ham phuc va laplace 2_2

TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN HÀM PHỨC VÀ BIEÁN ÑOÅI LAPLACE

HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

*Mở đầu Toán tử Laplace ra đời vào khoảng cuối thế kỷ XIX, nó cho ta nhiều phương

pháp dễ dàng và hiệu nghiệm để giải các bài toán phát sinh trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật khác nhau như: Thuỷ động học, khí động học, cơ học, nhiệt học, các lý thuyết trường điện từ, nước ngầm, nổ định hướng…

Nội dung cơ bản của phương pháp toán tử Laplace là:-Lập tương ứng một – một giữa các hàm phức của tập hợp gốc với các hàm

F của tập hợp ảnh.-Tính toán với các hàm F để tìm ra nghiệm Fo của phương trình gốc A(f) = 0

cần giải nhưng đơn giản hơn rất nhiều.-Dùng tương ứng ngược để đổi Fo thành fo cần tìm.Thông thường, để giải quyết các bài toán trong các ngành kỹ thuật nói

chung, chúng ta phải đi giải các phương trình, hệ phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng…nếu giải các phương trình, hệ phương trình này theo phương pháp cổ điển thì rất dài dòng và phức tạp. Nếu ứng dụng tđó, các phép toán đạo hàm và tích phân trong miền thời gian sẽ được thay thế bằng các phép toán đại số cộng, trừ, nhân , chia trong miền Laplace; các điều kiện đầu cũng được tự động đưa vào quá trình giải mà không cần tìm nghiệm tổng quát, chứa các hằng số bất kỳ, rồi sau đó mới xác định các hằng số đó, từ các điều kiện đầu như cách giải cổ điển quen thuộc.

Trong ngành điện, hàm phức cũng là một công cụ mạnh để giải tích các bài toán điện nói chung. Tuy nhiên, hàm phức chỉ giải tích được các bài toán mà đáp ứng là hàm tuần hoàn như hàm sin, cos. Với các đáp ứng khác thì hàm phức không giải quyết được, đây cũng là hạn chế của hàm phức.

Toán tử Laplace là một công cụ rất mạnh và hữu hiệu để giải tích các bài toán trong ngành điện; nó giải tích được mọi bài toán điện, với mọi đáp ứng, bất kể là hàm gì, miễn sao đáp ứng đó là xác định. Đặc biệt đối với các bài toán quá độ, kèm theo điều kiện đầu, nếu giải theo phương pháp cổ điển sẽ rất dài dòng và phức tạp, khi đó chúng ta phải giải các phương trình, hệ phương trình vi phân, tích phân. Nhưng nếu chuyển bài toán sang miền Laplace, các điều kiện đầu sẽ được tự động

- 1- GVBS : Nguyeãn Trung Luïc


đưa vào bài toán và khi đó chúng ta chỉ cần thao tác với các phép toán đại số cộng, trừ, nhân, chia đơn giản.

Toán tử Laplace là một môn học rất kỳ thú , càng hiểu sâu về nó khiến ta càng say mê, hứng thú. Tuy nhiên, muốn sử dụng toán tử Laplace làm công cụ hữu hiệu để giúp ta giải quyết các bài toán kỹ thuật, thì trước hết ta phải hiểu rõ các tính chất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng nó một cách hợp lý trong từng bài toán cụ thể. Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải khác nhau, nếu áp dụng hợp lý các tính chất của biến đổi Laplace thi bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn nhiều. Trường hợp áp dụng tính chất không hợp lý thì bài toán sẽ rất dài dòng và phức tạp, nhưng cuối cùng thì cũng về chung một đáp số. Tương tự như hai người đi từ ngã tư Bình Thái Quận 9 về chợ Bến Thành Quận 1 TP.HCM. Người thuộc đường sẽ đi con đường ngắn nhất, trong thời gian nhanh nhất để tới chợ Bến Thành ; người không thuộc đường, vừa đi vừa hỏi thăm đường lòng vòng, đường xa hơn, thời gian lâu hơn nhưng cuối cùng cũng về đến chợ Bến Thành.

Là người trực tiếp tham gia giảng dạy môn Hàm phức và biến đổi Laplace hơn mười năm, tôi thấy rằng, đa số sinh viên khi mới tiếp xúc với môn học này đều thấy rất khó khăn, phức tạp; vì sinh viên chưa hiểu rõ các khái niệm, định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Laplace do đó chưa có sự vận dụng thuần thục vào các bài toán khác nhau. Với mong muốn giúp sinh viên học tập môn học Hàm phức và biến đổi Laplace được thuận lợi và dễ ràng hơn, ở mỗi nội dung, mỗi vấn đề, tôi đều đưa ra nhiều dẫn chứng minh hoạ, rõ ràng, dễ hiểu.



PHẦN I: LÝ THUYẾTCHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

I.Khái niệm về số phức :+ Đơn vị ảo kí hiệu là i, là một số mà bình phương của nó bằng –1 ; i 2

= -1. Trong kỹ thuật điện, để tránh nhầm lẫn với kí hiệu dòng điện người ta dùng chữ J để kí hiệu đơn vị ảo: J2 = -1

+ Tích của số thực với đơn vị ảo là 1 số ảo, VD: 2J, -7J…+ Số phức C là một lượng gồm hai thành phần: Thành phần thực a và thành

phần ảo b: C = a + Jb. Cần chú ý là thành phần thực a vào phần ảo b khác hẳn nhau và bản chất không thể bù trừ cho nhau được. Do đó 2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau.Ví dụ 1.1: có 2 số phức: C1 = a1 + Jb1; C2 = a2 + Jb2

C1 = C2 a1 = a2 b1 = b2

II. Các dạng biểu diễn của số phức 1.Dạng hình học:

- Trong mặt phẳng phức lấy hệ toạ độ vuông góc, trục hòanh biểu diễn các số thực, kí hiệu là +1, gọi là trục thực, trục tung biểu diễn các số ảo, gọi là trục ảo kí hiệu là +J.

- Mỗi số phức C = a + Jb được biểu diễn như sau: Phần thực a đặt trên trục thực, còn phần ảo b đặt trên trục ảo . Điểm M có toạ độ (a,b) là điểm biểu diễn số phức C .

- Góc tính từ trục thực đến véc tơ OM theo chiều dương (là chiều ngược với kim đồng hồ), gọi là acgumen của số phức C, đơn vị là radial hoặc độ = argC;

tg = b/a ; - ; hoặc 0 2.2.Dạng đại số :

Dạng C = a + Jb = Re C + J ImC (1.1) gọi là dạng đại số của số phức C; a và b là 2 số thực.-a gọi là phần thực và kí hiệu là Re C : a = ReC -b gọi là phần ảo và kí hiệu là Im C : b = Im C.

3.Dạng lượng giác :


Hình 1.1:

M


Từ cách biểu diễn hình học trên hình 1.1 ta có : a = ReC = /C/ . cos ;

b = Im C = /c/. sin ; thay vào (1.1) ta có :

C = /C/.cos + J/C/. sin = /C/ (cos + J sin) (1.2)Dạng (1.2) gọi là dạng lượng giác của số phức. Như vậy, số phức hoàn toàn

được xác định bởi mô đul và acgumen của véc tơ biểu diễn phức.4.Dạng mũ:

Áp dụng công thức ơle : cos + J sin = eJ thay vào (1.2) ta có : C = /C/. eJ gọi là dạng mũ của số phức .

5. Dạng cực :- Người ta có thể biểu diễn số phức C ở dạng cực như sau :

C = /C/. eJ = /C/- Như vậy mỗi số phức đều có 2 cách biểu diễn cơ bản: Biểu diễn bằng phần

thực a phần ảo b hoặc biểu diễn bởi mô đul /C/ và ac gumen . Bốn thành phần này của số phức có quan hệ chặt chẽ với nhau, theo quan hệ tam giác lượng. Nếu biết 2 thành phần, ta sẽ tính được 2 thành phần còn lại .

III.Cách đổi số phức dạng đại số sang dạng mũ (cực)Ví dụ 1.2 : Đổi các số phứ c sau từ dạng đại số sang dạng mũ ( cực)

C1 = 4 + J3 ; C2 = 4 - J3 ; C3 = - 4 + J3 ; C4 = - 4 – J3 GIẢI

Cả 4 số phức trên có môđun bằng nhau:


Hình 1.2


Để tính acgumen ta biểu diễn các số phức bằng hình học như hình 1.2. Căn cứ vào hình biểu diễn các số phức như trên, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được acgumen của các số phức như sau :

+ Đối với số phức C1 = 4 + J3 : 1 = tan-13/4 = 36087/

+ Đối với số phức C2 = 4 - J3 ; 2 = -tan –13/4 = -36087/

+ Đối với số phức C3 = -4 + J3 ; 3 = 1800 - tan-13/4 = 143013/

+ Đối với số phưc C4 = -4 –J3 ; 4 =1800 + tan-13/4 = 216087/

Kết quả:

IV.Số phức liên hợp và các số phức đặc biệt + Số phức liên hợp với số phức : C = /C/eJ = a + Jb = /c/ được kí hiệu là C*

được định nghĩa như sau : C* = a - Jb = /C/ -

+ Các số phức đặc biệt:J = 0 + J1 = 1900 ; -1 = -1 + J0 = 11800

1 = 1 + Jo = 1O0 ; -J = 0 - J1 = 1-900

V.Các phép toán về số phức :Cho 2 số phức : C1 = a1 + Jb1 = /C1/.e J1 = /C1/ 1

C2 = a2 + Jb2 = /C2/.e J2 = /C2/ 2Các phép toán về số phức được thực hiện như sau :

1.Phép cộng các số phức :Muốn cộng các số phức, ta cộng các phần thực với nhau, các phần ảo với nhau:C1 + C2 = (a1 +Jb1 ) + (a2 +Jb2 ) = (a1 +a2 ) + J(b1 +b2 )Ví dụ 1.3: (-4 + J7) + (-5 –J2) = -9 + J5

2.Phép trừ các số phức :Muốn trừ các số phức, ta trừ các phần thực với nhau, các phần ảo với nhau:C1 – C2 = (a1 + Jb1 ) - (a2 + Jb2 ) = (a1 - a2) + J(b1 – b2 )Ví dụ 1.4 : (-4 + J7) – (-5 - J2 ) = 1 + J9

3.Phép nhân hai số phức dạng đại số :



Nhân hai số phức dạng đại số :C = C1.C2 = (a1 + Jb1).(a2 + Jb2 ) = a1a2 + a1Jb2 + Jb1a2 + J2b1b2

Vì J2 = -1 do đó C = C1.C2 = (a1a2 - b1b2) + J(a1b2 + b1a2)Ví dụ 1.5:

(-4 + J7 ).(-5 – J2 ) = 20 + J8 – J35 + 14 = 34 - J27 = 43,416-38,4540

4.Nhân hai số phức dạng mũ (dạng cực )Muốn nhân hai số phức dạng mũ (dạng cực) ta nhân các mođul với nhau và

cộng các acgumen với nhau :C = C1.C2 = /C1/ . eJ1 . /C2/ eJ2 = /C1/. /C2/ eJ(1+2) = /C1/./C2/

C = C1.C2 = . = . 1+2

Ví dụ 1.6: 15 30o. 5 -5o = 75 25o

5.Phép chia 2 phức : 5.1. Chia 2 số phức dạng đại số :

Muốn chia 2 số phức dạng đại số, ta nhân cả số phức bị chia và số phức chia với liên hợp của số phức chia.

Ví dụ 1.7:

5.2.Chia 2 số phức dạng mũ (dạng cực ): Muốn chia 2 số phức dạng mũ (dạng cực), ta chia các mođul với nhau và trừ các acgumen với nhau.

Với :

Ví dụ 1.8: = =-2eJ(30-15)= -2eJ15=-2

VI.Hàm số biến phức:


y


A B Z W

Nếu với mỗi giá trị Z của tập điểm A trong mặt phẳng kín xoy ta có tương

ứng một hay nhiều giá trị W thì ta nói trên tập A đã cho một hàm biến phức:W = (z) (1.4) trường hợp đầu (có một giá trị W )ta nói hàm đơn trị, trường

hợp sau (có nhiều giá trị W ) ta nói hàm đa trị . Z được gọi là biến độc lập hay đối số, W là biến số phụ thuộc hay hàm số . + Gọi B là tập hợp các điểm W tương ứng với tất cả các điểm Z của A, ta còn nói W = (z) thực hiện một phép biến hình (ánh xạ ) tập A lên tập B . W được gọi là ảnh của Z và Z là nghịch ảnh của W qua phép biến hình W = (z). B là ảnh của tập A qua phép biến hình W =(z) và kí hiệu B = (A) . + Nhờ tương ứng (1.4) mỗi điểm W của B ứng với một hay nhiều điểm Z của A.Vậy trên B đã xác định một hàm biến tập B lên tập A : Z = g(W) (1.5); hàm (1.5) gọi là hàm ngược của (1.4) + Khi W = (z) đơn trị trong A và Z = g(W) đơn trị trong B thì ta nói phép biến hình W = (z) đơn trị hai chiều hay đơn điệu trong A. Trong phép biến hình này ta luôn có (Z1) (Z2) nếu Z1 Z2 .

VII.Cách sử dụng máy tính cầm tay tính toán số phức.1.Máy tính CASIO FX-570ES.

Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức: Bấm MODE 2, từ đây về sau coi như máy tính đang ở chế độ tính toán số phức, không nhắc lại nữa.1.1.Đổi số phức dạng đại số sang dạng cực hoặc dạng mũ. Ví dụ 1.9: Đổi số phức 4 – j3 sang dạng mũ hoặc cực, bấm như sau:

4 - 3 SHIFT ENG SHIFT 2 3 =Kết quả được: 4 – j3 = 5.e-j36,87 = 5 -36,870

1.2.Đổi số phức dạng mũ hoặc cực sang dạng đại số:Ví dụ 1.10: Đổi số phức 5 -36,870 sang dạng đại số, bấm như sau:5 SHIFT (-) (-) 36.87 SHIFT 2 4 =

Kết quả được: 5 -36,870 = 3,99999 – j31.3.Cộng, trừ số phức dạng đại số với dạng cực.


0x

0 UHình 1.3


Ví dụ 1.11 : Tính số phức 4 – j3 + 6 450 Bấm như sau: 4 - 3 SHIFT ENG + 6 SHIFT (-) 45 =

Kết quả được: 4 – j3 + 6 450 = 8,243 +j1,243, nếu muốn đổi tiếp sang dạng cực thì bấm tiếp: SHIFT 2 3 = kết quả được 8,336 8,5730

1.4.Nhân, chia số phức dạng đại số với dạng cực:Ví dụ 1.12: Tính số phức: (4 – j3) x (6 450) : (2 300) ta bấm như sau:

( 4 - 3 SHIFT ENG ) X ( 6 SHIFT (-) 45 ) :( 2 SHIFT (-) 30 ) =Kết quả được: 13,92 – j5,587 muốn đổi tiếp sang dạng cực thì bấm tiếp: SHIFT 2 3 = kết quả được 15 -21,870

2.Máy tính CASIO FX-570MS.2.1.Chuyển từ dạng đại số sang dạng mũ hoặc cực.

Ví dụ 1.13: Cho số phức z = 4 +j3 = 5ej36,86 = 5 36,860

Bấm: MORE 2 Trên màn hình máy tính xuất hiện chữ CMPLX, máy tính đã chuyển sang chế độ tính toán số phức, từ đây về sau coi như máy tính đang ở chế độ tính toán số phức, không nhắc lại vấn đề này. tiếp tục bấm:

4 + 3 Shift ENG Shift + = được mô đun 5Bấm tiếp Shift = được góc cực 36,860 Như vậy số phức có dạng hàm mũ là: 5 36,860

2.2.Chuyển từ dạng mũ hoặc cực sang dạng đại số.Ví dụ 1.14: Cho số phức z = 5 36,860 = 4 + j3 Bấm: 5 Shift (-) 36.86 Shift - = được phần thực 4Bấm tiếp: Shift = được phần ảo là 3.Như vậy số phức có dạng đại số là: 4 + j3

2.3.Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.Ví dụ 1.15: Cho hai số phức z1 = 5 36,860 ; z2 = 5 + j3 Tính z3 = z1 + z2

bấm như sau:

( 5 Shift (-) 36,86 ) + ( 5 + 3 Shift ENG ) = 9

Sau đó tiếp tục bấm Shift = 5,99i

Như vậy số phức có dạng đại số là: z3 = 9 + j5,99Muốn đưa về dạng hàm mũ thì bấm tiếp:

Shift + = 10,8111

Rồi bấm tiếp Shift = 33,6450



Như vậy dạng hàm mũ tương ứng là: z3 = 9 + j5,99b = 10,81111 33,6450

Các phép toán khác, cách bấm tương tự.3.Máy tính Casio FX-500-MS

Mở máy tính về giao diện màn hình tính toán: Bấm MODE 1(COM)

Hoặc bình thường máy tính luôn hiển thị ở giao diện này, với giao diện này, các lệnh có ý nghĩa như sau:

Nút Pol dùng cho tính toán dạng đại số, Shift và (Pol) ↔ Rec: dùng cho dạng lượng giác.

Dấu phảy (,): Thể hiện sự phân cách giữa các giá trị.Các phép toán cộng trừ, nhân, chia thực hiện bằng các dấu: + , - , x , ÷

3.1.Đổi số phức từ dạng đại số sang dạng mũ hoặc cực. Z = a + jb = Zejφ Ta nhập lần lượt: Pol (a, b = Z Đọc kết quả trên màn hình ta có Z sau đó bấm tiếp: RCL TAN =Đọc kết quả trên màn hình ta có F = φ0

Ví dụ 1.16: Cho số phức dạng đại số như sau: z = 15 + j6 = 16,155ej21,8

Bấm Pol(15, 6 = đọc kết quả trên màn hình được mô đun Z = 16,155Bấm tiếp RCL TAN = đưiợc kết quả góc cực F = 21,80

3.2. Đổi số phức từ dạng mũ hoặc cực sang dạng đại số.Cho số phức Z = Zejφ = a + jb đổi số phức sang dạng đại số ta bấm như sau:Shipft Pol(Z, φ = máy tính hiển thị tương đương là REC(Z, φ =Đọc kết quả trên màn hình ta có a sau đó bấm tiếp: RCL TAN =

được kết quả F = b.Ví dụ 1.17: Cho số phức z = 500ej35 = 90,9576 + j28,678Ta nhập lần lượt: REC(500, 35 = kết quả trên màn hình được a = 90,9576

Bấm tiếp RCL TAN = được phần ảo F = 28,678Chú ý: Với các số phức mang dấu (-), cách nhập cũng tương tự.

