hÃ m sá»', giá»›i háº¡n vÃ hÃ m sá»' liÃªn tá»¥c

Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục

Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục

Trần Bảo Ngọc

Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm

Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục


1. Khái niệm và phân loại hàm sô

Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)

Hàm lũy thừa

Ví dụ: x5, x−2 :=1

x2, x

23 :=

3√x2,. . .

Hàm mũ và logarit

Ví dụ: 5x , 2−x :=1

2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .

Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .

Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)

Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.



1. Khái niệm và phân loại hàm số




Các hàm số lượng giác ngược

1 y = arcsin x ⇐⇒

{−1 ≤ x ≤ 1, −π

2≤ y ≤ π

2x = sin y

2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y

3 y = arctan x ⇐⇒

{x ∈ R, −π

2< y <

π

2x = tan y

4 y = arccot x ⇐⇒{

x ∈ R, 0 < y < πx = cot y




Ví dụ 1.1.

a) Tính arcsin(1

2), arccos(−

√3

2), arctan(

√3)

b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx

10

a) arcsin(1

2) =

π

6, arccos(−

√3

2) =

5π

6, arctan(

√3) =

π

3b) Điều kiện xác định của hàm số:

−1 ≤ logx

10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log

1

10≤ log

x

10≤ log 10 (x > 0)

⇐⇒ 1

10≤ x

10≤ 10 (x > 0)

⇐⇒1 ≤ x ≤ 100

Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].




Ví dụ 1.2.

Cho hàm số y = arcsin1

x. Tập xác định của hàm số là

A. [−1; 1] B. [−1; 0]

C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)

Điều kiện xác định của hàm số:

− 1 ≤ 1

x≤ 1

⇐⇒1 + x

x≥ 0 và

1− x

x≤ 0

⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)

⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).

Chọn đáp án D.




Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng

A. limx→0

arcsin x = 1 B. limx→0

arctan1

x2= +∞

C. limx→∞

arctan x =π

2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.

A. limx→0

arcsin x = arcsin 0 = 0

B. limx→0

arctan1

x2=π

2C. Vì lim

x→+∞arctan x =

π

2và lim

x→−∞arctan x = −π

2, nên suy ra

limx→∞

arctan x không tồn tại.

D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.

Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.



2. Giới hạn của hàm số

Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình

(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:

Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)

Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:

limx→a

f (x), limx→∞

f (x).

Các dạng vô định thường gặp

0

0,∞∞

, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.



2.1. Dạng vô định0

0

Phương pháp

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.

Ví dụ 2.1.

Tính giới hạn L1 = limx→1

x2 − 1

x3 − 2x2 + 3x − 2.

Ta có L1 = limx→1

(x − 1)(x + 1)

(x − 1)(x2 − x + 2)

= limx→1

x + 1

x2 − x + 2=

1 + 1

12 − 1 + 2= 1.



2.1. Dạng vô định0

0

Ví dụ 2.2.


x −√2− x

x3 − 1.

L2 = limx→1

(x −√2− x)(x +

√2− x)

(x3 − 1)(x +√2− x)

= limx→1

x2 − (2− x)

(x3 − 1)(x +√2− x)

= limx→1

(x − 1)(x + 2)

(x − 1)(x2 + x + 1)(x +√2− x)

= limx→1

x + 2

(x2 + x + 1)(x +√2− x)

=1 + 2

(12 + 1 + 1)(1 +√2− 1)

=1

2.



2.2. Giới hạn1

0và Giới hạn một bên (trái, phải)

Phương pháp

Sử dụng giới hạn cơ bản1

0= ±∞.

Bài tập 2.3.


x2 − 5x + 6

x3 − 6x2 + 12x − 8.

Ta có L3 = limx→2

(x − 2)(x − 3)

(x − 2)3

= limx→2

x − 3

(x − 2)2= −∞

vì limx→2

x − 3

(x − 2)2có dạng cơ bản

1

0và

x − 3

(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.



2.2. Giới hạn1

0và Giới hạn một bên (trái, phải)

Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.

Ví dụ 2.3


x2 + 2x − 3

1− x2.

limx→(−1)−

x2 + 2x − 3

1− x2= lim

x→(−1)−(x − 1)(x + 3)

(1− x)(1 + x)

= limx→(−1)−

−(x + 3)

x + 1= +∞ (1)

limx→(−1)+

x2 + 2x − 3

1− x2= lim

x→(−1)+−(x + 3)

x + 1= −∞ (2)

Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.



