harmoniskesvingninger - matbog.dk - matbog · 1 hvis du en dag bliver rigtigt god til matematik,...

Harmoniske Svingninger

Frank Villa

10. maj 2015

Dette dokument er en del af MatBog.dk©2008. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9.Se yderligere betingelser for brug her.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?show=3

Indhold

1 Introduktion 12 Harmoniske svingninger 2

2.1 De fire parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Grafen for en harmonisk svinging . . . . . . . . . . 6

3 Godt at vide om dem 83.1 Hvordan grafen ikke ser ud! . . . . . . . . . . . . . 83.2 Periode og frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Cosinus og faseforskydningen . . . . . . . . . . . . 13

4 Hvad skal vi med dem? 144.1 Ligninger med harmoniske svingninger . . . . . . . 144.2 Modellering af svingningsfænomener . . . . . . . . 214.3 Hvorfor er de overalt? . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Summer af harmoniske svingninger 255.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning . . . . . . 265.2 Forskellige faser — Interferens . . . . . . . . . . . . 265.3 Næsten samme vinkelfrekvens — Oversvingninger . 285.4 Forskellige vinkelfrekvenser — Fourierteori . . . . . 30

©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

I dette lille dokument ser nærmere vi på den funktionsfa-milie som kaldes harmoniske svingninger. Så find stresskug-lerne frem og sæt dig i lotusstilling.

1 IntroduktionHarmoniske svingninger optræder overalt i naturen. Blandt andeti forbindelse med bevægelser (hvor en genstands position „svingerfrem og tilbage“ som funktion af tiden, men også i så (tilsynela-dende) forskellige områder som lys, lyd, elektricitet, magnetisme ogkvantemekanik.

Forudsætninger

For at læse dette dokument, skal du kende funktionerne cosinus ogsinus, samt radianbegrebet. Du skal også være fortrolig med selve detabstrakte funktionsbegreb og hvordan man tegner grafer for funktio-ner.

Et enkelt afsnit (4.3) går omkring begrebet „differentiation“. Deter dog ikke nødvendigt at du kender det i forvejen, og hvis det bliverfor tungt, kan du sagtens springe dette afsnit over.

Det sidste afsnit er mere avanceret end resten af dokumentet,og her får du brug for at kende til de såkaldte additionsformler forcosinus og sinus.

Ordet „parameter“

Jeg bruger ordet „parameter“ mange gange i dette dokument. Derforer det en god ide at du vænner dig til det helt fra starten. En „para-meter“ er et fint ord for „noget man kan ændre på“. Du har muligvishørt sådan en politikertype stå i fjernsynet og sige noget i retning af

side 1


„Det afhænger af mange forskellige paramtre“ når de egentlig burdesige „det ved jeg ikke“.

Jeg kan godt lide at forestille mig at parametre er sådan nogetsom man kan „indstille“, lige som man indstiller f.eks. volumen, basog diskant på sin musikafspiller.

Ordet skal forstås en lille smule anderledes end en funktions så-kaldte variabel1.

Forskellen består i at parametrene er nogle tal som man skalvælge inden man har sin funktion. Matematiskere elsker at sige detsom at parametrene skal „fastlægges“, og først når de er fastlagt, såhar man en funktion, og så kan man begynde at vælge værdier afdens variabel som skal sættes ind i funktionen.

2 Harmoniske svingningerLad os bare starte med at smide definitionen på bordet:

Definition 1.En harmonisk svingning er en funktion, f defineret ved en forskriftaf typen:

f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k

hvor ω, ϕ og k er reelle tal, og A er et positivt reelt tal.

De fire tal, ω, ϕ, A og k kaldes „parametrene“ som fastlæggeren harmonisk svingning. Hver gang man vælger en værdi til de fireparametre har man altså en harmonisk svingning. I det næste afsnittager vi et nærmere kig på betydningen af hver dem.

1 Hvis du en dag bliver rigtigt god til matematik, så kan du vende tilbagetil dette sted og grine lidt, fordi det passer faktisk ikke. I en passende (retavanceret) forstand er de to ting nøjagtigt det samme. Men det må jeg ikkefortælle nu, fordi det kan være forvirrende.

side 2


2.1 De fire parametreDe fire parametre har hver sin betydning for funktionen. Derfor harman ligefrem fundet på navne til hver af dem, for at afspejle dennebetydning:

• k kaldes „offsetværdien“ eller nogle gange „middelværdien“• A kaldes „amplituden“• ω kaldes „vinkelfrekvensen“• ϕ kaldes „faseforskydningen“

Bemærk i øvrigt at bogstavbetegnelserne k, A, ω og ϕ (lige somde fleste andre bogstavbetegnelser) er helt frivillige. Man kan sagtensdefinere fire konstanter p, d, F og M og så tale om den harmoniskesvingning f , givet ved:

f(x) = p · sin(F · x + d) + M

Den vil så have amplitude p, vinkelfrekvens F o.s.v. Det kan dogvarmt anbefales at bruge „standard“-betegnelserne medmindre manhar en alvorlig grund til ikke at gøre det.

