harmoničko titranje
DESCRIPTION
seminarTRANSCRIPT
1
Odabrana poglavlja opće fizike
Harmoničko titranje
Silvia Aunedi
Sveučilište u Zagrebu
Fizički odsjek Prirodoslovno-matematičkog fakulteta
Bijenička cesta 32, 10000 Zagreb
.
2
Uvod Periodično gibanje vrlo je čest oblik gibanja u prirodi, pa je stoga i vrlo čest predmet proučavanja
fizičarima. To je gibanje koje se redovito ponavlja, i objekt se vraća u dani položaj nakon fiksnog
vremenskog intervala. U svakodnevnom životu mogli bismo izmjenu dana i noći, izmjenu
godišnjih doba, mjesečeve mjene, sjedenje za stol svake večeri, identificirati kao oblike
periodičnog gibanja. Osim ovih primjera čitav niz drugih sustava pokazuje takvo gibanje. Na
primjer, elektromagnetske valove karakterizira osciliranje vektora električnog i magnetskog polja,
u izmjeničnim krugovima naboj, struja i voltaža mijenjaju se periodički s vremenom. Poseban
oblik periodičnog gibanje je jednostavno harmonijsko gibanje u kojem je sila na objekt
proporcionalna njegovu položaju relativno na položaj ravnoteže i uvijek usmjerena prema
položaju ravnoteže. Jednadžba gibanja ovakvog sustava i njeno rješenje uvelike olakšava
rješavanje cijele klase fizikalnih problema.
Linearne diferencijalne jednadžbe Osnovni paket kojim se koristimo u proučavanju harmonijskih oscilatora jesu diferencijalne
jednadžbe. Te se jednadžbe javljaju u različitim poljima fizike, pa čak i u drugim znanostima. I
često su gotovo identične. Tako da mnogi fenomeni u tim različitim poljima imaju svoje analoge.
Najjednostavniji primjer bila bi propagacija zvučnih valova koja je u mnogočemu analogna
propagaciji svjetlosnih valova. Pa bi nam stoga proučavanje fenomena u jednom polju omogućilo
samo proširenje našeg znanja u drugom polju. Te se diferencijalne jednadžbe nazivaju linearne
diferencijalne jednadžbe. Sastoje se od sume nekoliko članova. Svaki član predstavlja derivaciju
zavisne varijable u odnosu na nezavisnu varijablu i pomnoženu nekom konstantom [1].
I. Jednostavno harmoničko titranje Možda je jedan od najjednostavnijih sustava čije je gibanje opisano linearnom diferencijalnom
jednadžbom masa na opruzi. Jedan takav sustav prikazan je na slici 1.
3
Slika 1: Tijelo mase m pričvršćeno na
oprugu giba se na glatkoj podlozi
Sustav na slici sastoji se od opruge zanemarive mase i konstante k i tijela mase m pričvršćenog
na oprugu [2]. Tijelo je slobodno da se giba na podlozi bez trenja. Kad opruga nije ni rastegnuta
ni stisnuta kao u slučaju (a) i (c) kažemo da se tijelo nalazi u položaju ravnoteže, i označili smo
ga sa 0x (slučaj (b)). U tom položaju sve su sile izbalansirane. Kada potom tijelo pomaknemo
iz položaja ravnoteže na položaj x , na njega djeluje linearna sila proporcionalna položaju tijela i
dana Hookeovim zakonom:
kxF (1)
Ovu silu nazivamo povratnom silom, budući je uvijek usmjerena prema položaju ravnoteže i
prema tome suprotno pomaku od tog položaja.
Sada kada znamo zakon sile želimo naći izraz pomoću kojeg možemo računati položaj mase.
Ubacimo li ovu linearnu povratnu silu u drugi Newtonov zakon maF , te će dvije
jednadžbe zajedno dati linearnu diferencijalnu jednadžbu koja opisuje jednostavno harmonijsko
gibanje našeg sustava:
kxma (2)
xmk
dtxd
2
2
(3)
Ako odaberemo da je izraz mk , jednadžbu možemo napisati u obliku
4
xdt
xd 2
2
(4)
Dobivena diferencijalna jednadžba opisuje gibanje i bilo kojeg drugog sustava na kojeg kad ga se
pomakne iz položaja ravnoteže djeluje povratna sila.
