hay - ki thuat tim diem roi trong amgm.doc

8/18/2019 Hay - Ki thuat tim diem roi trong AMGM.doc

1/67

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

• Q! "#$ %&'( )*'): Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể

sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng inh !t b"i toán để đ#nh h$%ng cách gi&i nhanh

h'n(

• Q! "#$ +, -'(/ )ấu *+, trong bất đẳng thức có -ai tr. rất /uan tr0ng( 1ó giú2 ta

3iể tra tính đúng đ4n c5a chứng inh6 đ#nh h$%ng cho ta cách gi&i( 7hính -8 -9 3hi gi&i

các b"i toán chứng inh bất đẳng thức ho;c các b"i toán cn ?u@n cho 8nh

thói /uAn t8 điều 3i@n c5a dấu bBng ;c dC !t số b"i 3hDng êu c=u tr8nh b" 2h=n n"(

• Q! "#$ 01 "2') 34'( ")56 $78 +, -'(/ 7húng ta th$Eng 4c sai ?= -ề tính x& ra

đFng thEi c5a dấu *+, 3hi á2 dụng ?iên tiG2 ho;c song h"nh nhiều bất đẳng thức( Hhi á2

dụng ?iên tiG2 ho;c song h"nh nhiều bất đẳng thức th8 các dấu *+, 2h&i cCng đ$Ic thJa Kn

-%i cCng !t điều 3i@n c5a biGn(

• Q! "#$ -69'/ Đối -%i các b"i toán c


2/67

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

=. K> ")?" "@$) () - %:

=.= K> ")?" "@$) () $ -E'

B*6 =/ 7ho Q số th


3/67

G6E6/

S2 dụng bất đẳng thức 7auch6 ta có:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PP

P

P

P

P

P

Q

P

PPPQP

PP

PP

PP

QP

P(

P(

PP

P(

P

P(

P

P

PPP

PQQ

Q

Q

=

++

+++

+++

≤

++++++

+++++≤

++++

+++≤

+++

+

c

c

b

b

a

a

cc

bb

aa

cba

c

c

b

b

a

a

cbacba

abc

( )( )( )QQ PPPP cbaabc +++≤+⇒ Tđ2cU

B*6 / 7ho O số th


4/67

( ) ( ) ( ) ( )QQQ OQ QPQQQ abcabcabcabccabcabcba +=+≥+++++⇒( ) ( ) ( ) ( )QQ PQPPP abcabcaccbba +≥+++++⇒ Tđ2cU

B*6 / 7ho O số th


5/67


6/67

G6E6/

S2 dụng bất đẳng thức 7auch ta có:

QQ

QO

VO

Q

O

PQ

O(

O(O

P(

O(

O(Q

O(

O(O

P

OO

O==≥++=+=

aa

aa

aa

aa

aa A

)ấu *+, x& ra 3hi -" chM 3hi OO

O a

a= ha Q V=a

^9 ZW11 c5a Q VO

Q= A

B*6 / 7hứng inh rBng: Y6 QUT

P>>∀≥

−+ ba

baba

G6E6/


( ) ( )

( ) ( )

( )Q

P((Q

PPQ =

−−≥

−+−+=

−+

babbab

babbab

baba

B*6 / 7hứng inh rBng: ( )( )Y6 Q

P

VO

>>∀≥+−

+ babba

a

G6E6/


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )QP

O

P

O

P

P(

O

P(

O

P((V

P

O

P

O

P

P

O

P

O

P

P

V

V

O

=−++

−

++−≥

−++

−+++++−=

+−+

bbba

bbba

bbba

bbba

bbaa

=. K> ")?" () 3:6 ;


7/67

B*6 =/ 7ho ba số th


8/67

( )( )( ) abcc pb pa pR

P≤−−−

G6E6/

Wa có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )abc

ac pcb pba p

a pc pc pb pb pa p

a pc pc pb pb pa pc pb pa p

R

P

O

O(

O

O(

O

O

O(

O(

O

=+−+−+−≤

−+−−+−−+−≤

−−−−−−=−−−

B*6 / 7hoO

6666 cba

pbCAa BC c AB ABC ++

====∆ ( 7:

++≥

−+

−+

− cbac pb pa pPPP

OPPP

G6E6/

Wa có:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++≥

−+−+

−+−+

−+−≥

−−+

−−+

−−≥

−

+−

+

−

+−

+

−

+−

=−

+−

+−

cba

a pc pc pb pb pa p

a pc pc pb pb pa p

a pc pc pb pb pa pc pb pa p

PPPO

O

P

O

P

O

P

PPP

PP

O

PPP

O

PPP

O

PPPP

=. K> ")?" () $ '()P$) 3E&

Wrong 3` thu9t gh2 c;2 ngh#ch đ&o ta ứng dụng bất đẳng thức sau

^%i ∗∈ N n -" Y6(((66 OP >n x x x th8

( ) P

((PP

(((O

OP

OP n x x x

x x xn

n ≥

++++++

7hứng inh bất đẳng thức trên :

