guia para preparar el examen de ingreso al posgrado en...

Guia para preparar el examen de

ingreso al Posgrado en Ciencias

Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana

Iztapalapa

México

Otoño 2010

Guia de EstudioPara el Examen de AdmisiónAl Posgrado en Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana IztapalapaPara Examen Otoño 2010.

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Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa Posgrado en Matemáticas

Examen Otoño 2010 Ingreso Enero 2011

El examen de Ingreso al Posgrado consiste en varias secciones: las dosprimeras son obligatorias y de las restantes se debe elegir una,

✤ Álgebra Lineal.

✤ Cálculo Diferencial e Integral.

✤ Análisis Real.

✤ Ecuaciones Diferenciales.

✤ Álgebra.

✤ Análisis Complejo.

✤ Topología General.

✤ Lógica Matemática.

El alumno deberá resolver 3 problemas de cada una de las dos primerassecciones y escoger una de las secciones restantes y resolver 3 problemas deella.

La bibliografía recomendada:

Ecuaciones Diferenciales

① Boyce, W.E. y Di Prima, R.C., ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROB-LEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA, Limusa, 2007.

② Simmons, G.F. y Robertson, J.S., ECUACIONES DIFERENCIALES TEO-RIA Y PRACTICA, Mc Graw Hill, 2007.

③ Blanchard, P., ECUACIONES DIFERENCIALES, Internacional Thom-son Editores, 1998.

④ Ayres, F., ECUACIONES DIFERENCIALES, Mc Graw Hill 1991.

⑤ P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, DIFFERENTIAL EQUATIONS, 3rdEd., Thomson, 2006.

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Álgebra Lineal

❶ Strang, Gilbert, Algebra lineal y sus aplicaciones, Fondo Educativo Inter-americano. Mexico, 1982.

❷ Noble, Ben y J. W. Daniel, Algebra lineal aplicada, tercera edicion. Prentice-Hall Hispanoamericana, Mexico, 1990.

❸ Cullen, Charles G., Matrices and Linear Transformations, segunda edi-cion, Dover, Nueva York, 1990

❹ Grossman, Stanley I, Algebra lineal, Grupo Editorial Iberoamerica, 5a.edicion. Mexico, 1996.

❺ K. Hoffman y R. Kunze, Álgebra Lineal, Prentice Hall.

❻ S. Lang, Algebra Lineal, Fondo Educativo Interamericano, 1976.

Análisis Matemático

➀ T. Apostol, Analisis Matematico, Reverte, 1991

➁ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A., Análisis Matemático1; Curso de Introducción, 1ra. edición. Trillas. México. 1978.

➂ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A. Análisis Matemático2; Curso Intermedio, 1ra. Ed. Trillas. México. 1970-1979.

➃ R. G. Bartle, Introducción al Análisis Matemático, Limusa 1987

➄ R. G. Bartle, D. Shebert, Introducción al análisis matemático de una vari-able, 1984, Limusa

➅ http://www.unizar.es/analisis_matemati o/analisis1/prg_analisis1.html➆ http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf

➇ W. Rudin, Principios de Análisis Matemático, Mc Graw Hill 1987

3



Álgebra

➊ J. B. Fraleigh, Álgebra Abstracta, Addison-Wesley, 1988.

➋ http://temasmatemati os.uniandes.edu. o/Algebra_abstra ta/abstra ta.pdf.➌ http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf

➍ M. Pineda, Aritmética y Teoría de Grupos, UAMI 1995.

➎ D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd Ed. Wiley, 2004.

➏ 6. P. A. Grillet, Abstract Algebra, 2nd Ed., Springer-Verlag, 2007

Cálculo

① C. Pita, Cálculo Vectorial, Prentice-Hall Iberoamericana

② J. Marsden, A.Tromba, Cálculo Vaectorial, Addison-Wesley 1991.

③ Edwards, Penney, Cálculo con geometría analítica, 1996.

④ Thomas, Finney Cálculo con geometría analítica.

Análisis Complejo

❶ D. Zill, P. Shanahan, Complex analysis, Jones and Bartlett, 2003.

❷ John Howie, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2004.

❸ S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2008.

❹ J. Marsden, M. Hoffman, Basic complex Analysis, W. H. Freeman, 1987.

❺ B. Palka, An Introduction to Complex Function theory, Springer-Verlag,1991.

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Topología General

➀ J. Dixmier, General Topology, Springer-Verlag, 1984.

➁ R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.

➂ J. Dugundji, Topology, Allyna and Bacon, 1966.

➃ J. Nagata, Modern General Topology, North-Holland, 2nd Ed., 1984

Lógica Matemática

➊ J. Rubin, Mathematical Logic: Applications and Theory, Saunders Co.,1990.

➋ H. D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, MAthematical Logic, 2nd Ed.,Springer-Verlag, 1994.

➌ S. Hedman, A first course in Logic, Oxford University Press, 2004.

➍ R. Cori, D. Lascar, Mathematical Logic. A Course with Excercises, I, Ox-ford University Press, 2000.

➎ P. Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, A. K. Peters, 2005.

➏ G. Metakides, A. Nerode, Principles of Logic and Logic Programming,North-Holland, 1996.

➐ A. Nerode, R. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag, 1994.

➑ W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer-Verlag, 2006.

A continuación un simulacro de examen que debe servir como guia parapreparse.

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UAM-Iztapalapa. Departamento de MatemáticasPosgrado en Ciencias (Matemáticas)Febrero 2010

Examen de admisión, Trimestre ???

INSTRUCCIONES. A continuación encontrará varias secciones. Usted de-berá resolver 4 problemas de cada una de las dos primeras secciones. Debeelegir una de las secciones restantes y resolver 3 problemas de ella. Disponede 3 horas.

Algebra Lineal

1. £Existe una transformación lineal T : IR3 → IR2 tal que T(1,−1, 1) =(1, 0) y T(1, 1, 1) = (0, 1)?

2. Sean F un subcampo de los complejos y T una función de F3 a F3

definida por

T(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2,−x1 − 2x2 + 2x3).

(a) Verifique que T es lineal.

(b) Si (a, b, c) es un vector de F3, £cuáles son las condiciones para a, by c de modo que el vector pertenezca a la imagen de T?, £Cuál esel rango de T?

(c) Encuentre condiciones para a, b, c de tal suerte que (a, b, c) pertenezcaal núcleo de T.

3. Sea V el conjunto de todos los números complejos considerado comoun espacio vectorial sobre IR (con las operaciones usuales). Encuentreuna función de V en V que sea una transformación lineal en dichoespacio vectorial, pero que no sea una transformación lineal en C1, esdecir, que no sea lineal compleja.

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4. Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo F y T unatransformación lineal de V en V tal que la imagen y el núcleo de Tsean idénticas. Demostrar que n es par.

5. Sea V un espacio vectorial y T una transformación lineal de V en V.Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) La intersección de la imagen de T y el núcleo de T es el subespacio{0} de V.

(b) Si T(T(α)) = 0, entonces T(α) = 0.

