file · web viewmodel soal olimpiade tingkat sma. soal. diberikan (10000000032341172) 2...

Model Soal Olimpiade Tingkat SMA

SOAL

1. Diberikan(10000000032341172)2=100000000 64 abc3441045951406333584 berapakah

nilai a.b.c?

a. 72

b. 48

c. 96

d. 144

e. 64

2. Diketahui ∑i=1

11

( 3+3k i )=77 dan ∑i=1

7

k i=12, tentukanlah nilai dari ∑i=8

11

( 3+3 k i )!

a. 21

b. 20

c. 203

d. 233

e. 223

3. Diketahui (x+1)2 membagi habis ax4+bx3+1. Tentukan nilai ab !

a. 16

b. 15

c. 14

d. 9

e. 12

4. Untuk x∈ R yang memenuhi sec x−tan x=2, tentukan nilai sec x+ tan x!

a. 12

b. 13

c. 14

d. 18

1Babak Penyisihan SMA Se-Bali, UMC V Tahun 2013

e. 19

5. Jika akar-akar dari persamaan x2−px+2013=0 adalah sin 2π11

dancos 2π11 , maka nilai dari

p2 = … ?

a. 4023

b. 4024

c. 4025

d. 4026

e. 4027

6. Tentukan nilai dari sin 18 °sin 54 °!

a. −12

b. −13

c. 14

d. 16

e. 18

7. Diberikan a⃗=3 i+ j+2 k dan b⃗=i−2 j−4 k adalah posisi vektor dari titik-titik P dan Q.

Berapakah jarak dari titik (−1,1,1) ke bidang yang melalui titik Q dan tegak lurus garis PQ?

a. 3

b. 5

c. 6

d. 8

e. 9

8. Andaikan w=x2 y+ y+xz , dengan x=cosθ , y=sin θ dan z=θ2. Tentukan dwdθ dan hitung

nilainya di θ=π3 !

a. 18−π2 √2

18+ π

3


b. 18−π2 √3

16+ π

3

c. 14+ π2√3

14−π

3

d. −14

+ π2√216

+ π3

e. −18

−π2 √318

+ π3

9. Ada berapa banyak himpunan bagian dari himpunan X={1 , 2, 3 , ⋅⋅ ⋅ , 20 } yang terdiri dari 3

elemen dan memenuhi bahwa hasil kali ketiga elemen pada himpunan bagian tersebut habis

dibagi 4 ?

a. 120

b. 225

c. 795

d. 1140

e. 1485

10. Sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek saat pukul 20.13 adalah

…o

a. 167,5

b. 168,5

c. 169,5

d. 170,5

e. 171,5

11. Rusuk TA,TB,TC pada bidang empat T.ABC saling tegak lurus pada T.

AB=BC=2√2 dan AT=2. Jika a adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka

tan a=⋯

a. √2

b. √3

c. √22

d. √32

e. √62


F

B D C

E

A

12. Pada gambar di bawah ini, panjang AE=23

x, EC=32

y dan DC=2 BD. Perbandingan

panjang BF dan FE dinyatakan dalam bentuk x dan y adalah …

a. 4 x+9 y8x

b. 8 x+4 y9x

c. 4 x+8 y9x

d. 9 x+4 y8 y

e. 8 x+4 y9x

13. Persamaan kuadrat dimana akar-akarnya 3 lebih besar dari akar-akar persamaan

x2+ px+1=0 tetapi 4 lebih kecil dari akar-akar persamaan 2 x2−3 x+q=0 adalah …

a. 2 x2+13 x−55=0

b. 2 x2+14 x+58=0

c. 2 x2+13 x+58=0

d. 2 x2+13 x+55=0

e. 2 x2+14 x+59=0

14. Suatu kelas memiliki jumlah siswa antara 15 sampai dengan 40 dan 14 dari jumlah siswa

tersebut tahu cara bermain monopoli. Pada hari sabtu, 7 siswa harus absen karena mengikuti

UMC. Jika pada hari itu, 15 dari siswa yang hadir tahu cara bermain monopoli, maka jumlah

siswa yang tahu cara bermain monopoli dan hadir di kelas pada hari sabtu adalah …

a. 2

b. 6

c. 9

d. 8


e. 10

15. Tentukan penyelesaian dari |3 a−2013|>2010 !

a. a<1

b. a>1

c. a<1 atau a>1341

d. −1<a<1

e. −1341<a<1

16. Tentukan nilai eksak untuk tan1 ° . tan 2° . tan 3° . …. tan 89 ° !

a. 14

b. 1

c. 54

d. 2

e. ∞

17. Diberikan segitiga ABC dengan keliling 6 dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 20.

Jika panjang jari-jari lingkaran luarnya sama dengan 2, maka jumlah ketiga garis tinggi dari

segitiga ABC tersebut adalah …

a. 2

b. 3

c. 12

d. 8

e. 6

18. Jika keliling persegi pada gambar adalah 32 cm dan jari-jari 2 lingkaran kecil adalah masing-

masing 2cm, maka tentukan keliling lingkaran besar!


