h kr—simh m‹za tou gluino - ucyucyweb.ucy.ac.cy/phy/documents/documents/theses/...yang-mills sto...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Η κρίσιμη μάζα του gluino

στην υπερσυμμετρική θεωρία

Yang-Mills

στο πλέγμα

Ειρήνη Παπαευσταθίου

ΜΑΪΟΣ 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Η κρίσιμη μάζα του gluino

στην υπερσυμμετρική θεωρία

Yang-Mills

στο πλέγμα

Ειρήνη Παπαευσταθίου

Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Παναγόπουλος

Η Διπλωματική Εργασία υποβλήθηκε προς μερική εκπλήρωση των

απαιτήσεων απόκτησης του πτυχίου Φυσικής του Τμήματος Φυσικής

του Πανεπιστημίου Κύπρου

ΜΑΪΟΣ 2016

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Το ερώτημα για το κατά πόσο ο φυσικός κόσμος χαρακτηρίζεται από

Υπερσυμμετρία έχει τεθεί εδώ και περίπου τέσσερεις δεκαετίες και ακόμα παραμένει

αναπάντητο.

Υπερσυμμετρίες ονομάζονται μετασχηματισμοί οι οποίοι μετατρέπουν φερμιονικούς

βαθμούς ελευθερίας (ημιακέραιο σπιν) σε μποζονικούς (ακέραιο σπιν), και

αντίστροφα.

Παρά το γεγονός ότι πειραματικές ενδείξεις για την ύπαρξη Υπερσυμμετρίας

(SUSY) ακόμα δεν έχουν εμφανιστεί υπάρχουν σημαντικοί λόγοι για τους οποίους

η συμμετρία αυτή αναμένεται να υπάρχει. Τέτοιοι λόγοι είναι η απάμβλυνση του

προβλήματος της ιεραρχίας κλιμάκων στο καθιερωμένο πρότυπο, η δυνατότητα

ερμηνείας των ισχυρών και ηλεκτρασθενών αλληλεπιδράσεων ως ένα ενιαίο

φαινόμενο, και η εμφάνιση της Yπερσυμμετρίας στην περιγραφή της Κβαντικής

Βαρύτητας μέσω της Θεωρίας Χορδών.

Η Υπερσυμμετρία, αν υπάρχει, πρέπει να παραβιάζεται αυθόρμητα, ούτως ώστε να

συνάδει με τα μέχρι τώρα πειραματικά αποτελέσματα. Δεδομένου ότι η αυθόρμητη

παραβίαση μιας συμμετρίας είναι κατά βάση ένα μη-διαταρακτικό φαινόμενο, η

ποσοτική της περιγραφή απαιτεί μη-διαταρακτική μελέτη. Η βασική μεθοδολογία για

τέτοιου είδους μελέτη επιβάλλει την κβάντωση μιας θεωρίας σ' ένα

διακριτοποιημένο χωροχρονικό πλέγμα.

Για τη QCD έχει γίνει με επιτυχία, για την Υπερσυμμετρία ακόμα μόνο κάποια

προεργασία. Η παρούσα διπλωματική εντάσσεται στα πλαίσια αυτής της

προεργασίας, εστιάζοντας στο ερώτημα της κατάλληλης βαθμονόμησης που πρέπει

να γίνει στις παραμέτρους μιας Λαγκρανζιανής, ούτως ώστε η θεωρία που απορρέει

στο όριο του συνεχούς να είναι όντως υπερσυμμετρική.

i

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας

διπλωματικής εργασίας Δρ. Χάρη Παναγόπουλο, Καθηγητή του τμήματος Φυσικής

του Πανεπιστημίου Κύπρου, για την καθοδήγηση και τη βοήθειά του.

ii

Περιεχόμενα

Περίληψη i

Ευχαριστίες ii

Κατάλογος Σχημάτων iv

Κατάλογος Πινάκων v

1 Εισαγωγή στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 11.1 Οι Συναρτήσεις Green του Φωτονικού Πεδίου . . . . . . . . . . . . . 11.2 Οι Συναρτήσεις Green του Γκλουονικού Πεδίου . . . . . . . . . . . . 6

2 Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο Πλέγμα 92.1 Η Αναγκαιότητα του Πλέγματος στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων . . . 92.2 Το Ελεύθερο Βαθμωτό Πεδίο στο Πλέγμα - Πεδίο Klein Gordon . . 102.3 Φερμιόνια Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο Πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο Πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Διαταρακτική Μελέτη στο Πλέγμα 263.1 Διαταρακτική Μελέτη της Θεωρίας φ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Διαταρακτική Μελέτη της QCD στο Πλέγμα . . . . . . . . . . . . . 32

4 Υπερσυμμετρία 404.1 Εισαγωγή στην ΄Αλγεβρα της Υπερσυμμετρίας . . . . . . . . . . . . . 414.2 Δημιουργία Υπερσυμμετρικών Συνόλων Καταστάσεων . . . . . . . . 474.3 Εισαγωγή στην πιο Απλή Θεωρία Υπερσυμμετρίας . . . . . . . . . . 514.4 Υπερπεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Χειραλικά Υπερπεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 Διανυσματικά Υπερπεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Η Γενική Μορφής της SQED και της SQCD στο Συνεχές . . . . . . 72

5 Υπερσυμμετρία στο Πλέγμα 80

6 Συναρτήσεις Green στην SQCD 87

iii

Περιεχόμενα iv

7 Η Κρίσιμη Μάζα του Gluino στην SYM στο Πλέγμα 96

Επίλογος 105

Παραρτήματα 106

A Το Γκαουσιανό Ολοκλήρωμα 106

B Χρήσιμες Σχέσεις 109

Βιβλιογραφία 111

Κατάλογος Σχημάτων

2.1 Απεικόνιση των συνδέσμων στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 H στοιχειώδης πλακέτα Uµν(n) στο μν - επίπεδο . . . . . . . . . . . 20

3.1 Αναπαράσταση των πεδίων στα διάφορα σημεία του χώρου . . . . . . 283.2 Διαγράμματα Feynman στην τάξη O(g2) της θεωρίας διαταραχών . . 293.3 Διάγραμμα που συνεισφέρει στην τάξη O(g2) της θεωρίας διαταραχών 293.4 Διατήρηση της ορμής για το υπό μελέτη διάγραμμα . . . . . . . . . . 323.5 Διαγράμματα 1ης διαταρακτικής τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Διαγράμματα 2ης διαταρακτικής τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.1 Σχηματικά οι βρόχοι Uplaquette, Urectangle, Uchair και Uparallelogram . . . 98

v

Κατάλογος Πινάκων

4.1 Υπερσυμμετρικές αναπαραστάσεις για Ν=1 . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Οι στοιχειώδεις SU(2) αναλλοίωτες ποσότητες και τα φορτία τους . . 83

7.1 Οι συντελεστές ci για τις δράσεις Plaquette, Iwasaki και DBW2 . . . 102

vi

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων

1.1 Οι Συναρτήσεις Green του Φωτονικού

Πεδίου

΄Οπως έχει δείξει ο Feynman, η κβάντωση μιας θεωρίας πεδίου μπορεί να γίνει μέσω

συναρτησιακών ολοκληρωμάτων. ΄Ετσι τα παρατηρήσιμα μεγέθη μιας θεωρίας, τα

οποία αντιστοιχούν σε συναρτήσεις Green της μορφής (π.χ. για ένα βαθμωτό πεδίο

φ(xµ)) < 0|φ(x1) · · ·φ(xN)|0 >, μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:

< 0|φ(x1) · · ·φ(xN)|0 > =∫Dφφ(x1) · · · φ(xN)eiS∫

DφeiS(1.1)

όπου το ολοκλήρωμα Dφ είναι ως προς όλες τις δυνατές συναρτήσεις τουχωροχρόνου: Dφ =

∏x dφ(x).

Η μελέτη πεδίων βαθμίδος ενέχει κάποιες επιπρόσθετες ιδιομορφίες, σε σχέση με

συνήθη πεδία, τις οποίες και θα περιγράψουμε στο παρόν κεφάλαιο.

Σκοπός του παρόντος υποκεφαλαίου είναι η εύρεση της συνάρτησης Green που

περιέχει φωτονικά πεδία. Αρχικά μελετώντας τη συνάρτηση Green του φωτονικού

διαδότη για δύο χωροχρονικά σημεία, θα αντιληφθούμε ότι στην πραγματικότητα

αυτός δεν μπορεί να οριστεί. Το πρόβλημα γενικεύεται για τις συναρτήσεις Green

φωτονικών πεδίων για N χωροχρονικά σημεία. ΄Επειτα, θα παρουσιάσουμε το κόλπο

που πρότειναν οι Faddeev και Popov, οι οποίοι κατάφεραν με επιτυχία να το

αντιμετωπίσουν.

1

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 2

Πιο κάτω παραθέτω τον διαδότη του φωτονικού πεδίου για δύο χωροχρονικές

μεταβλητές:

Dphµν(x1 − x2) ≡∫DA[Aµ(x1)Aν(x2)]eiSph(A)∫

DAeiSph(A)(1.2)

΄Οπου DA = ΠxΠ3µ=0dAµ(x). Ας σημειωθεί ότι βρισκόμαστε στον χωρόχρονο

Minkowski.

Η φωτονική δράση Sph έχει τη μορφή Sph(A) =∫

(−14FµνF

µν)d4x, όπου

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, ο φωτονικός τανυστής. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντεςκαταλήγουμε στην εξής έκφραση για τη φωτονική δράση:

Sph(A) =1

2

∫d4xAν(x)(g

νµ∂2 − ∂µ∂ν)Aµ(x) (1.3)

Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier:

Aµ(x) =

∫d4k

(2π)4eikxÂµ(k) (1.4)

προκύπτει:

Sph =1

2

∫d4x(

∫d4k

(2π)4eikxÂµ(k))(g

νµ∂2 − ∂µ∂ν)(∫

d4k′

(2π)4eik′xÂν(k

′)) (1.5)

Τελικά έχουμε:

Sph =1

2

∫d4k

(2π)4Âµ(k)[−k2gµν + kµkν ]Âν(−k) (1.6)

Σκοπός είναι η εύρεση του διαδότη Dphµν(x1 − x2).Καταρχάς, διακριτοποιώντας την έκφραση (1.2) (χωροχρονική διακριτοποίηση)

προκύπτει:

Dphµν(x1 − x2) =∫ ∏i

∏3ρ=0 dAρ(xi) [Aµ(x1)Aν(x2)] exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)∫ ∏

i

∏3ρ=0 dAρ(xi) exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)όπου Kµνij = −(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν)ij. Η πιο πάνω έκφραση είναι γραμμένη στονευκλείδιο χωρόχρονο.

