habilitation à diriger les recherches i.milieux granulaires denses, gaz granulaires: gaz...
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Habilitation à diriger les recherches
I.I. Milieux granulairesMilieux granulaires denses, denses,
gaz granulaires: gaz granulaires:
des systèmes modèles hors de l‘équilibre des systèmes modèles hors de l‘équilibre
II.II. Eléments d‘étude des réseaux complexesEléments d‘étude des réseaux complexes
A. Barrat, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay16 mai 2005
• Brève description des travaux sur les matériaux granulaires
• Réseaux complexesRéseaux complexes: introduction
Cartographie des réseaux
Réseaux complexes valués
• Quelques perspectives
Plan
Matériaux granulaires
• hors d’équilibre, à température nulle
• toute dynamique=réponse à une injection d’énergie– « gaz » : granulaires fortement vibrés, forte injection d’énergie– plus dense, « liquide »– très dense, en compaction : faible injection d’énergie– « solide »
...de l’ingénierie à des questions fondamentales de physique statistique hors d’équilibre
Matériaux granulaires:granulaires denses
Collaboration avec
V. Colizza, G. D’Anna, J. Kurchan, V. Loreto, P. Mayor, F. Nori, M. Sellitto
1- Phénoménologie de la compaction des granulaires faiblement vibrés: étude numérique détaillée d’un modèle sur réseau
étude des relaxations lentes
importance des hétérogénéités: utilisation des profils de densité pour l’interprétation des résultats numériques(ex: réponse à un changement du forçage)
effets mémoire lors d’un changement du forçage
Matériaux granulaires:granulaires denses
2- Application de concepts thermodynamiques ?
Proposition de S. Edwards: description statistique des configurationséchantillonnées dynamiquement à temps longs lors de la compaction
exact dans certains modèles champ moyen
Investigation numérique sur plusieurs modèles schématiques en dimension finie, présentant la phénoménologie de la compaction granulaire
situations homogènescas plus réaliste, avec profil de densité
bonne approximation pour un certainnombre de modèles
Gaz granulairesCollaboration avec
T. Biben, J.N. Fuchs, E. Trizac, Z. Racz, F. van Wijland
Motivation: système modèle exhibant des états stationnaires hors d’équilibre,avec possibilité d’études expérimentales, numériques, analytiquesCadre théorique: sphères dures inélastiques
v1 v’1
v2v’2
Avant collision Après collision
la composante normale de la vitesse relative est réduite=>perte d’énergie
Gaz granulairesSujets d’étude:
•Distributions de vitesse, problème de l’universalité(modèle effectif avec coefficient de restitution aléatoire)
•Non- équipartition de l’énergie dans les mélanges binaires
•« Démon de Maxwell »
Méthodes
•Théorie cinétique: équation de Boltzmann
•Simulations numériques:•Monte-Carlo•Dynamique moléculaire
Réseaux complexes
Collaboration avec
I. Alvarez-Hamelin, M. Barthélemy, L. Dall’Asta, R. Pastor-Satorras,
A. Vázquez, A. Vespignani
Thématique interdisciplinaire, suivant plusieurs axes:
• Analyse et théorie: réseaux complexes valués• Cartographie des réseaux complexes• Dynamique sur réseaux: épidémiologie
Exemples de réseaux complexes
• Internet
• WWW
• Réseaux de transport
• Réseaux d’interaction de protéines
• Réseaux de transcription des gènes
• Réseaux sociaux
• ...sont, ou peuvent être modélisés par, des graphes: ensemblede N sites/noeuds/sommets et E liens, en général dilués i.e. E << N(N-1)/2
Principales caractéristiques
• Graphes « petit-monde »:diamètre croissant « lentement » avec la taille du
réseau N, i.e. log(N) ou encore plus lentementcaractéristique capturée par le paradigme du graphe
aléatoire
Graphes aléatoires: Erdös-Renyi (1960)
N sites, connectés avec proba p:
NB: distribution de Poissonpour le degré k=nombre de voisins
(p=O(1/N))
MAIS....MAIS....
Internet, systèmes autonomes
P(k) = probabilité qu’un site ait k voisins
P(k) ~ k - ( 3)
• <k>= const• <k2>
Divergence des fluctuations
•Internet et le Web;
•les réseaux d’interactions des protéines
•les réseaux métaboliques
•les réseaux sociaux
•...
sont des réseaux hétérogènes
Distribution des degrés
Absence d’échelle caractéristique
Comparaison imagéeDistribution de Poisson
Réseau homogène
Distribution en loi de puissance
Réseau sans échelle
Distribution hétérogène des degrés: Conséquences importantes, par exemple
• Propagation d’épidémies • Robustesse• Vulnérabilité• ...