4.Máy tính FX – 500 – ESMở máy tính về giao diện màn hình tính toán: Bấm MODE 1(COM)

Hoặc bình thường máy tính luôn hiển thị ở giao diện này, với giao diện này, các lệnh có ý nghĩa như sau:

SHIPFT và (+) Pol : Dùng với dạng đại số SHIPFT và (-) Rec : Dùng với dạng mũ hoặc cực

SHIPFT và ) Dấu phảy (,) thể hiện sự phân cách giữa các giá trị.



Các phép toán cộng trừ, nhân, chia thực hiện bằng các dấu: + , - , x , ÷4.1.Đổi số phức từ dạng đại số sang dạng mũ hoặc cực. Z = a + jb = Zejφ

Ta nhập lần lượt: Shipft + a Shipft ) b =Khi thao tác lệnh như trên, màn hình sẽ hiển thị tương đương là:Pol (a, b = đọc kết quả trên màn hình ta có r = Z ; θ = φVí dụ 1.18: Cho số phức dạng đại số như sau: z = 15 + j6 = 16,155ej21,8

Bấm: Shipft + 15 Shipft ) 6 =Đọc được kết quả trên màn hình: r = 16,155 ; φ = 21,80

4.2. Đổi số phức từ dạng mũ hoặc cực sang dạng đại số. Z = Zejφ = a + jbTa nhập lần lượt: Shpift - Z Shipft ) φ = Khi thao tác lệnh như trên, màn hình sẽ hiển thị tương đương là:

REC(Z, φ = đọc kết quả trên màn hình ta có Z = a ; Y = bVD cho số phức z = 500ej35 = 90,9576 +j28,678Ta nhập lần lượt: Shpift - Z Shipft ) φ =Đọc được kết quả trên màn hình: a = 90,9576 ; b = 28,678

Nghĩa là z = 90,9576 +j28,678Chú ý: Với các số phức mang dấu (-), cách nhập cũng tương tự.

Đối với các loại máy tính Casio - FX – 500 – ES (hoặc 500MS), không thực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia trực tiếp trên máy tính được, mà chỉ có thể chuyển đổi từ dạng hàm mũ, sang dạng đại số hoặc ngược lại.

Chỉ có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân chia theo nguyên tắc đã trình bày ở chương 1.

VIII.Dùng số phức giải mạch điện xoay chiều.1. Biểu diễn mạch hình sin bằng số phức.1.1.Áp phức và dòng phức:

Cho biểu thức dòng điện và điện áp như sau:

i(t) = I Sin t ; u(t) = U Sin (t + )+Biểu diễn i(t) và u(t) bằng số phức dạng hình học như sau:+Biểu diễn i(t) và u(t) bằng số phức dạng cực, mũ, lượng giác:

= I00 = I.eJ0 = I.(Cos00 + JSin00)


+J

+1

0

I

+J

+10

Uφ

Hình 1.4


= U = U.eJ = U(Cos + JSin)

Ví dụ 1.19:Biểu diễn các giá trị dòng điện và điện áp sau đây sang dạng phức.

a) u(t) = 100 Sin (400t - 300 ) ; c) i(t) = 5 Sin 314t b) i(t) = 5 Cos(314t + 600) ; d) u(t) = 15 Sin 314t

Giải:

a) = 100-300 = 100.e-J30 = 100.(Cos300 – Jsin300 ) = 86,6 – J50

b)Đổi Cos sang Sin:i(t) = 5 Cos(314t + 600) = 5 .Sin(314t + 300)

= 5300 = 5.eJ30 = 5(Cos30 + Jsin30) =

c) = 500 = 5.eJ0 = 5(Cos00 + Jsin00 ) = 5

d) = 1500 = 15.eJ0

1.2.Tổng trở phức :

= R + JX = R + J(XL – XC) = Z.eJ

Z =

: Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện.

+Đối với nhánh thuần trở: = R = R.eJ0

+ Đối với nhánh thuần điện cảm: X = XL ;

= R + JX = 0 + JXL = Z.eJ = JXL = XL eJ90

+ Đối với nhánh thuần điện dung: X = -XC ;

= R + JX = 0 + J(0 – XC) = -JXC = XC e-J90

Ví dụ 1.20: Cho mạch điện như hình 1.6:Biết R = 3 , XL = 4 ; u(t) = 20 Sin (400t + 800 ) Tìm dòng điện trong nhánh Giải:

Ta có điện áp phức là: = 20800 = 20.eJ80

Tổng trở phức là: = R + JX = R + J(XL – XC) = 3 + J4

Ta đổi về dạng mũ: Z = = 5 ; tg = 4/3 suy ra = 53,130

= 5.eJ53,13


I

U

Z

RU

L

Hình 1.5

Hình 1.6


Dòng điện phức là:

Vậy dòng điện trong nhánh là: i(t) = 4 Sin(314t + 26,870) A1.3.Tổng dẫn phức:

Nghịch đảo của tổng trở phức gọi là tổng dẫn phức

= G – JB ; G = ; B = ;

G, B : Điện dẫn tác dụng và phản kháng của nhánh.

1.4.Công suất phức:

Tích của điện áp phức và liên hợp phức dòng điện nhánh gọi là công suất phức của nhánh.

= U.I.eJ = U.I(Cos + JSin) = P + JQ = S. eJ

Trong đó: là liên hợp phức của

P, Q : Công suất tác dụng và công suất phản kháng.Ví dụ 1.21: Cho mạch điện như hình 1.7: Biết : u(t) = 20 Sin (314t + 800 ),V i(t) = 4 Sin (314t + 26,500 ),VTính công suất của mạch: Giải:

Phức hoá mạch ta có: = 20800 = 20.eJ80

Dòng điện phức là: ;

= 20800 . 4-26,500 = 8053,10 = 80.eJ53,1 = 48,03 + j63,97

Vậy công suất của mạch là: S = 80VA ; P = 48,03W ; Q = 63,97VAR2.Định luật Kirchhoff dạng phức.


RU

L

i1 i2i3

e1e2

RLC

1I

2I

3I

1Z3Z

2Z

1E

2E

I II

Hình 1.7


Hình 1.8 : a)Mạch miền thời gian: b)Mạch miền phức:Định luật kirchhoff dạng phức hoàn toàn tương tự như định luật kirchhoff

trong miền thời gian.2.1.Định luật Kirchhoff 1: (K1)

Tổng đại số các dòng điện phức tại một nút bằng không.

Ví dụ 1.22: Trong mạch điện hình 1.8b ta có: = 0

2.2.Định luật Kirchhoff 2: (K2)Đi theo một vòng kín, tổng đại số các Sđđ phức bằng tổng đại số các điện áp

phức trên các phần tử:

Ví dụ 1.23: Trong mạch điện hình 1.8b có: ;

Lưu ý các chiều của dòng điện và Sđđ.3.Giải mạch hình sin dùng số phức.3.1.Khái niệm chung:

Có nhiều phương pháp để giải mạch hình sin xác lập. Một trong những phương pháp thường dùng là phương pháp véc tơ. Nếu mạch điện có nhiều nguồn, nhiều phần tử đấu hỗn hợp thì giải theo phương pháp này rất phức tạp.

Khi chuyển mạch sang miền phức, việc tính toán đơn giản hơn rất nhiều. Tất cả tổng trở, tổng dẫn, nguồn điện… ta tính toán tương tự như mạch điện một chiều với điện trở thuần R. Các bước giải mạch như sau:Bước 1:

Chuyển mạch thực sang mạch phức (Phức hoá mạch) theo quy tắc:+Nguồn áp hoặc dòng: u(t) = U Sin (t + ),V i(t) = I Sin (t + ), A

Chuyển thành: = U ; = I+Các phần tử R, L, C chuyển thành:

R = R ; L = JXL = JL ; C = -JXC = -J/C

Bước 2: Giải mạch, tuỳ theo từng mạch điện cụ thể, có thể dùng một trong các phương pháp sau: Phương pháp dòng nhánh, Phương pháp thế nút, Phương pháp dòng mắt lưới, Phương pháp xếp chồng, Phương pháp biến đổi tương đương…Bước 3:

Chuyển các thông số từ miền phức sang miền thực.3.2.Các phương pháp giải tích mạch:



a.Phương pháp biến đổi tương đương:a1.Ghép tổng trở tương đương, công thức chia áp:

Cho mạch điện như hình 1.9:+Tổng trở tương đương của mạch là:

+Công thức chia áp:

;

+Tổng quát: Tổng trở tương đương của n tổng trở nối tiếp , … là:

= + + … +

+Điện áp trên phần tử thứ K là:

a2.Ghép tổng trở song song, công thức chia dòng:+Trường hợp mạch có hai nhánh song song:-Tổng trở tương đương:

-Dòng điện mỗi nhánh:

;

+Tổng quát: -Tổng trở tương đương của n -Dòng qua phần tử thứ K là: tổng trở ghép song song là:

;

a3.Sơ đồ tương đương của nguồn điện.


1Z

2Z

I

U

2U

1U

Hình 1.9

Hình 1.10


Nguồn sức điện động mắc nối tiếp với một điện trở, sẽ tương đương với một nguồn dòng mắc song song với điện trở đó (Hình 1.11).

IN = E/R0

a4.Phương pháp biến đổi tương đương.Bước 1: Đưa mạch điện phân nhánh về mạch điện không phân nhánh bằng

cách thay các nhánh song song bằng một nhánh có tổng trở tương đương.Bước 2: Áp dụng định luật ôm cho đoạn mạch, tìm dòng điện mạch chính.Bước 3: Tìm dòng điện mạch rẽ bằng công thức phân dòng.Tuỳ theo từng mạch điện cụ thể, có thể dùng sơ đồ biến đổi tương đương của

nguồn điện để biến đổi nguồn áp thành nguồn dòng hoặc nguồn dòng thành nguồn áp để giải mạch cho thuận lợi.Ví dụ 1.24: Tìm dòng điện i(t) trên mạch điện Hình 1.12a:

Hình 1.12: a)Mạch thực b)Mạch phức.Giải:

+Chuyển mạch sang miền phức, ta được như hình 1.12b. 1,5 1,5 ; 1/3H JXL = JL = J3.1/3 = J1 1 1 ; 1/6F -JXC = -J1/(C) = -J1/(3/6) = -J2 402.Sin3t 4000 ,+Tổng trở tương đương nhìn từ nguồn là:

= 1,5 + [J1//(1 – J2)] = 1,5 +


i(t)

1,5 1

1/3H1/6FH402.Sin3t

(V)

A

B

IJ1

-J24000

1,5 1A

B

Hình 1.11


=

Suy ra:

Vậy dòng điện trong mạch thực là: i(t) = 162.Sin(3t – 36,90), AVí dụ 1.25

Cho mạch điện như hình 1.13:

1)Tính các dòng điện: , ,

2)Viết các biểu thức theo t của chúng:iR(t) , iL(t) , iC(t)

Giải:1)Tổng trở tương đương nhìn từ nguồn:

= 10 + (-J100//J20) = 10 +

Suy ra

+Tính và dùng công thức chia dòng:

+Đổi và về dạng cực ta được:

2)Chuyển các giá trị về mạch thực ta có: iR(t) = 3,71 Sin(t + 68,20) iC(t) = 0,93 Sin(t – 111,80) iL(t) = 4,64 Sin(t + 68,20)b)Phương pháp biến đổi sao – tam giác:

Điều kiện biến đổi là, khi thay thế tương đương không làm thay đồi dòng và áp của phần mạch điện còn lại.


-J100

J20

10000

10

Hình 1.13


Cụ thể là các dòng IA , IB , IC , các áp UAB , UBC , UCA trong sơ đồ sau không thay đổi .

*Biến đổi tam giác sang sao :

; ;

*Biến đổi sao sang tam giác:

; ;

Ví dụ 1.26:Cho mạch điện như hình 1.15:Hãy thực hiện phép biến đổi sao – tam giác.

Biết :

Tính dòng điện

Giải:Biến đổi hình sao: Y(0, 1, 2, 3) từ hình 1.15, thành hình tam giác ta được

hình 1/16a.


1 2

3

-J4

J2

J2

J1

1

1Ω

SI

SI

0

Ha

I

A

BC

RA

RBRC

IA

IBIC

0

A

BC

RAB

RBC

RCA

IA

IBIC

IAB

IBC

ICA

Hình 1.14

Hình 1.15


= J2 + J2 + (J2.J2)/J1 = J8 ; J2 + J1 + (J2.J1)/J2 = J4

Đặt = 1// = = 0,941 + J0,235 = 0,97140

= 0,941 – J7,765 = 7,82-83,10

Áp dụng công thức chia dòng có:

c.Phương pháp dòng nhánh:-Gỉa sử mạch điện có d nút, n nhánh. Theo phương pháp này, đầu tiên ta tìm

n dòng điện nhánh, bằng cách viết hệ n phương trình độc lập đối với n dòng nhánh gồm:

-(d – 1) phương trình viết cho (d – 1) nút dùng định luật K1.-(n – d + 1) phương trình viết cho (n – d + 1) vòng hoặc mắt lưới dùng định

luật K2.-Giải hệ n phương trình đại số tuyến tính này ta tìm được dòng điện trong

các nhánh. Từ đó có thể suy ra điện áp trên các phần tử, các nhánh… Để minh hoạ cho phương pháp này ta xét ví dụ sau:Ví dụ 1.27:

Cho mạch điện như hình 1.17, Tìm dòng , Suy ra i1(t) , i2(t)


SI

SI

12Z

23Z

31Z 11

-J4

12

3

I

SI

SI

12Z

23Z

1Z1

2

3

1-J4

1I

2I

I

a)b)Hình

1.16

1I

2I

3I

2 1J1

J2

-J2

-J110005-900

I II

AB

C

D


Giải:+Viết phương trình cho hai mắt lưới I và II , áp dụng định luật Kirchhoff 2

ta có:

(2 + J1) + (J2 – J1) = 1000 (1)

(1 – J2) - (J2 – J1) = -5-900 (2)

+Viết phương trình K1 cho nút B:

- - = 0 (3)

+Từ (3) suy ra = - , thế vào phương trình (1) và (2) ta có:

(2 + J1) + (J2 – J1)( - ) = 1000

(1 – J2) - (J2 – J1)( - ) = -5-900

(2 + J1) + J1 - J1 = 1000

(1 – J2) - J1 + J1 = -5-900

(2 + J2) - J1 = 1000 = 10

- J1 + (1 - J1) = -5-900 = J5

Áp dụng quy tắc Creamer ta có:

= (2 + J2)(1 – J) + 1 = 5

= 10(1 – J) – (-J)(J5) = 5 – J10

= (2 + J2)J5 – (-J)10 = -10 + J20


Hình 1.17

(4)


Vậy = 1-J2 ; = -2 + J4

Muốn tìm i1(t) và i2(t) , ta đổi và sang dạng cực được:

= 2,24-63,40 i1(t) = 2,242Sin(t – 63,40)

= 4,48116,60 i2(t) = 4,482Sin(t + 116,60)

d.Phương pháp dòng mắt lưới:Nếu mạch điện có d nút, n nhánh thì số mắt lưới là: L = (n – d + 1).Các biến cần tìm là (n – d + 1) dòng điện mắt lưới. Viết (n – d + 1) phương

trình mà các ẩn số là (n – d + 1) dòng mắt lưới cho (n – d + 1) mắt lưới dùng định luật K2, giải hệ phương trình đó, ta tìm được các dòng mắt lưới. Từ đó sẽ suy ra được các dòng điện nhánh.

Nếu mạch điện có L mắt lưới, ta sẽ viết được L phương trình mắt lưới có dạng sau: Z11.Im1 + Z12.Im2 + … + Z1L.ImL = Em1 Phương trình K2 viết cho mắt lưới 1 Z21.Im1 + Z22.Im2 + … + Z2L.ImL = Em2 Phương trình K2 viết cho mắt lưới 2

………………………………………………………………………. ZL1.Im1 + ZL2.Im2 + … + ZLL.ImL = EmL Phương trình K2 viết cho mắt lưới LHoặc trình bày ở dạng ma trận:

Z11 + Z12 + … + Z1L Im1 Em1

Z21 + Z22 + … + Z2L Im2 = Em2

………………………… … ….ZL1 + ZL2 + … + ZLL ImL EmL

Trong đó:Zii = Tổng trở kháng của các nhánh thuộc mắt lưới I, (i =1 ÷ L)Zij = Zji = (Tổng các trở kháng của các nhánh chung giữa 2 hai mắt lưới i

và j ) (i =1 ÷ L ; j =1 ÷ L; i j ). Lấy dấu “+” nếu trên các nhánh chung hai dòng

mắt lưới chảy cùng chiều nhau, lấy dấu “-“ trong trường hợp ngược lại.Nếu ta chọn tất cả các dòng mắt lưới có cùng chiều với nhau thì trên nhánh chung giữa hai mắt lưới hai dòng điện mắt lưới luôn chảy ngược chiều nhau, do đó luôn lấy dấu “-“.

Emi = Tổng đại số các sức điện động thuộc mắt lưới i, Nếu chiều dòng mắt lưới i đi từ cực “-“ đến cực “+” của một nguồn sức điện động, thì nguồn sđđ đó mang dấu “+”, ngược lại lấy dấu “-“.



Trường hợp mạch có chứa nguồn dòng mắc song song với một trở kháng, thì dùng phép biến đổi tương đương, để biến thành nguồn áp, trước khi lập phương trình.Ví dụ 1.28: Giải lại ví dụ 1.27 bằng phương pháp dòng mắt lưới. Tìm dòng i1(t) , i2(t), i3(t) .

Giải:+Viết phương trình cho hai mắt lưới I và II.