Wa có -%i Y6(((66 OP >n x x x th8

( ) OOP

OP

OP

OP(((

P((((

P((

PP((( n

x x xn x x xn

x x x x x x n

n

nn

n

n =≥

++++++

^%i Q=n -" Y66 QOP > x x x th8

( ) _PPP

QOP

QOP ≥

++++ x x x

x x x

R


9/67

B*6 =/ 7ho ba số th


10/67

O

Q≥+

++

++ ba

c

ac

b

cb

a

)o đó

( )O

PO

QOOO cba

cbaac

b

cb

a

ba

c ++=

−++≥

++

++

+ Tđ2cU

B*6 / 7ho ba số th


11/67

O

(O

(O

(( x z z y y x

z y x +++

≤

)o trong ta giác6 tng đ! d"i c5a hai cLnh ?uDn ?%n h'n đ! d"i cLnh c.n ?Li nên :

Y66 > z y x


xyz zx yz xy x z z y y x

=≥+++

(O

(O

(O

ja ( )( )( ) abccbabacacb ≤−+−+−+ Tđ2cU

B*6 F/ 7ho (666 bCAa BC c AB ABC ===∆ 7:

Q≥−+

+−+

+−+ cba

c

bac

b

acb

aJ=

G6E6/

Đ;t:

+=

+=

+=

⇔

>=−+

>=−+

>=−+

O

O

O

Y

Y

Y

y xc

x zb

z ya

zcba

ybac

xacb

Hhi đó -G trái c5a bất đẳng thức J= tre th"nh:

z

y x

y

x z

x

z y

OOO

++

++

+

Wa có:

Q(

O

O(

O

O(

O

O

O

P

O

P

O

P

OOO

=++≥

++

++

+=+++++

z

y

y

z

z

x

x

z

y

x

x

y

z

y

y

z

z

x

x

z

y

x

x

y

z

y x

y

x z

x

z y

ja Q≥−+

+−+

+−+ cba

c

bac

b

acb

a Tđ2cU

B*6 / 7ho (666 bCAa BC c AB ABC ===∆ 7:

cbacba

c

bac

b

acb

a ++≥−+

+−+

+−+

OOO

J=

PP


12/67

G6E6/

Đ;t:

+=

+=

+=

⇔

>=−+

>=−+

>=−+

O

O

O

Y

Y

Y

y xc

x zb

z ya

zcba

ybac

xacb

Hhi đó bất đẳng thức J= t$'ng đ$'ng -%i bất đẳng thức sau:

( ) ( ) ( ) z y x z y x

y x z

x z y ++≥+++++

VVV

OOO

Wa có:

( ) ( ) ( )

y x z x

yz

z

xy

z

xy

y

zx

y

zx

x

yz

x

yz

z

xy

z

xy

y

zx

y

zx

x

yz

z

xy

y

zx

x

yz

z

y x

y

x z

x

z y

++=++≥

++

++

+=++≥

++

++

+

(((

O

P

O

P

O

P

VVV

OOO

ja

cbacba

c

bac

b

acb

a ++≥−+

+−+

+−+

OOO

Tđ2cU

B*6 / 7hoO

6666 cba

pbCAa BC c AB ABC ++

====∆ ( 7:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )c pb pa p p

c pb pa p −−−≥

−+

−+

− OOOPPP

J=

G6E6/

Wa có: YO

>−+=− acba p

W$'ng t−>−

c p

b p

Đ;t: z y x p

zc p

yb p

xa p

++=⇒

>=−

>=−

>=−

Y

Y

Y

PO


13/67

Hhi đó bất đẳng thức J= t$'ng đ$'ng -%i bất đẳng thức sau:

xyz

z y x

z y x

++≥++OOO

PPP

Wa có:

xyz

z y x

zx yz xy x z z y y x

x z z y y x z y x

++=++=++≥

++

++

+=++

PPPPPP(

PP(

P

PP

O

PPP

O

PPP

O

PPPP

OOOOOO

OOOOOOOOO

ja ( ) ( ) ( ) ( )( )( )c pb pa p p

c pb pa p −−−≥

−+

−+

− OOOPPP

Tđ2cU



14/67

G6E6/

Đ;t:

−=−

=

=

⇒

−=−

=⇒

=+

=+

y xba

x y

y x

y xba

xy

ycb

xca P

P

P

Hhi đó -G trái c5a bất đẳng thức J= tre th"nh:

( )V

PPPOOO

≥++− y x y x

Wa có:

( ) ( )

( ) ( ) VOO(O

POOO

O

P

O

PPPPP

OO

OO

OO

OO

OO

OO

OO

OOOO

=+−++−

≥+−+++−

=

+++−

=++−

=++−

y x y x

y x y x

y x y xy x

y x y x y x y x

^9 ( ) ( ) ( )V

PPP

OOO ≥

++

++

− cbcaba Tđ2cU

B*6 / 7ho x, y, z ?" các số th


15/67

y y x x

z z

x x z z

y y

z z y y

x x

y y x x

zxy z z

x x z z

yzx y y

z z y y

xyz x x

y y x x

xy z

x x z z

zx y

z z y y

yz x A

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O(

O

O(

O

O(OOO

+

+

+

+

+

≥

+

+

+

+

+

≥

+

+

+

+

+

≥

Đ;t:

( )

( )

( )

