Universit Louis Pasteur de Strasbourg e

Ecole Doctorale Mathmatiques, e Sciences de lInformation et de lIngnieur e

Identication et Commande Robuste de Syst`mes Electromcaniques e e

Soutenue le 13 dcembre 2007 e

Habilitation ` Diriger des Recherches a(Spcialit Automatique) e e

Edouard LAROCHEMa de Confrences ` lUniversit Louis Pasteur de Strasbourg tre e a e

Composition du jury Prsident : e Rapporteurs : Hisham Abou-Kandil, Professeur ` lEcole Normale Suprieure de Cachan a e Alain Richard, Professeur ` lUniversit Henri Poincar de Nancy a e e Denis Arzelier, Directeur de Recherche au CNRS, LAAS, Toulouse Sa Ahzi, Professeur ` lUniversit Louis Pasteur de Strasbourg d a e Michel de Mathelin, Professeur ` lUniversit Louis Pasteur de Strabourg a e

Garant :

Laboratoire des Sciences de lImage, de lInformatique et de la Tldtection CNRS/ULP ee e

Mis en page avec la classe thloria.

Table des matires

Avant-propos Acronymes Introduction gnrale

vii ix 1

Partie I

Problmatiques scientiques5 5 6 8 9 11 11 13 13 14 16

Chapitre 1 Identication 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Choix du modle didentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Identication de modles linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le problme de la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 2 Commande H 2.1 Le problme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mthode de synthse sensibilits mixtes . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Schma de synthse 2 blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Mthode du loop-shaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ii Chapitre 3 Analyse de la robustesse

Table des matires 17 17 18 18 19 20 20 22

3.1 Les problmes de robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les modles incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Les modles LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Les reprsentations linaires fractionnaires . . . . . . . . . . 3.3 Les approches danalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Stabilit au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 -analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Partie II

Machine asynchrone31 32 32 33 36 37 38 39 40 42 42 43 44 47 48 48 58 66 67 68 69

Chapitre 1 Prliminaires 1.1 Modles de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Modle dynamique de la machine asynchrone . . . . . . . . . 1.1.2 tablissement des modles 4 paramtres . . . . . . . . . . . 1.1.3 La saturation du circuit magntique . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Les pertes fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Le rgime permanent sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Rcapitulatif des diffrents modles . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Commande ux rotorique orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Boucles de rgulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 2 Identication et estimation 2.1 Identication partir de mesures en rgime permanent sinusodal . 2.1.1 Estimation par minimisation dun critre portant sur ladmittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Estimation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Estimation en ligne des paramtres : analyse de lidentiabilit . . . 2.2.1 Modle LTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Modle tendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 2.2.3 Mthode danalyse de lobservabilit . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Choix des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Rsultats de lanalyse dobservabilit . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Synthse de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Caractristiques des machines utilises . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Expression des sensibilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 3 Analyse de la robustesse de la commande FRO 3.1 Dveloppement dun modle LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Modle non-linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Modle linaris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Obtention du modle LFR partir de la reprsentation dtat 3.2 Analyse de la robustesse dun systme de positionnement . . . . . . 3.2.1 Prsentation du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Rsultats de lanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 70 71 72 74 75 75 75 77 77 77 78 79 81 81 83

Partie III

Systmes denroulement de bandes exibles89 90 90 91 92 92 94 94 96 96 97 97 97 98

Chapitre 1 Analyse de la robustesse des systmes denroulement 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Description du systme

1.2.1 Modle physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Modle linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Correcteur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Le problme de robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Construction du modle LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Construction base sur le schma-bloc . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Suppression de la dpendance en la vitesse des frottements . 1.3.3 Suppression des vitesses de rotation . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Suppression des inerties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Prise en compte de linterdpendance des rayons . . . . . . .

iv

Table des matires 1.3.6 Validation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rsultats danalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 99

Partie IV

Robotique105

Chapitre 1 Prliminaires

1.1 Modlisation et identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.2 Commande des manipulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.2.1 Commande des manipulateurs exibles . . . . . . . . . . . . 107 1.2.2 Asservissement visuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.3 Contexte de la chirurgie cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.4 Modle dun manipulateur plan 2 DDL . . . . . . . . . . . . . . . . 110 1.4.1 Prsentation du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 1.4.2 Modle phnomnologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1.4.3 Flexibilits des segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Chapitre 2 tude des effets dynamiques de la mesure de position par vision 2.1 Introduction 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2 Modlisation et analyse de la mesure par camra . . . . . . . . . . . 122 2.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.2.2 Modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.2.3 Modles simplis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.4 Analyse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.3 Effets sur lidentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.3.1 Modle temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.3.2 Identication du modle temps continu . . . . . . . . . . . 129 2.3.3 Effets de dynamiques haute frquence ngliges . . . . . . . 130 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Chapitre 3 Identication des manipulateurs avec exibilits 3.1 Identication dun modle de commande 133

. . . . . . . . . . . . . . . 134

3.1.1 Structure du modle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.1.2 Identication des dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

v 3.2 Vers lidentication du modle non-linaire . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2.2 Protocole destimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2.3 Rglage et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Chapitre 4 Synthse de lois de commande 149

4.1 Commande de lattitude dun manipulateur . . . . . . . . . . . . . . 149 4.1.1 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2 Commande dun stabilisateur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.2.1 Description et modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.2.2 Prise en compte de la vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2.3 Synthse de correcteurs H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Chapitre 5 Analyse de la robustesse 5.1 Introduction 169

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.2 tude pralable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3 Cas dun manipulateur exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Partie V

Bilan et perspectives177

Chapitre 1 Bilan

1.1 Identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 1.2 Commande H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 1.3 Analyse de la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Chapitre 2 Projet de recherche 2.1 Contexte 181

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.1.1 Chirurgie robotise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2.1.2 Contexte Strasbourgeois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 2.2 Problmatiques scientiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 2.2.1 Manipulateurs exibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 2.2.2 Modles des organes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.2.3 Tlmanipulation retour deffort . . . . . . . . . . . . . . . 185

vi

Table des matires

Partie VI

Bibliographie

187

Bibliographie

Avant-propos

Ce document prsente la majeure partie de mes activits de recherche depuis ma nomination lUniversit Louis Pasteur de Strasbourg en septembre 2000. Ces travaux concernent lidentication et la commande ; ils ont t conduits sur diffrents systmes applicatifs : la machine asynchrone, les systmes denroulement de bande et la robotique. Ils sont principalement de nature mthodologique ; cest--dire qu partir de problmatiques appliques particulires, jai tch de tirer les enseignements qui simposaient an de proposer des solutions standards et gnriques un certain nombre de problmes. Ce mmoire est organis autour des trois systmes applicatifs traits. A chacun dentre eux est consacr une partie distincte. Puisquune grande partie des problmatiques scientiques traites est transversale et aborde pour plusieurs systmes, jai choisi de les introduire dans la premire partie de ce rapport. Pour des raisons de cohrence, certains travaux auxquels jai particip ne se retrouvent pas dans ce mmoire. Il sagit notamment des travaux raliss dans le cadre de lACI de Mohamed Boutayeb consacre aux applications des techniques dobservation au cryptage des donnes1 et lobservation des piles combustible2 .

La thse de YunJie Hua est dirige par Mohamed Boutayeb et co-encadre par Iuliana Bara et moi. La thse de Mohamed Benallouch est dirige par M. Boutayeb et R. Outbib ; je participe son encadrement.2

1

vii

viii

Avant-propos

Acronymes

ACI ARX ARMAX BOZ BOU CEC DDL DEL DOF ERT FEM FRO GPC LFR LFT LMI LP LPV LTI LTV MIMO MISO OE RPS SBPA SSV

Action Concerte Incitative Auto-Rgressif entre eXogne Auto-Rgressif Moyenne Ajuste et entre eXogne Bloqueur dOrdre Zro Bloqueur dOrdre Un Circulation Extra Corporelle Degr De Libert Diode Electro-Luminescente Degrees Of Freedom quipe de Recherche Technologique Force lectro-Motrice Flux Rotorique Orient Generalized Predictive Control Linear Fractional Representation Linear Fractional Transformation Ingalit Matricielle Afne ou Linaire Linaire en fonction des Paramtres Linaire Paramtres Variants Linaire sans variation au cours du temps Linaire avec variation au cours du temps Multi-entres multi-sorties Multi-entres simple-sortie Output Error Rgime Permanent Sinusodal Squence Binaire Pseudo-Alatoire Valeur singulire structure

ix

x

Acronymes

Introduction gnrale

Le dveloppement dune stratgie de commande passe par trois tapes : lidentication dun ou de plusieurs modles, la synthse de la loi de commande, la validation de la loi de commande et notamment lanalyse de sa robustesse. Ces diffrentes phases ne peuvent tre effectues de manire dconnecte car elles se contraignent mutuellement : le choix du type de synthse et danalyse contraignent la structure du modle identier. Inversement, la structure du modle identi peut amener revoir les mthodes de synthse et danalyse initialement prvues. Pour apporter des rponses satisfaisantes aux problmes de commande dans un contexte exprimental o les modles ne sont pas connus a priori, il est donc ncessaire de matriser la fois les aspects commande et identication. Ce rapport rassemble des contributions portant sur ces problmatiques dans le cadre de leurs applications trois systmes lectromcaniques. La premire partie de ce rapport est consacre la prsentation des problmatiques et des notions associes, en se limitant aux approches qui ont t abordes sur les diffrents systmes applicatifs. Le cadre retenu pour la commande est celui de la commande robuste multivariable. Les synthses sont bases sur la norme H . Les analyses de robustesse sappuient sur la notion de valeur singulire structure (classiquement appele ). Les parties II IV du rapport sont consacres aux diffrents systmes applicatifs : a. La machine asynchrone est le systme sur lequel jai travaill lors de ma thse de doctorat ; ces travaux contenaient dj des contributions son identication et sa commande. Les travaux prsents dans la deuxime partie de ce rapport sont des prolongements ou de nouveaux travaux qui ont t dvelopps depuis ma nomination luniversit de Strasbourg. En identication, une nouvelle mthode destimation des paramtres partir de mesures en rgime permanent sinusodal a t dveloppe. Une mthode de validation de lobservabilit, permettant la synthse de signaux dexcitation optimaux, a t mise en uvre. En commande, le modle danalyse de la 1

2

Introduction gnrale Identication Commande Commande Err. estim. Synth. exp. Synth. Anal. Moteur Asynchrone X X X X Enrouleurs X X Robotique X X X X

