6lv yccQ aC ^lv Afl^ HZ, ZP ild66ovg

tcov FA, /1A^ td d£ viprj avtdov L6a [(pav^Qov ydQ,

otL r] dno trjg xoQvcp^g tov OQdôv xcovov iitl trjv

15 iTtacprjv trjg ^d6£oog iitL^^vyvvîvrj xdd^^tog i6tLV iTtl

trjv icpanto^£vriv\ cp dl ^£Lôvd i6tLV td AEJ^ AFEtQLyoova tcov AEH, HEZ, ZEF tQLyoovcov^ £6tco to

& XcoQLOV ro drj %coqlov rjtoL 'iXattov i6tLv tSv

7t£QLX£L^^dtcov toov AHBK^ BZFA tj ovx ^Xattov.

20 £6tC0 7tQ6t£Q0V ^rj iXattOV. i7t£L OVV £L6LV i7tL(pdv£LaL

^vvd^^tOL, 7] t£ trjg 7tvQa^Ldog trjg i^tl ^d6£oog rot»

HAFZ tQa7t£^L0v xoQvcprjv £%ov6a ro E xal rj xcovLxrj

i7tLcpdv£La rj ^£ta^v rc5i/ AEF ^£td tov ABF tîj-

âtog, xal 7tiQag £xov6l trjv avtrjv 7t£QL^£tQ0v rov

1. 71 om. F. 9. Xrjfiatt F. 10. tav AE^, dTE tgi-

y(ov(av (iSLôvu iati om. F; suppleuit Torellius. 16. ds]

scripsi; Srj F, uulgo. 17. ro xaqCov' to drj @ %GiQCov

om. F lacuna relicta; suppleuit ed. Basil. et Cr.; iam D: to

X(oqCov' ro St) x^qCov. to Ss & x^qCov, sed manu 2. 18. tmvnsQLlsLfipi^cctcov usque ad snsl ovv lin. 20 (incl.) om. F lacunarelicta; auppleuit ed. Basil. (et Cr.), sed habet 7tsQiX7](ificcto}v

{nsQiXsfifi. Torellius) lin. 19, AHB, BZFlin. 19, nQmtov et ov^k

(pro nQotsQOv (ii^) lin. 20, quos errores correxi. 21. §dos(og]


ducatur enim HBZ linea circulum contingens et

lineae AF parallela, ambitu ABF in B puncto in

duas partes aequales diuiso [u. Eutocius]. et ab if, Zpunctis ad E punctum ducantur lineae HEj ZE. et

quoniam ifz/ -\- zJZ^ HZ [Eucl. I, 20], communes

addantur HA, ZF lineae. itaque totae

jj + ^r>AH+ HZ + znet quoniam AE, EB, EF latera sunt coni, aequales

sunt, quia conus aequicrurius est. sed eaedem etiam per-

pendiculares sunt [u. Eutocius ad prop. 8]. sed trian-

guli AE^, /irE maiores sunt triangulis AHE, HEZ,ZEF^)', nam AH+ HE + ZF bases minores sunt

Fz/+^^basibus, et altitudines aequales^) [tumcfr.Eucl.

VI, 1]. quo autem spatio maiores sunt trianguli AE/i,

AFE triangulis AEH, HEZ, ZEF, sit ® spatium.

itaque @ spatium aut minus est spatiis relictis AHBKyBZFA^) aut non minus. sit prius ne minus. iam

cum habeamus superficies coniunctas, superficiem py-

ramidis, cuius basis est trapezium HAFZj uerticem

1) Archimedes sine dubio scripserat hunc fere in modum:ra ccQU AEJ, JFE tQLycova fisilovcc cett.

,quod etiam usus

non Archimedeus uerbi yicibstog lin. 10 (Quaest. Arch. p. 71) signi-

ficat ; falsarius causam uoluit significare, sed tum postea scriben-

dum erat: tav vno tmv y.ad'stcov y,ccl tcov ^dascov tcov AHE %tX.

2) Uerba, quae sequuntur, subditiua et insuper transposita

(Quaest. Arch. p. 74) iam Nizze damnauit.

3) Cum infra p. 42, 7 et 10 in codd. legatur AHBK, BZFAquod in ed. Basil. et apud Torellium in AHB, BZF muta-tum est, non dubitaui hoc quoque loco eandem scripturam perse meliorem reponere, praesertim cum ex erroribus supra p. 40not. correctis adparet, lacunam codicum in ed. Basil. coniecturasuppletam esse.

§c((og F. 22. tQKTts^iov] i in rasura manu 1 F. t6 £]tov E F; corr. ed. Basil. tiovl-ht} F.

10

AEF TQLycDvov^ dijXov, cog rj BTtKpavEia trig nvQa^tdog

XcoqIs tôv AEF TQiycDVOV êit,(ov iatlv rijg Kcovixrjg

ijti(pccv6iag ^stcc rov t^ri^cctog

tov ABF. KOivbv a^prjQ^âd-G)

to ABF t^rjâ. loiTta aâ ta

tQiycava ra AHE, HEZ^ ZEF^sta tc3v AHBK^ BZFA itSQi-

^.si^^dtov ^siôvd i6tiv trjg

oicjviKrjg iiticpavsCag tr]g ^sta^v

<^ tSv AE, Er. tc3V ds AHBK,\p BZFA TtSQiksiii^dtcav ovk ska6-

\/' ôv i6ti ro %G)QiOV. TtokkGi

ccQa td AHE, HEZ, ZETtQiycova ^std tov ® ^siôva

s6tai trjg xayvixrjg iiticpavsCag tr]g

^sta^v t(DV AE, EF. dlld td

AHE, HEZ, FEZ tQCycova ^std tov S iativ td

AEzt, AEF tQCycova. td aQa AEA, AET tQC-

ycjva iisCôva s6tai trjg siQr}y.svr}g xcoviTtrjg iiticpavsCag.

20 £0xco drj t6 ska66ov tmv TtsQiksi^^dtcov. dsl drj

TtsQiyQdcpovtsg Jtokvycova TtsQi td t^rjâta oôCcog 8C%a

ts^vo^svcov tcov TtsQiXsiTtoîvcov 7tSQicpsQ6i(ov %a\ ayo-

ILSVcov icpaTtto^svcDV IsCTpo^sv tiva ditolsCîiata., d 66tai

ild66ova roi) S %g)qCov. kslsCcpdô xal satco td AMK,25 KNB, BSA, AOr ikdaaova ovta tov S %coqCov, %a\

igts^sv^dô) ijti tb E. itdliv drj cpav^Qov, oti td AHE,

16

1. AEr] ABF F. 7. nsQiUifiiidtcov] scripsi; 7iEQdr}(i}i.

F, nuigo. 11. nsQiUt(iiiccTaiv] scripsi; neQLXifiatav F; nsQi-

Irjiificitmv uulgo. 17. FEZ] scripsi; om. F, uulgo ob prae-

cedens HEZ; ZEF ed. BasiL, Torellius. 21. nsQiXsinfidtcov]

scripsi; nsQilriiifiatav F (altero fi suprascripto manu 1), uulgo.


habentem E punctum, et superficiem conicam, quae

est inter lineas AE, EFy una cum segmento JlBF, et

terminum habeant eandem perimetrum trianguli AEF,

adparet, superficiem pyramidis praeter triangulum ^ jSr

maiorem esse conica superficie una cum segmento

ABF [la^p. 4]. subtrahatur segmentum ABF com-

mune. itaque qui reliqui sunt trianguli AHEy HEZ,ZEF una cum spatiis relictis AHBK, B7.rA, ma-

iores sunt superficie conica, quae est inter lineas AE,

EF [Eucl. I icoiv. ivv. 5]. spatium autem non mi-

nus est spatiis relictis AHBK, BZTA. itaque trian-

guli AHE, HEZ, ZEF una cum spatio ® multo ma-

iores erunt superficie conica, quae inter lineas AE,

EF est. sed [ex hypothesi] sunt:

AHE + HEZ + FEZ + = AEA + AEF.itaque trianguli AEA, AEF maiores erunt conica

superficie, quam commemorauimus.

sit igitur & spatium minus quam spatia relicta.

si igitur deinceps polygona circum segmenta^) circum-

scripserimus eodem modo [ut supra p. 40, 2] ambitus

relictos in duas partes aequales diuidentes et lineas

contingentes ducentes, relinquemus quaedam spatia

minora spatio ®^). relinquantur et sint AMK, KNB,BSA, AOr minora spatio @, et lineae ad E punctum

1) Debebat esse t6 tfiijiicc, et ex Eutocio adparet, Archi-medem lin. 21 scripsisse: 7tSQiyQciq)OVT8g dij noXvycova nsql xo

t(iriiia.

2) Ex prop. 6 p. 24, 8. ceterum ex Eutocio comperimus,Archimedem lin. 24 scripsisse: anox^ri^ccta. sldaGova tov @XCDQLOV.

24. dnolscpâta'] scripsi; anolLfifiata F altero ft suprascripto

manu 1 ; dnoXââta ed. Basil. ; dnot^riâta Torellius.

44 nEPI 2<E>AIPAS KAI KTAINAPOT A'.

HEZ, ZET rQLycDva rdav AEM, MEN, NES, ISIEO,

OEF tQtyojvcjv setac êiôva' ai te yaQ ^dâig tcov

^d^scov al6L ^SLôvg xal ro vtlôg i0ov. sti ds ndXiv

oÔLog ^SLôva s%Ei STiLCpdvsLav r] TtvQaidg rj pdOLV

5 iisv s%ov(5a to AMNÔr TtoXvycovov, xoQVCprjv ds

to E xcoQlg tov AEF tQLycovov trjg xcovLKrjg STtnpa-

vsCag trjg fistai,v tov AEF iistd rot; ABF tî]âtog.

xoLVov dcpriQriiSd^co ro ABT t^rjfia. XoL%d ccQa td

AEM, MEN, NEISI, ISIEO, OET tQLycova fistd tov

10 AMK, KNB, BÂ, AOT TtsQLXsL^fidtcov ^SLôva

sOtat tr]g zovLOirjg sitLcpavsLag tr]g ^sta^v tmv AET.dXXd tCOV ^SV SLQrjflSVCOV TtSQLXSL^^dtCOV ^StÔV S6tLV

tb ® xcoQLOv, tcov ds AEM, MEN, NE^, SEO,OET tQLycovcov fLSLôva sdsCxd^ri td AEH, HEZ, ZET

15 tQLycova. JtoXXa aQa td AEH^ HEZ, ZET tQtycova

fistd Tov & ^^co^fcoi;, tovts6tL td AAE^ ÊT tQLycova,

fiSLôvcc s6tLV trjg xcovLxrjg STtLqâvsCag trjg ^sta^v tcov

AET SVd^SLCOV.

ta.

20 Êdv sv ijtLCpavsCa oQdôv xvXCvSqov dvo sv^slaL

CO0LV, r] smcpdvsLa rot; tcvXCvSqov rj ^staî) tSv sv-

d^SLcov ^sC^cov s6tLv TOiJ TtaQaXXrjXoyQd^ôv tov jtsQL-

sxofisvov vJto ts tcov sv tfi sTtLcpavsCa rov kvXCvSqov

svd^SLcov Tial tcov s7tL^svyvvov6cov td TtSQata avtcov.

25 s0tco KvXLvdQog OQdôg, ov pd^tg ^sv 6 AB xvxXog^

djtsvavtCov ds 6 fz/, xal sitst^svx^ciôcv aC AT, Bzt.

3. ticcl To vipog ora. F, uulgo; t6 dl vipog ed. Basil., Torellius.

10. nsQiXrjfificcTcov F, uulgo. 12. nsQLXsLfifidtoiv^ scripsi;

nsQdifiarcav F; nsQLXr](i(idta)v uulgo. 14. AEH'^ JEH F',

corr. Torellius. 16. JEF] JEC F. 19. i^' F.


ducantur^). rursus igitur adparet^ triangulos AHEyHEZ, ZEF maiores futuros esse triangulis AEMjMENj NESy SEO, OEF] nam bases maiores sunt

basibus [Xa^p. 2], et altitudines aequales [u. p. 41, 8].

porro autem rursus, uti supra [p. 42, 1], pyramis

basim habens polygonum AMNSOFy uerticem autem

E punctum praeter triangulum AEF superficiem ma-

iorem habet coni superficie, quae est inter lineas AE,EF, cum segmento ^5F[Aaft/3. 4]. subtrahatur, quod

commune est segmentum ABF. itaque qui relinquun-

tur trianguli AEM, MEN, NEg, 3EO, OEF cum

spatiis relictis AMK, KNB, BgA, AOF, maiores

erunt conica superficie, quae est inter lineas AE, EF[Eucl. I xoLv. ivv. 5]. sed spatiis relictis, quae com-

memorauimus, maius est spatium & [ex hypothesi], et

demonstratum est, triangulis AEM, MEN, NES, SEO,

OEF maiores esse triangulos AEH, HEZ, ZEF.itaque trianguli AEH, HEZ, ZEF cum @ spatio,

h. e. trianguli AAE, ^EF, multo maiores sunt super-

ficie conica, quae est inter lineas AE, EF.

XI.

Si in superficie cylindri recti duae lineae sunt,

superficies cylindri, quae inter eas est, maior est par-

allelogrammo, quod a lineis in superficie cylindri

ductis et lineis terminos earum iungentibus continetur.

sit cylindrus rectus, cuius basis sit circulus AB, ei

autem oppositus Fz/ circulus, et ducantur lineae AF,

1) Archimedes scripserat : ins^svxd-aaavip. 4:2,26; de omissouerbo svd^sccci, cfr. quae collegi Neue Jahrb! Suppl. XI p. 372.

kiyca^ OTL rj d7tot£(ivo^8VYj KvXivdQLxrj eTCKpdvELa vtco

Tcov AF^ B/^ £vd-ELcov ^£L^cov £6tlv roi5 AFB^ TtaQ-

aX?,rjkoyQcc^fiov.

TEt^rjad-G) yccQ £xat£Qa tcjv AB^ J^z/ dCxa ocata

b ta E, Z 0rj^£ta, xal £%£t,£vji^(0(5av aC AE, EB^ FZ,ZA. xal £7i£L ai AE^ EB t^g AB [dLa^£XQOv] (1£l-

ôvg £L0LV^ xaC £6tLV lcovjpri '^^ JtaQaX^rjXoyQa^â ta

£% avtcov, ^£Côva ovv iotLv ra TtaQalXriloyQaîia^

cov [ai] ^d<5£Lg ^£v aC AE, EB, vipog dl to avto T<p

10 KvXCvdQcp^ rov ABAF TtaQaXXrjXoyQd^ôv. tCvl ccQa

ÊCôvd £6TLv; £6tc3 tS H xcoqCc). to dr] H %g)qCov

7]T0L £la06ov Twv AE^ EB, rZ^ ZA ijtLTtddcDv f(Jrt

T^rjâTCOV 7] OVK £Xa660V. £6TG)

%q6t£qov ^rj £Xa66ov. ocal i7t£L

15 ^f / \ ^%^ rj aTtoTE^voîvr] KvXLvdQLxrj ijtL-

€pdv£La VTtO tSv AF, BA EvdÊLCOV

Tcal Tcc AEB^ FZ^ t^rniata

TtiQag £i£L to tov AFB^ itaQ-

aXXrjKoyQa^ôv iTtCTtEdov, aAAa

xal rj 6vyx£Lîvrj i7tiCpdv£La ix

tcov TtaQaXkrjXoyQd^âVj cov ^d-

6£Lg ^£v aC AE, EB^ vtpog dl

ro avto rc5 kvXCvSqg)^ Tcal tcov

AEB^ rZzl TQLycovcov Ttiâg £%£l

25 ^"^^

—

--^ ro roi5 ABAF jtaQakkrjXoyQd^-

ôv iTtCjt^dov^ nal rj £TiQa Trjv £TiQav 7t£QLka^pdv£L^ xal

d^cpoTEQaL ijtl r« avTa KotXaC £16lv, êCôv ovv i6Tiv rj

2. AFziB Torellius. 4. Fzi'] n^QicpsQEicav add. ed. Ba-sil., Torellius. 6. dicciihQov, per se falsum, sed ad figuramcodicum adcommodatum , om. ed. Basil., Torellius. 9. at]

deleo. §cc6Eig] ^ccg cum compendio syllabae tg uel rjg F.

15. 97] addidi. 17. Tu-/;UKr«] rQtycovcc F; corr. Torellius.

20

DE SPHAERA ET CYLINDEO 1. 47

B^. dico, superficiem cylindricam lineis AF, 5z/

abscisam maiorem esse parallelogrammo ArBzl.

secetur enim uterque [ambitus]^) AB, FzJ in duas

partes aequales punctis E, Z, et ducantur lineae AE,

EB, rZ, ZA. et quoniam AE + EB> AB [Eucl.

I, 20], et parallelogramma in iis posita eandem ha-

bent altitudinem [quia rectus est cylindrus], parallelo-

gramma igitur, quorum bases sunt lineae AE, EB,

altitudo uero eadem, quae cylindri est, maiora sunt

ABAF parallelogrammo [Eucl. VI; 1]. quo autem

spatio maiora sunt, sit H spatium.^) Itaque spatium

H aut minus est segmentis planis AE, EB, FZ, ZA,

aut non minus. prius sit ne minus. et quoniam

superficies cylindrica lineis AT, BA abscisa cum

segmentis AEB, TZA terminum habet planum

parallelogrammi ATBA, superficies autem ex paral-

lelogrammis, quorum bases sunt AE, EB lineae, alti-

tudo autem eadem, quae cylindri est, et ex triangulis

AEB, TZ/i composita et ipsa terminum habet pla-

num parallelogrammi ABAT, et altera alteram com-

prehendit, et utraque in eandem partem caua est,

1) Hoc uerbum Arcbimedes ipse uix omiserat, praesertim

cum eo uon addito A B , FzJ necessario de lineis rectis acci-

perentur.

2) Formam horum uerborum (lin. 10— 11) putidam genuinamnon esse, nemo non sentit. puto Archimedem, ut prop. 10

p. 40, 16, scripsisse: ra ds (iSL^ovd satLv , sgtco x6 H x(oqlov.

Etiam in sequentibus liic illic quaedam a falsario addita esse

suspicor.

18. JBzJr Torellius. 21. §d6SLg] §aGLs F; corr. ToreUius(BD? cfr. Torellius p. 432 ad 84, 19)." 23. rav] scripsi; tcc F,

uulgo. 24. TQLycovcav] scripsi; snLTCsScc F; xqiy(ova BD, ed.

Basil., TorelHus. 26. 17] addidi. 27. ^oila F; corr. B.

48 nEPI SAIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

aTCoxB^voîvri xvXtvdQLKrj iTCicpdvEia vito tcjv AI\ BAevd^SLCJV xal xa AEB^ TZA eitCiteda t^^^îata trjg

CvyKSLêvrjg STCLCpavsLag sk tdav TCaQalXrjXoyQa^^cov,

(6v [aL] pdesLg ^sv al AE, EB, vtlôg ds to avtb rc5

5 KvlCvdQfp^ xal t^v AEB, TXA tQLycjvcov. xotvd

dcprjQrj^d^co td AEB^ FZA tQLycova. loLTCrj ovv rj

djcors^vo^svri TcvXLvdQLTcrj siCLcpdvsLa vico t(DV AF, B^Bvd^sLcav Tcal td AE, EBy FZ, Zz/ sTCcTCsda t^rjâta

^SLôvd s6ti trjg 6vyxsL^svrjg STCLcpavsCag sk t^v TCaQ-

10 akkrikoyQd^ncav^ (bv ^d(3SLg ^sv at AE, EB, vxf;og ds

to avto ta KvXCv8Q(p. td 8s TCaQaXXrjkoyQa^â^ (6v

^dcsLg ^sv at AE., EB, vipog ds ro avtb ta xvXCv-

8qc{), L0a s6tLv rc5 AFB^ TCaQaXkrjXoyQd^^^p xal t(p

H %(OQL(p. kOLTCri CCQa 7] aTCOtS^VO^SVri KVkLvdQLKr] S7CL-

15 cpdvsLa vTcb tcov AF, 5z/ svd^SLcov ^sC^cov s0tl tov

AFBZI TCaQaXXriloyQdiiôv.

dXkd drj s6tco ska6(5ov ro H %cdqCov tcov AE, EB^

rZ, Zz/ siCLTCsdcav t^rj^dtov Kal tstî^Cdô SKdatri

t^v AE, EB, rZ, Zz/ TCSQLCpsQSL^v dC%a Katd td

20 ©, jfir, A^ M erj^sta, Kal s7Cst,sv%d^G)6av aC A®, @E,

EK, KB, FA, AZ, ZMyMA [rwi/ ds AE, EB, TZ,

ZA ccQa s7CL7Csd(ov t^rj^dtcov dcpaLQsltaL ovk sXaCdov

7] ro 7]^L6v td A&E, EKB, TAZ, ZMA tQCycova].

tovtov ovv s^rjg ycvo^svov KataXsL(pd"i^0staC tLva tî]-

25 âta, a s6taL sXd60ova tov H %c3qCov. KataksksCcpQ-o

zal s6t(o td A@, 0E, EK, KB, TA, AZ, ZM, MA.

4. at] deleo. ^daELg] §aa cum compendio lq uel tjs F.

z6] toa F. ccvro] avt(o F, sed corr. man. 1. 6. ciqâiQTjad-co

F; corr. Torellius. AEB] EB F. 8. sv&SLav] svd-£i,a F.

10. ^dasig ut lin. 4 F. 11. tm] om. F; corr, AB.12. ^dasig] §aaig F; corr. B D. avto ta] scripsi ex B; to3

om. F, uulgo. 13. aFJB Torellius. IQ. AFJB Torellius.


maior igitur est superficies cylindrica lineis AF, Bzl

abscisa cum segmentis planis AEB, JTZz/, quam

superficies ex parallelogrammis,quorum bases sunt

AEj EB lineae^ altitudo autem eadem, quae cylindri

est, et triangulis AEBy TZA composita [Aaf4/3. 4].

subtrahantur trianguli AEBj FZ^ communes. itaque

quae relinquitur superficies cylindrica lineis AF, BAabscisa cum segmentis planis AE, EB, FZ, Zz/,

maior est superficie ex parallelogrammis composita,

quorum bases sunt lineae AE, EB, altitudo autem

eadem, quae cylindri est. haec autem parallelogramma

aequalia sunt parallelogrammo AFBA una cum spa-

tio H [ex hypotbesi]. itaque quae relinquitur super-

ficies cylindrica lineis AF, Bzl abscisa, maior est

parallelogrammo AFBA})sed rursus sit spatium H minus segmentis planis

AE, EB, rZ, ZA. et secentur ambitus AE, EB, TZ^ZA omnes in duas partes aequales punctis ®, K, A, M,et ducantur lineae A®, &E, EK, KB, TA, AZ, ZM,MA?) quod si deinceps fecerimus, relinquentur seg-

menta quaedam, quae minora erunt spatio H. relin-

quantur et sint A®, @E, EK, KB, TA, AZ, ZM, Mztsegmenta. similiter igitur^) demonstrabimus paralle-

1) Quia ex hypothesi Jf^^E + EB-frZ-fZz/ seg-

mentis.

2) Uerba, quae sequuntur: tcov ds lin. 21 — tQLycovcc lin.

23 sulDditiua sunt. Archimedes tacite usus erat prop. 6 p. 24,

6, ubi de ea ipsa re, de qua in uerbis subditiuis agitur,

Euclides citatur, demonstratione propria non addita; nec apudArchimedem quidquam inuenitur, unde colligatur

A@E + EKB -f- r^Z-|-ZM//^|(^E-l-EE-f rZ + Z/:/).

praeterea ofFendunt particulae Ss et ccQa coniunctae.

3) Sc. ac supra p. 46, 8 ex Eucl. I, 20; VI, 1.


50 nEPI LÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

oÔicog drj dsiôêv^ ort za JtaQaXXriloyQtt^^cc, tov pddsig

fiev aC A®j &E^ EK^ KB, viôg ds to avtb t(p ocv-

XivdQcp^ ^siôva s6tai tSv TtaQakXrjXoyQcc^ôv^ cov

pdosig ^sv aC AE^ EB^ vtjjog ds tb avtb rco xvXCv-

5 dQcp. aal stcsI rj aTtots^vo^svrj oivXivdQLxrj sTticpdvsia

vjtb tcav AT^ BA svd-si^v xal td AEB^ FZ^ siti-

jtsda tî^âta itsQag s%si tb rov AFBjd TtaQaXXrjXo-

yQd^ôv iTtiTtsdov^ dkXd xal rj ^vyxsi^svrj sjticpdvsia

SK tcjv TtaQaXXrjXoyQa^^cov ^ cov ^dosig ^sv ai A0^10 &Ej EK^ KB, vjfjog ds tb avtb tip oivXCvdQCp^ otal

twv A&EKB^ FAZMA svd^vyQdfiôv^ xoivd dcp-

YiQri6^Gi td A0EKB, FAZMA svd^vyQa^â' Xoiitrj

dga rj aTtots^vo^svrj xvXivdQiKrj sjticpdvsia vitb twv

AT, BA svd^siCDV xal td A@, &E, EK, KB, FA,16 AZ, ZM, M^ sTtCjtsda t^tjâta ^sCôvd s6tiv trjg

0vyKSL^svrjg siticpavsCag sx tcav TtaQaXXrjXoyQdî^cov,

cov pdesig ^sv ai A@, @E, EK, KB, vxlôg ds tb

avtb to tcvXCvSqg}. r« ds TtaQaXXrjXoyQa^â, cov ^d-

csig ^sv aC A@, @E, EK, KB, vilôg ds tb avtb ta

20 kvXCvSqg)^ ^sCôvd s6tiv tcov TtaQaXXrjXoyQd^^cov , cov

pd6sig ^sv au AE^ EB^ 'vx{jog ds tb avtb rc5 xvXCv-

dQCJ' xal rj djtots^vo^svrj ccQa KvXivdQixrj STtiCpdvsia

VTtb tcov AF, BA svd^snBv xal td A®, ®E, EK^KB, FA^ AZ^ ZM, M^ sTcCjtsda t^rjâta ^sCôvd

25 s0tiv tcov TtaQaXXrjXoyQd^^cov^ cov pdesig ^sv ai AE^

1. Tojy naqaXXrikoyQciiibiibiv F; corr. ed. Basil. ûaig F;corr. BD. 3. xa 7tuQaXXr}XoyQa{iâ F; corr. Cr., ed. Basil. 4.

§a6Lg F. ta om. F. 7. AFJB Torellius. 9. ^daeLg]

§a6Lg F; corr. BD. dov §d6£Lg (isv in rasura F. 11. tiovu

F; corr. manus 2. 17. §a6 cum compendio tg uel rjg F; corr.

BD. 18. rc5 om. F. â6ig F; corr. BD. 21. §d6sig

ut lin. 17 F; corr. BD. ul om. F. 25. §d6SLg ut lin. 17

F; corr. BD.


logramma, quoriim bases sint A®y ®E, EK, KBy alti-

tudo autem eadem, quae cylindri est, maiora futura

esse parallelogrammis, quorum bases sint lineae AE,

EBj altitudo autem eadem, quae cyliudri est. et quo-

niam superficies cylindrica lineis AF, B/1 abscisa cum

segmentis planis AEB, rZ/J terminum habet planum

parallelogrammi AFB^y superficies autem ex paral-

lelogrammis, quorum' bases sunt lineae AS, ®E, EK,KBy altitudo autem eadem, quae cylindri est, et figu-

ris rectilineis A&EKB, FAZMJ composita [et ipsa

terminum habet planum parallelogrammi AFB^,maior igitur est superficies cylindrica lineis AF, B^abscisa cum segmentis planis AEB, TZA superficie

ex parallelogrammis, quorum bases sunt lineae AS^®E, EKy KB, altitudo autem eadem, quae cylindri

est, et figuris rectilineis A&EKB, FAZMzf compo-

sita (Xa(ip. 4)].^) subtrahantur figurae A0EKB,FAZM^ communes. itaque quae relinquitur super-

ficies cylindrica lineis AF, Bzi abscisa cum segmen-

tis planis A®, ®E, EK, KB, FA, AZ, ZM, MJ,maior est superficie cylindrica ex parallelogrammis

composita, quorum bases sunt lineae AS, SE, EK,KB, altitudo autem eadem, quae cylindri est. haec

autem parallelogramma maiora sunt parallelogrammis,

quorum bases sunt lineae AE, EB, altitudo autem

1) Post Bv^vyQa[ni(ov lin. 11 aut a transscriptore aut a libra-

riis haec fere omissa esse puto: nsQug i%si ro xov AFBJn(XQaXXr]loYQ(£(iiiov inLTtsdov, fisi^cov ovv iativ 7) dnotBfivofisvrjlivXLvdQmr] inLtpccvsLa vno tav AF^ Bzt sv&SLav xat ta AEB,TTj^ snLnsScc tfn^ficctcc tijg cvyyiSLfisvrjg inL(pcivsLag in tatv

naQccXXr}XoyQcc(i(i(ov, av ^dasLg (isv at A©, @E, EK, KB, vipog

6s to avto Tc5 kvXiv8qg), tiai t£av ASEKB, FAZMJ svd^v-

yQd(i(i(ov (cfr. p. 46—48).

4*


EB, vilôs ê to avro rc5 xvXCv8qc). ra Ss icaQaX-

XrjXoyQa^lia, cov Pa0Sig ^sv ai AE^ EB, vtlfog dh

t6 avro ra KvXivdQCp^ l'6a ierlv rc5 A^FB naQaXkriko-

yQa^^G) xal ra H x^Q^^' ^^^^ V ccTCorsiivoÊvi] aQa

5 KvlivdQiTcri e7ti(pdv8ia vjto rcov AF, J5z/ svd^sicov ;cal

ta A®, @E, EK, KB, FA, AZ, ZM, M2J sTtCneda

tiiriiLara ^sCôvcc sGnv rov AFB/I TtaQaXlrjkoyQCc^ôv

xal rov H ^fo^toi;. dcpaiQs^^svrov ds rd A@, ®E,

EK, KB, FA, AZ, ZM, MA r^rjâra rov H xoqCov

10 sXd00ova. XoiTtrj aQa ri aTtors^vo^svrj xvXivdQixrj sjticpd-

vsia vjto roav AF, B^ svd^siojv ^sCâv sOrlv rov

AFB^ TtaQaXXrjloyQd^ôv,

'Edv sv S7ti(pavsCa xvXCvSqov nvog oQdôv dvo sv-

15 d^slai (06iv, dito ds vmv TtsQdrcov tcov sv^siciv dxdâ-

6Cv nvsg S7tiipavov0ai tcov xvxXav, 0% slîv ^dcstg

rov tcvXCvSqov, sv ttp STtiTtsdco avrmv ov6ai xal 6v^-

7ts6o6iv, rd TtaQaXXrjXoyQa^â rd TtSQiSxo^sva vito rs

rcov sjtiijjavov^cov nal r^v TtXsvQCJv rov xvXCvdQOv

20 ^sCôva s6rai rrjg S7ti(pavsCag rov TivXCvdQov rrjg ^s-

ta^v tcov svd^sicov toov sv trj STticpavsCa tov xvXCvdQOv.

s6tco KvXCvdQov tivog oqQôv ^d^tg 6 ABF xvxXog,

KOi s6tco6av sv tfj s7ti(pavsCa avtov dvo sv^^stat, cov

TtSQata td A, F' djto ds t(Bv A, F rjx^co6av S7tiilâv-

25 ov6ai tov KvxXov sv rc5 avrc5 S7ti7tsdco ovCat xal

6v^7ti7ttstco6av xatd tb H. vosCcd^coCav ds xa\ sv tfj

2. ^ccoLs F. 3. AJTK} FB*; AJBF C*; AFJB uulgo.

nccQccXlriloyQafifiDC FC. 8. dtpaiQE&ivToav] scripsi; acpcciQS&svrcc

F, uulgo. 10. Xoirtov F; corr. B. 12. AF/^JB Torellius.

13. ty' F. 16. ûGsis] §cc6 cum compendio t? uel rjg F ; corr. D.


eadem, quae cylindri est. itaque etiam superficies

cylindrica lineis ^r, B/J abscisa et segmenta plana

A&, ®E, EK, KB, rj, AZj ZM, Mz/ maiora sunt

parallelogrammis, quorum bases sunt AE, EB lineae,

altitudo autem eadem, quae cylindri est. haec autem

parallelogramma aequalia sunt parallelogrammo AFB^et spatio H [ex hypothesi]. itaque etiam superficies

cylindrica lineis AFj B^ abscisa cum segmentis pla-

nis A®, ®E, EK, KB, FA, AZ, ZM, MA maior est

parallelogrammo AFB^ cum H spatio. subtrahantur

autem segmenta A&, &E, EK, KB, FA, AZ, ZM,MJ minora spatio H [p. 48, 25]. itaque quae relin-

quitur superficies cylindrica lineis AF, BA abscisa,

maior est parallelogrammo ATB/1.

XII.

Si in superficie cylindri recti duae lineae datae sunt,

et a terminis linearum ducuntur lineae circulos con-

tingentes, qui bases sunt cylindri, in plano circulorum

positae, et concurrunt ^), parallelogramma, quae lineis

contingentibus et lateribus cylindri continentur, maiora

erunt superficie cyliodri, quae inter lineas est in su-

perficie cylindri ductas.

sit circulus ABT basis cylindri recti, et in super-

ficie eius duae lineae datae sint, quarum termini sint

A, T puncta. ab A, T autem punctis ducantur lineae

circulum contingentes in eodem plano positae, et con-

currant in puncto H fingantur autem etiam in altera

1) Prop. 10 p. 38, 13 erat: xat Gv^nmtovaaL.

54 HEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

exBQa pd66L tov nvXCvdQOv ccTto tdiv TteQdtav tcov iv

tfj ETCKpavsCa avdÊlai rjy^svaL ijaipavovâi tov tcvxXov.

dsLXteov, otL td jcaQaXXriXoyQa^â td 7CSQLS%6^sva vtco

tSv i7CLipavov6c3v xal tmv tcXsvqcjv tov KvkCvdQov

5 ^sCôvd iatL trjg xatd triv ABF icsQLCpSQSLav iiCLtpa-

vsCag tov xvXCvSqov.

7}%^^ ydQ r] EZ i7CLipavov0a, kol aTCo tmv E, Z0rjiisCc3V rjxd^co^dv tcvsg svd^staL icaQd tov dôva tov

KvXCvdQOV scog trjg iiCLCpavsCag trjg stsQag ^d^sog. td

10 drj TcaQaXlriXoyQa^pLa td 7CSQLS%6^sva V7c6 tcov AH^HF Tcal tcov 7cXsvQ(av tov xvXCvdQov ^sCôvd i6tL tdav

TCaQaXXrjXoyQd^ôv tov 7CSQLS%o^svcciv V7c6 ts tov AE,EZ, Zr Tcal trjg tcXsv-

Qag tov xvXCvSqov [i7Csl

yaQ at EH, HZ trjg

EZ ^sCôvg sl6Cv, xol-

val ^CQO^TCsCod^GXSav at

AE, Zr. oXac aQa al

HA, Hr ^sCôvg sl6lv

^ tcov AE, EZ, ZF]. odii ^sCôvd iatLVj s6to

tb K %oqCov. tov drj

K %oqCov ro 7]^l6v ijtOL

^SL^^v i6tL rcov 6%^]-

lldtOV tOV 7CSQLS%0y.S-

vov V7c6 tov AE, EZ,

Zr svd^siov xal tov AA, AB, B0, &r TCSQccpsQSLov

15

20

25

1. nsQoiTaiv Tc5v] rav om. F; corr. Torellius. 2. Post ini-

cpccvsCa fortasse addendum est svd^siav, cogitatione saltem.

13. Tcov nXsvQmv Cr., ed. Basil., Torellius. 16. sIgCv] sivai F;

corr. B. novat F; corr. manus 2 (?).

DE SPHAERA ET CXLINDRO I. 55

basi cylindri a terminis linearum. in superficie ducta-

rum lineae circulum contingentes ductae. demonstran-

dum, parallelogramma, quae lineis contingentibus et

lateribus cylindri contineantur, maiora esse superficie

cylindrica in ambitu ABF posita.

ducatur emm EZ linea contingens^), et a punctis

Ej Z ducantur liueae axi cylindri parallelae usque ad''^)

superficiem^) alterius basis. itaque parallelogramma,

quae lineis AH, HF et lateribus cylindri continentur,

maiora sunt parallelogrammis, quae lineis AE, EZy

Zr et latere cylindri continentur.^) quo igitur ma-

iora sunt spatio, sit K spatium. itaque dimidium

spatii K aut maius est figuris, quae lineis AE, EZ,

Zr et arcubus A^y ^B, B@, @r continentur, aut

non maius. sit prius maius. superficiei autem, quae

composita est ex parallelogrammis in lineis AEy EZ^

1) Post ETtLiifocvovaa lin. 7 Nizze addi uult: Slxcc Tfirid^st-

arjg r^g ABF nsQLcpsQstag y.uxu to J5, et fortasse sic scripserat

Archimedes.

2) Archimedes ipse particula sag hoc modo non utitur;

quare puto eam a transscriptore pro sars nQog uel fisxQi' sup-positam esse (Quaest. Arch. p. 70).

3) Puto Archimedem aut xrjg snLcpavsLag omisisse aut tovsnLnsdov scripsisse; neque enim apte commemoratur rj snL-

cpdvsLa trjg ^dasoog, quasi i} pdaLg solida sit.

4) Nam EH -{•HZ > EZ (Eucl. I, 20)

AE 4- zr= AE + zr^

AH-i- Hr^AE -{- Ez + zr.

itaque cum altitudo eadem sit, parallelogramma, quorum basessunt AH, Hr, maiora sunt parallelogrammis

,quorum bases

sunt AE^ EZ, ZF (Eucl. VI, 1). sed quae in Graecis additasunt uerba lin, 14—20, ualde mihi suspecta sunt, quia Archi-medes causam, qua nititur aliquid, praemittere solet, non posteaaddere. etiam in sequentibus fortasse quaedam addita, quae-dam mutata sunt.

rj ov. €6tG) TCQorsQOV ^stôv. f^g ds STCKpavsCag trjg

6vyKSi^svr}g stc tcjv itaQaXlrjXoyQd^ôv tcov Kata tag

AE^ EZ^ Zr xal tov AEZF tQajts^tov Kal tov

xatsvavttov avtov sv tfi stsqa ^dosi rov KvkCvdQov

5 TtsQag s6tlv rj JtSQC^stQog tov TtaQaXXrjloyQa^ôv rov

xata tr^v AV. s0tiv ds xal tr]g STtiQpavsCag t^g 6vy-

xsi^svrjg S7C trjg STticpavsCag tov kvICvSqov r^g Katd

trjv ABF TtsQicpsQSiav xal tSv t^rj^dtcov tov ts ABFxal tov aTtsvavtCov avtov TtsQag rj avtrj TtSQC^stQog.

10 aC ovi^ SiQrj^svai sitiipdvsiai to avto TtSQag siov6ai

tvy%dvov6iv^ OTtsQ s6tlv sv STtiTtsdco^ xaC Si6iv d^<p6tsQai

ijti td avtd xoikai, xaC tiva ^sv TCSQiXa^^dvsi rj stsQa

avt(DV, tivd ds xoivd s%ov6iv* iXd66cov ccQa s6tlv rj

TtsQiKa^Pavo^svrj' dcpaiQSxtsvtcov ovv xoivcov tov ts

16 ABF t^riâtog xal tov ditsvavtCov avtov sXd66ci)v

s6tlv rj sTticpdvsia rov xvXCvSqov rj xatd trjv ABF TtSQi-

cpsQSiav trjg ^vyxsiîsvrjg siticpavsCag sx ts tcov TtaQaXkrjXo-

yQd^^cov td5v xatd tdg AE^ EZ^ ZF xal tdov ^xrj^dtav

tov AEB, BZr xal tcov ditsvavtCov avtmv. aC ds twv

20 siQrj^svcov TtaQaXXrjXoyQd^^cDV sTticpdvsiai ^std tcov

slQrj^svcov 6%ri^dtcov sKdttovg Si6lv trjg imcpavsCag

trjg 6vyxsi^svrig ix tcov TtaQaXXrikoyQd^^cov tcov xatd

tdg AH, HF [^std yaQ ro^! K ^sCôvog ovtog tdov

6x^^dtcov i6ai ri6av avtotg]. SrjXov ovv, oti td TtaQ-

25 aXXrjXoyQa^â td 7tSQis%6^sva vno tcov AH^ FH xal

tcov TtXsvQcov tov xvXCvSqov ^sCôvd i6ti trjg imcpavsCag

rot) xvXCvSqov trjg xatd trjv ABT TtSQicpsQSiav. sl 8s

^ri i6ti ^stôv tb r]î6v roi) K %coqCov tcov slQrj^svcov

3. TQccTts^Siov F. 4. KatsvciVTLOv^ dnsvavxlov'} sv r^ om.F; corr. A. 13. sXdaccQv'] sXccaaca F. 17. nsQicpSQSiccg F per

compendium; corr. A. 19. AEB, BZT] AE, EB, JBZ, ZFF;


Zr positis et trapezio AEZF et trapezio ei opposito,

quod in altera basi est cylindri, terminus est perime-

trus parallelogrammi in linea ^Ppositi. eadem autem

perimetrus terminus est superficiei compositae ex super-

ficie cylindri in ambitu ABF posita et segmento

ABF ei segmento ei opposito. itaque superficies, quas

commemorauimus, eundem terminum babent in plano

positum, et utraque in eandem partem caua est, et

altera earum quaedam comprehendit, quaedam cum

altera communia babet. minor igitur ea est, quae

comprebenditur [Aaft^. 4]. si igitur segmentum ABFet segmentum ei oppositum utrique communia sub-

trahimus, minor est superficies cylindri in ambitu ABFposita superficie composita ex parallelogrammis in

lineis AE, EZ, ZT positis et figuris AEB, BZT et

figuris iis oppositis. sed superficies parallelogrammo-

rum, quae commemorauimus, cum figuris AEBj BZFet figuris iis oppositis minores sunt superficie com-

posita ex parallelogrammis in lineis AHy HF positis.^)

quare adparet, parallelogramma, quae lineis AH^ FHet lateribus cylindri contineantur, maiora esse super-

ficie cylindri in ambitu ABF posita. — sin non maius

est dimidium spatii K figuris, quas commemorauimus,

1) Nam parallelogr.

AH ^ Hr= parallelogr. ^E-fEZ + Zr+^(ex hypothesi),

et i-S^> AEBJ -j- BZr©; itaque K^ AEBJ -{- BZT® cumfiguris iis oppositis. sed uerba sequentia lin. 23—24 suspectasunt; cfr. p. 55 not. 4; praeterea offendit avxotg (h. e. roig

TtccQoiXXriXoyQccfifiois roig Ticcta tccs AH^ HT) pro uvtri (h. e.

superficiei ex iis compositae; lin. 24).

corr. ed. Basil. „et ex portionibus plani contentis ab arcubuset lineis rectis ae, eb, bf, fc" Cr.

58 nEPi SAîPAi: kai ktainapot a'.

dx^^cctcov^ dx^fj(30vtaL evd^stai i7CLâvov6av tov rî^-

âros, S0ts ysvs6dâL ta TtsQiXsiTto^sva ^xriiiata ikda-

oova tov rjîOovg tov K, xal td dkXa zatd td avtd

totg sîtQO^d^sv dsi%%"ri0stai.

6 tovtav ds dsdsiy^svav cpavsQOv i6tiv [ix tcav

7tQOSiQr}^svc3v], oTt, idv Sig xcjvov i6o6KsXri JtvQa^lg

iyyQacpfi^ rj i7ti(pdvsia trjg jtVQaîdog XG)Qlg trjg /3a-

6scog iXd66cov i6tl tijg xoviKrjg ijticpavsiag'

[sxa6tov ydQ tcov 7tSQiS%6vtcov triv TtvQa^Cda tQi-

10 ycovcov sXa666v i6ti trjg Ttcovixrjg iTticpavstag trjg fi£-

ta^v tcov tov tQiycovov 7tXsvQ^v' S6ts xal oXrj rj

iTticpdvsia trjg 7tvQaîdog %03()tff trjg ^d6scog iXd66cov

i6ti trjg i^ticpavsCag tov xcovov xcoQlg trjg ^d6scog.]

xal ort, idv 7tsQl xcovov i6o6xsXrj TtvQa^lg 7tsQi-

15 yQacpfj^ rj ijticpdvsia trjg 7tvQa^Cdog x^Q''? '^^? ^d6scog

^sC^cov i6tl trjg iTCicpavsCag tov xcovov x^Q^^S "^VS ^d-

6scog \xatd ro 6vvsxsg ixsCvco].

cpavsQOv ds ix tcov d^todsdsiy^svcov , oti ts, idv

sig xvXivdQOv OQdôv 7tQt6â iyyQacpfj, rj i^ticpdvsta

20 Tov 7tQC6âtog rj ix tcov ^taQaXXrjXoyQd^^cov 6vyxsi-

^svrj iXd66cov i6tl trjg i^ticpavsCag tov xvXCvSqov %(»^tg

trjg pd6scog'

[sXa66ov ydQ sxa6tov 7taQaXX7}X6yQa^ôv tov 7tQC6-

ât6g i6ti trjg xad'^ avtb tov xvXCvSqov iTticpa-

25 vsCag.]

1. tfirjfiaTOs] Nizze; cxrjiiccrog F, uulgo; xvxXov ax^^ficcros

ed. Basil., Torellius. 3. narcc] addidi; om. F, uulgo. 5. Ss]

scripsi; dri F, uulgo. sgtlv fx] scripsi; sni (isv F, uulgo.

10. sXaaaayv F; corr. C. H. ^] addidi; om. F, uulgo. 16.

ftftjco F.


ducentur lineae segmentum contingentes, ita ut figurae

relictae minores sint dimidio spatii K [prop. 6 p. 23,

6]. et cetera eodem modo, quo supra [prop. 11 p. 49],

demonstrabuntur.

His autem demonstratis adparet^), si cono aequi-

crurio inscribatur pyramis, superficiem pyramidis prae-

ter basim minorem esse superficie conica.

[nam unusquisque triangulorum pyramidem com-

prehendentium minor est superficie conica, quae est

inter latera trianguli [prop. 9]*, quare etiam tota su-

perficies pyramidis praeter basim minor est coni super-

ficie praeter basim].

et, si circum conum aequicrurium pyramis circum-

scribatur, superficiem pyramidis praeter basim maiorem

esse coni superficie praeter basim [prop. 10].^)

adparet autem ex iis, quae demonstrauimus, et, si

cylindro recto prisma inscribatur, superficiem prismatis

ex parallelogrammis compositam minorem esse super-

ficie cylindri praeter bases.^)

[nam unumquodque parallelogrammum minus est

cylindri superficie ad id pertinenti] [prop. 11].*)

1) SK rSv TtQosiQrjfisvav subditiua esse puto, quia idemiam dictum est uerbis praecedentibus : rovtcav 8s8siy(isv(ov.

2) nara ro avvs%sg shsivo) (h. e. propter sequentem pro-

positionem) Archimedea esse non puto, maxime ob sY,sLvcp (h. -e.

illi proportioni, qua nitebatur lemma praecedens) obscure et

neglegenter dictum.

3) Archimedes hic et pag. 60 linn. 4, 7, 17 scripserat rmv§cc6scov (Qu. Arch. p. 73).

4) Hanc demonstrationem et similem supra lin. 9—13 sub-ditiuas esse suspicor; turbant enim sententiarum nexum {rs — xatlin. 18— 60, 1), nec intellegitur, aut cur additae sint, cum supradictum sit: cpccvsQOv s% rmv dsSsiyiisvcav (p. 58, 5 et 18), autcur Archimedes, si eas addere uoluerit, non c^teris duobus lem-matis etiam (p. 58, 14; p. 60, 1) demonstrationes adiunxerit.


XCcl Ott, iav TtSQi KvXivdQOV OQd-bv JtQi6â TtSQi-

yQcccp^y rj iiticpdvaia rov 7tQi0ârog rj ix rmv JtaQaX-

XYjloyQd^^cjv OvyxsifiivYj êt^cjv icrl rrjg iTticpavsiag

rov xvXivdQOv x^Q^^S ^^S ^diSaog,

5

.

iy.

Tlavrog xvXivdQOv oQdôv rj ijticpdvsia ô^tg rrjg

pd0£G)g l'6r} i6rl xvTcXa), ov r] ix rot} xsvrQOV ^£6ov

Xoyov s%Si rrig nXsvQccg tov KvkCvdQov xal rrjg dta-

^srQOv rrjg ^d^scog Toi5 xvXivdQOv.

10 s6rG) xvXivdQOV nvbg oQdôv pd6ig 6 A xvxXog^

xal 's0ro rfi ^sv dia^srQC) ro{5 A xvxXov l'6rj rj JTz/,

ry ds TtXsvQa roi) xvXCvdQOv rj EZ' iyircxi 8\ \is(5ov

Xoyov rcov ^.T, -EZ r\ H^ xal xsCad^cj xvxkog^ ov rj

ix rov xsvrQOv 'i6rj i^rl rrj H 6 B. dsixrsov^ ort 6

15 B xvxXog i(5og iorl rfj imcpavsicc rov xvXCvdQov %OQ\g

rrjg ^d^scjg.

sl yccQ iiri i^nv i6og, TJrot ^sC^csv i6rl tj iXd66ov.

s6ro TtQorsQOVy sl dvvarov^ iXd66ov. dvo drj ^sysdôv

ovrov dvC6ov rrjg rs ijtKpavsCag rov xvXCvSqov xal

20 Tov B xvxXov dvvarov i6riv slg rov B xvxXov 160-

nXsvQov TtoXvyovov iyyQdtfâi xal aXXo TtsQiyQdipai,

o6rs rb TiSQiyQacpsv TtQbg rb iyyQacpsv ikd66ova

Xoyov s%Siv roi;, 6V s%Si rj iiticpdvsia rov xvXCvSqov

TtQbg rbv B xvxXov. vosC6dô drj TtSQtysyQa^^svov xal

25 iyysyQa^^svov^ xal TtSQl rbv A xvxXov JtSQiysyQdcpdô

sv&vyQa^ôv oôiov rw TtSQt rbv B TtsQiysyQa^^svo,

xal dvaysyQdcpdô djtb rov svd-vyQd^ôv 7tQi6â' s6rai

1. naC om. F; corr. B*. 5. id' F. 12. sxsto F; corr.

BC*. 19. ccviGGoav F. 21. iyygccrpaL^l alterum y in F supra

Bcriptum est manu 1.


et, si circum cylindrum rectum prisma circum-

scribatur, superficiem prismatis ex parallelogrammis

composita maiorem esse cylindri superficie praeter

bases^) [prop. 12].

XIII.

Cuiusuis cylindri recti superficies praeter bases^)

aequalis est circulo, cuius radius media est proportio-

nalis ^) inter latus cylindri et diametrum basis cylindri.^)

sit A circulus basis cylindri recti, et sit linea T/1

aequalis diametro circuli A^ et linea EZ aequalis la-

teri cylindri. linea autem H media sit proportionalis ^)

inter z/F, EZ lineas. et ponatur B circulus, cuius

radius aequalis sit lineae H, demonstrandum, circu-

lum B aequalem esse superficiei cylindri praeter bases.^)

nam nisi aequalis est, aut maior est aut minor.

sit prius, si fieri potest, minor. datis igitur duabus

magnitudinibus inaequalibus, superficie cylindri et cir-

culo 5j fieri potest, ut circulo JB inscribatur polygo-

num aequilaterum, et aliud circumscribatur, ita ut poly-

gonum circumscriptum ad inscriptum rationem minorem

habeat, quam superficies cylindri ad circulum B [prop. 5].

fingatur igitur circumscriptum et inscriptum circulo B^

et circum A circulum circumscriptum polygonum si-

mile figurae circum B circulum circumscriptae^), et

1) Archimedes hic et liun. 4, 7, 17 scripserat rwv ^uasmv(Qu. Arch. p. 73).

2) Archimedes hic et liu. 12—13 scripsit (isGrj a.vaXoy6v£6X1 (Quaest. Arch. p. 70).

3) Hanc propositionem ut tertiam decimam citat Pappus I

p. 394, 11.

4) Lin. 24 sq. Archimedes scripserat: vosLod^co dij sls tbv BKVTiXov nsQiysyQCiii^svov Kui syysyQoc^fjisvov, Kai nsqi tov A

62 nEPi 2:<[>AiPAi: kai ktainapot a'.

drj TtSQi tov KvXivdQOv JtSQiyeyQa^îvov. s6rco ds x«l

rij TtsQLiisTQC) rov svd-vyQcc^ôv rov nsQi tov A kv-

kXov i6rj rj K/J^ xal tfi K^ i6r] rj AZ' trjg ds jTz/

rj^L6sia s6to r> FT. s6tai drj ro K^T tQiycovov

5 i6ov Tc5 TtSQiysyQa^^sva svd^vyQcc^â tcsqI rov A xv-

kXov [iTtsidrj pcc6iv ^sv s%Si tfi TtSQiiistQG) i6rjv^ vtlôg

ds i6ov tfi sx rot> KsvtQov roij' A TcvnXov^ tb ds EATtaQakXriloyQa^ôv tfj STticpavsia rov TtQi^îatog roi)

TtSQi tov KvXivdQOv ^SQiysyQa^^svov [sTtsidrj TtSQisxstai

10 vitb trjg JtXsvQccg tov nvXCvdQOv xal trjg i6rjg rfj TtSQi-

^stQG) trjg Pcc6scog tov 7tQi6fiatog~\. xsi^d-G) drj tfj EZl'6rj rj EP. i6ov aQa s6tlv tb ZPA tQiyovov rc5 EA7taQaXXrjXoyQ()cii^G) ^ S6ts xal tfj siticpavsict rov 7CQi6'

âtog. xal sjtsl oôicc s6ti ra svd^vyQaiiyba ta TtSQi

15 rovg A^ B xvxXovg jtsQiysyQa^^sva., tbv avrbv s%si

koyov \ta sv^vyQa^îa^^ ovTtSQ ai sk tSv xsvtQcov

dvvci^si. s%si ccQa tb KT^d tQiyovov TtQbg tb TtsQl

tbv B xvxXov svd^vyQa^ôv Xoyov, ov rj TA TtQbg

trjv H dvvd^si [ai yccQ Tz/, H i6ai sl6iv tatg sx rot)

20 xsvtQOv\ dXl' ov s%si Xoyov rj TA TtQbg H dvvd-

[isi^ tovtov s%Si tbv koyov rj Tz/ TtQbg PZ ^rjxsi [rj

yccQ H tcov TA^ PZ ^s6rj s6ti dvdloyov dtcc rb xal

tG)v TA^ EZ' itG^g df rovro; STtsX yaQ i6rj s6t\v rj

\Csv AT tfj TF^ rj ds PE tfj EZ^ di7tXa6ia ccQa s6t\v

25 rj TA trjg TA^ xa\ rj PZ trjg PE. s6tiv ccQa^ cog rj

TA TtQbg AT^ ovtG)g rj PZ TtQbg ZE. ro aQa vTtb

1. 8s] scripsi; drj F, uulgo. 5. tco] to F. 19. triv H]To H F. £x Tov nsvTQov] per compendium FC, quod in loco

interpolato ferendum est; fx tmv 'nsvrQOiv uulgo; „ex centris"

Cr. 20. TtQos H] TCQog ttiv H ed. Basil., Torellius. 25. (hq

rj rj\ F; ag ri JF uulgo.

' DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 63

in eo construatur prisma; erit igitur circum cylindrum

circumscriptum. praeterea autem aequalis sit linea K^perimetro figurae rectilineae circum A circulum cir-

cumscriptae, et lineae K^ aequalis AZ linea; lineae

autem F^ dimidium sit

^ J^^Tlinea. itaque triangulus

K^T aequalis erit figurae

circum A circulum circum-

scriptae ^),parallelogram-

mum autem EA superficiei

prismatis circum cylindrum

circumscripti.^) ponatur

igitur lineae EZ aequalis

^Plinea. itaque triangulus0ZPA aequalis est paralle-

logrammo EA [Eucl. 1, 41]

;

quare etiam superficiei

prismatis. et quoniam si-

miles sunt figurae rectilineae circum A, B circulos cir-

cumscriptae, eandem rationem habebunt^), quam radii

quadrati [u. Eutocius]. habebit igitur triangulus K T/1

ad figuram rectilineam circum B circulum circumscrip-

tam eandem rationem, quam TA^ : H^ [quia TA, Hradiis aequales sunt ex hypothesi].

yivY.Xov nsQiysyQUfifiivov ofioiov rc3 nsQt zov B nsQLysyQafifisvo);

u. Eutocius.

1) Quia basis Kd aequalis est perimetro polygoni, altitudo

autein z/ T aequalis radio circuli A siue radio minori polygoni

;

cfr. Zeitschr. f. Math. u. Physik, hist.-litt. Abth. XXIV p. 180nr. 12.

2) Quia basis EZ aequalis est perimetro polygoni, quodprismatis basis est, altitudo autem AZ aequalis lateri cylindri.

3) ta sv&vyQaii(iLa lin. 16 deleri uoluit Torellius, probante

64 nEPI S«ÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

t(DV JTz/, EZ l'6ov eOtl rw vjtb t(DV Tz/, PZ. ta de

vTto tcov r^, EZ l'6ov £<jtl to ccTCo H. xal rc5 vTto

tSv Tz/, PZ ccQa l'0ov iotl tb ccTtb trjg H. £0tLV

ccQa^ wg rj Tz/ JtQog H, ovrog rj H TtQog PZ. e6tiv

5 ocQa^ (og rj Tz/ TtQog PZ, to <x7t6 tijg Tz/ TtQog to

ccTtb trjg H iav yccQ tQstg evdêtai dvciloyov oaGiv^

^6tiv, (og rj TtQcotri TCQog trjv tQitrjv, tb djtb trjg 7tQ(6-

trjg eldog TtQbg tb ditb trjg devtSQag sidog tb Ofioiov

Tcal oÔicog dvayayQa^êvov}. ov de koyov eêi rj

10 Tz/ TtQbg PZ ^rJTcei, tovtov eêi tb KT^ tQiycovov

TtQbg tb PAZ [iiteidriTteQ i(5ai ei^lv av K^, AZ]. tbv

avtbv ccQa koyov eêi tb KT^ tQiycyvov JtQog tb

evd^vyQa^ôv tb TteQi tbv B xvxlov TteQiyeyQa^êvov,

ovTteQ tb TK/1 tQiycovpv TtQog tb PZA tQiyovov.

15 iôv ocQa i(Stiv tb ZAPtQiycovov ta iteQl tbv B xvkXov

TteQiyeyQa^êvc) evd^vyQa^^^p. StSte xal r^ eTticpdveia

tov 7tQi6âtog tov iteQl tbv A Kv?.ivdQOv TteQiyeyQa^-

inevov t(p evd^vyQK^^c} ta JteQl tbv B ocvxXov l'6rj iati.

Tcal ijtel iXd(S6ova Xoyov e%ei tb ev^vyQa^fiov tb JteQi

20 tbv B kvkXov JtQbg tb iyyeyQa^êvov iv t(p kvkXg)

tov, ov e%ei rj iTticpdveicc tov A KvkCvdQOv itQbg tbv

B kvkIov, ild06ova koyov e%ei Kal rj iTticpdveia tov

7tQi0âtog Tot) TteQl tbv xvkivdQov iteQiyeyQa^êvov

TtQog tb evd^vyQa^ôv tb iv ta kvkXcj rc5 B iyyeyQaî-

25 êvov, r]7teQ rj iiticpdveia tov KvXivdQOv TtQbg tbv BkvkXov Kal ivalXd^' oiteQ ddvvatov \ri filv yccQ

iTticpdveia tov 7tQi0âtog tov TteQiyeyQafiêvov iteQl

tbv KvXivdQOv êi^cjv ov(5a dedeiKtai trjg iTticpaveCag

2. dno H^ FBC; ccno f^g H uulgo. 5. ag rj] tag om.F; corr. AC. t6 dno] ovtcog xo dno A, ed. Basil., Torellius.


sed

et

Tz/ : PZ == KTzl : PAZ})

quare triaugulus KTJ ad figuram rectilineam circum

B circulum circumscriptam eandem rationem habet,

quam triangulus TK^ ad triangulum PZA [u. Euto-

cius]. aequalis igitur est triangulus ZAP figurae

rectilineae circum B circulum circumscriptae [Eucl.

Y, 9]. quare etiam superficies prismatis circum Acylindrum circumscripti aequalis est figurae rectilineae

circum B circulum circumscriptae. et quoniam figura

rectilinea circum B circulum circumscripta ad figuram

circulo inscriptam minorem ratiouem habet, quam su-

perficies A cylindri ad jB circulum [ex hypotbesi],

habebit igitur etiam superficies prismatis circum cylin-

drum circumscripti ad figuram circulo B inscriptam

minorem rationem, quam superficies cylindri ad B cir-

Nizzio. et ex Eutocio adparet Archimedem scripsisse: xov av-tov s^SL Xoyov, ovnsQ.

1) Nam ex hypothesi est H^ = Jr x EZ et zl r == 2 Tz/,

£Z = ^PZ; quare Hf = Tz/ X PZ, h. e. TJ: H==^ H: PZ;tum u. Eucl. VI, 20 Ttog. 2. demonstrationem subditiuam p. 62,

lin. 21 — p. 64, lin. 9 nimis uerbosam esse iam Nizze p. 57 not.

^ intellexit; idem p. 270 uerba ndts Ss xovto deleri uult sedu. Quaest. Arch. p. 74.

2) Ex Eucl. VI, 1, quia ex hypothesi AZ = KJ.

7. t6 dno] FA; ovTcog xo dno uulgo. 14. TKJ] KTzl To-rellius. 24. iyysyQa(i(isvov] scripsi; ysyqaiiiisvov F, uulgo.

Archimedes, ed. Heiberg. I.

QQ nEPI 2ÂIPA2 KAI KTAJNAPOT A'.

rov KvXCvdQov^ to ds iyysyQcc^âvov avd^vyQa^ôif iv

rc5 B KvxXc) eXa666v i0tt tov B kvkXov\ ovk aQa

i6tlv 6 B xvxlog iXd66a)v tijg iTCiqâvsLas tov kvXlv-

dQOv. — €6t(o ds , al dvvatov, ^sl^cjv. Ttdkiv de

5 voei6^cy etg rov B xvkXov evd^vyQa^ôv iyyeyQa^â-

vov Kal akko TCeQiyeyQa^êvov , Sdte ro JteQiyeyQa^-

êvov TtQog to iyyeyQa^fievov ikd^ôva Xoyov 'e%eiv

7] tov B tcvkXov TCQog triv ijticpdveiav rot> xvXivdQOv,

%al iyyeyQd(p%^co eig tov A kvkXov itoXvycovov oôiov

10 rc5 etg tbv B kvkXov iyyeyQa^êvc), Kal TtQt^â dva-

yeyQdq^d^G) aito tov iv rc5 kvkXco iyyeyQa^îevov Jtokv-

ycjvov. Kal Ttdliv ij K^ l'6ri e^ta trj TteQiâtQC) rov

avd^vyQd^ôv roi> iv rc5 A kvkXcj iyyeyQa^êvoVy Kal

7] ZA i(Sri avtfi e^to. e6tai drj to êv KTA tQi-

15 yovov êtôv tov evd^vy^d^ôv rov iv ta A kvkXc)

iyyeyQa\L\ievov \8i6ti ^dîv êv eêt trjv TteQtêtQov

avtovj vtpog de êtôv trjg djto tov KevtQOv iitl ^Cav

TtXevQav roi5 TtoXvycavov dyoêvrjg Kadêtov], tb de EA7taQaXlriX6yQa^ôv l(5ov tfj iiti^paveCcc tov 7tQC6âtog

20 tfj ix t(Bv jtaQaXXrjXoyQd^ôv ^vyKeiêvrj [di6ti jteQi-

eietai vitb trjg itXevQag tov kvXCvSqov Kal trjg ferjg

tfi 7teQiêtQ(p tov evd^vyQd^ôv, o i6ti ^detg rot)

7tQC6âtog\ Scte Kal ro PAZ tQCyovov t6ov iotl

tfj i7ti(paveC(x tov 7tQC6âtog' Kal i^tel oôtd i6ti td

25 evd^vyQa^â td iv totg A, B KVKkotg eyyeyQa^êva,

tbv avtbv e%ei X6yov 7tQbg aXXrjXa^ ov aC eK rcSi/

KevtQOV avtdov dvvdêi. eêi de Kal td KTA, ZPA

1. iyysyQUiifiEvovl scripsi; y£yQCi(ifisvovF^ uulgo. 7. sjjfiv]

SX^L F; corr. B* 10. £yysyQa(ifi£vov F; corr. B* 12. Iutco]

£<STL F; corr. A. 17. (iSLâv F, ut uidetur. yisvTQOv] -iisvTQOv

TiXEvQccg F; corr. Torellius. 22. 6'] 6? F; corr. ed. Basil.

DE SPHAERA ET CYLIISIDRO I. 67

culum. permutando igitur [prisma ad cylindrum mi-

norem rationem habet, quam figura circulo B inscripta

ad B circulum]^), quod absurdum est [u. Eutocius]^).

itaque fieri non potest, ut B circulus minor sit super-

ficie cylindri.

sit autem, si fieri potest, maior. rursus autem

fingatur figura rectilinea circulo B inscripta et alia

circumscripta, ita ut figura circumscripta ad inscrip-

tam minorem rationem habeat, quam B circulus ad

superficiem cylindri [prop. 5], et inscribatur circulo Apolygonum simile polygono circulo B inscripto, et

prisma in polygono circulo [A] inscripto construatur.

et rursus linea K^ aequalis sit perimetro figurae recti-

lineae circulo A inscriptae, et linea Z^ ei aequalis

sit. erit igitur triangulus K T/J maior figura rectilinea

circulo A inscripta^)^ parallelogrammum autem EAaequale superficiei prismatis ex parallelogrammis com-

positae.*) quare etiam triangulus PAZ aequalis est

superficiei prismatis [quia aequalis est parallelogrammo

EA'^ p. 62, 12]. et quoniam figurae rectilineae cir-

culis Ay Z inscriptae similes sunt, eandem inter se

rationem habent, quam radii circulorum quadrati [Eucl.

1) Archimedes pro %al ivaXXd^' otieq advvaxov p. 64, 26scripserat: svaXXa^ aga sldoaova Xoyov sxsl to ngiafia nQog tovytvXivdQOv, 7]nsQ to syysyQafifiivov stg roi' B kvtiXov noXvycovovnQog tov B kvkXov' onsQ atonov, ut ex Eutocio adparet.

2) Sequentia uerba p. 64, 26— 66, 2 subditiua esse adparetex Eutocio.

3) Basis enim KJ aequalis est perimetro polygoni, altitudo

autem J T, quae aequalis est radio circuli J, maior quam ra-

dius minor polygoni. Uerba lin. 16—18 Archimedis non sunt;

u. p. 62, 6.

4) U. p. 63 not. 2. Quae sequuntur lin. 20—23 subditiua

sunt; cfr. p. 62, 9.

5*

68 IIEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

tQiyava TtQog allrjXa Xoyov, ov aC h}i XKtv ksvtqcov

xmv xvxlcov dvvdîEi. tov avrbv aQa Xoyov exBi to

£v%^vyQa^ôv ro hv rtp A ^vxkco eyysyQa^âvov TCQog

t6 svd^vyQa^ôv t6 kv ra B kyysyQa^^svov , Tcal t6

5 KT^ rQCyavov TtQog ro AZP rQiycovov. ska66ov ds

s6ri ro sv^vyQa^ôv t6 sv Ta5 A TcvKkco syysyQa^^s-

vov rov KT/1 rQiycovov. ska66ov aQa oial xo svd^v-

yQa^ôv t6 sv tc5 B tcvtcXco syysyQa^^svov rov ZPArQiycjvov coOrs Kal rrjg STCicpavsiag Tot; 7tQi6ârog rov

10 iv tg5 TivlivdQco syysyQa^^svov otcsq ddvvarov \s7tsi

yaQ skd(5(jova koyov s%Si t6 TtSQiysyQa^^svov svd-v-

yQa^ôv tcsqI rbv B tcvxXov TtQbg rb syysyQa^^svov,

7] 6 B 7cvx?.og TtQbg rrjv STticpdvsiav TOt) nvXCvdQOv^

xal svakld^^ ^stôv ds s6ri rb JtsQiysyQa^^svov TtsQi

15 Tov B TcvxXov Toi5 B KVTcXov, ^siôv KQa s6rlv t6

syysyQa^îsvov sv tcj B oivxlco rijg siticpavsCag tov

xvXCvdQOv. C30rs Tcal rrjg sjticpavsCag rov 7tQC6ârog].

0V7C ccQa ^sC^cav s(5r\ 6 B xvxXog rrjg siticpavsCag rov

TivXCvdQov. sdsCx^yj t^c, on ovds sXd66c3v. i6og ccQa

20 s0rCv.

id'.

Uavrbg kcovov i6o6xslovg ^w^tg rrjg pd^scog rj siti-

cpdvsia i6rj s6ri kvxXg)^ ov r} sn to€ xsvrQOv ^s6ov

Xoyov s%si rrjg TtXsvQccg rov licovov xal rijg sx Toi)

25 asvrQov to£' xvxlovj og s6ri ^dîg tov xojvov.

s6rco x^vog i6o0Ksli]g, ov ^dîg 6 A KVTckog, rj ds

Sk rov KsvrQov s^rco r] F. rfj ds TtksvQa rov kcovov

16. lihilmv F. 21. ib F. 22. 17 sTticpdvsLCi x^^qU J^V?^dascog Pseudopappus. 23. iatCv idem. 24. Xoyov] dvdXo-

yov idem. 25. ianv idem.

XII, 1]. sed etiam trianguli KTzJ, ZPA eandem in-

ter se rationem habent, quam radii circulorum qua-

drati.^) itaque figura rectilinea circulo A inscripta ad

figuram circulo B inscriptam eandem rationem habet,

quam triangulus KTJ ad triangulum AZP. minor

autem est figura rectilinea circulo A inscripta trian-

gulo KT^. itaque etiam figura rectilinea circulo Binscripta minor est triangulo ZPA'^ quare etiam super-

ficie prismatis cylindro inscripti. quod fieri nequit.^)

itaque fieri non potest, ut circulus B maior sit super-

ficie cylindri. demonstratum autem est, ne minorem

quidem eum esse. itaque aequalis est.

XIV.

Superficies cuiusuis coni aequicrurii praeter basim

aequalis est circulo, cuius radius media proportio-

nalis est^) inter latus coni et radium circuli, qui basis

coni est.'*)

sit conus aequicrurius , cuius basis sit circulus A^

radius autem eius sit JT linea. et lateri coni aequalis

1) Nam KT^ : ZPA= TJ:ZP=TJ^:H^', p. 65 not. 1;

sed Tz/ linea aeqnalis est radio circuli A, H radio circuli B.

2) Nam quoniam figura circum B circumscripta ad figuraminscriptam minorem rationem habet, quam circulus B ad super-

ficiem cylindri, et B circulus <[ figura circumscripta, erit etiamfigura inscripta maior superficie cylindri, et multo magis su-

perficie prismatis (prop. 12 p. 58, 18). Sequentia uerba lin. 10

—

17 deleo; cfr. p. 67 not. 2.

3) Archimedem scripsisse puto lin. 23: fisar} iatlv dvdXoyov;cfr. p. 61 not. 2.

4) Hanc propositionem ut XIV ™*"^ citat Pappus I p. 390,

16. sed uerba ipsa Archimedis interpolator addidit, ut recte

suspicatus est Hultschius ; neque enim Pappi temporibus scripta

Archimedis in linguam communem conuersa circumferebantur

;

hoc enim post Eutocium demum factum.est (Quaest. Arch.

p. 77—78).

70 nEPI L<3>AIPAL KAI KTAINAPOT A'.

£(3tG) i'6rj 7] z/, XGiv 8e F, z/ ^80rj avdloyov 7} E.

6 da B icvKlos sxBtG) trjv sk toi5 xivtQov tfj E i6r]v.

XiyG)^ otL 6 B nvKlog i6tlv l'(jog tfj iTtKpavsta tov

xoivov xoQig trjg pd<j£og. — £i yccQ ^rj ietiv i(5og^

5 ritOV ^^L^COV i(Stlv 7] iXcc66G}V. £6tG) 7tQ6t£QOV iX(X66G)V.

£0ti dr} dvo ^^yid^rj avi6a 7] t£ i7ti(p(x,v£ia roi) kcovov

xal 6 B ytvxkog^ xal ^£i^G)v rj i7ti(pccv£ia tov zcovov.

dvvatov ccQa £ig tov B %vkXov Ttolvycovov iôitl^vQOv

iyyQaijjai xal aklo 7t£QiyQdipai oôiov t(p iyy^yQa^-

10 ftaVw, S6t£ to 7t£Qiy£yQa^îvov TtQog to iyy^yQa^î-

vov iXd66ova koyov £%£iv tov^ ov £%£i tj i7ti(pdv£ia

tOV XCOVOV TtQOg tbv B KVkIoV. V0£i6d-G) dfj Kal 7t£Q\

tov A xvxlov 7toXvyG)vov 7t£Qiy£yQa^îvov oôiov tm

7t£Qi tbv B kvkXov 7t£Qiy£yQa^îv(p. %a\ d^tb tov 7t£Q\

15 tbv A xvxXov 7t£Qiy£yQa^^£vov Ttokvycovov 7tvQa^\g

dv£(5tdtG) dvay£yQa^îvri trjv avtr]v TiOQVcprjv £%ov6a

tG) 7CG)VG}. i7t£\ OVV O^lOid iOti tCC 7toXvyG)Va td 7t£Q\

tovg A, B KVKXovg 7t£Qiy£yQa^îva^ tbv avtbv £%£i

Xoyov TtQbg dX^rjXa, ov at iK tov xivtQOV dvvd^£i

20 TtQbg dXXriXag^ tovti^tiv ov £%£i rj F 7tQbg E dvvafi£i,

tovti(Sti rj r TtQbg z/ ^7]K£i. ov dh loyov £%£i r] FTtQbg A ^r\K£i^ tovtov £%£i tb 7t£Qiy£yQapiîvov 7tolv-

ycovov 7t£Qi tbv A kvkIov TtQbg trjv i7ti(pdv£iav trjg

7tvQaîdog trjg 7t£Qiy£yQa^îvrig 7t£Q\ tbv kcjvov [rj ^£V

25 yccQ r l'6r] i(St\ trj d^tb tov KivtQOV Kadîtc) i7t\ ^Cav

7tk£VQdv tov 7toXvyc3vov, rj d£ ^ tfj 7tk£VQa roiJ koo-

vov ' KOivbv d£ vipog r] 7t£Qi^£tQog tov 7tolvy(6vov 7tQbg

rd r]î0r] tcov i7ti(pav£ic5v]' tbv avtbv ccQa koyov £%£i

I

11. i%uv\ s%Bi F; corr. BC* 15. xov A\ scripsi; xo A F,

uulgo. 19. ov] fov F; corr. BC* xmv 'nevtQcav ed. Basil., To-

rellius; sed cfr. p. 62, 19. 28, i^fttV??] diTcXccGia Hauber, Nizze.


sit linea z/, et inter JT, z/ lineas media proportionalis

E linea. circulus autem B radium lineae E aequalem

habeat. dico, circulum B aequalem esse superficiei

coni praeter basim.

nam si aequalis non est, aut maior est aut minor.

prius minor sit. sunt igitur duae magnitudines in-

aequales; superficies coni et B circulus, quarum maior

est superficies coni. itaque fieri potest, ut circulo Bpolygonum aequilaterum inscribatur et aliud circum-

scribatur simile inscripto, ita ut polygonum circum-

scriptum ad inscriptum minorem rationem habeat,

quam superficies coni ad B circulum [prop. 5]. finga-0tur igitur polygonum circum Acirculum circumscriptum simile

polygono circum B circumscripto.

et in polygono circum A circulum

circumscripto pyramis construatur

eundem habens uerticem, quemhabet conus. iam quoniam similia

^ ^ ^ sunt polygona circum A, Bcirculos circumscripta^ eandem habent rationem inter

se, quam radii circulorum quadrati [p. 66, 24], id est,

quam habet T^ : E\ id est T : z/ [Eucl. YI, 20 tcoq. 2].

sed quam rationem habetF ad z/, eam habet polygonum

circumscriptum circum A circulum ad superficiem pyra-

midis circum conum circumscriptae.^) eandem igitur

1) Natn polygonum circumscriptum aequale est triangulo,

cuius basis est perimetro polygoni aequalis, altitudo autemlineae F (p. 63 not. 1), et superficies pyramidis triangulo ean-

dem basim habenti, altitudinem autem lineam z/ (prop. 8) ; tumu. Eucl. VI, 1; Zeitschr. f. Math. u. Physik XXIV p. 179 nr. 7.

obscuritas uerborum proxime sequentiuna lin. 24—28 interpo-

latori, non Archimedi imputanda est.

ro svd^vyQa^ôv tb jieQL tbv A xvxXov TtQbg to si^^vyQa^-

liov tb TteQi tbv B xvxXov ocal avto tb evd^vyâ^ôv

TCQbg trjv iTtifpdvsiav tijs TtvQaîdog trjg TteQiyeyQa^-

êvrjg TtSQi tbv zmvov. S<Sts i6ri s6tlv rj S7ti(pdvsia

5 r% TtvQaîdog tip svd^vyQd^^c) rc5 TtsQi tbv B xvxXov

TtSQiysyQa^^svc). ijtsl ovv sXd(56ova Xoyov s^si tb

svd^vyQa^ôv tb TtsQi tbv B xvxXov stsQiysyQa^^svov

TtQbg ro syysyQa^^svov, 7]7tSQ rj iiticpdvsia roi) xtovov

TtQbg tbv B xvxXoVy skdcôva Xoyov s^si rj sTticpdvsia

10 trjg JtvQapiidog trjg TtSQi tbv xSvov TtsQiysyQa^^svrjg

TtQbg tb svd"vyQa^ôv tb sv ta~ B Kvxkci syysyQa^-

^svov, 7]7tsQ rj sTticpdvsia tov x(6vov TtQbg tbv B xv-

xXoV OTtSQ ddvvatov [ri ^sv yccQ sjticpdvsia trjg TtVQa-

îdog ^Si^(OV ov6a dsdsixtai trjg STticpavsCag tov kcsvov,

15 ro ds syysyQa^^svov svd^vyQaîôv sv t(p B KvxXa sla0-

Cov s6ti rov B xvxXov\ ovx ccQa 6 B xvxlog sXdcccav

s6tai trjg siticpavsiag tov ncovovo — Xsy(o di], oti ovde

piSit,(ov. si yccQ dvvatov sOtiv^ s(3tco fisi^cov. itdhv

drj vosi^d^co slg tbv B xvkXov TtoXvycovov syysyQapi-

20 lisvov xal akXo TtSQiysyQa^^svov, S0ts tb itsQiysyQa^-

[Lsvov TtQog tb syysyQa^^svov skd06ova Xoyov s%siv

rov, ov s^Si 6 B xvxXog TtQbg trjv sTticpdvsiav rov

xcivov, xal sig thv A xvxXov vosi^d^co iyysyQa^^svov

TtoXvycovov oÔiov ta stg tbv B xvxXov iyysyQa^^sva'

25 xal dvaysyQdcpd^co aTC avtov TtvQa^lg trjv avtrjv xoQV(pr]v

s%ov0a rra xcovG). iitsl ovv oôid i(Sti td iv tolg A^ Bxvxkoig iyysyQapipisva^ tbv avtbv s%si koyov JtQbg a?,Xr]Xa^

ov aC ix tcov xsvtQov dvvd^si TtQbg dkkriXag. tbv av-

tbv aQa koyov s%si ro TCokvycovov itQbg tb jtokvyovovy

2. ccvTo To] t6 avrd? cfr. tamen p. 74, 11; „eadem" Cr.

6. nsQLysyQayLiLSv01 F. BXacGo F; corr. BC*; fortasse iXccGGco


rationem liabet figura rectilinea circum A circulum cir- \v

cumscripta ad figuram circum B circumscriptam, quam

haec ipsa figura^) ad superficiem pyramidis circum conum

circumscriptae. quare superficies pyramidis aequalis est

figurae rectilineae circum B circulum circumscriptae

[Eucl. V, 9]. iam quoniam minorem rationem liabet

figura rectilinea circum 5 circulum circumscripta ad

figuram inscriptam, quam superficies coni ad B cir-

culum, minorem rationem habebit superficies pyrami-

dis circum conum circumscriptae ad figuram rectilineam

circulo 5 inscriptam, quam superficies coni ad B cir-

culum. quod fieri non potest.^) itaque fieri non pot-

est, ut jB circulus minor sit superficie coni. — dico

igitur, eum ne maiorem quidem esse. sit enim, si

fieri potest, maior. rursus igitur fingatur circulo Bpolygonum inscriptum et aliud circumscriptum, ita ut

polygonum eircumscriptum ad inscriptum minorem

rationem habeat; quam JS circulus ad superficiem coni

[prop. 5], et circulo A fingatur polygonum inscriptum

simile polygono circulo 5 inscripto. et in eo pyramis

construatur eundem uerticem habens, quem habet co-

nus. iam quoniam polygona circulis A^ E inscripta -

similia sijnt, eandem habebunt rationem inter se, quamradii quadrati [Eucl. XII, 1]. polygona igitur inter

1) H. e. figura rectilinea circum J circulum circumscripta.

2) Nam superficies pyramidis maior est superficie coni

(prop. 12 p. 58, 14), sed polygonum inscriptum minus circulo B.

cum A. 11. svyEyQafiiiEvov F. 16. iozL] sataL per compen-dium F; corr. Torellius. 17. sgtcci'] per comp. F. 18. dr}']

scripsi; Ss F, uulgo, 21. sx^i^v'] sxsl F; corr. B. 23. t6v]

to F. 26. yiovco F. 28. rcov] t suprascripto (o F.


xal 7] r TtQos trjv z/ ^rjxsi, 7} de F TtQog rrjv z/ êl-

ôva Xoyov B%eij 7] tb jtoXvycovov ro iv tip A xvkIg)

syysyQa^^svov TCQog trjv iTCKpdvsiav trjg TtvQa^Cdog

trig syysyQa^^svTjg slg tov xdovov [rj yccQ ix rov xsv-

5 tQOv tov A kvkXov TtQog tr]v itXsvQav tov xcjvov ^si-

t,ova koyov s^si^ TJitsQ rj ccTto tov ocsvtQov dyo^svrj

Tcdd^stog inl ^Cav TtXsvQccv tov TCokvyccivov TtQog trjv

iTtl rrjv TtlsvQav rov itoXvyc^vov Tcdd^stov dyo^svrjv

dno trjg 7C0QV(prjg tov xosvov]' ^siôva ccQa koyov s%si

10 to TtoXvycovov to iv tw A tcvkXg) iyysyQa^^svov TtQog

to TtoXvyovov to iv rc5 B iyysyQa^^svov, tJ avto ro

TtoXvyovov JtQog trjv iiticpdvsiav trjg TtvQafitdog. ^sc-

^C3v aQa iotlv rj iTticpdvsia trjg TtvQaîdog tov iv tcj

B TtoXvycjvov iyysyQa^^svov. iXd(36ova d^s Xoyov s%si

15 ro TtoXvyovov ro itsQl tov B xvkXov TtsQiysyQafiêvov

TtQog to iyysyQa^^svov, rj 6 B KVKXog TtQog trjv iiti-

(pdvsiav tov Kovov. itoXXo ocQa to TtoXvyovov ro

TtsQi tbv B kvkXov TtSQiysyQa^^svov TtQbg trjv iTticpd-

vsiav trjg TtVQaîdog trjg iv to Kmvtp iyysyQa^^svrjg

20 iXd06ova Xoyov s%si^ rj b B KvxXog JtQbg trjv iiticpd-

vsiav tov Kcavov oitsQ ddvvatov [ro ^sv yccQ TtsQi-

ysyQa^^svov TtoXvycjvov ^stôv i6tiv tov B ocvkXov^

rj de iTtiCpdvsia trjg TtvQaîdog trjg iv to kcovc) iXdc-

60V i6ti rrjg iiticpavsCag roi) kcjvov]. ovk ccQa ovds

25 ^siôv iijrlv KVKXog rrjg iiticpavsiag roi; kcovov.

i^siyprj ds^ on ovds iXdG(5ov. l'6og ccQa.

7. TCQog trjv inl triv nXsvqav xov noXvycovov'] om. F; corr.

ed. Basil.* 11. ccvto t6] t6 avtol cfr. p. 72, 2. 19. Horoo

F. 25. 6 xvxXos] 6 xvxXos jB Torellius.


se eandem habent rationem, quam F : z/ [Eucl. YI, 20

TtoQ. 2]. sed r : ^ maiorem rationem habet, quam

polygonum circulo A inscriptum ad superficiem pyra-

midis cono inscriptae [u. Eutocius]. maiorem igitur

rationem habet polygonum circulo ^4 inscriptum ad

polygonum circulo B inscriptum, quam hoc ipsum

polygonum^) ad superficiem pyramidis. maior igitur

est superficies pyramidis polygono circulo B inscripto.

minorem autem rationem habet polygonum circum Bcirculum circumscriptum ad polygonum inscriptum,

quam B circulus ad superficiem coni. multo igitur

minorem rationem habet polygonum circum B circu-

lum circumscriptum ad siiperficiem pyramidis cono in-

scriptae, quam B circulus ad superficiem coni. quod

fieri non potest.^) itaque ne hoc quidem fieri potest^

ut maior sit circulus [B] superficie coni. demonstra-

tum autem est^ eum ne minorem quidem esse. aequalis

igitur est.

1) H. e. circulo A inscriptum.

2) Nam polygonum circumscriptum maius est circulo B,

sed superficies pyramidis inscriptae minor superficie coni (prop.

12 p. 58, 5). sed quibus hoc ipsum continetur uerbis Hn. 21—24 in suspicionem uocantur uerbis p. 64, 26 sq. damnatis(p. 67 not. 2); cfr. 69 not. 2.

76 nEPi sÂiPAi: kai ktainapot a'.

LS .

Ilavrog xcovov LaoOxslovg ij iî^^pccvsLa TtQog xriv

pdCLv xov avxov £%si Xoyov^ ov rj JtXsvQa xov ocoovov

jtQog xrjv sx xov ksvxqov xrjg âGscog xov xcovov.

5 i0X(o Kcovog L0o0KsXi^gy - ov ^dOLg 6 A xvxXog. soxco

8s xfi lisv SK xov KsvxQOv xov A l'0rj rj B^ xfj ds

TtXsvqa xov K(6vov rj F. dsLKXsov, oxl xov avxov s^sl

Xoyov ri sitLipdvsLa xov kcovov TtQog xov A kvkXov^

Kal rj r TtQog, xrjv B.

10 SLlrjipd^G} yccQ xdiv B, F ^s0ri dvdkoyov rj E^ Kal

SKKSL^d-co KVKXog 6 z/ farjv sycov xr\v sk xov ksvxqov

xfj E. 6 z/ ccQa KVKXog L0og s0xl xfj S7tL(pavsLa xov

Kcjvov [rotJro yccQ sdsLxd^rj sv xa jtQo rotJroi;]* s6sL%%^ri

ds 6 ^ KVKkog TtQog xov A kvkXov Xoyov sxoov xbv

15 avxbv xcj xrjg F TtQbg B ^rjKSL [sKdxsQog yccQ 6 avxog

S0XI rw xrjg E TtQbg B dvvd^SL Slcc xb xovg KVKXovg

TtQbg dXkrikovg slvaL^ G)g xd ditb x(5v dta^sxQcov xs-

XQdycova JtQbg dXlrjla^ 0^10Lcag ds Kal xd dnb xcjv sk

xcjv KSVXQGJV X(DV kvkIcov* sl yaQ aL dLd^sxQOL, Kal

20 xd rj^L6rj, XOVXS0XLV aC sk xcov ksvxqcov. xatg ds sk

X(DV KSvxQov L6aL slgIv al 5, E\ drjXov ovv^ oxl rj

STtLcpdvsLa xov K(6vov TtQbg xbv A kvkXov xbv avxbv

SXSL Xoyov^ ov rj F itQbg B firjKSL.

L<5 .

25 'Edv Kcjvog L6o6Kskrig sTtLTtsda) x^rjd'^ TtaQaXXrjX^p

xfj pd^SLy xfj ^sxa^v xcov TtaQaXXtjXcov sitLitsdcov sjtL-

(pavsL(x xov Kcovov L6og ioxl KVKXog, oy rj iK xov ksvxqov

1. ig' F. 24. t5' F. 26. eni(pavsLoc] xri BnKpavBia F;

corr. ed. Basil.; xri om. Pseudopappus. 27. âxlv idem.


XV.

Superficies cuiusuis coni aequicrurii ad basim ean-

dem rationem habet, quam latus coni ad radium ba-

sis coni.

sit conus aequicrurius, cuius basis circulus A. sit

autcm B linea aequalis radio circuli A^ V autem

aequalis lateri coni. demonstrandum, superficiem coni

ad A circulum eandem rationem

•y habere, quam T linea ad J5 lineam.

sumatur enim media proportio-

nalis inter jB, T lineas linea E, et

ponatur circulus z/ radium lineae

E aequalem habens. itaque cir-

BEr culus A aequalis est superficiei

coni [prop. 14]. demonstratum

autem est, z/ circulum ad A cir-

culum eam rationem habere, quam

T linea ad B lineam [prop. 14

p. 59, 20 sq.].^) adparet igitur, superficiem coni ad

A circulum eandem rationem habere, quam T linea

ad lineam .8.

XVI.

Si conus aequicrurius secatur plano basi parallelo,

superficiei coni inter plana parallela positae aequalis

est circulus, cuius radius media proportionalis^) est

1) Nam z/ : ^ = E^ : B^ (Eucl. XII, 2) et B : F = B^ : E^(Eucl. VI, 20 noq. 2).

2) Archimedes p. 78, 1 scripserat: iisGri.dvciXoyov iati.; cfr.

p. 61 not. 2.


^8(jOV Xoyov E%ei ri]g ra TcXevQag tov y,cavov t% ^b-

xaiv tav TtaQaUT^Xov iTCLTtedcov xal r% laTjg a^cpo-

tBQaig tatg bk tav xevtQCOv tav kvkKcov t^v iv tolg

TtaQaXXriXoig iTtcTtidoLg.

5 £(>ra3 xavog^ ov to dta roi5 alovog tQLyovov lOov

tcj ABr^ xal tet^Yiad^co TtaQaXkriXc) iitLitidc} trj ^dasL^

xal TtOLSLtca toiirjv triv J E' a^cov de tov %covov satco

rj BH. KVTcXog ds tLg ixKSL^d^cj, ov ri ix tov xsvtQOV

^iarj dvdXoyov iatL tijg ts A/1 %al awa^cpotsQov tijg

10 ^Z, HA. s6tco ds KVKkog 6 0. Xsyco, ort 6 @ xv-

xXog L0og iatl trj iTttcpavsLa tov tccovov trj ^sta^v tov

AE, AT.

ixKSL6^co6av yccQ %vxXol ot A^ K, %al tov ^sv KkvkXov r} iTi rov KSVtQOV dvvdad^cj tb vitb tov BAZ^

rov ds A ri ix rov xsvtQOv dv-

vd0d^c3 tb vTtb BAH. 6 iisv aQa

A KvycXog L6og iatl trj iTtLcpavsCa

tov ABF XC3V0V, 6 ds K TcvxXog

faog iatl tfi iitLcpavsLcc toij AEB.

%al iTtsl tb vTtb tov BA, AHL60V iatl to ts vTtb t(ov B z/,

AZ Tcal rc5 v^b trjg AA xal 6vv-

a^cpotsQOv trjg z/Z, AH dta to

TtaQallrilov slvaL trjv AZtrjAHdXVa ro \isv vnb AB, AH 8v-

vataL rj ix tov TCSVtQOV tov A^^

ytvTcXov, ro ds vitb BA, JZdvvataL rj i% tov KSvtQOV tov K xvkXov, tb ds vitb

trjg AA Kal 6vva^(potSQOv trjg AZ^ AH dvvataL r]

?

1. T£ om. idem. 7. tov] twv, ut uidetur, F. 8. 17] (prius)


inter latus coni, quod inter plana parallela positum

est, et lineam aequalem utrique simul radio circulo-

rum in planis parallelis positorum.^)

sit conus eiusmodi, ut triangulus per axem eius

positus aequalis sit triangulo ABF, et secetur plano

basi parallelo, et efficiat [planum secans] sectionem

^E. axis autem coni sit BH linea. ponatur autem

circulus, cuius radius media sit proportionalis inter

lineas Azl et AZ -\- HA, et sit circulus @. dicO; cir-

culum aequalem esse superficiei coni inter lineas

zJE, AF positae.

ponantur enim circuli A, K, et radius circuli Kquadratus aequalis sit BAxAZ, radius autem cir-

culi A quadratus aequalis BAX AH. itaque circulus

A aequalis est superficiei coni ABF, K autem cir-

culus aequalis superficiei coni AEB [prop. 14]. et

quoniam

BA X AH= BAXAZ + AAX {AZ + AH)

[u. Eutocius], quia AZ linea parallela est lineae AH,sed radius circuli A quadratus = BAX AH, radius

autem circuli K quadratus = BA X AZ, radius autem

circuli quadratus = AA X (AZ -\- AH) [ex hypo-

1) Citat Pappus I p. 366, 21 sq.; sed totum hunc locuminterpolatori trilauo; cfr. p. 69 not. 4. etiam uerba apud Pap-pum I p. 370, 12: Sicc tb uvxo 'AQxi^^^ovg i^ &E(6Qr)^cc tumdelenda sunt, etiam propter uitiosum numerum (cfr. Quaest.Arch. p. 154 not.).

addidi; om. F, uulgo. 13. a-n^nsLad-coG cum comp. lv uel rjv F.

14. tav B^Z\ scripsi; to B^ZY, uulgo*; |?^J ed. Basil., Ez/,

z/Z Torellius. 16. BA, AH Torellius.

80 nEPI SÂIPAL KAI KTAINAPOT A'.

ix tov XBvtQOV rot) 0, to ccQa ccTto triq ix tov xiv-

tQOv tov A Tivxkov 1'<jov i6tl totg ktco t(ov ix tSv

TcevtQOv tSv K, S Kvnlov. a6ts xal 6 A KvxXog

L6og iotl totg K, ® nvxloig. aXk' 6 êv A l'6og i(5tl

5 ttJ iTticpavsLa tov BAF tkovov^ 6 ds K tfj iTCitpavsCa

TOi) ^BE Kcovov. koiTti] aQa rj ijiicpdveia tov tccovov

ri ^sta^v tcov itaQaXXriXcov ijtiTtsdav tdov ^dE^ AFi'6r] i6ti ta xvTcXci).

10 [AHMMA.]

["E6tG) TtuQaXXrjXoyQa^ôv t6 BAH^ xal dicc^stQog

avtov s6to rj BH. tst^ri^d^co rj BA TtXsvQa^ (og

stv%sv^ Tcata to z/, Tial dicc tov z/ tJ^^co TtaQalXrjXog trj

AH rj A@, dia ds roi) Z trj BA rj KA. ksyco, ott

15 To v7to BAH i6ov i6ti Tc5 ts VTtb BAZ Tcal tq vTto

Â xal 6vva^(potSQOv tijg AZ^ AH iitsl yccQ to

^sv vito BAH olov i6ti to BH^ to ds vjto B^ZTo BZ^ tb ds vTtb /iA xal ^vya^cpotSQOv trig z/Z,

AH 6 MNS yvco^cov (tb ^sv yccQ vitb /lAH l'6ov

20 i6ti tco KH dicc tb l'6ov sivai tb K& TtaQaTtXrjQoâ

ta Â TtaQaTtXrjQcoâti^ t6 ds vjtb zÂ^ z/Z tc5 ^Â),

oAoi' ccQa tb BH, oitsQ i6tlv tb vitb BAH^ l'6ov i6ti

Tc5 ts vTtb BzlZ TiOi Tc5 MNS yvcoôvi^ og i6tiv

i6og Tcj VTtb AA xal 6vva^(potsQOV trjg AH^ z/Z.]

25 AHMMATA.a\ Oi Kcovoi ot i6ov vilôg i%ovtsg tbv avtbv siov6i

koyov tatg ^d6s6iv* %al ov i6ag s%ovtsg ^d6sig tbv

avtbv sxov6i koyov totg vil^s6iv.

10. AHMMA om. F; add. Torellius. 15. BA, AH idem.

BJ, dZ idem. 16. AH] AA F; corr. man. 2, ed. Baail.


thesi], erit radius circuli A quadratus aequalis radiis

circulorum K, & quadratis. quare etiam

A=-K + e})

sed circulus A aequalis est superficiei coni BAF,K autem circulus aequalis superficiei coni zJBE. ita-

que quae relinquitur [Eucl. I xotv. ivv. 3] superficies

coni inter plana parallela ^E, AF posita, aequalis

est circulo 6>.^)

B K

LEMMATA.

1. Coni eandem altitudinem habentes eandem ra-

tionem habent^ quam bases.^) et coni aequales bases

habentes eandem rationem habent, quam altitudines.*)

1) Nam circuli inter se eam. habent rationem, quam radii

quadrati (Eucl. XII, 2); tum cfr. Quaest. Archim. p. 48.

2) Quod hic sequitur lemma subditiuum a Torellio ante

prop. 16 transpositum est (Quaest. Arch. p. 72); hoc loco ha-bet F.

3) Eucl. XII, 11: ot vno t6 avto vipog ovTsg v.(hvoi '/.ccl

yivXLvdQOL TCQog dXlT^Xovg sIgIv ag at ^doBig.

4) Eucl. XII, 14: 01 BTcl iacov ^dcscov ovTsg v.iavoL xal y,v-

XivSgoi ngog dlXi^Xovg bIglv (ag xd viprj.

17. BJ,AH Torellius. jBz/, z^Z idem. 19. ^A, AH idem.20. to K@] tco KG F. 22. BA, AH Torellius.

^23. BzJ,

JZ idem. yv(o(i(ovL F; corr, Torellius. 25. Xrjfifiatcc om.F; hoc et numeros add. Torellius. 26. ot igov] ol om. F.

ArcMmedee, ed. Heiberg. I. 6

82 nEPI 2ÂIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

/3'. Êav TcvXivdQog iTtiTcedG) t^rjd^fj naQcc trjv pd^tv,

sCtiv^ G)g 6 zvkivdQog JtQog roi' xvltvdQOv , 6 al^cov

TtQog tbv aôva.

y . Tots ds KvXcvdQOLg iv ta avta Xoya eiclv ot

5 xcjvoi OL sxovtsg tag avtag pdêig totg xvkCvdQOig.

d'. Kal tSv 1'0<a)v x<6vcov dvtLTCSTCovd-a^cv ai ^desig

totg vtfjs6iv' xal cov dvtiJtSTtovdâCiv ai ^desig totg

v^sOiv^ l'6oi sIgCv.

s. Kal OL Kcjvoi, C3V aC dLd^stQOi tcav pd^scov

10 tbv avtbv koyov sxov6l totg dô6Lv \tovts6tL totg

v-^s^l']^ TtQbg dXXrjXovg iv tQLTtXacCovL Xoya sCelv tdav

iv tatg pd6s6L dLafistgcJV.

tavta ds Ttdvta vitb tcav TtQotSQOv ditsdsCxd^rj.

4'-

15 'Edv C30LV dvo xSvoL C6o6xsXstgy rj ds tov stsQov

xoavov iTtLCpdvsLa farj ri tfj tov stSQOv pd6sL, r] 6s ditb

roi) KSVtQOv trjg ^dcsag STtl trjv TtXsvQav rot> xcovov

xdd^stog dyoîsvrj ta vipst l'6rjfj, t60L sCovtat oC

xdivoL.

5. %ovoL F. 10. aôv6iv F. 11. dXXi^Xovg per comp.F. 14. LTi' F

.


2. Si cylindrus plano basi parallelo secatur, erit,

ut cylindrus ad cylindrum, ita axis ad axem.')

3. Eandem autem rationem, quam cylindri, habent

coni easdem bases habentes, quas cylindri habent [et

altitudinem aequalem].^)

4. Et bases conorum aequalium in contraria pro-

portione altitudinum sunt. et quorum bases iu con-

traria proportione altitudinum sunt, aequales sunt coni.^)

5. Et coni, quorum basium diametri eandem ra-

tionem habent, quam axes^), in tripla ratione dia-

metrorum basium sunt.^)

Haec autem omnia a prioribus demonstrata sunt.

XVII.

Si dati suni duo coni aequicrurii, alterius autem

coni superficies aequalis est basi alterius, linea autem

a centro basis [prioris coni]^) ad latus coni perpen-

dicularis ducta aequalis est altitudini [alterius coni],

coni aequales erunt.

1) Eucl. XII, 13: iccv 'nvXivdQog inLniday T^rjîj naqccXXriXcp

ovtt, TOtg dnsvccvTLOv inLnsdoig, iaxai^ ag 6 KvXivdQog nQog xov"KvXivdQOV, ovtoig 6 a^tov nQog tov oLh,ova.

2) Post tolg %vXivSQOLg Archimedes uix omiserat: xat vipog

160V, quao uerba addi uolunt Peyrardus, Hauberus, Nizzius.

propositio ipsa apud Euclidem non legitur; sequitur autem exXII, 10.

3) Eucl. XII, 15: tav tocov kcovoov xal y.vXLvdQoov avtms-novdâoLV at ^dasLg toig vipsaL' xal tov yicovov âl nvXivdQcavavtLnBnovdâCLv at ^dasLg toig vtpsaLV, lool staiv i-nsLVOL.

4) Uerba tovtiatL toig vt^ffft transscriptori tribuenda esse

uidentur.

5) Eucl. XII, 12: ot ofioioL (h. e. quorum axes et diametribasium proportionales sunt; XI def. 24) kcovol nal kvXivSqol

nQog dXXriXovg iv tQLnXaaiovL Xoycp siai tcov iv taig ^dasaL dia-

îtQCOV.

6) Ueri simile est, Archimedem hos duos conos diligentius

6*

84 nEPI S$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

e6t(o6av dvo xcjvol laoOKsXstg oC ABT^ ÊZ'xal rov ABF 7] êv pd^cg torj £6t(o tfj ijticpavsLa

tov ÊZ, to de vipog to AH l'6ov e6tcj tfi ano tov

xsvtQov tijg pd^sag tov & stcI ^Lav tcXsvqccv rov xco-

5 vov, olov snl t7]v /iE^ xad^stG) rjy^svr] tfj K®. Xsya,

OtL L60L SL6lv 06 KOJVOL.

STtsl yccQ 167} s6tlv 7] ^0,6Lg tov ABF tfj sHLCpavsLCf

tov ÊZ \ta df L6a TtQog to avto tov avtov s%sl

Xoyov^ (og aâ rj tov BAF ^ccîg TtQog trjv tov ÊZ10 ôc6lv^ ovtcog rj STtLcpavsLa tov /lEZ JtQog trjv ^cc6lv

tov /1EZ. dlX' G)g 7] STtLcpdvsLa JtQog trjv tdCav /3a-

6lv, ovtag rj Zl& TtQog trjv ®K [sdsLx^rj yccQ rovro,

ori Ttavtbg tkovov L6o6xslovg rj sTtLtpdvsia TtQog trjv

pd6LV tov avtbv loyov s^sl, ov rj TtXsvQa tov kcovov

15 TtQbg trjv sk tov nsvtQOV trjg pd6sc3g, tovts6tL rj AETtQog E@. cog ds rj E/l itQbg ©z/, ovtcog tj E@ TtQbg

&K. L6oy(6vLa ydQ s6tL ta tQLycova. l67] ds s6tLV rj

@K tfj AH]. (og ccQa rj pd6Lg tov BAF TtQbg trjv

^d6LV tov /lEZ^ ovtcDg tb vijjog tov ÊZ itQbg tb

20 vilôg tov ABr. t^v ABF, ÊZ ccQa dvtLTtSTtov-

dâ^LV al ^d6SLg tolg vipsîv. L6og ccQa s6tlv o BAFtCO /lEZ KOOVG).

Lr\

.

Havtl Qo^îp s^ l6o6ksI(ov x(6vG)v 6vyxsL^svG) l6og

25 's6tl Kcjvog 6 ^d6LV ^sv sycov l6r\v tfj STtLCpavsCcc rov

itsQOv Kcovov t(6v 7tsQLs%6vtGiv tbv Qo^ôv, vtlôg 6s

5. Kad-STov F; corr. ed. BasiL* 10. ovrcog per comp. F; itemlin. 12. 12. J@] E9 F- corr. man. 2, B. @K] E supra scrip-

tum man. 2 F. 15. tj z/E tovtsotL F; corr. ed. Basil.* 16. E@]z/0 F; E supra scriptum man. 2; corr. Torellius. @zJ] @EF man. 2, Torellius. ovtcog] per comp. F, ut lin. 19. £0]J@F man. 2, B, ed. Basil., Torellius. 23. t^' F. 24. yiovav F.


sint duo cojii aequicrurii ABF, /lEZ-^ 6t basis

coni ABF aequalis sit superficiei coni ÊZ, altitudo

autem AH aequalis lineae K0 si centro basis ad

latus coni; uelut Ê, perpendiculari ductae. dico, co-

nos esse aequales.

nam quoniam basis coni ABF aequalis est super-

ficiei coni ÊZ, erit, ut basis

coni BAF ad basim coni ÊZ,ita superficies coni AEZ ad ba-

sim coni ^ EZ [Eucl. V, 7]. sed

ut superficies ad basim eiusdem

coni, ita A& ad &K^) itaque

ut basis coni JS^r' ad basim coni

ÊZ, ita altitudo coni ÊZ ad

A altitudinem coni ABF.^) sunt igi-

tur bases conorum ABF, AEZin contraria proportione altitu-

dinum. aequalis igitur est conus

BAT cono /iEZ (lri^\i. 4 p. 82).

XVIII.

Cuiuis rhombo^) ex conis aequicruriis composito

aequalis est conus basim habens superficiei alterius

coni eorum, qui rhombum comprehendunt, aequalem,

distinxisse; ea saltem uerba, quae in interpretatione addidi,

uix omiserat; tov etbqov tkovov p. 82, lin. 18 addidit prop. 18.

cfr. prop. 20; Quaest. Arch. p. 73.

1) Namsuperficies coni zJEZ : basis coiji JEZ = JE : EG (prop. 15);

sed JE: E© = @J : @K (Eucl. YI, 4), quia ZlE® OJ @Kzl,

2) Nam &K = HA ex hypothesi.

3) Sc. solido (defin. 6 p. 8).

86 nEPI SÂIPAS KAI KTAmAPOT A',

i'6ov tij (XTto rrjg TcoQVcprjg tov iteQOv X(6vov xadêtcj

dyoêvT] iTcl ^Cav TtksvQccv tov etsQov xcovov.

ÔtG) Qo^ôg e^ i6o6KeXcjv acovcov ^vyneCêvog 6

ABF^ , ov ^ccOig 6 jteQL didêtQov trjv BF xvxXog,

5 vjpog de tb AA. eTCKeLOd-a de tig eteQog 6 HSK trjv

êv ^d0LV excov tfj eTticpaveic^ tov ABF kcovov toriv^

to de vipog loov tij aTtb tov A Orjêiov xadêtc} ijtl

trjv AB ri trjv in evêiag avtrj rjyêvrj. eiSto de rj

AZ, tb de vTpog tov 0HK kcovov eOtco tb ®A' i(5ov

10 dri e6tiv tb SA tfj AZ. Xeyco, oti i6og iotlv 6 tcco-

V09 rc5 q6^^c3.

iKKeiCd^co yccQ eteQog Kcjvog 6 MNS trjv f*fi^ ^d-

6iv e%G}v lijrjv tfi pd6ei tov ABT Kcivov, ro de i^Vog

tOov tfj AA. Kal eOtco tb vipog avtov tb NO. iitel

15 ovv rj NO tfj AA l'(jrj eOtiv, eativ aQa, (og rj NOTtQbg AE, ovtcog rj AA TCQog /i E. dkl' chg êv rj

AA TtQbg AE, ovtcjg ABFA Qo^ôg itQbg tbv BFAKc5vov' cog de rj NO TtQog trjv A E, ovtcjg 6 MNSKcovog TtQbg tbv BFA kcovov [did tb tdg ^doeig av-

20 tmv eivai i0ag\ mg ccQa 6 MNS K(ovog TtQbg tbv

BFA Kc5voVy ovtcsg 6 ABFA Qo^ôg TtQbg tbv BFAKcovov. l'6og ccQa i(5tlv 6 MNS t:<p ABFA Qo^^^p.

8. rjyfisvrjv, ut uidetur, F; corr. Torellius. 13. sxov F.


altitudinem autem aequalem lineaC; quae a uertice alte-

rius coni ad latus prioris coni^) perpendicularis du-

citur.

sit rhombus ex conis aequicruriis compositus ABF^jcuius basis sit circulus circum BV diametrum de-

scriptuS; altitudo autem A^. ponatur autem alius

conus HSK basim habens superficiei coni ^^Faequa-

lem, altitudinem autem aequalem lineae a z/ puncto

ad ^B lineam uel eandem productam perpendiculari.

sit autem z/Z linea, altitudo autem coni SHK sit SAlinea. itaque yi = z/Z. dico, conum [H®K^ aequa-

lem esse rhombo.

ponatur enim alius conus MNS basim habens basi

coni ABF aequalem, altitudinem autem aequalem A/1

lineae. et sit altitudo eius NO linea. iam quoniam

NO^ AA, erit [Eucl. V, 7]

NO: ^E=- AA: AE.sed

et

AA : AE = ABTA : BT/1%

NO'.AE= MNS : BFJ [Iri^n. 1 p. 80].^)

itaque

MNS : BFA = ABFA : BF^,quare

MNS-=ABrA [Eucl. V, 9].

1) Cfr. p. 83 not. 6.

2) Nam ABF : BTzi = AE : EJ {Irjfifi. 1 p. 80); quarecomponendo (Eucl. V, 18): ABF -\- BTJ : BFJ = AJ : EJ.

3) Sequentia uerba lin. 19—20 transscriptori tribuo; nequeenim intellegitur, cur Archimedes, si ad lemma 1 lectorem re-

uocare uoluit, lin. 18, ubi magis opus erat, praetermiserit.

ABF] r om, F; add. eadem manus(?). 16. ovtcos F, ut lin.

17 et 18. 22. ABTJ] A om. F; add. man. 2.

88 nEPi zÂiPAi: kai ktainapot a'

xal inel rj iTtnpdvsia tov ABF lCyi e<5rl rrj ^d^si tov

H©K, (og OrQa rj ijtLcpdvsca tov ABF tcqos triv idCav

^dOiv^ ovrcag ri ^ddg xov H0K JtQOS triv ^doiv rot)

MNS ['^ yaQ pdîg rot) ABF tori i6tl tfj ^dosi tov

6 MNS\ (og ds rj i7Ci(pdvsia Toi) ABF TCQog trjv idCav

^dCiv^ ovtog rj AB TtQog trjv BE, tovts0ti r\ AATtQog AZ, \o\x,Oia yccQ td tQCycava]. wg ccQa rj ^dcig

tov H&K JtQog trjv ^dîv tov NMS^ ovtcog r] A/t

TtQog z/Z. iOri ds rj ^sv AA tfj NO [vjtsxsito yccQ],

10 ri ds z/Z tfj ®A. (6g aQa rj ^dOig Tot5 H&K JtQog

trjv pdîv Tov MNS^ ovtGig tb NO vipog TtQog t6 @A.tc3v H0K^ MNS ccQa koovcov dvti7ts7t6vd-a0iv al /3«-

CSig totg v^s6iv. tooi ccQa siolv ot Tcdavoi. idsC%^ri

ds 6 MNS iôg Tc5 ABTA ô>/3«. xal 6 H@K15 aQa ^fcovog faog idtl ta ABFA qo^Pg).

i^\

'Edv Koovog i6o0xskrjg iTtiTtsdc) t^rjd^'^ naQakXrikco

tri pd0si, aTtb ds tov ysvo^svov xvxAov Kcovog dva-

yQacpfi xoQvcprjV syjGOv t6 xivtQOv trjg ^dcscog, 6 ds

20 ysvo^svog Qo^ôg dcpaiQsd^fj dnb Tot5 okov xoovov, tc5

TtSQiXsC^âti i6og s0tai xco.vog 6 ^d6iv ^sv sxg>v l'0riv

tfi iTticpavsCa tov xcovov tfj fista^v t^v TtaQaXXriXcov

iTtiTtidoov, vipog ds loov tfj aTtb tov xsvtQOv trjg /3a-

(}Scog iTtl ^Cav TtksvQav tov xoovov xadîtco riyîvri.

25 si5t(o xcovog i6o6xsXrig 6 ABT^ xal tst^rjOd-co iiti-

7tid(p 7taQaXXr}X<p tfj ^d^si^ xal 7toisCtco toîrjv trjv AE.

xivtQov ds trig ^doscog sCtco tb Z* xal d^tb tov TtsQu

did^stQOv trjv AE xvxlov xdovog dvaysyQd(pd-co xoqv-

8. NM^ sicFBC*; MNS ed. Basil, TorelHus. 10. ©A]


et quoniam superficies coni ABF aequalis est basi

coni H®K, erit, ut superficies coni vÊF ad basim

eiusdem coni, ita basis coni H®K ad basim coni

MNS}) sed ut superficies coni îST ad basim eiusdem

coni, ita AB ad BE [prop. 15], h. e. A^ ad AZ})

itaque ut basis coni H®K ad basim coni NMS, itnAzJ

ad ^Z, sed A^ == NO [ex liypotbesi], et z/Z = &A[ex hypotbesi]. itaque ut basis coni H0K ad basim

coniMiVg, ita erit NO altitudo ad ®A. conorum igitur

HSK, MNS bases in contraria sunt proportione alti-

tudinum. quare coni aequales sunt [Ai^fift. 4 p. 82].

sed demonstratum est, conum MNS aequalem esse

rhombo ABF^, itaque etiam H&K conus aequalis

est rhombo ABFA.

XIX.

Si conus aequicrurius plano basi parallelo secatur,

et in circulo inde orto conus construitur uerticem

habens centrum basis, et rhombus inde ortus a toto

cono subtrahitur, frusto relicto aequalis erit conus

basim habens aequalem superficiei coni inter plana

parallela positae, altitudinem autem aequalem lineae

a centro basis a latus coni perpendieulari.

sit conus aequicrurius ABF, et secetur plano basi

parallelo, quod efficiat sectionem /lE. centrum autem

basis sit Z. et in circulo circum diametrum Ê de-

1) Nam basis coni MNISl aequahs est basi coni ABF (ex

hypothesi). uerba lin. 4—5 Archimedis uix sunt.

2} Nam ABE CV) AJZ; tum u. Eucl. VI, 4.

A0 Torellius. (ogj (oots F; corr. B. .12. Ttoy] zov F.

16. h' F. 21. TtSQlXrifKXTL F.

90 nEPI 2:$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

fprjv excov ro Z. e6taL drj ô^pog 6 BzfZE i^ lOo-

6x£Xcov TccDvcov CvyKEL^svog. ixxsLijd-co d'^ rtg iccDvog

o KQA^ ov fj Êv â0ig eata laTj tfj iTCicpaveCc^ ttj

êta^v tcjv zfE, AF^ tb de vtog, dxêiarjg aTto rov

Z 6rjêL0v Kaêtov iTil

trjv AB r% ZH, e6tco

l'6ov tfj ZH. Xeyco^ otc,

iav dno tov ABF xcjvov

vori^fi dcpriQriiiivog 6

B^ZE Qo^ôg, ta jteQc-

keCîyiatL L0og e<3taL 6

QKA yioivog.

ixKeL^dôGav yccQ dvo

zSvOL OL MNS, OHP,S^te trjv êv roi5 MNSpd6LV L6r}v elvaL rov

ABrxcovov tfj iTtLcpaveCcf,

to de vtlôg l6ov tfj ZH[dLcc drj tovto l'6og i6tlv

MNS xcovog t^ ABTxcjvcD. idv yaQ co6l dvo xSvol Lao6xeXeLg, rj de tov

eteQOv xcsvov iitLcpdveLa l'6ri fj tfj tov eteQOv ^deeL, etc

de rj djco rot; xevtQov trjg pdêcog ijil trjv TtXevQav tov

7C0JVOV dyoêvrj Tcddêtog rw vilêL l'6rj, 1'0ol i6ovtaL ot

25 xSvol], trjv de tov OHP xcovov ^dCLV L6rjv elvaL tfj

ijtLcpaveCa tov JBE xcovov, vilôg de tfj ZH [dta drj

tovto L6og i6tlv 6 OUP x^vog rc5 B/iZE qo^^c)'

tovto yaQ TtQoanedeCx^rj]. ijtel 6e rj tov ABF xcovov

ijtLcpdveLa 6vyKeLtaL en te trjg tov BAE iitLcpaveCag

6. T^s] XT] FBC*. 10. nsQiXrjfiûri F.

27. Tovto] TOvroLg F; corr. B*.12. Kovog F.


scripto construatur conus uerticem habens Z punctum.

erit igitnr B^ZE rhombus ex conis aequicruriis com-

positus. ponatur igitur conus K@A, cuius basis aequa-

lis sit superficiei inter zJE^ ^jTpositae, altitudo autem

lineae ZH a Z puncto ad AB lineam perpendiculari

ductae. dico, si rhombus BJZE a couo ABF ab-

latus fingatur, conum &KA aequalem futurum esse

frusto relicto.

ponantur enim duo coni MNS, OIIP, ita ut basis

coni MNS aequalis sit superficiei coni ABFj altitudo

autem lineae ZH^), basis autem coni OHP aequalis

superficiei coni ABE, altitudo autem lineae ZH})

sed quoniam superficies coni ABF composita est

ex superficie coni BAE et superficie inter AE, AFposita, superficies autem coni ABF aequalis est basi

1) Quaest. Arch. p. 75 dixi lin. 21—25 subditiuas mihiuideri esse, quijDpe quae nihil contineant nisi inutilem et abArchimedis consuetudine abhorrentem repetitionem prop. i7;

sed etiam lin. 19—21, quibus interpositis praue interrumpiturconstructio , et membra ab (ogte lin. 15 pendentia et per {isv

lin. 15

—

8e lin. 25 coniuncta uiolenter disiunguntur, inter-

polatori tribuo.

2) Ex iis, quae not. 1 de uerbis similibus Hn. 19—25 dixi,

ueri simile fit, etiam uerba, quae hoc loco sequuntur hn. 26dici drj — 28 nQociTtsdsLx^Vi interpolatori deberi.

92 nEPi 2*AiPAi; kai ktainapot a'.

xal xrjg fiera^v tcov Ê, AF, cclk' rj ^lv xov ABFx(6vov i7tL(pdv£La l'0rj ierl rfj pdasL rot; MN^ tkovov^

fj ds rov ^BE iitL^pdveta iGrj iorlv rfj pdoet Toi)

OUP, rj dh ^sra^v rcDV Ê, AF lar} iarl rfj ^daai

5 rov @KAy r] aQa TOt; MN^Sl ^dOLg l'6r} iarl ratg /3a-

asaLV rcov @KA, OUP. xaC etaLV oC 7C(dvol vtco to

ofVTO vipog. taog aQa iarlv xal 6 MNS ôjvog rotg

@KA, OnP xcovoLg. dXl! 6 ^lIv MN^ xavog laog

iarl Tc5 ABF xcovc), 6 de TIOP rS BzlEZ qo^^c).

10 koLTtog ccQa 6 @KA Kcovog tc5 TteQLkeCîiarL taog iarCv.

r

X .

'Edv Qo^pov f'! LaoaxeXcov xcovcov avyxeLêvov 6

ereQog xcovog inLTtedco r^rjd^fj 7caQaXkriX(p rfj ^daeL,

dito $£ Toi5 yevoîvov xvxXov xcovog dvayQacpfi xoqv-

15 cpriv excov rrjv avrrjv tw eriQG) xcovco, dito dh Toi5 oAou

QO^fiov 6 yivoêvog Qo^ôg d^paLQed^fj, ra iteQLXeC^-

lnarL taog earaL 6 xcovog 6 ^daLV fi£v £%cov 1'arjv rfj

i7tL(paveCcc tov xoovov rfj îera^v rcov TtaQaXXrikcov iitL-

nidcov, vijjog 6} taov rfj ditb rrjg xoQV(prjg tov eriQov

20 xcovov iitl rrjv TtXevQav TOt» eriQOv xcovov xadîra

iqyêvrj.

earco Qo^ôg i^ CaoaxeXcov xcovcov avyxeCêvog 6

ABFA, xal r^rjd-Tjrco 6 ereQog x(X)vog i7tL7ted(p jtaQ-

aXXrjXc) rfj ^daeL, xal TtoLeCrco ro^rjv rrjv EZ, dito

25 de Toi5 TteQl didêrQOV rrjv EZ xvxkov x^vog dvaye-

yQd(p^co rrjv xoQvcprjv e^cov t6 A arjêtov. earaL drj

yeyovoog Qoy^Pog 6 EBAZ, xal voeCad^co dcprjQrjîvog

7. Y,ovoq F. 9. 6] To FBC*. 10. nsQLXsifiiiaTi F. 11.

-KCi F. 12. LOisXcov F. 14. xvmôv 'nmvos] "Koavov y.vyilog


coni MNSj et superficies coni ^BE aequalis basi

coni OnPy et -superficies inter z/J5J, ^jTposita aequalis

basi coni &KJ [ex hypothesi], basis igitur coni MNtSl

aequalis est basibus conorum SKA^ OIIP, et omnes

coni illi eandem habent altitudinem; quare

MNS == &KA + OnP})sed MNS = ABT [prop. 17], et nOP=BÊZ[prop. 18]. [itaque ABT= @KA + BÊZ, et ab-

lato rhombo BAEZ] erit igitur conus @KA aequa-

lis frusto relicto [Eucl. I xolv. ivv, 3].

XX.

Si in rhombo ex conis aequicruriis composito alter

conus plano basi parallelo secatur, et in circulo inde

orto conus construitur uerticem habens eundem, quem

alter conus [rhombi], et rhombus inde ortus a toto

rhombo aufertur, frusto relicto aequalis erit conus

basim habens aequalem superficiei coni inter plana

parallela positae, altitudinem autem lineae a uertice

prioris^) coni ad latus alterius coni perpendiculari

ductae.

sit rhombus ex conis aequicruriis compositus ABT^êt secetur alter conus plano basi parallelo, quod effi-

ciat sectionem J5Z; et in circulo circum diametrum

EZ descripto construatur cDnus uerticem habens z/

punctum. efficietur igitur rhombus EBAZj et finga-

tur ablatus ab toto rhombo. ponatur autem conus

1) Ex lemm. 1; cfr. Quaest. Arch. p. 48.

2) H. e. eius, qui plano parallelo secatur; cfr. p, 83 not. 6.

F; corr. ed. Basil. 16. aqpatâ'^'^] cccprjvsQBd^r} F expunctislitteris vg. 27. EBZz/ Torellius.

'


djtb T0i5 oAov Qo^pov. iKX£L(j^G) de rtg Kcavog b ®KAtrjv ^lv ^dCiv l'6r}v sxov rfj eTtLCpaveta rrj ^sra^v rcav

AF^ EZ, rb de viôg iCov rrj ditb Tot' z/ Gri^stov

Tiad^sro) dyo^svrj sitl tr^v BA ri rrjv sit sv^sCag avrfi.

5 Xsyto., ori b &KA xwvog l'(jog s6rl ra siQri^svGi TtsQt-

XsL^âri.