Når man skal forklare betydningerne (og dermed også hvorforovennævnte navne er fornuftige) er det nyttigt at tænke på to af demest velkendte harmoniske svingninger:

• Vekselspænding: En spændingsforskel som „svinger op og ned“som funktion af tiden.

• Lyd: Små, meget hurtige udsving i lufttrykket som funktion aftiden.

2.1.1 Offsetværdien

Offsetværdien er den nemmeste at forklare. Det er simpelt hen denfunktionsværdi som den harmoniske svingning „svinger omkring“. I

side 3


tilfældet med vekselspændingen i stikkontakten er dette som regel enspænding på præcis nul volt.

Men i andre situationer med elektronik kan man have en godgrund til at lægge et såkaldt „DC offset2“ oven i den svingende vek-selspænding. Det betyder at man tilføjer en jævnspænding over sitkredsløb, og i så fald bliver offsetværdien lig med denne jævnspæn-ding.

I forbindelse med lyd betår offsetværdien af det gennemsnitligelufttryk på cirka 1 atmosfære.

2.1.2 Amplituden

Ordet „amplitude“ betyder noget i retning af „tykkelse“. Og det ernogenlunde præcist hvad amplituden er. Den angiver nemlig størrel-sen af det udsving som vores svingende funktioner laver til beggesider af offsetværdien.

I tilfældet med vekselspændingen i vores stikkontakter, så er am-plituden de ca. 230 volt, fordi spændingen varierer mellem 230V og−230V .

I tilfældet med lyd, vil de fleste „normale“ lyde bestå af svingnin-ger med bittesmå amplituder i størrelsesordenen 0, 001 atmosfære.

2.1.3 Vinkelfrekvensen

Ordet „frekvens“ betyder noget i retning af „hvor tit noget gentagersig“ eller når det skal være lidt mere præcist (f.eks. i fysik): „antalgentagelser pr. tid“

Ordet „vinkelfrekvens“ er valg for at antyde at det næsten er detsamme som frekvens, men at der er en vigtig forskel: Helt præcistangiver vinkelfrekvensen hvor mange radianer pr. tid at svingningengennemløber, med den regel at 2π radianer svarer til en hel gennem-ført svingning.

2 Det er faktisk herfra at navnet „offsetværdi“ er taget.

side 4


Derfor vil vinkelfrekvensen af vores vekselspænding i Danmarkvære

ω = 50 · 2π

(forudsat tiden måles i sekunder) — fordi der bliver gennemført 50hele svingninger (svarende til 50 · 2π radianer) pr. sekund.

Du skal ikke gå i panik hvis dette er lidt svært at forstå. Det blivermeget nemmere når vi indfører begrebet „periode“ lidt senere. Ligenu er det kun vigtigt vide at når ω er et stort tal, så går svingningernehurtigt.

Lyde som kan høres af det menneskelige øre har typisk vinkelfre-kvenser mellem 200 og 200 000. (Forudsat at tiden måles i sekunder).

2.1.4 Faseforskydningen

Faseforskydningen, ϕ, er den sværeste parameter at forstå betydnin-gen af, fordi den sjældent er noget man har kontrol over.

Når man ændrer faseforskydningen vil funktionens forløb værenæsten det samme: Den vil svinge lige hurtigt med lige store uds-ving omkring den samme middelværdi. Det eneste som ændrer sig erHvornår svingingen rammer offsetværdien. — Altså en slags mål forhvornår svingningen „starter“.

Både i eksemplet med vekselspænding og eksemplet med lyd,kan man ikke på nogen måde „mærke“ vinkelfrekvensen af en enkeltsvingning. Det er kun et spørgsmål om hvornår vores ur er „startet“,altså hvilket tidspunkt vi har valgt at kalde for ”nul”.

Men hvis man derimod lægger flere harmoniske svinginger (f.eks.lyde eller vekselspændinger) oven i hinanden, så får forskelle i vin-kelfrekvenser lige pludselig en meget vigtig betydning. Det skal vi semere på i afsnit 5.

Den helt præcise betydning af faseforskydningen kan jeg førstforklare når vi ser på grafen for en harmonisk svingning i næsteafsnit.

side 5


2.2 Grafen for en harmonisk svingingNår man tegner grafen for en harmonisk svingning, så bliver betyd-ningen af de fire parametre meget mere klar.

Uanset hvilken harmonisk svingning man tegner graf for, så vilden altid komme til at ligne grafen for sinus, blot forskudt og/ellerstrakt langs med akserne3. Derfor starter vi lige med at minde omhvordan grafen for sinus ser ud (det kan man ikke minde om for ofte).Se figur 1.