TAB . 1 Travaux abords (identication pour la commande, analyse des erreurs destimation, synthse dexprience optimale, synthse de correcteur, analyse de la robustesse des lois de commande) robustesse de la machine asynchrone commande par la mthode du ux rotorique orient a t amlior grce aux outils modernes. b. En arrivant Strasbourg, jai intgr lquipe de recherche technologique consacre aux systmes denroulement de bande haute vitesse (ERT enroulement) dirige par D. Knittel. Dans le cadre de cette quipe, jai particip diffrents travaux, principalement dans le domaine de la commande. Dans la troisime partie de ce rapport, je prsente ma contribution la plus personnelle, consacre lanalyse de la robustesse des systmes de transport de bande. c. Depuis 2002, je me suis impliqu dans une thmatique forte de lquipe AVR : la robotique. De manire plus prcise, je me suis intress aux asservissements visuels en prsence de exibilits. Cette thmatique trouve ses applications dans les problmes de robotique chirurgicale applique la chirurgie cur battant pour laquelle de fortes dynamiques sont ncessaires. Les contributions menes dans cette thmatique sont prsentes dans la quatrime partie de ce rapport. Diffrentes contributions ont t apportes concernant le problme de lidentication de modles tenant compte des exibilits partir des mesures de la camra : i. un modle dynamique de la mesure par camra a t dvelopp ; ii. une mthodologie didentication dun modle linaire de robot tenant compte de lensemble des exibilits a t propose ; iii. une tude de la prcision de lidentication dun modle non-linaire de manipulateur tenant compte de exibilits articulaires a t mene. Des mthodologies de synthse de lois de commande H ont t dveloppes pour lasservissement de deux systmes prsentant des exibilits : i. un manipulateur plan 2 DDL destin au suivi des mouvements du cur, ii. un prototype de stabilisateur cardiaque actif destin la stabilisation dune portion du cur oprer. Des travaux ont galement t mens concernant lanalyse de la robustesse des manipulateurs. La dernire partie de ce rapport est consacre un bilan et aux perspectives de ce travail.

Premire partie Problmatiques scientiques

3

C HAPITRE

1

Identication

1.1

Introduction

Dterminer un modle mathmatique dun systme consiste en deux activits : la dtermination de sa structure ; la dtermination des valeurs numriques de ses paramtres. Pour y parvenir, deux chemins complmentaires peuvent tre emprunts : en partant des lois de la physique, ce qui est pertinent si ces lois sont connues avec assez de prcision ; en partant de donnes exprimentales et en cherchant un modle qui rend compte de manire satisfaisante de ces donnes. Selon que lon utilise les lois de la physique ou des donnes exprimentales pour dterminer respectivement la structure du modle ou les valeurs numriques des paramtres, plusieurs congurations sont envisageables, dtermines par la prcision des lois de la physique et par la faisabilit des essais exprimentaux. A titre dexemple, considrons les trois situations suivantes : Dans les situations o les lois de la physique permettent de modliser dlement le systme et o elles permettent de dterminer prcisment les valeurs des paramtres, 5

6

Chapitre 1. Identication le recours aux donnes exprimentales peut tre limit des ns de validation. Cela pourrait tre le cas pour un systme mcanique simple comme un pendule. Notez galement que pour certains domaines comme le spatial, les essais exprimentaux ne sont pas aiss. Le modle du manipulateur avec segments exibles, utilis pour lanalyse de la robustesse et prsent dans la partie IV de ce rapport, a t dvelopp dans cet esprit.

Certains systmes se trouvent dcrits de manire trs imprcise par des lois de la physique. Si les essais exprimentaux peuvent tre effectus facilement, il est plus simple dutiliser ces derniers la fois pour dterminer la structure du modle et les valeurs numriques des paramtres. Prcisons que dans les situations o un modle linaire est recherch, le choix de la structure du modle est limit un choix dordre. Cest dans cette situation quont t identis les modles de synthse utiliss dans la partie IV. Le cas de gure le plus courant est la situation intermdiaire o les lois de la physique permettent de dterminer la structure du modle (mme partiellement) et o les valeurs des paramtres sont estimes partir de donnes exprimentales. Cest dans ce cadre que plusieurs modles considrs dans ce mmoire ont t dvelopps : ceux de la machine asynchrone et celui du systme denroulement de bande mais aussi le modle de bras robotis avec articulations exibles, prsent dans la partie robotique et considr pour lidentication. Dans le cas dun recours aux donnes exprimentales, le choix des expriences est important. Diffrentes approches sont disponibles dans la littrature qui permettent de choisir les expriences de manire optimale [Walter90]. Dans certains cas lmentaires, il est possible dobtenir un rsultat gnral fort mais, en gnral, les rsultats sont numriques. On peut chercher minimiser directement les erreurs destimation des paramtres que produisent les erreurs de mesure et les phnomnes ngligs. Une tude de ce type ainsi que des trajectoires optimales sont prsentes dans la partie de ce rapport consacre la machine asynchrone. An de valider la procdure didentication dun modle, il est important de recourir une phase de validation utilisant un autre jeu de donnes. Celle-ci doit tre faite avec des donnes qui nont pas servi lidentication. En effet, une erreur de structure aboutit gnralement une dgradation de la qualit du modle entre les rsultats sur les donnes didentication et les donnes de validation. Cette erreur de modle ne pourra tre dtecte que si les donnes de validation diffrent des donnes de validation.

1.2

Choix du modle didentication

Le choix de tout modle dpend largement de sa nalit. On peut distinguer principalement deux types de modles : les modles pour la commande qui ont une structure simple et nont besoin de re-

1.2. Choix du modle didentication

7

prsenter dlement le systme que dans une bande de frquence assez troite. La structure peut tre impose par la mthodologie de commande choisie, par exemple linaire. les modles de simulation et danalyse pourront prendre en compte des phnomnes ngligs dans le modle de synthse, aboutissant une structure plus complexe. Dans le cas des modles danalyse, la structure peut aussi tre impose (reprsentation linaire fractionnaire pour la -analyse par exemple). Lorsque lestimation des paramtres se fait partir des donnes exprimentales, on doit se poser la question de lidentiabilit du modle. On dit quun modle est identiable si on peut distinguer deux modles avec des valeurs diffrentes du vecteur des paramtres [Walter94]. On peut aussi dire de manire quivalente quun systme est identiable si ses paramtres peuvent scrire en fonction des signaux du systme et dun nombre ni de ses drives [Fliess07]. Il sagit dune premire condition que doit vrier tout modle dont on souhaite estimer les paramtres. Cependant, cette condition didentiabilit nest pas sufsante pour garantir que les paramtres seront estims dans de bonne conditions. Il est donc ncessaire de sintresser lidentiabilit pratique du modle, cest--dire la possibilit destimer les paramtres avec une prcision satisfaisante. Alors que lidentiabilit est une notion structurelle, lidentiabilit pratique dpend aussi largement des ordres de grandeur des paramtres. Dans le cas de la machine asynchrone, nous prsentons des rsultats danalyse des erreurs destimation des paramtres qui concluent la non-identiabilit pratique des modles o les fuites sont rparties au stator et au rotor [Laroche02, Laroche05a]. Lorsque lon souhaite identier un modle, il est courant de partir dune forme qui est donne par lutilisateur de ce modle. Par exemple, sil sagit dun modle de commande, certains signaux sont des entres et dautres sont des sorties. Pour lidentication, le fait que certains signaux soient des entres et dautre des sorties na pas ncessairement de sens. Un modle peut tre vu de manire plus gnrale comme un ensemble de relations implicites reliant diffrents signaux. Ces relations dpendant dun certain nombre de paramtres, il importe avant tout de trouver une reprsentation permettant de minimiser le nombre de paramtres et de faire apparatre, si possible, une dpendance simple en fonction de ces paramtres, idalement linaire. Ces deux objectifs sont gnralement antagonistes ; on peut choisir daugmenter articiellement le nombre de paramtres an dobtenir un modle linaire en fonction des paramtres (LP) qui permettra une estimation par des techniques de rgression linaire. Dans le cas de lestimation des paramtres de la machine asynchrone, nous avons dvelopp une approche de ce type [Laroche04b]. Lorsque lon ne parvient pas obtenir de formulation LP ou si celle-ci nest pas intressante cause dun nombre trop lev de paramtres, on doit alors estimer les paramtres dun modle non-linaire (non LP). Dans ce cas, un certain nombre de signaux sont choisis comme signaux dentre et partir desquelles dautres signaux, appeles signaux de sortie, seront dtermines. On dtermine un critre derreur partir de lcart entre les mesures et les sorties du modle. Un algorithme doptimisation de type programma-

8

Chapitre 1. Identication

tion non-linaire est ensuite utilis an de minimiser ce critre. Ce type dpproche a t utilise dans le cas de la machine asynchrone [Laroche05a].

1.3

Identication de modles linaires

De nombreux algorithmes sont disponibles pour lidentication de modles linaires reprsents sous forme de fonction de transfert. Ces algorithmes ont dabord t dvelopps pour des modles temps discret [Ljung99]. En effet, lutilisation principale des modles est la commande qui est gnralement implante en temps-discret, du moins depuis un bon nombre dannes. Une autre raison est parfois avance : la nature chantillonne des mesures, pour lesquelles il est plus facile de calculer des retards que des drives. Mais cet obstacle nest pas fondamental car il suft destimer les drives en les ltrant pour mettre au point des mthodes didentication temps continu. Les mthodes dveloppes en temps discret ont gnralement leur quivalent en temps continu. Ces algorithmes ont t dvelopps plus rcemment que leurs quivalents temps discret. Actuellement, un grand nombre dentre eux sont disponibles dans les boites outils Contsid3 et Captain4 . Les thories modernes de lidentication sont dveloppes dans un cadre stochastique. On suppose que lon a affaire un systme dynamique dont la sortie est dtermine par deux entres : lentre mesure qui est parfaitement connue ; un bruit additif modlis comme la ralisation dun processus stochastique. Pour une structure donne du modle, il sagit destimer ses paramtres au sens du maximum de vraisemblance, de manire ce que le bruit permettant de rendre compte des carts entre les mesures et les sorties non bruites du modle soit de variance minimale. Diffrents types de modles sont classiquement utiliss : erreur de sortie, ARX, ARMAX, Box et Jenkins. Parmi les diffrentes mthodes permettant dobtenir une estime des paramtres, mentionnons la mthode des variables dtat qui permet dobtenir une estime non biaise des paramtres. Elles sappuient sur la simulation des sorties de la partie dterministe du modle qui ont lintrt de ne pas tre corrles avec lentre de bruit. Dans le cas des mthodes didentication des modles temps continu, on a recours un ltre destimation des drives. Un ltre optimal est dtermin partir du dnominateur du modle. On obtient alors une mthode rcursive o les estimes des drives sont afnes chaque tape5 . Certaines de ces mthodes, comme celledveloppe par H. Garnier et al. est disponible ladresse . La toolbox Captain, dveloppe par P. Young et al., est disponible ladresse . 5 Prcisons que ces techniques de ltrage des donnes sont galement utiles en discret. Paradoxalement, le fait quelles ne soient pas ncessaires font quune utilisation directe des algorithmes didentication de modles discrets disponibles dans les boites outil peut savrer hasardeuse en prsence de bruit [Garnier06]. 4

3

La

toolbox

Contsid,

1.4. Le problme de la robustesse

9

implante dans la fonction de la boite outils Contsid [Garnier07], permettent de didentier des modles MISO sous forme de fonction de transfert6 . Des mthodes ont galement t dveloppes pour lidentication de modles multivariables sous forme dtat. Cest le cas de la mthode des sous-espaces [Verhaegen94, Howell01]. Ces approches sont disponibles en discret et en continu. Dans le cas o les mesures sont obtenues en boucle ferme, lentre du systme est corrle avec le bruit, ce qui entrane une estimation biaise des paramtres. Dans le cas dun niveau de bruit lev, il est prfrable didentier le systme en boucle ferme. La loi de commande tant connue, on peut retrouver ensuite le modle du systme. Ces mthodes ont cependant linconvnient dentraner une augmentation de lordre du systme. Depuis plus de dix ans, cette problmatique de lidentication en boucle ferme est un thme important de la recherche en identication [Ljung99, Forssell00].