C

D

E

B

A

a. ( 4√2−4 ) π cm

b. ( 4√2+4 ) π cm

c. (2√2−4 ) π cm

d. (2√2+4 ) π cm

e. (√2−4 ) π cm

19. Rasionalkanlah bentuk akar berikut ini 1

3√3−3√4 !

a. −( 3√9+ 3√12+ 3√16)

b. −( 3√4+ 3√6+ 3√9)

c. 3√4+ 3√6+ 3√9

d. 3√9+ 3√12+ 3√16

e. −( 3√16+ 3√21+ 3√24)

20. 20 tim mengikuti turnamen basket. Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya.

Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 4, sedangkan yang kalah memperoleh nilai

0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing-masing 1. Di

akhir turnamen, jumlah nilai seluruh tim adalah 714. Banyaknya pertandingan yang berakhir

seri adalah …

a. 20

b. 25

c. 32

d. 23

e. 30

21. Perhatikan gambar berikut ini !


Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB=60. Melalui A dan B berturut-turut ditarik

tali busur AD dan BE yang berpotongan di titik C. Jika AC=3 AD dan BC=4 BE, maka luas

segitiga ABC adalah… satuan luas

a. 2160

b. 3600

c. 1800

d. 3720

e. 1980

22. Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi, radiusnya bertambah pada

laju 0,2 sentimeter per jam dan tingginya bertambah pada laju 0,5 sentimeter per jam.

Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan

10 sentimeter dan tinggi sama dengan 100 sentimeter!

a. 50 π cm2

jam

b. 58 π cm2

jam

c. 64 π cm2

jam

d. 67 π cm2

jam

e. 70 π cm2

jam

23. Hitunglah ∫ x2+5 x+8(x−3)( x+5)2 dx !

a. 12

ln|x−3|+ 12

ln|x+5|+ 1x+5

+C

b. 15

ln|x−3|+ 15

ln|x+5|+ 1x+5

+C

c. 17

ln|x−3|+ 17

ln|x+5|+ 1x+5

+C

d. 12

ln|x−3|+ 15

ln|x+5|+ 1x+5

+C

e. 15

ln|x−3|+ 18

ln|x+5|+ 1x+5

+C


24. Dua dadu memiliki angka 1 sampai 6 yang dapat dilepas dari dadu. Kedua belas angka

tersebut dilepas dari dadu dan dimasukkan ke dalam suatu kantong. Secara acak diambil

satu angka dan dipasangkan ke salah satu dari kedua dadu tersebut. Setelah semua angka

terpasangkan, kedua dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang munculnya angka tujuh

sebagai jumlah dari angka pada bagian atas kedua dadu tersebut adalah …

a. 54297

b. 57297

c. 60297

d. 64297

e. 67297

25. Sebuah dadu dilempar 2 kali. Misalkan a dan b berturut-turut adalah angka yang muncul

pada pelemparan pertama dan kedua. Besarnya peluang terdapat bilangan real x, y dan z

yang memenuhi persamaan x+ y+z=a dan x2+ y2+z2=b sebesar …

a. 833

b. 1233

c. 1336

d. 1736

e. 1936

26. Diketahui jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler di SMA Satya Dharma adalah 100

orang. Jumlah siswa yang mengikuti ekstrakurikuler PMR sebanyak 45 orang, jumlah siswa

yang mengikuti ekstrakurikuler basket sebanyak 25 orang dan jumlah siswa yang mengikuti

ekstrakurikuler matematika sebanyak 50 orang. Selain itu terdapat siswa yang mengikuti

ekstrakurikuler PMR dan matematika yakni sebanyak 20 orang, siswa yang mengikuti

ekstrakurikuler PMR dan basket yakni sebanyak 5 orang dan siswa yang mengikuti

ekstrakurikuler basket dan matematika yakni sebanyak 25 orang. Tentukanlah jumlah siswa

yang hanya mengikuti ekstrakurikuler PMR dan tentukan juga jumlah siswa yang mengikuti

ketiganya!

a. 20 dan 58

Babak Penyisihan SMA Se-Bali, UMC V Tahun 2013

b. 20 dan 15

c. 25 dan 5

d. 25 dan 10

e. 30 dan 15

27. Tentukan nilai dari cos π7−cos 2 π

7+cos 3 π

7 !

a. −12

b. 0

c. 12

d. −14

e. 14

28. Jika,

(1−tan2 x22013 )(1− tan2 x

22012 )… (1− tan2 x2 )=22013 . 1

3 √3 . tan x22013

Maka cos2 x adalah …

a. −12

b. 13 √3

c. √3

d. −13 √3

e. 12

29. Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh parabola – parabola berikut ini, y2=3 qx dan

x2=3qy !

a. √6 q satuan luas

b. √3 q satuan luas

c. 9q2 satuan luas


d. 6q2 satuan luas

e. 3q2 satuan luas

30. Diketahui limit fungsi trigonometri yaitu sebagai berikut :

limx→

π4

cos 2x

x−π4

Nilai limit fungsi trigonometri di atas adalah …

a. 1

b. 0

c. -1

d. -2

e. -3

PENYELESAIAN

1. Dik : (10000000032341172)2=100000000 64 abc3441045951406333584

Dit : abc=…?