(2 + J1 + J2 – J1) - (J2 – J1) = 1000 = 10 (1)

-(J2 – j1) + (-J2 + 1 – J1 + j2) = -5-900 = J5 (2)

(2 + J2) - J1 = 1000 = 10

- J1 + (1 - J1) = -5-900 = J5

Hệ phương trình này tương tự như PT (4), ví dụ 1.26, theo kết quả trên ta được:

= = 1 – J2 = 2,24-63,40 ; = = -2 + J4 = 4,47116,60

= - = 1 – J2 + 2 – J4 = 3 – J6 = 6,7-63,40

e)Phương pháp thế nút:Nếu mạch điện có d nút, ta sẽ viết được (d – 1) phương trình thế nút có dạng

sau: Y11.V1 + Y12.V2 + … + Y1,d-1.Vd-1 = J1 Phương trình K1 viết cho nút 1 Y21.V1 + Y22.V2 + … + Y2,d-1.Vd-1 = J2 Phương trình K1 viết cho nút 2 ……………………………………… Yd-1,1V1 + Yd-1,2V2 + … + Yd-1,d-1.Vd-1 = J1 Phương trình K1 viết cho nút d-1

Hoặc trình bày ở dạng ma trận: Y11 + Y12 + … + Y1,d-1 V1 J1

Y21 + Y22 + … + Y2,d-1 V2 = J2

…………………………… … …. Yd-1,1 + Yd-1,2 + … + Yd-1,d-1 Vd-1 Jd-1 Trong đó:

Yii (i =1 ÷ d -1) = Tổng các dẫn nạp của các nhánh nối với nút i.Yij = Yji = - (Tổng các dẫn nạp của các nhánh nối giữa 2 nút i và j )


1I

2I

3I

2 1J1

J2

-J2

-J11000

5-900

I II

AB

C

DHình 1.18


(i =1 ÷ d –1; j =1 ÷ d –1; i j ) Ji = Tổng đại số các nguồn dòng chảy vào nút i, mang dấu “ + “ nếu nguồn

dòng chảy vào, ngược lại mang dấu “ – “.Ví dụ 1.29: Giải lại ví dụ 1.27 bằng phương pháp thề nút. Giải:

Chọn nút D làm chuẩn (0V) viết phương trình thế nút cho nút B bằng cách cho tổng các dòng dời nút bằng không, ta có:

B (0,4 – J0,2) – J1 + 0,2 + J0,4) = 4 – J2 + 2 – J1B (0,6 – J0,8) = 6 – J3 B = 6 + J3 = 6,7126.570 .

= 3 – J6 = 6,71-63,430

Ví dụ 1.30: Cho mạch điện như hình 1.20:

Tính các dòng điện nhánh: , , , ,

Giải:


1I

2I

3I

4I

1 2

5I

1

J4J5

J5A50A

J10A-J2 -J4

1 2

1I

2I

3I

2 1J1

J2

-J2

-J11000

5-900

I II

AB

C

D

Hình 1.19

Hình 1.20


+Chọn nút dưới làm chuẩn (0V), viết phương trình thế nút cho hai nút trên dưới dạng ma trận:

G11 = 1/J4 – 1/J2 + 1/1 = -J0,25 + J0,5 + 1 = 1 + J0,25G22 = 1/1 + 1/J5 - 1/J4 = 1 - J0,2 + J0,25 = 1 + J0,05G12 = G21 = -1 Vậy ta có hệ phương trình thế nút:(1 + J0,25)1 - 2 = 50 – J10 -1 + (1 + J0,05) 2 = J10 + J5

Hoặc viết dưới dạng ma trận: 1 + J0,25 -1 1 50 – J10 -1 1 + J0,05 2 J15Dùng phương pháp Creamer giải hệ phương trình ta được: = (1 + J0,25) (1 + J0,05) – 1 = -J0,01 + J0,3 = 0,391,90

1 = 50 – J10 -1 = (50 – J10)(1 + J0,05) + J15 -1 1+J0,05 = 50,5 + J7,5 = 51,1-8,450

2 = 1 + J0,25 50 – J10 = (1 + J0,25)J15 + (50 – J10) = 46,25 + J5 -1 J15 = 46,526,170

= -30,6 – J167,5 – (12,8 – J169,8) = -43,4 + J2,3f.Phương pháp xếp chồng.

Giả sử mạch điện có n nguồn độc lập kí hiệu E1 , E2 , E3 , … En . Ta giải mạch theo các bước sau :Bước 1 :



Chỉ cho nguồn E1 làm việc, huỷ tất cả các nguồn khác (Huỷ nguồn áp bằng cách ngắn mạch hai cực, huỷ nguồn dòng bằng cách hở mạch hai cực). Xác định các dòng nhánh chỉ do dòng I1 tạo nên : I’Bước 2, 3 ... n :

Tương tự như bước 1, ta xác định đượccác dòng nhánh I’’ , I’’’, In lần lượt chỉ do một nguồn E1 , E2 , E3 , … En tạo nên.

Theo nguyên lí xếp chồng khi ta cho cả n nguồn cùng làm việc thì dòng trong mỗi nhánh là : Ix = I’ + I’’ + I’’’+ … + In

Ví dụ 1.31:Để minh hoạ cho phương

pháp này ta giải lại ví dụ 1.27 bằng phương pháp xếp chồng:Cho mạch điện như hình 1.21:

Tìm dòng , ; Suy ra i1(t) , i2(t)

Giải:

*Cho một nguồn 1000 làm việc, huỷ nguồn 5-900 bằng cách ngắn mạch 2 cực ta được mạch như hình A, giải mạch hình A để tính I’1, I’2, I’3 chỉ do một nguồn 1000 tạo nên:

(-j2 –j1)//(1 – j2) =

= 2,828-450


1I

2I

3I

2 1J1

J2

-J2

-J11000

5-900

I II

AB

C

D

2 1J1

J2

-J2

-J11000

AB

C

D

2 1J1

J2

-J2

-J1

10005-900

AB

C

D

I’1

I’2

I’3 I’’1

I’’2

I’’3

A) B)

Hình 1.21

Hình 1.22


*Cho một nguồn 5-900 làm việc, huỷ nguồn 1000 bằng cách ngắn mạch 2 cực ta được mạch như hình 1.22B, giải mạch để tính I’’1, I’’2, I’’3 chỉ do một nguồn 5-900 tạo nên:

(2 +j1)//(J2 – j1) =

= 2,828-450

*Khi cho cả hai nguồn 1000 và 5-900 cùng làm việc, theo nguyên lí xếp chồng ta tính được các dòng I1 , I2 như sau:

;

Vậy phương trình dòng điện là:

= 2,236-63,430 i1(t) = 2,2362Sin(t – 63,430)

= 4,472116,570 i2(t) = 4,472Sin(t + 116,570)

Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

I.Định nghĩa:Phép biến đổi Lapclace là một quy luật liên kết với hàm f(t) một hàm F(s)

xác định bởi: F(s) = L

(2.1)F(s) gọi là biến đổi Laplace của f (t) ; còn f(t) là biến đổi Laplace ngược của F(s)

, f(t) và F(s) là một cặp biến đổi Laplace. Trước mắt ta xem S là số thực, nhưng nếu cần ta có thể xem S là một số phức.

Chú ý : Thay vì viết L , ta có thể viết f(t) = F(s) . Để ý rằng giới hạn

dưới trong tích phân (2.1) là 0-, tức là thời điểm ngay trước t = 0. Đối với các hàm “bình thường “ thì có thể thay 0- bởi 0 hoặc 0+.

Tuy nhiên đối với các “hàm kì dị “ (sẽ xét sau) thì cần phải xét 0 - để kể luôn diện tích “Chồng chất” tại chỉ 1 thời điểm t = 0. Trong bài này ta chỉ xét các hàm bình thường .



* Điều kiện để tồn tại biến đổi laplace : + Điều kiện cần :

Ta nói biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ khi S ở trong một khoảng nào đó, gọi là khoảng hội tụ . + Điều kiện đủ :

Để biến đổi Laplace F(S) của f(t) tồn tại là : 1) f(t) là hàm liên tục từng mảnh (hay từng khúc ) nghĩa là f(t) liên tục , ngoại trừ tại 1 tập hữu hạn các điểm gíán đoạn hữu hạn cô lập, tức là các điểm t i , tại đó f(t) có các giới hạn trái f(ti-) và giới hạn phải f(ti+) hữu hạn .

2) f(t) có bậc mũ, nghĩa là tồn tại 1 hàm mũ Met sao cho với mọi t khá lớn: (2-2)

Chú ý: số δ trong (2.2) không duy nhất , vì mọi hàm Me1t với 1 > cũng thỏa (2.2). Người ta gọi chặn dưới lớn nhất của tập các số thoả (2.2) là hoành độ hội tụ của f(t).

Từ nay về sau, ta chỉ xét các hàm f(t) mà biến đổi Laplace F(s) của nó tồn tại với mọi S > + Tích phân hội tụ , phân kỳ:

-Nếu giới hạn lim là hữu hạn thì ta nói

tích phân là hội tụ.

-Nếu giới hạn

thì ta nói tích phân là phân kỳ .

II-Biến đổi laplace của các hàm thông dụng:1.Hàm bậc thang đơn vị u(t): Hàm này được định nghĩa bởi : u(t) = 0 ; t < 0 1 ; t > 0

Ta có L = ; nếu S > 0 (2.4)

2.Hàm mũ e-at:


0

1

t

U(t)

H 2.1: Đồ thị của hàm bậc thang đơn vị U(t)


Ta có : L = nếu S > -a

3.Hàm lượng giác : cosat , sinat:

Ta có: L -st cosatdt = ; S > 0 (2.5)

L ; S > 0 (2.6)

(2.5) và (2.6) tính bằng công thức ba- đặt e-st = u ; cosat ;

sinat = dv sẽ tính được kết quả như trên , tính khá dài dễ nhầm lẫn * Tính (2.5) và (2.6)

-Tính tích phân : (2.7)

Đặt e-st = U du = -se-st.dt ; cos at dt = dv v =

e-st dt

(2.8)

đặt e-st = U du = -Se-st ; dv = sin at dt V = -

(2.9)Thay (2.9) vào (2.8) ta có :

;

Tính tích phân : (2.10)

Đặt e-st = U du = -Se-st.dt

dv = sinat dt V = -st sinatdt =



= - =

(2.11)

Ở (2.9) ta đã tính được thay vào (2.11) ta có:

4.Hàm luỹ thừa tn với n = 0, 1, 2, 3…

Ta có: L =

Dùng phương pháp tích phân từng phần với:

U = tn du = n.tn-1 dt ; dv = e-st.dt V =

L = L

Hệ thức truy chứng này cho ta : L L =

Một số biến đổi khác sẽ được tính trong các đoạn sau, sau khi ta đã học các tính chất của phép biến đổi Laplace.

III.Các tính chất của phép biến đổi laplace :1.Tính chất tuyến tính : + Định lý 1:

L C1.F1(s) + C2.F2(s) + ... + Cn.Fn(s) (2.12)

Giải thích : Nếu F1(s) , F2(s) ... Fn(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f1(t) , f2(t) ... fn(t) còn C1, C2 … Cn là hằng số bất kỳ thì biến đổi Laplace của tổng đại số các hàm theo t bằng tổng đại số các hàm theo s .

Ví dụ 2.1: L

= 4.

Chú ý: Kí hiệu L biến (t) thành F(s) thường gọi là toán tử biến đổi Laplace. Vì nó có tính chất tuyến tính nên ta nói rằng L là toán tử tuyến tính. Ngoài ra phép biến đổi Laplace còn gọi là phép tính toán tử.2.Tính chất dời thứ nhất(dời theo S):



+ Định lí 2: (Định lí dời thứ nhất)

Nếu L thì L

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace của hàm e-at.f(t) ta tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) được hàm F(s), trong hàm F(s) vừa tìm được, chỗ nào có biến s thì thay bởi (s + a) được hàm F(s+a) chính là biến đổi Laplace của hàm e-at.f(t).Ví dụ 2.2: Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:

a) e3t.t2 b) e-2t.Sin4t c) e-tcos2tGIẢI

a)Ta có L

b)Ta có ;

c)Ta có =

3.Tính chất dời thứ 2 (dời theo t):+ Đinh lí 3:

Nếu L thì L f(t-a).U(t-a) = e-as. F(s)

Trong đó theo định nghĩa của hàm bậc thang đơn vị: U(t-a) =

Giải thích : Muốn tìm biến đổi Laplace của hàm f(t-a).U(t-a) ta đi tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) được hàm F(s), nhân với hàm e-as được hàm e-as. F(s) chính là biến đổi Laplace của hàm f(t-a).U(t-a).Ví dụ 2.3 : Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau :

a)f(t) =

b)f(t) = (t – 2)2.U(t – 2) c)f(t) = Sin(t – 3).U(t – 3)

Giải:

a)Vì L nên theo định lí 3 ta có: L

b)Ta có :

c)Ta có :

4.Tính chất đổi thang đo:



Định lí 4: Nếu L

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace của hàm f(at) ta đi tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) được hàm F(s), trong hàm F(s) vừa tìm được, chỗ nào có biến s, thay bởi s/a được hàm F(s/a) tiếp tục chia cho a được hàm (1/a). F(s/a) chính là biến đổi Laplace của hàm f(at)

Ví dụ 2.4: a)Cho L hãy tìm L

b)Tìm c)Tìm

d) Biết Tìm

GIẢI:

a) L theo định lí 4 ta có L

b)Ta có:

c)Ta có:

d)Áp dụng định lí 4 có:

5.Biến đổi laplace của đạo hàm:Định lí 5:

Nếu L f(t) = F(s) thì L f’(t) = s.F(s) – f(o-)Hệ quả 1: L f”(t) = s2.F(s) – s.f(o-) – f’(o-)

Hệ quả 2: L



Giải thích : Biến đổi Laplace của đạo hàm bậc nhất của hàm f(t) bằng s.F(s) trừ đi giá trị của hàm f(t) tại thời điểm 0-. Định lí này được áp dụng khi khó tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) nhưng dễ tìm biến đổi Laplace đạo hàm bậc nhất của nó.Ví du 2.5:

Dùng định lí 5 để chứng minh rằng :

a) L ; b) L

GIẢI:a) Đặt f(t) = e-at f’(t) = -ae-at ; f(0) =1 ;

áp dụng L

-a. L

b) Đặt f(t) = sin at ; F(s) = L ta có: f’(t) = a cos at ; f”(t) = -a2sin at ; f(0-) = 0 ; f’(0) = aáp dụng: L

6.Biến đổi Laplace của tích phân:

Định lí 6: Nếu L thì

Giải thích : Muốn tìm biến đổi Laplace của hàm tích phân, ta đi tìm biến đổi Laplace của hàm dưới dấu tích phân f(u) được hàm F(s) rồi chia cho s được hàm F(s)/s chính là biến đổi Laplace của hàm tích phân. Hàm này được áp dụng khi gặp hàm tích phân và khó tính tích phân cũng như tìm biến đổi Laplace của nó.Ví dụ 2.6:

a)Cho hàm Si(t) = . Tìm L

b)Tìm ; c)Tìm

GIẢI:

a)Ở ví dụ 4 ta đã tính được: L



Ap dụng định lí 6 L Si(t)

b)Ta có

c) Ta có

Nhận xét:Các định lí 5 và 6 có thể phát biểu như sau:

+ Phép toán đạo hàm các hàm theo t tương ứng với phép toán nhân với s các hàm theo s. + Phép toán tích phân các hàm theo t tương ứng với phép toán chia cho s, các hàm theo s.7.Nhân cho tn:

Định lí 7: Nếu L thì

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace của hàm tn.f(t), ta tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) được hàm F(s), lấy đạo hàm bậc n của hàm F(s) ta được hàm Fn(s), khi đó hàm (-1)n.Fn(s) chính là biến đổi Laplace của hàm tn.f(t).

Ví dụ 2.7: Tìm a) L ; b) L ; c)

GIẢI:

a)Ở phần II ta đă biết L ; áp dụng định lí 7 ta có:

L

b)L

c)

8) Chia cho t :

Định lí 8: Nếu L f(t) = F(s) thì L

với điều kiện tồn tại.



Giải thích: Muốn tìm Laplace của hàm f(t)/t, ta tìm biến đổi Laplace của f(t) được

F(s), tính tích phân ta được biến đổi Laplace của hàm f(t)/t. tính chất này

được ứng dụng khi khó tìm biến đổi Laplace của hàm f(t)/t nhưng lại dễ tính tích phân của hàm F(u)du.Ví dụ 2.8:

a)Chứng minh rằng:

b)Tìm c)Tìm

GIẢI:a)Theo định nghĩa Laplace và định lí 8 ta có:

L ; lấy giới hạn 2 vế khi s 0 ta được

trong đó ta tự do thay biến u bằng biến s

b)Ta có :

=

c)Ta có :

Đặt u2 + a2 = t1 Suy ra dt1 = 2udu ; u2 + b2 = t2 Suy ra dt2 = 2udu

9) Biến đổi laplace của hàm tuần hoàn: Định lí 9 : Nếu f(t) là một hàm tuần hoàn với chu kì T > 0 thì:

L



Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplave của một hàm tuần hoàn f(t), ta đi tính tích phân trong một chu kì của hàm (e-st.f(t)) rồi chia cho hàm (1 – e-st), được kết quả chính là biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn cần tìm.Ví dụ 2.9 : Cho hàm f(t) như sau

f(t) = Sin t ; 0 < t < chu kì : T = 2 0 ; < t < 2

a)Vẽ đồ thị của đường sin chỉnh lưu bán sóng f(t)b) tìm L

GIẢI: a) Đồ thị của hàm f(t): f(t)

1

0 2 3 4 5 t

b) Ta có:

=

Ví dụ 2.10 : Cho hàm f(t) có đồ thị như hình 2.2 :a)Viết phương trình của f(t)b)Tìm biến đổi Laplace của f(t)

GIẢI :a)Phương trình của f(t) trong một chu kỳ là : f(t) = t.[u(t) – u(t – 1)]Với f(t) là hàm tuần hoàn có chu kì T = 1b)Áp dụng định lí 9 ta có :

(1)

;


f(t)

1

01 2 3 4 t

Hình 2.2


thế vào pt (1) ta có

10.Định lí giá trị đầu:

Định lí 10 : Nếu thì

Giải thích : Nếu biến đổi Laplace của hàm f(t) bằng F(s) thì giới hạn của hàm f(t) khi t tiến tới 0 bằng giá trị của hàm f(t) tại 0+ hoặc bằng giới hạn của hàm s.F(s) khi s tiến tới vô cùng. Với điều kiện các giới hạn trên tồn tại .Ví dụ 2.11:

Hăy minh hoạ định lí giá trị đầu bằng các hàm sau :a) f(t) = 3.e-2t b) f(t) = 3 – 2Cost c) f(t) = (2t + 3)2

GIẢI:

a) L 3.e-2t =

b)

Ta có (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra định lí đã được kiểm chứng.

c)Ta có (3)

(4)

Từ (3) và (4) suy ra định lí đã được kiểm chứng.11.Định lí giá trị cuối :Định lí 11:

Nếu thì

Với điều kiện các giới hạn trên tồn tại.Giải thích : Nếu biến đổi Laplace của hàm f(t) bằng F(s) thì giới hạn của hàm f(t) khi t tiến tới vô cùng bằng giá trị của hàm f(t) tại vô cùng hoặc bằng giới hạn của hàm s.F(s) khi s tiến tới 0+. Với điều kiện các giới hạn trên tồn tại .



