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Guias de ondaProf. Edivaldo Moura Santos
1
24/03/2020
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Revisão da última aula
x
y
za
b
Guia com seção transversal uniforme ao longo de z
2
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Revisão da última aula
x
y
za
b
Guia com seção transversal uniforme ao longo de z
No interior do guia, os campos devem satisfazer as equações de Maxwell sem cargas e correntes. Assumimos que o meio material é o vácuo ou um meio tal que
r ·E = 0
r ·B = 0
r⇥E = �@B
@t
r⇥B =1
c2@E
@t3
µ ' µ0 ✏ ' ✏0
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4
Condições de contorno (1=interior, 2=parede):
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
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5
Condições de contorno (1=interior, 2=parede):
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Para paredes feitas de material condutor perfeito!
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6
Condições de contorno (1=interior, 2=parede):
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Para paredes feitas de material condutor perfeito!
Concluímos então que os campos no interior do guia devem satisfazer nas paredes:
E// = 0 e B? = 0
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7
Condições de contorno (1=interior, 2=parede):
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Para paredes feitas de material condutor perfeito!
Concluímos então que os campos no interior do guia devem satisfazer nas paredes:
E// = 0 e B? = 0
Perceba que as densidades superficiais de carga e corrente responsáveis pelos campos eletromagnéticos no interior do guia são e .�f Kf
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8
Condições de contorno (1=interior, 2=parede):
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Para paredes feitas de material condutor perfeito!
Concluímos então que os campos no interior do guia devem satisfazer nas paredes:
E// = 0 e B? = 0
Perceba que as densidades superficiais de carga e corrente responsáveis pelos campos eletromagnéticos no interior do guia são e .
Essas densidades podem ser obtidas a posteriori
�f Kf
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9
Mostramos também que para ondas harmônicas se propagando da direção z
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t)
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10
Mostramos também que para ondas harmônicas se propagando da direção z
As componentes longitudinais (com respeito eixo do guia) dos campos satisfazem: �r2
? � k2c�Ez = 0
�r2
? � k2c�Bz = 0
onde definiu-se
r2? ⌘ @2
@x2+
@2
@y2k2c ⌘ k2 �
⇣!c
⌘2
r? ⌘ x@
@x+ y
@
@y
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t)
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11
Mostramos também que para ondas harmônicas se propagando da direção z
As componentes longitudinais (com respeito eixo do guia) dos campos satisfazem: �r2
? � k2c�Ez = 0
�r2
? � k2c�Bz = 0
Equações de Helmholtz
onde definiu-se
r2? ⌘ @2
@x2+
@2
@y2k2c ⌘ k2 �
⇣!c
⌘2
r? ⌘ x@
@x+ y
@
@y
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t)
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12
Mostramos também que para ondas harmônicas se propagando da direção z
As componentes longitudinais (com respeito eixo do guia) dos campos satisfazem: �r2
? � k2c�Ez = 0
�r2
? � k2c�Bz = 0
onde definiu-se
r2? ⌘ @2
@x2+
@2
@y2k2c ⌘ k2 �
⇣!c
⌘2
As componentes transversais, por sua vez, podem ser obtidas a partir das longitudinais:
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
B? = � i
k2c
⇣kr?Bz +
!
c2z⇥r?Ez
⌘
r? ⌘ x@
@x+ y
@
@y
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t)
Equações de Helmholtz
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13
Ez = 0 Bz = 0 Modo TEM
Ez = 0 Bz ≠ 0 Modo TE
Ez ≠ 0 Bz = 0 Modo TM
Ez ≠ 0 Bz ≠ 0 Modo híbrido
Classificação de modos
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Modos TE para guias de onda retangularAs equações de Helmholtz foram resolvidas por separação de variáveis
Bz(x, y) = X(x)Y (y)
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15
Modos TE para guias de onda retangularAs equações de Helmholtz foram resolvidas por separação de variáveis
Bz(x, y) = X(x)Y (y)
Aplicando as condições de contorno, temos:
Bz(x, y) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘, m, n = 0, 1, 2, ...
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16
Modos TE para guias de onda retangularAs equações de Helmholtz foram resolvidas por separação de variáveis
Bz(x, y) = X(x)Y (y)
Aplicando as condições de contorno, temos:
Além disso, a relação de dispersão do guia, que sai naturalmente do método de separação de variáveis é:
k =
⇣!c
⌘2�
⇣m⇡
a
⌘2�⇣n⇡
b
⌘2�1/2
(TEmn - guia retangular)
Bz(x, y) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘, m, n = 0, 1, 2, ...