Hit :

(10000000032341172)2=(1016+32341172)2

(10000000032341172)2=1032+2.32341172 .1016+(32341172)2

(10000000032341172)2=1032+64682344.1016+(32341172)2

(10000000032341172)2=10000000064682344000…000+(32341172)2

Dari hasil di atas maka diperoleh :

a .b . c=6.8 .2=96

Jawaban : C


16 digit Max 16 digit

2. Dik : ∑i=1

11

( 3+3 k i )=77

∑i=1

7

k i=12

Dit :∑i=8

11

( 3+3 k i )=…?

Hit :

∑i=1

11

( 3+3k i )=77

∑i=1

11

3+3∑i=1

11

k i=77

3.11+3∑i=1

11

k i=77

33+3∑i=1

11

k i=77

∑i=1

11

k i=443

Selanjutnya :

∑i=8

11

( 3+3k i )=∑i=8

11

3+3∑i=8

11

k i

∑i=8

11

( 3+3k i )=∑i=1

11

3−¿∑i=1

7

3+3¿¿¿

∑i=8

11

( 3+3k i )=3.11−3.7+3(443

−12)∑i=8

11

( 3+3k i )=20

Jawaban : B

3. Dik : (x+1)2 membagi habis ax4+bx3+1

Dit : ab=…?

Hit :

Perhatikan bahwa (x+1)2 membagi habis ax4+bx3+1, maka

ax4+bx3+1=x2+2 x+1(cx2+dx+1), yang paling mungkin

Sehingga :

ax4+bx3+1=ax4+bx3+0 x2+0x+1

x2+2 x+1 (cx2+dx+1 )=cx4+(2 c+d )x3+(2d+c+1)x2+(d+2 ) x+1

Maka diperoleh :

a=c

b=2 c+d

0=2 d+c+1


0=d+2

d=−2

c=3

b=4

a=3

Dari hasil di atas maka diperoleh ab=3.4=12

Jawaban : E

4. Dit : sec x+ tan x=…?

Hit :

sec x−tan x=2

1cos x

− sin xcos x

=2

1−sin xcos x

=2

( 1−sin xcos x )(1+sin x

1+sin x )=2

1−sin2 xcos x (1+sin x)

=2

cos2 xcos x (1+sin x)

=2

cos x1+sin x

=2

1+sin xcos x

=12

1cos x

+ sin xcos x

=12

sec x+ tan x=12

Jawaban : A

5. Dik : persamaan x2−px+2013=0

Akar-akarnya adalah sin 2 π11

dancos 2 π11 , maka nilai dari p2 = … ?

Dit : p2 = … ?

Hit :

Misal,

x1=sin 2 π11

dan x2=cos 2π11

x1+ x2=−ba

=p


x1 . x2=ca=2013

(x¿¿1+x2)2=x1

2+x22+2(x1 . x2)¿

p2=sin2 2 π11

+cos2 2 π11

+2.2013

p2=1+4026

p2=4027

Jawaban : E

6. Dit : sin 18 °sin 54 °=…?

Hit :

sin 18 °sin 54 °=sin 18° sin 54 °( 2cos18°2cos18° )

sin 18 °sin 54 °=2sin 18 °cos18 ° sin 54 °2cos18°

sin 18 °sin 54 °=sin 2(18 ° )sin 54 °2cos18 °

sin 18 °sin 54 °=sin 36 ° sin 54 °2cos18°

sin 18 °sin 54 °=sin 36 ° sin(90 °−36°)2 cos18°

sin 18 °sin 54 °=sin 36 ° cos36 °2 cos18 °

sin 18 °sin 54 °=12

sin (36 °+36 °¿)2cos18 °

¿

sin 18 °sin 54 °=

12

sin 72 °

2cos18 °

sin 18 °sin 54 °=

12

sin72 °

2 cos (90 °−72 °)

sin 18 °sin 54 °=

12

sin 72 °

2 sin72 °

sin 18 °sin 54 °=14

Jawaban : C

7. Dik : a⃗=3 i+ j+2 k dan b⃗=i−2 j−4k

Dit : jarak dari titik (−1,1,1) ke bidang yang melalui titik Q dan tegak lurus garis PQ

Hit :