Επομένως, ο διαδότης είναι ίσος με: Dphµν(x1 − x2) = K−1µν (x1, x2).


Ισοδύναμα έχουμε:

(gµν∂2 − ∂µ∂ν)Dνρph(x1 − x2) = iδ

ρµ δ

(4)(x1 − x2)

(−k2gµν + kµkν)D̂νρph(k) = iδρ

µ

(1.7)

όπου η δεύτερη σχέση προκύπτει μέσω μετασχηματισμών Fourier.

Τώρα, ο 4×4 πίνακας −k2gµν +kµkν προφανώς δεν είναι αντιστρέψιμος για την τιμήk = 0. Παρατηρούμε όμως ότι ισχύει επιπλέον το εξής:

Σν(−k2gµν + kµkν)kν = 0 (1.8)

Συνεπώς, ο πίνακας αυτός έχει ένα ιδιοδιάνυσμα (kν) το οποίο έχει ιδιοτιμή 0. H

ορίζουσα του πίνακα μηδενίζεται και ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος, με

αποτέλεσμα να μην μπορεί να οριστεί ο φωτονικός διαδότης. Επίσης, ας σημειωθεί

ότι αν το πεδίο είναι της μορφής Âν ∝ kν â(k), δηλαδή Aν(x) ∝ ∂νa(x), η φωτονικήδράση μηδενίζεται.

Με όσα ειπώθηκαν πιο πάνω, είναι καθαρό ότι ο φωτονικός διαδότης δεν μπορεί να

ορισθεί. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί, επίσης, μέσα από την εισαγωγή της έννοιας

του χώρου διατάξεων. Ο χώρος αυτός σε κάθε σημείο του περιέχει μια διάταξη,

δηλαδή ένα συγκεκριμένο σετ τιμών των τεσσάρων συνιστωσών του πεδίου Aµ(x)

για κάθε σημείο του χωροχρόνου. Οι διατάξεις, που συνδέονται μεταξύ τους με

μετασχηματισμούς βαθμίδος, δημιουργούν τις λεγόμενες τροχιές (επιφάνειες στον

χώρο των διατάξεων). Το διαφορικό ολοκλήρωσης μπορεί να χωριστεί ως εξής:

DA = DAorbitDA configurationsindifferent

orbits

.

Τώρα το ολοκλήρωμα∫DAorbite−Sph(A) = e−Sph(A)

∫DAorbit → ∞ λόγω της

άπειρης επιφάνειας, που καταλαμβάνει η κάθε τροχιά στον χώρο διατάξεων.

Ακολουθώντας αυτή τη λογική, παρατηρούμε ότι τόσο ο αριθμητής όσο και ο

παρονομαστής της συνάρτησης Green του φωτονικού διαδότη απειρίζονται.

Οι Faddeev και Popov αντιμετώπισαν αποτελεσματικά το πρόβλημα αυτό. Το

κατάφεραν εισάγοντας στον φωτονικό διαδότη τη συνάρτηση δG(A) μιας βαθμίδας

G(A). Κατάφεραν, ουσιαστικά, να περιορίσουν το συναρτησιακό ολοκλήρωμα του

αριθμητή και παρονομαστή του φωτονικού διαδότη έτσι ώστε να καλύπτει μόνο τις

διατάξεις σε κάθε τροχιά που ικανοποιούν τον περιορισμό G(A) = 0. Πριν να

προχωρήσουμε, είναι ανάγκη να μελετήσουμε αν όντως υπάρχουν τέτοιες διατάξεις.

Για να το κάνουμε αυτό, θα επιλέξουμε G(A) ≡ ∂µAµ − ω(x) (γενικευμένη βαθμίδαLorentz). Η συνάρτηση ω(x) είναι τυχαία επιλεγμένη/δεδομένη συνάρτηση και


αποδεικνύεται ότι αν ξεκινήσω με κάποια διάταξη A(x) η οποία ανήκει σε κάποια

τροχιά στον χώρο των διατάξεων, θα βρεθεί μια ή και περισσότερες συναρτήσεις

Λ(x), πεπερασμένου όμως αριθμού, για τις οποίες θα ισχύει ότι G(Ã) = 0 (δηλαδή

το μετασχηματισμένο διάνυσμα Ã : Ãµ(x) = Aµ(x) + 1e∂µΛ(x) : θα ικανοποιεί τον

περιορισμό).

Αυτό αποδεικνύεται ως εξής:

΄Εστω ότι επιλέγω μια διάταξη A(x) του χώρου διατάξεων και μια τυχαία

συνάρτηση ω(x). Θέλω να εξετάσω αν ικανοποιείται η σχέση G(Ã) = 0. ΄Εχω:

∂µ(Aµ(x) +1

e∂µΛ(x))− ω(x) = 0

∂µ(Aµ(x)) +1

e�Λ(x)− ω(x) = 0

(1.9)

Από τη θεωρία των συναρτήσεων Green προκύπτει ότι υπάρχει λύση-λύσεις στην πιο

πάνω εξίσωση (για δεδομένα A και ω).

Οι Faddeev και Popov έκαναν λοιπόν το εξής κόλπο:

Εισήγαγαν την ταυτότητα:

1 =

∫DΛ(x)δ(G(Ã)) det(δG(Ã)

δΛ) (1.10)

η οποία αποτελεί συνεχή γενίκευση της ταυτότητας:

1 = (∏i

∫dλi)δ

(n)(g(a)) det(∂gi∂λj

) (1.11)

στον αριθμητή και παρονομαστή του φωτονικού διαδότη:∫DA

∫DΛ(x)δ(G(Ã))det(δG(Ã)/δΛ)[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)] eiSph(A)∫

DA∫DΛ(x)δ(G(Ã))det(δG(Ã)/δΛ) eiSph(A)

(1.12)

Παρατηρούμε ότι ισχύει:

det(δG(Ã)

δΛ) = det(

1

e∂µ∂µ) (1.13)

για τη βαθμίδα G(A) = ∂µAµ − ω(x), κάτι το οποίο είναι ανεξάρτητο και από το Aκαι από το Λ και συνεπώς μπορεί να γραφτεί έξω από τα ολοκληρώματα αριθμητή

και παρονομαστή και να διαγραφεί. Φυσικά, ισχύει ότι Ãµi(xi) = Aµi(xi) και έτσι τα

πεδία Aµi(xi) μπορούν να αντικατασταθούν με τα μετασχηματισμένα τους. Επίσης,


ισχύει DA = DÃ (Αλλαγή μεταβλητών με Ιακωβιανή τη μονάδα).

Τέλος, με αλλαγή της βουβής μεταβλητής Ã→ A προκύπτει:∫DA

∫DΛδ(∂µAµ − ω(x))[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)] eiSph(A)∫

DA∫DΛδ(∂µAµ − ω(x))eiSph(A)

(1.14)

Τώρα, παρατηρούμε ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ανεξάρτητη από το Λ και

άρα η ολοκλήρωση ως προς Λ μπορεί να εξαφανιστεί. Επίσης, για να μπορέσουμε να

χειριστούμε την ποσότητα δ(∂µAµ − ω(x)) εισάγουμε τη μονάδα:

Πx(√iπ/2ξ)

∫Dω(x)e−i

∫d4x

ω2(x)2ξ = 1 (1.15)

όπου ξ σταθερά και έτσι έχουμε:

δ(∂µAµ − ω(x))→ Πx(√iπ/2ξ)

∫Dω(x)e−i

∫d4x

ω2(x)2ξ δ(∂µAµ − ω(x)) (1.16)

Σημειώνουμε ότι η συναρτησιακή ολοκλήρωση της ποσότητας δ(∂µAµ − ω(x)) ωςπρος ω είναι επιτρεπτή, αφού ο φωτονικός διαδότης πρέπει να δίνει το ίδιο

αποτέλεσμα για κάθε συνάρτηση ω και άρα και για το γραμμικό συνδυασμό τους.

Τώρα, αντικαθιστώντας όπου ω(x) = ∂µAµ με ταυτόχρονη απαλειφή του

συναρτησιακού ολοκληρώματος ως προς ω και της συνάρτησης δέλτα, έχουμε

τελικά για τη γενικότερη μορφή συνάρτησης Green < O(A)> (όπου O(A)αναλλοίωτη ποσότητα κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος) που περιέχει

φωτονικά πεδία:

< O(A) >=∫DA O(A) ei

[Sph(A)+Sgf (A)

]∫DA ei

[Sph(A)+Sgf (A)

] (1.17)όπου η σταθερά Πx(

√iπ/2ξ) απαλείφθηκε από αριθμητή και παρονομαστή. Τώρα,

η δράση Sgf (A) = −(1/2ξ)∫d4x(∂µAµ(x))

2 ονομάζεται δράση Gauge Fixing και

συγκεκριμένα ο όρος −(1/2ξ)(∂µAµ(x))2 ονομάζεται Gauge Fixing Term αφού,λόγω της πρόσθεσης αυτού, αντιμετωπίζεται το πρόβλημα του απειρισμού του

συναρτησιακού ολοκληρώματος σε κάθε τροχιά του χώρου διατάξεων.

Τώρα, ακολουθώντας τα ίδια βήματα με προηγουμένως, καταλήγουμε στη σχέση:[k2gµν −

(1− 1

ξ

)kµkν

]D̃phνσ(k) = −iδµσ (1.18)


η οποία έχει λύση:

D̃phµν(k) = −i

k2

(δµν − (1− ξ)

kµkνk2

)(1.19)

όταν βρισκόμαστε στον ευκλείδιο χωροχρόνο. Στον Minkowski ισχύει:

D̃phµν(k) = −i

k2 + i�

(gµν − (1− ξ)

kµkνk2

)(1.20)

Η πρόσθεση του i� στον παρονομαστή επιτυγχάνει τη μη ύπαρξη πόλου για k = 0.