Figur 1: Grafen for sinus.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

.Betydningen af de fire parametre er:

• Offsetkonstanten, k, angiver den y-koordinat som grafen svingeromkring.

• Amplituden, A, angiver hvor meget grafen svinger til begge sideraf ovennævnte y-koordinat. Hvis amplituden f.eks. er 5, og off-setkonstanten er 7, så vil grafen svinge mellem y-koordinaterne7 − 5 = 2 og 7 + 5 = 12.

3 Hvis du vil se præcis hvorfor det er sådan, så skal du læse om grafmanipulationher.

side 6

http://matbog.dk/index.php?show=8&mb2dok=27


• Vinkelfrekvensen, ω, angiver hvor mange hele svingninger der bli-ver gennemført hver gang man bevæger sig 2π ud af x-aksen. Heltpræcis betyder dette at den vandrette afstand mellem to maksi-mumspunkter bliver 2π

ω. Denne afstand kaldes „perioden“ og skri-

ves normalt som et ”T“.• Faseforskydningen, ϕ, angiver hvor meget grafen er forskudt i ret-

ning af x-aksen. Det er bare lidt besværligt at sige helt præcisthvor stor forskydning en bestemt værdi af ϕ forårsager, fordi det-te også afhænger af vinkelfrekvensen. Helt præcist bliver grafenforskudt med

ϕ

ω

— mod venstre! Sådan at grafen rammer offsetværdien i x-koordinaten:

x = −ϕ

ω

Alt dette er illustreret på figur 2 nedenfor.

Figur 2: Grafen for en typisk harmonisk svingning

side 7


Øvelse 2.Skitser (på papir!) grafen for en harmonisk svingning som har off-setkonstant

k = 3

og amplitudeA = 4

og vinkelfrekvensω = 2

og faseforskydningϕ = 4

Øvelse 3.Hvad skal de fire parametre sættes til at være hvis man vil havegrafen for sinus frem? (Se figur 1.)

3 Godt at vide om dem3.1 Hvordan grafen ikke ser ud!Det sker desværre igen og igen at folk som egentlig burde have for-stand på harmoniske svingninger tegner deres grafer som noget iretning af figur 3.

Den altoverskyggende misforståelse i at gøre sådan består i attro at kurverne på grafen for en harmonisk svingning er cirkelbuer.Det er de ikke! Den vigtigste forskel ligger i den hældning hvormedgrafen skærer x-aksen. Den er aldrig lodret, sådan som cirkelbuerneshældninger er. Tværtimod, hvis akserne er skaleret sådan at periodener cirka 6 gange større end amplituden, så vil hældningen hvormedgrafen skærer x-aksen (eller rettere: Den vandrette linje gennem y =k altid være cirka 45◦.

side 8


Figur 3: Nogle dumme halvcirkler som intet har med sagen atgøre.

2.5 5 7.5

-5

5

3.2 Periode og frekvensNu skal vi indføre et par begreber som gør vinkelfrekvensen lidt nem-mere at forstå.

Definition 4.Hvis man har en harmonisk svingning med vinkelfrekvens ω, så de-fineres perioden af den harmoniske svingning som

T = 2π

ω

Det vigtigste ved perioden er følgende sætning:

Sætning 5.Hvis f er en harmonisk svingning givet ved forskriften:

f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k

side 9


Så angiver perioden, T , hvor langt man skal gå mod højre på grafenfor at gennemføre en hel svingning.

Bevis. Vi er nødt til at forstå lidt om hvordan f laver sine funk-tionsværdier. Det vigtige at forstå er at sinus-delen af f altid vil laveværdier mellem −1 og 1. Hvis det som kommer ud af sinus-delenskulle gå hen at blive nul, så bliver funktionsværdien:

f(x) = A · 0 + k = k

Så lad os undersøge hvornår sinus-delen giver nul. Det gør den blandtandet hvis det som står inde i sinus giver nul. Altså hvis:

ω · x + ϕ = 0

Dette sker præcis hvis:x = −ϕ

ω

Så hvad ved vi nu: Når x er lig med − ϕω

så rammer vi offsetvær-dien. (Sådan som jeg påstod i afsnittet om graferne).

Hvis vi skal gennemføre en hel svingning, så skal sinus-delen fore-tage en hel svingning, hvor den først „svinger op“ og giver 1, derefterskal den gå ned og blive nul igen, og videre helt ned til −1. Og tilsidst skal den op og give nul igen.

Vi ved at sinus gennemfører sådan en svingning præcis hvis detsom står inde i sinus bliver 2π større. Så vi har genneført en helsvingning når

ω · x + ϕ = 2π

Dette sker når:x = 2π − ϕ

ωSå hvor langt er der mellem de to x’er som vi har fundet? Der er:(

2π − ϕ

ω

)−(

−ϕ

ω

)= 2π − ϕ + ϕ

ω= 2π

ω

Og det er simpelt hen perioden.

side 10


Bemærkning:

Bemærk at udtrykket „en hel svingning“ lige skal forstås helt rigtigt.Det kan forstås som at man går fra et maksimum til et maksimumsådan som det er vist på figur 2. Eller som at man går fra et minimumtil et minumum.