QP=a⃗−b⃗

QP=(3−1 )i+(1+2 ) j+(2+4)k

QP=2 i+3 j+6k13

Babak Penyisihan SMA Se-Bali, UMC V Tahun 2013

Sebarang titik R pada bidang V memiliki radius vektor :

r=xi+ yj+zk

QR=r⃗−b⃗

QR=( x−1 ) i+ ( y+2 ) j+(z+4 )k

QP + QR

Maka,

( r⃗−b⃗ ) . (a⃗−b⃗ )=0

[ ( x−1 )i+ ( y+2 ) j+(z+4)k ] . (2i+3 j+6 k )=0

2 ( x−1 )+3 ( y+2 )+6 ( z+4 )=0

2 x+3 y+6 z+28=0

Jarak titik (−1,1,1) ke bidang 2 x+3 y+6 z+28=0

Diberikan oleh :

d=2 (−1 )+3 (1 )+6 (1 )+28

√22+32+62

d=−2+3+6+28√49

=357

=5

Jawaban : B

8. Dik :w=x2 y+ y+xz ,dengan x=co sθ , y=si nθ dan z=θ2

Dit : dwdθ dan nilainya di (θ=π

3) = …?

Hit :

dwdθ

=dwdx

. dxdθ

+ dwdy

. dydθ

+ dwdz

. dzdθ

dwdθ

=(2 xy+z ) (−sin θ )+ ( x2+1 ) (cosθ )+ ( x )(2θ)

dwdθ

=(2 cosθ . sin θ+θ2 ) (−sin θ )+( cos2 θ+1 ) (cosθ )+(cos θ )(2 θ)

dwdθ

=−2 cosθ . sin2 θ−θ2 . sin θ+cos2θ+cosθ+2 θ .cos θ

Pada θ=π3=60 °

dwdθ

=−2 cos π3

. sin2 π3−( π

3 )2

. sin π3+cos2 π

3+cos π

3+2 π

3.cos π

3


dwdθ

=−2. 12

.( 12 √3)

2

−π2

9. 1

2 √3+( 12 )

3

+ 12+ 2 π

3. 12

dwdθ

=−34

− π2

18 √3+ 18+ 1

2+ π

3

dwdθ

=−18

− π2

18 √3+ π3

Jawaban : E

9. Dik : X={1 , 2, 3 , ⋅⋅⋅ , 20 }

Dit : banyak himpunan bagian dari himpunan X yang terdiri dari 3 elemen dan

memenuhi bahwa hasil kali ketiga elemen pada himpunan bagian tersebut habis dibagi

4=…?

Hit :

Banyaknya himpunan bagian 3 elemen = C320= 1140

Agar hasil kali ketiga elemen tersebut tidak habis dibagi 4, maka kemungkinannya

adalah :

Ketiga elemen tersebut adalah bilangan ganjil

Banyaknya himpunan bagian dapat dibuat adalah = C310= 120

Dua dari 3 elemen tersebut bilangan ganjil sedangkan satu lagi adalah bilangan genap yang

tidak habis dibagi 4.

Bilangan genap yang tidak habis dibagi 4 ada 5.

Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat adalah = C210 5 = 225 ⋅

Banyaknya himpunan bagian yang hasil kali ketiga elemennya habis dibagi 4 adalah

1140 − 120 − 225 = 795.

Jawaban : C

10. Dit : Sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek saat pukul

20.13 = …?

Hit :

20.13 = 8.13

a °=|n jam .30°−mmenit .5,5 °|=|8.30 °−13.5,5 °|=|240 °−71,5°|=|168,5 °|=168,5 °

Jawaban : E

11. Dik : TA, TB, TC pada bidang empat T.ABC saling tegak lurus pada T

AB=BC=2√2 dan AT=2

Dit : Jika a adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka


2

C

D

B

A

T

tan a=⋯

Hit :

AB=AC=2√2

AT=2

Rusuk TA ⊥TB⊥TC

TA ⊥ bidang TBC maka TA ⊥TD

Sehingga △ ATD siku – siku di T

TA ⊥TB⟹ TB = √ AB2−AT 2

= √ (2√2 )2−22

= 2

TC = TB = 2

BC=√TB2−TC 2=¿√22−22=2√2¿

BD=12

BC=12(2√2)=√2

TD=√TB2−BD2=√4−2=√2

Perhatikan △ ATD

tan a= ATTD

= 2√2

=√2

tan a=√2

Jawaban : A

12. Dik : panjang AE=23

x, EC=32

y

DC=2 BD


F

B DC

E

A

Dit : Perbandingan panjang BF dan FE dalam bentuk x dan y=…?

Hit :

Definisikan [ ABC ] sebagai luas segitiga ABC.

Catatan : dua segitiga yang memiliki tinggi sama maka perbandingan luas kedua segitiga

tersebut sama dengan perbandingan alasnya. Perhatikan gambar berikut !