1.2 Οι Συναρτήσεις Green του Γκλουονικού

Πεδίου

Στις γκλουονικές συναρτήσεις Green εμφανίζεται το ίδιο πρόβλημα που εμφανίζεται

στον ηλεκτρομαγνητισμό, ο απειρισμός δηλαδή του συναρτησιακού ολοκληρώματος∫DAorbite−Sgl(A) = e−Sgl(A)

∫DAorbit, όπου DA = ΠxΠ3µ=0Π8a=1dAaµ(x) και Sgl η

γκλουονική δράση:

Sgl = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) (1.21a)

όπου

˜Fµν = ∂µ

Ãν − ∂ν

Ãµ + ig[

Ãµ,

Ãν ] (1.21b)

Το γκλουονικό πεδίοÃµ είναι ερμιτιανός πίνακας με ίχνος μηδέν και ανήκει στην

άλγεβρα Lie της SU(3). Επομένως, μπορεί να γραφεί ως:

Ãµ(x) =

8∑a=1

Aaµ(x)T a

2(1.22)

όπου Aaµ(x) αποτελούν οκτώ διαφορετικά γκλουονικά πεδία που αντιστοιχούν στους

οκτώ γεννήτορες T a της SU(3). Ας σημειωθεί ότι τα πιο πάνω ισχύουν θεωρώντας

ότι οι πίνακες T a είναι πίνακες Gell-Mann.

Ο τανυστής˜Fµν ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU(3) και μπορεί να γραφεί, έχοντας


επίσης 8 βαθμούς ελευθερίας:

˜Fµν(x) =

8∑a=1

F aµν(x)T a

2(1.23a)

Λόγω του απειρισμού αυτού, λοιπόν, είναι αναγκαία η πρόσθεση ενός gauge �xing

όρου, κατ' αντιστοιχία με τον ηλεκτρομαγνητισμό. Ακολουθώντας τα ίδια βήματα,

εισάγουμε τη σχέση (1.10) στον αριθμητή και παρονομαστή της γκλουονικής

συνάρτησης Green λαμβάνοντας υπόψη τώρα ότι ισχύουν τα εξής:

Ãcµ = Acµ − fabcΛaAbµ +

1

g(∂µΛ

c) (1.24)

όπου fabc οι σταθερές δομής της άλγεβρας SU(3):

[T a, T b] = 2ifabcT c (1.25)

Το πιο πάνω προκύπτει αναπτύσσοντας τη σχέση που ικανοποιεί το

μετασχηματισμένο πεδίο Ãµ = UAµU−1 + igU∂µU−1.

U είναι φυσικά ο μοναδιακός τοπικός μετασχηματισμός eiΛa(x)Ta . Τώρα,

χρησιμοποιώντας το γεγονός:

G(A) = ∂µAaµ(x)− ωa(x) (1.26)

προκύπτει ότι τελικά ισχύει:

δG(Ãc(x))

δΛe(y)=

[1

gδce∂µ∂µ + f

cbe∂µAbµ(x) + fcbeAbµ(x)∂

µ

]δ(x− y) (1.27)

Παρατηρούμε ότι η ποσότητα det( δG(Ã)δΛ

) εξαρτάται από τα πεδία, οπότε δεν μπορούμε

να ακολουθήσουμε τα ίδια βήματα με τη φωτονική συνάρτηση Green, καθώς δεν

μπορεί να γραφτεί έξω από το συναρτησιακό ολοκλήρωμα αριθμητή και παρονομαστή.

Οπότε, είναι αναγκαίος ένας διαφορετικός χειρισμός της. Για να χειριστούμε την

ποσότητα αυτή, θα χρειαστούμε το γνωστό γκαουσιανό ολοκλήρωμα μεταβλητών

Grassman, δηλαδή τη σχέση:

∫ N∏i=1

dθ̄idθi exp

(−

N∑n,m=1

θ̄nKnmθm

)= detK (1.28)


Προκύπτει αντίστοιχα για την ορίζουσα det( δG(Ã)δΛ

):

det(δG(Ã)

δΛ) =

∫Dc̄ Dc exp[i

∫d4x c̄(−g δ(G(Ã))

δΛ)c] (1.29)

Υπάρχει ένας επιπλέον παράγοντας (ig) από τον επαναπροσδιορισμό των πεδίων c̄

και c. Φυσικά, για τα διαφορικά ισχύει: Dc̄ = ΠxΠ8a=1dc̄a(x) καιDc = ΠxΠ8a=1dca(x).Τα νέα πεδία c και c̄, που εισάχθηκαν στη θεωρία μας, ονομάζονται

πεδία-φαντάσματα. Χρησιμοποιούνται καθαρά σαν μαθηματικό εργαλείο και δεν

υπάρχει λόγος να προσδώσουμε σε αυτά φυσική σημασία.

Θέτοντας I = det( δG(Ã)δΛ

), τελικά προκύπτει:

I =

∫Dc̄ Dc exp

[i

∫d4x c̄c(x)

(− δce∂µ∂µ − gf cbe(∂µAbµ(x) + Abµ(x)∂µ)ce(x)

)]=

∫Dc̄ Dc exp[iSfp]

(1.30)

Ακολουθώντας ακριβώς τα ίδια βήματα με το προηγούμενο υποκεφάλαιο

καταλήγουμε στην έκφραση της γκλουονικής συνάρτησης Green για δύο

χωροχρονικά σημεία:

Dglµν(x1 − x2)|a1,a2 =∫DA Dc̄ Dc [Aa1µ (x1)Aa2ν (x2)]e

i(Sgl(A)+Sgf (A)+Sfp(A,c̄,c)

)∫DA Dc̄ Dc ei

(Sgl(A)+Sgf (A)+Sfp(A,c̄,c)

)(1.31)

όπου Sgl(A) η γκλουονική δράση, Sgf (A) ο όρος που επιτυγχάνει την αντιμετώπιση

του απειρισμού του συναρτησιακού και ο όρος Sfp(A, c̄, c) ο όρος που προκύπτει από

τη σχέση (1.30).

Κατ΄ αντιστοιχία με τον ηλεκτρομαγνητισμό, τα πιο πάνω ισχύουν για συναρτήσεις

Green που περιέχουν ποσότητες αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος

(O(A)):

< O(A) >=∫DA Dc̄ Dc O(A)ei


)∫DA Dc̄ Dc ei


) (1.32)

Κεφάλαιο 2

Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

στο Πλέγμα

2.1 Η Αναγκαιότητα του Πλέγματος στη

Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

Σε θεωρίες κβαντικών πεδίων, υπάρχουν φαινόμενα τα οποία δεν μπορούν να

περιγραφούν από τη θεωρία διαταραχών. Ως παράδειγμα, αναφέρουμε τις δέσμιες

καταστάσεις (που αποτελούν και το κατ' εξοχήν φάσμα στις ισχυρές

αλληλεπιδράσεις), τα ινσταντόνια, και την αυθόρμητη παραβίαση των συμμετριών.

Στον υπολογισμό των συναρτήσεων Green στη θεωρία Κβαντικών Πεδίων

παρουσιάζονται απειρισμοί. Η ύπαρξη τους κρίνει επιτακτική την ανάγκη

"ομαλοποίησης" της θεωρίας για αντιμετώπισή τους. Μια τέτοια ομαλοποίηση είναι

το χωροχρονικό πλέγμα, η διακριτοποίηση δηλαδή του χωροχρόνου. Ονομάζουμε

ομαλοποιητή, στην περίπτωση αυτήν, τη σταθερά του πλέγματος α, δηλαδή τη

μικρότερη απόσταση ανάμεσα στα διακριτά σημεία του χωροχρόνου. Απαιτείται,

φυσικά, στο όριο α→ 0 να επιστρέφω στη γνωστή θεωρία του συνεχούς, χωρίς ναυπάρχουν απειρισμοί, κάτι που επιτυγχάνεται με τη μέθοδο της

επανακανονικοποίησης (η οποία δε θα συζητηθεί στο παρόν υποκεφάλαιο).

Τώρα, ένα άλλο παράδειγμα ομαλοποίησης είναι η διαστατική ομαλοποίηση (αλλαγή

των διαστάσεων). Ομαλοποιητής, σε αυτήν την περίπτωση, είναι οι διαστάσεις d και

είναι αναγκαίο όταν φτάνω στο όριο του φυσικού κόσμου, δηλαδή όταν d → 4 ναφτάνω στη γνωστή θεωρία του συνεχούς χωρίς απειρισμούς.

Συγκρίνοντας τις δύο αυτές ομαλοποιήσεις, μπορούμε να πούμε ότι στη διαστατική

9

Κεφάλαιο 2. Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο Πλέγμα 10

ομαλοποίηση, παρόλο που είναι πιο εύκολος ο υπολογισμός των διαγραμμάτων

Feynman, εντούτοις μόνο διαταρακτικούς υπολογισμούς μπορούμε να κάνουμε.

Από την άλλη, στο πλέγμα μπορούμε να χειριστούμε αριθμητικά τις υπολογιζόμενες

ποσότητες, κάνοντας προσομοιώσεις.

Αυτός είναι και ο κύριος λόγος ύπαρξης του πλέγματος σαν ομαλοποιητή, η

ευκαιρία που μας δίνεται να χειριστούμε με προσομοιώσεις τις υπολογιζόμενες

ποσότητες.

2.2 Το Ελεύθερο Βαθμωτό Πεδίο στο Πλέγμα

- Πεδίο Klein Gordon

Πριν αρχίσουμε να διακριτοποιούμε χωροχρονικά τη συνάρτηση Green του πεδίου

Klein-Gordon, ας παρουσιάσουμε τη Λαγκρανζιανή πυκνότητα και την εξίσωση

κίνησης του πεδίου:

L = 12∂µφ∂µφ−

1

2M2φ2

(� +M2)φ(x) = 0(2.1)

΄Οπου M κλασσικά η μάζα του πεδίου Klein Gordon.