2.3. Dạng vô định∞∞

Phương pháp

Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản

limx→∞

1

xk= 0 với k > 0.

Ví dụ 2.4.

Tính giới hạn L5 = limx→+∞

x +√x2 + 2

2x + 3.

Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được

L5 = limx→+∞

1 +

√1 +

2

x2

2 +3

x

= limx→+∞

1 +√1

2= 1.




Ví dụ 2.5. Tính giới hạn

a) L6 = limx→−∞

x2 +√x2 + 2

2x + 3b) L7 = lim

x→+∞

2x + 3

x2 +√x2 + 2

a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được

L6 = limx→−∞

x −√

1 +2

x2

2 +3

x

(=−∞− 1

2

)= −∞.

b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được

L7 = limx→+∞

2x + 3

x2 +√x2 + 2

= limx→+∞

2

x+

3

x2

1 +

√1 +

2

x2

=0

1 +√1= 0.




Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:

Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞

a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu

,

b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,

c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.



2.4. Dạng vô định ∞−∞

Phương pháp

Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0

0,1

0,∞∞

.

Ví dụ 2.6.


(1

x2 − x − 2− 1

3x − 6

).

L8 = limx→2

[1

(x + 1)(x − 2)− 1

3(x − 2)

]= lim

x→2

3− (x + 1)

3(x + 1)(x − 2)

= limx→2

2− x

3(x + 1)(x − 2)= lim

x→2

−13(x + 1)

= −1

9.



2.4. Dạng vô định ∞−∞

Ví dụ 2.7.


(1

x− 1

x2 − x

).

Ta có

L9 = limx→0

(x − 1)− 1

x(x − 1)= lim

x→0

x − 2

x(x − 1)

(1

0

).

Mặt khác

limx→0−

x − 2

x(x − 1)= −∞,

limx→0+

x − 2

x(x − 1)= +∞,

nên giới hạn L9 không tồn tại.



2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.

Ví dụ 2.9.

Tính giới hạn L10 = limx→+∞

(√x2 + 3x − x

).

L10 = limx→+∞

(√x2 + 3x − x)(

√x2 + 3x + x)

(√x2 + 3x + x)

= limx→+∞

3x

(√x2 + 3x + x)

(∞∞

)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được

L10 = limx→+∞

3√1 + 3

x + 1=

3√1 + 1

=3

2.



2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)

Định lý 1

1 limx→0

sin x

x= 1.

2 limx→0

ln (1 + x)

x= 1.

3 limx→0

ex − 1

x= 1.


a) limx→0

tan ax

xb) lim

x→0

1− cos ax

x2.

a) limx→0

tan ax

x= lim

x→0

sin ax

ax.

a

cos ax= a.



2.5. Các giới hạn cơ bản

b) limx→0

1− cos ax

x2= lim

x→0

2 sin2(ax2

)x2

= limx→0

[sin(ax2

)(ax2

) ]2.a2

2=

a2

2.


a) limx→0

ln(cos x)

x2b) lim

x→0+

3x − 1

xc) lim

x→1

x − 1

lg x.

a) limx→0

ln(cos x)

x2= lim

x→0

ln(1 + (cos x − 1))

cos x − 1.cos x − 1

x2= −1

2.

b) limx→0+

3x − 1

x= lim

x→0+

ex ln 3 − 1

x ln 3. ln 3 = ln 3.

c) limx→1

x − 1

lg x= lim

x→1

x − 1

ln xln 10 = lim

x→1

1[ln(1+(x−1))

x−1

] ln 10 = ln 10.



2.5. Các giới hạn cơ bản

Định lý 2

lim [u(x)]v(x)(

có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).

Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn

a) limx→0

(1 + x)1x b) lim

x→∞

(1− 1

x

)x

c) limn→+∞

(n + 1

n − 1

)1−2n

a) limx→0

(1 + x)1x = e

limx→0

(1+x−1). 1x = e.

b) limx→∞

(1− 1

x

)x

= elim

x→∞(1− 1

x−1)x

= e−1 =1

e.

c) limn→+∞

(n + 1

n − 1

)1−2n= e

limx→0

( n+1n−1−1).(1−2n)

= elimx→0

2(1−2n)n−1 =

1

e4.