Karena DC=2 BD diperoleh [ ACD ]=2 [ ABD ] dan [ CDF ]=2 [ BDF ]. Perhatikan juga bahwa :

[ ACF ]=[ ACD ]−[ CDF ]=2 [ ABD ]−2 [ BDF ]=2 [ ABF ]

Selain itu, karena AE=23

x dan CE=32

y berakibat [ AEF ][ CEF ]

=

23

x

32

y equivalen dengan :

[ AEF ][ CEF ]

=

23

x

23

x+ 32

y

[ AEF ][ CEF ]

= 4 x4 x+9 y

[ AEF ]2 [ ABF ]

= 4 x4 x+9 y

[ AEF ][ ABF ]

= 8x4 x+9 y

Oleh karena itu :

BFFE

[ ABF ][ AEF ]

=4 x+9 y8x

Jawaban : A

13. Dik : x2+ px+1=0 dan2 x2−3 x+q=0

Dit : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 lebih besar dari akar-akar persamaan

x2+ px+1=0 tetapi 4 lebih kecil dari akar-akar persamaan 2 x2−3 x+q=0 = …?

Hit :

Misalkan persamaan kuadrat yang diinginkan memiliki akar a dan b sebagaimana berikut:

x2−(a+b ) x+ab=0

Sehingga :


Jika akar-akarnya 3 lebih besar dari x2+ px+1=0 dan pers x2+ px+1=0 memiliki akar

x1dan x2 serta x1+ x2=−p dan x1 . x2=1 maka,

a=x1+3 danb=x2+3 selanjutnya :

a+b=−p+6 … (i)

ab=10−3 p … (ii)

Jika akar-akarnya 4 lebih kecil dari 2 x2−3 x+q=0 dan pers 2 x2−3x+q=0 memiliki akar

x3 dan x4 serta x3+ x4=32

, x3. x4=q2 maka :

a=x3−4 dan b= x4−4 selanjutnya :

a+b=−132 … (iii)

ab=q2+10 … (iv)

Dari ke empat persamaan di atas diperoleh :

a+b=−p+6=−132

p=252 … (v)

Selanjutnya a+b=−132

Dan untuk q diperoleh dari persamaan v disubstitusikan ke persamaan ii

10−3 p=q2+10

q=−75

Selanjutnya ab=−552

Sehingga persamaan kuadrat barunya :

x2−(a+b ) x+ab=0

x2+ 132

x−552

=0

2 x2+13 x−55=0

Jawaban : A

14. Dik : Jumlah siswa = antara 15 sampai dengan 40

Yang tahu cara bermain monopoli = 14 jumlah siswa

Jumlah siswa yang absen pada hari sabtu = 7 siswa


Yang tahu cara bermain monopoli pada hari sabtu = 15 jumlah siswa yang

hadir pada hari sabtu

Dit : Jumlah siswa yang tahu cara bermain monopoli dan hadir di kelas pada

hari sabtu = … ?

Hit :

Misalkan x adalah jumlah seluruh siswa, maka 15 ≤ x ≤ 40

Siswa yang tahu cara bermain monopoli seluruhnya adalah 14 nya sehingga jumlahnya adalah

154

≤ x≤ 10

Pada hari sabtu, 7 siswa absen dan total siswa menjadi 8 ≤ x−7≤33 dan 15nya tahu cara

bermain monopoli. Sehingga pada hari sabtu, jumlah siswa yang masuk dan tahu cara

bermain monopoli adalah

15(8≤ x−7≤ 33) atau

85

≤ x−75

≤ 335

→1 35

≤ x−75

≤6 35

Jadi pilihan yang tepat atau memungkinkan adalah 6

Jawaban : B

15. Dik : |3a−2013|>2010

Dit : Penyelesaian dari |3 a−2013|>2010 = … ?

Hit :

|3 a−2013|={(3 a−2013)>2010(3a−2013 )←2010

Untuk persamaan 1

3 a−2013>2010

3 a>4023

a>1341

Untuk persamaan 2

3a−2013←2010

3 a<3

a<1

Jadi penyelesainnya adalah a<1atau a>1341

Jawaban : C

16. Dit : tan1 ° . tan 2° . tan 3° . …. tan 89 °=…?


A B

C

t1

t3

t2

b a

c

Hit :

Perhatikan bahwa

tan (1 °+89 ° )=tan 90°

tan 1°+ tan 90 °1−tan1° tan 90 °

=∞

tan 1°+ tan 90 °∞

=1−tan1 ° tan 90 °

0=1−tan1° tan 90 °

tan1 ° tan 90 °=1

Begitu pula untuk :

tan2 ° tan 88°=1

tan3 ° tan 87 °=1

tan 4° tan 86 °=1

dst

sehingga

tan1 ° . tan 2° . tan 3° .…. tan 89 °=1

Jawaban : B

17. Dik : keliling segitiga ABC = 6

Jumlah kuadrat sisi-sisinya = 20

Panjang jari-jari lingkaran luar = 2

Dit : Jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC = … ?

Hit :

Perhatikan gambar di bawah ini !