6. Sean V el conjunto de los números complejos y F el campo de losnúmeros reales. Con las operaciones usuales V es un espacio vecto-rial sobre F. Desciba explícitamente un isomorfismo de este espaciosobre IR2.

7. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo F.Demostrar que V y W son isomorfos si y sólo si dim(V) = dim(W).

8. Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo F y U un isomorfismode V sobre W. Demuestre que T → UTU−1 es un isomorfismo deL(V, V) sobre L(W, W), donde L(A, B) es el conjunto de transforma-ciones lineales entre A y B.

9. Recuerde que si V es un espacio vectorial sobre el campo F, el dualV∗ consiste en las transformaciones lineales de V en F; si E ⊆ V∗,entonces el anulador E0 es el subespacio de V que consiste en los α ∈ Vtales que f (α) = para todo f ∈ E.

(a) Sea n un enntero positivo, F un campo y W el conjunto de losvectores (x1, . . . , xn) de Fn tales que x1 + · · ·+ xn = 0. Demuestreque W0 consta de todos los funcionales lineales f de la forma

f (x1, . . . , xn) = cn

∑j=1

xi.

(b) Demuestre que el espacio dual W∗ de W puede identificarse enforma natural con los funcionales lineales

f (x1, . . . , xn) = c1x1 + · · ·+ cnxn

sobre Fn que satisfacen c1 + · · ·+ cn = 0.

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10. Sean S un conjunto, F un campo y V(S, F) el espacio de todas las fun-ciones de S en F:

( f + g)(x) = f (x) + g(x)(c f )(x) =c f (x).

Sea W un subespacio de dimensión n de V(S, F). Demuestre queexisten puntos x1, . . . , xn en S y funciones f1, . . . , fn en W tales quefi(xj) = δij.

11. Sean F un campo y f el funcional lineal en F2 definido por f (x1, x2) =ax1 + bx2. Para cada uno de los siguientes operadores T, defina gTt fy encuentre g(x1, x2).

(a) T(x1, x2) = (x1, 0).

(b) T(x1, x2) = (−x2, x1).

(c) T(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).

12. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre IR. Sean a, b númerosreales fijos y f un funcional lineal en V definido por

f (p) =∫ b

ap(x)dx.

Si D es el operador derivación sobre V, £ qué es Dt f ?

13. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo F, T unoperador lineal sobre V y c un escalar. Suponga que existe un vectorno nulo α ∈ V tal que T(α) = cα. Demuestre que existe un funcionallineal no nulo f en V tal que Tt f = c f .

14. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo F. De-muestre que T 7→ Tt es un isomorfismo de L(V, V) sobre L(V∗, V∗).

15. Una matriz n × n, A sobre un campo F es antisimétrica si At = −A.Si A es una matriz n × n antisimétrica con elementos complejos y n esimpar, demuestre que det(A) = 0.

16. Una matriz n × n, A, sobre el campo F es ortogonal si AAt = I. Si A esortogonal, demuestre que det(A) = ±1. De un jemplo de una matrizortogonal para la cual det(A) = −1.

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17. Una matriz n × n, A, sobre el campo C se llama unitaria si AA∗ = I(A∗ denota la transpuesta conjugada de A). Si A es unitaria, demuestreque |det(A)| = |.

18. Sean T y U dos operadores lineales sobre el espacio vectorial V dedimensión finita. Demuestre que:

(a) det(TU) = det(T)det(U).

(b) T es invertible si y sólo si det(T) 6= 0.

19. Sean V el espacio vectorial de las matrices n × n sobre el campo F,B un elemento fijo de V y TB el operador lineal sobre V definido porTB(A) = AB − BA. Demuestre que det(TB) = 0.

20. Sea A una matriz n × n sobre el campo F. Demuestre que existen a lomás n escalares c distintos en F tales que det(cI − A) = 0.

21. Si V es el espacio vectorial de las matrices n × n sobre F y B es unamatriz n × n dada sobre F, sean LA y RB los operadores lineales sobreV definidos por LB(A) = BA y RB(A) = AB. Compruebe que

(a) det(LB) = (det(B))n .

(b) det(RB) = (det(B))n .

22. Sean A, B, C, D matrices n × n, conmutativas sobre el campo F. De-muestre que el determinante de la matriz 2n × 2n

[

A BC D

]

es det(AD − BC).

23. Sea

A =

1 1 00 −1 11 0 1

.

Sea f : R3 → R3 dada por f (x) = Ax para x ∈ R3.

Encuentre la imagen bajo f del plano con ecuación x3 = 0. Encuentrela imagen bajo f de la intersección de los planos cuyas ecuaciones sonx1 + x3 = 0, x1 − x2 = 0.

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24. Sean n y k enteros mayores que 1. Sea A una matriz k × n y sea b unvector columna con k coordenadas. Sea S el conjunto de soluciones deAx = b. Marque con una V cada una de las afirmaciones siguientes encaso de que sea necesariamente verdadera, y con una F en caso de queno lo sea.

(a) [ ] Si k > n entonces S es vacío.

(b) [ ] Si k < n entonces S debe ser un conjunto infinito.

(c) [ ] Si k = n entonces S tiene exactamente n soluciones.

(d) [ ] Si k < n entonces no es posible que S contenga exactamenteun elemento.

(e) [ ] Si k = n entonces el sistema tiene una única solución.

(f) [ ] Si k > n entonces es posible que S sea un conjunto infinito.

(g) [ ] Si S es vacío entonces n 6= k.

(h) [ ] Si S tiene una representación paramétrica con 3 parámetrosreales entonces k ≥ 3.

25. Encontrar la distancia del punto (0, 1,−1, 0) en IR4 al conjunto

{(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0}.

26. Sea T : IR2 → IR2 una transformación lineal que tiene al 1 como únicovalor propio. Demuestre o dé un contra-ejemplo para las afirmacionessiguientes:

(i) T es un isomorfismo lineal

(ii) T es diagonalizable.

27. Sea A una matriz real 4 × 3. Describa todas las posibles formas delconjunto de vectores x en R3 que satisfacen Ax = b, donde b es unvector dado en R4.

28. Encontrar una base B = {u1, u2, u3} de IR3 tal que el vector con coor-denadas (1,−1, 1) con respecto a B sea (0, 1, 0) (con respecto a coorde-nadas cartesianas).

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29. Sea

B =

1 3 0 −1 00 0 1 2 01 3 1 1 1

.

Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga doselementos y que genere a S.

10. Sea α ∈ [0, π] y sea

A =

[

cos α − sen αsen α cos α

]

.

Encuentre A2, A−1 y det(A4).

30. Sea E un espacio vectorial, T : E → E una transformación lineal in-yectiva y {u1, u2, . . . , um} un subconjunto de E linealmente indepen-diente. Demuestre que {Tu1, Tu2, . . . , Tum} es linealmente independi-ente.

31. Sean E y F espacios vectoriales reales de dimensión finita y L : E → Funa transformación lineal. Supongamos que la imagen de L es unsubespacio G de F con dimensión n. Demuestre que existe un sube-spacio H de E con dimensión igual a n y tal que L restringida a H esinyectiva y sobre.