Sljedeće što nas zanima jest rješenje ove jednadžbe. Drugim riječima, zanima nas funkcija )(tx
čija je druga derivacija upravo negativ originalne funkcije pomnožene sa . Trigonometrijske
funkcije sinus i kosinus ponašaju se upravo na taj način i vrlo dobro opisuju položaj tijela koje
oscilira. Možemo izgraditi riješenje na jednoj od njih. Neka to bude kosinus funkcija:
)cos()( tAtx (5)
gdje su ,A konstante.
Provjerimo eksplicitno da li druga derivacija ove jednadžbe zadovoljava jednadžbu (4):
tAtdtdA
dtdx sin(cos( (6)
tAtdtdA
dtxd cos()sin(2
2
(7)
Uspredbom jednadžbi (7) i (5) , vidimo da je xdtxd 22 , i jednadžba (4) je zadovoljena.
Parametri ,A rekli smo su konstante gibanja. Prvo, A , označava amplitudu gibanja, tj.
maksimalnu vrijednost položaja čestice u negativnom i u pozitivnom smjeru x .
Konstanta označava kutnu frekvenciju, mjerenu u rad/s, koja mjeri broj oscilacija po jedinici
vremena, mk . Konstantni kut predstavlja faznu konstantu (ili početni fazni kut) , i
zajedno sa amplitudom A jednoznačno je određena iz početnih uvjeta, odn. položaja i brzine
čestice u 0t . Budući je na Slici 1. tijelo postavljeno na način da je u trenutku 0t u svom
maksimalnom položaju x = A, a fazna konstanta je = 0, grafički prikaz gibanja izgleda kao na
Slici 2.
5
Slika 2. x-t graf za specijalan slučaj u kojem je x = A u 0t , pa prema tome i = 0
I posljednje, veličinu tcos( nazivamo faza gibanja. Budući je položaj )(tx periodična
funkcija, njegova vrijednost bit će ista kadgod se faza poveća za 2 rad. Iz ovog posljednjeg
možemo izvesti vezu između kutne frekvencije i vremena potrebnog da čestica
prijeđe puni ciklus oscilacije, odn. perioda T . Kroz vrijeme T faza se poveća za 2 radijana, iz
čega slijedi
2)()(( tTt
pojednostavljenjem dobijemo 2T , i konačno
(8)
Inverz perioda nazivamo frekvencija gibanja Tf 1 .
Kao i kutna frekvencija , period T i frekvencija f ne ovise o parametrima gibanja A i , već
samo o fizikalnim svojstvima sustava, u našem slučaju o masi m tijela i konstanti opruge k .
Prema jednadžbama (6) i (7) za brzinu i akceleraciju tijela koje harmonijski oscilira vidimo da su
maksimalne vrijednosti tih veličina A za brzinu i A2 za akceleraciju, upravo zbog
svojstva sinus i kosinus funkcija koje osciliraju između .1
Sljedeća slika, Slika 3. lijepo pokazuje kako se pri proizvoljnoj vrijednosti fazne konstante
ponašaju položaj x, brzina v i akceleracija a tijela. U bilo kojem trenutku t brzina je van faze za
2 radijana u odnosu na položaj (x je max ili min kad je v nula i obratno), a akceleracija se
razlikuje u fazi za radijana u odnosu na položaj x (kad je x max a ima najveći iznos, ali
suprotnog je smjera)
6
Slika 3. Grafički prikaz jednostavnog harmonijskog gibanja
Energija jednostavnog harmonijskog oscilatora Ukupna mehanička energija našeg sustava na Slici 1 je konstantna, budući smo pretpostavili da
između podloge i tijela nema trenja. Nadalje, pretpostavili smo da je masa opruge zanemariva,
tako da kinetičkoj energiji sustava doprinosi samo ona od tijela mase m. I dana je sljedećim
izrazom
)(sin21
21 2222 tAmmvK (9)
Elastična potencijalna energija pohranjena u opruzi za bilo koje produljenje x glasi
7
)(cos21
21 2222 tAkkxU (10)
Oba izraza su pozitivna i ako iskoristimo da je mk i iskoristimo odgovarajući identitet za
sinus i kosinus, zbrojem ovih dviju energija dobijemo vrlo jednostavan izraz za ukupnu
mehaničku energiju sustava
2
21 kAUKE = konst. (11)
Grafički prikazi ovisnosti kinetičke i potencijalne energije o vremenu i o položaju uz uvijet da je
= 0 prikazani su ispod na Slici 4.