Misalkan sisi-sisi segitiga tersebut adalah a,b,c maka diperoleh :

a+b+c=6dan a2+b2+c2=20

Selain itu kita memiliki identitas :

(a+b+c )2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac )


T

V

UP

R

S

Sehingga diperoleh :

62=20+2(ab+bc+ac)

36−20=2(ab+bc+ac )

16=2(ab+bc+ac)

8=ab+bc+ac

Misalkan pula R adalah jari-jari lingkaran luar dari segitiga ABC, maka diketahui R = 2. Dari

aturan sinus diperoleh :

asin A

+ bsin B

+ csin C

=2 R=4

Oleh karena itu, jika t 1 , t 2 , t 3 berturut-turut adalah garis tinggi yang ditarik dari titik C, A, B

maka didapatkan :

t 1+ t2+t 3=b . sin A+c .sin B+a . sin C

t 1+ t2+t 3=b . a4+c . b

4+a . c

4

t 1+ t2+t 3=14(ab+bc+ac)

t 1+ t2+t 3=14

.8=2

Jawaban : A

18. Dik : Keliling persegi = 32 cm

Jari-jari 2 lingkaran kecil = masing-masing 2 cm

Dit : keliling lingkaran besar = … ?

Hit : Jika kita tarik garis diagonal seperti gambar di bawah ini, maka

Jarak PQ=√ PV 2+PQ2=√22+22=2√2

(ingat, jari-jari lingkaran kecil = QR = QV = QU = PV = 2 cm)


Sehingga jarak jarak PR=ST=2+2√2cm. Karena keliling persegi sama dengan 32 cm,

maka panjang sisinya adalah 8 cm dan panjang diagonal persegi sama dengan

PT=√82+82=√128=8√2cm.

Selanjutnya panjang RS dapat kita tentukan dengan :

RS=PT−PR−ST

RS=PT −2 PR

RS=8√2−2(2+2√2)

RS=8√2−4−4√2

RS=4√2−4 cm

Selanjutnya keliling lingkaran besar adalah πd=π .RS=(4√2−4)π cm

Jawaban : A

19. Dit : 1

3√3−3√4 dapat dirasionalkan menjadi = … ?

Hit :

13√3−3√4

x3√9+ 3√12+ 3√163√9+ 3√12+ 3√16

=3√9+ 3√12+ 3√16

3−4=−( 3√9+ 3√12+ 3√16)

Jawaban : A

20. Dik : Banyak tim basket = 20 tim

Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya

Skor menang = 4

Skor kalah = 0

Skor seri = 1 (untuk masing-masing tim)

Jumlah nilai seluruh tim di akhir turnamen = 714

Dit : Banyaknya pertandingan yang berakhir seri = … ?

Hit :

banyaknya pertandingan :

C220= 20!

2 ! .18 !=190

Jumlah skor menang dan kalah = 4 + 0 = 4

Jumlah skor seri = 1 + 1 = 2

Misalkan banyaknya pertandingan seri=x maka banyaknya pertandingan menang dan kalah

adalah 190− x, sehingga :


C

D

E

B

A

4 (190−x )+2 x=714

760−4 x+2 x=714

−2 x=−46

x=23

Jawaban : D

21. Dik : diameter (AB) = 60

AC = 3AD

BC = 4BE

Dit : Luas segitiga ABC = … ?

Hit : Gambar,

Perhatikan bahwa ∠ ADB=∠CDB=∠ AEB=∠AEC=90 °. Misal, AD = x dan BE = y

maka AC = 3x, CD 2x, BC = 4y dan CE = 3y. dengan teorema phytagoras pada segitiga

ABD dan segitiga BCD diperoleh :

602−x2=(4 y)2−(2 x)2

3600−x2=16 y2−4 x2

3600=16 y2−3 x2

Demikian pula dengan teorema phytagoras pada segitiga ABE dan segitiga ACE diperoleh :

602− y2=(3 x )2−(3 y )2

3600− y2=9 x2−9 y2

3600=9 x2−8 y2

Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas didapat :

16 y2−3 x2=9 x2−8 y2

24 y2=12 x2

2 y2=x2

Sehingga kita peroleh :

3600=16 y2−3 x2

3600=16 y2−6 y2

3600=10 y2

360= y2


√360= y

Oleh karena itu,

AE2=AB2−BE2

AE2=602− y2

AE2=3600−360

AE2=3240

AE=√3240=18√10

Luas segitiga ABC adalah

L=12

. BC . AE

L=12

.4 y .18√10

L=12

.4 √360 .18√10

L=2.6 √10 .18√10

L=2.6 .18 .10=2160

Jawaban : A

22. Dik : radius bertambah pada laju 0,2 sentimeter per jam

Tinggi bertambah pada laju 0,5 sentimeter per jam

Dit : laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu saat

(r = 10 cm dan h = 100 cm) = … ?