32. Encuentre una base B = {u1, u2, u3} de R3 tal que el vector de coorde-nadas de (0, 1, 0) con respecto a B sea (1,−1, 1).

33. Sea A una matriz 8 × 8 tal que det(A) 6= 0. Sea f : R8 → R8 dada porf (x) = Ax para x ∈ R8. Sea S = {u1, u2, . . . , uk} ⊂ R8 un conjuntolinealmente independiente. Demuestre que la imagen de S bajo f estambién linealmente independiente.

34. Sea

B =

1 3 0 −1 00 0 1 2 01 3 1 1 1

.

Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga doselementos y que genere a S.

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35. Sean V espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal talque T2 = IdV . Demuestre que T es diagonalizable. Si V = IR4 esen-cialmente cuántas transformaciones hay con esa propiedad?

36. Estudie las soluciones del sistema

λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = 1x1 + x2 + λx3 = 1.

37. Sean V un espacio vectorial y T : V → V una transformación linealinvertible. Muestre que T−1 : V → V es una transformación lineal.Demuestre que si W es un subespacio de V invariante bajo T, entoncesW también es invariante bajo T−1.

38. Si T tiene un valor propio λ, demuestre que aT tiene el valor propioaλ.

39. Si x es un valor propio para T1, T2, demuestre que también lo es paraaT1 + bT2.

40. Considere el plano como un espacio vectorial V sobre IR, y sea T unarotación de V por π/2 radianes. Si bien T no tiene vectores propios,demuestre que que todo vector no nulo es un vector propio de T2.

41. Si T : V → V tiene la propiedad de que T2 tiene un valor propio nonegativo λ2, demuestre que por lo menos uno de los dos valores λ o−λ es un valor propio para T.

42. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en IR y tales quela integral

∫ x−∞

t f (t)dt exista para todo x real. Si f ∈ V definamosg = T( f ) poniendo g(x) =

∫ x−∞

t f (t)dt. Demuestre que todo λ nega-tivo es un valor propio para T y determine las funciones propias cor-respondientes a λ.

43. Supongamos que una transformación lineal T tiene dos vectores pro-pios x, y pertenecientes a valores propios distintos λ y µ. Si ax + by esun vector propio de T, demuestre que a = 0 o b = 0.

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44. Si A y B son matrices n × n, siendo B una matriz diagonal, demuestre(por inducción) que el determinante f (λ) = det(λB − A) es un poli-nomio en λ con f (0) = (−1)ndet(A), y con el coeficiente de λn igualal producto de los elementos diagonales de B.

45. Sea A una matriz hermitiana invertible. Demuestre que A−1 es hermi-tiana.

46. ¿Cuáles de las siguientes matrices son hermitianas?

(a)(

2 i−i 5

)

(b)(

1 + i 22 5i

)

(c)

1 1 + i 51 − i 2 i

5 −i 7

47. Demuestre que los elementos de la diagonal de una matriz hermitianason reales.

48. Pruebe que una matriz hermitiana triangular es diagonal.

49. Sean A, B matrices hermitianas (Del mismo tamaño). Compruebe queA + B es hermitiana. Si AB = BA, verifique que AB es hermitiana.

50. Sea A una matriz hermitiana. Cerciórese de que At y A son hermi-tianas. Si A es invertible, entonces pruebe que A−1 es hermitiana.

51. Sea A una matriz hermitiana no nula. Demuestre que tr(AA∗) > 0.

52. Calcule el rango de las siguientes matrices.

(a)(

2 3 5 11 −1 2 1

)

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(b)

3 5 1 42 −1 1 15 4 2 5

(c)

3 5 1 42 −1 1 18 9 3 9

(d)

3 1 1 −1−2 4 3 2−1 9 7 37 4 2 1

Cálculo

1. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integración, trazar lasregiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras.

(a)∫ 1

0

∫ 1

xxydydx

(b)∫ π/2

0

∫ cos θ

0cos θdrdθ

(c)∫ 1

0

∫ 2−y

0(x + y)2dxdy

(d)∫ b

a

∫ y

af (x, y)dxdy

(exprese su respuesta en términos de antiderivadas).

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2. Si f (x, y) = esin(x+y) y D = [−π, π]× [−π, ß], muestre que

1e≤∫∫

Df (x, y)dA ≤ e.

3. Muestre que

12(1 − cos 1) ≤

∫∫

[0,1]×[0,1]

sin x1 + (xy)4 dxdy ≤ 1.

4. Usando el teorema del valor medio, demuestre que

16≤∫∫

D

dAy − x + 3

≤ 14

.

5. Calcule∫∫

D f (x, y)dA, donde f (x, y) = y2√x y D es el conjunto de las(x, y) con x > 0, y > x2 y y < 10 − x2.

6. Evalue∫∫

D ex−ydxdy, donde D es el interior del triángulo con vértices(0, 0), (1, 3) y (2, 2).

7. Calcule∫∫

S xydS, donde S es la superficie del tetraedro con lados z =0, y = 0, x + z = 1, x = y.

8. Evalue∫∫

S zdS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es,es el conjunto de (x, y, z) tales que z =

√

a2 − x2 − y2.

9. Evalue∫∫

S(x + y + z)dS, donde S es la frontera de la bola unitaria, esdecir, S es el conjunto de (x, y, z) con x2 + y2 + z2 = 1.

10. Calcule∫∫

S zdS, donde S es la superficie z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.

11. Una superficie metálica S tiene la forma de un hemisferio z =√

R2 − x2 − y2,0 ≤ x2 + y2 ≤ R2. La densidad de masa en (x, y, z) ∈ S está dada porm(x, y, z) = x2 + y2. Encuentre la masa total de S.

12. Evalue∫∫

S(∇× F) · dS, donde F = (x2 + y − 4, 3xy, 2xz+ z2) y S es lasuperficie x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0.

13. Calcule∫∫

S(∇ × F) · dS, donde S es la superficie x2 + y2 + 3z2 = 1,z ≤ 0, y F = (y,−x, zx3y2).

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14. Calcule la integral∫∫

S F · dS, donde S es la superfici de la semibolax2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0 y F = (x + 3y5, y + 10xz, z − xy).

15. Calcule la integral de superficie∫∫

S F ·ndA, donde F(x, y, z) = (1, 1, z(x2 +

y2)2 y S es la superficie del cilindro x2 + yr ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

16. Integre f (x, y, z) = xyz a lo largo de las siguientes trayectorias:

(a) c(t) = (et cos t, et sin t, 3), 0 ≤ t ≤ 2π.

(b) c(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.

(c) c(t) = (12 t2, 2t2, t), 0 ≤ t ≤ 1.

17. Si F(x) es ortogonal a c′(t) en cada punto de la curva x = c(t) £qué sepuede decir acerca de

∫

c F · ds?

18. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) = (x2 − y2, 2xy)al mover una partícula en sentido contrario al que giran las manecil-las del reloj, alrededor del cuadrado con esquinas (0, 0), (a, 0), (a, a) y(0, a), a > 0.

19. Un anillo con la forma de la curva x2 + y2 = a2 está formado por unalambre delgado que pesa |x|+ |y| gramos por unidad de longitud en(x, y). Encuentre la masa del anillo.

20. De una parametrización para cada una de las siguientes superficies:

(a) x2 + y2 + z2 − 4x − 6y = 12.

(b) 2x2 + y2 + z2 − 8x = 1.

(c) 4x2 + 9y2 − 2z2 = 8.

21. Encuentre el área de la superficie definida por Φ(u, v) 7→ (x, y, z),donde

x = h(u, v) = u + v, y = g(u, v) = u, z = f (u, v) = v,

con 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Bosquejar.

22. Un paraboloide de revolución S está parametrizado por Φ(u, v) =(u cos v, u sin v, u2), 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π.

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(a) Encuentre una ecuación en x, y, z que describa la superficie.

(b) £Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y v?

(c) Encuentre un vector unitario ortogonal a la superficie en Φ(u, v).

(d) Encuentre la ecuación para el plano tngente en Φ(u0, v0) = (1, 1, 2)y exprese la respuesta de las dos maneras siguientes:

i. parametrizada por uy v;ii. en términos de x, y, z.

(e) Encuentre el área de S.

23. Encuentre una constante c tal que en todo punto de la intersección delas dos esferas

(x − c)2 + y2 + z2 = 3, x2 + (y − 1)2 + z2 = 1

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno alotro.

24. Si r1, r2 son las distancias desde un punto (x, y) de una elipse a susfocos, demuestre que la ecuación r1 + r2 = constante (que satisfacenesas distancias) implica la relación

T · ∇(r1 + r2) = 0,

siendo T el vector unitario tangente a la curva. Interprete geométrica-mente ese resultado, y con ello demostrar que la tangente forma án-gulos iguales con las rectas que unen (x, y) a los focos.

25. Si ∇ f (x, y, z) es siempre paralela a xi + yj + zk, demostrar que f debetomar valores iguales en los puntos (0, 0, a) y (0, 0,−a).

26. El cambio de variable x = u + v, y = uv2 transforma f (x, y) en g(u, v).Calcular el valor ∂2g/(∂v∂u) en el punto en el que u = 1, v = 1,sabiendo que

∂ f∂y

=∂2 f∂x2 =

∂2 f∂y2 =

∂2 f∂x∂y

=∂2 f

∂y∂x= 1,

en dicho punto.

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27. Dos funciones F y G de una variable y una función z de dos variablesestán ligadas por la ecuación

[F(x) + G(y)]2ez(x,y) = 2F′(x)G′(x)

con tal que F(x)+ G(y) 6= 0. DEmuestre que la derivada parcial mixtazxy nunca es cero. Puede suponer la existencia y continuidad de todaslas derivadas que aparezcan.

28. Suponga la diferenciabilidad de todas las funciones involucradas. Si kes una constante positiva y g(x, t) = 1

2 x/√

kt, ponemos

f (x, t) =∫ g(x,t)

0e−u2

du.

(a) Demuestre que

∂ f∂x

= e−g2 ∂g∂x

∂ f∂t

= e−g2 ∂g∂t

.

(b) Demuestre que que f satisface la ecuación en derivadas parciales

k∂2 f∂x2 =

∂ f∂t

.

29. Considere un campo escalar f definido en IR2 tal que f (x, y) dependede sólo la distancia r del punto (x, y) al origen, f (x, y) = g(r), siendor = (x2 + y2)1/2.

(a) Demuestre que para (x, y) 6= (0, 0), se cumple

∂2 f∂x2 +

∂2 f∂y2 =

1r

g′(r) + g′′(r).

(b) Suponga además que f satisface la ecuación de Laplace,

∂2 f∂x2 +

∂2 f∂y2 = 0,

para todo (x, y) 6= (0, 0). Demuestre, usando (a) que f (x, y) =a log(x2 + y2) + b para (x, y) 6= (0, 0), siendo a, b constantes.

18



30. Supongamos que a, b son números positivos fijos.

(a) Encuentre los valores extremos de z = x/a+ y/b con la condiciónx2 + y2 = 1.

(b) Encuentre los valores extremos de z = x2 + y2 con la condiciónx/a + y/b = 1.

31. Encuentre los valores extremos del campo escalar f (x, y, z) = x− 2y+2z en la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

32. Calcule∫

γydx + zdy + xdz, donde:

(a) γ es la curva de intersección de las dos superficies x + y = 2 yx2 + y2 + z2 = 2(x + y). La curva se recorre de tal modo quemirando desde el origen el sentido es el de las agujas del reloj.

(b) γ es la intersección de las dos superfices z = xy y x2 + y2 =1, recorrida en sentido, visto desde encima del plano xy, es elcontrario al de las manecillas del reloj.

33. Calcular la integral de línea con respecto a la longitud de arco de lossiguientes ejercicios:

(a)∫

C(x + y)ds, siendo C el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1)recorrido en sentido contrario al de las manecillas.

(b)∫

C y2ds, en donde C tiene la ecuación vectorial

α(t) = a(t − sin t)i + a(1 − cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2π.

(c)∫

C(x2 + y2)ds, donde C tiene la ecuación

α(t) = a(cos t + t sin t)i + a(sin t − t cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2π.

34. Calcular cada una de las integrales triples en los siguientes incisos.Representar en cada caso la región de integración. Suponga la existen-cia de todas las integrales involucradas.

(a)∫∫∫

S xy2z3dxdydz, siendo S el sólido limitado por la superficiez = xy y los planos y = x, x = 1, z = 0.

(b)∫∫∫

S(1 + x + y + z)−3dxdydz, siendo S el sólido limitado por lostres planos coordenados y el plano x + y + z = 1.

19



(c)∫∫∫

S xyzdxdydz, siendo S = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

35. Demuestre que:

∫ x

0

(

∫ v

0

[

∫ u

0f (t)dt

]

du)

dv =12

∫ x

0(x − t)2 f (t)dt.

36. Sea S un paralelogramo de lados no pararlelos a ningún eje coorde-nado. Sean S1, S2 y A3 las áreas de las proyecciones de S sobre los

planos coordenados. Demuestre que el área de S es√

S21 + S2

2 + S23.

37. Calcule el área de la porción de esfera x2 + y2 + z2 = a2 interior alcilindro x2 + y2 = ay, siendo a > 0.

38. Determine el área de la porción de superficie z2 = 2xy que se proyectaen el primer cuadrante del plano xy y limitada por los planos x = 2 ey = 1.

39. Encuentre el área del toro de ecuación

r(u, v) = (a + b cos u) sin vi + (a + b cos u) cos vj + b sin uk,

donde 0 < b < a y 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π.