Ví dụ 2.12: Hăy minh hoạ định lí giá trị cuối bằng các hàm sau : a) f(t) = 3.e-2t b) f(t) = e-2t.Cos3t c) f(t) = (2t + 3)2

GIẢI:

a)Ta có: L

b)

c)Ta có (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra định lí đã được kiểm chứng12.Tính tích phân suy rộng:

Nếu L Thì

Với điều kiện tích phân suy rộng hội tụ.Giải thích : Muốn tính tích phân từ 0- đến vô cùng của hàm f(t)dt ta tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) được F(s), Cho s = 0 (Hoặc một giá trị nào đó) ta được giá trị của tích phân cần tìm. Định lí này áp dụng khi khó tìm tích phân của hàm f(t)dt nhưng lại dễ tìm biến đổi Laplace của hàm f(t)

Chú ý: Có thể cho s một giá trị nào đó thay vì 0.Ví dụ 2.13: Tính các tích phân sau

a) b) c)

GIẢI:

a)Ta có: L Theo định nghĩa và định lí (nhân cho tn) ta có:

L

Cho s = 2 ta có:



b)Theo định nghĩa ta có :

Cho s = 3 có

c)Theo định nghĩa ta có :

Cho s = 4 có =

Để tiện sử dụng, ta tóm tắt các cặp biến đổi Laplace thông dụng f(t) và F(s) = L trong bảng 2.1 như sau: BẢNG 2-1: CÁC CẶP BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG

TT Hàm f(t) Hàm F (s)

1U(t) = 0 ; t < 0 1 ; t > 0

1 ; S > 0 S

2 e-at 1 ; S > -a S + a

3 Cos at S ; S > 0 S2 + a2

4 Sin at a ; S > 0 S2 + a2

5 tn ; n = 0, 1 , 2…. n! ; S > 0 Sn+1

6 e-at cos bt S+ a S > -a (S+a)2 + b2

7 e-at sin bt b S > -a (S+a)2 + b2

8 e-at . tn ; n = 0, 1, 2 n! S > -a (S + a)n+1

9 t.cos at S2 – a2 ; S > 0 (S2 + a2)2

10 t.sin at 2aS ; S>0 (S2 + a2)2

11 Cosh at S ; S > a S2 – a2

12 sinh at a ; S > a S2 – a2



13 t.U(t) = r(t) ; S > 0

14 ; S > 0

15 tn . U(t) =

n!

1 S > 0 Sn+1

16 (t) 1 S > 0

17 ’ (t) S S > 0

18 (n) (t) Sn S > 0

19 Cos(at + b)

20 f(t).u(t-a)

Ta có thể tìm thêm nhiều cặp biến đổi Laplace khác bằng cách đi từ các cặp biến đổi thông dụng trong bảng 2.1, xong dùng các tính chất của phép biến đổi Laplace, để tiện sử dụng ta tóm tắt các tính chất này trong bảng 2.2 như sau: BẢNG 2-2 : CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

TT f(t) F(s)

1 C1f1(t) + C2f2(t) C1F1(s) + C2F2(s)

2 e-at f(t) F(s+a)

3 F(t-a).U(t-a) e-as. F(s)

4 f(at)

5 fn (t) Sn.F(s) – Sn-1.f(0)-…..-fn-1. (0-)

6

7 tn.f(t) (-1)n. Fn(s)

8

9 f(t) = f(t+T)

10 Lim t 0+ f(t) Lim S S.F(s)

11 Lim t f(t) Lim s0 S.F(s)



Chương 3

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

I.Định nghĩa

Nếu biến đổi Laplace của f(t) là F(S) tức là thì f(t) gọi là biến đổi

Laplace ngược của F(S) và ta viết L -1F(s) = f(t). Trong đó L -1 gọi là tóan tử biến đổi Laplace ngược .

Ví dụ 3.1 : Vì L nên ta viết L -1

Chú ý : Từ nay về sau, ta luôn ký hiệu f(t) và F(S) là một cặp biến đổi LaplaceĐịnh lý 3.1 : Nếu f(t) liên tục từng mảnh, trên mọi khoảng hữu hạn 0 t N và có

bậc mũ khi t > N thì biến đổi Laplace ngược f(t) = L -1 tồn tại và duy nhất.

II.Biến đổi laplace ngược của một số hàm thông dụng :

Các biến đổi này được cho trong bảng 2.1 chương 2

III.Các tính chất của phép biến đổi laplace ngược: Các tính chất này được suy từ các tính chất tương ứng của phép biến đổi

Laplace chương 21.Tính chất tuyến tính : Định lý 3.2 :

L-1 (3.1)

Chú ý: Như vậy L -1 là một toán tử tuyến tính.Giải thích : Nếu f1(t) , f2(t) ... fn(t) lần lượt là biến đổi Laplace ngược của F1(s) , F2(s) ... Fn(s) còn C1, C2 … Cn là hằng số bất kỳ thì biến đổi Laplace ngược của tổng đại số các hàm theo s bằng tổng đại số các hàm theo t .Ví dụ 3.2:

Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:

a) L -1 b) c)



GIẢI:

b)

b) = tCosat – 4Sinhat

c) = 3e-5t + 2e-atCosbt

2.Tính chất dời thứ nhất (dời theo s):Định li 3.3 :(định lí dời thứ nhất)

L -1 (3.2)Tuy nhiên để tìm biến đổi Laplace ngược ; vì hàm theo s được cho dưới

dạng F(s) chứ không phải F(s+a) nên ta phải thay s bởi (s-a) trong (3.2) để được:

L -1

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace ngược của hàm F(s+a) ta bỏ lượng a, được hàm F(s), tìm biến đổi Laplace ngược của F(s) được hàm f(t) rồi nhân với e -at ta được biến đổi Laplace ngược của hàm F(s+a).Ví dụ 3.3 : Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

a) L -1 b) c)

GIẢI:

a)Ta có ; Ap dụng: L

với a = -1 ; b = 2

b)Ta có

c)Ta có

3.Tính chất dời thứ 2(dời theo t):

Định lí 3.4: L -1

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace ngược của hàm có chứa số e-as, ta lần lượt thưc hiện các bước sau: + Bỏ thừa số e-as.



+ Tìm L -1 của hàm còn lại + Dời hàm theo t vừa tìm được về phía phải một đoạn bằng a và cắt bỏ phía trái (nếu a > o)Ví dụ 3.4: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

a) b) c)

GIẢI:

a) Bỏ thừa số e-s/3 ta còn ;

Vậy =

b)Ta có

c)Ta có

4.Tính chất đổi thang đo:

Định lí 3.5:

Giải thích: Muốn tìm biến đổi Laplace ngược của hàm F(as) ta bỏ lượng a, được hàm F(s), tìm biến đổi Laplace ngược của hàm F(s) được hàm f(t), trong hàm f(t) vừa tìm được, chỗ nào có biến t thay bởi t/a được hàm f(t/a) khi đó hàm (1/a).f(t/a) chính là biến đổi Laplace ngược của hàm F(as)Ví dụ 3.5: Tìm biến dổi Laplace ngược của các hàm sau

a) b) c)

GIẢI:

a) Áp dụng: L f(t) =

b)



c)

5.Biến đổi laplace ngược của đạo hàm:Định lí 3.6:

Giải thích: Như vậy định lý này rất có ích khi khó tìm biến đổi laplace ngược của F(s) nhưng lại dễ tìm biến đổi Laplace ngược của đạo hàm (một cấp nào đó). Ta lần lượt thực hiện các bước như sau:

+ Tính đạo hàm cấp n của F(s)+ Tìm biến đổi Laplace ngược của đạo hàm đó.+ Nhân kết quả cho (-1)n/tn

Ví dụ 3.6: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:

a) F(s) = ln b) c)

GIẢI

a)[F(s)]’ =

; ; sinh at = )

Ap dụng : L e-at = ; L -1F’(s) = e-t – et = -2.Sinh t

Vậy L -1F(s) = . L -1F’(s) =

b)[F(s)]’ =

c)[F(s)]’=

6. Biến đổi Laplace ngược của tích phân:Định lý 3 -7 :

L -1 = (1/t). L -1 F(s) ; hay L -1 F(s) = t. L -1

Giải thích: Như vậy định lý này rất có ích khi khó tìm biến đổi Laplace ngược của F(S) nhưng lại dễ tìm biến đổi Laplace ngược của tích phân của nó,



Ta lần lược thực hiện các bước như sau: + Tính tích phân của F(S) từ S đến . + Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm đó . + Nhân kết quả cho t.

Phương pháp này có thể lặp lại nhiều lần, nếu tích phân n lần thì phải nhân cho tn

Ví dụ 3.7:

Tìm f(t) nếu F(S) =

GIẢI

đặt

L -1 Sinh t , (L sinh at = ) Vậy L -1 F(s) = 7.Nhân cho Sn:Định lý 3-8 : Nếu f(0) = 0 thì

L -1 F(s) = f’(t) = L -1 F(s) hay L -1 G(s) = L -1 G(s)/S

Giải thích: Vậy để tìm biến đổi Laplace ngược của G(s) ta lần lượt thực hiện các bước sau:

+ Viết F(s) = tức là bỏ bớt thừa số s ở tử số của G(s), nếu có

+Tìm L -1 F(s) = f(t)+ Tính đạo hàm của hàm vừa tìm tức là f’(t).Tổng quát :

Nếu f(0) = f’(0) = ………. = f(n-1) (0) thì L -1 SnF(s) = fn(t) = L -1 F(s)

hay L -1 G(s) = L -1

Ví dụ 3.8: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:

a)L -1 b) c)

GIẢI



a)Bỏ thừa số S ở tử số ta còn F(s) =

L -1 F(s) = L -1 = L -1 = ;

(áp dụng L sin at = ) ; Vậy

b)Ta có

c)Ta có

8.Chia cho sn:Định lí 3.9:

L -1 hay: L -1

Giải thích: Vậy để tìm biến đổi Laplace ngược của G(s) ta lần lượt tthực hiện các bước sau: + Viết F(s) = S.G(s) (tức là bỏ bớt thừa số s ở mẫu số của G(s) nếu có) + Tìm L -1F(s) = f(t)

+ Tính

+ Tổng quát ta có kết quả sau:

hay:

Ví dụ 3.9: Tìm L -1

GIẢI

Bỏ thừa số S ở mẫu số ta còn: F(S)

+

+



Ví dụ 3.10 : Tìm

GIẢI :

Bỏ s3 ở mẫu số ta còn ; ;

;

Kiểm tra lại bằng cách tính :

IV. TÍCH CHẬP:+ Định lý 3.10: Nếu L –1 F(s) = f(t) và L –1 G(s) = g(t)

Thì L –1 F(s).G(s) = f(t) * g(t) =

Định nghĩa: f(t) * g(t) gọi là tích chập của f(t) và g(t). Định lý này cho phép tìm biến đổi Laplace ngược của tích hai hàm theo s khi biết biến đổi Laplace ngược của từng hàm.

Muốn tìm biến đổi Laplace ngược của tích F(s).G(s) ta đi tìm biến đổi Laplace ngược của từng hàm F(s) và G(s), được hàm f(t) và g(t). Lấy tích chập f(t) * g(t) được biến đổi Laplace ngược của tích F(s).G(s).

Ví dụ 3.11: Tìm L -1 GIẢI

Ta có : L -1 ; L -1 = e2t ; Theo định lý 3.10 có:

L -1

= = -e2t.e-t + e2t = e2t - et .

V.KHAI TRIỂN HEAVISIDE

Khi thực hiện các phép toán tích phân hoặc biến đổi Laplace ngược, nếu ta gặp các dạng phân số hữu tỷ P(s) / Q(s) phức tạp thì việc tính toán rất khó khăn.

Phương pháp khai triển Heaviside cho phép phân tích các phân số hữu tỷ dạng P(s) / Q(s) thành các phân số sơ cấp đơn giản hơn từ đó ta áp dụng các tính chất và



các cặp biến đổi Laplace thông dụng để thực hiện phép toán thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều. Ở đây đưa ra 1 số ví dụ về các dạng toán thường gặp.1.Các ví dụ :Ví dụ 3.12:

Tìm L -1

GIẢI Cách 1:

+ Phân tích F(s) thành các phân số sơ cấp.

đồng nhất tử số: 3S+7 (A + B).S + A -3B A + B = 3 A= 4

A -3B =7 B = -1

Vậy F(s) = (4.1.1)

L -1 L -1 = 4e3t- e-t

(L -1 e-at = )

Cách 2 :

F(s) =

Nhân 2 vế với (S -3) được : A +

Cho S 3 : A =

Tương tự nhân 2 vế với (S+1) ta có :

cho S -1 có B =

Sau đó tiếp tục giải như cách 1.

Ví dụ 3.13 :

L -1 = L -1



GIẢI

Ta có (4.2.1)

Dùng cách 2 của ví dụ 1 ta lần lượt có :

;

; f(t) = L -1 F(s) =

Nhận xét : Khi mẫu số của F(s) có nhiều nghiệm đơn thì dùng cách 2 gọn và nhanh hơn.

Ví dụ 3.14:

Tìm L -1 = L -1 F(s) = f(t)

GIẢI

Ta có : = (4-2-2)

A = lim ; B = lim

S-1 S2

Tuy nhiên ta không thể dùng cách trên để tính C và D mà tìm như sau:Vì đã biết A và B nên (4-2-2) được viết:

=

Để tính C và D ta cho S 2 giá trị nào đó chẳng hạn S = 0 và S =1 ta lần lượt có :

3C - 6D = 10 C = 4 3C –3D = 11 D = 1/3

Do đó :

=

f(t) = L -1 F(s) = -



Ví dụ 3.15 :

Tìm L -1 = L -1 F(s) = f(t)

GIẢI

Ta có :

Quy đồng mẫu số xong, đồng nhất các hệ số, ta được hệ phương trình sau để tính A, B, C, D.A + C = 0 A = 02A +B + 2C + D = 1 suy ra B =1/35A +2B +2C+2D = 2 C = 05B + 2D = 3 D = 2/3

Vậy F(s) =

f(t) = 1/3 e-tsint + 1/3e-tsin2t = 1/3 e-t (sint + sin2t)

2. Tổng quát:+ Xét hàm F(s) = P(s) / Q(s) trong đó P(s) ; Q(s) là các đa thức không có

nghiệm chung.+ Nếu bậc của P(s) bậc của Q(s) thì chia đa thức P(s) / Q(s) để đưa về

trường hợp bậc của P(s) < bậc của Q(s).+ Xét trường hợp bậc của P(s) < bậc của Q(s):- Giả sử Q(s) có bậc 10 và được phân tích dưới dạng:

Q(s) = (s + a).(s + b)3.(s2 + cs + d) .( s2 + es + f)2

Trong đó: ; a ; b ; c ; d ; e ; f: consta b ; c d ; e f ; c2 – 4d < 0 ; e2 – 4f < 0 ; lúc đó ta phân tích:

Chương 4:

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACEGIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN



I. Đại cương :Một bài toán thường rất gặp trong vật lý và kỹ thuật là giải phương trình vi

phân tuyến tính kèm theo điều kiện đầu. để minh hoạ, xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng kèm theo điều kiện đầu : ay” + by’+ cy = f(t) (4.1) y(0) = y0 ; y’(0) = y’0 (4.2)

Trong đó : y(t) là hàm ẩn cần tìm ; a, b, c là các hằng số; f(t) là vế 2 ; y 0 ; y’0 lần lượt là các giá trị ban đầu cho trước của y và y’.

Lấy biến đổi Laplace 2 vế của (4-1) đặt Y(s) = L y(t)F(s) = L f(t) và dùng các công thức:

L f’(t) = s F(s) - f’(0-) L f”(t) = s2.F(s) – s.f(0) - f’(0)Ta có :

a L y” + b L y’ + c L y = L f(t)hay : a[s2Y(s) - sy(0) - y’(0)] + b[sY(s) - y(0)] + cY(s) = F(s) ( 4.3)Thay các giá trị đầu y(0) = y0 ; y’(0)=y’0 vào (4.3) ta có : as2Y(s) - asy0 - ay’0 + bsY(s) - by0 + cY(s) = F(s) (as2 + bs + c).Y(s) - (as + b).y0 -ay’0 = F(s)

Y(s) = (4.4)

Như vậy nếu biết f(t) ta suy ra F(s) và do đó Y(s) là một hàm hoàn toàn xác định của s.Nghiệm của ay” + by’ + cy = f(t) thoả điều kịên đầu (4-2) là y(t) = L -1 Y(s)Tóm lại : Việc giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng bằng phép biến đổi Laplace được thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1 : Dùng phép biến đổi Laplace để biến 1 phươnng trình vi phân biến t, hàm ẩn y(t) thành 1 phương trình đại số biến s, hàm ẩn Y(s), ta nói đã chuyển bài toán từ miền t sang miền s.

Bước 2 : Giải phương trình đại số đó để tìm Y(s). Bước 3 : Dùng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t) = L -1 Y(s)

Qua đó ta thấy cách giải này có 2 ưu điểm:



1/ Thay các phép toán đạo hàm và tích phân trong miền t bằng các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia) trong miền s.

2/ Tự động đưa các điều kiện đầu vào quá trình giải mà không cần tìm nghiệm tổng quát ( chứa các hằng số bất kỳ) rồi sau đó mới xác định các hằng số đó từ các điều kiện đầu như cách giải cổ điển quen thuộc.

Phép biến đổi laplace không chỉ có ích khi giải các phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) với hệ số hằng mà còn đựơc dùng cho các phương trình vi tích phân, hệ phương trình vi phân hoặc vi, tích phân đồng thời, phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàm, phương trình đạo hàm riêng…

Cách tốt nhất để minh hoạ phương pháp là giải một số ví dụ, điều này được thực hiện trong các bài sau. Để cho gọn và tránh nhầm lẫn ta qui ước như sau:

Các hàm theo t sẽ đựơc ký hiệu bằng chữ nhỏ.Ví dụ: y(t) độ rời x(t), dòng i(t), áp U(t) …….