SKKsCCx^Giijav yaQ dvo xcSvol ol MNS^ OIIP' xal

Yi ^sv pd6Lg roi) MNS kcovov i'0r} sGro) rrj sTtLfpavsCa

rov ABF^ rb ds vôg l'6ov rrj JH [dm dri rd %qo-

10 dsLx^svra faog s6rlv 6 MNS ôovog rw ABFJ ô^/Jcj],

Toi} 8e OTIP KC3V0V rj ^sv ^daLg l'0rj s6rG) rrj s7tL(pavsCa

rov EBZ xcDvov, rb ds vjpog l'0ov rfj ^H [bôCcjg

dri l'6og s6rlv b OUP zcoiôg tw EBZJ q6^^(p\. sitsl

d\ bôCog ri sntfpdvsLa rov ABF k(6vov 0vyxsLraL sk

*15 ts rrjg rov EBZ xal rrjg ^srai^v rSv EZ^ AF, alXa

rj ^sv rov ABF xcovov sTttq^dvsLa L6ri sarl rrj ^dasL

tov MNS-) n ds rov EBZ x(6vov s%L(pdvsLa farj sCrl

5. nEîXriiLCLxi supra scripto ft F. 12. Oftoro) F. In


@KA basim habens superficiei inter AFy EZ positae

aequalem, altitudinem autem lineae ab z/ puncto ad

BA uel eandem productam perpendiculari ductae. dico,

conum ®KA aequalem esse frusto relictO; quod com-

memorauimus.

ponantur enim duo coni MNS, OTIP. et basis

coni MNS aequalis sit superficiei coni ABF, altitudo

autem lineae AH^)\ coni autem OIIP basis aequalis

sit superficiei coni EBZ, altitudo autem lineae AH.^)

quoniam autem, ut supra [prop. 19 p. 90, 28]^ super-

ficies coni ABF composita est ex superficie coni EBZet superficie inter EZ, AF posita, et superficies coni

ABF aequalis est basi coni MNS, et superficies coni

EBZ aequalis basi coni OPHj et superficies inter

1) Uerba sequentia lin. 9— 10 subditiua esse puto; cfr.

p. 91 not. 2.

2) Etiam uerba lin. 12— 13, quae per uocabulum o^OLcog

uerba subditiua lin. 9— 10 significant, necessario subditiua sunt,

si illa iure damnauimus.

figura litteras A, H permutat F; pro habet C; praeterea ut

prop. 19 om, altitudines conoram.

96 nEPi sÂiPAi; kai ktainapot a'.

tfj pcc0£i rov OPTI xcovov, rj ds ^srci^v rcjv EZ, AF1'67] 86x1 trj pdeat tov 0KA, rj kqk pccîg tov MNISl'6r} i6tl tatg Pcc6£6iv tcjv OUP, ®KA. xat £i6iv oC

%avoi vTCo to avtb vipog. xal 6 MNS aga K^vog

5 i!6og i6ti totg ®KA, OUP xcovoig. aAA' 6 ^£v MNSxdivog i6og i6tl ta ABFzf ^d^/3c5, 6 d£ OIIP xavog

rco EBAZ qo^Pcd. Xoiitog aga 6 xc^vog 6 ®KA L'6og

i6tl tS 7t£QiX£i^âti ta koina.

oia.

10 Êccv £ig ocvkXov JcoXvycovov iyyQacpf] ccQtiOTtX^VQov

t£ nal i667tX£VQOV, Kal diax^co6iv ^vd^^tat iTti%£vyvv-

ov6ai tccg TtX^vQccg tov itoXvycavov, S6t£ avtccg jtaQ-

aXXrjXovg £lvai ^ta OTtOiaovv tav vno dvo 7tX£VQag

rov TtoXvycovov V7tot£ivov6cov, at i7ti^£vyvvov6ai 7ta6ai

15 7tQbg trjv tov xvxXov dicc^£tQOv rovror £%ov6i tbv

XoyoVy ov £%£i r] v7tot£ivov6a tag îa iXd66ovag tmv

riî6£G)v 7tQbg trjv 7tX£VQdv rov TtoXvyoovov.

£6tG) xvxXog 6 ABFzl^ Kal iv avt^ 7toXvy(ovov

iyy£yQd(p^co tb AEZBH®rMNAAK, xal i7t£l£vx-

20 Qôâv aC EK, ZA, BA, HN, ®M. drjXov di], oti

7taQdXXr}Xoi £i6iv tij vTtb 8vo TtX^VQag tov 7toXvycovov

VTCot£ivov6ri. Xiyco ovv^ oti aC £iQrj^£vai 7td6ui 7tQbg

tr]v roi) xvxXov did^£tQOv trjv AF tbv avtbv Xoyov

£%ov6i t(p trjg FE 7tQbg EA.j

25 i7t£^£vx^c'^^f^'^ y^9 <^^ 2^^9 ^-B, HA, @N. 7taQ-

dXXrjXog ccQa rj ^£v ZK tfj EA^ rj d£ BA tfj ZK^xal £ti rj ^£v AH tfj BA^ rj d£ &N tfj z/2f, xal rj

7. EBZd Torellius. 8. n8QLXifi(iaTi F. 19. Post KF habet Aj sed expunctum. 27. JH (alt.) in rasura F.


EZj AF posita aequalis basi coni SKA, basis igitur

coni MNS aequalis est basibus conorum OUP, &KJ,et coni eandem altitudinem babent. itaque etiam conus

MNS = &KA + OnP [p. 93 not. 1].

sed MNS = ABrA [prop. 18], et OnP= EB^Z[prop. 18] [itaque ABTA = @KA + EBAZ. au-

feratur, qui communis est rhombus EBAZ]. erit

igitur, qui relinquitur, conus @KA aequalis frusto re-

licto [Eucl. I KOiv. ivv. 3].

XXI.

Si circulo polygonum inscribitur aequilaterum, cuius

latera paria sunt numero, et ducuntur lineae angulos^)

polygoni coniungentes, ita ut parallelae sint cuiuis

linearum sub duo latera subtendentium polygoni, omnes

simul lineae coniungentes ad diametrum circuli eam

habent rationem, quam habet linea subtendens sub

latera polygoni uno pauciora, quam dimidius numerus

eorum est, ad latus polygoni.

sit circulus ABFA, et ei inscribatur polygonum

AEZBH®rMNAAK, et ducantur lineae EK, ZA,

BA, HN, ©M. adparet igitur, eas parallelas esse

lineae sub duo latera polygoni subtendenti.^) iam dico,

omnes simul lineas, quas commemorauimus, ad dia-

metrum circuli rationem habere, quam FE ad EA.ducantur enim lineae ZK, AB, HA, @N. parallela

igitur linea ZK est lineae EA,^) BA lineae ZK, et

1) Arcliiraedes pro nXsvQocg lin. 12 fortasse scripserat yco-

VLocg; Quaest. Arch. p. 76.

2) Nam quia arcus KA, EZ aequales sunt, erit

i EKZ = KZA (Eucl. III, 27);itaque EK^ AZ (Eucl. I, 28), et eodem modo in ceteris.

3) Quia arcus KA = EZ, erit i AEK'= EKZ (Eucl. III,


98 nEPI SÂIPA^ KAI KTAINAPOT A'.

15

FM tfj 0N. [Tcal iTCel dvo TtaQakXriXoC d6iv ai EAjKZj xal dvo dcrjyîvai SLelv aC EK^ AO] £6tLV aQa^

6g ri E3 TCQog SA, 6 K^ TtQog SO' atg 6" rj K3TtQog 30^ 7] Zn TtQog nOy cog ds rj Z77 TtQog IIO,

o rj AII TtQog IIP, wg de rj AII TtQog IIP, ovtcog 17

BU TtQog UP^ xal m, cag rj ^sv BU JtQog 2JP, rj

/IZ TtQog UT, cog ds rj AZ JtQog UT, rj HT TtQog

TT, xal €ti, mg rj êv HT jtQog TT, rj NT TtQog TO, G)g

dl n NT TtQog T0, rj 0X TtQog XQ, xal ht, cog ^lv

10 rj 0X TtQog X0, rj MX TtQog XF [xal itdvta ccQa

^Qog Ttdvta EOtCv,

mg slg tcav Xoyciv

TtQog £va\ G)g aQa rj

E3 ^Qog 3A, ovtcjg

aCEK,ZA,BA,HN,@M TCQog trjv AFdidêtQOV. cog ds rj

E3 ^Qog 3A, ovrwj

rjrETtQog EA. £6tat

aQa Tcai cog rj 1 ETtQog EA, ovtG) 7td-

6ai at EK, ZA^BA, HNy ®M TCQog trjv AF did^stQOv.

xp\

25 'Edv sCg t^rjâ kv%Iov Ttokvycovov syyQacpfj tdg]

TtXsvQag s%ov %ciQ\g trjg pdoscog tCag xal aQtCovg,

dypGi6iv 8\ sv^slai JtaQa trjv ^dciv tov t^Tjâtog tdg

TtXsvQag S7tit,svyvvov0ai tov 7toXvy(6vov, ai dxd-st6ai

7td6ai Tcal rj rj^Ccsia trjg pdcscog JtQog to vrfjog tov

2. AO] A@F] corr. B man. 2*. 3. ^'J FBC*; di uulgo.

20


porro JH liiieae BJ,@N lineae zIH, FM lineae SN,

est igitur [Zeitschr. f. Math. u. Phys. XXIV p. 178

nr. 1]:

sed

KS:SO = Zn: UO [Eucl. VT, 4]

= jn:np [id.] =bi::i:p [id.].

porro

B2J:I:P= ^U : 2JT [id.] = HT : TT [id.].

porro

HT : TT=NT: T0 = @X:X0 = MX : XT [id.].

itaque

ES:SJ-= EK+ ZA + B^ + HN+ &M:Ar[Eucl. V, 12]. sed ES : SA = rE: EA [Eucl. VI, 4].

itaque etiam

rE:EA = EK+ ZA + BA + HN+ ®M:Ar.

XXII.

Si segmento circuli polygonum inscribitur latera

praeter basim aequalia et paria numero habens, et

ducuntur lineae basi segmenti parallelae angulos^)

coniungentes, omnes simul lineae ductae cum dimidia

basi ad altitudinem segmenti eandem rationem habent,

27); quare ZK ^ EA (Eucl. I, 28); eodem modo sequentia de-moustrabuntur.

1) U. p. 97 not. 1.

8. TT"] T h. 1. et postea saepius in rasura F (lin. 8, 9 septies).

10, Xr] X in rasura F. 12. ilq\ om. FCB (man. 2 ex coff

fecit stg)*. 19, 71 FE] 17 om. F. iGxai per comp. F. 24.

xy' F; H^' Eutocius ad prop. 35., 26. sxaiv F; corr. Riualtus.

27. xaq] ai xag F; corr. ed. Basil. 29. ri addidi; om. F, uulgo.


r^T^âtog tbv avtov Xoyov £%ov6lv, ov r] aTto trjg

dia^BtQOV tov kvkXov BTti triv TfXevQccv Toi5 noXvyavov

iTtiievyvv^svrj JtQog trjv tov TtoXvycovov TtUvQav.

Big yccQ TcvxXov tov ABT dirnô tig svêta rj JF,

5 xal iitl tijg AF Ttolvycovov eyysyQatpd-G) £ts tb ABFt^rjâ ccQtLOTtXevQOV te xal l0ag exov tag TcXevQag %coQlg

trjg ^ccaecog trjg AT' Tcal e7telev%^co6av ai ZH^ E&, al

el6iv TtaQdnriXoi trj ^d6ei tov t^riâtog. leya), oti e6t\v

cog al Zi/, E®, Ag TtQog BS, ovtcog n AZ itQbg ZB.

10 TtdXiv yccQ oôicog e7teêv%^co6av ac HE, A®' TtaQ-

dXkriloi ccQa elalv tij BZ- did dr^ tavtd £^rtv, 6g r]

KZ TtQog KB, ri te HK TtQbg KA, xal n EM TtQbg

MA, Kal rj M® TtQbg MN,Tcal rj SA TtQbg SN [Tcal

cog ccQa Ttdvxa TtQog Jtdvta,

elg tcjv Xoycov itQbg fW]. cog

ccQa ai ZH, E®, AS ^tQOg

BSy ovtcog ri ZK itQbg KB.

r cog de rj ZK TtQbg KB,

ovro^ rj AZ JtQbg ZB. cog

ixQa rj AZ TtQbg ZB, ovtcog

ai ZH, E®, AS TtQbg BS^

%y

"E6to ev acpaiQa êyi6tog Kvxlog 6 ABVA, Kal

25 eyyeyQdcp^co elg avtbv TtoXvycjvov lôTtkevQov , ro 8\

Ttlrixôg tcov TtlevQcov avtov êtQei^d^cj vTtb tetQddog-

al deAT, AB didêtQOi e6tco6av. edv drj iievov6rjg

trjg AF diaêtQOv 7teQieve%d-rj 6 ABFA KVKlog e%ov

(icx0roij£Sr\,27. J^ B^ ed. Basil., Torellius.

JP 1 1951/

S


quam linea a diametro circuli ad latus polygoni ducta

ad latus polygoni.

ducatur enim in circulo ABF linea recta JF, et

super lineam JF polygonum latera praeter basim ^Faequalia et paria numero habens segmento ABF in-

scribatur. et ducantur ZH, E®, quae parallelae sunt

basi segmenti [p. 97 not. 2]. dico esse

ZH-\- E& + JS:BS= ^Z :ZB.

rursus enim, ut supra [p. 96, 25], ducantur lineae HE,A&'^ parallelae igitur sunt lineae BZ [p. 97 not. 3].

eadem de causa, qua supra [p. 99, 2 sq.], erit

KZ:KB=HK:KA=EM:MA=M@:MN=SA:SN})itaque

ZH + E& + AS : BS = ZK : KB [Eucl. V, 12].

sed

ZK:KB = AZ: ZB [Eucl. VI, 4].

quare erit

z/Z : ZB = ZH+ Eet + AS'- BS.

XXIII.

Sit in sphaera ABFA circulus maximus, et ei in-

scribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum nu-

merus per quattuor diuidi possit. lineae autem Ar^AB diametri sint [inter se perpendiculares].^) si igitur

manente diametro AF circulus ABFA cum polygono

circumuoluitur, adparet, ambitum eius per superficiem

1) Uerba sequentia lin. 14—16 Archimedis non sunt; efr.

p. 98, 10; Neue Jahrb. Suppl. XI p. 388.

2) Hic Archimedes uix omiserat; nQog oq^ocs dXXr^XccLg

lin. 27, quae uerba Nizzius addi uoluit.


ro Tto^.vycovov , dijkov, on tj êv TtSQKpsQSLa avtov

xara rrjg iTtLtpavsiag rijg (5(paCQag svs%d^^6sraL^ at ds

rov 7CoXvy(6vov ycovCai %(OQlg rcov JtQog rotg A^ F(Srj^sCoLg Tiara kvkIcjv 7tSQL(pSQSi^v ivs%d"^6ovraL iv

5 rfj iitLCpavsCa rrjg 6(paCQag ysyQaîisvcov 6q%^^v TtQog

rov ABFzf TcvxXov. dLcciisrQOL ds avrSv s6ovraL al

i7tLt,svyvvov0aL rag yovCag rov 7toXvy(6vov 7taQa rrjv

jBz/ ov6aL. aC ds roi) TtoXvycjvov ^tlsvQal xarcc rLvav

KGjvov ivsid^YiôvraL^ at ^sv AZ^ AN yiar i7tL(pavsCag

10 %(6vov^ ov ^d(5Lg ^sv 6 TcvxXog 6 7tSQl dLci^srQOv rrjv

ZNy KOQvcprj ds rb A 6rj^sL0v' at ds Zif, MN Kar(x

rLvog TccovLicrjg i7tL(pavsCag OL6xl"riôvraL^ % ^ciOLg ^sv

6 KvxXog 6 7tsQL dLcc^srQOv rrjv HM, >coQV(prj ds ro

Orj^stov^ Kad-^ o (jv^PccIXov^jlv ixâlloiisvaL at ZH,15 MN ccXXrjXaLg rs âl rfj AF' at ds BH, MA 7tlsv-

Qal xarcc TccovLTcrjg iTtLCpavsCag OL6î]6ovraL, rjg ^ci^Lg

liiv i0rLv 6 oiVTikog 6 7tsQl dtcc^srQov rrjv BA oQd-og

7tQ6g rov ABFzi tcvtcXov, xoQV(prj ds ro (Srj^stov, xad^'

o 6v^PcilXov0LV iKâXXo^svaL at BH, AM dXXi^laLg

20 rs Kal rfj FA. bôCcog ds nal at iv ra srsQC) rîL-

KVKXC(p 7tksvQal Kard kg)vlkcov iTtLcpavsL^v OL6d")]0ovraL

7tdlLV bôCcjv ravraLg. s0raL drj rt 0%r]â iyysyQa^-

^svov iv rfj 0cpaCQ(z vTtb kcovlkcjv i^tLcpavsL^v 7tSQL-

s%6fLsvov rcov 7tQ0SLQrj^svG)v, ov rj i^ticpdvsta iXd06cov

25 sorai r^^g i^tLCpavsCag rrjg OcpaCQag.

dLaLQsd^sCorjg yaQ rrjg OcpaCQag V7tb rov i^tLTtsdov

rot) Kard rrjv BA o^ôv 7tQbg rbv ABFA kvkIov rj

5. tijg] zrj F. oq&ov F; corr. ed. Bas. 9. AZ] ASF. 10. ov] 6 FC* rriv] xr] F; corr. B. 13. HM^ MHed. Basil., Torellius. 14. ovfi^cclovGLv F. SHâXXofievccC]

altero l supra scripto F. 20. cct] addidi; om. F, uulgo.


spliaerae circumuolutum iri, angulos autem polygoni

praeter angulos ad A^ T puncta positos per ambitus

circilorum in superficie sphaerae descriptorum et ad

ABTid circulum perpendicularium. et diametri eorum

erunt lineae angulos poljgoni coniungentes lineae B/1

parallelae. latera autem polygoni per conos quosdam

circumuoluentur, AZ^ AN latera per superficiem coni,

cuius basis est circulus circum diametrum ZN de-

scriptus, uertex autem A punctum, latera uero ZHyMN per superficiem conicam circumuoluentur, cuius

basis est circulus circum diametrum HM descriptus,

uertex autem punctum, in quo ZH^ MN lineae pro-

ductae et sibi in uicem et lineae AF concurrunt; la-

tera autem BH^ MA per superficiem conicam cir-

cumuoluentur, cuius basis est circulus circum JBz/

diametrum descriptus ad ABFA circulum perpendi-

cularis, uertex autem punc-

tum, in quo BH^ AM \\-

neae productae et sibi in

uicem et lineae FA concur-

runt. eodem modo etiam

^ latera in altero semicirculo

posita rursus per super-

ficies conicas circumuol-

uentur his similes. itaque

in sphaera figura inscripta

erit comprehensa per su-

perficies conicas, quas commemorauimus, cuius super-

ficies minor erit superficie spbaerae.

secta enim spbaera plano in linea BA posito ad

circulum ABFA perpendiculari superficies alterius

104 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A'

iTtLcpciveiU roi) iteQOv rjîGcpaiQcov xal r} iTCicpccvsia

rov CiriiLaxog roi} iv avr^ iyysyQa^îvov za avxa

TtiQaxa e%ov6iv iv ivl iTtiTcidcj' d^cpoxiQcov yccQ xc3v

i7ticpav£icov Ttiâg ioxlv xov xvkXov t} 7t£Qi(piQ£ia xov

5 jt£Qi dicc^£XQov xrjv Bzf OQdôv TtQog xov ABF^ xvxlov^

xac £i<5iv d^cp6x£Qai inl xa avxd xotXai^ xal 7t£QiXa^-

pdv£xai avxcov rj £X£Qa vtco xrjg ixiâg i7ticpav£iag Kal

xrjg iTtiTtidov xrjg xd avxd JtiQaxa iiovcSrig avxfj. oÔiog

dh xal xov iv xco £X£qco riîcScpaiQiC} Oiriâxog rj im-

10 (pdv£ia iXd66G)v icSxl xrjg xov rniiCScpaiQiov i7ticpccv£iag,

xal o^rj ovv rj i7ticpdv£ia xov ajrniaxog xov iv xfj

CcpaiQcc iXdccSav ioxlv xrjg i7ticpav£iag xrjg 6cpaiQag.

^H xov iyyQacpoiiivov Cirniaxog £ig rrjv CcpalQav

15 ijticpdv£ia i6rj icxl xvtcXg), ov rj ix xov xivxQOv dv-

vaxai xo 7t£Qi£x6^£vov V7t6 X£ xrig 7tl£VQdg xov 6%r\-

\iaxog xal rrjg l'6rjg ^tdoatg ralg iTti^^vyvvovOaig rdg

7tl£VQdg rov 7toXvyc6vov v7to r£rQddog ^£rQOv^£vag xal

TtaQaXXrikoig ovCatg rfj v7to 8vo 7tX£VQdg rov 7toXvy(6vov

20 v7tor£iVOv6r] ^vd^^ta.

£6rco iv 6cpaiQa îiyiGrog xvxXog 6 ABF^, nal iv

avra TtoXvyovov iyy^yQdcpd^co i(j67tX£VQOv, ov aC 7tX£v-

Qal vTto r£rQddog ^£rQOvvrai' xal d^to roi; TtoXvycj-

vov rot; iyy^yQa^îvov voî^d^co n £ig rrjv CcpatQav

25 iyyQacp£v a^^â^ %al i^t^^^v^d^coaav at EZ^ H®, Fz/,

KA^ MN TtaQdkkriXoi ovCai rfj vjtb dvo 7tX£VQdg vTto-

9. Tov iv Tc5] scripsi; tov FC*; xov iv B*, ed. Basil., Torellius.

18. VTCO xstQadog iiBXQOviiivag] scripsi; tstQccyaivovs F, uulgo; del.

Hauber, Nizze; {tstQaTcXsvQfj) ed. Basil.; xstQaHaXov censor

lenensis; dtg tetQaTiXsvQag yCvsoâi Torellius. 19. naQalXr^-


hemisphaerii et superficies figurae hemisphaerio in-

scriptae eosdem terminos habent in uno plano (utraque

enim superficies terminum habet ambitum circuli circum

diametrum BJ descripti ad circulum ABFzJ perpen-

dicularis), et utraque in eandem partem caua est, et

altera ab altera comprehenditur superficie et superficie

plana eosdem, quos illa, terminos habenti.^) eodem modo

etiam figurae alteri hemisphaerio inscriptae superficies

minor est superficie hemisphaerii. itaque etiam tota

superficies figurae sphaerae inscriptae minor est super-

ficie sphaerae.

XXIV.

Superficies figurae sphaerae inscriptae aequalis est

circulo, cuius radius quadratus aequalis est rectangulo,

quod continetur latere figurae et linea aequali omni-

bus simul lineis iungentibus angulos^) polygoni, quo-

rum numerus per quattuor diuidi possit, et parallelis

Hneae sub duo latera polygoni subtendenti.

sit in sphaera circulus maximus ABF^, et ei in-

scribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum nu-

merus^) per quattuor diuidi possit. et in polygono

inscripto fingatur figura inscripta sphaerae, et iun-

gantur lineae EZ, HS^ Fz/, KA, MN parallelae

1) Quare superficies figurae inscriptae minor est superficie

sphaerae {Xcc(i§. 4 p. 10). nec Archimedes hoc praetermiserat

;

cfr. Quaest. Arch. p. 73.

2) Cfr. p. 97 not. 1.

3) Archimedem puto scripsisse hn. 22—23: ov ro TcXrj&og

tav nXsvQmv ^etqslg&co vno zstQccdog; Quaest. Arch. p. 76.

Xoig ovGaig'] Nizzius; naQaXXrjXovg ov6ag F, uulgo. 21. AFBJTorellius.

106 nEPI SAIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

reivov6ri avd^sicc. 'hvkIo^ di ZLg iKKSi6%^co 6 S, ov rj

SK Tov yJvTQOv dvva^dâ to tieqieioîsvov vTto te trjg

AE xal trig i'6rjg tatg EZ, H@, Tz/, KA, MN. Kiyci),

otL oivzlog ovtog l'0og iotl tfj iTticpaveCa tov eig

5 tr]v CcpaiQav iyyQacpoyiivov Oiri^tog.

ixKeiad^cjOav yccQ kvxXol ol O, 7T, P, U, T, T,

Kal TOt) êv O rj ix tov xivtQOv 8vva(5%-o t6 neQL-

e%6iievov VTCo te trjg EA Ttal trjg rj^LêLag trjg EZ,

7} de iz tov xivtQov tov TL dvva6d^Gi to neQLexoiievov

10 vjto te trig EA %al trjg ri^LêCag t^v EZ, HS, r] de

i% tov xivtQOv tov P dvvcc^d^G) to TteQLeôêvov vjto

trjg EA xal. trjg rj^LêLag tcov H@, FAj rj de ix tov

TcivtQOv tov. 2J dvvc^^d^cj tb TteQLexoêvov vTto te trjg

EA xal trjg rj^LOeLag tciv JTz/, KA, rj de ix tov xiv-

15 tQov tov T dvvdad^cj to TteQLeôêvov vtio te trjg AEKal trjg r}^L6eLag tcjv KA, MN, rj de ix tov xivtQOv

rov T dvvdod^c} to 7teQLe%6êvov V7t6 te trjg AE Kal

trjg rj^L6eLag trjg MN. dLcc drj tavta 6 êv O KVKkog

l'6og i0tl trj i7tL(paveLa tov AEZ kcovov, 6 d\ H tfj

20 iTtLcpaveia tov kcovov tfj êta^v tcjv EZ, H@, o de

P trj êta^v tcov H®, rA, 6 de 2J f^ êta^v tSv

1. ds] scripsi; drj F, uulgo. 6. T] in rasnra F.


lineae sub latera subtendenti. ponatur autem circulus S,

cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo, quod

linea AE et linea omnibus simul lineis EZ, H&, FJ,

KAj MN aequali continetur. dico, hunc circulum

aequalem esse superficiei figurae spbaerae inscriptae.

ponantur enim circuli O, 77, P, 27, T, T, et radius

circuli O quadratus aequalis sit rectangulo, quod con-

tinetur linea EA et dimidia linea EZy radius autem

circuli 77 quadratus aequalis sit rectangulo, quod con-

tinetur linea EB et dimidia parte linearum EZ, H&,radius autem circuli P quadratus aequalis sit rectan-

gulo, quod linea EA et dimidia parte linearum H®jFA continetur, radius autem circuli E quadratus

aequalis sit rectangulo, quod linea EA et dimidia

parte linearum TA, KA continetur, radius autem cir-

culi T quadratus aequalis sit rectangulo, quod linea

AE ei dimidia parte linearum KA, MN continetur,

radius autem circuli T quadratus aequalis sit rectan-

gulo, quod linea AE et dimidia linea MN continetur.

itaque circulus O aequalis est superficiei coni AEZ[prop. 14], 77 circulus aequalis superficiei conicae inter

EZ, H& lineas positae, P circulus superficiei inter

770, Fz/ positae, Z! superficiei inter z/T^, KA positae,

T superficiei inter KA, MN positae^), T circulus

1) Haec omnia sequuntur ex prop. 16, quia aequalia suntlatera polygoni.

108 HEPI S<I»AIPAS KAI KTAINAPOT A

.

^r, KA' xal Exi 6 ft£i/ T l'6og i6xl rfj BTCLtpavsCa xov

Tccovov ty ^sra^v n^v KA, MN' 6 ds T f^ tov

MBN xcovov eTCicpaveCa l'6og icrCv. oi Jtavreg aqa

xvxXot lGol slgIv rfi roi) syysyQa^^svov airniarog sjti-

5 (pavsCa. xal cpavsQOv, ot^ ai sx rcov xsvrQov rcav O,

77, P, 2^, T, T xvxXcov dvvavrai ro TCsQisxo^sôv vno rs

rrig AE xal dlg rcjv rj^CascJV rrjg EZ^ H@, Fz/, KA,MN, aC oXai sCalv aC EZ, H®, Tz/, KA, MN at

aQa SK Tcov xsvrQOiv rSv O, 77, P, 27, T, T xvxkcov

10 dvvavrai rb 7CSQiS%6^svov vtco rs rr^g AE xal icacmv

rmv EZ, H©, Tz/, KA, MN. aUa xal rj ix toi^

xsvrQov Toi) S xvxXov dvvarai ro vtco rrjg AE xal

rrjg ^vyxsi^svrjg ix TCaGoav tc5i/ EZ, H&, rî, KA^MN rj ccQa sx tov xsvrQOv rov S kvxIov dvvarac

15 Ta aTCo rcov ix rcjv xsvrQcctv rojv O, 77, P, 2J, T, TxvxXcav. xal 6 xvxkog ccQa 6 S t6og icrl rotg O, 77,

P, 2;, T, T xvxXoig. ol ds O, 77, P, Z, T, T xt;;cAot

aTCsdsCx^rjijav i'0Oi rfj SiQrj^svrj to£ Gxriârog imcpa-

vsCcc. xal 6 S ccQa xvxXog loog icrac rfi iiCicpavsCcc

20 rov a^riârog.

TIB,

Tov iyysyQa^^svov îrniarog sCg rrjv CcpatQav r}

iTCicpdvsia rj 7CSQis%oiisvrj vtco rciv xovixcSv iTCicpavsicov

ikd06aiv iarlv tj rsrQaTcXa^Ca Toi) ^syCcrov xvxlov

25 r^v iv rfj (ScpaCQa.

sdrco iv 6(paCQa ^syiOrog xvxkog 6 ABF^, xal iv

6. dvvcctccL F; corr. BC*. 8. oXai] scripsi cum B*;oXoL F, uulgo. Fz/] om. F; corr. Torellius. 12 Svvavtai^

V expuncto, FC*. 15. ta dno tcov] scripsi; tag F, uulgo.

19. aqa] om. F.


superficiei coni MBN}) quare omnes simul circuli

aequales sunt superficiei figurae inscriptae. et ad-

paret, radios circulorum O, 77, P, U, T, T quadratos

aequales esse rectangulo, quod continetur linea AEet dimidiis lineis EZ, if@, Fz/, KJ, MN bis sumptis,

quae aequales sunt ipsis lineis jEZ, H@, JTz/, KJyMN. itaque radii circulorum O, 77, P, 27, T, T qua-

drati

= JEX (EZ + H0 + rzi + KA + MN).

sed etiam radius circuli S quadratus

= JEX (EZ + H0 + TA + KA + MN)[ex hypotliesi]. radius igitur circuli S quadratus aequa-

lis est radiis circulorum O, 77, P, H, T, T quadratis.

quare etiam^)

g = o + 77+p+2;+r+r.sed demonstratum est, circulos O, 77, P, 2J, T, Taequales esse figurae superficiei, quam commemoraui-

mus. itaque etiam conus S aequalis erit superficiei

figurae.

XXV.

Superficies figurae sphaerae inscriptae, quae per

superficies conicas continetur^), minor est quam qua-

druplo maior circulo maximo sphaerae.

sit sphaerae circulus maximus ABFJj et ei iu-

1) Sequitur ex prop. 14, quia EA = MB.2) Eucl. XII, 2; cfr. Quaest. Arch. p. 48.

3) Archimedes uix h. 1. et p. 110, lin. 3 dixerat, superficiem

figurae per superficies conicas comprehendi, cum hoc de ipsa

figura dicendum esset. scripsit fortasse lin. 23: rov tcsqlsxo-

^svov et lin. 3; vobigQ^co oxfiiLK vno . . . TCBQiBxoyi^svov.

110 IIEPI 2:*AIPAS KAI KTAINAPOT A

avt6 iyyeyQdcpdô TtoXvycovov [dQtLoycovov] laoTtkev-

Qov^ ov ai TtXevQal vno rst^ccdog êtQOvvtat. xal d%avtov vosiOd-co ejticpdvsLa rj vjto tcjv xcoviKav sTtt-

cpavsiSv TtsQisxo^svf}. Isya^ oti rj STticpdvsia tov sy-

5 yQacpsvtog sXd66G)v s6tlv tj tstQaTtXa^Ca rou ^syC^tov

xvkXov t(Dv sv tfj 6<paCQa.

S7tst,sv%^Gi<5av yaQ aC vito dvo TtksvQag vTtotsCvov-

(5ai ro'L' Ttokvycjvov aC EI, @M, xal tavtaig TtaQdX-

IriXoi aC ZK, ^B, HA.sxxsCGd^co ds tig Kvxôg

O P, OV rj S7C tOV XSVtQOV

dvvatai tb vno trjg EAxal tr]g i'0rjg Ttdcaig tatg

rEI, ZK, BA, HJ, @M.did drj tb TtQodsi^^sv

lAf- iOog s(jtlv 6 xvxkog tfj

roi; siQri^svov eî^âtog

imcpavsia. xal sitsl idsC%-

d^ri, otL i6tlvj cog rj i'0rj

Ttdoaig tatg EI, ZK,5z/, HA, ®M TtQbg tr^v

did^stQOv tov xvxkov

tr}v AF, ovtcjg rj FETtQbg EAj ro aQa vnb

25 trjg i'6rjg itdoaig tatg SiQrmsvaig xal trjg EA-, row-

s0tiv ro djtb trjg ix tov xsvtQOv tov P xvxXov,

L(5ov i6tlv rc5 vTtb rcav AF. FE. dXld xal tb

V7tb AT, FE sla666v i6tL tov aTtb f^g AF. sXaa-

60V ccQa ictl ro dnb trjg ix rov xsvtQOv tov P tov

27, faov] hic primum2. dn'] scripsi; sn' F, uulgo.

occurrit compendium huius uerbi in F. 28. sXaGaoiv F.

DE SPHAERA ET CYLINDRO I. IH

scribatur polygonum^) aequilaterum, cuius laterum

numerus^) per quattuor diuidi possit. et fingatur su-

perficies inde orta, quae per superficies conicas com-

prehenditur.^) dico, superficiem polygoni inscripti mi-

norem esse quam quadruplo maiorem circulo maximo

sphaerae.

ducantur enim lineae sub duo latera polygoni subten-

dentes, EIj &M^ et iis parallelae lineae ZKj zIB, HA.ponatur autem circulus P, cuius radius quadratus aequa-

lis sit rectangulo, quod linea EA et linea aequali

lineis omnibus EI, ZK, B^, HA, QM continetur.

itaque propter ea, quae antea demonstrauimus [prop.

24], circulus aequalis est superficiei figurae, quamcommemorauimus. et quoniam demonstratum est, li-

neam omnibus lineis EI, ZK, BA, HA, &M aequa-

lem ad diametrum circuli AF eam habere rationem,

quam TE ad EA [prop. 21], erit

EA X {EI + ZK+ BA + HA + SM),

h. e. radius circuli P quadratus [ex hypothesi],

^ArxFE [Eucl. VI, 16].

sed

ArxrE<Ar^ [Euci. iii, 15].

itaque radius circuli P quadratus <. AF^ [et radius

circuli P < AF. quare etiam diameter circuli P minor

1) (XQTLoyavov lin. 1 delendum est, quia hn. 1—2 repugnat,et quia desideratur %at ante iGonXsvqov

',looymvLov xs hcil Nizze.

2) Cfr. p. 105 not. 3.

3) P. 109 not. 3.

112 riEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

ccTib f^s AF [il<x06(ov ccqk a6rlv 17 ix rov TcivTQOv

tov P rijg AF. S6rs rj diccâerQog rov P xvxXov ilaa-

6g)v i6rlv 7] diTtkacCa rrjg diaîrQov rov ABFzJ tcv-

xkov^ nal dvo aQa rov ABF^ xvxXov dLccêrQOL

5 (isLôvg £L6l rrjg dLaâirQOv rov P tcvkXov, xal ro rs-

rQccKLg ccTto rrjg dLaîrQov rov ABF^ tcvxXov, rovr-

i0rL rrjg AF^ êtôv £(7rt rov ccjto rijg rov P xvxXov

dLaîrQOv. (x>g de ro rerQccxLg ccTto rrjg AT TtQog ro

ccTtb rrjg rov P xvxlov dLaîrQOv, ovrcjg ri(S6aQ£g

10 xvxXoL ot ABFzl TtQog rbv P xvxkov. ri66aQ£g aQa

xvxloL OL ABFzJ ÊLôvg slcIv rov P xvxlov]. 6 ccQa

xvxlog 6 P iXcc66c3v iorlv r^ r£rQa7tXcc6Log rov ^£-

yL6rov xvxXov. 6 d£ P xvxlog l'6og id^Lx^d^rj rrj £iQr]-

îvrj i7tL(pav£Lcc rov ^xrjârog. rj ccQa i7tL(pdv£La rov

15 Ciriârog ikcc66av i0rl rj r£rQa7tXa6La rot» ^^yC^rov

xvxXov rc5v iv trj dcpatQa.

Ta iyyQacpoîvc) iv rfi 6(paLQCc (5%riârL rc5 7t£QL~

£XoîvG) v7tb rcDV i7tL(pav£L^v rcav xcovlxcov L6og i6rlv

20 x^vog pdoLv ^sv £xcov rbv xvxXov rbv i6ov rrj iTti-

(pav£La roi) O^V^^^^^S tôv iyyQacpivrog iv rfj ^cpaLQcx,

v^lôg d£ l'6ov rf] (XTtb rov xivrQOv rijg 6(paLQag i^tl

^Cav 7tX£VQav rov 7toXvyoovov xaîr(p '^yîvy.

£6ro rj 6(paLQa xal 6 iv avrrj îyL6rog xvxlog 6

25 ABF^j xal rcc aXka rcc avrcc rco TtQor^QOv. £6ra) df

xcovog oQd-bg 6 P ^()c6lv [ilv £%g)v rrjv i7tL(pdv£Lav roi)

6%riârog roi) iyy^yQa^îvov iv rfj 6(paCQcc^ vipog de

i'6ov trj aTtb tov xivtQOv trjg 6(paCQag iTtl ^Cav 7tX£v-

Qccv tov 7toXvy(6vov xaîr(p iqyîvr]. d^Lxriov^ ort 6

9. tiaGccQsg] altero g supra scripto F. 19. l'6og] per

est quarn duplo maior diametro circuli ABr^^)^ et

4 ^F^ > quadratum diametri circuli P. sed ut 4 AF^ad quadratum diametri circuli P, ita quattuor circuli

ABF^ ad circulum P [Eucl. XII, 2]. itaque quat-

tuor circuli ABFJ maiores sunt circulo P]. circulus

P igitur minor est quam quadruplo maior circulo

maximo. sed demonstratum est, circulum P aequalem

esse superficiei figurae, quam commemorauimus. quare

superficies figurae minor est quam quadruplo maior

circulo maximo sphaerae.

XXVI.

Figurae sphaerae inscriptae per superficies conicas

comprehensae aequalis est conus basim habens circu-

lum superficiei figurae sphaerae inscriptae aequalem,

altitudinem autem aequalem lineae a centro sphaerae

ad latus polygoni perpendiculari ductae.

sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF^^ et

cetera eodem modo, quo supra [prop. 25]. sit autem

conus rectus P basim habens superficiem figurae sphae-

rae inscriptae, altitudinem autem aequalem lineae a

centro sphaerae ad latus polygoni perpendiculari duc-

1) Uerba sequentia lin. 4—5 damnaui Quaest, Arcli. p. 74,

sed adparet, Archimedis manum nondum restitutam esse; de-

monstratio enim sic quoque longis ambagibus laborat. puta-uerim, totum locum lin. 1; sXccggcov uqoc — lin, 11: tov P xv-^Xov subditiuum esse.

<50mp. F, ut lin, 22. 26. triv iniq^ccvsLCivl i'0T^v tij BnicpocvsCoc.

B, ed. Basil,, Torellius. 28. i6ov'\ per comp. F, ut p. 114 lin.

13; 22; 25.

Archimedea, ed. Heiberg. I. 8

114 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOr A'.

15

xcivos 6 P l'6og iotlv t^ syysyQa^êvG) iv tfj 6(paiQa

(j%YilLati.

ccTtb yccQ tc3V KvxXcov, (6v bl6l didêtQOL aC ZN^HM, @ji, IK^ Kojvoi dvayeyQdfpdââv KOQV(priv e%ov-

5 xe<s to trjg 6(paiQa^ KevtQOv. sotai drj Qo^ôg 6tsQeog

^K t€ tov Kcavovj ov ^dCig ^sv i6ti 6 xvxkog 6 JtsQi

trjv ZNj KOQV(prj ds ro êrjfisiov, xal tov xcovov, ov

pd6ig 6 avtog xvxXog^ xo-

10 / \ X QV(pr} ds tb X 0rj^stov. xal

L6og i6tL ta xcjvcj rc5 ^dîv

^sv s%ovtL tr\v i7tL(pdvsLav

roi) NAZ^ vxjjog ds i6ov tfj

aTcb rov X xa^st(p rjyêvrj.

TtdXiv ds xal ro jtsQiXsXsi^-

^SVOV rOl) QO^POV tb TtSQi-

sô^svov vTto ts tr]g im^pa-

vsCag roiJ x(6vov trjg ^sta^v

twv TtaQaXXrjkcov ijtLTtsdcjv

20 ^'^''^:^!—^:^^ tSv xatd tdg ZN, HM xal

tcDV i7ti(pavsimv twv xcjvcov

tov ts ZNX xal tov HMX i0ov iatl ta x(6v(p rc5 /3a-

0iv ^sv s%ovti i^rjv tri iitLcpccvsLa rov xcjvov tfj ^sta^v

twv 7taQaXki]XG)v iTtiTtsdcov tcov xatd tdg MHj ZN^

26 {;i/;og ds l6ov tfj ditb tov X iitl trjv ZH xa^stci

rjy^svrj' dsdsixtai yaQ tavta. stL ds xal ro TtsQL^SL-

Tto^svov tov xcovov tb 7tsQiS%6^svov vTto ts tijg iTti-

(pavslag rov x(6vov trjg ^sta^v tcov TtaQaXXriXcov iiti-

Ttedcov tcov xatd tdg HM, B^ xal trjg iTticpaveCag

4, avuvayByqa^pQôicav F. 6. tov\ addidi; om. F, uulgo,

tOTi\ Earcd per comp. F; corr. Torellius. 10. xa^ om. F;


tae. demonstrandum est, conum P aequalem esse figu-

rae sphaerae inscriptae.

construantur enim in circulis, quorum diametri

sunt ZNj HMy ©J, IK, coni uerticem habentes cen-

trum sphaerae. erit igitur rhombus solidus ex cono,

cuius basis est circulus circum ZN diametrum de-

scriptus, uertex autem punctum A^ et cono, cuius basis

est idem circulus, uertex autem X punctum, composi-

tus.^) et erit aequalis cono basim habenti superficiem

coni NAZ^ altitudinem autem aequalem lineae a Xpuncto [ad lineam ^Z] perpendiculari ductae [prop.

18]. rursus autem frustum rhombi^) relictum, quod

superficie coni inter plana parallela in lineis ZNy HMposita et superficie conorum ZNX^ HMX continetur,

aequale est cono basim habenti aequalem superfi^ciei

coni inter plana parallela in lineis MH^ ZN posita,

altitudinem autem aequalem lineae a X puncto ad Z/f

lineam perpendiculari ductae [prop. 20]. praeterea

frustum relictum coni^), quod superficie coni inter

plana parallela in lineis HM, B z/ posita et superficie

coni MHX et circulo circum diametrum B z/ descripto

1) Desideratur: GvyKSLiisvog; nam satai lin. 5 idem fere est,

quod ysvriGsxai.

2) Hic rhombus oritur productis lineis MN^ ZH, donecconcurrunt, et continetur lineis MN, ZH productis et lineis

MX, XH.3) Qui oritur lineis Mz3, HB productis, donec concurrunt.

corr. Torellius. 14. Post tov X add. Torellius: snl xriv AZ,

15. TtSQasUynLSvov F. 20. xug ZiV, HM~\ xtjv ZNHM F;

corr. Torellius. 24. MH, ZN] scripsi; MNZH F, uulgo;ZiV", HM Torellius. In figura A et I permutat F, et pro Xhabet K. 27. x6 nsQtsxofisvov] scripsi; xov TtsQLSxofisvov F,uulgo. 28. xrjg] xrj F.

8*

116 nEPI ScÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

rov MHX Mcjvov xal tov avyikov tov 7t£Qi did^stQov

tTjv B^ l'6ov rc5 xcova t<p ^dîv fi£v £%ovti tr^v l6riv

rfj STtifpavBCtt tov Ttmvov trj êta^v tcov STtiTtsdcov tdov

Ttatd tdg HM, jBz^, vipog de l'6ov tfj aTto tov X sTtl

5 trjv BH xad-ettp rjy^svrj. oôicog ds xal iv ta itSQO)

7jî6q)aiQiG) o ts Qo^ôg 6 XKFI xal td TtsQilsi^âta

rcjv xayvcDV i6a s6tai toOovtoig Ttal rrjkixovtoig xmvoig,

o6oi xal TtQOtsQOV iQQrjd^rjâv. drjXov ovv, oti xal oXov

t6 Oxrjâ ro iyysyQa^^svov iv rfj GcpaiQcc i'6ov i^rlv

10 TtdCiv rotg siQrj^svoig occjvoig. ot ds occavoi i0Oi sl^lv

ra P 7103VG), iTtSidrj 6 P xcavog vilôg îsv s^si sxd6rip

i'<30v rmv siQrjÊvcov xoivcJVy ^dîv ds l'6rjv 7td0aig ratg

pd0s6iv avrmv. drjlov ovv^ on ro iv rfj 6cpaiQa iy-

ysyQa^^svov l'6ov i6rlv np ixxsi^svc) xcSvg).

15 x^.

To iyysyQa^îvov ^xrjâ iv rfj 6cpaiQa ro TtSQi-

sxo^svov v7to rav iiticpavsimv ro5v Tccavixcov ska^ôv

i6tiv 7j tstQaTtXdîov tov xg)vov tov ^d6iv ^sv sxov-

rog i6rjv np ^syCcrG) xvxXg) rmv iv rfj CqâCQa^ vtpog

20 ds i6ov rfj ix rov xsvrQOV rrjg 6cpaCQag.

s6rG) yaQ [6] yivo^svog xcovog i'0og rS ^xt^ân

r« iyysyQa^^svcD iv tfj <3(paCQa trjv ^d6iv ^sv sxcov

l'0riv tfj ijticpavsCa irov iyysyQa^^svov (j^îjfcarog, ro

ds vtjjog i'0ov rfj ditb rox; xsvrQOV rov xvxXov xad^src)

25 dyo^svTj ijtl îCav JtlsvQav rov iyyQacpsvrog itokvyca-

vov 6 P. 6 ds xmvog 6 S s6tG) ^dfjiv sxov fdrjv rc5

2. laov] per comp. F, ut lin. 4, 9, 10, 12. rc5 Koavco] Batai

KcovG) ed. Basil., Torellius. âai F. 3. roav iTCmsScav] tcov

re STnnsScov F; corr. Torellius. 6. XKFA F. nsQLlifi-

fiara F. 10. yiovoig F. 19. rmv] tov F. 21. 6] deleo.


continetur, aequale est cono basim habenti aequalem

superficiei coni inter plana in lineis HMj B^ posita,

altitudinem autem aequalem lineae a X puncto ad

lineam BH perpendiculari ductae [prop. 19]. eodem

modo etiam in altero hemisphaerio rhombus XKFIet frusta relicta conorum^) aequalia erunt totidem et

talibus conis, quot et quales supra indicauimus. ad-

paret igitur, etiam totam figuram sphaerae inscriptam

aequalem esse omnibus conis, quos commemorauimus.

coni autem aequales sunt P cono, quoniam conus Paltitudinem habet altitudini^) cuiusuis conorum, quos

commemorauimus aequalem, basim autem aequalem

omnibus simul basibus eorum^) [A^/w-ft. 1 p. 80; cfr.

Quaest. Arch. p. 48]. adparet igitur, figuram sphaerae

inscriptam aequalem esse cono, quem posuimus.

XXVII.

Figura sphaerae inscripta, quam superficies conicae

comprehendunt, minor est quam quadruplo maior cono

basim habenti aequalem circulo maximo sphaerae,

altitudinem autem radio sphaerae.

ponatur enim conus P aequalis figurae sphaerae

inscriptae basim habens superficiei figurae inscriptae

aequalem, altitudinem autem aequalem lineae a centro

circuli ad latus aliquod polygoni inscripti perpendi-

culari ductae [prop. 26]. conus autem S basim ha-

1) Debebat esse: rhombi (qui oritur productis lineis AK^10, donec concurrunt) et coni (qui oritjir eodem modo pro-ductis lineis ^A, B©).

2) FHaCTco sc. xcovco, pro syiccGtov (sc. vi/>ft).

3) Ex hypothesi.

ABFJ tivtcIg), viljog ds triv ix rov xevtQov rov ABFJxvxkov.

ETtel ovv 6 P Kcovog â^tv exei t6riv tfj sitLcpaveioc

tov eyyeyQK^êvov 6%riiiccto(s ev tfj ^(paiQcc, vzôg de

5 rfj aitb tov X Tcadêtc) ayoêvT} eTtl rrjv AZ, edeix^ri

de ri eiticpdveia tov eyyeyâîêvov axriâtog ekd66ov

7j tetQaTtXaaia roi) ev tfj 6(paiQa êyC^tov tcvkIov,

eatai ccQa rj tov P tccovov ^dîg eldaaov i] tetQa-

nkadia tijg ^dêog tov S tkovov eativ de aal ro

10 vtog tov P ela60ov rov vtljovg tov S tccovov. eTtei

ovv 6 P xSvog trjv êv ^dîv exei iXdd6ova 7} te-

tQaitlaaCav trjg tov S ^daewg., tb de vrlôg ela66ov

tov vi}jovg, drjXov, cog Kal avtbg 6 P Tcowog eld66cov

idtlv 7] tetQa7tld0iog tov 3 ytovov. dlld jcal 6 P15 xc5vog i6og i6t\ rc5 iyyeyQa^êvc) ^x^t^^ccti. tb aQa

iyyeyQa^êvov 6xrjiia eka666v i6tiv ij tetQa7tla6iov

tov S noovov.

4. Si] ds laov BC*, ed. Basil., Torellius. 8. £<rrat] per

comp. F, BC*. 13. ©s] ort Nizze.


beat aequalem circulo ^BF/lj altitudinem autem ra-

dium circuli ABV^.quoniam igitur conus P basim habet aequalem

superficiei figurae sphaerae inscriptae^ altitudinem

autem aequalem lineae a X puncto ad ^Z perpen-

diculari ductae, et demonstratum est, superficiem figu-

rae inscriptae minorem esse quam quadruplo maiorem

circulo maximo sphaerae [prop. 25]^ erit igitur basis

coni P minor quam quadruplo maior basi coni S, sed

etiam altitudo coni P minor est altitudine coni ^.

quoniam igitur conus P basim habet minorem quamquadruplo maiorem basi coni Sj altitudinem autem

altitudine minorem, adparet, etiam ipsum conum Pminorem esse quam quadruplo maiorem cono S^). sed

conus P idem aequalis est figurae inscriptae. quare

figura inscripta minor est quam quadruplo maior cono S

1) Cfr. Xriiiii. 1 p. 80.

120 nEPi 2:<r>AiPA2 kai ktainapot a'.

xrj .

"E6t(o iv CcpaCqa ^syt6rog xvzXog 6 ABF^y TteQi

ds xov ABF^ KvxXov TtsQLyeyQcc^pd^cj TtoXvycovov 160-

jiXevQov te xal L0oyc6vtov, t6 de TcXrjdôg tcav nkevQav

5 avtov iLetQeiGd^G) vTto tetQadog. tb de TteQi tov xv-

kXov JteQiyeyQa^êvov itoXvycovov KvxXog TteQtyeyQaî-

êvog 7teQtXa(iPavetco TteQt to avtb xevtQov ytvoêvog

Tc5 ABFJ. êvov6rjg drj trjg EH TteQtevexd^ritco to

EZH® eTttTtedov , ev c5 rd te TtoXvycovov xal 6 xv-

10 xAog. dijAoi/ ovv^ ort rj inev iteQtcpeQeta tov ABF^xvxXov Tcata f^g entcpavetag tr]g 6cpatQag otGd^rjêtat^

rj de TteQtcpeQeta tov EZH® xat akkrig eittcpaveCag

CcpaCQag to avtb xevtQOv ixovOrjg tfj eXd66ovt olGd^ri-

estat' at de acpaC^ xa%^ ag e7ttt(;avov6tv ai nXevQaC^

15 yQacpovCtv xvxlovg bQ%ôvg TtQbg tbv ABFA xvxXov

ev tfj eXcc00ovt GcpaCQcc'

at de yavCat tov no-

XvycQVOv xcxiQtg tdov

TtQbg totg E, H ^rj-

fieCotg xata xvxXcov

TteQtcpeQetcov otc^ri-

aovtat ev tfj entcpa-

veCci tJig \ieC%ovog GcpaC-

Qag yeyQa^êvcov 6q-

%C3V TtQbg tbv EZH®xvxXov ' at de TtXevQal

rot; jtoXvycovov xata

xc3VtX(DV e7tt(pavet(ov ot6%ri6ovtat^ xa%cc7teQ enl rcoi/ JtQO

tovtov. e6tat ovv tb 6%riyia tb neQte%6êvov vno twv

20

25

1. xV om. F. 8. nB^tivsx^rixo F. In fignra plnres lit-


XXVIII.

Sit ABF/i circulus maximus sphaerae; et circum

ABFJ circulum circumscribatur polygonum aequila-

terum et aequiangulum, et numerus laterum eius per

quattuor diuidi possit. polygonum autem circum cir-

culum circumscriptum comprehendat circulus circum-

scriptus, eodem centro, quo ABF/i, descriptus. ma-

nente igitur EH linea planum EZH® circumuoluatur;

in quo et polygonum et circulus est. adparet igitur,

ambitum circuli ABFA per superficiem sphaerae cir-

cumuolutum iri, ambitum autem circuli EZH® per

aliam superficiem sphaerae idem centrum habentis,

quod habet minor sphaera, circumuolutum iri. puncta

autem contactus, in quibus latera contingunt [circulum

minorem], circulos ad circulum ABF^ perpendiculares

in sphaera minore describunt. anguli autem polygoni

praeter angulos ad E^ H puncta positos per ambitus

circulorum circumuoluentur in superficie sphaerae ma-

ioris descriptorum ad circulum EZH® perpendicula-

rium. latera autem polygoni per superficies conicas

circumuoluentur, quemadmodum in propositionibus

praecedentibus [23—27]. figura igitur per superficies

conicas comprehensa circum sphaeram minorem cir-

cumscripta, maiori uero sphaerae inscripta erit. super-

teras addit, nonnullas perrautat F, sed Z, T, z/ ut in nostrafigura ponuntur; quare mutaui ordinem ed. Basil. et Torellii.

28. iTtl tav TCQO rovrov] uel inl rcov TtQorsQOv Nizze; inl xovnqo xovzov Torellius; sni xov nQtotov F, uulgo. 29. ovv]supra scriptum manu 1 F.

122 nEPI S^ÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

iiCKpavBL^v rojv xcovixcov tcsqI ^sv rrjv ika66ova, ^(paiQCCv

jteQiysyQa^^svov^ iv de rfj iieCôvi syyeyQa^^svov. onds 7] BTtitpdveia rov TCeQiyeyQa^^svov ^î^ârog ^Siôv

s6rl rrjg siti^pavsCag r% (jgâiQag, ovrcog dsi^^ri^srai,

5 s6rG) yaQ 7} K/1 dicc^srQog xvxXov nvog rcoiv sv rfj

sXd66ovi 6(paiQcc r<DV K^ A 6rjiisiOV ovrcov, xad"' a

ccTtrovrai rov ABF/I xvxXov at itXsvQal rov itSQi-

ysyQa^^svov TtoXvycivov. dirjQYj^svrjg drj rrjg 6(paiQag

vTto rov STtiTtsdov rov xara rrjv K/i oqQôv TtQog

10 rov ABT^ xvxXov xal rj sTticpdvsia rov TtSQiysyQa^-

^svov 6x^^cctog TtsQi rrjv 6cpaiQav diaiQs^ri6srai vTto

rov STtiTtsdov. xal (pavsQOv, on ra avrd TtsQara sxov-

6iv ev eTtiTtsdco' d^cporsQOv yaQ rcov sTtiitsdcov itSQag

e6rlv rj rov tcvkXov TtSQicpSQSia rov TtSQi didfisrQOv

15 rrjv KA oQxtov TtQog rbv ABF^ kvkXov KaC Si6iv

d^cporsQai sjtl rd avrd KOiXai^ Kal jtsQiXa^^dvsrai tj

ereQa avrcov vjtb rrjg ereQag eTti^paveCag Ka\ rrjg eiti-

Ttedov rrjg rd avrd TteQara exov6rjg. eXd66ov ovv

e6riv rj TteQiXa^Pavoêvrj rov rîqârog rrjg 6cpaCQag

20 eTticpdveta rrjg eTticpaveCag rov îrniarog rov jteQiye-

yQa^êvov TteQi avn^v. oôCog de xal rj rov koiitov

r^rjârog rrjg 6cpaCQag eiticpdveia eXd66cDv e6rlv rrjg

eiticpaveCag rov 6%riiiiarog rov TteQiyeyQa^fievov JteQi

avrijv. drjXov ovv, on-Kal oXrj rj eTticpdveia rrjg 6cpaC-

25 Qag eXd66ov e6rl r^g eTticpaveCag rov 6xrj^ccrog tov

TteQiyeyQa^êvov JteQi avrrjv.

K^.

Tfj emcpaveCa rov TteQiyeyQa^êvov ^xrj^citog jteQi

rrjv 6(paiQav l'6og e6rl KVKXog^ ov rj Sk rov xevrQov

5. rfl 01 F. 7. at tcXbvqocC] scripsi; cfr. p. 120, lin. 14;


ficiem autem figurae circumscriptae maiorem esse su-

perficie sphaerae, sic demonstrabitur. sit enim linea

K/1 diametrus circuli alicuius in sphaera minore de-

scripti, contingentibus lateribus polygoni circumscripti

circulum^jBFz/ in punctis K, z/. diuisa igitur sphaera

plano in linea Ijlz/ ad circulum ABF^ perpendiculari

posito, etiam superficies figurae circum sphaeram cir-

cumscriptae eodem plano diuidetur. et adparet, [super-

ficies sphaerae et figurae] eosdem terminos in plano

habere (utraque enim superficies^) terminum habet

ambitum circuli circum diametrum Xr' ad circulum

^^Fz^perpendicularis descripti), et utraque in eandem

partem caua est, et aUera superficies ab altera et

plano eosdem terminos habenti comprehenditur. minor

igitur est superficies comprehensa segmenti sphaerae

superficie figurae circum id circumscriptae [Aafi|3. 4

p. 10]. eodem modo etiam superficies reliqui sphae-

rae segmenti minor est superficie figurae circum id

circumscriptae. adparet igitur, etiam totam super-

ficiem sphaerae minorem esse superficie figurae cir-

cum eam circumscriptae.

XXIX.

Superficiei figurae circum sphaeram circumscriptae

aequalis est circulus, cuius radius quadratus aequalis

1) Debebat esse BmcpavBiav pro inLnsScav lin. 13. sedtota haec demonstratio tam neglegenter scripta est, ut Archi-medi abiudicanda esse uideatur. fortasse hoc tantum addidis-

set lin. 2: itat 7} imcpoivsLa tov nsQLysyQafifisvov cxyjfiatos

(iSL^(ov satL ti]s imtpavsLag tijg ecpaCQag.,

at 8vo nXsvqaC ed. Basil., Torellius; „duo latera'* Cr. ; om. F,

uulgo. 27. v.ri F.

124 nEPI SÂrPAS KAI KTAINAPOT A.

Ltfov dvvatac ta TiSQLSxoêvG) vjto t£ îdg TcXsvQccg

tov TtoKvycovov xal tijg l'0r}g 7Ca6aLg tatg imt,£vyvv-

ovâig tag ycovCag rot5 noXvycovov ovGatg JcaQoi tLva

tdoV V7l6 dvo TtXsVQCCg tOV JtoXvyCOVOV V7tOtSLVOV0COV,

5 to yccQ TteQLysyQaîievov TtSQL trjv iXa00ova 6(pat-

Qav iyyiyQantat elg trjv ^SLôva 6q)atQav' tov de

iyysyQa^îvov iv tfj 6(paLQa itsQLSxofiivov vno tav

i7tL(pav6L(Dv tmv xovLxdov dideLKtat^ otL tri imfpavaLa

l6og iotlv 6 xvxXog, ov r] ix 1:015 xivtQOV dvvatat to

10 7t£QL£x6^£vov V7t6 t€ ^Lccg TtX^vQccg tov TtoAvycovov xal

trjg LGrjg TtdâLg tatg iitLt^^vyvvovâLg tccg yavCag tov

Ttokvycavov ov6aLg TtaQo. ttva tcov vitb dvo 7tl£VQccg

V7tOt£LVOV6C0V. drjXoV OVV i6tL tO 7tQ0£LQrj^£V0V.

X.

15 Tov 6xrjâtog tov 7t£QLy£yQa^îvov 7t£QL trjv 6(pat-

Qav rj i7tLtpdv£La ^^C^cav i6tLv 7] t£tQa7tXa6Ca roi) ^£-

yC6tov xvxXov tcov iv tfj ^cpaCQcc.

£6to yccQ 7] t£ 6(patQa xal 6 xvxXog xal td dXXa

td avtd totg 7tQ6t£QOv 7tQOX£LîvoLg' xal 6 A xvxXog

20 l'60g tfj i7tL(paV£CcC £6t(0 tOV 7tQ0X£L^£V0V 7t£QLy£yQa\l-

îvov 7t£QL tr^v iXd66ova 6(patQav.

i7t£l ovv iv tS EZHS xvxXip ^toXvycovov l66-

7tX£VQ0v iyyiyQa7ttai xal aQtLoycovLov ^ at i7tL^£vyvv-

ov6aL tdg tov TtoXvycovov 7tX£VQdg TtaQaXXrjXoL ov6ai

2h tfj Z@ TtQog trjv Z® tov avtov X6yov £xov6lv^ ov rj

®K TtQog KZ. l'6ov aQa i6tlv tb 7t£QL£x6^£vov <?%^/iia

2. In syllaba yyv- v supra scriptum est in F, manu 1.

8. rijs fmcpavELag F; corr. ed. Basil. 11. ^sv supra scriptum

manu 1 F. 14. x-d-' F. 23. uQTioycavLov expuncto l F(?).

24. nXsvQccg] ycavCag Torellius. 25. Z0] scripsi; ZE FBC*;


est rectangulo, quod continetur uno latere polygoni

et linea aequali omnibus lineis angulos polygoni iun-

gentibus parallelis lineae sub duo latera polygoni sub-

tendenti.

figura enim circum sphaeram minorem circum-

scripta sphaerae maiori inscripta est [prop. 28]. et

demonstratum est, superficiei figurae sphaerae in-

scriptae per superficies conicas comprehensae aequa-

lem esse conum, cuius radius quadratus aequalis sit

rectangulo, quod contineatur uno latere polygoni et

linea aequali omnibus lineis angulos polygoni iungen-

tibus parallelis lineae sub duo latera subtendenti [prop.

24]. constat igitur, quod supra dictum est.

XXX.

Superficies figurae circum sphaeram circumscriptae

maior est quam quadruplo maior circulo maximosphaerae.

sit enim et sphaera et circulus et cetera eadem,

quae antea posuimus; et circulus A aequalis sit super-

ficiei figurae datae circum sphaeram minorem circum-

scriptae.

quoniam igitur circulo EZH® polygonum inscrip-

tum est aequilaterum, cuius anguli pares sunt numero^

lineae angulos^) polygoni coniungentes lineae Z0parallelae ad lineam Z0 eandem rationem habent,

quam @K ad KZ [prop. 21]. itaque rectangulum,

1) U. p. 97 not. 1.

ez ed. Basil., Torellius. Z@] ZE F; corr. ed. Basil.* 26.

@K] K@ B man. 2, ed. Basil., Torellius.

126 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT A .

VTto t£ îccg TcXsvQag rov Tiokvycovov xal rrjg l6rig

TtaOcctg tatg iint^svyvvovCaLg tag yavCag rov TCoXvyfXi-

VOV t(p 7C£QtS%0îvG) V7tO tCJV Z&K. SotS 7] SK TOV

KsvtQov Toi} A kvkXov l6ov dvvatai ta vno Z&K.5 ^st^cov aQa s6tlv rj sk tov xsvtgov rov A Tivxkov

trjg @K' rj ds 0K iGrj £6tl tfj dLa^£tQ(p Toi) ABF/JxvxXov [dtTtXaCta yaQ £6tiv trjg X2J ov6rig £k tov

x£vtQov tov ABF^ xvkXov]. drjXov ovv^ ott ^^t^cov

£6tlv rj t£tQaitkd^tog 6 A xvxXog^ TOwe^^Tti/ r] iitt-

10 (pdv£ia Toi5 7t£Qty£yQa^^£vov îrniatog %£qI trjv ikd^-

6ova 6(patQav tov ^£yt6tov xvxlov tcov iv tfj 6(patQa.

Xa.

Ta TtSQtysyQannsvcp ^x^îatt TtsQl trjv iXd66ova

6(patQav t6og i6tt xcSvog 6 ^d6tv ^sv iiiov tov kvxXov

15 Tov t6ov tfj i7tt(pavsta tov 6xrjâtog, vilôg ds l6ov tfj

ix tov xsvtQov tr]g 6(paLQag.

TO yccQ TtSQLysyQa^^svov ^x^fjiicc 7tSQl trjv iXd66ova

6(patQav iyyiyQaTttat iv tfj ^stôvt 6(patQcc. tw ds

iyysyQa^^svG) 6%r}âti TtsQtsxoîvc) vtco tcov xavtxcov

1. l'6r}g] om. F; corr. B, Torellius. 3. Z@K] Z@, @KTorellius. 4. Z@K] Z0, @K Torellius. 12. Xa om. F.


quod continetur uno latere polygoni et linea aequali

omnibus lineis angulos polygoni iungentibus

^Z®X@K [Eucl. VI, 16].

quare radius circuli A quadratus aequalis estZ@X@K

[prop. 29]. itaque radius circuli A > ©K.^) sed linea

0K aequalis est diametro circuli ABFzl [u. Eutocius].

adparet igitur, circulum Aj h. e. superficiem figurae

circum sphaeram minorem circumscriptae; maiorem esse

quam quadruplo maiorem circulo maximo sphaerae.^)

XXXI.

Figurae circum sphaeram minorem circumscriptae

aequalis est conus basim habens circulum superficiei

figurae aequalem, altitudinem autem aequalem radio

sphaerae.

nam figura circum sphaeram minorem circumscripta

sphaerae maiori inscripta est. sed demonstratum est,

1) Qiiia Z0 > 0X [Eucl. III, 15].

2) Eucl. XII, 2; cfr. prop. 25 p. 112.

128 nEPI S<I»AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

i7tL(pavsi(ov dsdeixtca l'6os xmvog 6 âdv fiev exov roi/

hvkXov xov l'6ov trj imcpavsLa tov (?;^7Jfiarog, vilôs ds

l'6ov tri ccTto ror xsvtQOv trjg OtpatQag inl îav itlsv-

Qav tov Ttokvycavov xad^stcD rjy^svrj. avtrj ds i6tiv

5 t(Sr] trj ix tov xsvtQOv trjg iXd60ovog 6cpaiQag. drjlov

OVV i6tL tO TtQOtSxtSV.

nOPISMA.

Êk tovtov 8s cpavsQoVy otL tb (^xrjâ ro TtSQiyQa-

(po^svov TtSQl trjv ikd66ova GcpalQav [Lsttôv iOtLv rj

10 tStQa7tXcc6L0V 7CC0VOV tOV pCC6LV ^SV SXOVtOg tbv [iS-

yLOtov xvxkov tmv iv trj 6cpaLQa, v^pog ds trjv ix tov

xsvtQOv trig CcpaCQag. iTtSLdrj yccQ L0og ictl rco ^xtj-

liatL xcovog 6 ^ccOlv ^sv sxcov f^rjv tfj iitLcpavsCcc avtov,

vifjog ds l6ov [tfj ccTcb tov xsvtQOV trjg OcpaCQag iitl

15 ^Cav TtksvQccv tov Ttolvycovov xa\tst(p riy^svri^ tovt-

s6tLv] tfj ix roi) xsvtQOv tr^g ik(x,66ovog a(paCQag, s6tL

ds rj iitLcpdvsLa tov JtsQiysyQa^^svov (?;|j^fiarog jtsQL

trjv 6(patQav ^sC^cov rj tsxQaTtkaoCa rot) ^syC6tov xv-

xXov tcov iv tfj 6(paCQ(x, ^stôv ccQa tj tstQa7tXd6L0v

20 s6taL tb 6xrjâ tb TtSQiysyQa^^svov JtSQL trjv 6(patQav

tov xcDvov tov pd6Lv ^sv sxovtog tbv [isyL^tov xv-

xXov, vipog ds trjv ix tov xsvtQov trjg 6(paLQag, iitSLdr]

xal 6 x()jvog 6 l'6og avt^ fisCâv 7] tstQa:tXd6Log yC-

vstaL tov sCQrj^svov xoivov [pd6LV ts yccQ ^sCôva rj

25 tstQa7tla6Cav sxsl xal vipog t6ov\

7. noqiGyiu] mg. n F; Xy Torellius. 10. x6v\ addidi;

om. F, uulgo. 16. ilaoGOivoq F. 19. [isi^cov F; corr. BC.21. rov pccciv] tov addidi; om. F, uulgo.


figurae inscriptae per superficies conicas comprehensae

aequalem esse conum basim habentem circulum aequa-

lem superficiei figurae, altitudinem autem aequalem

lineae a centro sphaerae ad latus polygoni perpen-

diculari ductae [prop. 26]. haec autem aequalis est

radio sphaerae minoris. itaque constat propositum.

COROLLARIUM.

Hinc autem adparet, figuram circum sphaeram mi-

norem circumscriptam maiorem esse quam quadruplo

maiorem cono basim habenti circulum maximum sphae-

rae, altitudinem autem radium sphaerae. nam quo-

niam figurae aequalis est conus basim habens super-

ficiei eius aequalem, altitudinem autem aequalem [lineae

a centro sphaerae ad latus aliquod polygoni perpen-

diculari ductae, h. e.] radio minoris sphaerae [prop. 31],

superficies autem figurae circum sphaeram circumscrip-

tae maior quam quadruplo maior circulo maximo

sphaerae [prop. 30], erit igitur figura circum sphae-

ram circumscripta maior quam quadruplo maior cono

basim habenti circulum maximum, altitudinem autem

radium sphaerae, quoniam etiam conus ei aequalis

maior est quam quadruplo maior cono, quem comme-

morauimus [basim enim maiorem habet quam qua-

druplo maiorem et altitudinem aequalem] [Irj^ii. 1

p. 80].')

1) Hic quoque quaedam. subditiua esse uidentur; maximeuerba lin. 14: xij ano rov — 16: tovTsdtiv et finis ex sTtsidri

lin. 22 suspecta sunt. u. Neue Jahrb. SuJ)pl. XI p. 389. for-

tasse omnia uerba ex lin. 12: insLd^ usque ad finem delendasunt.


130 nEPI 2<E>AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

Eavfj

sv (3(paiQa ^XV^^ iyyeyQa^îvov xal alXo

TtSQtysyQaî^svov vtco oôlov TtoXvydvov tov avroi'

tQOJtov totg TtQOtSQOV xats0xsva6^sva , tj S7ti(pdvsia

5 Tot5 TtSQiysyQa^^svov ^x^âtog TtQog trjv tov syys-

yQa^lLSvov STticpdvsiav diTtkaOiOva Xoyov sxsi, jJTtSQ

r TtksvQa tov TtsQiysyQa^fisvov TtoXvycovov TtSQi tov

^syi6tov xvkXov TtQog triv JtXsvQav tov iyysyQaî^svov

jtolvyo3vov iv tc5 avta xvkXg). avto ds t6 ^xV^^ '^^

10 TtSQiysyQa^^svov JtQog t6 ^xVi^^ '^^ iyysyQa^îvov

tQi7tka6i0va Xoyov sxsi tov avtov Xoyov.

s6tG) iv 6q)aiQa xvxXog 6 ABF^^ xal iyysyQd(p^co

slg avtov Ttokvycavov looTtXsvQov , tb ds TtXijd-og tcov

TtksvQcsv avtov ^stQSi^d^co vTto tstQddog* xal alXo

15 7tSQiysyQd(p%^G) TtSQi tbv nvnXov oôiov tco iyysyQa^-

îvo), at ds tov jtsQtysyQa^îvov itoXvycovov TtksvQal

i7titl;avitco6av tov xvxXov xatd î6a tcjv 7tsQi(psQSi(ov

t(Bv dTtots^vofiivav vitb t^v tov iyysyQaîîvov Tto-

Xvycjvov 7tXsvQ()3v. at 6\ EH^ ZS did^stQOi TtQbg

20 OQd^dg s0tG)6av dXlrjXaig TOi xvxXov tov 7tSQiXa^-

pdvovtog tb 7tsQiysyQa^îvov ^toXvycovov xal oÔicog

xsi^svai tatg AF^ B/t diaîitQOig, xal vosiOd-oâv

iTti^svyvv^svai i7tl tdg aTtsvavtCov ycovCag tov 7toXv-

ycovov, aT yCyvovtai dkXriXaig ts xal tfj ZBzJ& 7taQ-

25 dkXriXoi. ^svov6r}g drj trjg EH diaîtQOv xal 7tsQi-

SVSX^St^CaV t^V 7tSQiîtQG)V taV 7toXvyCOVG)V TtSQi trjv

Tov xvxXov TtSQLCpiQSiav t6 ^sv iyysyQa^îvov OxV^^

1. X§'] X' F. 4. yiaTSGyisvaaiisvcc] censor lenensis; kccts-

cyiBvccGiisvoig F, uulgo. 10. xo syysyQafiiisvov] om. F, uulgo*;

habent Cr,, ed. Basil., Torellius. 16. at] sm F; corr. Torellius.


XXXIL

Si sphaerae alia figura inscripta, alia circumscripta

est polygonis similibus eodem modo^ quo supra, effectae,

superficies figurae circumscriptae ad superficiem in-

scriptae duplicem rationem habet, quam latus polygoni

circum circulum maximum circumscripti ad latus po-

lygoni eidem circulo inscripti. figura autem ipsa cir-

cumscripta ad figuram inscriptam habet rationem tri-

plicem, quam eadem ratio est.

sit in sphaera circulus [maximus]^) ABF^, et ei

inscribatur polygonum aequilaterum, cuius laterum

numerus per quattuor diuidi possit. et aliud circum

circulum circumscribatur inscripto simile. et latera

polygoni circumscripti circulum contingant in punctis

mediis arcuum a lateribus polygoni inscripti abscis-

orum. lineae autem EHy Z@ diametri inter se per-

pendiculares circuli polygonum circumscriptum com-

prebendentis sint et similiter positae AF^ Bzl dia-

metris. et fingantur lineae ad angulos inter se opposi-

tos polygoni ductae, quae et inter se et lineae ZB^®parallelae erunt. manente igitur diametro EH et

perimetris polygonorum circum ambitum circuli cir-

cumuolutis^) altera figura sphaerae inscripta, altera

1) Archimedes uix omiserat [isyLatos ante xvxAog lin. 12;

cfr. Quaest. Arch. p. 76. hoc ipsum uerbum addi uoluit Nizze.

2) Debebat esse lin. 26—27: (ista rmv tmv yivnlatv tcsql-

q)SQSLoav ; sed non dubito illud neglegenter dictum transscriptori

tribuere.

20. dXXTqXdLg] scripsi; aXXrjXoLg F, uulgo. 24. ZBJ®] Nizze;

EZ, @J F, uulgo. 27. nsQLipsQSLav] dLcc^stQOv Nizze. sy-

ysyQcc^lisvov] Nizze; nsQLysyQcc^\LSVov F, uulgo.

9*

132 nEPI S<ÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

€6tai, iv rfi (S^paLQa^ tb ds TtSQcyeyQa^^Bvov. detxtsov

01)1/5 OtL 7] ^£V £7tLCpKV£La tov TtSQtysyQa^^svov ^XV'

âtog TtQOS tijv BTtLcpdveLav tov iyysyQa^^svov dLTtla-

0Lova loyov ixsL^ iJTtsQ 7) EA JtQog AK^ to 8s ^xtiâ

5 ro TtsQLysyQa^^svov tQLJtlacCova koyov s%sl rov avtov

loyov.

s6tco yccQ 6 ^sv M ocvxXog L6og trj iTtLfpavsla tov

TtsQiysyQa^^svov JtsQl trjv 6(patQav, 6 ds N l'6og tfi

iitLCpavsLa rov iyysyQa^^svov. dvvatat aQa tov ^sv

10 M 7} ix rov KsvtQov t6 TtsQLSxo^svov vTto tijg EAxal tijg L6rjg 7ta6aLg tatg i7tL^svyvvov6aLg tag yovCag

tov 7tolvy(6vov tov JtsQLysyQa^^svov, rj ds ix tov icsv-

tQov tov N tb vTtb trjg AK xal trjg L6rjg 7td6aLg tatg

i7tLt,svyvvov6aLg tdg ycovCag, xal i^tsl oôtd i6tL td

15 7toXvy(ova ^ oÔLa dv sl'rj Tcal td TtSQLSxo^sva ^to^ta

vTtb t(ov SLQrj^svcov yQa^^cov \tovts6tL tciv iTtl tdg

ymvCag %al tcSv 7tlsvQcov tcjv ^toXvycovcov ^ S6ts tbv

avtbv Xoyov sxeiv 7tQbg dXXrjXa, ov sxovGlv al tcjv

TtoXvycovcav 7tXsvQal dvvd^SL. dXXd nal ov sxsl Xoyov

20 td 7tSQLSx6^sva vTtb tcav SLQrj^svcjv yQa^^csv, tovtov

SXOV0LV at ix tc3v xsvtQcov tcjv M, N ocvxXov TtQbg

dXXriXag dvvd^SL. ca6ts xal at toiv M, N did^stQOL

tbv avtbv SXOV6L Xoyov tatg t(DV TtoXvycavcov 7tXsvQatg.

ot 8s tcvkXol 7tQbg dXXrjXovg dL7tXa6Cova Xoyov sxov6lv

25 tmv dLa^stQcsVj OLtLVsg l6ol si6lv tatg i7tL(pavsCaLg tov

TtSQtysyQa^^svov Kal tov iyysyQa^^svov]. drjXov ovv,

otL rj iTtLcpdvsLa tov 7tSQLysyQa^^svov 6xi^âtog TtsQl

trjv 6(patQav 7tQbg trjv i7tL(pdvsLav tov iyysyQa^fisvov

1. nsQLysyQccfifiEvov] Nizze; syysyQccfifisvov F, uulgo. 13.

t6] tov per comp. F; corr. ed. Basil. 14. rdg y<oviag] tdgycovLocg tov noXvymvov tov syysyQa(i[iivov ed. Basil., Torel-


circumscripta erit. itaque demonstrandum est, super-

ficiem iigurae circumscriptae ad superficiem inscriptae

eam habere rationem quam EA^ : AK^j figuram autem

circumscriptam [ad inscriptam] ^) eam, quam

EA^ : AK\sit enim circulus M aequalis superficiei figurae

circum sphaeram circumscriptae , circulus autem Naequalis superficiei figurae inscriptae. itaque radius

circuli M quadratus aequalis est rectangulo, quod con-

tinetur linea EA et linea aequali omnibus lineis an-

gulos polygoni circumscripti iungentibus |[prop. 29],

radius autem circuli N quadratus aequalis rectangulo,

quod continetur linea AK ei linea aequali omnibus

lineis angulos [polygoni inscripti]^) iungentibus [prop.

24). et quoniam similia sunt polygona, etiam rectan-

gula comprehensa lineis, quas commemorauimus, simi-

lia erunt.^) adparet igitur, superficiem figurae circum

sphaeram circumscriptae ad superficiem figurae sphae-

rae inscriptae duplicem rationem habere, quam EA

1) Fortasse addendum erat lin. 5: nQog to syysyQaiifisvov^Archimedes certe haec uerba non omiserat.

2) Archimedes uix omiserat: tov nolvycovov rov iyysyQa(i-

(jLSvov lin. 14.

3) Nam triangula, in quae diuiduntur polygona similia, etipsa similia erunt (Eucl. VI, 20). quare lineae angulos iun-gentes, quae sibi respondent, eam babebunt rationem, quamEA ad AK (Eucl. VI, 4); itaque etiam omnes lineae illae po-lygoni circumscripti ad omnes polygoni inscripti eandem ratio-

nem habebunt (Eucl. V, 12); quare similia sunt rectangula illa

(Eucl. VI def. 1), et eam rationem habebunt, quam EA^-.AK^(Eucl. VI, 20).

lius; ,4nscriptae" Cr. 17. xat] rj F; corr. Torellius. rmvnXsvQcov] Tdg nXsvQag per comp. F; corr. Torellius. 18. aX-Xi^Xag F ; corr. ed. Basil.

134 nEPI 2ÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

C%riiLarog etg rrjv OcpaiQav dLTtla^Cova koyov sxî, t^tcsq

rj EA TCQog AK. — ailri^p^^ciâv drj dvo aavoL oi O,

S, xal e0rG) 6 ^sv S TcSvog pd6Lv sxcov rov S xvkXov

Z M

10OV ra M, 6 ds O ^dcLV sx(ov rbv O kvkIov l6ov

5 np N, vilôg ds 6 ^lv S ^covog rrjv stc rov xsvrôv

rrjg OgâLQag, 6 ds O rijv dito rov Ksvrgov STtl rrjv

AK xdd^srov i^y^svrjv. L6og aga 6 ^sv S xcovog rc5

GxriârL rip TtSQLysyQa^^svc) tcsqI rrjv GcpatQav^ 6 ds

O ra syysyQaii^svG). dsSsLxraL yaQ ravra. xal sjtsi

10 oÔLd s6rL rd Ttolvyova^ rbv avrbv sxsl Xoyov rj EATtQbg AK^ ov rj sk roi) xsvrQOv r^g 6cpaLQag TtQbg rrjv

djtb rov TtsvrQOv r^g (ScpaLQag sTtl rrjv AK xddsrov

dyo^svrjv. rbv avrbv aQa koyov sxsi rb vtlôg rov S%(6vov TtQbg ro vipog rov O aojvov, ov rj EA TtQbg AK.

15 sxsL ds xal rj dLd^srQog rov M xvkIov JtQbg rrjv did-

^srQOv roi; N tcvxXov Koyov^ ov s^sl rj EA JtQbg AK.r^v aQa S^ O kcovov. at dLd^srQOL rSv ^doscov rotg

vips^L rbv avrbv sxovOl Xoyov [oiiolol aQa sl^Cv^ xal

dLa rovro rQLTtlaoCova Xoyov s%sl 6 S ^tc^vog TtQbg rbv

3. S kMov] ^ om. Torellius. 4. O] B F. O xvxlov]


Sid j4K [h. e. quam latus polygoiii circumscripti ad

latus inscripti].^)

sumantur porro duo coni O, S, et conus S basim

habeat S circulum circulo M aequalem, O autem conus

circulum O circulo N aequalem; altitudinem autem

conus S habeat radium sphaerae, conus autem O li-

neam a centro ad lineam AK perpendicularem ductam.

quarre conus S aequalis est figurae circum sphaeram

circumscriptae [prop. 31], O autem conus figurae in-

scriptae [prop. 26]. haec enim demonstrata sunt. et

quoniam polygona similia sunt [ex hypothesi], eandem

habet rationem EA ad AK, quam radius sphaerae ad

lineam a centro sphaerae ad AK perpendicularem

ductam.^) eandem igitur rationem habet altitudo coni Sad altitudinem coni O, quam EA ad AK. sed etiam dia-

metrus circuliM ad diametrum circuli iVeam habet ratio-

nem, quam EA dA AK [u. Eutocius]. itaque bases co-

norum S, O eandem rationem habent, quam altitudines.

[similes igitur sunt] [A-^ftft. 5 p. ^^]. quare conus Sad conum O triplicem rationem habet, quam diametrus

circuli M ad diametrum circuli N [Eucl. XII, 12].

1) Nam circuli M, N eam habent rationem, quam diametrisiue radii quadrati (Eucl. XII , 2) ,

quae est EA'^ : AK^, quiaradii quadrati aequales sunt rectangulis illis, de quibus u, p. 133,

not. 3; sed ex hypothesi circulus M aequalis est superficiei

figurae circumscriptae, circulus N superficiei figurae inscriptae.

2) Quia triangula ad centra polygonorum similium posita

et ipsa similia sunt; tum u. Eucl. YI, 4.

O om. Torellius. 9. ya^] ovv F; corr. •Torellius. 14. O]om. FC*. 19. rovro] scripsi; ro ccvro F, uulgo; avro To-rellius.

136 HEPI 2ÂIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

O K^vov, i]7CeQ rj dtd^stQog rov M xvxXov TCQog trjv

did^stQOv Tou N xvxXov. dijXov ovv, oti xal t6 (Sxijâ

t6 nsQiysyQa^êvov tiqos tb iyysyQa^êvov T^tjrAa-

0LOva Koyov s%sl^ 7]7tsQ rj EA TtQog AK.

5 W'nderis 0(patQag r] S7ii(pdvsia tstQanXacCa s0tl tou

ILsyCctov kvkXov tcov sv avtfj,

s6t(o yaQ afpalQd tig^ xal s6tG) tstQankdOiog tov

^syi0tov xvxlov 6 A. Isyco, oVt 6 A l'0og s0tl tfj sm-

10 cpavsCa trjg 0(paCQag.

si yaQ ^rj, ijtoc ^sCtcov s0tiv ^ sKd00(OV, s0tG}

TtQOtSQOv ^sCiG)v r] s7Ci(pdvsia trjg 0(paCQag Toi) nvxXov.

s0tt Sr] dvo ^sysd^rj avi0a r] ts sTticpdvsta trjg 0(paCQag

xal 6 A xvxXog. dvvatbv ccQa s0tl Ka^slv dvo sv^sCag

15 dvC0ovg^ S0ts tr]v ^sCôva itQbg tr]v sXd00ova koyov

s%siv sXd00ova tov, ov s^si r] S7ii(pdvsia trjg 0(paCQag

TtQbg tbv kvkXov. slXr](p^Gi0av ai B, T, xal twv 5,

5. la F; W Torellius. 8. fWo)] cog F; corr. B. 12.

nqoxBfôv ik,iCl<ov] TCQOxsqov fiSitov F.


adparet igitur, etiam figuram circumscriptam ad figu-

ram inscriptam triplicem rationem habituram esse,

quam EA ad AK})

XXXIII.

Cuiusuis sphaerae superficies quadruplo maior est

circulo in ea maximo.^)]

sit enim sphaera, et sit A circulus quadruplo maior

circulo maximo. dico, circulum A aequalem esse su-

perficiei sphaerae.

si enim aequalis non est, aut maior aut minor est.

prius superficies sphaerae maior sit circulo. duae igi-

tur magnitudines inaequales sunt, superficies sphaerae

et circulus A, fieri igitur potest, ut sumantur duae

lineae inaequales, ita ut maior linea ad minorem ra-

tionem habeat minorem, quam superficies sphaerae

ad circulum [prop. 2]. sumantur lineae B^ F, et inter

1) Quia ex hypothesi coni ^, O figuris aequales sunt.

2) Cfr. Simplicius ad Aristot. IV p. 508, b; Pappus I p. 360.


r ^sdrj avdkoyov a(Stco 7] A. vosiOd^co ds %al r] (ScpaiQa

iTCLTtedc) tatiiriîvT] dia rov TcevtQOv xata rov EZH0Kvxlov voeL0xto de xal sig tov nvxkov iyyeyQaiiîvov

%al TtSQtyeyQa^îvov Ttolvycovov, ca6te oôlov eivai

5 To TCeQiyeyQa^îvov ta iyyeyQa^îvc) Ttokvycjvc) Kal

trjv tov TteQiyeyQa^îvov nXevQav iXaGGova koyov

eyêiv rot;, ov eyei rj B TtQog trjv z/ [xal 6 diitXaOiog

aQa koyog tov di7tXa6iov Xoyov iotlv ikcc66c3v. xal

tov êv trjg B TtQog /i di7tkcc6i6g iotiv 6 trjg B TtQog

10 trjv r, tov de trjg itkevQag tov TteQiyeyQaîiivov tco-

kvycovov TtQog trjv TtkevQav Toi5 iyyeyQa^îvov diTtlcc-

6iog 6 trjg ijticpaveiag tov TteQtyeyQay^îvov 6teQeov

TtQog trjv ijticpccveiav tov iyyeyQa^îvov^ rj iiticpdveia

ccQa tov TteQiyeyQa^îvov 6x7]âtog TteQl trjv CcpalQav

15 TtQog trjv iiticpdveiav tov iyyeyQa^îvov a^tlâtog

iXd60ova koyov eyei, rjTtSQ rj imcpdveia trjg CcpatQag

TtQog rov A kvkXoV OTteQ dtoitov, rj fisv yccQ im-

cpdvsia tov JtSQiysyQa^îvov trjg iiticpavsCag trjg 6cpai-

Qag ^Si^cov i6tiv, rj ds iiiicpdvsia tov iyysyQa^îvov

20 6x7]âtog tov A kvkXov iXdoâv i6ti [didsixtat yccQ

7j iiticpdvsia tov iyysyQa^îvov iXd66a)v rov ^syi6tov

kvkXov tciv iv trj ocpaiQcc ij tstQaTtXaCia^ tov 6s fis-

yCctov tcvkIov tstQajtkdîog ictiv 6 A xvKXog]. ovk

ccQa 7] iiticpdvsia tr]g 6cpaiQag ^siôv i6ti tov A25 kvkXov. — kiyo dr]^ oti ov8s ild66ov. Si yccQ dv-

vatov, s6tco. Kal bôCog svQ^^d^coâv al B^ V svd^stai,

S6ts trjv B TtQog F iXd66ova koyov sysiv tov, 6v sysi

6 A KVKlog TtQog trjv iiticpdvsiav trjg 6cpaCQag^ Kal

tcjv -B, r î^rj dvdkoyov rj A' kcA iyysyQdcpâ Kal

4. slvocC] per comp. in rasura F. 10. tov de trjg] scripsi;

Tijs ds F, uulgo.


eas media proportionalis sit z/ linea. fingatur autem

etiam sphaera per centrum secta per circulum EZH®.fi.ngatur autem etiam polygonum circulo inscriptum

et aliud circumscriptum^ ita ut polygonum circumscrip-

tum inscripto simile sit, et latus polygoni circumscripti

[ad latus inscripti]^) minorem rationem habeat, quam

5 ad ^ [pi^op. 3]. quare^) superficies figurae circum

sphaeram circumscriptae ad superficiem figurae in-

scriptae minorem rationem habet, quam superficies

sphaerae ad circulum ^. quod fieri non potest. namsuperficies figurae circumscriptae maior est superficie

sphaerae [prop. 28 p. 122], sed superficies figurae in-

scriptae minor est circulo A [prop. 25].^) itaque su-

perficies sphaerae circulo A maior non est.

dico iam, ne minorem quidem eam esse. si enim

fieri potest, minor sit. et ut supra inueniantur lineae

B^ r, ita ut 5 ad F minorem rationem habeat,

quam circulus A ad superficiem sphaerae [prop. 2], et

linea z/ media inter B, F proportionalis. et inscri-

1) Arcliimedes non omiserat: ngog rrjv rov iyysyQccfifiEvov

lin. 6; sed cum haec omissio toties occurrat, satius duxi, hancneglegentiam transscriptori tribuere, quam cum Mzzio haecuerba omnibus locis addere.

2) Nam latera polygonorum quadrata et eam habent ra-

tionem, quam B^ : z/^, h. e. quam B : F (Eucl. VI, 20 noQ. 2),

et eam, quam superficies figurarum (prop. 32). sed quibus hoccontinetur, uerba lin. 7— 13 fortasse subditiua. sunt.

3) Repetitionem inutilem prop. 25 deleo (lin. 20—23).

TtSQtysyQd^pd^co ndhv^ Sgts rrjv rot) TiSQLysyQaîisvov

ild00ova koyov s%slv tov r% B TCQog z/ [xccl xd

di7t^,d0La aQa]. r^ s7tL(pdvsLa dâ roi; TCSQLysyQa^îsvov

TtQog rrjv sJtKpdvsLav rov syysyQa^^svov sXdocova

5 Xoyov sxsL, 7]7tsQ 6 A xvxXog Ttgog rriv STtKpdvstav

trig 6(paLQag' oitsQ dxoTtov, rj ^sv yaQ xov nsQLys-

yQa^^svov snL(pdvsia ^sl^cov s6xl xov A xvxXov, rj ds

xov syysyQaîisvov sldooav xr]g STtLtpavsCag xrjg acpaLQag.

ovK aQa ovds sld<30(ov rj STtLCpdvsLa xr^g 6(paLQag

10 rov A kvkXov. sdsLx^fj ^s, oxc ovds ^sl^cov. rj ccQa

STtLCpdvsLa xrjg 6(paLQag LOrj s6xl r« A xvxXa, xovxsOxl

rc5 xsxQajtXa^LG) xov lisyCcxov kvxXov.

ndca ^fpalQa xsxQaTtXaGCa s6xl xdvov xov ^diSLV

15 ^sv sôvxog lOrjv ra5 ^syCoxa kvkXc) rcov sv xrj 6(paCQcCj

vôg ds xr^v sk xov ksvxqov xrjg 6(paCQag.

s6x(D yaQ 6(paLQd XLg^ xal sv avxfj ^syL6xog KVKlog

6 ABFjd. SL ovv ^ri s6xlv rj 6(paLQa xsxQajtXa6Ca

xov SLQrj^svov K(6vov, s6XG)^ SL dvvaxov, ^sC^cav ^ xs-

20 xQa7tXa6Ca. s6xco ds 6 S KtDvog pd6Lv ^sv sxcav xsxqu-

7tXa6Cav xov ABFz/ kvkXov, vipog ds l6ov xfj sk xov

KSVXQOV xrjg 6(paCQag. ^sC^cjv ovv s6xlv rj 6cpaLQa xov

S' K(6vov. s6xaL drj dvo ^sysd^rj dvL6a 7] xs 6cpaLQa

Kal 6 Kcovog. dvvaxov ovv dvo sv%sCag Xa^stv dvC6ovg

25 C36XS sxsLV xriv ^sCôva TtQog xr]v skd66ova ikd66ova Ad-

1. naXiv] ndXiv noXvycovov Torellius. t?Jv] tT]v nXsvQccv

Torellius. 2. rov] ro F; corr. Torellius. ^ 13. X§' F; X?'

Torellius. 19. (istôv F. 25. iXd66ovcc Xoyov] scripsi; ô-

yov F, uulgo; Xoyov iXd^cova B, ed. Basil., Torellius.


batur et circumscribatur rursus polygonum, ita ut la-

tus circumscripti [ad latus inscripti]^) minorem ratio-

nem habeat, quam B did ^ [pi^op. 3]. itaque^) super-

ficies figurae circumscriptae ad superficiem inscriptae

minorem rationem habet, quam circulus A ad super-

ficiem sphaerae. quod fieri non potest. nam super-

ficies figurae circumscriptae maior est circulo A [prop.

30]. sed superficies inscriptae minor est superficie

sphaerae [prop. 23 p. 102].

itaque ne minor quidem est superficies sphaerae

circulo A. demonstratum autem est, ne maiorem qui-

dem eam esse. itaque superficies sphaerae aequalis est

circulo Af h. e. quadruplo maior circulo maximo.

XXXIV.

Quaeuis sphaera quadruplo maior est cono basim

habenti circulo maximo sphaerae aequalem, altitudi-

nem autem radium sphaerae.^)

sit enim sphaera et in ea circulus maximus ABF^.si igitur sphaera quadruplo maior cono, quem com-

memorauimus, non est, sit, si fieri potest, maior quamquadruplo maior. conus autem tS basim habeat qua-

druplo maiorem circulo ABFziy altitudinem autem

radio sphaerae aequalem. itaque sphaera maior est

cono S. erunt igitur duae magnitudines inaequales,

sphaera et conus. potest igitur fieri, ut sumantur duae

1) Cfr. not. 1, p. 139.

2) Sequitur ex Eucl. VI, 20 noQ. 2 et prop. 32, ut not. 2,

p. 139 ; sed uerba praecedentia lin. 2—3 l^iic quoque subditiuasunt; nihil enim continent nisi neglegentem et imperfectamsignificationem uerborum, quae not. 2, p. 139 damnaui.

3) Cfr. Pappus I p. 360.


jrejs:

yov rov, ov sxsv 7] 0(paiQa TCQog xov S oicSvov. e6tco6av

ovv aC K^ Hj at ds 7, @ ElXYniîvai w6te ta L6a aXXy\-

Kav vTteQexsLV trjv K rijg I xal tr^v I trjg & Kal r^v

& trig H. voeiG^co de xal eig tov ABFzt kvkXov

5 eyyeyQa^êvov TCoXvyavov ^ ov ro TcXrjdôg tSv nXev-

QCJV êtQei^dô vTtb tetQddog^ xal aXXo JteQtyeyQa^-

êvov oôcov rc5 eyyeyQa^êvcp^ xad^ccTteQ eitl tcav jtQO-

teQOV ri de rot» TteQcyeyQa^êvov noXvycivov TtXevQcc

TtQog trjv roi) eyyeyQa^-

10 AT r^^B "^^^^Â fievov iXdooova Xoyov

e%itG} rov, ov exec rj KTtQog I. xal e6tc3(Sav

at AF^ BA didêtQOL

TtQog OQd^dg dXXi^XaLg.

15I

^^^\ ^^-^-^^ sl ovv ^svov0rjg trjg

AT dLaêtQOV JteQL-

eveidêCri to ejtLTtedov, iv a td TtoXvycjva, e^tac

0%riâta to êv iyyeyQa^îvov iv tfj 0q)aLQa, ro

de TteQLyeyQa^îvov , xal eêL tb TteQLyeyQa^îvov

20 TtQog ro iyyeyQa^îvov tQLTtXa^Cova Xoyov, 7]7teQ rj

jtXevQd tov TteQLyeyQa^êvov TtQog tr]v tov iyyeyQa^-

liivov elg rov ABFzJ xvxXov. rj de TtXevQa TtQog

trjv TtXevQdv iXd06ova Xoyov sxsl, rJTtSQ r K TtQog

trjv I' S0ts tb Oxrjiia tb JtSQLysyQa^îvov iXdooova

25 Xoyov sxsL 7] tQLTiXacCova tov K TtQog I. sxsl ds xal

ri K TtQbg H ^sCôva Xoyov r] tQLTtXd^LOv tov, ov sxst,

rj K TtQbg I [rovro yaQ cpavsQbv dta Xrj^^dtcov].

TtoXXa aQa tb TtsQLyQacpsv TtQbg tb iyyQacpsv iXdccova

3. 0] H F. 13. AB, rj F. Litteras in circulo positas

et polygona om. F. 18. cxiqiiata] scripsi; ro Gxrificc F, uulgo.

27. dLdlXrjfiâtoav F.

DE SPHAERA ET.CYLINDRO I. 143

lineae inaequales, ita ut maior linea ad minorem ra-

tionem habeat minorem, quam sphaera ad conum S[prop. 2]. sint igitur lineae K, if, et lineae /, ® ita

sumantur, ut aequali spatio excedat K linea lineam /,

/ lineam @, & lineam H. fingatur autem etiam cir-

culo ABT/I polygonum inscriptum, cuius laterum

numerus per quattuor diuidi possit, et aliud circum-

scriptum inscripto simile, sicut antea. et latus poly-

goni circumscripti ad latus inscripti minorem rationem

habeat, quam K : I [prop. 3]. et sint diametri AFyB/1 inter se perpendiculares. si igitur manente dia-

metro AF circumuoluitur^)

planum, in quo sunt po-

lygona, orientur figurae, altera sphaerae inscripta, altera

circumscripta , et habebit figura circumscripta ad in-

scriptam triplicem rationem, quam latus polygoni cir-

cumscripti ad latus inscripti circulo ABFJ [prop. 32],

sed latera minorem habent rationem quam K : I [ex

hypothesi]. quare figura circumscripta [ad inscriptam] ^)

minorem rationem habet quam K^ : I^. sed etiam

K.H^K^iI^ [u. Eutocius]. itaque figura circum-

scripta ad inscriptam multo minorem rationem habet,

1) Optatiuus nsQvsvsx^strj posterioris temporis scriptoribus

aptior fortasse transscriptori debetur, cum Archimedes scripsis-

set: sl' %a— nsqisvsx^fi.

2) U. p. 139 not. 1.

144 nEPI SAIPAS KAI KTAINAPOT A'.

Xoyov £%£fc tov^ ov e%Bi rj K TCQog H. rj ds K TtQog

H ikd66ova koyov sxî, tJtcsq tj 6(patQa TtQog tov Sxdjvov xal ivaXka^' otisq ddvvatov. to yaQ <5x7}ia

to TtSQiysyQa^îvov (istôv i^ti trjg OcpaLQag., to ds iy-

5 ysyQa^^svov ska60ov tov S ^(xtvov [diotL 6 ^sv 3 ^covog

tstQaitldCiog icti rot» zcoi/ot» tov ^d6iv ^sv sôvtog l'6rjv

Tc5 ABF/i xvxkG), v-iljog. ds i'6ov tij ix rov xsvtQOv

trjg 6(paiQag^ to ds iyysyQa^^svov ^^^fta sXa66ov tov

siQrjîvov xcovov ^ tstQa7tXd6i0v]. ovx aQa ^Si^cav 7]

10 tstQa7tka6ia rj 6(patQa tov siQrj^svov. — s6tc) drj^ sl

dvvatov, iXd66av r] tstQa7tXa6ia' S6ts ikd66(X)v i6tlv

rj 6(patQa toi 3 xoavov. siXrj^pd^coâv drj aC K^ Hsvd^stai, S6ts trjv K ^siôva sivat trjg H xal iXd6-

6ova loyov s^siv TtQog avtrjv tov^ ov s%si 6 S xcovog

15 TtQog trjv 6(patQav. xal at 0, I ixKSi6dô6av^ xad^cog

TtQotsQov, xal sig tov ABF/i xvxkov vosi^dô itokv-

ycovov iyysyQa^îvov xal dlXo TtSQiysyQa^^svov, oa6ts

tr]v TtXsvQav tov JtSQiysyQa^^svov JtQog trjv JtlsvQDcv

tov iyysyQa^^svov iXd66ova koyov s^siv^ rjjtSQ rj K20 TtQog I' xal td akka xats^xsvd^dô tbv avtov tQOJtov

totg TtQotSQOv. si,si ccQa xal to itsQiysyQa^^svov 6ts-

Qsov 6xrjâ TtQog ro iyysyQa^^svov tQi7tka6iova koyov,

rjTtSQ rj TtksvQcc tov TtsQiysyQa^^svov itSQl tov ABFAxvxkov JtQog trfv tov syysyQa^^svov. rj ds JtXsvQa

25 TtQog trjv TtksvQav ikd66ova koyov sxsi, 7]7tSQ rj KTtQog I. s%si ovv tb 6xrjâ to TtsQiysyQan^svov TtQog

ro iyysyQa^^svov ikd66ova koyov 7] tQi7tkd6i0v tov,

ov sxsi 7] K TtQog trjv I. rj ds K ^tQog trjv H ^si-

10. BtQrjfisvov] slQTjfiivov Koavov? S^ st] scripsi; rj F;sl uulgo. 20. âTecHSvccGd^co] scripsi; KCiTSGnsv F, manus 2

stellulam adposuit et mg. scripsit ccGfisvcc', KaTSCHSvaefisvoc


quam K : if; sed K &d H minorem rationem habet,

quam sphaera ad conum S [ex hypothesi] [quare figura

circumscripta ad inscriptam minorem rationem habet,

quam sphaera ad conum S]- et uicissim [figura cir-

cumscripta ad sphaeram minorem rationem habet, quam

figura inscripta ad conum]. quod fieri non potest.

nam figura circumscripta maior est sphaera [prop. 28

p. 122], sed inscripta minor cono S [prop. 27]. itaque

sphaera maior non est quam quadruplo maior [cono],

quem commemorauimus.

iam, si fieri potest, minor sit quam quadruplo

maior. sphaera igitur minor est cono S. sumantur

igitur lineae K^ H, ita ut K linea maior sit linea Het minorem ad eam rationem habeat, quam conus Sad sphaeram [prop. 2]. et ponantur lineae 0, J, ut

supra [p. 142, 2]. et fingatur polygonum oixQvlo ABF^inscriptum et aliud circumscriptum, ita ut latus poly-

goni circumscripti ad latus inscripti minorem rationem

habeat, quam K : I. et cetera eodem modo, quo antea,

comparentur. habebit igitur etiam^) figura solida cir-

cumscripta ad inscriptam rationem triplicem, quamlatus figurae circum ABF^ circumscriptae ad latus

inscriptae [prop. 32]. sed latera minorem rationem

habent, quam K : I [ex hypothesi]. habebit igitur

figura circumscripta ad inscriptam minorem rationem,

quam K^ : I^. sed jfiC : if> if^ : I^ [u. Eutocius]. quare

figura circumscripta ad inscriptam minorem rationem

1) xat lin, 21 uidetur significare: nunc quoque, ut antea.

uulgo. 28. TtQOs rriv I' rj ds K'] om. F; corr. ed. Basil. et

B man. 2.

ArcMmedes, ed. Heiberg. I. 10

146 HEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT A'.

ôva^ Xoyov £%eL ri XQiTckd^LOv rov, ov £%£l ri K 7Cq6$

f^v I' Sote iXd66ova Xoyov E%ai t6 6xV^^ ''^^ tcsqc-

yeyQa^^svov TtQog to iyyeyQa^îvov^ tj rj K TCQog triv

H. rj de K TCQog triv H iXd66ova loyov exec, 7] 6 S6 xcovos TCQog tr}v 6(patQav' OTCeQ ddvvatov. to fiev yccQ

iyyeyQa^êvov eXa666v i6xi xi\g 6g)acQag, tb de TCeQc-

yeyQa^îvov (letôv tov S ncovov. ovk aQa ovde iXd6-

6C0V i6tlv 7] texQa7tka6Ca rj 6(patQa rov tcoovov rov

pd6iv êv e%ovxog t6riv rc5 ABF^ xvkXg), vtlôg de

10 xr^v l'6rjv xfj ix. xov xivxQov xrjg 6(paLQag' ideCxd^ri

diy oxL ovde êC^cov xexQajcXa6Ca aQa.

nOPISMA.

nQodedeLyîvov de xovtov (paveQov^ otL jcdg tcv-

XcvdQog pd6LV êv excov tbv êyL6tov xvxXov toov iv

15 xri 6q)aCQCc^ vtlôg de l'6ov xij dLaîxQ(p xrig 6(paCQag

rjiiLoXLog i6XL xrjg 6cpaCQag^ xal rj iiCLcpdveLa avxov

îexd xoov pd6ecov rj^LoXCa xrjg iiCL^paveCag xrjg 6(paLQag.

6 jiev yccQ xvlLvdQog 6 TCQoeLQrjîvog eâicXd^Log

i6XL xov Koovov xov pd6Lv êv exovxog xrjv avxrjvy

20 vxlfog de l'6ov xrj ix xov xivxQov, rj de 6(patQa 8i-

deLKxac xov avxov 'xoovov xexQanXa^Ca ov6a' drjXov

ovVy oXL 6 xvXLvdQog rj^LoXLog i6XL xrjg 6cpaCQag. TcdXcv

iicel rj iTCLCpdveLa xov xvXCvdQOv %coQlg xcov ^d6ecov

l'6ri dideLXxaL xvxXcp^ ov r\ ix xov xivxQOV î6rj dvd-

25 Xoyov i6tL trg tov xvXCvSqov TCXevQag xal tijg dca-

liitQOV trjg ^dêcog, rov de etQfjîvov xvXCvSqov rov

3. Jl] HK F. 5. xoroff F. 12. noqLOâ om. F; hJ'

Torellius.


habet, quam K : H. sed iC ad if minorem rationem

habet, quam conus 3 ad sphaeram [ex hypothesi]

[itaque figura circumscripta ad inscriptam minorem

rationem habet, quam conus S ad sphaeram]. quod

fieri non potest. nam figura inscripta minor est sphaera

[prop. 23 p. 102], sed figura circumscripta maior cono

3 [prop. 31 TioQiGiia p. 128]. itaque sphaera ne minor

quidem est quam quadruplo maior cono basim habenti

aequalem circulo ABFjdy altitudinem autem aequalem

radio sphaerae. demonstratum autem est, ne maiorem

quidem eam esse. itaque quadrupla est.

C0R0LLARIUM.1)

His autem ante demonstratis adparet, quemuis

cylindrum basim habentem circulum maximum sphae-

rae, altitudinem autem diametro sphaerae aequalem

sesquialterum esse sphaerae, et superficiem eius ses-

quialteram superficiei sphaerae.

nam cylindrus, quem commemorauimus, sexcuplus

est coni eandem basim habentis, altitudinem autem

aequalem radio^); sed demonstratum est, sphaeram

quadruplo maiorem esse eodem cono [prop. 34]. ad-

paret igitur, cylindrum sphaerae sesquialterum esse.

rursus quoniam demonstratum est, superficiem cylindri

praeter bases aequalem esse circulo, cuius radius media

sit proportionalis inter latus cylindri et diametrum

1) Citatur ab Herone stereom. I, 1 (cfr. I, 8, 2), Proclo adEucl. p. 71, 18, SimplLcio ad Arist. IV p. 608, b. alio mododemonstrat Pappus I p. 408.

2) Cylindrus enim triplo maior est cono, cuius basis est

circulus maximus, altitudo autem diametrus sphaerae (Eucl. XII,

10); sed hic conus duplo maior est cono, cuius basis eademest, altitudo autem radius (A^ftft. 1 p. 80).

10*

148 nEPI S<ÂIPAS KAI KTAINAPOT A'.

TtsQl ttjv 6(palQav rj tcXsvqcc l'6r} i6tl tfj diccfietQC) r^g

^d^scag [drilov^ oti rj ê6ri ccvzdav dvccXoyov l'6rj yC-

vetai trj diaêtQG) trjg ^dêcog], 6 de xvTckog 6 tr^v ix

tov TcevtQOv eycav l'6rjv tfj diaêtQC) trjg pdêcog te-

5 tQaTtXd^Log e6tL trjg ^dêcog, tovte^ti tov êyC^tov

kvkXov tcov ev tfj ^cpaCQcc^ e^tai ccQa xal rj eTtLtpdveia

tov xvXCvdQOv x^Q^^S ''^c^v ^dêcov tetQaTcXadCa tov

lieyC6tov xvxXov. oXrj ccQa êta tcov ^dêcov rj eitL-

cpdveLa tov xvXCvSqov eâitXadCa E6taL tov fieyCctov

10 xvkXov. e6tLV de xal rj trjg OcpaCQag iTtLCpdveLa tetQa-

TcXa^Ca tov êyC^tov kvkXov. oXrj ccQa rj iitLtpdveLa tov

KvXCvdQOV ri^LoXCa i6tl trjg iitLCpaveCag trjg dcpaCQag.

Xe.

^H i7tL(pdveLa tov iyyeyQa^êvov îriâtog elg t^rjâ

15 6q)aCQag l'6rj i6tl kvkXc), ov r} iK tov xevtQOv l'6ov

dvvataL tco JteQLexoêvco vjto te îdg itXevQdg tov

iyyeyQa^êvov jtoXvycovov iv ta tîrjâtL rov êyC6tov

kvkXov Kal trjg l'6rig 7td6aLg tatg TtaQaXXi^Xotg tfj ^dêt

tov t^T^âtog 6vv tfj r}^L6eCa trjg tov tî^âtog pd6ecog.

20 e6tco 6(paLQa^ xal iv avtfj t^rjâ, ov §d6Lg 6

TteQL tr^vAH KVKXog. iyyeyQdcpd^co 6%r]iia eCg avto, olov

el'Qr}taL, 7tsQLe%6êvov vTto kcovlkcov iitLcpaveicov' Kal

^syL6tog KVKXog 6 AH&, Kal aQtLOTtXevQov TtoXvycovov

ro AFE&ZAH %coQLg trjg AH itXevQccg' kol eCXrjcp^co

25 KVKXog 6 A) ov rj iK tov KevtQOv l'6ov dvvatac ta

2. ycvstaL'] yccQ per comp. F; corr. B. 5. xovteati] trjs

F; corr. Torellius. 13. Xy F; Kf]' Torellius. 14. tfirjficc

6q)aLQug'] scripsi; to tfirjfia trjg GcpuLQccg F, uulgo. 16. rc5]

To F. 25. tm] to F.


basis [prop. 13], cylindri autem, quem commemoraui-

mus, sphaeram comprehendentis latus aequale est dia-

metro basis [adparet^), lineam inter ea mediam pro-

portionalem aequalem esse diametro basis (Eucl.VI, 16)],

circulus autem radium habens diametro basis aequalem

quadruplo maior est basi [Eucl. XII, 2], h. e. circulo

maximo sphaerae, erit igitur etiam superficies cylindri

praeter bases quadruplo maior circulo maximo. tota

igitur superficies cylindri una cum basibus sexcuplo

maior erit circulo maximo. sed est etiam superficies

sphaerae quadruplo maior circulo maximo [prop. 33].

itaque tota superficies cylindri sesquialtera est super-

ficiei sphaerae.

XXXY.

Superficies figurae segmento sphaerae inscriptae

aequalis est circulo, cuius radius quadratus aequalis

est rectangulo, quod continetur uno latere polygoni

segmento circuli maximi inscripti et linea aequali

omnibus lineis basi segmenti parallelis una cum di-

midia basi segmenti.

sit sphaera, et in ea segmentum, cuius basis cir-

culus circum AH descriptus. inscribatur ei polygo-

num, quale diximus, per superficies conicas compre-

hensum. et circulus maximus siiAH®, etAFE^Z^Hpolygonum [aequilaterum]^), cuius latera paria sint

1) Praue dicitur, inde quod superficies cylindri aequalissit circulo illi {sTtSL p. 146, 23) colligi posse, mediam propor-tionalem diametro aequalem esse. itaque uierba drjXov lin. 2

—

§(xas(og lin. 3 transscriptori tribui.

2) Hoc ab Arcbimede non praetermissum fuit (Quaest. Arch.p. 76); Nizzius coniecit: iGonXsvgov xs xal aQtionX,

150 nEPI SÂIPAi; KAI KTAINAPOT A'.

TtsQiSxo^Bvc) vjto ts tijg AF itXsvQccg xal vTto 7tcc6div

xmv EZj r/J }cal sxi xijg r]^L6sLccg xijg ôc^scag^ xovx-

66XL xrjg AK. Sslkxsov, oxl 6 xvxlog tcog s6xl xrj

tOV GXYlllLCCtOg STtLtpCCVSLCC,

5 silYiqj^Gi yccQ xvxXog 6 M^ ov rj sx tov xsvxqov

dvvaxccL xo 7tSQLS%6^svov vTto xs xYig E® TtlsvQccg xal

xrjg r}iiL6SLag xrjg EZ. yCvstaL drj 6 M xvxlog l'6og

tri STtLCpavsLCC tov xoovov, ov ^diSLg [isv 6 TtSQL trjv

EZ xvxlog, xoQVfpri ds tb 6rj^stov. SLXij^pd^co ds

A

10 xocL aXXog 6 N, ov rj ix tov xsvtQov l'6ov dvvataL

ta TtSQLSxofisvG) VTto ts tijg ET xal tijg rj^LesLag 6vv-

a^cpotsQov tijg EZ, fz/. s6taL ovv ovtog l'6og tfi

STtLcpavsCa tov xmvov tij ^sta^v rc5v TtaQakXi^lcov sTtL-

Ttsdcav tmv xata tccg EZ, Fzf. xal aXXog ofioCog 6

.

15 S stXiîpdâ) xvxlog^ ov rj sx tov xsvtQov dvvatai to

TtSQLSXo^svov vTto ts tijg AF xal tijg r}^L6sCag 0vv-

a^fpotSQcov tmv -Tz/, AH. xal avtog ovv l'6og s0tl

tfi xovLxfi iTtLcpavsCa tij ^sta^v tc3v TtaQalXt^lcov im-

Ttsdcov t(DV xatcc tccg AH, Pz/. Ttdvtsg ovv ol xvxXol

20 l6ol ^6ovtaL tfi olrj tov ^xYll^ôctog iTtLCpavsCa, xal at

ix tcov xsvtQcov avtSv l6ov dvvriôvtaL ta TtsQLSxo-

3, dsiKTeov ovv ed. Basil., Torelliua. 6 A xuxôs Cr.,

I DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 151

numero praeter latus AH, et sumatur circulus A^

cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo

Arx{EZ + rA + AK).

demonstrandum est, circulum aequalem esse super-

ficiei figurae.

sumatur enim circulus M, cuius radius quadratus

aequalis sit rectangulo E®X^EZ. itaque M cir-

culus aequalis est superficiei coni, cuius basis est cir-

culus circum EZ descriptus, uertex autem punctum S[prop. 14]. sumatur autem etiam alius circulus Nj

cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo

Erxi(EZ + r^).

hic igitur aequalis erit superficiei coni, quae est inter

plana parallela in lineis EZ, FA posita [prop. 16].

et eodem modo sumatur alius circulus tS, cuius radius

quadratus aequalis sit rectangulo

Arxi(rzi + AH).

itaque et ipse aequalis est superficiei conicae, quae

est inter plana parallela in lineis AH^ F^ posita

[prop. 16]. omnes igitur circuli aequales erunt toti

superficiei figurae, et radii eorum quadrati aequales

erunt rectangulo AF X (EZ + FA + AK).^) sed

1) Quia aequalia sunt latera polygoni E0, EP, AF.

ed. Basil., Torellius. 7. yCvsTai] per comp. F. 12. ovvjaddidi; om. F, uulgo. 20. cct] om. F; corr. ed. Basil.*

liEVG) v7to ^LCCs JtXsvQCis tijg AF nal tijs l'6rjg ratg

EZy Pz/ xal tfj rj^L6sLa ti]g pd^scog tfi AK. idvvato

ds xal rj ix tov xsvtQov roi5 A xvkXov ioov rc5 avta

XOQLC3. 6 ccQa A oiVKXog 160$ s6taL totg M, N, ^5 xvKloLg^ S6ts xal tfi iTCLcpavsCcc tov iyysyQaîisvov

exriiiatog.

Af'.

Tstiiri6%^(0 ecpatQa firj dLcc ror xsvtQov iitLTtsdci'

xal iv avtfj fisyLGtog xvxXog 6 AEZ ts^vov TtQog

10 oQdâg to ijCLTtsdov to ts^vov xal iyysyQacpQ-o sCg tb

ABF t^rjâ TtoXvyovov CaoTtksvQov ts xal ccQtLoyo-

vov XOQLg trjg ^d^sog trjg AB. oôCog drj totg tiqo-

tSQOv, idv ^%vov0rig trjg FZ JtSQLSvsx^fj ro 6xrjâ, aC

^sv ^, E, A, B yovCaL xatd xvxXov oC6d"i]6ovtaL,

15 C3V dLd^stQOL aC AE, AB, ai ds TtXsvQal rov <?;^7}â-

rog xatd xovLxrjg iitLcpavsCag. xal s6taL tb ysvrjd^sv

6xrjâ 6tSQsbv vitb xovlxov iitLcpavsLov TtSQLSxo^svov

pd6Lv ^sv sxov xvxXov j ov dLd^stQog rj AB^ xoqv-

cpriv ds tb r. oôCog dr^ totg TtQOtsQOv tr]v iTtLcpd-

20 vscav iXd66ova s%sl trjg tov t^rjâtog STtLcpavsCag tov

jtSQiXa^pdvovtog [tb yaQ avtb JtsQag avtov i6tLv iv

iTtLTtsdo tov te tî^âtog xal tov ^xrjiicctog r} TtsQt-

cpsQSLa tov xvxXov, ov dLd^stQog r^ AB, xal ijtl td

avtd xotXaL dpLcpotSQaC sC6lv aC ijtLcpdvsLaL^ xal TtSQL-

25 kapi^dvstaL rj stsQa vitb t^g stSQag^.

2. rjdvvato Torellins. 7. X6' F; p' Torellius. 11. dq-rioTcXsvQov Riualtus, Torellius. 15. ffj^^ftaroff] Barrowius; T/u-r^-

fiatog F, uulgo. 18. sxtov F. KOQvcpr] F; corr. Barrowius.


etiam radius circuli A quadratus eidem spatio aequalis

erat [ex hypothesi]. itaque circulus A aequalis erit

circulis M^ iV, S^); quare etiam superficiei figurae

inscriptae aequalis erit.

XXXVI.

Secetur sphaera plano non per centrum posito, et

in ea sit circulus maximus AEZ planum secans per-

pendiculariter secans. et inscribatur segmento ABF ^o-

lygonum aequilaterum, cuius latera paria sint numero

praeter basim AB. si igitur, ut antea, manente lineaPZ

figura circumuoluitur, anguli ^^

Ej Aj B per circulos ferentur,

quorum diametri erunt ^E, AB,latera autem figurae per super-

ficies conicas. et figura solida

hoc modo orta, per superficies

conicas comprehensa, basim ha-

bebit circulum, cuius diametrus

est AB^ uerticem autem punctum F. itaque eodem

modo, quo antea, superficiem habebit minorem super-

ficie segmenti comprehendentis [la^^. 4 p. 10].^)

1) Ex Eucl. XII, 2; cfr. Quaest. Arch. p. 48.

2) In hac propositione praeter finem subditiuum alia quo-que deprehenduntur uestigia manus transscriptoris, uelut omis-sum uerbum satco lin. 9; aQtioyoavov lin. 11, quod alibi recte

dicitur pro ciQtLOTtXsvQov (Quaest. Arch. p. 76), sed hoc loco

ferri non potest propter sequentia uerba ^copls t% ^dascas;

TKoviyiijg ini(pavsLug lin. 16 pro xojytxcov snixpavBiaiv;

ysvrj&iv

lin. 16 (Quaest. Arch, p. 70). praeterea diserte dicendum erat,

segmentum ABF minus hemisphaerio esse debere (Quaest. Arch.

p. 73).


^H iTtKpdvsia tov syyeyQa^^svov ^xrjârog iv ta

tiirinati trjg 6(paiQag iXaOâv i6tl tov kvkXov, ov 7]

ix tov xivtQov L'6rj i(5tl tfj aico trjg xo^vcpijg tov

5 t^^^âtog iicl trjv nsQicpSQBiav rjy^svrj tov xvxlov, og

i6ti âCig tov t^riâtog.

s0tG> 0(paiQa, xal iv avtfj ^syi6tog xvxXog 6 ABEZ'xal s0tG) t^rjâ iv tfj 6(paLQ(Xy ov ^ccOig 6 tCsqI dici-

^stQOv trjv AB^ xal iyysyQcccpd-co stg avto to SiQtj-

10 ^svov 6xrj}ia, xal iv ta t^riâti tov xvkIov Ttokvyca-

vov xal ta XoiJta ta avtd^ dia^stQOv ^sv trjg 6(paiQag

ov6rig trjg ®A, iTts^svy^svcjv ds tc3V AE, @A. xal

s6t(o xvxlog 6 My ov rj ix tov xsvtQOv l'6rj s6tG) tfj

A®. dsixtsov, oti 6 M xvxXog fisl^cjv i6ti trjg tov

15 6xriâtog iTtiCpavsiag.

rj yccQ imcpdvsia rov ^x^f^âtog dsdsixtai i6rj ov6a

xvxXcp^ ov rj ix tov xsvtQOV i'6ov dvvatai ta TtSQi-

sxo^svc) vTto ts trjg E® xal

rcoi/ EZ, r^, KA. to ds

20 /_ y \/ ^ ^\ yô trjg E& xal tcSv EZ^

FA, KA dsdsixtai l'6ov rc5

vjco tcov EA, K® TCSQisxo-

^svcj' tb ds vTto tSv EA,

K0 sXa666v i6ti tov diti

25 \ ^"--J_---^ y T^ff AS [xal yccQ tov vtco

t(jov A&, K&\. (pavsQOV ovv,

oti rj ix tov xsvtQov 7015

xvxXov, og i6tiv l'6og tfj iiticpavsicc tov 6xw^tog^

1. Xb F; yJ Torellius. 7. ABZE Torellius. 13. IWa]coflrr« F; corr. B*. 25. vno om. F; corr. ed. Basil. 26. tmv

XXXVII.