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17
Modos TE para guias de onda retangularAs equações de Helmholtz foram resolvidas por separação de variáveis
Bz(x, y) = X(x)Y (y)
Aplicando as condições de contorno, temos:
Além disso, a relação de dispersão do guia, que sai naturalmente do método de separação de variáveis é:
A relação de dispersão no interior de um guia de onda é diferente daquela do vácuo
k =!
c(vacuo)
k =
⇣!c
⌘2�
⇣m⇡
a
⌘2�⇣n⇡
b
⌘2�1/2
(TEmn - guia retangular)
Bz(x, y) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘, m, n = 0, 1, 2, ...
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18
Perceba que para ω < ωmn :
!mn ⌘ c
⇣m⇡
a
⌘2+
⇣n⇡b
⌘2�1/2
(frequência de corte do modo TEmn)
de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos são exponencialmente atenuados ao longo do eixo do guia.
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19
• Pelo menos um dos índices do par (m, n) desse ser diferente de zero, ou seja, o modo TE00 não se propaga no guia (Exercício 5 - lista 1b).
Perceba que para ω < ωmn :
!mn ⌘ c
⇣m⇡
a
⌘2+
⇣n⇡b
⌘2�1/2
(frequência de corte do modo TEmn)
de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos são exponencialmente atenuados ao longo do eixo do guia.
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20
• Pelo menos um dos índices do par (m, n) desse ser diferente de zero, ou seja, o modo TE00 não se propaga no guia (Exercício 5 - lista 1b).
Perceba que para ω < ωmn :
!mn ⌘ c
⇣m⇡
a
⌘2+
⇣n⇡b
⌘2�1/2
(frequência de corte do modo TEmn)
de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos são exponencialmente atenuados ao longo do eixo do guia.
• Menor frequência de corte de um modo TE do guia retangular:
!10 =c⇡
a
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21
Velocidade de fase x Velocidade de grupoE(r, t) = E0(x, y)e
i(kz�!t) = E0(x, y)ei'(z,t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t) = B0(x, y)e
i'(z,t)
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22
Velocidade de fase x Velocidade de grupo
A velocidade de fase corresponde àquela com que um ponto de fase constante se move ao longo do eixo z:
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t) = E0(x, y)e
i'(z,t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t) = B0(x, y)e
i'(z,t)
@'
@t= 0 = k
dz
dt� ! =) v' =
!
k=
cq1�
�!mn!
�2 > c
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23
Velocidade de fase x Velocidade de grupo
A velocidade de fase corresponde àquela com que um ponto de fase constante se move ao longo do eixo z:
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t) = E0(x, y)e
i'(z,t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t) = B0(x, y)e
i'(z,t)
@'
@t= 0 = k
dz
dt� ! =) v' =
!
k=
cq1�
�!mn!
�2 > c
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24
Velocidade de fase x Velocidade de grupo
A velocidade de fase corresponde àquela com que um ponto de fase constante se move ao longo do eixo z:
Já a velocidade de grupo:
vg =d!
dk=
1
dk/d!= c
r1�
⇣!mn
!
⌘2< c
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t) = E0(x, y)e
i'(z,t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t) = B0(x, y)e
i'(z,t)
@'
@t= 0 = k
dz
dt� ! =) v' =
!
k=
cq1�
�!mn!
�2 > c
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25
Velocidade de fase x Velocidade de grupo
A velocidade de fase corresponde àquela com que um ponto de fase constante se move ao longo do eixo z:
Já a velocidade de grupo:
vg =d!
dk=
1
dk/d!= c
r1�
⇣!mn
!
⌘2< c
E(r, t) = E0(x, y)ei(kz�!t) = E0(x, y)e
i'(z,t)
B(r, t) = B0(x, y)ei(kz�!t) = B0(x, y)e
i'(z,t)
@'
@t= 0 = k
dz
dt� ! =) v' =
!
k=
cq1�
�!mn!