2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)

a) Định nghĩa

Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.

Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.

Chú ý 2: ,1

xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá

trình x → +∞.

b) Tính chất

limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.

Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.




c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình

Nếu limα(x)

β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).

Nếu limα(x)

β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.

Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).

d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp

sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.

1− cos u ∼u2

2.

ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.




e) Dạng vô định0

0và VCB tương đương

Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì

limα(x)

β(x)= lim

α(x)

β(x).


a) limx→0

ln cos x

x2

(0

0

)b) lim

x→a

sin x − sin a

x − a

(0

0

)c) lim

x→0+

3√x − 1

x

a) limx→0

ln cos x

x2= lim

x→0

ln(1 + (cos x − 1))

x2= lim

x→0

cos x − 1

x2

= limx→0

(− x2

2

)x2

= −1

2vì cos x − 1 ∼ −x2

2khi x → 0.




b) limx→a

sin x − sin a

x − a= lim

x→a

2 cos(x+a2

)sin(x−a2

)x − a

= limx→a

2 cos(x+a2

).(x−a2

)x − a

vì sin

(x − a

2

)∼ x − a

2khi x → a.

= limx→a

cos

(x + a

2

)= cos a.

c) limx→0+

3√x − 1

x= lim

x→0+

e√x ln 3 − 1

x

= limx→0+

√x ln 3

xvì e√x ln 3 − 1 ∼

√x ln 3 khi x → 0

= limx→0+

ln 3√x= +∞.





a) limx→0

(cos 2x)1x2 b) lim

x→0(1− cos x). cot2 x c) lim

x→0+x

34+ln x

a) limx→0

(cos 2x)1x2 = e

limx→0

(cos 2x−1). 1x2 = e

limx→0− (2x)2

2. 1x2 = e−2 =

1

e2.

Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2

2 khi x → 0.

b) limx→0

(1− cos x). cot2 x = limx→0

(1− cos x)

tan2 x= lim

x→0

(x2

2

)x2

=1

2.

Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.

c) limx→0+

x3

4+ln x = elim

x→0+

34+ln x

. ln x= e

limx→0+

3 ln x4+ln x

= elim

x→0+

34

ln x+1 = e3.

Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)

nếu nó không có dạng 1∞.



3. Hàm số liên tục

a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a

Nếu limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = L thì limx→a

f (x) tồn tại và bằng L.

Ví dụ 3.1. Cho hàm số

f (x) =

sin(x2

)x

với x < 0

√x2 + 1− 1

x2với x > 0

. Tính limx→0

f (x).

limx→0−

f (x) = limx→0−

sin(x2

)x

=1

2lim

x→0−

sin(x2

)(x2

) =1

2.

limx→0+

f (x) = limx→0+

√x2 + 1− 1

x2= lim

x→0+

√x2 + 1

2 − 12

x2(√

x2 + 1 + 1)




= limx→0+

1√x2 + 1 + 1

=1

2.

Suy ra limx→0

f (x) = limx→0−

f (x) = limx→0+

f (x) =1

2.

b) Định nghĩa

Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu

i) f (a) xác định vàii) lim

x→af (x) tồn tại

iii) limx→a

f (x) = f (a).

Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =

√sin2 x + 1− cos x

sin2 xvới −π

2 < x < 0

arccos x với x ≥ 0

tại x = 0.




Ta có f (0) = arccos 0 =π

2.

limx→0+

f (x) = limx→0+

arccos x = arccos 0 =π

2.

limx→0−

f (x) = limx→0−

√sin2 x + 1− cos x

sin2 x

= limx→0−

√sin2 x + 1

2− cos2 x

sin2 x(√

sin2 x + 1 + cos x)

= limx→0−

2 sin2 x

sin2 x(√

sin2 x + 1 + cos x)

= limx→0−

2√sin2 x + 1 + cos x

= 1

Suy ra limx→0

f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn

tại x = 0.



Mô-đun: Hàm số, Giới hạn và Hàm số liên tục.

Hết.


hÃ m sá»', giá»›i háº¡n vÃ hÃ m sá»' liÃªn tá»¥c

Documents