Φυσικά όπου x εννοείται το τετραδιάνυσμα xµ με τον δείκτη µ να παίρνει τις τιμές

0, 1, 2, 3 αφού βρισκόμαστε στον χωροχρόνο Minkowski.

Η συνάρτηση Green όπως είχε γραφτεί στην εξίσωση (1.1), για ακαθόριστο αριθμό

χωροχρονικών σημείων, παίρνει την εξής μορφή στον ευκλείδιο χώρο:

G(x, y, ...) ≡∫Dφφ(x)φ(y) · · · e−SE(φ)∫

Dφe−SE(φ)(2.2)

όπου

SE(φ) =1

2

∫d4xφ(x)(−� +M2)φ(x) (2.3)

και

� =4∑

µ=1

∂µ∂µ (2.4)


Να τονίσουμε ότι όπου x, y, θα εννοούνται τα ευκλείδια τετραδιανύσματα xµ, yµ με

δείκτες µ = 1, 2, 3, 4.

Τώρα, επιλέγουμε την εξής διακριτοποίηση:

xµ → nµα

φ(x)→ φ(nα)∫d4x→ α4

∑n

�φ(x)→ 1α2

�̂φ(nα)

Dφ→ Πndφ(nα)

(2.5)

όπου ισχύει:

�̂φ(nα) =∑µ

(φ(nα + µ̂α) + φ(nα− µ̂α)− 2φ(nα)

)(2.6)

Με τον συμβολισμό µ̂ υποδηλώνεται το μοναδιαίο διάνυσμα, το οποίο δείχνει προς

την κατεύθυνση µ. ΄Οπως αναφέρθηκε, α ονομάζεται η μικρότερη απόσταση

ανάμεσα σε δύο χωροχρονικά σημεία του πλέγματος. Θα την αποκαλούμε

"πλεγματική σταθερά" και έχει φυσικά διαστάσεις μήκους. Κάθε σημείο του

πλέγματος χαρακτηρίζεται από τέσσερεις ακέραιους, τους οποίους μαζεμένα

μπορούμε να τους γράψουμε ως n ≡ (n1, n2, n3, n4). Σημειώνουμε ότι θαμπορούσαμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε διακριτοποίηση θέλαμε, φτάνει, φυσικά,

στο συνεχές να είχαμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Παρατηρούμε ότι σε σύστημα φυσικών μονάδων με } = c = 1, η μάζα έχει μονάδεςαντιστρόφου μήκους. ΄Ετσι, για να είναι αδιάστατη η δράση, είναι αναγκαίο το πεδίο

φ να έχει τις ίδιες μονάδες.

Εδώ να σημειωθεί ότι στο παρόν κεφάλαιο, όπου δε χρειάζεται παραλείπεται η

πλεγματική σταθερά (θέτουμε α = 1).

΄Εχοντας ως στόχο να αφήσουμε μόνο αδιάστατες ποσότητες στα συναρτησιακά

ολοκληρώματα, ορίζουμε τις ποσότητες M̂ και φ̂n ως εξής:

φ̂n ≡ αφ(nα)

M̂ ≡ αM(2.7)


Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.2), (2.5) και (2.7) προκύπτει τελικά η

διακριτοποιημένη συνάρτηση Green:

< φ̂nφ̂m · ·· >=∫

Πldφ̂lφ̂nφ̂m · · · e−SE(φ̂)∫Πldφ̂le−SE(φ̂)

(2.8)

όπου

SE = −1

2

∑n,µ̂

φ̂nφ̂n+µ̂ +1

2(8 + M̂2)

∑n

φ̂nφ̂n (2.9)

Διαφορετικά η πιο πάνω έκφραση μπορεί να γραφεί ως εξής:

SE =1

2

∑n,m

φ̂nKnmφ̂m (2.10)

όπου Knm δίνεται από:

Knm = −∑µ>0

[δn+µ̂,m + δn−µ̂,m − 2δnm] + M̂2δnm (2.11)

Τώρα, ας επικεντρωθούμε στον διαδότη δύο σημείων, χρησιμοποιώντας αδιάστατες

μεταβλητές και βρισκόμενοι στον ευκλείδιο χώρο.

Ξέρουμε ότι ισχύει: < φ̂nφ̂m >= K−1nm, όπου ο αντίστροφος πίνακας K−1 μπορεί να

καθοριστεί από τη σχέση: ∑l

KnlK−1lm = δnm (2.12)

και μπορεί να υπολογιστεί στον χώρο των ορμών. Προτού όμως υπολογιστεί ο

πίνακας K−1 είναι σκόπιμο να υπάρξουν σχόλια περί μετασχηματισμών Fourier στο

πλέγμα. ΄Εστω η συνάρτηση f(x) με x = nα και n = (n1, n2, n3, n4) με ni ακέραιους.

Τότε έχουμε:

f(nα) =

∫ π/α−π/α

d4k

(2π)4f̃α(k)e

iknα (2.13)

Προσέχουμε ότι τα όρια ολοκλήρωσης δεν εκτείνονται από το −∞ εώς το ∞, αλλάτα όρια του k είναι τα όρια της πρώτης ζώνης Brillouin του αντιστρόφου πλέγματος.

Αυτό προκύπτει λόγω περιοδικότητας της f̃α(k):

f̃α(k +2π

α) = f̃α(k) (2.14)


Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier προκύπτει ως εξής:

f̃α(k) = α4

+∞∑n=−∞

f(nα)e−iknα (2.15)

Παρατηρούμε λοιπόν, ότι ο χώρος των θέσεων είναι διακριτός και απειροδιάστατος,

αφού το n μπορεί να είναι οποιοδήποτε σετ τεσσάρων ακεραίων ενώ ο χώρος των

ορμών είναι συνεχής και έχει πεπερασμένα όρια.

Τώρα, η συνάρτηση δέλτα του Kronecker γράφεται ως εξής στον χώρο των ορμών:

δnm =

∫ π/α−π/α

d4k

(2π)4α4eik(n−m)α (2.16)

Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε n = m στο δεξί σκέλος της εξίσωσης όντως θα

προκύψει η μονάδα. Για n 6= m θα προκύψει μηδέν λόγω περιοδικότητας τωνσυναρτήσεων ημιτόνου-συνημιτόνου. Το κυματάνυσμα k έχει διαστάσεις

αντιστρόφου μήκους. Χρησιμοποιώντας την αδιάστατη ποσότητα k̂ = αk, τελικά η

πιο πάνω σχέση μετατρέπεται σε:

δnm =

∫ π−π

d4k̂

(2π)4eik̂(n−m) (2.17)

όπου k̂ το αδιάστατο κυματάνυσμα k̂ = (k̂1, k̂2, k̂3, k̂4). Αντικαθιστώντας αυτή την

έκφραση στη σχέση (2.11) προκύπτει τελικά:

Knm =

∫ π−π

d4k̂

(2π)4K̃(k̂)eik̂(n−m)

K̃(k̂) = 44∑

µ=1

sin2(k̂µ2

) + M̂2(2.18)

όπου k̂µ η προβολή του διανύσματος k̂ στην κατεύθυνση µ̂.

Τώρα κάνουμε την εξής υπόθεση (ansatz) για το πινακοστοιχείο του πίνακα K−1:

K−1nm =

∫ π−π

d4k̂

(2π)4G(k̂)eik̂(n−m) (2.19)

όπου:

G(k̂) =1

4∑4

µ=1 sin2( k̂µ

2) + M̂2

(2.20)


Αντικαθιστώντας τη σχέση (2.19) και τη σχέση (2.18) στο αριστερό μέλος της

σχέσης (2.12), αποδεικνύεται ότι ισχύει η ισότητα. Επομένως, η υπόθεση που

κάναμε για τον αντίστροφο του πίνακα K είναι σωστή και άρα με αυτόν τον τρόπο

βρήκαμε τον διαδότη δύο σημείων (< φ̂nφ̂m >) :

K−1nm =< φ̂nφ̂m >=

∫ π−π

d4k̂

(2π)4eik̂(n−m)

4∑4

µ=1 sin2( k̂µ

2) + M̂2

(2.21)

Τώρα, είναι χρήσιμο να διατυπωθεί η έκφραση του διαδότη δύο σημείων στο συνεχές.

Ορίζουμε:

G(n,m; M̂) =< φ̂nφ̂m > (2.22)

Tο όριο στο συνεχές προκύπτει εάν απλά αντικαταστήσουμε τα αδιάστατα μεγέθη

με τα αντίστοιχα μεγέθη με διαστάσεις και πάρουμε το όριο α → 0. ΄Ετσι, τελικά,έχουμε για τον διαδότη < φ(x)φ(y) > στο συνεχές:

< φ(x)φ(y) > = limα→0

1

α2G(

x

α,y

α;Mα) (2.23)

όπου:

G(x

α,y

α;Mα) = α2

∫ π/α−π/α

d4k

(2π)4eik(x−y)∑µ k̃

2µ +M

2(2.24)

΄Οπου k̃µ δίνεται από:

k̃µ =2

αsin(

kµα

2) (2.25)

Εν τέλει προκύπτει λοιπόν:

< φ(x)φ(y) > =

∫ ∞−∞

d4k

(2π)4eik(x−y)∑µ k

2µ +M

2(2.26)

Παρατηρούμε ότι η μετάβαση στο χωροχρονικό πλέγμα στην εν λόγω θεωρία είναι

αρκετά απλή. Η διακριτοποίηση είναι η πιο "αφελής", με την έννοια ότι δεν

προστίθενται έξτρα όροι στην διακριτοποιημένη θεωρία (οι οποίοι θα μπορούσαν να

υπάρχουν στο πλέγμα και να εξαφανίζονται στο συνεχές). Επίσης, αναφερόμαστε

σε ελεύθερη θεωρία και ως εκ τούτου η μάζα που εμφανίζεται στη Λαγκρανζιανή

πυκνότητα είναι και η φυσική μάζα του συστήματος. Οπότε, όταν επιλύεται το


πρόβλημα αριθμητικά, μπορεί η παράμετρος M να ρυθμιστεί έτσι ώστε στο όριο του

συνεχούς (δηλαδή για πολύ μικρές τιμές της πλεγματικής σταθεράς) να δίνει την

επιθυμητή τιμή της μάζας, έχοντας υπόψη ότι η τιμή της μάζας M δε μεταβάλλεται

στο όριο α→ 0.