�2 > c
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26
Interpretação geométrica
Frente de onda
Onda plana se propagando ao longo de uma direção que faz um ângulo θ com o eixo z
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27
Interpretação geométrica
Frente de onda
Onda plana se propagando ao longo de uma direção que faz um ângulo θ com o eixo z
As reflexões nas paredes perfeitamente condutoras devem dar origem a ondas estacionárias no plano transversal ao eixo do guia
a = m�x
2= m
⇡
kx
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28
Interpretação geométrica
Frente de onda
Onda plana se propagando ao longo de uma direção que faz um ângulo θ com o eixo z
As reflexões nas paredes perfeitamente condutoras devem dar origem a ondas estacionárias no plano transversal ao eixo do guia
a = m�x
2= m
⇡
kx
b = n�y
2= n
⇡
ky
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29
Nessas condições, o vetor de onda é dado por
k0 =m⇡
ax+
n⇡
by + k z
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30
Nessas condições, o vetor de onda é dado por
k0 =m⇡
ax+
n⇡
by + k z
Somente algumas inclinações θ permitem que tais números de onda apareçam. Esses ângulos são precisamente dados por
cos ✓ =k
|k0|
=k
1c
p!2mn + (kc)2
=kc
!=
c
!/k=
c
v'
=
r1�
⇣!mn
!
⌘2
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31
Nessas condições, o vetor de onda é dado por
k0 =m⇡
ax+
n⇡
by + k z
Somente algumas inclinações θ permitem que tais números de onda apareçam. Esses ângulos são precisamente dados por
cos ✓ =k
|k0|
=k
1c
p!2mn + (kc)2
=kc
!=
c
!/k=
c
v'
=
r1�
⇣!mn
!
⌘2
![Page 32: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Nessas condições, o vetor de onda é dado por
k0 =m⇡
ax+
n⇡
by + k z
Somente algumas inclinações θ permitem que tais números de onda apareçam. Esses ângulos são precisamente dados por
cos ✓ =k
|k0|
=k
1c
p!2mn + (kc)2
=kc
!=
c
!/k=
c
v'
=
r1�
⇣!mn
!
⌘2
![Page 33: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Nessas condições, o vetor de onda é dado por
k0 =m⇡
ax+
n⇡
by + k z
Somente algumas inclinações θ permitem que tais números de onda apareçam. Esses ângulos são precisamente dados por
cos ✓ =k
|k0|
=k
1c
p!2mn + (kc)2
=kc
!=
c
!/k=
c
v'
=
r1�
⇣!mn
!
⌘2
![Page 34: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/34.jpg)
34
A velocidade de grupo por então ser vista como aquela de propagação ao longo do eixo z:
vg = c cos ✓
Frente de onda
![Page 35: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/35.jpg)
35
A velocidade de grupo por então ser vista como aquela de propagação ao longo do eixo z:
vg = c cos ✓
Enquanto a velocidade de fase pode ser vista como aquela de um ponto na interseção entre uma frente de onda e as paredes do guia
Frente de onda
v' =c
cos ✓
![Page 36: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Campo elétrico transversal (modo TE)E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
![Page 37: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
![Page 38: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
![Page 39: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
![Page 40: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
![Page 41: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
Ex = Re(Ex) = Re
�i
!
k2c
@Bz
@y
!=
!
k2cIm
@Bz
@y
!
= � !
k2c
n⇡
bB0 cos
⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
![Page 42: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
Ex = Re(Ex) = Re
�i
!
k2c
@Bz
@y
!=
!
k2cIm
@Bz
@y
!
= � !
k2c
n⇡
bB0 cos
⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
![Page 43: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
Ex = Re(Ex) = Re
�i
!
k2c
@Bz
@y
!=
!
k2cIm
@Bz
@y
!
= � !
k2c
n⇡
bB0 cos
⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
![Page 44: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
Ex = Re(Ex) = Re
�i
!
k2c
@Bz
@y
!=
!
k2cIm
@Bz
@y
!
= � !
k2c
n⇡
bB0 cos
⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
![Page 45: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Bz(x, y, t) = B0 cos⇣m⇡
ax⌘cos
⇣n⇡by⌘ei(kz�!t+�)
Campo elétrico transversal (modo TE)0
E? = � i
k2c
⇣kr?Ez � ! z⇥r?Bz
⌘
=i!
k2cz⇥
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Exx+ Eyy
Ex = Re(Ex) = Re
�i
!
k2c
@Bz
@y
!=
!
k2cIm
@Bz
@y
!
= � !
k2c
n⇡
bB0 cos
⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
Ey = Re(Ey) = Re
i!
k2c
@Bz
@x
!= � !
k2cIm
@Bz
@x
!