−+=

+−=

++−=

⇒

+=

+=

+=

cba z z

cba y y

cba x x

y y x xc

x x z zb

z z y ya

OV_

P

VO_

P

VO_

P

O

O

O

Hhi đó

( ) OQPOX_

O(((Q(((Q(VX

_

O

VX_

O

OVVOVO

_

O

QQ =++−=

++−≥

+++

+++−≥

−++

+−+

++−≥

c

b

b

a

a

c

b

c

c

a

a

b

c

b

b

a

a

c

b

c

c

a

a

b

c

cba

b

cba

a

cba A

)ấu *+, x& ra P===⇔ cba

^9 ZW11 c5a A ?" O

. K> ")?" $)' 36 W6

Điể r'i trong các bất đẳng thức ?" giá tr# đLt đ$Ic c5a biGn 3hi dấu *+, trong bất

đẳng thức x& ra(

Wrong các bất đẳng thức dấu *+, th$Eng x& ra e các tr$Eng hI2 sau:

• 7ác biGn có giá tr# bBng nhau( Hhi đó ta g0i b"i toán có cc t!" đạt đ#$c tại t%m

• Hhi các biGn có giá tr# tLi biên( Hhi đó ta g0i b"i toán có cc t!" đạt đ#$c tại bi&n

7kn cứ -"o điều 3i@n x& ra c5a dấu *+, trong bất đẳng thức ta xt các 3` thu9t ch0n

điể r'i trong các tr$Eng hI2 trên

.= K> ")?" $)' 36 W6 "W&'( -*6 "&@' $X$ "WP ;E! W8 -69'

lt các b"i toán sau:

P\


16/67

B*6 "&@' =/ 7ho số th


17/67

^\ `/ Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cp !"

a

a P6

α ta c# thể chọn các các

cp !" !au$

aa

P6α hoc

aa α 6 hoc

aaα

P6 .

B*6 "&@' F/ 7ho số th


18/67

PX

PV

V

P

VP

V

P

V

P=⇒=⇒

=

=⇒= α

α

α α

ab

ab

ab

G6E6/

Wa có:

V

P

V

P

O

O

−≥−⇒

≤

+≤

ab

baab

V

P]

V

P(P\RP\

PPXOP\

PPX =−≥−≥−+= ab

ababab

abab A

)ấu *+, x& raO

P

V

P ==⇔=⇔ baab

^9 ZW11 c5a A ?"V

P]

B*6 F/ 7ho số th


19/67

Wa có:Q_

OV

QX(OQ

O

_

OV

OQ_(

_(

OVQ

OV

OQ__

OV

O

Q

OOO

=+≥

+≥+++= a

aa

aa

aa

a A

)ấu *+, x& ra X_

OV

O

=⇔=⇔ aa

a

^9 ZW11 c5a A ?" Q_

B*6 / 7ho Q số th


20/67

PQ\OQQ

V

QOV(

VO

O

_(

OO

Q(

V

QO

V

Q

OV

V

VO

_

O

Q

V

Q

=+++≥

+++++≥

+++

++

++

+=

cba

c

c

b

b

a

a

cba

c

c

b

b

a

a A

)ấu *+, x& ra V6Q6O ===⇔ cba

^9 ZW11 c5a A ?" PQ

B*6 / 7hoQ số th


21/67

baba A

P

P+++=

S86 Z[ ")\5'( ( Z*: VP(

P((V

PPV =≥+++=

baba

baba A

^9 ZW11 c5a A ?" V(

N(!9' ')]' %86 Z[: ZW11 c5a A ?" V PaPP ==⇔===⇔ bba

ba ( Hhi đó

PO ≥=+ ba trái gi& thuGt (

a)]' "2$)/

)o A ?" biểu thức đối xứng -%i a, b nên ta d< đoán ZW11 c5a A đLt tLi

O

P== ba

' đF điể r'i:

V

PO

O

P

OPP

O

P

O

P=⇒=⇒

==

==

⇒== α α

α α α

ba

ba

ba

^56 (6E6 3_'(: ( ) \QRQP(

P(V((VVQQ

PPVV V =−≥+−≥−−

+++= ba

bababa

baba A

)ấu *+, x& ra O

P==⇔ ba

^9 ZW11 c5a A ?" \



22/67

O

P=== cba

' đF điể r'i:

V

PO

O

P

OPPP

O

P

O

P=⇒=⇒

===

===⇒=== α

α

α α α α

cba

cbacba

G6E6/

( )

O

PQ

O

_PO

QP(

P(

P(V(V(VX

QQQPPP

VVV

X

=−≥

++−≥

−−− +++++=

cbacba

cba

cbacba

cba A

)ấu *+, x& raO

P===⇔ cba

^9 ZW11 c5a A ?"O

PQ

B*6 F/ 7ho Q số th


23/67

G6E6/

V

O]O(

V

_

V

_

Q

P(

V

_

V

_P(_

V

_

PPP

V

Q

R

P(

R

P(

R

P(

R

P(

R

P(

R

P(((_

V

Q

V

Q

V

Q

R

P

R

P

R

P

R

P

R

P

R

P

Q

_OOO

OOO

=+≥++

+≥+≥

+++≥

+++

++++++++=

cbaabc

cbacbacbacba

cbacbacbacba A

)ấu *+, x& raO

P===⇔ cba

^9 ZW11 c5a A ?"V

O]