Còn các biến đổi Laplace tương ứng của chúng được ký hiệu bằng chữ in tương ứng:VD: Y(s) , X(s) , I(s) , U(s)……… hoặc có khi ta chỉ cần viết x , y , X , Y…

II. Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng :Ví dụ 4.1:

Giải phương trình : y// + y = t ; y(0) = 1 ; y/(0) = -2

GIẢi+ Lấy biến đổi Laplace của 2 vế ta có :

Thay các điều kiện đầu y(0) =1 ; y/(0) = -2 ta có:

Dùng khai triển Heaviside ta được:

Y(s)=

( L cosat = ; L sinat = ; L tn = )

Ví dụ 4.2:



Giải phương trình : y// - 3y/ + 2y = 4.e2t ; y(0) = -3 ; y/(0) = 5

GIẢILấy biến đổi Laplace của 2 vế được :

L y’’ - 3 L y’ + 2.L y = L 4e2t

Thay y(0) = -3 ; y/(0) =5 và giải theo Y(S):

S2Y(s) + 3S – 5 - 3SY(s) – 9 + 2Y(s) =

Y(s)(S2 - 3S + 2) = - 3S + 14 =

Y(s) =

y(t) = -7et + 4e2t + 4t e2t

Ví dụ 4-3Giải phương trình : y// + 2y’ + 5y = e-t.sint

Y(0) = 0 ; y’(0) =1GIẢI

Lấy biến đổi laplace 2 vế ta có :

{S2Y(s) - Sy(0) - y’(0)] + 2[SY(s) - y(0)] + 5Y(s) =

Thay các điều kiện đầu vào ta có:

S2Y(s) -1 + 2SY(s) – 0 + 5Y(s) =

Y(s)(S2 + 2S + 5) =

Dùng phương pháp khai triển Heaviside ta được:

Y(s) =

y(t) = (1/3) e-t.sint + (1/3) e-t .sin2t = (1/3) e-t.(sint + sin2t)Ví dụ 4-4Giải phương trình : y”’- 3y”+ 3y’- y = t2et

y(0) =1 ; y’(0) =0 ; y”(0) = -2GIẢI

Lấy biến đổi Laplace 2 vế với n = 3 ta có:



[ S3Y(s)-S2y(0)-Sy’(0)-y”(0)]-3[S2Y(s)-sy(0)-y’(0)]+3[SY(s)-y(0)]-Y(s)=

Thay các giá trị đầu và dùng khai triển Heaviside ta được:

Y(s) =

Ap dụng L e-at = ; L e-at .tn = ; L -1 = eat

L -1 = L -1 = tet

L -1 = L -1 =

L -1 = L -1 =

Vậy y(t) = L -1 Y(s) = et – tet – ½ t2 et + (1/60) t5et = et (1 - t - )

III.Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:Ví dụ 4.5: Giải hệ phương trình vi phân: x’ = 2x - 3y x(0) = 8; y(0) = 3 y’ = y - 2x

GIẢI:Lấy biến đổi laplace hai vế của hệ phương trình ta có: SX - x(0) = 2X –3 Y SX - 8 = 2X - 3Y (1) SY - y(0) =Y - 2X SY – 3 = Y - 2X (2) (S - 2)X + 3Y = 8 (3) 2X + (S -1)Y = 3 (4)Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer - dùng định mức cấp 2 ta được : P2 Cramer: a x + b y = c ; a1 b1 a x + b y = c a2 b2 c1 b1 ; a1 c1

c2 b2 a2 c2

; D =(S - 2)(S -1) - 2.3 = S2 – S - 2S + 2 – 6 = S2 - 3S – 4 = (S +1)(S- 4)


DX = = c1b2 – c2b1DY = = a1c2 - a2c1

D = = a1b2 – a2b1


Dx = 8(S -1) -3.3 = 8S – 8 – 9 = 8S - 17Dy = (S - 2).3 - 2.8 = 3S - 6 –16 = 3S - 22

X =

A = ; B =

Vậy X = ; Y =

A = ; B =

Vậy Y =

x(t) = L -1

y(t) = L -1

Ví dụ 4-6 :Giải hệ phương trình vi phân: x” + y’ + 3x = 15e-t x(0) = 35 x’(0) = - 48 y” – 4x’ + 3y = 15 sin2t y(0) = 27 y’(0) = - 55

GIẢILấy biến đổi Laplace hai vế của hệ phương trình ta có:

S2X – S(35) – (-48) + sY – 27 + 3X = 15 / (s +1) S2Y – S(27) – (-55) – 4(SX - 35) + 3Y = 30/(S2+4)

Viết lại thành hệ tuyến tính theo X và Y:(S2 + 3)X + sY = 35s – 21 + 15/ (s + 1)-4sX + (S2 +3)Y = 27s - 195 + 30/ (S2+ 4)

Giải bằng quy tắc cramer ta được :

X =

Y =

Suy ra : x = 30 cos t – 15 sin 3t + 3e-t + 2 cos 2t y = 30 cos 3t – 60 sint – 3e-t + sin2t



Chương 5:

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACEVÀO GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN

I.Đại cương :Như ta đã biết, môn giải tích mạch điện thường đặt ra vấn đề, giải một

phương trình hoặc hệ phương trình vi tích phân, đây là 1 công việc rất phức tạp Phép biến đổi Laplace sẽ giúp ta biến phương trình hoặc hệ phương trình vi

tích phân nói trên thành 1 phương trình hay hệ phương trình đại số. Ta cũng đã biết rằng. Để giải chế độ xác lập điều hoà của mạch điện, nghĩa là chế độ mà trong đó dòng áp có dạng sin, ta dùng một khái niệm hết sức quan trọng là tổng trở phức.

Phép biến đổi Laplace giúp ta tổng quát hoá khái niệm tổng trở phức trong trừơng hợp dòng, áp trong mạch có dạng bất kỳ, không nhất thiết là hình sin.

II.Các hàm kỳ dị Trong giải tích mạch điện, biến số t chủ yếu là thời gian. Ngoài các hàm

thông dụng đã xét trong các chương trước, ta phải xét một họ hàm mới gọi là hàm



kỳ dị. Đó là các hàm sinh ra khi ta tích phân và đạo hàm liên tiếp hàm bậc thang đơn vị U(t)1.Hàm bậc thang đơn vị : 0 ; t < 0 (5.1) 1 ; t > 0

Hàm này được dùng để khảo sát các mạch điện mà nguồn độc lập được đưa vào đột ngột. Vào thời điểm đưa nguồn vào, áp hoặc dòng ở thời điểm đưa nguồn vào sẽ bị đột biến. Lúc đó trong mạch sẽ xuất hiện một tình trạng bất thường hoặc “kỳ dị”. Hàm U(t) bình thường khắp nơi ngoại trừ vào lúc t = 0 nó đột ngột nhảy từ 0 sang 1 ; và t = 0 chính là thời điểm kỳ dị của hàm .

Đồ thị hàm bậc thang đơn vị được sẽ lại trên hình 5.1 như sau: U(t) U(t-t0) U(t-t0)-U(t-t1)

1 1 1

o t o t0 t0 t1 t (a) (b) (c)

a) Hàm bậc thang đơn vị b) Hàm bậc thang đơn vị chậm to giây c) Hàm lọc (hàm cổng)

*Các hàm liên quan đến hàm bậc thang đơn vị :1.1.Hàm bậc thang đơn vị chậm t0 giây (H5.1b)

U(t-t0 ) = 0 ; t < t0 (5.2) 1 ; t > t0

Hàm này dùng để mô tả các tín hiệu xuất hiện đột ngột vào lúc t = to

1.2.Hàm lọc hay hàm cổng (hình 6-1 c) 0 ; t < t0

1 ; t0 < t < t1 (5.3) 0 ; t > t1

Hàm này dùng để mô tả các tín hiệu xuất hiện trong khoảng thời gian từ t0

đến t1 .+ Nếu f(t) là một hàm bất kỳ thì f(t).U(t) , f(t).U(t-t0) và f(t).[U(t-t0) - U(t-t1)]

lần lượt là các hàm giống hệt f(t) trong các khoảng thời gian t > 0 ; t > t 0 và t0 < t < t1 và triệt tiêu trong các khoảng còn lại .2.Hàm dốc đơn vị, hàm parapol đơn vị :


U(t) =

U(t -t0) – U(t -t1) =

Hình 5.1


Bây giờ xét các hàm kỳ dị lần lượt sinh ra khi ta tích phân liên tiếp hàm U(t), trước tiên ta có hàm dốc đơn vị :

r(t) = ; t 0 (5.4)

Đồ thị r(t) được vẽ trên hình 5-2 a, ta thấy rằng r(t) bằng 0 cho đến khi t = 0, sau đó “leo dốc” với độ dốc không đổi = 1 .Tích phân lần thứ hai, ta đuợc Parapol đơn vị (H5-2b) r(t) P(t) t2/2 c(t) t 1 ½ 1/6 t3/6 0 1 0 1 t 0 tHình 5.2 : a: Hàm dốc đơn vị b)Hàm Parapol đơn vị c)Hàm bậc 3 đơn vị

P(t) = = t 0 (5.5)

+ Tiếp tục tích phân ta được hàm bậc 3 đơn vị (hình 5.2c)

C(t) = (5.6)

Tương tự như vậy ta được hàm bậc 4 đơn vị…Tất cả các hàm này đều triệt tiêu khi t < 0 nên biểu thức của chúng có thể

viết:

r(t) = t.U(t) ; P(t) = ; C(t) = … (5.7)

Các hàm này vô hạn đạo hàm được, nghiă là có đạo hàm mọi cấp tại mọi thời điểm , ngoại trừ lúc t = 0 đây là điểm kỳ dị của chúng, vì vậy chúng được gọi là hàm kỳ dị. Một áp dụng của họ hàm này là để viết biểu thức của các hàm đa thức từng đoạn , tức là các hàm có biểu thức là các đa thức khác nhau trên những đoạn liên tiếp.Ví dụ 5.1: Hình 5.3: Hàm đa thức từng đoạn.


1

2

3

4

-1

-2

0 1 2 3 4 5 6

2

(t-1)2

-2t + 10

f(t)

t


Xét hàm f(t) trên hình 5.3 có biểu thức là:0 ; - < t <1t2 - 2t + 1 ; 1 t < 3

-2t + 10 ; 3 t < 6 2 ; 6 t <

Ta muốn viết f(t) thành một tổ hợp tuyến tính của hàm bậc thang, hàm dốc và hàm Parapol đơn vị. Dùng hàm lọc

0 ; t < t U(t-t ) - U(t-t ) = 1 ; t < t < t 0 ; t > t Ta có:

f(t ) = (t2 - 2t + 1)

3.Hàm xung đơn vị, hàm xung đôi đơn vị:Bây giờ ta xét các hàm kì dị, lần lượt sinh ra khi ta đạo hàm liên tiếp hàm

U(t). Trước tiên ta khảo sát hàm xung đơn vị (t). * Định nghĩa:

(t) chính là đạo hàm bậc nhất của hàm bậc thang đơn vị U(t)

* Tính chất: + (t) = 0 với mọi t 0 + (t) là một xung cao vô cùng, hẹp vô cùng và có diện tích bằng 1 đơn vị.

+

Kí hiệu của hàm (t) được vẽ trên hình 5.4, đó là mũi tên hướng lên với số một bên cạnh, số một này không phải là chiều cao của xung mà là diện tích của nó.

Hàm (t) không phải hàm bình thường mà thuộc về một lớp hàm mới gọi là hàm suy rộng, do đó chúng ta phải cẩn thận khi áp dụng các qui tắc thông thường về đạo hàm.

+Vì (t) là đạo hàm của U(t) nên U(t) là tích phân của (t):


f(t) =

t

(t) Hình

5.4


U(t) = (5.8)

+Nếu f(t) là một hàm bình thường liên tục tại t = 0 thì:f(t). (t) = f(0). (t) (5.9)+ Tương tự nếu f(t) là một hàm bình thường liên tục tại t = t > 0 thì:

f(t).(t - t ) = f(t ).(t -t ) (5.10) Trong đó (t - t ) là hàm xung dời phải theo thời gian tức là có điểm kì dị t = t

, qui tắc này được gọi là qui tắc hàm xung.+Tính chất sàng của hàm xung:

(5.11)

Công thức (5.11) cho thấy khi hàm xung ở trong tích phân thì nó sẽ chọn giá trị của hàm còn lại dưới dấu tích phân tại điểm kì dị của nó làm giá trị của tích phân; do đó (5.11) gọi là tính chất sàng của hàm xung.

c. Hàm xung đôi đơi vị: Đạo hàm của hàm xung đơn vị, được gọi là hàm xung đôi đơn vị:

’(t) = (t) (5.12)

’(t) cũng là một hàm suy rộng. Vì (t) = 0 ở mọi t 0 nên ’(t) cũng vậy. ’(t) cũng có tính chất sàng tương tự (t):

(5.13)

Tiếp tục đạo hàm ta có được họ hàm kì dị (2)(t), (3)(t). Trong đó, hàm sau là đạo hàm của hàm trước. Hàm (n)(t) sẽ sàng đạo hàm bậc n tại điểm kì dị theo công thức:

(5.14)

III.Biến đổi Laplace của các hàm kì dị :1.Hàm dốc đơn vị r(t), hàm Parapol đơn vị P(t)

Vì các hàm kì dị là tích phân hoặc đạo hàm của hàm bậc thang đơn vị U(t) và vì

L nên nếu dùng công thức về biến đổi Laplace của đạo hàm L và công thức về biến đổi Laplace của tích phân



L

Ta có thể suy ra biến đổi Laplace của tất cả các hàm kì dị:

L ; L

Nếu kí hiệu (-1)(t) = U(t) ; (-2)(t) = r(t) … (-n)(t) lần lượt là tích phân một lần, hai lần … n lần của hàm bậc thang đơn vị, ta có:

L ; n = 1 , 2 , 3 … n

2.Hàm xung đơn vị (t) ; hàm xung đôi đơn vị ’(t)

L ; L ; L ;

(1)(t) , (2)(t) … (n)(t) lần lượt là đạo hàm bậc nhất, bậc hai … bậc n của hàm bậc thang dơn vị U(t)Ví dụ 5.2:

a)Dùng định nghĩa để tìm L với f (t) là hàm trên hình 5.5a.

b)Dùng kết quả câu a và tính chất tuyến tính của L để tìm L với f (t) là hàm

trên hình 5.5b.

A

0 t1 t2 t 0 1 2 3 4 5 6 7 t (a) (b)

Giải:

a) L =

b) Hàm f (t) có thể xem là tổng của 4 hàm có dạng f (t) vậy:

L

= (1 + 3e-s - e-2s - 2e-4s - e-7s )


f1(t)

f2(t)

1

3

4

Hình 5.5


IV.Quan hệ dòng áp của R - L - C trong miền t và miền s : vR(t) vL(t) vC(t)

iR(t) iL(t) iC(t)H5.6: a) Mạch R b) Mạch L c) Mạch C

Ta đã biết trong môn giải tích mạch điện, nếu áp hai đầu và dòng chạy qua các phần tử R , L , C có chiều như trên hình (5.6) thì quan hệ dòng áp của chúng lần lượt là:

VR (s) = RI (s) ; v (t) = Ri (t)

V (s) = SLI (s) - Li (o-) ; v (t) = L

I ; i

V

+ Trong các phương trình trên, thời gian t là biến số nên ta gọi chúng là quan hệ dòng áp trong miền thời gian (miền t). Lấy biến đổi Laplace của chúng ta được như trên.

+ Trong đó i là dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L, còn v là

điện áp ban đầu giữa hai bản tụ điện C, với cùng chiều dương giả thiết như i và

v .

+ Trong các phương trình này cho thấy rằng điện áp V(s) ở hai đầu các phần tử R, L, C là tổng của hai số hạng : một số hạng tỷ lệ với dòng I(s) qua phần tử và một số hạng phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của nó (số hạng này bằng 0 trong trường hợp điện trở) + Thừa số tỉ lệ giữa điện áp và dòng trong số hạng thứ nhất gọi là tổng trở (trong miền s) ; Kí hiệu là Z(s). Như vậy tổng trở Z(s) của một phần tử R, L, C là tỷ số giữa áp V(s) và dòng I(s). Khi tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:

Z(s)= ; tất cả điều kiện đầu bằng 0.

*Cách biểu diễn R, L, C trong miền s:Z R(s) = R ; ZL(s) = SL ; Zc (s) = 1/ SC

V.Định luật Kirchhoff trong miền t và trong miền S:



Ta đã biết, khi các phần tử được nối với nhau thì chúng tạo thành nút (nơi gặp nhau của nhiều phân tử ) và vòng (đường kín gồm nhiều phần tử và chỉ qua mỗi nút một lần). Các dòng điện chạy đến 1 nút tuân theo định luật K về dòng (ĐKD) còn các sụt áp dọc theo một vòng tuân theo định luật Kirchhoff về áp (ĐKA) đó là 2 định luật cơ bản của giải tích mạch điện . 1.Định luật kirchhoff trong miền thời gian (t) : a) Định luật Kischloff về dòng trong miền (t) (Hình 5.7a) i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 0 b) Định luật Kirchhoff về áp trong miền t: (Hình 5.7b) V1(t) + V2(t) + V3(t) + V4(t) = 0 2.Định luật Kirchhoff về dòng, áp trong miền (S) (Hình 5.7 c,d) I1(S) + I2(S) + I3(S) + I4(S) = 0 V1(S) + V2(S) + V3(S) + V4(S) = 0 Như vậy các ĐKD và ĐKA được áp dụng trong miền S giống như trong miền t.

Hình 5.7: a) Nút trong miền t b) Vòng trong miền t

c) Nút trong miền s d) Vòng trong miền s Ví dụ 5.3 :



Cho mạch điện như hình 5.8. Tìm điện áp vc (t) ở hai đầu tụ điện khi t > 0

GIẢI:+ Trước hết ta biểu diễn mạch điện trong miền s như hình 5.8b.

Z(s) = R = 3 ; ZL(s) = SL = S ; ZC(s) = 1/sc = 2/s+ Viết ĐKA cho vòng I : Vc (s) + VL(s) + VR(s) = 0+ Vì mạch không có nguồn lúc t = 0 nên tất cả điều kiện ban đầu ở t = 0 - bằng không .

Suy ra : R(s) . IR(s) + ZL(s).IL(s) = 0 (1)

+ Viết ĐKD cho nút 1: Ic(s) + (2)

thay (2) vào (1) ta có :

Ic(s)(2/s + 3 + s) =

Ic (S).

Vc(s) = zc (s).Ic(s) =

Như vậy việc tính toán điện áp của tụ điện trong miền s đã xong. Muốn tìm vc(t) ta lấy biến đổi Lapalace ngược của Vc(s). Khai triển Vc(s) thành phân số sơ cấp ta có :

Vc (s) = ; vc(t) = 6e-t – 3e-2t – 3 ; ( t > 0)

VI.Tổng dẫn trong miền S- ghép tổng trở và tổn dẫn trong miền S:Nghịch đảo của tổng trở z(s) được gọi là tổng dẫn Y(s). Như vậy, tổng dẫn

Y(s) là tỷ số giữa dòng I(s) và áp V(s) khi tất cả điều kiện đều bằng không.