Vidimo K i U su uvijek pozitivne veličine i kroz cijelo vrijeme njihov zbroj je konstantan i jednak
2
21 kA , tj. jednak ukupnoj mehaničkoj energiji sustava.
8
Sljedeći prikaz, Slika 5, ilustrira položaj, brzinu, akceleraciju, kinetičku i potencijalnu
energiju sustava masa-opruga kroz jedan puni period gibanja.
Slika 5. Jednostavno harmonijsko gibanje sustava masa-opruga pre čemu parametri u
tablici odgovaraju uvjetima takvim da je u t=0, x=A , i time je općenito x=Acos ωt
Harmonijski oscilator i kružno gibanje
Vratimo se sada još jednom na pitanje rješenja diferencijalne jednadžbe. Važno je reći da se do
njega došlo pogađanjem. Jednom davno netko je predložio da bi to mogla biti sinus, odn. kosinus
funkcija. Ipak, bio je to promišljen pogodak, jer osciliranje mase na opruzi nalikuje uniformnom
kružnom gibanju sjene neke čestice [3], ili kao što je vidljivo u uobičajenim eksperimentalnim
postavima za demonstraciju veze između ova dva gibanja, rotirajući se disk okreće konstantnom
kutnom brzinom, i pritom sjena loptice pričvršćene na disk oscilira naprijed nazad.
9
Za detaljnije razmatranje ove veze pogledajmo kružnice na Slici 6. Čestica se nalazi u točki P na
obodu referentne kružnice radijusa A. Referentni položaj je položaj točke P u vrijeme 0t
kada linija povučena od ishodišta do točke P zatvara kut sa x osi. U neko vrijeme 0t
čestica prijeđe udaljenost t tako da je kut što ga pravac iz ishodišta do točke P sada zatvara sa
x osi je kut t .
Slika 6: veza između uniformnog kružnog gibanja i jednostavnog harmonijskog gibanja
Kako se čestica giba po kružnici tako projekcija točke P na x os, točka Q, oscilira naprijed
nazad između granica A . Njihova je x koordinata uvijek ista, i iz pravokutnog trokuta vidimo
ona glasi:
)cos()( tAtx (12)
To je upravo jednadžba koja opisuje položaj tijela koje oscilira, u ovom slučaju to je projekcija Q
koja oscilira duž x osi.
Na sličan način dolazimo i do izraza za x komponentu brzine i akceleracije čestice na obodu,
)sin( tAvx (13)
)cos(2 tAax (14)
10
što se u potpunosti slaže sa izrazima za brzinu i akceleraciju točke Q kada uzmemo prvu i drugu
derivaciju po vremenu jednadžbe (12).
Nadalje, ova geometrijska interpretacija pokazuje da je vrijeme potrebno da čestica u P prijeđe
puni krug gibajući se konstantnom kutnom brzinom jednako periodu oscilacije T , drugim
riječima kutna brzina točke P jednaka je kutnoj frekvenciji oscilacije duž x osi.
Radijus kružnice A odgovara amplitudi oscilacije, a referentni kut faznoj konstanti .
Iz svega možemo zaključiti kako jednostavno harmonijsko gibanje po pravcu može biti prikazano
kao projekcija uniformnog kružnog gibanja po promjeru referentne kružnice.
Puno se vremena provodi u proučavanju jednostavnih harmonijskih oscilatora i jednadžbi
koje opisuju njihovo gibanje. Razlog je taj što se mogu iskoristiti kao vrlo dobri modeli za brojne
fizikalne fenomene. Na početku su spomenuti još neki sustavi koji prolaze harmonijske oscilacije,
elementi medija prilikom propagacije valova osciliraju oko položaja ravnoteže, mehanički sustavi
kao što su njihala sa malim pomacima, komplicirana međudjelovanja u kemijskim reakcijama, i
mnogi drugi. Vidimo, to su sve potpuno različiti sustavi. I u čemu je onda bit. To je jednostavno
način na koji priroda odgovara kad se bilo koji stabilan sustav pomakne iz ravnoteže.
II. Prigušeno titranje
Stvarni oscilatori međutim nisu idealni sustavi koji će beskonačno oscilirati pod
utjecajem samo jedne linearne povratne sile. Na stvarne sustave djeluju i neke druge sile
kao što su sile trenja, otpor zraka i sl. koje s vremenom uzrokuju opadanje ukupne
mehaničke energije sustava i time guše njegove oscilacije. Takvo gibanje nazivamo
prigušenim. Jedan takav sustav prikazan je na Slici 7.