B*6 / 7ho O số th


24/67

' đF điể r'i:

VO

O

P

O

O

P

=⇒=⇒

=+=+=+

=+

=+

=+

⇒== α

α

α α α α c

ba

b

ac

a

cb

ba

c

ac

b

cb

a

cba

G6E6/

+++++++++

+++≥

++++++

++++++

++

++

+=

c

b

c

a

b

a

b

c

a

c

a

b

c

ba

b

ac

a

cb

ba

c

ac

b

cb

a

c

ba

b

ac

a

cb

c

ba

b

ac

a

cb

ba

c

ac

b

cb

a A

V

Q

V(

V(

V(((X

V

Q

VV

V

X

O

P\

O

_Q((((((X(

V

QQ X =+=+≥

c

b

c

a

b

a

b

c

a

c

a

b

)ấu *+, x& ra cba ==⇔

^9 ZW11 c5a A ?"O

P\

B*6 / 7ho O số th


25/67

)ấu *+, x& ra

O

P

P

OOO

==⇔

=+

=+⇔ ba

ba

abba

^9 ZW11 c5a A ?" V

B*6 L/ 7ho O số th


26/67


27/67

( )

( ) abbaababba

ababab

abba

ababab

abba A

V

PO

V

V

PO

OO

P(O

V

P

V

P(VO

O

PO

V

P

V

PV

O

P

P

OOO

OO

OO

++

+

=++

++

≥

+++

≥

+++++

=

( )

+≤

+

+++

≥ O

)o

OV

PO

VO

OO

baab

baba

( )

]OP

\

O\

O

=+≥

++

≥ba

)ấu *+, x& raO

P

P

V

PV

OOO

==⇔

=+

=

=

=+

⇔ ba

ba

ba

abab

abba

^9 ZW11 c5a A ?" ]

B*6 / 7ho O số th


28/67

G6E6/

\

OOOO

P\

O

P(

O

P(

O

P(

O

P(

P\

O

P

O

P

O

P

O

P

P

OOOOQQ

\OOOOQQ

OOOOQQ

abbaabbaba

abbaabbaba

abbaabbaba A

+++++≥

+≥

+++++

=

( ) UT

O\Q

baabba +++≥

( )

OY

V

PP

O\

O

)o

V

UT

O\

O

QQ

=+

≥

+≤

+

++

≥ ba

abba

ba

)ấu *+, x& raO

P

P

O

P

O

PP

OOQQ

==⇔

=+

=

==+

⇔ ba

ba

ba

abbaba

^9 ZW11 c5a A ?" OY



29/67

+++≤

++ z z y x z y xPPPP

PX

P

O

P

7!ng thAo -G Q bất đẳng thức trên6 ta có:

PVVV

PX

P

O

P

O

P

O

P=

++≤

+++

+++

++=

z y x z y x z y x z y x %

)ấu *+, x& raV

Q

Q

VPPP===⇔===⇔ z y x

z y x

^9 ZW[1 c5a % ?" P

. K> ")?" ')]' ")9 )d %:

B*6 =/ W8 ZW[1 c5a : ( ) ( )P6Y6 PO ∈= a&aa A

G6E6/

)o YP6 >&aa nên á2 dụng bất đẳng thức 7auch ta có:

( ) ( )

O]

V

O]

R(

O

P

Q

OO

O

POO

O

POO

O

PQ

O

≤⇒

=

++≤==

A

a&aa

a&a.aa&a A

)ấu *+, x& raQ

OOO =−=⇔ aa

^9 ZW[1 c5a A ?"O]

V

B*6 F/ W8 ZW[1 c5a : ( ) ( )O6Y6 OQ ∈= a&aa A

G6E6/


( )PX

O]

V

QX

Q

PQX(((Q

PV

=

−+++≤−= aaaaaaaa A

)ấu *+, x& raO

QQX =−=⇔ aa

^9 ZW[1 c5a A ?"PX

O]

B*6 / 7ho các số th


30/67

G6E6/


( ) ( ) ( ) QXQ

QOQPOOX

X

PQOQPOOX

X

PQ

=

++−+−≤+−−=

babababa A

)ấu *+, x& ra

==⇔=+=−=−⇔O

YXQOQPOOX

b

ababa

^9 ZW[1 c5a A ?" QX



31/67

accbba A +++++=

a)]' "2$)/

)o A ?" biểu thức đối xứng -%i a, b, c nên ta d< đoán ZW11 c5a A đLt tLi

=+

=+

=+

⇒===

Q

O

Q

O

Q

O

Q

P

ac

cb

ba

cba

G6E6/


( ) ( )

( )

( )JGK

JFK

J=K

O

Q

O

(

O

Q

O

Q

O

(O

Q

O

Q

O

(O

Q

Q

O(

O

Q

++≤+

++≤+

++≤+=+

ac

ac

cb

cb

ba

baba

7!ng thAo -G các bất đẳng thức J=6 JF -" J ta đ$Ic:

( )X

O

Q

O(QO

(O

Q =+++

≤+++++=cba

accbba A

)ấu *+, x& raQP

Q

O

QO

Q

O

===⇔

=+

=+

=+

⇔ cba

ac

cb

ba

^9 ZW[1 c5a A ?" X

# *+ 'rong bài toán !( d)ng *+ thut nh-n thê h/ !", ta !0 !( d)ng *+ thut chọn

1iể r2i 1ể t3 h/ !" cho ph4 h5p(

QP


32/67

B*6 L/ 7ho Q số th


33/67

( ) ( )