Superficies figurae segmento sphaerae inscriptae

minor est circulo, cuius radius aequalis est lineae a

uertice segmenti ad ambitum ductae circuli, qui basis

est segmenti.

sit sphaera, et in ea circulus maximus ABEZ, et

in sphaera segmentum sit, cuius basis sit circulus cir-

cum diametrum AB descriptus, et ei inscribatur figura,

quam commemorauimus [prop. 36], et segmento cir-

culi polygonum. et cetera eodem modo comparentur*),

ut linea ®A diametrus sphaerae sit, et ducantur lineae

AEy ®A. et sit circulus M, cuius radius aequalis sit

lineae AS. demonstrandum est, circulum M maiorem

esse superficie sphaerae.

nam demonstratum est, superficiem figurae aequa-

lem esse circulo, cuius radius quadratus aequalis sit

rectangulo E® X {EZ + T^ + KA) [prop. 35]. et

demonstratum est

E® X {EZ + r^ + KA) = EAXK0 [prop. 22;

Eucl. VI, 16].'0

sed EAXK®< A&^ [u. Eutocius].

adparet igitur, radium circuli, qui aequalis est super-

1) toL avxd lin. 11 sc. Batco.

2) U. Eutocius, ex cuius adnotatione comperimus , Archi-medem lin. 19—20 scripsisse: dXXa tb vno E@, et lin. 22 uer-bum TtSQiexofisvcp omisisse.

addidi; om. F, uulgo. X6)J ©K ed. Basil., Torellius. Posthoc uerbum: l'aov ovtog rco cctio @A addunt ed. Basil., TorelHus;om. F, uulgo.


iXd66G)v 80x1 trjg sk toi5 xevtQOv rov M. drjXov ccQa,

otL 6 M KVKXog liSL^cov i(5tl trjg iTiKpavsCag Tot) (?%^-

^natog,

Xrf,

5 To iyysyQa^âvov ^XV^^ ^'^ "^9^ t^rjâtc vjcb xco-

VLXOOV iltKpaVELmV 7tBQLE%6lieVOV 0VV Tc5 K(^V(p TCJ /3«-

6lv iLBv tr^v avtrjv k%ovtL ta G^riâtL^ xoQV(p7^v ds t6 I;

xivtQOv trjg (ScpaCQag l'0ov i(Stl t« x(6v(p tc5 ôc^lv

a%ovtL l'0r}v tfj iTtLcpavsCcc tov 6%riâtog^ vTpog ds tfj

10 dno tov xivtQOv tr^g 6(paCQag ijil ^Cav JcXsvQav tc5i/\

tov 7toXvy(6vov xad^stcy '^y^svrj.

s6tG) yccQ 6(paLQa^ xal iv avtfj ^syL6tog xvxXog,

xal tfirjâ sXa66ov ri^LXVxXCov to ABF^ xal xsvtQov

t6 E' xal iyysyQdcpd^G) stg tb ABF t^rjâ TtoXvyo-

15 vov aQtLOTtXsvQOv ^ca^fcg trjg AF oôCcag totg TtQots-

Qov, xal ^svovcrjg trjg BE 7tsQLSvsx^SL6a ij 6cpaLQa

TtOLsCtCO 6xrj^d tL VTtO XG)VLX(DV iltLCpaVSL^V 7tSQLS%6-

ÊVOV, xal dTtb tov xvxkov tov tcsql dLafistQov trjv

AF xcovog dvaysyQdcpd^G) xoQVcprjv sxcDv tb xsvtQov. xal I

20 slXricp^G) x(5vog 6 K pd6LV ^sv sxov L6riv tfj i7tLcpavsC(x

Tov ^xTîiatog, vTpog ds tfj d^tb tov E xsvtQOv ijtl [iCav

TtXsvQccv tov 7Cokvyo3vov xad^stc) riy^svrj. dsLxtsov^ oti

K xcovog l'6og i6tl tc5 7tSQLSxo^svG) ^xrjâtL 6vv toj

xcovG) ta AEF.

2. M] AMF. 4. Zs' F; (la Torellius. 9. t^] Nizze;

T7JV F, uulgo. 21, T^] Nizze; tijv F, uulgo. 23. nsQiexo-

(iBvco] nQOSLQr)(isv(p Nizze. cxT^ficiti] T(irj(icctL F; cori. ed. Ba-sil.; „figurae dictae" Cr.

DE SPHAERA ET CYLINDRO 1. 157

ficiei figurae, minorem esse radio circuli M. itaque

constat, circulum M maiorem esse superficie figurae

[Eucl. XII, 2].^

XXXVIII.

Figura segmento^) inscripta per superficies conicas

comprehensa una cum cono basim eandem habenti,

quam figura, uerticem autem centrum sphaerae aequa-

lis est cono basim habenti superficiei figurae aequa-

lem, altitudinem autem lineae a centro sphaerae ad

latus aliquod polygoni perpendiculari ductae aequalem.

sit enim sphaera, et in ea circulus maximus, et

segmentum ABF minus dimidia parte circuli, et cen-

trum E. et segmento ABF inscribatur polygonum

[aequilaterum] ^), cuius latera paria sint numero prae-

ter lineam AFj eodem modo, quo supra, et manente

linea BE circumuoluatur sphaera*) et efficiat figuram

per superficies conicas comprehensam, et in circulo

circum diametrum AF descripto conus construatur

uerticem habens centrum. et sumatur conus K basim

habens superficiei figurae aequalem, altitudinem autem

lineae a centro E ad latus aliquod polygoni perpen-

diculari ductae. demonstrandum est, conum K aequa-

lem esse figurae comprehensae ^) una cum cono AEF.

1) In liac quoque propositione desideratur significatio, seg-mentum minus esse hemisphaerio ; u. p. 153 not. 2.

2) Sc. iXdaGovt rj^ia^pcciQiov (u. lin. 13), quae uerba addiuoluit Nizzius; sed u. p. 153 not. 2.

3) Desideratur ante ccQrionXsvQov lin. 15: taoTclsvQov ts xat,

quod coniectura addit Nizzius; sed u. p. 14$ not. 2.

4) Debebat esse: nsQLSvsxQ^slg 6 nvyiXog siue nsQisvsx^svTo inLnsdoVf iv cp o xs xvxXoj xat xo noXvymvov (lin. 16).

5) jrg^igjjo/xsVci) lin. 23 sc. vno rmv kcovlkoov inicpavsioaVj

158 nEPI S<ÂIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

avayeyQd(p^co6av dr} xal ocwvol aito rcoi/ Kvoikcov

tdiv ê^l diaêzQOvg tag ®H, ZA xoQV(priv exovteg

tb E 6rjêtov. ovxow 6 îev HB®E Qo^ôg ateêbg

_ffl'6og e0tl K(6v(py pv 7] êv

Pcc0ig l'6rj e6tl trj eTCKpaveCci

tov HB0 x(6vov, tb vtlôg

\jr de tfi anb roi5 E e%l trjv

I HB dyoêvrj xadêtco. tb de

TCeQiXet^â t(> TCeQLexoêvov

10 \^ / vTcb trjg eTCL^paveiag trjg ê-

ta^v t^v 7CaQalXrik(X)v ejcc-

Tcedcov tcov Tcatd tdg H®, ZA xal t(DV xovltccov

Tcov ZEA^ HE& i'6ov e6tl xcovGiy ov rj ^6Lg êv

e6tLV L6ri tfi e7CL(paveL(^ tfj êta^v tcov TCaQakXriXcov eiCL-

15 TCedcov t£v xatd tdg H&^ ZA^ viôg 8\ trj dnb tov EeTcl tr]v ZH xadêtco i^yêvr]. Tcdhv to TceQcket^â tb

TCeQLeioêvov vtco te trjg eTCL^paveCag trjg êta^v tcov

%aQaXkrilcov ejCLTCedcov tcov xatd tdg ZAÂF xal rcoi/

xcovLxcov toov AEr, ZEA l'6ov e6tl kcovg), ov rj fiev

20 ^d6Lg l'6rj e6tL ty e7CL(paveCcc tfj îeta^v tdov icaQaXXri-

Kcov eTCLTCedcov zcov xatd tdg ZA, AF, vtpog de tfj

dicb Tov E ijcl trjv ZA xa%et(p rjyêvr}. ol ovv eLQrj-

êvoL xoovoL l6ol e6ovtaL t(p 6%riâtL êtd Toi) AETxcovov xal vrpog fiev l'6ov e%ov6LV tfj dicb tov E ejcl

25 ^Cav jcXevQdv tov jcoXvyoovov xadêtco rjyiievrj, tdg de

1. dri] scripsi; 3s F, uulgo. 2. tdg] rris FC*. @H,ZA]scripsi; 0Z, KI FC*; H&, ZA B* ed. Basil., Torellius. 3.

OKOvv F. 9. nsQiXsi(jL[ia] scripsi; nsQiXTififia F, uulgo. 13.

ZEz/ F, corr. Torellius. lori FBC*. 15. tij] trjv F. 16.

nsQiXstfi(ia] scripsi; nsQiXrjfipLu F, uulgo. 19. ZEJ F, J in

rasura. 23. fistci] scripsi; yica [ista F, uulgo.


construantur igitur etiam in circulis circum dia-

metros @Hy ZA descriptis coni uerticem habentes

punctum E. itaque rhombus solidus HB®E aequalis

est cono, cuius basis aequalis est superficiei coni HB&,altitudo autem lineae ab E ad HB perpendiculari

ductae [prop. 18]. spatium autem relictum^) com-

prehensum per superficiem inter parallela plana in lineis

H&^ ZA posita et per superficies conicas ZEAj HE®aequale est cono, cuius basis aequalis est superficiei

inter plana parallela in lineis H0j ZA posita, altitudo

autem lineae ab E ^>d ZH perpendiculari ductae [prop.

20]. rursus spatium relictum^) comprehensum per

superficiem inter plana parallela in lineis ZA^ AFposita et per superficies conicas AEF^ ZEA aequale

est cono, cuius basis aequalis est superficiei inter plana

parallela in lineis ZA, AF posita, altitudo autem

lineae oh E Q.d ZA perpendiculari ductae [prop. 20].

coni igitur, quos commemorauimus, aequales erunt

figurae una cum cono AEF et altitudinem habent

aequalem lineae ab E ad latus aliquod polygoni per-

pendiculari ductae, bases autem superficiei figurae

quod transscriptoris neglegentia omissum est, ut inLtpavEiavpost HoyvLyiav p. 158 Hn. 12, 19.

1) Productis lineis ZH, @A, donec concurrunt, et subtracto

rhombo his hneis productis et lineis HE, ©E comprehenso.

2) Productis Hneis ZA, AF, donec concurrunt, et subtracto

rhombo his lineis productis et lineis ZE, EA comprehenso.

160 nEPi nÂiPAi: kai ktainapot a'.

pdasLg laag tfj ijtcipavsLcc tov AZHB®Ar 6xriyLarog.

sxei 8e xal 6 K xcoi/off t6 avxo vtjôg Tial âGiv l'6rjv

tfj BTtKpaveCa xov Cxriâxog. l'6og aQa ioxlv 6 Kcovog

xotg eiQrjêvoLg TccovoLg. ot de etqriêvoL acivoL ideCx-

5 d^rjâv l6ol xa 0%riiiLaxL xal xa AEF X(6vc3. xal 6

KccQa xojvog i'6og i6xl xa xe OxrniaxL xal tc5 EArxcovc).

nOPISMA.

Êx drj xovxov cpaveQOV^ oxl 6 xcjvog 6 ^d^LV êv

e%Giv xov Kvxlov, ov ri ix xov xevxQov tOr] i6xl xfj

10 aTtb xrjg xoQvg)rjg xov xî^âxog ijcl xrjv TCeQLcpeQeLav

rjyêvrj xov xvxlov, og ioxL pd6Lg xov x^riâxog, vôg

de l'6ov xrj ix xov xevxQov xijg GtpaCQag^ fieCâv icxl

xov iyyeyQa^êvov G^^^âxog 6vv xa xojv(p. 6 yccQ

TCQoeLQTjêvog xcovog êC^cov i6xl xov xcovov xov i'6ov

15 Tto 6%riiLaxL 6vv tc5 X(6vc) X(p ^d6Lv [lev e%ovXL xrjv

pd6LV xov x^T^âxog, xrjv de xoQvcprjv JtQog xa xevxQC),

xovxe6XL xov xrjv pd6Lv êv eôvxog t^rjv xfj iitL^pa-

veCa xov 6%riiiaxog^ vipog de xfj dno xov xevxQov iitl

^Cav TtXevQccv xov JtoXvycovov xadêxc) rjyêvrj' 7] xe

20 yccQ pd6Lg xijg ^d6eog êCôv i6xC [dedeLXxaL yccQ

xovxo^, xal x6 vtlôg xov vifjovg.

"E6XO 6(paLQa, xal iv avxfj êyL6xog xvxXog 6 ABF,xal x^rjâ eXa66ov rj^LXVxXCov, o djtoxe^vSL rj AB,

25 xal xevxQOv xo z/* xal dito xov xivxQOv xov ^ ijtl

xd Ay B i7tei,ev%%-o6av aC A/i^ ^B, xal TteQl xov

1. tWs] per comp. F. om. F; corr. Torellius. 4. xo-

voig F. 7. noQiGîa] F mg. fol. 15. rc5 ^daiv^ tov âaiv

F; corr. B mg.*, ed. Basil. ^xovxi] sxovtog F; corr. B mg.*, ed.


AZHBSAF aequales. sed etiam K conus eandem

altitudinem et basim superficiei figurae aequalem habet.

itaque aequalis est conis, quos commemorauimus; bos

autem figurae cum cono AEF aequales esse, demon-

stratum est. itaque etiam conus K figurae et cono

EAF aequalis est.

COROLLARIUM.

Hinc iam adparet, conum basim habentem circu-

lum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice seg-

menti ad ambitum ductae circuli, qui basis sit seg-

menti, altitudo autem radio sphaerae aequalis, maiorem

esse figura inscripta cum cono. ille enim conus maior

est cono aequali figurae una cum cono basim habenti

basim segmenti, uerticem autem ad centrum positum,

h, e. cono basim habenti superficiei figurae aequalem,

altitudinem autem aequalem lineae a centro ad latus

aliquod polygoni perpendiculari ductae [prop. 38].

basis enim basi maior est^) [prop. 37], et altitudo

altitudine.

XXXIX.

Sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF, et

segmentum minus semicirculo linea AB abscisum, et

centrum A. et a centro ^ ad ^, J5 puncta ducantur

AA, ABj et circum sectorem inde ortum circumscri-

1) didEL-AXdL yaq tovto lin. 21, quae uerba inter se con-iuncta disiungunt, delenda censeo.

Basil. 17. Toi; fqv] scripsi; trjv F, uulgo. 22. X^' F, /ti^'

Torellius. 24. t(i7Jnu] scripsi; tstfii^a&a) F, uulgo; „et sece-tur in eo portio" Cr.

Archimedes, ed. Heiberg. I, 11

162 IIEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT A'.

yevYidîvta roftea TtSQiysyQcc^pd^co TCokvyovov xal Tts^l

avto KvxXog. £%sc drj t6 avto xsvtQOv rc5 ABF zv-

xXg). sav drj ^svov6i]s trjg EK tcsqlsvsx^sv tb jcoXv-

ycavov sig tb avtb Tcdkiv aTCozataOtad'^^ 6 JCSQcysyQafi- m5 fisvog TiVTiXog xata STCLCpavsCag Oi6d"rJ0stat ^cpatQag, xal I

ai ycovtai tov jcoXvycovov xvxXovg yQdipovîv ^ (6v aC*

did^stQOi s7Ci^svyvvov0iv tag yovCag rov icoXvycctvov

ov0ai JcaQdlXrjloi trj AB' td ds Orj^sta, xad'^ a aic-

tovtai roi) iXd60ovog kvxXov ai tov TCokvyoavov tcXsv-

10 QaC^ xvxXovg yQdtpovdv sv tfj iXd66ovi 6(paCQa, cov

did^stQOi s6ovtai at i7Ci^svyvvov6ai tdg dcpdg TCa^dX- '

XrjXoi ov6ai tfj AB' ai ds JcXsvQal xatd xcovixdsv ijCi-

cpavsicov oi6d"^6ovtaiy xal s6tai tc TCSQiyQacpsv ^x^^â

VTcb xcovixcjv iTCiCpavsidov 7CSQiS%6^svov ^ ov pd6ig 6

15 jtSQi trjv ZH xvxkog' rj drj roi» stQrjîvov 6%riiiiatog

iTCicpdvsia ^sC^cjv i6tl trjg rot) iXd66ovog tîqâtog

ijCicpavsCag, ov ^d6ig 6 tcsqI trjv AB xvxXog.

r[i%^Gi6av yaQ icpaTCto^svac at AM, BN. xatd xo-

Vixrjg ccQa ijCicpavsCag Oi6%"ri6ovtai ^ xal tb 6xrjâ tb

20 ysvrjd^sv vTcb rov TCoXvydvov rov AM@EANB ^sC-

ôva s^si trjv iTCicpdvsiav tov t^rîatog tr]g 6cpaiQag^

ov pd6ig 6 tcsqI didfistQOv trjv AB xvxXog [TciQag

yaQ iv svl iTCiTcida) ro avro s%ov6iv tbv tcsqI did-

^stQov trjv AB xvxXoVj xal JcsQiXa^pdvstai tb t^^^â m

25 vTcb tov 6xrifiatog]. dXX' rj ysysvrjîvrj vTcb tov ZM^ AHN iiCicpdvsia xcavov ^sC^cdv i6tl trjg ysysvrjîvrjg ™

1. ysvvT^&svTcc F; corr. Torellius. 11. sniyvvovaaL F. 13.

Tt] scripsi; to F, uulgo 14. tiovlkcov F. 15. dry] scripsi;

3e F, uulgo. 20. A om. F, corr. Torellius. 21. ?|ft (18l-

ôva ed. Basil., Torellius. 22. ^vyiXog iazL ed. Basil., Torel-

lius. 23. t6 avTo'] scripsi; tco avTco F, uulgo. 25. ysysvri-

fifVT?] primum s suprascriptum manu 1 F.


batur polygonum [aequilaterum, cuius latera paria sint

numero]^), et circum id circulus. is igitur idem cen-

trum habebit, quod circulus ABF [u. Eutocius]. iam

si manente linea EK polygonum circumuolutum in

eundem locum restituitur, circulus circumscriptus per

superficiem spbaerae feretur, et anguli polygoni circu-

los describent, quorum diametri angulos polygoni iun-

gunt parallelae lineae AB. sed puncta, in quibus la-

tera polygoni circulum minorem contingunt, circulos

describunt in sphaera minore, quorum diametri erunt

lineae puncta contactus iungentes parallelae lineae AB.latera autem per superficies conicas ferentur, et orietur

figura circumscripta per superficies conicas compre-

hensa, cuius basis erit circulus circum ZH descriptus.

est igitur superficies buius figurae maior superficie

segmenti minoris, cuius basis est circulus circum ABlineam descriptus. -

ducantur enim contingentes lineae AM, BN. ita-

que per superficiem conicam ferentur, et figura ex po-

lygono AM@EANB orta babebit superficiem ma-

iorem segmento sphaerae, cuius basis est circulus

circum AB lineam descriptus [Aa^/3. 4 p. 10].

sed superficies conica ex lineis ZMj HN orta

1) Archimedes uix omiserat: laonlBVQov zs yial uqxvonXiv-Qov \m. 1.

11

164 nEPi rÂiPAs kai ktainapot a'.

v7to tmv MA, NB' rj êv yccQ ZM trjs MA fiei^cov

i6tL [v7c6 yccQ OQd^rjv vTtotetvsL], rj de NH trjg NB.otav ds tovto

fiy^Siôv ylvetcci tj iTtKpdvsia tijg ija-

(pavsLag \tavta yccQ dsdsLKtai iv totg Xi^^â^c]. dijXov

5 ovv, oti Kal tov TCSQLysyâ^îvov ^xriiiiatog rj im(pd-

vsia ^sCt^Giv s0tl trjg tov tî^fiatog iTtKpavsCag trjg

ild06ovog 0(paCQag.

nOPIEMA.

Kal (pavsQOv, ott r} iitKpdvsia rov TtsQLysyQafiî-

10 vov ^xriiiatog tov nsQl tbv toîa lerj i6tl xvxXc), ov

rj ix tov xivtQOv dvvatai to TtSQLSxofisvov v%6 ts

îdg TtKsvQag tov noXvyoovov xal tmv im^svyvvovdoiv

naoSv tdg ycovCag tov itoXvycovov xal stv trjg rj^tOsCag

trjg ^diSsog tov SiQrjîvov JtoXvycavov. tb yaQ vTtb

15 tov TtoKvyoavov TtsQcysyQa^îvov ^xriâ iyysyQainiivov

i6zlv Sig tb t^rjâ trjg ^sCôvog 6(paCQag [tots de

drjlov did tb TtQoysyQa^îvov].

r

Tov TtsQiysyQa^îvov ^xtîicctog ta to^st rj iia-

20 cpdvsia ^sC^cov i6tl tcvkôv, ov rj ix rov xivtQov l'6rj

ictl tfj aTtb trjg xoQvcprjg tov t^rjâtog rjyîvri inl

trjv TtsQicpsQSiav tov nvnXov, og iiSti ^dCig rox) t^rj-

âtog.

2. ydo] yivBxai per comp. F. 3. yivBtoci 17] B;yivBtoci

per comp. F; bgxi tj ed. Basil., Torellius. 4. Irjfiocat supra

scripto (i F. 8. noQiGficc om. F. 13. sti f^g] scripsi: Bmtrjg F, uulgo; tijg Bti ed. Basil., Torellius. 14. to yocQ vno tovTtoXvyatvov TtBQiysyQafifiBvov] scripsi {TtBQiyByQocfifiBvov pro syyB-

yQoc(i^BVOv iam Barrowius); ByyByQaîfiBvov F, uulgo; to yocQ

nBQLyByQa(i[iBvov Gxijfioc tw tofiBt iyyByQocfifiBvov «yjjijfta iatLV

(lin. 15) Torellius. 16. rdrs] scripsi; tovto F, uulgo. Sb]


maior est superficie coni ex lineis Mj4, NB orta. nara

ZM> MAet

NH> NB[Eucl.III, 18;I, 19].

quod cum ita sit, su-

perficies superficie

maior erit [u. Euto-

cius]. adparet igitur,

etiam superficiem

figurae circumscrip-

tae maiorem esse

superficie segmenti

sphaerae minoris.

COROLLARIUM.

Et adparet, superficiem figurae circum sectorem

circumscriptae aequalem esse circulo, cuius radius qua-

dratus aequalis sit rectangulo, quod continetur uno

latere polygoni et omnibus lineis angulos polygoni

iungentibus et praeterea dimidia basi polygoni, quod

commemorauimus. nam figura circumscripta ex poly-

gono orta segmento sphaerae maioris inscripta est

[tum u. prop. 35].

XL.

Superficies figurae circum sectorem circumscriptae

maior est circulo, cuius radius aequalis est lineae a

uertice segmenti ad ambitum ductae circuli, qui seg-

menti basis est.

8ri Nizze. 18. Xr}' F, fiS' Torellius,

syllabae ig F.22. §acig cum comp.

166 nEPI 2<ÂIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

15

£6t(X) yocQ atpcctQa, xal ^syiatog zvxXos iv avtfj 6ABr^, xal JcsvtQov to E' xal tcsqI tbv tofisa nsQi-ysyQdipQ-Gi tb AKZ TtoXvyavov, xal Hsqi avtb xvTckog

^SQiysyQdfpd-G)y xal ysysviâd^co axrjna, xad^djcsQ JtQo-

5 tSQOV xal s6tG) KVKlog N, ov ri sx tov xsvtQOVlaov dvvatai tS TtSQLsxo^svG) vito ts fitdg itUvQagtov Ttolvycavov xat jtaaSv tcov STtL^svyvvovacov 6vvtfj rj^tasta tijg KA. dUd tb stQrj^svov xgjQôv lOoviatl rc5 vitb tijg M0 xal ZH, o drj sattv vifjog tov

10 t^riâtog trjg ^SLôvog 6q)aLQag. tovto yaQ itQods-

dsLxtat. tov aQa N nvxlov rj sk tov xsvtQov laovdvvatai ta V7tb M@, HZ itsQLSxo^svG). dU" ij ^sv

Z ^ HZ * ^SLôv iatl tijg

â[o sGtLv vilôg tov

sXdaaovog tîjâtog].

idv yaQ STtL^sv^G^^sv

\trjv KZ, sOtaL TtaQdX-

Irilog tfi /lA. s6tLV ds

xal rj AB tfj KA TtaQ-

dklriXog, xal xoLvrj rj

ZE. oÔLOv ccQa tb

ZKH tQLycovov tcj

ÂS tQLycovG). xaC

i6tLV ^SL^CDV ?} ZKtrjg A/1, ^SL^cov aQa

xal rj ZH trjg AtSj. l'6r]

ds rj M& trj dLa^stQG)

ty r^. sdv yaQ iitLlsvx^fi rj EO, sitsl l'6rj s6tlv

rj ^sv MO tfj OZ, r ds 0E tfj EZ, TtaQdUrjlog

1. iv ccvty] scripsi; in avtrjg F, uulgo. 2. AdSr To-rellius. tofiscc] AJBE rofisa Nizze. 3. AZK Torellius.

20

25


sit enim sphaera, et in ea circulus maximus ABFZly

€t centrum E. et circum sectorem circumscribatur

polygonum AKZ, et circum id circulus circumscriba-

tur, et efficiatur figura, sicut antea. et sit circulus iV,

cuius radius quadratus aequalis sit rectangulo, quod

continetur uno latere polygoni et omnibus lineis [an-

gulos]^) iungentibus cum dimidio lineae KA, hoc

autem spatium aequale est rectangulo, quod contine-

tur lineis M0, ZH, quae altitudo est segmenti sphae-

rae maioris. hoc enim antea demonstratum est [prop.

22; Eucl. VI, 16]. itaque radius circuli N quadratus

aequalis est M@xHZ. sed HZ> AS^)'^ (nam si

ducimus lineam KZ, parallela erit lineae A A. sed

etiam linea AB parallela est lineae KA, et communis

est linea ZE. quare triangulus ZKH similis est

triangulo AAS [Eucl. I, 29].

[erit igitur ZKiA^^ZHiAS (Eucl. YI, 4)].

sed ZK > AA', quare etiam ZH> Ag) et MS = FJ(nam si ducitur lineaÔ, erit EO linea parallela lineae

1) De omisso uerbo ycoviccg u. index.

2) Sequentia uerba lin. 14— 15 iam Mzzius deleuit, nec du-bitari potest, quin transscriptori debeantur. addita sunt exlin. 9 ad demonstrandum HZ > J^, sed et re et uerbis praua(debebat esse: rov x[nîiatog zijg sXdoGovog acpccLQccg). etiam alia

in hac propositione subditiua uideri possint, sed cum ex Eu-tocio totam demonstrationem ut subobscuram repetenti, adpa-reat, eam aliquatenus turbatam fuisse, nihil mutaui.

7. iTti^svyvvovGoov] 87tL^svyvvovacav xccg yoovLccg ed. Basil., To-rellius, Cr. (non BC*). 9. o] rj Torellius. 12. HZ] NZ F.

14. o] ^ Torellius. 16. STa^svâyîsv] scripsi; sns^svôjfisv F,

uulgo- 28. EO] EH F; corr. Torelliiis.

168 HEPI SAIPAS KAI KTAINAPOT A'.

ccQa B6tlv 71 EO tfi MS. dmXaCia ccQa i6tlv ri

M0 trjg EO. aXka xal ri F^ 8i7tla6ia i6tlv tijg

EO. l'0r} ccQa r} M® trj jTz/. t6 da vtio tmv Fz/,

^S ^ôv ta aTtb trjg A^, r\ aqa tov 6%riiiLatog tov

h KZA i7ii(pdv6La ^sl^cov i6tl rov xvxôv, ov rj ix tov

TcivtQOv l'6ri i6tl tfj djto trjg xoQvcprjg tov tî^âtog

ijtl trjv 3t£Qi(p£Q£iav rjyîvrj xov kvkôv, og i6tL ^d6Lg

tov t^riiiatog^ rov 7t£Qi dLd^£tQov tr^v AB. 6 yccQ NKvxXog l'6og i6tl tfj iTtLfpav^Ca rov Tt^QLy^yQa^îvov

10 7t£Ql tov toîa 6xriiLatog,

nOPISMA a.

rCv^tai d£ xal to 7t£QLy£yQa^^£vov 6xrjâ 7t£Ql tbv

toîa 6vv r« koovg), ov pd6Lg 6 7t£QL did^^tQOv trjv

KA KVKlog^ KOQVcpr] df ro xivtQOv^ l'6ov xcovg), ov rj

15 ^£v pd6Lg l'6rj i6tl tfj i7tL(pav£La tov 6%riâtog^ viiôg

df tfi d7to tov xivtQOv i7tl tr^v 7tl£VQdv xad-itc) rjyîvy

[t] drj L6ri i6tl r^ ix rov xivtQOv trjg 6(paiQag]. tb

yaQ 7t£QLy£yQa^îvov 6%riâ rc5 to^£L iyy^yQa^fiivov

i6tlv £Lg to t^rjâ trjg ^^Lôvog 6(paLQag^ rjg xivtQOv

20 i6tL tb avto \pr{kov ovv tb X£yb\i£vbv i6tLV ix tov

7tQoy£yQa^^£vov].

nOPISMA ^.

Êx tovtov &£ (pav£Qbv^ btt ro 7t£QLy£yQaîi£vov

6%rjâ 6vv ta xcova ^£L^bv i6tL xcovov rot» fid6Lv iilv

25 £%ovtog tbv xvxXov, ov ri ix tov xivtQOv l'6ri i6tL tfj

aTtb trig xoQV(prjg rov t^rjfiatog trjg iXd66ovog 6(paCQag

3. ttqa\ scripsi; S6ttv F; uqa sgxCv B, ed. Basil., Torellius.

11. noQiGfice a'] Xd'' infra scripto ^ F; ^s' Torellius. 12. 8s]

scripsi; diy F, uulgo. 14. i'6ov] i6 supra scripto o F. 22.

7e6Qi6(ia §' om. F, mg. fo|; f''s' Torellius.


Me [Eucl. VI, 2], quia MO ^ OZ [Eucl. III, 3] et

0E == EZ. erit igitur M® = 2EO^) sed etiam

r^= 2E0. itaqueM0=rz/). sedrJx^S=AzJ\^)superficies igitur figurae KZA maior est circulo, cuius

radius aequalis est lineae a uertice segmenti ad amb-

itum ductae circuli, qui basis est segmenti, h. e. cir-

culi circum diametrum AB descripti. nam circulus

N aequalis est superficiei figurae circum sectorem

circumscriptae [prop. 39 TtoQt^^a p. 164].^)

COROLLARIUM L

Erit autem etiam figura circum sectorem circum-

scripta una cum cono, cuius basis est circulus circum

KA descriptus, uertex autem centrum, aequalis cono,

cuius basis aequalis est superficiei figurae, altitudo

autem lineae a centro ad latus perpendiculari ductae.*)

nam figura circum sectorem circumscripta inscripta est

segmento sphaerae maioris, cuius centrum idem est

[tum u. prop. 38].

COROLLARIUM IL

Hinc autem adparet, figuram circumscriptam una

cum cono maiorem esse cono basim habenti circulum,

cuius radius aequalis sit lineae a uertice segmenti

sphaerae minoris ad ambitum ductae circuli, qui

basis est segmenti, altitudo autem radio [sphaerae

1) Cfr. Zeitschr. f. Math. u. Phys., hist.-litt. Abth. XXIVp. 178.

2) Ducta enim linea AF angulus JAT rectus erit (Eucl.

ni, 31); tum u. Eucl. VI, 8 noQiG^a.

3) Tum cfr. Eucl. XII, 2.

4) Sequentia uerba, qnae prorsus abundant (lin. 17), Ar-chimedis ipsius non sunt.

170 nEPI 2$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

sjtl f^v 7iSQL(p£Q£Lav rjyîevr] rov kvxXov, og i6tt ^d6cg

rot) r^rjârogy vôg dh ry ix rov otivrQOv. 6 yccQ

l'6og xojvog rc5 (5%riâri Ovv ra xcovc) rrjv ^sv ^doiv

^SLôva s%sc rov SLQrj^svov xvtcXov, rb 8s vilôg t6ov

6 rri ix rov xivrQov rrjg iXdcoovog 6(paCQag,

fia,

"Ecro TidXiv 6(patQa, %a\ iv avrfj îyierog xihcXog,

xal r^rjâ ska0(5ov rj^LXvxXLOV ro ABF^ xal xivrQov

ro z/' xal stg roi/ ABF roîa iyysyQd^pdô nokvyovov

10 aQrLoycovov, xal rovro oôlov TtSQLysyQdcpd^co, xal TtaQ-

dlXrjXoi s0ra)0av ai TtlsvQal ratg TtlsvQatg' xal xvxkog

TtsQLysyQdcpd^G) TtSQl rb TtsQLysyQa^îvov TtoXvycavov. xal

bÔLCjg rotg TtQorsQOv ^svov6rjg rrjg HB TtSQLSvsypîv-

rsg 01 xvxXoL TtoLsCroGav 6%riâra vjtb xcavLxmv sitL-

15 (pavsLcov TtSQLSxo^sva. dsLxriov^ or^ r] roi) itsQLysyQa^-

îvov 6xi]ârog i7tL(pdvsLa TtQbg rrjv rov iyysyQa^îivov

^xrj^ccrog i7tL(pdvsLav dLTtXa^Cova Xoyov s^sl, ri rj TtXsvQa

rj rov TtSQLysyQa^îvov TtoXvycovov itQbg rrjv TtXsvQccv

roi) iyysyQa^îvov TtoXvyoivov^ rb ds 6%rjâ 6vv ro

20 XC3VC) rQL7tXa6Cova Xoyov sxsl rov avrov.

s6tG) yccQ xvxXog 6 M, ov tj ix rov xivrQOv l'6ov

dvvaraL rc5 V7t6 rs ^Lccg TtXsvQccg rov 7tsQLysyQa^îvov

TtoXvycovov xal 7ta6(ov rov i7iL^svyvvov6(ov rdg yo-

vCag xal srL rrjg r]^L6sCag rrjg EZ. 's6raL drj 6 M25 xvxXog l'6og rfj i7tL(pavsC(^ rot» 7tsQLysyQa^îvov 6%ri-

2. di] ds l'6ov Torellius. 6. iicc om. F; fi^' Torellius.

10. ccQTLoydviov Nizze. tovrai] scripsi; tovtov F, uulgo.

16. syysyQafifisvov F, ut uidetur, sed in rasura. 17. t| iJ]

scripsi; ?? F; rj uulgo. 21. xvxlos o M] scripsi; 6 M nvnXos

F, uulgo.

. DE SPHAERA ET CYLINDRO I. 171

minoris]. nam conus aequalis figurae una cum cono

basim maiorem habebit circulo, quem commemoraui-

mus [prop. 40], altitudinem autem aequalem radio

sphaerae minoris [prop. 40 coroll. 1] [tum u. Irj^^. 1

p. 80].

XLI.

Sit rursus sphaera, et in ea circulus maximus, et

segmentum semicirculo minus ABF^ et centrum z/.

et sectori^^Finscribatur polygonum [aequilaterum] ^),

cuius latera paria sunt numero, et ei simile polygo-

num circumscribatur, et latera eorum parallela sint,

et circum polygonum circumscriptum circulus circum-

scribatur. et eodem modo, quo antea, manente linea

HB circumuoluantur circuli [cum polygonis]^), et ef-

ficiant figuras per superficies conicas comprehensas.

demonstrandum est, superficiem figurae circumscriptae

ad superficiem inscriptae duplicem rationem habere,

quam latus polygoni circumscripti ad latus inscripti,

figuram uero [circumscriptam] una cum cono [ad figu-

ram inscriptam una cum cono]^) triplicem rationem.

sit enim circulus M, cuius radius quadratus aequa-

lis sit rectangulo, quod continetur uno latere polygoni

circumscripti et omnibus lineis angulos iungentibus et

praeterea dimidio lineae EZJ^) erit igitur circulus M1) Archimedes scripserat lin. 10: laonXsvQov rs xal ccqtio-

nlsvQov pro dQTioycovov. cfr. p. 149 not. 2.

2) Tale aliquid Archimedes addiderat.

3) Lin. 19 putanerim Archimedem scripsisse: to Se tcbqi-

ysyQa(iiisvov Gx^fjfia cvv rw yicova} TCQog xo syysyQa(i[isvov avvta timvcp.

4) Debebat esse Hn. 23: yiccl rijg l'ar}g ndaaig xatg sni^svy-vvovaaig xag ycovCag %al sri tij r}(ii,csLoc trjg EZ.


âtog. eiXrjq)d^(o de xal 6 N KVKkogy ov rj sx roi; kev-

tQOv l'6ov dvvatav rc5 TteQLCxoêvG) vtco te îag nlsv-

Qcig tov iyysyQa^êvov TtoXvycovov xal 7Ca6mv rc5v

i7tLêvyvvov0oov tag ycoviag 6vv tij rjîeeoa tijg AV,5 e6taL drj xal ovtog l'6og trj im(paveia rov iyyeyQa^-

êvov 6%riiiatog. «AAa ta eiQrjêva %coQia i6tl TtQog

akXriXa^ cjg ro ccTto trjg EK itXevQag TtQog tb aito trjg

AA TtXevQccg [nal mg aQa to TtoXvycovov TtQog to 7to-

Xvycavov, 6 M xvxXog TtQog tov N xvxXov]. cpaveQov

10 ovv^ oti xal rj iTticpaveia tov neQtyeyQafi^vov 6%^-

âtog TtQog trjv iTticpdveiav tov iyyeyQafiêvov 6xri-

âtog di7tXa6iova Xoyov e%ei, 7]7teQ rj EK ^tQog AA[tbv de avtov^ ov xal ro 7toXvycovov\

1. 8e] scripsi; 8ri F, milgo. JV] M F; corr. Torellius.

12. triv AA ed. Basil., Torellius (non BC*).


aequalis superficiei figurae circumscriptae [prop. 39

coroll.]. sumatur autem etiam circulus iV, cuius ra-

dius quadratus aequalis sit rectangulo, quod contine-

tur uno latere polygoni inscripti et omnibus lineis

angulos iungentibus ^) cum dimidio lineae AF. erit

igitur etiam aequalis superficiei figurae inscriptae [prop.

35]. sed spatia [rectangula], quae commemorauimus,

eam habent rationem, quam EK^ : AA^ [u. Eutocius].

adparet igitur^), etiam superficiem figurae circumscrip-

tae ad superficiem inscriptae eam habere rationem,

quam EK^ : AA^

1) Debebat esse lin. 3: xal z^g 1'arjg noccaig tatg sni^svy-vvovaatg tag ymvCag avv KtX. cfr. p. 171, not. 4.

2) Nam radii circulorum sint JB, r, et rectangula iis qua-dratis aequalia S, s; erit S : s = EK^ : AA'' = M^ :r^ = M: N

£0t(a jtdXiv xSvog 6 ^ pdoiv êv fôv tc5 M l'6rjv,

vxpog 6s TYiv ix tov xevtQov tijg ikdÔovog 6q)cciQag.

l'6og dij ovtog i^tcv 6 xSvog ro5 TCSQtyeyQa^îvG) 6yri-

\iati 6vv ta X(6v(pj ov ^d6ig 6 tieqI tr^v EZ xvxlog^

5 X0QV<prj ds ro z/. xal £0t(o dXXog xcovog 6 O, ^deiv

li£V l'0rjv £%c!)v ta N, vipog ds trjv dito tov z/ ijcl

trjv AA xd^£tov riyîivrjv. £6taL drj xal ovtog L'6og

t(p iyy£yQa^îva) ^xrjâti 6vv ta X(6v(p^ ov fid^tg 6

7C£qI did^£tQov trjv AF xvxXog, xoQV(prj d£ t6 z/ xiv-

10 tQOV. tavta yaQ Ttdvta TtQoyiyQaTCtai. xal [i7C£i]

i6tiVj cog rj EK TCQog trjv ix tov xivtQov trjg iXd6-

6ovog 6(paiQag^ ovtcag rj AA TCQog trjv dico rov xiv-

tQOV \tov z/] iTCi trjv AA xdd^^tov rjyîvrjv^ id£ix^rj

d£ cog rj EK TCQog trjv AA, ovtcog rj ix tov xivtQOv

15 tov M xvxXov TCQog trjv ix tov xivtQOv tov N xv-

xXov [xal rj did^£tQog TCQog trjv did^£tQOv], £6tai aQa^

cog rj did^£tQog tov xvxXov^ og i6ti pd6ig tov tS, TCQog

trjv did^£tQOV tov xvxXov, og i6ti pd6ig tov O, ovtcog

t6 vipog tov S xcovov jcôg t6 vipog tov O xoavov

20 [oÔiOi aQa £i6lv ot X(DVOi]. 6 S aQa xcovog TCQog tbv

O xoavov tQi7cXa6i0va Xoyov f^ft, yj7C£q rj did^£tQog

XQog trjv did^£tQOv. (pav£QOV ovv^ ot^ xal tb 6%rjiLa

tb 7C£Qiy£yQa^îvov 6vv t(p xcovcp 7CQbg tb iyy^yQa^-

[iivov 6vv Tc5 X(Xivci tQi7cXa6iOva Xoyov i%£iy rj7C£Q rj

25 EK TCQbg AA.

4. Mvx7. cum comp. ov F. 6. tc5] xo F. 8. rco] (prius)

TO F. 12. ovxiog] ov F. 14. ovtcds] per comp. F, ut lin. 18.


sit ^) rursus conus S basim habens circulo M aequa-

lem, altitudinem autem radium sphaerae minoris. hic

igitur conus aequalis est figurae circumscriptae una

cum cono, cuius basis est circulus circum EZ descrip-

tus^ uertex autem z/ [prop. 40 coroU. 1]. et sit alius

conus O basim habens aequalem circulo N, altitudinem

autem lineam a z/ puncto ad ^^ perpendicularem

ductam. erit igitur etiam hic aequalis figurae in-

scriptae una cum cono, cuius basis est circulus circum

j4r descriptus, uertex autem ^ centrum [prop. 38].

haec enim omnia antea scripta sunt. et [quoniam]^)

est, ut EK ad radium sphaerae minoris, ita AA ad

lineam a centro [z/] ad ^^ perpendicularem ductam

[u. Eutocius], demonstratum autem est, lineam EKSid AA eandem rationem habere quam radium circuli Mad radium circuli N [u. Eutocius] ^), erit igitur, ut dia-

metrus circuli, qui basis est coni S, ad diametrum cir-

culi, qui basis est coni O, ita altitudo coni S ad alti-

tudinem coni O. itaque ^ conus ad conum O triplicem

rationem habet, quam diametrus ad diametrum [^rj^ii. 5

p. 82 5 Eucl. XII, 12]. adparet igitur, etiam figuram

circumscriptam una cum cono ad inscriptam una cumcono eam habere rationem, quam EK^ -. AA^,

(Eucl. XII, 2); sed circulis M, N aequales sunt superficies

figurarum. uerba antecedentia delenda sunt; u. praef.

1) De uerbis antecedentibus u. praef.

2) Ex Eutocio adparet, Archimedem ipsum omisisse snstlin. 10 et xov d lin. 13.

3) Uerba sequentia lin. 16 ad idsLxd-r} lin. 13 parum apta(neque enim hoc usquam demonstratum est, nec omnino dediametris quidquam dictum) Archimedis non sunt, qui ex Eucl.

V, 15 tacite concluserat, diametros eandem rationem habere,quam radios.

176 nEPI S*AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

navTog r^7]âros ^cpccigag sXa60ovog r]^t6(paLQL0v

7] BitLfpavsia 167] iorl xvxXc), ov rj ix rov xsvrQov t6ri

icrl rfj aTto rrjg xoQvcprjg rov r^rjârog eTtl rrjv tcsql-

5 (psQSiav riy^svri rov kvkXov^ og s6rc Pa6ig rov r^r]-

ârog rr]g 6(paCQag,

s6ra) 6(paiQa^ xal ^syi6rog iv avrrj xvxlog 6 ABF,'Aal r^rjâ iv avrfj sXa66ov rj^L6(pacQiov, ov ^d6Lg 6

TtSQL rrjv Ar xvxlog TtQog OQâg cHv rc5 ABF xvxl(p'

10 xal siXri^pd^ci} xvxlog 6 Z, oi rj ix rov xsvrQOv l'6r]

i6rl rfj AB' dst dstâL, orL rj iitL^pcivsLa rov ABFr^riiiarog l'6ri i^rl ra Z xvxX<p.

SL yccQ ftrj, s6rco ^slôv rj iitL^pccvsLa rov Z xvxXov

xal slXricpx^G) rb /i xsvrQOv^ xal aTtb rov A iitl ra

15 A, r i7tL^svx^£t6aL ix^s^kri^d^Giâv. xal dvo ^sysd^cov

dvL6ciiv ovrcav^ rrjg rs iitL^pavsCag rov rîjârog xal

rov Z xvxXov, iyysyQdcpd^cj slg rov ABF rofisa ito-

XvycDvov LôTtXsvQov xal aQrLoycovLov, xal aXko rovro)

oÔLOv TtsQLysyQacpd^cj, S6rs rb JtsQLysyQa^fisvov TtQog

20 ro iyysyQa^^svov ild66ova koyov 'i%SLv^ rjjtSQ ri iitt-

(pdvsLa rov rîjârog rrjg 6(paCQag JtQog rbv Z xvxXov.

itsQLSvsi^^svrog df rov xvxXov, cjg xal TtQorsQOv, s6raL

dvo 6%rjâra vTtb xcovlxcov iitLCpavsL^v TtSQLSxo^sva,

d)v rb ^sv TtsQLysyQa^^svov , rb ds iyysyQa^^svov

25 xal rj rov JtSQLysyQa^^svov 6xrjârog iTttcpdvsLa JtQbg

rrjv rov iyysyQa^^svov s6raLy cog rb itSQLysyQa^^svov

TtoXvycovov TtQbg rb iyysyQa^^svov sxdrsQog yaQ rSv

Xoyov dLTtXd^Log i6rL rov, ov s^sl rj rov itsQLysyQa^-

1. ^' F; iiri Torellius. 9. rc5] xo FC*. 14. ta\ xo

FBC*. 18. Tovrw] xovxo F. 28.' ri om. F; corr. Torellius.


XLII.

Cuiusuis sphaerae segmenti minoris hemispliaerio

superficies aequalis est circulo, cuius radius aequalis

est lineae a uertice segmenti ad ainbitum ductae cir-

culi, qui basis est segmenti sphaerae.

sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF, et

segmentum in ea hemisphaerio minus, cuius basis sit

circulus circum AF descriptus ad circulum ABF per-

pendicularis. et sumatur circulus Z, cuius radius

aequalis sit lineae AB. demonstrari oportet^ super-

ficiem segmenti ABF aequalem esse circulo Z.

si enim aequalis non est, sit superficies circulo Zmaior. et sumatur centrum z/, et a z/ puncto ad Aj

r lineae ductae producantur. datis igitur duabus

magnitudinibus inaequalibus, superficie segmenti et

circulo Z, inscribatur sectori ABF polygonum aequi-

laterum, cuius latera^) paria sunt numero, et aliud

huic simile circumscribatur, ita ut polygonum cir-

cumscriptum ad inscriptum minorem rationem habeat,

quam superficies segmenti sphaerae ad Z circulum

[prop. 6 p. 22]. circumuoluto autem, sicut antea^ cir-

culo orientur duae figurae per superficies conicas com-

prehensae, quarum altera circumscripta erit, altera

inscripta. et superficies figurae circumscriptae ad su-

perficiem inscriptae eam habebit rationem, quam po-

lygonum circumscriptum ad inscriptum. utraque enim

ratio duplex est quam ea, quam habet latus polygoni

circumscripti ad latus inscripti [u. Eutocius]. sed

1) Archimedes scripserat uQrioTtXsvQOv lin. 18; cfr. p. 163not. 2.


178 nEPI SÂEPAS KAI KTAINAPOT A'.

^£VOV TtoAvycovov TtXsvQcc TtQog rrjv tov iyysyQa^^svov

TtXevQKV. aXXa ro JtSQtysyQa^^svov TtoXvycovov TtQog

to iyysyQa^fievov sXdaaova

Xoyov £%si, 7]7tsQ rj tov

slQfjfisvov t^T^âtog S7ti(pd'

vsia TtQog tov Z kvkIov.

^Si^cov ds s0tiv ri tov TtsQi-

ysyQa^^svov ^^rniatog sm-

(pdvsia trjg STtitpavsiag tov

10 \ / tî^âtog. xal rj tov iy-

ysyQa^^svov îri^Latog im-

(pdvsia aQa îsi^cov i6ti rov

Z xvkXoV OTtsQ ddvvatov. dsdsixtai yccQ rj siQrj^svrj

tov îriiiatog i7ti(pdvsia sXd66(ov ov6a tov trjXixovtov

15 xvxXov. — s6t(o TtdXiv 6 xvxXog ^sCtôv trjg iiti^pa-

vsiag' xal oÔicog TtsQiysyQd^pdô xal iyysyQacpd^co

ofioia TtoXvycova' xal to TtSQiysyQa^^svov TtQog tb

iyysyQa^^svov iXd66ova Xoyov i%st(o tov, ov s%si 6

xvxXog TtQog trjv ijti^pdvsiav tov t^^^âtog. ovx aQa

20 iXd66cov r] imcpdvsia tov Z xvxXov. iSsix^rj 8s, cog

ovds ^sit^cov i6rj ccQa.

liy.

Kal idv ^Sit,ov riyii6(paiQi0v rj tb t^rjâ, bôCcog

avtov r] iTtitpdvsia i6rj i6tl xvxXco^ ov rj ix tov xiv-

25 tQOv i6rj i6ti tfj djtb trjg xoQvcprjg iitl trjv TtSQicpsQSiav

rjyîvrj rov xvxXov^ og i6ti ^d6ig tov t^rjâtog.

3. syyeyQccfiBvov F. 19. tfi-iqfiatog] Nizze; 6xi]^citog F,

uulgo. 20. sXdaGcov] Nizze; (ist^cov F, uulgo. 21. juft^cov]

Nizze; sXacccov F, uulgo. 22. (la F; fi&^' Torellius. 23.

ro] addidi; om. F, uulgo. 25. satL] satecL per comp. F; corr.

Torellius.

polygonum circumscriptum ad inscriptum minorem

rationem habet^ quam superficies segmenti, quod com-

memorauimus, ad circulum

Z [ex hypothesi]. super-

ficies autem figurae circum-

scriptae maior est super-

ficie segmenti [prop. 39].

itaque etiam superficies figu-

rae inscriptae maior est cir-

culo Z. quod fieri non pot-

est. nam demonstratum est,

superficiem figurae ,quam

commemorauimus, minorem esse eius modi circulo

[prop. 37].

sit rursus circulus maior superficie. et eodem

modo, quo supra, polygona similia circumscribantur

et inscribantur. et circumscriptum ad inscriptum mi-

norem rationem habeat, quam circulus ad superficiem

segmenti [prop. 6 p. 22]. itaque^) superficies minor

non est circulo Z. demonstratum autem, ne maiorem

quidem eam esse. aequalis igitur.

XLIIL

Etiamsi segmentum hemisphaerio maius est, eodem

modo superficies eius aequalis est circulo, cuius radius

aequalis est lineae a uertice ad ambitum ductae cir-

culi, qui basis est segmenti.

1) Uix crediderim hanc demonstrationem totam ab Archi-mede omissam esse. conficitnr hoc modo. sit S superficies

segmenti, et o superficies polygonorum, P et p polygona.itaque ex hypothesi : P : p < Z : S ; sed P : p = : o (u. Eu-

12o*

180 nEPI S<E>AIPAS KAI KT AINAPOT A'.

10

60tG) yccQ 6(patQa, xal iv avrfi [ieyL6ros ycvxXos^

ocal voeiOd^G) rsr^rj^svi] BTtojtedG) OQdâ ra xara rrjv A^'xal ro ABd ekacôv

sGrcy riîCfpaiQCov' xal

^ did^srQog ri BT TtQog

OQd-ag rfi Ad' xal ajto

rc3V jB, r STtl ro A STte-

t,Bv%^c)6av au BA, AF.

Y.ai f(?ra) o ^sv E xv-

xlog^ ov rj ix rov xiv-

tQOv l'6rj i6vl rfi AB, l

de Z KVTclog, ov rj ix.

rov xivrQOv l'6ri i6rl rfj

AF, 6 de H xvKkogj ov rj ix rov TcivtQOv l'6r] i6rl rfi FB.

15 Tcal 6 H KVTcXog aQa l'6og i6rl rotg dv6i xvxXoig rotg

E, Z. 6 ds H TcvTcXog i6og i6r\v oXrj rfj iiti^pavsia

rrjg 6(paiQag [iTtsidrjTtsQ sxariQa rsrQa7tXa6ia i6rl rov

jtsQi did^srQov rrjv BF ocvkXov], 6 ds E xvxXog i'6og

i6rl rfi iitKpavsCa rov ABzl r^rjârog [didsixrai yccQ

20 rovto ijti rov iXd66ovog rjî^cpaiQCov]' Xoiitog ccQa 6

Z xvxlog l'6og i6rl rf rov AF/I r^rjârog iiticpavsCaj

o drj i6ri ^stôv riiii6cpaiQCov.

Havrl ro(ist 6cpaCQag i6og i6rl xcjvog 6 ^d6iv ^sv

25 sxmv i6riv rrj iiticpavsCcx, rov r^riârog rrjg 6cpaCQag

roi; xard rov roîa, vijjog ds i'6ov rf ix rov xivrQOv

rrjg 6cpaCQag.

s6rG) 6cpatQa, xal iv avrfj fiiyi6rog xvxkog 6 ABA,

7. rav B, F] tcov F F; corr. ed. Basil.*; tov F B. .14.

FB] AB F, supra scripto F manu 2. 20. elccGaoavog F. 22.

I

sit enim sphaera, et in ea circulus maximus, et

fingatur secta plano perpendiculari in linea A^ po-

sito. et ABA segmentum minus sit hemisphaerio. et

diameter BT perpendicularis sit ad lineam A^. et

a punctis 5, F ad ^ ducantur lineae BA, AT. et sit

E circulus, cuius radius aequalis sit lineae AB, Zautem circulus, cuius radius aequalis sit lineae AT,H autem circulus, cuius radius aequalis sit lineae TB.

itaque circulus H aequalis est duobus circulis Ej Z.^)

sed circulus H aequalis est toti superficiei sphaerae

[Eucl. XII, 2; prop. 33], et E circulus aequalis est

superficiei segmenti ABA [prop. 42]. itaque qui re-

linquitur circulus Z, aequalis est superficiei segmenti

ATzly quod hemisphaerio maius est.

XLIV.

Cuiuis sectori sphaerae aequalis est conus basim

habens superficiei segmenti sphaerae aequalem, quod

in sectore est, altitudinem autem radio sphaerae ae-

qualem.

sit sphaera, et in ea circulus maximus ABjd^ et

tocius); itaque 0:o<Z:Sd:0:Z<<o:S, quod fieri nonpotest; nam o < S (prop. 36), sed > Z (prop. 40).

1) Nam J2" : Z : E = JBF^ : AV : AB^ (Eucl. XII, 2), et

cum angulus BAF rectus sit (Eucl. III, 31), erit

Br^ = Ar^ + JE2 (Eucl. I, 47);

tum u. Quaest. Arch. p. 48.

(iSL^ov] scripsi; fisL^av F, uulgo. 23.'ii8' F; v Torellins.24. §acL F.

182 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOr A'.

xal xsvtQov to r, xal xcovog ^doiv fihv excav tbv hv-

xlov tov l'6ov trj xatcc trjv AB/J TCeQicpiQBiav hci-

(pavsva, vilôs de l'6ov tfj BF. decKtaov, otv 6 tofisvg

6 ABFd l'6og i6tl rc5 svQrjîvcy TtavG).

5 sv yccQ ^T], s6tG) lisv^mv 6 to^svg tov kcovov xal

%sv6%^G) 6 @ xcivog, olog stQrjtav. dvo drj ^sysdâv

dvv6c3V ovtov, tov roîog xal tov xcavov^ svQrj-

Od^coOav dvo yQaîial av A, E, ^svôv ds rj A trjg E,

xal iXa66ova koyov iîto rj A TtQog E, rJTCSQ 6 to-

10 jy ^svg TtQog tov xovov.

xal svlri(pô6av 6vo

yQa^âl av Z, H,

OTtog rcj l'6o v7tSQi%ri

rj A trjg Z, xav rj Zf^g H, xal r] H trjg

E. xav TtSQv tbv iitv-

Ttsdov toîa xov xv-

xXov jtsQvysyQcicpdô

jtolvyovov vÔTtksv-

20 ^ZffE Qov xal aQtvoyo3Vvov,

xal tovto oôvov

iyysyQccipdô , oitog

ij rov TtsQtysyQa^-

îvov jiksvQa ika6-

25 /L X 6ova loyov s%ri itQog

trjv tov iyysyQapîivov tov^ ov s%sv r] A TtQog Z. xav

oôvog tovg TtQotsQOV TtsQvsvs^dîmog tov xvxXov ys-

ysvi^^dô dvo 6%riâta vTto xcai^r^ccUv iTtvcpavsvov itsQv-

s%6^sva. ro aQa jtSQvysyQafiîvov 6vv rw xojvo to

15

1. Koovog] scripsi; Hcovog o F, uulgo. 8. A bis scripsi, ut


centrum Fy et conus basim habens circulum aequalem

superficiei in ambitu ABzi positae, altitudinem autem

lineae BF aequalem. demonstrandum est, sectorem

ABFzt aequalem esse cono, quem commemorauimus.

si enim aequalis non est, maior sit sector cono.

et ponatur conus ® talis, qualem commemorauimus.

datis igitur duabus magnitudinibus inaequalibus , sec-

tore et cono S^ inueniantur duae lineae A, E, maior

autem A linea E, et minorem rationem habeat A ad

E, quam sector ad conum [prop. 2]. et sumantur

duae lineae Z, H, ita ut ^) aequali spatio excedat linea

A lineam Z, Z lineam Hy H lineam E. et circum

sectorem planum^) circuli circumscribatur polygonum

aequilaterum, cuius latera^) paria sunt numero, et ei

simile inscribatur polygonum, ita ut^) latus circum-

scripti ad latus inscripti minorem rationem habeat,

quam A : Z [prop. 4]. et eodem modo, quo antea,

circumuoluto circulo oriantur duae figurae per super-

ficies conicas comprehensae. figura igitur circum-

1) onoag pro mats (ut Hn. 22 et supra p. 8, 18; prop. 3

p. 14, 22; 4 p. 18, 23; cfr. ad II, 4) transscriptori debetur; u.

Quaest. Arch. p. 70. cfr. ivcc prop. 5 p. 20, 22; p. 22, 27.

2) sitCnsdov fortasse delendum ; redundat adiuncto rovv,vyXov.

3) aqxtonXsvfiOv , non aqtioymviov Archimedes scripserat;

u. p. 153 not. 2.

lin. 9, 14, 26 (et in figura) cum Cr.; J ubique F, uulgo.

21. tovto F. 25. I';t2?] ^C*; bxbi F, uulgo.

184 nEPI 2$AIPA2 KAI KTAINAPOT A'.

KOQV(priv aiovxL rb F 6rj^stov JtQog to iyyeyQa^îvov

6vv xa X(6vcy tQi7tXa6L0va koyov sxsl rov, oV s^sl

rj nlsvQa rov TCSQLysyQa^^svov JtoXvymvov TCQog trjv

JtksvQav tov syysyQa^^svov. aXXa rj tov TtSQLysyQa^-

5 ^svov sld66ova Xoyov 's%sl^ TjTtsQ rj A TtQog Z. iXd6-

6ova koyov aQa s^sl ^ tQL7tXd6L0v tb SLQrj^svov 6ts-

Qsbv 6xrjfia rov t^g A TtQbg Z. rj ds A TtQog E ^SLôva

koyov s%SL tj tQLitld^LOv Tot) tr]g A itQbg Z. tb aQa

TtSQLysyQa^îvov 6xrjâ 6tsQsbv ta toybst TtQbg tb iyys-

10 yQa^^svov 6xrjâ iXd66ova koyov s^sl tov, ov s%sl rj

A TtQbg E. r] ds A itQbg E ikd66ova koyov sx£l, t] 6

6tSQsbg to^svg TtQbg tbv xoavov. ^SLôva aQa Xoyov

s^SL 6 6tsQsbg to^svg JtQbg tbv ® ocavov, ^ ro

TtsQLysyQa^^svov t<p to^st 6xrjâ TtQbg tb iyysyQa^-

15 îvov xal ivakkd^. ^stôv di i6tL ro TtsQtysyQaîii-

vov 6tSQsbv 6%rjâ tov t^rjiiatog. aal ro iyysyQa^-

îvov aQa ^xrjâ iv rc5 to^st ^stôv i6tL rov & kojvov

OTtSQ ddvvatov. didsLxtaL yaQ iv totg dvo ska66ov

bv tov tr^kLKOvtov xoivov \tovti6tL rov sxovtog ^d6Lv

20 ^sv KVTckov^ ov r] ix tov xivtQOv L6r] i6tL tt] dnb t^g

xoQV(pr]g ro{> t^7]âtog ijtl tr]v TtsQLCpSQSLav iitL^svyvv-

lnivY] svd^SLcc rot)' TtvKkov, og i6tL pd6Lg tov tfii^fiatog,

vxfjog ds tr]v iK tov KivtQOV trjg 6(paLQag. ovtog di

i6tLV 6 slQr]îvog Koivog 6 ®' pd6LV ts yccQ sx£l kv-

25 Kkov l'6ov tij i7tL(pavsLa tov t^rjâtog, tovti6tL ta

4. Post TCSQLYeygafiiisvov addit Torellius: JtQog triv tov iy-

ysyQCiiifisvov. 5. A] scripsi cum Cr., ut lin. 7 bis, 8, 10, 11

;

J ubique F, uulgo; cfr. p. 182, 8. 12. ^siôva ccqu Xoyov

^XSi GtSQSoq to^svg TtQog tov "Aaivov] addidi; om. F, uulgo.

13. 7] to] t6 aQa ed. Basil., Torellius, 14. Post to syysyQafifis-

vov addunt ed, Basil., Torellius: sXacaova Xoyov sxsi, r] 6 ots-

Qsog tofisvg TtQog toi' @ noovov] sic etiam Cr. 16. t^rjiiatogl

to^scog Nizze.


scripta cum cono uerticem habenti punctum F ad figu-

ram inscriptam cum cono triplicem rationem habet,

quam latus polygoni circumscripti ad latus inscripti

[prop. 41]. sed latus polygoni circumscripti [ad latus

inscripti] ^) minorem rationem habet, quam A : Z. ita-

que figura solida [circumscripta cum cono ad figuram

inscriptam cum cono]^) minorem rationem habebit,

quam A^ : Z^. sed AiE^A^iZ^.^) itaque figura

solida circum sectorem circumscripta*) ad figuram in-

scriptam minorem rationem habet, quam A : E. sed

A 2id E minorem rationem habet, quam sector soli-

dus ad conum [ex hypothesi]. maiorem igitur rationem

habet sector solidus ad conum 0, quam figura circum

sectorem circumscripta ^) ad inscriptam.^) et uicissim.

maior autem est figura solida circumscripta sectore

[prop. 39].') itaque etiam figara sectori inscripta maior

est cono 0. quod fieri non potest. nam supra de-

monstratum est, minorem eam esse eius modi cono

1) Haec uerba transscriptor potius quam aut Arcliimedesaut librarius omisit.

2) Ne liaec quidem ab Archimede omissa esse puto.

3) U. Eutocius ad prop. 34; Quaest. Arch. p. 51.

4) Sc. avv To5 Koavo}, quod in sequentibus etiam saepeomittitur,

5) Sc. 6VV ro5 xcovci).

6) Ex Eutocio comperimus, Archimedem scripsisse: t6 aganEQLysyQocfiftsvov atsqsov ngog to syysygafifisvov sXcc6aova X6-

yov ^xsi ^ 6 GtSQSog tofisvg nQog tov @ xoovov, et ita locumcorrexit ed. Basil.; sed tum non intellegitur

,quo modo uerba

illa in codicibus exciderint. quare satius duxi aliud supple-

mentum recipere, et discrepantiam transscriptori tribuere.

7) Hic quoque omittitur, ut etiam lin. 17: avv tm hcovco]

praeterea falsum nerbum t(jLi]fiatog transscriptoris est.


siQrj^Bvc) kvkXg} xal vtlfog tcov tfj ix rov xdvtQOV trjg

ag)ttLQag]. ovx aQa 6 OtSQeog toêvg êi^cov iotl tov

& XCOVOV. — £0tG} dij TtdkiV 6 ® XOJVOS tOV 0tSQ£OVj

toîcag ^£i^G)v. ndkiv drj oôtcog rj A itQog trjv E5 fi£t^c3v avtrjg ov0a ikd66ova koyov ixitca rot), ov sxsi

6 xmvog TtQog roi/ toîa. xal bôiog siXrjipd^coCav ai

Z, H, Sots sivat tdg dtatpOQag tdg avtdg' xal tov

TtsQiysyQa^nivov TtSQi tov ijtiTtsdov toîa Ttolvycovov 1

aQtioycaviOv 7] TtXsvQa JtQog trjv tov iyysyQa^îvov^^

10 ikdcGova koyov i%itci tov, ov sxsi rj A itQog trjv Z* |

xal ysysvrjOd^co td TtsQi tbv GtsQsbv toîia OtSQsd a^V'

âta. oÔicog ovv dsiô^sv, oti tb TtSQtysyQa^fiivov

TtsQl tbv toîia (jtSQsbv dxrjâ JtQbg tb iyysyQcc^îvov

iXdoôva koyov sxsi rov, ov rj A TtQbg E, xal rov,

15 ov s%si ® xdovog ^Qbg tbv toîa [Sots xal 6 to^svg

TtQog tbv xSvov iXd00ova Xoyov ix^t^ r]7t£Q tb iyy£-

yQa^îvov 0t£Q£bv iv ta t^rjâti TtQog tb 7t£Qiy£yQa^-

îvov]. ^£i^cov di ictiv b toî^vg tov iyy£yQa^îvov

Sig avtbv (?;^7jf(-arog* ^î^cov ccQa 6 @ xcovog roi) 7t£Qi-

20 y£yQa^îvov ^xrjâtog' 07t£Q ddvvatov [didîxtat yaQ

tovto, oti 6 trjXixovtog xcovog iXdoocov i6tl tov 7t£Qi-

y£yQa[Lîvov Oxriii^ci-tog it^Qi tbv toîa]. toog ccQa 6

toii£vg rw ® xoovco.

4. to(ieoag] scripsi; tofisvg FA; tofisog uulgo. A] scripsi

cum Cr., ut lin. 10, 14; d ubique F, uulgo. 7. SiatpoQug]

scripsi; Svo nXsvQocg F, uulgo; vnsQOxdg Hauber; Nizze. 11.

tov] tcov per comp. F.

[prop. 38 coroll.].^) itaque sector solidus maior non

est cono &.

sit igitur rursus conus ® maior sectore solido.

rursus igitur eodem modo A linea maior linea E ad

eam minorem rationem habeat, quam conus ad sec-

torem [prop. 2]. et eodem modo sumantur lineae Z,

Hy ita ut dijBPerentiae eaedem sint. et latus polygoni

[aequilateri], cuius latera paria sunt numero^), circum

sectorem planum circumscripti ad latus inscripti mi-

norem rationem habeat, quam A : Z [prop. 4]. et

oriantur figurae solidae circum solidum sectorem de-

scriptae.^) eodem igitur modo demonstrabimus, figuram

solidam circum sectorem circumscriptam*) ad inscriptam

minorem rationem babere, quam A : E^ et quam conus

& ad sectorem.^) maior autem est sector figura ei

inscripta [prop. 36].*) itaque & conus maior est figura

circumscripta.*) quod fieri non potest [prop. 40 co-

roll. 2; cfr. prop. 42—43; u. not. 1].^) itaque sector

aequalis est cono 0.^).

1) Ex prop. 42—43 sequitur, basim eius aequalem esse cir-

culo prop. 38 coroll. commemorato.2) Archimedes scripserat lin. 9: lconXsvQov xal aqtionXiv-

Qov, u. p. 163 not. 1.

3) Debebat esse: noXvymva ro (isv negiYsyQaiJLiiBvov, ro dh

iYysyQUfifievov; fortasse delenda sunt uerba: y,al ysyev^ad-o) lin.

11 — axri(iaTOi lin. 12.

4) Sc. 6VV tm 'ncovcpj quod idem omittitur lin 19; 20; u.

p. 185 not. 7. '

'

5) Sint F, f figurae solidae, L, 1 latera polygonorum. erit:

F : f = L' : P (prop. 41) <, A^ : Z^ (ex hypothesi) <: A : E(p. 185 not. 3) << 6> : sectorem (ex hypotkesi). sequentia uerbalin. 15—18 subditiua sunt; Archimedes scripsisset: xal ivaX-Xa|. pro prauo Tfirjfiati lin. 17 Nizzius coni. tofiet.

6) Sequentia transscriptori tribuerim, maxime ob tovtolin. 21; cfr. Neue Jahrb. Suppl. XI p. 388.

7) In fine: AQxift^riSovs nsQi acpaiQag xat yivXivdQOV d F.

IlQoreQov êv sTtB^rsLXccg ôc yQccipai rcov TtQopXrj-

^drov rccg dTtodsi^scg, mv avrog r«s TtQordesLg dn-

s6rsika Kovcavi. 6v^âivsi ds avrmv rd TtXstera yQd-

5 (ps6dâi did rSv d^sc^Qrj^drcDV^ wv TtQorsQOv d%s6rsild

0Oi rdg djtodsi^sig, ort rs Ttd^rjg dcpaiQag tj siticpdvsia

rsrQanXa^Ca s6ri rov ^syi6rov kvkXov rmv iv rrj

^cpaiQa^ Tcal diort Jtavrog rîjârog 0(paiQag rfj im-

Kpavsia i6og iarl TivxXog^ ov rj ix rov xsvrQOv l'0rj

10 i6rl r^ svd^sia r^ dito rrjg xoQVCprjg rov r^rjârog iTtl

rrjv TtSQicpSQSiav rrjg ^dosog dyo^svr]^ xal dion Ttdorig

(3(paiQag 6 TcvXivdQog 6 ^d^LV ^sv sxcov rov ^syi6rov

KvxXov rc3v iv ry 6(paiQcc^ v-ôg ds l'6ov ry dia^srQG}

rrjg 6(paiQag avrog rs rjîohog i^ri rc5 fisysd^si rrjg

15 6(paiQag^ xal ri iTticpdvsta avrov rjîokia rrjg i7ti(pa-

vsCag rrjg 6cpaiQag^ xal dion Ttdg ro^svg OrsQSog i6og

i6rl zcov(p np ^d6iv ^sv sxovn rbv xvxXov rov i6ov

r^ imcpavsicc rov rîjârog rrjg 6(paiQag rov iv ra

roftft, vtljog ds i6ov rfj ix rov xivrQOv rijg 6cpaiQag,

20 o6a ^sv ovv rc5v d^scoQrnidrcjv xal TtQO^Xrj^drov yQa-

(psrai did rovrov rov d^scoQrj^drav^ iv rads re5 î-

1. JmGLd^sat F, corr. Torellius. 3. ttnoSsL^rjg F. 4. Kco-

vcavi F, uulgo. 5. Q^Boqriâ.toiv F. 8. 8i6ti\ scripsi; 8ri oti

F, uulgo. tiLTniatog] om. F; corr. Cr., ed. Basil. 16. dioti]

Srj oti Barrowius. 21. 8ia tovtcov tav^ cum B; Siavtovtcjv

tav F.

II.


Antea me admonuisti, ut demonstrationes eorum

problematum perscriberem, quorum propositionesjpse

Cononi miseram.^) accidit autem, ut pleraque eorum

conficiantur per ea theoremata, quorum demonstrationes

antea tibi misi^): cuiusuis spbaerae superficiem qua-

druplo maiorem esse circulo maximo sphaerae [I, 33],

et superficiei cuiusuis segmenti sphaerae aequalem esse

circulum, cuius radius aequalis sit lineae a uertice

segmenti ad ambitum basis ductae [I, 42— 43], et cy-

lindrum basim habentem circulum maximum sphaerae,

altitudinem autem diametro sphaerae aequalem et

ipsum dimidia parte maiorem esse sphaera et super-

ficiem eius superficie sphaerae dimidia parte maiorem

[I, 34 7c6Qi6^a]j et quemuis sectorem solidum aequa-

lem esse cono basim habenti circulum aequalem super-

ficiei segmenti sphaerae in sectore positi, altitudinem

autem radio sphaerae aequalem [I, 44]. quaecunque

igitur theoremata et problemata^) per haec theoremata

1) Erant praeter problemata huius libri propositiones quae-dam de helicibus (cfr. infra) et de conoidibus rectangulis (Quaest.

Arch. p. 11).

2) In libro I de sphaera et cyHndro.

3) Septem problemata, tria theoremata, quorum primum(II, 2) Cononi missum non erat (Neue Jahrb. Suppl. XI p. 392not.)

; pro ceteris duobus experiendi causa falsa miserat Archi-medes. u. praef. ad librum nsQt sXUcov.

190 nEPI 2*AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.

^kcG) yQaâg aTti^xaknd 60i' o0a de dt' aXXrjg bvqC-

6K0vtai d^scoQcag, xd rs tzsqI sXlxcdv xal xd TtEqil xcov

KcovostdcoVy JCELQaôâL did xdxovg d7to6xEtXai.

To 6e TtQCDXov rjv XC3V TtQopXfj^dxov xoSe'

5 6(paLQag dodÊt^rjg ijtiTtEdov xoqlov evqelv l6ov xfj

ETtLfpavELa xrig 6cpaLQag.

E6XLV ds XOVXO (paVEQOV SEdELyÊVOV ix XWV TtQO-

ELQrjîvcov dÊcoQrj^dxcov. xo yaQ xEXQaitXd^LOv xov

fiEyL6xov xvxXov X(DV iv xfi 6(paLQcc iitiitEôv xe X'^'

10 QLOv i6xl xal l6ov xij im^pavELa xijg 6(paLQag.\

r

a .

To dEVXEQOv iiv' Kcivov dodîvxog rj JtvXivdQOV

6(paLQav EVQELv rc5 xcavc) rj rc5 KvkCvdQ^p i6r}v.

E6XG) 6 dLdoÊvog Ko5vog i] KvXLvdQog 6 A^ xal xa

15 A L6r] fj B 6(paLQa' xal xsC^d^co xov A neavov rj kv-

XCv6qov rj^LoXLog TtvXLvdQog 6 FZ/J^ xrjg ds B 6(paC-

Qag rj^LokLog KvXLvdQog, ov ^d6Lg 6 TtEQL dLdÊXQOv

xrjv H& KvxXog, dâv ds 6 KA L6og x^ diaîxQ(p

xrjg B 6(paCQag. L6og aQa i6XLV 6 E KvkLvdQOg tc5 K20 KvKCvdQGi [xciv ds l^cdv KvXCvdQcov dvXLTtEJtOVdâ^LV

ai pd6£Lg xotg vi(^£6lv]. cog aQa 6 E xvnXog TtQog xov

K xvxXov, xovxi6XLv cog xo djtb xrjg JTz/ TtQog xo djto

xrjg i/0, ovxcog rj KA JtQog EZ. L6rj dl rj KA xq

HS [6 yaQ rj^LoXiog xvXLvdQog xrjg 6(paCQag l6ov bxev

25 xov dôva xfj dLaîxQG) xrjg 6(paCQag^ xal 6 K xvxXog

îyL6x6g i6xL xcov iv xfi 6(paCQC!i]. cog ccQa x6 diio FATtQog xb ditb H®^ ovxcog rj H® TtQbg xrjv EZ. i'6XG>

4. a Torellius; cfr, Quaest. Arch. p, 156. 5. fv^gtv]

£VQ cum comp, rjv uel iv F. 11, |5' Torellius. 13. srrQStv

ut lin. 5 F. 14. dsSofiivog? 16. ofiLoXiog F. 19. E] B F;corr. ed. Basil, 27. ovtcog] per compend. F, ut p. 192 lin, 2 et 4.

DE SPHAERA ET CYLINDRO II. 191

conficiuntur, hoc libro perscripta tibi misi. sed quae-

cunque alia disputationis ratione reperiuntur, de helici-

bus et de conoidibus, mox mittere conabor.

Primum autem problema hoc erat:

data sphaera planum spatium inuenire superficiei

sphaerae aequale.

hoc autem manifestum est ex theorematis antea

propositis demonstratum. nam quadruplum circuli

maximi sphaerae spatium et planum et superficiei

sphaerae aequale est [I, 33].

I.

Alterum erat: dato cono uel cylindro sphaeram

inuenire cono uel cylindro aequalem.^)

sit conus uel cylindrus datus A, et figurae Aaequalis sphaera 5. et ponatur cono uel cylindro Adimidia parte maior cylindrus FZzl^) [u. Eutocius],

et sphaera B cylindrus dimidia parte maior, cuius

basis est circulus circum diametrum H& descriptus,

axis autem KA diametro sphaerae B aequaiis [I, 34

7c6Qc6â\. aequalis igitur cylindrus E cylindro K,

itaque E : K^ hoc est

rz/2 : H@2 [Eucl. XII, 2] ==KA: EZ.^)

aed KA^ H®.^) itaque FA^ : H@^ ^ H@ : EZ. sit

1) Lin. 13: Larjv r<p xcofo) r) tm v.vXlv8q(p habet Archime-des in praef. Tcsql iXCv.(ov.

2) Archimedes scripserat: slXricpQôi tov dod^svtog tioavov rj

tivXLvdQov rjfiLoXiog yivXLvSQog (Eutocius).

3) Eucl. XII, 15; cfr. I lemm. 3—4 p. 82.

4) Quia ex I, 34 noQLGâ basis cylindri circulo maximoaequalis est, diametrus igitur sphaerae diametro aequalis.

192 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT B

rc5 ccTto H@ l'6ov to V7t.6 Fz/, MN. cog ccqk rj J^z/

TtQog MN, ovrcog tb cctco F^d itQog to dTto H&, tovt-

£0tL 7] H® TtQog EZ. Tcal ivaXld^^ G)g rj Fzi itQog

tfjv H@, ovtcag rj H0 itQog trjv MN^ xal r] MN5 TtQog EZ. KaC iativ dodstCa BTcateQa tcov J^z/, EZ.

dvo ccQa dod^SL^cSv evd^stcjv tcov i^z/, EZ dvo îcav

dvdXoyov ei6lv ai

H®, MN. dod^staa

ccQa exdtSQa tmv

10 \ / \ / He, MN.dvvtsd^ri^sraL ds

to TtQo^lrjfia ovrojg.

66tG) dri 6 dod^slg

jcfDVog 7] KvlcvdQog

6 A. dst drj ta A7C(6vc} 7] KvXivdQp

iOrjv 0(patQav svQStv.

s6ta) tov A KCJ-

vov 7] KvXivdQOv rjî-

20 ^ff' r ^\ -^' I oliog TCvlivdQog, ov

pdCig 6 TtsQi did^s-

tQOv trjv FA xvxlog,

d^cov ds 6 EZ. xal slXricpQ^co tcov Fz/, EZ dvo fteWt

dvdXoyov at H&, MN, SiSts slvai cog trjv F^ TtQog trjv

25 H@, rrjv H@ TtQog f^v MN, nal trjv MN JtQog tr]v

EZ. xal vosi^d^co TcvXivdQog^ ov ^dîg 6 TtSQl did^s-

tQOv trjv H& Tcvxlog, d^cov ds 6 KA i6og tfj H@dia^stQC). Isyco dij, ort l'6og s6t\v 6 E xvXivdQog roj

K xvXivdQC). xal sjtsi s(5tiv^ (hg rj FA TtQog H&^ rj

15

9. rwv] xcav xriq F; corr. ed. Basil. 11. 8b\ scripsi; dr]


H®^ = r^ X MN, itaque Tz/ : MN= Tz/^ : if V)hoc est = H& : EZ. et uicissim [Eucl. V, 16]

r^ : H0 = He : MN= MN : EZ})

et utraque linea Fz/, ^Z data est. itaque duarum

linearum datarum FJ, EZ duae mediae proportiona-

les sunt H®, MN. itaque utraque linea H®, MNdata est.

componetur autem problema hoc modo. sit conus

uel cylindrus datus A, oportet igitur sphaeram cono

uel cylindro A aequalem inuenire.

sit cono uel cylindro A dimidia parte maior cy-

lindrus, cuius basis est circulus circum diametrum Fz/

descriptus, axis autem EZ linea. et sumantur^) inter

lineas Pz/, EZ duae mediae proportionales HS, MN[u. Eutocius], ita ut sit

FA :H® = H&: MN= MN : EZ,

et fingatur cylindrus, cuius basis sit circulus circum

diametrum H® descriptus, axis autem KA diametro

H& aequalis. dico, cylindrum E aequalem esse cy-

lindro K, nam quoniam FA : H@ = MN : EB et

1) Quia rj : H0 = H@ : MN-, tum u. Eucl. V def. 10.

2) Debebat sic concludi:

FJ : MN = H0 : EZ d: FzI : H0 = MN : EZ (Eucl.Y, 16);sed ex hypothesi est FJ : H0 = H® : MN. fortasse uerbumIraUa^ lin. 3 delendum est.

3) Archimedes posuerat svQ^od^cooav^ lin. 23, ut habet Eu-tocius.

F, uulgo. 12. ovrcog per comp. F. 15. toj] to F. 29.

xal insQ snsl yaQ?

/chimedes, ed. Heiberg. I. 13

194 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT B'.

MN TtQog EZ^ xal ivakld^^ xal l'6rj rj H& rrj KA[c3g cLQa rj JTz/ TCQog MN, xovxaCXLV cog ro aTtb xijg

Tzl TCQog xo aito H&, ovxag 6 E xvxôg TtQog xov

K xvxXov]' cog aâ 6 E xi^xAog TtQog xov K xvxXov^

5 ovxcjg rj KA TtQog xrjv EZ [xav ccQa E, K xvkCvdQov

civxiTtSTtovdâOLV aC â^Big xotg v'ê6Lv\ tcog ccQa 6 ExvhvdQog xa K xvlivdQcy. 6 ds K xvhvdQog xrjg

6q)aiQag, rjg didêxQog rj H@, rjîoXiog icxiv. xal rj

CcpaiQa ccQa^ rjg rj did^sxQog l'0r} i(5xi x\] if0, xovx-

10 i^xiv rj jB, l'6r} i6tl to5 A xcjvc) t] xvkCvdQC).

/3'.

Havxl x^rniaxi xrjg 6(paCQag i6og icxl xcjvog 6 ^doiv

^sv SXC3V xrjv avxrjv xa xî^âxi, vipog ds svd^stav,

rjxig TtQog xo vilôg xov x^rjâxog xbv avxbv Xoyov

15 s%si^ ov Ovva^cpoxsQog r] xs ix xov xivxQov xrjg (5cpaC-

Qag xal xb vtjjog xov XoiTtov x^rjâxog TtQbg xb vipog

xov koiTtov x^riiiaxog.

S6XCD ^cpatQa^ ivfj

îyi^xog xvxXogj ov did^sxQog

rj AF' xal xsx^ri(5ûi iitiTtid^p rj (ScpatQa xg) did xrjg

20 5 Z TtQbg oQd^dg xfj AV' xal sOxco xivxQov xb ®. xal

TtSTtOirjCd^cj, cog 6vva^(p6xsQ0g r] ©A^ AE TtQbg xrjv AEôvxcjg rj Ê TtQbg FE. xal TtdXiV TtsTtOiri^d-o ^ cog

0vva^(p6xsQog rj SF^ FE TtQbg FE, ovxcag rj KETtQbg EA. xal dvaysyQdcpdôoâv xojvoi djtb xov xv-

25 xkov xov jtSQi did^sxQov xr]v BZ xoQvcpdg s%ovxsg xd

K^ A 6r]^sia. Xiyo^ oxi t(5og i&xlv 6 ^sv B^Z xcovog

6. ^cca cum comp. rjg F. 10. B] HB F. 11. y To-rellius. 19. ral] tmv per comp. F; corr. B*. rijg] Nizze; ^

rmv F, uulgo. 25. sxovta F; corr. B*.


uicissim [Fz/ : MN = H® : EZ, Eucl. V, 16]; et

H& == KA, erit igitur^) E:K = KA : EZ?) itaque

cylindrus E aequalis est cylindro K [Eucl. XII, 15;

cfr. 191 not. 3]. sed cylindrus K dimidia parte maior

est sphaera, cuius diametrus est H&. itaque etiam

usphaera, cuius diametrus aequalis est lineae H®^ hoc

est 5, aequalis est cono uel cylindro AF)

II.

Cuiuis segmento sphaerae aequalis est conus ba-

sim habens eandem, quam segmentum, altitudinem

autem lineam, quae ad altitudinem segmenti eam ra-

tionem habet, quam radius sphaerae una cum altitu-

dine reliqui segmenti ad altitudinem reliqui segmenti.

sit sphaera, et in ea circulus maximus^ cuius dia-

metrus sit AT. et sphaera secetur plano per BZ lineam

posito ad AT lineam perpendiculari. et centrum sit 0.

et fiat*) ®A-\- AE:AE= AE: TE. et rursus fiat^)

@r + TE : TE = KE : EA, et construantur in cir-

culo circum diametrum BZ descripto coni uertices

habentes puncta K^ z/. 'dico, conum BAZ aequalem

1) TJerba cog aqa lin. 2 — K %v'aIov lin. 4 deleo. nequeenim inde, quod FJ : H@ = MN : EZ et H@ = KA, con-cluditur rz/ : MN = E : K; hoc enim ex Eucl. V def. 10 et

XII, 2 sequitur (u. not. 2).

2) Namr^: MN= H0 : EZ = KA : EZ; sed F^: MN= Td^ : H@^(Eucl. V def. 10) = E: K (Eucl. XII, 2) d:.E : K == KA: EZ.uerba sequentia deleo; cfr. p. 190, 20.

3) K = %-B; sed E = %A (ex hypothesi). quare cumK= E, erit %B = %A d: B = A.

4) Archimedes scripserat ygyovfTco lin. 21 ;Quaest. Arch. p. 70.

5) H. e. ysyovsTO) lin. 22; u. not. 4.

13*

196 nEPI SÂIPA2 ICAI KTAINAPOT B'.

ra %ata ro F r^riâri rrig 0(paiQag, 6 de BKZ rc5

Tcara t6 A drj^stov,

STte^svx^coOav yccQ ai B0, @Z, %al vosiGâ Tcavog

^d^LV }isv syGiv rbv tcsqI did^srQOv rrjv BZ xvxkov,

5 KOQViprjv ds ro 6Yj^SiOVc Kal s6rco xcovog 6 M ^doiv

s%c3v %v7iXov iCov rfj siticpavsCa rov BFZ r^rjârog

rrjg 6(paiQag, rofreWtv ov rj sk roi> xsvrQOV i'6rj sorl

rfj BF^ vipog ds i6ov rrj stc roi) KsvrQOv rrjg 6(paiQag.

s0rai drj 6 M Tccjvog i6og rc5 BFSZ 6rsQsa ro^st.

10 rovro yccQ dsdsiTcrai sv r<p TtQoarco î^XCip. sitsl ds

s6riv, (Dg rj ztE TtQog EFj ovrcog 6vva^cp6rsQog rj SA^

AE TtQog AE, disXovn s6rai, mg rj JTz/ TtQog FE^

ovrog rj @A TtQog AE^ rovrs6riv rj F® TtQog AE'%al svaXXd^, cog rj AF TtQog F® s6riVy ovrcog rj FE

15 jtQog EA. xal ^vvd-svn, (Dg r} 0A TtQog &r, r] FATtQog AE, rovrs6n rb djtb FB TtQog rb ditb BE. coj

aQa rj A@ TtQbg FS, ro ditb FB TtQbg ro djtb BE.

l'6ri ds s6riv rj FB rfj s% rot) TcsvrQOv rov M xvxlov,

rj ds BE SK xov xsvrQov s6rl rov tisqI did^srQOv rrjv

20 BZ xvxXov. (hg ccQa rj A& TtQog 01^, 6 M xvxlog

5. ^ccaiv (isv ed. Basil., Torellius. 9, EGtui per comp. F.

11. ovtag] Nizze; ovtm F, uiilgo. 20. nQog per comp. F.


esse segmento sphaerae ad JT punctum posito, conum

autem BKZ segmento ad Jt punctum posito.

ducantur enim lineae B®^ ®Zj et fingatur conus

basim habens circulum circum5Z diametrum descrip-

tum, uerticem autem punctum ®. et sit conus M, ba-

sim habens circulum superficiei segmenti sphaerae

BFZ aequalem, h. e. circulum, cuius radius aequalis

est^r*^), altitudinem autem radio sphaerae aequalem.

erit igitur conus M aequalis sectori solido BF&Z,hoc enim in primo libro demonstratum est [I, 44].

sed quoniam ^E : EF = SA + AE : AE [ex hypo-

thesi], dirimendo erit [Eucl. V, 17]

r^ : TE = 0A : AE =^ r& : AE,

et uicissim [Eucl. V, 16] ^r:r& = TE: EA, et

componendo [Eucl. Y, 18]

®A :@r=rA:AE = FB^ : BE^ [u. Eutocius].

itaque A® : r@ = TB^ : BE\ sed FB aequalis est

radio circuli M [1, 42], et BE aequalis radio circuli

circum diametrum BZ descripti. itaque ut ^® ad 0r,ita circulus M ad circulum circum diametrum BZ de-

1) Ex I, 42. sed fortasse uerba: tovTsativ, ov r] iyi tov^svtQov iGTj iatl tii Br delenda sunt (lin. 7—8.)

198 nEPI 2ÂIPAS KAI KTAINAPOT B'.

TCQog rbv 7C6qI didÊXQOv rrjv BZ TivxXov. KaC b6xiv

l'0rj rj @r t^ aôvL rot} M tccovov. xal (6g aQa rj

z/0 JtQos tov aôva rov M xcovov, ovtcog 6 M KvxXog

TCQog tov TtBQi did^BTQOv T^v BZ xvxXov. l'6og aQa 6

5 xmvog 6 pdîv ^bv b%cx)v tbv M xvxXov, v-ilôg ds tijv

BX tov xBvtQOv trjg 6cpaiQag, ta BzlZ® 6tsQB^ qo^Pg)

[rovro yaQ iv totg Irj^â^c roi} TtQcotov /3t/3Atov 8b-

dBiXtai. rj ovtcog' bicbC B0tiv, cog r] zi0 TCQog tb vipog

rot» M xcovov^ ovtog 6 M 'nvTilog TtQbg tbv icbqI

10 did^stQOv trjv B Z Tcvxkov^ l'6og ccQa sGtlv 6 M xcovog

rw %c6vG) , ov pd6ig ^sv 6 TtSQi dcd^stQov trjv B Z'KVTiXog^ vipog ds rj ^d®. dvtiTtSTtovdâGi yccQ avtcov

al pd^Sig totg vipB6iv. d}X 6 xSvog 6 ^ddiv ^sv

Bxcov tbv TtSQi did^stQOv tr]v BZ kvkXov^ vifjog ds tr^v

15 z/(9, t6og ieti ta B^Z0 etsQsa ^0fi/3c3]. dXX' 6 M7cc3vog i'6og i^tl ro5 BTZ® atsQsa to^st. Kal 6 BFZS^tSQsbg to^svg ccQa l'6og i(5tl ta BzlZ® 6tSQBa Qo^^cp.

KOivov dcpaiQsd^Bvtog tov xcjvov^ ov ^dîg (liv i6tiv

6 TtsQi did^stQOV trjv BZ TcvycXog, vilôg ds rj E@,20 loiTtbg ccQa 6 B^Z Kcjvog i6og i(5tl ta BZF tiiriâti

trjg 6cpaiQag. oôicog ds dsixd^Yi^stai Ka\ 6 BKZ xcj-

vog i<3og t(p BAZ t^rjâti f^g GcpaiQag: iTtsl ydQ

i^tiv, cog 6vva[i(p6tsQog rj ©r^ FE TtQbg FE^ ovtog

r] KE TtQbg EA, disXovti ccQa, cog rj KA TCQbg AE,26 ovtcog rj ®r TtQbg FE' L6r] ds rj ©F tfj @A. xal

ivalXd^ aQa icstiv^ cog rj KA JtQbg A&, ovtcog rj AETtQbg EF. &(5tB nal ^vvdîvti^ cog rj K® TtQbg @A,r] AF TtQbg FE^ tovticti tb ditb BA itQbg tb djtb

BE. Tcsi^dô drj itdXiv xvxlog 6 N i'6r]v ^%ov trjv

10. sGtiv per comp. F. 12. KvyiXov F; corr. C. 17.

scriptum [Eucl. XII, 2]. et @r linea aequalis est axi

coni M. quare ut z/@ ad axem coni M, ita circulus

M ad circulum circum diametrum BZ descriptum.

conus igitur basim habens circulum M, altitudinem

autem radium sphaerae aequalis est rhombo solido

BzlZ®}) sed conus M aequalis est sectori solido

BFZ®. itaque etiam sector solidus BFZS aequalis

est rhombo solido BzfZ&. subtracto, qui communis

est^ cono, cuius basis est circulus circum diametrum

RZ descriptus, altitudo autem E& linea, qui relinqui-

tur conus -Bz/Z aequalis est segmento sphaerae jBZP.

similiter autem demonstrabitur, etiam conum BKZaequalem esse segmento sphaerae BAZ. nam quo-

niam est @r+ T^; : T^: = KE : EA, erit igitur di-

rimendo [Eucl. V, 17] KA : AE == ®r : FE. sed

&r^ @A. itaque etiam uicissim [Eucl. V, 16]

KA:A0 = AE: ERquare etiam componendo [Euch V, 18]

K&:@A = Ar:rE==' BA^ : BE^ [u. Eutocius].

ponatur igitur rursus circulus N radium aequalem

1) Nam conus M aequalis est cono, cuius basis est circu-

lus circum BZ descriptus, altitudo autem d@ (L lemm. 4 p. 82),et hic conus (Jc) rhombo illi solido aequaUs est. nam sint coni,

ex quibus constat rhombus, k^ et lc^ ; erit

kihi ik^ = J@ '. Ed : E@ (I lemm. 1 p. 80);

sed d@ = EJ -j- E0; tum u. Quaest. Arch. p. 48.

etsQsog] 6ZSQ80 F. 18. a<pai,QS&STOs F. 23. cog] o F; cof

6 B; corr. ed. Basil.

200 nEPI S4>AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.

£X tov xevtQOv rfi AB. 6 aQa N xvxXog l'aog sGtat

tfi iTtLcpavaCa rov BAZ tî^âtog. xalvoeLad-o 6 xco-

vog o N l'6ov sxcov to vipog trj sk tov xevtQov t%6(pacQag. laog aQa i(5tl ta B®ZA (StSQsa toât. tovto

5 yccQ av rc5 JtQCDtc) dadsLXtaL. xal aital adaLxd^rj, cctg 7]

K® TtQog 0A, ovtog to djto AB JtQog tb dno BE^tovta(3tL to dito trig ax tov xavtQov tov N xvxkov^Qog to dito trjg ax tov xavtQOv tov TtaQL dLaâtQov

trjv BZ xvxXov, tovtaatLv 6 N xvxkog TtQog tov TtaQi

10 dtdâtQOv trjv BZ xvxXov, L6rj da rj A® rc5 viâL tovN xc6vov, (og aQa rj K® TtQog ro vxlôg tov N xcovov,

ovtcog 6 N xvxXog TtQog tbv TtaQL dLaâtQov trjv BZxvxkov. laog aQa iatlv 6 N xcjvog, tovta(5tLv 6 B0ZAtoâvg rc5 B®ZK (SxrjâtL. xoLvbg 7tQo6xaL6â) 6 xco-

15 vog, ov pd6Lg âv 6 TtaQL trjv BZ xvxXog, v^jog da rj

E®. olov ccQa ro ABZ tîjâ trjg 6(paLQag i&ov iotlv

rc5 BZK rosvG)' oTtaQ adat datâL.

nOPISMA.

Kal cpavaQov, otL yCyvatat xaOôlov t^rjâ acpaCQag

20 TtQog x(DVOV tbv pd0Lv âv sxovta trjv avtrjv tc3 t^rj-

âtL xal vipog t6ov, cog avvafKpotSQog rj ta ix ror xav-

tQOV trjg (jKpaCQag xal rj xddâtog rot; XoLTtov t^rjâtog

TtQog trjv xdâtov rot; XoLTtov tî]âtog. (og yaQ rj

JE TtQbg EF, ovtcjg 6 ^ZB xcjvog, tovts6tL tb BFZ25 t^rjâ TtQbg tbv BFZ xdovov.

1. AB. 6 aqa N xvjtôs i'6og âtai r^] om. F; suppleuited. Basil. 13. B&ZJ F; corr. ed. Basil. 15. BZ FBC*.18. TtoQiaiJicc] mg. H F. 20. nQog âvov bis F. 21. mg] co F.


habens lineae AB. itaque circulus N aequalis erit

superficiei segmenti BAZ. et fingatur conus N alti-

tudinem habens aequalem radio sphaerae. itaque aequa-

lis est sectori solido B&ZJ. hoc enim in libro primo

demonstratum est [u. Eutocius]. et quoniam demon-

stratum est: K@ . ®A = AB^ : BE'^, hoc est radius

circuli N quadratus ad radium quadratum circuli cir-

cum BZ diametrum descripti, hoc est circulus N ad

circulum circum diametrum B Z descriptum [Eucl. XII,

2], aequalis autem A® linea altitudini coni N, erit

igitur, Mt K® linea ad altitudinem coni N, ita circulus

iV" ad circulum circum diametrum BZ descriptum.

conus igitur iV, hoc est sector BSZA, aequalis est

figurae B&ZK [u. Eutocius]. addatur communis co-

nus, cuius basis est circulus circum BZ descriptus,

altitudo autem ES. itaque totum segmentum sphae-

rae ABZ aequale est cono BZK, quod erat demon-

strandum.

COROLLARIUM.

Et adparet, omnino segmentum sphaerae ad co-

num basim eandem habentem, quam segmentum, et

altitudinem aequalem eam habere rationem, quam ra-

dius sphaerae una cum altitudine^) reliqui segmenti

ad altitudinem ^) reliqui segmenti. nam u.t zlE ad

EF, ita conus AZB, hoc est segmentum BFZ [prop. 2\ad conum BFZ [I lemm. 1 p. 80].^)

1) Archimedes scripserat: x6 vipog lin.' 22; Quaest. Archi-med. p. 71.

2) TO vipog genuinum est lin. 23; cfr. not. 1. Eutocius adprop. 8, ubi citat x6 noQLGfia rov Ssvtsqov d^stoQrjp^arog, utroqueloco vtpog habet.

3) Et JE : Er= 0A -{- AE : AE\ u. p. 194, 21.

tcov avrcov VTCoxsL^svav ^ oxl Tcal 6 KBZ xmvog

L'6og i6tl tcj BAZ tiiYiâtL trjg 6q)aiQag. sCtG) yccQ

xSvog N ^d6iv êv e%G)v [triv^ l'6rjv tfj iTtitpavEca

f^g 0(paiQag, vijjog ds tr}v i% tov xsvtQOv trjg 0(paiQag.

5 i<jog aQa i6tlv 6 Kavog tfj GcpaiQcc [r] yccQ CcpalQa

dsdsintai tstQaitXa^Ca tov xcovov rov ^d6iv ^sv sôv-

tog tbv iisyi6tov xvkXov %al vôg trjv ix, tov xsvtQOv.

dXXa ^rjv nal 6 N xcovog tov avtov i6ti tstQanXd-

6iog, iitsl %al rj ^dîg trjg ^d^scog %al r] iiticpdvsia

10 trig 6cpaiQag tov ^syi6tov kvkXov tmv iv avtff\. %al

iitsi i6tiv, (og 6vva^cp6tsQog r] SA^ AE TtQog AE, rj

Ê TCQog ET, disXovti Tcal ivaXXd^^ cog rj ®r TtQog

JTz/, rj AE TtQog EF. itdkiv iitsi i6tiv, cog rj KETtQog EA^ 6vva^(p6rsQog rj ©FE TtQog FE, disX6vti

15 Kal ivaXXd^^ (hg rj KA TtQog r&, tovts6ti TtQog 0A,ovtcog rj AE JtQog EF, tovts6tiv rj &r TtQog T/J.

oial ^vvd^svti' i'6ri ds rj A® tfj ©F. cog aQa rj K@

jsr

TtQog ®r, rj 0z/ TtQog z/F' xal oXr} rj KJ JtQog ^®i6tiv, (og rj A& TtQog zJF^ tovts6tiv 6g rj K0 itQog

1. oti] SsiôpLSv, oti B, ed. Basil., Torellius; „ostendemus"


lisdem positis demonstrabimus ^) , etiam conum

KBZ aequalem esse segmento sphaerae BAZ. sit

enim conus iV basim habens superficiei sphaerae aequa-

lem, altitudinem autem radium sphaerae. conus igitur

sphaerae aequalis est.^) et quoniam est

0A + AE:AE-= JE : EF,

erit dirimendo et uicissim [Eucl. V, 17 et 16]

Qr.r^ = AE: Er [quia &A = ©F].

rursus quoniam KE : EA = ©F+ FE : FEj erit diri-

mendo et uicissim KA : r&, hoc est

KA : @A ^ AE : Er= ®r : FA.

et componendo [Eucl. V^ 18], aequalis autem A& lineae

©r^); itaque K®:Sr=®J: AT, [et uicissim (Eucl.

V, 16) K® : @z/ = &r: AF, et componendo (Eucl.

V, 18)] KA : AS = ^®: Ar=- K®:®A [u. Euto-

1) Archimedes sine dubio alio modo hanc alteram demon-strationem partis posterioris (p. 198, 21; cfr. Eutocius) adiun-

xerat (Quaest. Arch. p. 73). de oxl cfr. Neue Jahrb., Suppl. XIp. 396.

2) Sphaera enim quadruplo maior est cono basim habenticirculum maximum, altitudinem autem radium (I, 34), sed

etiam N eodem cono quadruplo maior est (I, 33; I lemm. 1

p. 80).

3) Fortasse delenda sunt: l'ari ds rj A@ tij ©Flin. 17; cfr.

lin. 15.

Cr. 3. triv deleo. 7. •Ksvtgov] nivtQOv tijg ccpcciQCcg ed.

Basil., Torellius. 14. ©FE] ©T, TE Torellius.


®A. i6ov ccQa to vTto z/iC, 0A ra vtco rSv ^0K,TtdXiv iiieC iarcv, (6g rj K& TiQog ©JT, rj ®zi JtQog JTz/,

ivaXXd^. a)g ds 7] ©F TCôg Fz/, idsix^V V Ê TtQog

EF. 6g ccQa rj K0 TtQog &^, rj AE TtQog EF. xal

5 wg aQa ro djto K^ ^Qog rb vTtb KSzJ^ ro aTtb AFTtgbg ro vTtb rdav AEF. ro da vjto rmv K@A l'6ov

idsCid^ri ra vnb Kzi, A&. (og aqa rb ditb KA itQbg

rb vTtb rcov Kzl, A&, rovriortv rj Kzi TtQbg A®, rb

djtb AF TtQbg rb vTtb AEF^ rovri6ri itQbg rb ditb

10 EB. xaC icriv iCri rj AF rrj ix rov xivrQOv rov NkvkXov. (hg aQa ro ditb rrjg i% roi5 xivrQOv rot» NkvkXov TtQog rb ditb BE, rovri^nv 6 N xvxkog TtQbg

rbv TtsQl didêrQOv rrjv BZ kvxXov, ovrcog rj K^TtQbg A®j rovrianv rj K^ TtQbg rb vipog rov N xd-

15 vov. i6og ccQa i^rlv 6 N xSvog, rovrfcJrtv rj ^(paiQa^

rci BAZK 6rsQ£(p qo^^g) [^ ovrcag' s^nv ccQa, cog 6

N xvxXog TtQbg rbv TtsQi did^srQOv rrjv BZ xvxXoVy

ovrcjg rj zlK itQbg rb vilôg rov N kcovov. l'6og ccQa

icrlv 6 N xcovog rc5 xcovg), ov ^d6ig îv ionv 6 JtsQl

20 did^srQOv rrjv BZ xvxXog^ vjpog ds rj ^K. dvnits-

7c6vâ0iv yaQ avrc5v aC ^dcsig rotg v^s6iv. dXX

ovrog 6 Tccovog i6og iarl rc5 BKZ^ (jtsQsa qo^^g).

xal N ccQa x^vog^ rovri^nv rj 6(paiQa, forj ierl rco

BZK^ 6rsQsa qo^Pc)]' cov 6 nAZ n^vog l'6og idsCxd-rj

25 ra5 BFZ r^rjân rrjg 6cpaCQag. XoiTtbg ccQa 6 BKZxcovog i6og i(3rl ra BAZ rîjân rrjg CcpaCQag.

1. JK, @A] ^0, @K Torellius; ^-S-x, Qâ ed. Basil.

J@K] JK, @A Torellius; ^h ed. Basil. ^ 3. post haXlâddunt ed. Basil., Torellius (non Cr.): cag rj K0 nqog &Jj 7]

&r TtQog rj. AE] JE F. 4. AE] &E F. 5. K@,@J Torellius, ut lin. 6. 6. Ê, ET Torellius, ut lin. 9.

21. âa cum comp. rig F. 24. BKZJ Torellius. post

cius]. itaque JK X ®A = z/@ X ®K. rursjis quo-

niam K% : 0r= 0z/ : TJ^ etiam uicissim

sed demonstratum est @T: TJ = AE: ET itaque

K@ :®zJ = AE: ET. quare etiam

Az/2 : K@X&J = AT^ : AEX ET [u. EutociusJ.^)

sed demonstratum est K® X ®J = KA X A®. ita-

que KJ^ : KJ X A&, hoc est

KA : A® = AT^ : AEX ET,

hoc est = AT^ : EB^.^) et AT aequalis est radio

circuli N.^) quare ut radius circuli N quadratus ad

BE^^j hoc est ut circulus N ad circulum circum dia-

metrum BZ descriptum [Eucl. XII^ 2], ita K^ ad A&,

hoc est KA 2id altitudinem coni N. conus igitur N,

hoc est sphaera, aequalis est rhombo solido 5z/Ziir.*)

quorum^) conus BzlZ aequalis est segmento sphaerae

BTZ [u. p. 198, 20 sqq.]. itaque qui relinquitur, co-

nus BKZ aequalis est segmento sphaerae BAZ.

1) Ex eius adnotatione comperimus , Arcliimedem scrip-

sisse: ovx(oq rj JE lin. 4; vno tmv K@J, ovtcog liu. 5.

2) Nam AE : EB = EB : Er (Zeitschr. f. Math., hist.

litt. Abth. p. 181 nr. 16); tum u. Eucl. VI, 17.

3) Sit enim diametrus circuli N d. erit ex Eucl. Xtl, 2:

N : JBFZ = c?2 : ^r^; sed N = 4:ABrZ (I, 33); itaqued] == 4.Ar\ d = 2Ar.

4) Nam sint coni, ex quibus constat rhombus, Jc^, h^. ex

proportione supra p. 204, 11 sq. demonstrata adparet, conum Naequalem esse cono (/i;), cuius basis sit circulus circum BZ de-

scriptus, altitudo autem K/i (I lemma 4 p. 82); iamk:^^: \ = K^ : KE : EJ (I lemm. 1 p. 80),

et KJ = KE -\- E/i', tum u. Quaest. Arch. p. 48; cfr. p. 199not. 1.

5) (ov lin. 24 h. e. conorum, ex quibus constat rhombus.

QO(i§m addit Torellius : tm iyt, totv ncovoiv avyyisiii£v<p totv JB zi Z,

BKZ\ „ex conis bdf et bkf composito" Cr.

206 nEPi i:AiPA2 kai ktainapot b'.

r

'

Tqltov riv TtQO^kriiia ro(^£' rriv dod^stâv OcpaiQav

iitiTtedcp reêtv, OTtcog ai rc5v r^rj^drov S7ti(pdv£iaL

TtQog dXlrilag loyov excaîv rov avrov ra dodêvn.

5 ysyovsrcj, ocal e6rc3 rrjg 6(paiQag âyi^rog avKXog

6 AZIBE^ did^srQog ds avrov rj AB. xal SK^s^lri^^co

^Qog rrjv AB sTtijtsdov ogdôv, xal TtoiSiro rb sitC-

Ttsdov sv tg5 AABE tivkIc} ro^rjv rrjv AE, nal sjt-

s^svx^cDâv al AZl^ BA. '

10 STtsl ovv Xoyog sdrl rr^g siticpavsCag rot' AAEr^TJârog TtQog rr^v STticpdvsiav rov ABE r^rjâ-

rog dod^sCg, dXXd ry siticpavsCcx. roi) AAE r^riârog

l'6og s6ri xvTilog., ov rj s% rov xsijrQOv i6rj s^rl rfj

AA, rfj ds STticpavsCa rov ABE r^rjârog i6og s6rl

15 KVKlog, ov 7] SK rov nsvrQov i6rj s&rl rfj z/5, cog 8s

ofc siQrj^svoi KvnXoi TtQog dXlriXovg^ ovrcog ro djto

AA TtQog rb d^tb z/jB, rovrs^nv rj AF TtQbg FB^koyog aQa rrjg AF TtQbg FB dod^sCg. S6rs dod^sv s0ri

rb r 6rj^stov. %aC s6ri rfj AB itQbg oQQ^dg 7] A E.

20 ^s0si aQa nal rb did r^g AE STtCTtsdov.

6vvrsd^7]6srai ds ovrcog* s6rco 6(paiQa, rjg ^syi6rog

KVKXog 6 ABAE, Kal did^srQog rj AB. 6 ds dodslg MXoyog 6 rrjg Z TtQbg H. Kal rsr^rj6d^c3 rj AB Kard ro

1. 6' Torellius. 3. rsfistvl Ttfi- cum comp. iv uel rjv F.

5. cpccLQaq F. 12. 8od-sig om. F; corr. Torellius. 14. A z/,

tij ds snicpavsCu tov dEE tiirjfiaTog l'aog sarl mvhôs, ov

7} £% tov KsvtQov LOT} sotl ty Hn. 15 om. F; suppleuit ed.

Basil. 19. arjfiSLOv] syllab. fisiov in rasura F. 22. AJBETorellius.


III.

Tertmm problema hoc erat: datam sphaeram plano

secare, ita ut superficies segmentorum inter se ratio-

nem datam habeant.^)

fiat, et ^ii A^BE circulus maximus sphaerae, et

diametrus eius AB. et ponatur planum Sid AB lineam

perpendiculare^), et faciat planum illud in circulo

AABE sectionem ZlE lineam, et ducantur AA^ BAlineae.

iam quoniam data est ratio, quam habet super-

ficies segmenti AAEo^d superficiem segmenti ABEjet superficiei segmenti zlAE aequalis est circulus,

cuius radius aequalis est lineae AA [I, 43] ^ superficiei

autem segmenti ABE aequalis est circulus, cuius ra-

dius aequalis est lineae AB [I, 42], et quam rationem

circuli, quos commemorauimus, inter se habent, eam

habet AA"^ ad AB'' [Eucl. XII, 2], hoc est AT ad

TB [u. Eutocius], data igitur est ratio AT : FB.^)

quare datum est F punctum [u. Eutocius]. ei AE a,d

AB perpendicularis est. itaque etiam planum per AEpositum positione datum est.

componetur autem hoc modo. sit sphaera, cuius

circulus maximus sit ABAE, et diametrus AB. et data

ratio sit Z : H. et secetur AB in F puncto ita, ut

1) Genuina forma exstat tcsqI sXl-hcov praef. : tav dod^stoavccpaiQccv sninsda) tsfistv^ (06xs ra t(iafiata rag snicpavslag tovta%Jd-svta Xoyov s%siv not' alXaXa. de onoos lin. 3 cfr. Quaest.Arch. p. 70.

2) Solitum uerborum ordinem, quem restitui uoluit Nizze:snCnsSov oq&ov nQog ttJv AB (lin. 7) recipere non audeo prop-ter similem locum II, 5.

3) Lin. 18 scripserat Archimedes: dod-slg Srj Xoyog trjg AFnQog FB. hoc enim praebet Eutocius, nisi quod pro 8t] legi-

208 nEPI 2$AIPAS KAI KTAINAPOT B'.

r, co6ts slvaL, G)g rrjv AF itQog BF, ovtcog ttjv ZTfQog H. xal dccc tov T STtLTtidcp tstî^Gd^co rj 6cpatQa

TCQog OQdâg trj AB svd^Sia, xal s6to xolvt} to^rj rj

Ê, %al S7islsv%^G)6av aX Azt, ^B. xal sxxsc^d-coGav

5 dvo KvxXoi OL 0, K, 6 ^sv ® i'0riv s%ov trjv sk toi5

ocsvtQOv tfi AzJ , 6 ds K trjv sx Toi5 xsvtQov i'6riv

sôv trj zJB. s6tiv aga 6 ^sv @ xvxkog i'6og tfj STCi-

cpavsia roi' AAE t^rjfiatog, 6 ds K roi; ABE rfirj-

[latog. tovto yccQ TtQodsdsixtai sv rc5 TtQcoto î^XCo.

10 %al sTtsl OQd^ri s6tiv r vTto AAB^ xal xdd^stog rj Fz/,

s6tiv, cog -j^ AF TtQog FB, tovts6tiv rj Z TtQog H, ro

ccTto AA itQog ro ano AB, tovrs6ti to ccTto trjg sx

tov KsvtQOV rov @ xvxXov TtQog to ccTto trjg sx tov

xsvtQov tov K xvnlov, tovts6tiv 6 ® xvxkog itQog

15 rov K xvxXov, tovts6tiV rj STticpdvsia ro-u AAE rfiTJ-

fiatog TtQog trjv STticpdvsiav rov /JBE t^rjâtog trjg

6cpaiQag.

10. oqQ-ri] Hauber; doQ^Biacx. F, uulgo.


siiAr:Br=Z:H [Eucl. VI, 10]. et per F punctum

sphaera secetur plano 3id AB lineam perpendiculari;

et communis^) sectio sit z/£, et ducantur ^z/, ^B.et ponantur duo circuli @, iC, ita ut & radium lineae

yi^ aequalem habeat, K autem lineae zi B. itaque &circulus aequalis est superficiei segmenti ^AE [I, 43],

K autem superficiei segmenti zJBE [l, 42]. hoc enim

in primo libro demonstratum est. et quoniam angu-

lus AzlB rectus est [Eucl. III, 31], et F^ perpen-

dicularis, erit AF^rB, hoc est Z : H= AA^ : JB^[u. p. 206, 17], hoc est radius circuli @ quadratus ad

radium circuli K quadratum, hoc est S : K [Eucl.

XII, 2], hoc est superficies segmenti zfAEsid super-

ficiem segmenti sphaerae ^BE.

tur 8Si sed sine dubio errore librarii. fieri tamen potest, utdemonstrationis forma a transscriptore mutata sit.

1) Communis sectio sc. plani ad ^ B perpendicularis et cir-

culi maximi AJBE.


210 nEPI liÂrPAS KAI KTAINAPOT B'.

d\

T?rjv do%^Bt6av 6cpaiQav te^stv, Sots ra t^rjâta

trjg 0g)aLQag TtQog alkriXa koyov e%Eiv tov avtov tc5

doQîvti.

5 £6tGi 7] dod-stâ 6cpatQa yj ABFzl. det drj avtrjv

te^stv STtLJtsdc), G)6ts ta t^rjâta trjg ^cpaiQag TiQog

aXXrjXa Xoyov s%siv tov dod^svta.

tst^TÔd^G) dia trjg AF snntsdG). koyog aâ toi)

A^T t^rjâtog trjg ^cpaCQag TtQog tb ABF t^rjâ tr]g

10 6cpaCQag dod^sCg. tst^TÔd^co ds rj ^cpatqa dicc rot) %sv-

rot>, y,al s0t(X) rj to^r] ^syi^tog KvxXog 6 ABFzl^ xsv-

tQOV ds ro K, Kal did^stQog rj AB. Kal TtSTtoirjCSdô,

Sg fisv Ovva^cpotSQog rj KzlX itQog z/X, ot^rog r] PXTtQog XB^ (Dg ds 6vva^cp6tsQog rj KBX JtQog BX,

15 ovtcog ri AX itQog XA^ %al sTtst^svi^^coCav ai AA, AF,APj Pr. i6og aQa s6tlv 6 ^sv AAF Kcavog rc5 AAFt^riiiati trjg ^cpaCQag^ 6 ds APF t(p ABF. koyog ccQa

xal tov AAF kcovov TtQog tbv APF kovov do^sCg.

A

(og ds Kovog TtQbg tbv xavov, ovtcog rj AX TtQbg

20 XP [sTtsCTtSQ trjv avtrjv ^ccîv sôvîv tbv TtSQi dicc-

^stQOv trjv AF kvkXov]. koyog ccQa xal trjg AX TtQbg

XP dod^sCg. Kal dicc ro: avta totg JtQotSQOV dicc trjg

1. s' Torellius. 2. rs^ cum comp. lv uel riv F. 13.

DE SPHAERA ET CYLINDRO IL 211

IV/)

Datam sphaeram ita secare, ut segmenta sphaerae

inter se datam rationem habeant.^)

data sphaera sit ABF/I. oportet igitur eam plano

ita secare, ut segmenta sphaerae inter se datam ratio-

nem habeant.

secetur plano per AF posito. ratio igitur segmenti

A/dT ad segmentum sphaerae ABF data est. secetur

autem sphaera per centrum [plano ad planum per APpositum perpendiculari] ^), et sectio sit circulus maxi-

mus ABFAy centrum autem K^ et diametrus AB, et

fiat*) KA -i- ^X:AX=PX: XB et

KB + BX:BX==AX:Xzl,et ducantur lineae AA, AFj AP, PF. itaque conus

AAF aequalis est segmento sphaerae AAT, et APTconus segmento ABT [prop. 2]. quare data est ratio

AAT : APT sed AAT : APT= AX : XP.^) quare

etiam ratio AX:XP data est. et eodem modo, quo

supra [u. Eutocius], per constructionem erit

1) Transscriptor nescio qua de causa propositiones III et

IV permutauit; u. Neue Jahrb. Suppl. XI p. 392; cfr. Eutociusad prop. IV et tceqI 8Xi%. praef.

2) Genuinam liuius propositionis formam habemus tisqI

sXl-h. praef, : rccv doQ-SLGav acpatQav s7tL7tsd(a ts[islv, maxs raT^d[iaTa avTag nox' alXaXa tov Tax^svTa Xoyov s%slv.

3) Haec uerba Arcliimedes ipse uix omiserat.

4) Archimedeum est ygyovsTco; Quae^t. Arch. p. 70.

5) Sequitur ex I lemm. 1 p. 80, cum Jbasis eadem sit.

Xz/, z/X Torellius. 14. KB, BX idem. 22. XP^ hic uerbasnsinsQ lin. 20 — UQog XP lin. 21 repetuntur in F. tuavTu Totff] TavTOLg F; tuvtu Toig C* ed. Basil.; corr. B*.

14^

xataaKSvijg^ cog r} Azf TtQog K^, yj KB TCQog BP,

%al r} ziX TtQog XB, xal BTtEi b^tlv^ G)g rj PB TtQog

BK, 7} K/1 TtQog A/l^ awd-evtL, (og rj PK TtQog KB^tovte6tL TtQog iiCz/, ovtcjg rj KA JtQog AA. xal oXrj

5 KQa rj PA JtQog oXrjv tr\v KA iotiv^ (og rj KA JtQog

AA. l'<30v aga tb vTto tcDV PA^ tc5 aTto AK. cog

aQa ri PA itQog ^z/, to djto KA JtQog tb ditb A/1.

%al iTteC s6tLv, ag rj A^ TtQbg /J K^ ovtog rj ^X itQbg

XB, £6taL dvaTtahv %al Ovvd^svtL^ wg KA TtQbg AA^10 ovtag r\ B/1 TtQbg AX [x«l cog aQa tb ditb KA TtQbg

tb ditb AA^ ovtog tb drtb -Bz/ TtQbg tb d^tb A X]

[TtdlLV BTtSL s6tLV^ cog rj AX TtQbg z/X, ^vva^tpotSQog

rj KB, BX TtQbg BX, disXovtL^ eog rj A/1 TtQbg z/X,

ovtcjg rj KB TtQbg BX]. Tcal TiSLOd-co tfi KB i6r] rj BZ.

15 otL yaQ sKtbg tov P 7ts6sLtaL, drjlov [xal s6taL (og rj

A/1 itQbg z/X, ovt(xig rj ZB TtQbg BX. S6ts xal cog rj /lA

itQbg AX^ rj BZ TtQbg ZXJ. sjtsl ds Xoyog s6tl trjg A

A

TtQog AX dod^SLg, xal trjg PA ccQa TtQbg AX koyog

s<5tl dod^SLg. sTtsl ovv 6 trig PA JtQbg AX Xoyog (5vv-

20 rintaL sx ts roi;, 6V sxsi r} PA TtQbg A/J, %al rj /1

A

TtQbg AX, dX)J cjg ^sv rj PA TtQbg ^z/, ro djtb ABTtQbg ro dTtb AX^ G)g ds r} /1A itQbg AX, ovtcjg rj

BZ TtQbg ZX, 6 ccQa tijg PA TtQbg AX Xoyog 0vv-

rJTttaL sx ts rov, ov s%si ro ditb B/1 itQbg tb ditb

6. PA, AA Torellius. i6ov ccqcc — dno AK delet Hau-ber. 8. zfX] BX F. 17. AA'] PX Hauber. 18. aQaom. Torellius. Post AX idem addit: nal rrjg PA ccQa TtQOs AJ.23. ZX] BX FBC*.


AA : KA = KB: BP= AX : XB.

et quoniam est PB : BK — KA : AA [dvccTCaXtv Eucl.

V, 7 TtoQiO^cc]^ erit componendo [EucL V, 18] PK:KB,hoc est PK : Kzl = KA : AA. quare etiam

PA:KA==: KA : AJ [Eucl. V, 12; Eutocius].

itaque PAxAJ-= KA^ [Eucl. VI, 17]. ^) erit etiam

PA : Az/ = KA^ : AA^ [u. Eutocius]. et quoniam

AA : AK = AX:XB, erit e contrario [Eucl. Y, 7

'jtoq.] et componendo [Eucl. V, 18]

KA:AA = B/i:AX})et ponatur BZ = KB., nam extra P punctum eam

egressuram esse, adparet [u. Eutocius]. sed quoniam

ratio AA:AX data est [u. Eutocius], erit igitur etiam

ratio PA : AX data.^) iam quoniam ratio PA : AXcomposita est ex rationibus PA : A/i et AA: AX,

sed PA: Azi = AB^ : AX^ [u. Eutocius]*), et

AA:AX=BZ:ZX [u. not. 2],

itaque ratio PA : AX composita est ex rationibus

1) Hoc addit propter syntliesin (p. 216, 15). nec hinc pen-

det sequens ccqcc lin. 7, sed refertur ad proportionemPA : KA == KA : AzJ,

nt ex Eutocio quoque adparet.