Slika 7. Tijelo mase m
pričvršćeno na oprugu i
uronjeno u tekućinu
određenog viskoziteta
11
U ovom slučaju na masu djeluje sila trenja proporcionalna brzini objekta i pritom djeluje
u smjeru suprotnom od smjera gibanja tijela. Rezultat je prigušenje oscilacija. Sila
gušenja dana je izrazom ,vFtr b gdje je b koeficijent prigušenja. Preko Newtonovog
zakona gibanja dolazimo do jednadžbe koja opisuje gibanja promatranog sustava.
,02
2
2
2
xmk
tx
mb
tx
txbxk
txm
m tropr FFa
gdje je 20mk kutna frekvencija neprigušenog harmonijskog oscilatora ili prirodna
frekvencija sustava. Koeficijent gušenja koji smanjuje frekvenciju titranja ω dan je
izrazom 2mb . Jednadžba gibanja je sada
,02 202
2
x
tx
tx (15)
a rješenje glasi
)cos()cos()()( tAettatx t (16)
Kutna frekvencija oscilacija jednaka je .220
2 Porebno je spomenuti i još jednu
veličinu, a to je faktor dobrote titrajnog sistema Q , veličina koja je zapravo mjera
gušenja oscilacija i što je Q veći to je prigušenje manje..
)()( TtataTTQ
12
Na slici niže možemo vidjeti kako se ponaša elongacija u ovisnosti o vremenu za dva
sustava s različitim gušenjem, te tako i s različitim faktorima dobrote.
Općenito, kada je sila prigušenja mala, oscilacije tijela i dalje traju, ali im amplituda
opada s vremenom, sve dok se gibanje potpuno ne zaustavi. Slika 8 prikazuje tu
situaciju.
13
Slika 8. Graf ovisnosti elongacije o vremenu za prigušeni oscilator
Na grafu plave iscrtkane linije predstavljaju anvelopu oscilatorne krivulje. Anvelopa je
opisana eksponencijalnim članom u jednadžbi (16) i predstavlja eksponencijalni pad
amplitude oscilacije u vremenu. Nadalje, za gibanje uz zadanu masu i konstantu opruge,
oscilacije će sve brže trnuti kako se maksimalna vrijednost sile trenja trF približava
maksimalnoj vrijednosti povratne sile opruge oprF . U tom smislu postoje tri slučaja
gibanja našeg sustava što je grafički prikazano na Slici 9.
Slika 9. Grafički prikaz položaja u ovisnosti o vremenu za slučaj (a) potkritično gušenje, (b)
kritično gušenje i (c) natkritično gušenje
14
1. Slučaj: Ftr(max)=bvmax < kA i δ=b/2m < ω0 , opisan je plavom krivuljom i predstavlja
potkritično gušenje
2. Slučaj: vrijednost koeficijenta gušenja b se povećava, amplituda oscilacija sve
brže i brže opada, sve dok b ne dosegne svoju kritičnu vrijednost bc tako da je
bc /2m = ω0. U ovom slučaju sustav pušten iz neravnotežnog položaja približi se,
ali nikad ne prijeđe položaj ravnoteže. Radi se o slučaju kritičnog gušenja i
prikazano je crvenom krivuljom.
3. Slučaj: Ftr(max)=bvmax > kA i δ=b/2m > ω0, tj. medij je toliko viskozan da
maksimalan znos sile trenja nadilazi maksimalni iznos sile opruge, te takvo
gušenje nazivamo natkritičnim gušenjem. Prikazano je crnom krivuljom. Ovakav
sustav kad ga se pomakne iz ravnotežnog položaja ne oscilira već se vrati u
ravnotežni položaj. Kako se gušenje povećava tako se i vrijeme potrebno za
povratak u ravnotežni položaj povećava.
Slučajevi 2 i 3, gdje je trenje veliko, su tzv. aperiodična titranja. Budući kutne brzine ω
nema, niti rješenje (16) jednadžbe gibanja za njih nije valjano.
Ako govorimo o mehaničkoj energiji, kad god je trenje prisutno u sustavu, bilo da se radi
o natkritičnom ili potkritičnom gušenju, ona s vremenom postane jednaka nuli, tj.
transformira se u druge oblike energije: unutarnju energiju tijela i viskozne tekućine.