JGK

JFK

J=K

QO

]V

QO

]V

QO

]

O

QV(

Q

PQV

Q

PV

OO

OO

OOOO

cc

bb

aaaa

−≤−

−≤−

−=

+−≤−=−


( )QO

OPVVV

OOO

OOO cbacba ++−

≤−+−+−

" thAo bất đẳng thức una3o-s3i ta có

( ) ( ) ( )( )

Q

PPP

O

OOO

OOOO

cbacba

cbacba

++≥++⇔

++++≤++

nên( )

QQQO

QOP

VVV

O

OOO =

++−

≤−+−+−

cba

cba Tđ2cU

. K> ")?" )b -?$

.=B*6 "&@' =

C)& $@$ %: ")X$ +\'( ,- b- c ")e8 f' 361 g6d' P=++ cba Jh. Ti (6@ "WP ')e

')," $78 -6 ")


34/67

bbQ

O

_

PO ≥+ JF )ấu *+, x& raQ

P=⇔ b

ccQ

O

_

PO ≥+ J )ấu *+, x& raQ

P=⇔ c

7!ng thAo -G các bất đẳng thức J=j JF -" J ta đ$Ic:

( )Q

P

Q

O

Q

O

Q

P OOOOOO ≥++⇒=++≥+++ cbacbacba (

)ấu *+, x& raQ

P===⇔ cba

^9 ZW11 c5a A ?"Q

P

B*6 =/ 7ho các số th


35/67

G6E6/


abbaba QQP Q QQQQ =≥++ J= q bccb QPQQ ≥++ JF q caac QPQQ ≥++ J


( ) ( )( ) Q(QQO

QQO

QQQ

QQQ

≥+++⇔

++≥+++

cba

cabcabcba

QQQQ ≥++⇔ cba Tđ2cU

B*6/ 7ho Q số th


36/67


abbaba OVVROOOO ++≥++

abbaba ++≥++⇔ OOVOO Tđ2cU



37/67

7h0n

===

ac

n

.

P

O

ta đ$Ic:

( ) J=K Pdo P

P

P

POOOOQQ

OOQQ

QOOOOOQQQ

=++

=++

=++

≤++

⇒

+≥+⇒++=++≥++

abccba

c

abcabba

abc

abbaba

abbaba

aabbaaaabbaaba

W$'ng t


38/67


39/67

acc

ac

a OO

(OOO

OO

OO

O =≥+

bcc

bc

b OO

(OOO

OO

OO

O =≥+

abbaba O(OOOOO

=≥+

7!ng thAo -G Q bất đẳng thức trên6 ta có:

( ) PY\(OOQQ OOO ==++≥++ cabcabcba

. B*6 "&@'

C)& $@$ %: ")X$ +\'( ,- b ")e8 f' 361 g6d' PQQ ≤+ba . Ti (6@ "WP Zl' '),"

$78 -6 ")


40/67

Hhi đó ta có ?Ei gi&i sau:

G6E6/


aaaQ

QQQ

Q

P

_

P(

_

P((Q

_

P

_

P=≥++

bbQ

Q

Q

V

_

R

_

R ≥++

7!ng thAo -G các bất đẳng thức trên ta đ$Ic:

( ) ( )( )[ ] QQQQQ

QQ

QQOQV

VQ

PO

≤++≤+⇒

+≥++

baba

baba

)ấu *+, x& ra 3hi

=

=

⇔

=

=

Q

QO

Q

Q

_

R

_

P

Q

Q

Q

Q

b

a

b

a

^9 ZW[1 c5a A ?" Q QQ



41/67

)ấu *+, x& ra QQXV

Q

X

V

Q

Q

X

V

Q

O

O

O

=++⇒

=

=

=

=++

⇔

=

=

=

=++

⇔ γ β α

γ

β

α

γ

β

α

c

b

a

cba

c

b

a

cba

7h0n γ β α 66 sao cho γ β α QXV ==

Wa có h@ 2h$'ng tr8nh:

QXV

QQXV

==

=++

γ β α

γ β α

=

=⇒=⇒

=

++⇒=++⇒

=

=

=++

⇒

Q

PX

Q

R

V

QQ

O

Q

P

O

P Q

Q(Q

V

X(X

V

V

Q

V

X

V

QQXV

γ

β

α

α α α α

α γ

α β

γ β α

Hhi đó ta có ?Ei gi&i b"i toán nh$ sau

G6E6/


VP


42/67

aaa RV(VOVV OO =≥+

bbb RQ

X(RO

Q

RX

OO =≥+

ccc RQ

PX(QO

Q

PXQ

OO =≥+

7!ng thAo -G Q bất đẳng thức trên6 ta đ$Ic:

( )