Men det kan også forstås som at man går fra en anden funktions-værdi til den „næste gentagelse“ af denne funktionsværdi. Her skalman bare passe godt på, fordi man skal faktisk lige springe en fore-komst over, hvor funktionen har samme funktionsværdi, men er vedat ændre sig i den omvendte retning.

Eksempel 6.Lad os se på et konkret eksempel. Jeg har valgt den harmoniskesvingning f , givet ved:

f(x) = 7 · sin(3 · x + 5) − 12

(Altså en amplitude på A = 7, en vinkelfrekvens på ω = 3, enfaseforskydning på ϕ = 5 og en offsetkonstant på k = −12.

Grafen er vist på figur 4 nedenfor.Perioden for denne funktion er dermed:

T = 2π

ω= 2π

3= 2

3π ≈ 2,0944

Bemærk hvordan ethvert punkt på grafen har en „makker“ somligger præcis afstanden T mod højre, hvor svingningen gentager sig.

Når vi har perioden, så er der en anden størrelse som især erinteressant i fysik:

Definition 7.Hvis f er en harmonisk svingning med periode T , så defineres fre-kvensen (ikke at forveksle med vinkelfrekvensen) som reciprokvær-

side 11


Figur 4: Grafen for den harmonisk svingning i eksempel 6

-2 -1 0 1 2 3

-20

-15

-10

-5

5

dien af perioden:f = 1

T

Den angiver hvor mange svingninger (eller hvor stor en del af enenkelt svingning) man når at gennemføre hvis man bevæger sig 1 tilhøjre på grafen.

Eksempel 8.Funktionen i eksempel 6 havde en periode på

T ≈ 2,0944

Dermed har den en frekvens på:

f = 1T

≈ 0,4777

side 12


Det betyder at der bliver gennemført lige under en halv svingninghver gang x bliver 1 større.

Forskellen på vinkelfrekvensen og frekvensen er ganske lille. Heltpræcist har vi:

Sætning 9.Vinkelfrekvensen ω og frekvensen f for en harmonisk svingning op-fylder at:

ω = 2π · f

Bevis. Det her er vist det nemmeste bevis i hele MatBog. Vi startermed definitionen af perioden:

T = 2π

ω

og indsætter dette i definitionen af frekvensen:

f = 1T

= ω

2π

Og så ganger vi med 2π på begge sider:

f · 2π = ω

3.3 Cosinus og faseforskydningenEt meget naturligt spørgsmål at stille når man ser definitionen afharmoniske svinginger er: Hvor skal man kun bruge sinus? Hvorforikke også cosinus?

Svaret på dette spørgsmål er ganske enkelt: Fordi cosinus bare eren faseforskydning af sinus. Det skyldes en af de såkaldte overgangs-formler:

cos(x) = sin(

x + π

2

)

side 13


Man kan altså sige at cosinus er en harmonisk svingning medamplitude A = 1, vinkelfrekvens ω = 1, offsetkonstant k = 0 ogfaseforskydning ϕ = π

2 .

4 Hvad skal vi med dem?I dette afsnit ser vi på nogle af de typiske problemer som kan opståi forbindelse med harmoniske svingninger.

4.1 Ligninger med harmoniske svingningerMan løber ofte ind i at skulle løse ligninger hvor der indgår en har-monisk svingning. Eftersom disse ligninger næsten altid har uendeligtmange løsninger, skal man lige være lidt forsigt med at få dem allemed.

Eksempel 10.Lad os se på et eksempel, hvor f er den harmoniske svingning givetved:

f(x) = 4 · sin(2x + 1) + 5

Grafen for f er skitseret på figur 5 nedenfor.Lad os sige at vi ønsker at finde ud af hvornår f(x) giver funk-

tionsværdien 3. Det svarer til at finde alle de punkter på grafen somhar y–koordinaten 3. Det har jeg illustreret på figur 5 ved at ind-lægge en vandret linje med ligningen y = 3. (Bemærk at dette ikkeer offsetkonstanten!)