Principales caractéristiques
• Graphes « petit-monde »• Graphes hétérogènes, avec des lois de distribution
larges pour le degré• Souvent: évolution dynamique, auto-organisation
Théorie des graphes aléatoires: graphes statiques, topologie ad-hoc...Nécessité de nouveaux paradigmesDéveloppement d’une activité de recherche intense
Un nouveau cadre
(1) Croissance: Ajout à chaque instant t d’un nouveau site, avec m liens (connectés aux sites déjà présents).
(2) Attachement préférentiel: la probabilité Π que le nouveau site va se lier au site i dépend du degré ki de ce site
A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
jj
ii k
kk
)(
P(k) ~k-3
Modèles de réseaux sans échelle
Barabási, Albert, 1999: croissance + attachement préférentiel
P(k) ~ k -3
Généralisations et variations:Non- linéarité : (k) ~ k
Attractivité initiale : (k) ~ A+k
Réseaux avec fort clusteringCaractères intrinsèques: (k) ~ iki
Réseaux plongés en 2 dimensions
Redner et al. 2000, Mendes et al. 2000, Albert et al. 2000, Dorogovtsev et al. 2001,
Bianconi et al. 2001, Barthélemy 2003, etc...
(....) => nombreux modèles
P(k) ~ k -
Caractérisation des divers modèles
• Distribution des degrés P(k)
=>Homogène vs. hétérogène
• Corrélations entre degrés de sites voisins
• « Clustering » (triangles)
• ...
=> Comparaison avec réseaux réels
Hétérogénéité des réseaux: constatée empiriquement
• réseaux sociaux: données variées, même type de résultats
• réseaux de transport: données fiables
• réseaux de nature biologique: incomplets
• Internet: cartographie résultant d’un échantillonnage incomplet
Fiabilité des données empiriques ?
Analyse statistique de la fiabilité d’un tel échantillonnage
Biais du processus d’échantillonnage
Traceroute:
Echantillonnage incompletConnectivité latérale mal estimée
=> arbre à partir de chaque source
• Sites et liens mieux échantillonnés près des sources• Mauvaise estimation de certaines propriétés ?
Les propriétés statistiques du graphe échantillonné pourraient différer des vraies propriétés
Lakhina et al. 2002
Clauset & Moore 2005
De Los Rios & Petermann 2004
Guillaume & Latapy 2004
Mauvaiséchantillonnage
?
Biais du processus d’échantillonnage
Comment évaluer ces biais ?
Graphe réel G=(V,E) (connu )
Graphe échantillonné G’=(V’,E’)
échantillonnage simulé
Analyse de G’, comparaison avec G
Notre démarche
I. modèle pour tracerouteII. approche analytique avec
approximations de type champ moyen => lien entre les propriétés topologiques du réseau et les biais du processus d’échantillonnage
III. validation numérique par l’échantillonnage simulé de graphes homogènes et hétérogènes
I-Modèle pour traceroute
G=(V, E)
Sources(NS)
Destinations(NT)
Première approximation: union de chemins les plus courts
G’=(V’, E’)
Modèle simple, qui permet d’obtenir un traitementanalytique et numérique
Première approximation: union de chemins les plus courts
I-Modèle pour traceroute
II-Analyse du processus de cartographie
1. Expression exacte pour la probabilité de découvrir un site ou un lien donné
2. Approximation de type champ moyen: on néglige les corrélations entre les différents chemins
3. Interprétation du résultat en termes de propriétés topologiques, en particulier de la centralité donnée par la « betweenness centrality »
Prédiction: sites et liens plus « centraux » sont mieux échantillonnés
Betweenness centrality b
pour chaque couple (l,m) de sites, il y alm plus courts chemins entre l et m
ijlm plus courts chemins passant par ij
bij est la somme de ijlm
/ lm sur tous les couples (l,m)
de façon similaire betweenness du site i bi
ij
kij: grande centralité
jk: faible centralité
NB: flux d’information si chaque site envoieun message à tous les autres sites
II-Conséquences de l’analyse
1. Graphes homogènes (ex: graphes aléatoires ER)• distributions piquées de k et b• gamme étroite de centralité (betweenness) prédiction: bon échantillonnage (uniforme) seulement pour un grand
nombre de sondes
2. Graphes hétérogènes (ex: modèle Barabási-Albert)• distributions larges de k et b ; b » k
• gamme étendue de valeurs prédiction: sites de grand degré toujours bien échantillonnés
Graphes homogènes
Mauvais échantillonnage pour toute la gamme de degrés
III-Simulations numériques
NS NT/N
Sites à fort degré bien échantillonnés
Graphes hétérogènes
III-Simulations numériques
Pas de distribution large,sauf....