15
III. Prisilno titranje
Tipičan primjer tjeranog oscilatora jest gušeni oscilator na kojeg djeluje i vanjska sila
koja se periodički mijenja u vremenu, kao npr. sila oblika tAo sin , gdje je ω kutna
frekvencija sile prisile, a A0 konstanta. Općenito frekvencije sile prisile je varijabla, dok
je prirodna frekvencija ω0 fiksirana vrijednostima k i m. Opća jednadžba gibanja za ovaj
sustav dana je izrazom
tAxtx
tx sin2 0
202
2
(17)
Nakon što vanjska sila krene djelovati na tijelo u mirovanju, amplituda oscilacija se
povećava. Nakon dovoljno dugo vremena input energije u sustav putem vanjske sile po
jednom ciklusu izjednačit će se s količinom mehaničke energije pretvorene u unutarnju
energiju sustava za svaki taj ciklus, i postiže se stacionarno stanje u kojem se oscilacije i
dalje nastavljaju, ali s konstantnom amplitudom za danu silu prisile.
Drugim riječima, ako prigušenje na sustav nije zanemarivo, nakon dovoljno dugo
vremena output x gušenog titrajnog sustava pod utjecajem vanjske periodične pobude će
praktički prijeći u harmonijske oscilacije s frekvencijom istom kao i frekvencija
vanjske pobude. Ono stoga glasi:
)cos( tAx (18)
gdje je amplituda A jednaka
16
a faza je dana sljedećim izrazom
Za mala gušenja, amplituda je velika kada je frekvencija pogonske sile blizu prirodne
frekvencije oscilacije ω02=k/m, tj. kada je .0 Pojavu takvog znatnog porasta
amplitude blizu vlastite frekvencije sustava nazivamo rezonancija, a ω0 također nazivamo
rezonantnom frekvencijom sistema.
Na ovom grafu prikazana je ovisnost amplitude kao funkcije frekvencije A(ω) za tjerani
oscilator sa i bez gušenja i omjera frekvencija 0 .
17
Primjećujemo da se širina krivulje smanjuje, a visina povećava što je gušenje slabije, te
se sa povećanjem gušenja frekvencija pri kojoj amplituda ima maksimum pomiče prema
nižim vrijednostima.
U stacionarnim uvjetima i pri bilo kojoj frekvenciji pogonske sile, energija koja se unosi
u sustav jednaka je izgubljenoj energiji uslijed gušenja , tako da ukupna energija
oscilatora ostaje konstantna. Izostavimo li silu gušenja (δ=0) iz jednadžbe za amplitudu
stacionarnog stanja A(ω) vidimo da ona teži u beskonačnost kako 0 i kao i
prenesena energija budući ona ovisi o amplitudi( 22kAE ) [5]. Drugim riječima, ako
nema gubitka energije u sustavu a mi i dalje nastavljamo djelovati vanjskom periodičnom
silom na njeg, amplitude gibanja neograničeno raste. Međutim takvo gibanje se ne javlja
u praksi jer je u stvarnosti uvijek prisutno neko gušenje.
Nadalje, što se dešava s kutom φ koji mjeri vremensku razliku između pomaka
)cos( tAx i pogonske sile koja se mijenja kao sin(ωt), najbolje prikazuje sljedeći
graf:
Na grafu je prikazana ovisnost razlike u fazi između njihala i vanjske pobude kao
funkcije omjera frekvencija 0 . Primjećujemo da krivulje teže ka nuli za vrlo male
frekvencije , tj. vanjska pobuda i njihalo su u fazi, te da se za frekvencije puno veće
18
od vlastite frekvencije titranja 0 krivulje približavaju ka , odnosno njihalo i pobuda
su u protufazi. Za razliku u fazi od 2 sustav je u rezonanciji. Nagib krivulja ovisi o
faktoru gušenja, te stoga najstrmija krivulja odgovara najmanjem gušenju, a krivulja sa
najmanjim nagibom odgovara najvećem gušenju.
U diskusiji o oprugama, pretpostavili smo da kruta tijela ostaju nepromjenjena u obliku,
veličini i sl. pri utjecaju neke vanjske sile, no u stvarnosti sva su tijela podložna
deformaciji. Kako se te promjene na tijelu dešavaju unutarnje sile opiru se deformaciji.
Dvije veličine su važne kod diskusije o elastičnim svojstvima krutih tijela, a to su
deformacija(strain) i naprezanje(stress). Naprezanje je ustvari vanjska sila po jedinici
površine poprečnog presjeka koja djeluje na tijelo, a deformacija(strain) je mjera stupnja
deformacije. Za dovoljno mala naprezanja te su dvije veličine međusobno
proporcionalne, a konstantu proporcionalnosti nazivamo modul elastičnosti. Modul
elastičnosti ovisi o materijalu koji se napreže i o prirodi naprezanja.