1.4

Le problme de la robustesse

Lorsquon dtermine un modle, il est galement important de connatre son niveau de abilit, cest--dire le degr de conance quon peut lui accorder. Dans lapproche probabiliste, lestimateur des paramtres est un vecteur de variables alatoires, chaque ralisation du bruit entranant une valeur diffrente de lestime. La prcision de lestimateur est caractrise par son biais, cest--dire lcart entre son esprance et la valeur vraie des paramtres, ainsi que par sa variance. Dans le cas de lidentication des modles de la machine asynchrone, nous avons men des tudes visant valuer les erreurs destimation des paramtres compte-tenu de la prcision des diffrents capteurs [Laroche02, Laroche05a]. Un modle physique repose toujours sur un certain nombre dapproximations qui permettent dobtenir un modle simpli en ngligeant une partie des phnomnes (dynamiques haute frquence, non-linarits). Ces approximations entranent des erreurs destimation dterministes. Dans le cas des modles linaires, des rsultats sont disponibles concernant lidentication dun modle dordre rduit dun modle linaire. Dans le cas gnral o les modles sont non-linaires, les tudes doivent tre menes de manire ad-hoc. Nous avons men des campagnes dvaluation des erreurs destimation dues aux approximations dans le cas de lidentication de la machine asynchrone. Dans lapproche suivie dans ce rapport, un modle sous forme de reprsentation linaire fracionnaire (LFR) est dvelopp partir des erreurs destimation des paramtres. Ce modle est ensuite utilis pour lanalyse de la robustesse. Une alternative possible consiste identier directement un modle incertain. Dans ce type dapproche, Saligrama sintresse lidentication de modles LFR pour des mesures affectes dinCette mthode a t utilise notamment pour lidentication du modle dynamique local dun manipulateur prsent dans la partie de ce rapport consacr la robotique.6

10

Chapitre 1. Identication MAS Enroulement Robotique Identication pour la commande X Analyse des erreurs destimation X Identication de modle danalyse X X Synthse dexprience optimale X TAB . 1.1 Problmes abords dans ce rapport dans le domaine de lidentication

certitudes dterministes et stochastiques [Saligrama05]. Gugercin et al. sintressent lidentication dun modle temps discret avec un paramtre incertain [Gugercin03].

C HAPITRE

2

Commande H

Les techniques de la commande robuste multivariable, dveloppes depuis les annes 1980, permettent de rsoudre de nombreux problmes de commande avec des temps de dveloppement assez limits. Elle ont fait leurs preuves sur des problmes rputs difciles (exibilits, non-minimum de phase) et sont maintenant considres comme un standard dans laronautique et dans le spatial [Garg82, Pittet06, Arzelier04]. Dans ce chapitre, nous prsentons rapidement cette mthode qui est ensuite applique dans le cadre des trois systmes applicatifs concerns par ce rapport.

2.1

Le problme standard

Les approches modernes de la commande multivariable sappuient sur des schmas de synthse standards. Ces schmas, introduits par J.C. Doyle [Doyle83], ont lintrt de regrouper les deux problmes classiques de lautomatique sous une forme unique : le suivi de consigne et le rejet de perturbation, pour une multitude de congurations pos11

12 v-

Chapitre 2. Commande H zG(s) y K(s)

u

F IG. 2.1 Modle standard pour la synthse de correcteur LTI

sibles. Les techniques de synthse proposes dans ce cadre standard peuvent sappliquer de nombreuses situations. Elles permettent de synthtiser des lois de commande multivariable de manire quasiment aussi simple quen monovariable. Considrons le systme linaire multivariable G(s) disposant de deux canaux de signaux : le canal de performance ou dincertitude, dentre v et de sortie z, le canal de commande, dentre u et de sortie y. Notons Gbf (s) le systme en boucle ferme, boucl par une loi de commande u = K(s) y. Lalgorithme itratif de Glover-Doyle [Glover88, Doyle89] bas sur la rsolution dune quation de Riccati, permet de synthtiser un correcteur linaire K(s) de manire minimiser la norme7 H du transfert8 Gbf (s). En notant lindice de performance obtenu, on a ||Gbf (s)|| < . Des algorithmes de synthse bass sur les LMI ont galement t dvelopps [Gahinet94, Iwasaki94]. Ils ont lavantage de ncessiter des hypothses lgrement moins fortes sur le systme. Le thorme du petit gain permet alors dafrmer que le systme prsent sur la 1 gure 2.2 est stable pour toute incertitude vriant ||(s)|| . Cest pour cette proprit que la commande H est qualie de robuste : il est possible de synthtiser un correcteur stabilisant le systme incertain scrivant sous la forme dune LFR entre des dynamiques connues G(s) et une partie incertaine borne (s). En ralit, cette proprit de robustesse a une porte pratique limite. En effet, les systmes physiques comportent de nombreuses incertitudes qui font que le systme incertain (s) a une structure bien particulire. Ne pas tenir compte de cette structure entrane un fort pessimisme qui limite lintrt de cette condition de robustesse.La norme H dun systmes multivariable est son amplication maximale. Pour un systme G(s) tel que y(s) = G(s) u(s), on a ||G(s)|| = max ||y(t)||2 o ||y(t)||2 = 0 y H (t) y(t) dt. On a aussi ||G(s)|| = 2 ||u||2 maxR+ (G(j)) o est la plus grande des valeurs singulires. En monovariable, on a (G(j)) = |G(j)| et ||G(s)|| = maxR+ |G(j)| est le gain maximal sur lensemble des frquences. 8 Dautres critres sont disponibles comme la norme H2 [Stein87] ; des synthses multicritres sont galement possibles [Scherer95, Chilali96, Scherer97, Arzelier02, Arzelier04]. Mentionnons galement les liens avec la thorie des jeux [Jank03, Abou-Kandil03, Abou-Kandil04]7

2.2. Mthode de synthse sensibilits mixtes

13

(s) v-

z G(s) y K(s)

u

F IG. 2.2 Modle standard avec incertitude

Plus classiquement, la synthse H est utilise de manire modeler les transferts en boucle ferme an de confrer au modle nominal certaines performances. Deux mthodes classiques de synthse, qui sont utilises dans ce rapport, sont prsentes dans les paragraphes 2.2 et 2.3 qui suivent. Lanalyse de la robustesse sera alors faite posteriori en tenant compte prcisment de la structure des incertitudes. Ces approches danalyse sont prsentes dans le chapitre suivant. Prcisons que des mthodes de synthse de correcteurs pour des modles incertains sont disponibles. Elles sont toutefois dune utilisation plus dlicate que la synthse H [Packard93b]. Lordre du correcteur obtenu est gal celui du systme. Compte-tenu des pondrations introduites dans le modle augment, les synthses standards aboutissent des correcteurs dordres relativement levs. Des algorithmes de rduction dordre permettent alors dobtenir une approximation dordre rduite du correcteur [Moore81, Adamjan71, Glover84]. Ces rductions dordre ne garantissent pas la stabilit et les performances du systme asservi obtenu avec le correcteur dordre rduit ; il est donc conseill danalyser les performances du systme obtenu et de limiter la rduction dordre un niveau permettant de ne pas trop dgrader les performances.

2.2

Mthode de synthse sensibilits mixtes

2.2.1 PrincipeDans cette mthode, on construit un modle augment du systme en choisissant les signaux exognes v et z et en rglant un certain nombre de pondrations permettant de donner une forme particulire aux transferts en boucle ferme. De nombreux schmas de synthse peuvent tre utiliss suivant lobjectif atteindre. Considrons le problme classique de la commande prsent sur la gure 2.3. Nous prsentons dans la suite le

14 p + r - i e - K(s) 6 u ? - i G(s)

Chapitre 2. Commande H

F IG. 2.3 Schma de commande

schma de synthse 2 blocs qui a lavantage dtre la fois simple tout en permettant de rsoudre la majeure partie des problmes rencontrs en commande. Ce schma est utilis dans la suite de ce rapport en application la machine asynchrone et aux systmes robotiques. Un expos complet des diffrentes mthodes se trouve dans louvrage de G. Duc et S. Font [Duc99]. Avant de rsoudre le problme de performance, le correcteur doit permettre une certaine robustesse. Cela sobtient en assurant deux critres : la marge de module M est dtermine par la norme H de la sensibilit du systme. Pour cela, on considre gnralement la sensibilit en sortie9 Ter (s) = Sy (s) avec : M = 1 ||Sy (s)|| (2.1)

en haute frquence, les systmes ont gnralement un gain dcroissant ce qui fait que leurs dynamiques sont mal connues. An dassurer un certain niveau de robustesse vis--vis de ces dynamiques, il est ncessaire dassurer une limitation, voire une dcroissance du gain du correcteur en haute frquence. Cela se fait en considrant le transfert Tur (s). En effet, au del de la bande-passante du systme, on a Tur (s) K(s).