40. Sea T el disco unitario en el plano uv, T = {(u, v) : u2 + v2 ≤ 1} ypongamos

r(u, v) =2u

u2 + v2 + 1i +

2vu2 + v2 + 1

j +u2 + v2 − 1u2 + v2 + 1

k.

(a) Determine la imagen respecto a r de cada uno de los siguientesconjuntos: la circunferencia unidad u2 + v2 = 1; el intervalo −1 ≤u ≤ 1; la parte de la recta u = v situada en T.

(b) La superficie S = r(T) es muy conocida. Diga cual es y dibújela.

(c) Determine la imagen respecto a r del plano uv. Indique con undibujo en el espacio xyz los significados geométricos de los parámet-ros u, v.

20



41. Sean S la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 y F(x, y, z) = (x, y). Seann el vector normal unitario exterior a S. Calcule el valor de la integralde superficie

∫∫

S F · ndS, empleando:

(a) la representación vectorial r(u, v) = sin u cos vi + sin u sin vj +cos uk.

(b) La representación explícita z =√

1 − x2 − y2.

42. Sea S una superficie parámetrica dada en la forma explícita z = f (x, y),donde (x, y) varía en una región plana T, proyección de S en el planoxy. Sean F = Pi + Qj + Rk y n la normal unitaria a S de compo-nente z no negativa. Emplée la representación paramétrica r(x, y) =xi + yj + f (x, y)k y demuestre que

∫∫

SF · ndS =

∫∫

T

(

−P∂ f∂x

− Q∂ f∂y

+ R)

dxdy,

donde P, Q, R están calculadas en (x, y, f (x, y)).

(b) Sean S la misma superficie del inciso previo y ϕ un campo escalar.Demuestre que

∫∫

Sϕ(x, y, z)dS =

∫∫

Tϕ[x, y, f (x, y)]

√

1 +(

∂ f∂x

)2

+

(

∂ f∂y

)2

dxdy.

43. El cilindro x2 + y2 = 2x recorta una porción de superficie S en la hojasuperior del cono x 2 + y2 = z2. Calcule la integral de superficie

∫∫

S(x4 − y4 + y2z2 − z2x2 + 1)dS.

44. En los siguientes incisos transforme la integral de superficie∫∫

S(rot(F) ·ndS en una integral de linea utilizando el teorema de Stokes, y calculela integral de linea.

(a) F(x, y, z) = (y2, xy, xz), donde S es el hemisfereo x2 + y2 + z2 = 1,z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z no negativa.

(b) F(x, y, z) = (y, z, x), donde S es la parte del paraboloide z = 1 −x2 − y2 con z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z nonegativa.

21



(c) F(x, y, z) = (y − z, yz,−xz), donde S consta de las cinco caras delcubo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 no situada en el plano xy.n es la normal unitaria exterior.

45. Demuestre la identidad

∇ · (F × G) = G · (∇× F)− F · (∇× G),

donde F y G son campos vectoriales diferenciables.

46. Sea F(x, y, z) = (y2z2, z2x2, x2y2). Demuestre que rot(F) no siempre escero, pero que F · rot(F = 0. Encuentre un campo escalar µ tal que µFsea un gradiente.

47. Sea V(x, y) = (yc, xc), donde c es una constante positiva, y sea r(x, y) =(x, y). Consideremos una región plana R bordeada por una curva deJordan regular a trozos C. Calcule div(V × r) y rot(V × r) y aplique elteorema de GReen demuestre que

∮

CV × r · dα = 0,

donde α es la función que describe a C.

48. Sea z = f (x, y); encuentre ∂2z∂u∂v en términos de las parciales con re-

specto a x y a y si x = u + 2v y y = u − 2v.

49. Sea f (x, y) diferenciable en IR2; demuestre que la derivada direccionalde f a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 1 en la dirección contrariaa las manecillas del reloj en el punto (x, y) está dada por

−y∂ f∂x

+ x∂ f∂y

.

Encuentre el valor máximo de f (x, y) = x2 + xy + y2 en la circunfer-encia x2 + y2 = 1.

50. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 enel punto (1, 2, 5).

22



51. Calcule

∫∫

R(2x2 + y2)dA

si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 yy = x3.

52. Calcule∫∫

R(3 − x − y)dA

si R es la región delimitada por las curvas x2 − 1 ≤ y ≤ 1 − x2.

53. Maximice la función f (x, y, z) = 8xyz sujeta a la restricción

16x2 + 4y2 + 9z2 = 144.

54. Sea f (x, y) diferenciable en IR2; Calcule la derivada direccional de f alo largo de la circunferencia x2 + y2 = 1 en la dirección contraria a lasmanecillas del reloj en el punto (x, y) de la circunferencia.

55. Muestre que los planos tangentes a la superficie

xyz = m3

forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.

56. Encuentre la ecuación del plano tangente y del normal a la superficiez = e−(x2+y2) en el punto x = 1, y = 2.

57. Sea z = f (x, y); encuentre ∂2z∂u∂v en términos de ∂2z

∂x2 y ∂2z∂y2 si x = u + 2v

y y = u − 2v.

58. Sea f : IR2 → IR definida por

f (x, y) :=∫ xy

0t cos2(ty2) dt.

Encuentre ∂ f∂x y ∂ f

∂y .

23



59. Encuentre el valor máximo de f (x, y) = x2 + xy + y2 en la circunfer-encia x2 + y2 = 1.

60. Muestre que los planos tangentes a la superficie

xyz = m3

forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.

61. Calcule∫∫

R(2x2 + y2)dA

si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 yy = x3.

62. Mediante el teorema de Green evalue:

(a)∮

Cxydy − y2dx,

donde C es el cuadrado delimitado en el primer cuadrante porlas rectas x = 1 y y = 1.

(b) El flujo saliente del campo F(x, y) = xi+ y2j a través del cuadradoacotado por las rectas x = ±1 y y = ±1.

63. En los siguientes incisos utilice el Teorema de Green para calcular lacirculación en sentido contrario al de las manecillas y el flujo salientepara el campo F y la curva C.

(a) F = (x − y)i + (y− x)j, C : el cuadrado acotado por x = 0, x = 1,y = 0, y = 1.

(b) F = (x2 + 4y)i + (x + y2)j, C : el cuadrado acotado por x = 0,x = 1, y = 0, y = 1.

(c) F = (y2 − x2)i + (x2 + y2)j, C : el triángulo acotado por y = 0,x = 3 y y = x.

(d) F = (x + y)i − (x2 + y2)j, C : el triángulo acotado por y = 0,x = 3 y y = x.

24



(e) Calcule la circulación del campo F = xyi + y2j en sentido con-trario a las manecillas del reloj y el flujo saliente a través de lafrontera de la región acotada por las curvas y = x2 y y = x en elprimer cuadrante.

(f) Encuentre la circulación del campo F = (− sin y)i + (x cos y)j ensentido contrario l de las manecillas del reloj y el flujo saliente atrvés del cuadrado definido en el primer cuadrante por las rectasx = π/2 y y = π/2.