Vi opskriver ligningen:

f(x) = 3

dvs.4 · sin(2x + 1) + 5 = 3

side 14


Vi kan hurtigt slippe af med offsetkonstanten ved at trække den frapå begge sider:

4 · sin(2x + 1) = −2Amplituden er også nem at slippe af med. Vi dividerer med den påbegge sider:

sin(2x + 1) = −24

= −12

Men nu skal vi have sinus væk. Og sinus er jo ikke injektiv, så vi ernødt til at være forsigtige. Der er uendeligt mange måder at sinuskan give funktionsværdien −1

2 på.En af mulighederne (nemlig den som ligger mellem −π

2 og π2 kan

findes ved hjælp af den „inverse“ sinus. Det giver:

2x + 1 = sin−1(

−12

)≈ −0,524

Men så er det vores (svære) job at huske at der er uendeligt mangeandre muligheder. Halvdelen er givet ved at lægge et helt antal 2πtil ovenstående. Det giver:

2x + 1 ≈ −0,524 + z · 2π (z ∈ Z)

Hvis vi løser denne del færdigt, får vi:

2x ≈ −1,524 + z · 2π

dvs.x ≈ 1

2· (−1,524 + z · 2π) ≈ −0,762 + z · π

På figur 5 er disse løsninger markeret med de stiplede grønne linjer.Den anden halvdel af løsningerne er givet ved:

2x + 1 ≈ (π − (−0,524)) + z · 2π (z ∈ Z)

Dvs.2x + 1 ≈ 3,665 + z · 2π

Og det kan vi løse på samme måde til:

x ≈ 1,333 + z · π

På figur 5 er disse løsninger markeret med de stiplede røde linjer.side 15


Figur 5: En figur med alt for mange informationer på. Det ergrafen for funktionen i eksempel 10 og 11. Der er indlagt en van-dret linje gennem y-koordinaten 3. Desuden er løsningerne tilden undersøgte ligning markeret med henholdsvist grønne og rø-de streger.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2

2

4

6

8

10

12

Heldigvis kan man være lidt smartere end dette, hvis man tænkerpå hvordan grafen ser ud. Lad os prøve at gøre det samme igen:

Eksempel 11.Så f er stadig den harmoniske svingning givet ved:

f(x) = 4 · sin(2x + 1) + 5

side 16


Og vi vil stadig gerne løse ligningen:

f(x) = 3

dvs.4 · sin(2x + 1) + 5 = 3

Lige som før kan vi hurtigt når frem til:

sin(2x + 1) = −12

Men nu gør vi noget vildt. Vi opgiver (indtil videre) at finde alleløsninger, og prøver i stedet bare at producere en enkelt løsning. Denkan vi finde ved hjælp af den „inversea“ sinus. Det giver muligheden:

2x + 1 = sin−1(

−12

)≈ −0,524

Hvilket hurtigt kan løses til:

x1 = 12

· (−0,524 − 1) ≈ −0,762

Bemærk at dette er en af de „grønne“ løsninger på figur 5.Nu vil jeg frembøfle alle de andre løsninger udelukkende ved at

tænke på hvordan grafen for f ser ud. Vi husker at f har amplitudeA = 4, vinkelfrekvens ω = 2, faseforskydning ϕ = 1 og offsetværdik = 5.

Vi starter med at udregne perioden:

T = 2π

ω= π

Eftersom grafen gentager sig selv med denne periode, vil vi kunnelave alle de andre „grønne“ løsninger ved at lægge et helt antalperioder til den løsning vi allerede har fundet. Det giver:

x ≈ x1 + z · π (z ∈ Z)

side 17


Derefter finder vi lige den x-koordinat hvor offsetkonstanten bli-ver lavet „første gang“. Husk at denne x-koordinat hang sammenmed faseforskydningen og vinkelfrekvensen på denne måde:

x0 = −ϕ

ω= −1

2= −0,5

Ved at lægge en halv periode til dette, kan vi hoppe over på denanden side af „bølgetoppen“ til:

x0 + T

2= −0,5 + π

2≈ 1,071

Jeg har indtegnet de to punkter med disse x-koordinater som sorteprikker på figur 6, hvor det hele også er forstørret lidt op. Ud fraden figur er det ret oplagt hvordan vi kan vinde den „røde“ løsning.

Den vandrette afstand, h, mellem x1 og x0 er:

h = x0 − x1 ≈ 0,262

Den ene „røde“ løsning ligger i den samme afstand fra x0 + T2 . Det

giver løsningen:x2 = x0 + T

2+ h ≈ 1,333

Og alle de andre „røde“ løsninger kan findes ved at lægge et heltantal perioder til x2. Det giver:

x = x2 + z · π (z ∈ Z)a Kan du huske at det faktisk ikke er en invers funktion? Sinus er jo slet ikke

injektiv. Det rigtige ord er „sektionen til sinus“.

side 18


Figur 6: Et lidt mindre udsnit af grafen fra eksempel 11. Jeg harindtegnet en lodret, grøn linje gennem x1 og en lodret, rød linjegennem x2.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

2

4

6

8

10

12

Begge de ovenstående metoder er (som du nok kan se) ret sværeat udføre rigtigt. Derfor er der mange som foretrækker at løse denneslags ligninger grafisk, selvom dette naturligvis ikke er helt lige såtilfredsstillende.