2.2.2 Schma de synthse 2 blocsLe schma de synthse deux blocs prsent sur la gure 2.4 est le schma le plus simple permettant la fois de rgler les deux objectifs de robustesse mentionns cidessus et un objectif de performance. Le correcteur K(s) est synthtis de manire T T minimiser la norme H du transfert entre r et z = [z1 z2 ]T ; on note lindice de performance obtenu. La pondration W1 (s) permet la fois de rgler la bande passante du systme et de choisir la marge de module. En choisissant un ltre diagonal avec les mmes pondration sur chaque composante10 : W1 (s) = W11 (s)I (2.2)On note Ter (s) la fonction de transfert entre r et e. Il est bien sr possible dutiliser des pondrations diffrentes suivant les composantes. Cela peut savrer pertinent dans le cas o les dynamiques sont amenes diffrer suivant les composantes.10 9

2.2. Mthode de synthse sensibilits mixtes

15

-

W1 (s) -z1 u

-

W2 (s) -z2 G(s)

+ r - i e - K(s) 6

-

F IG. 2.4 Schma de synthse 2 blocs

avec : W11 (s) =

s+a K(s + b)

(2.3)

a avec a < b et K 1. Ce transfert a un gain statique de Kb (en haute frquence), un gain 1 minimal de K (en basse frquence) et prsente un gain 3 dB la pulsation :

c = Avec ||Tz1 r || , on a alors :

a2 2K 2 b2 2K 2 1 W11 (j)

(2.4)

(Sy (j)) ce qui permet dassurer, dans le cas o 1 : une marge de gain suprieure 1/K, une erreur statique infrieure Kb/a, une bande passante11 suprieure c . On peut choisir W2 (s) de la forme :

(2.5)

W2 (s) = W21 (s)I avec : W21 (s) = s K2 (cs + 1)

(2.6) (2.7)

avec c c 1 (par exemple cc = 0, 01). Une valeur de K2 faible correspond un effet de roll-off important, cest--dire une dcroissante rapide du gain du correcteur en haute frquence. On a alors : (Tur (j)) |W21 (j)| (2.8)

ce qui permet dassurer la dcroissance du gain du correcteur en haute frquence : (2.9) (K(j)) |W21 (j)|11

En mesurant la bande passante -3 dB sur Sy (j).

16

Chapitre 2. Commande H d2 y- ? i - W2 (s) +

d1- i W1 (s) +6

-

G(s)

u

K(s)

F IG. 2.5 Synthse H par la mthode du loop-shaping

2.3

Mthode du loop-shaping

Une mthode alternative, celle du loop-shaping, se focalise sur le transfert en boucle ouverte de lensemble systme-correcteur [McFarlane92]. Dans cette approche, une version de dpart du correcteur est dabord tablie par le concepteur laide des pondrations W1 (s) et W2 (s) places en srie avec le systme, respectivement en amont et en aval (voir gure 2.5). Destines xer la bande passante, augmenter le gain en basse frquence an de rejeter les perturbations et faire chuter le gain en haute frquence pour des raisons de robustesse face aux incertitudes mal modlises, ce premier correcteur na pas besoin dtre stabilisant. Dans un second temps, un correcteur K(s) est synthtis de manire assurer la stabilit et minimiser la norme H du transfert y entre le vecteur dentre [dT dT ]T et le vecteur des sorties [T uT ]T , an dapporter la 2 1 robustesse sufsante. Le correcteur nal est alors K(s) = W1 (s) K(s) W2 (s). Son ordre est gal celui du systme G(s) additionn de deux fois celui des pondrations. En effet, contrairement au cas prcdent, les pondrations font partie intgrante du correcteur implanter. Cette approche a t utilise dans la cadre dun actionnement par moteur asynchrone [Laroche04a].

C HAPITRE

3

Analyse de la robustesse

3.1

Les problmes de robustesse

La robustesse consiste assurer que le systme conserve certaines de ses qualits lors de variations de ses conditions de travail. Les sources de variation de lenvironnement peuvent tre de nature diverse (augmentation de la temprature pouvant entraner une variation de certains paramtres, vieillissement, changement de point de fonctionnement). Dans la plupart des cas, ces variations scrivent comme des incertitudes sur les paramtres du systme. On pourra distinguer ds lors deux situations : les paramtres sont incertains mais constants ou leurs vitesses de variation sont ngligeables, les paramtres varient en fonction du temps et leurs vitesses de variation ne sont pas ngligeables. En analyse de robustesse, on sintresse dabord la stabilit du systme pour lensemble des incertitudes considrer. On parle alors de robustesse en stabilit ou de stabilit 17

18

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

robuste. On peut galement aller plus loin et analyser si le systme incertain satisfait un critre de performance pour lensemble des incertitudes. On parle alors de robustesse en performance ou de performance robuste. Ces analyses peuvent tre menes deux niveaux : on peut se limiter la question de savoir si le critre de performance est satisfait par lensemble des incertitudes prvues. Le rsultat dun tel test est binaire. On peut aussi chercher connatre la dilatation que lon peut appliquer au domaine de variation initial pour amener le systme en limite de robustesse. Notons le coefcient de dilatation maximal obtenu. Le systme est robuste si > 1. Les tests de robustesse aboutissent gnralement une valeur approche de soit par excs, soit par dfaut. Les approches aboutissant une valeur par dfaut de la marge de robustesse sont qualies de pessimistes et permettent de garantir un domaine de stabilit. Les mthodes aboutissant une valeur par excs sont qualies doptimistes et permettent principalement dvaluer le pessimisme des premires mthodes. Lorsquun critre danalyse scrit sous forme LMI, le fait dintroduire les matrices du correcteur comme nouvelles incertitudes dans le systme donne une formulation de type ingalits matricielles polynomiales qui ne peuvent tre rsolus simplement. Diffrentes approches permettent de driver une formulation LMI : des changements de variable [Scherer97] ; le lemme dlimination qui sert notamment dans le cadre de la commande H [Gahinet94, Gahinet96] et de la commande LPV [Apkarian95] ; ainsi que la S-procdure [Scherer01]. Nanmoins, il nest pas toujours possible de se ramener une formulation LMI.

3.2

Les modles incertains

Parmi les diffrents modles gnriques tenant compte des paramtres, les modles linaires paramtres variants ont abouti des tests efcaces danalyse de la robustesse ainsi qu des mthodes de synthse robustes.

3.2.1 Les modles LPVUn modle LPV scrit de manire gnrale : x = A(P )x + B(P )u y = C(P )x + D(P )u (3.1)

o P est le vecteur des paramtres. A dfaut de connatre lavance la trajectoire de , on connat souvent des bornes sur ses diffrentes composantes : Pk Pk Pk , ce qui dnit lensemble EP de variation des paramtres qui est un hyperrectangle. On peut aussi tenir compte des vitesses de variation : Pk Pk Pk , ce qui dnit lensemble EP . On notera respectivement EP et EP les ensembles contenant les sommets des hy percubes.

3.2. Les modles incertains

19

(P ) v-

z-

u

G(s)

y-

F IG. 3.1 Modle incertain de type LFR

Dans le cas o les paramtres sont constants et incertains, le modle est un modle linaire incertain et les mthodes linaires sappliquent. les mthodes appeles -analyse entrent dans ce cadre. Si on considre des variations en fonction du temps des paramtres, les mthodes linaires ne sont plus exactes et il convient danalyser le systme comme un systme nonlinaire ; dans ce dernier cas, les mthodes de type Lyapunov permettent dobtenir des rsultats. Un cas particulier de modle LPV est celui o les matrices dpendent de manire afne de chacun des paramtres. Notons : M= A B C D . (3.2)

On a alors M(P ) = M0 + P1 M1 + P2 M2 .... On parlera de systme LPV afne. Pour cette classe de modle, des tests danalyse de robustesse et des mthodes de synthse de correcteurs on t dveloppes [Gahinet94, Apkarian95, Feron96]. Un nombre limit de systmes physiques admettent des reprsentations LPV afnes. Dans la pratique, on peut aboutir ces modles par une approximation sous forme de dveloppement limit, aboutissant une prise en compte approximative de la robustesse. Si on souhaite prendre en compte de manire dle la dpendance en fonction des paramtres, il est ncessaire de recourir une reprsentation linaire fractionaire.

3.2.2 Les reprsentations linaires fractionnairesDe manire gnrale, ce quon appelle transformation linaire fractionnaire (LFT) ou reprsentation linaire fractionnaire (LFR) dsigne le bouclage dun systme avec un autre systme. Dans le cadre de la modlisation des systmes incertains, cette dnomination prend un sens plus troit puisquelle dsigne un modle compos dun transfert LTI G(s) se rebouclant sur une matrice (P ) de gains incertains comme reprsent sur la gure 3.1. On considre que les coefcients sont soit nuls, soit gaux Pk , ce qui fait que (P ) dpend linairement de P .

20

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

Considrons la reprsentation dtat suivante de G(s) : x = Ax + B1 v + B2 u z = C1 x + D11 v + D12 u y = C2 x + D21 v + D22 u x = A(P )x + B(P )u y = C(P )x + D(P )u avec : A(P ) B(P ) C(P ) D(P ) = = = =

(3.3)

avec u Rnu , y Rny , v Rnv , z Rnz . Elle est dite bien pose si Inz D11 est non-singulire pour tout P EP . Le systme est de type LPV : (3.4)

A + B1 (P )(Inz D11 (P ))1C1 B2 + B1 (P )(Inz D11 (P ))1 D12 C2 + D21 (P )(Inz D11 (P ))1 C1 D22 + B21 (P )(Inz D11 (P ))1 D12

(3.5)

Il sagit donc dun modle LPV o les matrices dpendent de manire rationnelle des paramtres. Inversement, tout modle LPV rationnel peut se mettre sous forme LFR. Dans le cas dune dpendance non-linaire, il est possible de dterminer une approximation sous forme LFR. La taille de la LFR12 obtenue conditionne fortement les temps de calculs et mme la prcision des rsultats. Il importe donc de trouver une LFR dordre minimal, ou du moins dun ordre raisonnable. Des algorithmes de rduction dordre sont disponibles pour les LFR, gnralisant les techniques de rduction dordre disponibles pour les systmes LTI [Wang91, Beck96, DAndrea97]. Dans le cas dun asservissement par un correcteur LTI, le systme se met alors sous la forme du schma de la gure 3.2 o M(s) est obtenu par bouclage de G(s) avec le correcteur. Une tape de normalisation permet ensuite de se ramener ||(P )|| 1. La boite outils LFR toolbox dveloppe par J.F. Magni et al. permet de dvelopper des modles LFR, de les manipuler et de rduire leur ordre [Magni01, Hecker04]. Ces outils ont t utiliss dans le dveloppement des modles LFR de la machine asynchrone et du systme denroulement de bande prsents dans les parties 2 et 3 de ce document.

3.3

Les approches danalyse

3.3.1 Stabilit au sens de LyapunovUn systme est stable au sens de Lyapunov sil existe une fonction dnergie qui dcrot sur lensemble de lespace. Ce type de stabilit sapplique de nombreux types de12

Cest--dire le nombre dtats et les ordres de rptition des paramtres.

