Hacia el espacio-tiempo tetradimensional Las matemáticas juegan... La paradoja de los gemelos

Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes más viajera y quiere visitar la estrella ↵-centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 años Diana estará en su destinoPrimera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana enese viaje?

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Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes más viajera y quiere visitar la estrella ↵-centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 años Diana estará en su destinoPrimera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana enese viaje?

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Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Dianaes más viajera y quiere visitar la estrella ↵-centauroPlanifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)hayan pasado 5 años Diana estará en su destinoPrimera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana enese viaje?

Hacia el espacio-tiempo tetradimensional Las matemáticas juegan... La paradoja de los gemelos

Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la Estrella

Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 añosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuántomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste estáen movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separación temporal entre A y B está dilatadacon respecto a la de Diana (<5)Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana duramenos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde

t0p1� �2

= 5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

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Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la Estrella

Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 añosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuántomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste estáen movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separación temporal entre A y B está dilatadacon respecto a la de Diana (<5)Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana duramenos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde

t0p1� �2

= 5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

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Tres formas de responder: la primera

Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el sucesoDiana llega a la Estrella

Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 añosen su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuántomarca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste estáen movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que haceApolo de la separación temporal entre A y B está dilatadacon respecto a la de Diana (<5)Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana duramenos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde

t0p1� �2

= 5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

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Tres formas de responder: la segunda

La contracción de longitudes está dada por la fórmula

` = `0p

1� �2

En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4⇥ 0, 6 = 2, 4 años/luz

Como la velocidad sigue siendo � = 0, 8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2, 4/0, 8 = 3 años

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Tres formas de responder: la segunda

La contracción de longitudes está dada por la fórmula

` = `0p

1� �2

En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4⇥ 0, 6 = 2, 4 años/luz

Como la velocidad sigue siendo � = 0, 8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2, 4/0, 8 = 3 años

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Tres formas de responder: la segunda

La contracción de longitudes está dada por la fórmula

` = `0p

1� �2

En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vistade Diana ocurre que

` = 4⇥ 0, 6 = 2, 4 años/luz

Como la velocidad sigue siendo � = 0, 8, entonces eltiempo empleado por Diana es

2, 4/0, 8 = 3 años

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0, 0)

S

y (0, 0)S

0

El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S

y (0, 3)S

0

Para S se tiene t

B

� t

A

= 5 mientras que para S

0 secumple t

0B

� t

0A

= 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0, 0)

S

y (0, 0)S

0

El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S

y (0, 3)S

0

Para S se tiene t

B

� t

A

= 5 mientras que para S

0 secumple t

0B

� t

0A

= 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0, 0)

S

y (0, 0)S

0

El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S

y (0, 3)S

0

Para S se tiene t

B

� t

A

= 5 mientras que para S

0 secumple t

0B

� t

0A

= 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0, 0)

S

y (0, 0)S

0

El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S

y (0, 3)S

0

Para S se tiene t

B

� t

A

= 5 mientras que para S

0 secumple t

0B

� t

0A

= 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) yDiana (sistema S’) nos dan lo siguiente:El suceso A tiene coordenadas (0, 0)

S

y (0, 0)S

0

El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S

y (0, 3)S

0

Para S se tiene t

B

� t

A

= 5 mientras que para S

0 secumple t

0B

� t

0A

= 3Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporales invariante

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Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

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Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

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Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

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Otra perspectiva

El suceso B (Diana llega a la estrella) tieneS-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apoloobserva que Diana tarda 5 años en llegarLa pregunta es...Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres añosen su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurridopara Apolo?Por simetría, como Apolo observa las medidas temporalesde Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolotambién dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUEOBSERVA DIANA EN SU RELOJ SECORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑOEN EL RELOJ DE APOLO

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¿Cuánto más pequeño?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t0p1� �2

= 3

por lo que t0 = 3⇥ 0, 6 = 1, 8 añosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDOÚNICAMENTE 1,8 añosEs lo natural... debemos esperar simetría (si cuando

1

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando

2

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1Apolo–simultáneos2Diana–simultáneos

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¿Cuánto más pequeño?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t0p1� �2

= 3

por lo que t0 = 3⇥ 0, 6 = 1, 8 añosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDOÚNICAMENTE 1,8 añosEs lo natural... debemos esperar simetría (si cuando

1

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando

2

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1Apolo–simultáneos2Diana–simultáneos

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¿Cuánto más pequeño?

Simplemente, es el valor t0 dado por

t0p1� �2

= 3

por lo que t0 = 3⇥ 0, 6 = 1, 8 añosEsto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVAQUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDOÚNICAMENTE 1,8 añosEs lo natural... debemos esperar simetría (si cuando

1

Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando

2

Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1Apolo–simultáneos2Diana–simultáneos

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En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad � (resp. ��) pasaa ser �� (resp. �) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad � (resp. ��) pasaa ser �� (resp. �) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad � (resp. ��) pasaa ser �� (resp. �) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad � (resp. ��) pasaa ser �� (resp. �) pero como en las fórmulas está alcuadrado nada debe variar...Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse(suceso C) tienen las siguientes versiones (como lospolíticos y los medios):Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVENSegún Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dossistemas de referencia?¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo oviceversa?Observemos que si el viaje fuera en un único sentido síhabría SIMETRÍAPero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

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Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

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Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

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Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da lavuelta y regresaTambién es cierto que Diana observa que Apolo (en laTierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las queexperimenta ApoloDIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tieneque frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLOSIEMPRE ES INERCIAL

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La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

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La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

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La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

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La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdanregalarse unos pasteles a la vuelta...Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero esperael regreso de su hermana para regalárselosDiana también los pone en el salpicadero de su nave... losestá viendo todo el tiempo...Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única quese come los pasteles es Diana porque los que ella llevabapara Apolo están espachurrados

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Un esquema espacio-temporal

Solucion de la paradoja

En el diagrama observamos que para Apolo transcurren 10 anos,mientras que para Diana transcurren 3+3=6 anos. ¡Por lo tantoDiana es 4 anos mas joven que Apolo!

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Ilustración de un efecto Doppler

El numero de felicitaciones por ano nuevo

Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe solo una antes de llegar a � Centauro, cuando habıan pasado 3 anos, justo antes

de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razon de una cada 1/3 ano (4 meses).