2) Sequentia uerba nai ag lin. 10 — ccTto -dX lin. 11 sub-

ditiua sunt, ut cognoscimus ex Eutocii adnotatione: mg Se to

«jro KA TtQog t6 dno AzJ, ovtcog xo anb jBz/ nQog to ano zJX'

sdBix^ri yccQ, wg rj KA nQog AzJ, r} BJ nQog /iX. sed etiamproxima uerba ndXiv lin. 12 — nQog BX lin. 14 et xo;l satac

lin. 15 — nQog ZX lin. 17 delenda sunt. nam ut adpareat,

rationem ^A:AX datam esse, Eutocius prius demonstratBZ : ZX = AJ : AX, quod non fecisset,' si iam apud Archi-

medem ipsum demonstrationem inuenisset.

3) Genuinam huius loci formam praebet Eutocius: BnBl Ss

Xoyog satl tijg AA nQog AX Sod^Sig, nal trig PA nQog AX, yial

trig PA ocQa nQog AA Xoyog sati Sod^sig.

4) Archimedes scripserat lin. 21: dXX' ag (isv rj PA nQogAJ, sdsLx^rj to dno Bz/. praeterea p. 214 lin. 1: ysyovstco.


z/X, xccl rj BZ TtQog ZX. TtSTtoirjOd^c} de (og 7] PATtQog AX, rj BZ TtQog Z®. loyog ds f^g PA TtQog

AX dod^stg. loyog aga xal tijg ZB TtQog Z® do-

^sig. dod^siGa ds rj BZ' t6ri ydg s6ti rfi ix tov

5 KSvtQOV Sod^stâ ccQa xal rj Z&. Tcal 6 tr]g BZaQa koyog TtQog Z® OvviJTttaL sx ts tov, ov sxst tb

djto BA TtQog tb ditb z/X, %al r] BZ itQog ZX. dXX'

6 BZ TtQbg Z@ koyog Ovv^Tttac s% ts tov trjg BZTtQog ZX Tcal tov f^g ZX TtQbg Z® [xoovbg dg^rjQrjod^G)

10 6 trjg BZ TtQbg ZX]. XoLitbv ccQa s0tlv Gtg tb dnb

BA^ tovts6tL dod^sv TtQbg tb djtb z/X, ovtcog r} XZTtQbg Z&y tovtsGtL JtQbg dod^sv. xat s6tLV dod^stoa rj

Z/1 sv^sta. svd^stav aQa dod^stâv trjv AZ ts\kstv

6st ocatd tb X xal itOLstv, cog trjv XZ TtQbg Sod^stâv

15 [trjv Z0], ovtcog tb dod^sv [tb ditb B/l] TtQbg tb djtb

/IX. tovto ovtcog ditX^g \isv Xsyb^svov s^sl SloqlO-

fAOv, TtQo^ttd^s^svcJV ds tmv TtQOplrj^dtcov tmv svd^dds

VTtaQxovtov [tovts0tL tov ts dLTtXa^Lav slvaL trjv ^Btrjg BZ %al tov ^SLôva t^g Z& trjv ZB, (X)g xatd

20 trjv dvdXv6Lv] ovk s%sl Sloql^ôv. xal s0taL tb itQO-

pkrjâ tOLOvtov dvo dod^SL^cov svd^SLcav tmv 5z/, 5Z,

xal dL7tXa0Lag ovdrjg trjg Bzl trjg BZ, xal drj^SLOV

STtl trjg BZ tov 0, ts^stv trjv z/5 aatd tb X xal

TtoLstv, cog tb djtb -Bz/ ^Qbg tb ditb z/X, trjv XZ25 TtQbg Z@. sxdtsQa ds tavta sitl tsXsL dvalvdîjOstaL

ts xal 6vvtsdî]6staL.

OvvtsdîâstaL ds tb JtQopirjâ ovtcog' stStco 6 do-

^slg loyog 6 trjg II itQbg 2J, ^SLôvog TtQbg sXd60ova.

2. ds] dri Torellius. 8. GvvrintccL] cvvT^nts F; fortasae

GvvrJTCtca tiai. 13. sv&siav ccqo] scripsi; nccQa per comp. F,

uulgo; xal drj uel ccQa Torellius. 19. rrjg] (alt.) scripsi; tr^v

F, uulgo. f^v] trjg F per comp., uulgo; tijv JBZ trjg Z&


5z/2 : /IX^ et BZ : ZX fiat^) autem

PA:AX=BZ:[email protected] autem PA : AX data est; itaque etiam ratio

ZB : Z® data. sed etiam BZ data est; radio enim

aequalis est. quare etiam Z& data. itaque etiam

ratio BZ: Z@ composita est ex rationibus 5z/^:z/X^

et BZ : ZX. sed eadem ratio etiam ex rationibus

BZ : ZX et ZX: Z® composita est.^) itaque quod

relinquitur J3^^, boc est spatium datum, ad ^X^ eamrationem habet, quam XZ ad Z@, hoc est ad datam

lineam [u. Eutocius]. et data est linea Zz/. datam

igitur lineam z/Z secare oportet in puncto X^ ita ut

sit, sicut XZ ad lineam datam, ita datum spatium

ad zfX^. hoc si ita indefinite proponitur, determinatio-

nem habet, sed adiunctis condicionibus, quae hoc loco

exstant, determinationem non habet. et erit problema

huhismodi: datis duabus lineis B^ et BZ^ quarum

J5z/ duplo maior est linea BZ^ et puncto ® in linea

BZ lineam z/J5 in puncto X ita secare, ut fiat

BZI^: JX^ =- XZ:Z®.quorum utrumque in fine et resoluetur et componetur.^)

componetur autem problema hoc modo: data ratio

sit lineae 77 ad Hj maioris ad minorem, et sphaera

1) Cfr. p. 213 not. 4.

2) Ex Eutocio concludi posse uidetur, uerba Hotvog lin. 9— nQoq ZX lin. 10 subditiua esse.

3) Qnod hic pollicetur supplementum, iam Dioclis et Dio-nysodori temporibus interciderat, sed Eutocius putat, se ipsamArchimedis resolutionem repperisse, neque iniuria (Quaest. Arch.

p. ^l). aliam totius problematis resolutionem dedit Hugenius:opera mechanica cet. (Lugd. Batau. 1751. 4) II p. 388—91.

Torellius. 23. z/BJ AB F. 27. ds] scripsi; dri F, uulgo.28. ftfit^ovos] scripsi; (isl^ov F, uulgo.


xal dedo^jd^co xl^ CcpaiQa^ %al rsr^rjCd^G) i7ti7tid(p dia

tov KEvtQov. Kal E0t(o to^fj 6 ABF^ KvxXog, %al

didfistQog e6t(o 17 5 z/, xevtQOv de tb K. xal tfj KB167] Tcsi^d^co 7} BZ, xal tst^rj^d^co 7] BZ xata tb 0^

5 m^ts slvac (og trjv @Z TtQbg ®B, trjv IJ TtQog U. %al

sti tst^TôO^co r] B/J Kata tb X, S6ts slvai G)g trjv

XZ Ttgbg @Z, tb ajtb 5z/ Tt^bg tb ditb z/X, xal did

tov X sTtiTCcdov sK^sjilriGd-cj oQd^bv Tt^bg fi^v 5z/.

Xsycj^ oti tb sTtiTtsdov rovro ts^st trjv 0(paiQav, Sots

10 sivai^ (hg tb ^siôv t^rjâ Tt^bg tb sXa66ov^ trjv UTt^bg 2J. TtSTtoiiÔd^cj yaQ cog ^sv 6vvaji(p6tSQog rj KBXJtQbg BX^ ovtog rj AX TtQbg AX^ G)g ds 6vva^(p6-

tSQog rj KAX TtQbg XA, rj PX TtQbg XB, ocal S7t-

s^svxxlrcoaav al AA^ AF, AP, PF. s6tai drj did trjv

15 Kata6KSvr}v ^ cog sdsCâ^sv sv tfi dvaXv6si, l'6ov tb

vTtb PAzl t(p ditb AK' xal cog rj KA TtQbg A/i^

rj BA TtQbg AX. S6ts ocal (og tb ditb KA 7tQbg'tb

djtb AA^ tb ditb BA TtQbg tb djtb AX. Kal STtsl tb

vTtb tcov PAzf ta ditb AK s6tiv i6ov \s6tiv^ (hg r]

20 PA TtQbg AA, tb ditb AK TtQbg tb ditb AA], s6tai

ccQa Kal cog rj PA TtQbg AA^ tb ditb BAitQbg tb ditb z/X,

tovts6tiv rj XZ TtQbg Z©. Kal sitsC s6tiv, (og 6vva^-

cpbtSQog rj KBX JtQbg BX, ovtcog rj AX TtQbg Xz/, i6ri

ds s6tiv rj KB tfj BZ, s6tai ccQa Kal (og ri ZX TtQbg XB^25 ovtcog rj AX TtQbg XA. dva6tQSipavti, cog rj XZ TtQbg

ZB, ovtcog rj XA itQbg AA. S6ts Kal cog rj A^ TtQbg

8. Trjv] scripsi; to F, uulgo. 11. KB, BX Torellius, ut

lin. 23. 13. KJ, JX idem. 15. to] tco F. 16. PA,AJ Torellius, ut lin. 19. 17. Post KA repetit F: TtQog AJrj Bd TCQog z/X coGts %ai cog to ano KA TCQog A^ r] B d nQogi/X 036ts Y,cci (og to ccno KA; similia BC*. 22. w?] 6 suprascriptum manu 1 F. 25. AX] JX F; corr. Torellius.


data sit, et secetur plano per centrum posito, et sectio

sit circulus ABFJ^ cuius diametrus sit B^, centrum

autem K. et ponatur BZ lineae KB aequalis, et

secetur BZ m puncto S ita, ut sit 0Z :SB = TI : E.

porro secetur linea jBz/ in puncto X ita, ut sit

XZ:®Z== BJ^: ^X^,

et per X ducatur planum ad Bzf perpendiculare. dico,

hoc planum sphaeram ita secaturum esse^ ut maius

segmentum ad minus eam rationem habeat, quam 77:27.

fiat^) enim KB + BX : BX= AX : ziX et

KA + AX:XA = PX: XB,et ducantur lineae AA, AF^ AP, PF. erit igitur

propter constructionem, ut in analysi demonstrauimus

. [p. 212, 6], PAxAA = AK\ et

KA:A^ = BA: AX [p. 212, 9—10].quare etiam KA^ : AA^ == BA^ : AX^] et quoniam

PAXAA = AK^,erit igitur etiam [PA X AA : AA^, hoc est]

PA:AA = BA^:AX^ = XZ:&Z [ex hypothesi].

et quoniam est KB + BX:BX=AX:X^, et KB= BZ,erit igitur etiam ZX: XB = AX:XzJ. et conuer-

tendo [Eucl. V, 19 716^10^0] ZX:ZB = AX : AA.

1) Archimedes pro Ttsnoti^o&ai scripsorat ysyovsra) lin. 11,et hoc habet Eutocius.


AX, ovtog 7] BZ jtQog ZX. xal iitaC ietLv, (og rj PATtQog AzJ, ovtwg 7] XZ TiQog Z@, mg ds rj /1A TtQog

AX, ovtcjg 7] BZ TtQog ZX, 0{al dc' tfSov iv trj ts-

taQayîvTj avaXoyia.^ tog r\ PA TtQog AX, ovtayg rj BZ5 TtQog Z@. xal wg aQa 7] AX TtQog XP, ovtcsg rj Z0

TtQog ®B. (hg de 7] Z@ itQog ®B, ovtcog rj TI TtQog 27.

xal ojg aQa rj AX TtQog XP, tovts6ttv 6 AFA Timvog

TtQog tov APr Kcovov, tovtiati t6 A/iT t^rjâ trjg

6(pacQag TtQog tb ABF t^rjâ trjg 6(paLQag, ovtcyg rj

10 n TtQog U.

r

s .

T(Hi dod-svti t^riâti (5(paiQag ofxoLOV Tcal akXci rc5

doîvti t6ov to avtb (DvCf^da^Sdâi.

s6tc3 ta dvo dodîvta tî^âta 6(paiQag ta ABF,15 EZH. xal s6to tov ^sv ABF tiirniatog ^dOig 6 TtSQt

did^stQov trjv AB TcvxXog, TCOQVCprj ds tb F 6rj^Si0v,

tov ds EZH pcc6ig 6 TtSQi dicc^stQOv trjv EZ^ xoQV^prj

ds tb H Orjiisiov. dst drj svQstv t^rjâ 6(paiQag, o

s6tai ta ^sv ABF t^rjfiati l'6ov, t(p ds EZH20 OÔiOV.

svQiêd^co^ %al s6tG) tb ®KA, xal s0tco avtov ^cc-

0ig ^sv 6 JtSQi didiistQov trjv &K KVKXog, KOQV^prj ds

tb A 0r}^stov. s6tc36av d^ xal xvTcXoi iv tatg 6(pai-

Qaig oi ANBF, ®SKA^ EOZH^ did^stQOi ds avtc5v

25 TtQbg OQd^dg tatg ^d6s(5iv tcov t^rj^dtcjv (î VN^ AlSl,

HO. xal sOtcD xsvtQa td H, P, 2. xal TtsTtoiri^d-cj,

8. Hmvov'] HOivov Ttgog (comp.) F. AJF] AAFF; corr. To-rellius. 11. g' Torellius. 12. dXXco] uXXo F; corr. AB. 26.

HO] H@ F; corr. Torellius.


quare etiain A^ : AX— BZ : ZX [Eucl. V, 7 tcoq.].

et quoniam est

PA:AA-=XZ: Z@, et Azl :AX=BZ: ZX,

erit ex aequali in perturbata ratione [Eucl. V, 21; Eu-

tocius] PA:AX=BZ:Z&, et AX:XP=Z®:®B.')sed Z®:@B — n:E [ex hypothesi]. quare etiam

AX: XPj hoc est conus AFA ad conum APF [p. 211

not. 5], hoc est segmentum sphaerae AAT ad seg-

mentum sphaerae ABT [prop. 2] =77:27.

y.

Segmentum sphaerae construere dato segmento

sphaerae simile et alii dato idem aequale.^)

duo segmenta sphaerae data sint ABT^ EZH. et

segmenti ABT basis sit circulus circum diametrum

AB descriptus, uertex autem T punctum, segmenti

autem EZH basis circulus circum diametrum EZdescriptuS; uertex autem punctum H. oportet igitur

segmentum sphaerae reperiri segmento ABT aequale

et idem segmento EZH simile.

reperiatur, et sit @KA, et basis eius sit circulus

circum diametrum SK descriptus, uertex autem punc-

tum A. praeterea sint circuli [maximi]^) sphaerarum

ANBTj &SKA, EOZHj et diametri eorum ad bases

segmentorum perpendiculares TN, AS, HOy et centra

1) Nam conuertendo PA : XP = BZ': B0, et uicissimPA : BZ = XP : B@ =^ AX : Z0; unde uicissim

AX:XP=Z@:[email protected]) Hoc problema antea latius proposuerat; to dod-sv Tfta/*a

acpuiQag ro5 dod^svti T(icc(HXtL GcpcciQag ofiOLcoGca; praef. TteQt

slLyimv.

3) Archimedes sine dubio scripserat (isyiatot v,v%Xoi lin. 23,


cjg (i£v 6vva^(p6r6Qog jj 77iV, NT JtQog trjv NT^ ov-

rcDg rj XT TtQog TF, cog 68 6vva^g)6r£Qog 17 PS.^ ST

TtQog IHIT, ovrcog 6 "^FT TtQog TA, cog dh 6vva^(p6-

r£Qog 7] EO^ O0 TtQog O0, ovrcjg rj S10 TtQog OH.5 xal vo^Lgd^caâv KcovoLy cov â(3£ig îv £i6lv oC Jt£Ql

diaîrQOvg rag AB^ &K, EZ %vkXol^ xoQvcpal d£ ra

Xy ^, Sl 6rj^£La. £6raL drj L(5og 6 ^lv ABX xcjvog

r^ ABF riiriiiarL rr^g CcpaLQag^ 6 df W&K ra ®KA^6 d£ E^Z np EHZ. rovro yccQ d^d^LxraL. xal £7t£l

10 l6ov iijrl ro ABF r^rjâ rr]g 6(paLQag ra &KA rîtj-

ârL^ L6og ccQa xal 6 AXB Ticovog r^ W&K xcdvcj

[rcov d£ 1'6g)v xdvcov dvrL7t£7t6vdâ6LV av ^d6£Lg rotg

vifj£6LV^. £0rLV aQa, cog 6 7Cvx^,og 6 7t£Ql dLcc^^rQOv rrjv

AB TtQog rbv %v%Xov rov 7t£QL dLcc^^rQOv rrjv @K^

3. TA] T in rasura F. 4. ^$] 0$ F; corr. manus 2.


n, P, U. et fiat^)

nN+ NT:NT=^ XT: TFet

PS + ST : ST ^ ^FT : TAet

ZO + 00 : 00 = 520 : QH.

et fingantur coni^ quorum bases sint circuli circum

AB, ®K, EZ descripti, uertices autem puncta X, Wy 5i.

erit igitur conus ^EXsegmento sphaerae ABF aequa-

lis, conus W&K segmento SKA, conus E^Z seg-

mento EHZ. hoc enim demonstratum est [prop. 2].

et quoniam segmentum spbaerae ^^Fsegmento 0KAaequale est, etiam conus AXB cono W@K aequalis

est. itaque circulus circum diametrum AB descriptus

ad circulum circum diametrum 0K descriptum eam

sed omissionem transscriptori imputare malim, quam cum Niz-zio iiiyiGtoL addere; Quaest, Arch. p. 76.

1) nBnoLTiGd-ai p, 218 lin. 26 pro genuino yEyovst(o.

5, ^aGLq F; corr. B. 6. dicc^stQOv F; corr. B, tdg'] trjv

F; corr. B*. 7. satocL] per comp. F. d'^] scripsi; ds F,

uulgo. 12. §cc6 cum comp. rjg F,

222 nEPi sÂiPAi: kai ktainapot b'.

ovTcog rj WT JtQog XT. tog ds 6 xvxôg TtQog tov

xvxkov, ro djto AB Tt^bg to dito &K. (hg aQa t6

dito AB TtQog t6 dno ®K^ ovrcjg tj WT itQog XT.ocal ijtsl oôiov e6xi xb EZH r^rjâ ra ®KA r^Yj-

5 ân^ Ofioiog aQa eCrl xal 6 EZSl Tccovog rw W®KxojvG) [rovro yccQ dsixd^riOsrai]. s6riv dga, cog rj SIOTt^bg rriv EZ^ ovrcog r\ WT itqbg 0K. Xoyog 8s rrig

ii^ Ttgbg rrjv EZ dod^Sig. Xoyog ccQa xal rrjg WTJtQbg rrjv ®K dod^Sig. 6 avrbg s6rc3 6 rr^g XT TtQog /i.

10 %ai s6ri dod^siOa rj XT' do&stâ dâ xal rj /i. xal

insi sGnVj d>g rj Vf^T Ttgbg XT, TowfWt t6 djtb ABTtQbg rb ditb ®K^ ovrcog rj 0K Ttgbg z/, 7isi6^Gi r<p

ditb 0K i6ov rb vTto AB, <S. s6rai dqa %ai^ dig rb

ditb AB TtQbg rb ditb SKj ovrcog r\ AB Tt^bg rrjv ?.

15 sdsixd^Yj ds xai^ cog rb ditb AB Ttqbg rb ditb @K., ov-

rcog rj ®K Tt^bg A. %aX svaXXd% dig r\ AB Ttgbg &K,ovrcjg rj <S JtQbg /1. cog ds rj AB TtQbg ®K^ ovrcog

rj ®K TtQbg ? [did rb i6ov slvai rb ditb ®K ra vTtb

rc5v AB, ?]. cctg aQa r\ AB JtQbg 0K^ ovrcog rj 0K20 TtQbg s^, y,ai r\ <S TtQbg z/. dvo aQa dod^si^cov rojv AB^

z/ dvo ^s6ai Tcard xb 6vvs%sg dvdloyov si6iv at ®Kj <5.

6vvrsd")]6srai ds rb TtQo^Xrjâ ovrcog' s^rco, a> ^sv

dsi i6ov riiriiia ^v^r^^â^dâi, rb ABF^ o? ds oftotoi/,

t6 EZH. oial s6rG)6av ^syi6roi nvTcXoi rcov 6(paiQcav

25 o/: ABTN, EHZO, did^srQOi ds avrmv ai TN, HO,%al xsvrQa rd 77, Z!. xal TtSTtoirj^d^G) ^ cog ^sv 6vv-

ayiiporsQog rj HN, NT TtQbg NT, ovrcog rj XT TtQbg

2. ro uTio] ovTcog to cctio Torellius. 4. Toi] ta F. 5.

oÔLog] 0^101(05 F; corr. ABC. 9. 0K] &k'(o F; corr. ed,

Basil. 13. £6taL] per comp. F. 19. AB] z/B F. 22.

ds] scripsi; $7} F, uulgo. 25. EHZO] scripsi; EHZSl F:

HEOZ uulgo. HO] H© F; corr. BCD.

rationem habet, quam WTiXT [I lemm. 4 p. 82].

sed ut circulus ad circulum, ita AB^ : &K^ [Eucl.

XII, 2]. itaque AB^ : @K^ = WT : XT. et quoniam

segmentum EZH segmento @KA simile est, etiam

conus EZ^ cono W@K similis erit [u. Eutocius].

itaque 9^^:EZ^WT:&Ki\x. Eutocius; cfr. I lemm.

5

p. ^2\ sed ratio 5i^ : EZ data est [u. Eutocius]. ita-

que etiam ratio WT :SK data est. eadem sit ratio

XT:A. et data est linea XT [u. Eutocius]. quare

etiam A linea data est. et quoniam est WT:XTyhoc est AB^ : ®K^ = @K : ^% ponatur

^j5 X g = @K\

erit igitur etiam AB"^ : &K^ = AB :g.''^) sed demon-

stratum est AB^^ : ®K^ = ®K : z/. uicissim igitur

[Eucl. V, 16] AB:®K = g:A [u. Eutocius].^) sed

AB :®K = ®K:^ [Eucl. YI, 17]. itaque

AB:®K = ®K:<; = <5: ^.

itaque inter datas lineas AB, ^ duae mediae propor-

tionales in proportione continua sunt SK, S'. [quare

eae quoque datae sunt; prop. 1 p. 192, 23].

componetur autem problema hoc modo. sit ABFsegmentum, cui aequale segmentum construendum est,

EZH autem, cui simile construendum. et circuli

maximi sphaerarum sint ABFN, EHZO, et diametri

eorum FN, HO, et centra, H, U. et fiat^)

nN+ NT:NT= XT:Tr

1) Est enim WT : (9X == XT : z/; tum u. Eucl. V, 16; u.

Eutocius.

2) Nam AB^ : ©K^ = AB^ : AB X ^ = AB : g.

3) Ex adnotatione eius adparet, Archimedem ovrcog lin. 17

omisisse.

4) nsTtoLiqa&co d: ysyovstco (lin. 26).


Tr, (X)g ds 0vva^(p6r£Qog 7} 2JO0 Ttgog O0, ij S10TCQog 0H. L0og ccQa s6tlv 6 ^sv XAB xcovog xa

ABr T^riâxi tijg CcpaiQag, 6 ds ZÊ tc5 EHZ.TCejtOLi^^d^cOy (og 7j Ô TtQog EZ^ oiJTajg rj XT TtQog z/.

5 Tcal dvo dod^SLOcjv svxtsLcov tSv ABj A 8vo ^s6aL

avdXoyov slXrifp^Giâv^ aC &K, ^, S0ts sivaL cog trjv

AB TCQog @K, ovtcog trjv K® TtQog cr, Kal trjv ^ TtQog

^. xal sTtl tijg 0K xvkIov tîjâ S(ps6td6%'o to ®KAoÔLOv ta EZH kvkIov t^rjâtL^ xal dvaTtSTtXrjQCjOd^cj

10 %vxXog^ xal s6tc3 avtov dLa^stQog rj AS. %al vo-

SLG^ca 6(patQa, rjg ^syLOtog TivTiXog s(5tlv 6 A&SK,j

nsvxQov ds to P. Tcal dLcc trjg @K sjtLTtsdov OQdôv '

sTi^s^Xried^ci TtQog trjv AS. sdtac drj to t^rjfia trjg

0cpaLQag t6 STtl td avtd tcg» A oôlov tc5 EZH TfiiJ-

15 âtL trjg 6(paLQag., STtSLdrj %al tdov xvkXcjv td t^rjâta

rjv oÔLa. Xsya ds, oxl oial l6ov s6tl tco ABF t^rj-

âtL vrjg 6(paLQag. TtSTtOL^^^d^co , cog 6vva^(p6tsQog rj

PS, ST TtQog ST, ovtcogrj WT TtQog TA. l'6og aQa

6 W&K %(DVog ta SKA t^TjâtL trjg 6(paLQag. %al

20 STtSLdrj 0[i0L6g s6tLV 6 WSK xcovog tg5 Z£IE kcovg),

s6tLv aQa.^ (ng 7j S10 TtQog EZ, tovts6tLv rj XT JtQog

z/, ovtcog rj ^T TtQog &K. kvI svalXd^ xal dvdita-

Xlv. (hg ccQa rj WT TtQog XT, rj &K TtQog A. xal

STtSLdrj dvdloy6v sl6lv ai AB^ KS^ ^, z/, s6tLV^ G)g

25 t6 dito AB TtQog to djtb SK^ rj SK TtQog /1. Gog ^\

rj 0K TtQog z/, rj ^FT TtQog XT. kol (hg aQa t6 dTto

AB JtQog to djto KS^ tovts6tLv 6 TtsQi dLa^stQOv

1. TT] TV {= TTl) F; sed fortasse V est y. 20^]Sq, O^ Torellius. Sl^] 0$ F; corr. BCD. 8. icps-

CTccad-co] scripsi; STtsGtaod^co F, uulgo. 13. soxaL] per comp.F. 14. EZH@ F. 17. (og] yap ag Nizze. 18. WT] Tin ras. F. 24. AB] A0 F; corr. Torellius.

et

20 + O0:OO = Sl<^:OH.

conus igitur XAB segmento sphaerae ABFy conus

ZSIE segmento EHZ aequalis est [prop. 2]. fiat^)

^0 : EZ = XT : z/. et datis duabus lineis AB, z/^

duae mediae proportionales sumantur ®Ky ^ [prop. 1

p. 192, 23], ut sit AB:®K = 0K:<5 = <5: A, et in

(s>K linea construatur segmentum circuli ®KA segmento

EZH simile [cfr. Eucl. III, 33 et III def. 11], et ex-

pleatur circulus [Eucl. III, 25], et diametrus eius sit

AS' et fingatur sphaera, cuius circulus maximus sit

A&SKy centrum autem P. et per ®K lineam duca-

tur planum ad ^S perpendiculare.^) erit igitur seg-

mentum sphaerae in eadem parte positum, in qua

A punctum, segmento sphaerae EZH simile, cumetiam circulorum segmenta similia sint. dico autem^),

id aequale esse etiam segmento sphaerae ABF, fiat^)

PS + ST: ST = WT : TA. itaque conus ^@Kaequalis est segmento sphaerae ®KA [prop. 2]. et

quoniam conus W&K similis est cono ZSIE^ erit

P.0 : EZ, hoc est XT: /i [ex hypothesi], = WT:@K[p. 222, 9]. et uicissim [Eucl. V, 16]

[XT: WT= A : @K]et e contrario [Eucl. Y, 7 ;to>.] WT:XT=®K: ^.

et quoniam proportionales sunt lineae AB^ K@, <Sj z/,

erit AB^ : 0K^ = ®K:^ [u. Eutocius]. sed

®K:^ = WT:XT.quare etiam AB^ : K®^j hoc est circulus circum dia-

1) nBnoLTjcd^co lin. 4 et 17 d: ysyovsta).

2) De uerborum ordine lin. 12—13 cfr. p. 207 not. 2.

3) Fortasse scribendum : Xsyo) 8ri lin. 16.

Archimedes , ed. Heiberg. I. 15

226 nEPI 2f>AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.

trjv AB Kvxlog TtQog xov TteQi dLcc^stQOV trjv &Kxvxkov, ovtag rj WT TtQog trjv XT. i'6og ccQa iotlv

6 XAB xcovog ta W®K Kcova. S^te xal to ABFtfirjiia trjg 6(paCQag i'6ov s6tl rc5 ®KA t^rjâti trjg

5 6(paLQag. ta doîvti ccQa t^r^âti ta ABF lcov xal

aXXcu rc5 dodêvtc oiiolov rco EZH to avto 6vvs6tatac

t6 @KA.

?\

^vo doîvtav 6cpaCQag t^rj^dtcov, ei'te trjg avtrjg

10 SLts ft?J, svQstv t^rjâ 6(paCQag, o i6tai svl ^sv t^v

dodîvtcDv oÔLOv, trjv ds ivCLCpdvsLav s^sl i'6rjv tfi tov

stiQOV t^riâtog iitLcpavsCcc.

s6to td dodîvta t^7](iata 6(paLQLycd xatd tdg ABF,ziEZ JtSQLCpSQsCag. xal s6to^ (h ^sv dst oôlov svqslv^

15 t6 %atd TT/t/ ABF TtsQLCpiQSLav, ov ds trjv i7tL(pdvsLav

i6riv s^SLV tfi iitLcpavsLcc t6 xatd trjv ÊZ. xal ys-

ysvr\6%(xi^ xal s6to to KAM t^rjfia trjg 6(paCQag tm

ft-fi/ ABF tiiYiiiatL oÔLOV^ trjv ds iitLcpdvsLav L'6r\v

s%itco tfj To£» AEZ t^rjâtog i7tL(pavsCcc. xal vosC^d-co

20 T« xivtQa t(ov 6(paLQoov, xal dt' avtcov irtCTtsda ix-

^spXrj^d^co OQd-d TtQog tdg tcjv t^rj^dtcov pd6SLg^ xal

iv êv tatg 6cpaCQaLg toâl e6tco6av oC KAMN,BAFS^ EZHA îyL6toL xvxXol, iv de tatg ^d6e6L

tcov t^rjndtov ai KM, AF^ AZ evd^staL. dLd^sxQOL

25 ds Tcoii' 6(paLQov TtQog oQd-dg ov6aL tatg KM^ AF,

1. zTjv AB xvxXoff TtQog xov Ttsql didfistQOv'] om. F; corr.

Torellius (et Cr.). 2. ytvnXog F; corr. Torellius. 6. aXXo

F; corr. ed. Basil.* 8. ^' Torellius. 10. svq cum comp. lv

uel r}v F. svC] sv F; corr. B*. 17. rftTjitta] om. F; corr.

Torellius. sed fortasse potius delenda sunt triq GcpaCQuq. 21.

OQ^-d TtQog] syllab. — -&•« nQog in rasura F; uidetur fuisse 0Q%^ttL.

DE SPHAERA ET CYLIXDfiO U. 227

metrum AB descriptus ad cii*culum circum SK de-

scriptum [Eucl. XII, 2] = WT : XT. quare aequales

sunt coni XAB, W&K [I lemm. 4 p. S2]. itaque

etiam segmentum sphaerae ABF aequale est segmento

&KA. itaque inuentum est segmentum GKA dato

segmento ABF aequale et idem alii segmento dato

EZH simile.

VL

Datis duobus segmentis spbaerae, siue eiusdem siue

non eiusdem, segmentum spbaerae inuenire, quod al-

teri datorum simile sit, et superficiem superficiei al-

terius segmenti aequalem babeat. M — segmenta spbae-

rarum^) data in arcubus ABFy AEZ posita siut. et

segmentum in areu ABF positum id sit, eui simile

segmentum inueniendum est, segmentum autem in arcu

A EZ positum id. cuius superticiei superticiem aequa-

lem segmentum quaesitum babere oportet. tiat, et

segmentum spbaerae KAM segmento ABF simile sit,

superiiciem autem superliciei segmenti AEZ aequalem

babeat. et liugantur centra spbaerarum, et per ea du-

cantur plana ad bases segmentorum perpendicularia,

et in spbaeris sectiones sint circuU maximi KiyiXyBAFG, EZHA, in basibus autem segmentorum KMfAFy AZ lineae. diametri autem spbaerarum ad lineas

KM, AT, AZ perpendicuhires sint AN, BS, EH et

1) Jvo dodÊVTcoi- TLiaucctcov GcpciiQccs fiTf xug ctvrag shfctXXccg 8VQSIV zi Tuciîo: aqpa/^cvtj, o iGGSizcci ccvto ufv oôiovTw sxsgco TfDv T^ccuccTcor, Tccv c?t inicfccysiciv icav s^st riv ini-

cpccvsicc Tov 8TSO0V TûfvuaTo^. tcsqI sXtx. praef.

2) GcpaiQina lin. 13 Archimedeiiin non est.

15*

228 nEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT B'. i

/IZ satcoGav ai AN, B@, EH. xal E7CBt,evx%^cy6av ai '

AM, BF, EZ. xal iitsl lOri iotlv rj tov KAM t^^-

âtog trjg (5(paLQag iTtKpaveia tfj tov ÊZ T/A7j|Ltarog

iitLfpavsia^ l'6og aqa i^tlv xal 6 xvxXog, ov rj ix tovj

5 xsvtQOv 1071 ^^^^^"^Xl ^^? T^^ xvxXci^ ov rj ix tov

\

xivtQov i(5ri i6tl tfj EZ [at yaQ iTiLcpccvBiai tcov EiQfj-

îvG)v t^rj^cctcov t6aL idaCid-riâv xvxkoLg, (6v al ix

tdav xivtQov L6aL bloIv tatg aito tcjv xoQV(pc3V tcov .

t^rj^cctcDv iitl tag ^d(5ELg i7tL^£vyvvov0aLg]. S0ts xal

10 rj MA tfj EZ L6rj iatCv. iitsl ds oiiOLOv iotL rb KAM ^

rc5 ABF t^rjâtL, s6tLV (og rj AP JtQog PN, rj BU \

"JtQog n@. xal dvccTtalLv xal ^vvdîvtL^ (og rj NA JtQog\

AP, ovtcjg rj ®B TtQog BIT. dXXa xal (X)g rj PA Ttgbg

AM, ovtog rj BIl TtQog FB [oÔLa yccQ td tQLyova]'\

15 (og aQa rj NA TtQog AM, tovtiotL TtQog EZ, ovtcog

rj @B JtQog BF. xal ivallcc^. Xoyog ds tfjg EZ TtQog

Br dod^SLg' dod^SLâ yaQ ixatsQa. loyog ccQa xal r^g

AN TtQog @B dod^SLg. xaC ictL dod^stea rj B®. do-

%^SL6a aQa xal rj AN. S^ts xal rj 6(paLQa dod-st^d

20 iativ.j

6vvtsd^7]6£taL ds ovtcog' s6tco td dodîvta dvo t^rj- \

âta 6(paCQag td ABF, AEZ^ to \Csv ABT^ (p dst

oÔLOV, to ds AEZ^ ov trjv iitL^pdvsLav l'6rjv sxslv tfj

11. eazLvl S6TIV ccQoi Torellius, et hoc habet Eutocius; eedfieri potest, ut ccqcc a transscriptore omissum sit. 13. BII]@n F. 17. So&Eis] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 18. do-

&sig] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 21. ds] scripsi; 8rj F, uulgo.

23. txBLv] sx^'' ^j corr. Torellius. auditur dei ex lin. 22; cfr.

p. 226, 16.


ducantur lineae AMy BFj EZ. et quoniam super-

ficies KAM segmenti sphaerae aequalis est superficiei

segmenti AEZy etiam circulus^ cuius radius aequalis

est lineae AMy aequalis est circulo, cuius radius

aequalis est lineae EZ [I, 42— 43].' quare etiam

MA = EZ [Eucl. XII, 2]. porro quoniam [segmen-

tum] KAM segmento ABF simile est, erit

AP:PN=Bn: n@ [u. Eutocius].

et conuertendo [Eucl. V, 7 jtoV] [PN: AP= ne^BU]B

et componendo [Eucl. V, 18] NA: AP= B&:Bn,sed etiam PA:AM=Bn: FB}) quare NA : AM,hoc est NA:EZ = &B:Br [do' l'0ov Eucl. V, 22].

et uicissim [Eucl. V, 16] [NA :@B = EZ: BFl ratio

autem EZ : BF data est; utraque enim linea data est

[u. Eutocius]. quare etiam ratio AN:®B data. et

B® data est; itaque etiam AN. itaque etiam sphaera

data est [Eucl. dat. def. 5].

componetur autem hoc modo: sint data duo seg-

menta sphaerae ABF^ ^dEZ^ quorum ^^jT id sit,

cui simile segmentum inuenire oportet, AEZ autem

1) Nam Brn (/> AMP (u. Eutocius); tum u. Eucl. VI, 4.


eiii(pavaCa. xal ra avta xatE^xsvd^dô totg STtl r^g

dvalv6£(og, xal 7t£7iOLT]6d-C3 , G)g êv rj BF TtQog EZ,ovtcog 1] BS TtQog AN. xal jtsQL did^stQOv trjv ANTcvxlog ysyQdcpdô). Tcal vo£l6^G) 0(patQa^ rjg iiiyi,(5tog

5 satcn TiVTilog AKNMj xal t^t^T^^d^cj rj NA xatcc

tb P, S0t£ £ivai c)g trjv &IJ TtQog 775, tr]v NP TtQog

PA. xal did tov P iitiitid^p t£t^rj6d^co rj £7ti(pdv£ia

OQd^cD TtQog trjv ANy xal i7t£^£vx^^ V ^M. oôia

ccQa £6tlv td £7ti tav KM, AF ^vd-îcov tdsv xvxkcov

10 tîrjâta. S6t£ xal td t^rjâta tSv 6(paiQSv £6tiv

oôia. xal £7t£i £6tiv, (X)g rj ®B 7tQog BII^ ovtog rj

NA TtQog AP' xal yaQ xatd diaiQ£6iv' dXXd xal (og

rj IIB TtQog BF, ovtcog rj PA TtQog AM, xal (og ccQa

r} &B TtQog NA, rj BF TtQog AM. rjv dh xal Sg rj

15 &B TtQog AN, ri BF TtQog EZ. i6rj aQa £6tlv rj EZrrj AM. S6t£ xal 6 xvxkog^ ov rj ix tov xivtQOv

i6tlv rj EZy i6og i6ti rc5 xvxXc), oi) rj ix tov xiv-

tQov i6rj i6tl tfj AM. xal 6 ^£v trjv ix tov xivtQov

£%G)v trjv EZ xvxkog l'6og i6tl tfj i7ti(pav£i(x tov

20 /iEZ t^Tjâtog. 6 d£ xvxlog, ov rj ix tov xivtQov

t6rj i6ti tfj AM, i6og i6tl tfj i7ticpav£i(z tov KAMtiirjîatog. tovto ydQ iv ta 7tQcSta) didîxtat. i6rj aQa

xal rj i7ti(pdv£ia tov KAM t^rjâtog tfj i7ti(pav£icc

tov AEZ t\irj\jiatog trjg 6cpaiQag^ xaC i6tiv o\iOiOv tb

25 KAM tS ABF.

8. AN^ AN F. AM'] AMY. 12. v.axd'] scripsi Quaest.

Arch. p. 157; xa %ccxcc F, uulgo; xovxo ticixd Torellius. 17.

rra] scripsi; om. F, uulgo. xvxXco, ov ij i-K xov ksvxqov i'ffri

86xl] om. F; corr. ed. Basil., Cr. 23. rfj inicpccvsCcc xov z/EZtfirificcxos] om. F; corr. ed. Basil. {AEÊ^ pro z/E Z,'quod corr.

Torellius), sed post r% GtpcciQccg-^ ipse transposui. „superficies

igitur hlm portionis sphaerae similis est ahc et aequalis super-

ficiei de/" Cr.

tet segmentum quaesitum. et construantur eadem,

quae in analysi, et fiat^) BF: EZ = B&: AN. et

circum diametrum AN circulus describatur. et fin-

gatur sphaera, cuius circulus maximus sit AKNMyet secetur NA in puncto P, ita ut sit

@n:nB = NP: PA [Eucl. VI, 10].

et superficies secetur plano per P ducto di,di AN lineam

perpendiculari, et ducatur AM. similia igitur sunt

segmenta circulorum in lineis KM, AF posita [u. Eu-

tocius].^) quare etiam segmenta sphaerarum similia

sunt. et quoniam SB : BU == NA : AP (nam etiam

per diremptionem [est @n : BII = NP : AP-^ tum u.

Eucl. V, 18]), et etiam nB:Br=PA: AM [p. 229

not. 1], itaque etiam &B : NA = BT : AM.^) erat

autem @B:AN=Br:EZ [ex hypothesi]. itaque

EZ = AM [Eucl. V, 9]. quare etiam circulus, cuius

radius est EZ, aequalis est circulo, cuius radius aequa-

lis est AM lineae. et circulus radium habens EZaequalis est superficiei segmenti JEZ, circulus autem,

cuius radius aequalis est lineae AMy aequalis est su-

perficiei segmenti KAM. hoc enim in primo libro

demonstratum est [I, 42— 43]. itaque etiam super-

ficies segmenti KAM aequalis est superficiei ^EZsegmenti sphaerae, et simile est segmentum KAMsegmento ABF.

1) H. e. ysyovitco Hn. 2.

2) Ex eo comperimus, horum uerborum formam genuinamhanc esse: ta inl tav KJyF, AF t(ir](icita ytvTiXcov lin. 9.

3) Nam Si' l'aov (Eucl. V, 22): @B : B F = NA : AM;tum hccXXd^ (Eucl. V, 16).

232 HEPI SÂIPAZ KAI KTAINAPOT B'.

Ano trjg dod^sierjg acpaLQag tîjâ tsêtv iTtLTcidc}

(o6ts To t^rjâ TtQog tov xcjvov tbv ^deiv E%ovta trjv

avtrjv t(p t^riâtL xal vipog l'6ov tbv dodêvta Xoyov

5 exsLV.

e0tG> rj dodêtâ atpatga, rjg êyL0tog xvxXog 6

ABFzl^ dLaêtQog de avtrig rj B^. det drj trjv 6(pat-

Qav eTCLTteSip teêtv t« dta trjg AF^ oitog to ABPtfirjâ trjg a^paLQag TtQbg tbv ABF tcovov koyov ex^

10 tbv avtbv tco SodêvtL.

yeyovetco^ xal e^tco xevtQOV trjg OcpaLQag to E'

xal wg 0vva^q)6teQog rj Ez/Z TtQbg z/Z, ovtcog rj HZTtQbg ZB. i'6og ccQa i6tlv 6 AFH xcovog ta ABPt^riiiatL. koyog ccQa xal tov AHT xcovov JtQbg tbv

^^ ABF xcovov dodêLg. ?,6yog ccQa trjg HZ JtQbg ZBdodêLg. (og de rj HZ TtQbg ZB, 6vva[i(p6teQog rj E/iZTtQbg z/Z. Ao;ôg ccQa 6vva^(poteQOv trjg EAZ TCQbg

z/Z do^êCg [coVt£ Kal trjg Ezf n^bg /IZ. dod-et6a

ccQa xal rj z/Z]. Sote20 ^ ^. xal r} AF. xal enel

0vva^(p6teQog r] E/IZTtQbg AZ êLôva X6yov

'e%eL^ rjjteQ 6vva^(p6teQog

rj E/JB TtQog z/5, KaC

i6tLV 0vva^(p6teQog êv

rj E/JB tQLg rj EzJ, rj

de BA dlg rj EJ, Gvv^

aii(p6teQog ccQa rj E/fZ TtQbg /iZ êCôva l6yov eêL

Tot», oV eêL tQLa TtQbg dvo. xaC i6tLv 6 6vva^(po-

25

1. 71 Torellius; om. ed. Basil. 3. xov puGLv'^ scripsi;


VII.

A sphaera data plano segmentum abscindere, ita

ut segmentum ad conum eandem basim habentem,

quam segmentum, et altitudinem aequalem datam ra-

tionem habeat.^)

data sphaera ea sit, cuius circulus maximus est

ABFJ, diametrus autem eius BJ. oportet igitur

sphaeram plano per AF ducto ita secare, ut^) seg-

mentum sphaerae ^^r* ad conum ABF datam ratio-

nem habeat.

fiat, et centrum sphaerae sit E, et sit

EJ + zJZ: AZ = HZ: ZB.

itaque conus AFH aequalis est segmento ^^F^prop.^].

quare ratio conorum AHF : ABF data. quare etiam

HZ : ZB [I lemm. 1 p. 80]. sed

HZ :ZB = EA + ^Z: JZ,quare etiam ratio EA + AZÂZ data est.^) itaque

etiam linea AT data [u. Eutocius]. et quoniam

EJ + AZ : AZ> EA + AB: AB,et EA + AB^ SEA, et BA == 2EA, erit igitur

1) 'Ano Tccg do&siaccg acpccLQccg t^ccfia ccnotsiistv snmsdqi^mcts to tficcfia notl tov 'nmvov tov ^daiv sôvta tdv avtdvta tfidfiatL yial vipog laov tov tax^svta Xgyov sxsiv (iSLôva

tov, ov ^%SL td tQLa notl td dvo. nsQL sXCv.. praef.

2) Pro onayg lin. 8 Archimedes usus erat mats (Quaest.

Arch. p. 70).

3) Archimedes scripserat: Xoyog ccqu SsSofisvog avva^cpo-tSQOv trjg Ez/Z nQog AZ lin. 17— 18 (Eutocius).

ti\v §aaLV F, uulgo. 9. sxj]] scripsi; 'Sxsl FC*V; sxslv B*ed. Basil., Torellius. 12. EJ, JZ Torellius. 16. EJ, JZidem. 17. EJ, ZJ idem. 21. Ez/, z/Z idem. 24. Ez/, JBidem, ut lin. 26. 27. 6Lg] 8vo F; corr. V; „bis" Cr. 28.

EJ, JZ Torellius, ut p. 234 lin. 1.


X8Q0V trjg EzJZ JtQog Zz/ loyog 6 avrbg rca dodêvTL.

det ccQa tbv didoîevov koyov aig trjv (SvvdsCiv ^sC-

ôva eivat tov, ov e%ei tQia Ttqbg ^vo.

6vvtsd")]0£taL ds ro TtQO^Xrjâ ovtcog' Ôta rj do-

5 ^stCa GcpaiQa, rjg ^syiCtog ^cvxAog 6 ABr/J^ did^s-

tQog ds rj 5z/, xsvtQOv ds tb E, b ds dod^slg ?.6yog

trjg @K TtQbg KA^ iisCt,ov tov, ov s%si tQCa itQbg

dvo. s6tL ds ag tQCa TtQbg dvo, 6vva^(p6tsQ0g rj E^BTtQbg ^B. xal rj @K aQa itQbg KA ^sCôva Xoyov

10 s%SL roi>5 ov s%SL 6vva^(p6tSQog rj EzlB TtQbg AB.dLsXbvtL aQa rj @A TtQbg AK ^sCôva X6yov s^sl, rJTtsQ

rj jEz/ JtQbg AB. xal TtSTtOLtîjd^co, cog rj @A itQbg AK,ovtcog ri E/1 TtQbg z/Z,

y,al dLcc tov Z trj B^ TtQbg

15 ^ "^ OQdâg r]x^(o r} AZF^ xal

Slcc trjg FA riid-co sitCitsdov

OQxtbv TtQbg trjv BA. Xsyco^

otL tb ccTtb ABF t^rjâ

trjg 6cpaCQag JtQbg tbv

20 "^ ^' ABr>c(Dvov l6yov s^SLtbv

avtbv t(p @K TtQbg KA.TtsTtOLtiCd^co yccQ (hg ^vvaî-

cpbtSQog rj EAZ TtQbg z/Z, ovtog rj HZ itQbg ZB.

L6og ccQa sOtlv 6 FAH xcovog t(p ABF t^rjâtt t^g

25 0cpaCQag. ycal sitsC sCtLV^ cog rj @K TtQog KA^ ovtcog

6vva^cp6tsQog rj EAZ TtQog z/Z, tovtsOtLv r] HZTtQbg ZBy tovts6tLv 6 AHF Tccovog TtQbg tbv ABFxcovov, t6og ds 6 AHF xcDvog ta ABF t^rjâtL trjg

6(paCQagj (og ccQa tb ABF t^rjâ TtQbg tbv ABF K(0'

30 vov, ovtcog rj 0K JtQbg KA.

4. ds] scripsi; dr} F, uulgo. 8. EJ, JB Torellius, ut


Ez/ + z/Z : z/Z > 3 : 2. et ratio E^ -\- AZ'. /IZ

aequalis est rationi datae. oportet igitur, rationem

ad synthesim datam maiorem esse, quam 3 : 2.

componetur autem problemahoc modo: data sphaera

ea sit^ cuius circulus maximus est ABT/l^ diametrus

autem eius Bz/, centrum autem E^ et ratio data, maior

quam 3:2, &K: KA. est autem

EJ -{- AB:AB = ^:2.

quare

@K: KA> EA + AB: AB.

dirimendo igitur @A : KA > EA : z/5.^) et fiat^)

@A : AK = EA : AZ, et per Z ad lineam BJ per-

pendicularis ducatur AZF, et per FA ducatur planum

3id BA lineam perpendiculare. dico, segmentum sphae-

rae in ABT positum ad conum ABF eandem ratio-

nem habere, quam SK: KA. fiat^) enim

EA + AZ:AZ = HZ : ZB.

itaque conus FAH aequalis est segmento sphaerae

ABF [prop. 2]. et quoniam

@K:KA= EA + AZ: z/Z*) = HZ : ZB = conus

^ifr : conum ABT [I lemm. 1 p. 80], et conus AHFaequalis est segmento sphaerae ABF, erit igitur, ut

segmentum y^JSr' ad conum ABF, ita @K : KA.

1) Ex Pappi libr. VII, 45 conuersa (II p. 684).

2) nsTtoii^Gd^co lin. 12 3: ysyovitco.

3) Debebat esse ysyovhat lin. 22.

4) Nam @A: AK = EJ : z/Z; tvimevv&ivti, (EucL V, 18).

lin. 10. 15. AZr] Torellius; AFZ F, uulgo; fortasse scri-

bendum AF. 18. ccno om. ed. Basil., Torellius, Cr. 23.

EJ, dZ Torellius, ut lin. 26. 27. AHF] AHV F. 28.

Tffll ABF] om. F; corr. B; „aequatur portioni sphaerae" Cr.

236 nEPI i:$AIPA2 KAI KTAINAPOT B'.

Êav CfpaiQK iitiTtidG) t^rjd^rj ^rj dicc tov KivxQOv^

xo ^stôv r^rjâ TCQog rb aXa66ov Bld66ova âv loyov

exei 7] di7tXd6iov rov^ ov B%ei tj rot» êiôvog rî^â-

5 rog S7tiq}dv£ia TtQog rrjv rov sXd66ovog sTticpdvsiav^

liSitôva 8s rj rjîoXiov.

s6r(o 6(paiQa^ nal sv avrfj ^syi^rog xvxXog oABF^âal did^srgog rj J5z/, Tcal rsrî]6d^co sJtiTtsdo) 8id rrjg

AF 6()^G9 TtQog rof ABTzl xvkIoVj xal s6r(o ^stôv

10 riirjâ rrjg 6(paiQag ro ABV. Isyca^ ort ro ABFrîjâ TtQog ro AAT sXd66ova \isv rj di7tla6iova Ao-

yov s%si^ r]7tSQ rj S7ti(pdvsia rov ^sit,ovog r^riârog

TtQog rr]v STticpdvstav rot; sXd66ovog r^rjârog^ ^siôva

OS 7] rjîOAiOV.

15 s7tst,sv'i%^(o6av yaQ al BA/i^ xal s6r(X) TcsvrQOv ro

E. xal 7ts7toiri6%^G)^ dyg ^sv 6vva^(p6rsQog rj E^Z TtQog

z/Z, rj &Z 7tQ6g ZB^ (hg d\ 6vva^^6rsQog rj EBZTtQog BZ, oi^rog rj HZ 7t^6g Z^. xal vosi6%ô6av

K(DVOi ^d6iv s%ovrsg r6v rtSQl did^srQOv rrjv AT xv-

.A

20 Kôv^ xoQVCpdg ds rd 0, H 6riiisia. s6rai drj t6og 6

insv A&T x(DVog ra ABT rfiriân rrjg 6(paLQag^ 6 ds

1. -9"' Torellius. 3. eXaaaov'] om. F; corr. B, Cr. 5.

Tov] Tcov per coinp. F, ut uidetur. 11. to] tov per comp.


VIII.

Si sphaera plano non per centrum ducto secatur,

maius segmentum ad minus minorem rationem habet

quam duplicem^ quam habet superficies segmenti ma-

ioris ad superficiem minoris, maiorem autem quam

sesquialteram.^)

sit sphaera, et in ea circulus maximus ABF/ly et

diametrus BJ, et secetur plano per AF lineam ad cir-

culum ABFA perpendiculari, et maius sphaerae seg-

mentum sit ABT. dico, segmentum ABF ad AAFminorem quam duplicem rationem habere, quam super-

ficiem segmenti maioris ad superficiem minoris, maio-

rem autem quam sesquialteram.

ducantur enim lineae BA, AA, et centrum sit E.

et fiat^)

EA -^ AZ: AZ = &Z: ZBet

EB + BZ:BZ=^HZ: ZzJ,

et fingantur coni basim habentes circulum circum AFdiametrum descriptum, uertices autem &, H puncta.

erit igitur conus A&F aequalis segmento sphaerae

1) Ei xa ccpcciQa srCLnsdq) riicc^'^ sig ccviacc nox* oqQ^ccq dicc-

fiEtQOi rtvl tmv iv ra gwccCqdc , , ., t6 (istôv riiccficc rag ccpcci-

Qccq noxl ro sXccaaov iXaaaovcc [isv 7] dinXdaiov Xoyov s%si rov,ov s%si cc (iSL^CDV snicpcivsicc noxl xccv iXdaoovcc, fiSLôvcc Ss r)

TifiioXiov. nsQL sXCv,. praef.; u. Neue Jahrbiicher, Suppl. XI396 sq.

2) nsnoiiqaQ^co lin, 16 d: ysyovsto}.

F; corr. ed. Basil.* 15. BA, AJ Torellius. 16, E^, dZTorellius. 17. EB, BZ idern. 19. â.aiv y^sv Torellius.

238 nEPi sÂiPAi: kai ktainapot b'.

AFH Tfp A^r. KaC i(3riv^ (og t6 djto BA TtQog to

ccTCo A/l^ ovxcag r\ iniipa.vua xov ABF t^riâTog JtQog

triv iiticpdvsiav tov AAT tî^âtog. rovro yccQ TtQO-

yiyQaTttat [deLxtiov^ oti t6 âtôv tfiijâ tijg CcpaiQag

5 Ttqbg to £Xa60ov iXd<36ova koyov ixsi ^ diitkd^LOV^

\ 7]7t£Q 7] iiticpdvsia tov êiôvog tî]âtog TtQog tr}v

', i7tiq)dvsiav tov iXd0(5ovog tiiriâtog^ kiycs, oti xal l

,' A®r xSvog TtQog tov AHF^ tovtictiv rj Z0 TtQog ZH^

liXd66ova Xoyov s^si ^ diTtXdîov rot;, ov Exst tb dnb

j10 BA TtQog tb djtb AA, tovtiativ rj BZ TtQbg ZA. na\

iTtsi iotiv, (og [^sv] 0vva^(p6tsQog rj EAZ JtQbg AZ^

ovtcog rj ®Z TtQbg ZB [cog ds 0vva^cp6tsQog rj EBZTtQbg BZ^ ovtcog rj ZH ^Qbg Zz/], sotat xal cog rj

BZ TtQbg ZA, rj ®B TtQbg BE. l'0rj yccQ rj BE tfi

16 AE [tovto yccQ iv totg ijtdvco 6vva7todsdsiKtai]. Ttd-

Xiv iitsi i^tiv^ cog 0vva^cp6tsQog rj EBZ itQbg BZ^ rj

HZ JtQbg Zz/, s0tco tfj BE i0ri rj BK. drjXov ydQ,

oti ^Si^Giv i0Tiv rj @B trjg BE^ i%si Kal rj BZ trjg

ZA. xal s0tai^ (og rj KZ TtQbg ZB^ rj HZ TtQbg ZA,

20 cog ds ri ZB TtQbg ZA, idsi%f^ri rj 0B TtQbg BE, 107}

ds rj BE ty KB' (og ccQa rj &B TtQbg BK, ovtcog rj

KZ TtQog ZH. Tial iTtsl rj SZ TtQbg ZK iXd00ova

l6yov s%si, 7]7tsQ 7] ®B TtQbg BK, (og ds rj ®B JtQbg

BK, idsix^rj rj KZ TtQbg ZH, rj ®Z aQa itQbg ZK25 iXd00ova X6yov s%si, jjjtsQ rj KZ TtQbg ZH. sXa00ov

ccQa t6 vTtb t^v ®ZH to{> aTtb ZK. to aQa v7tb

tcov ®ZH 7tQbg tb d^tb ZH \tovti0tiv rj Z® 7tQbg

ZH] ild00ova X6yov s%si\ tov, ov s%si t6 ditb tijg

KZ TtQog tb d7tb ZH [tb ds d^tb KZ 7tQbg tb d^tb

2. ccTCo AJ] dno om. F; corr. ed. Basil. 9. dinXdGiov]

a^nXaciOva Eutocius. 11. EJ, JZ Torellius. 12. EB, BZ

ABF, et conus JirH segmento Az/F [prop. 2]. et

superficies segmenti JIBF ad superficiem segmenti

A/ir eam rationem habet, quam BA"^ : AZl^. hoC

enim antea demonstratum est.^) dico, etiam^) co-

num A&r ad AHr^ hoc est ®Z:ZH [I lemm. 1

p. 80] minorem quam duplicem rationem habere, quam

BA^ : A^^y hoc est BZ :Z/1 [u. Eutocius]. et quo-

niam EA + ^Z : JZ = 0Z : ZJ5, erit etiam

BZ:ZA ==&B:BE',nam BE==^E.^) rursus quoniam

EB + BZ:BZ = HZ:ZA,sitBK= BE. adparet enim eB > BE, quia 5Z> Zz/.

et erit KZ:ZB = HZ: ZA.^) sed

ZB:Z^ = @B:BE,ut demonstratum est, et BE =^ KB-^ quare

0B:BK = KZ: ZH^)et quoniam ®Z : ZK <&B : BK [u. Eutocius], sed

demonstratum est &B : BK = KZ : ZH, itaque

®Z:ZK<KZ:ZH.quare 0Z X Zif < ZiT^ [u. Eutocius]. itaque

eZxZH: ZH^ < KZ^ : ZW [u. Eutocius].^)

1) Demonstratum est (I, 42—43), superficies segmentorumaequales esse circulis, cuius radii sint BA, AA\ sed circuli illi

inter.se rationem habent, quam BA'^ : AJ^ (Eucl. XII, 2).

2) Hoc est: sicut segmenta ABFf AJF; p. 236 lin. 10 sq.

8) Nam diEXovtL (Eucl. V, 17)

Ezl : JZ ^ @B : ZB = BE : z/Z;tum ivaUd^ (Eucl. V, 16).

4) Quia EB -{- BZ = BK-]- BZ = KZ.5) Nam gVaUal est (Eucl. Y, U) KZ : ZH = ZB : ZJ.6) Ex eius adnotatione adparet, Archimedem scripsisse lin.

28: sxsL ijnsQ xo a.no aZ nqog %zl.

idem. 16. sgxlv] sgti, F. EB, BZ Torellius. 26. 0Z,ZH idem, ut lin. 27.

240 nEPi i;AiPA2 kai ktainapot b'.

ZH diTikaGiova Xoyov 8%^^^ tJtcsq rj KZ TtQog ZH]. J

rj ccQa ®Z TtQog ZH ila66ova koyov ^xsc rj dntka-

6i0va rov, ov exei rj KZ TCQog ZH [rj KZ JtQog ZHsld66ova koyov £%8l r] diitXaoCova rov, oV 8%ei rj BZ

6 TtQog Zz/]. TovTo ds i^rjrov^sv. xal sTtsl l'6r] s6r\v

rj BE rfj £Jz/, sXaCGov aQa t6 V7tb rcjv BZzi rov|

V7C0 rSv BEzf. rj ZB aâ JtQog BE skd66ova Xoyov \

sxsi^ 7]7tsQ rj Ejd TtQog z/Z, rovrs6riv rj ®B TtQog BZ.

sXa66ov aQa ro aTto ZB rov v7to rcov ®BE^ rovrs6ri

10 rov v7to roiv ®BK. s6ra) i6ov ro d^tb BN rS vTtb

&BK. s6riv aQa^ (hg rj @B 7tQbg BK., rb d^tb ®N '

7tQbg rb d^tb NK. rb ds d^tb ®Z 7tQbg ro d^tb ZK^Siôva Xoyov f%£t, rj rb d^tb @N 7tQbg rb d^tb NK[xal ro d7tb @Z aQa 7tQbg ro d^tb ZK ^siôva Xoyov

15 £%ffc, rj7tsQ rj ®B 7tQbg BK^ rovrs6riv rj ®B 7tQbg BE^rovrs6riv rj KZ 7tQbg ZH]. rj aQa ®Z 7tQbg ZH^Siôva Xoyov sxsi tj rjiiioXiOv rov r^^g KZ 7tQbg ZH[rovro yaQ S7tl rsXsi\ aaC s6riv, d>g ^sv rj 0Z 7tQbg

ZH, 6 A®r xcovog 7tQbg rbv AHT xcjvov, rovrs6ri

20 ro ABF r^rjâ 7tQbg ro A^F riirjâ. dyg ds rj KZ7tQbg ZH, rj BZ 7tQbg Zz/, rovrs6ri rb d^tb BA 7tQbg

rh dTtb A/i^ rovrs6riv rj STticpdvsia rov ABF r^rj-

[larog 7tQbg rrjv S7ti(pdv£iav rov AAT rfjiijârog. ca6rs

rb ^siôv r^rjâ 7tQbg ro sXa66ov sXd66ova iikv rj

25 8i7tXa6Cova Xoyov sxsi roi), ov s^si rj S7ti(pdvsia roi)

^sCôvog r^tjâtog 7tQbg rrjv S7ti(pdvsiav rot; sXd66ovog

r^rjliarogj ^sCôva ds r/ rjîoXiov.

S.ZH] ZH. (hg Ss Torellius. ZH] ZK, rj BZ TiQog

ZJ. rj @Z uQa TCQog ZH idem. uerba uncis inclusa om. Cr.,

in parenthesi habet ed. Basil. 6. BZ, Zz/ Torellius. 7.

BE, EJ idem. 9. 9B, BE idem. 10. @B, BK idem.

11. 9BK] ed. Basil.; B@KF; @B, BK Torellius. 13. dno

quare ®Z : ZH minorem quam duplicem rationem ha-

bet, quam KZ : ZH. hoc autem quaerebamus.^) et

quoniam BE = E/i, erit BZx Z^ <BEx EA[u. Eutocius]. itaque ZB : BE < EJ : AZ [u. Euto-

cius] h. e. <&B:BZ?) quare ZB'^ <SBxBE%hoc est <SBX BK [nam BE = BK]. sit

BN^ = @JB X BK.

erit igitur ®B:BK= ®N^ : NK^ [u. Eutocius]. sed

0Z2 : ZK^ > ®N^ : NK^ [u. Eutocius].

itaque 0Z: Ziif ratio maior quam sesquialtera est quamratio KZ : ZH [u. Eutocius]. et ut @Z : ZH, ita co-

nus A®r ad conum AHF [p. 238^ 8], hoc est seg-

mentum ABF ad segmentum A/IT [p. 236, 21]. est

autemiirZ:Zif=5Z:Zz/[p.239not.5] =BA^:A^^[p. 238, 10], hoc est superficies segmenti ABF ad su-

perficiem segmenti AJF [p. 239 not. 1]. itaque seg-

mentum maius ad minus minorem quam duplicem

rationem habet, quam superficies segmenti maioris

ad superficiem minoris, maiorem autem quam sesqui-

alteram.

1) Quaerebatur proprie

Z© xZH<BZ^ '.ZJ^

(p. 238, 7—10); sed est (p. 239 not. 5)

KZxZH = BZ: Zd d: XZ^ : ZH^ = BZ^ : Zd'^

3: 0Z : ZH <EZ2 : Zz/l

2) Nam Ezl : zJZ = @B : BZ (p. 239 not. 3).

3) Cfr. Quaest. Arcli. p. 45; Eutocius ad p. 238, 25.

NK] ano om. F; corr. Torellius. 23. wcyre] Hauber; «X-Xots F, uulgo; maxs aqa Nizze.

242 nEPI 2«ÂIPAS KAI KTAINAPOT B'.

AAASiS.

*'E6to 6(patQa^ evfj

^syL^tog xvxXog 6 ABFzJydidâtQog de rj AF^ xsvtqov de tb E, xal tst^riad^co

iTtiTtsdco oQdâ did trjg B^ ^Qog trjv AT. êyco, ort

5 To êiôv t^rjâ t6 ÂB JCQog tb ela66ov t6 BF/IiXd66ova 7] 8i7ikd6LOV Xoyov e%ei tov^ ov eiei rj eitL-

(pdvsLa tov ABzJ t^rjâtog TtQog trjv eitLtpdveLav tov

BFzi t^rjâtog, êCtôva de rj rj^Lohov. eTteêvxd^coâv

yccQ aC AB, BF. 6 de trjg eTtLcpaveCag TtQog trjv eitL-

10 (pdveLav Xoyog 6 tov xvxXov e6tCv, ov rj e% tov ocev-

tQov rj AB, TtQog tî^ xvxXov, ov rj ex tov TievtQOv

rj BF, tovte6tLv 6 trjg A® TtQog trjv GF. neC^dâ tfi

sx Tov nsvtQOv tov %vkXov L6rj sxatsQa tc5v AZ, TH.6 dri tov BAA t^rjâtog JtQog to BT^ ôyog 6vv-

15 r]ittai STC Tov, ov e%eL t6 BAzl t^rjâ TtQog tov tcod-

vov, ov rj pd6Lg [isv s6tLV 6 TtSQL d^d^stQOV trjv 5z/

xvxXog.) 7C0QV(pr} ds tb A 6r]êL0v, xal 6 avtbg xcjvog

TtQbg tbv TcSvov tbv pd6LV êv e%ovta trjv avtrjvy

7coQV(priv de tb F 6r]êL0v, ocal 6 eiQrjêvog 7C(DVog TtQbg

20 t6 BFA t^rjâ. aAA' 6 êv tov BAzl tî^âtog

koyog TtQbg tbv BAzl navov^ 6 tr]g HS e6tL TtQbg ©JT*

6 de tov 7CC3VOV TtQbg tov kojvov 6 trjg A@ TtQbg ©F'

de tov BFA tccjvov TtQbg tb t^rjâ tb BVA b trg

A® e6tL TtQbg ®Z. 6 de 6vvr]^fievog ex tov trjg H®25 TtQbg Sr xal trjg A& TtQbg &r 6 toi) vitb t^v H&A

12. ri BT] ngoq (comp.) IfjBrF; corr. ed. Basil.*; fort.

fcrlvî^ jBF. ©r] y/r FBC*. 14. 8ri'\ scripsi; ds F, uulgo.

16. ov 7]] rj delendum censeo. §ao cum comp. -qg F. 18.

yi.mvov tov'] scripsi; rov om. F, uulgo. 24. 6vvrj[i(iEvos] alte-

rum fi supra scriptum manu 1 F. 25. H©A] scripsi; HA&F; A0H ed. Basil., A@, @H Torellius.


ALITER.^)

Sit sphaera, in qua circulus maximus ABF^j dia-

metrus autem AF, centrum autem E, et secetur plano

per 5z/ ad ^F perpendiculari. dico, segmentum maius

/JAB ad minus BFA minorem quam duplicem ratio-

nem habere, quam habet superficies segmenti ABAad superficiem segmenti BFA^ maiorem autem, quam

sesquialteram. ducantur enim AB, BF lineae. iam

ratio superficiei ad superficiem ea est, quam habet

circulus, cuius radius est AB, ad circulum, cuius ra-

dius est Br [1,42—43], hoc est A& : ®r}) ponatur

radio circuli aequalis utraque linea AZ, FH. itaque

ratio segmenti BAA ad segmentum BFzJ^) compo-

sita est ex ratione, quam habet segmentum BAAsidconum, cuius basis est circulus circum diametrum JBz/

descriptus, uertex autem punctum A, et ratione, quamhabet idem conus ad conum basim habentem eandem,

uerticem aiitem punctum F, et ratione, quam hic co-

nus, quem [ultimo loco] commemorauimus, ad segmen-

tum BFA habet [u. Eutocius]. sed segmentum BAAad conum BAA eam habet rationem, quam HS : &r[prop. 2 TtoQ,], conus uero ad conum eam, quam A®:®r[I kri^ii. 1 p. 80], conus autem BFzt ad segmentum

BFA eam, quam A© : @Z [prop. 2 jtoQ. et Eucl. V, 7

1) Haec demonstratio, quam etiam Eutocius habuit, prioreneque clarior neque breuior est. sed cum uerba ipsa pessimedeprauata esse constet, ueri simile est, tenorem quoque demon-strationis a transscriptore dilatatum et amplificatum esse (NeueJahrb. Suppl. XI p. 395—96; Quaest. Arch. p. 75—76).

2) Nam circuli inter se rationem habent, quam AB^ : BF^(Eucl. XII, 2); tum u. p. 238, 10.

3) Ex Eutocio multis locis aliam scripturam et sine dubiogenuinam cognoscimus: lin. 14: BFd t^tj^cc, Gvynsitat, syits

16*

244 TIEPI SÂIPAS KAI KTAINAPOT B'.

i6tL TCQog ro aTto SF' 6 da xov vtco H®, ®A TtQog xo dno

&r liExcc xov xrjg A® TCQog SZ b xov vitb xoov H&y @Ai0XLV ijtl xr^v @A Ttgbg xb djtb ©F STtl xrjv ®Z. b ds

xov vTtb xSv H0A iitl xr^v 0A b xov ccTtb xrjg SAK

—JT

5 i0xi ijtl xrjv @H. oxi ccQa xb ditb ®A iitl xrjv ®HTtQbg xb ditb F® iitl xrjv 0Z iXd66ova Xoyov sist

xov xrjg A® iCQbg SF diTtkaaCov [i(jxiv 6 xov ditb A®TtQbg xb djtb ®r]. xb ccQa ditb A® iTtl xrjv ®H TtQbg

xb djtb ®r iitl xrjv ®Z ild06ova koyov s%si^ rjjtSQ xb

10 dTtb A® ijtl xrjv ®H TtQbg xb djtb F® iitl xrjv ®H.OXL ccQa ^stt,6v i6XL xb ditb P® ijtl xr]v Z® xov ditb

r® iTtl xrjv ®H OXL ccQa ^sl^cov icxlv rj ®Z xrjg ®Hg)ri^l dri^ oxu oial xb ^stôv x^rjâ TtQbg xb sXa6-

0OV ^SLôva Xoyov s%sl rj rj^LO^LOv xov xrjg ijtLcpavsLag

1. t6 dno] (prius) xr}v F; corr. BD. 2. @.r] K@, ©FF; corr.

ed. Basil., Cr. 3. snC] (prius) tcqos per comp. F; corr. ed. Basil.

H6), ®A Torellius. 4. snC] TtQog per comp. F; corr. ed. Basil.*

Post prius @A in ed. Basil. et Cr. legitur: ngog xo dno @rinl xrjv @H, sed haec uerba om. F; Torellius ea recepit, @Hin 0Z mutato, et praeterea addidit: 6 avxog iaxL xCa dnb A@inl xrjv @H nqog xo dno &r inl xtjv @Z. 6 ds xov vno xcov

H@, @A inl XTjv @A nqog x6 dno @T inl x^v @H. aliamhuius loci difficillimi emendandi uiam iugressus sum NeueJahrb. Suppl. XI p. 396, nondum cognita scriptura codicis F.

5. inC] (priore loco) scripsi; nqog F, uulgo. xriv @H] xo

jtoQ.-, u. Eutocius]. sed ratio ex H@ : @r et A® :®rcomposita haec est: H@ X @A : @r^ [u. Eutocius].

sed H@ X &A : &r^ una cum A@ :@Z est

{H® X @A) X @A : ®r^ X 0Z [u. lemma Eutocii].^)

sed

(H®X®A)x@A\:®r^X@Z]=@A'^X®H\:.®r^X@Z\[ibid.] itaque [demonstrandum est]

@A'^ X @H : @r^ X@Z< A@^ : @r%hoc est <A@'^X@H:@r^X@H [u. Eutocius].

quare [demonstrandum] r@^^ X Z@ > r@^ X @H [u.

Eutocius]. [demonstrandum] igitur Z@ > @H [quod

constat; u. Eutocius].

dico igitur^ maius segmentum ad minus maiorem

quam sesquialteram rationem habere, quam superficies

Tov; lin. 16: ov §cc6ls; lin. 18: tcqos v.(ovov tov; lin. 21; Xoyosom. ; lin. 22: BA/:i xcorov et BT/J Kmvov; A& sotl; lin. 23:

x6 BFzJ Tjttij/â; lin. 24: ffvyxfi/xevog; ibid. £h ts tov; lin. 25:

&r iisza xov T^?; secl discrepantias praeter unam (u. comm.crit. ad lin. 18) aut duo (ibid. ad lin. 16) transscriptori tribuo.

1) In hac quoque pagina Eutocius scripturas permultasdiscrepantes praebet: lin, 1: H@A; lin. 2: P6>, vno H&AioTLv; lin. 4: rav om.; ibid. : A& 6 uvtog iati tco ano A&ini; lin. 6 : iXdoGova 7] dmXaGCova Xoyov ix£i tov trjg A &nQOg &r; lin. 9: TjTtSQ to avto t6; lin. 11: OTt to dno T&inl tY\v 7j& (isiôv iatt tov; lin. 13: xcct om.; lin. 14: inicpa-

veiag nQog trjv ini(pdveiav ôyov; p. 246 lin. 3: intcpavsLas

nQog tijv inLcpdvSLav Xoyov; lin. 4: dno tijg BT; lin. 5: q^rjfil

ovv; lin. 8: dno t-^g &B. ante oTt lin. 5 Nizzius addi uoluit

cpri(iL di; similia in hoc oTt semper addit Eutocius.

dno &T Cr., ed. Basil., Torellius. 6. &Z] AZ F; Z& ed.

Basil.; Torellius. 7. dmXaGLcov FBC, dLnXdoiov AD, ed. Ba-sil.; corr. Torellius, qui tum addidit og., 9. iXdooova Xoyovk'xsL r\nsQ to dno A& inl f^v &H nQog to dno T& inl triv

&H] om. F, uulgo; supplementum Torellii dubitans recepi.

13. ^rf, OTfc] B, Torellius; dioxL F, uulgo. 14. Post inLcpavsCag

in B, ed. Basil., Cr., Torellio additur: nQog inicpdvsLav ; idemp. 246 lin. 3 suppleuit Torellius solus.

koyov. akk' 6 êv rcjv t^Yj^citcDv idsixî^ o avtog

ra?, oV £X6i to ccTto A® STtl trjv @H TCQog tb cctco

@r eTtl tfjv &Z. rov de trjg STCiqâvEiag koyov 7]^l6-

kiog B0tiv 6 tov ccTto AB kvôv TtQog tov ccTtb BF5 Kvôv. cprj^l St], oti tb ccjtb A@ iTtl trjv &H Tt^bg

tb ccTtb T® ijtl trjv @Z ^siôva koyov sxsi^ 7]7t£Q [6

ccTtb trjg AB xvôg Tt^bg tbv ccTtb tr]g BF xvôv,

tovt£0tiv] 6 ccTtb tr]g A@ xvôg TtQog tbv ccTtb ®BTcvPov^ tovt£6tLV 6 rot) ccTtb A® Ttgbg tb ccTtb B@

10 xal 6 trjg A® Tt^bg @B. 6 df tov ccTtb A@ Tt^bg tb

ccTtb ®B 7tQO0Xa^G)v tbv trjg A& Tt^bg @B 6 tov ditb

A@ i(3tiv Tt^bg tb vnb tcov r@B. 6 d£ tov djtb

A@ Tt^bg ro vTtb tcov B@r 6 tov dnb A@ ietiv

iitl tr]v @H TtQbg ro vitb toov B@r iitl tr]v @H.15 g)r]^l dr]^ oti ccQa ro djtb A@ inl tr]v @H Ttgbg tb

djtb r@ iitl trjv @Z ^£it,ova Xoyov £%£iy 7]7t£Q [ro djtb

A@ TtQbg tb vTtb B@r^ tovt£6ti] tb ditb A@ iitl tr]v

@H TtQbg tb vTtb B@r iitl tr]v @H. duKtiov ovv^

Zti tb djtb @r iitl tr]v @Z £ka<566v i0ti rov vitb

20 r^v B@r iTtl tr]v H@. o tavtbv i6ti tS d^tâi, oti

ro aTtb r@ TtQbg tb VTtb B@r iXd66ova k6yov £%£i,

7]7t£Q r] H@ TtQbg @Z [d£i ccQa d^tâi, oti 7] H@ TtQog

@Z ^£iôva X6yov £X£iy 7]7t£Q 7] r@ 7tQbg @B], 7]X^(^

aTtb tov E tr] EF 7tQbg OQxtdg rj EK, %al d^tb tov

4. Mvôv] 'kvkXov F; corr. B. 5. xvôv] kvy.Xov F; corr.

B. 6x1 To'] oti xov F; corr. Torellius. 6. rinEQ] rjnsQ 17 F;corr. Torellius. 8. dnb xrjg] xrjg F; corr. B, 9. dno A&] A®F; corr. B. 11. 6 xov] Nizze (Cr.); 8e xov F, uulgo. 12.

r&, @B Torellius. 13. B@r] scripsi; B@, ©F Toreliius;

0Br F, uulgo. 14. B@r] ut lin. 13. 17. vno] ccno F;

corr. Torellius.^B0, ©T idem, ut lin. 18, 20, 21. 24. E

xfj Er nQog OQ&ag rj EK, y.ocl uno xov] om. F; corr. Torellius

et ed. Basil., nisi quod pro v.dcC habet '^x^^\ ^m. Cr.

inter se. sed demonstratum est^ rationem, quam inter

se habent segmenta, esse

= A®^ X 0H: Sr^ X &Z.

ratio uero AB^ : BF^ sesquialtera est, quam ratio,

quam superficies inter se habent [u. Eutocius]. dico

igitur,

AS^X ®H : r®^X®Zrationem maiorem esse quam

A®^:®B^ [u. Eutocius];

hoc est

> A®^ : B®^ X A® : ®B [u. Eutocius].

sed

A®^ : ®B^ XA®:®B = A®^ : r®X®B[u. Eutocius]. sed

A®^ :r®X®B== A®^ X ®H : (B® X ®r) X ®H[u. Eutocius]. dico igitur

A®^X ®H: r®^X ®Z >A®^X®H:{B®X®r)x®H.demonstrandum igitur

r@2 ^@z<(B®X ®r)X ®H [u. Eutocius].

quod idem est, ac si demonstramus

:

r®^ :B®X®r< H® : ®Z [u. Eutocius].^)

ducatur ab E puncto ad EF lineam perpendicularis linea

EKj et a JB puncto ad eam perpendicularis linea BA,

1) Uerba sequentia 8st lin. 22 — @B lin. 23 ex Eutociohuc translata sunt, propter p. 248 lin. 1—3 superuacua. his

deletis uerba snCXoinov p. 248 lin. 1 — @B lin. 3, quae habetEutocius, retinenda sunt.

248 nEPI SÂIPA2 KAI KTAINAPOT B'.

B xdd^stog iic avtrjv 7] BA. iTCtXovTtov rj^tv deLâc^

dioti rj H0 TCQog 0Z ^scôva Xoyov 'i%ec^ 'tJTCEQ rj FSTCQog @B. iOri ds s6tiv rj &Z <3vva^(potSQG3 tfi A&^KE. dstiâi ccQa dst, oti ri H@ "JCQog CvvdiicpotSQOv

5 triv SA, KE ^siôva koyov s^si^ r]7CSQ r} FQ jCQog ®B.xal acpaiQsd^SiCrig ccQa djco tijg ®H trjg JT©, aTcb ds

f^g KE trjg EA forjg tfj B@ dsrjcsi dsix^rjvai, otc

XoiTcri rj TH TCQog XoiTcijv (Svva^cpotsQOv trjv A®, KAm ^siôva koyov s%si^ tjtcsq rj F® TCQog &B, tovts6tiv

10 '^ 0B TCQog &A, tovtsativ r] AE TCQog ®A. xal ivak-

Xcc^, oti rj KE TCQog EA ^siôva Xoyov s%Si^ tJtcsq

6vva^(p6tSQog rj KA, @A TCQog @A. xal disXovti rj

KA TCQog AE ^siôva koyov sxsi, t^tcsq rj KA TCQog

0A. oti ikdcacov i6tlv r] AE f^g ®A.

15 '9-'..

Tav tfi i6ri ijCicpavsia 7CSQiS%o^svc)v 6cpaiQiX(DV

tiLYiiidtcov ^stôv i6ti ro r]î6(paiQiov.

s6tcx) iv 6(paiQ(x ^syi6tog xvxXog 6 ABFA, 6id-

lnstQog ds avtov rj AF, xal aXXrj 6(patQa, '^g ^syi6tog

20 xi5;{Aog 6 EZHS^ Sid^stQog dh avtov r] EH' xal ts-

t^^^^d^co iTCiTCsda 'rj ^sv stsQa 6(patQa did tov xsvtQOVj

1. B^] Bz/ FV. rnitv^ fisivcci F; corr. ed. Basil.* 2.

dLOti] OTL Nizze. 4. dst, oxi] dioxi F; corr. B. 12. @A]@A F; corr. ed. Basil.* duXovxi, ort? 15. l8' F; l To-rellius.

restat, ut demonstremus : H0 : @Z > r& : 0B [u. Eu-

tocius]. sed @Z = J@ -\- KE [u. Eutocius].^) itaque

demonstrandum H& : &A + KE> F® : @B. quare

etiam subtracta a @H linea linea F® et a. KE linea

linea EA aequali lineae B&^) demonstrandum erit

rn : A® + KA > rS : @B [u. Eutocius],

hoc est > &B : &A'^), hoc est > AE : &A [nam

AE = @Bl et uicissim KE : EA > KA + &A : &A%et dirimendo KA : AE> KA : &A^), hoc est

AE<&A [Eucl. V, 10].«)

IX.

Omnium segmentorum sphaerarum, quae aequali

superficie continentur, maximum est hemisphaerium.^)

sit ABFA circulus sphaerae maximus, et diametrus

eius AF, et alia sphaera sit, cuius circulus maximus

sit EZH&y diametrus autem eius EH. et secetur plano

1) Ex Eutocio haec corrigi possunt: p. 246 lin. 12: gffTt;

ibid.: ratv om., item lin. 13, 14, 20; lin. 13—14: BQF loyog,

6 avtog iozL ta tov ano A© inl ttJv; lin. 15: UQCi om. ; lin. 18:

r@B; ibid.: ovv om.; lin. 21: r@B', p. 248, 4: dsi uqu dst^ai,

oti. omisi discrepantias minutissimas in litterarum ordine, quemfieri potest ut Eutocius ipse mutauerit. praeterea Eutocius

p. 248 lin. 13: habet: rinsQ avtrj 7] et ibid. 14 tovtsativ, oti

sXdaaoiv rj AE t^? @A iativ.

2) Horum uerborum formam singularem (lin. 6— 7) propterEutocium mutare non audeo.

3) Nam r@ : @B = @B : OA-, Zeitschr. f. Math., hist.

Abth. XXIV p. 181 Nr. 16.

4) Nam KE = FH; tum u. Pappus VII, 47 p. 686.

5) U. supra p. 235 not. 1.

6) Conclusionem hic et p. 244, 12 omissam Eutocius nechabuisse nec desiderasse uidetur. idem synthesim utriusque

partis de suo addit.

7) T6 rj^LacpaLQiov fisyiatov sati twv nsQisxofisvmv vnotcag inicpavsiag acpaiQag tfia[idtcov. nsQL sXCyi. praef.


7] ds erBQa ^rj Slcc tov xsvtqov. £6tg} ^s tcc ti^vovta

iTtiTtBda oQâ itQog tag AF^ EH diaêtQOvg. xal

tBt^Yi(5%â)(5av ycata tag ZlB, Z@ yQa^^dg.

B0tiv drj to ^BV xata trjv ZE® TtBQicpeQBiav t^rjâ

5 tijg 6(paiQag rjîOcpaiQiOv, tcov de Tcata trjv BA^ itBQi-

(pBQBiav toîcjv Bv ^BV ta BtBQco (3%riâti^ TtQog o to

2] 0rj^BiOv, jiBiôv riî6(paiQiov, iv ds ta itBQG) BXa6-

6ov rjî6(paiQi0v. i6ai ds E6tco6av aC tcjv BiQrj^Bvov

t^rj^cctov iTticpdvBiai. Xiyco ovv, oti fieiôv i6ti t6

10 Katd trjv ZE® TtBQicpBQBiav r]î6(paiQiov rov Tiatd trjv

BA^ TtBQicpBQBiav t^rjâtog.

ijtBi yaQ i6ai Bi6\v ai iiticpdvBiat tcov BiQrjîvov

t^rj^dtcjv , (pavBQOv^ oti i6r] i6tlv rj BA trj EZ bv-

^'Bicc [didBiXtai yaQ Bxd6tov t^rîatog rj iTticpdvBia

15 i6rj ov6a TcvxXc)^ ov r] in roi) kbvtqov l'6r] i6tl tfj

dito trjg 7C0Qvq)rjg tov t^rjâtog bv^^bCcc dyoîvr] ijtl

tr]v 7tBQi(piQBiav tov kvkXov^ og i6ti ^d6ig rov tî^-

âtog]. [xal iitBl ^si^cov i6tlv r]î6BG)g tcvkIov r] BA/1

TtBQiCpBQBia iv tCD BtBQG) 6%r]âti^ TtQog tb 2J 6r]^Bi0v]

20 drjlov, oti r] BA ild66c3v i6tlv tj di7tXa6iov dvvd^Bi

tijg AK^ trjg ds ix tov TcivtQov ^Si^cov rj di7tka6iG)v

dvvd^si. B6tG) ds %al tfj ix tov xivtQOv roi> ABzfy,v%lov i6r] r] FS^ ^«^ oV E%Bi koyov rj FS TtQog tr]v

FK^ tovtov i%BtG) r] MA TtQog AK. dTto ds tov xv-

25 xAof tov TtBQi did^BtQov tr]v BA xcjvog £6to xoqv-

1. ra] scripsi; rcc (isv F, uulgo. 4. eotlv'] sotco Nizze;

sed respicitur ad p. 248, 21 sq. 6. tofiavl t^rjficitaiv Nizze,

8. cii tmv sIqtiiievcov tiirjficitcav STiicpdvsiai. Xsyw ovv~\ om. _F

;

corr. ed. Basil. nocuit similitudo compendiorum 'iottoaav et ovv;

lacunam sic suppleuit Cr. : „est autem superficies maioris por-

tionis unius sphaerae superficiei dimidiae sphaerae aequalis, quaeest ad circumferentiam feh. dico igitur." 17. og] 6 F; corr.

Torellius. 19. Z] F F; corr. ed. Basil.*; sed fortasse et hic

altera sphaera per centrum^ altera autem non per cen-

trum. et plana secantia ad diametros ^F, EH per-

^)endicularia sint et secent^) in lineis z/5, Z0.

Br itaque segmentum sphaerae in ambitu ZE0 posi-

tum hemisphaerium est, segmentum autem in ambitu

BA/I positum''') in altera figura, ad quam est Esignum, maius hemisphaerio, in altera uero minus.

aequales autem sint superficies segmentorum, quae

commemorauimus. dico igitur, hemisphaerium in ZE®ambitu positum maius esse segmento in BA^ ambitu

posito.

nam quoniam aequales sunt superficies segmento-

rum, adparet, esse BA= EZ [I, 42—43; Eucl. XII, 2].

[et quoniam ambitus BA^ in altera figura^ ad quam

Zl signum est, maior est semicirculo] adparet esse

BA^<2AK^sed maiorem duplici quadrato radii [u. Eutocius].^)

praeterea autem linea FlEl aequalis sit radio circuli

AB^, et sit r^ : FK = MA : AK et in circulo cir-

cuux BzJ diametrum descripto construatur conus uer-

1) Aut auditur ot tivkXoi, aut potius Archimedes scripserat:

rsTficiyrOvrcov. cfr. Quaest. Arch. p. 88.

2) Uerba corrupta lin. 5—6 sic fere restituenda sunt: rode Katci rriv BAzi nsqicpsQ^iav r(i7](ia.

3) Ex eo comperimus , ArcLimedem lin. 20—22 scripsisse

drjXov Se , ori rj BA ri^g (ihv AK iXdaGcav sarl ») dinXaoia dv-

vdfiEL, rrjg ds ix rov yiEvrQOV (isi^cdv rj SinXaoCa. lin. 22 8v-vd(i£L del. Torellius. Nizzius post hoc uerbum cum Sturmioaliisque addit: iv ds rS srsQco o%rniari rdvavrCa rovroig. y.SiO&a}

Tc5 rjiiiosi rov dno AB, rovrsori rov dno EZ, l'oov ro dno AP.^orai aQa rrj EA Lorj rj AP, nal rrjg AK r^ AP syyvrsQco rrjg

SixotOfiLag rijg iv rm O orjfiSLcp.

et lin. 7 scrib. <^. 20. iorCv] per comp. F. 25. rov] ad-didi; om. F, uulgo.

252 nEPI S^AIPAi: KAI KTAINAPOT B'.

(priv e%c3V rb M arj^stov. i0og ^rj iexLV ovtog ra

xara rrjv BAzl 7teQL(psQ£tav r^rnian rrjg a^paLQag. eCrco

:^al rfj EA l^rj rj EN, xal a%b roi; kvtiXov rov %sqI

did^srQOv rrjv &Z x(5vog sarc) KOQV(priv s%(ov ro N5 arj^stov. l'(3og drj xal ovrog san rc5 xara rrjv ®EZ

7tSQi(pSQSLaV ri^L0(paLQLG). TO df JlSQLSXO^SVOV VTtO T(OV

APT ^sit,6v s0rL rov nsQLSxo^svov vtco r^v AKF,

dion rriv slccaoova jtlsvQav rrjg sk(x00ovog rov srsQOv

^Sitova s%si. ro 8s dnb rrjg AP t0ov sOrl ra itsQL-

10 s%oiisv(p vTtb r6v AK, FS- ^Vt^v yaQ sart rov ditb

6. 8s\ scripsi cnm Eutocio; 8ri F, uulgo. 7. AP, PT To-

rellius. AK, KF idem. 10. AK, T^] Als; F; corr. ed. Ba-

sil.; cfr. Eutocius.


ticem habens punctum M. is igitur segmento sphae-

rae in ambitu BAzl posito aequalis erit.^) sit praeterea

EN = EA, et in circulo circum diametrum SZ de-

scripto construatur conus uerticem habens punctum N.

quare etiam is hemisphaerio in ambitu SEZ posito

aequalis est [u. Eutocius]. sed est

APxPr> AKX Kr,

quia minus latus minore latere alterius rectanguli ma-

ius habet [u. Eutocius]. est autem AP^ = AKxF^-êst enim = ÂB^.^) itaque etiam

1) Est enim gvv^bvzi (Eucl. V, 18): KS : rK=- MK: AK;tum u. prop. 2.

2) U. Eutocius. sed nusquam dictum est, esse AP^ — ÂB"^.

quare puto p. 250, 22 post dvvccêi excidisse: BOt(o dr} rj BArijg AP dvvdfisi dinlaaLu (forma ad lemma Eutocii adcommo-data, quod sine dubio genuina uerba Archimedis seruauit; u.

p. 251 not. 3). nam uerba praecedentia lin. 20 sq. eo spectant,

ut demonstretur, punctum P inter O et X cadere, et praetereasatoa 8s xat lin. 22 tum demum habebunt, quo referantur. ce-

terum si lemma Eutocii recte in codicibus traditum est, se-

quitur, ut uerba xal snsL lin. 18 — arnistov lin. 19 subditiua

sint (driXov 8s). hinc oritur suspicio, Archimedem omninonon ad alteram figuram respexisse, ita ut delenda sint sv (isv

tat p. 250, 6 — arj^siov lin. 7 et sv ds lin. 7 — rjfiiatpccLQtov

lin. 8, et praeterea ultima uerba adnotationis Eutocii ad p. 250,


trjg AB. ^sttôv ovv ictu xal ro dvva^cpotsQov roi;

6vva^(pot8Qov [to ccQa TtsQLexo^svov vTto tav FAP^stôv s6ti roi5 vitb tSv IHJKA]. rc5 ds vtco tmv

SKA L0OV sOtl ro vTCo tav MKF [(^6ts ^stôv s6tL

5 ro vTio tcov FA, AP tov vtio tSv MKF]. Sats ^sC-

t,ova Xoyov s%si 7] FA tcqos trjv KF, tJtcsq t] MKTtQog trjv AP. ov ds Xoyov s%sl rj AF JtQog trjv FK,tovtov s%SL ro aTto trjg AB TtQog ro ccTto trjg BK.dr]Xov ovv, otL ^sCtôva Xoyov s%sl tb rj^LiSv tov anb

10 trig AB, o s0tiv l'6ov ttp ccTtb AP, Tt^bg tb aitb tr^g

BK, rjTtSQ r] MK itQbg trjv dLitkacCav trjg AP, rj sCtLV

l'0r] trj AN. ^sCôva aga Xoyov s%sl xal 6 nvxkog 6 jtsQi

did^stQov trjv Z® TtQbg tbv kvkXov tbv nsQl did^stQov

tr]v B^, rj ri MK TtQbg trjv NA. Sots ^sCôv sOtlv 6

15 xwvog 6 pdoLV ^sv s%(ov tbv JtsQi dLd^stQov trjv Z&xvTcXov, xoQVCprjv ds ro! N (Sri^stov roi) x(dvov rov

pd^LV ^sv s%ovtog xvxlov tbv TtsQi dLd^stQOv triv BA,KOQV(priv ds to M Orj^stov. drjXov ovv, oti xal ro

ri^LiScpaCQLOv tb xatd trjv EZ® JtsQLCpsQSLav ^stôv s6ti

20 tov tîriâtog tov xatd trjv BA^ nsQiCpSQSLav.

1. fistôv] scripsi cum Eutocio; (isl^cov F, uulgo. 2. FA,AP Torellius. 3. iisl^cov F. in figura litteram O ex Eutocioaddidit Nizze, litteram Z ed. Basil., sed praue; corr. Torellius.

3. SKA] B*, ed. Basil.; ISIAKF; ;b:K, KA Tovellms, ut etiamlin. 4. 4. MKF. aars iistôv saxi to vno xmv] om. F; corr.

Cr., ed. Basil.^

b. TAP ed. Basil. MK, KF Torellius.

10. AP, TCQog x6 ccTCo] om. F; corr. Cr., ed. Basil. 12. AN]AHF; corr. A, Cr., ed. Basil. 14. rj] ijnsQ Torellius. MK]HMKF', corr. ed. Basil.* NA] MA F; corr. Torellius;

„ln" Cr. (isLôv F. 15. didfisxQOv] dLa(isxQov (isv F, ut

etiam lin. 17; corr. utroque loco Torellius. in fine AQXL(ir]dovg

nsQL acpccLQag 'kccl nvXivdQOv B F, Cr.


APxpr+ AP^ > AKxKr + AKxrs[hoc est FA X AP> AK X Kg (u. Eutocius)]. sed

MK xKr= SKX KA [u. Eutocius].

quare FA : Kr> MK : AP [u. Eutocius].^) sed

AT : TK = AB^ : BK^ [u. Eutocius].

adparet igitur, esse ^AB^ : BK^ > MK:2AP, hoc est

AP^:BK^> MK : AN [u. Eutocius].

quare etiam circulus circum diametrum Z@ descriptus

ad circulum circum diametrum Bzi descriptum maio-

rem rationem habet, quam MK : NA.^) quare conus

basim habens circulum circum diametrum Z® descrip-

tum, uerticem autem punctum N, maior est cono

basim habenti circulum circum diametrum J5z/ de-

scriptum^), uerticem autem punctum M [u. Eutocius].

adparet igitur, etiam hemisphaerium in ambitu EZ®positum maius esse segmento m BAA ambitu posito

[p. 252, 1 sq.].

20 sq. (nal xavtu fisv — Xex^i](istccL), in quibus etiam mira bre-

uitas offendit. haec enim figura altera praeter unum locump. 250, 6 prorsus neglegitur. itaque transscriptor ab instituto

suo demonstrationem Archimedis corrigendi destitit.

1) Ex eo adparet, Archimedem t-^v ante KVeiAP lin. 6 et 7,

sicut etiam ante TK lin. 6 omisisse. lin. 14 pro ij habet '^tcsq.

2) Nam est ZA = AP (Eutocius); itaque

Z^2 . BK^> MK: AN;tum u. Eucl. XII, 2; nam

ZA = -^Z6), BK = 4^BJ.3) Archimedes scripserat solito uerborum ordine lin. 17:

tov nsQL dLOLiistQQv TTjv B z/ -iivyiXov (Eutocius).

DIMENSIO CmCULI.


a

.

IJag xvxXog l'6og eCtl TQiy(6v(p OQd-oyovCc)^ ov 7]

êv ix roi; xbvxqov l'6r] ^ta xmv TtSQL xrjv OQd^riv, tj

6€ TtsQLêxQog xfi ^doei.

5 ixexco 6 ABF^ xvxXog XQiycovip xa E, (og vno-

Tieitai, Xeyco, oxl toog i<Stiv.

ei yccQ dvvatov, eCta êc^cov 6 zvxAog, xal iyye-

yQa(p\f(o to AT tetQccycovov, xal tet^Yi<j\^c}6av ai TteQL-

(peQeLai dL%a^ xal eOtca ta tî]âta rjdr] ika06ova f^g

10 vTceQOxrjg,, r} viteQexeL 6 xvxXog tov tQLycovov. to ev-

d^vyQa^ôv ccQa exL xov XQLycovov e6xl êtt,ov. eLXrjcpdô)

xevxQOv xb iV, xccl xad-exog r] NS. iXcc(j6c3V ccQa rj

1. «'] om. F. 4. pdGSi] XoLTcfi "Wallis. 5. XQLycavaj xm

E post iGog sGtlv lin. 6 ponit ed. Basil. ; gvv tq. tco E Nizze.

9. sGra] per comp. F.

L

Omnis circulus aequalis est triangulo rectangulo,

si radius aequalis est alteri laterum rectum angulum

continentium^ ambitus autem basi.^)

circulus ABF^ ad triangulum E^) ita se habeat^

ut propositum est. dico, eum ei aequalem esse.

nam si fieri potest, sit maior circulus, et inscri-

batur quadratum AF, et ambitus in duas partes aequa-

les diuidantur [et ducantur lineae BZ, ZA, AM, Mzicet.]^), et segmenta iam minora sint eo spatio, quo

E

circulus triangulum excedit.*) itaque figura rectilinea

adhuc maior est triangulo. sumatur centrum N, et

perpendicularis [ducatur] NS, itaque N^ minor est

1) Aliam et eam correctiorem huius propositionis formamsignificat Eutocius: ind^sfisvog yuQ tQiycovov oqQôycoviov q)rj-

GLV ixstca trjv iiiuv tcov nsQt trjv oQd^rjv lgtjv t^ i% tov tisv-

tQOv, trjv ds XoL7tr}v tfj nsQLcpsQSiu^ et infra: tQLycovov to 6q-dôycovLov — L60V iotl t(p V,V^X(p.

2) Archimedes scripserat nQog tQLycovov to E, lin. 5.

3) Tale aliquid (uelut: ytal iyysyQccq^dôi sv&vyQccfifiov loo-

nXsvQOv) Archimedes sine dubio addiderat lin. 9.

4) Hoc fieri potest per Eucl. XII, 2 (II p. 200 ed. August),

coUato X, 1. sed statim uti potuit Archimedes de sph. et cyl.

I, 6 p. 24.

17*

260 KTKAOT METPHSIS.

JV^ rijg tov tQiycovov TclsvQccg. e0XLV ds xal rj iteQi-

^stQog roi' svd^vyQcc^îov trjg loLJtrjg ildttcjv, ijtel xal

tijg rot) TCvxXov TtsQi^stQOv.

skattov ccQa ro evd^vyQa^ôv rot» E tQiycovov. OTteQ

5 atOTtov.

e6tG) de 6 xvxlog, ei dvvatov, ikattcnv tov E tQt-

ycavov. xal TteQLyeyQcicpd^G) tb tetQccycjvov, xal ts-

t^T^dt^coaav a[ TteQLcpeQeLac dL%a^ xal rjx^cooav itpanto-

lievaL dLcc twv 67]êLcov. oQd^r} ccQa ri vjto OAP. rj OP10 aQa trjg MP i6tLV êL^cov rj yccQ PM tjj PA lOr}

i6tL. xal to POn tQLycovov ccQa tov OZAM 6xi]â-i

rog êttôv i6tLV tJ ro rj^L0v. XeleL(pd^Gi(5av oC roj ,

nZA toêt oÔLOL iXa6(5ovg trjg vTteQoxrjg, fiv7teQe%ei \

tb E rov ABF^ xvkIov. etL ccQa tb JteQLyeyQa^ê-

15 vov evd^vyQa^ôv rov E i&tLV eka60ov. oJteQ atoTtov.

e6tLV yccQ êtôv, ort rj êv NA l'6rj iotl tfj xadêtci) i

rov tQLycovov, rj de TteQLêtQog êL^cay iotl trjg ^dêcog

tov TQiycovov. L6og aQa 6 TCVKkog ta E tQLycovc).

6. iXdttcov] [isi^cov F; corr. ed. Basil.* 10. rfj'] trig F;corr. ,.B*. 13. tofiSLs ed. Basil., Torellius; „portiones" Cr.

14. E] E tQLycovov ed. Basil., Torellius, Cr.

4

DIMENSIO CIRCULL 261

latere [alteroj^) trianguli. sed etiam perimetrus figu-

rae rectilineae minor est altero latere, quia etiam am-

bitu circuli minor est [de sph. et cyL I p. lOJ.

itaque figura rectilinea minor est triangulo E[Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 12J;

quod fieri nequit.

sit autem circulus, si fieri potest, minor triangulo E.

et circumscribatur quadratum, et ambitus in duas par-

tes aequales secentur, et per puncta [sectionumj lineae

contingentes ducantur. itaque LOAP rectus est [Eucl.

III, 18J; quare 0P> MP, nam MP= PA [Zeitschr.

f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 15J. itaque

POn > \OZAM,^) relinquantur [igiturj segmenta

segmento^) TIZA similia minora eo spatio, quo Etriangulum circulum ABF^ excedit.*) itaque figura

rectilinea circumscripta adhuc minor est triangulo E-^

quod fieri nequit. est enim maior, quia NA aequalis

est altitudini^) trianguli, perimetrus autem maior basi

trianguli.^) circulus igitur aequalis est triangulo EJ)

1) trjs tov TQiymvov nXsvqccg lin. 1 obscurius quam promore Archimedis dictum est.

2) Nam OAP> APM (Eucl. VI, 1) et

OAP = ^POn, PAM = AUZ.3) to^st lin. 13 Archimedes non scripsit pro tfn^fiatL.

4) Cum POJ7> ^OZ^M, hoc fieri potest per EucL X, 1;cfr. de sph. et cyl. I, 6.

5) Archimedes scripserat tco vipBi lin. 16; Quaest. Arch.

p. 71.

G) Quia maior est ambitu circuli; de sph. et cyl. I, 1.

7) Hanc propositionem citant: Pappus I p. 258, 17; 312,

20; III p. 1158, 22; demonstrationem repetit V, 6 p. 312—16ex Zenodoro apud Theonem: comm. in ptolem. p. 12—13 ed.

Basil,; Proclus in Eucl. p. 423, 3; Anonymus Hultschii 42, 3

p. 266.


10

Ô KvxXog TtQog to ccTtg rrjg dLa^stQOv tstQciyavov

koyov £%£i^ ov la itQog id\

£0t(D KVTclog, ov did^stQog r} AB^ %al TtSQiysyQdtpâ

5 tEtQayovov ro FH^ xal trjg F/l diTtlri 7] /JE^ £^do-

liov d£ 71 EZ tijg JTz/. £7t£i ovv ro AFE TtQog to

AT/1 "koyov £%£i^ ov %a TtQog J', TtQog 81 to AEZJT J

to ATA Xoyov £%£i, ov STtta

TtQog £v, ro AFZ itQog to

AFzl £0tiv, (X)g K^' ^Qog t,'.

dlla tov ATA t^tQaitXdîov

£6ti tb TH t£tQdyc3vov' to

d£ ATAZ tQiycjvov t(p AB %vKk(p i6ov £6tiv [i7t£l rj

^£v AT xdd^^tog i^rj £6ti t^ £% tov KSvtQOV, rj dh

15 pd6ig f^g dia^£tQOv tQiitkaCiCJV nal tS t^" £yyi0ta

v7t£Q£%ov6a d£i%d"^6£tai]. 6 KvxXog ovv TtQog tb THt£tQdycovov X6yov £%£i, ov ia TtQog id\

Havtbg kvkXov rj 7t£Qi^£tQog trjg diaîtQOv tQi-

20 7tka6iG)V £6ti^ Kal £ti V7t£Q£%£i £ld(360Vi ^£V ^] Spdo^Ci)

^£Q£i trjg dia^£tQov^ ^£it,0VL d£ 7} dsKU £^do^riKoato-

ôvoig.

1. ^'] om. F. 3. l8' syyiata Wallis. numeros lineolis

transuersis supra ductis notat F. 5. dmXri] SinXccGioc Nizze.

9. ArZ ccga Wallis. 12. Post tEtQciycovov Wallis addit:

t6 aQa AFZ tQiymvov TtQog to FH tstQayoavov ?.6yov ^xbl, ov

>t|5' iiQoq mV, n ov la TtQog iS\ 13. APJZ] sic F, Cr.;

DIMENSIO CmCULI. 263

II.

Circulus ad diametrum quadratam eam rationem

habet, quam 11 : 14.

sit circuluS; cuius diametrus sit AB^ et circumscri-

batur quadratum FH, et sit zfE= 2rj, et EZ= ^F^,

iam quoniam est ^TE : jiFzi = 21 : 7 [Eucl. VI, 1],

sed ^rz/ : AEZ = 7:1 [Eucl. YI, 1], erit

jMrZiArzi = 22: 1}) ,.,

sed rH^AAF^ [Eucl. I, 34], et triangulum AFz^Zcirculo AB aequale est [quia altitudo AF radio aequa-

lis est, basis autem triplo et praeterea septima parte

maior diametro, hoc est ambitui proxime aequalis, ut

demonstrabitur prop. 3; tum u. prop. 1].^) quare cir-

culus ad quadratum FH eam rationem habet, quam

11 : 14.3)

III.

Cuiusuis sphaerae perimetrus diametro triplo maior

est, et praeterea excedit spatio minore, quam septima

pars diametri est, maiore autem quam ^^.

1) Nam ccvciTcaXLV (Eucl. V, 7 noQ.) AEZ : ATJ = 1 : 7

;

tum addendo sequitur proportio. sed poterat statim concludiex Eucl. VI, 1; nam FZ = (3 + -i) FJ = V rj.

2) Hic locus snEL lin. 13 — dsixQ^riastaL lin. 16 mire cor-

ruptus et confusus transscriptori tribuo, qui eum addidit, post-

quam prop. 2 et 3 permutauit; neque enim Archimedes hancpropositionem ante prop. 3, quo nititur, posuit.

3) Citatur haec propositio a Pseudoherone Geom. 103 p. 136.

ATZ ed. Basil., uulgo. 16. Post ^aoLg Wallis addit: rfi xov-KvyiXov TrsQLfistQO)^ 7]tLg. ta] scripsi; tov F, uulgo. 17. Ld'

hyyLGta Wallis.

€<3tc3 zvTclog, xal dtccêtQOs 7} AF^ xal xcVr^ôi' to

E^ Kal Tj FAZ iqâTttoêvrj, Kal rj vito ZEF tgCtov

OQd^Yig. fj EZ aQa TtQog ZT Xoyov b%u^ ov fS' JtQos

Qvy. rj ds EF TtQog tr\v FZ Xoyov £%£i^ ov 0ê

5 TtQog Qvy . tatiiriG^G) ovv rj vitb ZEF dC%a trj EH.e<3tiv aQa^ (hg ri ZE TtQoq EF, rj ZH TtQog HF [xal

ivaXXa^ xal 0vv%evtL\. ag aQa 6vvaii(p6teQog r} ZE,

Er TtQog Zr, rj EF JtQog FH. coW n FE itQog FHêCôva koyov e%ei., rJTteQ cpoa TtQog Qvy. rj EH aQa

10 TtQog HF dvvdêi Xoyov e%ei^ ov M d^vv TtQog Myv^\

^T^xet aQa, ov cpqa ri' itQog Qvy . Ttdkiv dCâ rj VTto

A

HET tfj E@. did td avtd aQa r] ET itQog T® fieC-

ôva Xoyov e%ei^ rj ov aQ^^' r\' TtQog Qvy. rj @EccQa TtQog ®T êCôva loyov e%ei^ ^ ov aQO^' r\' HQog

15 Qvy . eti dC%a r\ v%o @ET tfj EK. rj ET aQa TtQog

TK îeCôva Xoyov e%eiy rj ov ptkS' d" TtQog Qvy

.

ri EK aQa TtQog TK êCôva, rj ov fitX^' d" ^tQog

2. TQLtov] TQitov {-tov per comp.) F, corr. B*. 3. ju-ft-

ôra Xoyov Wallis. 6V] scripsi cum Eutocio; rj ov F, uulgo.

DIMENSIO CIRCULI. 265

sit circulus, et diametrus AF, et centrum E^ et FAZlinea circulum contingens, et /. ZEF tertia pars recti.

itaque EZ \ ZT= 306 : 153 [u. Eutocius], sed

Er\TZ==^ 265 : 153 [u. Eutocius].

iam secetur /. ZET in duas partes aequales linea EH.

est igitur

ZE:ET=ZH'.HT [Eucl. VI, 3].

quare

ZE+ ET:ZT= ET: TH [u. Eutocius].i)

quare

TE : TH>611 : 153 [u. Eutocius].^)

itaque

EH'' : HT^ = 349450 : 23409 [u. Eutocius].

itaque EH : HT= 591^ : 163. rursus secetur eodem

modo L HET linea E0. propter eadem igitur erit

ET:T@> 11621 : 153 [u. Eutocius].

quare ®E : ®T > 1112^ : 163 [u. Eutocius]. rursus

secetur i @ET linea EK. erit

ET:TK> 2334^ : 153 [u. Eutocius].

1) Sequentia uerba lin. 6— 7: xal svaXXa^ xat cvvd^svti atransscriptore ex Eutocio huc prauo ordine illata sunt.

2) Quae Arcliimedes breuissime, omissis computationibus,proponil, copiose et perspicue explicat Eutocius; quare satis

habui lectorem ad eum reuocare. quo modo Archimedes nu-meros 153 et 780 inuenerit, aut quibus adiumentis instructus

latera numerorum non quadratorum computauerit, nondum con-stat (Quaest. Arch. p. 60—66). haec propositio difficillima atransscriptore et fortasse etiam a librariis pessime habita est.

citatur ab Archimede ipso Arenar. I, 19; II, 3 et a Simplicioin Aristot. IV p. 508, b.

7. Gvv&svTi Kal ivaXld^ Wallis. 10. (isiôva Xoyov Wallis.

ri ov Wallis. idem post aqa lin. 11 addit (isiôva i]. 17.

fiSLôva'] scripsi; (isiôv F, uulgo; (islôva loyov sxsi Wallis.


Qvy . sxi 6L%a r] vjto KEF xfi AE. rj EF aQcc tcqos

AF êit,ova \^^YiK£i'\ koyov 's%£i^ îtsQ ,6%oy \J' TtQog

Qvy. STtsl ovv 7] vTto ZEF XQixov ov6a oÔ^^g xs-

x^fjxai xsxQaxig diâ, rj vjto AEF OQdîjg i6xi yiri"

.

5 KSi^d-ca ovv avxfj i6r] TtQog xm E rj VTtb FEM. r} aga

vTto AEM oQd^rjg s6Xi ^d" . nal r] AM aga svd^sta

xov TtsQi xov xvkXov s0xl Ttolvycavov TtlsvQa nlsvQag

s%ovxog q^9. STtsl ovv rj EF TtQog xrjv TA sdsi^d^ri

fiSit,ova Xoyov s%ov6a, tJtcsq d%oy \J' TtQog Qvy\ akka

10 trig iisv EF diitlr] rj AF, xrjg ds FA diitlaaCaiV 17

AM^ Tcal rj AF ccQa JtQog xrjv xov c[cr' TtoXvycjvov

TtSQi^sxQOv ^siôva koyov s%sij TJTtsQ ^d%oy vl' TtQOg

a

M d%7tri . %ai s6Xiv XQi7tXa6ia^ Tcal v7tSQS%ov6iv %^^ ij',

aitsQ XC3V d%oy C sXaxxova s0xiv 7] xo s^doôv. S^xs

15 to Ttolvyovov xb JtSQi xbv kvxXov xrjg dia^sxQOv s6xl

XQi7tkd6iOV Xal sldxXOVi 7] Tc5 Spdo^C) ^SQSi ^SiÔV.

ri xov xvkIov aQa jtSQi^sxQog itoXv ]ialXov sXd^ôv

s0Xiv 7] XQi7tXa6icov %al s^do^cp ^sQSi ^Si^cov.

S6X0 KVTtXog^ Kal didfisxQog rj AF, rj ds vTtb BAF20 XQiXov OQd-^g, rj AB ccQa TtQbg BF sXd(56ova koyov

s%Si, rj ov axva TtQbg tJjTt' [^ ds AT TtQbg jT-B, ov

a(p^ TtQbg 7lJ7t].

2. liT^-KBi delet Wallis; om. Eutocius. ^^X^v' ^"] ,^ôv

FV. 5. LGT} 71 F; corr. Wallis. idem post FEM addit: xat

B-Aê^XriaQ-ai tj ZT ini z6 M. 6. post BvQ-Eia ed. Basil. ad-

dit nXsvQa ioTLv (sgtl Wallis), omisso sgtl lin. 7, quod habent F(per comp.), cett. codd. 7. ante TtoXvycovov ed. Basil. habetnsQLYQcccpoiisvov. TtXsvQoi] addidit Wurm; om. F, nulgo. 11.

post AM addit Wallisu»xat rj AF ccqci TtQog rrjv AM fiSLôva

Xcyov ^X^f-j ^TtsQ Sxoy' L" nQog Qvy . 13. ante xat idem:uvdnaXiv ccQa rj nsQtfistQog tov noXvycovov nQog trjv $Ld(istQOv

a

sXaGGOva Xoyov sxsl., 7]nsQ M ^^X^V ^Qog dxoy' L". 14. ^]

quare EK : FK > 2339^ : 153 [u. Eutocius]. rursus

secetur /. KEF linea AE. erit igitur

Er:Ar> 4673^ : 153 [u. Eutocius].

iam quoniam i ZEF, qui tertia pars est recti, quater

in partes aequales diuisus est, /. AEF erit pars duo-

dequinquagesima recti. ponatur^) igitur ei aequalis

i FEM ad punctum E. itaque i AEM pars uicesima

quarta est recti. quare linea AM latus est polygoni

96 latera habentis circum circulum circumscripti. et

quoniam demonstratum est EF : FA > 4673^ : 153, et

Ar= 2Er, AM=^ 2rA, Ar etiam ad perimetrum

polygoni 96 latera habentis maiorem habet rationem,

quam 4673^ : 14688 [u. Eutocius]. est igitur triplo

maior [perimetrus polygoni], et supersunt 667-|^, quod

minus est septima parte 4673^. itaque [perimetrus]

polygoni circumscripti minor est quam triplo et sep-

tima parte maior diametro. quare ambitus circuli multo

magis^) minor est quam triplo et septima parte maior

diametro.

sit circulus, et diametrus AF, et i BAF tertia pars

recti. itaque AB : J5r< 1351 : 780 [u. Eutocius].

1) Quamquam Eutocius: mslo&o} ovv, (prjOi, l'ar} ccvt^ 7]

vno rEM, tamen ex sequentibus adparet, eum suis ipsius uer-

bis uti. quare ne infra quidem (lin. 8: SedsL-nxcci,, lin. 9: Qvy',

Kcil ioti tijg) constat, eum genuinam formam praebere. sedlin. 19—20 puto eum recte praebere: yivyilog nsQi didfisTQOv tr}v

AV wal tQitov OQ&TJg rj vno BAF; lin. 10 om. dinlaoicov. delin. 10, 11, 15, 21 u. p. 269 not. 1.

2) Perimetrus enim polygoni maior est ambitu circuli; desph. et cyl. I, 1.

om. F; corr. Wallis. 16. sXccttovi] scripsi; sXccttov F, uulgo.

19. z/' addit F; corr. Wallis. 20. tQitov F; corr. B*. 21.

atva^ tva F; corr. B manu 2.*

268 KTKAOT METPH2:i2.

dCxa Yi vTto BArxfi AH. iTtel lcSrj eGTiv 7] vnh

BAH tfj V7t6 HFB, akXa Kai rrj vjto HAF, xal rj

vTto HFB tfi vTto HAF iGtiv1'6yi,

xal xoivrj 7] vjtb

AHF OQd^ri, xal tQLtrj aga rj vitb HZF tQitrj tfj

5 vTtb AFH l'6r}. lOoyoaviov aga tb AHF rc5 FHZ

tQiycovip. £(7rtv aga, (og rj AH Ttgbg HF, r] FH itQog

HZ^ xal r] AF TtQbg FZ. aAA' (og r} AF TtQog FZ^

xal 6vva^(p6t£Qog rj FAB TtQbg BF. xal (og 6vva^-

(fOteQog aQa rj BAF TtQbg BF, rj AH TtQbg HF. dia

10 tovto ovv 7} AH TtQog trjv HF ilaaôva k6yov ax^h

r]7t£Q fiîa TtQbg ip7t\ rj de AF JtQbg trjv FH ik(x6-

(jova, 7] ov yiy il' 8" TtQog if^7t\ 8Cya rj vTtb FAH ty

A&. rj A0 aQa dca ra avta TtQbg trjv ®r iX(x,6(5ova

X6yov £%£i^ rj ov e^xd' C 8" TtQbg i^n, 7] ov acaxy

15 TtQbg 6^\ £Kat£Qa yaQ ixatiQag d' ty\ co6t£ rj AFTtQbg trjv F0, rj 6v a(xiXr\ 0'' ta' itQbg 6\i . £ti dCxcc

rj vTtb &Ar tfj KA. xal rj AK TtQbg trjv KF iX(x6-

1. Ante 8CxcL ed. Basil. habet r£tii,r]6^(o. < 3. t^] aqa zri

ed. Basil. 4. aq(x] scripsi; fffrat F, uulgo; uQa l'6rj kâvai, ed.

Basil., Torellius. 5. L6ri] addidi; om. F, uulgo. 8. FA, ABTorellius. 9. BA, AF Nizze. AH'] JH F; corr. B mg.*

12. pro U" FBC* habent r'. 14. /^xd' L'J^ ezH* s' F; corr.

ed. Basil. {X pro %; corr. Wallis). 15. (?/»'] av F; corr. ed. Ba-

IDIMENSIO CIRCULI. 269

secetur^) iBAF in partes aequales linea AH. iam

quoniam LBAH= HTB [Eucl. III, 26], sed etiam

= HAT, erit HTB = HAT. et communis est L AHTrectus [Eucl. III, 31]. quare etiam HZT = ATH[Eucl. I, 32]. quare triangula AHF, FHZ angulos

aequales habent. est igitur [Eucl. VI, 4]

AH: Hr=rH: HZ = AT: FZ.

sed Ar:rZ = rA'{- AB: BT [Eucl. VI, 3; Euto-

cius]. quare FA + AB : BT = AH : HR itaque

AH:Hr <2911 : 780 [u. Eutocius],^) et

Ar:rH< 3013^ i : 780 [u. Eutocius].

secetur eodem modo L FAH linea A0. propter ea-

dem igitur erit A@ : ®r< 5924^ \ : 780 [u. Eutocius],

hoc est < 1823 : 240. altera^) enim alterius y\ [u.

Eutocius]. quare est Ar:r®< 1838i-\ : 240 [u. Eu-

tocius]. porro secetur L^AF linea KA. est igitur

1) Cum p. 266, 20—21; 268, 9—12; 13—16; 268, 17—270,

1

ab Eutocio non ipsis uerbis Archimedis citari uideantur, hascontra scripturas in lemmatis eius seruatas genuinas putauerimet in uerbis Archimedis a transscriptore mutatas: lin. 1: ra-xiiriGQ^tt dC%a', stcsl ovv; lin. 3: ccQa rij; lin. 4: XoiTti] et Xoin^pro TQitT} et TQitr]; lin. 5: sativ i6rj; aQa soti; AHF xqC-ycovov; lin. 8 xat (prius) om.; lin. 16: nQog ST sXaaaova Xoyovs%Si ^tcsq; lin. 15: satl d' ly"; lin. 17: &Ar ycovCa. simulaHa transscriptionis uestigia colligam: ut lin. 5 om. tQCycovov

prop. 1 p. 260, 14; 2 p. ^62, 6; diTtXfj p. 266, 10 {SiTtXaaCcov

Nizze; cfr. prop. 2 p. 262, 5); tov qg' TtoXvycovov p, 266, 11;

270, 9; t6 TtoXvycovov pro 17 7tSQC(istQog xov noXvycovov p. 266,

15 {rj nsQC^stQog tov noXvycovov tov — tQinXaaCcov — (isC^oav

Nizze). praeterea Eutocius uerba 97 ds AF— ipn p, 266, 21habuisse non uidetur; debebat insuper esse 97 yccQ AF.

2) Hic, ut sa^pissime in hac propositione , utitur propor-tione illa, quam exposui Quaest. Arch. p. 48.

3) Genus femininum refertur ad auditum uerbum nXsvQa.

sil.* STiatSQag] s-natsQcov Wallis, ly"] ty' a F; corr, ed.

Basil. 16. Post r@ additur sXdaaova Xoyov s%si in ed. Ba~sil. la"] om. F; corr. Wallis,

270 KTKAOT METPHSir.

6ova aQa Xoyov sxsl, 7] ov a^ TtQog |?'. eKareQa yccQ

sxatSQag ta ^ . rj AI aQa TiQog rrjv 1 K^ rj ov a^ sr

TiQog ^?\ sri 6i%a rj vTto KAF rfj AA. rj AA aQa

•JiQog rrjv AF ild<j6ova koyov s%si^ -^ ov ra fivg'g"

5 TtQog %z\ r\ ds AF TtQog FA sXdâova^ r] rd fii^ d"

TtQog |s^'. dvdTtalLV ccQa rj TtsQt^srQog Toi) TtoXvyojvov

JtQog rrjv dtd^srQOv ^stôva koyov s%si^ rjjtSQ j^rXz

TtQog fii^ d'\ ccTtsQ rcjv fiit^' d" ^siôvd ionv ^ rQi-

7iXa6iova Kal dsna oa\ xal rj TtSQi^srQog ccQa roi)

10 qsr' TtoXvycovov rov sv ta5 oiVKlc) rrjg dia^srQOv rQi-

%Xa0iGiv s6rl Tcal ^si^cov 7] i ocl' , Sors âl 6 TivxXog

sri lidXkov rQi7tXa6icov s6rl xal ^si^cjv rj i oa"

.

rj ccQa rov ocvkXov TtSQi^srQog rrjg dia^srQOv rQt-

7tXa6iCDV s6rl xal sXd66ovi ^sv r] s^do^G) ^SQSi, ^Si-

15 ôvi ds 7] i oa' ^siôv.