2.3 Φερμιόνια Wilson

H ελεύθερη εξίσωση Dirac παίρνει την εξής έκφραση στον χώρο Minkowski:

SF =

∫d4xψ̄(x)(iγµ∂µ −M)ψ(x) (2.27)

όπου γµ οι πίνακες στον προαναφερθέντα χώρο.

Χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία εύρεσης του διαδότη του πεδίου Klein-Gordon,

διακριτοποιώντας δηλαδή "αφελώς" την πιο πάνω δράση στο πλέγμα, μπορεί να βρεθεί

η έκφραση του διαδότη < ψaψ̄b > (όπου a και b οι δείκτες Dirac). Παίρνοντας το

όριο του συνεχούς προκύπτει στον ευκλείδιο χώρο:

< ψa(x)ψ̄b(y) > = limα→0

∫ π/α−π/α

d4p

(2π)4

[− i∑

µ γµp̃µ +M]ab∑

µ p̃2µ +M

2eip(x−y) (2.28)

όπου

p̃µ =1

αsin(pµ/α) (2.29)

Παρατηρούμε ότι το όρισμα του ημιτόνου, σε αυτήν την περίπτωση, είναι διπλάσιο

από το όρισμα στην έκφραση του διαδότη Klein-Gordon. Λόγω αυτού στα όρια της

ζώνης Brillouin (−π/a και +π/a) το ημίτονο μηδενίζεται. Τώρα, στο όριο τουσυνεχούς (α → 0), η έκφραση 1

αsin(pµα) παίρνει πεπερασμένες τιμές μόνο για

μικρές τιμές του ορίσματος του ημιτόνου. Αυτό συμβαίνει όχι μόνο για pµ = 0 αλλά

και στα όρια της πρώτης ζώνης Brillouin. Ως εκ τούτου, στο όριο αυτό έχουμε

συνολικά 16 συνεισφορές στον διαδότη (από τα 16 σημεία του πλέγματος). ΄Αρα,

στο όριο του συνεχούς, η συνάρτηση Green περιέχει συνεισφορές από 16 σημεία

του πλέγματος, εκ των οποίων τα 15 δεν έχουν συνεχές ανάλογο. Το πρόβλημα

αυτό των επιπλέον συνεισφορών στον διαδότη ονομάζεται πρόβλημα του

διπλασιασμού και αίρεται αν εισάγουμε έναν επιπλέον όρο στη δράση του πεδίου

Dirac στο πλέγμα.


Χρησιμοποιώντας αδιάστατες παραμέτρους και βρισκόμενοι στον ευκλείδιο χώρο

έχουμε:

S(W )F =

∑n,m

¯̂ψa(n)K

Wab (n,m)ψ̂b(m) (2.30)

όπου:

K(W )αβ (n,m) = −

1

2

∑µ

[(rδab −

(γµ)ab

)δm,n+µ̂ +

(rδab +

(γµ)ab

)δm,n−µ̂

]+ (M̂ + 4r)δnmδab

(2.31)

Η παράμετρος r ονομάζεται παράμετρος Wilson και ο αντίστοιχος όρος μηδενίζεται

στο όριο του συνεχούς. Τελικά, καταλήγουμε με τη διαδικασία που περιγράψαμε στο

υποκεφάλαιο (2.2) για τον διαδότη στο συνεχές:

< ψa(x)ψ̄b(y) > = limα→0

∫ π/α−π/α

d4p

(2π)4[−iγµp̃µ +M(p)]ab∑

µ p̃2µ +M(p)

2eip(x−y) (2.32)

όπου p̃µ δίνεται από τη σχέση (2.29) και M(p):

M(p) = M +2r

α

∑µ

sin2(pµα/2) (2.33)

Στην πιο πάνω σχέση παρατηρούμε ότι, για οποιανδήποτε πεπερασμένη τιμή της

ορμής, M(p) = M στο όριο του συνεχούς. Παρατηρούμε, όμως, ότι δεν έχουμε

πλέον συνεισφορές από τα όρια της πρώτης ζώνης Brillouin, όπως επιθυμούσαμε.

΄Αρα, έχουμε αντιμετωπίσει το πρόβλημα του διπλασιασμού, με το τίμημα να χάσουμε

τη χειραλική συμμετρία για M = 0, αφού ο επιπλέον όρος που προσθέσαμε την

παραβιάζει.

2.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο Πλέγμα

Σκοπός του συγκεκριμένου υποκεφαλαίου είναι η παρουσίαση της θεωρίας QED στο

χωροχρονικό πλέγμα. Θα πάρουμε έτοιμη την έκφραση των φερμιονίων Wilson στο

πλέγμα και θα τη διαφοροποιήσουμε με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να επιτυγχάνεται

το αναλλοίωτο της συμμετρίας βαθμίδος. Στη προσπάθεια μας αυτή, θα προκύψουν

όροι οι οποίοι στο συνεχές θα αντιπροσωπεύουν τον γνωστό όρο αλληλεπίδρασης

των ηλεκτρονίων με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Τέλος, θα διακριτοποιήσουμε τον


όρο της φωτονικής δράσης και θα αποδειχθεί ότι στο συνεχές παίρνουμε τη γνωστή

έκφραση της δράσης της QED.

Ξεκινούμε εισάγοντας την φερμιονική δράση Wilson στο πλέγμα:

SWF = (M̂ + 4r)∑n

ψ̄(n)ψ(n)

−12

∑n,µ

[ψ̄(n)(r − γµ)ψ(n+ µ̂) + ψ̄(n+ µ̂)(r + γµ)ψ(n)

] (2.34)όπου r η αδιάστατη παράμετρος Wilson. ΄Ολα τα μεγέθη που παρουσιάζονται είναι

αδιάστατα και οι πίνακες γµ ορίζονται στον ευκλείδιο χώρο.

Είναι αναγκαία η επιβολή η ολική δράση της QED να είναι αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς βαθμίδος στο πλέγμα, κάτι που πρέπει να ισχύει έτσι ώστε να

είναι δυνατή η επανακανονικοποίηση στο πλέγμα.

Παρατηρούμε ότι η δράση Wilson είναι αναλλοίωτη κάτω από καθολικούς

μετασχηματισμούς των φερμιονικών πεδίων:

ψ(n)→ Gψ(n)

ψ̄(n)→ ψ̄(n)G−1(2.35)

όπου G ένα στοιχείο της ομάδας U(1). Αν εισάγουμε όμως τον τοπικό

μετασχηματισμό U(1), G(n) = eiΛ(n), παρατηρούμε ότι το αναλλοίωτο

καταρρίπτεται. Αυτό οφείλεται στους δύο τελευταίους όρους, οι οποίοι περιέχουν

πεδία σε διαφορετικά σημεία του πλέγματος.

Βάζοντας τα στοιχεία Un,n+µ̂ και Un+µ̂,n στη φερμιονική δράση Wilson κάνοντας

την εξής μετατροπή στους δύο τελευταίους όρους της δράσης:

−12

∑n,µ

[ψ̄(n)(r − γµ)ψ(n+ µ̂) + ψ̄(n+ µ̂)(r + γµ)ψ(n)

]→ −1

2

∑n,µ

[ψ̄(n)(r − γµ)Un,n+µ̂ψ(n+ µ̂) + ψ̄(n+ µ̂)(r + γµ)Un+µ̂,nψ(n)

] (2.36)

Τώρα, απαιτούμε οι ποσότητες αυτές να είναι συναλλοίωτες κάτω από τοπικούς

μετασχηματισμούς βαθμίδος, δηλαδή:

Un,n+µ̂ → G(n)Un,n+µ̂G−1(n+ µ̂

)Un+µ̂,n → G

(n+ µ̂

)Un+µ̂,nG

−1(n)(2.37)


έτσι ώστε να εξασφαλίζεται το αναλλοίωτο της δράσης κάτω από τους

μετασχηματισμούς αυτούς. Ας επισημάνουμε ότι τα στοιχεία Un,n+µ̂ και Un+µ̂,n

ονομάζονται συνδέσμοι διότι σχετίζονται-συνδέουν δύο συνεχόμενα σημεία του

πλέγματος.

Σχηματικά οι σύνδεσμοι μπορούν να απεικονιστούν ως εξής:

Σχήμα 2.1: Απεικόνιση των συνδέσμων στο πλέγμα

H διακριτοποιημένη, αδιάστατη, αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς

βαθμίδος, δράση Wilson γράφεται:

SWF = (M̂ + 4r)∑n

ψ̄(n)ψ(n)

− 12

∑n,µ


](2.38)

Τώρα, ο σύνδεσμος Un,n+µ̂ είναι στοιχείο της ομάδας U(1) και συνεπώς θα μπορούσε

να γραφεί:

Un,n+µ̂ = eiφµ(nα) (2.39)

όπου φµ(nα) ∈ [0, 2π].Επιλέγουμε να οριστεί ως εξής:

Ux,x+µ̂ ≡ ei∫ x+µ̂x eAµ(y)dy (2.40)

όπου Aµ(x) το φωτονικό πεδίο το οποίο έχει διαστάσεις αντιστρόφου μήκους.

Επομένως, ισχύει ότι:

Uµ(nα) ≡ Un,n+µ̂ = eieαAµ(nα) (2.41)

Μόνο με αυτόν τον ορισμό θα παίρναμε τη γνωστή δράση της QED στο όριο α→ 0,όταν δηλαδή ισχύει Un,n+µ̂ ≈ 1 + ieαAµ(nα).