Hình 5.8a)

b)


Y(s) = ; tất cả điều kiện đầu bằng 0

Tổng dẫn của các giá trị R , L , C là

; Y(c) = SC

Chúng ta biết rằng trong mạch miền t, quan hệ dòng, áp của phần tử và định luật Kirchhoff là cơ sở của tất cả các định lý mạch khác, chẳng hạn ghép song song, ghép nối tiếp, công thức chia dòng, chia áp, mạch tương đương Thevenin và Norton…

Vì các định luật kirchhoff hoàn toàn giống nhau trong miền t và trong miền s, và vì quan hệ dòng, áp của các phần tử V(s) = Z(s).I(s) trong miền s có cùng dạng như định luật : VR = IR.R trong miền t, nên các định lý mạch trên đây vẫn đúng trong miền S.Ví dụ 5-4 :

Tìm tổng trở Z(s) trong miền S của mạch trong hình 5.9a:

)Maïch mieàn t b)Maïch mieàn s

GIẢITrước tiên ta tính các tổng trở Z(s) của R, L, C để chuyển mạch từ miền t

sang miền s ta có mạch hình 5.9b:2 2 ; 1H 1S ; 2H 2S ; 1/3 F 3/S ; 4 4

ta được hình 5.9b, các tổng trở được ghép hoàn toàn giống điện trở vậy : Z1 (S) = S + 2

Z2(S) = (S + 2)// =

Z(S) = 2S + Z2(s) + 4 =

Ví dụ 5-5:


Hình 5.9

Z1(s)Z2(s)


Tìm Ic(S) trên hình b –VD 5.4 nếu áp vào là V(s) = với giả thiết tất cả

điều kiện đầu bằng 0.GIẢI

Dùng kết quả của ví dụ 5-4 ta có :

I(s) =

Để tính Ic(s) ta dùng công thức chia dòng: Dòng chia cho các mạch song song tỷ lệ thuận với tổng dẫn Y(s).

Tổng dẫn của tụ điện là Yc(s) = SC =

Tổng dẫn của nhánh song song với nó là:

Y1(s) = ; Vậy :

Ic (s) =

Chú ý : Biết Ic(s) ta sẽ tìm được ic(t); ic (t) = L -1 Ic (s)Tóm lại: Các định luật kirchhoff không thay đổi khi phân tích mạch trong miền S và khái niệm tổng trở, ban đầu được định nghĩa cho mạch phức khi khảo sát mạch điện ở chế độ hình sin xác lập (chế độ điều hoà xác lập), giờ đây được tổng quát hoá thành Z(s) cho mạch trong miền S.

Tổng trở có thể được ghép nối tiếp, song song, biến đổi sao, tam giác.. theo các công thức quen thuộc. Các định lý cơ bản khác về giải tích mạch, chẳng hạn chia áp, chia dòng, định lý thevemin và norton cũng được chuyển sang miền S không có gì thay đổi, với giả thiết là tất cả điều kiện đều bằng không.

Nếu các điều kiện đầu khác không, ta phải thêm một số hạng vào các quan hệ dòng – áp V(s) = Z(s).I(s) của phần tử, gọi là “Số hạng điều kiện đầu” mà ta sẽ trình bày trong phần sau:

VII.Mạch miền S :1.Các bước giải mạch trong miền S:

Việc giải mạch trong miền S được tiến hành theo các bước sau:Bước 1: Chuyển mạch từ miền t sang miền s bằng cách :



+ Thay biến t bởi biến S+ Thay các áp , dòng v(t), i(t) trong miền (t) bởi các áp dòng V(s), I(s) trong

miền S.+ thay các phần tử mạch R, L, C bởi các tổng trở trong miền S: ZR(s) = R ;

ZL(s) = SL ; Zc(s) = 1/SC+ Thay các nguồn áp hoặc nguồn dòng độc lập Vg(t) , Ig(t) bởi biến đổi

Laplace tương ứng : Vg(s), Ig(s) + Giữ nguyên các chiều dương giả thiết của áp, dòng, nguồn áp, nguồn

dòng.Bước 2 : Giải mạch miền S bằng các phương pháp đã dùng cho mạch điện trở (tức là mạch chỉ có điện trở ) để tìm V(s), I(s)Bước 3 : Chuyển đổi mạch từ miền S ngược về mạch miền t bằng phép biến đổi Laplace ngược để tìm v(t), i(t)

V(t) = L -1 V(s) ; i(t) = L -1 I(s)Vấn đề còn lại cuối cùng là các điều kiện đầu sẽ được được đưa vào mạch

miền S như thế nào ? Ta đã biết rằng điện áp ban đầu Vc (0-) của tụ điện C và dòng điện ban đầu iL(0-)của cuộn cảm L sẽ tạo ra năng lượng ban đầu tích trữ trong tụ điện và cuộn cảm, và do đó ảnh hưởng đến dòng, áp lúc t = 0 của mạch điện.

2.Mạch tương đương trong miền S của các phần tử R, L, C có tính đến điều kiện đầu:

Hình 5-10 : Mạch tương đương trong miền S của các phần tử R, L, C.

a.Điện trở R b. cuộn cảm L; c. tụ điện C

VR(s) = R.IR(s) ; VL(S) = SL.IL(S) – LiL(0-) ; VC(S) =

Ví dụ 5.6:


)Maïch mieàn t

+ -VR(s)

RIR(s)

+ -SLIL(s)

VL(s)

L.iL(0-)

+ -VC(s)

IC(s) 1/SC Vc(0-) /S


Cho mạch điện như hình 5.11 tìm điện áp trên tụ điện v (t) GIẢI:

Trước hết ta tìm các điều kiện ban đầu tức là giá trị của dòng qua cuộn cảm

và áp qua tụ điện lúc t = 0- (i và v ).

Khi t = o- U(t) = 0 và nguồn áp là nguồn một chiều 12V. Với nguồn điện một chiều, cuộn cảm tương đương với ngắn mạch, tụ điện tương đương với hở mạch.

Mạch tương đương lúc t = 0-:

; vc(0-) = 12V

Sau đó ta giải mạch theo các bước đã trình bày ở phần trên.

*Bước 1: xây dựng mạch miền S dòng i (t), áp v (t) được thay bởi I (s) và V (s).+Ta chọn nút dưới làm chuẩn có điện thế bằng 0V và chọn điện thế của nút

trên V làm ẩn. Điện thế này cũng chính là điện áp của tụ điện V(s) =V (s)

+ Các phần tử R, L, C có xét điều kiện ban đầu được thay bởi mạch miền S tương đương như hình 5.12b.

R = 6 Z (s) = 6 ; Z (s) = SL = 30S ; L = 30H thay bởi SL = 30S mắc nối tiếp với nguồn áp Li (0-) = 30.2 = 60

(với dòng I (s) chạy vào đầu âm của nguồn áp).

C = F thay bởi mắc nối tiếp với nguồn áp V (0-)/S = với đầu dương (+)

của V (s) cùng phía với đầu dương của nguồn áp. + Nguồn áp độc lập 12(1 + u(t))V được thay đổi bởi biến đổi Laplace:

L


a)Maïch thay theá luùc t = 0- b)Maïch mieàn S

Hình 5.11

Hình 5.12

12

V(s)


*Bước2: Giải mạch miền s để tìm V(s):Ta dùng phương pháp điện thế nút, phương trình nút tại nút trên được viết

bằng cách cho tổng các dòng dời nút bằng 0.

V

6S3V(s) -72S2 + 5S2V(s) + SV(s) - 60S – 24 = 0

* Bước 3 :Dùng phép biến đổi Laplace ngược để tìm điện áp v (t) trong miền t. Ta

phân tích V(s) thành phân số sơ cấp:

V(s) =

Ví dụ 5.7: Cho mạch điện như hình 5.13, tại t = 0, đóng khoá K, tìm dòng IS lúc t > 0 biết nguồn áp Vg(t) = 24(1 + u(t))V. GIẢI Giải mạch khi t < 0, vẽ lại mạch, ta được mạch như hình 5.14a. Nguồn Vg(t) là nguồn 1 chiều 24V cuộn cảm ngắn mạch, tụ điện hở mạch. IL(0-) = 24/(5 + 1) = 4(A) ; vC(0-) = 4A . 1 = 4(V) ; L. IL(0-) = 3.4 = 12(V)


vg(t)

i(t)

5Ω

1/3F

3H

K 1Ω

48/S

5 3S 12

1

4/S

3/S

V(S)

5

1

K

24V

VC(0-)

IL(0-

)

a)

Hình 5.13


+Giải mạch khi t > 0: Khi t = 0 đóng khóa K, thay thế các nguồn điều kiện đầu, chuyển mạch sang miền s ta được như hình 5.14b Vg(S) = L 24(1 + u(t)) = 48/sChọn nút dưới làm chuẩn, viết phương trình thế nút cho nút trên ta có:

i(t) = L-1 I(s)

VIII-HÀM TRUYỀN:1.Hàm truyền đối với một hàm vào:

Thông thường mục đích của việc phân tích mạch điện là xác định giá trị của dòng và áp toàn mạch do tất cả nguồn và năng lượng tích trữ ban đầu tạo ra. Tuy vậy, nhiều khi mục đích khảo sát của chúng ta không cần quá rộng như vậy: Có khi chúng ta chỉ cần tìm quan hệ giữa một nguồn nào đó gọi là hàm vào, và một dòng áp khác (gọi là hàm ra) do nguồn đó tạo thành. Mục đích của việc giải tích hàm vào-ra là khảo sát quan hệ giữa chúng; Nói cách khác là tìm cách xác định hàm ra ứng với từng giá trị của hàm vào. + Nếu mục đích là chỉ cần khảo sát một cặp hàm vào-hàm ra thì phương pháp tìm cách xác định tất cả dòng, áp sinh ra do tất cả nguồn và năng lượng tích trữ ban đầu có thể không phù hợp. + Trong phần trước, ta đã thấy công dụng rất lớn của việc phân tích mạch miền s, để tìm dòng áp trong bài toán phù hợp cho việc phân tích hàm vào –hàm ra.a. Định nghĩa:


b)Hình 5.14


Gọi X(s) là hàm vào và Y(s) là hàm ra của một mạch trong miền s. Người ta gọi hàm truyền H(s) là tỷ số trong miền s của hàm ra và hàm vào khi tất cả điều

kiện đầu bằng 0: H(s) = ; Tất cả điều kiện đầu bằng 0.

Ở đây X(s) có thể là dòng hoặc áp, Y(s) cũng có thể là dòng hoặc áp. Sở dĩ ta đòi hỏi tất cả điều kiện đầu bằng 0 là để hàm vào đã chọn là nguyên nhân (duy nhất) của hàm ra mà ta muốn tính. Ta có thể viết lại định nghĩa như sau:

Y(s) = H(s).X(s) ; Tất cả điều kiện đầu bằng 0.Như vậy giá trị hàm ra trong miền s bằng tích của hàm truyền và hàm vào

trong miền s. Do đó một khi đã biết H(s), ta có thể tính được hàm ra Y(s) đối với bất cứ hàm vàoX(s) nào bằng cách chỉ việc nhân hai hàm đã biết trong miền s. Nếu cần biết hàm ra y(t) trong miền t thì ta dùng thêm phép biến đổi Laplace ngược. + Muốn xác định hàm truyền H(s). Trước tiên ta cho tất cả điều kiện đầu bằng 0. Và vẽ mạch miền s. Sau đó tính giá trị của hàm ra cần khảo sát và chia cho hàm vào. + CHÚ Ý:

Vì điều kiện đầu bằng 0, nên mạch miền s để xác định hàm truyền H(s) không bao giờ có nguồn điều kiện ban đầu.b)Các ví dụ:Ví dụ 5.8:

Cho mạch điện trên hình 5.15a. Chọn hàm vào là áp nguồn v (t) và hàm ra là áp tụ điện v (t). Tìm hàm truyền.

b)Maïch mieàn Sa) Maïch mieàn t

GIẢI:Mạch miền s được cho trên hình (5.15b); vì tất cả điều kiện đầu bằng 0 nên

không có nguồn điều kiện đầu trong mạch này. Ta sẽ tính hàm ra V (s).+ Tổng trở tương đương Z (s) của điện trở và 2 cuộn cảm là:


Hình 5.15

0,25F


Dùng công thức chia áp ta có:

=

H(s) =

Ta thấy rằng vì Y(s) = H(s).X(s) nên nếu hàm vào X(s) = 0 thì hàm ra Y(s) cũng = 0. Do đó nếu trong mạch miền s có nhiều nguồn độc lập cùng góp phần vào việc tạo thành hàm ra Y(s) thì: Một khi đã chọn 1 hàm vào, ta phải huỷ tất cả các hàm vào khác trước khi tính hàm truyền H(s) đối với hàm vào đã chọn trước; với tất cả các nguồn khác, và tất cả điều kiện đầu cho bằng 0.Chú ý: Muốn huỷ nguồn áp độc lập thì ta phải ngắn mạch 2 cực (cho áp nguồn bằng 0); Còn muốn huỷ nguồn dòng độc lập thì ta phải hở mạch 2 cực (cho dòng của nguồn bằng 0)Ví dụ 5.9:

Tìm hàm truyền H (s) trên hình 5.16a. Khi ta chọn hàm vào là nguồn dòng ig (t), còn hàm ra là điện áp v (t) qua tụ điện 2F.

GIẢI:+ Ta chuyển mạch sang miền s như hình 5.16b (huỷ nguồnVg (t))


a) Maïch mieàn t ) Maïch mieàn SHình 5.16


+ Hàm truyền là H ta sẽ giải mạch miền s để tìm V (s) bằng

phương pháp thế nút.+ Chọn nút dưới làm nút chuẩn (điện thế bằng 0) và gọi V (s), V (s) là điện

thế của các nút trên đối với nút chuẩn.Vì chọn hàm vào là Ig (s) nên ta huỷ (ngắn mạch) nguồn áp Vg (s) khi tính

hàm truyền H (s). Phương trình thế nút viết dưới dạng ma trận là:

Y ; Y ; Y

S+2 -2 V -Ig

-2 2S+3 V 0

Dùng qui tắc Cramer để tính V ta được:

S+2 -Ig (s) -2 0 -2V = = .Ig1(s)

S+2 -2 2S2 + 7S + 2 -2 2S+3Vậy hàm truyền H khi ta chọn hàm vào là nguồn dòng Ig là:

H

2.Hàm truyền với nhiều hàm vào:Bây giờ giả sử mạch miền s có n nguồn độc lập (n hàm vào) ký hiệu X

và ta muốn tính hàm ra Y(s) do các nguồn đó tạo nên, với tất cả

điều kiện đầu bằng 0. Ta lần lượt làm như sau:*Bước 1:

Chỉ cho nguồn X làm việc và huỷ tất cả các nguồn khác. Xác định hàm ra

Y do X tạo nên.

*Bước 2, 3… n Tương tự bước một, ta xác định được các hàm ra Y lần lượt do

chỉ một nguồn X tạo ra.

Theo nguyên lí xếp chồng, khi ta cho cả n nguồn X cùng

làm việc thì hàm ra tổng hợp Y(s) do chúng tạo nên là: Y(s) =Y

Ví dụ 5.10:


=


Cho mạch điện tương tự VD 5.9 xác định hàm ra V2(s) do cả hai hàm vào Ig1(s) và Vg2(s) tạo nên.

a) Maïch mieàn t ) Maïch mieàn S

GIẢI:Gọi V2-i(S) là hàm ra do Ig1(s) tạo nên ; V2-u (S) là hàm ra do Vg2(s) tạo nên Thì hàm ra do cả hai hàm vào Ig1(s) và Vg2 (s) tạo nên là: V2(s) =V2-i (s) + V2 -u(s) Khi chỉ cho 1 nguồn Ig1(s) làm việc , ở ví dụ 5.8 ta đã tính được:

V2-i(s) = ;

+ Bây giờ ta đi tính V2-u(s) chỉ do 1 nguồn Vg2 (s) tạo nên :Hở mạch nguồn dòng Ig1(s), chỉ cho 1 nguồn áp Vg2(s) làm việc, ta được

mạch điện như hình 5.17b. Tổng trở tương đương của ba phần tử bên trái là :

Vì Z1 (s) mắc nối tiếp với điện trở 1 nên ta dùng công thức chia áp

V2-u(S) =

Nếu cho cả 2 nguồn cùng làm việc thì hàm ra là xếp chồng của 2 hàm ra do từng nguồn tạo nên . V2(s) = H1(s). Ig1(s) + H2 (s) . Vg2(s)

V2 (s) =


Hình 5.17

Vg2(s)


IX. Giải mạch bằng hàm truyền khi điều kiện đầu khác không :Khi đã biết hàm truyền H(s) ta có thể dễ dàng khảo sát ảnh hưởng của sự

thay đổi hàm vào đối với hàm ra. Như vậy hàm truyền đóng vai trò chủ yếu trong việc phân tích hàm vào hàm ra; nghĩa là việc phân tích quan hệ nguyên nhân – hậu quả giữa các hàm vào và hàm ra chọn trước.

Chẳng hạn hàm truyền được dùng để khảo sát đáp ứng tần số, tức là khảo sát sự thay đổi của hàm ra khi tần số của hàm vào thay đổi. Tuy vậy hàm truyền cũng chưa nói hết toàn bộ vấn đề vì nó không xét đến điều kiện đầu. Vì vậy đối với 1 bài toán có điều kiện đầu khác không, ta tiến hành các bước như sau: + Bước 1:

Xây dựng mạch miền S có chứa điều kiện đầu, nghĩa là mạch có hai tập hợp nguồn: Tập nguồn độc lập và tập nguồn điều kiện đầu (các nguồn áp LiL(o-) và vc

(0-)/S hoặc các nguồn dòng iL(o-)/S và C vC(o-). + Bước 2 :

Chỉ cho tập nguồn độc lập làm việc còn tập nguồn điều kiện đầu nghỉ (ngắn mạch nguồn áp , hở mạch nguồn dòng ). Dùng phương pháp hàm truyền H(S) để xác định đáp ứng cưỡng bức do tập nguồn độc lập tạo ra. + Bước 3: Chỉ cho tập nguồn điều kiện đầu làm việc (tương ứng với năng lượng tích trữ ban đầu trong cuộn dây và tụ địên làm việc ) còn tập nguồn độc lập nghỉ . Xác định đáp ứng tự nhiên do tập nguồn điều kiện đầu tạo ra. + Bước 4:

Khi cả hai nguồn cùng làm việc, đáp ứng đầy đủ theo nguyên lý xếp chồng, là tổng của đáp ứng cưỡng bức và đáp ứng tự nhiên.

CHƯƠNG 6:

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATLABTÌM BIẾN ĐỐI LAPLACE VÀ LAPLACE NGƯỢC

I.Giới thiệu Matlab:



Matlab là một ngôn ngữ lập trình cấp cao được sử dụng rộng rãi trong môi trường học thuật và công nghệ. Matlab được xem là lựa chọn ưu tiên vì có khả năng hỗ trợ tối ưu cho việc nghiên cứu cũng như dạy học đối với các môn toán học, khoa học và kỹ thuật. Matlab được viết tắt từ Matrix Lboratory, do mục đích ban đấu của Matlab là xây dựng nên một công cụ hỗ trợ việc tính toán các ma trận một cách dễ dàng nhất. Một trong nhiều lí do khiến người sử dụng thích dùng Matlab chính là chế độ tương tác (Interactive mode). Ở chế độ này, sau khi gõ câu lệnh và thực thi, kết quả sẽ được in ra ngay trong cửa sổ dòng lệnh, ta thêm dấu chấm phảy (;) ngay sau câu lệnh. Hơn nữa ở bên trái màn hình, người dùng có thể thấy 3 tab Current directory, Workspace và Command history, trong đó:

Current directory: Thể hiện thư mục đang làm việc, khi muốn thực thi một tập tin .m nào đó, người dùng phải chắc chắn rằng tập tin .m phải được nhìn thấy trong tab này.