3.3. Les approches danalyse

21

systmes. Dans le cas des systmes linaires, on sait quil y a quivalence entre stabilit quadratique13 et stabilit au sens classique. Dans le cas des systmes LPV, la stabilit quadratique est une condition sufsante mais non ncessaire de stabilit. Lors de la dernire dcennie, des efforts de recherche importants ont port sur lobtention de conditions de stabilit moins pessimistes. La technique consiste utiliser une matrice de Lyapunov dpendant des paramtres. Pour un systme linaire dquation dtat x = Ax, la stabilit est quivalente lexis 14 tence dune matrice Q dnie positive telle que la LMI suivante est vrie : AT Q + QA 0 ce qui signie que la matrice AT Q + QA est dnie ngative15 . Dans le cas dun systme LPV afne avec A(P ) = A0 + Pk Ak , la condition de stabilit scrit comme une LMI semi-innie, cest dire quelle doit tre vrie pour lensemble des valeurs de P EP . Toutefois, du fait que lexpression AT (P )Q + QA(P ) est afne en P , il suft de vrier un nombre ni de LMI correspondant P EP , cest--dire aux sommet de EP . Prcisons que ce test ne dpend pas des vitesses de variation des paramtres, ce qui signie que lon cherche assurer la stabilit du systme indpendamment des vitesse de variation des paramtres. Il est bien vident que ce type de stabilit est trs fort et ne permet pas daboutir dans de nombreux cas. Dans le cas dune dpendance afne de la matrice dtat en fonction des paramtres, il est sens de chercher une condition de stabilit moins pessimiste en utilisant une matrice de Lyapunov dpendant des paramtres sous forme afne : Q(P ) = Q0 + Pk Qk (3.7) (3.6)

Il faut alors rechercher les matrices Qk telles que : Q(P ) et : 0 (3.8) (3.9)

sur lensemble du domaine. La premire condition est linaire ; il suft donc de lvaluer aux sommets de lespace. La seconde condition est quadratique en P . An dobtenir un nombre ni de conditions, on est amen imposer une condition supplmentaire : la multiconvexit16 de AT (P )Q(P ) + Q(P )A(P ) + Q(P ) qui scrit : AT Qk + Qk Ak k13

AT (P )Q(P ) + Q(P )A(P ) + Q(P ) 0

0 k

(3.10)

La stabilit quadratique est la stabilit au sens de Lyapunov avec une fonction dnergie quadratique de la forme V (x) = xT Qx o la matrice de Lyapunov Q est constante et unique. 14 La fonction dnergie est V (x) = xT Qx. 15 Ce qui est quivalent V (x) < 0 x = 0. 16 La multiconvexit est la convexit dans toutes les directions canoniques ; il sagit dune condition moins forte que la convexit.

22

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

Le terme Q(P ) scrit de manire linaire en fonction des drives des paramtres. On aboutit nalement un test o la condition (3.8) doit tre vrie pour P EP , la condition (3.9) doit tre vrie pour (P, P ) EP EP et en ajoutant la condition de multiconvexit (3.10). Dans le cas dun systme sous forme de LFR, on peut chercher une matrice de Lyapunov avec une dpendance de mme type an de diminuer encore le pessimisme [Iwasaki01, Peaucelle01]. Ces mthodes stendent lanalyse des performances par critre H grce au lemme born rel. Des formulations en temps discret sont aussi disponibles. Ces tests sont disponibles dans diffrentes boites outils, comme la Robust Control Toolbox commercialise par Matlab et la toolbox Romuloc17 dveloppe par D. Peaucelle au LAAS [Peaucelle06]. (P ) v

z M(s)

F IG. 3.2 Modle LFR du systme en boucle ferme

3.3.2 -analyseValeur singulire structure Le thorme du petit gain nonce que le systme de la gure 3.2 est stable si et seulement si (M(j)) < 1 R+ [Zhou96]. Pour une matrice normalise, le systme est stable si (M(j)) < 1 . Ce test ne tient pas compte de la structure de et aboutit donc une valuation pessimiste de la robustesse. La valeur singulire structure (SSV) est une extension de la valeur singulire permettant de tenir compte de la structure de [Doyle82, Packard93a]. En notant M = M(j), le gain complexe du systme la pulsation , on dnit la SSV, note galement , de la manire suivante : = inf { () \ det(I M ) = 0} , (M ) = 0 det(I M ) = 0 E .1 (M )

(3.11)

1 et on note (M) = max((M )). La grandeur est la taille, au sens de la norme H , de 1 la plus petite incertitude capable de dstabiliser le systme ; est donc la marge de17

La toolbox Romuloc est disponible ladresse

3.3. Les approches danalyse1 robustesse (r = ). La robustesse est garantie si < 1.

23

La SSV permet de prendre en compte des matrices dincertitude intgrant trois formes dincertitudes : des scalaires rels, des scalaires complexes et des blocs complexes. Les scalaires rels correspondent des incertitudes sur les paramtres ; les incertitudes complexes proviennent gnralement dincertitudes sur des dynamiques. Soit E lensemble des matrices considres : E = { = diag(1 Ir1 , ..., s Irs , 1 Ic1 , ..., t Ict , 1 , ..., F )} o k R, k C et k Cmk mk . Le calcul de est connu comme tant un problme difcile de complexit qui crot de manire non polynomiale en fonction de la taille du problme [Braatz94]. On a gnralement recours un encadrement par valeur suprieure et valeur infrieure. Les premiers algorithmes ne sintressaient qu des incertitudes complexes, ce qui donne aussi une borne suprieure pour le cas rel. Le problme mixte rel/complexe a t trait pour la premire fois dans par Fan et al. [Fan91]. Dans le cas purement rel, ces algorithmes ont des proprits de convergence dgrades. On peut alors robustier la problme en ajoutant chaque incertitude relle une incertitude complexe de petite taille [Packard93c]. Cette technique est surtout efcace pour le calcul de la borne infrieure [Young97]. Nanmoins, le problme complexi est un problme plus pessimiste que le problme original. La borne infrieure obtenue nest donc plus garantie comme tant une borne infrieure du problme original. Dans les cas rels et pour les systmes exibles, le trac de la borne suprieure prsente gnralement des pics trs troits. Avec la discrtisation frquentielle, il y a de grande chance de sous valuer lamplitude du pic, ce qui revient dire que la borne suprieure obtenue nest pas rellement une borne suprieure. Des approches visant obtenir une majoration garantie sont disponibles. Bornes suprieures Mthode base sur les scalings. On prsente ici de manire trs succincte lapproche classique de calcul de la borne suprieure [Young95]. Il sappuie sur des matrices qui commutent avec , appeles scalings : D = {diag(D1 , ..., Ds+t , d1 In1 , ..., dF ImF ) : 0 < Di = Di Cki ki , di R+ } (3.13)

(3.12)

Sachant que la SSV est infrieure la valeur singulire, on a : (M ) DM D 1 D D (3.14)

La mthode consiste chercher une matrice D qui minimise le second terme de cette ingalit.

24

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

Une formulation LMI a t dveloppe par Fan et al. [Fan91] : infDD GG

R+

min : M DM + j(GM M G) 2 D 0

(3.15)

o la matrices G G : G = {diag(G1 , ..., Gs , Oc1 , ..., Ocf , Om1 , ..., Omf ) : Gi = G Cki ki } i (3.16)

1 Calcul garanti. Un systme LTI M() = D + C( j In A)1 C scrit comme une LFR de la matrice M : A B (3.17) M= C D 1 1 avec une matrice j In . La grandeur peut tre considre comme un paramtre in1 certain variant sur lintervalle [1 ; 2 ]. En incluant comme un paramtre incertain supplmentaire dans le modle LFR, on peut obtenir une borne suprieure sans risque de sous estimer un pic troit. 1 En notant 0 = 1 (1 + 2 ) et w = 2 (2 1 ), la valeur de est garantie sur lintervalle 2 1 1 [0 w ; 0 + w ]. An dobtenir une valeur de ajuste lintervalle prvu, il est ncessaire dajuster la valeur de w . Cela peut tre fait par itration [Friang98]. An de 1 1z 1 permettre de varier sur R, on peut faire le changement de variable = 1+z .

Un calcul de garanti peut aussi tre obtenu partir de la notion de skew 18 dveloppe par G. Ferreres et J.M. Bianic [Ferreres04]. Dans ce contexte, la matrice des incertitudes est dcompose en deux parties : = diag{1 , 2 } o les matrices 1 et 2 ont une structure dnie et une norme infrieure 1. On cherche alors r de sorte que linterconnexion entre M et r = diag{1 , r2 } soit dnie pour lensemble des 1 matrices 1 et 2 . On obtient un calcul garanti de en utilisant 1 = I [Ferreres98]. Sparation topologique. Considrons la LFR compose des oprateurs M et avec : z = Mv v = z (3.18)

Linterconnexion des systmes est stable si le graphe19 de M et celui de 1 sont disjoints [Safonov80]. A partir de cette notion, Iwasaki et Hara ont dvelopp une condition permettant une valuation assez prcise de la borne suprieure du [Iwasaki98] : (M ) =18 19

>0,E

inf

: [I M ]

I M

0, G + G = 0

25

(3.20)

Une borne plus prcise est obtenue pour : = R S S Q : Rii 0, i = 1, ..., , 0, k = 1, ..., 2

[k I]

T k I

(3.21)

o Rii de taille ki ki est le ime bloc de R, ki tant lindice de rptition du ime paramtre et k sont les sommets de E . Pour une valeur donne de , il sagit dun problme LMI. Comme lquation (3.19) dpend non-linairement de , ne peut tre calcul directement. Il peut tre valu par dichotomie. Cette approche entrane un temps de calcul qui varie de manire exponentielle en fonction du nombre de paramtres.

Bornes infrieures Avec chantillonnage frquentiel. Le calcul des bornes infrieures cherchent gnralement parmi les matrices possibles. Dans le cas de lapproche de P. Young et J. Doyle [Young97], une recherche est faite de manire heuristique sur des matrices de lensemble : Q E : i [1 ; 1], i = 1, i = I (3.22) i i Ces mthodes convergent gnralement trs mal dans le cas dincertitudes purement relles. Lieu des ples. Pour vrier la stabilit dun systme linaire incertain, on peut chercher assurer que la matrice Acl (P ) du systme en boucle ferme est Hurwitz20 pour toute valeur de P . Considrons la fonction scalaire suivante : (r) = max (realk (Acl (P )))k,P rE

(3.23)

qui est la partie relle maximale des ples obtenus lorsque varie sur rE . Cette fonction est croissante sur R+ . On a (0) < 0 si le modle nominal est stable. La marge de robustesse r est la plus petite valeur vriant (r ) = 0 et peut tre obtenue par dichotomie. La robustesse est assure si r 1.Une matrice est Hurwitz si ses valeurs propres sont partie relle strictement ngative. Un systme est Hurwitz si sa matrice dtat A est Hurwitz.20

26

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

Un test peut tre obtenu en explorant un nombre ni de valeurs du domaine E . De ce fait, le test obtenu donne une valeur suprieure de la marge de robustesse. Le temps de calcul volue de manire exponentielle en fonction du nombre de paramtres et en fonction de la prcision de lchantillonnage de E .