=!
k2c
m⇡
aB0 sin
⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz � !t+ �)
![Page 46: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Campo elétrico e carga induzidaPara o modo TE10, temos então apenas campo elétrico na direção y:
Ex = 0 Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �) =
�f
✏0
![Page 47: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Campo elétrico e carga induzidaPara o modo TE10, temos então apenas campo elétrico na direção y:
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Na última passagem, usamos as condições de contorno:
Ex = 0 Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �) =
�f
✏0
![Page 48: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/48.jpg)
48
x
y
za
b
Campo elétrico e carga induzidaPara o modo TE10, temos então apenas campo elétrico na direção y:
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Na última passagem, usamos as condições de contorno:
TE10
Campo elétrico
n
Ex = 0 Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �) =
�f
✏0
![Page 49: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/49.jpg)
49
x
y
za
b
Campo elétrico e carga induzidaPara o modo TE10, temos então apenas campo elétrico na direção y:
✏1E?1 � ✏2E
?2 = �f
B?1 = B?
2
E//1 = E//
2
1
µ1B//
1 � 1
µ2B//
2 = Kf ⇥ n
0
0
0
0
Na última passagem, usamos as condições de contorno:
TE10
Campo elétrico
n
Atenção à convenção para a normal: ela vai do meio 2 (parede) para o meio 1 (interior). O sinal da densidade de carga depende dessa convenção.
Ex = 0 Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �) =
�f
✏0
![Page 50: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
![Page 51: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
Bx = Re(Bx) =k
k2cIm
@Bz
@x
!= � k
k2c
m⇡
asin⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
![Page 52: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
Bx = Re(Bx) =k
k2cIm
@Bz
@x
!= � k
k2c
m⇡
asin⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
![Page 53: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
Bx = Re(Bx) =k
k2cIm
@Bz
@x
!= � k
k2c
m⇡
asin⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
By = Re(By) =k
k2cIm
@Bz
@y
!= � k
k2c
n⇡
bcos⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
![Page 54: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
Bx = Re(Bx) =k
k2cIm
@Bz
@x
!= � k
k2c
m⇡
asin⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
By = Re(By) =k
k2cIm
@Bz
@y
!= � k
k2c
n⇡
bcos⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
![Page 55: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Campo magnético e corrente superficial
B? = � ik
k2c
@Bz
@xx+
@Bz
@yy
!= Bxx+ Byy
Bx = Re(Bx) =k
k2cIm
@Bz
@x
!= � k
k2c
m⇡
asin⇣m⇡
ax⌘cos⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
By = Re(By) =k
k2cIm
@Bz
@y
!= � k
k2c
n⇡
bcos⇣m⇡
ax⌘sin⇣n⇡
by⌘sin(kz�!t+�)
Para o modo TE10, temos então apenas campo magnético nas direções x e z:
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
x
y
za
b
B? Bz z
![Page 56: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/56.jpg)
56
1
µ0B// = Kf ⇥ n
Campo magnético e corrente superficialA condição de contorno:
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57
1
µ0B// = Kf ⇥ n
Campo magnético e corrente superficial
aplicada à parede da direita (y=b), por exemplo, implica:
A condição de contorno:
=Kfz }| {n⇥ (Kf ⇥ n) =
1
µ0n⇥B//
Kf =1
µ0(�y)⇥ (Bxx+Bz z)
= Kfx x+Kfz z
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58
1
µ0B// = Kf ⇥ n
Campo magnético e corrente superficial
aplicada à parede da direita (y=b), por exemplo, implica:
A condição de contorno:
=Kfz }| {n⇥ (Kf ⇥ n) =
1
µ0n⇥B//
Kf =1
µ0(�y)⇥ (Bxx+Bz z)
= Kfx x+Kfz z
![Page 59: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/59.jpg)
59
1
µ0B// = Kf ⇥ n
Campo magnético e corrente superficial
aplicada à parede da direita (y=b), por exemplo, implica:
A condição de contorno:
=Kfz }| {n⇥ (Kf ⇥ n) =
1
µ0n⇥B//
Kf =1
µ0(�y)⇥ (Bxx+Bz z)
= Kfx x+Kfz z
![Page 60: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/60.jpg)
60
x
y
za
b
1
µ0B// = Kf ⇥ n
Campo magnético e corrente superficial
aplicada à parede da direita (y=b), por exemplo, implica:
A condição de contorno:
Kf
=Kfz }| {n⇥ (Kf ⇥ n) =
1
µ0n⇥B//
Kf =1
µ0(�y)⇥ (Bxx+Bz z)
= Kfx x+Kfz z
![Page 61: Guias de onda - University of São Paulo · 2020. 3. 24. · de acordo com a relação de dispersão, o vetor de onda k adquire se torna imaginário e, portanto, os campos eletromagnéticos](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071511/613103101ecc5158694476bc/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Banda de operação
Se arranjarmos as frequências de corte dos modos de um guia de onda em ordem crescente ω1< ω2 < ω3 < …, então para assegurar que apenas um modo normal do guia se propague, a frequência deve estar restrita ao intervalo ω1< ω<ω2, de modo que apenas o modo de menor frequência se propague. Este intervalo define a largura de banda de operação do guia.