Det er især fornuftigt hvis man på forhånd ved at man leder efteren helt bestemt løsning, som ligger inden for et bestemt interval. Lados se et eksempel på det:

Eksempel 12.Den harmoniske svingning f er givet ved forskriften:

f(x) = 7 · sin(5x − 14) + 42 , x ∈ [2; 3]

Vi vil løse ligningen:f(x) = 47

side 19


Vi tegner grafen for f og indlægger en vandret linje med ligningeny = 47. (Se figur ??). Bemærk at eftersom definitionsmængden forf er begrænset til intervallet [2; 3] så er den stiplede del af grafenskåret væk.

Og vi kan heldigvis se på figur 7 at der kun er en eneste løsningtil ligningen inden for definitionsmængden, fordi grafen kun skærerden vandrette linje et enkelt sted omkring x-koordinaten 2,75.

Grafprogrammet kan finde skæringspunktets x-koordinat til:

x ≈ 2,7591

Og det er altså løsningen til vores ligning.

Figur 7: Grafen for den harmoniske svingning i ekspempel 12.

0 1 2 3

10

20

30

40

50

60

side 20


4.2 Modellering af svingningsfænomenerHarmoniske svingninger er fantastisk brugbare til at beskrive sam-menhænge, hvor en størrelse „svinger“ frem og tilbage mellem toekstreme værdier.

Ofte kan man opstille en funktion ud fra nogle meget enkle op-lysninger. Lad os så på et eksempel:

Eksempel 13.I eventyrlandet „Cliché“ står der et højt træ. På en gren i træethænger en gynge og på gyngen sidder en lille pige (naturligvis) oggynger.

Lad x betegne tiden, målt i sekunder, hvor x = 0 svarer tiltidspunktet hvor denne historie begynder.

Lad f(x) betegne pigens højde over jorden, målt i centimeter. Idet øjeblik hvor historien begynder er pigen så højt oppe som hunoverhovedet kan komme, nemlig 250 cm over jorden. Tre sekundersenere suser hun forbi det laveste punkt, 50 cm over jorden.

Lad os prøve at finde funktionen f ud fra disse informationer.Det er meget rimeligta at f skal være en harmonisk svingning.Eftersom f(x) svinger mellem værdierne 50 og 250, må vi have

en amplitude påA = 100

og vi må svinge omkring en offsetværdi på

k = 150

Det var de to nemmeste. Vinkelfrekvensen er lidt sværere. Vi harindirekte fået oplyst perioden til:

T = 4 · 3 = 12

(fordi det tager yderligere 3 sekunder før hun er oppe i maksimalhøjde – men i den modsatte ende. Derefter tager det 6 sekundermere før hun „starter forfra“.)

side 21


Men perioden hænger jo sammen med vinkelfrekvensen, så vi vedat:

2π

ω= 12

Tager vi reciprok på begge sider, giver det:

ω

2π= 1

12

og derfra kan vi let finde ω:

ω = 2π · 112

= π

6

Lad os indtil videre vælge faseforskydningen til ϕ = 0. Dermeder f givet ved:

f1(x) = 100 · sin(

π

6· x)

+ 150

Jeg har tegnet grafen for denne funktion på figur 8.Den virker næsten. Desværre passer den ikke helt med at f(0)

helst skulle være lig med den maksimale værdi på 250. Præcis det-te kan vi justere ved at vælge en faseforskydning. (Endda uden atødelægge de andre egenskaber!)

Vi husker lige at faseforskydningen ϕ skubber grafen mod venstremed værdien

ϕ

ω

Jeg vil gerne have min graf skubbet præcis en fjerdedel af periodenmod venstre.

Det giver ligningen:ϕ

ω= T

4Så vi kan finde den rigtige værdi af ϕ:

ϕ = T

4· ω = 12

4· π

6= π

2

side 22


Det giver funktionen:

f2(x) = 100 · sin(

π

6· x + π

2

)+ 150

a Hvis du spørger en fysiker, så vil vedkommende fortælle at dette kun er lidtkorrekt. Sandheden er desværre en del mere kompliceret.

Figur 8: Grafen for den første funktion i eksempel 13

0 3 6 9 12 15 18 21

50

100

150

200

250

side 23


Figur 9: Grafen for den forbedrede funktion i eksempel 13 (numed korrekt faseforskydning).

0 3 6 9 12 15 18 21

50

100

150

200

250

4.3 Hvorfor er de overalt?Dette afsnit er lidt mere teknisk end resten af dokumentet og kansagtens springes over. For at forstå det er du nødt til at vide enlille smule om differentiation. Til gengæld får du en meget naturligindgangsvinkel til emnet differentialligninger, som ellers kan væremeget svært at komme i gang med.