Migration des ples. Une mthode originale consite chercher lincertitude de taille minimale qui dplace un ple donn vers laxe imaginaire [Dll98]. Dans un premier temps, le dplacement est choisi de manire minimiser la norme de Frobenius21 de , problme qui a une solution analytique. Dans un second temps, la norme H de la matrice est minimise par une heuristique. Ces tapes sont effectues en partant de chacun des ples du systme nominal an de dterminer la plus petite matrice dstabilisant le systme. Application aux systmes non linaires La -analyse sadresse au dpart des systmes linaires. Pour les systmes non linaires dont les matrices dtat sont drivables, elle permet daboutir des tests de stabilit et de robustesse efcaces, bien quils ne soient pas parfaitement rigoureux. Nous prcisons ici rapidement la mthodologie qui sera utilise par la suite sur la machine asynchrone et sur un systme robotique puis nous discuterons de la question de la nature des conditions obtenues par rapport aux conditions plus rigoureuses de stabilit des systmes non-linaires quapporte la thorie de Lyapunov. Considrons le systme non-linaire dentre u et dquation dtat : x = f (x, u, p) (3.24)

o p est le vecteur des paramtres et o f est continuement drivable. Pour une entre constante et une valeur donne des paramtres, un point dquilibre x0 est dni par la relation f (x0 , r, p) = 0. Cet quilibre est stable si la matrice jacobienne : A(x0 , r, p) = f (x0 , r, p) x (3.25)

est Hurwitz, cest--dire si toutes ses valeurs propres sont partie relle strictement ngative. On parle de stabilit locale puisque quelle nest garantie quautour dun voisinage de lquilibre. La stabilit est uniforme si lensemble des points dquilibre est stable. De manire assurer la stabilit globale du systme, on peut chercher assurer que la matrice jacobienne : f A(x, u, p) = (x, u, p) (3.26) x21

La norme de Frobenius est dnie par ||M ||2 = F

i

j

|mij |2 = Tr(M M H ).

3.3. Les approches danalyse

27

est Hurwitz pour tout (x, u, p) sur lensemble des trajectoires admissibles et non plus seulement pour les points dquilibre. Dans ce cas, la stabilit globale est garantie22 pour des variations sufsamment lentes du point de fonctionnement, cest--dire de u et p. Comme les trajectoires ne sont gnralement pas connues lavance, on considre nalement x comme une variable incertaine borne ; les bornes pouvant tre obtenues en simulant le systme. La matrice A dpend gnralement dun nombre limit de coefcients des vecteurs x et u ; ceux-ci seront intgrs dans un vecteur augment p des paramtres incertains. Cette formulation entrane un pessimisme car on considre x comme indpendant de u et de p alors quil en dpend fortement, nanmoins, il savre gnralement bien plus ais mettre en uvre que les mthodes bases sur la stabilit de Lyapunov qui, elles aussi, prsentent gnralement un certain conservatisme.

Il est assez simple de prouver la stabilit globale dun systme x = f (x) o df (x) < 0 x en passant dx par la notion de contraction [Lohmiller98]. Une variation innitsimale x (t) autour de la trajectoire x(t) T vrie lquation x = df (x)x . En prenant comme fonction de Lyapunov V (x ) = x x . On a V (t) = dx22 T x ( df )T + df x qui est strictement ngatif pour x = 0. Ainsi cette variation tend ncessairement dx dx vers zro ce qui montre que le systme est contractant. Dans le cas o zro est une trajectoire dquilibre, toutes les trajectoires convergent donc vers zro et le systme est donc stable.

28

Chapitre 3. Analyse de la robustesse

Deuxime partie Machine asynchrone

29

C HAPITRE

1

Prliminaires

On prsente dans cette partie des contributions concernant lidentication (chapitre 2) et lanalyse de la robustesse (chapitre 3) de la machine asynchrone. Ce premier chapitre prsente les modles de la machine asynchrone ainsi que la mthode de commande du couple par orientation du ux rotorique. 31

32

Chapitre 1. Prliminaires

1.1

Modles de la machine asynchrone

Le rgime sinusodal nest pas un rgime permanent stricto sensus car les grandeurs lectriques ny sont pas stabilises. Ds lors, pour obtenir le modle de manire rigoureuse, il est ncessaire de sappuyer sur le modle dynamique de lactionneur.

1.1.1 Modle dynamique de la machine asynchronePour ltablissement du modle dynamique, considrons une machine asynchrone triphase rotor bobin. On suppose que les enroulements du stator et du rotor sont parfaitement symtriques (hypothse de circularit). On se place dans lhypothse du premier harmonique despace, cest--dire que lon suppose que les forces magntomotrices cres par les bobinages sont des fonctions sinusodales de lespace. On nglige les effets de saillance et les harmoniques de denture. Par la suite, on supposera que le modle est valable pour les machines cage, technologie plus rpandue. Reprenons tout dabord le modle dynamique de la machine asynchrone triphase suppose, pour les besoins de lexpos, couple en toile. Reprons les trois phases par les indice a, b et c. Notons i les courants, v les tensions et les ux. La rsistance dun enroulement du stator est Rs , celle dun circuit du rotor est Rr . On note Ls linductance cyclique du stator, Lr celle du rotor et M la mutuelle inductance cyclique entre le stator et le rotor. La machine a p paires de ples. Un systme triphas de grandeurs du stator {xsa (t), xsb (t), xsc (t)} sans homopolaire peut tre reprsent par le phaseur complexe dans le repre du stator [Louis04] : xs (t) = 2 xsa (t) + a xsb (t) + a2 xsc (t) 3 (1.1)

avec a = exp(j 2 ), correspondant la premire composante de la transformation de 3 Fortescue. Cette transformation est rversible avec : Re(xs (t)) xsa (t) xsb (t) = 2 Re(a xs (t)) (1.2) 3 xsc (t) Re(a2 xs (t))

Pour un systme triphas de grandeurs du rotor {xra (t), xrb (t), xrc (t)}, on dnit le phaseur complexe ramen dans le repre du stator qui correspond la premire composante de la transforme de Ku : 2 exp(j p ) xra (t) + a xrb (t) + a2 xrc (t) 3 o est la position angulaire du rotor. xr (t) = (1.3)

Le modle alors obtenu sexprime en deux sries dquations ; les quations aux ux : s (t) = Ls is (t) + M ir (t) r (t) = M is (t) + Lr ir (t) (1.4)

1.1. Modles de la machine asynchrone et les quations aux tensions : vs (t) = Rs is (t) + 0 = Rr ir (t) +ds (t) dt dr (t) dt

33

j p (t) r (t)

(1.5)

Dans cette seconde quation apparat une tension nulle au rotor correspondant au courtcircuit des enroulements et une force lectromotrice proportionnelle la vitesse de rotation du rotor, provenant du changement de repre des grandeurs du rotor. Ce modle dpend de 5 paramtres : deux rsistances Rs et Rr et trois inductances : Ls , Lr et M. Le but dune procdure destimation est donc de dterminer les valeurs numriques de ces paramtres. Pourtant ce modle nest pas identiable. En effet, une innit de valeurs des paramtres correspondent un comportement identique vu du stator [Poloujadoff67].

1.1.2 tablissement des modles 4 paramtresModle fuites totalises au rotor Ces quations sont proches de celles dun transformateur. Comme pour cet autre systme lectromagntique, on peut chercher crire un modle identiable grce au changement de variable suivant, qui introduit le courant magntisant relatif au ux statorique : s = Ls ims ce qui implique : M i (1.7) Ls r M En notant ms = Ls le rapport de transformation stator/rotor et i2s = ms ir le courant rotor ramen au stator, on peut rcrire le ux rotorique sous la forme : ims = is + r = M ims + Ls Lr M M i2s (1.8) (1.6)

On dnit linductance des fuites totalises au rotor et ramenes au stator : Lr Nr = ms 22

(1.9)

o = (1 LMLr ) est le coefcient de dispersion, reprsentatif de la part des fuites dans s le ux magntique. Le ux du rotor ramen au stator est : 2s = Ls ims + Nr i2s et linductance du rotor ramene au stator est R2s = stator, se met sous la forme : vs (t) = Rs is (t) + 0 = R2s i2s (t)ds (t) dt d (t) + 2s dt Rr . ms 2

(1.10) Le modle, dans le repre du

j p (t) 2s (t)

(1.11)

34is (t) Rs ims (t)ds (t) dt

Chapitre 1. PrliminairesNr2s 111 000 1 0

1 0

i (t)

v s (t)

Ls

d2s (t) dt

R2s

1111111111111 0000000000000jp2s (t)

F IG. 1.1 Modle dynamique fuites au rotor dans le repre du stator

Le modle est alors dcrit par les quations (1.6), (1.10) et (1.11). Ses paramtres, rappels dans le tableau 1.1, sont au nombre de 4 (Rs , R2s , Ls et Nr ) au lieu de 5 et sont identiables. Une fois estims ces 4 paramtres, les paramtres du modle initial sobtiennent de la manire suivante : Ls et Rs tant dj connus, il reste dterminer Rr , M et Lr grce deux quations. Le systme est donc sous-dtermin et on doit imposer un paramtre. Choisissons arbitrairement la valeur de ms . On obtient alors Rr = ms 2 R2s , M = ms Ls et Lr = ms 2 (Ls + Nr ). Paramtre gnrique fuites au rotor m Rs N Lm R2M ms = Ls Rs r Nr = L2 ms

fuites au stator mr = Lr M Rs Ns = Ls Lmr =M2 Lr

Lms = Ls R R2s = msr2

R2r

= (1 ) Ls R = mrr2

TAB . 1.1 Paramtres des modles dynamiques 4 paramtres

Modle fuites totalises au stator Une autre possibilit pour crire un modle identiable dpendant de 4 paramtres est de dnir le courant magntisant partir du ux du rotor : r = M imr Ce qui donne la loi de nud is + mr ir = im avec mr = des fuites totales vues du stator : Ns = Ls et linductance magntisante Lmr =M2 , Lr Lr . M

(1.12) En dnissant linductance (1.13) (1.14)

le ux du stator scrit :

s = Ns is + Lmr imr

1.1. Modles de la machine asynchroneis (t) Rs Ns imr (t)ds (t) dt 2r 11111 00000 1 0 11111 00000 d2r (t) dt

35i (t)

1 0

v s (t)

Lmr

R2r

11111111111111 00000000000000jp2r (t)