1. Post yj ov addit Wallis : yx^ct ^' la" nqbg (Fju,' r} ov.

|g'] c|s F; corr. ed. Basil. 2. £v.axEQag] ed. Basil. ex Euto-cio; s%ax£Qa. FBC*; fxaTf^cor Wallis. la /w-" ri AF^ oifiaL F;corr. Wallis. FK r} ov] scripsi cum Wurmio; xarayoi' F;âtdXoyov ed. Basil. ; FK sXdoaova Xoyov Wallis. ^«'9'' ?"]

scripsi; âog F, uulgo; '^%sl t/ a-^"' <5 Wallis. 4. AF] ^TF;corr. Wallis. 6. Post aQu rj Wallis addit: AF TtQog rrjv FA(iSLôva Xoyov sxsl ijnsQ |s' TtQog ^l^' d' ' Y.al {r} addit Nizze).

7. ^grAs'] ^grag F; corr. Wallis. 8. ^^Lp'] (prius) ^ F;corr. Wallis. 9. oa"] o a ¥\ corr. Wallis. 11. l oa']

scripsi; ov o La F, uulgo; 8syi.a oa ed. Basil. Tor., Wall. 13.

L oa"] scripsi; %•' La F, uulgo; dsY.a oa ed. Basil. Tor., Wali.14. sXaGGOVL] scripsi; sXaGGGiv F, uulgo. îslôvl ds r) l oa"^SLôav] scripsi; (iSLâv ds F, uulgo; fiSLôav Ss r} dsyia s^dofirj-

K06TO(i6voLg vnsQsxovaa Wallis.

^iC: iCr< 1007 : 66 [ii. Eutocius]. altera enim al-

terius est ^^. itaque.

Ar.TKK 1009^ : m [u. Eutocius].

porro secetur /. K.AF'^) linea AA. erit igitur

AA : Ar<20\6i : Q6 [u. Eutocius],

et AT: FA < 2017^^ : 66 [u. Eutocius]. et e contrario

[FA -.Ar^^^: 2017^ (Pappus VII, 49 p. 688); sed

FA latus est polygoni 96 latera habentis. quare]^)

perimetrus polygoni ad diametrum maiorem rationem

habet guam 6336 : 2017^, quod maius est quam triplo

et \^ maius quam 2017^. itaque perimetrus polygoni

inscripti 96 latera habentis^) maior est quam triplo

et \^ maior diametro. quare etiam multo magis^)

circulus maior est quam triplo et \^ maior diametro.

itaque ambitus circuli triplo maior est diametro et

excedit spatio minore quam \, maiore autem quam ^f.^)

1) KAF ycavLa lin. 3 Eutocius. ceteras liuius paginaediscrepantias, quae apud eum inueniuntur, inde ortas esse puto,quod Archimedis demonstrationem non ad uerbum citauit, sedsuis uerbis reddidit.

2) Ueri simile est, Archimedem ipsum haec addidisse.

3) tov qg' TtoXvycovov transscriptori debetur, sicut etiamlin. 11: o Y.VTiXog pro 7] xov 'KvtiXov nsQLfisxQOs {nsQKpBQSLo).

4) Quippe quae maior est perimetro polygoni (de sph. et

cyl. I p^. 10).

5) AQxifirjdovs 'kvhXov (ji,stQrj6ig in fine F, Cr.

DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS.


^j47to0xell(o tOL yQccxpag iv tads ta ^L^XC(p tdov

ts XoLTt^v âcoQYi^dtov tccg djtodeL^tag, cjv ovx elxsg

iv totg TtQoteQOv dTteOtaXêvoig^ xal dkXav v6teQ0V

5 TtoteêvQfjêvwv, d TtQoteQOv êv Tjdrj TtoXXdxig iyxei-

QriCag iTtt^xejtteOdâL^ dv(5';coAoi' eêtv rt q)avet6ag [iot

tdg evQeCtog avtcov djtOQrjGa. dtoTteQ ovde Qvve^-

edodêv totg dXXotg avtd td TtQoê^Xriêva. vGtSQOv 8e

imêXe^teQOv itot avtotg yevoîevog iêvQov td dito-

10 QYjdêvta. riv de td êv Xotnd t^v TtQoteQov dêaQTj-

^dtcov TteQt tov oQdôycovtov Tccovoetdeog TtQoê^lrnieva'

td ds vvv ivtt TtoteêvQrjêva jteQt te d^p?,vycovtov

Kcjvoetdeog xal TteQt acpatQoetdeov 6%ri^dtc3V .,cctv td

êv TtaQa^dxea, td de iittTtXatea xaXeco.

15 TteQl êv ovv rot» OQdôycovtov xovoetdeog vTtexetto

tdde' et xa OQxiôyovtov xcavov to^d êvov6ag tdg

dtaêtQov TteQteve^dêtGa aTtoxata^tad^fj jtdXtv^ odêv

wQâêv, t6 TteQtXag^dêv 6xV^^ ^^^ "^^S tov oQdô-

yavtov XC3V0V to^dg oQdôyojvtov xcovoetdeg xaXet^dât^

20 xal dôva êv avtov tdv [leêvaxovâv dtdêtQOv xa-

Xet^dât^ xoQvcpdv de to 0aêtov, xad'^ o dntetat 6

1. JcoaLdÊO) F; corr. Riualtus. 3. unoSsL^Lccg] scripsi;

anoSsL^ cum comp. rjg F; ccnodst^SLg uulgo. 6. Svayiolov}

dvGTtot' oXov F; corr. Riualtus. 7. svQiaiog'] scripsi; svqs-

6iccg F, uulgo. 14. 7caQcc(i(xyiscc] Torellius; nciQccfirjyisa F,

uulgo. 15. yiovosLSsog F. 16. sl' xa] aha Torellius, ut

semper hoc libro. 19. ytaXsLcdôo F; corr. Torellius.


Hoc libro conscriptas tibi mitto demonstrationes

et reliquorum theorematum, quorum demonstrationes

in iis libris, quos antea tibi misi^), non habuisti, et

aliorum quorundam postea inuentorum^), quae cumantea saepe perscrutari conatus essem, haerebam, quia

inuentio eorum difficultatem quandam habere mihi

uidebatur. quare ne edebantur^) quidem ipsae pro-

positiones una cum ceteris. postea autem diligentius

ea adgressus inueni ea, in quibus haeseram. reliqua

theorematum priorum de conoide rectangulo proposita

erant. quae nunc noua inueni, de conoide obtusian-

gulo sunt et de figuris sphaeroidibus, quarum alteras

oblongas, alteras latas nomino.

de rectangulo igitur conoide haec proposita erant:

si sectio coni rectanguli manente diametro circum-

uoluta rursus in eum statum restituitur, unde moueri

coepta est, figuram sectione coni rectanguli compre-

hensam conoides rectangulum uocari, et axem uocari

eius diametrum manentem, uerticem autem punctum,

1) H. e. Hbros de sphaera et cyHndro, de heHcibus, deparabola.

2) De conoidibus obtusiangulis et de sphaeroidibus (lin.

12); de iis ne propositiones quidem Cononi miserat Archime-des (Hn. 8).

3) H. e. Cononi mittebantur sokiendae et cum aHis mathe-raaticis communicandae.

18*

276 nEPI KiiNOEIAESiN KAJ S<ÂIPOEIAE^N.

ccâv tdg rov Mavoecdeog iTttcpaveCag. Kal bl y.a xov

oQôyaavCov XGJvosLdeog 6x^^cctog iitCnsdov inLtpavrjy

Jtaga de to i7tLi};avov iitCitedov akXo inCTtsdov ai^sv

aTtotsyiri tL tââ rov KcovosLdsog, â6LV ^sv xaXsC-

5 ^dâi tov dnotâd^svtog tfidâtog to iitCitsdov tb nsQc-

lag^d^sv vTtb tdg tov xavosLdsog to^dg iv ta dno-

tsfivovtL inLnsdc), KOQvq)av ds tb (ja^stov, xaO"' o

inctlâvsL tb stSQOv inCnsdov tov xcDvosidsog, dôva ds

tdv ivanolaq^d^SLâv svd^stav iv ta t^dâtc dnb tdg

10 dx^sCâg dta tdg KOQV(pdg tov t^dfiatog na^d tbv

dôva tov xayvosLdsog.

nQOS^dlksto 6s tdds d-scsQTÔaL' dia rt, sl' xa tov

OQdôycovCov KovosLdsog t^dâta dnotâd^fj inLnsdo)

OQd"^ notl tbv dôva, tb dnotâd-sv t^dâ rjfiLokLOv

15 i<j0sCtaL tov Tcoivov tov ^d^LV sôvtog tdv avtdv ta

t^dâtL Kal dôva tbv avtov xal dta tC^ st xa dnb

tov OQdôycavCov xovosLdsog dvo t^dîata dnotâd^sosvtL

inLnsdoLg bncaOovv dy^svoLg, td dnotâd^svta t^dfiata

dLnkd(3L0v koyov sôvvtL not dkkaka tmv d^6vc3v.

20 nsQl ds tov dfipkvycovCov xovosLdsog vnotLd^Sfisdâ

tdds' SL xa iv inLnsdG) scsvtL dfi^kvycavCov xoavov

tofid xal d dLdfistQog avtdg xal al syyL6ta tdg tov

dfi^kvyovCov xcjvov tofidg, fLSvov6ag ds tdg dLaîstQov

nsQLSvex^sv tb inCnsdov, iv co ivtL aC SLQfjfisvaL yQaî-

1. tov] to tov F; corr. Torellius. 2. o^-O-oyoortov] 0*0

supra scriptum manu 1 F. ytovosiSsog F. 3. Bniipocvcov F.

4. tfirifia F; corr. Torellius. 12. nôsfidllsto] B; TCQOSâl-

lEvto FCD; nQos^ttllovto A, ed. Basil., Torellius- 15. sast-

rat F; corr. Torellius. 17. dnotfiad-scovti] Torellius; ano-

tfiad^svtL F^ VLulgo; a7roT/*a'9'£VTa A, ed. Basil. 19. wot' aHaXa]Torellius; ttoti Ta alXu F, uulgo. 20. vnotid^sfisdâ] scripsi;

vnsti^sfisQ-a F, uulgo; vns^siisdâ Nizze. 22. at] addidit

Torellius; om. F, uulgo.

DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 277

in quo axis superficiem conoidis tangat. et si planum

conoides rectangulum contingat, et aliud planum con-

tingenti parallelum segmentum conoidis aliquod ab-

scindat, basim segmenti abscisi uocari planum sec-

tione conoidis in plano abscindenti comprebensum,

uerticem autem punctum, in quo alterum planum co-

noides contingat, axem autem eam partem lineae per

uerticem segmenti axi conoidis parallelae ductae, quae

intra segmentum comprehenditur.

consideranda autem baec proponebantur:

cur, si segmenta^) conoidis rectanguli plano ad

axem perpendiculari abscindantur, segmentum absci-

sum dimidia parte maius sit cono basim habenti ean-

dem, quam segmentum, et eundem axem [prop. 21];

et cur, si a conoide rectangulo planis quoquo modo

ductis duo segmenta abscindantur, segmenta abscisa

duplicem inter se rationem babeant, quam axes

[prop. 24].

de obtusiangulo autem conoide baec supponimus ^)

:

si in plano sunt sectio coni obtusianguli, diametrus

ieius, lineae sectioni coni obtusianguli proximae^), et

manente diametro planum, in quo sunt hae lineae

omnes, circumuolutum rursus in eum statum restitui-

1) LId. 13 pro TftaftaTtt Nizzius coniecit tiiaiici, fortaBse

recte, sed cuin idem infra legatur p. 280, 3 et fieri poBsit, ut

Archimedes prius uniuersalius locutus sit, deinde ad singularemet casum et numerum transierit, scripturam codicis mutare nolui.

2) Scribendum esse vnotid^siiBd-a lin. 20, adparet ex p. 275not. 2; iiaec nunc demum supponit Archimedes.

3) H. e. asymptotae quae uocantur. sed uocabula mathema-tica Archimedis ubique retinui. quare etiam scripsi: sectio coni

rectanguli, obtusianguli, acutianguli pro nominibus recentioribus

:

t^arabola, hyperbola, ellipsis. in uocabulis nouis obtusianguliet acutianguli fingendis secutus sum Commandinum aliosque.

278 nEPI K.<iNOEIAEiiN KAI S«ÂIPOEIAESiN.

^ccL, d7tOKata(jtad'f] TtdXiv, od^sv SQâ6sv, ai ^sv sy-

yL6ta sv^sCai tdg tov d^^kvyavCov tccovov to^dg dij-

kov (og xSvov i606xsXsa jtsQiXaipovvtai , ov xoQV(pd

s0OsitaL to Oa^stov^ xad-' o ai syytata Ov^TttTttovtt,

5 d^cDv ds d ^s^svaxovâ dcd^stQog. ro ds vno tdg

tov d^^kvycoviov xcovov toîdg 6j(îjâ 7tsQika(p%-\v

d^pXvy(6viov xcovosidsg xaksiOdâi , dôva ds avtov

tdv ^s^svaxov6av did^stQov, xoQvcpdv ds to 6a^siov,

xa^^ 6 djttstai 6 dâv tdg sjti(pavsiag tov xcovosl-

10 dsog. tov ds xwvov tbv 7tsQiXa(p%svta vito tdv sy-

yi6ta tdg tov d^^lvyavCov x(6vov to^dg 7tsQis%ovta

ro X(Dvosi8sg xaXsi(5%âi^ tdv ds ^sta^v svd^stav tdg

ts xoQVcpdg 701; xcavosidsog xal tdg xoQVtpdg tov xco-

vov tov 7tSQis%ovtog to xcovosidsg 7totsov6av ta dôvi

15 xaksCcdâi. xal st xa Tot) d^^XvycovCov xcovosidsog

s7tC7tsdov S7tiiâvfj^ TtaQa ds to S7tiilfavov s7tC7tsdov dXXo

i7tC7tsdov d^d^sv d^tots^ri t^dâ tov xovosidsog, ^dciv

^sv xalsCodâi tov djtotâd-svtog t^dâtog to STtC^tsdov

to 7tSQiXa(p%sv v7to tdg tov xovosidsog to^dg iv ta d^to-

20 ts^vovti S7ti7tsd(p^ xoQVCpdv ds tb 6a^stov, xad" 6 d^tts-

tai tb S7tC7tsdov tb sTtiâvov tov xcavosidsog^ dôva de

tdv dTtoXacpd-staav iv tc5 tfidâti d^tb tdg dx^sCcag did

tdg xoQvcpdg tov t^dâtog xal tdg X0QV(pdg tov xcavov

Tov 7tsQiS%ovtog tb xavosidsg, xal tdv ^sta^v tdv

25 siQTj^svav xoQvcpdv svxtstav 7totsov6av ta dôvi xa-

"ksC^âi. td \isv ovv OQôySvia xcovostdsa Jtdvta

bôtd svtiy t(6v ds dii^lvycavCcov xcovosidscov oôta

xa?,sC(j%cj, 03V xa ot xcovot ot 7tsQiSx6vtsg td xcavosi-

3. laoayiEXscc] scripsi; laoayislTj F, uulgo. y,OQvcpr} F;

corr. V. 4. saaBLrai] STtSLtoci F; iastroci B*. 8. tocv] xa

F; corr. BC. 10. tav] twj F; corr. B*. 17. T|Lt9?fia F,


tur, unde moueri coeptum est, adparet, lineas sectioni

coni obtusianguli proximas conum aequicrurium com-

prehensuras esse, cuius uertex erit punctum, in quo lineae

sectioni proximae sibi in uicem incidunt^ axis autem dia-

metrus, quae mansit. figuram autem sectione coni obtu-

sianguli comprehensam conoides obtusiangulum uocari,

axem autem eius diametrum manentem, uerticem autem

punctum, in quo axis superficiem conoidis tangat.

conum autem lineis sectioni coni obtusianguli proxi-

mis comprehensum comprehendentem conoides uocari,

lineam autem inter uerticem conoidis et uerticem coni

conoides comprehendentis positam axi adiectam uocari.

et si planum conoides obtusiangulum contingat, et

aliud planum plano contingenti parallelum segmentum

conoidis abscindat, basim segmenti abscisi uocari pla-

num sectione conoidis in plano abscindenti compre-

hensum, uerticem autem punctum, in quo planum

contingens conoides tangat, axem autem eam partem

lineae per uerticem segmenti et uerticem coni conoides

comprehendentis ductae, quae intra segmentum com-

prehenditur, lineam autem inter hos uertices positam

axi adiectam uocari.

rectangula conoidea omnia similia sunt^), obtusi-

angulorum autem conoideon ea similia uocentur, in

quibus coni conoidea comprehendentes similes sini^)

1) Quia omnes parabolae aimiles sunt (Apollonius VI, 11).

2) Eucl. XI def. 24: o^oioi "ncavoi xct KvXLvdQOL slglVj (ov

OL TS a^ovsg kocl at dLocfistQOL rav ^«asav avuXoyov slgl.

uulgo; corr. Toreliius. 22. svanoXcccpd^SLaav? 28. xa]scripsi; xa^ F, uulgo.

280 nEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAEiiN.

8ia oiioCoi ecavTL. XQoPaXXdtac 6s td6e ^scoQT^car

dia Tt, €1 Ka Toi; aî^Xvyovlov xcovo£i6eog djtotfia^

T^dâta eTCLTiedG) o^dâ notl ror «lovct, t6 «TroT/u-a-

dêv t^diia Tiotl toz^ xcovov tov ^Glv e%ovta tdv

5 avTav Tw t^dâti ycal dôva t6i/ avtbv tovtov fj^f/

Tov Aoyov, oi' d GvvaynpoteQaiQ i6a t» t£ dh,ovi TOt»

tfidâtog xal ta tQinkaeCa tdg 7ioteov6ag tw dlôvi

Ttoti tav i'0av d^<poteQaig ta te dôvi rov tpidâtog

xal ta diTtXaeCa tdg TtoteovCag t^ d%ovi. xal did Tt,

10 ei' xa tov d(ipXvyG)vCov xcavoeideog tfidfia aTiotfiad-rj

eTiiTtedcp pfi OQdâ Ttotl tbv dôva, tb dnot^dêv

tfidfia Ttotl tb Cxijpa tb ^doiv eôv tdv avtdv tto

tpdfiati xal dôva tbv avtov^ o yiyvetat ditotfiafia

xeivov^ tovtov e%ei tbv Xoyov^ ov d 6vvaft(poteQaig

15 i6a t(p te di,ovi T0t5 tfidfiatog xal ta tpi7tXa6Ca tdg

7toteov6ag ta dôvi Jtotl tdv i6av dficpoteQaig tc5 te

d%ovi TOi; tfidfiatog xal td di7tXa6Ca tdg 7toteov6€cg

ta atovi.

Ttegl 6e tSv 6<paiQoeidec3v ^xrjfidtcav v^totidêfiedâ

20 tdde' el xa 6i,vy(ovCov xcovov tofid fievov6ag tdg

fieCôvog diaîetQOv 7teQievex%êi6a d7toxata6tad'^ ndXiv^

o^êv wQfiaêv^ tb TteîXacpdêv ^x^jfia vTtb tdg tov

bi,vycovCov xcovov tofidg TtaQafidxeg 6(paiQoeideg xa-

XeC6%ai. el 6e xa tdg eXd66ovog SiafietQOv fievov6ag

25 7teQievex^Si6a d Toi5 6lE,vycovCov xcovov tofid d^toxata-

6ta^^ TtdXiv, odêv SQfia6eVj to TteQiXaipd-ev ^x^rjfia

vTtb tdg Toi5 b^vycovCov xoovov tofidg e7ti7tXatv 6<pai-

1. nqoâXXhai] alterum X supra scriptum manu 1 F. 6.

ov\ om. F; corr. ed. Basil.* cvva^fpox^QaLq] scripsi; cvvap,-

<poTSQa F, uulgo. Tc5 Tf] scripsi; rco F, uulgo. 11. ju.??] supra

scriptum manu 1, ut uidetur, F. 13. Tfirjiiatt. F ; corr. Torellius.

14, d cvvaficpoT^Qaig] scripsi; cvva^tpotfQog F; d cvva^tpoteQOs

!


consideranda autem haec proponuntur:

cur, si plano ad axem perpendiculari abscindantur

segmenta^) conoidis obtusianguli, segmentum abscisum

ad conum eandem basim habentem, quam segmentum,

et axem eundem eam habeat rationem, quam linea

axi segmenti et simul triplici lineae axi adiectae aequa-

lis ad lineam axi segmenti et simul duplici lineae axi

adiectae aequalem [prop. 25]. et cur, si plano ad

axem non perpendiculari segmentum conoidis obtusi-

anguli abscindatur, segmentum abscisum ad figuram

basim eandem habentem, quam segmentum, et axem

eundem (quae est segmentum coni)^) eam rationem

habeat, quam linea axi segmenti et simul triplici lineae

axi adiectae aequalis ad lineam axi segmenti et simul

duplici lineae axi adiectae aequalem [prop. 2Q].

de sphaeroidibus autem figuris haec supponimus ^)

:

si sectio coni acutianguli manente diametro maiore

circumuoluta rursus in eum statum restituitur, unde

moueri coepta est, figuram sectione coni acutianguli

comprehensam sphaeroides oblongum uocari; sin autem

sectio coni acutianguli manente minore diametro cir-

cumuoluta rursus in eum statum restituitur, unde mo-

ueri coepta est, figuram sectione coni acutianguli com-

1) Hic quoque (lin. 3) pro tfidiiaTa Nizzius tiiuficc scribi

iubet; sed u. p. 277 not. 1.

2) Haec uerba (lin. 13), si genuina sunt, lioc loco praeoc-cupando posteriora significant; nam p. 288, 7 sq. demum de-finitur dnotfiaficc A.oavov.

3) Sic recte F; u. p. 277 not. 2.

ed. Basil.jUulgo; « cvvafKpotSQa Torelliue. 15. T«]addidi; om. F,uulgo. 19. vnstL&stisdâ Torellius, vnsdîfisâ Nizze. 20. TOju-as

F; corr. Torelliue. 21. anoyiatactr) FC*; corr. B man. 2*.

22. vno ts F; corr. Torellins. 24. xa] addidi; om. F, uulgo.

282 nEPI KiiNOEIAES^N KAI 2«ÂIP0EIAE^N.

Qosidsg KaXeL6%-ca. ixarsQOv ds tav (jcpaLQoeidsojv

aôva fisv xaXsLOdâL rav ^s^svaxovOav dLcc^sTQov,

xoQvcpav de xo âêtov^ xad-' o aTttstaL 6 aâv tag

iitLCpavsLag tov (ScpaLQOSLdsog^ xsvtQov ds xaXsL6d-aL tb

5 fis0ov tov aôvogy xal dLaîstQOv tav dLa tov TcsvtQOV

Tiot OQd-ag ayo^svav ta aôvL. xal sl' xa tc5v (5(paLQ0-

€Lds(DV ^x^rjiicitcov bitotsQOVovv STtLTtsda TtaQcikXrjla

STtLilâvcavtL ^rj ts^vovta, TtaQcc ds ta STtLTtsda ta ilâv-

ovta aXlo sitLTtsdov dxîj ts^vov tb GcpaLQOSLdsg, tcjv

10 ysvofisvcjv tâ^citcjv ^ccOlv fisv xaXsL0d-aL tb TtSQL-

Xacpd^sv VTtb tag tov 6cpaLQOSLdsog toâg sv rc5 ts^vovtL

STtLTtsdco^ KOQvtpag d\ ta Oa^sla, Tcad^' a sitLipavovtL

tov (5(paLQOSLdsog ta TtaQcilXrjXa STtLTtsda, dôvag ds

tdg sva7toXacpxl^SL6ag evd-eiag ev totg tâ^dte66Lv dnb

15 tdg evêLag tdg tdg 7C0QV(pdg avtmv eTtLêvyvvovOag.

otL de td STtLilâvovta eTtLTteda tov 6(paLQoeLdeog xad"^

?i/ ôvov aTttovtat 6aêtov tdg eTtLCpaveCag avtov, xal

otL d tdg dcpdg e7tLêvyvvov6a evd-eta dLa tov xsv-

tQOV tov 6(paLQOSLdsog TtoQsvstaL, dsLôv^sg. oôta

20 ds TcaXsL^dâL t(Dv 6(paLQ0SLdsGiv CxV^dtov , cov xa ot

di,ovsg Ttotl tdg dLa^stQovg tbv avtbv Xoyov s%(*ivtL.

t^dâta ds 6cpaLQOSLdscov 6%riiidtc!)v xal xcjvoslSscjv

oôta xaXsL6d^c3y el' xa dcp' oôlcov ^xriiidtojv dcpai-

QYi^sva scDvtL xal tdg te â^Cag bôCag e%G)vtL^ xal ol

25 dôveg avtav TJtoi oQdôl iovteg Jtotl td inLTteda t(DV

â6L(Ov 7] ycavLag L6ag TtOLOvvteg Ttotl tdg bôXoyovg

diaêtQOvg tcjv â^Lcov tbv avtbv e%GivtL Xoyov Jtot^

dXXdXovg tatg bôXoyoLg dLaêtQOLg tcjv â^Lcnv.

6. GcpaLQOEidscoa F. 8. ipavovroc^ snitpavovxcc'? 10. t(irj-

yLocxmv F; corr. Torellius. 12. u] ccg F; corr. B. 14. x(ia(iax£-

(jtv FB*. 15. Tas] (posterius) scripsi; xa FCD; om. B, uulgo.


prehensam sphaeroides latum uocari. utriusque autem

sphaeroidis axem uocari diametrum manentem, uer-

-ticem autem punctum, in quo axis superiiciem sphae-

roidis tangat, centrum autem uocari medium axis

punctum, et diametrum lineam per centrum ad axem

Iperpendicularem ductam. et si plana parallela utram-

uis figurarum sphaeroideon contingant, ita ut non

'êcent, et aliud planum planis tangentibus parallelum

iducatur sphaeroides secans, segmentorum inde orien-

tium basim uocari [planum] sectione sphaeroidis in

plano secanti comprehensum, uertices uero puncta, in

quibus plana parallela sphaeroides contingant, axes

autem eas partes lineae uertices segmentorum iun-

êntis, quae intra segmenta comprehendantur. plana

-autem sphaeroides contingentia in uno tantum puncto

superficiem eius tangere [prop. 16], et lineam puncta

contactus iungentem per centrum sphaeroidis ca-

dere [prop. 16], demonstrabimus. similes autem eas

figurarum sphaeroideon uocari, quarum axes ad dia-

' metros eandem rationem habeant. segmenta autem

figurarum sphaeroideon et conoideon similia uocentur,

si ab similibus figuris abscisa sunt et bases similes

habent, et axes eorum aut ad plana basium perpen-

diculares aut aequales angulos cum respondentibus

diametris basium facientes eandem inter se rationem

habent, quam respondentes diametri basium.

16.- ra] scripsi; ra rs F, uulgo. 20. xa] scripsi; xat F, uulgo.i^l. sxfovti] scripsi; g^ôrrt F, uulgo. 22. r(icc^cctcc] Torellius;

tfiocfia F, uulgo. 23. HccXstc^cci Torellius. 24. ^ccacag]

scripsi; ôca cum comp. rjg F; §dasLg uulgo. Bxcovtt] scripsi;

«XOt^Tt F, uulgo. 26. §aaL(ov] scripsi; ôcascav F, uulgo; itemlin. 27 et 28. 27. sxojvti] scripsi; sxovti F, uulgo.

284 nEPI K5iN0EIAEiiN KAI 2;4>AIPOEIAE5iN.

TCQopaXXsrat, de neQl tmv 6<patQoeLdmv rccde êio--

i^rjeaL' dia n, e? xk tc rdov ^âiQoeidecav 6xr]^drcovhcLTteSa riia^fi dia T0t5 yievrQov 6q^6 norl rbvaôva, rwv yevaiievcov râ^drcjv exdreQOv dmkd-

6 6L0V eaeeCraL rov kcovov tov ^dGLv f;toi^To$ rdv avrdvrm rfidfiarL xal dôva t6i/ avrov. el de xa 6q^^ fievitorl rov dôva rm entnidcp rfia^fj, firj dLa roi) xev-tQov de, r6v yevafievcov rfiafidrcov ro fiev fiettov norlrov nmvov rov rdv avrdv ^d^Lv eôvra r6 rfidfiarc

10 xal dlova roi^ avrov roi^Tov eêL roi; Aoyor, ov d6vvafi<porepaLg lâ ra re rjfiL6eLa rdg evêiag, d iarivdicov rov 6<paLQoeLdeog, xal r^ dlôvt ra rou ekdeô-vog rfidfiarog Tcorl rov dôva rot) eXdeaovog rfidfiarog,to de ekaaaov rfidfia norl roi^ n^vov roi/ ^daLv exovru I

15 rdv avrdv r^ rfidfiarL xal dôva roi/ avrov rovrove%eL roi^ Xoyov^ ov d evvafLfporegaLg L6a ra re r]fiL-

6eia rdg evêiag, d e6rLv dlE,cov rot) 6âLQoeLdeog, xalradôvL r^ roi) fieiôvog rfidfiarog norl rov dôvatov fieiôvog rfidfiarog. xal dm rt, el' xa r^v 6âLQo-

20 etdecov rt enLnedco rfia^^ dta rot5 ;c£Vr()ot; firj ^pd^Snorl roi/ dôva^ roov yevafievcov rfiafidrcov exdreQovdLnXd6Lov e66eiraL rot) ^xi^fiarog roi; pd6Lv exovrogrdv avrdv ra rfidfiarL xal dôva rbv avrov. yLyveravde ro 6xYifi.a dnorfiafia xcovov. el de xa firjre (Jm rov

25 xevrQov firjre 6q^6 nort rbv dôva rco emnedco rfia^^ro 6(paLQoeLdeg^ rcov yevafievcov rfiafidrcov ro fiev fiet-

tov norl rb 6x^fia ro pd6Lv eôv rdv avrdv ra rfid-

fiatL xal dôva rbv avrov rovrov eêL rbv Xoyov, ov

3. r(iir}»ri F; corr. ToreUins. 7. tfjirj»ri F; corr. Torel-hus. firj] om. F; corr. Torellius. 10. tovtov] om. F; corr.Torellms. 13. rfirjfiaxog F; cDrr. Torellius. 18. aôovi F.


consideranda autem de sphaeroidibus haec pro-

Iponuntur: cur, si quaeuis figurarum sphaeroideon plano

per centrum ad axem perpendiculari secetur, utrumuis

segmentorum inde orientium duplo maius sit cono ba-

sim habenti eandem, quam segmentum, et axem eundem

[prop.27]. sin plano ad axem perpendiculari neque uero

ipercentrum secatur, maius segmentorum inde orientium

ad conum eandem basim habentem; quam segmentum,

et axem eundem hanc habebit rationem, quam linea

dimidio axi sphaeroidis et simul axi segmenti minoris

aequalis ad axem segmenti minoris, minus autem seg-

mentum ad conum basim eandem habentem, quam

segmentum; et axem eundem hanc habet rationem,

quam linea dimidio axi sphaeroidis et simul axi seg-

menti maioris aequalis ad axem segmenti maioris

[prop. 29]. et cur, si quoduis sphaeroides plano per

centrum ad axem non perpendiculari secetur, utrum-

uis segmentorum inde orientium duplo maius sit figura

eandem basim habenti, quam segmentum, et axem eun-

jdem (figura autem haec coni segmentum est) ^) [prop.28].

sin plano nec per centrum posito nec ad axem perpen-

diculari sphaeroides secatur, segmentorum inde orientium

maius ad figuram eandem basim habentem, quam seg-

mentum, et axem eundem eam habebit rationem, quamlinea dimidiae lineae uertices segmentorum iungenti^)

1) Cfr. quae de hia uerbis dixi p. 281 not. 2.

2) Fortasse delendum est avrctff p. 286 lin. 1; cfr. ibid.

lin. 7.

noTi] Torellius; TtQog per comp. F, uulgo. 20. riirj^r] F; corr.

Torellius. 23. T^d(iaTc] tfiaTi F.

286 HEPI KSiNOEIAEAN KAI r<ÂIPOEIAE<iN.

a 6vvcc^(potSQaLg l'6a xa rs 7]^t6aa avtag tag stcl^sv-

yvvov6ag tag HOQvqâg twv tââtav xal tco aôvtr

tcj xov iXa66ovog t^dâtog Jtotl tbv aôva ror roi)

sXd66ovog t^dâtog, xb ds sXa66ov t^dâ Ttotl tb

5 6xyj^ci To pd6iv syov tdv avtdv ta t^dâti xal dôva

xbv avtbv tovtov s%si tbv koyov ^ ov s%si d 6vva^-

tpotSQaig i6a ta ts rjî^sa tdg s7tit,svyvvov6ag tdg

xoQvcpdg t(ov tâ^dtav Kal ta dôvi tov ^siôvog

t^dâtog Tiotl xbv dôva xbv xov ^siôvog xî^^ctxog.

10 yivsxai ds Ttal sv xovxotg xb 6%riyia aTCoxââ kcovov.

d7Codsi%xtsvxGiv ds xcov SiQrj^svcov d^scjQr^^dxov did

X0VXC3V svQi6%6vxai d^scoî^âxd xs jioXkd xal TtQO^Xi]-

âxa^ olov ncd xods' oxi xd bôla 6cpaiQ0Sidsa Kai

xd bôta x^dâxa xojv xs 6cpaiQ0Si8scov 6%Yiiidxcov xal

15 xav Kcovosidscjv XQi7tXa6iova Xbyov syovxi itox' dX-

XaXa X(DV dôvcjv Kal dioxi xcav i6cQv 6cpaiQ0Sidscov

6xYj^dxwv xd xsxQdycova xd aTtb x<ov dia^sxQCJV dvti-

7tS7t6vâ6i tolg d^6vs66iv ^ xal Si Ka tSv 6cpaiQ0-

Sidsov 6%ri^dtcov xd xsxQdyava xd d^tb xcov diaîsxQcov

20 dvti^tSTtbvd^cjvti totg d^6vs66iv , l'6a svtl td 6cpaiQ0-

Sidsa. 7tQ6^Xrjâ ds, olov xal t6ds' d^tb tov dod^svtog

6cpaiQosidiog 6irniatog 7] Kcovosidiog t^dâ d^tots^stv

S7ti7tidcp 7taQd dod^sv s7ti7tsdov dyîvc), sl^sv ds tb

d^totiiad^sv t^dâ i6ov xcj doîvxi kcdvco rj KvXCvdQcp

25 ri ^cpaiQcx xd do^Si6cc. TtQoyQajpdvxsg ovv xd xs d^sco-

QTj^ccxa Kal xd S7tixdyâxa xd %Qstav s%ovxa slg xdg

8. rou] Twi Tov? 15. ttot' dXXaXa] Torellius; Trort tcc.

tiXXci F, uulgo. 16. dioti] S)] on B, Torellius. 18. aôve-

oiv F. 20. d.vxi7cen6vQîovxL] scripsi; avzminov^cici F, uulgo.

22. 6%riyjatoq\ Nizze; rfiaftaroff F, uulgo. 23. Hêv df] oaats

el^sv Torellius.

!

m CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 287

et simul axi segmenti minoris aequalis ad axem seg-

menti minoris [prop. 32]; segmentum autem minus ad

iiguram eandem basim habentem, quam segmentum,

et axem eundem eam rationem habebit, quam linea

dimidiae lineae uertices segmentorum iungenti et si-

mul axi maioris segmenti aequalis ad axem segmenti

maioris. (baec autem figura in his quoque segmentum

coni est).^) [prop. 30].

his autem theorematis demonstratis per ea multa

et theoremata et problemata inueniuntur, uelut hoc^):

similia sphaeroidea et similia segmenta et figurarum

sphaeroideon et conoideon inter se triplicem rationem

habere, quam axes. et in aequalibus figuris sphae-

roidibus^) quadrata diametrorum in contraria propor-

tione esse atque axes. et si in figuris sphaeroidibus qua-

drata diametrorum in contraria proportione sint, atque

axes, sphaeroidea aequalia esse. et problema, uelut hoc:

a data figura sphaeroide uel conoide plano dato plano

parallelo segmentum abscindere, ita ut^) segmentum

abscisum dato cono uel cylindro uel etiam datae sphae-

rae aequale sit. — praemissis igitur et theorematis

1) Cfr. p. 281 not. 2.

2) Fortasse scribendum : tdds lin..l3. uum Archimedes so-lutiones horum theorematum et problematis (lin. 21 sq.), quaseum nouisse necesse est, unquam ediderit, non constat. resol-

uerunt Riualtus p. 328 sq., Sturmius p. 377 sq. ; cfr. Nizzep. 203 sq.

3) Genetiuus lin. 16 pendet ex dt,a(isTQa>v lin. 17; cfr.

lin. 19.

4) Infinitiuus sifbsv lin. 23 sicut utcots^islv pendet cx«ignificatione iubendi, quae inest in nQopXrjfia.

288 nEPI K^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

ajtodsi^Lag avtcav ^sta tavta yQaipovâg tOL ra jCQOr

xei^sva, Bvtvxei.

El xa xmvog iiCLiced<p tfiad-ij (SvfiTtiTttovtt Jtdâig

tatg tov xoovov nlevQatg, a tofia e66eLtaL ijtoi xvxkog

5 ri ol^vycovLOv xmvov to^d, ei îev ovv xvxkog d to^d,

dijXoVy otL to UTtolaq^dêv dit avtov t^dfia iitl td

avtd td tov xmvov xoQVfpd xcavog e^êCtaL. el de xa

d to^d yevritaL o^vycovLOV xoivov to^d, to djtolaq^dêv

aTto tov XG3V0V (Sxriâ eitl td avtd ta tov xcavov xo-

10 Qvcpd djtotîaâ xcovov xaXeLOd-a. tov de d7tot(idfia-

tog ^dOLg fiev xaleC^d^ca to eitCTtedov to JteQLlacpd-ev

vTto tdg tov o^vycovCov xcavov tofidg, X0QV(pd de tb

0afietov, xal tov xcivov xoQvcpd, dôav de d dito

tdg xoQvcpdg tov xoavov eitl ro xevtQOV tdg tov o^v-

15 ycovCov xcovov to^dg eTtLêvx^stâ evdêta, xal et xa

xvXtvdQog dvotg eTtLitedoLg TCaQaXlriXoLg tâd"fj 6v^-

jtL7tt6vte00L TtdâLg tatg tov xvXCvSqov JtlevQatg, at

toâl e(30ovvtaL TJtol xvxXol tj o^vycovCcov xoxvav to-

âl L6aL xal 6{ioCaL dXkdkaLg. ei êv ovv xa aC tofial

20 xvxXoL yevcovtaL, drjXov, otL to dnotîadêv dico tov

xvXCvdQOv (^XV(^^ êta^v tmv TCaQaXXi^Xcov enLTCedov

xvXLvdQog e66eCtaL. eC di xa at toâl yev(6vtaL 6i,v-

ycavCov xo^vcav toâC, to dnoXa^pd-ev dno tov xvXiv-

Sqov (Sxriiia êtai^v tmv TtaQaXXrjXcov iTtLTcidcav tofiog

25 xvXCvSqov xaXeC^d^G). tov de t6}iov âGLg îev xaXeC^d^cs

1. anoSsi^6i.g F, uulgo. YQOcipovfjiSv aoi F, uulgo, 3.

TjLia-S"^] Torelliua; tfiri&r] F, uulgo. ovvnLnTOvti F. nocGai

FC*.' 7. novos F. 8. d] om. F. 9. Post yioQvcpa in F re-

petuntur: ycoavos soaEitcct si ds xa tofia ysvrjtai o^vyiovLov xoo-

vov tofia to anoXacpdÊv ano tov ytavov cxT]tioc sni ra avra tr]

tov ynavov xoQvcpa; corr. C. ta] trj F; corr. Torellius. 15.

sni^svx&Bioas F; corr. B*. '''^(^<^^v] Torellius; tfirj&ri F,


et epitagmatis ^) ad demonstrationes eorum utilibus,

postea tibi scribam; quae proposita sunt. uale.

DEFINITIONES.

Si conus plano omnibus lateribus coni incidenti

secatur, sectio aut circulus erit aut sectio coni acuti-

anguli. si sectio circulus est, adparet, segmentum a

cono^) abscisum in eadem parte, in qua est uertex

coni, conum futurum esse; sin sectio est coni acuti-

anguli sectio, figura a cono in eadem parte abscisa,

in qua est uertex coni, segmentum coni uocetur. seg-

menti autem basis uocetur planum sectione coni acuti-

anguli comprehensum, uertex autem punctum, quod

idem coni uertex est, axis autem linea a uertice coni

ad centrum sectionis coni acutianguli ducta.^) et si cy-

lindrus duobus planis parallelis omnibus lateribus cylin-

dri incidentibus secatur, sectiones aut circuli erunt aut

sectiones conorum acutiangulorum sibi in uicem aequa-

les et similes.^) iam si sectiones circuli sunt, adparet,

figuram a cylindro inter plana parallela abscisam cylin-

drum futurum esse. sin sectiones acutianguli coni

sectiones sunt, figura a cylindro inter plana parallela

abscisa frustum cylindri uocetur. basis autem frusti

1) Hoc est: problemata, quibus aliquid facere iubemur;

propp. 7—9.

2) un avtov 3: ccno xov ticovov (lin. 6); cfr. lin. 9.

3) Cfr. de his propositionibus Apollonii con. I, 4 et I, 13.

4) U. Serenus de sect. cylindri propp. 6 et 18.

uulgo. 18. saaovvtcit] Torellius; saovtca F, uulgo. 19. xct]

scripsi; xat F, uulgo. 22. xa] scripsi; xcci F, uulgo.

Archiaiedes, ed. Heiberg. I. 19

290 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAESIN.

ra iTCiTisda tcc TtsQiXa^pâvza vno xav tSv o^vyavLcav

Kcovcov roâv^ a^cov ds a i7tit,evyvvov0a evdêta ra

xevtQa rdv rcjv o^vyovCav kc^vov rofidv. e66eCrai

de avra eTii rdg avrds evdêCag rcj ccôvl rov xvXCvdQOv.

5 Ei xa eovn êyedêa onoâovv ra iCa dXXccXcov

vjteQexovra,fj

de d v7teQ0%d iGa rco eXaiC^rcp^ xal

dkXa êyedêa ra êv JtX^^dêi i6a rovroig, rc5 de ê-

yedêi exacrov i<5ov ra êyCarcp^ jtdvra rd yieyeêay

cov e6riv exaOrov i6ov ra êyC6r<p^ Ttdvrcjv êv rSv

10 rc5 i6c) v7teQe%6vrciv ekd66ova e66ovvrai 7] di7tXd6ia^

rmv de koi7tc3v xoQig rotJ êyC6rov êCôva r/ 8i7tXd'

6ia. d df djtodeiîg rovrov cpaveQd.

r

a .

Ei Ka êyedêa o7to6aovv rtp 7tkriêi dXXoig fieye-

15 dêîv l'60ig rc5 ^tXrjdêi nard dvo rov avrov Xoyov

'e%Givri rd oôCcog rerayêva, Xeyrirai 6e rd re 7tQcora

êyed^sa TtorC nva dXXa êyedêa 7] Ttdvra rj nva av-

rwv ev Xoyoig o7toiOi6ovv\, Tcal rd v6r€Q0v 7tor dkXa

êyedêa rd oôXoya iv rotg avrotg Xoyoig^ 7tdvra rd

20 7tQ(Dra êyedêa 7torl 7tdvra^ d leyovrat^ rov avrov

£|oi}i/rfc Xoyov^ ov e%ovri Ttdvra rd v6reQ0v fieyedêa

:7rort Ttdvra^ d Xeyovrat.

e6rco nvd êyedêa rd A, B^ JT, z/, E^ Z dXkoig

fieyedêîv i6oig r(p ^tXrjdêi rotg H, ®, J, K^ J, M25 xard dvo rbv avrov eôvra Xoyov^ Kal iyjirco ro \iiev

3. TO/x5v]ro/iaF;corr. B*. 5. a' Torellius; Cr. tc5] ro F, ed.!

Basil. l.Tily\%r\Y. 13. ^' Torellius, Cr. 16. f^KwvTt] scripsi; I

g;ôvT^F, uulgo. 17. sroTt xivu dXXa\ scripsi; noxi x' ccXXa

F, uulgo; fort. ttot' dXXa ut lin. 18. 18. jroTa ccXXa F. 22.

Xsycovxat F,


laocentur plana sectionibus conorum acutiangulorum

comprehensa, axis autem linea centra sectionum cono-

rum acutiangulorum iungens. haec autem in eadem

linea erit, in qua axis cylindri est.

Si magnitudines quotlibet datae sunt aequali spatio

inter se excedentes, et differentia minimae aequalis

est, et aliae quoque magnitudines datae sunt numero

prioribus aequales et magnitudine omnes maximae illa-

rum aequales, omnes hae magnitudines, quarum quae-

que maximae aequalis est, minores erunt quam duplo

maiores omnibus magnitudinibus aequali spatio inter

se excedentibus, maiores autem quam duplo maiores

reliquis praeter maximam. demonstratio autem huius

propositionis in medio posita est.^)

I.

Si magnitudines quotlibet numero et aliae magni-

tudines numero aequales, binae cum binis similiter po-

sitae, eandem rationem habent, et priores magnitudi-

nes aut omnes aut nonnullae ad alias magnitudines

in quauis proportione sunt, et posteriores magnitudines

rursus ad alias similiter positae in eadem propor-

tione sunt, omnes priores magnitudines ad omnes, quae

cum iis in proportione sunt, eandem habebunt ratio-

nem, quam habent omnes magnitudines posteriores ad

omnes, quae cum iis in proportione sunt.

magnitudines quaedam Ay Bj F^ z/, E, Z et aliae

magnitudines numero aequales If, 0, I, Kj Ay M bi-

nae cum binis eandem habeant ratiQnem, et sit

1) Nam demonstrata est ab Archimede ipso TCBql sXlh.

prop. 11; Quaest. Arch. p. 56.

19*

292 nEPI KSJNOEIAE.QN KAI SÂIPOEIAESiN.

A Ttoxl ro 5 Tov avxov koyov^ ov xo H Jtoxl xb @,

xo de B Ttoxl xo P, ov xo tcoxI x6 I, xal xa alka

oiioiag xovxotg. Xsysa^co de xa êv A^ B, jT, d, E, Z^syed^sa Jtoxt xtva akka ^sysdsa xa iV, S, O, 77, P, 2J

5 sv koyotg oTtototaovv, ta ds 77, 0, J, K, A, M Ttoxl

xtva aXXa xa T. T*, O, X, ^, Sl, xa oôXoya sv xotg

avxotg loyotg, xal cv ^sv s%st loyov xb A noxl xb N,

xb H sxsxo Ttoxl xb T, ov ds Xoyov s%st xb B itoxl

xb S, xb ® s%sxG3 Ttoxl xb T, zat xa akka oôttog

10 xovxotg. dstxxsov, ort Ttdvxa xa A, B, F, A, E, ZTtoxl Ttdvxa xd iV, S, O, 77, P, E xbv avxbv sôvxt

Xoyov, ov Ttdvxa xdH, @, I, KjA, M itoxl Ttdvxa

xd T, r, 0, X, ^, ^.

STCsl yaQ xb fisv N Ttoxl xb A xbv avxbv s^st Ao-

15 yov, ov xb T noxl xb 77, ro ds A Ttoxl xb B, ov xo

T

JL.

I

A, B r A £ Z H I KAMH Ttoxl xb @, ro ds B Ttoxt xb S, ov xb ® itoxt xb T,

rov avxov sc,st Aoyov xo iV :rori ro ^, ov xo 1 itoxt

xb T. dtd xd avxd ds xat xb S %oxl xb O, ov xb TTtoxl xb 0, xat xovxoig xd dXKa ofiotoog. s%ovxt dr]

4. Tiva aX/la] scripsi; raXXa F; xd dXloc ed. Basil., uulgo;

fort. Ttor' dXXoc. 6. M] M, N FBC*. 6. tlvoc uXXa] scripsi;

r' aXXoc F, uulgo; fort. dXXa. 7. xat] addidi; om. F, uulgo.

9. ^ Z F.


J :B = H:® et B : T= ® : I

et cetera eodem modo. et A, Bj F, z/, E, Z ad alias

magnitudines iV, S, O, 11, P, Z in quauis proportione

sint, et H, @, I, K, A, M ad alias T, T, ^, X, W, Sl

similiter positae in eadem proportione sint, et sit

A : N^ H: T, B : S= ® ' '^j et cetera eodem modo.

demonstrandum

^l-B + r + ^+E + Z^ H-\-@-\-I^K-irA-ir M,

iV+^-f + J7-1-P+2; T+T+$ + X+^+ilnam quoniam

N:A=T:H,A:B=^H:®, J5 : g = @ : T,

T

M A JI F "^ T T ^ X W Merit N : 13= T : T^) eodem modo concluditur etiam

g : O = T : 0, et cetera eodem modo.^) itaque

1) Cum N:A^T:H, A:B = H:@^ erit 8l' fcov (Eucl.

V, 22) N :B^T:&, sed B : S= €f : T; quare Si' i'6ov (Eucl.

V, 22) N: ISI =T: T. conspectum huius demonstrationis dedi

Quaest. Arch. p. 50—51.

2) Habebimus igitur N:S-=T:T, S:0=-T:^,0:n=^:X, n:P=X:W, P:Z=W:Sl.

iam cum sit A : B = H : ©, erit (Eucl. V, 18)

A -\- B : A= H -i- e : Ho: A -\- B : H -\- @ = A : H (Eucl. V, 16).

sed ex N:A = T: iTsequitur (Eucl.V, 16) ^: ir= iV: T == S : T(Eucl. V, 16) = O : $ (Eucl. V, 16) = T : J (Eucl. V, 16;

eet enim A : N = H : T, B : ISI =* @ : T, T : O = I : ^,^ : n = K : X, E : P = A : W, Z:Z= M: Sl,\m. 9). quare

A -\- B : H -\- @ = T : I; unde {hallah,, avv^svxi, ivuXXa^)

^ + B4_r:if+@ + J=r:I=0:$ = JT:X (Eucl. V, 16)

= J:K (Eucl. V, 16), et eodem modo semper progredi pos-

sumus.

^4 IIEPI KSiNOIÎAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

ra êv A, B, F, z^, E, Z Ttdvta jtotl to A tov av-

rov Xoyov^ ov £%ovti ta H, 0, J, K, A, M itdvta

Ttotl to H, to 8e A itotl to iV, ov to H notl tb T,

ro ds N Ttotl Ttdvta ta N, S, O, 77, P, 2 tov avtbv

5 Xoyovy ov tb T Jtotl Ttdvta td T, T, O, X, ^, Sl.

dijkov ovv, oti Ttdvta td A, 5, T*, ^, E^ Z TTort

Ttdvta td iV, ^, O, 77, P, 2^ rov avtbv sxovti koyov^

ov Ttdvta td 77, 0, 7, 7ir, î, M Ttotl itdvta td T, T,

0, X, ^, 5^.

10 cpavBQov ds, oti xaC^ sl' xa tcov ts A, B, F, ^,E, Z ^sysd^SGJv td ^sv A, B, F, z/, E Isycovtai itotl

td N, S, O, 77, P, ro ds Z ^rjds Jtod'' sv Isyritat,

Tcal rcov 77, @, 7, K, A, M rd ^sv 77, 0, 7, 7ir, Âf^/tovrai ;rort rd T, T, ^, X, W, td oôta sv totg

15 avtotg Xoyoig, tb ds M ^rjds itod'^ sv Xsyritai, ofiOLog

Ttdvta rd A, B, 77, zJ, E, Z Ttorl jtdvra rd iV, S^ O,

77, P rbv avrbv sôvvti Xoyov, ov itdvra rd 77, @, 7,

K, A, M Ttotl Ttdvta td T, T, O, X, W.

20 El' xa yQafiâl i6ai dkXdkaig scovti oitooaiovv rc5

Ttli^d^si, xal Ttaqi' sxd^rav avtdv 7taQa7ts6T} ti ^(^coQiov

2. g^^covrt F, ut uidetur. 1] om. F. 7. sxcavTv FBC.11. Xsyoavtai] scripsi; Zgycort F, uulgO; X«y6)*'Tt Torelliua, 12.

P] PC F; corr. Torellius. (iriSe Ttod"' sr] scripsi; lu-rjdfTfoO-fv

F, uulgo. 13. M] M (isys^soov Torellius. 14. W] WcaY;corr. Torellius. 15. firjSsno&sv F, uulgo. 17. P] PC F;corr. Torellius. 18. W] Wm F; corr. Torellius. 19. y'

Torellius, Cr. 20. aXXriXuLg F; corr. Torellius. 21. nuQot-

nsGrf] scripsi; naQSfinsat} F, uulgo.


A^B-}- r-\- J-{-E-\-Z:J = H-}-@-\-I-{-K+ A + M:H^)

sed A : N= H: T [dvccTCcchv Eucl. V, 7 TtoQ.]^ et

iV . iV: _|_ ^ _(_ O + n 4- P+ Z= T: T+ T+ ^+ X+ «P-+ i2.2)

adparet ergo esse

^-|.B-}_r+z/ + E + Z ^ H+0+ /+ JiC + ^ + M 3.

iV+^+0 + 7I+P+ 2;~" T+T+$ + X+?*-+iJ* ^

,et adparet, etiam si ex magnitudinibus A^ 5, F^

J, E^ Z magnitudines A, B, T, z/, E ad iV, S, O,

7J, P in proportione sint, Z autem in nulla propor-

tione, et ex H, 0, J, iiT, ^, iW magnitudinibus if, 0,

7, iT, ./^ ad T, T*, ^, X, W in proportione sint, simi-

liter positae in eadem proportione^ M autem in nulla

sit proportione, item esse:

^ + B_|_r+z/ + E + Z ii'+6> + / + X+ ^ + M4.iV+^+0 + 7I + P T+T+^ + X+y^ ')

II.

Si lineae quotlibet numero inter se aequales sunt,

et singulis spatium adplicatur figura quadrata exce-

1) Demonstrammus enim p. 293 not. 2 esse

^ + B + r+ z/ + E + Z : Jf+ ^ + J+ ^ 4- ^ + ^= ^ : ^

;

inde ivaXXa^ (Eucl. V, 16) sequitur proportio.

2) Nam -^ -^- ^ : T -\- T = ^ : T {gvvHvxi xal IvqlI-

Za|) = O : $ (Ivanal); unde hvakXa.i, 'nal avv^Evxi ytccl ivccXloc^:

rr, , ^ , ^ = ^> et cetera eodem modo, donec inueniturT -f- T -\- 9 9JV+^+0 + /7+P+Z N . , ,.,,

T+T+^ +X+^+ ^ = T '*^''' ''"'^^''^-

3) Nam dt' i'Gov est (Eucl. V, 22)A H

i\r+;S;+o + /T+p+2; r+T+$ +x+^ + ii' .

tum rursus ^t' leov sequitur proportio. .

4) Prorsus eodem modo concluditur, si ratione not. 2 pro-posita quater pro quinquies utimur. -.

296 IIEPI KiiNOEIAESiN KAI 2:<E>AIPOEIAE5iN.

vTteopctkkov afdsi, rexQaycovc)^ eovtt de ai TiXevQal rcov

vTteQ^Xfi^dtcov ta L(S(p aXkdkav vneQB%ov6ai^ x«l a

v%eQO%d l'0a xa ekaxCcxa^ ecovxL de xal dXka %(XiQCa

xa êv TikridêL toa xovxoLg, tc5 6e êyedêL exaexov

5 l'0ov xa êyCcxa, tcoxI êv ndvxa xd exeQa %c)QCa ekd6-

6ova koyov eôvvxL xov, ov e%eL d L'6a 6vva^q)oxeQaLg

xatg xe xov êyCGxov vneQ^kriâxog jikevQatg xal [iLa

xdv lcdv eovGav tcoxI xdv l6av 6vvaiiq)0xeQaLg rc5 xe

xqCxc) êQei xdg xov êyC6xov vTteQ^krjâxog nkevQdg

10 xal xd r}^L6ea ^Lag xdv L6dv iov6dv^ Ttoxl de xd koLTtd

%G>QCa dvev xov êyC6xov êCôva koyov iôvvxL xov

avxov koyov.

e6X(o6av yaQ i6ai evdêCat o7C06aLovv rc5 7tkri%êL^ I

etp' dv xd A' xal jtaQaneTtxaxexG) TtaQ^ ixd6xav avxdv

16 %(x)qCov vTteQ^dkkov efdeL xexQccycjvc). e6xov de xcov

vTteQpkrj^dxcjv TtkevQal at jB, F, A^ E, Z, H rc5 i'6G)

dkkdkav v7teQe%ov6aL, xal d v7teQ0%d e6xa) l'6a xd

eka%C6x(x. xal êyC6xa êv e6XG) d JS, eka%C6xa de d H,

e6XG) de xal dkka ^coQCa^ e(p^ cbv exa6xov xcov 0, J,

20 K., A^ xtp êv 7tki]d-ei L6a xovxoig^ rc5 6e êyeêc

exa6xov i6ov e6XG) rc5 êyC6xc) rc5 TtaQd xdv AB TtaQa-

xeiêvc). e6xo de d êv ®I yQa^^d i6a xd A, d de

KA i'6a xd B, xal xdv êv ®I yQamidv ixd6xa e6xo

8i7tka6Ca xdg J, xdv de KA ixd6xa xQi7tka6Ca xdg K,

25 deixxeoVy oxi xd %OQCa Ttdvxa^ iv olg xd 0, J, JT, A^

710x1 êv 7tdvxa xd exeQa %OQCa xd AB, AF, AAÂE^ AZ, AH ekd66ova koyov e%ei xov^ ov e%ei d

@IKA evdêta Ttoxl xdv IK^ tcoxI de xd koiTtd dvev

7. Tf] om. F. tcc et TtXsvga Nizze. 10. riiiica F; corr.

B. 13. tCTioGav FB'CD; ictcoA, ed. Basil.; „e8to" Cr. 15.

icxmv'] iCToocav B. Tmv] addidi; om. F, uulgo. 19. t'etto]


dens, et latera spatiorum excedentium aequali diffe-

rentia inter se excedunt, et differentia minimae aequalis

est, et praeterea alia spatia data sunt numero his

aequalia, magnitudine autem omnes maximo aequalia,

haec spatia ad omnia spatia priora minorem rationem

habebunt, quam linea aequalis lateribus maximi spatii

excedentis et simul uni ex lineis inter se aequalibus

ad lineam aequalem tertiae parti lateris maximi spatii

excedentis et simul dimidiae parti unius ex lineis inter

se aequalibus, ad cetera autem spatia praeter maxi-

mum maiorem rationem, quam eaedem lineae.^)

nam datae sint lineae aequales quotlibet numero,

in quibus sint litterae A. et singulis adplicetur spatium

iigura quadrata excedens. latera autem spatiorum exce-

dentium 5, F, z/, E, Z, H aequali differentia inter se ex-

cedant, et differentia minimae aequalis sit. et maxima sit

Bj minima autem H. sed etiam alia spatia data sint, in

quibus singulis omnes litterae ©, J, iT, Aj numero his

aequalia, magnitudine autem omnia maximo spatio

lineae AB adplicato aequalia sint. sit autem

@+ l=^, X+ ^= 5, et0+ J=2J, X+^=3X.demonstrandum est, omnia spatia, in quibus sint lit-

terae @, J, K, A, ad omnia priora spatia AB, AF,AA, AE, AZj AH minorem rationem habere, quam

@ + J+JC + vi:J+iir, ad reliqua autem praeter

1) Demonstrationem breuius exposui Quaest. Arch. p. 57,

arithmeticam dedit Nizze p. 157.

Bcripei; rj F, uulgo. snacTu xav Torellius; auditur cxoiXBiov

(littera). 23. xav'] xa F; corr. ed. Basil.* y^afi^a F; corr.

ed. Basil.*

298 nEPI K^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

Tov lisyCctov tov AB êCtôva koyov exovtc tov ccvtov

koyov.

£6ti yccQ tiva xoQCa^ ev olg ta A^ rc5 t0(p akldlayv

VTtSQBxovta, xal a vitSQOxcc t6a ta ilaxC^tc) [êTtsC ts

B rJ

EZ

ff

A A A A A,,j

A

5 ta Ttaqa^k^rwjLata 'nai ra TtXdtrj rc5 l'6Gi v7tsQExov0Lv], xal

akla %(OQCa^ sv ols td 0, J, rc5 ^sv TtKri^si l'6a tov-

toig, rc5 ds ^sys^si sxa^tov t6ov rc5 fisyC^ta. 6vfi'

Ttavta ovv td ^«(Jta, sv olg td @, /, Jtdvtcov ^sv

rc5i/, sv oig td A, sXd06ovd svtt ij di^XaoCova^ rc5v

10 8s XoLTtcjv x^Q''^ Tôv ^syCctov ^sCôva ^ dcTtXaeCova.

avtd ovv td ^ô^ta, iv olg td /, Ttdvtcov ^sv tmv,

' sv olg td A, ikdooovd ivtc, tciv 8s XoLTtdiv dvsv tov

^syCotov ^sCôva. Ttdluv ivtl yga^âC tivsg at jB, r*,

^, E^ Z, H rc5 t6ci) dkkdkav v7tsQsxov6ai ^ «otl d

15 vitSQOxd t6a ta ilaxC^ta, xal dkXai yQa^âC, icp^ dv

td K^ A^ rc5 iisv jtXi^d-Si toat tavtatg^ tip ds fisysd-Si

sxdcta t(5ai ta ^syC^ta. td ovv tstqdycava td ditb

4. snsl rmv nocQu^XrjiiccTav Nizze. in figura litteras 0, /,

K, A inuerso ordine habet F; litteras 0, I permutant ed. Ba-

sil., Torellius; corr. Nizze. 9. dntXdGia Nizze, ut lin. 10.

10. ^Bilov F; corr. Toreliius. 15. vnBQOxd taa] vnsQSxovacaCaccL F; corr, ed. Basil. 17. facci] laa?


maximum spatium AB maiorem rationem quam

® + I + K + A:I+K,sunt enim spatia quaedam, in quibus litterae Aj

aequali differentia inter se excedentia, et differentia

^ ^ & & ^7 /j r / f I I

K 1 K K K K K K

A A A A A A A

minimo aequalis est^), et alia spatia, in quibus litte-

rae 0, J, numero illis aequalia^ magnitudine autem

omnia maximo aequalia. omnia igitur simul spatia,

in quibus litterae 0, / sunt, minora sunt quam duplo

maiora omnibus spatiis, in quibus litterae A sunt^

maiora autem quam duplo maiora ceteris praeter maxi-

mum [p. 290, 5]. ipsa igitur spatia, in quibus sunt

litterae J, omnibus spatiis, in quibus sunt litterae A^

minora sunt, reliquis autem praeter maximum maiora.^)

rursus sunt lineae quaedam 5, F, A, Ey Z, H aequali

differentia inter se excedentes, et differentia minimae

aequalis est, et praeterea aliae lineae, in quibus sunt

litterae K^ Ay numero illis aequales, magnitudine autem

1) Quia ex hypothesi latera quadratorum excedentium in-

ter se aequali difFerentia excedunt, et differentia minimo aequa-lis est. spatia enim A inter se rationem habent, quam latera

illa (Eucl. VI, 1). sequentia uerba BTtsl lin. 4 — vitsQB%ov6Lv

lin. 5 subditiua esse putauerim. nam primum praue dicun-

tur spatia adplicata inter se aequali differentia excedere, deindedeest dlXcclcov lin. 5, et nXdtr} et vneQB%ovoiv parum Doricaeformae sunt; etiam particula rs insolito loco posita est. deni-

que insuauiter sermonis cursum interrumpunt. neque hae of-

fensiones coniectura facili et probabili tolli possunt.

2) Nam 6> = I. .

300 nEPI KiiNOEIAESiN KAI IIÂlPOEIAESiN.

naOuv Tttv icav aXXccXaLg re xal xa ^ByCexa Jtavtov

êv tcsv tetQaydvav tSv ajcb [TtaOav] tav tc5 l'6c3

aXXaXav v7i£Q8xov0dv ikdoôvd ivti ^ tQLnkdOia^ tcov

de XoiTt^v xcoQig Tov d%o tdg êyiCtag tetQaycovov

5 êLôva 7] tQLTtXdOLa. dedeLXtai yaQ tovto ev totg

TteQL tdv eXCxcyv exdedoêvoLg. td ovv x^Q^^^ ^^ otg

t6 K^ Ttdvtov êv twv ^âj^^tcov, iv olg tcc JB, F, z/, E^

Zy H^ iXd66ovd i6tLv, avtav de tavy iv olg td F, z/,

E, Z, i/, êCôva' caOte xal Ttdvta td ^ôjpta, iv olg

10 td J, K, Jtdvtcov iiev tcoi;, iv olg td AB^ AF^ A^ÂE^ ^Z, AH.) iXd60ovd i6tL, tcov de^ iv olg td AT^^z/, AE^ AZ^ AH, êCôva. drjXov ovv, otL Ttdvta

td x^Q^^f f'^ otg td @5 /, Kj A^ Ttotl êv td x^Q^f^^

iv olg td ABj AF, AA^ AE^ AZ^ AH^ iXd66ova

15 Xoyov exovtL tov^ ov eêL d ®A Jtotl tdv IK^ Ttotl

de td XoLTtd x^Q''^ "^^^5 ^'^ ^ '^^ AB, êCôva tov

avtov Xoyov.

7 '

El xa xcovov to^dg bnoLaôvv evdêCaL iitLipavcovtL

20 dnb Tor «vtov 6aêCov dyêvaL^ ecovtL de xal dkkat

evdêCaL iv td toi) xcovov to^d Tta^d tdg i7tLjl;avov6ag

dyiiivaL xal re^vov6aL dXXdXag, td TteQLexoêva imb

twv tâ^dtcav tbv avtbv eôvvtL Kbyov itot dXXaXa^

ov td tetqdycova td djtb tdv i7tL^pavov6dv' biiokoyov

2. Tittcdv xav] Torellius; navtoiv F, uulgo. fort. scrib.

tdv. 3. aXXaXoiv F; corr. Torellius. vmqBxovaai F; corr.

ed. Basil. 6. iXiv.oiv'] scripsi; fXtxav F, uulgo. 8. fcrty]

ivti B. 10. tu\ (alt.) addidi; om. F, uulgo. 11. kctC] svti B.

ta] addidi; om. F, uulgo. 16. rd] td Torellius, fortasse

recte. (ibi.^(ov F; corr. Torellius. y'] om. ed. Basil., Cr.,

Torellius. 23. not' dXXaXa'] Torellius; ttoti ta aXXa F, uulgo.

24. tcov fniipavovcoav F, uulgo.


omnes maximae aequales. quare quadrata omnium

linearum inter se et maximae aequalium minora sunt

quam triplo maiora omiiibus quadratis linearum inter

se aequali differentia excedentium, maiora autem quam

triplo maiora reliquis praeter quadratum lineae maxi-

mae. hoc enim in eo libro, quem de helicibus edi-

dimus, demonstratum est [prop. 10]. itaque spatia,

in quibus est littera K, omnibus spatiis, in quibus

sunt litterae 5, JT, z/, E, Z, H, minora sunt^), ipsis

autem spatiis, in quibus sunt litterae JT, ^, E, Z, H,

maiora. quare etiam omnia spatia, in quibus sunt

litterae J, K, minora sunt omnibus spatiis, in quibus

sunt litterae AB, AF, A/i, AE, AZ, AH, maiora

autem iis, in quibus AF, A/1, AE, AZ, AH adparet

igitur, omnia spatia, in quibus sint litterae @, /, K, A,

ad spatia, in quibus AB, AT, AA, AE, AZ, AH, mi-

norem rationem habere, quam &A : IK^), ad reliqua

autem praeter id, in quo est AB, maiorem rationem.^)

III.

Si lineae sectionem coni qualemHbet contingunt

ab eodem puncto ductae, et aliae quoque lineae in sec-

tione coni contingentibus parallelae sunt et inter se

secant, spatia partibus earum comprehensa inter se

eandem rationem habebunt, quam quadrata linearum

contingentium. et spatium partibus alterius lineae

1) Nam K= Â; itaque K-\-A==SK.2) Hoc est & -}- I -\- K+ A : I -\- K.

3) Nam summa spatiorum €>, 7, K, A ad summam spatio-

rum /, K eam habet ratiouem quam S-{-I-{-K-{-A'. I-\-K^cum basis eadem sit (Eucl. TI, 1); tum u. Eucl. V, 8. et est

S-Î + K + AÂ + B, I+K = \A-^\B.

302 nEPI KSiNOEIAESi;N KAI SÂIPOEIAEiiN.

dh i06sitaL xb neQLSxo^svov vno tcov tag stsQas yQa{L-

âs tâ^dtav ttp tstQaymva ta dito tdg STatlâvovGag

tdg TiaQaXXrikov avtd. dTtodsdsLKtac ds rovro iv totg

xcjvtxotg 6tOL%sCoig.

5 El xa dno tdg avtdg OQôyavCov X(6vov to^dg

dvo t^dâta djtotâd^scjvtL oncoCovv L0ag sôvta tdg

dLa^stQovg^ avtd ts td t^dâta L6a s60ovvtaL^ xal

ta tQCyova td iyyQa(p6^sva sig avtd tdv avtdv ^d-

6lv s%ovta totg tâfidteCCL xal i;Vog t6 avto. did-

10 fistQov ds xakso Ttavtog t^dâtog tdv 6C%a ts(ivov0av

tdg svd^sCag itdoag tdg JtaQa tdv pdotv avtov dyo-

^svag.

s6tcy oQdôycavCov koovov to^d d ABF^ xal aTto-

tst^Tâd^cj dit avtdg ^vo t^dfiata to ts AÊ xal

15 t6 &Br. s6tc!) ds tov ^sv AZIE tfidâtog dtdfistQog

d AZ^ Trot) b\ ®BT d BH^ xal s6tcov l'0aL aC AZ^BH. dsLXtsoVy otL td t^dâta tOa ivtl td AAE^ ©BF^xal td tQCycova td iyyQacpo^sva tbv SLQrj^svov tQOTtov

iv avtotg.

20 s6tG) drj TtQcotov d d7tots^vov0a tb stSQOV t^dâ

1. £<j(7£tTCft] snsLtcc F; corr. ed. Basil. 2. ra xstQccy{6va>^

scripsi; tstQayoavov F, uulgo; tstQayavcp Torellius. tc5] to

F; corr. Torellius. 3. tks] addidi; om. F, uulgo. nagaX-XrjXovg F; corr. Nizze. avtag F; corr. Torellius. 6. S' Cr.,

Torellius. 6. anotfiYjd-sovti F; corr. Torellius. oncoeovv']

D; onoGovv F, uulgo; onooaovv Torellius. 8. avtd^ avTavFBC*. 9. tfia(iatsGi F. 11. tdg] (alterum) Tav FBC*.14. avtag] avT cum comp. ag, insuper addita syllaba ag (cir-

cumflexu super g posito, ut solet) F. 16. IWcov] comp. uoca-

buli sGtto addito accentu acuto F; sGtcoGav uulgo*;« sGtco ed.

Basil. , Torellius, Cr. 18. syyQa(p6(isva\ (is supra scriptum

manu 1 F. 20. nQmtov «] scripsi; a om. F, uulgo.

r DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 303

comprehensum respondebit quadrato lineae contingen-

tis ei parallelae. hoc autem in conicis elementis^)

demonstratum est [Apollonius con. III, 17].

Si ab eadem sectione coni rectanguli duo segmenta

quoquo modo abscinduntur diametros aequales haben-

tia, et ipsa segmenta aequalia erunt et triangula iis

inscripta eandem basim habentia, quam segmenta, et

altitudinem aequalem. diametrum autem cuiusuis seg-

menti eam lineam uoco, quae omnes lineas basi eius

parallelas in duas partes aequales secat.

sit ABF sectio coni rectanguli, et ab ea abscin-

dantur duo segmenta A^E, &Br. et diametrus seg-

menti AzJE sit z^Z, segmenti autem @Br Imea. BH,et sit ^Z = BH. demonstrandum est, et segmenta

A^E^ ®Br aequalia esse et triangula iis ita inscripta,

ut diximus.

primum igitur linea alterum segmentum abscindens

1) H. e. elementis conicis ab Aristaeo compositis, ab Eu-clide emendatis et suppletis.

304 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAE^N.

cc ®r TCor^ OQd^ccg ta dta^BXQfp tag tov OQdôyGJVLOv

Koavov to^cig, leldcpd-G) de TtaQ* av dvvdvtai al dito

tdg to^dg, d diTtkaoCa tdg êxQL tov dôvog, Ttal €6t(a,

iq)^ a to M. dito de tov A Tidêtog dx^co eitl tdv

^ ^Z d AK, eTtel ovv dudêtQog evti d ATL rov t\id-

âtog, d te AE ^l%a te^vetac xatd to Z, y.al d

z/Z TtaQa tdv didêtQOV e0tL tdg tov OQôyoviov

xcavov to^dg' ovtcj yaQ dCxa te^vei itdeag tdg

TtaQd tdv AE dyoêvag. ov drj Xoyov eêi to te-

10 tQdycjvov To djto tdg AZ Ttotl to tetQdyovov to

dTto tdg AK, tovtov exstcj d N notl tdv M. ai drj

dito tdg toîdg ejtl tdv z/Z dyoêvai TtaQa tdv AEdvvdvtai td TtaQa tdv L6av ta N itaQajtLTttovta nld-

tog exovta, dg avtal djtoXa^^dvovtL ditb tdg /iZ

15 ttotI t6 /i TteQag, dedeLXtat ydQ ev totg xcjvLXotg.

dvvdtaL ovv xal d AZ l6ov tc5 TteQLexoêvG) vno tdg

N xal tdg AZ, dvvdtaL de xal d ®H l6ov tc5 TteQi-

exoêva vno te tdg M xal tdg BH^ eTtei ' xdd-etog

e6tLv d ®H eTtl tdv dtdêtQOv, eÔL ovv xa to te-

20 tQayavov tb dnb tdg AZ Jtotl tb tetQdyovov tb dnb

tdg ®H tbv avtbv Xoyov^ ov d N itotl tdv M, eitel

L0aL vTtexetvto al /IZ^ BH, eêL de tb djtb tdg AZ

1. @r] Br F] corr. BC. 13. N] M F; corr. Torellius.

19. l';toi ovv xa] scripsi; sxoi hocl F, uulgo; s%at xat TorelLius.

20. xas] tov per comp. F.


0r perpendicularis ad diametrum sectionis coni rect-

anguli sit. sumatur autem linea, cui parallelae lineae

a sectione ductae quadratae aequales sunt [spatiis ipsa

liac linea et ea parte diametri comprehensis,quam

linea a sectione ducta ad uerticem uersus abscindit] ^),

quae duplo maior est linea [a uertice sectionis] ad

axem coni ducta^), et sit ea, in qua est littera

M, et ab A linea, AK ad ^Z perpendicularis du-

catur. iam quoniam ^Z diametrus est segmenti, linea

AE m puncto Z in duas partes aequales secatur, et

^Z diametro sectionis coni rectanguli^) parallela eat.

ita enim omnes lineas lineae AE parallelas in duas

partes aequales secat. itaque, sit AZ^:AK^= N:M,quare lineae a sectione ad lineam z/Z ductae lineae

AE parallelae quadratae aequales sunt spatiis lineae

N aequali adplicatis latitudinem habentibus eas lineas,

quas ipsae a z/Z ad punctum jd uersus abscindunt.

hoc enim in conicis demonstratum est.*) itaque

AZ^ = NXAZ.sed etiam SH^ = Mx BHj quoniam ®H ad dia-

metrum perpendicularis est [et linea M parametrus;

tum u. Apollon. con. I^ 11]. itaque

AZ^:®H^ = N:Mjquia ex hypothesi /IZ = BH. sed etiam

AZ^^^AK^^N^M.

1) H. e. parametrus parabolae rB0.2) Quia antiquiores geometrae parabolam ita efficiebant,

ut conum rectum et rectangulum plano lateri coni parallelosecarent.

3) H. e. axi. cfr. Zeitschr. f. Math.^ Utt. Abth. XXVp, 44; p. 51 nr. 14.

4) H. e. N linea parametrus est, si diametrus est/iZ. cfr.

Zeitschr. f. Math., litt. Abth. XXV p. 52 nr. 15.


306 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2*AIP0EIAESiN.

tetQdycsvov xal notl ro cctco tag AK tbv avtov koyov^

ov a N %otl rai/ M. t<5ai aga ivtl ai ®H, AK,ivtl ds l'0aL xal ai BH, AZ,, Sots i'0ov i^tl ro tmo

tav 0H, BH n8Qi6XOH€vov rca vjcb tav AK^ AZ,5 lcov aQa i6tlv Ttal tb @HB tQLycovov t^ ÂZ tQi-

ycovG)' m6te xal tcc dvjikdîa, ifSti ds rov êv AÊtQiycovov iTtCtQitov tb AAE tfidâ, tov de &Br tQi-

ycivov inltQitov tb ®Br t^dfia, SrjXov ovv^ oti td

tfidfiatd sGtiv l'0a xal td tQiycova td iyyQacpoêvu elg

10 avtd, £i ds (irjdstsQa tdv td t^dyâta d7totefivov6dv

Jtot oQd^dg ivti td diafiitQC) tdg tov OQôycovtov

xoovov tofidg, djtoXacpd^Siâg ditb tdg SiafietQov tdg

tov OQdôycoviOV xcovov tofidg i6ag td diafiitQco td

rov ivbg tfidfiatog xal dnb tov JteQatog tdg dno-

15 Xafp%êi6ag not OQ^dg dxêCâg td dtafietQco, ro ye-

vofievov tfidfia exoctSQCo tcov tfiafidtcov i'0ov ieoeitai,

drikov ovv i0ti tb ytQOtedêv,

ndv %coQiOv tb TtSQiexoftevov vjtb o^vycoviov xcovov

20 tofidg Jtotl tbv xvxKov tbv exovta didfietQOV t6av td

fieiôvi diaiLstQco tdg tov o^vycoviov xcovov tofidg tbv

avtbv exsi koyov, ov d iXd66cov didfietQog avtdg notl

tdv fiei^co, tdv tov xvxXov didfietQOv.

e6tco yaQ o^vycoviov xoovov tofid, £9' dg td A, B^

25 Fj A, didfietQog de avtdg d fiev fiei^cov 'i6tco^ itp' dg

7. t(i7}(ici F; corr. Torellius; item lin. 8. 9. xiirjfiaTa F;corr. Torellius, ut etiam lin. 10. 11. dt,a(istQa)'} ftJ^s F; corr.

ed. Basil. 12. SLUfistQov] (ista F; corr. Torellius. latet in

hie compendium aliquod uocabuli Sid(istQog. 13. tk tov]

scripsi; tag tov F, uulgo. 18. s' Torellius. 21. Tdg] ta

F; corr. Torelliua. tofias] tofia F; corr. Torellius. 23.

DE CONOIDIBUS ET SPHAEEOIDIBUS. 307

quare ®H = AK [Eucl. V, 9]. sed etiam ^Z= BH.quare erit

@HXBH= AKX^Z.itaque etiam SHB = JAZ^)j et etiam dupla [quare

r®B = JEA].^) sed segmentum AJE tertia parte

maius est triangulo A^E, et segmentum SBF trian-

gulo ®Br [tstQccy. TtccQap. propp. 17 et 24]. adparet

igitur, et segmenta et triangula iis inscripta aequa-

lia esse.

sin neutra linearum segmenta abscindentium ad

diametrum sectionis coni rectanguli perpendicularis

est, abscisa a diametro sectionis coni rectanguli linea

diametro alterius segmenti aequali, et a termino lineae

abscisae linea ab diametrum perpendiculari ducta seg-

mentum inde ortum utrique segmento aequale erit.

adparet igitur, quod propositum est [Eucl. I xolv. ivv. 1].

IV.

Quoduis spatium sectione coni acutianguli com-

prehensum ad circulum diametrum maiori diametro

sectionis coni acutianguli aequalem babentem eandem

rationem habet, quam minor diametrus ad maiorem,

quae est diametrus circuli.

sit enim sectio coni acutianguli, in qua sint lit-

terae Ay B, Fy ^, diametrus autem maior sit linea, in

1) Cfr. Zeitschr. f. Math., litt. Abth. XXIV p. 179 nr. 7.

2) Nam EZ = ZA^ et altitudo eadem est. quareJEA = 2^AZ.

T«v] scripsi; nozi xccv F, uulgo; tovt sari, notl tdv ed. Basil.,

Torellius; „quae est circuli diametros" Cr.

20*

308 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAE^N.

rcc A, r, a de eld60G)v, icp* ccg tcc B, ^' e6€o de

xvxXog TCeQl didêtQov xav AF. deiKteov^ ort xo neQL-

exonevov xaQiov vnb rdg tov o^vycovLOv xoovov to^ccg

Ttotl tbv kvkIov tbv avtbv exei koyov^ ov d B^ notl

5 tdv FA, tovte6ti tdv EZ. ov drj Xoyov exet d BdTtotl tdv EZ, tovtov exetGi 6 Kvxlog, ev 6 tb ^,jtotl tbv AEFZ xvkIov. keyci)^ oti t6og e0tlv 6 Wxvxlog td tov o^vyaviov x(6vov to^d.

el yaQ ^rj e<5tLV

10 ^^ .-^=::=^~==:=^-^ _ t6og 6 W xvxkog

ta TceQtexofievc}

X^Q^^ ^'^b tdg

tov o^vyoviov

xcovov to^dg, edto

15 ># LJ >1 ^ jy jtQotov, el dvva-

tov, êLôv. dvva-

tbv dri eOttv etgtbv

Wxvxkov TtoXvyo-

vov iyyQaxlât aQ-

tioyovov fietôv

tov ABF/i x^~Qtov. iôfttfO"» drj

iyyeyQa^êvov.

iyyeyQacpdô de

25 h \^— \ Ttal etg tbv AEFZxvxkov evd^vyQa^-

ôv bôtov to iv

to W xvxko iy-

yeyQa^êvo,

8. Toc] xrj F; corr. Torellius. 16, (iblôv F; corr. Torel

lius. 24. da] scripsi; dij F, uulgo.

20

xal

qua sunt j4j P, minor autem ea, in qua 5, z/. sit

autem circulus, circum diametrum AF descriptus. de-

monstrandum est, spatium sectione coni acutianguli

comprehensum ad circulum eandem habere rationem,

quam BJ : FAy hoc est Bzl : EZ. iam circulus, in quo

est littera ^, ad circulum AEFZ eam habeat ratio-

nem, quam BJ : EZ, dico, circulum W aequalem esse

sectioni coni acutianguli.

nam si circulus W spatio sectione coni acutian-

guli comprehenso aequalis non est, sit prius, si fieri

potest, maior. potest igitur fieri, ut circulo W in-

scribatur polygonum [aequilaterum], cuius anguli pa-

res sunt numero, maius spatio ABF^}) fingatur igi-

tur inscriptum. et etiam circulo AEFZ inscribatur

figura rectilinea, polygono circulo ^P" inscripto similis,

et ab angulis eius lineae ad ^T diametrum perpen-

1) Nam fieri potest, ut circulo W inscribatnr polygonum (p),ita ut spatia relicta minora sint eo spatio, quo W spatiumABFJ excedit; u. de sph. et cyl. I, 6 p. 24. erit igitur:

W — p<^W—ABrjD:pi>ABrj.

310 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAESJN.

arcb rav ycovLccv ccvtov xad-eroL axdôâv iitl rav AFdcdfisrQOv, STtl ds ra (Saêta^ xad-' a ri^vovn ai xadîrot

rav rov o^vycavLOv xcovov ro^dv, evd^SLaL STfs^svx^ci)-

0av. i66sLtaL di] rt iv ra rov o^vycovLOv xmvov roâ

5 iyysyQafiîvov svd"vyQa^ôv , xal s%eL avro itotl tb

svd"vyQa^ôv tb iv rc5 AEFZ xvxlc) iyysyga^îvov

rbv avrbv loyov, ov a 5z/ Ttorl rdv EZ. iitsl ydg

ai ES, KA xadîroL stg rbv avrbv koyov rsrfirjvraL

xard rd M, 5, dijXov^ ort rb AE rQajti^Lov itorl rb

10 &M rbv avrbv s^sl koyov^ ov d @E Ttorl rdv B0.

d^d ravrd ds xal rtav dkkcav rQanst^Cav sxaerov rcBv

iv r(p xvxXg) Ttod"^ sxa6rov rcSi/ rQaTts^Lcav roiv iv ra

rov o^vycavLOV xoyvov roâ tovtov s^sl tbv Xoyov, ov

d E@ Ttotl tdv B®. sôvtL ds xal td tQLyava td

15 Ttotl tOL^ A, r td iv ttp xvxXo) Ttotl td iv ta tov

o^vymvLOv xcjvov toâ tovtov tbv koyov. s^sl ovv

xal oXov tb svd-vyQafiôv tb iv ta AEFZ xvxlip

iyysyQa^îvov Ttotl okov tb iyysyQa^îvov sv%"vyQa^-

ôv iv ta tov o^vyovLOv xcavov toâ tbv avtbv Ao-

20 yov, ov d EZ itotl tdv BA. ^^sl ds tb avtb sv^^v-

yQa^liov xal Ttotl tb iv rc5 W xvxXg) iyysyQa^fiivov

tovtov tbv loyovy dLotL xal ol xvxXol tovtov sixov

tbv Xoyov. l'6ov ccQa iotlv tb svd^vyQa^ôv to iv

rc5 5** xvxXc) iyysyQaînivov rcj svd^vyQa^fKp rc5 iv

25 ta tov o^vycovLOv xcctvov toâ iyysyQa^îvc)' otcsq

ddvvatov. ^stôv ydQ i^v oXov tov itsQLSxoîvov %g)-

QLOv vitb tdg tov o^vycavLOv xcavov to^dg.

2, tBfivovti] scripsi; tsfivovToci F, uulgo. 4. di]] scripai;

Ss F, uulgo. rt] Tt svd-vyQccfiiiov ed. Basil., Torellius. ego£vd"vyQcc(i(iov lin. 5. post iyysyQafifisvov addere malui (om. F,

uulgo). 5. avxo] scripsi; to avto F, uulgo. litteras H, S, 0,

P, 2 (E?), iVin figura cum F addidi; TTipse addidi. 9. ro SM]


diculares ducantur, et ad puncta, in quibus lin©ae

perpendiculares sectionem coni acutianguli secant, li-

neae ducantur. erit igitur figura quaedam rectilinea

sectioni coni acutianguli inscripta, et habebit ad figu-

ram rectilineam circulo AEFZ inscriptam eandem

rationem, quam B^:EZ. nam quoniam E®, KA^lineae perpendiculares eadem proportione in punctis

Mj B sectae sunt, adparet, trapezium AE ad 0M eam

habere rationem, quam ®E : B@}) eadem de causa

etiam cetera trapezia singula, quae in circulo sunt, ad

singula trapezia, quae in sectione coni acutianguli

sunt^ eam habent rationem, quam E® : B0. sed etiam

triangula ad puncta A, F in circulo posita ad triangula

in sectione coni acutianguli posita eandem rationem

habent.^) itaque etiam tota figura rectilinea circulo

AEFZ inscripta ad totam figuram sectioni coni acu-

tianguli inscriptam eam rationem habet, quam EZ:BA.^)sed eadem figura etiam ad figuram circulo ^ inscrip-

tam hanc rationem habet, quoniam etiam circuli hanc

rationem habebant [Eucl. V, 16].*) itaque figura cir-

culo W inscripta figurae sectioni coni acutianguli in-

scriptae aequalis est [Eucl. V, 9]. quod fieri non

potest. maior enim erat toto spatio sectione coni

acutianguli comprehenso.

1) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 11.

2) Habent enim rationem, quam TIRiTlS^ quae aequaliseat E@:B9.

3) ivalla^ aocl avvd^svtL ytocl ivuXXd^; tum quia

4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. X^IV p. 181 nr. 13.

ra @MF; corr. Torellius. 13. sxoovtiF^ uulgo; corr. Torellius.

15. ra] Torellius; trj F, uulgo. 20. avto to F; corr. TorelHus.

312 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S<t>AIP0EIAE5iN.

*ikAA' €6r(o, £i dvvarov, iXdeecov. TidlLV drj dvva-

rbv £is rdv rov o^vymvLOv xcovov rofidv iyyQdilâi

TCoXvycovov aQrLOJcXevQOv êtôv roi; ^ xvxXov. iyye-

yQd(p^co ovvj xal dno rdv yavLav avrov xadîroL

5 dx^BL6aL iitl rdv AF ix^s^Xri6%^G}6av Ttorl rdv tov

nvxlov 7C€QL(piQ£Lav. Ttdhv ovv i06£LraL rL iv ra

AEFZ xvkIg) ^vd^vyga^ôv iyy^yga^fiivov , o £l^£L

norl To iv Tcf Tor o^vycovLOv xcsvov roâ iyy^yga^-

fiivov Tov avrov loyov^ ov d EZ norl rdv B^d. iy-

10 yQacpivros ^ri xal £ig rbv W xvxXov oôlov avr^

d^Lx^fiîraL To iv rS ^ xvxkip iyy£yQaîiivov l'0ov

ibv Tc5 iv ra tov ol^vyavLOv xcovov rofia iyy^yâ^-

(livc)' 07t£Q ddvvarov. ovx ierLv ovv ovd£ ild06av

6 W xvxXog tov xcDQLOV Toi5 7C£QL£xofjLivov VTcb rdg

15 Tov 6i,vyovLov xmvov ro^dg. drjXov ovv^ oTt to £l-

QYifiivov %coQLOv Ttorl rov AEFZ xvxXov rbv avrbv

i%£L Xoyov^ ov d B^ TCorl rdv EZ.

a .

ndv %(XiQC0V 7C£QL£x6^£V0V vTcb 6i,vycovLOv xoovov

20 ro^dg jcorl Ttdvra xvxXov rbv avrbv £X£l Xoyov^ ov

To 7t£QL£x6fi£vov vTtb rdv dLaîrQCOv rdg tov b^vyco-

VLOV xoovov ro^dg Ttorl to d^tb rdg tov xvxXov dLa-

fiirQOv r£rQdyovcov,

£6rC0 yaQ Tt X^Q^^'^ 7C£QL£x6fl£VOV V7cb O^VyCOVLOV

25 xoovov TOftag, iv dt t6 X dLaîirQOL d£ £6rco6av rdg

Toi; b^vycovLOv xcovov rofidg aC AF, Bjd, fi£L^cov d£

3. noXvycoycavov F. 6. ti] tr} FBC*. 7. JEFZ] scripsi;

JE F, uulgo; AE TorelliuB. 8. to] Torellius; Ttxv F, uulgo.

iyYQUfpsvxos] scripsi; syysyQacpivtos F, uulgo. 18. s' To-relliuB.


sed, si fieri potest, minor sit [circulus W]. rursus

igitur iieri potest, ut sectioni coni acutianguli inscri-

batur polygonum [aequilaterum], cuius latera paria

sunt numero^), maius circulo W.^) inscribatur igitur,

et lineae ab angulis eius ad ^F perpendiculares duc-

tae producantur ad ambitum circuli. rursus igitur circulo

AEFZ figura rectilinea inscripta erit, quae ad figuram

sectioni coni acutianguli inscriptam eam rationem

habebit, quam EZ : BJ [p. 310, 5 sq.]. si igitur

etiam circulo ^ inscribitur figura ei similis, figura

circulo ^ inscripta demonstrabitur aequalis esse figurae

sectioni coni acutianguli inscriptae [p. 310, 16 sq.].

quod fieri non potest.^) itaque circulus W ne minor

quidem est spatio sectione coni acutianguli comprehenso.

adparet igitur, hoc spatium ad circulum AEFZ eam

rationem habere, quam BJ : EZ.^)

V.

Quoduis spatium sectione coni acutianguli com-

prehensum ad quemuis circulum eam rationem habet,

quam rectangulum diametris sectionis coni acutianguli

comprehensum ad quadratum diametri circuli.

sit enim spatium aliquod sectione coni acutianguli

eomprehensum, in quo sit littera X. diametri autem

sectionis coni acutianguli sint AFy B^y maior autem

1) Debebat esse: cuius laterum numerus per quattuor di-

uidi poBsit; ita etiam p. 308, 19 dictum esse oportuit.

2) Hoc fieri posse, eodem modo intellegitur, quo in circulo

demonstrauimus p. 309 not. 1.

3) Nam circulus W, figura inscripta maior, minor est figura

ellipsi inscripta.

4) Proprie hoc adparet, figuram ellipsi comprehensamaequalem eese circulo W\ tum u. p. 308, 4 et Eucl. V, 7.

314 HEPI Ki^NOEIAEiiN KAI S^ÂIPOEIAESiN.

10

15

a AF. xccl xvxkog £6tG), iv ca tb ?P*, dcdfjietQog ds

avtov cc EZ. dsixteov, ott tb X xciQiov Ttotl tbv WxvkXov tbv avtbv

6X6L Xoyov, ov tb

TCSQlSXOflSVOV VTlb

tav AF, B^ TCotl tb

aTtb tag EZ tetQoi-

ycavov.

JteQLyeyQccqid^G) dij

xvxlog TteQL dLcifie-

tQOv tav AF. tb drj

X x^Q^^'^ Ttotl tbv

xvxlov, ov dLciêtQos

a AF^ tbv avtbv

exsL loyov, ov tb

7t£QLex6fievov vitb

rai' AF^ B/i Ttotl tb

ccTtb tag AF tetQcc-

ycovov. dedeCxtaLyccQ

exov, ov a BA Jtotl

tav AF. exBi de xal 6 xvxkog^ ov dLccêtQog a AF,Ttotl tbv xvxlov, ov dLccêtQog a EZ^ tbv avtbv loyov,

ov tb ccTtb tag AF tetQccyovov Ttotl tb ccitb tag EZ,

dijlov ovv, otL tb X ;^(»^t02/ Ttotl tbv W xvxkov tbv

25 avtbv exeL Xoyov, ov tb vTtb tdv AF, BA neQLexo-

êvov Ttotl tb ccTtb tdg EZ tetQocyovov.

s'.

Ta TteQLexoêva x^Q^^ '^^^ o^vyavCov xoivov to-

fidg tbv avtbv exovtL koyov Ttot aXXaka, ov ta tcsqi-

1. ToJ om. F; corr. B. 23. xdq] (alt.) rijs F. 27. ^' Torel-

20

r DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 315

sit AF. et sit circulus, in quo sit littera W, et dia-

metrus eius EZ. demonstrandum est, esse

X: ^=^ AFXBJ '.EZ\

circumscribatur igitur [circum spatium X] circulus,

circum diametrum AF descriptus. habebit igitur spa-

tium X ad circulum, cuius diametrus est AF^ eandem

rationem^ quam habet AFxB^ : AF^. nam demon-

stratum est^ spatium X ad circulum, cuius diametrus

sit AF, eam habere rationem, quam B^ : AF [prop. 4].

sed etiam circulus, cuius diametrus est Ar, ad circu-

lum^ cuius diametrus est EZ, eam rationem habet,

quam AF^ : EZ^ [Eucl. XII, 2]. adparet igitur, esse

X:W= ArxBJ'. EZ^ [Eucl. V, 22].

VI.

Spatia sectione coni acutianguli comprehensa eaminter se rationem habent, quam rectangula diametris

lius. 28. TOfiav Torellius. 29. not* aXXocXa] noxi xu aXXoc

F; corr. ed. Basil.

316 IIEPI K^NOEIAEi^N KAI SÂIPOEIAEiiN.

£XO^£va vTto tav dLaêtQG>v tav tcov ol^vyGtviov xca-

VG>v tofiav Ttot aXlaXa.

E6to TCeQUxofieva xcoQia vjto oi^vycovCov xc^vov to-

fiag, iv olg ra ^, B. e6tco de xal t6 ^lv F/l TtsQt-

5 f;(jojU£i/oi/ vTto tav diaêtQCOv tag tov oi.vycovLOv xca-

vov toâg tag TtSQisxovCag tb A xg)Qlov, t6 ds EZTteQLSxofievov vjto tav dLafietQCDv tag eteQag tofiag,

dcLxteov^ OT^ t6 A x^Qôv Ttotl t6 B tbv avtbv

eX^L Xoyov, ov tb Fjd Jtotl tb EZ.10 AeXdcpd^G) drj avxXog Ttg, ev g) t6 ^, dnb de tdg

dLafietQov avtov tetQayovov ectca tb KA. ex£t> drj

TO (lev A x^Qôv Ttotl tbv W tcvxAov tbv avtbv X6-

yov, ov tb r^ Ttotl tb KA^ 6 de ^ xvxXog Ttotl tb

B x^Qôv tbv avtbv Xoyov^ ov t6 KA notl t6 EZ,15 driXov ovVy otL tb A x^Qôv notl tb B tbv avtbv

eXî Xoyov^ ov tb TA itotX t6 EZ.

nOPI2MA.

'Ex tovtov de (paveQov, otL td JteQLexbfieva x^Q^^v%b bfiOLav o^vycovicov xcovcov tofidv tbv avtbv Ao-

20 yov exovti ttot' dXXaXa^ ov exovtt dvvdfiet not dX-

XdXag aC bfioXoyoL dLafietQOL tdv tofidv.

1. Tav Tcov o^vyoavioov xeoycoj'] scripsi cum inargiiie ed. Ba-sil.; zfittna roov o^vycovicov 'kcovoov F, imlgo; tccv xov oi^vyooviov

tioavov Torellius. 3. toficcv Torellius. 5. tag'] ta F; corr. B*.

11. KA] KJF. St]] scripsi; Ss F, uulgo. 17. R mg. F. 20.

sxoovti bis F; corr. BV.^


r /-^^ A ^\/ ^

V /

sectionum conorum acutiangulorum comprehensa inter

se habent.

sint spatia sectione coni acutianguli comprehensa,

in quibus sint litterae

Ay B. rectangulum au-

tem Fz/ diametris con-

tineatur sectionis coni

acutianguli,

quae Aspatium comprehendit,

rectangulum autem KZ^ contineatur diametris

alterius sectionis. de-

monstrandum est, esse

A:B = rzf: EZ.

sumatur igitur cir-

culus aliquis, in quo sit

littera ^P*, et in dia-

metro eius construatur

A quadratum KA. erit

igitur A : W = TA : KA [prop. 5], et etiam

W:B = KA:EZ [prop. 5; Eucl. V, 16].

adparet igitur, esse A : B == TJ : EZ [Eucl. V, 22].

COROLLARIUM.

Hinc autem adparet, spatia sectionibus conorum

acutiangulorum similibus comprehensa eandem inter

se habere rationem, quam quadrata diametrorum sec-

tfbnum, quae sibi respondeant.^)

1) Nam similes ellipses eae sunt, quariim qui sibi respon-deant axes proportionales sint.

318 nEPI KiiNOEIAEiiN KAI X*AIPOEIAEftN.

r.

'O^vyfovcov xcovov toficcg dodêCâg koX yQecîidg dnotov xsvtQOv rag tov o^vyaviov xcovov tofiocg avsCta-

xov6ag OQdâg jcotl to inCnedov^ iv c3 ictLv a tov

6 6i,vy(ovL0v X(6vov toîa^ dvvatov iett xcovov evQstv

xoQvq)av sxovta tb nsQag tag dv£6taxov0ag svdêiag^

ov iv ra iitLipaveia i60evtaL d dodêloa tov o^vycovLOV

XC3V0V rofta.

dedoed^m tLg o^vyovLOv xcovov to^d, xal ditb tov

10 xevtQOv avtag evd-eta yQa^fid dve6taxov6a oQd^d Jtotl

tb ijCLTtedov^ iv co i6tLV d rot; o^vyovLov xcovov tofid,

SLa de tdg dve6taxov6ag evêCag xal tdg iXd66ovog

dcaîtQov inLTtedov tL ixê^Xi^^d^cOy xal e6tc3 iv avtS

d fiev iXd66c3v dLaêtQog d ABy tb de xevtQOv tdg

15 tov b^vycovLOv xcovov to^dg ro ^, d de djtb rov xiv-

tQOv dve6taxov6a oQd^d d JTz/, neQag de avtdg tb F.

d de tov o^vyovLOv xosvov rofta voftWeo TteQL dLa-

fietQOv tdv AB yeyQafiîva iv i7tL7tid(p 6q%^^ Jtotl

tdv r^, 8et Srj xmvov evQetv xoQvg)dv eôvta ro F20 6afietov^ ov iv td iTCLcpaveLcc i66eLtaL d tov b^vycovLov

xcovov to[id.

ditb drj roi5 F i%l td A^ B evêCat dx^£C6aL ix-

pepXi^^d^cav , xal ditb tov A dLax^cs d AZ, S6te ro

TteQLexofievov vnb tdv AE, EZ Ttotl tb tetQaycavov

25 To aTtb tdg EF roi;rov exsLv tbv Xoyov^ ov exst tb

tetQaycovov tb djtb tdg 7j^L6eCag tdg fieCôvog dLaî-

1. V Torellius. 6. svd^siag] repetit F. 9. ncovov] oA.

F; corr. B. 22. 8rj] Torellius; ds F, uulgo. svd-siai,

dxd-siaai s-n^s^lT^Gd-cov] scripsi; svd^sia ax&siaa fx^fjSXjjff-O-co F,

uulgo. 24. Tttv] zcav per comp. F; corr. Torellius. 25.

SXÎ' F; corr. TorelliuB. 26. rjfiLasiag rdg] scripsi; rdg om. F,

uulgo.


VII.

Data sectione coni acutianguli et linea a centro

sectionis coni acutianguli erecta perpendiculari ad pla-

num, in quo est sectio coni acutianguli, fieri potest,

ut inueniatur conus uerticem habens terminum lineae

erectae, in cuius superficie sit data sectio coni acu-

tianguli.

data sit sectio coni acutianguli et linea a centro

eius perpendicularis erecta ad planum, in quo est

sectio coni acuti-

anguli. et per li-

neam erectam dia-

metrumque mino-

rem ducatur pla-

num, et in eo sit

diametrus minor

AB^ et centrum

sectionis coni

acutianguli ^, et

linea a centro

perpendicularis

erecta Fz/, et terminus eius F. sectio autem coni acutian-

guli fingatur circum diametrum AB descripta in plano

ad r^ lineam perpendiculari. oportet igitur conum

inueniri uerticem habentem punctum F, in cuius super-

ficie data sectio coni acutianguli sit.

lineae igitur a F puncto ad puncta ^, B ductae

producantur, et ab A puncto ducatur linea AZj ita

ut ratio AEx EZ : EF'^ aequalis sit rationi, quamhabet quadratum dimidiae diametri maioris ad ^JT^.

hoc autem fieri potest, quoniam

320 nEPI KSiNOEIAES>N KAI 2$AIP0EIAESiN.

TQOv Ttoxi xo ajto ^r xaxQayovov. dvvazov de 86xlv,

inel îeLâv ioxlv 6 loyog xov, ov Exei xb vito xav

AA ^ z/5 TteQLexoêvov Ttoxl xo aito xag z/F xexQoc-

yovov. aito de xag AZ iTtCitedov dve6xaxexG) OQd-ov

5 Ttoxl xo ijtLTtedov. iv ca ivxL al AF. AZ. iv de rc5

iitL7ted(p xovxG) xvxlog yeyQag^dâ) jteQL dLaêxQov xav

AZy xal ccTto xov xvxXov xovxov xcavog e^xa xoQvcpav

^Xav xb r 6aiietov. iv dri xa iTtLCpaveCa xov xcovov

tovxov deLx^riîxaL iov6a d xov o^vycsvCov xmvov xo^d.

10 el yccQ ^v] iGxiv iv xa ijtLcpaveCa xov xcovov, dvay-

xatov^ eifiev xl 6aêtov iitl xdg xov o^vyovCov xcovov

xo^dg, o ^7] ioxLv iv xa iitLCpaveCa xov xcovov. voeC6d'Ci}

di] XL Caêtov keXa^êvov inl tdg xov o^vycavCov xco-

vov xo^dg xb 0, o ovx i6xLv iv xd i7tL(paveCa tov

15 xcovovy xal ditb tov S xdêxog dx^G) d @K iitl xdv

AB. i06eCxaL drj avxd OQd^d Jtoxl xb ijtCjtedov xo, iv

cj ivxL al AF. FZ. dnb 8e xov F iitl tb K evêta

dxêtaa ixê^^rjCd^ci), 6v[i7tL7ttetco de avxd td AZ xatd

tb Aj xal d7tb tov A dxâ) Ttot OQd^dg td ZA d AM20 iv tS xvxkfp tcj TteQL tdv AZ. xb de M voeCadô

fiexeoQOV i^tl tdg TteQLtpeQeCag avtov. d^ô de xal

TtaQd tdv^ AB dta êv tov A d SO, dLa de tov E;

d IIP. i7tel ovv tb êv vTtb tdv EA^ EZ TteQLexofie-

vov 7toxL xb djtb xdg EF xetQdyovov tbv avxbv ix^v

25 Xoyov, ov tb d7tb tdg rp,L6eCag tdg fieCôvog dLaêXQOv

Ttoxl tb d7tb xdg AF^ xb de d^tb xdg EF Ttoxl to vTtb

tdv En, EP, ov tb d7tb tdg AF Ttotl tb vTtb tdv

1. ^fi] supra scriptum manu 1 F. 2. ju-st^co F. 3. z/B]

AB F; corr. B. 5. hrC] svtrj F. 8. dri] scripsi; Ss F,

uulgo. 9. ovaa F, uulgo. alvycovtov F, 10. yuQ] addidi;

om. F, uulgo; ,,nam si non" Cr. 13. ^?/] scripsi; Ss F, uulgo;

„itaque" Cr. 17. FAZ ed. Basil., Torellius. 18. de] scripsi;


AEXEZ: En >A^XzJB: ^FV)porro a linea j4Z planum erigatur perpendiculare ad

id planum, in quo sunt lineae AFy AZ. in hoc autem

plano circulus describatur circum diametrum AZ^ et

in hoc circulo conus construatur uerticem habens

punctum T. iam demonstrabimus, in huius coni super-

ficie esse sectionem [datam] coni acutianguli.

nam si in superficie coni non est, necesse est esse

punctum aliquod in sectione coni acutianguli, quod

non sit in coni superficie. fingatur igitur punctum ali-

quod sumptum in sectione coni acutianguli, quod

in superficie coni non sit, et a @ puncto ducatur linea

®K ad lineam AB perpendicularis. haec igitur ad

planum, in quo lineae AT^ TZ sunt, perpendicularis

erit [Eucl. XI def. 4]. a puncto T autem ad K linea

ducta producatur, et lineae ^Z in puncto A incidat,

et a puncto A ad lineam ZA perpendicularis ducatur

linea ^M in circulo circum diametrum AZ descripto.

M autem punctum fingatur sublime in ambitu eius.

ducatur autem praeterea lineae AB parallela per Apunctum linea SO^ per E autem linea 7IP. iam quo-

niam EA X EZ : ET^ eandem rationem habet, quamquadratum dimidiae diametri maioris ad AT^ [ex hy-

pothesi], et ET'^ lEHxEP^ ^T^ : AA X AB%

1) Quo modo Archimedes hanc condicionem inuenerit, ne-scimus; ueram eam esse, ostendit Nizze p. 162— 63.

2) Est enim Er:En=jr:A^ (Zeitschr. f. Math., hist.

Abth. XXIV p. 178 nr. 4) o: ET^ : EH^ =^ JT^ : AJ^; sedEn^=^EnxEP, et AJ^ = A.JxJB.

Srj F, uulgo. 19. ccx^co] avsorayiitco? 26. vno rav] scripsi;

om. F, uulgo*; vno ed. Basil., Torellius.

Archimede», ed. Heiberg. I. 21

322 nEPI K5>N0EIAES>N KAI SÂIPOEIAESiN.

A/d^ ^/5, zhv avtov sx^l Xoyov ro vno rav AE^ EZ.

Ttotl to VJto tav UE^ EP, ov to tstQdycovov ro djcb

tds rj^t0SLag tdg ^SLôvog dLaîetQOV TCotl to vno tdv

Ajd^ z/jB. s6tLV de, cog ^hv tb vnb tdv AE^ EZ5 Ttotl tb vTcb tdv EIl, EPy ovtco ro vTtb tdv AA^ AZ,

Jtotl tb VTtb tdv A^Si^ AO. (hg 6e tb d%b tdg rjfit-

CeCag tdg fieLôvog dLaêtQOv Jtotl ro vnb tdv AAÂB, ovtcog tb aTcb tdg ®K tetgdyovov Ttotl tb vnb

tdv AK, KB. tbv avtbv aQa e^SL Xoyov tb vitb tdv

10 AA^ AZ Ttotl tb VTtb tdv Â, AO^ ov tb ditb tdg

&K tetQaycjvov itotl tb VTtb tdv AK^ KB. eêL de

Tcal ro VTtb tdv SA^ AO Ttotl tb ditb tdg FA tetgd-

yatvov tbv avtbv koyov^ ov tb vitb AK, KB Ttotl ro

dnb tdg KF tetQayovov. e%eL aQa xal tb VTtb tdv AAîb AZ neQLe%6iievov itotl tb ditb tdg FA tetQayovov

tbv avtbv Xoyov, ov ro ditb tdg SK jcotl tb djtb tdg

KF. roj de vjtb tdv AA^ AZ jteQLexoêvo l6ov e6tl

tb aTtb tdg AM tetQayovov* ev thilxvkXlo yaQ rc5

neQL tdv AZ nddêtog dxd^rj d AM. tbv avtbv aQa

20 'e%eL koyov ro ditb tdg AM tetQayovov Ttotl ro dnb

tdg Ar, ov ro dnb tdg 0K itotl ro djcb tdg KF.o6te in evdêLag i6tlv td F^ ®, M Gaêta. d ds

FM iv td iitLqâveLa i^tl roi) xcovov. dfjXov ovv, otL

xal tb S 0a{ieLov iv td iTtLcpaveCa i66eLtaL tov xo-

25 vov. vTtexeLto de ^rj elêv. ovk aQa iotl 6aêtov

ovdev inl tdg rov o^vyovCov xcjvov toîdg, o ovk

i6tLv iv td inLtpavsLcc ror JtQoeLQriêvov kovov. oka

1. JB\ AB F; corr. B, Cr. 3, taff iLsitovog] Torellius;

Tiyg iisilovoq F, uulgo. 4. EZ] EF F; corr. Torellius. 6.

A:sr\ AIS! F. 8. JB] AB F; corr. B, Cr. 10. jSiA] ZA F.

13. vwo] vno xcLv B, ed. Basil., Torellius. 19. aâ] om. F;

corr. Torellius. 25. ijteyisiTo Torellius.


habet AEX EZ : IJE X EP eandem rationem, quam

quadratum dimidiae diametri maioris ad A/J X JB[Eucl. V, 22]. est autem

AEXEZ: EnxEP== AAxAZiASx AO})

sed ut quadratum dimidiae diametri maioris ad

AAX ABy

ita est &K^ : AK X KB [Apollon. I, 21]. itaque erit

AAxAZ:SyixAO = ©X^ : AK X KB.

sed etiam

SAXAO: rA^ = AKxKB : Kr\^)

quare

AAXAZ: rA' = ©iC^ : Xr^ [Eucl. V, 22].

sed AAX AZ = AM^'^ linea enim AM in semicir-

culo circum AZ descripto perpendicularis est [tum u.

Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16].

erit igitur

AM^ : Ar^= &K^: KF^ [hoc est AM:Ar=@K: KF].

itaque in eadem linea posita sunt puncta F, &, M.^)

sed linea FM in superficie coni est [Apollon. I, 1].

adparet ergo, etiam punctum ® in superficie coni esse.

supposuimus autem, non esse. itaque nullum punctum

est in sectione coni acutianguli, quod in superficie

1) Nam cum IIE^^EJA, erit (p. 321 not. 2)

AE: En= AA:A:E:,et cum AO^EP, erit etiam (ibid.) EZ : EP= AZ: AO. tummultiplicando inuenitur proportio, quam quaerimus.

2) Nam FA: !S!A = TK: AK (Zeitschr. f. Math., hist. Abth.XXIV p. 178 nr. 4) et rA:AO=rK:KB. itaque multipli-

c^,ndo FA^ : ;s:Ax AO = FK^ : AKx KB\ tum JraUal (Eucl.

V, 16).

3) Nam FyliVf triangulum est, in quo transuersalis est K@,ut ex proportione illa AM:Ar=&K: FK sequitur (cfr. not. 2).

21*

324 IIEPI KS^NOEIAE.QN KAI L<ÂIPOEIAESiN.

ovv a xov oi^vyGivCov xcovov ro^cc iv ra iTtLtpuveCa

icrlv rov avrov k(ovov.

n-

'O^vycovCov xcovov roiiag dod^sCoag xal yQa^âg iirj

5 ogdâg dvs0raKov(Sag dno roi' xavrQOV rag rov o^v-

ycDvCov Kcovov ro^dg iv i7tL7Cad(p^ o ifSriv OQd-bv dv-

s6raxbg dLcc rdg erigag dLaîrQOv norl ro iTtCTtedov,

iv (p iorLV d rov o^vyovCov xcovov ro|uâ, dvvarov

ierL xcovov evQstv xoQV(pdv e%ovra rb TtsQag rdg dv-

10 s6raK0V(5ag svd^sCag, ov iv ra iTtLcpavsCcc i66sCraL d do-

- ^SL6a rov o^vycovCov xoovov ro^d.

s6rco St} dLa^srQog îsv rdg rov o^vycovCov xcovov

ro^dg d BA^ xivrQov ds ro z/, xal d z/F ditb roi)

xivrQOv dvs6raxov6a, cog siQT^raL. d ds roi) o^vycovCov

15 xcovov ro^d vosC6^co TtSQL dLa^srQOV rdv AB iv iitL-

7tsd(p oQd'^ Ttorl ro iTtCitsdov, iv (p ivrL at AB, Fz/.

dsL dri xoovov svqslv xoQvcpdv s%ovra rb F 6a^SL0v,

ov iv rd i7tL(pavsCcc i66eCraL d rov o^vyoovCov xcovov

rofia,

20 ov d)] ivrL L6aL at AF, FB, ijtsl d V^ ovx i6rLv

OQd^d Ttorl ro iitCTCsdov^ iv co i6rLV d rot» o^vycovCov

xoovov ro^d. s6rco ovv l'6a d ET rd FB' a ds Nsvd^sta i'6a s6rco rd rj^L6sCa rdg srsQag dLaîrQOv, a

i6rL 6v^vyr}g rd AB' xal dLa rov A dyôo d ZH25 TtaQa rdv EB. ditb d\ rdg EB iTtCnsdov dvs6raxsrco

OQd^bv jcorl rb iitCTtsdov^ iv a ivrL at AF^ ^B, xal

iv ra iTtLTtida rovrc) ysyQacpd^co JtSQL dLa^srQOv rdv

3. -9'' Torellius. 7. itozC] rt supra scriptum manu 1 F.

8. d tov] avtov F; corr. ed. Basil. 9. EvaGtccnovaccs F. 12.

drj] Torellius; Ss F, uulgo. 24. ta] a F; corr. Torellius.


coni, quem commemorauimus, non sit. ergo tota sectio

coni acutianguli in eiusdem coni superficie est.

VIII.


sectionis coni acutianguli non perpendiculari erecta in

plano, quod per alteram diametrum erectum est ad

id planum perpendiculare, in quo est sectio coni acuti-

anguli, fieri potest, ut inueniatur conus uerticem ha-

bens terminum lineae erectae, in cuius superficie sit

sectio coni acutianguli data.

sit igitur B^ diametrus sectionis coni acutianguli,

centrum autem z/, et linea ^F sl centro erecta sit,

ita ut diximus. sectio autem coni acutianguli fingatur

circum diametrum AB descripta in plano, quod perpen-

diculare est ad planum, in quo sunt lineae AB, Fzl.

oportet igitur conum inueniri uerticem habentem punc-

tum Fy in cuius superficie sit sectio coni acutianguli data.

lineae igitur AFy FB aequales non sunt, quoniam

linea Fzl ad planum, in quo est sectio coni acutianguli,

perpendicularis non est.^) sit igitur EF= FB. et

linea N aequalis sit dimidiae alteri diametro, quae

cum diametro AB coniugata est. et per A ducatur ZHlineae EB parallela. ab EB autem planum erigatur

perpendiculare ad planum, in quo sunt lineae AFj FByet in hoc plano describatur^) circum diametrum EB^ si

1) Si JTz/ perpendicularis esset, ^ F et TB recti coni latera

essent.

2) Sequentia uerba subditiua esse {yivyiXo? t} iXXBLipLq\ u.

not. crit. ad p. 826 lin. 1) ostendi Zeitschr. f. Matb., bist. Abtb.XXV p. 43 sq.; Pbilologisk Samfunds Mindeskrift (Hauniae 1879)

326 nEPl KSiNOEIAE.QN KAI SÂIPOEIAEiiN.

10

15

EB^ Bi ftfv l6ov £0x1 xb xexQccycovov xo ajto xccg NXC3 7t£QiB%oiiivc) vjto xccv Zz/, ^H, xvxlog, ei 8e î]

i(5xiv l'6ov, o^v-

yovCov acovov

xo^cc xocavxa,

S6X£ xo XEXQCCyO-

vov xo ccTto xag

ixigag diaîxQOv

Ttoxl xo ccTto xccg

EB xov avxov

£%£LV Xoyov , ov

£^£1 xo ccTtb xdg

N X£XQayG3V0v

Ttoxl xb VTtb xav

Zz/, z/if. xcljvog

de X^Xccg^d^G) xo-

Qvcpav '£%Giv xb T6a^£tov, ov iv xa

JP i7ticpav£Ccc i<36£C-

20 xai 6 xvKlog 7] a xov o^vycovCov xcavov xo^cc a 7t£Ql

did^£XQOv xccv EB' dvvaxov di i6xi xovxo^ ijt^l aitb

xov r iitl îâv xav EB d^d^^tâ OQd^d ivxi itoxl

xb ijtCTt^dov xb xaxd xdv EB. iv xavxa drj xa im-

(pav£Ca i6xl xal d xov b^fVyavCov xcovov xoîd d

25 7t£Q\ did^£XQOv xdv AB. £i ydQ î^ i6xiv, i66£Cxai

xi 6a^£tov ijtl xdg xov o^vycjvCov kcovov xo^dg, o

ovK i66£Cxai iv xa ijtiqâv^Ca xov xoivov. vo£C6dô Xi

6a^£tov k£laiiii£vov xb 0, o ovk i6xiv iv xa imcpa-

v£Ca xov Kcovov, xal ditb xov ® xdd^^xog d%d-c3 d ®K1. EB] EB HVJtXos 7} sXXsLipig F, uulgo; ultima uerba de-

leui. 5. TOfia] TOfiay FBC*. 11. sxslv] exsl F; corr. Torellius.


N^ = ZJ X ^Hy circulus^), sin minus, sectio coni

acutianguli eiusmodi, ut quadratum alterius diametri

ad EB^ eandem rationem habeat, quam

NîZJxJH})et sumatur conus uerticem habens punctum F, in cuius

superficie sit circulus uel sectio coni acutianguli cir-

cum diametrum EB descripta. hoc autem fieri potest,

cum [linea]^) a puncto F ad mediam lineam EBducta perpendicularis sit ad planum in EB linea po-

situm.*) in hac igitur superficie erit sectio coni acuti-

anguli circum diametrum AB descripta. nam si non

est, erit punctum aliquod in sectione coni acutianguli,

quod in coni superficie non sit. fingatur punctum

aliquod ® sumptum^ quod in superficie coni non sit;

et a puncto ducatur &K ad AB perpendicularis.

p. 3. Nizzius minus bene pro iXXeiipiq restitui uoluit 6h,vyai-

VLOV yiCOVOV TOflCC.

1) Tum orietur conus, cuius basis est circulus ille, uertexautem r, in cuius superficie erit ellipsis data.

2) H. e. ellipsis similis ellipsi circum ZHdiametrum descrip-

tae, in qua linea N perpendicularis est in puncto z/. sit enimhuius ellipsis diametrus altera d, prioris autem d^. erit igitur

^d^:i^ZH^ = N^:ZJxJH (Apoll. I, 21) = d,^ : EB\diametri igitur proportionales sunt; tum u. p. 317 not. 1.

3) In Graecis uocabulum svd^sta omissum est, quod sae-

pissime fit; u. index s. u. svd-SLcc.

4) Nam planum per EB positum perpendiculare est adplanum per AF, FB positum, et £B eorum sectio communis;tum u. Eucl. XI def. 4 (perpendicularis autem ab F ad EBducta hanc in duas partes aequales secabit, quia rE = rB)\itaque uti possumus prop. 7.

15. v.avoq ds] scripsi; 8s om. F, uulgo. '20. xoâ cc] scripsi;

a om. F, uulgo. 23. zctvzri F; corr. Torellius. 24. zoôc.

a] a addidi; om. F, uulgo. 25. saasixaL xl] sggslxl F; corr.

B. 27. sGGSLzai] soxaL per comp. F, uulgo.

328 nEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAEiiN.

inl zccv AB' a da FK iTtt^svx^staa ixfiepXrie^c) xal

6v^m7ititG) ta EB xata ro vl. dia ds tov A ax^G)

Ttg iv t(p oQdâ iTCLTtidc) tc5 xata tav EB not oQâg

ta EB a AM. to 6s M vosCo^ô ^stioQOv iv tcc

5 inLfpavsLa tov k(6vov. ax^G) ds xal ^lcc tov A naQa

tav AB a TIP. s0tLV drj^ (og lisv ro anb tag N ts-

tQayavov TCotl to vno tav Z^, jdH^ ovTog ro ano

raj AM notl t6 vno tav EA^ AB^ (og ds to vno

Tttz/ Zz/, ^H notl t6 vnb tav AA^ ^B^ ovTcog to

10 vnb EA^ AB notX tb vnb tav HA, AP. i^GSLtat

ovv^ G)g tb anb tag N tstQccycovov notl t6 vnb A^ÂB nsQLSxb^svov, ovtcog tb dnb tag AM tstQccycavov

notl t6 vnb tdv UA^ AP. sxsl 6i, (og tb dnb tdg

N tstQaycDvov notl tb vnb tdv A/i^ ^B, ovtog t6

15 dnb tdg ®K tstQayovov notl tb vnb tdv AK, KByinsl iv td avtd o^vyovLOV xoovov to^d xaxtitOL ivtl

dyiiivaL inl dLa^stQOv tdv AB. tbv. avtbv ccQa sxsc

koyov tb dnb tdg AM tstQayovov notl tb vnb tdv

HA, AP, ov tb dnb tdg @K notl tb vnb tdv AK,20 KB. sxGL Ss xal tb vnb tdv HA, AP notl tb dnb

tdg FA tstQayovov tbv avtbv Xoyov, ov tb vnb tdv

AKy KB notl tb dnb tdg KF. tbv avtbv ovv Ao-

yov sxsL tb dnb tdg AM tstQayovov notl tb dnb

tdg AF tstQayovov, ov tb dnb tdg ®K notl tb dnb

25 tdg KF. o6ts in' sv^slag ivtl td Fy 0, M ea^sta,

d ds FM iv td inLfpavsta tov x(ovov. drjXov ovvy

otL xal t6 ® 6a^SL0v iv td inLcpavsCcc i<Stl tov xcovov,

vnixsLto 6s ^r} sl^sv. cpavsQbv ovv iotLV, o s6sl dsCâL.