Hvis man differentierer en harmonisk svingning, f , givet ved:

f(x) = A · sin(ω · x + ϕ) + k

så får man:f ′(x) = A · cos(ω · x + ϕ) · ω

og differentierer man en gang mere, får man:

f ′′(x) = −A · sin(ω · x + ϕ) · ω2

Kigger man nøje efter, så ligner dette den oprindelige funktion rigtigmeget. Der er et fortegn til forskel, og så er k forsvundet og vi har

side 24


fået ganget ω2 på i stedet for. Men denne ændring er simpel nok tilat kunne skrives ned:

f ′′(x) = −ω2 · (f(x) − k)

eller lettere omskrevet:

f ′′(x) = −ω2 · f(x) + ω2 · k

Her står at den dobbelt afledede af f er det samme som f , gangetmed en negativ konstant (−ω2) plus yderligere en konstant (ω2 · k).En sådan sammenhæng mellem en funktion og dens afledede kaldesen differentialligning.

Fysik og andre naturvidenskaber er propfyldt med differentiallig-ninger, hvor differentialligningen er det første vi opdager, og så erhele problemet at finde nogle funktioner som opfylder denne diffe-rentialligning.

Og lige netop ovenstående differentialligning er så simpel (densiger bare at der er en lineær sammenhæng imellem f og f ′′) at dendukker op overalt.

Newton’s anden lov er det mest velkendte eksempel. Den sigernemlig at accelerationen (den dobbelt afledede af positionen) er ligen konstant ( 1

m) gange den resulterende kraft. I mange tilfælde (f.eks.

ved bevægelse af en fjeder, jævnfør Hooke’s lov) er den resulterendekraft givet ved en negativ konstant gange positionen. Og så har vilige præcis differentialligningen.

5 Summer af harmoniske svingningerLad os nu se på nogle fænomener som forekommer næsten hver enestegang man harmoniske svingninger optræder i naturen. – Nemlig hvorflere harmoniske svingninger bliver lagt sammen.

side 25


5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydningLad os først prøve at lægge to harmoniske svingninger sammen, hvorde har samme fase og samme vinkelfrekvens Det viser sig heldigviser være meget nemt. Lad os starte med to harmoniske svingninger,f1 og f2:

f1(t) = A1 · sin(ϕ + ω · t) + k1

f2(t) = A2 · sin(ϕ + ω · t) + k2

Så er:

f1(t) + f2(t) = A1 · sin(ϕ + ω · t) + A2 · sin(ϕ + ω · t) + k1 + k2

= (A1 + A2) · sin(ϕ + ω · t) + (k1 + k2)

–Altså: De to harmoniske svingninger lagt sammen giver bareen ny harmonisk svingning med samme (fælles) vinkelfrekvens ogfaseforskydning, og med offsetværdi og amplitude givet som summenaf de to indgående svingningers offsetværdier henholdsvis amplituder.

Dette fænomen kan være lidt svært at observere i naturen, for-di man sjældent har kontrol over faseforskydningen af harmoniskesvingninger. Derfor er det meget mere relevant med det næste hvadvi skal se på i næste afsnit.

5.2 Forskellige faser — InterferensOk, lad os nu tage en harmonisk svingning:

f1(t) = A1 · sin(ϕ1 + ω · t) + k1

og en mere, som har samme vinkelfrekvens, men forskellig fase-forskydning:

f2(t) = A2 · sin(ϕ2 + ω · t) + k2

Additionsformlen for sinus kan bruges til at omskrive:

side 26


f1(t) = A1 · (sin(ϕ1) · cos(ωt) + cos(ϕ1) sin(ωt)) + k1

og tilsvarende med f2;

f2(t) = A2 · (sin(ϕ2) · cos(ωt) + cos(ϕ2) sin(ωt)) + k2

Dermed kan de let lægges sammen:

f1(t) + f2(t) =A1 · (sin(ϕ1) · cos(ωt) + cos(ϕ1) sin(ωt)) + k1

+ A2 · (sin(ϕ2) · cos(ωt) + cos(ϕ2) sin(ωt)) + k2

= (A1 sin(ϕ1) + A2 sin(ϕ2)) · cos(ωt)+ (A1 cos(ϕ1) + A2 cos(ϕ2)) · sin(ωt) + (k1 + k2)

Hvis man lige tager en dyb indånding og ser nærmere på dette,så kan man se at de to lange parenteser er konstanter (de afhængerikke af t).

Desuden kan cos(ωt) nemt omskrives til at være en faseforskudtsinus:

cos(ωt) = sin(π

2+ ωt)

Derfor kan dette tolkes som en sum af to nye harmoniske sving-ninger, som har amplituder givet ved henholdsvist:

(A1 sin(ϕ1) + A2 sin(ϕ2))

og(A1 cos(ϕ1) + A2 cos(ϕ2))

og som er faseforskudt præcis π2 (altså en kvart svingning) i forhold

til hinanden.Det sjove ved dette er, at begge disse amplituder f.eks. kan give

nul, uden at nogen af de oprindelige amplituder A1 og A2 er nul. Hvisf.eks.