Με τον ορισμό αυτό, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση (2.37). Ο μετασχηματισμός

του πεδίου Aµ(x) είναι η διακριτή μορφή του μετασχηματισμού Aµ → Aµ − 1e∂µΛ.Βλέπουμε ότι οι σύνδεσμοι περιέχουν τη συνιστώσα µ του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου

που "ζει" στο σημείο nα. Θα μπορούσαμε, στην προσεγγιστική εκείνη σχέση, να

εισάγουμε τη συνιστώσα µ του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που "ζει" στη μέση των

σημείων nα και (n + µ̂)α, τα οποία συνδέει ο σύνδεσμος ή τη συνιστώσα µ του

ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που "ζει" στο σημείο (n + µ̂)α στο οποίο καταλήγει ο

σύνδεσμος. Οποιαδήποτε από τις τρεις προσεγγίσεις οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα,

στο όριο του συνεχούς.

Τώρα, είναι σκόπιμο να βρεθεί ο όρος της φωτονικής δράσης στο πλέγμα, φυσικά

στην αναλλοίωτη του μορφή κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος.

Παίρνουμε, λοιπόν, τη δράση:

SG =1

4

∫d4xFµνFµν (2.42)

βρισκόμενοι στον ευκλείδιο χώρο. Η διακριτοποιημένη της μορφή κρατώντας μόνο

αδιάστατες ποσότητες είναι:

SG =1

4

∑n,µ,ν

α4Fµν(n)Fµν(n) (2.43)

όπου ο τανυστής Fµν ικανοποιεί τη σχέση:

Fµν(n) =1

α

[(Aν(n+ µ̂)− Aν(n))− (Aµ(n+ ν̂)− Aµ(n))] (2.44)

Για να γραφεί η φωτονική δράση στο πλέγμα, θα χρησιμοποιηθεί μια ποσότητα η

οποία αποτελείται από γινόμενο συνδέσμων. Για να ικανοποιείται η απαίτηση του

αναλλοίωτου κάτω από συμμετρίες βαθμίδος, το γινόμενο αυτό σχηματίζει βρόχο

στο πλέγμα, ο οποίος ονομάζεται Wilson loop. Eπιβάλλοντας τοπικότητα της

θεωρίας, θα απαιτήσουμε οι βρόχοι αυτοί να είναι όσο το δυνατόν πιο μικροί,

σχηματίζοντας τη λεγόμενη στοιχειώδη πλακέτα. Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε

μεγαλύτερους βρόχους, αφού πάλι θα ικανοποιόταν το αναλλοίωτο συμμετριών

βαθμίδος. Επίσης, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε στην κατασκευή της

δράσης γινόμενα από πλακέτες, οι οποίες σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο βρόχο στο

πλέγμα. Σε όλες τις περιπτώσεις απαιτούμε η δράση να είναι αναλλοίωτη και να

επιτυγχάνεται το όριο του συνεχούς για α→ 0.Εισάγουμε λοιπόν την έννοια της στοιχειώδης πλακέτας Uµν(n), η οποία ορίζεται


ως εξής:

Uµν(n) = Uµ(n)Uν(n+ µ̂)U†µ(n+ ν̂)U

†ν(n) (2.45)

και διαφαίνεται σχηματικά στο πιο κάτω σχήμα:

Σχήμα 2.2: H στοιχειώδης πλακέτα Uµν(n) στο μν - επίπεδο

΄Οπως βλέπουμε στο σχήμα, η κατεύθυνση του Wilson loop UP = Uµν(n) είναι

αριστερόστροφη. Μπορούμε να πάρουμε δεξιόστροφη κατεύθυνση, αν πάρουμε το

ερμιτιανό συζυγές του U †P = U†µν(n).

Εισάγοντας τη σχέση (2.41) στη σχέση (2.45) βρίσκουμε ότι ισχύει:

Uµν(n) = eieα2Fµν(n) (2.46)

όπου Fµν(n) είναι η διακριτοποιημένη μορφή του τανυστή του ηλεκτρομαγνητικού

πεδίου, όπως διαφαίνεται στη σχέση (2.44). Οπότε, μπορούμε να γράψουμε τη δράση

του φωτονικού πεδίου στο πλέγμα:

SG[U ] =1

e2

∑P

[1− 12

(UP + U†P )] (2.47)

όπου∑

P υπονοεί άθροισμα σε όλα τα Wilson loops του πλέγματος, δηλαδή

υπονοείται∑

P =∑

n,µ,νµ


προκύπτει αν αθροίσουμε τις σχέσεις (2.47) και (2.38):

SQED[U, ψ, ψ̄] =1

e2

∑P

[1− 12

(UP + U†P )] + (M̂ + 4r)

∑n

ψ̄(n)ψ(n)

−12

∑n,µ


] (2.49)Ας σημειωθεί ότι όπου e δεν είναι το φυσικό φορτίο του ηλεκτρονίου αλλά η

αντίστοιχη απογυμνωμένη παράμετρος. Το ίδιο ισχύει και για τη μάζα M .

Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω σχέση και αντικαθιστώντας τα αδιάστατα μεγέθη ψ

και M με τα αντίστοιχα μεγέθη με διαστάσεις, μπορεί να αποδειχθεί ότι στο όριο

α→ 0 παίρνουμε την αναμενόμενη δράση της QED στο συνεχές.Kαταρχάς, όπως έχει αναφερθεί, το μέρος της δράσης για το φωτονικό πεδίο

παίρνει την έκφραση που αναμέναμε στο όριο του συνεχούς. Πιο κάτω, θα

αποδείξω ότι ισχύει το ίδιο για το φερμιονικό μέρος της δράσης.

΄Ετσι, έχουμε τη φερμιονική δράση Wilson:

SWF = (αM + 4r)α3∑n

ψ̄(n)ψ(n)− α3

2

∑n,µ

ψ̄(n)(r − γµ)(1 + iαeAµ(n))ψ(n+ µ̂

)−α

3

2

∑n,µ

ψ̄(n+ µ̂)(r + γµ)(1− iαeAµ(n)

)ψ(n)

(2.50)

όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση:

eiαeAµ(n) ≈ 1 + iαeAµ(n) (2.51)

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της διακριτοποίησης της παραγώγου στο πλέγμα:

∂µψ(n) =ψ(n+ µ̂)− ψ(n− µ̂)

2α(2.52)

και κάνοντας στο τρίτο άθροισμα την αλλαγή n→ n− µ̂ προκύπτει:


ψ̄(n)ψ(n)

− α3

2

∑n,µ

ψ̄(n)(r − γµ)(1 + iαeAµ(n)

)(2α∂µψ(n) + ψ(n− µ̂)

)− α

3

2

∑n,µ

ψ̄(n)(r + γµ)(1− iαeAµ(n− µ̂)

)(ψ(n+ µ̂)− 2α∂µψ(n)

)(2.53)


Tώρα, θα κρατήσω όρους που περιέχουν λιγότερες από τέσσερεις δυνάμεις της

σταθεράς του πλέγματος α, καθώς όροι με περισσότερες δυνάμεις μηδενίζονται στο

όριο καθώς το α→ 0.΄Εχουμε:


ψ̄(n)ψ(n)

− α3

2

[∑n,µ

ψ̄(n)(r − γµ)(2α∂µψ(n) + ψ(n− µ̂)

)+ ψ̄(n)(r − γµ)

(iαeAµ(n)

)ψ(n− µ̂)

+∑n,µ

ψ̄(n)(r + γµ)(− 2α∂µψ(n) + ψ(n+ µ̂)

)+ ψ̄(n)(r + γµ)

(− iαeAµ(n)

)ψ(n+ µ̂)

]= (αM + 4r)α3

∑n

ψ̄(n)ψ(n)

− α3

2

[∑n,µ

ψ̄(n)r[ψ(n− µ̂) + ψ(n+ µ̂)

]+ ψ̄(n)γµ

[− 4α∂µψ(n) + ψ(n+ µ̂)− ψ(n− µ̂)

]+∑n,µ

ψ̄(n)r(iαeAµ(n)

)[ψ(n− µ̂)− ψ(n+ µ̂)

]− ψ̄(n)γµ

(iαeAµ(n)

)[ψ(n− µ̂) + ψ(n+ µ̂)

]]

(2.54)

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου (2.52) προκύπτει εν τέλει:


ψ̄(n)ψ(n)− 4α3∑n

ψ̄(n)rψ(n) + α4∑n

ψ̄γµ∂µψ(n)

+ α4∑n

ψ̄(n)γµ(ieAµ(n)

)ψ(n)

= α4∑n

ψ̄(n)Mψ(n) + α4∑n

ψ̄(n)(γµ∂µ + ieγµAµ

)ψ

(2.55)

΄Ετσι, έχουμε στο όριο του συνεχούς για τη δράση του φερμιονικού μέρους της QED

στον ευκλείδιο χώρο:

α4∑n

ψ̄(n)Mψ(n) + α4∑n,µ

ψ̄(n)(γµ∂µ + ieγµAµ

)ψ →

∫d4xψ̄(γµDµ +M)ψ

(2.56)


όπου Dµ = ∂µ + ieAµ όπως αναμέναμε.

2.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο Πλέγμα

Κατά ανάλογο τρόπο βρίσκεται η έκφραση της QCD θεωρίας στο πλέγμα. Στη

QCD η συμμετρία βαθμίδος που ικανοποιείται είναι η συμμετρία της SU(3) ομάδας.

Οπότε, στα φερμιονικά πεδία της δράσης προστίθεται ένας χρωματικός δείκτης με

τιμές a = 1, 2, 3. Φυσικά τα πεδία αυτά έχουν και ένα δείκτη γεύσης που παίρνει

τιμές f = 1 − 6. Τώρα το γκλουονικό πεδίο είναι ένας πίνακας 3 × 3. Οιπερισπωμένες κάτω από τα διάφορα μεγέθη, τοποθετήθηκαν για να μας θυμίζουν

ότι πρέπει να τα χειριζόμαστε σαν πίνακες.

Η φερμιονική δράση Wilson, στον ευκλείδιο χώρο, χρησιμοποιώντας αδιάστατες

μεταβλητές και θέτοντας α = 1, μετατρέπεται στη QCD θεωρία:

SFW =

∑f,n,α,a

((M0)f + 4r

)(˜ψ̄af )α(n)(

˜ψaf )α(n)

− 12

∑f,nα,βa,b

[(˜ψ̄af )α(n)

(rδαβ −

(γµ)αβ

)˜Uabµ (n)(

˜ψbf )β(n+ µ̂)

+ (˜ψ̄af )α(n+ µ̂)

(rδαβ +

(γµ)αβ

)˜U †µ

ab(n)(

˜ψbf )β(n)

](2.57)

Η μάζα M0 είναι η απογυμνωμένη παράμετρος μάζας και δεν αντιστοιχεί στη φυσική

μάζα των σωματιδίων. Είναι διαφορετική για σωματίδια με διαφορετικό δείκτη

γεύσης.