F IG. 1.2 Modle dynamique fuites au stator dans le repre du stator

En notant les grandeurs ramenes au stator i2r = mr ir , R2r = rcrit les quations aux ux : s (t) = Ns is (t) + Lmr imr (t) 2r (t) = Lmr imr (t) et les quations aux tensions : v s (t) = Rs is (t) + 0 = R2r i2r (t)ds (t) dt d (t) + 2r dt

Rr mr 2

et 2r = r /mr , on

(1.15)

j p (t) 2r (t)

(1.16)

Ce modle est dni par les quations (1.15) et (1.16). Il dpend de 4 paramtres (Rs , R2r , Ns et Lmr ), rappels dans le tableau 1.1. Supposons que ces paramtres soient estims, les paramtres du modle initial sobtiennent alors en xant arbitrairement le rapport de transformation mr : Rr = mr 2 R2r Ls = Lmr + Ns (1.17) M = mr Lmr Lr = mr 2 Lmr quivalence des modles fuites totalises Puisque les modles fuites totalises soit au rotor, soit au stator sont quivalents au modle de dpart, ils sont donc quivalents entre eux et on peut passer de lun lautre par : Ls = Lmr + Ns 2 Lmr +Ns R2s = R2r (1.18) Lmr Lmr +Ns Nr = Ns Lmr

36 Linversion de ces relations donne : Lmr = R2r = Ns =

Chapitre 1. Prliminaires

Ls 2 Ls +Nr Ls Ls +Nr Ls Ls +Nr 2

R2s

(1.19)

Nr

1.1.3 La saturation du circuit magntiqueLaugmentation du champ magntique dans certaines parties du circuit magntique de la machine entrane une diminution de leur permabilit, crant un phnomne de saturation magntique. On considre gnralement que ce phnomne touche uniquement le ux mutuel stator/rotor. En effet, les ux de fuite traversent une part importante dair et, de ce fait, sont moins sensibles la saturation des parties magntiques. Sparons ainsi les ux en un ux principal, not m et des ux de fuites : s (t) = ls is (t) + m (t) r (t) = lr ir (t) + m m (t) (1.20)

o m est le rapport de transformation gal au rapport des nombres de spires et ls , lr sont les inductances de fuite respectivement au stator et au rotor, supposes constantes. On dnit aussi le courant magntisant relatif au ux dentrefer : im = is + m ir (1.21)

En faisant lhypothse que la saturation agit comme une augmentation ctive de lentrefer et en se limitant un dveloppement au premier ordre de cet entrefer, il a t montr que les quations de la machine asynchrone restent valables condition de considrer une inductance magntisante Lm , dnie par m = Lm im , dpendant du niveau de saturation [Lemaire-Semail99]. On peut alors choisir comme variable reprsentative de ltat de saturation soit lamplitude du ux magntique et on pose Lm = Lm (m ), soit lamplitude du courant magntisant et on pose Lm = Lm (im ). Dans la suite, nous noterons m la variable de saturation, pouvant tre gale im ou m . En labsence de mesure au rotor, le rapport de transformation nest pas disponible et peut, de toute faon, tre choisi arbitrairement sans effet sur le comportement du modle vis--vis du stator. Le modle dpend alors de 4 paramtres constants (Rs , Rr , ls , lr ) et dune caractristique Lm (.). La saturation peut tre prise en compte de deux manires dans le modle : soit en notant les diffrentes valeurs de Lm en fonction de la variable de saturation dans une table, soit en cherchant interpoler cette caractristique par une fonction paramtre. Dans ce dernier cas, il est pratique de considrer le courant magntisant en fonction du ux (im (m )), ce qui sapproche facilement par un dveloppement polynmial de la forme :n

im =k=1

ak m k

(1.22)

1.1. Modles de la machine asynchrone ce qui scrit encore m = Lm (m ) im avec : Lm (m ) = 1n k=1 ak

37

m k1

(1.23)

Dautres auteurs prfrent utiliser un dveloppement de Lm en fonction du courant magntisant im . On peut alors prendre un dveloppement de la mme forme. Dans tous les cas, cela revient choisir une caractristique de la forme : Lm (m ) = 1+ Lm0 n1 k k=1 k m (1.24)

o Lm0 = a11 est linductance vide et k = ak+1 . Dans la pratique, on choisit un nombre a1 rduit de coefcients k non nuls, an de limiter le nombre de paramtres estimer. Quand on tient compte de la saturation, la sparation des fuites entre stator et rotor est thoriquement possible. Dans la pratique, elle est cependant difcile dterminer exprimentalement car les erreurs de mesure produisent des erreurs destimation des paramtres leves23 . On peut alors dcider de travailler sur des modles approchs o les fuites sont totalises soit au stator, soit au rotor. Lintrt de travailler sur un modle disposant dune meilleure identiabilit compense largement la lgre perte de prcision.

1.1.4 Les pertes ferLes variations du champ dans le circuit magntique de la machine entrane des pertes ferromagntiques. Une premire source de pertes magntiques est due aux courants de Foucault qui sont des courants induits par les variations du champ. Leur puissance est proportionnelle au carr de lamplitude du champ et au carr de la frquence. La solution pour les diminuer consiste utiliser des circuits matriaux feuillets. Les pertes par hystrsis sont un second type de pertes magntiques. Elles sont lies lpaisseur du cycle dhystrsis de la caractristique du matriau magntique employ. Leur puissance est proportionnelle la frquence et fonction de la surface du cycle parcouru. Cette surface augmente de manire non linaire en fonction de lamplitude du champ. Diffrentes approximations peuvent tre proposes pour paramtrer cette surface en fonction du champ maximum. Lune dentre elles propose de considrer que cette surface est proportionnelle au carr de lamplitude du champ. Dans tous les cas, ces pertes ne peuvent tre calcules que sur une priode. Les pertes par courant de Foucault sont bien modlises par une rsistance ajoute au modle en parallle avec linductance magntisante. Pour les pertes par hystrsis, on emploie gnralement le mme modle, qui prsente lavantage de permettre la modlisation de lensemble des pertes magntiques par une seule rsistance. Nanmoins,23

Ce rsultat sera dmontr dans le chapitre suivant.

38

Chapitre 1. Prliminaires

dans ce dernier cas, il sagit dune approximation. Pour tre plus prcis dans lcriture du modle, on pourrait paramtrer la valeur de la rsistance en fonction de la frquence et ventuellement du champ maximal. Nanmoins, dans ce chapitre, nous nous contenterons de considrer le cas o les pertes fer sont modlises par une seule rsistance additionnelle, najoutant quun seul paramtre aux modles prcdemment prsents. Selon ce que nous venons dnoncer, la rsistance doit tre place en parallle sur linductance magntisante qui, elle, correspond au ux principal. Si on nglige la saturation, on obtient alors un modle 6 paramtres (les rsistance Rs et Rr , les inductances de fuite ls et lr , linductance de magntisation Lm et la rsistance des pertes fer Rf ). Ce modle, nous le verrons par la suite, est thoriquement identiable ds lors que Rf nest pas inni. Cependant, comme pour le cas de la saturation, les fuites sont difcilement sparables car les erreurs de mesure ont un effet trop important. On utilise donc en pratique des modles 5 paramtres avec une seule inductance de fuite.

1.1.5 Le rgime permanent sinusodalEn rgime permanent sinusodal (RPS), chaque systme triphas {xa (t), xb (t), xc (t)} peut scrire sous la forme : xa (t) = X 2 cos( t + x ) (1.25) x (t) = X 2 cos( t + x 23 ) b 2 xc (t) = X 2 cos( t + x + 3 )

En rgime quilibr, on peut se contenter dtudier la premire phase entirement caractrise par lamplitude complexe X = X exp(j x ) (quivalente de vecteur de Fresnel). La composante de Fortescue, obtenue selon (1.1), scrit : x(t) = 3 X exp(j ( t + x )) (1.26) Les deux notations sont quivalentes un facteur 3 exp(jt) prs. Ainsi, lensemble des modles dvelopps jusqualors est galement valable pour reprsenter le schma quivalent par phase de la machine. Il suft simplement de remplacer les phaseurs complexes notant les tensions, courants et ux par les amplitudes complexes notant ces mmes grandeurs pour une phase de la machine. En notant g le glissement, la vitesse de rotation du rotor est lie la pulsation du stator par la relation p = (1 g). Reprenons lquation de la tension du rotor (1.5b). Elle scrit dsormais 0 = Rr I r + j r j p r o I r est lamplitude complexe du courant dune phase du rotor, ce qui scrit encore en divisant par g : j r = Rr i g r (1.27)

La FEM se comporte donc comme une rsistance de valeur 1g Rr . En ajoutant la rsisg tance Rr de lenroulement du rotor, on obtient donc une rsistance globale Rr corresg pondant la somme de la puissance convertie et des pertes Joule du rotor. Ce principe

1.1. Modles de la machine asynchrone

39

gnral est valable pour lensemble des schmas dvelopps prcdemment : pour obtenir le schma du rgime permanent, il suft de remplacer la FEM par une rsistance de la forme 1g R2 . g On observe que tous les paramtres du modle dynamique sont prsents dans le modle du rgime permanent sinusodal. Si, par des mesures en rgime permanent sinusodal, on parvient estimer lensemble de ces paramtres, on dispose alors non seulement du modle valable en rgime permanent mais galement du modle valable en rgime dynamique. Nous avons montr que la saturation peut tre prise en compte en prenant linductance magntisante Lm (ou Ls dans le cas des modles fuites totalises au rotor) comme une fonction de m gale soit im soit m ; ces grandeurs reprsentant les modules des complexes dnis par la transformation prsente au paragraphe 1.1.1. Dans le cas du RPS, la valeur efcace m dema (t) relative une phase et le module m (t) du vecteur m (t) sont dans un rapport 3 (voir quation (1.26)). Ainsi, on peut adapter la caractristique de saturation (1.24) pour obtenir une caractristique de saturation Lm (m ) dpendant de la valeur efcace de la variable de saturation : Lm (m ) = Lm ( 3 m ) (1.28) Dans le cas o on choisit le ux comme variable de saturation, il peut savrer pratique de travailler alors sur la FEM induite Em = m aux bornes de linductance de magntisation, celle-ci pouvant facilement tre dtermine partir de la tension du stator24 . Travaillant pulsation = 2f xe (f = 50 Hz en Europe), nous utiliserons dans la suite du chapitre les notations suivantes an dallger les critures : Xm = Lm , Xr = lr et Xs = ls (1.29)

1.1.6 Rcapitulatif des diffrents modlesEn RPS, les diffrents modles que nous avons obtenus peuvent tous se mettre sous une forme unique correspondant au schma quivalent par phase reprsent sur la gure 1.3. Dans le cas du modle fuites totalises au stator (voir gure 1.2), on considrera que : Xm = Lmr , Xs = Ns , Xr = 0 et R2 = R2r (1.30) Dans le cas du modle fuites totalises au rotor (voir gure 1.1), on considrera que : Xm = Ls , Xs = 0, Xr = Nr et R2 = R2s Limpdance du modle quivalent par phase scrit : Z = Rs + j Xs +24

(1.31)

1 Rf

+

1 j Xm

1 +

1 R j Xr + g2

(1.32)

La loi des mailles applique la maille du stator du schma de la gure 1.2 donne V s = (Rs + j Ns ) I s + E m .