A1 = A2

side 27


og vi samtidigt har:ϕ1 = ϕ2 + π

så er:cos(ϕ1) = − cos(ϕ2)

ogsin(ϕ1) = − sin(ϕ2)

Og dermed bliver begge amplituderne nul. Dette er en forklaringpå hvorfor to svingninger med samme vinkelfrekvens og samme am-plitude, men „omvendt“ faseforskydning kan „annihilere“ hinanden.

5.3 Næsten samme vinkelfrekvens —Oversvingninger

Til sidst en lille illustration af hvad der sker når man anslår to næstenens toner samtidigt. (Det som man benytter sig af når man f.eks.stemmer en guitar).

Vi tager to harmoniske svingninger. Denne gang med samme am-plitude og uden faseforskydinger. Og vi dropper også offsetkonstan-ten, fordi den ikke er interessant.

f1(t) = A · sin(ω1t)

ogf2(t) = A · sin(ω2t)

Lægger vi disse to sammen, får vi ikke umiddelbart noget som vikan omskrive på:

f1(t) + f2(t) = A · sin(ω1t) + A · sin(ω2t)

Men hvis vi lige får den fremragende ide at indføre middelfrekvensen:

ωm = ω1 + ω2

2

side 28


og differensfrekvensen:ωd = ω1 − ω2

2så er tricket at:

ω1 = ωm + ωd

mens:ω2 = ωm − ωd

(Regn selv efter).Derfor kan vi omskrive:

f1(t) = A · sin(ωmt + ωdt)

ogf2(t) = A · sin(ωmt − ωdt)

Bruger vi additionsformlerne for sinus på disse, får vi noget derer lækkert at lægge sammen:

f1(t) = A · (sin(ωmt) · cos(ωdt) + sin(ωdt) · cos(ωmt))

f2(t) = A · (sin(ωmt) · cos(ωdt) − sin(ωdt) · cos(ωmt))

Dermed kan vi omskrive:

f1(t) + f2(t) =A · (sin(ωmt) · cos(ωdt) + sin(ωdt) · cos(ωmt))+ A · (sin(ωmt) · cos(ωdt) − sin(ωdt) · cos(ωmt))

=2A · sin(ωmt) · cos(ωdt)

Hvis man nu tager sine allermest skarpe briller på, og samtidigtforestiller sig at de to oprindelige frekvenser var næsten lige store, såer dette faktisk ret smukt.

Eftersom de to frekvenser er næsten lige store, så bliver middelfre-kvensen omtrent det samme som de to oprindelige frekvenser, mensdifferensfrekvensen ωd bliver meget lille.

side 29


Dermed kan vi se udtrykket for f1(t)+f2(t) som en ren harmonisksvingning:

2A · sin(ωmt)

(med middelfrekvensen af de to anslåede frekvenser, og den dobbelteamplitude)

— Men alt sammen ganget med et andet tal:

cos(ωdt)

som svinger meget langsomt (fordi ωd er lille) mellem −1 og 1. Hvisman forestiller sig at dette tal er ganget på amplituden, altså:

f1(t) + f2(t) = (2A · cos(ωdt)) · sin(ωmt)

så kan det tolkes som at der bliver „skruet op og ned“ for amplitu-den, ganske langsomt. Og det er præcis sådan man hører det hvis toguitarstrenge anslås med næsten samme frekvens. Det lyder som omde to toner ligger oven på hinanden, men at lydstyrken svinger gan-ske langsomt. (Og jo langsommere svingningen i lydstyrken bliver,desto mere præcist er de to strenge stemt.)

Musikere kalder dette fænomen for „oversvingninger“.

5.4 Forskellige vinkelfrekvenser — FourierteoriHvis man lægger to harmoniske svingninger sammen som har vidtforskellige frekvenser, så finder man hurtigt ud af at dette ikke ladersig omskrive på en måde så man klart kan se hvad resultatet bliver.

Faktisk finder man ret hurtigt ud af at summer af harmoniskesvingninger med forskellige vinkelfrekvenser bliver noget frygteligtrod. Så længe amplituderne er meget forskellige, så kan man godtforstå det som en „stor“ svingning (den med størst amplitude) hvorman laver små udsving i forhold til den store svinging undervejs. (Sefigur ??). Men hvis amplituderne er cirka lige store, kan det virkeligse uoverskueligt ud (se figur ??).

side 30


Og hvis man lægger mere end 2 harmoniske svingninger sammen— alle med forskellige vinkelfrekvenser og forskellige amplituder —så får man næsten indtryk af at resultatet kan blive hvadsomhelst.

Og det er faktisk i en vis forstand rigtigt! Fourierteori er en megetlang historie som i bund og grund handler om at enhver funktion kanopfattes tilnærmelsesvist som en sum af passende mange harmoniskesvingninger.

side 31

harmoniskesvingninger - matbog.dk - matbog · 1 hvis du en dag bliver rigtigt god til matematik,...

Documents