Kod većine materijala vrijedi Hookeov zakon, tj., za dovoljno male sile koje taj mater-ijal
stlačuju ili navlače, vrijedi da je produljenje tj. skraćenje proporcionalno sili, što je
posljedica aproksimacije krivulje potencijalne energije međudjelovanja atoma s
parabolom, u područjima blizu ravnotežnog položaja.
Hookeov zakon se izražava kao:
gdje je F iznos sile naprezanja kojom djelujemo, S površina presjeka (tj. F/S je sila
naprezanja po jedinici presjeka), l produljenje, tj. skraćenje, a l je početna dimenzija u
smjeru istezanja (tj. ll je relativno istezanje), te E Youngov modul (modul elastičnosti)
koji ovisi samo o materijalu.
19
Ovim grafom se želi pokazati kako će se materijal ponašati pri sve većem naprezanju.
Krivulja u području malih naprezanja do točke A, opisuje elastično ponašanje materijala,
pri kojem se po prestanku djelovanja sile materijal vraća u prvobitno stanje. Točku A
nazivamo elastični limit supstance. Definiramo ju kao maksimalno naprezanje kojim
možemo djelovati na tijelo prije negoli se ono nepovratno deformira. Kada sila
naprezanja prijeđe elastični limit tijelo ostaje trajno deformirano. Ako se i dalje nastavlja
s naprezanjem, tj na grafu dostignemo točku B, točku kidanja, materijal puca.
Upravo rezonancija ima takvo razorno djelovanje na objekte što u konačnici dovodi do
njihova razaranja.
Rezonancija koja nastaje kod prisilnog titranja opaža se u prirodi i u svakodnevnom
životu. Recimo, u straim filmovima može se vidjeti stupanje vojnika preko drvenog
mosta. I ako se frekvencija stupanja vojnika poklopi s vlastitom frekvencijom mosta, tj.
ako se postigne rezonancija, može doći do raspadanja mosta.
Kao ekstremni primjer uzima se razorno djelovanje rezonancije na mostu Tacoma
Narrows Bridge u Washingtonu, SAD 1940. godine.
20
Vjetar odgovarajućeg smjera i brzine pobudio je most na gibanje (njihanje) te kako je
frekvencija gibanja bila u blizini rezonantne frekvencije mosta, amplituda gibanja
postajala je iz sata u sat sve veća te konstrukcija mosta naposljetku nije izdržala i most se
srušio.
Međutim, u slučaju Tacoma mosta, neki drugi procesi doveli su do njegova razaranja.
Slijedi samo kratki opis što se ustvari desilo tog dana 1940. godine.
Uz rezonanciju pri prisilnom titranju postoji vrlo specificna rezonancija izmedu vlastitih
frekvencija sustava koji može titrati torzijski i transverzalno (most Tacoma Narrows ili
krilo aviona).
Prva ideja o razlogu rušenja mosta bila je tzv. vortex shedding, odnosno stvaranje i
otkidanje vrtloga sa strane mosta niz vjetar. Medutim, frekvencija kidanja vrtloga nije
bila blizu ni jednoj vlastitoj frekvenciji mosta.
Kako raste brzina vjetra vlastita frekvencija transverzalnih oscilacija raste, a torzijskih
pada. Ako se poklope, jedan mod torzijskih oscilacija energijom "hrani" transverzalne
oscilacije. U konacnici može se pokazati da tada zapravo imamo slobodno titranje uz
negativno trenje.
Osnovna razlika izmedu prisilnog titranja i ovog koje se naziva samopobudujuće
oscilacije ili flutter je ta što kod prisilnog titranja bez trenja amplituda raste linearno u
vremenu, dok kod fluttera amplituda raste eksponencijalno.
Danas se mostovi i avioni dodatno testiraju kako bi se demonstriralo da pri uvjetima u
kojima bi se mogli naci nece doci do fluttera. (model se testira u aero tunelu, a avioni se
dodatno testiraju poniranjem do maksimalne brzine). Bitno je napomenuti da je sila
prisile u slucaju kratkog trajanja, npr avion pri velikoj brzini naleti na turbulentni paket
zraka koji, ako je brzina dovoljno velika okine flutter [4].