(g) Encuentre el flujo saliente del campo

F =

(

3xy − x1 + y2

)

i + (ex + tan−1(y))j

a través de la cardioide r = a(1 + cos θ), a > 0.

(h) Calcule la circulación de F = (y+ ex ln y)i + (ex/y)j en el sentidocontrarioal de las manecillas, alrededor de la región acotada porarriba por la curva y = 3 − x2 y por debajo por la curva y =x4 + 1.

64. Aplique el Teorema de Green para evaluar las integrales siguientes:

(a)∮

C(y2dx + x2dy), C es el triángulo acotado por x = 0, x + y =

1, y = 0.

(b)∮

C(3ydx + 2xdy), C es la frontera de 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x.

(c)∮

C(6y + x)dx + (y + 2x)dy, C es la circunferencia (x − y)2 + (y −3)2 = 4.

(d)∮

C(2x + y2)dx + (2xy + 3y)dy, C es cualquier curva cerrada en elplano, para la que se cumpla el Teorema de Green.

Análisis

1. Muestre que entre dos números reales distintos existe un irracional.

2. Considere el conjunto R = {0, 1} equipado con las siguientes opera-ciones:

25



a) Adición (+): 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1+ 1 = 0.

b) Multiplicación (·): 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

c) Orden: 0 ≥ 0, 1 ≥ 1, 1 ≥ 0.

£Satisface R los axiomas de los números reales? Explique su respuesta.

3. Muestre que si |x| < 1, entonces lim xn = 0.

4. Encuente lim sup y lim inf de la sucesión {xn} definida por

x1 =13

, x2n =13

x2n−1, x2n+1 =13+ x2n,

n ∈ N.

5. Sea {xn} una sucesión acotada. Muestre que

lim sup(−xn) = − lim inf xn, lim inf(−xn) = − lim sup xn.

6. De un ejemplo de que si ∑k ak y ∑k bk son series convergentes de númerosreales, entonces la serie ∑k akbk puede no converger. También muestreque si ∑k ak = A y ∑k bk = B, entonces ∑k akbk puede converge perosu suma puede no ser igual a AB.

7. Muestre que la serie∞

∑k=1

2(k + 1)(2k + 1)

es convergente y que su suma es ≤ 1.

8. Sea a ∈ R con a > 1. Muestre que la serie ∑∞k=1(1/ak!) es convergente.

9. Sean f , g : [2, ∞) → R definidas por

f (t) =

{

1, si k ≤ t < k + (1/k2) para algún k ∈ N

0, en otro caso.

g(t) =

{

k, si k ≤ t < k + (1/k3) para algún k ∈ N

0, en otro caso.

Muestre que∫ ∞

2 f (t)dt y∫ ∞

2 g(t)dt convergen, f (k) = 1 para cadak ∈ N con k > 2 y g(k) → ∞ conforme k → ∞.

26



10. Sean a ∈ R y f : [a, ∞) → R tal que f es integrable en [a, x] para todax ≥ a. demuestre lo siguiente:

(a) Si∫ ∞

a f (t)dt es convergente y f (x) → l conforme x → ∞, en-tonces l = 0.

(b) Si f es diferenciable y∫ ∞

a f ′(t)dt es convergente, entonces existel ∈ R tal que f (x) → l conforme x → ∞.

(c) Si f es diferenciable y tanto∫ ∞

a f (t)dt como∫ ∞

a f ′(t)dt son con-vergente, entonces f (x) → 0 conforme x → ∞.

(d) Use lo anterior para concluir que la integral∫ ∞

0 t sin t2dt es diver-gente.

11. Sea f : [1, ∞] → R tal que f es integrable en [1, x] para toda x ≥ 1.Demuestre que:

(a) Si existen p > 1 y l ∈ R tales que tp f (t) → l conforme t → ∞,entonces

∫ ∞

1 f (t)dt es absolutamente convergente.

(b) Suponga que f (t) > 0 para toda t ∈ [1, ∞). Si existen p ≤ 1 yl 6= 0 tales que tp f (t) → l conforme t → ∞, entonces

∫ ∞

1 f (t)dtes divergente.

12. Muestre que las integrales impropias∫ ∞

1 sin t2dt y∫ ∞

1 cos t2dt son con-vergentes.

13. Determine cuál de los números eπ y πe es mayor. [Sugerencia: en-cuentre el mínimo absoluto de f (x) = x1/x para x ∈ (0, ∞) y hagax = π; alternativa: encuentre el mínimo absoluto de f : R → R,f (x) = ex − 1 − x y haga x = (π/e)− 1.]

14. Considere la función g : R → R definida por g(x) = x2 − 2 cos x.Muestre que g es estríctamente convexa en R aunque g se anula enuna cantidad infinita de puntos £Tiene g un mínimo absoluto?

15. Considere la función f : (−π/2, π/2) → R definida por f (x) = tan x.Muestre que f no es uniformemente continua en [0, π/2), pero quepara cualquier δ > 0, f es uniformemente continua en [−(π/2) +δ, (π/2)− δ].

27



16. Sea fn(x), n = 1, 2, . . . una sucesión de funciones tal que | fn(x)| ≤ Mn,para todo x real y la serie ∑

∞n=0 Mn converge.

Demuestre que ∑∞n=0 fn(x) converge uniformemente.

17. Demuestre que una función diferenciable en (a, b) es continua en (a, b).

18. Demuestre que una sucesión monótona converge si y solo si está aco-tada.

19. Calcule los límites:

a) limn→∞

n ln(n)n2 + 1

; b) limx→∞

√x

√

x +√

x.

20. Demuestre que si f es diferenciable en (0, 1) y d f /dx es acotada en(0, 1), entonces f es uniformemente continua en (0, 1).

21. Sea f : [a, b] → IR una función continua. Se define g : [a, b] → R porg(a) = f (a) y g(x) = max{ f (t) : t ∈ [a, x]}. Demostrar que g escontinua en [a, b].

22. Sea f : [a, b] → IR una función creciente. Demuestre que f es Riemannintegrable en [a, b].

23. Definimos s1 :=√

2 y sn+1 :=√

sn + 2. Demuestre que la sucesión{sn}n está acotada por 2, que es convergente y calcule su límite.

24. Sea f continua para x ≥ 0, derivable para x > 0, con f ′ creciente yf (0) = 0. Demuestre que

g(x) :=f (x)

xx > 0

es creciente.

25. Sea f : IR → IR tal que | f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para cada x, y ∈ IR.Demostrar que f es diferenciable en IR y citar un teorema que permitaconcluir que f es constante.

28



26. Sea {xn}n una sucesión de números reales tal que

limn→∞

|xn+1||xn|

= r

con 0 ≤ r < 1. Demostrar que

limn→∞

xn = 0.

27. Sea f : [a, b] → IR continua. Demuestre que la función g : [a, b] → IRdada por

g(x) := max{ f (t) : t ∈ [a, x]}está bien definida y es continua.

28. Demuestre que si { fn} → f uniformemente en [a, b] entonces la suce-sión {Fn}n donde

Fn(x) =∫ x

afn

converge.