Workspace: Chứa danh sách các biến đã được khai báo và sử dụng trong chương trình. Ở tab này, người dùng có thể đọc được tên biến, giá trị, kích thước của biến.

Command history: Chứa danh sách các câu lệnh đã được thực thi trong cửa sổ dòng lệnh (Command Window). Người dùng có thể nhấp dúp vào một lệnh bất kì để chương trình thực hiện lại lệnh đó. Hoặc người dùng có thể dùng phím mũi tên lên ( ), xuống ( ) trong cửa sổ dòng lệnh để tìm lại các lệnh mà chương trình đã thực thi.

Bên cạnh đó. Matlab vẫn duy trì chế độ kịch bản (Script mode) hỗ trợ cho người dùng khi lập trình các hàm hay chương trình từ đơn giản đến phức tạp. Các câu lệnh sẽ được lưu trong tập tin có đuôi .m và được thực thi một lần khi chương trình khởi chạy. Để tạo một tập tin .m, người dùng vào File chọn New M-File.

Trong Matlab khi muốn viết một dòng chú thích, ta đặt dấu phần trăm (%) ở đầu dòng . Tiện lợi hơn ta có thể dùng phím tắt Ctrl + R để biến các dòng đã chọn trở thành chú thích và Ctrl + T để loại bỏ kí hiệu chú thích trước các dòng chú thích.

Để thực thi một tập tin .m ta nhấp vào biểu tượng nằm trên thanh Editor Toolbar hoặc sử dụng phím tắt F5. Tương tự như các ngôn ngữ lập trình khác, ở chế độ kịch bản, Matlab cũng hỗ trợ công cụ debug, giúp người dùng kiểm tra chương trình của minh từng bước, nhằm phát hiện lỗi sai trong quá trình viết.

II.Biến và khai báo biến:1.Biến:

Trong ngôn ngữ lập trình Matlab, một biến (variable) được khai báo thông qua lệnh syms hoặc được khởi tạo thông qua lệnh gán (=). Tên biến bao gồm các kí tự chữ, số và kí hiệu gạch dưới ( _ ). Tên biến phải bắt đầu bằng kí tự chữ và có độ dài tuỳ thích. Tuy nhiên , Matlab chỉ ghi nhớ 31 kí tự đầu tiên và phân biệt chữ in và chữ thường, khi đặt tên biến hoặc tên chương trình.



Các kiểu biến hợp lệ: arg1 ; no_nam ; vars ; Vars…Nếu tên biến chưa được khởi tạo mà xuất hiện khi chạy một dòng lệnh nào

đó, Matlab sẽ xuất hiện thông báo: ??? Undefined function or variable …2.Khai báo biến: syms› syms a b c x

Trong đó syms là câu lệnh khai báo, a, b, c, x là các biến-Khai báo biến phức› x = sym(‘x’,’real’); y = sym(‘y’,’real’)Hoặc syms x y real› z = x + i*y

III.Các hàm Toán họcCú pháp . Ý nghĩasin(x), cos(x), tan(x) Các hàm lượng giácasin(y), acos(y), atan(y) Các hàm lượng giác ngượcexp(x) Hàm mũ ex .log(x), log10(x), log2(x) Logarit cơ số e, 10, 2pow2(x) Luỹ thừa của 2 (2x

).nextpow2(y) Trả về giá trị x nhỏ nhất thoả 2x

>= ysqrt(x) Lấy căn bậc 2 của x

IV.Các phép toán số học cơ bản.Matlab cung cấp các phép toán số học cơ bản như sau

Phép toán Dạng đại số trong MatlabCộng a + b a + bTrừ a − b a - bNhân a x b a * bChia phải a/b a / bChia trái b\a a \ bLuy thừa ab a ˆ b

V.Đạo hàm: diff1.Lấy đạo hàm cấp 1.Ví dụ 6.1:› syms x %Khai báo biến xf = sin(5*x) ; %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàm › diff(f) %Lấy đạo hàm bậc 1 hàm f› ans = 5*cos(5*x) %Kết quả lấy đạo hàm bậc 1 của hàm fVí dụ 6.2:

Tính đạo hàm cấp 1 của hàm f(t) = 5x4 -3x3 + 2x2 +1› syms x %Khai báo biến x



ft = 5*x^4 – 3*x^3 +2*x^2 +1; %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàm › diff(ft) %Lấy đạo hàm bậc 1 hàm f(t)› ans = 20*x^3-9*x^2+4*x %Kết quả lấy đạo hàm bậc 1 của hàm f(t)2.Lấy đạo hàm cấp 2: diff(f, 2) hoặc diff(diff(f))Ví dụ 6.3:› syms x %Khai báo biến xf = sin(5*x) ; %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàm › diff(f,2) %Lấy đạo hàm bậc 2 hàm f› ans = -25*sin(5*x) %Kết quả lấy đạo hàm bậc 2 của hàm fVí dụ 6.4:

Tính đạo hàm cấp 2 của hàm f(t) = 5x4 -3x3 + 2x2 +1› syms x %Khai báo biến xft = 5*x^4 – 3*x^3 +2*x^2 +1; %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàm › diff(ft,2) %Lấy đạo hàm bậc 2 hàm f(t)› ans = 60*x^2-18*x+4 %Kết quả lấy đạo hàm bậc 2 của hàm f(t)3.Đạo hàm đa biến.

Gọi f = f(x, y) thi: Cú pháp Ý nghĩadiff(f, x) Đạo hàm theo xdiff(f, y) Đạo hàm theo ydiff(f, x, 2) Đạo hàm cấp 2 theo xdiff(f, y, 2) Đạo hàm cấp 2 theo yNếu x là biến mặc định của f thì diff(f, 2) tương đương với diff(f, x, 2)Vi dụ 6.5:syms s t %Khai báo biến s, xf = sin(s*t) %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàmdiff(f,t) => ans = cos(s*t)*s %Lấy đạo hàm và kết quả đạo hàm theo tdiff(f,s)=> ans = cos(s*t)*t %Lấy đạo hàm và kết quả đạo hàm theo sdiff(f,t,2) => ans = -sin(s*t)*s^2 %Lấy đạo hàm và KQ đạo hàm bậc 2 theo tVi dụ 6.6:syms s t %Khai báo biến s, xf = sin(s*t) %Phép gán hàm số cần lấy đạo hàmdiff(f,t) => ans = cos(s*t)*s %Lấy đạo hàm và kết quả đạo hàm theo tdiff(f,s)=> ans = cos(s*t)*t %Lấy đạo hàm và kết quả đạo hàm theo sdiff(f,t,2) => ans = -sin(s*t)*s^2 %Lấy đạo hàm và KQ đạo hàm bậc 2 theo t

Vi dụ 6.7:Cho hàm f(t) = 6x4y3z + 4x3y2z2 – 2x2yz2

a)Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm f(t) theo x, y, zb)Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm f(t) theo x, y, z

GIẢI :



a)Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm f(t) theo x, y, z

syms x y z %Khai báo biến x, y, zft = 6*x^4*y^3*z+4*x^3*y^2*z^2-2*x^2*y*z^2 ;

%Phép gán hàm số cần lấy đạo hàmdiff(ft,x) %Lấy đạo hàm bậc 1 theo xdiff(ft,y) %Lấy đạo hàm bậc 1 theo ydiff(ft,z) %Lấy đạo hàm bậc 1 theo z

Kết quả được :ans = 24*x^3*y^3*z+12*x^2*y^2*z^2-4*x*y*z^2 %Đạo hàm bậc 1 theo xans = 18*x^4*y^2*z+8*x^3*y*z^2-2*x^2*z^2 %Đạo hàm bậc 1 theo yans = 6*x^4*y^3+8*x^3*y^2*z-4*x^2*y*z % Đạo hàm bậc 1 theo z

b)Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm f(t) theo x, y, zsyms x y z %Khai báo biến x, y, zft = 6*x^4*y^3*z+4*x^3*y^2*z^2-2*x^2*y*z^2 ;

%Phép gán hàm số cần lấy đạo hàmdiff(ft,x,2) %Lấy đạo hàm bậc 2 theo xdiff(ft,y,2) %Lấy đạo hàm bậc 2 theo ydiff(ft,z,2) %Lấy đạo hàm bậc 2 theo z

Kết quả được :ans = 72*x^2*y^3*z+24*x*y^2*z^2-4*y*z^2 %Đạo hàm bậc 2 theo xans = 36*x^4*y*z+8*x^3*z^2 %Đạo hàm bậc 2 theo yans = 8*x^3*y^2-4*x^2*y % Đạo hàm bậc 2 theo z

VI.Tính tích phân : Cú pháp Ý nghĩa int(f, x) hoặc int(f) : Tìm nguyên hàm của hàm f = f(x). int(f, a, b) : Tính tích phân của hàm f từ a -> b.Ví dụ 6.8:syms x n a b t %Khai báo biến x, n, a, b, tf = x ^ n %Phép gán hàm số cần lấy tích phânint(f) ( hoặc inf(f,x)) %Tính tích phân hàm fans = x^(n+1)/(n+1) %Kết quả tính tích phân

VII.Tìm biến đổi Laplace: laplace (ft)Ví dụ 6.9 : Tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) = 6Sin2t – 5Cos2tSyms t %Khai báo biến tft = 6*sin(2*t) – 5*cos(2*t) ; %Phép gán hàm f(t)Fs = laplace (ft) %Lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ans = 12/(s^2+4)-5*s/(s^2+4) %Kết quả lấy biến đổi Laplace hàm f(t)



Ví dụ 6.10 : Tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) = e2t(3Sin4t – 4Cos4t)Syms t %Khai báo biến tft = exp(2*t)*(3*sin(4*t)-4*cos(4*t)) ; %Phép gán hàm f(t)Fs = laplace (ft) %Lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ans = 3/4/(1/16*(s-2)^2+1)-1/4*(s-2)/(1/16*(s-2)^2+1) %Kết quả lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ví dụ 6.11 : Tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) = t3.CostSyms t %Khai báo biến tft = t^3*cos(t) ; %Phép gán hàm f(t)Fs = laplace (ft) %Lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ans = 6/(s^2+1)^4*(1+s^4-6*s^2) %Kết quả lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ví dụ 6.12: Tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) = e2t.(Sin3t )/ tSyms t %Khai báo biến tft = (exp(2*t)*sin(3*t))/t ; %Phép gán hàm f(t)Fs = laplace (ft) %Lấy biến đổi Laplace hàm f(t)Ans = 1/2*pi-atan(1/3*s-2/3) %Kết quả lấy biến đổi Laplace hàm f(t)

VIII.Tìm biến đổi Laplace ngược: ilaplace (Fs)

Ví dụ 6.13 : Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm

Syms s %Khai báo biến sFs = (12-5*s)/(s^2+4) ; %Phép gán hàm Fsft = ilaplace (Fs) %Lấy biến đổi Laplace ngược hàm FsAns = -5*cos(2*t)+6*sin(2*t) %Kết quả lấy BĐ Laplace ngược hàm Fs

Ví dụ 6.14 : Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm sau :

Syms s %Khai báo biến sFs = (20-4*s)/((s-2)^2 + 16) ; %Phép gán hàm Fsft = ilaplace (Fs) %Lấy biến đổi Laplace ngược hàm FsAns = -4*exp(2*t)*cos(4*t)+3*exp(2*t)*sin(4*t)

%Kết quả lấy BĐ Laplace ngược hàm Fs


Syms s %Khai báo biến sFs = (6*s^4-36*s^2+6)/((s^2 + 1)^4 ; %Phép gán hàm Fsft = ilaplace (Fs) %Lấy biến đổi Laplace ngược hàm FsAns = t^3*cos(t) %Kết quả lấy BĐ Laplace ngược hàm Fs


Syms s %Khai báo biến s



Fs = (2*s+1)/(s*(s+1)) ; %Phép gán hàm Fsft = ilaplace (Fs) %Lấy biến đổi Laplace ngược hàm FsAns = 2*exp(-1/2*t)*cosh(1/2*t) = 1 + e-t

%Kết quả lấy BĐ Laplace ngược hàm Fs

PHẦN II: BÀI TẬP MẪUChương 2: Biến đổi LaplaceI.Biến đổi Laplace của các hàm sơ cấp.Bài 1:

Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:a) 6Sin2t – 5Cos2t b) (t2 + 1)2 c) (Sint – Cost)2 d) Cos(at + b) e) 2t2 – e-t f) 3Cosh5t – 4Sinht

GIẢI :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:

a)(5e2t – 3)2 b)4Cos22t c)Cosh24t d) f(t) = 0 ; 0 < t < 2 4 ; t > 2

GIẢI :

a)

b)



c)

d)Áp dụng tính chất 3, viết phương trình của f(t) : f(t) = 4.u(t – 2)

II.Tuyến tính, dời đổi thang đo.Bài 3.

Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:

a) b) c) d)

e) f) g)

GIẢI :

Áp dụng tính chất 2:

a) Ta có ;

b)Ta có với a = 1 ; thay s bởi s + a = s + 1

c)Ta có

d)Ta có

e)Ta có

f)Ta có

g)Ta có

Bài 4.



Biết Tìm

GIẢI :

Áp dụng tính chất 4 bảng 2.2 :

Bài 5 :

Cho tìm

GIẢI :

Áp dụng tính chất : ;

Ta có

Bài 6 : Cho hàm f(t) = 2t ; 0 ≤ t ≤ 1 a)Vẽ đồ thị của hàm f(t)

t ; t > 1 b)Tìm

GIẢI :a)Vẽ đồ thị của hàm f(t)

b)Tìm

=

=

III.Nhân cho luỹ thừa của t.Bài 7 :

Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau :

a) b) c) d) e) 3e-5t.t.u(t - 6)

GIẢI :

Áp dụng tính chất 8 bảng 2.2 :

a)


0,5 10

1

2

f(t)

t

t

2t


b)

c)

d)

e)Áp dụng tính chất l: f(t).u(t-a) = e-as. L f(t+a) ta có:

L t.u( t - 6) = e-6s. L (t + 6 ) = e-6s.

Áp dụng tính chất : L e-at.f(t) = F(s+a) ta có:

L 3.e-5t.t.u(t-6) = 3.e-6(s+5).

IV.Chia cho t :Bài 8 :

Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau :

a) b) c)

GIẢI :

Áp dụng tính chất 8 :

a)

=

b) Đặt u2 + a2 = t1 → dt1 = 2udu

u2 + b2 = t2 → dt2 = 2udu

c)

Bài 9 : Tính các tích phân sau :



a) b)

GIẢI :

Áp dụng tính chất:

a)

b)

=

V.Kiểm chứng định lí giá trị đầu, cuối.Bài 10 :

Kiểm chứng định lí giá trị đầu, cuối bằng các hàm sau :a)t + Sỉn3t b)1 + e-t(Sint + Cost) c)t3.e-2t

GIẢI :

a) (1)

(2)

Từ (1) và (2) Vậy định lí nghiệm đúng.

b) (1)

= (2)

Từ (1) và (2) Vậy định lí nghiệm đúng.

c)

(1)



(2)

Từ (1) và (2) Vậy định lí nghiệm đúng.Bài 11 :

Tìm L bằng các phương pháp sau:1) Phương pháp dùng định nghĩa biến đổi Laplace.2) Phương pháp dùng công thức Ơ Le3) Phương pháp dùng tính chất 24) Phương pháp dùng tính chất 45) Phương pháp dùng tính chất 56) Phương pháp dùng tính chất 67) Phương pháp dùng tính chất 9

GIẢI1)Phương pháp dùng định nghĩa biến đổi Laplace.

Theo định nghĩa biến đổi Laplace ta có:

L -st cosat dt (1)

đặt e-st = U du = -se-st.dt

cosat dt = dv v =

e-st dt (2)

đặt e-st = U du = -Se-st

dv = sinat dt V = -

(3)Thay (2) và (3) vào (1) ta có :

L =

;

L

2)Phương pháp dùng công thức Ơ LeTa có ejat = Cosat + JSinat



L = L + J L (1)Theo bảng các cặp biến đổi Laplace thông dụng ta có :

L = (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

L + J L = +

Đồng nhất phần thực và phần ảo hai vế phương trình ta có:

L = ; L =

3)Phương pháp dùng tính chất 2: L F(S + a)

Ta có: L = L =

4)Phương pháp dùng tính chất 4: L

Ta có: L

Suy ra L

5)Phương pháp dùng tính chất 5: L = SnF(s) – Sn – 1f(0-) - … -fn-1(0-)

Đặt f(t) = f’(t) = ; f(0-) = 0

F(s) = L = F(s)

L = L = SF(s) – f(0-) =

6)Phương pháp dùng tính chất 6:

Nếu L thì L

Đặt f(t) = Sinat suy ra F(s) =

Áp dụng tính chất 6 ta có: L

L L L

L - L



L

7)Phương pháp dùng tính chất 9:Định lí 9 : Nếu f(t) là một hàm tuần hoàn với chu kì T > 0 thì:

L

Do Cosat là hàm tuần hoàn (Chu kỳ T = 2) áp dụng tính chất 9 ta có:

L = (1)

a)Tính

Đặt e-st = u du = -s.e-stdt ; Cosat dt = dv v =

= (2)

b)Tính tích phân

đặt e-st = U du = -Se-st.dt

dv = sin at dt V =

-st sinatdt = - =

=

(3)Thế (3) vào (2) ta có:

(4)

Thế (4) vào (1) ta có: L =

Qua ví dụ trên cho thấy tính hiệu quả cao của việc áp dụng toán tử Laplace. Tuy nhiên nó đòi hỏi trình độ, kỹ năng, sự sáng tạo nhằm đạt hiệu quả tối ưu.