2. t6 A] To J ¥] corr. B* 3. to5 •natd] scripsi; xaraF, uulgo. 4. tSc] (prius) raff F, corr. Torellius. 15. tav'^

tmv per comp. F; corr. Torellius. 21. t6 vno Tav AK] not

a F; corr. ed. Basil., Cr. 22. ovv] supra scriptum manu 1 F.


et liiiea FK ducta producatur et lineae EB in puncto

A incidat. et per A ducatur linea ^M ad lineam

EB perpendicularis in plano perpendiculari in linea

EB posito. M autem punctum fingatur sublime in

superficie coni. ducatur autem etiam per A punctum

linea 11P lineae AB parallela. erit igitur

NîZJx JH == AM'^ : EA X AB%et praeterea erit

ZJX^H.AJX^B = EAXAB .HAxAP^)erit igitur

N^ : AJxAB = AM^ iHAxAP [Eucl. V, 22].

est autem N^:AJxJB = ®K^ : AK X KB, quo-

niam in eadem sectione coni acutianguli perpendi-

culares ductae sunt ad diametrum AB [Apollon. I, 21].

ergo AM^ : HA X AP= ®K^ lAKx KB. est autem

etiam HA X AP : FA^ = AKxKB : KT^ [cfr.

p. 323 not. 2]. erit igitur etiam

AM"" : FA^ = @iiC2 : KF'' [Eucl. V, 22]

[et AM : FA = &K : KF]. itaque in eadem linea recta

sunt puncta T, 0, M [p. 323 not. 3]. linea uero FMin superficie coni est [Apollon. I, 1]. adparet igitur,

etiam punctum ® in superficie coni esse. supposuimus

autem, non esse. adparet igitur id, quod demonstran-

dum erat.

1) NamAM^:EAxAB = d\ : EB* (Apollon. I, 21) = N^:ZJxJH(u. p. 327 not. 2).

2) Nam cum ZA/JrÊTLA, erit ZJ:A^==EA:UA, et

cum JHBfÂBP, erit etiam JH:JB = AB:AP (Eucl. VI, 4).

multiplicando igitur sequitur, quod quaeritur.

330 nEPI K^NOEIAE.<iN KAI SÂIPOEIAESiN.

^\

O^vycJVLOV xcjvov to^tt^ do^Si6ccg xal yQa^âg ccjio

rov KBvxQov ras rov o^vyavCov xc^vov roâg ^tj OQdâg

ccv£6raxov6ag iv eTCLTCsdc), o ionv ccTto rag irigag Sia-

6 liirQOv oQd-ov dv£6rax6g jcorl ro ijCLTt^dov, iv a i^tcv

a rot) o^vycovLOV xojvov roâ^ dvvarov ivri xvXivdQOv

£VQ£tv rbv aôva iôvra iic ^vd^^Cag ra dv£0raKOv6cc

yQa^â, ov iv ra i7CL(pav£Ca i66£CraL d dod^£t6a rov

o^vycovCov xcovov ro^d.

10 f(?ra> rdg dod^^Cdag rov o^vycjvCov xcovov ro^dg d

iriQa dLa^srQog d BA^ xivrQov d£ ro ^, d d£ FzJ

yQa^fid £(5ro dv£6raxov6a djco rov xivrQOv, cog £lq7]'

raL. d d£ rov o^vyovCov xcovov ro^d vo^Coxô 7C£qI

dcd^^rQOv rdv AB iv ijCLTCidc) oQdâ TCorl ro iTcCic^dov

15 ro, iv 09 ivrc aC AB^ F/l. d£t dr xvXlvSqov £VQ£tv

rbv dôva £%ovra iic ^vd^^Cag ra .Tz/, ov iv ra ijCL-

(pav£Ccf i60£CraL d dod^^tca rov o^vycjvCov xcovov ro^d.

djcb drj r(^v A^ B 6a^£Ccov dx^cov iCaQa rdv Pz/

at AZ, BH. d drj iriQa SLa^^tQog rdg rov o^vyco-

Ô vCov xojvov ro^dg TJroL L6a ivrl ra dLa6rriiiarL rdv

ATL., BH 7] ^£C^cov 7] iXd66cov. £6rco drj jCQor^Qov

l'6a ra ZH, d d£ ZH £6tcj TCor oQ^^dg ra FJ. dicb

df rdg ZH dv£6raxitG) ijcCjc^dov OQd^bv icotl tdv Fz/,

1. t Torellius. 3. raq\ r cum comp. aq addita insuper

littera a F. fi?i o^j-O-ag] om. F, uulgo; corr. Torellius; omitti

neq.uit propter lin. 12: (05 stQritca. 10. a srsQa] scripsi;

srsQa F, uulgo. 18. dx^cov] scripsi; axôa F, uulgo. 20.

rav] rcav F; corr. Torellius.


IX.


sectionis coni acutianguli erecta non perpendiculari in

plano, quod ab altera diametro erectum est perpen-

diculare ad planum, in quo est sectio coni acutianguli,

fieri potest, ut cylindrus inueniatur, axem habens in

producta linea erecta, cuius in superficie sit sectio

coni acutianguli data.

sit altera diametrus datae sectionis coni acutianguli

BAj centrum autem z/, linea autem JTz/ a centro erecta

sit, ita ut diximus. et sectio coni acutianguli fingatur

circum diametrum AB descripta in plano, ad id planum

perpendiculari, in quo sunt lineae AB, F^. oportet igi-

tur inueniri cylindrum axem habentem in producta linea

Fz/, in cuius superficie sit data sectio coni acutianguli.

itaque a punctis A, B ducantur lineae AZ, BHlineae F^ parallelae. altera igitur diametrus sectionis

coni acutianguli aut aequalis est distantiae linearum

AZj BH aut maior aut minor. prius igitur aequalis

sit lineae ZH,Qi ZH perpendicularis sit ad lineam Fz/.

et a linea ZH erigatur planum ad lineam Fz/ perpen-

332 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAESiN.

xal iv ra i7tL7tdd(p tovtg) xvKXog sCtco tisqI didnetQOu i

tccv ZH, xal djco tov kvkXov tovtov xvkcvdQog iotcj

aôva S1C0V tav Fjd, iv drj ta iTtLtpavsCci roi) kvXlv-

Sqov tovtov ictlv d Toi; 6i,vycovLOv xcovov to^d. sl i

5 yccQ ^17] ictLV, i66SLtaL tl ea^stov inl tdg tov o^vycj-j

VLOv Kcovov toiidg, o ovx ictLV iv td iTticpavsCcc rov

KvXCvdQov. vosCad^G) drj tL ea^stov XsXa^^svov inl

tdg roi) o^vycovCov xojvov to^dg ro 0, o ovx iotLv

iv ta iTCLCpavsCcc rov xvXCvdQov., xal aTtb roi} & d @K10 xdd-stog dxd^G) iitl tdv AB, icosCtaL drj avtd oQd^d

Ttotl tb inCnsdov^ iv cp ivtL aC AB^ FA. ditb ds rov

K d%%^Gi TtaQd tdv FA d KA, xal aTto roi; A dvs6ta-

xstG) d AM not oQd^dg td ZH iv ta xvxkcp ta TtsQl

tdv ZH. ro ds M vosCodô ^stscjQov iv td TtsQL-

15 cpsQsCcc tov rj^LXvxXCov rov nsQL dLd^stQOv tdv ZH.tov ai;r6i/ 8r] s%sl loyov ro tstQayGivov ro dno tdg

@K xadîtov Ttotl to vjto tdv AK, KB TtsQLSxo^svov,

xal tb aTtb ZT Ttotl tb vnb tdv AA^ AB itsQLSib-

" ^svov, iTtsl l'0a i6tLV d ZH td stsQa dLay^stQcp. s%si,

20 ds xal ro vnb tdv ZA., AH TtsQLSxo^svov Ttotl tb

VTtb AK, KB TtsQLSxo^svov^ ov tb ditb tdg ZT ts-

tQayGivov Ttotl tb djtb AA. l'6ov ovv ivtt tb vitb

tdv ZAj AH TtSQLSxo^svov rc5 dnb tdg ®K tstQa-

ycDVcp. sCtLv ds l'6ov xal ta aTtb AM. L6aL aQa ivtl

25 aC ®Ky MA xad^stOL' naQaXkriloL ovv ivtL aC AK^M®' w0ts xal aC AT, M® 7CaQalXi]XoL i66ovvtaL.

xal iv td ijtLcpavsCcx aQa i6tl tov xvXCv^qov d ®M,

10. 8ri] scripsi; Sb F, uulgo. 13. ra] rag F; corr. B.

17. xDiv'] rcov per comp. F; corr. Torellius. 18. AJ, J B]

scripsi; AJB ¥, uulgo. 21. ov] Xoyov, ov ed. Basil., Torel-

lius; „eam, quam" Cr. 22. AJ] AJ Tijg sXXsiipscos ¥, uulgo

{rocg Torellius); corr. Nizze; cfr. p. 325 not. 2. 23. xav] rag


diculare, et in hoc plano circulus sit circum diametrum

ZH descriptus, et in hoc circulo cylindrus construatur

axem habens J^z/. in huius igitur cylindri superficie

est sectio coni acutianguli [data]. nam si non est,

erit punctum aliquod in sectione coni acutianguli, quod

in superficie cylindri non sit. fingatur igitur punctum

aliquod ® sumptum in sectione coni acutianguli, quod

non sit in superficie cylindri, et a puncto ® ducatur

©iC ad lineam AB perpendicularis. haec igitur perpen-

dicularis erit ad planum, in quo sunt lineae AB^ i^z/

[Eucl. XI def. 4]. et a jK" puncto ducatur KA lineae

r^ parallela, et in puncto A erigatur AM Sid lineam

ZH perpendicularis in circulo circum ZH descripto.

M autem punctum fingatur sublime in ambitu semi-

circuli circum diametrum ZH descripti. itaque erit

@K' : AK XKB = ZT- : AA X AB, quoniam ZHaequalis est alteri diametro.^) sed etiam est

ZA X AH :AKxKB = Zr-. AA\^)quare ZA X AH= ®K^'^^) sed etiam

ZAxAH= AM^^)quare lineae perpendiculares ©iC, MA aequales sunt.

itaque AK j: M® [Eucl. I, 33]. quare etiam AT:^ M@[Eucl. XI, 9]. itaque ®M in superficie cylindri est,

1) Itaque ZF dimidiae alteri diametro ellipsis aequalis est;

et AJ = JB; tum u. Apollon. I, 21.

2) Nam ZA:AK=Zr:AJ, quia z/F+^Z, et

AH:KB = rA:JK (quia AK^JF) =Zr:AJ(quia AK^JF); u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178m-. 2.

3) Quia AJ = JB, et igitur AJxJ:b = AJ^.4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16.

per comp. F; corr. Torellius. za] xo F. ,26. eggovvxuC\savti F; corr. Torellius; fort. ivti.

334 nEPI KSiNOEIAESlN KAI SÂIPOEIAESiN.

insl djco rov M iv xa iTtKpaveia iovtog axtai naQCc

TOf aôva. drjXov ovv^ ott xal ro @ iv ta innpaveCa

i6tlv avtov. vTtixsLto 66 ^ri el^sv. (pavsQov ovv

iotLv, o sdsi dsiât.

5 dijXov 6i]y otL xal 6 xvXtvdQog 6 TtsQLlaii^dvov

o^^^g i06SLtaLy s'C xa 71 d stsQa dLa^stQog l6a tc5

dLa6triâtL tdv dito tmv nsQdtcov tdg stsQag dLa-

liStQov dyiisvav JtaQa tdv dvs6taxov6av sv^siav.

s6t(o itdkLv d stsQa dLa^stQog ^sC^cov tdg ZHj

10 xal L6a s6tc3 d IIZ ta stSQa dLa^stQC). dito ds tdg

UZ iitCTtsdov dvs6taxsto 6q%ov notl t6 STtCitsdov to,

iv (0 ivtL ai JlB. F/J. xal iv tco iTtLJtsdca tovto

xvxXog s6tG) TtsQL did^stQov tdv nZ^ d%6 ds tov

xvxXov tovrov xvXLvdQog s6tG) dôva syov tdv ziP,

15 iv drj ta ijtLqâvsCa Toi) xvXCvdQOv tovtov dLa tov

avtov dsLxd^rj^staL iov6a d tov 6^vycovCov xovov to^d,

aAA' s6tc3 iXd66cov d stSQa dLdpstQog tdg ZH,0} 8ri nsttfiv dvvdtaL d ZT tdg r\\i,L6sCag tdg stSQag

dLa^stQov s6tco to dito tdg F^ tstQaycovov. xal dito

20 Tot5 S dvs6taxstco yQa^^d L6a td rjiiL6sCa tdg stSQag

5. dijXovl 8riX F. nsQiXapb^dvmv] scripsi; 7tSQtXcc(i§uv(ov

xav sXXsiipiv F, uulgo; nsQiX. rdv tov o^vyôvCov yimvov tofidv

Nizze; u. p. 325 not. 2. 6. ^ a] scripsi; rj F, uulgo. 7.

zav] scripsi; xccv F, uulgo. 9. t' F; corr. ed. Basil., Cr.

;

cfr. Quaest. Arcli. p. 123—24. cc] addidi; om. F, uulgo. 12.

ai AB^ rj] d BFJ F; corr. Torellius. in figura litteras par-

tim permutauit, partim om. F. 16. ov6a F, uulgo. 17. lk

F; corr. ed. Basil., Cr. 18. iiSL^cav F; corr. Torellius.


quoniam a puncto M, quod in superficie est, axi par-

allela ducta est. adparet igitur, etiam punctum ®in superficie eius esse. supposuimus autem, non esse.

constat igitur id, quod demonstrandum erat.

lam hoc quoque adparet, cylindrum comprehenden-

tem [ellipsim] rectum esse, si altera diametrus [ellipsis]

aequalis sit distantiae linearum a terminis alterius

diametri lineae erectae parallelarum ductarum.^)

rursus altera diametrus maior sit linea Z if, et

nz aequalis sit alteri diametro. et ab 7IZ planum

erigatur ad id planum perpendiculare, in quo sunt

lineae AB, ^-^? ^t in hoc plano sit circulus circum

diametrum UZ descriptus, et in hoc circulo cylindrus

construatur axem habens ^P. in huius igitur cylindri

superficie eodem modo demonstrabitur esse sectio coni

acutianguli.^)

sed minor sit altera diametrus linea ZH. spatium

igitur, quo maius est quadratum lineae ZT quadrato

dimidiae alterius diametri, sit TS^. et ab S puncto

erigatur linea ^N dimidiae alteri diametro aequalis

1) Nam iAZH et ZHB recti snnt.

2) Et utriusque cylindri superficies eadem est.

336 nEPI KSiNOETAEiiN KAI SÂIPOElAEiiN.]

I

dtaiisrgov oQd-cc Ttorl ro enCTCBdov^ iv a ivri at AB,j

jTz/, a ^N^ xb $e N voh^^co êrecaQOv. a ovv FN\

l'6a ivrl ra FZ. iv drj ra ijtLTtedc), iv co ivri at i

ZH, FN^ KvxXog yeyQacpd^co TteQt didêrQOv rav ZH' ,

5 7]êL 6e ovrog dia 701; N" xal ccTto roi5 xvxkov xv- \

XivdQog e6ro aôva excov rav F^. iv drj ra iTticpaveicc 1

rov xvXCv6qov rovrov ierlv a rov o^vycovCov xcovov

ro^d. el yccQ ^rj i^nv, i66eCrai n 6a^stov iit avrd^^

ovx i6riv iv ra ijticpaveCa rov xvICvSqov. XsXdcpd^co

10 di] n 6aêtov ijt avrdg rb @, xal d &K xddêrog|

dxd^co iitl rdv AB^ xal ditb rov K itaQa rdv T/1 e6rco '

d KA, xal aTtb rov A d^^co Ttor^ OQd^dg ra ZH iv rco

TiîxvxlCcp ra TteQi didêrQOv rdv ZH d AM. voeC6d^co

de rb M inl rdg jteQicpeQeCag rdg roi; rjiiixvxXCov rov jteQl

15 rdv ZH, xal ditb rov M xddêrog dixtto inl rdv KAix^Xrjxtetâv d MO. i66eCrai d\ avrd oQd-d Ttorl ro

3. ivrl ra] svrcc F; corr. B. 4. toiv] xa F; corr. Torel-

lius. 5. v.vXiv8Qoq] xov v.vXlv8ôv F; corr, B*, Cr. 6. rav]

scripsi; tcov per comp. FAD; xov BC, ed. Basil. , Torellius.

figuram minus bene delineauit F. 12. tu] xccg F; corr. To-rellius. 13. rccv ZH] tav ZMH F; corr.' B, Cr. 14. nsgi-

(fSQSiag tag] addidi; om. F, uulgo; „in arcu semicirculi" Cr.


et perpendicularis ad planum, in quo sunt lineae AB,

Fz/, et N punctum fingatur sublime. itaque erit

jriV=rZ.^) in eo igitur plano, in quo sunt lineae

J XZH, FN, circulus describatur circum diametrum ZH,

is igitur per N ueniet [quia ZF = FN = FH]; et

in hoc circulo construatur cylindrus axem habens F^.in huius igitur cylindri superficie est sectio coni acuti-

anguli. nam si non est, erit in ea punctum aliquod,

quod in superficie cylindri non sit. sumatur igitur

aliquod punctum [eius modi] in ea, 0, et linea @Kducatur perpendicularis ad lineam A B, et ab K ducatur

KA lineae F^ parallela, et ab A ducatur AM Sid

lineam ZH perpendicularis in semicirculo circum dia-

metrum ZH, M autem fingatur in ambitu semicirculi

circum ZH descripti positum; et ab M ad productam

lineam KA perpendicularis ducatur .MO. ea igitur

1) Nam FN^^riEi^-i-NS'' (Eucl. I, 47), et ex hypothesiest rz"^ = rS'^ -\- NS^, quia N^ dimidiae diametro aequa-lis est.

Archimedes, ed, Heiberg. I. 22

338 HEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAEiiN.

inCnedov^ iv ca ivtt ui AB^ r^, ijcsl tiot o^d^ccg ivti

a KA ta ZH. €6tiv drj^ cog fisv t6 cctco tag MOTtotl t6 ccTto tag MA, ovtcog to dno tccg SN notl to

ano tag NF, (og ds to ano tag MA notl to vtco

5 Ttti/ AK^ KB, ovtcjg to dno FN Ttotl to dno tdg

A/4^ insl t6 ^£v djco tdg MA l'6ov i6tl ta vtco tdv

AZj AH 7C£Qis%oîvci ^ t6 de dno tdg FN t<p dno

tdg rZ. e6tiv aQa, d)g to dnb tdg MO tatQdycovov

TCOtl t6 vtco tdv AK^ KB, ovtcog to djco tdg SN10 Tcotl t6 djco tdg A ^. evti ds xal t6 dno tdg K® tetgd-

ycavov notl t6 vtco tdv AK, KB, cog tb dnb tdg SNnoti tb dnb tdg AA^ ijcsl i6a i6tiv d SN td rjîîa

tdg itSQag diaîtQOv. drjXov ovv^ oti l'6ai ivtl aC

MO, ®K xadîtoi, S6t£ naQaXXrikoi at KO, @M.15 insi ds d M® TCaQa tbv dôvd ivti tov xvXivdQOv,

xal tb M 6a^£i0v iv ta i%icpav£ia avtov, dvayxatov,

xal tdv M® iv td imcpavîa £i^£v TOt> xvXivdQov,

cpavsQbv ovv y oti xal tb @ iv td imcpavsicc ivtl

avtov. ovx riv ds. drjXov ovv^ oti avayxatov i6ti

20 tdv Toi5 o^vycoviov xoovov toîdv iv td imcpavsia sl^sv

tov xvXivdQOv.

1. ttot'] noTL F. 7. to] tg) F; corr. Torellius. 9. t6

vwd] vno F; corr. Torellius. 13. tW] ica F; corr. Torel-

lius. 14. nciQaXXriXoi] scripsi; igul F, uulgo. KO^ K&F; corr. Torellius. 15. fVTt] sv Trj F; corr. B.


perpendicularis erit ad planum, in quo sunt AB, Fz/,

quia KA JL ZH^) erit igitur

MO^ : MA^ = SN^ : NF^, ^)

et MA^ : AKxKB = FN^ : A^^, quoniam

MA'' = AZxAH et TiV^ = rz\^)

erit igitur [Eucl. V, 22]

MO^ : AKxKB = SiV^ : A^^;

est autem etiam K®^ : AK X KB = S N^ : Azi\quoniam SN aequalis est dimidiae alteri diametro

[Apollon. I, 21]. itaque adparet esse MO = &K;quare etiam KO ^ ®M [Eucl. I, 33].*) quoniam autem

linea M& axi cylindri parallela est^), et punctum Min superficie eius positum^ necesse est, etiam lineam

M& in superficie cylindri esse. adparet igitur, etiam

punctum @ in superficie eius esse. sed [ex hypothesi]

non erat. adparet igitur necesse esse, sectionem coni

acutianguli in superficie cylindri esse.

1) Quia KA + TJ et FJ JLZH. quoniam igitur KA±.ZHet AMJ_ZH, erit ZHA.&MOK (Eucl. XI, 4); itaque

ABHZ±.@MOK (Eucl. XI, 18);

iam quomam MOJ.KA, erit (Eucl. XI def. 4) MO _L ABHZ.2) Nam ISIN ^ MO (Bucl. XI, 6) et NF ^ MA; itaque

LN= M (EucLXI, 10) et /. ^= O == 90"^. itaque Nr^r^MA O,et erit (Eucl. VI, 4) MO:MA = SN:Nr.

3) Nam AZx AH : AKx KB = TZ^ : Ad^ (p. 333 not. 2)et MA^ = AZxAH (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p.181 nr. 16) et riV=rZ (p. 337 not. 1).

4) Nam MO ^ @K, quia utraque ad ABHZ perpendicu-laris est (tum u. Eucl. XI, 6); nam de MO u. not. 1; de @Ksequitur inde, quod ellipsis ad ABHZ perpendicularis est et

&KJ_AB (Eucl. XI def. 4). lin. 14 pro iWt requiritur, quodrestitui, nuQaXXr^XoL; cfr. p. 332, 25. permutata sunt com-pendia horum uerborum.

5) Nam KO^^jr-, tum u. Eucl. XI, 9.

22*

340 nEPI K^NOEIAESJN KAI S<ÂIPOEIAESJN.

OtL êv Ttccg Kcovog Ttotl xcdvov tbv 6vyxeLÊVov

£X£L Xoyov £x t£ tov t(ov âGCoav Xoyov xal ix tov

t^V VîoV^ CCTtodELXVVtCCL VTCO t(DV TtQOtEQOV. CC CCVtK

5 df a7to5£L^Lg ivtt xaL, dLOtL Ttav aTtotââ xgjvov Ttotl

ccTtotââ xcovov tov 0vyK£L^£vov Xoyov £X£L £X t£

rov tcov â^LCJV Xoyov xal ix tov tcov vipiov.

xal otL Ttdg toôg xvXCvdQov tQLTtlaoCov i6tl tov

ccTtotyidâtog tov xcovov tov ^ccClv Eôvtog tav avtccv

10 rw ro/iACi) xal vipog l(?ov, a avtcc aTtodEL^Lg, ccitEQ xal

otL xvXLvdgog tQLjtlccOLog i0tL tov xcivov rou ôcOlv

Eôvtog tccv avtccv tcj xvlCvdQG) xal vipog i'6ov.

ta .

El xa ro OQôyiaviov xc3V0£Ld£g iitLitidfp tâd^fj

15 Slcc tov aôvog 7] itaQcc tbv aôva, a rofta i06£CtaL

OQdôycJvCov ;ca9V0U to^cc a avta ta 7t£QLXa^âvov6a

tb 6%Yiâ. dLcc^£tQog df avtdg i06£CtaL a xotva to^d

tcov ijtLTtidov tov ti^vovtog tb (?%^fta xal roi) dta

rou aôvog d^îvtog oqOôv jtotl ro iTtCit^dov ro ti^vov.

20 £L di xa t^ccd^fj t(p iTtiTtidcp oq^'^ itotl tbv dôva,

d to^d xvxXog i06£CtaL tb vivtQOv e^cov ijtl tov

dôvog.

£L xa tb dii^kvycovLOv xcovo£Ld£g ijtLJtidip rîiaO" rj

dLa roi) dôvog r/ TtaQa tbv dôva i] dLa tdg xoQvcpdg

25 rot» xcovov tov 7t£QLi%ovtog tb xcovo£Ldig, d to^d i66£C'

1. i^' F; la Torollius. 3. xov] (alt.) tcov per comp. F;corr. BD. 5. diozi] ort Nizze. 13. ly F; t^' Torellius.

15. a^covog F. TtaQa] per comp. F, 16. xojvou] xcovost^fog F;

corr. Torellius. or] addidi; om. F, uulgo. 20. riirid-r} F;

corr. Torellius. 24. rj dicx] r/ om. F; corr. Torellius.


X.

Quemuis conum ad [alium] conum rationem ex

ratione basium et ratione altitudinum compositam habere,

a prioribus demonstratum est.^) eodem autem modo

demonstratur, etiam quoduis segmentum coni ad [aliud]

segmentum coni rationem ex ratione basium et ratione

altitudinum compositam habere.

et quoduis frustum cylindri triplo maius esse

segmento coni basim habenti eandem, quam frustum,

et altitudinem aequalem, eodem modo demonstrabitur,

quo demonstratur, cylindrum triplo maiorem esse cono

basim eandem habenti, quam cylindrus, et altitudinem

aequalem. ^)

XI.

a) Si conoides rectangulum plano secatur per axem

posito uel axi parallelo, sectio erit sectio coni rectan-

guli eadem, quae figuram comprehendit; diametrus

autem eius sectio communis erit plani figuram se-

cantis et plani per axem ducti ad planum secans per-

pendicularis.

sin plano ad axem perpendiculari secatur, sectio

erit circulus centrum in axe positum habens.

b) Si conoides obtusiangulum secatur plano uel per

axem posito uel axi parallelo uel per uerticem coni

conoides comprehendentis posito, sectio erit coni obtu-

1) Sequitur ex Eucl. XII, 11 et 14 coniunctis; cfr. de spb.et cyl. I lemm. 1 p. 80.

2) Hoc demonstrauerat Eudoxus; u. de sph. et cyl. I p. 4;cfr. Eucl. XII, 10.

342 nEPI KSiNOEIAE^N KAI 2:*AIPOEIAE5JN.

rac cc^^XvycovLOv xcovov rofia, sl êv xa dicc rov aôro^,

a avra ra TCSQiXa^pavovCa ro Oj^^rjâ, el de xa Ttaga

roi' aôva, oôia avra^ el de xa dicc rag TcoQvcpag rou

Kcjvov rov 7teQie%ovrog ro xcovoeideg, ovx oôia. did-

5 [lerQog de rag ro^dg e06eirai a xoiva roâ rc5v eiti-

TtedcDV rotJ reîvovrog rb ^xrjâ xal rov dxêvrog did

roi; dôvog oQd-ov Ttorl ro rgî/oi' eTtiTtedov,

et xa râd^rj OQd^cj ra e7tL7tid(p Jtorl rov dôva,

d ro^d y.vnXog eOCeCrai ro TcevrQOv eiav enl rov

10 dôvog.

Si xa rcjv 6q)aiQoeidec3v <5%YiadrGiv OTtoreQOvovv

eTtiJtedc) râd^rj did rov dôvog ij Ttagd rov dôva, d

roiid e06eirai o^vyaviov xcovov rofia, ei êv xa did

rov dôvog, avrd d 7teQiXa^^dvov(ja ro c%Yiâ, et de

15 xa 7taQd roi' dôva, oÔia avta. didfierQog de rdg

ro^dg eÔeCrai d noivd ro^d rcjv eTti^tedcov rov re^-

vovrog ro ^x^ôc nal rov d%êvr6g did rov dôvog

OQdôv Ttorl ro reîvov eTtC^tedov.

el de xa râd^fj rc5 e7ti7tedc) OQdâ 7tor\ rov a|o-

20 va, d ro^d xvxXog e66eCrai rb xevtQOv e^cjv enl rov

dôvog.

et xa rcov eiQrjêvcov ij%ri^drG)v oTtoiOvovv eTti-

Tteda râd^f] did rov dôvog, at d^tb rcov 6a^sCcov

rcov ev ra eTticpaveCa rov (5%riârog ^rj e7ti rdg ro^dg

25 eovrcov xaxteroi dyoêvai e7tl ro re^vov eitC^tedov evrog

7te6ovvtai rdg rov ^^riâtog ro^dg.

rot'rci3t' de 7tdvrc3v cpaveQaC evn at a7todei^Ceg.

1. Ku] addidi; om. F, uulgo. 2. d] addidi; om. F, uulgo.

7tDCQ(xXocfi§DCvovGu {TtuQK pei comp.) F; corr. Torellius. xof]

scripsi; v.cci F, uulgo. 3. xa] scripsi; kcci F, uulgo. 4. xo-

vosidsg F. 8. r(ir}d-ri F; corr. Torellius. 12. snBnsSco F.

riiri^ri F; corr. Torellius. 13. v.ot] scripsi; xat F, uulgo. 15.


sianguli sectio, si per axem, eadem, quae figuram

comprehendit, sin axi parallelo, ei similis , sin autem

per uerticem coni conoides comprehendentis, non similis.

diametrus autem sectionis erit communis sectio plani

figiiram secantis et plani per axem ducti ad plauum

secans perpendicularis.

si plano ad axem perpendiculari secatur, sectio

erit circulus centrum in axe positum habens.

c) Si utralibet figurarum sphaeroideon plano secatur

per axem posito uel axi parallelo, sectio erit coni

acutianguli sectio, si per axem, ipsa sectio figuram

comprehendens, si plano axi parallelo, ei similis. dia-

metrus autem sectionis erit sectio communis plani

figuram secantis et plani per axem ducti ad planum

secans perpendicularis.

sin plano ad axem perpendiculari secatur, sectio

circulus erit centrum in axe positum habens.

d) Si quaelibet figurarum, quas commemorauimus,

plano per axem posito secatur, lineae a punctis in

superficie figurae positis, sed quae in sectione non

sint, ad planum secans perpendiculares ductae intra

sectionem figurae cadent.

harum autem omnium rerum demonstrationes mani-

festae sunt.^)

1) Nonnullas harum propositionum demonstrauerunt Com-mandinus annotat. fol. 37, Riualtus p. 271, Torellius p. 314 sq.,

Nizzius p. 168 sq.

xa] scripsi; xat F, uulgo. 16. rofiu] om. F; corr. Torellius.

19. na] scripsi; xai F, uulgo. r(ir]d'rj F; corr. Torellius. 23.

tfirid^r} F; corr. Torellius. 25. Bcovrcov F; corr. Torellius.

27. q)av£Q(XL] scripsi; q^ccvsQOv F, uulgo.

344 nEPI K^NOEIAEiiN KAI X*AIPOElAEJiN.

El' xa ro OQdôyaviOv xcovoeLdsg iTttJtsdc} râd^rj

firiTS dia tov aôvog ^t^ts TtaQo. tov aôva ^rits jcot'

OQdâg ta a|oi/t, a toâ i60eitai o^vyciviov xcirov

5 To/titt, SidêtQog de avtag a êi^cav e06eitai a evotno-

Xafpdêtâ ev ta xovosidet tag yevoêvag toîag tcov

eTCiTtedcjv tov te^vovtog to ^xij^cc xal tov dxêvtog

8id tov di,ovog oqQôv itotl to te^vov eTtiTtedov d 6s

iXdoccjv didfietQog l'6a i60eitai ta diaOtrniati tdv

10 dji^-ei^dv TtaQa tbv d%ova djto tav TteQdtcov tdg fieC-

ôvog diaêtQov.

tet^dGd^co yaQ to OQdôycoviov xovoeideg emTtidcp^

cog elQfjtai. tîad-ivtog de avtov ijtiTtidcj dXXcD did

Toi; dôvog OQdâ TCotl tb tifivov iitijtedov e6tc!) tov

15 êv xcDvoeidiog to^d d ABF^ rov de iTtixcidov tov

ti^vovtog tb ^xijâ d FA evdêta. dôv de e6tco rov

xcovoeidiog xal didêtQog tdg to^dg d B ^. Seixtiov^

oti d to^d tov xovoeidiog d ditb tov imjtidov tov

xatd tdv AF o^vycoviov i6tl xcovov tofid, xal did-

20 iietQOg avtdg d êi^cov i6tlv d A F, d de ikd66cov

didêtQog i'6a ivtl ta A A tdg êv F A naQa tdv

B^ iov6ag, tdg SeAA xadîtov inl tdv FA.voei^d^co ti 6aêtov inl tdg to^dg XeXa^îvov tb

K, xal djtb tov K xddêtog dx^co iTtl tdv FA d K0.25 i66eitai ovv d K® xdd-etog inl tb iitiTtedov rd, iv

(o i6tiv d ATB OQ^ôycoviov xcovov rofta, dioti xal

1. lS' F; ty' Torellius. 2. t^ri&rj F; corr. Torellius. 6.

ras] F; ccno ras uulgo. 9. St.(X(isrQOs] cc SLCcfistQog F; corr.

ed. Basil. 12, t£t(ii^6&(o F, qui omnino in sequentibus

usque ad finem huius libri semper tfii^îci, tiiri&r)^ tfiT^&svtog,

tst(irjcd-o) cet. praebet; quod plerumque corr. Torellius. ita-

que hinc iam hanc discrepantiam notare supersedeo. 13. dXXo)]


XII.

Si conoides rectangulum plano neque per axem

posito neque axi parallelo neque ad axem perpendi-

culari secatur, sectio erit sectio coni acutianguli, maior

autem diametrus eius erit pars intra conoides com-

prehensa eius [lineae], quae [communis] sectio est

plani figuram secantis et plani per axem ducti ad

secans planum perpendicularis ; minor autem diametrus

aequalis erit distantiae linearum, quae a terminis dia-

metri maioris axi parallelae ducuntur.

secetur enim conoides rectangulum plano ita, ut dic-

tum est, posito. eodem autem alio plano ad planum secans

perpendiculari per axem secto sectio conoidis sit ABFyplani autem figuram secantis linea TA, axis autem

conoidis et diametrus sectionis [prop. 11, a] sit JB^.

demonstrandum, sectionem conoidis plano in^Flineaposito effectam^) sectionem esse coni acutianguli, et

lineam AF maiorem esse eius diametrum, minorem

autem aequalem esse lineae AA, ducta linea FAlineae B A parallela, linea autem A A Sid lineam FAperpendiculari.

fingatur punctum aliquod in sectione sumptum Ky

et si K puncto ducatur X® ad FA perpendicularis.

erit igitur linea JK"© ad id planum perpendicularis, in

quo est sectio coni rectanguli AFBj quia planum

1) a ano rov lin. 18 corruptum uidetur; fortasse cc vnc xovscribendum est.

OQ%ai aXXco F; corr. Torellius. 15. BF F; corr. ed. Basil.*16. Fz/ F; corr. BC. 18. tov kcctcc] scripsi; rov om. F, uulgo.19. rccv] nccv a F; corr. Torellius. 21. roc] oc F; corr. B mg.24. rjx^oi F; corr. Torellius.

346 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

15

tb rffti/ov eTCiTtEdov oqôv iGtu Tcotl ro avto iTfcTtsdov,

dLcc ds Toi; @ ax^co cc EZ OQd^ccs itoiovGa yaviag

Ttotl tccv B^, xal dta tccv EZ, K® svdêictv iitCnsdov

iK^s^Xri^^-G}' i06sitai ds tovto oq^ôv Jtotl tav Bzf.

5 tst^rjOstaL drj to xcovosidsg 6%Yiâ iTtiTtsdfp OQâ itotl

tbv aôva, S6ts a to^cc xvxkog i06sCtai, xsvtQOv ds

avtov to z/. a aga K® l'0ov dvva6sCtai tco vjto

Z®, @E [rjîxvxkiov yccQ i6tv to iitl trig EZ, Kal

a K® xdd^stog ov6a ^s6i] yCvstai dvdkoyov tc5 VTto

10 ,^ tdv E®, &Z TtSQisxO'

^svcj]. dx^(o ds iitiipav^

ov6a tdg tov xcovov to-

^dg d ^sv MN itaQa

tdv AF' innlâvsto ds

xatd to N' d ds BTJ^ TtaQd tdv EZ. to drj

7tSQiS%6^SVOV VTtO tdv

A&, &r TtOtl tb TtSQiSXO-

^svov vTto tdv E&, ®Z20 \ \ Toi' avtbv f%£t Xoyov, ov

tb tstQdyavov tb ditb tdg

NT Ttotl tb tstQayovov

tb ditb tdg BT. dsdsCxtai ydQ tovto. td ds NT l'6a

ivtl d TM, dioti xal d BP td BM. sxsi ovv xal tb

25 TtsQisxo^svov vTtb tdv A@, SF Jtotl tb d%b tdg K@tbv avtbv Xoyov, ov tb ditb tdg TM Ttoti to aito

rdg TB. S6ts xal tb ditb tdg ®K xad-stov tstQayG)-

vov Jtotl tb vTtb tdv A0, ©F TtsQiSxo^svov tbv avtbv

sxsi Xoyovy ov tb aTtb tdg BT tstQayovov itotl tb

3. svd^siag F, C manu 1*. 4. St] Nizzius; Ss F, uulgo.

8. tccg Torellius. 9. [isgcc idem. Post dvdXoYOv supplet Com-

secans et ipsum ad idem planum perpendiculare [Eucl. XI

def. 4]. et per ® ducatur linea EZ rectos angulos ad

JBz/ efficiens^ et per lineas EZy K& planum ducatur.

lioc autem ad J3 z/ perpendiculare erit. ^) itaque conoides

plano ad axem perpendiculari sectum erit. sectio igitur

circulus erit, et centrum eius punctum z/ [prop. 11, a].

erit igitur K@^ = Z®XSE}) ducantur autem sec-

tionem coni contingentes linea MiVlineae AF parallela,

quae contingat in puncto iV, et linea BT lineae EZparallela. erit igitur

A&X&r. E®X0Z = NT^: BT\lioc enim demonstratum est [prop. 3]. sed NT= TMjquia BP= BM.^) erit igitur

A®X®r: K@- = TM'- : TB\

<juare etiam

SK^ :A®X@r=BT^: TM^ [Eucl. V, 7 ;roVt(?^a].

1) Nam cum K@ LABF^ planum per KS , EZ positumad ^BF perpendiculare erit (Eucl. XI, 18); tum u. Eucl. XIdef. 4.

2) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 16. uerbasequentia lin. 8—11 Nizzius recte ob formam prauam (ftsaT^

uvaXoyov tm vno tav E6>, 0Z) damnauit. augent suspicionemformae uulgares t?js, ovoa, (isGrj.

3) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 53 nr. 16. tumu. Eucl. VI, 2; nam PN lineae BT parallela ducta est.

mandinus: wat dvvectai 1'gov. yivstai} yaQ sati F per com-pendia; corr. B. 21. Tas] tav F; corr. Torellius. 24. BM]TM F; corr. man. 2.

348 nEPI K<^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAES^N.

ccTCo rag TM. ind ovv oôtd Ivtl ra FAA, TMBrQiyavay ro dito rdg &K xadârov rsrQaycovov norl

ro vno r«t; A®^ @r 7t£Qu%6iisv,ov rbv avrov £%ai

Xoyov^ ov ro ditb rdg AA rsrqdyavov jcorl ro aTCo

5 rdg AF rerQaycovov. oôicog dsixd-riGovrai xal rd

aTCo rdv dXkav xad^srcov rarQdyava rdv dyoiLavav

djco rdg ro^dg anl rdv AT jcorl rd icaQiaxoâva vtco

xcov rdg AT râ^drayv rov avrov aôvra Xoyov^ ov

t6 d%o rdg AA rarQdyavov Ttorl ro djco rdg AT.10 SriXov ovVy ort d ro^d a6rLv o^vycjviov xcjvov ro/Licc,

diaârQOi da avrdg avn d âv nat^cov d AT^ d da

eXaGijCiv i6a rd AA,

iy,

Et xa ro d^^Xvycovtov xcovoaidag aTcmada râ&fj

15 6v^7Ci7Crovri Tcdcatg ratg roi) xcovov nXavQatg rov jca-

Qia%ovrog ro xcovoaidag ^rj jcor^ OQd^dg rc5 dôvi, d

ro^d aOCaCrai o^vyaviov xcovov ro^d. didârQog ds

avrdg d fiai^cav a^GaCrai d avaTCoXaq^dâtaa iv ro5 xo-

voaidat dno rdg yavoâvag ro^dg rdov amTCadcov rov

20 ra ra^vovrog rb ^xrjâ xal roi; d^dâvrog did rov

dôvog oQdôv Tcorl ro ra^vov ajcijcadov.

ra^va6ô yaQ rb d^pXvycoviOv xcovoaidag amTcadcOy

cog aiQrirai^ xal dXXco ajCinadc) râdâvrog avrov did rov

di,ovog OQ^co TCorl rb ra^vov aniTcadov rot) âv xco~

25 voaidaog roîd a^rco d ABT d^^Xvyaviov xcovov rofi«,

rov da ra^vovrog ro o^riâ amnadov d AT avdâta^

d^cov da rov xoovoaidaog xal didârQog rdg ro^dg a

1. TAB F; coiT. ed. Basil.* 2. to dno rag @K usque

ad xo ccno tcig AF lin. 5 om. F; corr. Commandinus. 5. tB-

x^dyoivov'] addidi; ora. F, uulgo. o/iiotwg] syllab. cos per comp.

DE CONOIDIBUS ET SPHA.EROIDIBUS. 349

iam quoniam FAAro TMB^), erit

[B

T

: TM= AA: AT (Eucl. VI, 4)-,

itaque erit] 0K'^ :A@X@r= AA^ : ATK eodem

modo demonstrabimus, etiam quadrata ceterarum line-

arum a sectione ad ^JT lineam perpendicularium duc-

tarum ad rectangula partibus lineae AF comprehensa

eandem habere rationem, quam AA^ : AF^. adparet

igitur, sectionem esse coni acutianguli sectionem, dia-

metros autem eius maiorem AF lineam, minorem

uero lineae AA aequalem [Apollon. I, 21].

XIII.

Si conoides obtusiangulum plano secatur, quod

omnibus lateribus coni conoides comprehendentis in-

cidit ad axem non perpendiculare, sectio erit coni

acutianguli sectio, maior autem diametrus eius erit

pars intra conoides comprehensa eius lineae, quae

[communis] sectio est plani figuram secantis et plani

per axem ad secans planum perpendicularis.

secetur enim conoides obtusiangulum plano ita, ut

dictum est. et eodem alio plano per axem ad secans

planum perpendiculari secto sectio conoidis sit ABFconi obtusianguli sectio [prop. 11, b], plani autem

figuram secantis linea AF. axis autem conoidis et

diametrus sectionis sit BA. fingatur igitur punctum

1) Nam /. B = /. ^ = 90*^ et /. ^ = /. T, quiaAT^ MN et ET^ AA.

F. SsLx^^GstocL Nizzius cum D. 8. b%ovti F; corr. AB.10. TOftaJ (alt.) rofiaff FC*. 11. dia^stQog F; corr. B.ivti] scripsi; sioiv F, uulgo. 13. ls' F, lS' Torellius. 14.

inLTtsdo}] om. F; corr. B. 16. KOvosiSsg F. 27. novostdsog F.

350 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI 2ÂIP0EIAEiiN.

B^. vosLOd^co di] TL ijtl rag ro^dg Xsla^^svov 6afistotr

t6 K, xal ano rov K Kadsrog a%%^ci sjtl rav AF a

KS. s06SLrai di} avra OQdâ Ttorl t6 sTCLTtsdov ro, iv

(p ivrL a ABF kqovov ro^d. dia ds rov @ ax^co a

5 EZ Ttor' OQdâg ra B^, xal dLa rav EZ, K@ svd^siav

iTtLTtsdov ax^co rsfivov ro xovosLdsg. rsr^riOsraL 6rf

iTtLTtsdcp OQdâ Ttorl rbv aôva, C36ts a rofia Kvxkog

iCGsCraL^ xsvrQOv ds avrov ro /i. a aQa yid^srog d

K& LfSov 8vva6sLraL tc5 7tsQLS%o^sv(p vno rdv ®Ey10 @Z. ax^^Gi ds TtdkLV cc ^sv MN itaQa rdv AF im-

ipavov6a rdg rov xcovov tofidg xard t6 jY, d ds BTTtagd rdv EZ. t6 87] TtSQLSô^svov vjtb E®, &ZTtorl rb 7tsQLSx6(isvov vitb rdv A®., ®T tbv avrbv

s%SL Xoyov^ ov rb rsrQayavov rb ditb rdg BT itorl

15 t6 aTtb tdg TN. S6rs rb djtb rdg K& xad-srov rs-

rQdyovov Jtorl rb jcsqlsxo^svov vitb tdv A®, @r tbv

avtbv s%SL Xoyov^ ov tb d%b tdg BT Ttotl t6 dTcb

tdg TN oÔLcog ovv dsLxd^rjeovvtL xal rd dnb rdv

dXXav xad^srcav rdv dnb rdg rofidg dyo^svav iitl rdv

Ô AF notl td TtsQLSxofisva vjtb tcov tâfidtcov tdg AF^

cov ai xad^stOL TtoLOvvtL^ tbv avtbv sxovta Xbyov^ ov

tb ditb tdg B T tstQdycovov Jtotl tb ditb tdg TN,

TcaL iotLV iXdcacov d BT tdg TN^ dtort xai d MTikd(56cov ierlv rdg TN xal ydQ d MB ikdaacov

25 rdg BP' rovro ydQ i6rLv iv tatg tov d^^lvycovLOv

3. 87tinEd(o F; corr. BC* 8. sGSitai. F. 9. @E, @Z]scripsi; 0E, EZ FBC*, E@, @Z uulgo. 10. Si] Nizzius;

6rj F, uulgo. 13. tdv] tcov per comp. F; corr. Torellius.

14. TTort] TtQog per comp. F; corr. Torellius. 18. dsLx&^GStccL

Nizzius. 19. tdg] supra m. 1 F. ayonsvav F; corr. To-

rellius. 21. cov] d Tprellius.

aliquod K in sectione sumptum, et a iC puncto du-

catur K® SidJir perpendicularis. erit igitur ad id

planum perpendicularis, in quo est coni sectio ABF

[Eucl. XI def. 4]. et per @ ducatur EZ ad 5z/ per-

pendicularis, et per lineas EZ^ K® planum ducatur

conoides secans. itaque sectum erit plano ad axem

perpendiculari [p. 347 not. 1]; quare sectio circulus

erit, et centrum eius ^ punctum [prop. 11, b]. ita-

que erit K®^ = ®Ex0Z [p. 347 not. 2]. ducatur

autem rursus linea MN lineae AF parallela sectionem

coni in N puncto contingens, et linea jB T lineae EZparallela. erit igitur

E®X@Z:J0x&r=BT^ : TN^ [prop. 3].

quare erit K@^ : A0 X &r = BT^ : TN\ eodem

modo igitur demonstrabimus, etiam quadrata ceterarum

linearum a sectione ad ^r* lineam perpendicularium

ductarum ad rectangula partibus lineae AF sl perpen-

dicularibus effectis comprehensa eandem habere ra-

tionem, quam B T^: TNK est autem BT< TN, quia

MT< TN [et MT> BT]. nam etiam MB < BP:,

352 nEPI K5iN0EIAE<iN KAI SÂIPOEIAESiN.

xoivov rofiatg 0v^7ircoâ. dijXov ovv, ori a rofia o^v-

yavLOV 7C00VOV roâ, xal didi^srQog avrag a âL^cjv

a AF [oiioCag xad^hov ov6r}g rag NP iv ra rov

dii^XvycovLOv xoovov roâ, dLa^srQog ravrag iiscôv

6 iarlv d FA].

Ei xa rb TtaQaâxsg ^cpaiQOSidsg iTtmsdGi râd^rj

firj Ttor OQ^^dg ra dôvt, d ro^d icosCraL ol^vycovCov

xcovov ro^d. dtd^srQog ds avrdg d ^sC^cov i60sCrai,

10 d iva7ioXa(p%^sl0a iv ra 6(paiQ0si8si dno rdg ysvoî-

vag ro^dg rcov ijiLTisdcov rot' rs^vovrog t6 Oxrnia xal

Toi; d^d-svrog dLa tov dôvog oQdôv jcorl t6 rs^vov

iTcCTtsdov.

SL ^sv ovv xa râd-fj d^d rov dôvog t} TtaQa rbv

15 dôva, dfjXov. rsr^d^d^co ds dlXci iitLTtsdcp. râd^svrog

ds avrov dta Tov dôvog oQd^co Ttotl rb ri^vov tov

^sv 6<paLQOSLdsog ro^d sOrco d ABF^ b^vycovCov

xcovov ro^d, tov ds rs^vovrog avrb ijtLTtsdov d FAsvd^sta. d^cov ds sorco rov 6(paLQOSLdsog xal dLa^srQog

20 rdg rov o^vycovCov Ktovov ro^dg a B^d ^ KsvrQOV 8s

t6 X, Tcal ild66oov dLa^srQog s6rco d IIP. d^^co ds

1. ovv] om. F; corr. Torellius. 6i,vya)viov] iartv o|. To-rellius. 2. d fisitoav] scripsi; cc om. F, uulgo. Nizzius uerba

hoc enim sectionibus coni obtusianguli proprium est.^)

adparet igitur, sectionem esse coni acutianguli sec-

tionem, et maiorem eius diametrum lineam AF.^)

XIV.

Si sphaeroides oblongum plano ad axem non perpen-

diculari secatur, sectio erit coni acutianguli sectio,

maior autem diametrus eius erit pars intra sphaeroides

comprehensa eius lineae, quae [communis] sectio est

plani figuram secantis et plani per axem ad secans

planum perpendicularis.

hoc, si per axem uel plano axi parallelo secatur,

statim adparet [prop. 11, c]. secetur autem alio plario.

eodem autem plano per axem ad secans planum per-

pendiculari secto, sphaeroidis sectio sit ABFzJ coni

acutianguli sectio [prop. 11, c], plani autem sphae-

roides secantis linea FA. axis autem sphaeroidis et

diametrus sectionis coni acutianguli sit -Bz/, centrum

autem X, et minor diametrus sit JIP. ducatur autem

1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 56 nr. 27. namMB : BP= MT : TN (Eucl. VI, 2).

2) Ellipsis, cuius altera diametrus est linea A P, est propterApollon. I, 21, quia quadrata linearum ordinate ductarum adrectangula partibus lineae ^F ab ipsis effectis comprehensasemper eandem rationem habent. itaque etiam quadratum li-

neae ad medium punctum lineae ^ Fordinate ductae {jt) ad ÂF*eam rationem habet, quam BT : TN. iam cum BT <Ci TN,erit etiam p^ <^ ÂF^. quare AF raaior erit diametrus. se-

quentia uerba nunc delere malui, quam cum Nizzio transponere.

Kadîtov ov67}g tocg NP iv tu . . . tofia lin. 3'—4 post EP p. 350,lin. 25 transposuit additis: inl tav BJ et deletis diaiistQog . ..

a FA lin. 5 et ofioicog lin. 3 (quod retineri poterat; Qu. Arcq.p. 164). 5. FA Torellius. 6. ts' Torellius. 7. xa] naxai F; corr. Nizzius. 10. ccpaiQosidsg F; corr. BD.

354 nEPI KilNOEIAEiiN KAI LOÂIPOEIAEiiN.

a ^lv BT Ttor OQdâg xa 5z/, a df HN TCaqa rav

AF iTiLipavovGa tag tov 6i,vycovCov xmvov TOftag xata

tb N' ay%Gi 8\ aal a MA 8ia rot' X TtaQa rai' AF,oÔLOs drj totg TCQOtsQOv dsLX^rjôvvtL ra tetQccycova

6 ta cljto tav xad^hav tav ccTto tag toâg i%l tav AFayîvav Ttotl ta 7CiQLS%6iLava vTto tSv tag AT tîa-

ficttcov tov avtov exovta X6yov, ov t6 aTto tag BTretQctyovov Jtotl ro aTto tag TN otL êv ovv a to^d

i6tiv o^vycovLOV xcovov to^cc, xal SLCcfietQOg avtag a

10 FA, drjkov' otL ds êCt^cov^ dsLXtiov. to yccQ vTtb tav

nX, XP 7tSQL£x6êvov Ttotl ro vTtb MX, XA tbv

avtbv exei X6yov, ov tb djtb tdg B T jtotl ro dnb

tdg NT, inel TtaQa tdg iTtitpavovdag ivtl al TIP^ MA.eka66ov di i6tL tb vitb tdv IJX, XP TteQtexbfievov

15 roi; vTtb tdv MX, XA, iitel xal d XII tdg XA.eka06ov aQa i6tlv xal tb dnb tdg B T tetQayovov

rov djtb tdg TN o6te ocal td dnb tdv xad-itcov

tetQayova tdv aTtb tdg to^dg ijtl tdv AF dyoîvav

ikd66ovd ivtL tov vitb icov tâiidtov tdg AF TteQc-

20 exoîvov. d^Xov ovv, ott fieCôv ivtl dLauetQog

d FA.et yca tb iitLTtXatv 6cpaLQoeLdeg i7tL7ti$o tâd^^^

td êv dkka td avtd i66eCtaL^ tdv Se diaîtQOv d

ikd66ov i66eCtaL d iva%okacpêL6a iv rc5 6cpaLQoeLdei.

25 i^ avtov de cpaveQbv iv 7tdvte66L toig 6xri^dte66LV^

1. xa] xa Sb F. 3. ^f] scripsi; 8ri F, uulgo. 4. 6ju.ot(io?]

syllab. (og per comp. F. Ssix^riGfxcii Nizziiis. 6. xav]

(prim.) rcor F; corr. Torellius. 6. ayiihav] scripsi; ayjnfrftg

F, uulgo; ayoiiivag A*, ed. Basil. ; dyopievav Torellius. 13.

MA] Mn FBC*. 15. «] 17 F; corr. Torellius. 18. xav dno]

Torellius; xoav ano F, uulgo. xag] xav FC*. 19. BXacaav

F; corr. Torellius. vno xCov] Torellius; vno xav F, uulgo.

nsQKxofifva F; corr. Torellius. 23. a ikdcocov] scripsi; «

J5 r ad 5z/ perpendicularis, et HN lineae AF parallela

sectionem coni acutianguli in N puncto contingens.

ducatur autem etiam MA per X punctum lineae AFparallela. itaque eodem modo, quo antea^), demon-

strabitur, quadrata linearum a sectione [circum AFdescripta] ad ^JT perpendicularium ductarum ad rect-

angula partibus lineae AF [ab ipsis effectis] com-

prehensa eandem rationem habere, quam B T^ ad TN^.

hinc igitur adparet, sectionem esse coni acutianguli sec-

tionem, cuius [altera] diametrus sit FA [Apollon. 1, 21].

sed maiorem diametrum eam esse, demonstrandum est.

est enim nXX XP : MXxXA = BT^ :NT\ quo-

niam J7P, MA lineis contingentibus parallelae sunt

[prop. 3]. sed nxX XP < MXX XA, quia

xn<XA^)quare etiam BT^ <i TN^. itaque etiam quadrata line-

arum a sectione ad AF lineam perpendicularium duc-

tarum minora sunt rectangulis partibus lineae AFcomprehensis. adparet igitur, FA maiorem esse dia-

metrum.^)

Si sphaeroides latum plano secatur, cetera eadem

erunt, sed linea intra sphaeroides comprehensa minor

diametrus erit.

Inde adparet, in omnibus figuris*), si planis paral-

1) P. 346, 16 sq.; p. 350, 12 sq.

2) Nam XTI= XP, XM= XA, et diametrus minor omniumlinearum per centrum ductarum minima est.

3) Nam etiam quadratum dimidii alterius axis minus est

quarta parte quadrati lineae AF^ cfr. p. 35§ not. 2.

4) H. e. et conoidibns et sphaeroidibus.

om. F, uulgo. 25. naGi F, uulgo. rorg] xoi F. cxrjficc-

TSCIV F.

23*

356 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<l»AIP0EIAESiN.

ort, sl' xa 7taQaX?.riloLg iTanedocg tâd^fj, ai avt^v

toâl oÔiac iooovvtai. ta yocQ tstQaycova ta djto

tav xad^hov Ttotl ta TtSQiSxo^sva vno tcov tîa^dtov

tovg avtovg Xoyovg sôvvti.

5/^'-

'Ev Tc5 OQdôycoviip 7(C}vosidst dito Ttavtog otovovv

0a^siov t(Dv sv ta sTtiqâvsCa tov xcovosidsog tdv

dyo^svav svd^sidv Ttagd tbv dôva aC ^sv STtl td

avtd dyo^svaiy scp^ d ivti td zvQtd avtov^ iKtog

^Q TtsCovvtai tov xcovosidsog, at ds inl d^dtSQa ivtog.

d%^svtog ydQ ijtiJtsdov did ts rov dôvog xal tov

aa^siov, d(p^ ov d TtaQaXXrjlog dystat rc5 dôvi^ d

to^d s66sitai oQdôyoviOV xcavov toîd' did^stQog ds

avtdg 6 d^cov tov xovosidsog. iv ds ta tov oQdô-

j^ yoviov 7C03VOV to^d ditb Ttavtog 6a^siov tov iitl xdg

to^dg dyo^svav TtaQd tdv did^stQOv svd^Sidv aC ^sv

ijcl td avtd dyo^svai, icp' d ivti td xvQtd avtdg,

ixtog TtiTttovti, aC ds snl ^dtSQa ivtog. SrjXov ovv

tb TtQOtS^SV.

2Q Êv to dii^Xvyovio KCDvosidst dnb jtavtbg Oa^siov

tov iv ta iTticpavsCa avtov tdv dyo^svav svd^Sidv

TtaQd tiva yQa^^dv, d iattv iv to xovosidst dy^sva

did tdg %OQV(pdg tov xcovov tov 7tSQis%ovtog tb zo-

vosidsg^ aC ^sv iitl td avtd dyo^svai, icp* d ivti tcc

2« TcvQtd avtov^ ixtbg 7ts6ovvtai tov XG>vosidsog, aC ds

inl d-dtsQa ivtog.

2. rd dno] tocv ano F; corr. Torellius. 3. rav] Torel-

lius; t(ov F, uulgo. 5. ts"' Torellius. 10. v.ovoEi8Eoq F.

12, naqdXXaloq ed. Basil., Torellius (non BC*). d TO|u-a]

scripsi; rofia F, uulgo. 16. xav dyoasvav Torellius. 17.

avtas] avtrj F; corr. Torellius. , 18. nintcovti F. 22.


lelis secentur, sectiones earmn similes futuras esse.

nam quadrata perpendicularium ad rectangula partibus

[diametri] comprehensa easdem rationes habebunt.^)

XV.

a) In conoide rectangulo earum linearum, quae a quo-

nis puncto in superficie conoidis posito axi parallelae

ducuntur, eae, cpae in eandem partem ducuntur, in

qua est conuexa eius pars, extra conoides cadent, quae

uero in alteram partem ducuntur, intra.

si enim planum ducitur simul per axem et per id

punctum, unde ducitur linea axi parallela, sectio erit

coni rectanguli sectio [prop. 11, a], diametrus autem

eius axis conoidis. sed in sectione coni rectanguli

earum linearum, quae a quouis puncto sectionis dia-

metro parallelae ducuntur, eae, quae in eandem partem

ducuntur, in qua est pars eius conuexa, extra [sectionem]

cadunt, quae uero in alteram partem ducuntur, intra.

constat igitur propositum.

b) In conoide obtusiangulo earum linearum, quae a

quouis puncto in superficie eius posito ducuntur par-

allelae lineae, quae in conoide per uerticem coni co-

noides comprehendentis ducta est, eae, quae in eandem

partem ducuntur, in qua est pars eius conuexa, extra

conoides cadent, quae uero in aiteram partem du-

cnntur, intra.

1) Eam emm habebunt rationem, quam,B T^ ; TiV^ (prop.

12, 13, 14); tum u. p. 327 not. 2.

«yjLifVa] Bcripsi; ayo^svccgFj uulgo; ayojLifVa Torellius. 23. to]Tco F; corr. BC.

358 nEPI KS^NOEIAESiN KAI SÂIPOElAESiN.

dx^svtog yccQ STCiTtsdov did ts tag sv^sCccg rag sv

ta xcovosidst ayo^svag dtcc tag KOQVcpag rov xojvov

tov TtSQLSxovtog ro Tiovosid^g xal Slcc rot) 6aasCov^

acp ov ayitai a sg avto, a rofia s<36sCtai a^^Xvyco-

5 vCov x(6vov rofia, did^stQog ds avtag a ccTto tag xo-

Qvcpag tov xcavov sv rc5 xavosidst dyo^sva. sv ds

ta tov d^^XvycovCov xcavov rofta dTto Ttavtog 6a^sCov

xov iitl tdg to^dg tdv dyoîvav svd^sidv itaQa tdv

ovtog dyîvav yQa^^dv ai ^sv sitl td avtd dyoîvai,

10 scp^ d i6tLv avtdg td xvQtd, ixtbg JtCTttovti, at ds

iitl d-dtsQa ivtog.

El xa tcov xovosLdicov 6xr}^dtcov iitCitsdov icp-

aTttrjtaL ^rj ti^vov tb xcovosLdig, xad'^ sv ôvov dipitaL

6a^stov., xal ro d^d tdg dcpdg xal roi5 dôvog ijtCjts-

15 dov d^d^sv OQd-bv iccsCtaL Ttotl to iTtLxfjavov inCTtsdov.

iq)a7tti(jd^cj yccQ, sl dvvatov, xatd JtXsCova 6a^sta.

Xacp^îvtov drj dvo 6a^sCov, xad'^ d dittitat to iitL-

tpavov iTtCitsdov tov xovosLdiog, xal dcp sxatiQov

TtaQa tov dôva svx^SLdv dx^sL6dv dnb tdv dx^SL(jdv

20 TtaQa tbv dôva iitCTtsdov ix^Xrjd^sv i]tOL d^d tov dôvog

7] TtaQa tbv dôva io^sCtat dyîvov. S6ts tdv to^dv

TtOLYjOSL xGjvov to^dv, xal td 6a^sta iccovvtai iv td

tov xoovov rofta, i^tsl sv ts td iitLcpavsCcc ivtl xal iv

rco iTCLTtidcp. d ovv îstai^v tmv 0a^sCcov sv^sta ivtbg

25 i06sCtaL tdg tov xcovov to^dg' w6ts xal tdg rov xco-

vosidiog iitLcpavsCag ivtbg i66sCtaL. s6tLv 8\ d svd^sta

3, 'KOvoELSBg F. 4. ig ccvto] scripsi; saavra F, uulgo;

TtuQ' Divxuv Nizzius; ,,aequidistans illi" Cr. 7. rofi-a] xov F;

corr. Torellius. 12. sq^ccnxsxccL F; corr. Torellius. 17. Si^]

scripsi; Ss F, uulgo; „igitur" Cr, 19. ccno] scripsi; ccno Ss

F, uulgo. 20. TtaQd] xccv nccQal 22. gcchslcc] oa- supra

m. 1 F. 23. STtSL] Nizzius; snsL ovv F, uulgo.


nam si planum ducitur simul per lineam, quae in

conoide per uerticem coni conoides comprehendentis

ducitur, et per punctum, unde ducitur linea conoidi ad-

plicata, sectio erit coni obtusianguli sectio, et diametrus

eius linea in conoide a uertice coni ducta [prop. 11, b].

sed in sectione coni obtusianguli earum linearum, quae

a quouis puncto sectionis lineae ita ductae parallelae

ducuntur, eae, quae in eandem partem ducuntur, in qua

pars eius conuexa est, extra [sectionem] cadunt, quae

uero in alteram, intra.

c) Si planum figuras conoideon contingit conoides

non secans, in uno solo puncto tanget, et planum

per punctum contactus et axem ductum ad planum

contingens perpendiculare erit.

contingat enim, si fieri potest, in pluribus punctis.

sumptis igitur duobus punctis, in quibus planum

contingens conoides tangat, et ab utroque lineis axi

parallelis ductis, planum per lineas axi parallelas^)

ductum aut per axem aut axi parallelum ductum erit.^)

quare sectio coni erit sectio [prop. 11], et puncta in-

coni sectione erunt, quoniam et in superficie [conoidis]

sunt et in plano. itaque linea puncta iungens intra coni

sectionem erit. ^) quare etiam intra superficiem conoidis

erit. sed ea ipsa linea in plano contingenti est, quia

etiam puncta in eo sunt. itaque quaedam pars plani

1) Adparet, iungendum esse lin. 19. 20: rav dxdêiaciv nuQcixov ccôva D: xdv naQa xov aôva ax%^BiGav'^ sed fortasse scri-

bendum: xav nagd.

2) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 17.

3) Apollon. con. I, 10.

360 nEPI K5iN0EIAE^N KAI SÂIPOEIAESiN.

Kvra iv tc5 iTttjpavovtc ijiLTCedc}, dioTi xal xa ea^sta

rov aQa iTiL^âvovtog inntidov icosttaL tl ivtog tot3

xcovosLdiog' otisq ddvvatov. vTCsxsLto yag ^rj tsfivsLv.

xad"^ ^v ttQa ôvoi/ dtl^staL (Sa^slov. otL $s xal to

6 dLa tag d(pdg Ttal tov dôvog iitCnsdov d%%^sv oqôv

i66SLtaL TCotl ro iTCLXpavov, sl xatd tdv xoQvcpdv tov

xmvosLdsog icpajttstaL^ drjXov. dx^svtcov ydg d^d tov

dôvog dvo iTtLJtsdav tov xavosLdsog at toâl iooovv-

taL xcovav toâl dLaîstQOv iôvOaL tov dôva, tov

10 ds iTttipavovtog ijtLJtsdov [at] svdsCaL ijtLipavovOaL tdv

t(DV x(6vcov to^dv xatd t6 TtsQag tdg dLa^stQov. at

ds svxtsCat al iitLtpavovâL tdv tdov xcovcov to^dv xatd

t6 TtSQag tdg dia^stQov oQd^dg jtoLOvvtL ycovCag Ttotl

tdv dLafistQOv. icôvvtaL ovv iv tco inLipavovtL ijtt-

15 7ts8<p dvo svd^sCaL Ttot^ OQd^dg tc5 dôvL. OQdôv ovv

iocsCtaL Ttotl xov dôva t6 ijtCjtsdov^ Sdts xal Jtotl

t6 dtd Tov dôvog. dXkd s0tco ^rj xatd tdv xoQV(pdv

T0t5 xcovosLdsog ijti-

ipavov To ijtCTtsdov.

dx^co dt} inCitsSov dta

tdg d(pdg xal tov

dôvog. xal tov ^sv

xcovosLdsog to^d sctco

d ABF xcovov to^d^

d^cov 8s s6tco xal ^La-

^stQog tdg to^dg d

J5z/, Toi> ds iTtitpavov-

\ togi7tL7tsdovto^ds6tco

d E@Z svd^sta TajTOv

30 xoovov to^dg dntoiisva xatd to @. dnb $s tov &

6. sC] om. F; corr. Torellius. 7. ftpdnzjixaL Torellius.

20

25


contiagentis intra conoides erit, quod fieri non potest.

nam suppositum est, planum non secare. in uno

igitur solo puncto continget. planum autem per punc-

tum contactus et axem ductum perpendiculare ad pla-

num contingens fore, statim adparet, si in uertice

conoidis contingit. ductis enim per axem duobus planis

sectiones conoidis erunt conorum sectiones diametrum

habentes axem [prop. 11], sectiones uero plani con-

tingentis lineae sectiones conorum in termino diametri

contingentes. lineae autem sectiones conorum in ter-

mino diametri contingentes cum diametro rectos an-

gulos faciunt. ^) itaque in plano contingenti duae

lineae ad axem perpendiculares erunt. quare planum

ipsum ad axem perpendiculare erit [Eucl. XI, 4]; quare

etiam ad planum per axem positum [Eucl, XI, 18].

sed planum ne in uertice conoidis contingat. ducatur

igitur planum per punctum contactus et axem. et

sectio conoidis sit ABF coni sectio [prop. 11, a— b],

axis autem et diametrus sectionis sit jBz/. plani uero

contingentis sectio sit linea E®Z sectionem coni in

® puncto tangens. et a © puncto ducatur linea ®K

1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 47 nr. 4.

8. Tov Y.(ovoBidsoq\ tov II sv xcDv.? saovvrai F. 9. yiovoav

F. 10. at] deleo. 11. at Ss sv&siccl usque ad rag Sluiistqovlin. 13 ego suppleui; om. F, uulgo. 14. saovvtai. F. 16.

jroTt] (alt.) TtQog per comp. F; corr. Torellius. 24. ABr}Torellius; JBT F, uulgo.

362 HEPI KiiNOEIAEîN KAI i:<I»AIP0EIAE5iN.

xdd-£tog ax^(o S7tl rav Bzl cc &K, xccl ETtiTtsdov av-

eOxaKBXG) oQdôv Ttotl tov aôva. TtoiriOEi dri tovto

rav toiiav xvxXov, ov xevtQov t6 K, a dh toâ

tovtov tov BTtntidov xal tov iTtiipavovtog - i^fSaCtat

5 ijtLipavovOa tov xvxXov. oQd-ag aâ TCoiriCEL yovCag

Ttotl tav ®K. Sat' oQdâ i66eCtaL jtotl to ijtCnedov

xo^ iv (p ivti at K&, B^. drjXov ovv, otv tb im-

ipavov iTtCnedov OQd-ov i0tL itotl tb avtb iTtCitsdov,

inEi xal av iv avtco EvdÊCav,

10 L^.

El Xa t(DV 6cpaLQ0EL8i(OV (J^^T^ftarcOl^ OTtOtEQOVOVV

iTtCjtEdov ccTttritaL ^r} ti^vov tb (5%riâ.) xad"' ev ôvov

a^lîtaL 6aÊL0v, xal tb dia tdg acpdg xal tov dôvog

ijtCTtsdov dxÊv OQx^bv iÔECtaL itotl tb ijtLilâvov ircC-

15 TtEdov.

aTttied^co yccQ xatd TtXsCova 6aÊta. Xacpdîvtav

drj t(Bv CaÊCcoVy xad"^ d aTttitaL tb ijtCjtEdov tov

6(paLQoeLdeog, xal dcp' exatiQOv avttav JtaQa tbv dôva

EvÊLav d%%ÊL6dv xal dLa tdv d%%êL6dv ijtLTcidov ix-

20 pXrjdêvtog d to^d i66eCtaL o^vycsvCov xcovov to^d,

xal td 6aêLa i66ovvtaL iv td roi) xcovov to^d. d

ovv êta^v tcov âêCav evdêta ivtbg i66eCtaL tdg

tov X03V0V to^dg. S6te xal tdg tov 6(paLQoeLdiog

iitLcpaveCag ivtbg i66eCtaL. e6tLv de d evêla iv ta

25 ijtLtlâvovtL iTtLTtido), dLotL xal td 6aÊLa. roi} ovv

ijtLjpavovtog ijtLJtidov i66ECtaL tL ivtbg tov 6cpaLQo-

2. noxi] scripsi; tm F, uulgo; u. Philol. Samfd. Minde-skrift. Haun. 1879 p. 19. ^dfl scripsi; ds F, uulgo. 7. rd,

iv] Tco, «V F; corr. C. oxl\ oti v,aC A (non BC*), ed, Ba-eil., Torellius. 10, t.^' Torellius. 11. onoxsQOvovv] scripsi;

OTtoxsôvovv F, uulgo. 17. dri\ scripsi; ds F, uulgo. xmv\


ad BzJ perpendicularis, et [in ea] planum erigatur

ad axem perpendiculare. hoc igitur sectionem cir-

culum faciet, cuius centrum sit K [prop. 11, a—b].

sectio autem huius plani et plani contingentis cir-

culum continget. itaque cum @K rectos angulos faciet

[Eucl. III, 18]. quare ad planum, in quo sunt lineae

K@y B^, perpendicularis erit [Eucl. XI def. 4]. ad-

paret igitur, planum contingens ad idem planum perpen-

diculare esse, quoniam etiam lineae in eo positae [ad

idem planum perpendiculares sunt. Eucl. XI, 18].

XVI.

a) Si planum utramuis figurarum sphaeroideon tangit

non secans figuram, in uno solo puncto tanget, et

planum per punctum contactus et axem ductum ad

planum contingens perpendiculare erit.-^)

tangat enim in pluribus punctis. sumptis igitur

punctis, in quibus planum sphaeroides tangit, et ab

utroque eorum lineis axi parallelis ductis et per ductas

lineas plano posito sectio erit coni acutianguli sectio

[prop. 11, c], et puncta in coni sectione erunt. ita-

que linea puncta iungens intra coni sectionem erit

[Apollon. 1, 10]. quare etiam intra superficiem conoidis

erit. ea autem linea in plano contingenti est, quia

etiam puncta [in eo sunt]. itaque pars quaedam plani

contingentis intra sphaeroides erit. at non est; nam

1) Praef. p. 282, 16: ort 8e xa ETtLxpavovta BnCnsSa tov0(paiQOSi8sog yiad'' 'sv (lovov aTttovtai cafisiov tag STCLcpavstag

ccvtov.

Svo Nizzius, fort. recte. 19. svd^sLat ax^coatv F; corr. To-rellius. toav a%Q-sta(ov F; corr. Torellius.

364 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2$AIP0EIAEiiN.

e^dfog. ovx i6tLv de. vnixeLxo yag ^r^ tinvsiv. drj-

Xov ovvy OTL yca%'^ ev Oaêtov /lidiôi/ aîtai. oti $b

to dca Tag a(pds âl roi; aôvog iTtiJtsdov ax^lv d^Ôôi/

i66sitat Ttotl to iTtiTtadov tb imtpavov^ oôiog totg

6 31£qI rcov Kovoaidicov Cxrj^dtcjv dsiiôvêS'

Ei xa tav xcovosidicov 7} tcov OgâiQOSidicov 6xV~

lidtcov oTtoiOvovv iTtiTtidc) tâdîj dtd tov dôvog, xal

rdg ysvoîvag to^dg iTtitpavov^d ttg d%%fi svd^sta^ xal

6id tdg imipavov6ag iniTtsdov dvaCta^fi oqxôv notl

10 ro ti^voVf iTtiJpavsi rov 6%riâtog natd rd avto 6a-

^siov, xad"^ o xal d svd^sta ijtixpavsi tdg roi; xcovov

to^dg.

ov yaQ dxfjitai Ttat dkko 6a^Si0v tdg iTticpavsCa^

avtov. sl ds ^ri, d dno toi eaiisiov xdd^stog dyo-

15 ii,iva ijti rd ti^vov iitiTtsdov Ttsdsitat ixtog tdg rot5

X(6vov to^dg. ijtl ydQ tdv s7tiâvov6av 7ts6sitai^ insl

OQd^d Ttot^ dkXakd ivti td iTtiTtsdci. oitsQ ddvvatov.

idsix^rj yaQ^ oti ivtog TtsOsitat»

Et xa tmv ecpaiQOSidicov tivog Oxrj^dtcjv dvo ijti-

20 Ttsda TtaQakXrjXa sTtiipavovti^ d tdg dcpdg im^svyvvovâ

svd^sta did tov xivtQOv xov ^cpatQOSidiog jtoQSvaitai.

Si ^sv ovv xa Ttot OQd^dg ta dôvi td iTtiTtsdcc

sovti^ drjkov, aAA' s6tG) ^rj ;ror' oQd^dg. to drj iiti-

Ttsdov tb dx^sv did tov dôvog xal tdg dcpdg tdg

25 itSQag oQd^bv iGCsitai itotl tb iTtiipavov ijtijtsSov.

S6ts xal Jtotl rd TtaQakkriXov avta. dvayxatov aQa

1. z£(ivov B. 5. SsLôvfisg~\ om. F; suppleuit Torellius;

„et in laoc demonstrabimus" Cr. 6. tav yiavosLdicav ij] om.F; suppleuit Barrowius. 10. snLipavGsi Torellius. 11. «]71 F; corr. Torellius, ut etiam lin. 14. 13. aUo] ctXXo gv FC*;fort. dXXo XL. 15. «Jtrdg] svxog F; corr. Commandinus. 17.

tvxL Ttt] scripsi; emvxL F, uulgo. 18. lti' Torellius. 20.


suppositum est, id non secare. adparet igitur, in uno

solo puncto [planum] tacturum esse. planum autem

per punctum contactus et axem positum ad planum

contingens perpendiculare futurum esse, eodem modo,

quo in figuris conoidibus, demonstrabimus [p. 360, 4 sq.].

b) Si quaeuis figurarum conoideon uel sphaeroideon

plano per axem posito secatur, et sectionem inde ortam

contingens linea ducitur, et in linea contingenti pla-

num erigitur ad secans planum perpendiculare, figuram

in eodem puncto contingit, in quo linea illa coni sec-

tionem contingit.

neque enim in alio puncto superficiei eius tanget.

si minus, linea a puncto illo ad planum secans perpen-

dicularis ducta extra coni sectionem cadet. nam in

lineam contingentem cadet, quoniam plana inter se

perpendicularia sunt, ^) quod fieri non potest. namdemonstratum est, intra [coni sectionem] eam casuram

esse [prop. 11, d].

c) Si duo plana parallela quamuis figurarum sphae-

roideon contingunt, linea puncta contactus iungens

per centrum sphaeroidis ibit [cfr. p. 282, 18]. —si primum plana ad axem perpendicularia sunt, ad-

paret.^) sint uero ne perpendicularia. itaque planum

1) Nam linea a puncto illo contactus ad lineam contingen-tem perpendicularis ad planum secans perpendicularis erit (Eucl.

XI def. 4), nec ab eodem puncto duae lineae ad idem planumperpendiculares ducuntur.

2) Tum enim in terminis diametri contingunt (cfr. p. 36011 sq.).

initpuviovri,] scripsi; STntpavovti, F, uulgo. 22. sl] Nizzius;OTt per comp. F, uulgo. na nor'] scripsi; xar* F, uulgo.25. nori] V; nqog F (per comp.) A, BC*; ini D.

366 nEPI KSiNOEIAESiN KAI ZÂIPOEIAEiiN.

t6 avto Siêv STtLTCsdov to Sui tou aôvog xal ixa-

tsQav tav atpdv ayîvov. el 8e iii], lOGovvtai 8vo

inCTteSa %otl tb avtb ijtLJtadov OQdâ dia tdg avtdg

yQafi^dg dyêva ovx iovOag oQd^dg Jtotl tb ijttTtedov.

5 vTtSKSLto yuQ 6 d^cav iirj elêv OQd^bg Jtotl td TtaQak-

krika inLTteda. iv rc5 avta aQa i60ovvtaL iitLTtedci

o t£ a^cov xal al dtpaC^ xal tetîaxbg i66eCtaL tb 6(paL-

QoeLdeg SLa tov dôvog. d ovv toiid i66eCtaL oivya-

vCov xwvov to^d, at de tcov iTtLâvovtav inLTtedcav

10 tO(jLaL %aQaXki^koL i66ovvtaL xal ijtLil;avov6aL tdg tou

o^vyovCov x(6vov to^dg xatd tdg dcpdg tcav iTtLTtedov.

£L de xa dvo evêCaL o^vyovCov xcavov to^dg iitL-

ilâvavtL TtaQaXkrikoL iov6aL^ to te xevtQov tdg tov

o^vyovCov xovov to^dg xal av dg)al iit evdêCag

15 i66ovvtaL.

El xa tov 6(paLQoeL6ecav 6xY}^dtov oTtotegovovv

dvo TtaQakkrjka inCTteda ax^fi ijtLilâvovta, dxd^fj de

tL ijtCitedov dtd tov xevtQOV tou 6(paLQoeLdeog TtaQa

20 td ijtLâvovta, al dLa tdg yevofievag to^dg dyofievaL

evêCaL TtaQa tdv tdg d(pdg i7tLêvyvvov6av ixtbg

7te6ovvtaL tov 6(paLQoeLdeog.

3. oQâv FC* 7. TStpLrj-Kog F; corr. Torellius. 9. ini-.

'tf>av6vT(ov'\ scripsi; smipavov6(ov F, milgo. 10. eGovvtca F;

corr. Torellius, xat'] Bcripsi; ai F, uulgo. 15. iGcovvTaC]

scripsi; smvtL F; sovtl uulgo. 16. i^' Torellius.


per axem et alterum punctum contactus ductum ad

planum contingens perpendiculare erit [p. 362]. quare

etiam ad planum ei parallelum [perpendiculare erit].^)

necesse est igitur, planum per axem et utrumque

punctum contactus ductum idem esse. nam si minus^

duo plana ad idem planum perpendicularia erunt per

eandem lineam ducta, quae ad planum perpendicularis

non est.^) suppositum enim est, axem ad plana par-

allela perpendicularem non esse. itaque et axis et

puncta contactus in eodem plano erunt, quod sphae-

roides per axem secabit.^) itaque sectio coni acuti-

anguli erit [prop. 11, c], sectiones autem planorum

contingentium parallelae erunt [Eucl. XI, 16] et sec-

tionem coni acutianguli in punctis contactus planorum

contingent. sin autem duae lineae parallelae sectionem

coni acutianguli contingunt, et centrum sectionis coni

acutianguli et puncta contactus in eadem linea recta

erunt.*)

XVII.

Si ducuntur duo plana parallela utramuis figurarum

sphaeroideon contingentia, et per centrum sphaeroidis

planum contingentibus parallelum ducitur, lineae per^)

sectionem inde ortam ductae parallelae lineae puncta

contactus iungenti extra sphaeroides cadent.

1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p, 181 nr. 18.

2) Quod fieri non potest; u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth,XXIV p. 182 nr. 20.

3) Ad TfTjttaxoff iGGtitui^ quod actiuum est, subiectum estx6 iTtinsdov (in quo et axis et puncta contactus sunt).

4) Zeitschr. l Math., hist. Abth. XXV p. 49, nr. 8.

B) Sid, non «jro, quod exspectaueris,posuit Archimedes,

quia lineae illae in utramque partem sectionis producendae sunt.

368 IIEPI KSiNOEIAE<^N KAI SÂIPOEIAES^N.

vTtoxeiGd^co ra elQrjêva, xal Xeld^pdô xv 6aêtov

eTtl rag yevoêvag rofiag, Slcc de tov yevoêvov 6a-

[leCov xal xag evdêLag xag xag a<pag e7CLêvyvvov6ag

eTtLTtedov a%^(xi. xeêt drj xovxo xo xe OqâLQoeLdeg

5 xal xa TtaQaXXaXa eTCLTteda. e6XG) ovv a êv xov

6(paLQoeLdeog xoaa a ABFzi [^6lE,vyovL0v^ xmvov xo^d,

at de xcav eTtLTtedcov xcov tpavovxcov xoâl at EZ, H®

^

Z ^^ AevdêiaL^ xb de Xatpêv 6aêtov xo A^ a de xdg d(pdg

eJtLêvyvvoviSa e^xco d B^' TteêCxaL de avxd dta xov

10 xevxQOV d de roi TtaQdXlT^Xov eitLTtedov ,xotg eTtLifjav-

6vxe66LV ejtLTteSoLg xo^d d FA' e66eLxaL de avxd dta

rov xevxQOv dyêva, eTtel xal xo eTtLTtedov. eTtel ovv

e6XLv d ABFA i^xol xvxXog t] o^vycovLOv xmvov xoîd,

xal eTCLTpavovxL avxdg 8vo evdêCaL at EZ, H@^ dta

15 de xov xevxQOv dxxaL TtaQaXXrjXog avxatg d AF^ d^-

Aoi/, (og at djto xcov A, F dyoêvat 6aêLOv Jta^d xdv

B jA eTtLjpavovxL xdg xo^dg xal exxog TteôvrnaL xov

6(paLQoeLdeog. — el 6e xa xb TtaQdXlrjXov eTtLTtedov

xotg e7tL\pav6vxe66LV eTtLJtedoLg fi^ dta rov xevxQov

20 dyiievov rjj cog xb KA, SrjXoVy cog xdv djtb xdg xo^dg

2. ysvofiivov] delet Nizzius. 4. Sq] Nizzius ; ds F, uulgo.

7. STtLipcivovrcov? 8. 8i] Nizzius; Srj F, uulgo. 9. ne6st-


supposita sint ea, quae diximus, et sumatur punctum

aliquod in sectione orta, et per punctum ita sumptum

et lineam puncta contactus iungentem planum du-

catur. hoc igitur et spharoides et plana parallela se-

cabit. itaque sphaeroidis sectio sit ABF^ coni [acu-

tianguli]^) sectio [prop. 11, c], sectiones uero planorum

contingentium lineae EZ^ H@, et punctum sumptum

Af et linea puncta contactus iungens sit J5z/; cadet

autem per centrum [prop. 16, c]. plani autem planis

contingentibus paralleli sectio sit FA linea; ea autem

per centrum ducta erit, quoniam etiam planum [per

centrum ductum est]. quare quoniam ABFzl aut

circulus^) aut sectio coni acutianguli est [prop. 11, c],

et eam contingunt duae lineae EZy H0y et per cen-

trum iis parallela ducta est linea AF^ adparet, lineas

a punctis A, F ductas lineae Bz/ parallelas sectionem

contingere^) et extra sphaeroides casuras esse.

sin planum contingentibus planis parallelum non

per centrum ductum est, uelut KA, adparet, linearum

1) Putauerim, o^vycoviov lin. 6 delendum esse, cum se-

quatur lin. 13: ^rot xvxXog rj o^vytovLov Ktovov zoficc.

2) Hoc fit, ubi plana parallela in terminis diametri sphae-roidis contingunt, et punctum ita sumitur, ut linea ab eo adid planum perpendicularis, quod per puncta contactus positumest, in ipsam lineam puncta contactus iungentem cadat.

3) Apollon. I, 17; Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 49nr. 9.

Tttt] noQSvoEzav Nizzius. Si] scripsi; drj F, uulgo. 10. sni-tpavovtsGGL F. 11. dsl drj Nizzius. 14. snLifjccvmvti F; corr.

Torellius. ccvtccg] Torellius cumV; ccvtai F, uulgo. ^vo]scripsi; ai dvo F, uulgo. 17. iuL^avovtt] scripei; snLipavcavtt

F, uulgo; fort. inLtffavaovvti. nai] om. F; corr. Torellius.

18. xa] scripsi; xat F, uulgo. 19. smtpavovtsGaL aafiSLOLg fii]

F; corr. Torellius.


370 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI 2:*AIP0EIAESiN.

dyofievav svdêidv aC êv inl ta avta ysvofievat rcS

ikdeeovL t^dfiarc ixtos môvvtat, rov ^fpaLQoeidiog^

ai $£ inl ^dtsga ivtog.

LtJ ,

5 ndv (Sx^jâ CtpaiQOSLdeg iTCmidc) tâd^sv did roi;

xivtQOv 6Cxa ts^vitac vno tov istLTtiSov xal avto xal

d inL(pdvHa avtov.

tetiided-a yaQ ro 0(paLQOH$Eg iTCtnidci did Toi;

xivtQOV 7}tOL dri xal d^d tov dôvog i^CeLtat tetfia-

10 fiivov 7} jcot' OQd^dg 7} ^rj itot^ OQd^dg ta dôvL, el

Hev ovv $Ld tov dôvog te^vitaL rj jcot' OQd^dg tcj

dôvL, dÂov, dog dL%a te^vitac ts avtb xal d inc-

fpdvsLa avtov. (paveQOv yaQ, otc i^paQôêc ro eteQOv

fiiQog avtov iicl to etSQOv^ xal d imtpdveLa tov itiQOv

15 îQovg iTcl tdv tov etiQov. — dXX\ e6tG) firj Scd rov

dôvog tetâ(iivov (ifjde icot OQ^dg rc5 d%ovL. tâ-

dîvtog drj tov 6(paLQoeL$iog iTCLTcidoi OQdâ Tcotl to

tifivov iiCLTCedov dcd tov dôvog avtov êv rov 6%^-

fiatog toiid eCta d ABF^ o^vycovLOv x(ovov rofia,

20 dLaêtQog de avtdg e6tG) xal dl^cav rov 6(paLQoeLdiog

d BJ^ xal xivtQOv to 0, rou de ijCLJcidov tov tstâ-

1. dyofiivccv] scripsi; vav yBVOfisvav F, uulgo; rccg ysvo-

fiEvag Nizzius. tc5] scripsi; ro) r« F, uulgo. 2. t(id(iatL'\

sic F. 4. h' Torellius. 10. rj (iri tcot' oqd-dg] om. F; corr.

Torellius; „aut erecto aut non erecto" Cr. 12. rs] scripsi;

TO F, uulgo; de uerborum ordine cfr. Xenoph. Hellen. III, 4,

3, aL 15. tov itsQOv] scripsi; tov om. F, uulgo. 16. (irjSs]

scripsi; (iri F; fiiits uulgo.*


a sectione ductarum eas, quae in eadem parte sint, in

qua sit minus segmentum, extra sphaeroides casuras

esse, quae in altera parte sint, intra.

XVIII.

Quaeuis figura sphaeroides plano per centrum secta

in duas partes aequales plano secatur et ipsa et su-

perficies eius.

'

secetur enim sphaeroides plano per centrum ducto.

erit igitur aut per axem quoque sectum aut plano ad axem

perpendiculari aut non perpendiculari. iam si per axem

uel plano ad axem perpendiculari secatur, adparet, et

ipsum et superficiem eius in duas partes aequales secari.

nam manifestum est, alteram partem eius alteri con-

gruere, et superficiem alterius partis superficiei alterius.

sit autem ne per axem neu plano ad axem per-

pendiculari sectum. itaque secto sphaeroide per axem

plano ad secans planum perpendiculari ipsius figurae

sectio sit ABF^ coni acutianguli sectio, diametrus

J Ifautem eius et axis sphaeroidis sit J5z/, et centrum sit

@, plani autem per centrum sphaeroides secantis sectio

24* ,

372 nEPI KS^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAEaN.

ocotog dicc tov xevtQov to ^(paiQOSidsg sCtcj toâ a

AF svdêta. ksldcpd-c} dt] ti xal aklo CfpaiQosidsg

l'6ov xal oôiov tovtcjj xal tâd^svtog avtov dia tov

aôvog STtiTtsda toâ satco a E Z H N o^vyaviov

5 X(6vov to^d, did^stQog ds avtdg xal dâv rov Ccpat-

Qosidsog d EH, xal xsvtQOv to K. Kal did tov Kdxd^co d ZN yovCav TtotovCa tdv K i6av ta 0, djto

6s tdg Z N sTtiJtsdov s6tco dvs6tax6g OQd^bv Ttotl tb

STtCitsdoVy iv cj} s6tiv d EZHN tofid. ivtl drj dvo

10 o^vycovCcov xcovov toâl ai ABr/t y EZHN tcai Tcal

oôCai dlkdXatg. icpaQôôvti ovv iii dXXdlag, ts-

d^Siâg tdg EH inl tdv B A Tcal tdg Z N iitl tdv

AF. i(paQ^6t,si ds xal tb iitCitsdov tb xata tdv NZrw iTtiTtidco r« xatd tdv AF, iitsl dnb tdg avtdg

15 yQa^^dg itotl tb avtb iitCitsdov d^cpotsQa oQ^^d ivti.

icpaQiLot^si ovv %al tb t^dâ tb vitb tov iitiTtsdov

dnots^vb^svov tov xatd tdv NZ d7t6 tov 6cpaiQ0Si-

dsog ro i^Jtl td avtd rc5 E rw stsQG) tfidfiati ta dno-

tsiivoiisvcp d7t6 tov stSQOv 6(paiQOSidsog vn6 tov ijti-

20 Ttsdov tov Tcatd tdv AF iitl td avtd rc5 5, xal ro

},Oi7t6v t^dâ inl ro loiTtov^ xal at imcpavsCai tcov

tîa^dtcav ijtl tdg iiticpavsCag. itdXiv 8s xal tsd^sCâg

tdg EH iitl tdv B A ovtcog^ Sats ro ^sv E xatd to

A KsCadât^ t6 d\ H xatd t6 B, tdv ds [ista^v tcov

25 N, Z Oa^sCov yQa^^dv ijtl tdv ^sta^v t(ov A, F6a^sCc!)v, drjXov, cog aC ts t^v 6%vycovCcov Tcoivov toâl

icpaQôôvvti iii dXldXag, xal t6 ^sv Z iitl to F7ts6sCtai, ro ds N iitl ro A. oôCog xal to iitCTtsdov

1. xo ocpaiQOSiSsg] scripsi; rov GcpociQOSLSsg FC*; rov ffqpat-

QosiSsog uulgo. 7. ZiVJ Zif F. 9. Sj] Svo] scripsi; Sicc

tcov F, uulgo; Sri toav Torellius. 11. aUalat?] Torellius;

BE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 373

sit linea AF. sumatur igitur etiam aliud sphaeroides

huic aequale et simile, et secto eo plano per axem

posito sectio sit EZHN coni acutianguli sectio, dia-

metrus autem eius et axis sphaeroidis EH [prop. 11, c]

et centrum K. et per K ducatur ZN angulum Kaequalem faciens angulo 0, et in ZiVplanum erigatur

ad id planum perpendiculare, in quo est sectio EZHN.itaque duae sectiones conorum acutiangulorum sunt

inter se aequales et similes ABF^, EZHN. quare

inter se congruunt. linea EH in Bz/ linea posita et

linea ZiV in ^jT. et etiam planum in NZ linea po-

situm plano in linea ^F posito congruit, quoniam

utrumque ab eadem linea ad idem planum perpendi-

culare est [p. 367 not. 2]. quare etiam segmentum

plano in linea NZ posito a sphaeroide abscisum in

eadem parte positum, in quo est E punctum, alteri

segmento congruit ab altero sphaeroide plano in linea

^r posito absciso in eadem parte, in qua est Bpunctum, et reliquum segmentum reliquo, et super-

ficies segmentorum inter se. rursus autem etiam linea

EH in linea iJz/ ita posita, ut E punctum in z/ po-

natur, H autem in 5, linea autem iV, Z puncta iungens

in linea puncta ^, F iungenti, adparet fore, ut et

sectiones conorum acutiangulorum inter se congruant,

et Z punctum in F cadat, et N punctum in ^. eodem

aXXrjXais F, uulgo. scpccQfio^mva F; corr. Torellius. ccXXccg

F; corr. Torellius. 12. tcig ZiV] a ZN F; corr. Torellius.

13. reo 'natci F. 15, notQ ogdâ noii Nizzius. op^d"»]

scripsi; om. F, uulgo. 18. xo inl ta avta tc5 E] scripsi;

To sm tag F, uulgo; ra avta tc5 E, t6 inl tws Torellius; ta«vTo: Tc5 E Nizzius. anoxsfivcofisvoi F. 21. at snicpavsiaL]

Torellius; a snicpavsia F, uulgo. 27. icpaQinoôvvti] scripsi;

iffa^lioôvvtL F, uulgo.

374 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<JAIP0EIAESiN.

t6 xata tav NZ iq)aQ^6^€L tc5 iTtLTtedc!) tip xata tav

AF^ xal rc5i/ tâfidtwv tciv aTiots^vofievcov v7to rov

iTiLJtidov tov Tcata tav NZ to ^lv iitl ta avta taH itpaQô^BL rc5 t^dâtL rc5 aTtots^voîvcj vno Toi)

5 iitLTtidov tov xatd tdv AF inl td avtd rc5 B. tb de

iitX td avtd tco E rc5 inl td avtd rc5 ^. iTtsl ds

to avtb t^dfia icp ixdtSQOv rc5i/ tâ^dtov itpaQôêt,

dijXov, otL L6a ivtl td tfidâta' did tavtd ds xal at

iTtLtpavsLat.

10 Ld'\

T^dâtog dodîvtog ojtotSQOVOvv tcov xcavosLdicav

ditotstfiaiisvov ijtLTtidG) OQd-ci Ttotl tbv dôva '?/ rc5v

GcpaLQOSLdicav bnotsQOVOvv î] fiSLôvog f]^L0ovg tov

6xpaLQOSLdiog bÔLCjg djtots^voîvov dvvatov i6tL 6xrjâ

15 6tSQsbv iyyQatlâL xal dXXo 7tsQLyQdi{jaL ix xvlLvdQcav

l6ov vilôg iyjovtcav 6vyxsL^svov, S6ts tb TtSQtyQatpo-

fisvov 6xijâ tov iyyQacpivtog ild66ovL vnsQixsLV

Ttavtbg tov TtQOtsdîvtog 6tSQSov fisysd^sog.

dsdo^d^cj t^dâ, olov i6tL tb ABF. tâd-ivtog ds

20 avtov iTtLTtidcp did tov dôvog tov ^sv t^dâtog to^d

s6tG) d ABFxcDvov rofta, rov ds iTtLTtidov tov dnotstâ-

xotog tb tfidâ d AF sv^sla, dôv ds s6tG) rov t^dâ-

tog xal dLdfistQog tdg to^dg d B A. insl ovv vitoxsCtaL

tb KTtots^vov iTtLTtsdov OQd^bv slybsv Ttotl tbv dôva,

25 d to^d xvxlog £(?rt, dLd^stQog ds avtov d FA. ditb

8s tov xvxkov tovtov xvkLvdQog s6to dôva sxcov tbv

1. xo xara F. 6. xo E F. xo J F. 7. Bcp' sy.oixsqov\

scripsi; gxaTSôv F, uulgo; SKaxiQco Torellius. 8. xd ccvxu B.

cct] d F. 10. xa' Torellius. ' 13. 7}[itasog7 14. iaxi]

scripsi; sgxul F, uulgo. axrjfia] Barrowius; x(iafia F, uulgo.

16. ix6vx(ov cvynsi^svov] sxovxav xcov (comp.) avynsLfisvov F;


modo etiam planum in linea NZ positum plano in

AF posito congruit, et ex segmentis plano in NZposito abscisis id, quod in eadem parte est, in qua

punctum Hj congruit segmento plano in ^F posito

absciso in eadem parte, in qua B, praeterea quod

in eadem parte est, in qua est punctum Ey ei, quod

in eadem parte est, in qua z/. et quoniam idem seg-

mentum utrique segmento congruit, adparet, segmenta

aequalia esse, et eadem de causa etiam superficies.

XIX.

Dato segmento utriusuis conoideon absciso plano

ad axem perpendiculari, uel segmento utriusuis spbae-

roideon non maiore, quam dimidia pars sphaeroidis est,

eodem modo absciso fieri potest, ut figura solida in-

scribatur, et alia circumscribatur ex cylindris altitu-

dinem aequalem habentibus composita, ita ut figura

circumscripta inscriptam excedat spatio minore, quamquaeuis data magnitudo solida est.

datum sit segmentum, quale est ABF, et secto

eo plano per axem posito segmenti sectio sit ABFconi sectio [prop. 11], plani uero segmentum abscin-

dentis linea AF. axis autem segmenti et diametrus

sectionis sit B ^, iam quoniam suppositum est, pla-

num abscindens ad axem perpendiculare esse, sectio

circulus est, et diametrus eius FA [prop. 11]. in hoc

autem circulo cylindrus construatur axem habens JBz/.

corr. Barrowius. 20. tov /xaV] scripsi; om. F, uulgo. tofia]

TOjLtaff F; corr. ed, Basil.* 21. ci7coT8r(ir}%cotog F, dnotst(if}-

xoTO? ceteri codd. , dnotsfivovtos ed. Basil., Torellius. 24,

«OTt'] scripsi; sni F, uulgo; u. not. crit. p. 362, 2. 26. tov]tav Nizzius.

376 nEPI KiiNOEIAEiiN KAI 2:4»AIPOEIAEiiN.

B z/. TteGeirai de a inKpdvELa avtov ixzog Tot5 t^d-

fiatog^ 87160 i0tLv rjtoi xcjvoetdeg 7] GqâiQosLdeg fir^

fietôv rov rj^toeog rov 6(paLQoeLdeog. tov ^rj kvXlv-

Sqov tovtov del îyia te^voêvov iTCLitedcj oQd-ci notl

5 Tov aôva, iaaeCtaL Ttote to xataXeLTtoêvov eXa66ov

Tor TtQOtedêvtog 6teQeov êyedêog. e^tco drj t6 xata-\

XeleLfiêvov dit avtov xvkLvdQog 6 exav ^d6LV tbv 1

xvxXov tov TteQi dtdêtQOv tdv AF^ dôva de tbv

E^ iXdeaov tov TtQoted-evtog 6teQeov êyedêog. dLaL-

10 QYia^G) dri d B J ig tdg tcag ta E zt xatd td P, O,|

77, S, xal djtb tdv dLaiQe6Lov dx^cov evd-eCaL JtaQa

tdv AF e6te Jtotl tdv tov xmvov tofidv, ditb de tdv i

aidêL^dv iitLTteda dve6taxeto OQd^d itotl tdv B^.i66ovvtaL drj al toâl xvxkot td xevtQa iôvteg inl

15 tdg 5z/. dq)' exd6tov drj tSv xvxXov dvo xvkLvdQoi

dvayeyQd^pd^cov, exdteQog e%ov dôva l6ov toEzl, 6 êv

inl td avtd tov xvxkov^ i(p' d i6tL t6 ^, 6 de inl

xd avtd, iq)' d i6tL tb B. i66eLtaL dTJ tL iv tc5 t^d-

fiatL 6%rnia 6teQebv iyyeyQa^fievov ix tcov xvXlvSqov

20 6vyxeLêvov tcov inl td avtd dvayQagêvtov ^ i(p' d

i6tL t6 z/, xal dXXo TteQLyeyQa^êvov ix tov xvkCv-

6qov 6vyxeCêvov tcov iitl td avtd dvayQa(pevtov,

i(p' d tb B i6tLV. loLTtbv de i6tL deCâL, btc tb

TteQLyeyQa^êvov tov iyyeyQa^fievov vJteQexeL iXd66ovL

2. iGTiv] sGtiv (comp.) Ss F; corr. Torellius. 3. rjiiLGBcas

F; corr. Torellius. 6. S'^] scripsi; Ss F, uulgo. ^cctuXs-

li(ifisvov F. 7. 6] om. AB, ed. Basil. , Torelliua. 9. sXaa-

60V F; corr. Torellius, StaiQSLa&(o F. 10. ra] Tug F; corr.

Torellius. 11. SiaLQSffsaiv F, uulgo. 12. sars'] icraL (per

comp.) F, uulgo; corr. Torellius. 14. saovvTai F. 16. ava-ysYQacpd^co puncto addito F; corr. Torellius. 17. y.vy.Xov]

scripsi, collata p. 384, 17; kvXlvSqdv F, uulgo. 19. gtsqsov^

CTSQSOv s-K Toov (comp.) F. 21. fx] cvynsLfjLSvov fXT« F, uulgo;


'superficies autem eius extra segmentum cadet, quo-

niam est aut conoides aut sphaeroides [segmentum] ^)

non maius dimidia parte [totius] sphaeroidis [prop.

15, a— b; prop. 17]. hoc igitur cylindro semper dein-

ceps in duas partes aequales diuiso planis ad axem

perpendicularibus, aliquando quod relinquitur, minus

|erit data magnitudine solida. itaque quod ex eo re-

linquitur, sit cylindrus basim habens circulum circum

diametrum AF descriptum, axem autem E^j [qui]

minor [sit]^) data magnitudine solida. diuidatur igitur

linea B ^ in lineas lineae EJ aequales in punctis

P, O, H^ tSl^), et a punctis diuisionis lineae ducantur

lineae j4 F parallelae usque ad sectionem coni, et in

ductis lineis plana erigantur ad lineam jBz/ perpen*

dicularia. sectiones igitur circuli erunt centra habentes

in linea B A. in singulis igitur circulis bini cylindri

construantur uterque axem lineae E /i aequalem ha-

bentes, alter in eadem parte circuli, in qua est Apunctum, alter in eadem, in qua JB. ergo in segmento

figura quaedam solida inscripta erit ex cylindris com-

posita in eandem partem constructis, in qua est punctum

^, et alia circumscripta ex cylindris composita in

1) Ad xcoi^oetdE? et GtpccLQOBidss lin. 2 auditur: tficc^ce.

2) Fortasse retineri potest iXaaaov lin. 9 ad ro -KataXs-

I Xtififiivov lin. 7 relatum.

3) Figura ita comparata esse debebat, ut numerus partiumlineae BJ per quattuor diuidi posset, quia cylindrus „semperdeinceps in duas partes aequales diuisa" esse fingitur (Hn. 3 sq.).

evyKSLfiEvov om. B, rf deleui. 22. cvyHSi^svov'} recepi ex F;om. C, ed. Basil., Torellius. 23. Post Iqp' a in F repetunturhaec: to J xat (per compendium simillimum compendio lgov)

aXXo nsQLyByQUfifisvov Gvyasifisvov «x rs rcov hvXlvSqoov ravf snL Ttt avrcc avctyQCicpsvrtov scp' a; corr. C. sorLv] comp. F.icrL] comp. F; om. AB, ed. Basil., Torellius.

378 IIEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAE^N.

rov TtQOtsdêvTog OtSQSOv ^sysd^sog. 6xoc6tog drj tmv

^vkivdQov toov sv ta syysyQa^^svip 6%riâti i6og

i6tl ta xvlLvdQG) ta afco tov avtov xvxXov avayga-

(poîsvG) S7tl ta avta ta B, (og 6 ^sv ®H r» 0/, 6

f) ds K A t^ K M, xal oC aXkoi Giâvtag. xal ndvtsg

B Z-\

M/

/

9 ^

\ f

p^ o M\

r

n A\

r \-

\\

A A rdri oi xvXCvdQOL ndvts66iv 1'6ol svtC. di]Xov ovv^ ot

tb TtsQiysyQa^^svov <?%^fta roi5 iyysyQa^^svov vTtsQsxsL

ta xvXCv8Q(p rc5 ^d6LV sôvtL tbv xvxXov tbv TtsQi

dLa^stQov tdv AF^ aôva ds tdv EA. ovtog 6s i6tLv

10 iXd66Giv tov TtQOtsd-svtog 6tsQS0v ^sysd^sog.

X .

Tîdâtog dod^svtog oTtotsQOvovv tcov xcovosLdscov

ccTtotstâ^svov iTtLTtsdip ^17} OQdâ Jlotl tbv aôva rj

tcov 6(paLQ0SLdsov oTtotsQovvov ^rj ^SLôvog r]iiC6sog

4. TO)] (prius) ro P; corr. Torellius. 6. Sr]] scripsi; 6s F,


«andem partem constructis, in qua est B. restat autem^

ut demonstremus , figuram circumscriptam excedere

inscriptam spatio minore, quam data magnitudo solida

est. unusquisque igitur cylindrorum figurae inscriptae

aequalis est cylindro in eodem circulo constructo in

j

eandem partem, in qua est punctum 5, uelut 0if= /,

\k A =^ K Mj et ceteri eodem modo. quare etiam

omnes cylindri omnibus aequales sunt. adparet igitur,

figuram circumscriptam excedere inscriptam cylindro

basim habenti circulum circum diametrum AF de-

scriptum, axem autem E^. hic autem minor est data

magnitudine solida. ^)

XX.

Dato segmento utriusuis conoideon absciso plano

non ad axem perpendiculari, uel segmento utriusuis

sphaeroideon non maiore, quam est dimidia pars

sphaeroidis, eodem modo absciso fieri potest, ut in

1) Ex hypothesi p. 376, 9. hoc autem fieri potest perEucl. X, 1; cfr. Quaest. Arch. p. 45.

Tiulgo. TCCiGiv F, uulgo. svti] scripsi; slglv F, uulgo. 11.

yi§' Torellius. 14. 7i(iL6sog] scripsi; tkhhvkXiov F, ceteri codd ;

r}(iiGovs ed. Basil., Torellius; ,,dimidia" Cr.

380 HEPI KSiNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAE^N.

TOv Gq^ccLQOSideog Oftotog ccjtotitââvov Svvarov icxLV

sis To tfiaâ <?;t^ft« CteQSov iyyQdtpat xal aXko neQu-

yQaipat ix KvkivdQGiv to^cov vtpog l'0ov ixovtov 6vy-

x6c^£vov, Sere to TteQiyQacplv <3%riiia rov iyyQatpoîi-

5 vov v7t€Q8xeiv ikd60ovi Ttavtog roi) TtQOtedîvtog ^teQeov

êyidêog.

ded66d^G) t^dâ, olov eiQT^tat. tâdêvtog de rov

OxYiâtog iniTtidc) dXkc) did rov dôvog OQdâ notl

ro intnedov ro dnotetiiaxog to do^êv t^dâ rov êv

10 ax^âtog to^d e6ta d ABF xcovov rofta, tov dh

ininidov tov dnotetâxotog ro t^dfxa d FA evêta.

inel ovv vnoKeCtai to inCnedov to dnotetfiaxog ro

t^dâ ^rj elêv oQdôv notl roi/ dôva, d to^d i66eC-

tac o^vycDvCov xcavov to^d, dtdêtQog de avtdg d AF,15 e6tG) drj naQaXkrikog td AF d ^T initpavovâ tdg

tov Kcovov to^dg^ invipavitco de xatd to B, xal dno

tdg T dve6taxitc3 inCnedov naQdXkrjkov rc5 xatd

rdv AF' inLipav6et de ro-uro rot5 ^;f?Jfi«rog xatd to

B. xal el fiev i6tt to t^dâ oQdôycjvCov xovoetdiog^

20 dno rov B dx^co na^d roi/ dlE,ova d B ^, et de d^-

pXvyovCov ^ dno tdg xoQVcpdg tov xojvov tov neQt-

ixovtog to xcovoetdeg evêla dxêi6a int tb B ixê-

pXrj^dô d BA, et de 6(patQoet6iog, inl tb B dxêt6a

evd-eta dnoke^.dg)d^c!) d B/1. drjXov drj, ort tifiveL d

2b Bzt dCxa tdv AF. i66eCtaL ovv\ tb êv B xoQvcpa

2. ilg xo Tfittfta] cum F; eIs avxo Torellius. gxthlcl] om.F; corr. Torellius. xal dXXo nBQiyqcLipui,] om, F; corr. Ri-

ualtus. Byyqdtpai] syysyqwipciL F. 3. cvynELpLSvovl xoav

crvyxft/u-fvcov F; corr. Torellius. A. iyyQUcpsvxogB. T.xfiaficcli

sic F, ut lin. 9, 11, 13, 19. 10. ABrj ¥; corr. Nizzius. 14.

AF] z/jT F; corr. Torellius. 15. l'<>rco dij nccQccXXriXog xu AFÛom. F, uulgo; suppleuit Torellius, qui tamen Sri omisit et proj

^rhabet ry^;'„8it uy contingeiis" Cr. 19. Y,ovosiSsoi F.j


segmento figura solida inscribatur et alia circumscri-

batur ex cylindrorum frustis altitudinem aequalem ba-

bentibus composita/ ita ut figura circumscripta excedat

inscriptam spatio minore, quam quaeuis data magnitudo

solida est. — datum sit segmentum, quale dictum est.

figura igitur alio plano per axem secta ad planum

datum segmentum abscindens perpendiculari figurae

sectio sit ABF coni sectio, plani autem segmentum

abscindentis linea F A. iam quoniam suppositum

est, planum segmentum abscindens ad axem perpen-

diculare non esse, sectio erit coni acutianguli sectio,

et diametrus eius linea AF^) sit igitur linea ^Vlineae AF parallela coni sectionem contingens, et con-

tingat in puncto J5, et in linea OT erigatur planum

plano in y^r posito parallelum. hoc igitur figuram

in B puncto continget [prop. 16, b]. iam si est seg-

mentum conoidis rectanguli, a B puncto ducatur B^axi parallela, sin [segmentum conoidis] obtusianguli,

linea a uertice coni conoides comprehendentis ad Bpunctum ducta producatur [et sit] B^, sin [segmen-

tum] sphaeroidis, linea [a centro spbaeroidis] ad Bducta abscindatur [et sit] B^.'^) adparet igitur, lineam

B /J in duas partes aequales diuidere lineam A F. ^)

1) U. propp. 12,^ 13, 14. ^

2) Exspectatur dxd-Sioas sv&^slus ccTtoXsXdcpd^a) lin. 23—24.

puto tamen, constructionem duram nec satis logicam ferri posse.

3) In conoidis rectanguli segmento adparet ex quadr. pa-rab. prop. 1, de ceteris cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 56 nr. 26, p. 49 nr. 7.

23. int] dno tov nsvtQov snC Commandinus; scribendum puto:dno rov yisvtQOv tov acpaLQOSiSsos snC. 24. 8ri] scripsi; ds F,

uulgo. 25. sGosCtcci] scripsi; sGtat, F, codd. ceteri*; sativ ed.

Basil., Torellius; „erit igitur" Cr.

382 nEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAE^N.

TOt; t^dfiatog, a ds BJ avêta aicov, eOtiv 8ri tLg

ols^vycovLOV xcovov toâ jcegl did^stQOv tdv AF^ Hoi

yQa^fid d B^ dno rov xevtQOV dveGtaxovCa ev OQdâ

iTanedm notl ro iniTiedov, ev a eotiv d tou oifVyGiVLov

5 x(6vov toiidy dLa tdg iteQag ^LaêtQOv eovtog rov

iTCLTcedov. dvvatov ovv iotLv xvIlvSqov evQeiv dôva

exovta tdv B jd, ov iv ta ijcnpaveLa i66eLtaL d tov

o^vyavLOV X(6vov to^d JceQL dLdêtQOv tdv AF. ne-

0eLtaL de d inL<pdveLa avtov ixtbg tov t^dâtog,

10 ineL ictLv jjtOL xcovoeLdeog rj 6(paLQoeLdeog t^dâ^ xal

ov êLôv i6tLv tov rjfiiOecog tov 6(paLQoeL8eog. i66eL-

taL drj tLg xvXlv8qov tofiog pd6Lv fiev excav tdv rov

o^vyavLOv xcovov to^dv tdv neQL 8LdêtQov tdv AF^

7. snnpavBiai F. 9. x^,dâzo?] sic F, ut lin. 10. 11.

Tov] (prius) addidi; om. F, uulgo. ^/xt<yfof Torellius. 12. 8ti\


itaque B punctum uertex segmenti erit, linea autem

jBz/ axis.^) quare data est coni acutianguli sectio

circum diametrum ^F descripta, et linea Bzi si centro

erecta in plano ad id planum perpendiculari, in quo

est sectio coni acutianguli, ita ut planum illud per

alteram diametrum positum sit. fieri igitur potest,

ut cylindrus inueniatur axem habens B ^ lineam,

cuius in superficie sit sectio coni acutianguli circum

diametrum AF descripta [prop. 9]. superficies autem

eius extra segmentum cadet, quoniam est aut conoidis

segmentum aut sphaeroidis non maius dimidia parte

sphaeroidis.^) erit igitur frustum aliquod cylindri ba-

sim^) habens sectionem coni acutianguli circum dia-

metrum A F descriptam, axem autem B ^. frusto

1) B punctum uerticem esse adparet ex p. 276, 7; 278,

20 ; 282, 12. porro cum B d lineam AT vcl duas partes aequa-les dinidat, diametrus est segmenti et diametro sectionis (hoc

est axi conoidis uel sphaeroidis; u. p. 274, 20; 278, 6; 282, 2)

parallela (Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 44); tum u.

loci supra de uertice laudati.

2) Sequitur in conoidibus ex prop. 15, a—b, quia E -J axis

est, et$^, TT lineae axi parallelae, in sphaeroidibus ex prop.

17, quia Bz/ puncta contactus iungit (prop. 16, c).

3) Poterat fortasse retineri ^aaiag lin. 12.

scripsi; Ss F, uulgo. jSaffmg F; corr. C. tay] tag F; corr.

Torellius. 13. to[iag F; corr. Torellius.


ccôva d€ rccv BzJ. rov ovv roôi» dixcc te^vo^svov

BTCiTtedoLg TtaQaXlriloig ra imTCsdc) rc5 xara rav AFi^CeCrai ro TcaraXsLjto^svov aXa66ov rov TCQorsd-svrog

^rsQsov ^sysd^sog. sGrco roôg ^dîv ^sv sicav rav

5 rov o^vycavCov xoavov roâv rav tcsqI did^srQOv

rdv AF^ aôva ds rdv E /J sldeGcov rov TtQO- ,

rs^svrog orsQSOv ^sysd^sog. diriQriCd^c) drj d ^ Big rdg l'6ag ra /J E^ xal aTtb rdv diaLQseCcav di^mvsv^sCaL TtaQd rdv AF s6rs Jtorl rdv rov xcovov ro-

10 ^dv^ aTto ds rdv dx^^SLedv ijtCTtsda dvs6raxsrcov

TtaQdkXriXa rw xard rdv AF i7tL7ts8(p. rsfivovrL dri

ravra rdv i7tL(pdvsLav rov r^dârog^ xal i66ovvrav

o^vycovCcsv xcivcov roâl oôCul ra TtSQL rdv AF dLa-

fisrQOv, iitsl TtaQdkXrjld ivrL rd inCTtsda. d(p^ sxd^rag

15 drj rdg rov o^vyavCov xtovov ro^dg dvaysyQa^pd-cov

xvXCvdQOv roiuoL dvOj 6 [isv ijtl rd avrd rdg rov -

o^vyovCov xoovov ro^dg ra z/, o ds iTtl rd avrd ra

Bf dôva iôvrsg l6ov rc5 ^ E. i66ovvraL dr/ rLva .

6ir\\3Lara 6rsQsd, ro fisv iyysyQa^^svov iv ra rfidfiarL, \

20 rb ds TtSQLysyQa^^svov, ix xvXCvSqov roôv l'6ov vxlôg

ixovrcDv 6vyxsC^sva. koLitbv ds i6rL dsCât^ orL rb

TtSQLysyQa^^svov 6%riiia rov iyysyQa^^svov ikd66ovL

vTtsQsxsL rov TtQorsd^svrog] 6rsQsov ^sysd^sog. ^si^X-

d^rj^sraL ds OfioCog ra TtQorsQC), on rb JtSQLysyQa^-

25 ^svov 6x^1 Via rov iyysyQa^^svov vTtSQSxsv rc5 rdftoj

1. ovv] scripsi; ju-fv F, uulgo; Sri Nizzius. Si%u\ aft 81%^Nizzius. 7. z/B] AB F; corr. Torellius. 8. BiuiQBasmv

F, uulgo. 9. Bv&Bioi F; corr. B*. IWf] iatoLi F; corr.

Torellius. 10. ctvBaxa-Aotaiv F; corr. Torellius. Figura in

F pauUo aliter descripta est. 12. Tfta|u.atoff] sic F, ut lin. 19.

âaovvtai] scripsi; iaovvtui F, uulgo. 14. aqp*] scripsi; fqp

F, uulgo; „in unaquaque" Cr. eyittatJig F; corr. Torelliua.


igitur [semper deinceps] in duas aequales partes di-

uiso^) planis parallelis plano in linea AF posito,

quod reliquum est, [aliquando] minus erit data ma-

gnitudine solida [Eucl. X, 1]. frustum basim habens

sectionem coni acutianguli circum diametrum AF de-

scriptam, axem autem ^z/, minus sit data magnitudine

solida. diuidatur igitur linea z/ J5 in partes lineae

^E aequales, et a punctis diuisionum ducantur lineae

usque ad coni sectionem lineae AF parallelae, et in

ductis lineis plana erigantur plano in AF posito par-

allela. ergo haec [plana] superficiem segmenti se-

cant, et orientur sectiones conorum acutiangulorum

sectioni circum diametrum AF descriptae similes, quia

plana parallela sunt [prop. 14 p. 354, 25]. iam in

singulis sectionibus conorum acutiangulorum bina fru-

sta cylindri construantur, alterum in eadem parte

sectionis coni acutianguli, in qua est ^, alterum in

eadem parte, in qua est 5, axem habentia lineae ^ Eaequalem. orientur igitur figurae quaedam solidae,

altera segmento inscripta, altera circumscripta, ex

cylindri frustis altitudinem aequalem habentibus com-

positae. restat autem, ut demonstremus, figuram cir-

cumscriptam excedere inscriptam spatio minore, quamest data magnitudo solida. eodem autem modo, quo

supra [prop. 19 p. 378], demonstrabitur, figuram cir-

cumscriptam excedere inscriptam frusto basim habenti

1) Hic quoque figura ita comparanda erat, uti dixi p. 377not. 3, sed cum mutari nequeat, hic quoque retinui Torellianam.

15. avaysyQacpd^cDVTL F; corr. Torellius. 16. rccg] addidi; om. F,iiulgo. 17. To5] (prius) xo F; corr. Torellius. 18. sGGovvtaL]scripsi; seovvrai F, uulgo. 22. sXaaaov F; corr. Torellius.

Archimedes, ed. Heiborg. I. 25

386 nEPI KiiNOEIAE^N KAI SÂBPOEIAESiN.

rc5 fidCLV ^€v iiovxL xav rov o^vycDVLOv xmvov toâv

tccv TteQL dLcciistQov tav A r, aôva de rav E z/.

ovtog de iotLv iXdeacov tov TtQOtsdêvtog GteQeov

fieyedêog,

5 xa',

Tovtcov TtQoyeyQa^êvcov dnodevxvvGiyLeg td tcqo-

Pe^Xrjêva TCeQL tSv ^xri^dtcav.

ndv t^dâ oQdôycovcov xwvoeideog aTtotetfiafievov

eTtLTtedc) OQd^S Jtotl tbv di,ova thiloXlov eCtv tot) xcovov

10 TOt» ^dCLv eôvtog tdv avtdv tc5 t^dâtL xal dôva.

e6tci ydQ t^dâ OQdôycovLOv xcovoeideog djtotetfia-

Hevov oQdâ eTtLTteSco Ttotl tbv dôva, xal tâdêvtog

avtov eTtLTtedG) dXX(p dLa rov diôvog tdg êv eTttqâveLag

To/Lta e0tcs d ABF OQdôycoviOv x(6vov TOfta, tov de

15 eTtLTtedov tov dnote^vovtog to t^dâ d FA evdêla^

d^cDV de £(?Tco tov t^dfiatog d B ^. eetco de xal

xdsvog tdv avtdv pd0Lv excov tc5 tfidâtv xal dôva i

Tov avtov^ ov xoQVfpd to B. deLXteov, otv tb t^dfia

Tov XG)voeLdeog tj^loXlov eotv tov xcjvov tovtov.

20 exxeL^d-G) ydQ xmvog 6 W rj^LoXLog ecov rov x(6vov,

ov pd6Lg 6 TteQL dLdêtQov tdv AF^ d^cov de d B^.e0tG) de xal xvXLvdQog ^dOLv êv eyjGiv tbv xvxXov

xbv JteQl dLdêtQOv tdv A F, dôva de tdv Bzl. eo-

GeCtaL ovv 6 W xcavog rj^L6eog tov xvXlvSqov [ejteLTteQ :

2. tdv nsgQ ruv om. F. 5. %«'] cum F; in lin. 8 po-

suit Torellius (xy'). 7. tcsqlI addidi; om. F, uulgo. 8.

T|Lta|U.a] sic F, ut lin. 10, 11, 12, 15, 16, 18. KnoTStaaîvov^scripsi; ccnotstfirjiisvov F, uulgo. 10. ccôva tov avtov Niz-

zius. 20. (ov F, uulgo. 21. 6] 6 y.vY.Xog b Nizzius. d^cov

Ss d] aôva $s rav F; corr. Torellius. 24. rjpnosog oXl F(h. e. -qfiiGso^ in 7](ii6Xiog correctum); pro oXi ed. Basil., To-

rellius (non BC*) oAov.


sectionem coni acutianguli circum diametrum AF de-

scriptam, axem autem lineam EzJ. hoc autem minus

est data magnitudine solida.