40Is Rs jXs

Chapitre 1. PrliminairesjXr

1 0jXm

11111 00000Rf Em

111 000R2 g

Vs

11111111111111111111 00000000000000000000F IG. 1.3 Modle en rgime permanent sinusodal

o Xm peut tre une fonction du niveau de saturation. Dans le cas dune identication paramtrique de la saturation, nous considrerons dans la suite de ce chapitre le modle : Lm0 Lm = (1.33) 1 + A m N ce qui donne en rgime permanent : Xm = avec : Xm0 = Lm0 et = A Xm0 1 + Em N 3 N

(1.34)

(1.35)

Les diffrents modles envisageables sont au nombre de 12. En effet, un choix parmi trois pour la position des fuites (rotor, stator ou rpartie), un choix parmi deux pour la saturation (avec ou sans) et un choix parmi deux pour les pertes fer (avec ou sans). Ces diffrents modles sont explicits dans le tableau 1.2. La premire lettre indique si les fuites sont totalises au stator (S), au rotor (R) ou si les fuites sont rparties entre le stator et le rotor (D pour double). Les modles tenant compte de la saturation ont un s en seconde lettre ; les modles tenant compte des pertes fer contiennent la lettre f. Chaque modle se met sous la forme gnrale du schma de la gure 1.3 pourvu que certains paramtres soient xs une valeur nulle (Xs , Xr ou A) ou innie (Rf ). Les astrisques reprsentent les paramtres estimer ; ils sont au nombre de 4 6 suivant les modles. Le modle D nest pas identiable. Les autres modles sont thoriquement identiables mais, nous verrons par la suite que les modles fuites spares sont mal identiables en pratique.

1.1.7 MesuresLes mthodes que nous allons prsenter dans la suite de ce chapitre permettent de dterminer les valeurs numriques des paramtres partir de mesures en RPS. Deux types de mesures sont ncessaires : des mesures lectriques au niveau du stator (tension,

1.1. Modles de la machine asynchrone Paramtre R Rs () * R2 () * Rf () N1 (mH) * N2 (mH) 0 Lm0 (mH) * A (Wb4 ) 0 S D Rf * * * * * * * 0 * 0 * * * * * * 0 0 0 Sf * * * * 0 * * Df * * * * * * 0 Rs * * * 0 * * Ss * * * 0 * * Ds Rsf * * * * * 0 0 * * * * * * Ssf * * * * 0 * * Dsf * * * * * * *

41

TAB . 1.2 Les diffrents modles considrs

courant, puissance...) et une mesure mcanique : la vitesse de rotation du rotor. Pour les mesures lectriques, le plus classique est de considrer les trois mesures suivantes : la valeur efcace Vs de la tension dune phase ; la valeur efcace Is de son courant ; la puissance P . En rgime purement sinusodal (absence dharmoniques), on a P = 3 Vs Is cos() o est le dphasage tension/courant. On peut alors dterminer limpdance complexe quivalente dune phase Z = Z exp(j ) avec = arccos(P/(3 Vs Is )) et Z = Vs /Is . Si des harmoniques sont prsentes, il est alors prfrable de travailler sur les fondamentaux de la tension et du courant et de ne considrer que lnergie vhicule par le fondamental, ce que permettent certains appareils de mesure. Cette technique est utilise la section 2.1.2. Il est possible de remplacer la mesure de la puissance par une mesure directe du dphasage entre la tension et le courant. Cest cette mthode qui a t utilise la section 2.1.1. La mesure de vitesse doit avoir une bonne prcision. En effet, elle sert dterminer le glissement par la relation g = 1 p avec p proche de . Ainsi, une erreur relativement faible sur la vitesse peut engendrer une erreur relative importante sur le glissement. Le banc dessais destin lestimation des paramtres doit permettre de faire varier le point de fonctionnement. Pour cela, il est ncessaire de disposer dune charge mcanique variable, permettant dimposer un couple variable. Si cette charge est passive (frein poudre, gnratrice courant continu dbitant sur un rhostat), seules les zones de fonctionnement stable pourront tre explores (pour des glissement de lordre de quelques pourcents). Une charge asservie en vitesse permet, quant elle, deffectuer des mesures pour toutes les valeurs de la vitesse et donc du glissement25 . Il est galement intressant de disposer dune charge rversible, permettant ainsi dinverser le sens de transfert de lnergie et de faire travailler la machine asynchrone en gnratrice, ce qui correspond des vitesses suprieures la vitesse de synchronisme.On prendra quelques prcautions en mettant en route un tel systme dans une zone de fonctionnement correspondant une instabilit de la machine asynchrone car il se peut alors que lensemble du systme soit instable.25

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Chapitre 1. Prliminaires

Si lon souhaite identier la caractristique de saturation, il est ncessaire de faire varier le ux et pour cela la tension. Pour ce faire, on utilise gnralement un alternostat (transformateur variable).

1.2

Commande ux rotorique orient

La technique de commande vectorielle du couple la plus rpandue sappuie sur les quations dans le repre du ux du rotor. On parle de ux rotorique orient (FRO ou en anglais FOC pour ux oriented control). Cette mthode a t dveloppe la n des annes 1980 au sein de Siemens [Blaschke72]. Son intrt se trouve dans une simplication de lexpression du couple. Elle est gnralement employe pour la commande vectorielle des machines de faible et moyenne puissance ; pour les machines de forte et de trs forte puissance o leffet de londuleur devient sensible26 , on prfre gnralement les techniques appeles commandes directes du couple (DTC pour direct torque control en anglais).

1.2.1 PrincipeNotons R(x) la matrice de rotation dnie par : R(x) = cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) (1.36)

On dnit les composantes (d,q) dune grandeur du stator en appliquant une rotation dangle ps : xsd xs (1.37) = R(ps ) xsq xs Pour les grandeurs du rotor, les composantes (d,q) sont obtenues par une rotation dangle pr tel que s = r + p o est la position du rotor : xr xr = R(pr ) xrd xrq (1.38)

Lexpression gnrale du couple dans la machine asynchrone scrit : C = k(isd rq + isq rd )26

(1.39)

Les constantes de temps des machines augmentent avec leur taille et leur puissance ; mais les temps de commutation des composants semi-conducteurs utiliss dans les onduleurs (transistors, IGBT, GTO) augmente plus rapidement encore ce qui fait que leffet de londuleur est plus critique pour les fortes puissances.

1.2. Commande ux rotorique orient

43

avec k = 3pMsr . En imposant la relation rq = 0, cest--dire en choisissant un repre 2Lcr align avec le champ du rotor, on obtient une expression simplie du couple : C = kisq rd (1.40)

qui ressemble lexpression du couple dune machine courant continu ou encore celle dune machine synchrone autopilote. La commande du couple se fait alors travers lasservissement des grandeurs rd et isq . Les variables pertinentes pour cette commande sont les courants du stator et les ux du rotor. Commenons par crire les quations en fonction de ces grandeurs tout en tenant compte du fait que rq = 0. Il faut pour cela exprimer les ux du stator et les courants du rotor en fonctions des variables choisies. A partir des expressions des ux du rotor (1.4), on obtient : ird = irq 1 (rd Misd ) Lr M = isd Lr (1.41) (1.42)

En remplaant dans les expressions des ux du stator (1.4), on obtient : sd = Ls isd + sq = Ls isq o = 1 2 Msr Lcs Lcr

M rd Lr

(1.43) (1.44)

est le coefcient de dispersion des fuites.

Avec ces relations, on peut rcrire les quations aux tensions : disd M drd + vsd = Rs isd s Ls isq + Ls dt Lr dt M disq vsq = Rs isq + s (Ls isd + rd ) + Lcs Lr dt Rr drd Rr M isd + rd + 0 = Lr Lr dt Rr M 0 = isq + r rd Lr (1.45) (1.46) (1.47) (1.48)

1.2.2 EstimateursAn dasservir le couple par la mthode FRO, il convient destimer rd ainsi que langle s de changement de repre des grandeurs du stator. Lquation (1.48) se rcrit : Rr M isq r = Lr rd (1.49)

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Chapitre 1. Prliminaires

Cette relation permet de dterminer langle r de changement de repre des grandeurs du rotor condition de connatre rd . Pour le stator, il suft dajouter p : s = r + p (1.50)

o r est calcul par intgration de r . La connaissance de cet angle permet de calculer les composantes de Park des courants mesurs et de calculer les tensions triphases fournir par londuleur partir des composantes (d,q). Lestimation de rd est donne par lquation (1.47) : rd peut tre estim partir de isd rM grce une fonction de transfert du premier ordre H(s) = LRs+Rr . r

1.2.3 Boucles de rgulationIl convient dasservir les grandeurs intervenant dans lexpression du couple. rd est gnralement rgul sa valeur nominale alors que isq est asservi de manire faire vard C rier le couple. Pour une rfrence C , on asservit isq une valeur de rfrence i = k sqC ou encore C = krd . Gnralement lasservissement du ux inclut un asservissement de la composante directe du courant an dviter que le courant ne dpasse les valeurs maximales autorises. rd

Lquation (1.45) de la tension vsd contient la fois des drives du courant et du ux. M On peut faire disparatre les drives du ux en retranchant Lr fois lquation (1.47) lquation (1.45), ce qui donne : disd Rr M vsd = Rt isd s Ls isq + Ls rd dt L2 r o Rt = Rs + RrM Lr 2

(1.51)

. Cette quation se rcrit sous la forme : vsd = Rt isd + Ls disd + ed (t) dt (1.52)

rM avec ed (t) = s Ls isq RL2 rd . Notons que le terme de perturbation ed ne fait pas r intervenir de terme en isd .

Pour laxe q, il est prfrable de dcomposer le terme s car il fait intervenir isq travers s . On obtient alors : disq + eq (t) (1.53) vsq = Rt isq + Ls dtM M avec eq (t) = p(Ls isd + Lr rd ) + pRrLr Ls sq qui ne contient pas de terme linaire en isq . rd Remarquons que, bien que passablement plus complique que les FEM des machines courant continu et synchrones auto-pilotes, cette FEM contient bien le produit de la vitesse et du ux ; terme qui est dailleurs prpondrant. i2

1.2. Commande ux rotorique orient

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Des correcteurs PI sont gnralement utiliss pour asservir les composantes isd et isq du courant. La commande peut gale