Τώρα, όπου˜Uµ(n) = e

i˜φµ(n) και

˜φµ(n) ένας ερμιτιανός πίνακας, που ανήκει στην

άλγεβρα της SU(3). Συγκεκριμένα ισχύει:

˜φµ(n) = g0α

˜Aµ(n) = g0α

8∑a=1

Aaµ(n)Ta (2.58)

όπου T a οι γεννήτορες της SU(3) σε adjoint αναπαράσταση. Ικανοποιούν τη σχέση

T a = λa/2, όπου λa : πίνακες Gell-Mann. Η σταθερά σύζευξης g0 είναι μια

απογυμνωμένη παράμετρος. Τα 8 πεδία Aaµ(n) είναι πραγματικά, διανυσματικά

πεδία, που αντιστοιχούν στους 8 γεννήτορες της SU(3).

Κατ' αντιστοιχία με την Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα, η δράση (2.57) είναι


αναλλοίωτη κάτω από τους μετασχηματισμούς:

˜ψ(n)→

˜G(n)

˜ψ(n)

˜ψ̄(n)→

˜ψ̄(n)

˜G−1(n)

˜Uµ(n)→

˜G(n)

˜Uµ(n)

˜G−1(n+ µ̂)

˜U †µ(n)→

˜G(n+ µ̂)

˜U †µ(n)

˜G−1(n)

(2.59)

όπου˜G(n) είναι ένα στοιχείο της θεμελειώδους αναπαράστασης της ομάδας SU(3)

και μπορεί να γραφεί ως εξής:

˜G(n) = ei˜

Λ(n) (2.60)

με˜Λ(n) ερμιτιανό πίνακα που ανήκει στην άλγεβρα της SU(3).

Τώρα, έμεινε να γραφεί η γκλουονική δράση στο πλέγμα. Αντιστοίχως με τη

φωτονική περίπτωση, έχουμε για τη στοιχειώδη πλακέτα:

˜Uµν(n) =

˜Uµ(n)

˜Uν(n+ µ̂)

˜U †µ(n+ ν̂)

˜U †ν(n) (2.61)

Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να προσέξουμε ότι οι πίνακες που αποτελούν την πιο

πάνω πλακέτα δε μετατίθενται. Επίσης, αφού ομιλούμε για πίνακες, είναι αναγκαίο

να βρίσκονται σε ίχνος μέσα στη γκλουονική δράση.

΄Ετσι, έχουμε τελικά την γκλουονική δράση στο πλέγμα:

SG = c tr∑n,µ,νµ


πλεγματικής σταθεράς α. Αυτό μας επιτρέπει να κάνουμε διαταρακτικό ανάπτυγμα

του εκθετικού ως προς α. Παρατηρώντας το ανάπτυγμα αυτό συμπεραίνουμε ότι

στη φόρμουλα Baker - Campbell - Hausdor� μπορούμε να κρατήσουμε μόνο τους

όρους που περιέχουν τους πίνακες A,B ή όρους που περιέχουν μόνο ένα μεταθέτη

των πινάκων αυτών. Οι υπόλοιποι όροι μηδενίζονται καθώς α → 0 και μπορούν ναπαραλειφθούν.

Προκύπτει συνεπώς:

˜Fµν(n) ≈ (1/α)

[(Ãν(n+ µ̂

)−

Ãν(n)

)−(

Ãµ(n+ ν̂

)−

Ãµ(n)

)]+ ig0[

Ãµ(n),

Ãν(n)]

(2.65)

Επιλέγουμε c = 2g20έτσι ώστε στο όριο α→ 0 να παίρνουμε την ευκλείδια δράση:

ScontG (A) =1

2tr

∫d4x

˜Fµν

˜Fµν (2.66)

H τελική δράση της QCD θεωρίας στο πλέγμα, χρησιμοποιώντας φερμιόνια Wilson,

με αδιάστατες ποσότητες και βρισκόμενοι στον ευκλείδιο χώρο είναι λοιπόν:

SQCD =2

g20tr∑n,µ,νµ

Κεφάλαιο 3

Διαταρακτική Μελέτη στο

Πλέγμα

3.1 Διαταρακτική Μελέτη της Θεωρίας φ3

��-

Στο κεφάλαιο αυτό, προσθέτoντας έναν όρο αλληλεπίδρασης στη δράση του πεδίου

Klein-Gordon, θα παρουσιάσω τον τρόπο με τον οποίο χειριζόμαστε διαταρακτικά

μια θεωρία στο πλέγμα. Επιπλέον, θα παρουσιαστεί ο τρόπος κατασκευής των

διαγραμμάτων Feynman από τις κορυφές που προκύπτουν από τη συνάρτηση Green

του διαδότη. Φυσικά, η πιο κάτω θεωρία δεν αντιστοιχεί σε φυσική θεωρία αλλά

είναι Toy Model.

Η δράση είναι η εξής:

S[φ] =1

2

∫d4xφ(x)

(−� +M2

)φ(x) +

g03!

∫d4x(φ(x)

)3(3.1)

όπου g0

Κεφάλαιο 3. Διαταρακτική Μελέτη στο Πλέγμα 27

n, m: διακριτοποιημένα σημεία του χωροχρόνου και

Knm = −∑

µ>0[δn+µ̂,m + δn−µ̂,m − 2δnm] +M2δnm. Τώρα, μπορούμε να χωρίσουμετη δράση σε δύο όρους, τον όρο της δράσης του πεδίου Klein-Gordon και έναν όρο

τον οποίο θα ονομάσουμε όρο αλληλεπίδρασης (Sint):

S[φ] = SKG + Sint (3.3)

Η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε είναι η εξής:

< φnφm > =

∫Dφφnφme−SKG−Sint∫Dφe−SKG−Sint

(3.4)

Αναπτύσσοντας κατά Taylor το εκθετικό με τη δράση αλληλεπίδρασης (e−Sint)

έχουμε:

< φnφm > =

∫Dφφnφme−SKG

[1− g0

3!

∑k φ

3k +

g202!(3!)2

(∑k φ

3k

)2+ · · ·

]∫Dφe−SKG−Sint

(3.5)

Ας σημειώσουμε ότι οι όροι του διαδότη με περιττές δυνάμεις πεδίων μπορούν να

παραλειφθούν, αφού σύμφωνα με το Παράρτημα A δίνουν μηδέν.

Θα κρατήσω μόνο τη δεύτερη δύναμη της σταθεράς σύζευξης, δηλαδή:

< φnφm >g20 =g20

2!(3!)2

∫Dφφnφme−SKG

(∑k φ

3k

)(∑k′ φ

3k′

)∫Dφe−SKG−Sint

(3.6)

μελετώντας τη θεωρία διαταραχών στη δεύτερη τάξη.

Με τη βοήθεια του Παραρτήματος A και παραλείποντας τους πολλαπλασιαστικούς

παράγοντες βρίσκουμε ότι:

< φnφm >g20=∑k,k′

∑όλων των πιθανών

ζευγώντων δεικτών k,k',n,m

K−1l1l2K−1l3l4K−1l5l6K

−1l7l8

(3.7)

Αν σκεφτούμε με πόσους πιθανούς συνδιασμούς μπορούμε να φτιάξουμε τα ζεύγη

των δεικτών, θα αντιληφθούμε ότι στο πιο πάνω άθροισμα υπάρχουν 7!! όροι. K−1l1l2είναι ο διαδότης του πεδίου Klein-Gordon, που "ενώνει" τα πλεγματικά σημεία l1

και l2.

Η ποσότητα < φnφm >g20 μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα διαγραμμάτων Feynman.

Για να αντιληφθούμε πώς θα προκύψουν αυτά, πρώτα θα αναπαραστήσουμε

διαγραμματικά τα πεδία στα διάφορα σημεία του χώρου


(φk, φk, φk, φk′ , φk′ , φk′ , φm, φn). Τα σημεία του χώρου θα τα αναπαραστήσω με μια

τελεία. Το πεδίο σε κάποιο σημείο του χώρου θα αναπαραστηθεί με ελεύθερη

γραμμή που ξεκινά από το εν λόγω σημείο.

΄Εχουμε:

Σχήμα 3.1: Αναπαράσταση των πεδίων στα διάφορα σημεία του χώρου

Παρατηρούμε ότι προκύπτουν δύο κορυφές από τα σημεία του χώρου k και k′. Στο

συγκεκριμένο παράδειγμα βλέπουμε ότι ανάλογα με την τάξη της θεωρίας

διαταραχών που μελετάμε, προκύπτει και ο αντίστοιχος αριθμός από κορυφές,

δηλαδή στην τρίτη τάξη της θεωρίας διαταραχών θα προέκυπταν τρεις κορυφές.

Τώρα, ενώνοντας τα ελεύθερα άκρα των πιο πάνω σχημάτων προκύπτουν τα εξής

διαγράμματα Feynman:


Σχήμα 3.2: Διαγράμματα Feynman στην τάξη O(g2) της θεωρίας διαταραχών

Η γραμμή που ενώνει δύο πλεγματικά σημεία l1 και l2 αναπαριστά τον αντίστοιχο

διαδότη K−1l1l2 .

Το πρώτο διάγραμμα μπορεί να προκύψει με 36 τρόπους, το δεύτερο με 6, το τρίτο

με 9, το τέταρτο με 18 και το πέμπτο με 36 και συνεπώς έχουμε

36 + 6 + 9 + 18 + 36 = 7!!. Αθροίζοντας τις μαθηματικές εκφράσεις που

προκύπτουν από τα πιο πάνω διαγράμματα, λαμβάνοντας υπόψη τον παράγοντα που

υποδηλώνει τους τρόπους με τους οποίους αυτά μπορεί να δημιουργηθούν αλλά και

τον παράγοντα 12!που προκύπτει από το ανάπτυγμα Taylor, και έναν παράγοντα

−g03!για κάθε κορυφή, μπορούμε να βρούμε την ποσότητα < φnφm >g20 .