XXI.

His praemissis demonstremus, quae de figuris pro-

posita erant.

Quoduis segmentum conoidis rectanguli plano absci-

sum ad axem perpendiculari dimidia parte maius est

cono basim habenti eandem, quam segmentum, et

axem [eundem].^)

sit enim segmentum conoidis rectanguli plano

abscisum ad axem perpendiculari, et secto eo alio

plano per axem superficiei sectio sit ABT coni rect-

anguli sectio [prop. 11, a], plani uero segmentum

abscindentis linea FAy axis autem segmenti sit Bzl.

sit autem etiam conus eandem basim babens, quam

segmentum, et axem eundem; cuius uertex sit B. de-

monstrandum est, segmentum conoidis dimidia parte

maius esse hoc cono.

construatur enim conus W dimidia parte maior

cono, cuius basis est [circulus] circum diametrum AFdescriptus , axis autem B z/. sit autem etiam cylin-

drus basim habens circulum circum diametrum AFdescriptum, axem autem B z/. erit igitur conus W

1) Cfr. p. 276, 12: Sia Tt, ff Y.a tov 6q%ôyoiVLov yicovosi-

Ssog tfidfiaTa a7tot(ia&^ iTtmsdo) OQ^^m notl tov aôva, to ano-tyiiad^sv tââ tj^loXiov ioosLtaL tov yimvov tov ^doiv 4%ovtog

tdv avtdv Tc5 tfidfiatL ymI dôva tov avtov. et nsQL sXl-a.

praef. : ort 8s to dnotfia&sv tfidâ rjfiioXiov ioosLtai tov ticovov

To-G §aOLv sxovtog tdv avtdv ta tiidiiatL xai vipog lOOVy dsLâi dst.

25*

388 HEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

rjîolLog i6riv 6 W xc5i/oj rov avrov 7it6vov\ Xsyo,

ori ro r^ccâ rov xavosLdEog i'6ov i0rl ra W Koovci.

BL yag ^ri idrLV l6ov, rjroL ^stôv ivn rj iXa60ov.

sarco di} TtQorsQOv^ sl dvvarovj ^stôv. iyysyQatpdâ

^Xx7\xr

/ / I \ \/ / » \ \

//

/~\

\*/,

/Si z Vd//M J^ \

\A ^ JT

6 ^ri Oxijâ 6rsQsov slg ro rfiaiia, xal aXko TtSQLysyQacpd-c)

ix TivkCvdQCDV vxpog l6ov i%6vrc)v 6vyxsL^svov, S0rs

ro 7tsQLyQa(psv 6xVi^^ '^^^ iyyQatpsvrog v7tSQS%SLV

iXa06ovLy 7] alLKC) v7tSQS%SL t6 rov xc>fWSLdsog rîaâ

rov W x(6vov. xal s6rcD rcov xvXCvdQcov^ i^ (ov 6vy-

10 xsCraL ro 7tSQLyQa(psv 6xrjâ, ^syL6rog ^sv 6 â6Lv

sxcov rbv xvxXov roi/ TtsQL dLcc^srQOv rav AF^ aôva

ds rav E^, iXaxL6rog ds 6 â6Lv fisv 8%^'^ '^^^

xvxkov rov TtsQi dLcc^srQov rav 2JT, aôva ds rav

BI. rSv ds xvXCvdQov^ i^ cov 6vyxsCraL ro iyyQacpsv

4. (isi^cov F; corr. VBD, 5. uXXm F. 6. Gvy-KSifisvov']

rcov Gvynsiiisvoiv F; corr. Torellius. 8. rj aXnto)] scripsi;

nrjXiyiai F, uulgo; i] nrjXiHO} Torellius. ro] tco F. figura in

F male descripta est; / et permutat Torellius. 14. BI]scripsi cum Cr.; BF F, uulgo*; B& ed. Basil., Torellius.


dimidius, quam cylindrus.^) dico, segmentum conoidis

aequale esse cono W.

si enim aequale non est, aut maius est aut minus.

prius igitur, si fieri potest, maius sit. itaque segmento

figura solida inscribatur et alia circumscribatur ex

cylindris altitudinem aequalem habentibus compositae,

ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio

minore, quam quali spatio excedit segmentum conoidis

conum W^)j et cylindrorum, ex quibus composita est

figura circumscripta, maximus sit [cylindrus] basim

habens circulum circum diametrum ^F descriptum,

axem autem E^, minimus autem [cylindrus] basim

babens circulum circum diametrum UT descriptum,

axem autem BI. eorum uero cylindrorum, ex quibus

figura inscripta composita est, maximus sit [cylindrus]

1) Nam cylindrus sit C, et conus ABF sit K; erit ex hy-pothesi W= ^K. sed K = ^C (Eucl. XII, 10) == |

^

d : C= 2 'F.

hoc ipsum significatur uerbis: BTtEiSrinsQ rjfiioXLog p. 386 lin. 24— rov avtov tkovov lin. 1; sed nimis obscurum est tov avrovxcovov; etiam insiS^nsQ, uocabulum ab interpolatoribus amatum,suspectum est; quare haec uerba subditiua esse puto.

2) Hoc fieri potest per. prop. 19.

388 nEPI KSiNOEIAESiN KAI EÂIPOEIAEaN.

^fttoAtog i6TLV 6 W xavog rov avxov x(6vov\ keyco,

OTL t6 r^ccfia rov xavoscdsog i6ov s(Srl ra W xcjvc).

bI yag ^ri ieriv i'6ov, ijroL ^stôv ivn 7] sXa6(5ov.

s0r(o drj TtQorsQOv, sl dvvarov, fistôv. iyysyQdcpd^G)

A ^ jT

5 8ti\ 0%y\\ia 6rsQs6v slg ro rââ, xal alko TtSQiysyQacpd-ci

ix xvICv6qg)v vipog l'6ov i%6vrciv 6vyxsL^svov, Sors

ro TisQLyQafpsv ^xijfia rov iyyQatpsvrog v7tSQS%SLv

iXd66ovLy 7] dkCxci v7tsQS%SL ro rov xc^twsLdiog rfidâ

rov W xojvov. xal s6ro rcov xvXCvdQOv, i^ ov 6vy-

10 xsCraL ro TtSQLyQacpsv 6%rjây ^syL6rog fisv 6 ^d6Lv

s%G}v rbv xvxXov rov TtSQi dLd^srQOV rdv AF^ dôvaj

ds rdv E^, ikd%L6rog ds 6 ^d6Lv fisv €%g)v rov

xvxlov rbv TtSQL dLd^srQov rdv UT, dôva ds rdv

BI. rov ds xvlCvdQov, a| cov 6vyxsCraL rb iyyQacpsv

4. ftftjooy F; corr. VBD. 5. uXXoa F. 6. 6vyy{,SL^Bvov\

rcov 6vyv,SL(isv(ov F; corr. Torellius. 8. rj aAixo)] scripsi;

nrjXLHO) F, uulgo; r) nrjXiyia) Torellius. to] too F. figura in

F male descripta est; / et permutat Torellius. 14. BI]scripsi cum Cr.; BF F, uulgo*; B@ ed. Basil., Torellius.


dimidius, quam cylindrus.^) dico, segmentum conoidis

aequale esse cono W.

si enim aequale non est, aut maius est aut minus.

prius igitur, si fieri potest, maius sit. itaque segmento

figura solida inscribatur et alia circumscribatur ex

cylindris altitudinem aequalem habentibus compositae,

ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio

minore, quam quali spatio excedit segmentum conoidis

conum ^^), et cylindrorum, ex quibus composita est

figura circumscripta, maximus sit [cylindrus] basim

habens circulum circum diametrum AF descriptum,

axem autem E^, minimus autem [cylindrus] basim

habens circulum circum diametrum 2JT descriptum,

axem autem BI. eorum uero cylindrorum, ex quibus

figura inscripta composita est, maximus sit [cylindrus]

1) Nam cylindrus sit C, et conus ABF ^t K; erit ex hy-pothesi W= ^K. sed A' = ^ C (Eucl. XII, 10) = 1 5»" d : C= 2 9»'.

hoc ipsum significatur uerbis: instdrinsg r}(ii6Xiog p. 386 lin. 24— tov avTov y.covov Im. 1; sed nimis obscurum est tou avxovKwvov: etiam ineidrinsg, uocabulum ab interpolatoribus amatum,Buspectum est; quare haec uerba subditiua esse puto.

2) Hoc fieri potest per prop. 19.

6x^^cc, êyi6tog ^sv E6t(o 6 ^cc^lv excov tov xvhXov

tbv TtSQi ditt^stQov tccv KA, aôva ds tccv Ê, sldxL-

^ro^ ds 6 ^ttCiv ^sv sxcjv tbv xvxlov tbv JtsQl did-

^stQov tttv 27 r, ttôvtt ds tttv 01, sxpspX^âd-G) ds

5 ttt SJlLTtsdtt TtttVtCOV tCJV XvXCvdQGiV TtOtl tttV S7tL(ptt-

vsittv tov TivXCvdQov tov ^tt6Lv sxovtog tbv xvxlov

tbv TtSQL dittnstQov tttv AF^ ttôvtt ds tccv 5z/. s6(5sC-

tttL dfj o oXog xvXLvdQog dLtjQrj^svog sCg xvXCvdQOvg

rco fisv TtXrid^SL tOovg totg xvXCvdQOLg totg iv tS itsQL-

10 ysyQtt^^svG) axW^'^^^ '^^ ^^ ^sysd^SL l'6ovg rc5 (isyCctc)

ttVtCOV. Xttl sTtsl tb TtSQLySyQtt^^SVOV 6xV^^ ^^9^ ^^

t^tt^tt sXtt06ovL VTtsQsxsL tov iyysyQtt^^svov (?;^^'âroj,

7] tb t^K^tt tov x(6vov, drjXov, ort Xttl tb iyysyQttu-

^svov ^xrj^tt iv rc5 tâ^tttL ^stôv iotL tov W xcovov.

15 6 dri TtQcatog xvXtvdQog \t(ov iv t(p oAc) xvXCvdQG) 6

sxcov ttôvtt tttv /lE Jtotl tbv\ TtQcjtov kvXlvSqov tcjv

iv t<p iyysyQtt^^svG) (J^^^ârt, tbv sxovttt ccôva tccv

z/jB, tbv ttvtbv sxBL Xoyov, ov cc AA itotX tccv KEdvvtt^SL. ovtog ds i6tLV 6 ttvtbg rw, ov sxbl k B^

20 ;rort tccv BE, xal rcS, ov sxsi' cc /1A itotX tccv ES.

oôCcog ds dsLx^yj6staL xttl 6 dsvtsQog xvXLvdQog tcSv

iv rc5 oXg) xvXCvdQG), 6 sxcov ccôvtt tbv EZ, notl

tbv dsvtsQOv xvXlvSqov tcov iv t<p iyysyQtt^^sva

6xriiicctL tbv ttvtbv sxsi^v Xoyov, ov cc IIE, tovts6tLv

25 a Â, Ttotl tccv Z^, xttl tc5v ttXXav xvXCvdQcav sxtt-

0tog tcov iv tG) oXg) xvXCvdQG) ccôvtt ixovtcav l6ov ta,

12. JyyayôJitt/itEvor] nBQiy^yQuyiiLSvov F; corr. ed. Basil.

13. Tftafta] sic F, ut lin. 14. 15. 6 'ixcov'] scripsi; 6 om. F,

uiilgo. 16. AE FV, CD*; corr. F man. 2. rmv'\ scripsi;

zov F, uulgo. 20. Tc5] xov F. 23. Ttov] scripsi; xov Fuulgo. iyyfyâfLtftsVci)] alterum /x supra man. 1 F. 24.

iX^Lv'] scripsi cum C; bix^v FAD, ed. Basil., %£t B; ejjcov


basim habens circulum circum diametrum KA descri-

ptum, axem autem ^dEj minimus uero [cylindrus] basim

habens circulum circum diametrum UT descriptum;

axem autem @I. producantur autem plana omnium

cylindrorum usque ad superficiem cylindri basim ha-

bentis circulum circum diametrum AF descriptum,

axem autem 5z/. totus igitur cylindrus diuisus erit

in cylindros numero cylindris figurae circumscriptae

aequales, magnitudine autem maximo eorum aequales.

et quoniam figura circum segmentum circumscripta

excedit figuram inscriptam spatio minore, quam quo

segmentum conum excedit^ adparet, etiam figuram

segmento inscriptam maiorem esse cono ^.^) quare

primus cylindrus cylindri totius axem habens z/^ ad

primum cylindrum figurae inscriptae axem habentem

Ê eandem rationem habet, quam ^ A^: KE^.^) sed

Â^ : KE^ = BJ : BE^) = Â : ES^) et eodem

modo demonstrabimus, etiam secundum cylindrum totius

cylindri axem habentem EZ ad secundum cylindrum

figurae inscriptae eandem rationem habere, quam IIEf

hoc est /Ây ad Zii^), et unusquisque ceterorum

cylindrorum totius cylindri axem habentium lineae

1) Quia figura circumscripta segmento maior est.

2) Nam cum axes aequales sint, eam rationem habent cy-lindri, quam basea (Eucl. XII, 11); tum u. Eucl. XII, 2.

3) Quadr. parab. 3; u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 50 nr. 12.

4) U. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 4.

5) Habent enim eam rationem, quamnE^ : :s:e' = JA^ -. SE^ = BJ -. BZ = AJ -. ZSl.

Torellius. 25. ZSl] ZE F; corr. Torellius. 26. loov rajdE usque ad uôvoc ixovrcov p. 392 lin. 2 om F; corr. Nizzius.

392 nEPI KilNOEIAESiN KAI S^ÂIPOEIAESiN.

jdE Ttoxl sKa6tov tcov xvXlvSqcov t^v iv ta iyysyQa^-

fiivc) exriiLcctL aôva i%6vtcov tov avtov £%£t rovrov

tbv Aoyov, ov a rj^Lesia tag dcafjietQov tag pdeiog

avtov notl tav dnoXsXaîisvav dn avtdg fjista^v tdv

5 AB, B^ evdêidv, xal ndvtsg ot kvXCv6qov ot iv roTivXtvdQco, ov pdctg fisv i6ttv 6 xvxXog 6 ncQt dtdns-

XQOv tdv AF^ dôDv di [iiSttv] d Î evd^Bta^ nott ndvtag

tovg KvktvdQovg tovg iv ta iyyeyQafifiEva 6xYiiiatb

tov avtov iôvvtt Xoyov, ov ndât at svd-stat at ix

10 tdiv xevtQcov tmv xvxXcov^ ol' ivtt âeCeg tcov stQrj-

fiivcov xvlCv^Qcov, nott ndcag tdg svd^sCag tdg dno-

XeXafifiivag dn avtdv fieta^v tdv AB^ B^. at de

etQfjfiivat evdêCat tcov etQrjfiivoov ^ciptg tdg A/i fietô-

veg ivtt rj dtnXaoCat. Sote xat ot xvXCvdQot ndvteg

15 ot iv ta xvXCvSqg), ov dl^cov 6 ^J, fietloveg ivtl i}

dtnXaeCot rov iyyeyQafifievov GxriyLatog. noXXa aQa

xal 6 oXog xvXtvdQog, ov d^cov d AB^ fieC^cov ivtl r}

StnXacCcov tov iyyeyQafifiivov 6%rifLatog. tov Se Wxoovov rjv dtnXaeCcov. eXa66ov aQa to iyysyQafifiivov

20 fSxrjfia tov W xcovov* oneQ dSvvatov. ideCx^rj yaQ

fietôv. ovx aQa i6tlv jietôv to xcovoetdeg tov Wxcovov. ofioCcog de ovde eXa06ov. ndXtv yaQ iyye-

yQd^pd^co ro ^x^fJicc, xai neQtyeyQd(p%^co^ oo6te vneQexstv

exa6tov exd6tov iXd66ovt, rjneQ dXCxco vneQexst 6 W

3. âcscog F, uulgo. 4. avtov] Nizzius; avrag F, uulgo.

tav] z(ov per comp. F; corr. Torellius. 5. svd^stmv F; corr.

Torellius. ndvrsg ovv ol? 7. J 1] scripsi cum Cr.; JF-F; JB Commandinus. 8. ysyQafifisva) F; corr. AC. 10.

svtl âalsg] scripsi; sv tr] âast slg (cum comp. r]v uel iv) F,

uulgo (ra pro tr] Torellius). 12. dn' avra»] scripsi; ano tag

F, uulgo'. 13. tag] tav F; corr. Torellius. (isl^cov F; corr.

Torellius. 15. ov] scripsi; ov 6 F, uulgo. z/ /] z/B Com-mandinus. 16. noXXm] delet Commandinus. 19. sXa6G<ov


^E aequalem ad unumquemque cylindrorum figurae

inscriptae eundem axem habentium eam rationem

habebit, quam dimidium diametri basis eius^) ad par-

tem eius^) inter lineas AB, BA abscisam. [quare]

omnes etiam cylindri in eo cylindro positi, cuius basis

est circulus circum diametrum AT descriptus, axis

autem linea z//, ad omnes cylindros figurae inscriptae

eandem rationem habebunt, quam omnes lineae, quae

radii sunt circulorum, qui bases sunt cylindrorum,

quos commemorauimus^), ad omnes lineas de illis*)

inter lineas AB^ BA abscisas. sed illae lineae his^

excepta linea A^^ maiores sunt quam duplo maiores.

quare etiam omnes cylindri in eo cylindro positi, cuius

axis est z/J, maiores sunt quam duplo maiores figura

inscripta.^) itaque etiam totus cylindrus, cuius axis

est z/B, multo maior est quam duplo maior figura.

inscripta. erat autem duplo maior cono W. itaque

figura inscripta minor est cono ^; quod fieri non po-

test. nam demonstratum est, maiorem eam esse. quare

conoides cono ^ maius non est. sed idem ne minus

quidem est. rursus enim figura inscribatur et circum-

1) H. e. cylindri in toto cylindro positi, p. 390, lin. 25.

2) H. e. diametri basis cylindri in toto cylindro positi.

3) H. e. cylindros in cylindro dl positos.

4) H. e. radiis circulorum.

6) Nam quia BI = 01 = ZE = Ez/.cet., lineae JJ, iSjEy

ZSl aequali spatio minimae earum aequali inter se excedunt;tum u. p. 290, 5 sq.

F. 24. s-Kciatov] om. F; corr. Torellius. sXccacov F; corr.

Torellius. rjnBQ aXinco] scripsi; t} nuXiv xco F; tJ nriXCyKo B,ed. Basil., Torellius.

394 nEPI KSiNOEIAE^N KAI S<I»AIPOEIAESiN.

xmvos tov xovosLdsog, [xal tcc aXka ta avta totg

TCQotsQOv xats^xsvdad-co, stcsI ovv sXa606v s6tL tb

syysyQa^^svov (^XV^^ ^^'^ t^dâtog, xa\ to syyQacpsv

tov 7CSQLyQa(psvxog skdocovv XsiTistai^ ij ro t^dâ tov

5 ^ x(6vov, dÂov, G)g ^Xa666v s6ti to itsQiyQacpsv

6xrjiia tov ^P" x(6vov. Ttdkiv ds 6 itQcotog xvXivdQog

tcSv sv tS oKg) xvXcvdQG) 6 ^%Giv aôva tdv Ê TCotl

tbv TCQcotov xvXtvdQOv tmv iv rc5 TCSQiysyQa^^svG)

6x^âtL tbv tbv avtbv sôvta dôva tdv E^ tbv

10 avtbv sxsi l6yov, ov ro dicb tdg AA tstQdycDvov

TCotl tb avtb. 6 ds dsvtSQog TcvXivdQog tciv sv ta

oXc) xvXivdQG) 6 sxG)v dôva tdv EZ Tcotl tbv dsvtsQOv

xvXivdQov tc3V sv rc5 TCSQiysyQa^^sva ^xyj^ccti tbv

sxovta dôva tdv EZ tbv avtbv sx^t, X6yov^ ov d

Ih /1A Tcoti tdv KE dvvd^Si' ovtog Ss s6tiv 6 avtbg

rw, ov sxsL d Bzl jcotl tdv BE, xal rc5, ov sxsc d

AA TCoti tdv ES' xal tcov dXXov xvXCvdQov sxa6tog

tov iv rc5 oXg) xvXCvdQCp dôva ixovtcov i6ov td AETCoti sxa6tov tov xvXCv8qg)v tav iv rc5 JCSQiysyQa^-

20 ^svG) ^xyj^ccti dôva ix^vtcov tbv avtov^ s%si tovtov

rbv X6yoVy ov d rj^C^Sia tdg dia^stQov tdg ^d6Log

avzov TCoti tdv djcoXsXa^^svav dn avtdg ^sta%v tdv

AB, BA svd^Sidv. xal Tcdvtsg ovv ot xvXCv8qol ol

iv to oXg) xvXCvdQC), ov d^cov i6tlv d BA svd-sta,

7. Ttiv] trjv F; corr. Torellius. 8. tmv'] scripsi; tov F,

uulgo. 9. Tov tov] scripsi; tov F, uulgo. tdv] scripsi; tcc

F, uulgo. 10. ^x^C] Torellius; 8lxs F, uulgo. 12. ^vXiv8Q(p]

KvXLvdQcov FACD*. tdv] toov (comp.) ccv F. 13. rw»'] scripsi;

tov F, uulgo. 16. tocv] ta F. «] Torellius; o F, uulgo.

18. i6ov] Torellius; laccv F, uulgo. 21. tag di.a(iftQ0v] om.

F; corr. Nizzius. §aGsa)g F, uulgo. 23. navt cum comp.

riv uel IV F. .ovv] yovv (comp.) F; corr. Torellius. 24. oXfp]

o supra manu 1 F. ovj cav F; corr. Nizzius.


scribatur, ita ut altera excedat alteram^) spatio minore^

quam quali excedit conus W conoides [prop. 19], et

cetera eadem, quae supra, construantur. iam quoniam

figura inscripta segmento minor est, et figura inscripta

minor est figura circumscripta spatio minore, quam

quo segmentum minus est cono ^, adparet, figuram

circumscriptam minorem esse cono ^^. rursus autem

cjlindrus primus totius cylindri axem habens z/^ ad

primum cylindrum figurae circumscriptae eundem axem

E^ habentem eandem rationem habet, quam

AJ^ : A/J'^ [p. 391 not. 2].

et secundus cylindrus totius cylindri axem habens EZad secundum cylindrum figurae circumscriptae axem

habentem EZ eandem rationem habet, quam Â^ : KE'^

[u. ibidem]. ea autem eadem est, quam habet jBz/

ad BE [p. 391 not. 3] et Â : ES [p. 391 not. 4].

et ceterorum cylindrorum singuli, qui in toto cylindro

sunt et axem habent lineae Ê aequalem, ad singulos

cylindros, qui in figura circumscripta sunt et eundem

axem habent, eam rationem habebunt, quam dimidia

pars diametri basis eorum^) ad partem eius^) inter

lineas AB, B/l abscisam. itaque etiam omnes cy-

lindri totius cylindri, cuius axis est BJj ad omnes

1) H. e. figura circumscripta inscriptam; itaque parumrecte dicitur: %-kocgtov eKccarov; saltem debebat esse sy.cct8Qov

eyicczeQOv.

2) H, e, cylindrorum cylindri totius.

3) H. e. diametri basis. hoc loco igitur bases uocantur ii

circuli, qui in ea parte cylindrorum sunt, in qua est punctum.z/, supra uero ii, qui in altera parte sunt, in qua est B (p. 392, 4

;

sed p. 392, 3 ut hoc loco).

396 nEPI K.QNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAEiiN.

noxl ndvtag rovg HvXivdQOvg tovg iv ta itaQLysyQa^-iiiva exTinati tbv avtbv sôvvtt Uyov\ ov ndaai aCev^scac notl Tcdeag tdg ev^stag. aC 81 av^sCai ndGaial iyi tmv xivtQov tiBv xvxAcov, o? âOLeg ivtl twv

5 xvXMQtov, tdv £vd-£idv Ttaadv tdv dnoXsla^îvavdn avtdy Cvv ta AA ilacaovsg ivtl tJ dinkaeCaL.dîlov ovv, oti xal oi xvXCvdQOi ndvteg ot iv ta oAc>xvUvdQCi ilaaeoveg ivtl t} dinXaisCoi twv xvACvdQwvtav iv ta nsQiyeyQa^îva îriâti. 6 aQa xvXtvdQo^

10 6 pdaiv exov tov xvxXov roi/ ne^l didêtQov tdvAr, diova de tdv B/i ildaaav iatlv ^ dinXaaCovro^ neQiyeyQa^îvov axwatog. ôvx iati di, dUdêCtcov

^7] dinldaiog. tov yaQ W xmvov dtnlaaCcoviatC^ ro de neQiyeyQa^êvov axwa elattov ideCx^rj

15 Tov ^ xcovov. ovx dQa iatlv ovdh ekaaaov tb tovxovoeiSeog t^dâ tov 'J^ xmvov. ideCx^rj di, otcovde iietôv. rjîohov aQa iatlv tov ^craVoi' rot; ^daivexovtog tdv avtdv ta tîdâti xal dôva tbv avtov.

20 Kal toCvvv el xa firj oQâ notl tbv dôva im-nidco dnotâd^fj tb t^dâ dnb rov oQôyavCov xcj-

voeiSiog^ bôCaig riiiioliov iaaeCtat tov dnotfidâtogrou x(6vov tov pdaiv exovtog tdv avtdv ta tfidtiatc

xal dôva tbv avtov.

26 eatcj t^dâ oQd-oycDvCov xcovoeideog dnotetâîvov^tog eiQritai^ xal tfiadjvtog avtov imnida did tov

6. yivXivSQmv] kvXivSqoov nQog (comp.) F; corr. Torellius6. ra] zavF; corr. BD. 10. kvtiXov] nvXLvdQov F; corr. B*.13. dLnXaGimv] SinXaCL cum comp. tov F. 17. ovds] scripsi;ovTf F, uulgo. 18. Tfftliiati] sic F, ut lin. 21 (bis), 23. 19

DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDJBUS. 397

cylindros figurae circumscriptae eandem habebunt

rationem, quam omnes lineae illae ad omnes has

lineas.^) sed omnes lineae, quae radii sunt circu-

lorum, qui bases sunt cylindrorum, minores sunt quam

duplo maiores omnibus lineis de iis abscisis una cum

linea AJ [p. 290, 5; u. p. 393 not. 5]. adparet igitur,

etiam cylindros omnes totius cylindri minores esse

quam duplo maiores cylindris figurae circumscriptae.

itaque cylindrus basim habens circulum circum dia-

metrum AT descriptum, axem autem 5z/ minor est

quam duplo maior figura circumscripta. at non est,

sed maior quam duplo maior; nam duplo maior est

cono ^, et figura circumscripta minor est cono ¥*",

ut demonstratum est [p. 394, 5]. itaque segmentum

conoidis ne minus quidem est cono ^. demonstratum

autem est, ne maius quidem id esse. quare dimidia

parte maius est cono basim eandem habenti, quamsegmentum, et eundem axem.

xxn.

lam uero etiam si segmentum plano ad axem non

perpendiculari abscinditur a conoide rectangulo, item

dimidia parte maius erit segmento coni basim eandem

habenti, quam segmentum, et eundem axem.

sit segmentum conoidis rectanguli ita abscisum,

ut dictum est, et secto eo plano per axem posito ad

1) Sequitur (ut supra p. 392, 5 sq.J addendo proportiones,quarum denominatores aequales sunt {oLvanoiXiv).

yiS' Torellius. 20. rc5 sTtntiSai? 22. saGSLtat,] scripsi; saTutper comp. F, uulgo. 25. yiovosiSsos F.

400 nEPI KSiNOEIAEnN KAI SÂIPOEIAESiN.

Toi5 o^vycovtov kcovov tofiocg dv£6taxov6a iv imTiido

OQQâ avsGtaKotL cctio dcaîtQOv Jtotl ro ijttTtsdov,

iv co iottv a Tot) o^vycovcov tkovov TOfta, dvvatov

i6ti KvXivdQov svQstv tov aôva k'xovta in* svd^siag

5 ta 5z/, ov iv ta iTCKpavsCcc i6<5sitai a tov oi^vyGiviov

x(6vov toâ. dvvatov di i6ti âl xcjvov svqslv xo-

• Qvcpav s%ovta to B 6a^stov, ov iv ta iTCtcpavsCa a tov

o^vyovCov aoavov TOfta i66sCtai. m6ts i66sCtaL toôg

xvXCvdQov tLg ^d6Lv sxcov tav tov o^vyovCov xcivov

10 toâv tav TtSQL dLcc^stQOV tdv AT^ dôva ds tdv B^,xal aTtotââ xoovov pd6LV s%ov tdv avtdv tc5 ts TOftoj

xal Tw t^dâtL, dôva ds tov avtov. dsLXtiov, otL tb

tov xcovosLdiog t^dâ rj^LoXLov i6ti tovtov tov xcjvov.

S6tc3 8rj 6 y^ Kcovog rj^LoXLOg tov djcot^dâtog

15 TovTov. i66sCtaL dri 6 toôg tov xvXCvdQOv 6 ^dîv

s%aiv tdv avtdv ta t^dâtL xal dôva tov avtbv

dL7tXd6L0g tov W xoovov. ovtog ydQ rj^LoXLog i6ti

tov djtot^dâtog tov xcavov tov ^d6Lv sôvtog tdv

avtdv Tc5 t^dâtL xal dôva tbv avtov^ t6 ds aTto-

20 tââ tov xoovov tb SLQrjîvov tQCtov ^SQog i6tL tov

roôv Tov xvXCvdQOV tov ^d6Lv ^sv sôvtog tdv avtdv

Tc5 tfidâtL xal dôva tbv avtov, dvayxatov diq i6ti

tb tov xcavosidiog t^dâ l'6ov sl^sv tc5 ^ xoovc). st

ydQ ^ri i6tLv l'6ov, ritot ^stôv i6tLv rj sXa66ov. s6tc}

25 drj TtQOtSQOVj Si dvvatov^ ^stôv. iyysyQacpd^G) drj ti

slg tb t^dâ 6xrj}ia 6tSQs6v, xal dXio TtsQiysyQacpd^co

ix xvkCvdQCJV to^cav vrpog i6ov ixovtmv 6vyxsC^sva,

S6ts tb TtSQiyQacpsv ^xrjfia tov iyyQacpivtog vnsQSxsiv

2. rag SiafjLstQov? 4. svq cum comp. rjv uel iv F. 6.

svQ cum comp. i^v uel lv F. 8. coffrg iaasCTai] scripsi; om.F, uulgo; sGGBitai 8ri Torellius. 11. a7toT(i7}(ia F, ut lin. 15,

in plano a diametro erecto ad id planum perpen-

diculari^ in quo est sectio coni acutianguli, j&eri potest, ut

cylindrus inueniatur axem habens in producta linea Bzf,

cuius in superficie sit sectio coni acutianguli [prop. 9]. sed

hoc quoque fieri potest, ut conus inueniatur uerticem ha-

bens punctum B, cuius in superficie sit sectio coni acu-

tianguli [prop. 8]. erit igitur frustum quoddam cylindri

basim habens sectionem coni acutianguli circum dia-

metrum ^Fdescriptam, axem autemJ5z/, et segmentum

coni basim habens eandem, quam et frustum et segmen-

tum [conoidis], et axem eundem. demonstrandum est,

segmentum conoidis dimidia parte maius esse hoc cono. ^)

sit igitur conus W dimidia parte maior hoc seg-

mento [coni]. erit igitur frustum cylindri basim habens

eandem, . quam segmentum, et eundem axem duplo

maius cono W. hic enim dimidia parte maior est

segmento coni basim habenti eandem^ quam segmen-

tum, et eundem axem, segmentum autem coni, quod

commemorauimus, tertia pars est frusti cylindri basim

habentis eandem, quam segmentum, et eundem axem.^)

necesse igitur est, segmentum conoidis aequale esse

cono W. nam si aequale non est, aut maius est aut

minus. prius igitur, si fieri potest, maius sit. inscri-

batur igitur segmento figura solida, et alia circum-

scribatur ex frustis cylindrorum altitudinem aequalem

1) Fortasse scribendum lin. 14: tovtov tov aTtotiiccfiatos

tov xcovov; cfr. lin. 15.

2) U. supra prop. 10 p 340, 8.

19, 20; corr. Torellius. 13. to rov] scripsi; to F, uulgo; tovTorellius. 'KavosiSsg F; corr. Torellius. 19. trjv avtiqv^

utrumque per <jomp., F; corr. Torellius. 23. drj] scripsi; dsF, uulgo. 27. c%riiia\ om. F; corr. Torellius.

402 nEPI KiiNOEIAESiN KAI 2$AIP0EIAE<^N.

eXdoôvL, rj kXCv.ci vnsQB^BL x6 rov xcovosidaog t^cc^cc

tov W Kcovov. xal didx^co td BTiCTieda tav to^coi' eets

Ttotl tdv eTiicpdveiav rou toôv Toi) ^ddv exovtog tdv

avtdv t(p t^dâti xal dôva tbv avtov. ndkiv drj

5 6 7CQ(Btog toôg t(Bv ev tcp oAw to^c) 6 e^cov dôva

tdv ziE TCoti Toi^ TtQcotov toôv tcov iv t(p eyyeyQa^-

îvcp (Sxriiiati rov eôvta dôva tdv Ê tov avtbv

t%ei loyov, ov tb aTtb tdg AA tetQdycovov Ttotl tb

aTtb tdg KE. ot ydQ toôi ot iCov vipog exovteg tbv

10 avtbv e%ovti koyov Ttot dXkdkovg tatg pd6e6iv^ aC

de â^Ceg avtoav, inel oôCat ivtl o^vycovCcav xcovcov

toâC, tbv avtbv e%ovti koyov, ov aC oôkoyoi dia-

lietQOi avtdv dvvdêi, TjîêCai de ivti rcor oôkoycov

diaîtQcov aC A/i^ KE. ov de Xoyov 's%ei d A/i itotX

15 tdv KE dvvdêi, rovrov eêi d BjJ Ttotl tdv BE^dxeiy ijtel d fiev 5z/ Tta^d tdv didêtQOv i6tiv^ aC

6s AA^ KE TtaQa tdv xatd tb B iTtiipavovGav ov

d\ Xoyov 'e%ei d BzJ Jtotl tdv BE^ tovtov e%ei d A^Ttotl tdv ES- f|f^ ovv 6 TtQdotog toôg tcov iv rc5

20 oAg3 to^G) Ttotl tbv TtQcotov toôv tcov iv rc5 iyye-

yQa^êvG) 0xi]âti tbv avtbv koyov, ov d A^ Ttotl

tdv E^. xal tcov dkXcov to^cov exaatog tcov iv rc5

oX(p to^co dôva i6ov ixovtcov ta Ê Ttotl sxa6tov

tdov rdfttoi/ rc5v iv rc5 iyysyQa^îv(p 0%Yiâti tbv

25 avtbv dôva i%6vtcov tbv avtbv s%si koyov., 6v a

rj^Casia tdg dtaîtQOv tdv âaCcov avtov Jtotl tdv

dTtokskayb^svav dit avtdg ybSta%v tdv AB, BA. dei%-

2. dvdxô)] addidi; om. F, iiulgo. hrs] scripsi; sGGSLtai F,

uulgo. 3. tccv'] tr]v comp. F; corr. Torellius. 5. rco] to F; corr.

man.2,utuidetur. 6. JE] AE FBC*. 10. sxovtt] sxmvtL F.

12. sxoivtL F. . 17. x6 B] tav £E F; corr. Torellius. 20. rfov}

per comp. FB*. 23. sxovtcov] sxovta F; corr. '^. notC] nQOs


habentibus compositae, ita ut figura circumscripta

excedat inscriptam spatio minore, quam quali seg-

mentum conoidis conum ^ excedit [prop. 20]. et

plana frustorum producantur ad superficiem frusti basim

habentis eandem, quam segmentum, et axem eundem.

rursus igitur primum frustum totius frusti axem habens

^E Sid primum frustum figurae inscriptae axem habens

^E eandem rationem habet, quam AzJ^ : KE^. namfrusta eandem altitudinem habentia eandem rationem

inter se habent, quam bases^), bases autem eorum, quo-

niam similes sunt coni acutianguli sectiones [prop. 14

coroll.], eandem rationem habent, quam quadrata dia-

metrorum suarum sibi respondentium [prop. 6 coroll.],

et lineae ^z/, KE dimidiae sunt diametri sibi respon-

dentes. est autem A^^ : KE^ = B^ : BE [quadr.

parab. prop. 3], quoniam B^ diametro parallela est

[p. 399 not. 2], et lineae ^z/, KE parallelae lineae

in puncto B contingenti. sed B^ : BE = A^ : ES[p. 391 not. 4]. itaque primum frustum frusti totius

ad primum frustum figurae inscriptae eandem rationem

habebit, quam ^z/ : EtSl. et ceterorum frustorum

unumquodque eorum, quae in toto frusto sunt axem

habentia lineae z/E aequalem, ad unumquodque frustum

figurae inscriptae eundem axem habens eandem rationem

habet, quam dimidia diametrus basium eius ad eam

partem eius^), quae inter lineas AB^ B^ abscinditur.

1) Cfr. prop. 10 p. 340.

2) H. e. diametri basis, eo circulo pro basi sumpto, qui

in ea parte cylindri est, in qua est punctum B. cfr. p. 395not. 3.

per comp. F; corr. Torellius. 26. xav paoicov] scripsi; tcov |3a-

aicov F, uulgo ; tug ^dascos Nizzius. 27. tav'] tcav F ; corr. Torellius.

26*

404 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAEiiN.

d^rjehaL ovv oÔLog rotg TCQotsQov to fi6v iyyeyQafi-

^Bvov 0%riiia ^stôv ibv roi; ^ kcovov^ 6 de tov tcv-

XCvdQOV t6(ios ^cc6cv iyjcov tccv avtccv rc5 r|Ltaftari

xal aôva roi/ avtov ^sl^cov i(X)v tj di7tla6LOv rov

5 iyysyQafjLfisvov Cxriâtoq. S0ts xal tov W xcovov

[iSL^cov s60SLtaL 7] 6LTikaOLcov . ov% i6tL ds, aXXa Sl-

TtXacCcDv. ovx ccQa ictl ^stôv to tov xcovosLdsog

tââ tov W KCQVov. Slcc tojv avtSv ds dsLX^fJîtaLy

otL ovds sXaijCov i6tLV. drjlov ovv, otL l0ov. rj^Lohov

10 ccQa ictl tb tov xovosLdsog t^dâ tov ccTtot^dâtog

tov xcjvov tov ^dOLV sôvtog tdv avtdv rc5 tyidâtL|

xal aiôva tbv avtov.

xy\

El' Ka tov OQdôycDvCov xcovosLdsog dvo t^dâta^^ aTtotâd^sovtL iTtLTCsdoLg, tb (isv stsQov oqô Jtotl

tbv dôva, tb ds stSQOV (irj OQdô, sovtL ds oC tov

tfiaîdtcov dôvsg l0ol, lCa i66ovvtaL td t(id(iata.

dTtotstîd^d^G) yaQ oQdôyovCov HovosLdsog dvo t(id-

(lata, d)g siQTJtaL. tîad^svtog ds tov xovosLdsog iitL-j

^^ Jtsdo dta rov dôvog tov (isv KovosLdsog s6to tofid

d ABF OQdôyovCov kovov tofid, dLdîstQog ds avtdg

d B/J, tov ds ijtLTCsdov aC AZ, EF svd^sCaL, tov (isv

oQdôv Ttotl tbv d%ova a EF, tov ds (irj OQdôv d ZA.dôvsg ds satov rtov tîaîdtov aC B®, KA toaL

1. 6/Ltotcos] syll. (og per comp. F. 7. iisl^cov F. 9. sXccggcov

F. 10. dnotfLfjfjLazog F. 13. xg' Torellius. 15. anoTfir}-

"©«covrt F, uulgo (t pro -^" AB, ed. Basil.), dTtotfiatscovti, To-rellius. 17. sGovvtccL F, uulgo. 18. anotstfirjG&to F; corr.

Torellius. tfidfiuta] sic F, ut lin. 14. 20. Post dôvoghaec uerba habet F, uulgo: xat dXXoa ininsdco oQd-m notl tbv

aôva, sed adparet, delenda esse. nam conoides secandum


itaque eodem modo, quo antea [p. 390, 11], demon-

strabimus, figuram inscriptam maiorem esse cono W,

frustum autem cylindri basim habens eandem, quam

segmentum, et eundem axem maius esse quam duplo

maius figura inscripta [cfr. p. 392, 16]. quare etiam

maius erit quam duplo maius cono ^.-^) hoc autem

non est, sed duplo maius. itaque segmentum conoidis

maius non est cono ^. per eadem autem demon-

strabitur, ne minus quidem esse. adparet igitur, aequale

id esse. itaque segmentum conoidis dimidia parte maius

est segmento coni basim habenti eandem, quam seg-

mentum, et eundem asem.

XXIII.

Si a conoide rectangulo duo segmenta abscinduntur,

alterum plano ad axem perpendiculari, alterum non

perpendiculari, et axes segmentorum aequales sunt,

segmenta aequalia erunt.

abscindantur enim a conoide aliquo rectangulo duo

segmenta ita, ut dictum est. secto autem conoide

plano per axem posito conoidis sectio sit ABF coni

rectanguli sectio, diametrus autem eius5z/ [prop. 11, a],

planorum autem lineae AZ, EF, plani ad axem per-

pendicularis sectio Er^ plani autem non perpen-

dicularis linea ZA. axes autem segmentorum sint

1) Quia conus W minor est figura inscripta.

esse et perpendiculari et non perpendiculari plano, iam lin.

18— 19: dvo tâûTa, a>g siQ^tai, (lin. 14—16) dictum est. quareNizzius male post aôva supplet: xal alXca iit] oQQ^m notl tovaiova. 21. ABT^ BP F; corr. Torellius. '24. £(?roov]

scripsi; «(jrco F; eatcocav AD, BC*.

406 HEPI KSiNOEIAES^N KAI SÂIPOEIAEiiN.

aXXdXaig, KOQvq)al de xa B, A. deiTcreov, ort l'6ov

i(Srl ro rââ rov xcDVoecdsog, ov xoQvq)a ro B, rc5

r^dârL rov xcovoeideog, ov xoQvq)d rb A.

eTCel yaQ djto rdg avrdg oQdôycovCov kcovov rofidg

5 dvo r^dârd evri dq^rjQrjêva ro re AAZ xal rb

EBFy KaC evri avrwv at diaêrQOi i6ai at KA, B®,i'0ov e6rl rb rQCyavov rb AAK rc5 E®B' dedeCzrai

ydg^ on ro AAZ rQCycovov i(5ov e6r\ rc5 EBF rgi-

ycjvc}. d%%Gi drj d AX xddêrog ejtl rdv KA m^kri-

10 %'ei6av. xal eitel i6ai at B&, KA, l6ai xal at E&,

AX. ecrco drj ev rc5 r^dân, ov 7coQvq)d rb B, xc5vog

eyyeyQa^êvog rdv avrdv pdOiv excov r« r^dân ical

aôva rbv avrov' ev de ro5 r^dân, ov KOQvqâ ro

A^ aTtorââ xcovov rdv avrdv pdeiv eôv rc5 r^d-

1. aXXrjXccig F; corr. Torellius. 2. tov] addidi; om. F,


B@, KA inter se aequales, et uertices puncta B, A,

demonstrandum est, segmentum conoidis, cuius uertex

sit jB, aequale esse segmento conoidis, cuius uertex

sit A.

nam quoniam ab eadem sectione coni rectanguli

duo segmenta abscisa sunt, AAZ et EBT, et dia-

metri eorum KA^ B& a^quales sunt, triangulum AAKaequale est triangulo E&B] nam demonstratum est^

triangulum AAZ aequale esse triangulo ^EF^prop.S].^)

ducatur igitur linea AX ad productam lineam KAperpendicularis. et quoniam B0 = KAj erit etiam

E&= AX.^) inscribatur igitur segmento, cuius uertex

est Bj conus eandem basim habens, quam segmentum,

et eundem axem, et segmento^ cuius uertex est A,

segmentum coni eandem basim babens, quam seg-

1) Et B&, KA diametri (prop. 11, a) sectionum bases in

duas partes aequales diuidunt (prop. 3 p. 302, 9) ; tum u. Eucl.

VI, 1.

2) Nam, cum bases B0, KA aequales sint, erit

E@B : AKA = E@ : AX (Eucl. VI, 1) = 1 (not. 1).

uulgo. 6, civToav cct] scripsi; ccl om. F, uulgo. 14. ccno-

t(i7](ia F, ut p. 408 lin. 3; corr. Torellius. ^X^'^] ^j ^ ^S-ysxcov F, uulgo.

408 nEPI KSiNOEIAE^N KAI ZÂIPOEIAESiN.

^ciTL KoX aôva rbv avtov. a%%^co ds ccTtb tov Axddêtog inl tav AZ, a AM, iQOhitai drj avta vôg

tov aTiot^dâtog tov xcovov, ov nogvcpd ro A. ro

de djtotââ rot> xcovov, ov noQVcpd ro A^ xal 6 xcovog,

5 ov xoQvcpd tb B, tbv Ovyxeiêvov koyov £%ovtL ;ror'

dkkaXa £x te roi; tmv âoCov Xoyov xal ix, roi5 tdav

vijjscov. tbv 6vyxsL[i£vov ovv s%ovtL Xoyov sx ts rot),

ov s%SL tb TiSQLSxo^svov xcoQLOV VTto tdg tov o^vyG)-

VLOV xcDvov to^dg tdg Ttsgl dLdîstQOv tdv AZ Ttotl

10 tbv xvxkov tbv TtSQL did^stQov tdv EF, xal ix tov,

ov s%SL d MA Ttotl tdv B®. tb ds xcoqlov ro itsQL-

sô^svov VTtb tdg rov o^vyovLOv xcovov to^dg jtotl

tbv avtbv xvxlov tbv avtbv s^sl loyov^ ov ro 7ts-

QLS%6^svov VTtb tdv dLa^stQov Ttotl tb tstQaycovov

15 ro djtb tdg ET \s%sl xal tb dnot^rnia rov xco-

vov, ov xoQvcpd ro A^ TtQbg tbv xcovov, ov xoQvcpd

ro -B, tbv 6vyxsL^svov Xoyov sx ts rov, ov s%sl d

KA Ttotl tdv E@, xal rov, oV s%sl d MA Ttotl tdv

BS' d ^sv ydQ KA rj^L6sd ivtL tdg dia^stQOv tdg

20 pdoLog tdg rov d:tot^7]âtog tov xcovov^ ov xoQvcpd

tb ^, d 8s E& 7}[iL0sa tdg dLa^stQOv tdg ^doscog ro£»

xovov, at ds AM^ B& vjpsd ivtL avtov. s%sl ds d

AM Ttotl tdv B@ tbv avtbv loyov, ov xal Jtotl tdv

KA, ijtsl d B® L(jrj iatl td KA. s%sl ds xal d AM25 TTorl tdv KAy ov d XA Jtotl tdv AK']. s%ol ovv xa

xal ro djtotââ tov xcovov itotl tbv xovov tbv 6vy-

xsL^svov koyov sx ts rov, ov s%sl d AK Ttotl tdv

1. 8i'] Ss KUL D (non BC*); ed. Basil., Torellius. 2. Srj]

Torellius; Sl F, uulgo. 3. A] A F. 5. sxtovxi F; corr. D.

710ZL taXXaXa F. 11. MA] scripsi; NA FBC*; AM ed. Basil.,

Torellius. In figura lineas ZJT, ATI et litteras O, U addidi.

15. cin6z(i,c)C(icc, ut lin. 20, Torellius. 16. noTi Torellius.


mentum, et eundem axem. ducatur autem ab A puncto

linea AM 2A lineam AZ perpendicularis. ea igitur

altitudo erit segmenti coni, cuius uertex est A?-^

segmentum autem coni, cuius uertex est A^ et conus,

cuius uertex est B^ eam inter se rationem habent,

quae composita est ex ratione basium et ratione

altitudinum. ^) habent igitur rationem compositam ex

ratione, quam habet spatium comprebensum sectione

coni acutianguli [prop. 12] circum diametrum AZdescripta ad circulum [prop. 11, a] circum diametrum

ET descriptum, et ratione MA : 50. sed spatium

sectione coni acutianguli comprehensum ad eundem

circulum eandem rationem babet, quam rectangulum

diametris [illius] comprehensum ad EV^ [piôp- ^]-^)

quare etiam segmentum coni ad conum rationem ha-

1) Quia a uertice A ad basim perpendicularis ducta est

(u. quadr. parab. 17 extr.).

2) Cfr. prop. 10.

3) Sequentia uerba: Uxn xal lin. 15 — zav AK lin, 25

Bubditiua sunt. nam primum uerba ut ds AM^ B@ vipsd svtl

avtav boc loco prorsus absurda sunt post lin. 2—3. deindequae proxime sequuntur lin. 22— 25 demonstrationis teno-

rem plane conturbant. adparet enim ex p. 410, 1 sq., Archi-medem rationem AM : B@ immutatam retinuisse et alteramrationem ita transformasse , ut adpareret, eam aequalem esse

B@ : AM. tum etiam lin. 15—21, ubi etiam causa obscuresignificata (a fisv yccg v,tX. lin. 19) offendit^ delendae suntpropter lin. 26 sq.

«

18. MA] scripsi; NA FBC*; AM ed, Basil., Torellius. 19.

tav diaiLStqcov {cov comp.) tag âaias (ag comp.) F; corr.

Torellius. 22. AM] AN F, ut lin. 23; corr. ed. Basil. 24.

l'Ga Torellius. ^M] îV F, ut p. 410 lin. 2; corr. ed. Basil.

25. 8x01 ovv xa] scripsi; sxol F, uulgo; sxbl Torellius, B. 26.

a7cotfjLri(i.a F; corr. Torellius.

410 nEPI KS^N0EIAE5>N KAI SÂIPOEIAESiN.

AX' i(5a yccQ iatcv a AX xa E&' xal sk xov^ ov

£%Bi a AM Ttoxl xav B&. 6 ds sxsQog xcov siQrj^svav

loyov, 6 xag AK tcoxI AX, 6 avxog sOxu xa xag AKTtoxl AM. xo aQa aTtoxââ Jtoxl xbv xavov koyov

5 Exsi^, ov a AK Ttoxl xav AM, xal ov si^l a AM itoxl

xav B0. l'6a ds a B® xa KA. dijXov ovv, oxl l'0ov

sGxl xb ccTtoxââ xov x(6vov, ov xoQvcpa xb A, X(p

xcjVG), ov TCOQVcpa xb B, cpavsQbv ovv , oxl xal xa

x^ccâxa faa svxl, stcsI xb ^sv sxsqov avxcov rj^LoXLOv

10 S0XL xov Tccavov^ xb ds sxsqov rjîoXLOv xov aTtox^d-

liaxog xov xatvov l6cdv sovxov.

xd',

El' xa xov OQdôycovLOV TcovosLdsog dvo x^dfiaxa

ccTtoxâd^sovxL sTtLTtsdoLg OTtaxjovv dyîsvoLg^ xd xyid-

15 âxa Ttox^ dXXaXa xbv avxbv sôvvxl koyov xoig xs-

XQaycovoLg xotg d^tb xcov dôvov avxov.

djtoxsx^d^d-o yaQ xov OQdôyovLOv xovosLdsog dvo

x^dâxa^ ojg sxv%sv. s6xo ds xo ^sv xov sxsqov

x^dâxog dôvL L0a d K, xo ds xov sxsqov l'0a d A.

20 dsLKXSov , OXL xd x^dâxa xbv avxbv s%ovxl Xoyov

Ttox' dkXaXa xolg ditb xdv K, A xsxQaycovoLg.

xâd^svxog dri xov xovosLdsog sTtLTtsdo dta xov

1. AX] AF FV. 2. BtsQoq] scripsi; sv, F, uulgo. 3.

xaq\ xriq F; corr. Torellius. rcQoq per comp. F; corr. Torel-

lius, ut lin. 4 bis. tuq AK] trjg AN F, trjg AK ed. Basil.

;

corr. Torellius. A. AM] AK FYD. 6. AK] AN ¥-, corr.

AB. AM] AK F; corr. AB. xat ta ov F; corr. Torellius.

AM] AN ¥', corr. AB. 6. lor] F; corr. Torellius. 7. ccno-

tfjLTifia F. 10. anotfirjâtog F; corr. Torellius. 12. xg'

Torellius. 16. ccvtcov] avtr}6 cum comp. cov supra g F;

ccvtoig ed. Basil. corr. C*. 17. ccTtotEtfirjG&co F, ut lin. 14;

corr. Torellius. 18. ta] ta F; corr. B* D. 19. K] AKFBC*. A] AA FBC*.'


hehit compositam ex AK : AX (nam AX — E®y)et AM: B@. altera autem harum rationum^ AK:AXyaequalis est rationi AK : AM,'^) itaque segmentum

[coni] ad conum eam rationem habet, quam

AK:AMXAM:[email protected] B® = KA [ex hypothesi]. adparet igitur, seg-

mentum coni, cuius uertex sit A, aequale esse cono,

cuius uertex sit B. constat igitur, etiam segmenta

aequalia esse, quia alterum eorum dimidia parte maius

est cono [prop. 21], alterum dimidia parte maius seg-

mento coni cono illi aequali [prop. 22].

XXIV.

Si a conoide rectangulo duo segmenta abscin-

duntur planis quouis modo ductis, segmenta inter se

eandem rationem habebunt, quam quadrata axium.^)

abscindantur enim a conoide rectangulo duo seg-

menta quouis modo sumpta, et axi alterius segmenti

aequalis sit linea K, alterius autem linea A. demon-

strandum, segmenta eandem rationem habere inter se

quam K^ : A^.

secto igitur conoide plano per axem posito segmenti

1) U. p. 406, 10. Ducatur AU t ^X et ZIT -L AH. erit

Zn minor diametrus ellipsis, cuius maior diametrus est AZ(prop. 12). et (Eucl. VI, 2) ZO : On = ZK : KA = 1. sedOn = AX (Eucl. I, 34) = ©E. quare erit ZJT = EF. ita-

que AZxZn:Er^= AZ : ET= AK: E@ =-. AK : AX.

2) Nam trianguli MKA, AKX similes sunt; tum u. Eucl.VI, 4.

3) P. 276, 18 finis hic est: ra anotiiaQ^Bvtoc. t[id(jLata dmXd-6tov Xoyov s^ovvtL not' dXXaXa toav d^6v(ov; cfr. nsql iXi%.

praef.


aôvog roi) r^dârog eGro roâ a ABF OQôycovLOv

x(6vov roâ, a^cjv de a B^. xal aTtokskdq^d^c) a B^ ra

K l'0a, xal dtd roi) z/ iTtijtedov iKpe^kri^d^G) oQdôv Ttorl

roi/ aiôva. ro drj rîdâ roi) acovoeideog ro âGiV

^ êv e%ov roi' TiVKkov rov Tte^l didêrQOv rdv AF^dôva de rdv J5z/ i6ov eCrl rw r^dân rcj dôva exovri,

l'6ov ra K. el 'êv ovv Kal d K i6a eCrl ra A^

(pavsQOv, ort xal rd r^dâra i6a e60ovvrai dXkdloig.

exdreQov yd^ avrwv l'0ov ra avra. xal rd rer^d-

^" ycova ra ano rav A, A i6a (oOre rov avrov fsot^vrt

Aoôv rd r^dâra rotg rerQaycivoig rotg djto rSv

dôvcov. el de ^ri i6a e6rlv d A ra K, e6rco d A i6a

ra B®y Tial did rov ® eitiTtedov dx^(o OQd^bv Ttorl

tbv dôva. ro drj r^dâ ro pd6iv e%ov rbv kvxXovl^ rbv Tte^l didêrQov rdv EZ^ dôva de rdv B@ i6ov

1. a] om. F. 3. K] IK¥. 4. dri] scripsi; ds F, uulgo.


sectio sit ABF rectanguli coni sectio [prop. 11, a],

axis autem 5z/. et ponatur B^ lineae K aequalis,

et per z/ punctum planum ducatur ad axem perpen-

diculare. segmentum igitur conoidis basim habens

circulum circum diametrum A F descriptum, axem

autem JBz/ aequale est segmento axem babenti lineae

K aequalem [prop. 23]. quare si K = A, constat,

etiam segmenta aequalia inter se fore; nam utrumque

eorum eidem aequale est. et K^ — A^. quare seg-

menta eandem rationem babebunt, quam quadrata

axium. sin A linea lineae K aequalis non est, sit

A == B0y et per & ducatur planum ad axem perpen-

diculare. segmentum igitur basim habens circulum

circum diametrum EZ descriptum, axem autem B®

6. satC] comp. F, B C*; ivtL uulgo. t^cificcti] sic F, ut lin. 8, 11.

1. A] J ¥; corr. ed. Basil.* 9. l'6ov] comp. F. 10. tciv]

scripsi; tcov F, uulgo. A] A F; corr. ed. Basil.* 14. S^]scripsi; ds F, uulgo.

I


i6tl rcj T^dâTi ra sxovn aôva l'6ov ra A. iyys-

yQCc^d^coGav drj kcjvol âGiag ^sv i%6vteg tovg avKkovg

tovg tisqI diaiiitQovg tag AF^ EZ^ xoQvcpav ds to

B 6a(jiSiov. 6 dr] xcjvos 6 sxcov aôva tav B^ Jtotl

5 tbv kSvov tov s'xovta aôva tav B® tov 6vyxsi-

^svov s%si koyov sk ts tov, ov sxsi a A^ Ttotl tav

@E dvvd^siy xal ix tov^ ov s^si a ^dB Ttotl tav B®^dxsi. ov ds koyov s%si a AA Ttotl tdv ®E dvvd-

^Si, Toi^Tov s^si d B^ Ttotl tdv B® ^dxsi. 6 dga

10 xSvog 6 's%cov dôva tdv jBz/ ^ttotI tov xojvov tov

sôvta dôva tdv B& t6i/ CvyxsC^svov s%si koyov sx

ts Tov, ov sxsi d ^B jtotl tdv 0B, xal ix tov^ ov

sisi d ^B Ttotl tdv B®. ovtog ds iattv 6 avtbg tcj,

oV s%si tb tstQaycovov t6 djtb tdg ^B Ttotl tb tstQa-

15 yovov tb aTtb tdg @B. ov ds \6yov s^Si 6 xdovog 6

dôva sxcov tdv B z/ itotl tbv xcovov tbv dôva sxovta

tdv 05, tovtov sxsi tbv X6yov tb t^dâ tov xovosidsog

tb dôva sxov tdv z/5 Ttotl tb t^dâ tb dôva sxov tdv

®B. sxdtsQOv ydQ rjî6Xi6v ietiv. xai ictiv tc5 \isv

20 t^dâti ta dôva sxovti tdv B z/ i6ov tb t^dâ tov

xcovosidiog tb dôva sxov i6ov td K, ta ds tfidâti to

dôva sxovti tdv &B tôv to t^dâ Tot» xavosidiog fl

TC) dôva sxov lCov ta A^ xal ta ^sv B^ l'6a d K^

ta ds @B i6a d A. dijXov ovv^ oti tb t^dfia toi>

25 xcovosidsog tb dôva sxov i6ov ta K tbv avtbv sx£i

k6yov Ttotl tb t^dâ Tot) xavosidiog tb dôva sôv

i6ov ta A^ ov t6 tstQdycovov tb aTtb tdg K Ttotl tb

tstQdyovov t6 aTtb tdg A.

1. Tcc] scripsi; rco F, uulgo. 2. Si]'] Svo A, ed. Basil.,

Torellius. 4. ^fl scripsi; Ss F, uulgo. 9. fiayicov F; corr.

B. 15. @B] EB F; corr. ed. Basil.* 16. 6 dôvcc] 6 ad-


aequale est segmento axem habenti aequalem lineae A,

inscribantur igitur coni bases habentes circulos circum

diametros AFy EZ descriptos, uerticem autem punctum

J5. conus igitur axem habens 5 z/ ad conum axem

habentem B eam rationem habet, quam habet

AA^:0E^XziB:B@^)sed AA^:®E^ = BzJ:B® [quadr. parab. prop. 3].

quare conus axem habens B A sid conum axem ha-

bentem B@ eam habet rationem^ quam *

z/5 : @BX^B:B0 = AB^ : 051et quam rationem habet conus axem habens Ez/ ad

conum axem habentem 0Bj eam rationem habet seg-

mentum conoidis axem habens z/jB ad segmentum

axem habens @ B. utrumque enim [segmentum] di-

midia parte maius est [cono basim eandem habenti

et axem eundem; prop. 21]. et segmento axem ha-

benti Bzf aequale est segmentum conoidis axem habens

lineae K aequalem, segmento autem axem habenti

@B segmentum axem aequalem habens lineae A, et

BzJ == Ky @B = A. adparet igitur, segmentum co-

noidis axem habens lineae K aequalem ad segmentum

conoidis axem habens lineae A aequalem eandem ra-

tionem habere, quam K^ ad A^.

1) Habent enim rationem ex ratione basium et ratione

axium compositam (prop, 10); sed ratio basicim ea est, quamhabet AJ'' : E@^ (Eucl. XII, 2).

didi; om. F, uulgo. BJ] KJ FBC* 20. ro] addidi; om.F, uulgo. 23. LGov'] scripsi; loav F, uulgo. K'] AK F. 27.

TBTQciymvov] tEtQCiycovov KE F] corr. B. 28. A] A F.

416 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2ÂIP0EIAESiN.

Uav tââ a^^kvyoivCov xcovoeideog dTCoterâ^s-

vov iTtiJtsdc) oQd^S Ttotl tov aôva Ttotl tbv xSvov

tov ^dCiv sôvta tdv avtdv rc5 t^dâti Tcal vipog

5 l'0ov tovtov sxsi tov Xoyov^ ov s%sl d Cvva^cpotSQaig

t6a rcj ts dôvi tov t^dâtog âl ta tQLTtXaGCa tdg

notsovGag rc5 dôvi Ttotl tdv t(Sav d^cpotSQaig rc5 ts

dôvL tov t^dâtog ;«o:t ta di7tKa6Ca tdg TtotsovGag

tco dtovL.m

10 s6t(>) ti t^dâ d}i^XvyovCov xcovosidsog dnotstîa-

fLSvov sTtLTtsdcp OQ^'^ Ttotl tov dôva, Tcal tâd^svtog

avtov s7tL7tsd(p dkX(p Std tov dôvog d to^d s6to

avtov ^sv rov TcovosLdsog d ABT d^plvycovCov

Kcovov to^d , tov ds sTtLTtsdov tov ditots^vovtog

15 ro t^dâ d AT svd^sta, dâv ds s6to rov t^dâtog

d JJz/, d ds 7totsov6a to dôvL s0to d B®^ xal td

B® taa d Z@ Tial d ZH. dsLXtsov, otL to tfidfia

Ttotl tov ;cc5i/ov tov ^detv sôvta tdv avtdv to t^d-

âtL %al dôva tbv avtbv Xoyov s%sl^ ov d H/i 7tot\

20 tdv Zz/.

s6to drj xvXLvdQog tdv avtdv ^d<5LV s%ov to t^d-

liatL Tcal dôva tbv avtov, 7tXsvQal ds avtov sCtoCav

at 0A, rV. s6to ds xal Tcovog rtg, sv o tb ^,ical Ttotl tbv xcSvoi^ tbv ^dCLv s%ovta tdv avtdv to

25 tîdâtL Tcal dôva tdv 5z/ rovroi^ s%sto tbv Xoyov^

ov ^%SL d ifz/ Ttotl tdv z/Z. cpaitX drj tb t^dâ tov

1. H^' Torellius. 2. aTtorstfirjfisvov F, ut lin. 10; corr.

Torellius. 5. a avva(i(potiQccLg] scripsi; ovvcc(i(poteQa F, uulgo.

6. To5] ro F. 15. a AF svd^sia] scripsi; sv&SLa F, uulgo;

svd^sta a AF ed. Basil., Torellius. 16. BJ] BAJ ¥; corr.

ed. Basil*. Ttotiovaa F; corr. Torellius. 18. tiv ^daiv]

Torellius; tav âaiv F, uulgo. 19. Xoyov] tov avtov Xoyovl


XXV.

Quoduis segmentum conoidis obtusianguli plano

ad axem perpendiculari abscisum ad conum eandem

basim habentem, quam segmentum, et altitudinem

aequalem eam habet rationem, quam linea utrique

simul aequalis; et axi segmenti et triplici lineae axi

adiectae ad lineam utrique aequalem et axi segmenti

et duplici lineae axi adiectae.^)

sit segmentum aliquod conoidis obtusianguli plano

ad axem perpendiculari abscisum, et secto eo alio

plano per axem posito ipsius conoidis sectio sit ^^Pconi obtusianguli sectio [prop. 11, b], plani autem

segmentum abscindentis linea ^F, axis autem seg-

menti sit 5z/, et linea axi adiecta sit B®j et sit

B@ = Z® = ZH. demonstrandum est, segmentum

ad conum basim habentem eandem, quam segmen-

tum, et eundem axem eam rationem habere, quam

HîZJ.sit igitur cylindrus eandem basim habens, quam

segmentum, et axem eundem, latera autem eius sint

lineae ^^, FT. sit autem etiam conus quidam, in

quo sit littera ^, et ad conum eandem basim haben-

tem, quam segmentum, et axem -Bz/ eam habeat ra-

tionem, quam H^\^Z. dico igitur, segmentum

1) P. 280, 2: st' v.a tov (Xfi^lvyoyviov KmvosLdsos dnoTfiad'^

Tficcfiata inLTCsda) OQd^m tiotl tqv a|ova, ro dnoTna&sv tfidfia

TtotL tov yicovov tov â6Lv s%ovta tdv avtdv tm tfidfiatL y.aL

dôva tov avtov tovtov s^^l tbv Xoyov^ 6v d 6vva^(potSQr^gt(ffa, To5 ts dôvL v,tX. (lin. 6— 9).

23. ds] scripsi; 8ri F, uulgo. 26. H/i'] KJ F; corr. ed. Ba-sil.* (prj^L F; corr. Torellius.


418 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAE^N.

Tccovoeidsog l'6ov slêv rc5 W kcdvc}. si yccQ ^rj iGziv

l'0ov , riroi ^Bit,ov 7] ekaGGov iazLV. sOtco nQoteQOv,

ei dvvatov^ êtôv. iyyeyQacpdô drj elq to tââ

Oxrjâ GteQeov^ xal akXo 7teQiyeyQacp%^G} ix kvXMqov5 vifjog l'0ov ixovtav GvyKeCêvov ^ w6te t6 TieQcyQacpev

6%r]â tov iyyQacpevtog v%eQe%eiv ikdaaovi^ ^ ccXlxc)

vTteQe%ei to tov Kcovoeideog tââ tov W xcovov.

didx^co drj td iTtineda Ttdvtav tov xvAlvSqov Jtotl

tav i7tL(pdveLav tot)

10 I 1 „ xvkLvdQov roi; ^daLv

êv e%ovtog tbv xv-

xXov tbv TteQi dLd-

fietQovtdvAF^ aôvad£ tdv 5z/. icaeCtai

dij oXog 6 KvXLvdQog

dLTiQriiievog elg xv-

XCvdQovg to êv TtXri-

^ d^BL i6ovg totg xvXiv-

dQOig totg iv to

TteQiyeyQa^fievo

axi]fiati, To5 de fie-

yedêi taovg to ê-

yCato avtov. xal

iitel ikdaaovi viteQ-

25 X y^ X i%î' tb TteQiyeyQa^-

êvov axijâ tov

iyyeyQa^êvov, rj tb

t^dâ TOi) W xdvov^ xal êtôv i(Sti tb TteQiyeyQa^-

êvov a%riâ roi) t^dfiatog, drjXov, oti xal tb iyye-

15

20

1. yaQ'] scripsi; ys F, uulgo. 4. Mco F. 8. $Lrjxâ> F;


conoidis aequale esse cono ^. nam si aequale non

est, aut maius est aut minus. prius, si fieri potest,

maius sit. inscribatur igitur segmento figura solida,

et alia circumscribatur ex cylindris altitudinem aequa-

lem habentibus composita, ita ut figura circumscripta

excedat inscriptam spatio minore, quam quali excedit

segmentum conoidis conum ^ [prop. 19]. producan-

tur igitur plana omnium cylindrorum ad superficiem

cylindri basim habentis circulum circum diametrum

Q n ji n J2

AF descriptum, axem autem B^. itaque totus cy-

lindrus diuisus erit in cylindros numero cylindris

figurae circumscriptae aequales, magnitudine autem

maximo eorum aequales. et quoniam figura circum-

scripta excedit inscriptam minore spatio, quam quo

segmentum conum W excedit, et figura circumscripta

maior est segmento, adparet, etiam figuram inscriptam

maiorem esse cono W. sit igitur B P tertia pars

corr. Torellius. In fignra litteras M, N permutant Cr., ed.

Basil., Torellius. 24. BXaaGGovt F. 27. ij] om. F; corr. ed.

Basil. 28. r(ia(ic(] sic F, nt p. 420 lin. 12.

27^

420 nEPI Ki^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

'yQa^^svov (^xVi^^ iistôv sGti tov W xdvov. s6to

drj tQLtov ^SQOS toig B/1 a BP. s66sitai ovv a ifz/

tQi7tXa<5ia tag ®P. xal STtsl 6 ^sv xvlivdQog 6 â6LV

e%G}v tbv xvkIov tbv TtSQi did^stQOv tav AF^ aôva

5 ds tav B^ Ttoti tbv xcovov tbv pdatv sôvta tdv

avtdv xal aôva tbv avtbv tovtov s%sl tbv koyov^

ov d H/J Ttotl tdv 0P, s^SL ds xal 6 stQrj^svog acj-

vog Ttotl tbv W Kcovov, ov d Z^ Jtotl tdv H^,s%SL ccQa xal dvoÔLog t<Bv koyav tstay^svov tbv

10 avtbv Xoyov 6 xvkLvdQog 6 SLQrj^svog Ttotl tbv ^xcjvov, ov d 7j/1 Ttotl tdv ®P. sCtcoâv ds yQa^âl

KSL^svaL, scp^ dv td S, to ^sv TtXrjd-SL L6aL totg tâ-

lidts60Lv totg sv ta B^ svd^sCa^ to ds ^sysd^SL STcdcta

l'0a ta ZB, Kal TtaQ^ sTcdctav avtdv TtaQaTtsTttOKSto

15 %OQL0v vTtsQ^dklov sldsL tstQayovo ^ zal tb ^sv ^s-

yLCtov s6to lCov to VTtb ZA^ z/5, tb b\ sXd%L6tov

l6ov to vTtb ZO, OB. at ds 7t?.svQaL tov vTtSQ^lri-

îdtov rra l6o dXXdkav vTtSQSxovtov [Tial ydQ aC

L0aL avtatg ai sitl tdg J5z/ svd^SLag rc5 l'6o dXXdXov

20 VJtSQSX0V6Lv]. Xal S6tO d ^SV tOV ^SyL(StOV VTtSQ^Xl]-

fiatog JtlsvQa, scp' dg tb N, l6a ta 5z/, d ds Toi; skaxC-

Otov L0a td BO. s6to ds aal dkka xc^qCcc, iv olg to

ii, to ^sv Ttkri^^SL L6a tovtOLg, r« ds fisysd^SL s7ta<5tov

l'6ov tff ^syL0to to vTtb tdv Z^, zlB. 6 drj xv-

2. snsitccL F. 9. ccqk xat] scripsi; oc^stQi post lacunamF, uulgo; ovv Commandinus ; aQU Torellius. tstayfisvcov]

Commandinus; tstuQayîsvov F, uulgo; tstayfisvov Torellius.

11. ov] om. FBC*. 0P] 00 F; corr. ed. Basil.* ôt(o-

eav] comp. F. ds] scripsi; ds ca F, uulgo. 12. K7a F; corr.

B* 13. ta] tco F; corr. Torellius. 14. avtoav F; corr.

Torellius. 16. icov] sv F; corr. ed. Basil. ZJ, BJ scripsi;

ZBz/ FBC*; Zz^B ed. Basil., uulgo. 17. loov] sv F; corr. A.ZO, OB] scripsi; ZOB F, uulgo. 18. rc5] tcov tco F; corr. B,


lineae 5 z/. erit igitur H^ = 3 ®R^) et quoniam

cylindrus basim habens circulum circum diametrum

ji r descriptum, axem autem J5z/ ad conum basim

habentem eandem et eundem axem eam babet ra-

tionem, quam ifz/ : 0P/) et etiam conus ille ad co-

num ^ eam rationem babet, quam Zz/ : H^j habebit

etiam, cum perturbata sit proportio [Eucl. V, def. 20],

cylindrus, quem commemorauimus, ad conum W eam

rationem, quam Z ^ : @ P [Eucl. V, 23]. ponantur

autem lineae quaedam, in quibus sint litterae S,

numero partibus lineae B Zl aequales, magnitudine

autem singulae lineae ZB aequales, et singulis ad-

plicetur spatium figura quadrata excedens, et maximumsit = Zz/ X ^B, minimum autem = ZO X OB;latera autem excessuum aequali differentia inter

se excedant.') et latus maximi excessus sit ea

linea, in qua est littera iV, aequalis lineae J5 ^,

latus autem minimi excessus lineae B O aequalis

sit. sint autem etiam alia spatia, in quibus sit

littera Sl, numero his aequalia et magnitudine sin-

gula maximo illorum, rectangulo lineis Z^, ^B

1) Nam HJ = HB -\- BJ = S@B + 3BP et

&P= @B -j- BP.2) Cpnus enim tertia pars est cylindri (Eucl. XII, 10; cfr.

supra prop. 10), et @P = ^ HJ.3) Cum nusquam dixerit Archimedes, latera aequalia esse

partibus lineae BJ (neque enim hoc ex lii^n. 15—17 concludipotest), adparet, retinendam esse scripturam codicum lin. 18,

et uerba sequentia lin. 18—20 delenda, in quibus offenduntetiam aXXdXcov et v7tBQs%ov6iv.

vnsQSxovri Mzzius. 20. vnsQSxovzi Torellius; sed u. not. 3.

21. t6 iV] scripsi; tov F; to M ed. Basil., Torellius; u. p. 419.22. BO] BI F; corr. ed. Basil. 24. Zd, JB scripsi; ZJBF, uulgo.

422 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂTPOEIAESiN.

XcvdQog ^d^Lv êv e%ov t6i/ kvkIov xov TtsQi

didÊXQov rdv AF, dôva ds xdv /lE noxl xov %v-

kivdQOv xbv ^dciv êv exovxa xbv kvkIov xbv TtSQi

didfisXQOv xdv KA^ dôva de xdv AE xbv avxbv

5 sxsL loyov, ov d AA Ttoxl xdv KE dvvdêc. ovxog

ds e0XLv avxbg ra5, ov e%eL xb JteQLexoêvov vitb

xotv Z^y B^ Ttoxl xb TteQLexoêvov vitb xdv ZE, BE.ev nd(ja yd^ xa xov d^^lvyovCov tcojvov xoâ xovxo

6vfiâLveL [d yd^ dLnkacCa xdg 7toxeov6ag, xovxedXL

10 xdg ex xov TcevxQOv, jtlayCa eOxl xov eldovg TtlevQd].

%aC e6XL xa êv vjtb xdv Zz/, BA 7teQLexoêv<p l'0ov

xb SN ^ôj^fcov, rc5 de vnb xdv ZE, BE laov e6xl

rb SM. d ydQ S 'Caa iaxl xa ZB, d ds M xd BE,d ds N xa Bzl. 6 aQa TcvlLvdQog 6 ^d^Lv fiev ix^'^

15 xbv KVTcXov xbv TteQL dLdêxQOv xdv AF, dôva de

xdv Ê Ttoxl xbv TcvlLvdQOv xbv ^dOLV exovxa xbv

Tcvxkov xbv TteQL dLdêxQOv xdv KA, dôva de xdv

/dE rbv avxbv e%eL koyov, ov xb Sl x^Q^^^ Ttoxl xb

SM. bôCcog de deLx^yj0£raL zal xcov dlXcov kvXCv-

20 Sqcjv exaGxog xmv iv xa oAcj %vkCvdQ(p dôva excav

xdv LCav xd Ê Ttoxl xbv xvhvdQOv xbv iv ro5 iyye-

yQa^êvc) (T^îjâri xbv exovxa xbvâvxbv dôva xov-

Tov sxcov rbv Xoyov^ ov sx^l rb Sl x^Q^^'^ Ttorl rb

6(i6loyov rov TtaQa rdv S TtaQaTtsTtrcoKorov vneQ^dl-

25 Kov rcj rerQaycavc). eGXLv dri rLva êyedêa, ot xvlCv-

dQOL OL iv ra oAoj TivkCvdQGi^ (hv exa^rog dôva exsL

loov ra zlEj xal dlka êysdêa, rd ^ô^^ta, iv olg rb

7. tccv] tas F; corr. AB. 12. /îV] addidi; om. F, uulgo;

ISIM Cr., ed. Basil., Torellius. iaov satl to SM. d yocQ

S] om. F; corr. ed. Basil. (SN pro SM). 13. M] scripsi;

N F, uulgo. 14. N] M ed. Basil, Torellius. 19. SN Torellius.

24. ofioloyov] ov loyov F; corr. Torellius. tcav nccqa.] tav


comprehenso, aequalia. itaque cylindrus basim habens

circulum circum diametrum AF descriptum, axem

autem z/^ ad cylindrum basim habentem circulum

circum diametrum KA descriptum, axem autem z/£

eandem rationem habet, quam JA^\ KE^ [Eucl. XII^

11; XII, 2]. sed

zJA^:KE^==Z^XBJ:ZExBE.hoc enim in omnibus sectionibus coni obtusianguli

accidit. ^) et spatium SN = ZA X Bzi , et

SM=ZExBE;nam S= ZB et M= B E et N = B zf.^) itaque

cylindrus basim habens circulum circum diametrum

Al' descriptum, axem autem z/£J ad cylindrum basim

habentem circulum circum diametrum KA descriptum,

axem autcm ^E eandem rationem habebit, quam Sl

spatium ad S M. et eodem modo demonstrabimus,

etiam unumquemque ex ceteris cylindris totius cy-

lindri axem habentem lineae z/ E aequalem ad cy-

lindrum figurae inscriptae eundem axem habentem

eam rationem habere, quam spatium Sl ad respondens

spatium eorum, quae lineae S adplicata sunt figura

quadrata excedentia. sunt igitur magnitudines quae-

dam, cylindri totius cylindri, quorum singuli axem

habent lineae z/ E aequalem, et aliae magnitudines,

1) Apollon. I, 21; cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXVp. 55 nr. 24. sed sequentia uerba lin. 9—10 delenda sunt,

quia nomen r] nka/^ia nXi^vqa ab ApoUonio demum inuentumest. interpolator uerba Archimedis ad genus dicendi Apol-lonii adcommodare uoluit.

2) Et ^N ={M^ N)x N, SM ={S + M)xN.

TtSQi F; corr. Torellius. 57] Nizzius; iV^ F, uulgo. nsQi-nsTtxooKotoiv F; corr, Torellius.


Sl, L6a TovrOLg tc5 TcXTjd^st xatcc dvo ^syedêa xov

avxov sxovta koyov^ snsl o% ts xvktvdQOt lOol ivtl

«AAaAotj, xal ra Sl %(OQCa tca akkdkoig' ksyovtai ds

tcov ts KvXivdQcav tivsg Ttotl akkovg nvkCvdQovq Tot^g

5 iv To5 iyysyQaîisvci 6%YHiati^ 6 ds saxcctog ovds

Ttod'^ ^v Xsystai^ xal t(Bv ^cj^tajv, iv oig ta ii, :toT'

cUka xcDQCa ta Ttaga tav S TtaQaTtsTttcoKOta vTtsQpdX-

lovta stdsL tstgaycDVC), ta ds oôXoya iv totg avtotg

koyoLg, tb ds soâtov ovds ittoO'' ^V Isystai. dijkov

10 ovv, oTt xal Ttdvtsg ot TcvkCvdQOL oC iv tco oXo kvICv-

dQG) Ttotl Ttdvtag tovg xvlCvdQovg tovg iv tco iyys-

yQa^^svG) OxYjâtt tov avtbv sôvvtL loyov, ov jtdvta

td Sl %C3()ta Ttotl Ttdvta td TtaQa^kriâta x^Q^S ^^^

^syCatov. dsdsCxtaL ds, otL Ttdvta td Sl x^Q^^ Ttotl

15 Ttdvta td TtaQa^Xrifiata %C3()tg tov ^syC6tov ^sC^ca Ad-

yov sxovtL, 7] ov d NS Ttoti tdv tCav Gvva^cpotsQaig

Ta ts Tj^tOsa tdg S ôii tc5 tQCtci ^sqsl tdg N. Sots

zai olog 6 avhvdQog Ttoti to syysyQa^^svov ^xvi^^

^sCôva sxsL Xoyov., 7] ov d Z/l Ttoti tdv 0P, ov 6

20 oAog Kv^LvdQog sxov idsCx^Yj Jtoti tbv ^P" xcovov.

^sCôva ovv sxsL koyov 6 oAog xv^LvdQog Ttoti tb

iyysyQa^^svov ^xij^cc 7] itoti tbv W xoovov' Scts

^sC^cov iotiv 6 W KODVog tov iyysyQa^^svov exW^^^^^S'

OTtSQ ddvvatov. idsCx^fj ydQ tb iyysyQa^^svov ^xfjiia

25 ^SLÔV TOV W K(6vOV. OVK ttQa ^StÔV TO TOV KovosLdsog

t^dâ Tov W Kcovov. ovds toCvvv skaCOov. s0tco ydQ,

SL dvvatov, sXa66ov. Ttdkiv ovv iyysyQdcpd^co stg tb t^dâ

3. ciXXrjloig (alt.) F. XsycovtaL F. 4. tovg] addidi; om.F, unlgo. 6. no^* ev] scripsi; nod^sv F, uulgo. 8. ccvTOig]

Nizzius; om. F, uulgo. 9. no&^' sv] u. lin. 6. 11. to5]

scripsi; om. F, uulgo. 16. M,S7 Torellius. 17. MTorellius.


spatia, in quibus est littera Sl, illis numero aequales,

binae cum binis in eadem proportione, quoniam

et cylindri inter se aequales sunt, et spatia £1 inter

se aequalia. porro et cylindrorum nonnulli cum aliis

cylindris, qui sunt in figura inscripta, in proportione

sunt, ultimus autem in nulla est proportione, ^) et

spatiorum, in quibus sunt litterae Sl, [nonnulla] cumaliis spatiis, quae lineae S adplicata sunt figura qua-

drata excedentia, respondentia in iisdem proportionibus,

ultimum autem in nulla proportione. adparet igitur,

etiam omnes cylindros totius cylindri ad omnes cy-

lindros figurae inscriptae eandem rationem babere,

quam omnia spatia Sl ad omnia spatia adplicata

praeter maximum [prop. 1]. demonstratum autem,

omnia simul spatia Sl ad omnia spatia adplicata

praeter maximum maiorem rationem habere, quam

N-^-Si^S+iN [prop. 2]. quare etiam totus cylin-

drus ad figuram inscriptam maiorem rationem habet,

quam Z^ : ©P^), quam rationem totum cylindrum ad

conum ^ habere demonstratum est. itaque totus

cylindrus ad figuram inscriptam maiorem rationem

babet, quam ad W conum. quare conus W maior est

figura inscripta [Eucl. V, 8]; quod fieri non potest.

nam demonstratum est, figuram inscriptam maiorem

esse cono ^. itaque segmentum conoidis maius non

est cono W. — sed ne minus quidem est. sit enim,

si fieri potest, minus. rursus igitur segmento inscri-

1) Quia cylindri figurae inscriptae uno pauciores sunt, quamcylindri totius cylindri.

2) Nam iV + ^ = Bz^ + ZB = Zz/, et

i^4-^iV = B0+EP=6)P.


0%riliicc atsQsov, xal akXo 7CSQiysyQK(pd-o sx xvlCvdQav

vipog l'6ov sxovtov 6vyxsL^svov, Sotsto TiSQiysyQa^^svov

0XV^^ Toi; syyQatpsvtog vTtSQSxsiv sXaaeovL, ij aXixc)

v^SQSXî Kovog tov t^d(iatog, xal ta akka ta avta xats-

5 Oxsvdod^cj, STCsl ovv skaOOov s6tL to syysyQa^^svov 6XV^^tov tfidâtog, xal skd66ovL vtcsqsxsi to TCSQiysyQa^-

^svov rov syysyQa^^svov, 7] 6 "^ xcovog roi) t^dfiatog,

dijXov^ otc xal tb TCSQcysyQa^^svov ^x^fjâ ska666v

s6tL tov W xcjvov. TcdXcv drj o ts xv^LvdQog 6 tcqo-

10 tog tc3v iv tip oXg) KvXLvdQ(p 6 sxov aôva tdv ÊTCOtl tOV TCQCOtOV XvkLvdQOV tcov sv to TCSQLysyQa^-

fisvcj ^xî^âtL tov sxovta aôva tdv /lE tov avtov

sxsi loyov, ov to Sl x^Qôv Ttotl to SN' l6ov yaQ

ixdtsQov ixatSQCD' xal tov dkXcav xvlLvdQcov sxa6tog

15 tmv sv rc5 oXco xvXCvdQtp dôva ixovtcov tdv l'6av

ta ZlE TCotl roi/ xv^LvdQov tov iv to JCSQLysyQa^-

fisvp ^xî^âtL nat avtov iovta xal dôva sxovta tbv

avtbv tovtov s^SL tbv koyov^ ov tb Sl x(*>Qôv TCotl

tb oôôyov tov TCaQa tdv S TCaQa^Xrj^dtcov 6vv to

20 vTCSQpXrjâtL, did tb SKa6tov tcov TCSQiysyQa^^svcov

XCOQLg tov ^syL6tov l6ov sl^sv sxd^ta tcov syysyQa^-

fisvcov 6vv rc5 ^syL6t(p. s%sl ovv xal 6 oAog tcvXlv-

dQog TCotl tb TCSQLysyQa^^svov 6x^â tbv avtbv koyov,

ov Tcdvta td ^ X^Q^^ TCotl td icaQa^lriâta 6vv totg

25 v7CSQ^Xriiidts66LV. dsdsCntaL d^s Tcdhv Tcdvta td Sl

XCOQCa TCotl Tcdvta td stSQa ikd66co Xoyov sxovta rov,

1

1. 6xriiioL\ om. F; corr. Torellius. 3. vnBQE% cum comp.

Tiv uel IV F. 8. nsQiyQa[i(iôv F. 13. t6 SN] SM To-

rellius. 14. stiuteQco] addidi; om. F, uulgo. 15. xdv']

addidi; om. F, uulgo; 'cfr. p. 422, 21. 18. xov] om. FBC*.ov] om. F; corr. B*. 21. «r/itfv] Torellius; sgxlv per comp.F; slvai uulgo.


batur figura solida, et alia circumscribatur ex cylin-

dris altitudinem aequalem habentibus composita, ita

ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio mi-

nore, quam quali excedit conus segmentum, et cetera

eadem construantur. iam quoniam figura inscripta

minor est segmento, et figura circumscripta excedit

inscriptam minore spatio, quam quo conus ^ segmen-

tum excedit, adparet, etiam figuram circumscriptam

minorem esse cono W. rursus igitur et cylindrus

primus totius cylindri axem babens z/J5J ad primum

«ylindrum figurae circumscriptae axem babentem ^Eeandem rationem babet, quam spatium Sl Sid SN(utraque enim aequalia sunt), et ceterorum cylindro-

rum unusquisque eorum, qui in toto cylindro sunt

axem babentes lineae ^E aequalem, ad cylindrum

figurae circumscriptae eodem loco positum et eundem

axem babentem eam rationem babebit, quam spatium

Sl ad spatium respondens eorum, quae lineae S ad-

plicata sunt, adsumpto excessu, quia unusquisque

circumscriptorum praeter maximum aequalis est uni-

cuique inscriptorum cum maximo.^) babebit igitur

etiam totus cylindrus ad figuram circumscriptam ean-

dem rationem, quam omnia spatia Sl ad spatia ad-

plicata cum excessibus [prop. 1]. rursus autem de-

monstratum est, omnia spatia Sl ad omnia illa spatia

1) Sint Ci Cg Cg C4 cylindri inscripti, C^ C^ C^ C^ C^ cir-

cumscripti, K cylindri totius cylindri, r^ r^ r^ r^ r^ spatia ad-

plicata adsumpto excessu. iam supra p. 422, 14 sq. demon-stratum est K : c^ = Sl : r^, K : c^ = Sl : r^, K : c^ = : Sl : r^,

K : c^^ = Sl : r^; sed Cj = C^, c^ = Cg, C3 = (7^, C4 = Cg. ita-

que K : C^ = Sl : r^, K : C^ = Sl : r^ cett.

428 nEPI K<iNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAEiiN.

ov E%Ei a SN Tiotl zav 1'Cav 6vva^(poT8Qat,g xa ts

rj^L6sa rag S J(^^ '^^ XQixci ^sqsl xag N' S6xs xal

oXog 6 zvXivdQog tcoxI x6 TtSQLysyQa^^vov Oxrj^cc

iXd60ova Xoyov s%Si, r] a Zz/ Jtoxl xav @P. «AA*

b cog a Zz/ Ttoxl xav ®P^ 6 oXog xvXtv^Qog Ttoxl xbv

W xcovov. skd66ova ovv Xoyov s%sl 6 avxog tcvXlv-

dQog TCoxl xo nsQLysyQa^^svov ^xrjâ 7] noxl xov W.

m6xs ^SLÔV S6XL xo TCSQLysyQa^ÊVOV xov 5** xcovov

OTtSQ ddvvaxov. sdsLxd^rj yaQ skaxxov iov x6 nsQLys-

10 yQa^ÊVOV Ipxriâ xov ^ k(6vov. ovk aQa sXa666v

s6XL x6 xov xcovosLdsog x^diia xov W ztovov. sTtsl

ds ovxs ^stôv ovxs Eka666v S6XLV, dsdsLXxaL ovv x6

JtQOXSdÊV.

15 Kal xoLvvv s'C xa firj oQd"^ Ttoxl x6v dôva xS

ETtLTtsdc) dTtoxâd^fj x6 x^dâ xov d^^XvycovLOv xcovo-

stdsog^ Ttoxl x6 djtoxââ xov zcovov xo ^d6Lv £%ov

xdv avxdv tc5 x^dâxL xal dôva x6v avx6v xovxov

£%SL x6v koyov^ ov d 6vva^cpoxsQaLg l'6a xa xs dôvL

20 xov x^dâxog xal xd XQL7tXa6La xdg 7toxsov6ag ta

dôvL 710x1 xdv l'6av 6vva^(poxEQaLg rc3 xs dôvL xal

xa dL7tXa6La xdg 7toxsov6ag xa dôvL.

S6XC0 yaQ x^dâ d^^XvycovLOv Ticovosidsog d^toxs- \

xâÊvov s7tL7tEd(pj Gig ELQrjxat. xâdÊvxog ds s^tLTtsdcp

25 xov 6%riiLaxog dXXoi dLa xov dôvog OQdâ 7toxl x6

S7tL7tEdov x6 d^toxsxfiaxog x6 x^dâ xov ^sv 6%rjâxog

xo^d E6XC0 d ABF d^^kvycovCov xcovov xo^d, xov ds

1. SM Torellius. 2. M Torellius. 7. tov] scripsi; to

F, uulgo. ^] ^ KavQv Torellius. 12. sXaaa cum comp.7}v uel Lv F. 14. 'nr)' Torellius. 16. anoTiirjd^r} F, ut lin. 17;

corr. Torellius. 17. ro ûglv'] scripsi; tov (comp.) §ccglv F,

uulgo. k'xovtog BC*, ed. Basil., Torellius. 19. at avvccficpo-

.r


minorem rationem habere, quam S-^-Ni^S-^-^N[prop. 2]. quare etiam totus cylindrus ad figuram circum-

scriptam minorem rationem habebit, quam Z^:(s>P. sed

ut Z^ : @Pj ita totus cylindrus ad conum W. itaque

idem cylindrus ad figuram circumscriptam minorem

rationem habet, quam ad W. quare [figura] circum-

scripta maior est cono ^ [Eucl. V, 8]; quod fieri

non potest. nam demonstratum est, figuram circum-

scriptam minorem esse cono W. itaque segmentum

conoidis minus non est cono W. et quoniam nec

maius nec minus est, constat propositum.

XXVI.

lam etiam si plano ad axem non perpendiculari

segmentum conoidis obtusianguli abscinditur, sic quo-

que ad segmentum coni basim habens eandem, quamsegmentum, et eundem axem eam rationem habebit,

quam linea utrique aequalis, et axi segmenti et tri-

plici lineae axi adiectae ad lineam utrique aequalem,

et axi et duplici lineae axi adiectae.^)

sit enim segmentum conoidis obtusianguli abscisum

plano, ita ut dictum est. figura autem alio plano per

axem secta ad planum segmentum abscindens perpen-

diculari figurae sectio sit ABF coni obtusianguli sectio

[prop. 11, bj, plani autem segmentum abscindentis

1) P. 280, 10: sl' y.a xov dfi^lvycovLOv 'naivosLdsog râfiuccTtoTnu&^ sni,7tsdo3 fii} OQd^m noxl xov aôvcc^ to ccTtotficc&^sv

tficifiLcc notl to Gx^fJlicc to ^ccglv s%ov tccv avtccv ta tfidfiatL nalocôva tov avtov, o yivstaL dnotinaâ Koavov, tovtov TitX., nt hocloco, nisi quod ibi dficpotSQULg legitur pro avva(iq}otSQaLg lin. 20.

tsQUL FVACD; at avva^cpotsQaLg B; corr. ed. Basil. 23.

anotst^ri^svov F, ut lin. 26, p. 430, corr. Torellius.

430 nEPI KSiN0EIAE5iN KAI S<E>AIPOEIAESiN.

iTCiTtidov Tov ccTCoterâTioTog ro Tââ a FA evdêtay

xoQvcpa ds e0TG) rot} xavov roi) 7t£Qii%ovTois to xmvo-

SLdsg t6 6ayLslov. Tial ax^co îâ roi5 B TCaQa Tav

AF i7Ctipavov0a Tag rov xoavov TOâg a 0T^ im-

5 âviTG) ds KaTa ro B. xal ccjco tov @ iTcl ro B iTCi-

t^svxd^stOa ixps^Xt^cd^G). TSfist drj avTcc ^Cxa Tav AT^xal i66SLTaL xoQvcpa ^sv rov T^dâTog ro B 6a^stov,

a^cov ds a jBz/, a ds JC0TS0v6a rc5 aôvt a B®. Ta

ds B0 l'6a S6TG) a TS @Z xal a ZH. cctco ds Tccg

10 0T ijctTCsdov dvs6TaxiTG) Tt TCagdkkYiXov rc5 xaTa tccv

AT. i7Cti(jav6st 6rj rov xovostdiog xaTcc ro B. xal

ijcsl To iTCticsdov ro xaTcc tdv AF ovx ibv o^^-^-oi/

^rort rov dôva TST^dxst ro xcovostdig, d rofta i66st-

rat o^vycjvtov xcovov TO^d, dtdfisTQog ds avTag a

15 ^stâv d FA. iov6ag dga o^vyovtov xcjvov to^dg

jcsqI dtd^sTQov rdv AF xal tdg BA yQa^âg dnb

rov xivTQOv dvs6Taxov6ag iv ijctnidoj o i6Ttv dnb

tdg dtafiSTQOv OQdôv tcotI to iictnsdov^ iv o i6Ttv

d rov o^vyovtov xoovov rofia, dvvaTov i6Tt xvXtvdQOv

20 svQstv Tov dôva s%ovTa iic sv^siag ra B^ , ov iv

r« iTCtcpavsta i66stTat d tov o^vyoviov xcjvov To^d

d tcsqI dtd^sTQOV Tav AF. svQsdîvTog ovv i66siTat

ttg xvXivdQOv tofiog tdv avrdv ^d6tv sôv rci5 T^d-

âTt xal dôva tov avTov, d ds sriQa pd6tg avTov

25 i66siTat ro iTciitsdov ro xaTa Tdv ^T. Jtdktv ds xal

xcovov svQstv dvvaTov i6Tt xoQvcpdv i%ovta ro B

6. 8ri\ scripsi; Sia xa F, uulgo; Sr] zu Torellius. 7. T|Lta-

jLtaTOs] sic F. 11. 8rf\ scripsi; Ss F, uulgo. 12. Iwft]

saGSL altero a supra scripto F; iaaettaL cett. codd.*; corr. ed.

Basil, 13. zstfiriHSt F, uulgo. Kovosidsg F. 15. sovaa

F; corr. ed. Basil. dga] scripsi; aXXrj F, uulgo; ^tJ ed. Ba-

sil., Torellius. toiia F; corr. ed. Basil. 20. svq cum comp.


linea F^, uertex autem coni conoides comprehendentis

sit punctum 0. et per B punctum ducatur lineae AFparallela linea ^T sectionem coni contingens, et con-

tingat in puncto Bj et [linea] a ad jB ducta pro-

ducatur. ea igitur lineam AF in duas partes aequales

secabit-^), et uertex segmenti erit B, axis autem B^^)j

et B® linea axi adiuncta [p. 278, 24]. sit autem

B& = eZ = ZH.et a linea 0T planum erigatur parallelum plano in

^i^posito. continget igitur conoides in B [prop. 16, b],

et quoniam planum in AF positum ad axem non

perpendiculare conoides secat, sectio erit coni acuti-

anguli sectio, et diametrus eius maior FA [prop. 13].

data igitur coni acutianguli sectione circum diametrum

AF descripta, et linea B^ a centro erecta in plano

in diametro posito ad id planum perpendiculari, in

quo est coni acutianguli sectio, fieri potest, ut in-

ueniatur cylindrus axem habens in producta linea 5z/,

cuius in superficie sit coni acutianguli sectio circum

diametrum AF descripta.^) eo igitur inuento erit

frustum quoddam cylindri eandem basim habens, quamsegmentum, et eundem axem, altera autem basis eius

erit planum in linea ^T positum. rursus autem hoc

quoque fieri potest, ut conus inueniatur uerticem

habens punctum B, cuius in superficie sit coni acuti-

1) Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV. p. 56 nr. 26; cfr.

supra p. 381 not. 3.

2) B uertex erit propter p. 278, 20. tum BJ axis erit

propter p. 278, 21.

3) U. prop. 9.

r}v uel Lv F. svd^tLoov F; corr. Torellius. 22. «] addidi;

om. F, uulgo. 25. zdv'] Torellius; rriv (comp.) F, uulgo.

432 IIEPI KSiNOEIAES^N KAI S<l»AIPOEIAESiN.

6aêtov, ov iv xa BTiKpccvsCa iOGsiTai a xov o^vycovtov

xmvov rofta a TtsQi didfjietQov tav AF. evQedêvrog

T-

Mp

^ l' & /4'

ovv xal aTtotâ^d tc i66ettai k(dvov ^d(Hv e%ov tav

avtdv rc5 te tofic) Tcal t(p t^dâtt Tcal dôva tov

5 avtov. detxteov, ott tb tov xmvoetSeog t^dâ Ttotl

tb aTtotââ tov xgjvov ro etQrjêvov tbv avtbv h%ei

koyov, ov d H^ Ttotl tdv z/Z.

ov yaQ e%ei Xoyov a ifz/ ;rorl tdv ^Z, tovtov

i%et(Xi W xojvog Ttott tb aTtotfiaâ tov Kcivov. et

10 ovv ^ri i6ttv l'6ov tb tov Kcovoetdeog t^dâ t(p ncovay

2. a TtBQC] d addidi; om. F, uulgo. 3. xat dnotâôi, . .

.


anguli sectio circum diametrum ^Fdescripta [prop. 8].

eo igitur inuento etiam segmentum coni erit basim

n n n n J2

jhabens eandem, quam et frustum et segmentum, et

eundem axem. demonstrandum, segmentum conoidis

ad segmentum coni rationem eam habere, quam ifz/

ad z/Z.

babeat enim conus W ad segmentum coni eam

rationem, quam Hzl:/dZ. iam si segmentum conoidis

cono ^ aequale non est, sit, si fieri potest, maius.

To5 tficcfiazi lin. 4 om. F, uulgo; corr. Commandinus, nisi quodlin. 3 scribit icGsttuL to aTtotfiri^a (rt dnotficc^a Torellius,

qui lin. 3 sx(ov habet). ego haec ita transposui addito xatlin. 3, ut adpareret origo lacunae. 6. cc7tor(irj}ia F, ut lin. 9;corr. Torellius. 8. yccQ] Nizzius cum VD; yovv F, uulgo.a ilz/] om. F; corr. Torellius. 9. sxsrcol Torellius; sxsl F,

uulgo. Post -Kcovov supplet Commandinus: (pri(jLl {cpaiiC To-rellius) dri to tfi^fia (tfia(ia idem) tov 'noivosLdsog lgov sI(iev

tm W Havo).


434 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2<J>AIP0EIAESiN.

rc5 W^ 6L ^€v dvvatov ietiv, £6tco êtôv. syyeyQdfpô

drj eCg to rov xcovosLdeog r^ccâ (3%riâ arsQSOv^ xal

aXXo JtsQLysyQcccpd^co etc TcvXCvdQov ro^cjv l'6ov vipog

s%ovrcov OvyxsL^svov, S6rs ro TtSQLyQacpsv ^xVâ tov

5 iyyQacpevrog v7tsQe%SLV ilcc06ovL^ 7] ccXlxg) v7tsQS%SL ro

rov Kovostdsog r^dâ rov ^ xcovov. ijtsl ovv rb

TtSQLysyQa^^svov (Sxrjâ ^stôv iov tov r^ccârog iXdc-

0OVL v7tSQS%SL Toi) iyysyQa^^svov (3%riârog^ ^ ro râfta

rov W xcDvov, drjXoVy ort ^stôv iorL rb iyysyQa^^svov

10 (3%riâ rov W xcovov. dLcc^d^G) dtj ra inLTtsda rov z6-

^cov rcov iyysyQa^^svov iv ro r^ccârL itdvtcov eOte

TCorl rdv ijtLcpdveLav rov roôv rot5 ^dOLv s%ovrog rdv

avrav ro r^dârL xal dôva rbv avrov^ xal d rs BPrQLrov ^SQog s0rco rdg 5z/, xal rd dlka rd avrd rotg

15 TtQorsQOv xarsoxsvdGô. TtdXLv dr^ 6 TtQcBrog roôg

rov iv ro oAo? rd/Aoj 6 s%(ov dôva rdv Ê Jtorl

rbv TtQorov rdftoi^ rcov iv ro iyysyQa^fisvo 6%YiârL

rbv e%ovra dôva rdv /JE rovrov e%eL rbv Xoyov^ ov

rb ditb tdg AA tetQdyovov Jtotl tb dnb tdg KE. oC

20 yaQ roôL ol lôv viljog i%6vreg rbv avrbv fôvrt

Ad^ôv Ttor' dXXdlovg, ovjteQ ai âoCeg avrov. al de

â^Ceg avrcov, ijtel oôCaL ivrl o^vyovCov xcovov

roâC, rbv avrbv [ovv~\ k6yov e%ovrL Ttor dXXdXag,

ov a[ 6ôk6yoL dLaêtQOL avtdv dvvdêL. ov ds k6yov

25 s%SL tb ditb tdg AA tstQdyovov Ttotl tb dnb tdg KE^

tovtov s%SL tb VTtb rdv Zz/, AB 7tSQLS%6^svov Ttorl

rb VTtb rdv ZE, EB, iitsC ieriv d ^sv ZA dy^sva :

1. fi£v] scripsi; yuQ (comp.) (ir} F, uiilgo; fiiv sati Torel-

lius; om. Commandinus. BOtiv^ lârco] scripsi; sGtiv (comp.)

F, uulgo; IWoo Commandinus. 3. ccXX(o F. Y.vXtv8Q(ov ed.

Basil., Torellius. 5. vtisqsx cum comp. t^v uel iv F. 8. 6%ri-

ftaTO?] t(irjâtog F; corr. D, Cr. 10. dirjxôa F; corr. Torel-


inscribatur igitur segmento conoidis figura solida, et

alia circumscribatur ex cylindri frustis altitudinem

aequalem habentibus composita, ita ut figura circum-

scripta excedat inscriptam spatio minore, quam quali

excedit segmentum conoidis conum W [prop. 20]. iam

quoniam figura circumscripta, quae segmento maior

est, minore spatio figuram inscriptam excedit, quam

quo segmentum excedit conum W^ adparet, figuram

inscriptam maiorem esse cono W. producantur igitur

plana frustorum omnium segmento inscriptorum usque

ad superficiem frusti basim habentis eandem, quamsegmentum, et eundem axem, et sit

et cetera eadem construantur, quae antea. rursus igi-

tur priraum frustum totius frusti axem habens Êad primum frustum figurae inscriptae axem habens

Ê eam rationem habet, quam A^^ : KE^. namfrusta altitudinem aequalem habentia eam inter se

rationem habent, quam bases [cfr. prop. 10]. bases

autem, quoniam sectiones conorum acutiangulorum

similes sunt [prop. 14 coroll.], eandem inter se ra-

tionem habent, quam quadrata diametrorum respon-

dentium [prop. 6 coroll.]. sed

^z/2 : KE^ =^Z^XJB:ZEX EB,

lius. 11. svyiyg. F. Tfiaôjrt] scripsi; 6%riâti F, uiilgo.

fWe] saasLTccL F; corr. Torellius. 12. Tav]'(prius) scripsi, xrjv

F, uulgo; om. ed. Basil., Torellius. 14. xcc aXXa] scripsi; z'

alXa F, uulgo. 15. yiatsa-itsvdad-a)] scripsi; yLataa-asvaaQâ} F,uulgo. 16. aiôva'] a F. 17. tcov] scripsi; tov F, uulgo.20. sx(Qvti F. 21. at ds âatsq avtav] om. F; corr. Com-mandinus (nisi quod ^dasig scripsit). 23. ovv] delet Torel-lins. sxcovtL F. 26. Zz/, JB] scripsi; ZABF, ZJB uulgo;sic etiam p. 436 lin. 3. 27. ZEB F, uulgo, ut p. 436 lin. 4.

28*

436 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESIN.

dicc tov 0, xad'' au EyytGra 6v^7tL7trovtL^ aC ds A^d^

KE TtaQcc rav xata to B STtLilâvovâv, a6tiv d£ ro

inav vTto tav Zz^, z/5 7teQi£%6^Bvov lOov ta Sl xc)-

Qi(p, to d£ vTto tav ZE^ EB ta SM. £%ei ovv 6

5 TtQ^to^ TOftog rcov iv toj oXco toiKp 6 B%(QV a\ova

tav /iE Ttotl roi' jtQOJtov toôv tcov iv tw iyye-

yQa^^svc) <5%riâti tov £%ovta aôva tav Ê tov

avtov koyov^ ov to ii %ciQiov Ttotl to SM. Tcal tav

allcov ds to^cDv £xa0tos tmv iv to5 oAo) to^c) aôva

10 i%6vtov Tai' l'6av ta Ê Jtotl tov t6ôv toi' iv tco

iyy£yQa^^£V(p 6%r}âti xat avtov i6vta xal aôva

£%ovta tav i0av ta zlE tovtov £%£i tov k6yov^ ov

to Sl %oQiov Ttotl to 6^6koyov tov TtaQcc tav S7taQa7t£7tto7c6tov v7t£Qâkk6vtov £l'd£i t£tQayovo. 7ta-

15 kiv ovv ivti tiva ^^yid^â^ ot t6^0i oC iv tc5 oAcj

t6ô, Kal akXa ^^yid^â^ ta %oQia, iv olg to 5i, l'6a

to ^tlrjd^î totg t6^0ig xal aata dvo toi^ avtov X6yov

£%ovta avtotg. X£y6vtai de ot TOftot jtot' aXkovg to-

yiovg tovg iv t^ iyy^yQa^îvo 6%riâti^ 6 d£ £6%atog

20 t6ôg ovd£ jro'0'' sv X^yitai^ ta de 5i %OQia 7tot

aXka %OQia ta 7taQa tav S 7CaQa7t£7ttox6ta v7t£Q-

^dkXovta £id£6i t£tQayovoig^ td 6^6Xoya iv totg

avrotg k6yoig, ro d£ £6%arov ovda jro'9'' ^V X^yirai.

drjXov ovv ^ on xal 7tdvr£g ot r6^0i 7torl 7tdvrag tov

25 avrbv iôvvn k6yov^ ov Ttdvra rd Sl %oQia Ttorl

1. o cct] ccg F; corr. Torellius. Gv^mnxoivxi F. 4. fi/iV]

Torellius, ut lin. 8. 6. xcov] scripsi; xov F, uulgo. 8. xo\

(prius) rto F. 10. xdv] addidi; om. F, uulgo. 12. xdv] addidi;

om. F, uulgo. 13. xav ^] xu NS F; corr. ed. Basil.^

15.

TOjLtot ot] om. F; corr. Torellius. 17. nlrj^&r} F. nccxd] y,a

supra manu 1 F. 18. bxovxcc] sxcovxl F; s%ovxi uulgo; corr.

Torellius. aXXaXovg F; corr. BC. 20. no^' %v] scripsi;

A

DE CONOIDIBUS ET SPHAEEOIDIBUS. 437

quoniam Z/i linea per ducta est, in quo lineae

sectioni proximae inter se incidunt, et AA^ KE lineae

in puncto B contingenti parallelae. ^) sed

et ZEx EB = SM. itaque primum frustum totius

frusti axem habens z/£J ad primum frustum figurae

inscriptae axem habens Ê eandem rationem habet,

quam ii ad SM. et ceterorum quoque frustorum

unumquodque eorum, quae in toto frusto sunt axem

habentia lineam lineae /tE aequalem, ad frustum in

figura inscripta eodem loco positum et axem habens

lineam lineae zlE aequalem eam rationem habet, quamspatium ii ad respondens spatium eorum, quae lineae

S adplicata sunt figura quadrata excedentia. rursus

igitur magnitudines quaedam sunt, frusta totius frusti,

et aliae magnitudines, spatia, in quibus est littera

i^, numero frustis aequales et binae cum binis in

eadem proportione. et frusta cum aliis frustis, quae

in figura inscripta sunt, in proportione sunt, ultimum

autem frustum in nulla proportione^), et spatia i2

cum aliis spatiis, quae lineae S adplicata sunt figuris

quadratis excedentia, respondentia in iisdem propor-

tionibus, ultimum autem in nulla est. adparet igitur,

etiam omnia frusta ad omnia eandem rationem habi-

tura esse, quam omnia spatia £1 ad omnia spatia

1) Apollon. I, 21; Zeitschr. f. Math., hisi. Abth. XXV p. 55nr. 24; cfr. supra p. 422, 5 sq.

2) Id scilicet, cuius axis est 5 O ; numerus enim frustoruminscriptorum uno minor est.

noQîv F, uulgo; sic etiam lin. 23. 21. xcl] addidi; om. F,liulgo. xu vTtSQôcXlovra F; corr. Torellius.

438 nEPI K^NOEIAE^N KAI SÂIPOEIAE^N.

Ttdvta xa TtaQa^krniaru %€oqI($ tov fisyt^tov. Jtdvta 4de td Sl %(OQCa notl Jtdvta td TtaQa^Xrniata %ciQlg

tov iisyC^tov ^sCôva koyov s%ovti^ 7] ov d SN Ttotl

tdv l'6av d^(potSQaig ta ts rjî^sa tdg 3 xal rc5 tQCtG)

5 ^SQSi tdg iV. ^sCôva ovv Xoyov s%sl olog 6 toôg

Ttotl tb syysyQa^^svov ^^rjâ tov, ov s%si d SNTtotl tdv L6av d^g)OtSQaLg ta ts rj^LOsa tdg S ^ccl

ta tQCtcp ^sQSL tdg N' S<Sts xal tov, ov s%sl d Z^Ttotl tdv @P. ^sCôva ovv s%sl Xoyov 6 okog toôg

10 Ttotl tb syysyQa^^svov 6%rjâ 7] Ttotl tbv W xcovov

OTtsQ ddvvatov. sdsC^d^rj yaQ ^stôv sbv tb syysyQa^-

ILSvov (5%r]iia tov ^ }i(6vov. ovk sCtLv ovv fistôv

tb tov xcDvosLdsog tfidâ tov W xcovov. — sl ds

sXa666v s6tL tb tov KCJvosLdsog t^dâ tov W thovov^

15 syyQacpsvtog slg tb t^dâ 6%i^âtog 6tsQsov xal dXXov

TtsQLyQatpsvtog sx xvXCvSqov to^cnv l0ov vilôg s%6vtcjv

avyxsLfisvov, m6ts tb TtsQtysyQa^^svov (S%rjâ tov sy-

yQa(psvtog vjtSQS%SLV sXd06ovL, 7] dXCxc) v7tsQS%SL 6 Wxmvog tov t^dâtog^ Ttdktv oôCog dst^dîÔstaL tb

20 TtSQLysyQa^^svov (3%rjâ sXa66ov sbv tov W xmvov^

xal 6 tov xvkCvdQOv tbôg 6 ^d^Lv s%cyv tdv avtdv

tcS tfidâtL xal dôva tbv avtbv TCotl tb itSQLysyQa^-

^svov (^%rjâ skd66ova kbyov s%cav 7] itotl tbv Wxojvov oTtsQ s6tlv ddvvatov. ovx s6tLV ovv ovd^

25 ska66ov tb tov xcovosidsog t^dâ tov W xmvov. drj-

kov ovv tb TtQOtsd^SV.

1. xa %coQig FD. 3. Bxtovri F. MS Torellius. 5. MTorellius, ut lin. 8. 6. 57M Torellius. 7. ^] E/S? F; corr.

Cr., ed. Basil. 10. x6v\ to F. 11. (isiôv iov] fiSL^sov F;

corr, B*. 23. 8%'^'^ v] Torellius; sxtovTL F, sxovti uulgo.

24. sariv] supra manu'l F.


adplicata praeter maximum [prop. 1]. sed omnia

spatia Sl ad omnia spatia adplicata praeter maximummaiorem rationem habent, quam

S + i\r:iS+iiV[prop. 2].

itaque totum frustum ad figuram inscriptam maiorem

rationem habet, quam S -{- N : ^ S -\- ^ N^ quare

etiam maiorem, quam Zz/ :©P.^) itaque totum frustum

maiorem rationem habet ad figuram inscriptam quamad conum ?P*^); quod fieri non potest. nam demon-

stratum est, figuram inscriptam maiorem esse cono W.

itaque segmentum conoidis maius non est cono W. —sin minus est segmentum conoidis cono W, inscripta

segmento figura solida et alia circumscripta ex cy-

lindri frustis aequalem altitudinem habentibus com-

positis, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam

spatio minore, quam quali conus W segmentum ex-

cedit, rursus eodem modo demonstrabimus, figuram

circumscriptam minorem esse cono W [cfr. p. 434,

6 sq.], et frustum cylindri basim habens eandem,

quam segmentum, et eundem axem ad figuram circum-

scriptam minorem rationem habere quam ad conum^ [cfr. p. 434, 15 sq.]; quod fieri non potesi^) ita-

que segmentum conoidis ne minus quidem est cono

W. constat igitur propositum.

1) U. p. 425 not. 2.

2) Nam frustum totum ad W eam ratio^nem habet, quamZJ : @P; cfr. p. 420, 3 sq. itaque figura minor est cono.

3) Tum enim figura circumscripta maior esset cono ^(Eucl. V, 10), quod secus est (lin. 19).

440. nEPI KiiNOEIAEJiN KAI S*AIPOEIAEiJN.

Ilavtog 6%riâtog (jcpaLQOSideog t7a7tid(p tâdêvtog

dca tov xevtQOv OQdâ Ttotl tov aôva ro aî0eov tov

<5(paiQoeideog diitkaGiov e^ti roi} ncavov rot5 ^ciOiv

5 eôvtog rai/ avtav ta t^ccâti %al aôva tbv avtov.

66tG) 6(paiQoeideg 6%riâ eTtiJtedcp tetîaêvov dicc

tov xevtQOv oQdâ Jtotl tbv aôva. tfiadêvtog de

avtov aklcp e7ti7tid(p dicc tov aôvog rov êv exrjâtog

toâ e6tco a ABFzl o^vyoviov xcovov to^d, didêtQog

10 de avtdg Kal a^cav tov 0(paiQoeideog d 5z/, xevtQOv

ds tb ®. diOiOet de ovdev^ sHts d êiôv e6tl did-

^stQog d B^ tdg tov o^vycoviov xcovov to^dg, slts

d iXda^cov. rov de tetâxotog i7ti7tidov tb 6%riiia

toybd e6tci) d FA evdêta. i(36eitai drj avtd did tov

15 Tcal OQd^dg 7toi7]6ei ycoviag 7totl tdv BA, i^tel tb

i7ti7tsdov v7toxsitai Sid tov TtivtQOv ts d^dât xal oQd^bv

sl^sv Ttotl tbv dôva. dsiTctiov, ort ro dî6sov tov

6(paiQoeidiog t^dâ tb ^d^tv ^sv s%ov tbv xvxlov

tbv 7t6Qi did^stQov tdv AF, %OQVCpdv ds tb B 6a-

20 iisiov di7tld6i6v i6ti rov xcovov tov ^d6iv s%ovtog

tdv avtdv ta t^dâti xal dôva tbv avtbv.

s6tco ydQ xoovog tig, iv a ro W, di7tXa6icov tov

Ticovov tov ^d6iv s%ovtog tdv avtdv rra t^dâti xal

dôva tbv avtbv tdv 0B. (pa^l dr} tb dî6sov rov

25 6cpaiQOSidiog i6ov sl^sv ta ^ xoovc). sl ovv iiri

i6tiv l'6ov ro dî6sov tov 6(paiQOSidiog ta W xcovcoy

s6tc3 7tQ(5tov, sl dvvatov^ fistôv. iyysyQa^pd-co drj

1. y.d'' Torellius. 6. 6xi](i(x] tpir](ia. F; corr. ed Basil.*;

„portio" Cr. Tsrfirjfisvov F, uulgo. 8. Sid'] scripsi; tov (isv

dia F, uulgo. cr;g?^/xaTOs] tfirjficctoe F; corr. B. 11. 0] 0z/ F.

13. cc] addidi; om. F, uulgo. tstfiriTiotog F; corr. Torellius.


XXVII.

Quauis figura sphaeroidis per centrum plano ad

axem perpendiculari secta, dimidia pars sphaeroidis

duplo maior est cono basim eandem habenti, quam

segmentum, et eundem axem.^)

sit figura sphaeroidis per centrum plano ad axem

perpendiculari secta. ea autem alio plano per axem

posito secta, figurae sectio sit ABFJ coni acutianguli

sectio [prop. 11, c], diametrus autem eius et axis spliae-

roidis BJ, centrum autem 0. nihil autem interest, utrum

maior diametrus sectionis coni acutianguli sit B^ an

minor. plani autem figuram secantis sectio sit linea FA.

ea igitur per punctum @ [ducta] erit, et cum linea 5z/

rectos angulos faciet, quoniam suppositum est, planum

et per centrum ductum esse et ad axem p*erpendiculare

[Eucl. XI, 18 et XI def. 4]. demonstrandum est, di-

midiam partem sphaeroidis basim babentem circulum

circum diametrum AF descriptum, uerticem autem

punctum B duplo maiorem esse cono basim eandem

habenti, quam segmentum, et eundem axem.

sit enim conus aliquis, in quo sit littera W, duplo

maior cono basim habenti eandem, quam segmentum,

et eundem axem ®B. dico igitur, dimidiam partem

sphaeroidis aequalem esse cono ^. iam si dimidia

pars sphaeroidis cono W aequalis non est, sit primum,

si fieri potest, maior. inscribatur igitur segmento,

1) P. 284, 2 sq.: £t v.a n tav 6cpaiqoBi8i(ov axi^ficitcov etil-

nid(p t^KQîj Sicc tov tisvtQOV oQd^m notX tov aôvcc^ tav ysvcc-

flivCOV tÛfldtOiV SMCCtEQOV dinXcCOLOV SGOsltCCL tov yicovov tov^ccGLV sxovtog tccv avtccv ta tfidfiatL y.al dôva tov avtov.

16. ts dx&aL'] scripsi; tstax&aL F, uulgo. 24 diq] scripsi;

ds F, uulgo.

442 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAES^N.

slg to tââ tb a^Cêov tov dcpaLQOSLdeos ^xijâ 6ta-

Qeov^ zal aXko TtEQiyeyQdcpd-co ix nvXivdQCOv vipog lcov

sxovtov 6vyx£L^svov, mCtE to TtEQiyQacpsv ^xYiiia tov

syyQacpsvtog vtcsqsislv skd66ovL^ 7] dXCxo vTtEQEysL ro

5 d^Cosov tov 6cpaLQOELdsog to€ ?P" xcovov, sitsl ovv

^SLôv sov tb TCEQLysyQaîisvov 6xrjâ tov d^C6sog

rot» ecpaLQosLdsog sXddôvL v7tsQE%SL roi» iyysyQa^-

pLSvov 6%riiiatogj ?} ro d^Cosov tov ^cpaLQOSLdsog roi)

^ xcovov, drjXov ovv, otL xal tb iyysyQa^^svov ^xrjâ

10 iv rra t^dâtL tcj d^Laicp tov OcpaLQOSLdsog ^stôv

3. ixovtcov] sxov tov (comp.) F. Litteram P in figura ad-


quod dimidia pars est sphaeroidis, figura solida, et

alia circumscribatur ex cylindris altitudinem aequalem

habentibus composita, ita ut figura circumscripta

excedat inscriptam minore spatio, quam quali excedit

dimidia pars sphaeroidis conum W [prop. 19]. itaque

quoniam figura circumscripta, quae maior est dimidia

parte sphaeroidis, minore spatio excedit figuram in-

scriptam, quam quo dimidia pars sphaeroidis conum Wexcedit, adparet, etiam figuram segmento inscriptam,

quod dimidia pars sphaeroidis est, maiorem esse cono

W. sit igitur cylindrus basim habens circulum circum

didi; quadratum 1 addidit Torellius, sed seorsum; ego cumceteris iunxi. 6. ccfiLasog] F; afi^Gscog uulgo. 7. sXccggovl]

Nizzius; sXocaaov F, uulgo. 9. ovv] delendum? 10. rmcc[iiasa}\ acripsi; rov a(ii-asos FCD, tov a^iasoig uulgo.