¿Es cierto que si, además, { fn}n es derivable la sucesión { f ′n}n es con-vergente? (Demostrarlo o dar un contraejemplo.)

29. Defina convergencia de una serie ∑ an; pruebe que si ∑ an es conver-gente entonces la sucesión {an} converge a 0. ¿Es cierto el inverso?(Demostrarlo o dar un contraejemplo.)

30. Muestre que si { fn} → f uniformemente en [a, b] entonces

{∫ b

afndx} →

∫ b

af dx.

¿Es cierto este mismo resultado si { fn} → f puntualmente? (De-mostrarlo o dar un contraejemplo.)

31. (a) Si f una función creciente y acotada sobre un intervalo (a, b); en-tonces f es de variación acotada en (a, b).

(b) Si f = g − h, donde g y h son crecientes y acotadas en (a, b), en-tonces f es de variación acotada en (a, b).

29



32. Sea f : IR → IR la función dada por

f (x) ={ 1

n , si; x = mn ∈ Q

0, si; x ∈ IR \ Q

Considere que m y n no tienen factores comunes. Pruebe que limx→c f (x) =0 para cada c ∈ IR.

33. Use la definición ε − δ para probar que

f (x) =1x

es continua en x = 1.

34. Sea f (x) = ax2

2 donde a > 0, consideremos

g(y) = supx∈IR

(xy − f (x)), y ∈ IR.

Muestre que g(y) = y2

2a y que además f ′ y g′ son inversas.

35. Considere la sucesión de funciones {gn}n∈N, donde para cada x ∈ IR,

gn(x) =1

n(1 + x2),

(a) Encuentre el límite puntual de {gn}n∈N para cada x ∈ IR(b) Se tiene convergencia uniforme de {gn}n∈N en IR?

36. Considere la sucesión de funciones { fn}n∈N, donde para cada x ∈ IR,

fn(x) =nx

1 + nx2 ,

(a) Encuentre el límite puntual de { fn}n∈N para cada x ∈ (0, ∞)

30



(b) Se tiene convergencia uniforme de { fn}n∈N en (0, ∞)?

(c) Se tiene convergencia uniforme de { fn}n∈N en (0, 1)?

(d) Se tiene convergencia uniforme de { fn}n∈N en (1, ∞)?

37. Una función f : R → R es localmente creciente en el punto x0 si existeδ > 0 tal que

f (x) < f (x0) < f (y)

siempre quex0 − δ < x < x0 < y < x0 + δ.

Muestre que una función que es localmente creciente en cada puntode R debe ser creciente, esto es, f (x) < f (y) para cualesquiera x < y.

38. Suponga que f : E → R tiene la siguiente propiedad: para todo e ∈ Eexiste ε > 0 tal que

f (x) > ε si x ∈ E ∩ (e − ε, e + ε).

Muestre que si el conjunto E es compacto entonces existe un real pos-itivo c tal que

f (e) > c

para cada e ∈ E. Muestre que cuando E no es cerrado o acotado, laconclusión puede fallar.

39. Sea C la colección de subintervalos cerrados de [a, b] con la propiedadde que para cada x ∈ [a, b] existe δ = δ(x) > 0 tal que C contienea los intervalos [c, d] ⊂ [a, b] que contienen a x y tienene longitudmenor que δ. Suponga que C tiene la propiedad de que si [α, β] y [β, γ]pertenecen a C también [α, γ] pertenece. Entonces [a, b] pertenece a C.

40. De un ejemplo de una cubierta abierta de Q que no contiene una sub-cubierta finita.

31



Ecuaciones Diferenciales

1. Resuelve la ecuación diferencial

x3 dydx

= x2y − 2y3.

2. Resuelva(2xy3 + 2)dx + (3x2y2 + ey)dy = 0.

3. Encuentra la solución general

y′′+ 2y′ − 3y = 4e2x.

4. Resolver el problema

y′′+ 2y′+ 3y = 0y(0)=2 y′(0)=−3 .

5. Encuentra la solución general de

y′′+ y = tan x.

6. Dibuja el plano fase del sistema

x = −x + 3yy = 2x − 2y

.

7. Encuentra los círculos límite de

x = y(1 − x2 − y2)y = −x(1 − x2 − y2)

.

8. Encuentre la solución de y′′ − 8y′ + 7y = 0.

9. Determine una solución general de la siguiente Ecuación de Cauchy-Euler para x > 0 usando la sustitución x = et: y′′ − 1

x y′ + 5x2 y = 0.

10. Determine una solución general de la ecuación: xy′′ + 3y′ − 3x y = x2

32



11. Encuentre la solución general de la ecuuación: x2y′′ + 3xy′ + y = x−1.

12. La ecuación de Bessel de orden un medio

x2y′′ + xy′ +(

x2 − 14

)

y = 0, x > 0

tiene dos soluciones linealmente independientes,

y1 = x−1/2 cos x, y2 = x−1/2 sin x.

Determine una solución general de la ecuación no homogénea

x2y′′ + xy′ +(

x2 − 14

)

y = x5/2, x > 0.

13. En los siguientes ejercicios:

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema dado.

(b) Bosqueje suficientes vectores para capturar la estructura geométrica.

(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.

i.

dxdt

=1

dydt

=0.

ii.

dudt

=u − 1

dvdt

=v − 1.

iii.

dxdt

=x

dydt

=1.

33



iv.

dxdt

=x

dydt

=− y.

v.

dydt

=− v

dvdt

=y.

14. Convierta la ecuación de segundo orden

d2ydt2 − y = 0

en un sistema de primer orden en términos de y y u, donde v = dy/dt.

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primerorden.

(b) Bosqueje suficiente vectores para describir su estructura geométrica.

(c) Describa en forma sucinta el comportamiento de las soluciones.

Repita lo anterior para la ecuación

d2ydt2 + 2y = 0.

15. En la gráfica anexa se dan 8 sistemas de ecuaciones y cuatro camposde direcciones. Determine el sistema que corresponda a cada campode direcciones y describa brevemente como supo elegir.

34



16. Convierta la ecuación de segundo orden

d2xdt2 + 2

dxdt

− 3x + x3 = 0

en un sistema de primer orden en términos de x y v = dx/dt.

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primerorden.

(b) Encuentre los puntos de equilibrio.

35



(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.

17. Considere el sistema

dxdt

=2x + 2y

dydt

=x + 3y

Para la función Y(t) =)x(t), y(t)) dada, averigüe si Y(t) es Y(t) essolución del sistema.

(a) Y(t) = (2et,−et).

(b) Y(t) = (3e2t + et,−et + e4t).

(c) Y(t) = (2et − e4t,−et + e4t).

(d) Y(t) = (4et + e4t,−2et + e4t).

18. Considere el sistema

dxdt

=2x + y

dydt

=− y.

(a) £porqué es inmediato que Y(t) = (e2t − e−t, e−2t) no es solucióndel sistema?

(b) £Hay una forma fácil de mostrar que Y(t) = (4e2t − e−t, 3e−t) essolución del sistema?