Πιο κάτω, θα υπολογίσω, χωρίς να λάβω υπόψη τους πολλαπλασιαστικούς

παράγοντες που ανέφερα πιο πάνω, τη μαθηματική έκφραση του διαγράμματος:

Σχήμα 3.3: Διάγραμμα που συνεισφέρει στην τάξη O(g2) της θεωρίας διαταραχών

Δηλαδή την έκφραση:

K−1nl (K−1ll′ )

2K−1l′m (3.8)


χρησιμοποιώντας τον διαδότη του πεδίου Klein-Gordon:

K−1nm =< φ̂nφ̂m >=

∫ π−π

d4k̂

(2π)4eik̂(n−m)

4∑4

µ=1 sin2( k̂µ

2) + M̂2

(3.9)

έχουμε στον χώρο των ορμών:


2K−1l′m =

∫d4pd4p′d4qd4q′

(2π)16eiq(n−l)eiq

′(l′−m)eip(l−l′)eip

′(l−l′)(q̃2 +M2

)(q̃′2 +M2

)(p̃2 +M2

)(p̃′2 +M2

)(3.10)

όπου q και q′ αντιπροσωπεύουν τις εξωτερικές ορμές του διαγράμματος και p, p′ τις

εσωτερικές ορμές.

Τα όρια των ολοκληρωμάτων είναι [−π, π] και παραλείπονται για απλοποίηση.Ορίζουμε:

p̃2 = 44∑

µ=1

sin2(p̂µ2

) (3.11)

H συνάρτηση δέλτα στον χώρο των θέσεων ορίζεται ως:

δ(4)P (p) = α

4

+∞∑n=−∞

1

(2π)4e−ipnα (3.12)

όπου "p" προέρχεται από το "Periodic" λόγω του ότι μηδενίζεται για τις τιμές

p = 2πn/α, όπου n ανήκει στο σύνολο των ακεραίων αριθμών. Ας σημειωθεί ότι οι

τιμές της ορμής ορίζονται μόνο στην πρώτη ζώνη Brillouin και παίρνουν συνεχείς

τιμές.

Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω σχέση έχουμε τελικά:


2K−1l′m =

∫d4pd4p′d4qd4q′

(2π)16(2π)8δ(−q + p+ p′)δ(q′ − p− p′)

eiqn−iq′m(

q̃2 +M2)(q̃′2 +M2

)(p̃2 +M2

)(p̃′2 +M2

) (3.13)όπου οι συναρτήσεις δέλτα δείχνουν τη διατήρηση ορμής στο διάγραμμα.

Συγκεκριμένα ισχύει q = p+ p′ και q′ = p+ p′.

Κεφάλαιο 3. Διαταρακτική Μελέτη της QCD στο Πλέγμα 31

Απλοποιώντας έχουμε:


2K−1l′m =

∫d4pd4qd4q′

(2π)12(2π)4δ(q′ − q)

eiqn−iq′m(

q̃2 +M2)(q̃′2 +M2

)(p̃2 +M2

)((q̃ − p)2 +M2

) (3.14)Η συνάρτηση δέλτα στην πιο πάνω σχέση δείχνει ότι οι δύο εξωτερικές ορμές του

διαγράμματος ισούνται, όπως και θα αναμέναμε, αφού η ολική ορμή που "εισέρχεται"

πρέπει να ισούται με αυτή που "εξέρχεται". Τελικά έχουμε:


2K−1l′m =

∫d4pd4q

(2π)8eiq(n−m)(

q̃2 +M2)2(

p̃2 +M2)(

(p̃− q)2 +M2)

=

(∫ π−πd4q

eiq(n−m)

(q̃2 +M2)2

)(∫ π−πd4p

1

(p̃2 +M2)((p̃− q)2 +M2)

) (3.15)

Η πρώτη παρένθεση είναι κοινή σε όλα τα διαγράμματα του διαδότη Klein-Gordon,

σε οποιαδήποτε τάξη της θεωρίας διαταραχών και να βρίσκονται. Αντίστοιχα, στη

θεωρία της QCD στο πλέγμα, θα συναντούσαμε ένα φερμιονικό ή ένα γκλουονικό

διαδότη για καθένα από τα πεδία που εμπλέκονται στον ορισμό της αντίστοιχης

συνάρτησης Green. Σχηματικά, αναπαριστώνται σαν τα άκρα των διαγραμμάτων,

που καταλήγουν στα εξωτερικά σημεία του πλέγματος. Η δεύτερη παρένθεση είναι

η μαθηματική αναπαράσταση στον χώρο των ορμών του ακρωτηριασμένου

διαγράμματος (του διαγράμματος δηλαδή, χωρίς τα εξωτερικά του άκρα). Η

έκφραση αυτή παρατηρούμε ότι εξαρτάται μόνο από την εξωτερική ορμή q.

Γενικότερα ενδιαφερόμαστε για τα ακρωτηριασμένα διαγράμματα, για λόγους που

θα εξηγήσω στο επόμενο υποκεφάλαιο.

Γραφικά, η διατήρηση της ορμής παρουσιάζεται στο διάγραμμα 3.4. Είναι σημαντικό

να σημειωθεί ότι οι εσωτερικές γραμμές των διαγραμμάτων (σε όποια θεωρία και να

βρισκόμαστε) τυπικά αφορούν σωματίδια με μη φυσικές ορμές (o�-shell, p2 6= m2),ενώ για τις εξωτερικές γραμμές συχνά ενδιαφέρει η επιλογή φυσικών τιμών για τις

ορμές (on-shell, q2 = m2).

Παρατηρώντας την τελική έκφραση (3.15), παρατηρούμε ότι για θεωρίες στις οποίες

ισχύει M = 0 παρουσιάζεται "υπεριώδης ανωμαλία", δηλαδή απειρισμός για

μηδενικές τιμές της ορμής p.


Σχήμα 3.4: Διατήρηση της ορμής για το υπό μελέτη διάγραμμα

3.2 Διαταρακτική Μελέτη της QCD στο

Πλέγμα

Προτού προχωρήσουμε στη διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής

στο πλέγμα είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι παρόλο που εμφανίζονται

περισσότερες κορυφές αλληλεπίδρασης όταν μελετάμε στο πλέγμα διαταρακτικά τη

QCD από τις κορυφές που εμφανίζονται όταν τη μελετάμε διαταρακτικά στο

συνεχές, εντούτοις η διαταρακτική μελέτη της QCD στο πλέγμα είναι πολύ χρήσιμη.

Eίναι θεμιτό να υπολογιστούν οι παραμέτροι διαταρακτικά και να υπάρξει σύγκριση

με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις προσομοιώσεις.

Προφανώς για τη διαταρακτική μελέτη υποθέτουμε g0 → 0 δηλαδή υποθέτουμεασθενείς αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα quarks.

Καταρχάς παραθέτω τη δράση της QCD στο πλέγμα:

Sgl =2

g20tr∑n,µ,νµ


η οποία βρέθηκε στο υποκεφάλαιο 2.5 στο οποίο και εξηγούνται τα διάφορα μεγέθη

που φαίνονται πιο πάνω. Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι ο πρώτος όρος μηδενίζεται

για πολύ μικρές τιμές της σταθεράς σύζευξης. Στην πραγματικότητα, αν κάνω

ανάπτυγμα ως προς τη σταθερά σύζευξης g0 στον συγκεκριμένο όρο, θα

παρατηρήσω ότι αποφεύγονται οι απειρισμοί.

Τώρα, ο όρος e−Sgl βρίσκεται στη συνάρτηση Green που επιθυμούμε να

υπολογίσουμε. Κάνοντας ανάπτυγμα Taylor ως προς τη σταθερά σύζευξης θα

προκύψει το εξής:

Sgl ≈ g00S(2) + g0S(3) + g20S(4) + ... (3.17)

όπου οι δείκτες ψηλά υποδηλώνουν την τάξη ως προς τα πεδία π.χ. ο δείκτης (3)

υποδηλώνει τρία πεδία. Οπότε, ουσιαστικά ο όρος με μηδενική δύναμη ως προς τη

σταθερά σύζευξης, δίνει τους διαδότες των πεδίων (φερμιονίων και γκλουονίων).

Φυσικά όπως διαφαίνεται και από τη δράση της QCD στο πλέγμα, είναι απαραίτητο

στις κορυφές που υπάρχουν, όποτε εμφανίζεται ο σπίνορας ψ, να εμφανίζεται και ο

σπίνορας ψ̄, δηλαδή σωματίδιο-αντισωματίδιο δημιουργούν ζεύγη. Σε κάθε κορυφή

είναι πιθανό να εμφανιστεί μόνο ένα ζεύγος σωματιδίου-αντισωματιδίου με τα

υπόλοιπα πεδία, που αποτελούν την κορυφή, να είναι γκλουονικά. Τέλος, αν δούμε

όλους τους όρους που προκύπτουν παρατηρούμε ότι συνολικά υπάρχουν άπειρες

κορυφές που περιέχουν μόνο γκλουόνια. Συγκεκριμενοποιώντας, βλέπουμε ότι

υπάρχουν κορυφές αλληλεπίδρασης τριών γκλουονίων, τεσσάρων γκλουονίων μέχρι

άπειρων γκλουονίων. Επίσης, κορυφές αλληλεπίδρασης ενός ζεύγους φερμιονίου,

αντι-φερμιονίου με ένα γκλουόνιο, δύο γκλουόνια ή και άπειρα γκλουόνια.

Σημειώνουμε ότι, αν αναπτύσσαμε το εκθετικό της δράσης του συνεχούς με τον

ίδιο τρόπο, θα προέκυπταν πεπερασμένες κορυφές. Συγκεκριμένα, θα είχαμε ένα

γκλουονικό διαδότη, ένα φερμιονικό διαδότη, μια κορυφή με τρία γκλουόνι

h kr—simh m‹za tou gluino - ucyucyweb.ucy.ac.cy/phy/documents/documents/theses/...yang-mills sto...

Documents