POQXV

OVRQ

PX

Q

RVQXV

OOO

OOO

≥++⇒

=++≥+++++

cba

cbacba

)ấu *+, x& ra

=

=

=

⇔

=

==

=++

⇔

Q

V

Q

O

P

Q

PXQ

Q

RX

VV

Q

O

O

O

c

b

a

c

b

a

cba

^9 ZW11 c5a A ?" PO

L. K> ")?" $'( ")9



43/67

QOOO

OOOcba

ba

c

ac

b

cb

a ++≥

++

++

+

G6E6/


Q

O

_

O(

OO

_

O

O

OO acb

cb

acb

cb

a=+

+≥++

+ J= q

Q

O

_

O

O

O bac

ac

b≥

++

+ JF q

Q

O

_

O

O

O cba

ba

c≥

++

+J


( ) ( )Q

O

_

Q

OOO

OOOcbacba

ba

c

ac

b

cb

a ++≥

+++

++

++

+

QOOO

OOOcba

ba

c

ac

b

cb

a ++≥+++++⇒ Tđ2cU

# *+ 'rong bài toán !( d)ng *+ thut c>ng thê h/ !", ta !0 !( d)ng *+ thut chọn

1iể r2i ;à *+ thut h? bc 1ể t3 h?ng t( cho ph4 h5p (

V2 +m/

• Đối -%i -*6 = bất đẳng thức đK cho có tính đối xứng -%i a, b, c nên ta d< đoán

dấu *+, x& ra 3hi cba == ( Hhi đóP

OO

aa

a

b

a== 6 ta ch0n

P

a(

• Đối -%i -*6 F bất đẳng thức đK cho có tính đối xứng -%i a, b, c nên ta d< đoán

dấu *+, x& ra 3hi cba == ( Hhi đóQOO

OOa

aa

a

cb

a=

+=

+6 uốn sử dụng bất đẳng thức

7auch để ?" ất pu th8 ta c!ng thê_

O cb +( 7h0n pu ?" số _ -8

Q_

O

_

O aaacb=

+=

+

(

B*6 / 7ho Q số th


44/67

c

a

a

c

b

c

c

b

a

b

b

a

ca

ac

bc

cb

ab

baOOOOOOQQQQQQ

+++++=+

++

++


abb

ab

b

aO(O

OO

=≥+ J=q baa

bO

O

≥+ JF q bcc

bO

O

≥+ J q

cbb

cO

O

≥+ J q caa

cO

O

≥+ J q acc

aO

O

≥+ JL

7!ng thAo -G các bất đẳng thức t J= đGn JL ta đ$Ic:

( ) ( )

( )cbac

a

a

c

b

c

c

b

a

b

b

a

cbacbac

a

a

c

b

c

c

b

a

b

b

a

++≥+++++⇒

++≥++++++++

O

VO

OOOOOO

OOOOOO

( )cbacaacbccbabba ++≥+++++⇒O

QQQQQQ

Tđ2cU

B*6 / 7ho Q số th


45/67

OOQQ

Qbcc

b

c

b≥++ JF q OO

QQ

Qcaa

c

a

c≥++ J

7!ng thAo -G các bất đẳng thức t J=6 JF -" J ta đ$Ic:

( ) ( )OOOOOOQQQ

QO cbacbaa

c

c

b

b

a ++≥+++

++

OOO

QQQ

cbaa

c

c

b

b

a ++≥++⇒ Tđ2cU



46/67

cbbaab

cV

O

V

≥+++ J


( ) ( )cbacbaab

c

ca

b

bc

a++≥+++++ VQ

O

V

O

V

O

V

cbaab

c

ca

b

bc

a++≥++⇒

O

V

O

V

O

V

Tđ2cU

B*6 / 7ho Q số th


47/67

KJ=n O

OOO

QQQ

cbacabcab

ba

c

ac

b

cb

a++≥

+++

++

++

+

;t 3hác ta có: n.n.n.n.n.n. accbbacba ++≥++ +++

7h0n

=

=

P

P

n

.

ta đ$Ic:

KJFn OO

OOO

OOO

cabcabcba

cabcabcba

++≥

++⇒

++≥++

7!ng thAo -G các bất đẳng thức J=o-" JFo ta đ$Ic:

OOO

OOO

OOOQQQ cabcabcba

cbacabcab

ba

c

ac

b

cb

a +++++≥++

+++

++

++

++

⇒

O

Q

O

OOOQQQ

=++

≥+

++

++

⇒ cba

ba

c

ac

b

cb

a Tđ2cU

B*6 =p/ 7ho Q số th


48/67

QQQ

O

\

O

\

O

\

cbaa

c

c

b

b

a++≥++⇒ Tđ2cU

B*6 ==/ 7ho Q số th


49/67

VV

O bacb

ac≥

++

+ JF q

VV

O cbac

ba≥

++

+ J


KJ=n VV

VVVV

OOO cbaaccbbac

ba

b

ac

a

cb++≥

++

++

++

++

++

+

" ta có:

KJFn V

O

VP(

PO

PP

baabbaba +≥=≥+ q

KJGn VPP

cbcb +≥+ q KJHn

VPP

acac +≥+

7!ng thAo -G các bất đẳng thức J=o6 JFoj Jo -" Jo ta đ$Ic:

VVV

VV

V

OO

OVVV

OOO

accbbacbacbaaccbbac

ba

b

ac

a

cb

++

++

++++≥+++

++

++

++

++

++

+

cbac

ba

b

ac

a

cb OO

O

OOO ++≥+

++

++

⇒ Tđ2cU



50/67

G6E6/


( )Q

V

_

VO acb

cb

a≥

++

+ J=q

( )Q

V

_

VO bac

ac

b≥

++

+ JF q ( ) cba

ba

cR

PXO

≥+++

J

7!ng thAo -G các bất đẳng thức t J=j JF -" J ta đ$Ic:

( ) ( ) cbacbaba

c

ac

b

cb

aR

Q

V

_

R

_

PQPXOOO

++≥++++

++

++

( )bacba

c

ac

b

cb

a−−≥

++

++

+⇒ XV

_

PPXOOO

Tđ2cU

. K> ")?" C8$)! '(\c$ +,

lt b"i toán sau:

B*6 "&@'/ 7ho Q số th


51/67

N)?' ;"/ H` thu9t 7auch ng$Ic dấu có thể hiểu ?" ta ?ấ ngh"ch đ./ h,i 1 c5a

bất đẳng thức 7auch sau đó nh%n h,i 1 i 34( Hhi đó dấu c5a bất đẳng thức ban

đ=u sv 3hDng đi chiều(



52/67

( ) ( )

( )KJFn Q

Q

OOO

O

O

OOOO

OOOOOO

=++

≤++⇒

++++=++=+

++

++

≤++

cbacabcab

cabcab&cbacbaaccbba

cabcab

W J=o

-" JFo ta có:

O

Q

O

QQ

PPPOOO

=−≥+

++

++ a

c

c

b

b

a Tđ2cU

^\ `/ 'a !0 !( d)ng *@t uả( )

QQ

O

=++

≤++ cba

cabcab trong ch9ng inh các bài

toán *hác.

B*6 / 7ho Q số th


53/67

J=K OO

O

OO

O

OO

Q ba

ab

aba

ba

aba

ba

a −=−≥+

−=+

W$'ng t< ta có: JFK OOO

Qc

bcb

b−≥

+q JGK

OOO

Qa

cac

c−≥

+

7!ng thAo -G J=j JFj J ta đ$Ic:

OOOO

Q

OO

Q

OO

Q cbacbacba

ac

c

cb

b

ba

a ++=++−++≥+

++

++

Tđ2cU

B*6 / 7ho Q số th


54/67



55/67

B*6 / 7ho Q số th


56/67

G6E6/

Wa có:

J=K Q

O

Q

OO

O

Q O

Q X

Q

QQ

Q

Q

O

abaab

aba

bba

aba

ba

a−=−≥

++−=

+

W$'ng t< ta có:

JFK Q

O

O

Q O

Q

O

bcbcb

b−≥

+ q JGK

Q

O

O

Q O

Q

O

cacac

c−≥

+

7!ng thAo -G J=j JFj J ta đ$Ic:

( )

( ) Q

OQ

Q

O

OOO

Q OQ OQ O

Q OQ OQ O

Q

O

Q

O

Q

O

JhKcabcab

cabcabcbaac

c

cb

b

ba

a

++−≥

++−++≥+

++

++

;t 3hác ta có:

QO

Q

PO

Q

PP((QQ O KJ=n

babab

aabaabab

+=

+=

++≤=

W$'ng t< ta có:

KJFn Q

OQ O cbcbc +≤ q KJGn

Q

O Q

O acaca

+≤

7!ng thAo -G J=oj JFoj Jo ta đ$Ic:

( ) ( )

( )JhhK Q

Q(

Q

O

Q

Q

O

Q

O

Q OQ OQ O

=++

+++

≤

+++++

≤++

cbacba

cabcabcba

cabcab

W Jh -" Jhh ta có: POOO

Q

O

Q

O

Q

O

≥+

++

++ ac

c

cb

b

ba

a Tđ2cU

C. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

I. BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

7ho n số th


57/67

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

=. K> ")?" "@$) () - %:



58/67



59/67

)ấu *+, x& raO

O

PP

PP

POO

==⇔

=

+=

+

=+

⇔ ba

ba

b

b

a

a

ba

^9 ZW[1 c5a A ?" OO +

B*6 / 7ho số th


60/67

ZW[1 c5a A ?"VO\ 3hi

=

−=

⇔

=+−

=−

=+

⇔

OY

_\

O

V

\O

V

P

V

Q

P

X

__QX OO

b

a

ba

ba

ba



61/67

( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )cbbccbbccbaabccbbccbbcaacbaabc

−−+


62/67

F. K> ")?" $)' 36 W6



63/67

( )

( )

( )

( ) ( )

O

P]QP(

P(

P(

V(

V(

V(XX(

V

P\

P]

P

PPP

VVVV

P\

P]

PPPPV

P]

P

P

V

PV

PPV(

P(

P]

PP

P

VP]

PPV(

P(

P]

PP

PV

P]

PPV(

P(

P]

PP

X

OO

OO

O

O

O

O

OO

O

O

O

O

OO

O

O

O

O

=

+≥

++++++++=

+++++≥⇒

+

+≥+

+=+

+≥+

+=+

+≥+

+=+

cba

cba

cba

cbacba

cbacba A

ac

ac

ac

cb

cb

cb

ba

ba

ba

)ấu *+,

x& ra O

P

V

P

V

P

V

===⇔

=

=

=

⇔ cba

a

c

c

b

b

a

^9 ZW11 c5a A ?"O

P]Q

B*6 F/ 7ho các số th


64/67

( )