Chương 3 : Biến đổi Laplace ngượcI.Biến đổi Laplace ngược của các hàm sơ cấpBài 11 :

Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau :

a) b) c) d)

GIẢI :

a)

b)

c)

d)

II.Tuyến tính, dời đổi thang đo.Bài 12 :


a) b) c)

GIẢI :

a) ; ;

b)

c)

Bài 13 :




a) b) c) d)

GIẢI :

Áp dụng công thức :

a)Ta có

b)Ta có

c)Ta có

d)Ta có

Bài 14 : Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau :

a) b) c)

d) e) f) g)

GIẢI :

Áp dụng công thức : ; ;

a)

b) (1)

; Thế a = -5/2 và cho s = 0 vào (1) ta có B = 3/2



c)

= 3Cos2t – 4Sin2t - 4Cosh4t + 6Sinh4t

d) ; ta có

e)

Ta có ;

f)

;

(2)

Tính tương tự có : (3)

=

g) Ta có (1)

; ;



Cho S = 2 và thế A, C, D vào (1) ta có B = 6/25 suy ra :

Vậy f(t) = L-1 F(s) =

Chương 4 : Giải phương trình vi phânBài 15 :

Giải phương trình vi phân : a)y’’ – 4y’ + 5y = 125t2 với y(o) = y’(o) = 0b)y’’ = e-t ; y(0) = y’(0) = 1

GIẢI :a)Lấy biến đổi Laplace cả hai vế phương trình ta được :

S2Y(s) – sy(0-) – y’(0-) – 4[SY(s) - y(0-)] + 5Y(s) = 250/s3 (1)Thay các giá trị đầu y(o) = y’(o) = 0 vào (1) ta đượcS2Y(s) – 4SY(s) + 5Y(s) = 250/S3

(2)

; (3)

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số pt (3) ta được S4(C + D) + S3(B - 4C + E) + S2(50 - 4B + 5C) + S(5B - 200) = 0

;

y(t) =

b)Lấy biến đổi Laplace cả hai vế phương trình ta được :S2Y(s) – sy(0-) – y’(0-) = 1/(s + 1) (1)Thay các giá trị đầu y(o) = y’(o) = 1 vào (1) ta đượcS2Y(s) – S -1 = 1/(s + 1) ; S2Y(s) = s + 1 + 1/(s + 1)



; (3)

; ; Thế A = C = 1 và cho s = 1 vào (3) ta có

1/2 = 1 + B + 1/2 → B = -1

Bài 16 : Giải phương trình vi phân :

a)y’’ + y = 8Cost với y(o) = 1 ; y’(o) = -1 b) Y’’ + 2y’ + y = 8e-t ; vơi y(0) = -2 ; y’(0) = 1

GIẢI :a)Lấy biến đổi Laplace cả hai vế phương trình ta được :

S2Y(s) – sy(0-) – y’(0-) + Y(s) = (1)

Thay các giá trị đầu y(o) = 1 ; y’(o) = -1 vào (1) ta được

S2Y(s) – S + 1 + Y(s) = ; Y(s)(S2 + 1) – (S – 1) =

f(t) =

b)Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình ta được:S2Y(S) – S.y(0) – y’(0) + 2SY(S) – 2y(0) + Y(S) = 8/(S + 1)Thay điêu kiện đầu vào ta được:S2Y(S) + 2S – 1 + 2SY(S) + 4 + Y(S) = 8/(S + 1)Y(S)(S2 + 2S + 1) = [8/(S + 1)] – 2S – 3

y(t) = L-1 Y(S) = 4t2.e-t – t.e-t – 2.e-t = e-t.(4t2 – t – 2)

Bài 17 : Giải hệ phương trình vi phân :



a) ; Với ; y’(0) = -2

b) ; với

GIẢI :a)Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của hệ phương trình ta được :

Thay điều kiện đầu vào ta có:

;

= -S – S3 = -S(1 + S2) ;

=

=

b)Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của hệ phương trình ta được :

Thế điều kiện đầu vào có



= -1 – s2 = -(s2 + 1) ; =

;

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải tích mạch điệnBài 18: Cho mạch điện như hình 18a, tìm tổng trở tương đương Z(s)

GIẢI:Chuyển mạch sang miền s, ta được hình 18b, tổng trở tương đương của đoạn

mạch là:

Bài 19: Cho mạch điện như hình 19a, tìm tổng trở tương đương Z(s)

GIẢI:Chuyển mạch sang miền s, ta được hình 19b, tổng trở tương đương của đoạn

mạch là:


2H 1H

1/4F 1/2F

2S 1S

4/S 2/S

Hình 18a Hình 18b

1 2S 1/S

2/S 1/S

S1

4S Hình 19b

1Ω 2H 1F

0,5F 1F

1H1Ω

4H Hình 19a


Bài 20:Cho mạch điện như hình 20a, 20b.

a)Tìm I2(s) bằng công thức chia dòng (H20a), giả sử tất cả điều kiện đầu bằng 0.b)Tìm V2(s) bằng công thức chia áp (Hình 20b), giả sử tất cả điều kiện đầu bằng 0.

GIẢI:a)Áp dụng công thức chia dòng có:

b)Tính tổng trở tương đương đoạn mạch AB:

Bài 21: Cho mạch điện như hình 21a.


1/S

2S

2/S

3

4/SVg(s)

2S4/S

21/S

I2(s)

+

-V2(s)

Hình 20a

Hình 20b

B

A

Hình 21a

Hình 21b

5Sin2t(V)

1F

2H

4Ω+

-V1

i2

2

10

4s 1/S

2S I2(s)

4

A A

B B


Tìm mạch tương đương Thevenin và Norton trong miền S, với giả thiết v1(0-) = i2(0-) = 0.

Giải:-Chuyển mạch sang miền s ta được mạch như hình 21b.-Nguồn áp 10/(s2 + 4) nối tiếp với tụ điện 1/s biến đổi thành nguồn dòng:{10/[s2 + 4]/(1/s)} = 10s/(s2 + 4) ; song song với tụ 1/s ta được hình 21c.

-Trong mạch hình 21c có:

-

-Vẽ lại mạch trong miền s, ta được tương đương Thevenin và Norton như hình 21d và 21e.Bài 22: Cho đồ thị hàm f(t) như hình vẽ sau:


Hình 21c

Hình 21d

2S

4Ω

A

B

1/S

I2(s)

V(s)

B

2

10

4

s

s

I2(s)

A

Z Z2

10

4

s

s

Hình 21e

A

B

I2(s)

f(t)

2

1

0 1 2 3 4 5 t

f(t)

0 1 2 3 4 5 t

2t-4 -2t+8

e-3t

Hình 22a Hình 22b

f(t)

0 1 2 3 4 5 t

f(t)

0 1 2 3 4 5 t

t-3

Hình 22c Hình 22d

-1/2

2.e-t

1

2

-1

-2


Viết biểu thức của các hàm f(t), tìm biến đổi Laplace của chúng.GIẢI:

Áp dụng công thức:

; ;

a)Viết biểu thức và tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) hình 22a:

b)Viết biểu thức và tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) hình 22b:

;

c)Viết biểu thức và tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) hình 22c:

;

d)Viết biểu thức và tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) hình 22d:

Bài 23:Cho mạch điện như hình vẽ sau:


Hình 23a

e-

2t.u(t)

2H+ -v1(t)

1F

3Ω 6H 3H

Hình 23b

2s+ -V1(s)

1/s

3Ω 6s 3s1

2s

A

B

I(s)


Tìm V1(s) với giả thiết tất cả điều kiện đầu bằng 0 lúc t = 0- .GIẢI:

-Chuyển mạch sang miền s ta được mạch hình 23b.

; → (3Ω // 6s // 3s) =

Bài 24:Cho mạch điện như hình 24a:

Tại t = 0, khoá K đóng, tìm dòng i(t) khi t > 0.GIẢI:

*Giải mạch khi t < 0 (Khóa K mở):-Nguồn 12Sin2t (V) = 0 (Tại t = 0-) iL(0-) = 0-Nguồn 6(t + 1)V là nguồn 1 chiều 6V *Giải mạch khi t > 0 (Khóa K đóng):-Chuyển mạch sang miền s ta được mạch như hình 24b.-Chọn nút dưới làm chuẩn (0V), viết phương trình thế nút cho nút trên bằng cách cho tổng các dòng dời nút bằng 0 :


12Sin2t(V)

2Ω 4Ω

1H 6(t+1)V

K

Hình 24a

V(s)

2

24

4s 2

6( 1)s

s

S

2Ω 4Ω

I(s)

K

Hình 24b


;

Bài 25:Cho mạch điện như hình 25a:

a)Tìm hàm truyền H1(s) = V1(s)/I1(s)b)Tìm hàm truyền H2(s) = V2(s)/V1(s)c)Tìm hàm truyền H3(s) = V2(s)/I1(s)

GIẢI:Chuyển mạch sang miền s ta được mạch như hình 25b

a)Tìm hàm truyền H1(s) = V1(s)/I1(s)

b)Tìm hàm truyền H2(s) = V2(s)/V1(s)

Dùng công thức chia áp có:

c)Tìm hàm truyền H3(s) = V2(s)/I1(s)


V1(t)

+

-

i1(t) +

-

1/10F V2(t)4Ω

2H

Hình 25a

A

B

V1(s)

+

-

I1(s)+

-

10/SV2(s)4Ω

2S

Hình 25b

A

B


;

Bài 26:Cho mạch điện như hình 26, tìm hàm truyền H(s) = I1(s)/Vg(s)

GIẢI:

;

Vậy hàm truyền cần tìm là:

Bài 27:Tìm một mạch hai đầu R, L, C sao cho: Z(s) = (s2 + 7s + 3)/s

GIẢI:

ZL = SL L = 1H ; C = 1/3H

Vậy ta vẽ được mạch R, L, C cần tìm như hình bên.Bài 28:

Tìm một mạch hai đầu R, L, C sao cho: Z(s) = (s2 + s + 2)/(s2 + 2)GIẢI:


A4Ω

1/S

I1(s)

Vg(s)

Hình 26

I(s)

2Ω

2Ω

1/S

+

-V2(s)

B

7Ω1H

1/3FZ(s)

1Ω

1/2F 1/2F 1F 1/2H

1Ω

1H1H

Hình 28a

Hình 28b


;

Vậy ta vẽ được mạch tương đương như hình 28a, tiếp tục rút gọn ta được mạch hình 28bBài 29:

Cho mạch điện như hình 29a, ghép tổng trở nối tiếp và song song để thu gọn mạch thành một mạch 2 mắt lưới. Viết phương trình mắt lưới dưới dạng ma trận. Giả sử tất cả điều kiện đầu bằng không.

GIẢI:Chuyển mạch sang miền S, ta được mạch như hình 29b. Tiếp tục biến đổi

như sau:

Ig2(s)//Z2 biến đổi thành nguồn áp Ig2(s).Z2 Nối tiếp với Z2.


ig1(t)

ig2(t)

vg3(t)

1Ω

3Ω2Ω

1Ω4H

1H

1/2F3H1F

1/4F

1/2H

Ig1(s)

Ig2(s)

Vg3(s)

1Ω

3Ω2Ω

1Ω4S

1S

2/S3S1/S

4/S

S/2

Hình 29a

Hình 29b

Ig3(s).Z1

Vg3(s)

Ig2(s).Z2

Z1 Z41/S

Hình 29c

I1(s)

I2(s)


Z1(s) = (1 + 4s)//Ig1(s) biến đổi thành nguồn áp Ig1(s).Z1(s) nối tiếp với Z1. Cuối cùng vẽ lại mạch, ta được mạch như hình 29c. Ta viết được P.trình dòng mắt lưới dạng ma trận như sau: Z1 + 1/S -1/S I1(s) Ig1.Z1 – Vg3(s)

-1/S 1/S + Z4 I2(s) Vg3(s) - Ig2.Z2

Bài 30: Cho mạch điện như hình 30a; Tìm hàm truyền H1(s) khi chọn hàm vào là nguồn dòng ig1(t) còn hàm ra là áp trên điện trở 1.

GIẢI:

Hàm truyền cần tìm là: Chọn hàm vào là nguồn dòng ig1(t) hàm ra là áp

trên điện trở 1, tức là V1(S). Hủy hai nguồn áp v1(t) và v2(t), chuyển mạch sang miền S ta được như hình 30b. Giải mạch miền S tìm V1(S) bằng phương pháp thế nút. Chọn nút dưới làm chuẩn (0V), gọi V1(S) , V2(S) là điện thế của nút trên đối với nút chuẩn. Phương trình thế nút viết dưới dạng ma trận là:

; .

Dùng quy tắc Creamer tính V1(S) ta được:

V1(S) = : =

=



1/2S

V1(S) Ig1(S)

1/4

1/4S

V2(S)

1/5S

1/5

11

0,25

0,2

2F

1

V1(t)

ig1(t)

5F 4F

2

V2(t)

Hình 30a

Hình 30b

=


Bài 31: Cho mạch điện như hình 31a. Tại t = 0, đóng khóa K. Tìm dòng I(s) lúc t > 0. Biết nguồn áp vg(t) = 24(1 + U(t))V

GIẢI :+Giải mạch khi t < 0: (Khoá K mở)

Vẽ lại mạch ta được mạch như hình 31b

-Nguồn Vg(t) là nguồn 1 chiều 24V cuộn cảm ngắn mạch, tụ điện hở mạch. IL(0-) = 24/(5 + 1) = 4(A) ; vC(0-) = 4A . 1 = 4(V) ; L. IL(0-) = 3.4 = 12(V)

+Giải mạch khi t > 0:-Khi t = 0 đóng khóa K, thay thế các nguồn điều kiện đầu, chuyển mạch

sang miền s ta được như hình 31c ; Vg(S) = L 24(1 + u(t)) = 48/sChọn nút dưới làm chuẩn, viết phương trình thế nút cho nút trên ta có:

i(t) = L-1 I(s) Bài 32:


Kvg(t

)

i(t)

5Ω

3H

1/3F

1Ω

Hình 31a

5

1

K

24V

VC(0-)IL (0-)

Hình 31b

Hình 31c

48/S

5 3S 12

14/S

3/S

V(S)

I(s)


Cho mạch điện như hình 32a, tìm hàm truyền H1(s) khi chọn hàm vào là nguồn dòng ig1(t) còn hàm ra là điện áp v1(t) qua tụ điện 3F.

GIẢI :Chuyển mạch sang miền s ta được mạch như hình 32b, hủy nguồn áp vg2(t) ,

hàm truyền cần tìm là: H1(S) = V1(S)/Ig1(S)

Ta giải mạch miền S để tìm V1(S) bằng phương pháp thế nút. Chọn nút dưới làm chuẩn (Điện thế bằng 0V) và V1(S) , V2(S) là điện thế của nút trên đối với nút chuẩn. Vì chọn hàm vào là Ig1(S) nên ta hủy (ngắn mạch) nguồn áp Vg2(S) khi tính hàm truyền H1(S) . Phương trình thế nút viết dưới dạng ma trận là:

;

; . =

Dùng quy tắc Cramer để tính V1(S) ta được:


Bài 33: Cho mạch điện như hình 33a, Tại t = 0 đóng khoá K từ vị trí (1) sang (2).

Xác định dòng điện i(t) khi t > 0.


0,25

0,2

1/6

3F 5F

ig1(t)

vg2(t)v1(t

)v2(t)

Hình 32a

0,25

1/5

1/6

1/3S1/5S

Ig1(s) vg2(s)V1(s

)V2(s)

1 2

Hình 32b

18V

1/5F

1K

6Ω

1H

2

i(t)

18/S

5/S

1K

6

S

2

I(s)

3

Hình 33a

Hình 33b


1)Giải mạch khi t < 0 tìm điều kiện đầu: (Khoá K ở vị trí 1)i(0-) = iL(0-) = 18/6 = 3(A) ; uc(0-) = 0(V) ; L. iL(0-) = 1.3 = 3 (V)

2)Giải mạch khi t > 0 tìm i(t) (Khoá K ở vị trí 2) Chuyển mạch sang miền S ta được như hình 33b, dùng định luật Kirchhoff 2, ta lập được phương trình:

Suy ra

;

Vậy phương trình dòng i(t) cần tìm là:

i(t) = L -1{I(S)} = L -1 Bài 34 :

Cho mạch điện như hình 34a. Tại t = 0 mở khóa K, Tìm dòng I(s) lúc t > 0. Biết nguồn áp vg(t) = 8(1 + U(t))V

GIẢI :


1

2H

4F

i(t)

1

4

Vg(t)

2

Hình 34a

4 IL0-

K8V

H.34b

2S

H.34c

t > 01/4S16/S

4 4

V(S)

1

+Giải mạch khi t < 0: Vẽ lại mạch ta được như hình 34b, nguồn áp vg(t) là nguồn 1 chiều 8V. IL0- = 8/4 = 2A ; L.iL0- = 2.2 = 4V VC0- = 0V


+Giải mạch khi t > 0: Chuyển mạch sang miền S, vẽ lại mạch ta có hình H.34c. Chọn nút dưới làm

chuẩn, viết phương trình thế nút cho nút trên ta có:

V(S).(2S2 + S) – 16(2S + 1) + 16S2.V(S).(2S + 1) + 4S.V(S) + 16S = 0 V(S).( 2S2 + S + 32S3 + 16S2 + 4S) = 16(S + 1) V(S) = 16(S + 1)/( 32S3 + 18S2 + 5S)

Bài 35 : Cho mạch điện như hình 35a, tại t = 0, đóng khoá K từ vị trí (1) sang vị trí

(2), xác định dòng điện i(t) khi t > 0.GIẢI:

1)Giải mạch khi t < 0, (Khoá K ở vị trí 1) i(0-) = iL(0-) = 12/3 = 4(A) ; uC(0-) = 0 ; L.iL(0-) = 4/32)Giải mạch khi t > 0, (Khoá K ở vị trí 2)Chuyển mạch sang miền S, ta được mạch như hình 35b.Viết phương trình định luật Kirchhop 2 cho vòng kín ta có:

;


1

2

K i(t)

12V3/8F

3Ω

1/3H

Hình 35a

1

2

K

I(s)

12/S8/3S

3

S/3

Hình 35b

L.iL(0-) = 4/3


; ;

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phép biến đổi Laplace – Nguyễn Kim Đính – Đại học Bách khoa TP.HCM – NXB KHKT - 2004[2] Lý thuyết điều khiển tự động – Nguyễn Thị Phương Hà, Huỳnh Thái Hoàng – NXB Đại Học Quốc gia TP.HCM – 2003[3] Hàm phức và toán tử Laplace – Võ Đăng Thảo – ĐHBK TP.HCM – 1996[4] Kỹ thuật điện – Đặng Văn Hào – Lê Văn Doanh – NXBGD – 1997[5] Kỹ thuật điện đại cương – Hoàng Hữu Thuận – NXB Giao thông vận tải – 2000[6] Mạch điện II – Phạm Thị Cư – Trương Trọng Tuấn Mĩ – Lê Minh Cường – NXBKHKT – 1997.[7]Cơ sở Matlab và ứng dụng – Phạm Thị Ngọc Yên, Ngô Hữu Tình, Lê Tấn Hùng, Nguyễn Thị Lan Hương – NXB KHKT – 2005.


ham phuc va laplace 2_2

Documents