HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

I. LÝ THUYẾT

I.1. Quy tắc cộng

I.1.1 Ví dụ

Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?

Giải Nhà trường có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 11A, mà lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến nên có 31 cách chọn. Phương án thứ hai là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 12B, mà lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến nên có 22 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng nhà trường có 31+22=53 cách chọn.

I.1.2 Định nghĩa

Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện theo phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.

Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A 1, A2, …, Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, … và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + … + nk cách.

I.1.3. Ví dụ

Giả sử đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa,

3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một ngày?

Giải Người đi sẽ có bốn phương án chọn. Phương án thứ nhất là đi bằng ô tô, mà mỗi ngày có 10 chuyến ô tô nên phương án này có 10 cách chọn. Tương tự, phương án thứ hai là đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn, phương án thứ ba là đi bằng tàu thủy có 3 cách chọn, phương án thứ tư là đi bằng máy bay có 2 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2=20 cách chọn.

I.1.4. Lưu ý

Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp không giao nhau: Nếu tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B không giao nhau.Khi đó thì số phần tử của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:

| A B| = |A| + |B|. Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tập hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu trong trường hợp này ta vẫn lầy số phần tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A B sẽ được tính hai lần. Cho nên, đối với trường hợp này ở kết quả chúng ta phải trừ đi số phần tử của A B. Vậy: Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì số phần tử của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A B, tức là:

| A B| = |A| + |B| - | A B|. Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng.

I.2. Quy tắc nhân

I.2.1 Ví dụ

Lộc muốn qua nhà Phúc để cùng Phúc lại chơi nhà Trung. Từ nhà Lộc đến nhà Phúc có 4 con đường đi, từ nhà Phúc tới nhà Trung có 6 con đường đi. Hỏi Lộc có bao nhiêu cách chọn đi đến nhà Trung

Giải

Nhà Lộc Nhà Phúc Nhà Trung

Vì từ nhà Lộc tới nhà Phúc có 4 con đường đi nên có 4 cách chọn. Với mỗi cách đi từ nhà Lộc tới nhà Phúc thì sẽ có 6 cách đi tiếp từ nhà Phúc tới nhà Trung (vì từ nhà Phúc qua nhà Trung có 6 con đường đi). Vậy có 4.6=24 cách đi từ nhà Lộc qua nhà Phúc đến nhà Trung.

I.2.2 Định nghĩa

Quy tắc nhân cho công việc với hai công đoạn được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Công đoạn A1 có thể làm theo n1 cách, công đoạn A2 có thể làm theo n2 cách, …, công đoạn Ak có thể làm theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2…nk cách.

I.2.3. Ví dụ

Ví dụ 1

Tình đến văn phòng phẫm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, vở và thướt, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. Hỏi Tình có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút,một vở và một thước?

Giải

Một món quà phải có một bút, một vở và một thước. Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn một bút, một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn một bút và một vở, một thước được chọn từ 3 loại thước nên có 3 cách chọn.Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà.

Ví dụ 1

Từ các số tự nhiên có thể lập được bao nhiêu tờ vé số mà mỗi vé có 6 chữ số khác nhau?

GiảiGọi A=6 số của tờ vé số có dạng với a,b,c,d,e,f Aa được chọn từ tập A có 10 phần tử nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a và b, c được chọn từ tập A\ có 8 phần tử nên có 8 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b và c, d được chọn từ tập A\ có 7 phần tử nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b, c và d, e được chọn từ tập A\ có 6 phần tử nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b,c,d và e, f được chọn từ tập A\ có 5 phần tử nên có 5 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.9.8.7.6.5 = 151200 cách chọn.

II. BÀI TẬP

II.1 Phương pháp giải

II.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm.

Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lập với nhau: A1,A2, … ,Ak.Bước 2: Nếu:A1 có n1 cách khác nhau.

A2 có n2 cách khác nhau.…….Ak có nk cách khác nhau.Bước 3: Khi đó, ta có n1 + n2 + … + nk cách

II.1.2 Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm.

Để sử dụng qui tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp: A1,A2, … ,Ak.Bước 2: Nếu:A1 có n1 cách khác nhau.Ứng với mỗi cách thực hiện A1, A2 có n2 cách khác nhau.…….Ứng với mỗi cách thực hiện A1,…,Ak-1 thì Ak có nk cách khác nhau.Bước 3: Khi đó, ta có n1. n2. … nk cách.