( )

+

++

++

++++

≥⇒

+

++

≥+

+

++

+≥

++

+

++

≥+

+

++

=+

+

accbbacba A

bac

bac

ac

b

ac

b

cba

cba

cba

PPPP

PP

PP

P(

P(

PP

OO

OO

O

OO

O

OO

OO

O

O

OO

O

β α β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α β α

β α

)o A ?" biểu thức đối xứng -%i a, b, c nên ta d< đoán ZW11 c5a A đLt tLi

O=== cba

' đF điể r'i:

P

V

P

P

P

O ====⇒

=

=

=

⇒=== cabcab

a

c

c

b

b

a

cbaβ

α

β α

β α

β α

6 ch0n

=

=

P

V

β

α

HGt hI2 -%i * 3` thu9t ch0n điể r'i trong bất đẳng thức 7auch, ta có ?Ei gi&i:

G6E6

XV


65/67

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) O

P]Q

XO

_(

XO

_(

R

PQX(

R

QP

P]

P

XO

_

XO

_

R

P

R

QP

P]

P

X

_V

P]

P

PPP

_V

P]

P

_V

P]

P

P(

P(

P(QV

P]

P

PPPV

P]

P

P

V

PV

PP

P

VP]

PP

PV

P]

PPV(

P(

P]

PP

Q

OOO

Q

OO

O

O

OOOO

=

+++++++≥

+++

++++++++≥

++

+++≥

+++++++

+++≥

+++++

+++≥

++++++≥

+

++

++

+++≥⇒

++

+≥

++

+

+≥+

+

+

+≥+

++=

++

cbacbacba

cbacbacbacba

cbacba

accbbacba

acbabacba

acbabacba

accbbacba A

ba

c

ba

c

acb

acb

cba

cba

cba

^%i O=== cba th8 ZW11 c5a A ?"O

P]Q



66/67

P

V

P

P

P

O ====⇒

=

=

=

⇒=== cabcab

a

cc

b

b

a

cba

β

α

β α

β α

β α

6 ch0n

=

=

P

V

β

α

HGt hI2 -%i * 3` thu9t ch0n điể r'i trong bất đẳng thức 7auch, ta có ?Ei gi&i:

G6E6

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )XX

OV

]O

]OOXPO

XOOOOOO(V

O(V

O(V

O

XOOOVVV

_VVV

(OV

_V

VO

_RVPRO

_V

VO

_RVPRO

_V

VO

_RVPRO

OOO

O

OOO

O

OOO

O

=≥⇒

≥++++≥

++++++++++≥

+++++++++

++

++

+≥

++++++

++≥⇒

++≤++++

++≤++++

++≤++++

A

abccba

cbaabcabcabccc

bb

aa

cbaabcacbbcac

c

b

b

a

a

cabcabcbacba

A

caba

cba

c

cabb

bac

b

caba

acb

a

^%i O=== cba th8 ZW11 c5a A ?" XX

T*6 ^6d T)8 K)E&

P( yy( ^roso-o6 1 )Aniso-a6 'hGc hành giải toán !2 c7p6 ng$Ei d#ch jo"ng Wh#Whanh [iê6 1gun Wh# 1inh6 1gun ^kn uGt6 1lZ)6 P_RX(

XX


67/67

O( [ê )u Whi@n 6 H( d)ng b7t 18ng th9c Bunya*o;!*i 1ể giải >t bài toán cGc trI 1?i

!" 6 áng 3iGn 3inh nghi@ OYY_6 Wr$Eng WjW [ang 7hánh6 Whanh jóa(

Q( 1gun 1g0c )u z 1gun Wkng ^6 B7t 18ng th9c Cauchy6 Wrung tN bFi d${ng

3iGn thức uang inh6 Wh"nh 2hố jF 7hí inh(

V( 1gun î@t j&i6 J+ thut chọn 1iể r2i trong b7t 18ng th9c AK&LK MCANCOPQ 6

Wr$Eng WjW chuên uang Wrung6 8nh h$%c(

\( 1gun ^kn 9u6 Bài giảng Chuyên 1R 18ng th9c ;à b7t 18ng th9c6 7h$'ng tr8nh

bFi d${ng chuên đề toán6 j" 1!i6 PP|PO|OYY_(

X( 1gun 1g0c ang6 %h=2ng pháp ch9ng inh b7t 18ng th9c Cauchy6 áng 3iGn

3inh nghi@ OYY_6 Wr$Eng WjW 1gun ju@6 Whanh jóa(

]( hL Hi jCng6 Háng t?o b7t 18ng th9c6 1h" xuất b&n Wri thức(

R( WL2 chí Woán h0c Wui tr(

_( Wr=n h$'ng z 1gun Đức Wấn6 Hai ST th=Ung gp ;à !áng t?o *hi giải toán6 1h"

xuất b&n j" 1!i6 OYYV(

PY(}}}(hsath(nAt

PP( }}}(ath-n(co
http://www.hsmath.net/http://www.mathvn.com/http://www.hsmath.net/http://www.mathvn.com/

hay - ki thuat tim diem roi trong amgm.doc

Documents