Hit :

Rumus luas permukaan tabung :

S=2πrh+2 π r2

dSdt

=dSdr

. drdt

+ dSdh

. dhdt

dSdt

= (2 πh+4 πr ) (0,2 )+(2πr )(0,5)

Pada r = 10 dan h = 100

dSdt

= (2 π .100+4 π .10 ) (0,2 )+(2 π .10 )(0,5)

dSdt

= (200 π+40π ) (0,2 )+ (20π )(0,5)

dSdt

= (240 π ) (0,2 )+10 π


dSdt

=48 π+10 π=58 π cm2

jam

Jawaban : B

23. Dit : ∫ x2+5 x+8(x−3)( x+5)2 dx = …?

Hit :

∫ x2+5 x+8( x−3 ) ( x+5 )2

dx≡ Ax−3

+ Bx+5

+ C( x+5 )2

Jadi,

x2+5x+8≡ A (x+5)2+B ( x−3 ) ( x+5 )+C (x−3)

Koefisien x2 : 1=A+B

Koefisien x : 5=10 A+2 B+C

Konstanta : 8=25 A−15 B−3C

Kita peroleh A=12

, B=12

,C=−1

Jadi,

∫ x2+5x+8(x−3)( x+5)2 dx=1

2∫1

x−3dx+ 1

2∫1

x+5dx−∫ 1

(x+5)2 dx

∫ x2+5 x+8(x−3)( x+5)2 dx=1

2ln|x−3|+ 1

2ln|x+5|+ 1

x+5+c

Jawaban : A

24. Dit : peluang munculnya angka tujuh sebagai jumlah dari angka pada bagian atas

kedua dadu tersebut adalah … ?

Hit :

Misalkan angka-angka pada dadu I adalah 1,2,3,4,5,6 dan angka-angka pada dadu II adalah

1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6. Pada proses ini biasa kita anggap kita memasangkan angka pada dadu I

terlebih dahulu setelah itu dadu II dipasangkan dengan 6 angka sisanya. Oleh karena itu

banyaknya pasangan dadu yang bias dibentuk adalah C 126

=924. Sedangkan jumlah 7 bisa

diperoleh jika angka yang ada di bagian atas adalah (1 , 6 ) , (2 ,5 ) , (3 , 4 ) , (5 ,2 ) ,(6 ,1). Kita

selidiki untuk kasus (1 , 6 ) atau(6 ,1). Sedangkan untuk dua kasus lainnya identik dengan

kasus ini. Perhatikan kemungkinan distribusi angka-angka 1,6 , 1 ,6 yang bisa menghasilkan

jumlah 7 adalah sebagai berikut :

a. Dadu I memiliki salah satu dari angka-angka 1,6 , 1 ,6


Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah C 41

. C 85=224.

Sedangkan untuk masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah 2

36 .

Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu 224924

. 236

= 4297

b. Dadu II memiliki dua angka dari 1,6 ,1 ,6

Jika dua angka tersebut adalah (1,6 ) , (1 ,6 ) , (1 ,6 ) atau(1, 6) maka banyaknya

kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah 4. C 84=280. Sedangkan untuk

masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah 2

36 . Jadi, untuk kasus ini

total peluang muncul jumlah 7 yaitu 280924

. 236

= 5297

Jika dua angka tersebut adalah (1 ,1 )atau(6 , 6) maka banyaknya kemungkinan pasangan

dadu yang bisa dibentuk adalah 4.C 84=140. Sedangkan untuk masing-masing

kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah 4

36 . Jadi, untuk kasus ini total peluang

muncul jumlah 7 yaitu 140924

. 436

= 5297

c. Dadu I memiliki tiga angka dari 1,6 ,1 ,6

Banyaknya kemungkinan pasangan dadu yang bisa dibentuk adalah C 43

. C 83=224.

Sedangkan untuk masing-masing kemungkinan peluang muncul jumlah 7 adalah 2

36 .

Jadi, untuk kasus ini total peluang muncul jumlah 7 yaitu 224924

. 236

= 4297

Oleh karena itu peluang muncul jumlah 7 yang diperoleh dari pasangan (1 , 6 ) atau(6 ,1)

adalah 4

297+ 5

297+ 5

297+ 4

297= 18

297 . Jadi, total peluang muncul angka 7 adalah 3. 18297

= 54297

Jawaban : A

25. Dit : peluang terdapat bilangan real x, y dan z yang memenuhi persamaan x+ y+z=a

dan x2+ y2+z2=b sebesar …?

Hit :

x= y+z=a dan x2+ y2+z2=b dengan 1 ≤ a ,b≤ 6 serta a ,b∈ N

x2+ y2+z2+2 xy+2xz+2 yz=a2

xy+xz+ yz=a2−b2


Berdasarkan ketaksamaan AM-GM didapat :

x2+ y2+z2 ≥ xy+xz+ yz

b ≥ a2−b2

2b≥ a2−b

3 b≥ a2

Jika a=1 maka nilai b yang memenuhi adalah 1,2,3,4,5,6

Jika a=2 maka nilai b yang memenuhi adalah 2,3,4,5,6

Jika a=3 maka nilai b yang memenuhi adalah 3,4,5,6

Jika a=4 maka nilai b yang memenuhi adalah 5,6

Jika a=5 atau 6 maka tidak ada nilai b yang memenuhi

Maka banyaknya pasangan (a,b) yang memenuhi ada 17

Jadi besarnya peluang terdapat bilangan real x,y,z yang memenuhi adalah 1736

Jawaban : D

26. Dik : jumlh siswa = 100 orang

Extra PMR = 45 orang

Extra basket = 25 orang

Extra matematika = 50 orang

Extra PMR & Matematika = 20 orang

Extra PMR & basket = 5 orang

Extra basket & matematika = 25 orang

Dit : hanya ikut extra PMR = … ?