Chú ý:

Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết được rằng bài đó phải dùng qui tắc cộng hay qui tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy ra thì ta thường dùng qui tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dùng qui tắc nhân.

Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai qui tắc để giải bài toán đếm.

II.2. Bài tập vận dụng

II.2.1. Các bài toán sử dụng qui tắc cộng (qui tắc cộng mở rộng).

Bài 1

Giả sử bạn muốn mua một cái áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?

Giải

Người mua sẽ có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn áo cỡ 39, do áo cỡ 39 có 5 màu nên phương án này có 5 cách chọn. Phương án thứ hai là chọn áo cỡ 40, do áo cỡ 40 có 4 màu nên phương án này có 4 cách chọn. Vậy người mua áo có: 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo.

Bài 2

Trong một trường THPT, khối 12 có : 160 em học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, 140 tham gia câu lạc bộ Tin, 50 em tham gia cả hai câu lạc bộ.Hỏi khối 12 có bao nhiêu học sinh?

Giải

Gọi tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ Toán và Tin lần lượt là A và B.Vậy tập hợp các em HS của lớp là A B và tập hợp các em tham gia cả hai câu lạc bộ là A B => |A B| = 50.Theo đề bài ta có |A| = 160, |B| = 140 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có: | A B| = |A| + |B| - |A B|=> | A B| = 160 + 140 - 50=> | A B| = 250Vậy số HS khối 12 ở trường đó là 250 em.Bài 3

Một lớp có 40 HS, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký môn bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký cả hai môn thể thao?

GiảiGọi tập hợp các em HS đăng ký môn bóng đá và môn cầu lông lần lượt là A và B. Vậy tập hợp các em HS của lớp là A B và tập hợp các em đăng ký cả hai môn thể thao là A B.Mà số HS của lớp là 40 nên ta có |A B|=40 và |A| = 30, |B| = 25 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

| A B| = |A| + |B| - |A B|=> |A B| = |A| + |B| - | A B|=> |A B| = 30 + 25 - 40=> |A B| = 15Vậy số HS đăng ký cả hai môn thể thao là 15 em.

II.2.2 Các bài toán sử dụng qui tắc nhân

Bài 1

Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Giải

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta phải chọn một mặt và một dây. Một mặt đồng hồ được chọn từ 3 kiểu mặt nên có 3 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn kiểu mặt đồng hồ thì một dây được chọn từ 4 kiểu dây nên có 4 cách chọn. Vậy ta có: 3.4 = 12 cách chọn mua đồng hồ.

Bài 2

Một người vào cửa hàng ăn. Người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn của bữa ăn?

Giải

Một thực đơn gồm một món ăn, một loại hoa quả, một loại nước uống.Một món ăn được chọn từ 10 món nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn một món ăn, một loại hoa quả được chọn từ 5 loại nên có 5 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn một món ăn và một loại hoa quả thì một loại nước uống được chọn từ 4 loại nên có 4 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4=200 cách chọn một thực đơn.

Bài 3

Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ?

Giải

Để chọn một đôi song ca nam – nữ, đầu tiên chọn một nam từ 8 bạn nam nên có 8 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn bạn nam, một bạn nữ được chọn từ 6 bạn nữ nên có 6 cách chọn. Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 8.6=48 cách chọn một đôi song ca.

Bài 4

Từ các số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiêna) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?b) Có 4 chữ số khác nhau?

Giải

Gọi A= Một số có 4 chữ số hình thành từ tập A có dạng: , với a,b,c,d Aa) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)a được chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c được chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d được chọn từ tập A nên có 4 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 sốb) Có 4 chữ số khác nhaua được chọn từ tập A mà tập A có 4 phần tử nên có 4 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A\ nên có 3 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c được chọn từ tập A\ nên có 2 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b,c thì d được chọn từ tập A\ nên có 1 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 số

Bài 5

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

Giải

Gọi A=Một số có 5 chữ số hình thành từ tập A có dạng: , với a,b,c,d,e ANhưng các chữ số đó cách đều chữ số đứng giữa nên ta sẽ có a=e, b=d.a được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A nên có 10 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c được chọn từ tập A nên có 10 cách chọn.Vì d=b nên d chỉ có một cách chọn.Vì e=a nên a chỉ có một cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.10.10 = 900 số

Bài 6

Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?b) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau?c) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?d) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau?