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62
Banda de operação
Se arranjarmos as frequências de corte dos modos de um guia de onda em ordem crescente ω1< ω2 < ω3 < …, então para assegurar que apenas um modo normal do guia se propague, a frequência deve estar restrita ao intervalo ω1< ω<ω2, de modo que apenas o modo de menor frequência se propague. Este intervalo define a largura de banda de operação do guia.
!10 !01!20 !
Exemplo para guia retangular:
(b < a/2)banda de operação
0
!10 =c⇡
a!20 = 2
c⇡
a!01 =
c⇡
b
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63
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
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64
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
O vetor de Poynting é então:
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
S =1
µ0E⇥B =
1
µ0(�EyBxz+ EyBzx)
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65
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
O vetor de Poynting é então:
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
S =1
µ0E⇥B =
1
µ0(�EyBxz+ EyBzx)
Energia fluindo nas direções x e z
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66
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
O vetor de Poynting é então:
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
S =1
µ0E⇥B =
1
µ0(�EyBxz+ EyBzx)
Energia fluindo nas direções x e z
Para efeitos práticos, o que interessa é a média no tempo do vetor de Poynting:
hSi = � 1
µ0hEyBxiz+
1
µ0hEyBzix
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67
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
O vetor de Poynting é então:
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
S =1
µ0E⇥B =
1
µ0(�EyBxz+ EyBzx)
Energia fluindo nas direções x e z
Para efeitos práticos, o que interessa é a média no tempo do vetor de Poynting:
hSi = � 1
µ0hEyBxiz+
1
µ0hEyBzix
0
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68
Potência transportadaTomemos novamente o caso do modo TE10
Bx = � k
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
By = 0
Bz = B0 cos⇣⇡x
a
⌘cos(kz � !t+ �)
O vetor de Poynting é então:
Ex = 0
Ey =!
k2c
⇡
aB0 sin
⇣⇡xa
⌘sin(kz � !t+ �)
Ez = 0
S =1
µ0E⇥B =
1
µ0(�EyBxz+ EyBzx)
Energia fluindo nas direções x e z
Para efeitos práticos, o que interessa é a média no tempo do vetor de Poynting:
hSi = � 1
µ0hEyBxiz+
1
µ0hEyBzix
0
Em média, após um ciclo completo de oscilação dos campos, só há transferência de energia ao longo do eixo do guia.
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69
A potência transportada ao longo do guia é então:
PT =
ZhSi · da =
ZhSi · z dx dy
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70
A potência transportada ao longo do guia é então:
PT =
ZhSi · da =
ZhSi · z dx dy
Elemento de área perpendicular ao eixo do guia
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71
A potência transportada ao longo do guia é então:
PT =
ZhSi · da =
ZhSi · z dx dy
Elemento de área perpendicular ao eixo do guia
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72
A potência transportada ao longo do guia é então:
PT =
ZhSi · da =
ZhSi · z dx dy
Você deve mostrar que essa potência é dada por (Ex. 10 - lista 1b):
Elemento de área perpendicular ao eixo do guia
PT =1
4
r✏0µ0
|E0|2abr
1� !2c
!2(TE10)
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73
A potência transportada ao longo do guia é então:
PT =
ZhSi · da =
ZhSi · z dx dy
Você deve mostrar que essa potência é dada por (Ex. 10 - lista 1b):
Elemento de área perpendicular ao eixo do guia
PT =1
4
r✏0µ0
|E0|2abr
1� !2c
!2(TE10)
Frequência de corte do modo