Mengikuti ketiga extra = … ?

Hit :

Dari diagram venn di atas diperoleh :

Jumlah siswa yang hanya mengikuti extrakurikuler PMR adalah 25 orang dan jumlah siswa

yang mengikuti ketiga extrakurikuler adalah 5 orang.


Jawaban : C

27. Dit : cos π7−cos 2 π

7+cos 3 π

7=…?

Hit :

cos π7−cos 2 π

7+cos 3 π

7=(cos π

7−cos 2π

7+cos 3 π

7 )( 2 sin 2 π7

2 sin 2 π7

)cos π

7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

2 cos π7

sin 2 π7

−2cos 2π7

sin 2 π7

+2 cos 3 π7

sin 2 π7

2sin 2 π7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

sin 3 π7

−sin −π7

−(sin 4 π7

−sin 0 π7 )+sin 5 π

7−sin π

7

2 sin 2 π7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

sin 3 π7

+sin π7−sin 4 π

7+0+sin 5π

7−sin π

7

2 sin 2 π7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

sin 3 π7

−sin 4 π7

+sin 5 π7

2sin 2π7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

sin( 7 π7

−4 π7 )−sin 4 π

7+sin (7 π

7−2π

7 )2sin 2π

7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=

sin 4 π7

−sin 4 π7

+sin 2 π7

2sin 2π7

cos π7−cos 2π

7+cos 3π

7=

sin 2 π7

2sin 2 π7

cos π7−cos 2 π

7+cos 3π

7=1

2


Jawaban : C

28. Dik : (1−tan2 x22013 )(1−tan2 x

22012 )… (1−tan2 x2 )=22013 . 1

3 √3 . tan x22013

Dit : cos2 x=…?

Hit :

Dari identitas :

tan2 x= 2 tan x1−tan2 x

1−tan2 x=2 tan xtan 2x

Sehingga :

(1−tan2 x22013 )(1− tan2 x

22012 )… (1− tan2 x2 )=22013 . 1

3 √3 . tan x22013

( 2 tan x22013

tan x22012 )( 2 tan x

22012

tan x22011 )…( 2 tan x

2tan x )=22013 . 1

3 √3. tan x22013

22013 tan x22013

tan x=22013 . 1

3 √3 . tan x22013

1tan x

=13 √3

tan x=√3

sin x=12 √3

Maka,

cos2 x=1−2sin2 x

cos2 x=1−2( 12 √3)

2

cos2 x=1−2. 34=1−3

2=−1

2

Jawaban : A

29. Dik : y2=3qx dan x2=3qy

Dit : Luas bidang yang dibatasi oleh parabola-parabola di atas = … ?

Hit :

Kita cari lebih dulu koordinat titik potong kedua parabola itu.

Dari x2=3qy kita peroleh :


y= x2

3q

Jika nilai y ini dimasukkan dalam y2=3 qx, maka didapat :

x4

9 q2 =3qx ↔ x4=27 q3 x

x4

9 q2 =3qx ↔ x4−27 q3 x=0

x4

9q2 =3qx ↔ x (x3−27 q3)=0

x4

9 q2 =3qx ↔ x=0 atau x=3 q

Titik-titik potongnya adalah O(0,0) dan A (3q,3q)

L=∫0

3 q

√3qx dx−∫0

3q x2

3 qdx

L=√3q [ 23

x32 ]

0

3q

− 13q [1

3x3]0

3 q

L=√3 q [23(3 q)

32− 2

3(0)

32 ]− 1

3 q [13(3 q)3−1

3(0)3 ]

L=√3 q [2q√3q ]− 13q

[9 q3 ]

L=6 q2−3 q2=3 q2

Jawaban : E

30. Dit : limx→ π

4

cos 2 x

x−π4

= … ?

Hit :

Missal y=x−π4 dan x= y+ π

4

Untuk x→ π4 , maka y=0

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

cos(2 y+ π2)

y

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

(cos 2 y . cos π2−sin 2 y .sin π

2)

y

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

(cos 2 y .0−sin 2 y .1)y

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

(0−sin 2 y)y


limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

−sin 2 yy

. 2 y2 y

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=lim

y→ 0

−sin 2 y2 y

. 2 yy

limy → 0

cos 2( y+ π4)

y=−1.2=−2

Jawaban : D


file · web viewmodel soal olimpiade tingkat sma. soal. diberikan (10000000032341172) 2...

Documents