Giải

Gọi A=Một số có 2 chữ số hình thành từ tập A có dạng ab với a,b Aa) a được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.b phải là số chẵn nên b có 5 cách chọn.Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 sốb) Số chẵn và có hai chữ số khác nhau chính là các số chẵn ở câu a) trừ đi các số chẳn 2,4,6,8. Vậy ta có: 45-4 = 41 số.c) a được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.b phải là số lẻ nên b có 5 cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có: 9.5=45 sốd) Số lẻ và có hai chữ số khác nhau chính là các số lẻ ở câu c) trừ đi các số lẻ 1,3,5,7,9 Vậy ta có: 45-5 = 40 số.

II.2.3 Các bài toán sử dụng kết hợp qui tắc cộng và qui tắc nhân

Bài 1

Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Giải

Gọi A=Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm có một chữ số hoặc hai chữ số. TH1) Có 6 số tự nhiên có một chữ số.TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng với a,b thuộc A. a được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.Theo quy tắc nhân ta có: 6.6 = 36 cách chọn.Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36+6=42 cách chọn.

Bài 2

Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá 3 chữ số khác nhau?

Giải

Gọi A=TH1) Số nguyên dương có 1 chữ số được chọn từ tập A\ nên có 9 cách chọn.TH2) Giả sử số nguyên dương có 2 chữ số hình thành từ tập A có dạng với a,b A.a được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A\ nên có 9 cách chọn.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9 = 81 sốTH3) Giả sử số nguyên dương có 3 chữ số hình thành từ tập A có dạng với a,b,c A.a được chọn từ tập A\ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a thì b được chọn từ tập A\ nên có 9 cách chọn.Ứng với mỗi cách chọn a,b thì c được chọn từ tập A\ nên có 8 cách chọnVậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.8 = 648 số.Theo qui tắc cộng ta có: 9+81+648 = 738 số.

Bài 3

Một tổ gồm 6 HS nam và 4 HS nữ. Giáo viên chọn 3 HS để đi trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếua) Chọn HS nào cũng được?b) Trong 3 HS được chọn có đúng một HS nữ được chọn?c) Trong 3 HS được chọn có ít nhất một HS nữ được chọn?

Giải

a) HS1 được chọn từ 10 HS nên có 10 cách chọn.HS2 được chọn từ 9 HS còn lại nên có 9 cách chọn.HS3 được chọn từ 8 HS còn lại nên có 8 cách chọn.Nhưng nếu chọn như vậy sẽ có 6 cách chọn bị trùng lại. Nên ta có (10.9.8) : 6 = 120 cách chọn.b) Một HS nữ được chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.Một HS nam được chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.Một HS nam còn lại được chọn từ 5 HS nam còn lại nên có 5 cách chọn.Theo quy tắc nhân ta có: 4.5.6 = 120 cách chọn.c) TH1) Trong 3 HS được chọn có đúng một HS nữ, vậy theo câu b) ta có 120 cách chọn.TH2) Trong 3 HS được chọn có đúng hai HS nữ:Một HS nữ được chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.Một HS nữ thứ hai được chọn từ 3 HS nữ còn lại nên có 3 cách chọn.Một HS nam được chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.6 = 72 cách chọn.TH3) 3 HS được chọn đều là HS nữ:HS nữ thứ nhất được chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.HS nữ thứ hai được chọn từ 3 HS nữ còn lại nên có 3 cách chọn.HS nữ thứ ba được chọn từ 2 HS nữ nên có 2 cách chọn.Theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2 = 24 cách chọn.

Vậy, theo quy tắc cộng ta có 120+72+24 = 216 cách chọn.

Bài 4

Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi?a) Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách?b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có một người lên?c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai lên?

Giải

a) Người thứ nhất có 4 cách chọn toa.Tương tự, người thứ hai, ba, tư cũng có bốn cách chọn toa.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4 = 256 cách chọn.b) Người thứ nhất có 4 cách chọn toa.Người thứ hai có 3 cách chọn toa.Người thứ ba có 2 cách chọn toa.Người thứ tư có 1 cách chọn toa.Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1 = 24 cách chọn.

Bài 5

Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ I và O). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu

Giải

Biển đăng ký xe có:Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn.Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.