444 nEPI K^NOEIAEiiN KAI 2ÂIP0EIAE<iN.

sGtL tov ^ yi(6vov. £0tco drj xvhvSQog âaiv ^lv

£%cov tov zvKôv tbv TtSQl dia^stQov tccv AFy aôva

ds tav B@. eTtsl ovv ovtog 6 xvhvdôg tQiTcXdîog

s6tc tov xcjvov tov ^cc6cv sôvtog tav avtav ta t^d-

.5 âtc Tcal aôva tbv avtov, 6 ds W^ Kojvog dcTildocog

s6tc roiJ' avtov Kcavov^ drjXov, cog 6 TivlcvdQog ri^co-

^.cog s0tc tov W Kcovov. ixps^li^^dô 6rj td STicnsda

tcov KvXcvdQcav itdvtcov^ s^ cov (jvyxsctat tb syysyâ^-

^svov 0%riâ^ s6ts Ttotc tdv sitccpdvscav tov xvXcvdQov

10 Toi) pd6cv s%ovtog tdv avtdv ta t(idâtc Tcal dôva

tbv avtov. s06sctac drj 6 oXog xvXcvdQog dcacQrj^svog

scg KvKcvdQOvg ta ^sv TtXr^^^sc c6ovg tocg KvXcvdgocg

tocg sv ta TtSQcysyQa^^svc) 0%riiiatc^ ta ds ^sys^sc

c6ovg roj ^syCotcp avtcov. s6tcov ovv yâ^âl ksc-

15 ^svac, scp' dv td S, ta nXri^sc c6ac tocg tâ^dts06c

tocg tdg B& sv^scag^ ta ds ^sysd^sc l'0a sxdcta ta

jB@, xac ditb sxd6tag tst^dycovov dvaysyQacpd-co. dcpac-

Q^^Cd^cj drj ditb ^sv roi) s6%dtov tstgaycovov yvcoôv

TtXdtog s%cov i'6ov ta BI. s66sctac drj ovtog t6og tcj

20 7tSQcs%o^svc) V7tb tdv Bly Jz/. aTtb ds tov Ttaq

avtm tstQayoovov yvco^cov dcpacQ^^^d^co TtXdtog s%cov

dc7tXd6cov tdg BI. s66sctac drj ovtog l'6og ta JtsQc-

s%o^£vco vTtb tdv BX, Xz/. xal dsl djtb rot) s%o^svov

tstQaycovov yvoo^cov dg)acQT^6d^co ^ ov TtXdtog svl t^d-

25 âtc ^siôv Toi) jtXdtsog tov TtQb avtov dcpacQrj^svov

yvcoôvog. s66sctac drj sKa6tog avtoov l'6og rw TtsQc-

1. ^doiv] scripsi; 6 âaiv F, uulgo. 9. Iârs] saasLxcii, F;corr, Torellius. 11. SiaiQrnLhoq] scripsi; diaiqov^Bvog F,

uulgo. 14. £<jrwv] scripsi; fffTco dri F; iatoaoav 8ri Nizzius

cum BD, 15, loa F; corr. Torellius. t^rjfiaai F, uulgo;

t^dâat Torellius. 19. i'oov] scripsi; laav F, uulgo. Sri]

Nizzius; Ss F, uulgo. 21. tstQaycavmv F. 22. tat] ro F.


diametrum AF descriptum, axem autem B®. iam

quoniam hic cylindrus triplo maior est cono basim

habenti eandem, quam segmentum, et eundem axem

[Eucl. XII, 10; cfr. supra prop. 10], sed conus ^duplo maior eodem cono, adparet, cylindrum dimidia

parte maiorem esse cono W. producantur igitur plana

omnium cylindrorum, ex quibus composita est figura

inscripta, usque ad superficiem cylindri basim habentis

eandem, quam segmentum, et eundem axem. totus

igitur cylindrus diuisus erit in cylindros numero

aequales cylindris figurae circumscriptae, magnitudine

autem maximo eorum aequales. ponantur igitur lineae

quaedam, in quibus sint litterae S, numero partibus

lineae B& aequales, magnitudine autem singulae aequa-

les lineae 5@, et in singulis quadratum construatur.

auferatur igitur ab ultimo quadrato gnomon latitudinem

habens lineae BI aequalem. is igitur aequalis erit

Blxl/J,^) a quadrato autem ei proximo auferatur

gnomon latitudinem habens 2 BI. is igitur aequalis

erit BXx Xz/. et semper deinceps a quadrato se-

quenti auferatur gnomon, cuius latitudo una parte

[lineae B&] maior est latitudine gnomonis ante ablati.

unusquisque igitur eorum aequalis erit spatio partibus

1) Nam cum BJin partes aequales (in 0) et in inaequa-les (in J) diuisa sit, erit (Eucl. II, 5): B Ix IJ -\- 1@^ = B@^,h. e. B@^ — I©^ = BIxIJ, sed B@^ — I@^ ipse gnomonest. et eodem modo ceteri gnomones inueniuntur.

23. sxofisvov] snofisvov Torellius. 24. ov] addidi; om. F,

uulgo. svl'] scripsi; fisv tj FCD; (isv lgov AB, ed. Basil;

usv sxcov svi Commandinus, Torellius. 25. tzqo'] C, Torellius

;

7CQ0X0V FD; TiQfoxov AB, ed. Basil.

448 nEPI KSiNOEIAESiN KAI SAIPOEIAEOT.

oXg) xvXivdQC) Ttotl Tcdvrag rovg ereQovg xvUvdQOvg

rov avrov sôvvrv Xoyov^ ov Ttccvra ra tsrQccycova

TCorl Ttdvrag rovg yvcoôvag rovg dcpaiQrj^svovg dn

avrtSv. 6 ccQa TcvXivdQog 6 pdoiv i%Giv rdv avrdv rw

5 r^dân xal dôva tov avtov notl tb syysyQaii^svov

6%riâ tbv avtbv sxsi Xoyov, ov itdvta td tstQdycova

Ttotl Ttdvtag rovg yvcoôvag rovg dcpaiQTj^svovg dit

avrdov. rd ds rsrQdycava Ttdvrcov rojv yvcjôvov rSv

dcpaiQfj^svov dit avrcjv fistôvd svri ^ rj^LoXta. svrl

10 ydQ rtvsg yQa^âl xst^svai at ^P, S2, ^T, ST, S^tco l6g) dXXdXav vTtSQsyovGai ^ %aX d sXayi6ra l'6a ra

vTtsQOxa. svrl ds %al dXXat yQa^ât, scp^ dv td dvo

S, S? f^(p ^£f^ Ttkri^si i6ai ravraig^ ra ds ^sysd^st

sxd6ra l'6a ra ^syt^ra. rd ovv rsrQaycova rd d%b

15 7ta6dvy dv sdrcv sxd6ra i'6a ra ^sytCra, Jtdvrcov ^sv

tcov rsrQaycovcav rcov ditb rdv ra l'6c) dkXdXav vitSQ-

s%ov6dv sXd66ovd svri r]' rQiTtXd^La^ rwv ds XoLJtmv

%G)Qlg rov dnb rdg ^syC^rag ^stôva r] rQL7tXa6L0va.

rovro yaQ sv rotg TtsQt rdv slCxcov ixdsdo^svoLg ds-

20 dsCxraL. sTtsl ds Ttdvra rd rsrQdycova skd66ovd svn

^ rQL7tXd6La rojv srsQCJV rsrQayoovcov, d svrL dcpaLQrj-

^sva dit avr^Vy drjXov.^ ort rtov XoLTtdov ^sCôvd svn

7] ri^Lolta. rSv ovv yvcoôvov ^sCôvd svrL ri rj^LoXLa.

oo6rs %al 6 xvkLvdQog 6 ^d6LV s%cov rdv avrdv rco

25 r^dârL Tcal dôva rbv avrbv ^sC^cov s6r\v ^ rj^LoXLog

3. dcpcaQrjfisvovg] scripsi; acpuLQOfisvovg F, uulgo; dcpcci-

Qov(isvovg ed. Basil., Torellius; sic etiam lin. 7. 9. i]] om. F.

10. ,^*] S^, ^^j, SSl F; corr. ed. Basil. 14. ra] rto F; corr.

Torellius. 15. av] scripsi; d F, uulgo. fisv tcov] scripsi;

rmv om. F, uulgo. 16. zccv rc5 faa)] scripsi; tcov looiv F,

uulgo; tuv Vacp Torellius. 18. (iscôv F; corr. Torellius.

tQiTtXcioCovcc] uel tQinldoLu scripsi; tQinlccoiov F, uulgo. 21.


lindri ad omnes ceteros cylindros eandem rationem

habebunt, quam omnia quadrata ad omnes gnomones

ab iis ablatos [prop. 1]. itaque cylindrus basim habens

eandem, quam segmentum, et eundem axem ad figuram

inscriptam eandem habet rationem, quam omnia qua-

drata ad omnes gnomones ab iis ablatos. sed [omnia]

quadrata illa maiora sunt quam dimidia parte maiora

omnibus gnomonibus ab iis ablatis. sunt enim lineae

quaedam positae^ SP, S^y ST, S^, S^y aequali diflfe-

rentia inter se excedentes, et minima differentiae aequa-

lis est.-^) sed etiam aliae quaedam lineae sunt, in

quibus sunt duae litterae SS, numero illis aequales^

magnitudine autem singulae aequales maximae. qua-

drata igitur omnium linearum^ quarum quaeque maxi-

mae [illarum] aequalis est, omnibus quadratis linearum

inter se aequali differentia excedentium minora sunt

quam triplo maiora, reliquis autem praeter quadratum

maximae maiora quam triplo maiora. hoc enim in

libro de helicibus edito demonstratum est [prop. 10

coroll.]. quoniam autem omnia quadrata minora sunt

quam triplo maiora alteris quadratis, quae ab iis

ablata sunt, adparet, reliquiis maiora ea esse quamdimidia parte maiora. gnomonibus igitur maiora sunt

quam dimidia parte maiora. quare etiam cylindrus

basim habens eandem, quam segmentum, et eundem

axem maior est quam dimidia parte maior figura in-

1) Sunt enim 5BI, 4BI, 3BI, 2BJ, BI.

xqinXccGici] dinXaoia F; corr. ed. Basil.* 22, (isi^ova] va postlacunam F; corr. ed. Basil. 23. rjjLttoXtoo (alt. loco) F; corr.

Torellius. 24. §a6Lv fisv F, uulgo; (isv deleui. 25. (isi^ov

F. ?] rjfiioXiog] rjiiiGsos F; corr. ed. Basil., Cr.

ArcMmedes, ed. Heiberg. I. 29

450 nEPI K5iNOEIAE5iN KAI 2<E»AIPOEIAE5iN.

Tot; iyysyQafiÊvov 6xiîicctog' otieq advvarov. xov yccQ

^ K(6vov fj^LoXLOs iiSTL, xo 6% iyysyQa^^svov (5xriâ

lietôv iSsLx^V ô^ ^ 7C(6vov. ovx aga i0xl ^stôv

x6 r]^t06ov xov 6(paLQOBLdiog xov W Xiovov. ovde

5 xoLVvv sXa66ov. s6xci yccQ , sl dvvaxov, ska66ov.

jkxXlv drj iyysyQccq)d-a3 sig xb a^L6sov xov 6(paLQ0-

SLdsog 6xriâ 6xsQs6vy Kal aklo TCSQLysyQcc^pd^G) ix xv-

XlvSqcdv vtpog l6ov ixovxcDv 6vyxsL^svov, ca6xs xo

TCSQiyQacpsv 6xrjâ xov iyyQa(pivxog VTtSQSx^LV iXcc66ovL^

10 rj (p vTtSQsxsL 6 W x<6vog xov rjiiL^sog xov 6(paLQ0-

SLdsog, xal ta aXXa xa avxa xotg jtQoxsQov xaxs6xsv-

d6^(0: iTCsl ovv ^Xa666v i6XL xo iyyQacpsv ^x^fjiia xov

xiiccâxog, drjXov, oxl xal xb TCSQLyQacpsv 6xrjâ sXa6-

66v i6xL xov ^ xcjvov. tcccXlv drj b TCQcoxog xvXlv-

15 ^Qog xmv iv rc5 oXci xvXlvSqg) 6 ^x^'^ aôva xav ®ETCoxl tbv 7CQC0XOV xvXlvSqov xcov iv xa TCSQLysyQaii-

lisvca 6xi]âxL xbv sxovxa aôva xav @E xbv avxbv

sxsc Xoyov, ov xb tcqooxov xsxQccycovov jtot' avxb. 6

6s dsvxsQog xvXLvdQog xwv iv rc5 oXa xvXCvdQ^p 6

20 sxcDV aôva tav EII tcoxI xbv Ssvxsqov xvXlvSqov

t<ov iv ta TCSQLysyQa^^svG) ^x^âtt tbv sxovta aôva

tav En tbv avtbv sxsl X6yov, ov ro dsvtsQov ts-

tQccycovov icotl tbv yvcoôva tbv dic avtov d(paLQri-

liivov. xal tcov dXXcov ds xvXlvSqcov sxa6tog tcov iv

25 rc5 oXg) xvXlvSqc) d%ova ix6vtcov tdv t6av ra ®ETCotl tbv xvXlvSqov tbv iv rcj TCSQLysyQa^^svco 6xr\-

ybati xat avtbv ibvta xal dôva ^'^ôvra tbv avtov

4. dfiLGBov Torellius. 5. elccGGov] priore loco slaffaoov F.

6. dfiicsov} ajitKjôv F; cotr. BC*. 10. «] addidi; om.

F, uulgo. dfiiGsog Torellius. 18. tcot* ocvto] scripsi; uot'

ttVTo uulgo; de neglecta aspiratione cfr. Quaest. Arch. p^93.

21. Tcov] scripsi; tov F, uulgo 22. dsvTsqov] Torellius; § F,


scriptaj quod fieri non potest. nam dimidia parte

maior est cono ^, et demonstratum est, figuram in-

scriptam maiorem esse cono W, itaque dimidia pars

sphaeroidis maior non est cono ^. sed ne minor qui-

dem est. sit enim, si fieri potest, minor. rursus

igitur in dimidia sphaeroidis parte inscribatur figura

solida, et alia circumscribatur ex cylindris altitu-

dinem aequalem habentibus composita, ita ut figura

circumscripta excedat inscriptam spatio minore, quam

quo conus W dimidiam sphaeroidis partem excedit, et

cetera eadem, quae antea, construantur. iam quoniam

figura inscripta segmento minor est, adparet, etiam

figuram circumscriptam minorem esse cono W. rursus

igitur primus cylindrus totius cylindri axem habens

®E sid primum cylindrum figurae circumscriptae axem

habentem @E eandem rationem habet, quam primum

quadratum ad se ipsum.^) secundus autem cylindrus

totius cylindri axem habens EII ad secundum cylin-

drum figurae circumscriptae axem habentem EUeandem rationem habet, quam secundum quadratum

ad gnomonem ab eo ablatum. et ceterorum etiam

cylindrorum unusquisque eorum, qui in toto cylindro

sunt axem habentes lineam lineae ®E aequalem, ad

cylindrum in figura circumscripta eodem loco positum

et axem eundem habentem eam rationem habet, quam

1) Utraque enim titrisque aequalia sunt.

uulgo. 26. rav] addidi; om. F, uulgo. 26. syysyQocfifbsve)

P; corr. TorelHus. 27. xal a^ova Exovta'] scripsi; om. F,uulgo; xai i%ovta a^ova Torellius.

29

452 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAE^N.

rovtov B%eL tov koyov^ ov tb oÔicog tetayêvov avta

tetQccycDVOv Jtotl rov yvmôva toi^ a7t avtbv dtpaiQrj-

êvov. %al Ttdvteg ovv ot xvXivdQOi ot ev ta oAca

%vkivdQ(p Ttotl Ttdvtag tovg KvXCvdQOvg tovg iv toj

5 TteQiyeyQa^êvc) Cxrniati tov avtov eôvvti XoyoVj ov

Ttdvta td tetQdyova Ttotl to Hoov tc5 TtQmtci tetQa-

yc3V(p %al totg yvco^6ve0î totg aTto tmv loiJtcov te-

tQaycjvcjv dcpaiQrjêvoig. xal td tetQdymva Jtdvta

eXd60ovd evti 7} 7iî6^.ia tov l0ov tcj te TtQCotc) te-

10 tQaycjvcj Kal totg yvco^6ve^6Lv totg aTtb tmv loLTtav

d(paLQriêvoLgj dL^tL tSv tetQayojvov tosv dito tdv tS

l6(p dkXdXav v7teQe%ov0dv %(OQ\g tov dito tdg êyC^tag

tetQaycavov êCôvd evtL 7] tQLTtXd^La. 6 aQa xvXlv-

dQog pd^Lv [êv] e^cov tdv avtdv t^ t^dâtL xal

15 dôva Toi^ avtov eXdc^cov 7] Tjî^Xi^g e6ti tov iteQi-

yeyQa^êvov 6%7jâtog' OTteQ ddvvatov. Tov yaQ WKcovov rjî6Xi6g e^ti, to de TteQiyeyQa^êvov ^XV^êXattov edeC^d^ri tov W xcovov. ovk aQa e6tlv ekao-

0OV tb rj^Cdeov tov 6(paiQoeideog tov W tkovov. ejtel

20 de oi;t£ iiett,6v e6tiv ovde eXa06ov, i6ov aQa e6tCv.

%ri'

.

Kal toCvvv et xa tb 6(paLQoeLdeg ^rj OQd"^ Jtotl

tbv dôva Tc5 eitLTtedc!) dLa tov xevtQov tâd-rj^ oôCog

t6 d^C6eov tov 6(paLQoeLdeog dLitXd^tov e66eCtaL tov

25 ditot^dfiatog tov xcovov to{5 pd6Lv 5;ôi/Tog tdv avtdv

t(p t^dâti Kal dôva tbv avt6v.

1. tov Xoyov'] scripsi; rov om. F, uulgo. ov to] Nizzius;

om. F, uulgo. tsruy(i8vov] Nizzius; rsrccyfiEvoj F, uulgo.

2. rsrQciyavov] Torellius; rsrQccyavco F, uulgo. uidendumtamen, ne ferri possit: rov avrov ¥%si Xoyov rc5 oôiois rs-

rocY^svo} . . rsrQCiycovq). 10. yvcoiiovsciv F. 11. rav] rcov F; ;

corr. Torellius. 12. xcoQLg] %aiQ cum comp. t^? F. 14. /tgv]

DE CONOIDIBUS £T SPHAEROIDIBUS. 453

quadratum eodem loco positum ad gnomoiiem ab eo

ablatum.-^) itaque etiam omnes cylindri totius cylindri

ad omnes cylindros figurae circumscriptae eandem

habebunt rationem, quam omnia quadrata ad spatium

aequale quadrato primo simul cum gnomonibus a

reliquis quadratis ablatis [prop. 1]. et quadrata om-

nia minora sunt quam dimidia parte maiora spatio

aequali primo quadrato simul cum gnomonibus a

reliquis ablatis, quia quadratis linearum aequali diffe-

rentia inter se excedentium praeter quadratum maxi-

mae maiora sunt quam triplo maiora. quare cylindrus


axem minor est quam dimidia parte maior figura

circumscripta; quod fieri non potest. cono enim Wdimidia parte maior est^ sed demonstratum est^ figu-

ram circumscriptam minorem esse cono W. itaque

dimidia pars sphaeroidis cono W minor non est. quo-

niam igitur neque maior est neque minor, aequalis est.

xxvin.Sed etiam si sphaeroides plano ad axem non

perpendiculari per centrum secatur, item dimidia pars

sphaeroidis duplo maior erit segmento coni basim

eandem habenti, quam segmentum, et eundem axem.^)

1) Sint Ci Cg C3 (7^ C^ cylindri circumscripti, c^ c^ c^ c^

inscripti, K partes totius cylindri, Q^ Q^ Q^ Q^ Q^ quadrata,

9i 9& 91 9b gnomones. demonstratum «st (p. 446, 6 sq.):

iC : Ci = ^3 : 5^2, ^: C2 = ^3 : g^, K: Cg = Q^.: gj K: c,= Q^ : g^(nam Q^ = Q^ cet.); sed c^==C^, c^ = C3, Cg = C^, c^ = C^.

2) P. 284, 19: st' xa tmv atpuLQosidsoov xi ETtinidcp tiiccd^ij

deleo. 19. to rjiiLasov] scripsi; tov ri^iGovg F, uulgo; t6afiiGsov Torellius. 20. ds] addidi; om. F, uulgo. figt^cov

F. ovds] F; ovts uulgo. 21. l' Torellius; om. F. 25.

aTcot^rinatos F; corr. Torrellius.

454 nEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN

.

t£t^cc^d^cj yccQ 0XV^^ 6(paLQ06Ldig' tâdîvtog ds

avtov iTCiTtidco akX(p dia roi5 ai,ovog OQ^^â notl to

ti(ivov iTtiTtsdov tov ^sv ^xriâtog toâ eOtGi a

ABF^ o^vyaviov tccovov to^d, TcivtQOv de avtag ro

5 ©y rov ds tetiiaKotog imnidov tb Oxijiia £6t(o a AFevd^sta. i60eLtaL d^ avta Slcc tov & dyoîva, BTCel

tb iitCitedov vTtixecto dLcc tov xivtQov ax%ai. ioceCtaL

ovv tig o^vyavCov xdvov to^ iteQL didîetQov tdv

AF, iTcel tb ijtCitedov tb ditotifivov vTtixevto ov itot

10 OQ^dg elêv ta dôvL dyîvov. dx^cov drj ttveg at

KA, MN TtaQa tdv AF i7tLJpavov6aL tdg tov o^v-

ycovCov Kcovov to^dg xatd td -B, ^, ditb de tdv KA,MN iTtCiteda dvedtaxitco TtaQdklrjka rc5 xatd tdv AF.iTtLipavovtL drj tavta tov ^cpaLQoetdiog xatd td B, ^,

15 xal d BA i7tLêvx^£t0a TteCeCtaL dtd tov 0, xal i6-

OovvtaL t(Bv tfia^dtcov xoQvcpal êv td B, A 6a\ieia^

d%oveg ^\ al J50, 0z/. dvvatbv drj i6tLV xvhvdQOV

evQetv dôva eôvta tdv B@, ov iv ta iTtLcpaveCtx

i06eCtaL d tov o^vycovCov xcovov to^d d Tte^l dLaêtQov

20 tdv AF. evQedîvtog de i66eCtaL rtg xvXCvSqov toôg

tdv avtdv ^diSLV e%cov rc5 ri^L(5i(p tov CcpaLQoeLdiog

ical dôva tbv avtbv. itdXLv drj xal kosvov evQetv

dvvatov i6tL xoQvcpdv eôvta tb B Gaêtov, ov iv

td i7tL(paveCa i06eCtaL d tov o^vycovCov xcovov to^d

1. Gxrjfia] Tfnjjtia F; corr. ed. Basil.* 2. a^mvog F. 6.

dij] d' F; corr. Torellius. inst] sni F. 7. &xâi] ts-

rdxôcL Torellius. 10. dx^c'^^] scripsi cum C; ccx^c* ^» uulgo;

dx^coGuv Nizzius cum VBD. 11. snL^pavovaocv FBC*. 13.

Tco] To F; corr. Torellius. 14. smipavtovtL F. Sri] scripsi; Ss

F, uulgo. -Katd td B, J] om. F; corr. Torellius. 15. xai

d BJ] scripsi; xat Ta B, J F, uulgo. 8id] ds 8uc F; corr.

Torellius. 17. @J] ©A FBC*. Sri ietLv] scripsi; Ss sgxiv

F, uulgo. 18, svQ cum comp. riv uel iv F, ut lin. 22. 20.


secetur enim figura sphaeroides. secta autem ea

alio plano per axem posito ad secans planum per-

pendiculari figurae sectio sit ABF/d coni 'acutianguli

sectio [prop. 11, c], centrum autem eius punctum @,

plani autem figuram secantis sectio sit linea AF, ea

igitur per ducta erit, quoniam suppositum est, pla-

num per centrum ductum esse. erit igitur coni acu^

tianguli sectio quaedam circum diametrum AV de-

scripta, quoniam suppositum est, planum secans ad

axem non perpendiculare ductum esse [prop. 14].

ducantur igitur lineae KA^ MN lineae AF parallelae

sectionem coni acutianguli contingentes in punctis B,

/1, et in lineis KA, MN erigantur plana plano in

linea AT posito parallela. ea igitur sphaeroides in

punctis 5, A contingunt [prop. 16, b], et ducta linea

BA per punctum cadet [prop. 16, c], et uertices

segmentorum erunt puncta jB, A [p. 282, 12], axes

autem jB0, 0z/ [p. 282, 13]. potest igitur fieri, ut

inueniatur cylindrus axem habens jB@, in cuius super-

ficie sit coni acutianguli sectio circum diametrum ATdescripta [prop. 9]. eo autem inuento erit frustum

quoddam cylindri eandem basim habens, quam dimidia

pars sphaeroidis, et eundem axem. rursus igitur fieri

potest, ut inueniatur conus uerticem habens punctum

5, in cuius superficie sit coni acutianguli sectio in

Bia. rov TisvTQOv firj ogdâ Ttotl rov ccôva rmv ysvafiiv(ov rfia-

litttcov STicitSQOv SLTfXaaiov saasCrai rov axviâtog rov ^daivsxovrog rdv avtdv ta rfidâri, xat dôva rov avrov. yivsravSs ro ax^fi^cc dnorfiaâ yicovov.

livXivdQ supra scripta littera o F; ytvlivdQog CD. 21. ra>

J7fiKj«G)] scripsi; rov 7}îaovg F, uulgo*; rov d(iLasog Torellius.

456 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAE^N.

a djcb diaêrQov tag AF. svQsdêvrog de £666itai tc

djtotââ X(6vov tdv avtdv ^d^tv e%ov reoi t^dâtt,

Tcal dôva tov avtov. keyco ^tj, oti tov (ScpaLQoeideog

ro ri^C(5eov diTtXdîov e6ti tov xoivov tovtov. eotco

6 drj 6 W xcBvog diTtKddog rov dnot^dâtog tov x(6vov.

€i ovv ^rj e6tiv i0ov tb rjîêov tov 6(paiQoeideog

rc5 ^ x(6va}, e^tco 7CQ(Btov, el dvvatov, fietôv. iv-

eyQaâ d^ rt etg tb rjîGeov tov 6(paiQO£ideog ^xrjâ

6teQe6v j xal dXXo TteQieyQaTpa ex %vXiv8Qov rdfttov

10 vil)og i6ov eypvtcxiv 6vyxeiêvov ^ S^te ro iteQiyQacpev

^Xrjâ rov eyyQacpevtog v7teQe%eiv eXd66ovi^ ^ dkCy^cp

v7teQe%ei tb d^Cêov tov 6(paiQoeideog tov W xcovov.

oôCcag drj totg TtQoteQOv deixd^rjêtai ro eyyeyQa^êvov

0%riiia ev t(p rjîêG) tov 6(paiQoeideog êtôv ebv tov

15 ^ Kcjvov, Ttal 6 toôg 6 ^dOiv exov tdv avtdv rc5

1. Tt] scripsi; to F, uulgo. 2. ccnotfirifia F, ut lin. 5;

corr. Torellius. v,(ovov\ om. F; corr. Torellius. 4. dfiLGSOv

Torellius, ut lin. 6. tov dnotââtog tov •acovov Nizzius.

7. svByqaipa'] scripsi cum VABD; svsyQatpm F; syysyQacpd^ca

ed. Basil., Torellius. 8. cniCasov Torellius. 9. nsqiysyQa(p9^(o

ed. Basil., Torellius. 14. aincscp Torellius. 15. TOju-og tow

%vXCv8qov Commandinus, Torellius.


diametro ^F descripta.^) eo autem inuento erit seg-

mentum quoddam coni eandem basim habens, quam

segmentum [sphaeroidis], et eundem axem. dico igi-

tur, dimidiam spbaeroidis partem duplo maiorem esse

hoc cono. sit igitur conus ^ duplo maior segmento

coni. itaque si dimidia pars sphaeroidis cono Waequalis non est, sit primum, si fieri potest, maior.

inscripsi igitur dimidiae parti sphaeroidis figuram so-

lidam, et aliam circumscripsi , ex frustis cylindrorum

altitudinem aequalem habentibus compositas^ ita ut

figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore.

quam quali excedit dimidia pars sphaeroidis conumW [prop. 20]. itaque eodem modo,« quo antea, de-

monstrabimus, figuram dimidiae parti sphaeroidis in-

scriptam maiorem esse cono W^ et frustum basim

habens eandem, quam segmentum, et eundem axem

1) Ex prop. 8; nam linea B@ perpendicularis non est.

456 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAESiN.

a ccTcb dLaêxQOv tas AF. evQedêvrog de e66eCtai tc

djtotââ Kcovov tav avtav ^d^tv e%ov reo t^dâtc

xal aôva tbv ccvtov. Xeyco dri^ oti tov acpaiQoeideog

tb rj^L6eov dvJtXdciov i6tt tov x(6vov tovtov. e6tco

h dri W xcovog diTcXdocog tov dnot^dâtog tov xcovov.

si ovv ^rj e6tiv i6ov tb rjî6eov tov CcpaiQoeideog

rc5 ^ Tccova), e6tco TCQootov, el dvvatov, êtiov. ev-

eyâipa dri tt etg tb r}î6eov tov 6(paiQoeideog ^xijâ

OteQeov j xal dXlo TteQieyQailâ e% %vXiv8Qov to^cov

10 vtlôg i6ov ejovtcov 6vyKeiêvov , S6te ro TteQiyQacpev

6%riiia rov eyyQacpevtog v7teQe%eiv eXd66ovi^ ^ dki^cp

vJteQexsi tb dî6eov tov 6(paiQoeideog rot; W kcovov,

oôicog drj totg JtQoteQOv dei^d^riêtai ro eyyeyQa^êvov

^xrjâ ev tcp rjîêio tov 6(paiQoeideog êtôv ebv tov

15 W Kcovov, xal roftog 6 ^d6iv ejicov tdv avtdv rc5

1. xi\ scripsi; ro F, uulgo. 2. anotfirjiia F, ut lin. 6;

corr. Torellius. xcovov] om. F; corr. Torellius, 4. cc^lgsov

Torellius, ut lin. 6. zov ccTtotficcficctog tov kcovov Nizzius.

7, svsyQa^pa] scripsi cum VABD; EvsyQaipoo F; syysyQacpdô

ed. Basil., Torellius. 8. aiiCasov Torellius. 9. nsQvysyQacpQô}

ed. Basil., Torellius. 14. a(ii6sqj Torellius. 15. tofiog tov

%vXiv8Qov Commandinus, Torellius.


diametro ^F descripta.^) eo autem inuento erit seg-

mentum quoddam coni eandem basim habens, quam

segmentum [spbaeroidis], et eundem axem. dico igi-

tur, dimidiam spbaeroidis partem duplo maiorem esse

hoc cono. sit igitur conus W duplo maior segmento

coni. itaque si dimidia pars sphaeroidis cono Waequalis non est, sit primum, si fieri potest, maior.

inscripsi igitur dimidiae parti sphaeroidis figuram so-

lidam, et aliam circumscripsi , ex frustis cylindrorum

altitudinem aequalem habentibus compositas, ita ut

figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore,

quam quali excedit dimidia pars sphaeroidis conumW [prop. 20]. itaque eodem modoy quo antea, de-

monstrabimus , figuram dimidiae parti sphaeroidis in-

scriptam maiorem esse cono W, et frustum basim

habens eandem, quam segmentum, et eundem axem

1) Ex prop. 8; nam linea B@ perpendicularis non est.

458 nEPI KS^NOEIAEiiN KAI SAIPOEIAES^N.

r^ccâtc Tcal aôva tov avxov rov luv W Koavov

'i]î6liOs i(6v, xov 8e iyyeyQa^êvov OxrifjLaxog iv xS

rj^Lêci) xov ^(paLQoeLdsog ^sl^cov t] rjfiLohog' ojcsq

advvaxov. ovx aQa ^slôv xo rj^LOeov xov 6(paLQoeL~

5 deog xov W k(6vov. el de eXaOOov i6xL xo r}^L6eov

xov 0(paLQoeL8eog xov W k(6vov, iyyeyQci^pd^c) elg xo

r}^L6eov xov OgâLQoecdeog ^xrjâ 6xeQe6v, xal aXko

TteQLyeyQcc^pdô ix avXCvdQCiv x6(jlg)v vilôg lcov i%6v-

xcov GvyyteCêvov^ S<3xe xo 7teQLyQa(pev xov iyyQa(pev-

10 xog v7ieQe%eLV iXd66ovL^ ^ aXCKCjy vTteQexeL 6 W xcjvog

xov rj^Cêog xov 6(paLQoeLdeog. ndXLV ovv oôCmg xotg

TtQ^xeQOv deLxd^rjeixaL xb TteQLyeyQa^êvov (5xriâ eXaa-

6ov iov xov W K(6vov, Tcal 6 x6ôg xov xvXCvSqov 6

^d(5LV exav xdv avxdv xS x^dâxL xal aôva xbv

15 avxbv xov êv W tccovov rj^L^XLog iciv, xov de iteQL-

yeyQa^êvov 6%riâxog iXdcccav 7] d^L^XLog' oiteQ ddv-

vaxov. ovK iôeCxaL ovv ovde eXa06ov xb tJ^lOv xov

(j(paLQoeLdeog xov W k(6vov. iitel de ovxe êt^bv icxLV

ovde eXa0(5ov^ tcov ioxC. , (pave^bv ovv icxLV^ o edeL

20 deCâL.

K^\

Tlavxbg 6%rjâxog (j(paLQoeLdeog iTtLTtedco xâdêv-

xog ^rj dLa xov KevxQOv OQdâ itoxl xbv dôva xb

eXaxxov x^dâ Ttoxl xbv kcovov xbv ^dcLv e%ovxa

25 xdv avxdv xS x^dybaxL kol dôva xbv avxbv xovxov

e%eL rbv X6yov, ov d l'6a 6vva^(poxeQaLg xa rs ri^L(Se(x

2. roj rifiiaim] scripsi; 7](iL6S(og F, uulgo; r^îaico B, dfii-

ai(p Torellius. 4. uqu intôv] scripsi; Batai ovv F, uulgo;

iOtuL ovv fiBiôv Commandinus , Torellius. dfiCasov Torel-

lius. 5. si ds sXccaaov saxi xo rjfiCasov rov acpciLQOSLdiog rov

W TKovov] scripsi; om. F, uulgo; sC ds sXccaaov saxiv Comman-


dimidia parte maius esse cono W, maius autem quamdimidia parte maius figura dimidiae parti sphaeroidis

inscripta; quod fieri non potest. itaque dimidia pars

sphaeroidis maior non est cono W, sin minor est

dimidia pars sphaeroidis cono IP*, inscribatur dimidiae

parti sphaeroidis figura solida, et alia circumscribatur

ex frustis cylindrorum altitudinem aequalem habenti-

bus compositae, ita ut figura circumscripta excedat

inscriptam spatio minore, quam quali excedit conus

W dimidiam partem sphaeroidis [prop. 20]. rursus

igitur eodem modo, quo antea, demonstrabimus, figuram

circumscriptam minorem esse cono W, et frustum cy-

lindri basim habens eandem, quam segmentum, et

eundem axem dimidia parte maius esse cono W^ minus

autem quam diraidia parte maius figura circumscripta

;

quod fieri non potest. quare dimidia pars sphaeroidis

ne minor quidem erit cono W. quoniam autem neque

maior est neque minor, aequalis est. constat igitur,

quod demonstrandum erat.

XXIX.

Quauis figura sphaeroide plano secta per centrum

non posito, sed ad axem perpendiculari, minus seg-

mentum ad conum eandem basim habentem, quam

segmentum, et eundem axem eam habet rationem,

dinus, Torellius. 6. fyyQcccp&a F. Btg ro r}(it6sov ....nf-QiyeyQccq)d-a) sk lin. 8 om. F; corr. Commandinus. 8. xv-

XCvSqov Commandinus. 11, rniiasoq] acripsi; rjfiLCovg F, uulgo;

ccfiLGOvg Torellius. 17. to'] tov (comp.) F; corr. BC*. 18.

fisi^av F. 21. lcc' Torellius; om. F. * 26. oV] addidit

Torellius; om. F, uulgo. roa avvccfKpotsQaig] scripsi; a avv-

aiKpotsQa F, uulgo; a om. Toreliius. ts] om. F; corr. To-rellius. cc^iascc idem.

460 nEPI KSiNOEIAEON KAI SÂIPOEIAESiN.

Tov aôvos tov 0(puLQoei8ios xal ra ccôvl tov êiôvog

tfidâtos TCotl Tov aôva toi/ rot; ^stôvos t^dâtog.

£0t(X) ydg ti t^dâ acpacôeideos 0%riâtos djtote-

tiia^svov sTtLTiidco oQdâ Jtotl roi/ aôva îj dtd Toi5

5 xavtQov. tâdêvtos ^^ avtov sjaTCsdc) dkl(p dtd roi}

dlE,ovos roi) ^hv a^T^âtos to^d satcj d ABF ojt^yw-

vCov K(6vov rofi«, did^stQog ^f tds to^ds Kal d^cav

roi) 6cpaiQ06idsos eatco d BZ, xavtQov de ro 0, rot;

de ejtiTtedov roi) d7Cote}ivovtos ro t^dâ to^d e6tc3 d

10 AF evdêla. Ttoiiqaei de avtd oQ^ds yovias Jtotl tdv

BZy ejtel ro eitiTtedov oqôv eiêv itotl tbv dôva

vjtexeito. e6tco de ro t^dâ ro ditotetâêvov , ov

xoQvg)d ro B (jaêtov ^ eXa(36ov ri d^Caeov tov acpat-

Qoeideos axrjâtos, xal td B0 i6a eotco d ZH. dsix-

15 tsoVy oti to t^dâ, ov KOQvq)d to B âêtov, jtotl

roi^ n^vov rov ^dCiv e%ovta tdv avtdv t^ t^dâzi

%al dôva rov avtov rovrov eêi tov koyov ^ ov d

^H Ttoti tdv /IZ.

e0ta) dri xvîvdôs tdv avtdv ^dOiv e%cov rc5

20 eXdcaovi t^dâti %al dôva tov avtov. eOtco 8e Kal

Kcovos^ ev 0? ro W^ Jtotl tbv kcovov tbv ^datv e%ovta

tdv avtdv tovtov e^cov roi' Xoyov, ov eêi d ^HTtotl tdv AZ. (pa\ii dri tbv IP" k^vov laov elêv

rc5 t^dâti ta xoQV(pdv e%ovti ro B aaêtov. el yd^

25 ft^ e6tvv iOos^ s0tco TtQcotov^ el dvvatov, e^,d66cov.

1. To5 dôvi] scripsi; 6 a^cav F, uulgo. 3. ax^^ficctog^

Tarjiicitog F; corr. ed. Basil. cmotstfirjfisvov F, ut lin. 12;

corr. Torellius. 9. tfiaficc] t supra manu 1 F. 11. slvccl

per comp. F; corr. Torellius, 13. dfiiasov'] scripsi; ccjjLiaovg

F, uulgo. (paLQOSLdsog F. 14. cc ZH] tov ^ZJf F; corr.

B.* 18. tccv] ta F; corr. AB. 19. Srj] scripei; Ss F,

uulgo. 21. to] Tco F. 22. ccvtdv tco t^dficctL nal dôvcc tovavtov Nizzius, fortasse recte.


quam linea utriqiie aequalis, et dimidio axi sphae-

roidis et axi segmenti maioris, ad axem segmenti

maioris.^)

sit enim segmentum aliquod figurae sphaeroidis

plano ad axem perpendiculari non per centrum abs-

cisum. secto autem eo alio plano per axem posito

figurae sectio sit ABF coni acutianguli sectio [prop.

11, c], diametrus autem sectionis et axis sphaeroidis

sit linea BZ, centrum autem @; plani autem segmen-

tum abscindentis sectio sit linea AF. ea igitur cum

BZ rectos angulos faciet, quoniam suppositum est,

planum ad axem perpendiculare esse [Eucl. XI, 18;

XI def. 4]. sit autem segmentum abscisum, cnius uer-

tex sit B punctum, minus quam dimidium sphaeroidis,

et sit ZH == B©. demonstrandum, segmentum, cuius

uertex sit 5, ad conum eandem basim habentem,

quam segmentum, et eundem axem eam habere ratio-

nem, quam z^H : z/Z.

sit igitur cylindrus eandem basim habens, quam

segmentum minus, et eundem axem. sit autem etiam

conus, in quo sit littera ^, ad conum eandem basim

habentem [quam segmentum, et eundem axem] eam

habens rationem, quam z/if : z/Z. dico igitur, conum

W aequalem esse segmento uerticem habenti punctum

B. nam si aequalis non est, sit primum, si fieri potest,

minor. inscripsi igitur segmento figuram solidam, et

1) P. 284, 6: ft 8s xa oQdâ (isv notl xov aôva to5 stcl-

7CBd(p Tfjiad-fj^ iirj Sia rov y.svTQOV de, xwv ye.vafiivcov xfiafidxmvx6 alv ^SLôv nxl., x6 8s sXaooov x[ia(ia noxl x6v yimvov x6v§doiv s%ovxa xdv avxdv xm xfidfiaxi y,al dôva x6v avx6v xov-xov s%si x6v Xoyov , ov d ovvayicpoxsQaiq loa xd xs rjiiLGsa xdgsvd^siagj d soxiv d^(ov xov ocpaiQOSidsog htA., ut lin. 1—2.

462 HEPI KS^NOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

15

svsyQaxlâ 6r} slg t6 tââ ^xrjâ ^tsqsov^ xal akXo

jtsQLsyQatpa ix xvXMqcov vipog i6ov s%6vt(ov 6vyxsL-

^svov^ Sots to TtSQiyQa-

cpsv 6%Yiâ tov iyyQag)sv-

tog v7CSQS%siv sXd66ovt^ âXtXG) ^stôv s6tL to roi5

6(patQOSLdsog tââ rov ^xcovov. STCsl ovv ^stôv

ibv ro TtsQtysyQa^^svov

10 "f^ 6xrjâ rov t^dâtog iXd6-

60VL vTtSQsxsL tov iyys-

yQa^fisvov, 7] ro tââ rov

xoavov, ^Âoi/, ori ^stôv

i6tL xal to iyysyQa^^svov

6xrjiia rov ^ xcavov. s6tc3

drj tQLtov ^SQog tdg jBz/

d BP. iitsl ovv d [isv

BH tQL7tXa6La i6tlv tdg

B®, d ds B^ tdg BP,

20 / \ d^Xov, otL tQL7tXa6La i6tlv

d ^H tdg ®P. sxsL drj 6

^sv xvXLvdQog 6 pd6LV

sxcnv tdv avtdv ta tâ-

liatL xal d%ova tovB z/ Ttotl

25 Z A tov KC3V0V tov pd6LV sxovta

tdv avtdv Ttal dôva tov avtov rovroi/ rov Xoyov,

ov sxsL d JH Ttotl tdv ®P. 6 ds xSvog 6 slQrj-

liivog Ttotl tbv W xmvov tbv avtbv Xoyov ^x^l, ov

d AZ Jtotl tdv JH s^SL ovv dvoÔLcog tmv X6-

1. ivy£yQdq)d^(o Nizzius. 2. nsqiysyQdcpQ-ai idem. ^10.

iXcccaovL] scripsi cum Nizzio ; sXccGaov F, uulgo. 18. sativ]


aliam circumscripsi ex cylindris altitudinem aequalem

habentibus compositas, ita ut figura circumscripta ex-

cedat inscriptam spatio minore, quam quali segmen-

tum sphaeroidis maius est cono W [prop. 19]. iam

// / /

i

Ai A•f

>4

quoniam figura circumscripta, quae segmento maior

est, excedit figuram inscriptam spatio minore, quamquo segmentum conum excedit, adparet, etiam figuram

inscriptam maiorem esse cono W. sit igitur

iam quoniam BH=^ B®, et BJ — ^BPj adparet,

esse ^H == 3 ®P. itaque cylindrus basim habens

eandem, quam segmentum, et axem 5z/ ad conum

eandem basim habentem et eundem axem eam rationem

habet, quam z/H:®P [Eucl. XII, 10]. conus autem,

quem commemorauimus, ad conum W eandem rationem

habet, quam z/Z : ^dH. itaque cum perturbata sit

comp. F. tccg BSj a ds Bd tccg BP, dvXov, ort tQtnXactaietiv'] scripsi; om. F, uulgo; tag B@, xat a BJ tag BP, tQi-

7cXa6ia k'atai 'nai ed. Basil., Torellius. 24. 7ioti~\ nQog percomp. F; corr. Torellius. 26. tovtov sxsi^ tov F; corr. To-rellius. 29. JZ] JHF; corr. B. JH] /JZ F-, corr. B.


ycov tstay^svcov 6 xvhvdQOs b ^d6iv e%G)v tav avtav

Tc5 t^dâtc %al aôva tov avtov Ttotl tbv W k^vov

tbv avtbv Xoyov, ov a z/Z jtotI tav @P. e6tcov di]

yQa^âl xsiêvaL^ icp' av ra S, N^ rc5 âv TtXrjd^sc

5 l'6ai totg tâ^dts(j0LV totg tag B^, ta ds ^sys^Si

S7id(3ta L6a ta Zz/. s6tcj ds xal tdv SO sxd^ta l'6a

ta Bzf. tdv ovv NO sndijta dLTtXacCa s66SLtaL tdg

@/d. TtaQajtSTCtcjxstco drj TtaQ^ sxd^tav avtdv xcoqlov

tL TtXdtog sôv l'0ov ta B^, Sots sl^sv sza6tov tcov

10 s%6vtcov tdg dLa^stQovg tstQdycovov. d(paLQri6^co drj djtb

îsv tov TtQootov yvco^cov Ttldtog s%cov l6ov td BE, aTtb

ds tov dsvtSQOv TtXdtog s%cov l'6ov td BX. Kal scp*

sxd^tov tbv avtbv tQOitov slg ditb tov STto^svov ^co-

QLOV yvoo^cov dcpaLQi^^d^co Ttkdtog s%cov svl t^dâti

15 sXa66ov roi) jtXdtsog roi» TtQb avtov yvcoôvog dcpaL-

Qrj^svov. sd6sLtaL drj 6 ^sv ditb tov TtQcotov ^coqlov

yvco^cov dcpaLQfj^svog l'6og rc5 7tSQLS%o^sv(p VTtb tdv

BE^ EZ^ Tcal tb loLitbv %coqlov TtaQajtsntcoxbg JtaQa

tdv NO vTtsQ^dXXov slSsl tstQaycovcp tdv tov vitsQ-

20 pirjâtog TtXsvQav s%ov L6av td Ê^ 6 ds ditb tov

dsvtsQOV %coQLOv yvco^cov dcpaLQrj^svog l'6og ta TtSQi-

s%ofLSvco VTtb tdv ZX, XB, xal tb XotTtbv %coqlov TtaQa

tdv NO TtaQaTtsTttcoxbg VTtsQ^dkkov sldsL tstQaycovco'

%al td XoLTtd bÔLcog tovtOLg sôvvtL. dLd^d^co d^ td

25 STtLTtsda Jtdvtcov tcov KvlLvdQcov, f'! cov 6vyKSLtaL ro

2. Tov W\ To ^ F. 3. EGtcav] C; sGtoo per comp. F;

satcoGccv uulgo. 5. ras] scripsi cum B; ra F, uulgo; iv ta.

ed. Basil., Torellius. 6. !siO'\ 30 F. 7. tdv] ta F ; corr.

BC. 11. ta] tciv F. 12. s(p'] scripsi; cccp' F, uulgo. 14.

8vi] sv F, corr. Torellius. 19. NO] @ P; corr. ed. Basil.*

20. B%ov] scripsi; sxoiv F, uulgo, 24. SvdxQô) di] scripsi; 8s

(ods F^ uulgo; ds mds iv.^s^^G&oi Torellius. 25. to] scripsi

:

to ts F, uulgo.

i


proportio [Eucl. V def. 20], cyliDdrus basim habens

eandem, quam segmentum, et eundem axem ad conum

W eandem habebit rationem, quam ^Z : ®P, sint

igitur lineae quaedam positae, in quibus sint pnncta

S, N^ numero partibus lineae Bzl aequales, magnitu-

dine autem singulae lineae ZzJ aequales. sint autem

etiam lineae SO singulae aequales lineae Bzi. itaque

lineae NO singulae erunt 2 ®zJ.^) adplicetur igitur

unicuique harum linearum spatium latitudinem ha-

bens lineae BzJ aequalem, ita ut unaquaeque figu-

rarum diametros habentium quadratum sit. aufe-

ratur igitur a primo [spatio] gnomon latitudinem

habens lineae BE aequalem, a secundo autem gno-

mon latitudinem habens liueae BX aequalem. et

in unoquoque [spatio] eodem modo gnomon ab spatio

sequenti auferatur latitudinem habens una parte mino-

rem latitudine gnomonis ante eum ablati. erit igitur

gnomon a primo spatio ablatum aequalis rectangulo

BE X EZ^), et reliquum erit spatium lineae NOadplicatum excedens figura quadrata et latus excessus

lineae ^E aequale habens. gnomon autem a secundo

spatio ablatus erit == ZX X XB, et reliquum erit

spatium lineae NO adplicatum figura quadrata ex-

cedens^), et cetera eodem modo se habebunt. produ-

cantur autem plana omnium cylindrorum, ex quibus

1) Nam

2) Nam gnomon = Zz/ x Bz/ — Ez/ x (Zz/— BE)= Zz/ X {B^—E^) -{-BExEJ = ZJxBE-{-BExEJ

= BEx{ZJ-\-EJ) = BExEZ.3) Cuins latus erit 2JE.


466 nEPI KSiNOEIAE.QN KAI 2«ÂIP0EIAESiN.

iyyeyQa^^svov (^XV^^ ^'^ '^^ t^dârc, Jtotl rai' iiti-

(pdvecav roi} xvXovdôv tov âGiv sxovtog tdv avtdv

ta t^dâtL xal dôva tov avtov. i^CaCtai drj 6 oAo^

xvXivdQOs diaiQYjêvos etg TtvîvdQOvg ro5 ^sy nkri^êi

5 lOovg totg iv ta TtSQiysyQa^îvG) (Sxriâti^ ta ds ê-

yidêi t0ovg ta êyi(3tG) avtav. 6 de TiQStog xv-

?.ivdQog tcov iv ta oAca xvXivdQC) 6 i%G}v dôva tdv

Ê Ttotl roi' TtQmtov xvXivdQOv tcjv iv ta iyyeyQa^-

îv(p 6%r}âti tbv e%ovta dôva tdv z/jEJ tov avtov

10 eiei Xoyov, ov to tetQdyovof tb aTtb tdg ^F Jtotl

ro aTtb tdg KE. ovtog 6i i^tiv 6 avtbg rca, ov e%ei

tb vTtb tdv 5z/, z/Z 7teQie%6êvov jtotl ro vjtb tdv

BEy EZ. eêi ovv 6 xvXivdQog jtotl tbv xvXivdQOv

tbv avtbv koyov j ov tb JtQcotov %c3Qiov Ttotl tbv

15 yvcifiova tbv dit avtov d(paiQr}îvov. oôiog de xal

tSv dkXaiv xvXivdQcov t^v iv rc5 oAo? xvkivdQG) exa-

(?rog dôva e%Giv tdv i0av td Ê jtotl tbv Kat avtbv

xvXivdQOv tbv iv ta iyyeyQa^îvGJ 6%7]âti dôva

e%ovta tbv avtbv tovtov eiêi tbv Xoyov, ov tb oôicog

20 tetayîvov avta ^coQiOv Jtotl tbv yvcaôva tbv aTC

avtov dcpaiQrjîvov. ivtl ovv êyidêd nva ot xv-

XivdQOi oC iv rco oAco xvkivdQG) xal dkXa êyidêa td

XGiQia td TtaQa tdg SN TtaQaTtentcoxota nkdtog sôvta

tdv i6av td jBz/, ro5 de itkriêi loa totg xvlCvdQOig

25 'nal xatd 8vo tbv avtbv e%ovta koyov. keyovtat de

ot te xvkCvdQoi jror' dXkovg xvlCvdQOvg roug iv rc5

iyyeyQa^êvc) (5%riâti.^ 6 de e^Sâtog ovde Ttod^^ ev

Xeyitaiy xal td %GiQCa 3tor' dkXa ^coQCa^ tovg d%

5. xoiq\ zovq F; corr, BC*. 6. v.vXivBô<;'\ scripsi; 6 xv-

XivSqoq F, uulgo. 8. z(ov'\ xov F; corr. B. 10. //r] z/E F;

corr. ed. Basil,* 17. v.glx' avror] %cLXQixov F suplU scripto v

composita est figura segmento inscripta, ad superficiem

cylindri basim habentis eandem, quam segmentum, et

eundem axem. totus igitur cylindrus diuisus erit in

cylindros numero cylindris figurae circumscriptae

aequales, magnitudine autem maximo eorum aequales,

primus autem cylindrus totius cylindri axem habens

Ê ad primum cylindrum figurae inscriptae axem

babentem Ê eandem habet rationem, quam ^FîKE^[Eucl. XII, II5 XII, 2], quae eadem est, quam habet

B^XJZiBExEZ [Apollon. I, 21; cfr. supra

p. 447 not. 1]. itaque cylindrus ad cylindrum eandem

rationem habet, quam primum spatium ad gnomonem

ab 60 ablatum. et eodem modo ceterorum cylindrorum

totius cylindri unusquisque axem habens lineam lineae

JE aequalem ad cylindrum in figura inscripta eodem

loco positum et eundem axem habentem eam rationem

habet, quam spatium eodem loco positum ad gno-

monem ab eo ablatum. sunt igitur magnitudines

quaedam, cylindri totius cylindri, et aliae magnitudines,

spatia lineis SN adplicata latitudinem habentia

lineam lineae BA aequalem, numero cylindris aequales

et binae cum binis in eadem proportione.^) prae-

terea et cylindri cum aliis cylindris, qui in figura in-

scripta sunt, in proportione sunt, ultimus autem in

nulla proportione, et spatia cum aliis spatiis, [gno-

monibus] ab iis ablatis, respondentia in iisdem pro-

1) Quia cylindri cylindris_, spatia spatiis aequalia sunt.

, j . . — .

manu 2; corr. B. 19. ^x<avxa F. ov\ om. F, corr. A. 20-

T«ray|u.fVov] a supra manu 1 F. 22. xa %aiqia tu] scripsi;

;Uco^(.a F, uulgo. 23. rag] scripsi; xav F, uulgo. 27. noQ''

fV] scripsi; no^-h uulgo, ut p. 468 lin. 2.

30*

468 IIEPI K5iN0EIAE.<iN KAI SÂIPOEIAE<iN.

avx^v cc(paLQrjêvovg, xa oôXoya iv xotg avxotg ko-

yoig, xo ds eîaxov laQiov ovde Ttod'^ ev Xeysxai.

drjXov ovvy oxL xal Ttdvxeg ol %vXCvdQOi Jtoxl jtdvxag

xovg exeQOvg xov avxbv eôvvxi Xoyov, ov itdvxa xd

5 xcoQia Ttoxl Ttdvxag xovg yvaôvag. 6 aga KvXivdQog

6 pd6LV €XOV xdv avxdv xa x^dâxi xal dôva xov

avxov Ttoxl xo 0j(^rjâ xo eyyeyâ^êvov ev xa x^d-

âxi xov avxov e%ei Xoyov.^ ov itdvxa xd %(JOQia Ttoxl

Ttdvxag xovg yvcoôvag. xal eTtel evxC xiveg yQa^âl i6ai

10 xeiêvai, ecp' dv xd N, O, Tial JtaQ^ ixd6xav naQa-

7te7txc3Kev Xi icDQiov vTteQpdXXov eldei xexQaycjvco, ai

de TtXevQal xmv vTteQ^Xrj^dxcov xco i6o dXXdlav viteQ-

exovxiy xal d viteQoid i6a e6xl xd eXaxCcxa, xal dXXa

ivxl %GiQCa TtaQd xdg ^N TtaQajteTtxojKoxa^ TtXdxog de

15 e%ovxa l6ov xd BzJ xcj êv TtXri^êi i6a xovxoig^ xa

de êyedêi exa^xov i6ov xa êyC6xG)^ drjXov, wg 6v^-

Ttavxa xd %cjQCa^ cSv i6xiv exa6xov i6ov xa ^syC^xc),

Ttoxi Ttdvxa xd exeQa %coQCa iXd6603 Xoyov e%ovxi xov.,

ov €%eL d 3N Ttoxl xdv i6av 6vva^(poxeQa xa xe riî-

20 6ea xdg NO xal xa xqCxc) êQei xdg SO. (paveQov

ovv^ oxi xd avxd %coQCa Jtoxl Jtdvxag xovg yv(ofi6vag

êCôva Xoyov eôvvxi xov ^ ov e%ei d SN itoxl xdv

i6av 6vva^(poxeQaig xa xe 7]î6ea xdg NO xal dvoig

XQLXaÔQCoig xdg SO. (3 aQa xvXivdQog 6 ^d6iv e%cov

25 tdv avxdv xa x^dâxi xal dôva xbv avxbv Jtoxl xb

6%rjâ xb iyyeyQa^êvov iv rc5 x^dâxi êCôva Xoyov

6. xal ccôvcc ad iv tco tîdfiati lin. 7 bis F , sed alterumexpunxit manus, ut.uidetur, prima. 12. to5] addidi; om. F,

uulgo. 14. tcig] scripsi; tray F, uulgo. SN] ISÔ Torel-

lius. 15. i6ov] ioccg F per comp., uulgo; laccv C; corr. To-rellius; fort. rag taccg. 19. avvcc(i(poteQcag Torellius. 24.

tdg] tcc F; corr. B*.

portionibus, ultimum autem spatium in nulla propor-

tione. ^) adparet igitur, etiam omnes cylindros ad

omnes alteros eandem rationem habituros esse^ quam

omnia spatia ad omues gnomones [prop. 1]. itaque

cylindrus basim habens eandem, quam segmentum, et

eundem axem ad figuram segmento inscriptam eandem

rationem babebit^ quam omnia spatia ad omnes gno-

mones. et quoniam positae sunt lineae quaedam

aequales, in quibus sunt litterae N, O, et singulis

adplicatum est spatium figura quadrata excedens, latera

autem excessuum aequali differentia inter se excedunt,

et differentia minimo aequalis est, et alia spatia sunt,

quae lineis SN adplicata sunt, latitudinem habentia

lineae B^ aequalem et numero illis^) aequalia, ma-

gnitudine autem singula maximo aequalia, adparet,

omnia simul spatia, quorum quodque maximo aequale

est, ad omnia altera spatia minorem rationem habere,

quam SN : ^ NO -f- -| SO [prop. 2]. itaque mani-

festum est, eadem spatia ad omnes gnomones maiorem

rationem habitura esse, quam SN : ^ NO -\- ^ SO.^)

itaque cylindrus basim habens eandem, quam segmen-

tum, et eundem axem ad figuram segmento inscriptam

maiorem rationem habet, quam SN : ^ NO -f- f SO.

1) Quia a spatio ultimo nullus gnomon ablatus est.

2) Spatiis, quae lineis NO adplicata sunt.

3) Sit summa spatiorum !siN= s^, summa spatiorumNO = s^,

summa gnomonum = Sg (Sg = s^ — s^); erit

s,:s^<:SN:^NO-{-^Sg.tum conuertendo (Pappus VII, 48 p. 688)

% :S,>;e!N:SN~^NO— ^ IS^O-,

sed SN = NO -f 5*0; itaque

sn—^no — ^;h:o = 4^no-{-^-;e:o.

470 nEPI KSiNOEIAE^N KAI 2«I>AIP0EIAE<iN.

exsc, 7] a SN Ttoxl xav l'6av Cvva^cpoxeQttLg xa xs rj^t6ea

xdg NO xal dvotg XQixaôQiOLg xdg SO. b6xiv 8\ xd êv

SN l0a d z/Z, xd 8s rj^Laea xdg NO d z/@, xd ds

dvo XQLXaôQLa xdg SO d ZlP. oXog aQa 6 xvkLvdQog

5 jtoxl xb ^xriâ xo syysyQa^êvov sv xa x^dâxL ^sC-

ôva koyov s%sl^ iJ ov s%sl d /iX itoxX xdv ®P. ov

ds Xoyov s%SL d z/Z noxl xdv 0P, xovxov sdsL%^ri

syayv 6 avxog TivkLvdQog itoxl xov W xcovov. ^stôva

ovv s%SL koyov Ttoxl xb syysyQa^^svov (jx^^îa ij Ttoxl

10 rbv W Tcmvov' OTtsQ ddvvaxov. sdsLx^rj ydQ ^stôv

sbv xb syysyQa^^svov (Syriiia xov W xwvov. ovtc aQa

i6xl ^stôv xb xov ocpaLQOSLdsog x^dâ xov W xcovov.

dXX^ s(}X(D, SL dvvaxov^ sXa6(jov. TtdXtv drj syysyQacpd^G)

XL sig xb x^dâ 6%ri[ia 0xsqs6v, xal dlko TtSQLysyQacp^cj

15 SK TivXCvdQCiv vijjog l6ov sxovxcov 6vyKsC^svov, S(yxs

tb TtsQLysyQa^^svov (^xrjâ xov syyQacpsvxog vJtsQsxsLV

sXd(j6ovL, 7] dXCKCi ^sC^cjv s6xlv 6 W Tccovog xov x^d-

ftarog, xal xd dXXa xd avxd xotg itQOXSQOV xaxs0xsv-

d^d^co. sTtsl ovv sXa666v s6xl xb syysyQa^^svov ^x^jâ

20 xov x^dfjiaxog, xal sXd66ovL vitSQSxsL xb itsQLyQacpsv

xov syyQacpsvxog, i] 6 W xcovog xov x^dâxog, drjXov.,

OXL xal xb TtSQLyQacpsv ^xfjâ sXa666v s6xl xov W%(6vov. TtdXLv drj 6 TtQcoxog otvXLvdQog xcov sv xS

oXc) KvXCvdQG) 6 sxcov dôva xdv /JE itoxl xbv TtQco-

25 xov TCvXLvdQOv xcov sv xa TtSQLysyQa^îsvcp 6xv^ccxl

xbv sxovxa dôva xbv avxbv rowov sxsl xbv Xoyov,

ov xb s6xcctov xc^Qôv xcov TtaQd xdv SN TtaQaTtSTtxo-

7t6xG)v TtXdxog sx6vxov l'6ov xd B^ Jtox^ avxo. sxd-

xsQa ydQ l'6a s6xCv. 6 ds dsvxsQog xvXLvdQog xcov sv

3. z/6>] dE F; corr. Torellius. 4. Svo rqixaiiOQicc]

scripsi; tQLxoc dvo ploqlu F, uulgo; error ortus est ex signis


sed SN = Z/Z, \N0 = J&, ^ SO = JP.') itaque

totus cylindrus ad figuram segmento inscriptam maio-

rem habet rationem, quam z/Z : &P. sed demon-

stratum est, eundem cylindrum ad conum W eam

habere rationem, quam z/Z : ®P. maiorem igitur

rationem habebit [idem cylindrus] ad figuram in-

scriptam quam ad conum W.^) quod fieri non potest.

nam demonstratum est, figuram inscriptam maiorem

esse cono W. quare segmentum sphaeroidis cono Wmaius non est. — sed, si fieri potest, sit minus. rursus

igitur segmento inscribatur figura solida, et alia cir-

cumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem haben-

tibus compositae, ita ut figura circumscripta excedat

inscriptam spatio minore, quam quali conus ^ maior

est segmento [prop. 19], et cetera eadem, quae antea^

construantur. iam quoniam figura inscripta segmento

minor est, et figura circumscripta inscriptam excedit

minore spatio, quam quo conus ^ segmentum excedit,

adparet, etiam figuram circumscriptam minorem esse

cono W. rursus igitur primus cylindrus totius cy-

lindri axem habens z/^ ad primum cylindrum figurae

circumscriptae eundem axem habentem eam rationem

habet, quam ultimum spatium eorum, quae lineae

SN adplicata sunt latitudinem habentia lineae 5z/

1) Nam BJ==3BP=;e!0 = BP-}- JP.2) Itaque figura inscripta minor est cono W (Eucl. V, 10).

numeralibus. 9. loyovl Xoyov 6 avtog v.vUv8Qog Torellius.

16. vnsQSx^t F; corr. AB. 17. (isl^ov F; corr. B. 18. ccXXa]

alterum X supra manu 1 F. 21. tov syyQoccpsvrogl om. F;corr. Torellius. 22. rov] to F, 25. tSv] tov F; corr. B.

27. SM F. 28. TCot' ccvto] scripsi; not' avto uulgo; cfr.

p. 450, 18.

472 nEPI KS^NOEIAE.QN KAI SÂIPOEIAESiN.

rc5 oXc) KvkivdQG) aôva £%cov t(5ov ra zJE Ttotl tbv

xvXtvdQOv tov ycat avtov iovta t^v iv r» TtEQiys-

yQaî^svG) 6%riâti roi' avtov e%8i Xoyov^ ov tb TtQCj-

tov %coQiOv tcov TtaQcc tav SN jtaQaTtSTttcoKotcov

5 TtXdtog s%6vtG)v l(5ov ta B^ Ttotl tbv yvcoôva tbv

dcpaiQYi^svov dit ai^rot) * 'nal tcov aXXcov ds KvXivdQcav

STcaijtog tcov sv rc5 oXg) xvXivdQC) aôva s%6vtG)v l'6ov

ta zfE Ttotl tbv Kat avtbv TcvXivdQOv tcjv sv ta

TtSQiysyQa^^svG) 6%riâti tbv avtbv l6yov^ ov tb

10 biibloyov %G)QiOv avta tmv jtaQa tdv îV TtaQaTtSTttca-

x6tG)v Ttotl tbv yvcaôva tbv dTC avtov dqâiQYj^svov

TtQcotov Xsyo^svov roi; s6%dtov. xal Jtdvtsg ovv oC

TtvkivdQOi oC sv tS oAw TCvXivdQG) Ttoti Ttdvtag tovg

KvkivdQOvg tovg sv tS TtsQiysyQa^^svc) 6%riâti tbv

15 avtbv sôvvti X6yov^ ov Jtdvta td %G)Qia td itaQa tdv

tSjN 7taQa7ts7ttG)x6ta Ttotl ro l'6ov ta ts s6%dtc) Tcsi^svco

%G)QiG) Kal totg yvG)^6vs(j6i totg d(paiQrj^svoig djtb tcov

dXXov did td avtd totg TtQbtSQOv. stcsI ovv dsdsiottai,

oti td %G)Qia Ttdvta td TtaQa tdv tSlN 7taQa7ts7ttG)x6ta

20 :7rorl td %G)Qia Tcdvta td TtaQa tdv NO 7taQa7tS7ttG)-

7c6ta vTtsQ^dlXovta stdsi tstQaycovc) %G)Qlg toi ^syi-

<?rot> ^siôva k6yov s%ovti tov, ov s%si d SN 7totl

tdv i0av 6vva^(potSQaig ta ts r}î6s(x \tdg NO xal

tco tQitco ^SQSi tdg SO^ dijXov, oti td avtd %coQia

25 ;rorl td XoiTtd^ d svti i(5a rca» s(S%dtG) %coQiC) KSi^svG)

1. taov] scripsi; lguv F, uulgo. 2. rmv] scripsi; rov F,

uulgo. 5. L6ov] Torellius; Laccv F, uulgo; rdv lguv? 7,

loov] scripsi; lguv F, uulgo; rdv laav? 12. nQoarov] scripsi;

TtQO rov F, uulgo. Xsyoiitvov] Xsyofisv F; corr. A, C*. nav-

ros (comp.) F. 16. TtccQCiTtsnrcoy.corcc F. 17. yvoafiovEat F.

19, rd xoiQLa ndvra rd nuQa rdv lElN naQansnrcoyiora norC]

om. F; corr. Torellius (nisi quod ndvra rd %oiQLa habet).


aequalem ad se ipsum. utraque enim inter se aequalia

sunt. secundus autem cylindrus totius cylindri axem

habens lineae ^E aequalem ad cylindrum in figura

circumscripta eodem loco positum eandem rationem

habet, quam primum spatium eorum^ quae lineae ^iV

adplicata sunt latitudinem habentia lineae Bzl aequa-

lem, ad gnomonem ab eo ablatum.^) et etiam cete-

rorum cylindrorum unusquisque eorum, qui in toto

cylindro sunt et axem lineae ZlE aequalem habent,

ad cylindrum in figura circumscripta eodem loco po-

I situm eandem rationem [habet]^), quam respondens

spatium eorum, quae lineae l^N adplicata sunt, ad

gnomonem ab eo ablatum^ ita ut ultimum primo loco

numeretur.^) quare etiam omnes cylindri totius cy-

lindri ad omnes cylindros figurae circumscriptae ean-

dem habebunt rationem, quam omnia spatia lineae

SN adplicata ad spatium aequale spatio ultimo loco

posito et gnomonibus a ceteris ablatis propter eadem,

quae autea [prop. 1]. iam quoniam demonstratum

est [prop. 2], omnia spatia lineae SN adplicata ad

omnia spatia lineae NO adplicata figura quadrata

excedentia praeter maximum maiorem rationem habere,

quam SN : ^ NO + -J-gO, adparet, eadem spatia ad

reliqua, quae aequalia sunt spatio ultimo loco posito

1) Quia secundus cylindrus figurae circumscriptae aequalis

v.'^ primo inscriptae; tum u. p. 466, 15. idem in ceteris cy-

lindris fit.

2) Fortasse post xov avtov lin. 9 addendum est £;^ft.

3) Fingatur spatium 4 alteri parti adfixnm. proportionesigitur hae erunt (cfr. p. 453 nofc. 1): K: C^ = Q^: Q^;

K:C, = Q,:g,', K:C, = Q,:g,; K:G,= Q,:g,.

Q spatia SN sunt.

474 nEPI KiiNOEIAESiN KAI SÂIPOEIAESiN.

xal totg yvco^6ve00i totg (XTtb tav Ioltccdv cc(paLQOv-

ÊVOLg, iX(x60ova koyov £%ovtL rov, 6V biel a ^NTtotl rav L6av (jvva^cpotEQaLg ta te 7j^L6ea tag NOTcal dvcl tQLtaÔQLOLg tag IHJO. dijkov ovv, otL Tcal

5 6 xv^LvdQog 6 ôc^Lv e%Giv tav avtav ttp tficcâtL Tial

aôva tbv avtbv Jtotl ro <5%riiia tb TteQLyeyQa^êvov

eXa66ova Xoyov e%eL tov^ ov e%eL a Zz/ :rorfc tav

@P. ov de Xbyov e%eL a ztZ Ttotl tav @P, tovtov

e%eL 6 eiQrjêvog xvlLvdQog itotl tbv W xdovov. iXda-

10 6ova aQa koyov e%eL 6 avtbg ocvXLvdQog Ttotl tb TteQL-

yeyQa^êvov 6%riiia ri Ttotl tbv W xcovov OTteQ ddvva

tov. ideCxd^r} yccQ ela66ov ibv tb TteQtyeyQa^êvov

6%rjâ tov ^ K(6vov. ovx ccQa i0tlv ela66ov tov Wiccovov. iitel de ot;r5 êtôv ovte eXa60ov, l'6ov ccQa

15 ictCv.

X'.

Kal tOLVVv el' xa ^rj oQdâ Ttotl tbv dôva tâxtfj

tb 6(paLQoedeg ^rjde dLcc tov xevtQOv, tb eXa66ov avtov

t^dâa Ttotl tb djtotââ tov tccovov tb ^dCLV e%ov

20 tdv avtdv ro5 t^dâtL ycal dôva tbv avtbv tovtov

e%eL tbv koyov^ ov d taa 6vva^(poteQ(x ta te r}^L6e(x

tdg i7tLêvyvvov6ag tdg xoQVcpdg tcov yevoêvov tâ-

lidtcDV xal ta dôvL tov êCôvog t^dâtog Jtotl tbv

dôva roi) êCôvog t^dâtog.

1. yv(o^6vs6GL] alterum a supra manu 1 F. dcpuLQrjfis-

voLg Torellius. 3. rccig ts rjfiLOsciig F; corr. Torellius. 4.

TQitccficoQiOLg F. 7. Zz/] ZA F. 10. ccqcc] om. F; corr. B.

11. 7]] om. F; corr. B. 13. sXacaov'] sXaaaov z6 xov acpuLQO-

sidsog xfiaâ Torellius. W] om. F; corr. Torellius. 16.

X|3' Torellius; om. F. 19. aTtotfirjfia F; corr. Torellius. to

^daLV sxov] scripsi; tov âcLV sxovtog F, uulgo. 21. d faa

cvva^cpotSQa] scripsi; ai (supra manu 1) cvva(i(potSQaLF,uu[go;

at GvvaiicpotSQaL tca Torellius.


et gnomonibus a ceteris ablatis, minorem rationem

habere, quam SN : ^ NO + f SO.^) adparet igitur,

'' etiam cylindrum basim habentem eandem, quam seg-

mentum, et eundem axem ad figuram circumscriptam

liiinorem rationem habere, quam habet Zzl:®P.^)

sed quam rationem habet ^Z : @P, eam habet cy-

lindrus ille ad conum ^ [p. 462, 29]. itaque idem

cylindrus ad figuram circumscriptam minorem rationem

habet quam ad conum ^^); quod fieri non potest.

nam demonstratum est, figuram circumscriptam mino-

rem esse cono W. quare [segmentum sphaeroidis]

minus non est cono W, et quoniam neque maius

neque minus est, aequale igitur est.

XXX.

Uerum etiam si [plano] ad axem non perpendiculari

sphaeroides secatur nec per centrum posito, minus eius

segmentum ad coni segmentum basim habens eandem,

quam segmentum [sphaeroidis], et eundem axem eamhabebit rationem, quam linea utrique aequalis, et

dimidiae lineae uertices segmentorum ortorum iungenti

et axi segmenti maioris, ad axem segmenti maioris.^)

1) 'AvccotqsiIxxvtl; u. Pappus VII, 48 p. 686; cfr, p 469not. 3.

2) Nam ZJ = Is;N, 0P= (9z^ + z/P= ^ iVO -f | Ô; u.

p. 470, 2 et 471 not. 1.

3) Quare figura circumscripta maior est cono W (Eucl.

V, 10).

4) P. 284, 24: «t 8s xa (irizs dia tov hsvtqov firjrs oqd^ttt

noxX rov ccôvcc rm snmsSo) Tfiadîj to GcpciLQOSvdsg , roav ysvcc-

[Lsvoiv x^ciâT(ov xo (isv (iSL^ôv xtL, x6 ds sXaoGov xfiafia tcotI

To Gxrifia t6 âOLV sôv xt^. , ut hoc loco, nisi quod lin. 21 acvvafKpOTSQaLg l'aa legitur, lin. 22 ysvofisvcov omittitur, lin. 24tov Tov legitur.

476 nEPI KSiNOEIAESiN KAI 2:$AIP0EIAESiN.

tet^da^(0 yaQ ti 6xrjâ aqâcQosLdsg, cag slQritai.

xal tâ^svtog avtov aUip S7ii7tsd(p dia rot) aôvogoQâ Ttotl ro ts^vov STcCitsdov to{) ^sv 0%riiiatog ro-

\ia s0t(o a ABF o^vyovtov xcovov to^cc, tov ds ts^-

5 vovtog STCLTCsdov to axijiia a FA svd^sia. xal Ttaâ

tav AF axd^cov ai 11P, ZT STtiâvovaaL tag rovKcovov toâg xata ta B, Z, xal dvsataxstco dn avtdvSTtLTtsda TtaQaXXrjka rc5 xatd tdv AF. STttfavaovvtL

d^ tavta tov acpaLQOSidsog xatd td B, Z, xal iaaovv-10 taL KOQV(pal tcov tâ^dtcov. dx^co ovv d tdg xoQV(pdg

t(Dv tfia^dtav sm^svyvvovaa, xal sato d BZ. nsasC-

taL ds avtd dta tov xsvtQOv. xal sata) xsvtgov roi)

acpaLQOSLdsog xal tdg tov o^vycjvCov xcovov to^dg ro

&. STtSL ovv vTtsxsito ^rj oQdô Ttotl tov dôva ts-

15 t^dadâL ta sTtLTtsdo) ro axrjâ, d to^d iatLV 6^vyc3-

vCov x(6vov to^d, xal dLdiistQog avtdg d FA. Is-

kd(pd^cci ovv o ts xvUvdQog 6 dôva sxcov in svx^sCag

ta B^, ov iv td iitL(pavsC(i iaasCtat d tov o^vyovCovxcovov to^d d TtsQL dLa^stQov tdv AF, xal 6 x6vog

20 6 xoQV(pdv SXC3V to B aa^sLOv, ov iv ta i7tL(pavsC(x

iaasCtaL d tov o^vyovCov xcovov to^d d nsQl dLa-

^stQov tdv AF. iaasCtaL drj toôg tLg xvICvSqovtdv avtdv pdaLV sxcov to t^dâtL xal dôva tbvavtov, '<aL aTtotââ xcovov tdv avtdv ^daLv sôv

25 rc5 t^dâti xal dôva tov avtov. dsLXtsov, otL ro

t^dâ rov a(paLQosLdsog, ov xoQV(pd ro B, Jtotl to

3. rofiav F. A. AB T] ABrj F; corr. Nizzius. 6.

dx&(ov] scripsi; ax&(o F, uulgo. 8. iniTtsda naQccXXrjXa]Nizzius; eninsdov naQocXXr,lov F, uulgo. Tiatd] na F. 9.

$72 scripsi; ds F, uulgo. ra] ro F; corr. AB. 10. dx&(oovv a Tttg Mojovcpag rtov tfiafidrav] scripsi; om. F, uulgo; raJB, z/. dx^co ovv d xds %oqvcpdg Nizzius. 11. snilsvyvvovca]


secetur enim figura sphaeroidis, ita ut diximus.

et secta ea alio plano per axem ad secans planum

perpendiculari figurae sectio sit ABF coni acutianguli

sectio [prop. 11, c], plani autem figuram secantis linea

FA. et lineae AF parallelae ducantur lineae RP,

2JT sectionem coni in punctis B, Z contingentes , et

in iis plana erigantur plano in linea AF posito par-

allela. ea igitur sphaeroides in punctis B, Z con-

tingent [prop. 16, b], quae uertices erunt segmentorum

[p. 282, 12]. ducatur igitur linea uertices segmen-

torum iungens, et sit BZ. ea igitur per centrum

cadet [prop. 16, c]. et centrum sphaeroidis et sec-

tionis coni acutianguli sit ®. iam quoniam suppo-

situm est, figuram plano ad axem non perpendiculari

sectam esse, sectio est coni acutianguli sectio, et dia-

metrus eius FA [prop. 14]. sumaturjigitur et cylin-

drus axem habens in producta linea JSz^, cuius in

superficie sit sectio coni acutianguli circum diametrum

AF descripta [prop. 9], et conus uerticem habens

punctum B, cuius in superficie sit sectio coni acutian-

guli circum diametrum AF descripta [prop. 8]. erit

igitur frustum quoddam cylindri basim habens eandem,

quam segmentum, et eundem axem, et segmentum coni

eandem basim habens, quam segmentum [sphaeroidis],

et axem eundem. demonstrandum est, segmentum

sphaeroidis, cuius uertex sit B, ad segmentum coni

scripsi; sm^svx^si-Goc F, uulgo. 14. rszfiTiod^ciL F; corr. To-rellius. 17. 6] addidi; om. F, uulgo. a^bivcc F. 24. yiccl

an6x(icc(ia ad lin. 25: tov avzov in mg. habet F manu 1, ad-

jDOsito signo t;/. s%cov F.

478 nEPI KSiN0EIAE5iN KAI SÂIPO EIAESiN.

aTtoT^ccâ tov Ticovov xo ^dciv e%ov xav avrccv ta

r^dâtL Kal dôva tbv avtbv tovtov eêi tbv Xoyov^

ov d ^H Ttotl tdv z/Z. l'0a de adta) d ZH td &Z.

IL B JP

XsXdcpd^co di] ttg xSvos^ iv (p tb W, Jtotl t6 aTto-

5 tââ tov xcovov tb pdoiv ^%ov tdv avtdv ta tâ-

âti zal dôva tbv avtbv tovtov excov tbv Xoyov, ov

exei d jdH jcorl tdv AZ. el ovv /ittj £(;th/ l6ov t6

t^dâ tov acpaiQoeideog tw W xcovc) , e0to TtQiBtoVy

el dvvatov, êtôv. eveyQailâ Srj elg tb t^dâ Tot>

10 6g)aiQoeideog ^xrjâ 0teQe6vy xal dkko TteQiiyQaTpa ix

xv/iivdQov toyicov vi^jog i6ov ixovtcav 6vyKeiêvov^

1. uTtotiJLrificc] F, ut p. 476 lin. 24, p. 478 lin. 4; corr. Torellius.


basim habens eandem, quam segmentum [sphaeroidisj,

et eundem axem eam rationem habiturum esse, quamJH.AZ. sit autem ZH= @Z,

sumatur igitur conus aliquis, in quo sit littera 'jP*,

qui ad segmentum coni basim habens eandem, quamsegmentum, et eundem axem eam habeat rationem,

quam ^H: z/Z. iam si segmentum sphaeroidis cono

^W aequale non est, primum, si fieri potest, maius sit

inscripsi igitur segmento sphaeroidis figuram solidam,

:et aliam circumscripsi ex frustis cylindrorum altitu-

înem aequalem habentibus compositas, ita ut figura

To ^ctGiv ^xov] scripsi; tov ^ccgiv Bxovtog F, uulgo. 3. 0Z] z/ZF. 5. t6 âGLV f;tov] scripsi; tov âciv sxovtog F, uulgo.

6. sxov F; corr. Torellius. 9. iyyeyQucp&ai et lin. 10: nsQi-

ysyQoccp^co Nizzius.

480 nEPI KS^NOEIAESiN KAI 2cE»AIP0EIAESiN.

Sote xo 7teQiyQK(p£v 6xV^^ '^^^ eyyâcpevrog vTteêxeiv

eldccovL^ 7] ccXiXG) v7teQe%ei ro r^ccâ rov 6q)aiQoeideog

roi) ^ K(6vov. oôicog drj rcj TCQoregc) deixd^rjêrai

ro eyyeyQa^êvov (Sxrjâ êtôv eov roi5 . W ticjvov,

5 Tcal 6 roôg rov otvXivdQov 6 pcc6iv excov rai' avrav

ra r^ccân nal aôva rov avrov Ttorl ro eyyeyQa^ê-

vov Gx^^â êit,ova koyov excov 7] Ttorl rov W xcovov

e6riv advvarov. ovx e60eirai ovv ro roi) Gcpai-

Qoeideog rââ rov W kcdvov êttôv. dXX^ eGrca^ ei

10 dvvarov, eXaGCov. eyyeyQa^êvov drj TtdXiv ecra) elg

ro r^dâ ^xrjâ creQeov, xal dXko JteQiyeyQa^êvov

e% KvkivdQov ro^cov vilôg tcov fîrdvrcov Gvyxeiêva,

S6re ro TteQiyQacpev 6XV^^ '^^'^ eyyQacpevrog vTteQexsiv

eXd6(iovi, 7] dliKG) vTteQexsi o W xcovog rot> r^dârog.

15 Ttdkiv dr} did rmv avrwv deix^^^^tat ro TteQiyeyQa^-

êvov Oxrjâ eXa60ov rov W xcovov, %al 6 roôg rov

Kv?JvdQOV 6 pd6iv exG)v rdv avrdv ra r^dân xal

dôva roi/ avrov Jtorl ro TteQtyeyQa^êvov 6xV^^ eldo-

6ova koyov excov 7] Ttorl rov W kSvov o eGnv ddv-

20 varov. ovk eOGeCrai ovv ovde elaCCov ro r^dâ rov

K(6vov. (paveQov ovv, o edet deiât.

Xa

.

Uavrbg Gxrjârog (j(paiQoeideog ejtiTtedc) râdêvrog

oQdâ Ttorl rbv dôva ^rj did rov xevrQOv rb êtôv

25 r^dâ Ttorl rbv Kcavov rbv ^d6iv e'xovra rdv avrdv

rco r^dân xal dôva rbv avrbv rot^rov f%f£ rov

Xoyov., ov d i6a 6vva^(poreQaig ra re riîOecc rov

10. IWco] om. F; corr. Torellius. 12. i6ov] om. F; corr.

B, 13. vnBQ£%Ei F. 20. saaBitai] saasi F. 21. o tdeL]

coadsi F; corr. Torellius. 22, ly' Torellius; om. F.


circumscripta excedat inscriptam spatio minore^ quam

quali segmentum sphaeroidis conum W excedit. ^) eodem

igitur modo, quo supra, demonstrabimus, figuram in-

scriptam maiorem esse cono W^ et frustum cylindri


axem ad figuram inscriptam maiorem rationem babere

quam ad conum ^; quod fieri non potest. quare

segmentum sphaeroidis maius non erit cono W. sit

autem, si fieri potest, minus. inscribatur igitur rursus

segmento figura solida, et alia circumscribatur ex cy-

I lindri frustis altitudinem aequalem habentibus compo-

sitae, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam

spatio minore, quam quali conus W segmentum excedit

[prop. 20]. rursus igitur eodem modo demonstrabimus^

figuram circumscriptam minorem esse cono W^ et

frustum cylindri basim habens eandem, quam segmen-

tum, et eundem axem ad figuram circumscriptam mi-

norem rationem habere quam ad conum W-^ quod

fieri non potest. quare segmentum ne minus quidem

erit cono. manifestum ergo est, quod erat demon-

strandum.

XXXI.

Quauis figura sphaeroide plano ad axem perpen-

diculari; per centrum autem non posito, secta, seg-

mentum maius ad conum basim habentem eandem,

quam segmentum, et eundem axem eam rationem

habet, quam linea utrique aequalis, et dimidio axi

1) Ex prop. 20.


482 nEPI KSilirOEIAEîN KAI SÂIPOEIAE^N.

alE,ovog tov 6(paLQosLddog xccl rc5 roi5 iXd66ovog t^cc-

liarog uôvl tcotI rov rov iXcc66ovog r[idâtog aôva.

rer^d^^co n OcpaLQOELdsg, ag siQriraL. rîad^svrog

ds avrov ijtLTtsdcD dlk(p dLa rov dôvog OQdâ Jtorl

5 ro rs^vov iTtCiisdov rov iisv 6%Yiiiarog ro^d sarco d

ABF oi^vyavLOv xcavov ro^d, dLd^srQog ds avrdg xal

d^cjv rov 6%riârog d B^, rov ds rsfivovrog iitLTtsdov

d FA svd^sta. i66sLraL drj avrd nor oQ^^dg rd B^.s6rc3 ds ^SLôv rcov râ^drcjv, ov xoQVCpd ro B, xal

10 xsvrQov roi) 6cpaLQOSLdsog ro ®. 7torLXSL6d-co dri d

z/if rd z/0 L6a. xal d BZ rd avrd l'6a. 6sLxrsov.4 7 4 t 7

orL ro r^dâ ro{> 6(paLQOSLdsog^ ov xoQvq)d ro B, Jtorl

roi/ xwvov rbv ^d6Lv sôvra rdv avrdv rc5 r^dârL

xal dôva rov avrov rovrov sisl rot' Xoyov^ ov s%sl

ih d EH Ttorl rdv E/t.

tst^d^d^co dr} rb 6(paLQ0SLdsg inLTCsdcp dLa rov xsv-

rQOv oQdâ Ttorl rbv dôva, xal uTtb rov ysvo^svov

xvxkov xcjvog s6ro xoQvcpdv sxcov rb z/ (Sa^stov. s6rLV

drj rb ^sv oXov 6(paLQ0SLdsg 8L7tXd6L0v rov r^dârog

20 ro{5 pd6LV s%ovrog rbv xvxXov rbv tcsqI dLd^srQov rdv

KAy xoQvcpdv ds ro z/ 6a^stov, rb ds siQtj^svov r^dâ

8L7tXd6L0v rov xcovov rov pd6Lv sôvrog rdv avrdv

rc5 r^dârL xal dôva rbv avrov. SsdsCxraL ydQ ravra.

ro okov ovv 6cpaLQ0SLdsg rsrQajtXd^Lov i6rL rov xcovov

25 Tot; SLQri^svov. 6 ds xcovog ovrog Ttorl rbv x^vov

rbv pd6Lv sôvra rbv xvxXov rbv TtsQl dLa^srQov rdv

5. 6xri(icitog] t^rj[iaTog F; corr. TorelliuB. 7. di'] om.F; corr. Torellius. 25. di] scripsi; Srj F, uulgo.

DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS. 48 o

sphaeroidis et axi segmenti miiioris, ad axem seg-

menti minoris. ^)

secetur sphaeroides aliquod, ita ut diximus. secto

autem eo alio plano per axem ad secans planum

perpendiculari figurae sectio sit ABF coni acutian-

guli sectio, diametrus autem eius et axis figurae Bzl

[prop. 11, c], plani autem secantis linea FA. ea igi-

tur ad lineam BJ perpendicularis erit [p. 440, 15].

sit autem maius segmentum id, cuius uertex est Bpunctum, et centrum sphaeroidis sit ®, adiiciatur

igitur linea z/If lineae z/@ aequalis, et BZ eidem

aequalis. demonstrandum, segmentum sphaeroidis,

cuius uertex sit B, ad conum eandem basim habentem,

quam segmentum, et eundem axem, eam habere ra-

tionem, quam habeat EH : E^.secetur igitur sphaeroides plano per centrum ad

axem perpendiculari, et in circulo inde orto [prop. 1 1, c]

conus construatur uerticem habens punctum z/. est

igitur totum sphaeroides duplo maius segmento basim

habenti circulum circum diametrum KA descriptum,

uerticem autem punctum z/ [prop. 18]; segmentum

autem illud duplo maius est cono basim eandem ha-

benti, quam segmentum, et eundem axem [prop. 27].

haec enim demonstrata sunt. itaque totum sphae-

roides quadruplo maius est cono, quem commemora-

1) P. 284, 6; £L Si 'na OQd^m [ihv notl xov aôva to5 stcl-

nsdcp tfiad^rj, (irj Slcc tov y.evtQov df , tmv yivafiavcov tâfidtavto }iev (iSLôv notl tbv v.utvov tov rav avtdv j^doLv e%ovta tat^dâtL Kal aôva tov avtbv tovtov s^sl tbv Xoyov, ov d avv-

ufitpotsqaLg LCa ta ts rjaLasLa tdg sv&siag^ d sctiv d^cov tovGqâLQOSLdsog, xat tm dôvL ta> tov sXdooovog t^d(iatog notltbv dôva tov sXdcaovog tfidfiatog.

31*

484 nEPI KSiNOEIAEiiN KAI SÂIPOEIAESiN.

^r, TCOQVcpav de ro ^ 6aêtov tbv Ovyaetêvov exec

Xoyov ex re tov, ov exei a 0z/ TtOrl tav E^, xal mtov, ov eiei to aito tag K® tetQaycovov TCotl tb

dnb tdg EA. ov 6e koyov exei tb dnb tdg K@ Ttoti

5 ro aTtb tdg EA^ 6 avtog e6ti rw, ov exei tb vtco

B@, ®/l Ttoti tb vTtb tdv BE, EA. ov drj Xoyov

e%ei d @A Ttotl tdv EA, roi^roi' e%etGi d tSA Ttotl

tdv @A. e%ei ovv xal tb TteQtexoêvov vitb tdv S^?B@ Ttoti ro vTtb tdv J5©, 0z/, ov d A® itotl tdv

Ô zfE. de 6vyxeiêvog koyog ^yt te rot5, ov eêt ro

V7tb Sz/y SB Ttoti tb vTcb B@, 0z/, Jtal ex tov, ov

e%ei tb vTtb tdv B@, &^ Ttotl tb vnb tdv BE, EzJ^

6 avtog e0ti rc5, ov e%ei tb TteQtexoiievov vTtb tdv

Sz/, B® Ttoti tb VTtb tdv BE, E^. e%ei ovv l êv

15 xoovog pd6iv e%G)v tbv tcvxXov tbv TteQl didfietQOV

7. @J] @A F. 11. B6>, 0z/] scripsi; B0J F, uulgo.


uimus. sed hic conus ad conum basim habentem

circulum circum diametrum AF descriptum, uerticem

autem punctum z/ rationem habet compositam ex

ratione &J : EJ et K@^ : EA^^) sed

K@^ : EA^ ^ B® X ®J:BEX EJ[ApoUon. I, 21; cfr. supra p. 447 not. 1]. sit igitur

[Eucl. VI, 11]* gz/ : 0z/ = &J : EJ-^ quare etiam erit

S^XBS:B®X®J= ^0: ^E. ratio autem com-

posita ex

S^X&B:B®X ®J et B®X®^ :BEx EJeadem est, quam habet XJ X®B : BEX EJ. ita-

que conus basim habens circulum circum diametrum

KA descriptum, uerticem autem punctum z/ ad co-

num basim habentem circulum circum diametrum AFdescriptum, uerticem autem punctum A eandem ra-

tionem habet, quam S^ X B® : BEx E^. sed co-

1) U. prop. 10 et Eucl. XII, 2. nam basis segmenti cir-

culus est (prop. 11, c).

486 nEPI KSiNOEIAE^N KAI SÂIPOEIAEiiN.

rccv KA, KOQVcpccv de to z/ 6a^stov Ttoxl tbv amvov

xov pd0Lv exovxa xov %vkXov xov nsQl dta^sxQov xav

AF, xoQvcpav ds xo A Ca^siov xov avxov koyov^ ov

XO 7tSQlS%6^SVOV V710 XCCV S^, BS TtOxl x6 V7tO XCCV

b BE^ E^. 6 ds xcjvog 6 pd6tv 's%ov xov xvxlov xov

TtSQi did^sxQOv xdv AT^ xoQvq)dv ds xo /1 â^stov

jfoxi ro x^dâ xov ^cpaiQOSidsog x6 PtcOiv sôv xdv

avxdv avx^ xal dôva x6v avxov rovroi/ s^si xov

Xoyov, ov xo TtsQisxo^svov V7t6 xdv BE, E/J 7toxi x6

10 TtSQiSxo^svov V7t6 ZE, EA [xovxs6xiV d BE Ttoxl EZ'x6 yaQ sXa66ov 7] rjiii6sov xov 6cpaiQOSi8sog Jtoxl x6v

xcsvov x6v pd6iv sxovxa xdv avxdv xa x^dâxt xal

dôva x6v avx6v dsdsixxai xovxov sôv x6v Xoyov, ov

d 6vva^(poxsQaig i6a xa xs 7jî6sa xov dôvog xov

15 6(paiQosidsog xal rc5 dôvt xa xov ^stôvog x^dâxog

7toxl x6r dôva x6v xov ^siôvog x^dâxog. ovxog ds

s6XiVy ov s%si d ZE Ttoxl xdv BE]. 6 aQa xcovog 6

sv rc5 ripit6s(p xov 6cpaiQOSidsog Ttoxl x6 x^dâ xov

6(paiQOSidsog x6 sXa66ov xov Tnii^sog x6v avx6v sxsi

20 Xoyov, ov x6 TtSQisxo^svov V7t6 xdv Sz/, B0 Ttoxl x6

V7t6 xdv ZE. E^. STtsi ovv x6 ^sv oXov 6(paiQosidsg

Ttoxl x6v kSvov x6v sv XC3 rjî6s(p xov 6(paiQOSidsog

x6v avx6v sxsi koyov, ov x6 7tsQisx6^svov V7t6 xdv

ZH, S/J Ttoxl x6 V7t6 xdv B&, S^' xsxQa7tXd6i0v

25 ydQ sxdxsQOV sxaxsQOV' 6 ds Tccjvog 6 sv xa rjî6s(p

xov 6cpaiQOSidsog Ttoxl x6 x^dâ x6 ska66ov ri x6

rjî6sov xov 6cpaiQOSidsog xovxov s^Si x6v X6yov, ov

x6 7tsQisx6^svov V7t6 xdv SzJ, B@ 7toxi x6 ^7^6 xdv

ZE, E^, sxoi xa xal x6 okov 6cpaiQ0Sidsg 7toxl x6

1. xdv] xd. F. 7. xov\ xo xov F. bxov F. 10. ZE,EJ] lEÊj BE ¥. 13. £X(ov F. 19. xov riîGaog] scripsi;


nus basim liabens circulum circum diametrum AFdescriptum, uerticem autem punctum ^ ad segmen-

tum sphaeroidis basim habens eandem^ quam conus^

et eundem axem eam habet rationem, quam

BEX EzJ : ZExEJ})quare conus^ qui in dimidia parte sphaeroidis est, ad

segmentum sphaeroidis, quod minus est dimidia parte,

eandem rationem habet, quam S/JxB® ad Z^X Ezl

[di i0ov Eucl. V, 22\ iam quoniam totum sphae-

roides ad conum, qui in dimidia parte sphaeroidis est,

eandem rationem habet, quam

ZHxS^ 'B®XS^(utrumque enim utroque^) quadruplo maius est), conus

autem, qui in dimidia sphaeroidis parte est, ad seg-

mentum, quod minus est dimidia parte sphaeroidis,

eam rationem habet, quam S/1 X B0 : ZEX EJ,habebit etiam totum sphaeroides ad segmentum eius

minus eandem rationem, quam ZHx S^ : ZEX E/1

1) Habent enim eam rationem, quam BE:ZE (prop. 29).

sed quae sequuntur uerba lin. 10—17, quibus sine causa re-

petitur prop. 29 tota, subditiua sunt. neque enim xovtsGrLv

lin. 10 aptum est, quod tum demum sensum haberet, si Archi-

medes proportione Ez/:ZE uti uellet. ut nunc est, ita debuit

scribere: ov a BE notl EZ, TovrgCTt to 71sql8x6(18vov vno BE,Ez/ notl to vno ZE, E/d.

2) H. e. et sphaeroides cono, et rectangulum ZHxSJrectangulo B@xSJ (nam ZH—^B@).

tov 7}(iLav F, uulgo; tov iifiiascog B; 7} to rjfiiasov Torellius.

22. rjfiiasq)] Tjfiiav F; corr. B. 25. fxarfpov] addidi; om. F,

uulgo. 28. tav] (alterum) tmv per comp; F; corr. Torellius.

29. xa] addidi; om. F, uulgo. £;^ft B, Nizzius.

488 nEPI KSiNOEIAEwQN KAI SÂIPOEIAEON.

t^dâ xo sXaCCov avtov roi^ avtov koyov^ ov tb

7t8Qt6x6flSVOV VTtO tCCV ZH^ Â TtOtl tO VTtO tScV ZE,E^. (X)6t€ Kal to fietôv t^cifia tov acpaLQOSidsog

Ttoti to ska06ov tov avtov Xoyov 's%Si^ ov a vTtSQOxcc^

5 a vTtsQsxsi ro TtSQisxo^svov vTtb tav ZH, ISI^ toi)

vjto tav ZE^ £z/, ;roTt to vnb tav ZE, EA. vjtsQsxsi

ds tb vTtb tav ZH^ Â TOt) vitb tav ZE^ EA tc5

ts VTto tav S^, EH TtSQiSxo^svG) Tcal tS VTtb tav

ZE^ aE. ^'xsi aQa tb ^stôv tââ rov OcpaiQOSidsog

10 TtOTt To sXa66ov tbv avtbv Xoyov, ov tb l'6ov d^cpo-

tsQOig ta ts TtSQiSxo^svc) VTtb tdv ^^, EH xal ta

vTtb tdv ZE, SE Ttotl tb JtsQisxo^svov vTtb tdv ZEÊ/1. tb ds sXa06ov t^dâ tou 6cpaiQosidsog Ttotl

tbv 7C(Bvov tbv pd6iv sôvta tav avtdv avtco Tcal

15 aôva tbv avtbv tovtov s'xsi tbv Xoyov^ ov tb itsQi-

sxo^svov vTtb tdv ZE, EzJ Ttotl t6 vTto tdv BE, E/t

\tbv yaQ avtbv s^si Xoyov^ ov d ZE Ttotl tdv BE\6 ds xSvog 6 iv tc5 sXd06ovi t^dâti Jtotl tbv xdovov

tbv sv Ta5 ^sit,ovi Tâ|u<aTt. tov avtbv sxî Xoyov, ov

20 t6 TtsQisxo^svov VTtb tdv BE^ EA Ttotl tb ditb tdg

BE tstQdycovov. tbv yaQ tcov vjI^scov Xoyov sxovti

ot Kcovoi, sTtsl ^doiv sxovti tdv avtdv. sôi ovv xa

tb ^stôv tfidâ tov 0(paiQOSidsog Ttotl tbv xcovov tbv

sv avt(p syysyQa^^svov , ov tb l'0ov d^cpotsQotg ta

25 ts 7tsQisxo^sv(p vTtb tdv S^ ^ EH xal ta vnb tdv

ZE^ SE Ttoti t6 tstQdycivov tb ditb tdg BE. ovtog

1. avTOv] delet Nizzius. 2. ZH] ZN F. ZE, EJ]scripsi; ZEz/ F, uulgo. 5. tov] to F; corr. Torellius. 6.

Ttoti] TiQog per comp. F; corr. Torellius. ZE, EJ] scripsi;

ZEzJ F, uulgo. 7. To] Tov per comp. F; corr. ed. Basil.

Tov] a F; corr. ed. Basil. ^ 8. tco] to F. 11. £H]EiV F. 16. t6] t6 TCEqiExoÊvov Torellius. EE, EJ]


[Eucl. V, 22]. quare etiam maius sphaeroidis seg-

mentum ad minus eandem rationem habet, quam

ZHxS^ — ZEXE^: ZExEJ[dislovTi Eucl. V, 17]. sed

ZHxS^— ZExE^= SJxEH-\-ZExSE^)itaque segmentum maius sphaeroidis ad minus eandem

rationem habet, quam

S^ X EH+ ZExSEiZEX EJ,sed minus segmentum sphaeroidis ad conum eandem

basim habentem et axem eundem eam habet rationem,

quam ZEX EJ : BEX EJ.^) et conus, qui in mi-

nore segmento est, ad conum, qui est in maiore, ean-

dem rationem habet, quam BEX EJ : BE^] coni

enim rationem altitudinum inter se habent, quoniam

eandem habent basim [Eucl.XII, 14; cfr. supra prop. 10].

quare maius segmentum sphaeroidis ad conum ei in-

scriptum [eam rationem] habet, quam habet

S^XEH+ ZExSE:BE^ [Eucl. V, 22].

haec autem ratio eadem est, quam habet EH : E/1.

1) Nam ZR = ER-\-EZ', itaque

ZHx ,^z/= EifX ^^ + EZ X 5/z/;

et ehx:s:j-}-ezx:e:j — ezxej^EHxSd-\-EZx{!B:d — EJ) = EHxSJ+EZxES.

2) Uerba xov yaq avtov t%Bi XoyoVj ov a ZE Ttotl xavBE lin. 17 prorsus superuacua sunt, cum Archimedes iamp. 486, 6 hac ipsa proportione usus sit, nulla addita causa.

itaque interpolatori tribuenda esse putaui. — Hinc sequitur

(Eucl. V, 22), segmentum maius ad conum in minore segmentoinscriptum eam habere rationem, quam

;5:JxEH-\-ZExSE:BExEJ.

£Ez/ F; corr. Torellius. _ 17. ZE] Z@ '^; corr. ed. Basil.

22. iTisi] ini F. sxol ovv mo:] scripsi; «jjot av «at F, uulgo;

^X^i, ovv Hal Nizzius. 24. ov] scripsi; om. F, uulgo; tovxovzov Xoyov, ov ed. Basil., Torellius. 26. ZE] Z@ ¥.

490 nEPI K^NOEIAEiiN KAI 2<ÂIP0EIAE^N.

de 6 avtog i<5ri to5, ov e%ei oc EH Ttorl rav KA. rb

yccQ V7i6 rav S^^ EH norl ro VTto rav lEl^, EzJ

rovroi/ £x^^ "^^^ Xoyov, ov a EH itorl rav E^, xal

rb vTcb rav lElE, ZE jtsQLSxoâvov novl ro V7tb rav

5 ZE, 0E roiDroi/ £%sl rbv Xoyov, ov a EH Jtorl rav

E^' a yccQ !ElE Ttorl rav ®E rbv avrbv exei koyov^

ov a EH Ttorl rav E/i dicc rb avdkoyov sifisv rag

S^, ©z/, Ê, xal rav 0z/ l'6av sl^sv ra H^' xal

rb i(5ov ovv d^cporsQOig ra rs 7tsQiSxo^sv(p VTtb rdv

10 Sî EH xal rc5 vjtb rdv ZE, SE Ttorl ro l'6ov

6vva^cpor£QOig rc5 rs vjtb rdv S^, E^ xal ra vTcb

rdv ZE, &E rbv avrbv s^si koyov^ ov d EH Jtorl

rdv -Ez/. ro ds aTtb rdg EB rsrQayovov i'6ov svrl

d^cporsQOig rc5 rs 7tsQis%o^svc3 vTtb rdv ^z/, £Jz/ xal

15 rc5 V7tb rdv ZE^ &E. ro ^sv yaQ aTtb rdg B@ rs-

rQaycjvov i6ov r<p VTtb rdv S*^, E^ 7tSQisxo^svG), d

ds vTtSQOxd^ a ^stôv s6ri ro «jro rdg BE rsrQaycjvov

rov d7tb rdg B@y l'6ov s6rl ra TtsQiSxofisvc) vTtb rdv

ZE. @E, sTtsl i6ai al B&, BZ. dijXov ovv^ ort rb

20 lisltov rov 6<paiQOSidsog r^dâ 7tor\ rbv occdvov rbv

pd6iv s'xovra rdv avrdv ra r^dân xal dôva rbv

avrbv rovrov sxî rbv Xoyov^ ov d EH Ttorl rdv E/J.

X^\

Kal roivvv st xa ^ri oQâ :7rort rov a|ova rc5

25 S7ti7tsdcp riia^fi ro 6cpaiQ0Sidsg ^rj6s did rov xsvrQOV,

1. 6] addidi; om. F, uulgo. EH] E.V F. EzJ] om.

F; corr. AB. 5. Xoyov] loyov • Ez/ • F; corr. B; Ez/ in mar-

gine adscriptum, ita ut ad lineam 1 pertineret, postea hic ir-

repsit EH] EiV F. 6. d] at F; corr. AB. 7. iliisv]

to SLpLSv FV. 8. slfisv] r' sifisv F; zs slfisv uulgo. HJ]N^ F. 9. T£] addidi; om. F, uulgo. 11. S^] SE F;

corr. AB. 12. ov] om. F; corr. Torellius. 15. rw] scripsi;


est enim S^ X EH ig^xE^ = EH : E^, et

:eiexzE'.zex®e = eh -. ej,nam SE : ®E = EH : E^, quia proportionales sunt

lineae S^, 0z/, /Êy et ®J = H/I.^) itaque etiam

:H!JxEH-]-ÊxSE:SdxEJ-^ZEx@E=ÊH:EJ^)sed EB^ = ^z/ X Ezl + ZEX &E', nam

5@2 = gz/ X Ez/3),

et B£;2 — 5@2 = ZEX @E, quoniam B® = 5Z.*)

adparet igitur, maius sphaeroidis segmentum ad conum

eandem basim habentem, quam segmentum, et axem

eundem eam habere rationem, quam EHi E/i.

XXXII.

Uerum etiam si plano ad axem non perpendiculari

secatur sphaeroides nec per centrum posito, maius

1) Erat (p. 484, 6): Ib: zJ : J@ = J @ : JE; quare SleXovzl

erit S@:J& = E@:JE = S@: HJ, unde ivccUd^

:H:@:E@ = HJ:dEet Gvvd-svti SE:0E=EH:Ezl.

2) NamEH:EJ = SdxEH:SJxEJ = SExZE:ZEx9E;unde ivaXXd^

S/ixEH:ÊxZE = SJxEJ:ZEx@E,et GVVdîvXL

sjxeh-{-sexze::e:exze= SJxEJ-\-ZEx@E:ZEx@E;

et rursus ivccXXd^

SJxEH-^SExZE:SJxEJ-{-ZEx@E= B:ExZE:ZEx@E = EH:EJ.

3) Nam B@ = @J, et SJ:@d = @J:JE', tum u. Eucl.VI, 17.

4) Nam BE"^ = B@^ -{- E@^ -\-2B@'xE@ (Eucl. II, 4)

= B02 _|_ £0 X (£0 _^ 2B@) = B@'' + E0X (E6>+ B6)+ BZ)==B02 + E0xEZ.

to F, uulgo. 16. «] F. 17. ftftôv] scripsi; [isl^cov F,

uulgo. 19. kl] scripsi; u F, uulgo. 23. Xd' Torellius; om. F.

492 nEPI K<iNOEIAE<iN KAI SÂIPOEIAESiN.

To êtôv Tââ avtov Ttotl ro anotââ tov tkovov

to pddtv sxov tdv avtdv ta t^dâtt xal dôva rov

avtov tovtov siâi roi/ Ao^ôv, ov d evvaiicpotsQatg l'6a

ta t€ ri^toia tdg eTitt^svyvvovOag tdg xoQVCpdg rtoi/

5 ysvoêvcjv tândtc3v xal rc5 dôvt ra5 rov eXdaeovog

t^dfiatog Ttotl tov diE,ova tov tov iXdOGovog t^d-

âtog.

tst^ded^co ro 6q)atQostdsg STttTCsdcj^ cog slQritat. tâ-

d^svtog ds avtov S7tt7tsd(p dXXa dtd tov dôvog OQdâ

10 Jtort ro ts^vov sTttTtsdov roi) ^sv 6%riâtog to^d s6tG)

d ABFzl o^vycovtov xcovov to^d, tov ds ts^vovtog

sTCtTtsdov ro Oxrnia d TA svd^sta. TtaQa ds tdv AF

dx^(jo6av at 11P, UT sntipavovCat tdg tov 6i,vyovtov

xoovov to^dg xatd td B^ z/, xal dvs0taxstco dit avtdv

15 sTCtTisda naQdXXrjXa tw xatd tdv AT. i:ttâv6ovvtt

1. anoTiirj^cc F; corr. Torellius. 2. ro ^daiv ^'xov] scripsi;


segmentum eius ad coni segmentum eandem basim

habens^ quam segmentum [sphaeroidis], et axem eundem

eam liabebit rationem, quam linea utrique aequalis,

et dimidiae lineae uertices segmentorum inde ortorum

iungenti et axi segmenti miuoris, ad axem segmenti

minoris. ^)

secetur spbaeroides plano, ita ut diximus. et secto

eo alio plano per axem ad secans planum perpen-

diculari figurae sectio sit ABF^ coni acutianguli

sectio [prop. 11, c], plani autem figuram secantis

linea FA. et lineae AT parallelae ducantur lineae

IIP, 2JT sectionem coni acutianguli in punctis B, /1

contingentes, et ab iis erigantur plana plano in linea

AT posito parallela. ea igitur spbaeroides in punctis

1) P. 284, 24; at 8k xa \ir\x^ 8iu tov yiivtQOv ftrjrg oQd-m

Ttotl tov aôva tm sniitBdm tfia&ij ro aqâLQosiSsg^ tmv ysva-

^SVCOV t(lCi(lCCtCOV tO [ISV (ISLÔV TtOti tO 6%ri(ia tO ^CC6LV s%ov

tccv avtav ta> t(id[iati yial aôva tov avtbv tovtov s^si tovloyov, ov %tX. ut hoc loco, nisi quod lin. 4 avtug raff le-

gitur, et lin. 5 ysvo(isvoav omittitur.

•

Tov §aai,v sxovtog F, uulgo. 3. a avvaîcpotsQaig] scripsi;

ai avva(i(potsQai, F , uulgo. 4. ra] cum B; om. F, uulgo.

8. tst(ir}a&G) F; corr. Torellius. 9. aXla F; corr. B*. 14.

Jj B Torellius. 15. sniipavoivti F; corr. Torellius,

494 nEPI KS^NOEIAE.qN KAI 2<I»AIP0EIAEfiN.

drj tavta tov 6(paLQoeLd£og xatcc ta B, z/, Kal imovv-tai xoQvtpal t(Bv tâ^dtcov ia B, zf. a%%^G) ovv a

tag xoQvcpag ijtt^svyvvovea tojv yevo^dvcov tâ^dtava Bzf' 7t£68Ltai d' avtd did tov xevtQov xal eata

5 xivtQov to &^ êtôv de 7} tb rj}iL6eov rov acpaiQo-

eLdeog ro t^dâ^ ov xoQvtpd to B. TtotLxeC^d^co de ra

Zl® L0a a ^H. xal d BZ td avtd. deLXteov. otL ro

t^dâ tov 6g)aLQoeLdeog tb êtôv Ttotl ro aTtotââ

tov x(6vov tb pdOiv e%ov tdv avtdv ta t^dâti xal

10 dôva tbv avtbv rovrov eêi tbv koyov, ov d EHTtotl tdv Ezt.

tet^d6d^c3 ydQ ro 6(paiQoeideg e7ti7te8(p did rov

xevtQOv 7taQaXXYil(p ta xatd tdv AF e7tL7tedc}^ xal

eyyeyQacpx^Gi elg tb rj^L^Seov tov 6q)aLQO£Ldeog djto-

15 tââ xcovov xoQV(pdv eôv tb A (Saêtov ^ xal ov

eêL Xoyov d A® 7tot\ tdv E/l^ roi^roi' £%£rc3 d ^/1Ttotl tdv 0z/. bÔLCog drj t(p ^tQoteQOv deix^rj6etaL

to te d^totââ roi; x(6vov rov iv rc5 rj^KSico roi)

0(paLQoeLdiog iyyeyQa^îvov Ttotl tb d^totââ rou

20 x(6vov roi) iv ta iXd6(3ovL iyyeyQa^îvov tbv avtbv

e%ov Xbyov ^ ov tb 7teQLe%6êvov' vTtb tdv S^, B&Ttotl ro V7tb tdv BE, ^z/, xal tb d^totââ roi) X(6-

vov tov iv rco ikd^ôvi t^dâti iyyeyQa^îvov 7totl

ro t^dâ rd, iv (p iyyeyQa^ttai^ tbv avtbv eôv koyov^

25 ov tb 7teQie%6êvov vTtb tdv BE^ Ezl Ttotl ro V7tb

tdv ZE^ E^. e%ei ovv ro d^totââ tov X(6vov tov

iv rc5 r]^L6ec) roi) 6(paLQoeLdiog iyyeyQa^îvov 7totl

1. 8rf\ scripsi; §8 F, uulgo. sgovvtui F, uulgo. 5.

ds T] To] ovtos (comp.) xco F; corr. Torellius (7] to iam V; to

iam CD). 6. to t^cc^cc] scripsi; to om. F, uulgo. ta Ji'aa d z1 H] scripsi; tag JH laa a /i@ FCD; d JH ioa ta

J@ uulgo. 8. a7iot[ir)â F; corr. Torellius, ut lin. 14, 18, 19,


B, z/ contingent [prop. 16, b], et uertices segmen-

torum erunt B, z/ [p. 282, 12]. ducatur igitur uertices

segmentorum ita ortorum iungens Bzf linea (per

centrum autem cadet [prop. 16, c]), et centrum sit

&, et segmentum, cuius uertex est 5, maius sit quam

dimidia pars sphaeroidis. adiiciatur autem linea ziH

aequalis lineae z/0, et linea BZ eidem aequalis.

demonstrandum est, segmentum sphaeroidis maius ad

segmentum coni basim habens eandem, quam seg-

mentum, et eundem axem eam habere rationem, quam

EH: EJ.

secetur enim sphaeroides plano per centrum posito

plano in linea AF posito parallelo, et dimidiae sphae-

roidis parti inscribatur segmentum coni uerticem ha-

bens punctum z^, et sit gz/ : @z/ = 0z/ : E^. itaque

eodem modo, quo supra, demonstrabimus, segmentum

coni dimidiae sphaeroidis parti inscriptum^) ad segmen-

tum coni [segmento] minori inscriptum ^) eandem ratio-

nem habere, quam S^ X B0 : BEx ^z/, et segmen-

tum coni segmento minori inscriptum^) ad segmentum,

cui inscriptum sit, eam rationem habere, quamBExEZl :ZEXEJ.

itaque segmentum coni dimidiae parti sphaeroidis

inscriptum^) ad minus segmentum sphaeroidis [eam

1) Debebat esse (Hn. 18, 20, 23, 26): x6 iv ... £yysyQa[i[x,i-

vov\ ad ciTtoTfiaficc enim, non ad ncovov pertinet. et ita fortasse

uel inuito codice scribendum est. lin. 19 ed. Basil. et A habentiyysyqafifiivov.

22, 26. 9. to ^dcLv hxovl scripsi; tov ^aauv s%ovto^ F, uulgo.12. TarftT^ff^co F; corr. Torellius. 17. @J'] @A F. tc5] toP. 19. syyByqayi>n,Bvoi F; corr. Torellius. 24. sxovta F;corr. B*.

496 nEPI KiiNOEIAE^N KAI 2ÂIP0EIAESiN.

ro €la(}6ov tââ rov OgâLQoeidiog^ ov ro iteQisxO'

fisvov vjtb rai/ S^, B& Ttorl ro vtco rav ZE, E^.s^SL ovv rb ^sv oXov dcpaLQOStdsg Tcorl ro aTCorââ

rov xcovov rov iv np rj^L^sc) rov 0q)aLQosLdsos syys-

5 yQa^^svov rbv avrbv koyov^ ov ro itsQLSxo^svov vnb

rav ZH^ S^ ôrl rb vitb rav B@, S^- rsrQanXdaLov

yccQ SKarsQOv sxdrsQOV. rb ds aTtorââ rov xcovov

rb SLQTj^svov Ttorl rb sXa0(5ov rfid}ia rov 6(paLQOSLdsog

rbv avrbv s%sl koyov^ ov ro 7tSQLS%6iisvov vitb rdv

10 S^5 B@ Ttorl ro V7tb rdv ZE, E^. s%sl ovv rb oAov

dcpaLQosLdsg Ttorl ro sXa06ov r^dâ avrov [roi) 6(paL-

QOSLdsog^ rbv avrbv Xoyov^ ov rb jtSQLSxo^svov vjtb

rdv ZH, S^ ôrl rb vjtb rdv ZE^ EA, avrb b\ \

rb \iSL%ov r^dâ Ttorl rb sXa(S6ov rbv avrbv sxsi loyov,\

15 ov d v7tsQ0%d, a v71sqs%sl rb TtsQLSxo^svov vTtb rdvj

ZH^ S^ rov TtSQLSxo^svov vTtb rdv ZE^ EA ^ itorX \

ro vTcb rdv ZE^ E^d. rb 8\ ska6ôv r^dâ jtorl rb\

djtorââ roi) acovov rov sv avra syysyQa^^svov rbv

avrbv s^sl koyov^ ov rb vTtb rdv ZE^ E/1 Ttorl ro

20 V7tb rdv BE, EA [dsdsL^raL yaQ rovrov sxov rbv

koyov^ ov d ZE 7torl rdv BE]^. rb ds d^torfjLaâ rov

%(Qvov roi; sv rS sXd66ovL r^dân syysyQa^^svov\

7torl rb d^torââ rot> xcovov rov sv rw ^slôvl r^d- \

îarL syysyQaîisvov rbv avrbv sxsl Xoyov, ov rb VTtb [

25 rdv BE, Ezf Ttorl ro d^tb rdg BE rsrQdycovov. rd

2. B@] BE F. 3. ccnot[ir}(icc F; corr. Torellius; ut lir».,

7, 18. 4. Too supra manu 1 F. 6. B@] B^Si FD. 9. i

xav] Toov per comp. F; corr. Torellius. 10. ZE] ZC7 F. :

11. Tov GcpaLQosLdsog] deleo; „eius" Cr. 13. ZH, S^ noxl '

x6 vnb xoiv] bis F; corr. A. 21. ccnox(ir}(ia F; corr. Torellius, !.

ut p, 498, 1 et 5. 22. iXdaaovL xficcfiaxi ad xov iv xa lin. 23,

om. F; corr. ed. Basil. (xfnqfiaxL, dnoxfirjfia] corr. Torellius).


rationem] habebit, quam Szl X B® : ZE x E/J

[Eucl. V, 22]. habebit igitur totum sphaeroides ad

segmentum coni dimidiae sphaeroidis parti inscriptum^)

eandem ratiouem, quam ZHx S^ : 5@X S^\ utrum-

que enim utroque quadruplo maius est.^) sed seg-

mentum coni, quod commemorauimus^ ad minus seg-

mentum sphaeroidis eandem rationem habet, quam

SJxB0:ZExEzJ.habebit igitur totum sphaeroides ad minus segmentum

eius eandem rationem, quam ZHX S^ '- ZEx E^[Eucl. V, 22]. ipsum autem segmentum maius ad

minus eandem rationem habet, quam

ZHxS^ — ZExE/i \ZEX EA\piBX6vxi Eucl. V; 17]. segmentum autem minus ad

segmentum coni ei inscriptum^) eandem rationem habet,

quam ZEx E/l : BEx Sz/.*) segmentum autem

coni minori segmento inscriptum^) ad segmentum coni

segmento maiori inscriptum^) eandem rationem habet,

quam BEx E^ : B E^. nam segmenta conorum,

quae commemorauimus^ rationem altitudinum habent^

quoniam eandem habent basim [prop. 10]^ et alti-

1) x6 iv ... iyysyQocfi^svov? (lin. 4—5); cfr, p. 495 not. 1.

2) H. e. sphaeroides segmento coni, et rectangulumZifx^z/

rectangulo B&xSzl (nam ZiI=4B0).3) t6 kv . . . iyysyQa^fiEvov? (lin. 18); cfr. not, 1.

4) Quare segmentum maius sphaeroidis ad segmentum coniminori inscriptum eam habet rationem, quam

ZHx;h:J — ZExEJ:BExEJ (Eucl. V, 22).

sed quae sequuntur uerba: Ssdsi^tca yccQ lin, 20 ad noxl xavBE lin. 21, subditiua sunt. nam, si opus essent, adiicienda

1erant p. 494, 26; cfr. p. 489 not. 2.

5) rd . . , syysyQa^^svov? (lin. 22 et lin. 23—24); cfr. not. 1.

uerum semel seruatum est p, 498, lin. 5.



yccQ djtot^dâra rwv Ttmvcov rd EiQYniiiva tov rcoi/

vîcov loyov sj^ôvri, insl ^doiv f^ôi/ri rdv avrdv, rd

ds v^sa avrav rbv avrbv Xoyov i%ovrL np rdg ZlETtori rdv EB. ix^c ovv xal rb êtôv rfidâ tov

5 OqâiQoecSiog Ttorl rb uTtorââ roi) xojvov rb iv avr^

iyyeyQa^îvov rbv avrbv Xoyov^ ov d v7tsQ0%d^ d vTteQ-

i%eL ro TteQiexoêvov vTtb rdv HZ^ S^ tov VTtb tdv

ZEj E^j Ttotl tb ditb tdg BE tetQdycavov. 6 d\

koyog ovtog bÔLog rcai :rôr£ôi' deLi^êCri xa 6 avtbg

10 id)v rc5, ov e%eL d EH Ttotl tdv E/1.

2. fjTft ^cLGiv B%ovxi] addidi; om. F, uulgo; post xdv uvxdvaddidit Torellius. 3. b%03vxi F. too xag\ xov xrjg F; corr.

Torellius. 4. noxl xdv] TtQog xov (utrumque per comp.) F;corr. Torellius. ovv] addidi; om. F, uulgo. 5. xov . . iy-

ysyQUfifiEvov ed. Basil., Torellius. 7. xov] xo F; corr. BC.8, ZE, EJ] scripsi; ZEz/ F, uulgo. 9. Ssi^dÊirj xa] scripsi;

xoj om. F, uulgo; dsL^dî^Gsxcct. Torellius. In fine F: nsQi tko-

V0Sld(OV V,CH, 6(pUiQ0Sl8(OV.

I

I


tudines eorum eandem rationem habent, quam

itaque etiam maius segmentum sphaeroidis ad segmen-

tura coni ei inscriptum eandem rationem habet, quam

HZXS^ — ZEXE^: BE\^)

sed hanc rationem eandem esse, quam EHiE^, eodem

modo, quo supra [p. 490, 1 sq.; cfr. p. 488, 6], demon-

strabimus.

1) Ducantur enim a punctis B, z/ lineae ad lineam AFperpendiculares. orientur trianguli rectanguli similes, quorumhypotenusae erunt z/E, EB, cathetae autem inter se respon-dentes lineae perpendiculares, quae altitudines conorum erunt;tum u. Eucl. VI, 4.

2) Euci. V, 22; cfr. p. 497 not. 4.

32

^Q-^r^m

heiberg opera omnia, vol. i

Documents