•P*(k) large seulement pour NS = 1 (cf Clauset and Moore 2005)
• cut-off à <k>
• mauvais échantillonnage de P(k)
Graphes homogènes
NS=1
III-Simulations numériques
• bon échantillonnage, surtout à grand degré;
• inflexion à faibles degrés (sites moins centraux) => mauvaise évaluation des exposants.
Graphes hétérogènes
III-Simulations numériques
Fiabilité du processus de cartographie
Approche analytique du processus de type traceroute
Lien avec les propriétés topologiques
Bon échantillonnage des lois larges pour la distribution des degrés
Biais donnant un réseau échantillonné hétérogène à partir d’un réseau homogène:
seulement dans des cas très particuliers
<k> devrait être très grand (peu réaliste)
Fiabilité du processus de cartographie:
conclusion
Les propriétés d’hétérogénéité sont réelles dans le réseau Internet
mais
L’analyse quantitative peut être fortement biaisée (exposants mal mesurés...)
Au-delà de la topologie: réseaux complexes valués
• Internet• Emails• Réseaux sociaux• Réseaux économiques (Garlaschelli et al. 2003)
• Réseaux biologiques (Almaas et al. 2004)
• Réseaux de transport• ...
sont des réseaux valués, avec des poids hétérogènes sur les liens
i jwij
• Analyses empiriques de réseaux réels
• Définition de nouveaux outils de caractérisation, en particulier pour les corrélations
• Modélisation
Nos travaux
Outils pour la caractérisation des réseaux valués
•Généralisation du degré: si = j wij
=>étude des distributions de s, des corrélations entre s et k
•Généralisation de l’étude des corrélations:•triangles => « clustering » valué•corrélations à deux points
Nécessité de tenir compte des poids pour les corrélations
ciw > ci
Même degré, même coefficient de clustering (ki=4, ci=0.5)
ciw < ci
wij=1
wij=5ii
•Définition d’un coefficient de clustering valué ciw
•Comparaison avec le clustering topologique
511
11
i
Nécessité de peser les corrélations entre degrés
155
55
i
Même degré moyen des voisins
•Définition de l’affinité=degré moyen des voisins de i,pesé par les poids des liens versces voisins•Comparaison de l’affinité avec sonéquivalent topologique
Etudes empiriques
•Distributions hétérogènes des poids, des degrés
pondérés•Existence de corrélations entre poids et degrés•Comparaison des corrélations topologiques avec les
corrélations pondérées
=> informations supplémentaires sur les réseaux étudiés
Modèles de réseaux valués
Yook, Jeong, Barabási, Tu, Phys. Rev. Lett. (2001)Zheng et al. Phys. Rev. E (2003)Jezewski, Physica A (2004) Park et al., Phys. Rev. E (2004)Almaas, Redner, Phys. Rev. E (2005)Antal, Krapivsky, Phys. Rev. E (2005)
=>Poids statiques, avec ou sans corrélations avec la topologie, alors qu’en général les poids
●évoluent●sont couplés avec la topologie
Un nouveau mécanisme
• Croissance: ajout à chaque pas de temps d’un nouveau site avec m liens à connecter à des sites déjà existants
• Attachement Préférentiel: la probabilité de se connecter à un site donné est proportionnelle au degré pondéré du site
Attachement préférentiel déterminé par les poids
et...
Redistribution des poids:mécanisme de rétroaction
Nouveau site: n, attaché à iNouveau poids wni=w0=1Poids entre i et ses autres voisins:
si si + w0 + seul paramètre
n i
j
Le nouveau trafic n-i accroît le trafic i-jet le poids/l’attractivité de i
=>mécanisme de rétroaction
Résultats analytiques
Distributions en loi de puissance pour k, s and w:
P(k) ~ k ; P(s)~s
Corrélations topologie/poids:
wij ~ min(ki,kj)a , a=2/(2+1)
(N=105)
Résultats numériques
Extensions du modèle:
• Hétérogénéités des sites• Réseau dirigé• Contraintes spatiales• Renforcement des liens déjà existants• etc...
Conclusions: réseaux valués
• importance de l’étude des intensités des liens
• généralisation des corrélations => meilleure compréhension des réseaux
• nouveaux mécanismes de modélisation
Perspectives
1. Granulaires denses: expériences...2. Gaz granulaires:
• fluctuations de grandeurs globales• théorème fluctuation
3. Réseaux complexes• cartographie: influence des divers paramètres;
déploiement massif de sources...• influence des poids sur la dynamique• épidémiologie• réseaux dynamiques (ex: pair-à-pair)