(c) Encuentre una solución general del sistema.

(d) £Se pueden elegir constantes de tal suerte que la de la solucióngeneral se obtenga la solución Y(t) = e−t, 3e−t)?

(e) Sin conocer la solución general, £cómo puede deducir que Y(t) =(e−t, 3e−t) no es solución?

(f) Determine una solución que satisfaga la condición inicial Y(0) =(x(0), y(0)) = (1, 0).

36



(g) En el plano fase xy, grafique la curva solución asociada a la solu-ción del inciso anterior. grafique las correspondientes x(t), y(t)-gráficas.

(h) Determine la solución que satisface la condión inicial Y(0) =(x(0), y(0)) = (−1, 3).

19. En los siguientes ejercicios considere la ecuación de segundo ordenpara y(t) dada.

(a) Grafique el campo de direcciones en el plano yv donde v = dy/dt.

(b) Encuentre dos soluciones 6= 0 que sean múltiplos una de la otra.

(c) Para cada solución, grafique su curva solución en el plano yv ysus y(t), x(t)-gráficas.

i.d2ydt2 + 3

dydt

− 10y = 0.

ii.d2ydt2 + 3

dydt

+ 2y = 0.

iii.d2ydt2 + 4

dydt

+ y = 0.

iv.d2ydt2 +

dydt

− 2y = 0.

20. Encuentre una solución del sistema dx/dt = |x|sen y y dy/dt = |y| cos x.

21. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt =ey + x2.

22. Convierta la ecuación de segundo orden d2y/dt2 = 1 en un sistema deprimer orden. Encuentre la solución general del sistema.

23. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt =sin(xy).

37



24. La forma general de una ecuación de segundo orden, lineal y ho-mogénea con coeficientes constantes es

d2ydt2 + p

dydt

+ qy = 0.

(a) Escriba el sistema de primer orden para esta ecuación, y trans-fórmelo a forma matricial.

(b) Muestre que si q 6= 0, el origen es el único punto de equilibrio delsistema.

(c) Pruebe que si q 6= 0, laúnica solución de la ecuación de segundoorden con y constante es y(t) = 0 para cada t.

25. Convierta la ecuación de tercer orden

d3ydt3 + p

d2ydt2 + q

dydt

+ ry = 0,

donde p, q, r son constantes, a un sistema lineal de tres dimensionesescrito en forma matricial.

26. Tenga en cuenta el sistema lineal

dYdt

=

(

2 01 1

)

Y

(a) Muestre que las funciones

Y1(t) =(

0et

)

y

Y2(t) =(

e2t

e2t

)

son soluciones de la ecuación difeerencial.

(b) Resuelva el problema con valores iniciales

dYdt

=

(

2 01 1

)

Y, Y(0) =(

−2−1

)

.

38



27. Considere el sistema lineal

dYdt

=

(

1 −11 3

)

Y.

(a) Muestre que la función

Y(t) =(

te2t

−(t + 1)e2t

)

es una solución de la ecuación diferencial.

(b) Resuelva el problema con valores iniciales:

dYdt

=

(

1 −11 3

)

Y, Y(0) =(

02

)

.

28. En los siguientes ejercicios se especifica una matriz de coeficiente parael sistema lineal

dYdt

= AY, Y(t) =(

x(t)y(t)

)

.

También se dan dos funciones y un valor inicial. Para cada sistema:

(a) Averigüe si las funciones son solución del sistema, de no serlodeténgase.

(b) determine si las soluciones son linealmente independientes, deno serlo, deténgase.

(c) Encuentre la solución al sistema lineal con el valor inicial dado.

i.

A =

(

−2 −12 −5

)

Funciones: Y1(t) = (e−3t, e−3t), Y2(t) = (e−4t, 2−4t). Valorinicial Y(0) = (2, 3).

ii.

A =

(

−2 −12 −5

)

Funciones: Y1(t) = (e−3t − 2e−4t, e−3t − 4e−4t), Y2(t) = (2e−3t +e−4t, 2e−3t + 2e−4t). Valor inicial Y(0) = (2, 3).

39



iii.

A =

(

−2 −33 −2

)

Funciones: Y1(t) = e−2t(cos 3t, sin 3t), Y2(t) = e−2t(− sin 3t, cos 3t).Valor inicial Y(0) = (2, 3).

iv.

A =

(

2 31 0

)

Funciones: Y1(t) = (−e−t + 12e3t, e−t + 4e3t), Y2(t) = (−e−t, 2e−t).Valor inicial Y(0) = (2, 3).

Álgebra

1. Suponga que (G, ∗) es un grupo de orden 3. Muestre que g ∗ g ∗ g = epara todo g ∈ G.

2. Muestre que existe un grupo G que contiene subgrupos H, K, L talesque H ∪ K ∪ L es el subgrupo generado por H, K, L pero H ∩ K ∩ L /∈{H, K, L}.

3. Suponga que H es un subgrupo de G, que H es finito generado y queel índice |G : H| es finito. Demuestre que G es finito generado.

4. Suponga que G esun grupo finito generado y que G está generado porun conjunto Y, donde Y no es necesariamente finito. Pruebe que existeun subconjunto X de Y finito tal que X genera a G.

5. Suponga que ϕ : G → H es un epimorfismo de grupos y que G esabeliano. Pruebe que H es abeliano.

6. Suponga que G está generado por el subconjunto X y que θi : G → Hson homomorfismos de grupo (i = 1, 2) tales que θ1(x) = θ2(x) paracada x ∈ X. Muestre que θ1 = θ2.

7. Suponga que H es un subgrupo de G y que |G : H| = 2. Demuestreque H ⊳ G.

40



8. Suponga que G es un grupo y que H ≤ Z(G), es decir, todos los ele-mentos de H pertenecen al centro de G. Más aún, suponga que G/Hes cíclico. Compruebe que G es abeliano.

9. Sea σ un a permutación del grupo simétrico Sn. Escriba σ como elproducto de cíclos ajenos. Muestre que el orden de σ es el mínimocomún múltiplo de la longitud de esto cíclos.

10. Exhiba un elemento del grupo simétrico de Z que es un producto in-finito de de cíclos infinitos ajenos.

11. Encuetre los enteros x, si es que alguno existe, que satisfaga las sigu-ientes congruencias:

3x ≡2 mod 712x ≡38 mod 1210x ≡3 mod 512x ≡1 mod 1325x ≡30 mod 15.

12. Encunetre las soluciones de la ecuación x2 = 0 en Z4. Haga lo mismopara Z5.

13. En Z12 encuentre las soluciones de x2 = x.

14. £Cuáles de los conjuntos Z3, Z4, Z5, Z6 contienen un elemento x talque 2x = 1? £Cuáles de ellos contienen un elemento y 6= 0 tal que2y = 0?

15. Si n es un enetero impar, pruebe que x = 0 es el único elemento en Znque satisface x = −x.

16. Muestre que si x = y + z y d es un divisor de dos de los tres enterosx, y, z, entonces d es divisor del tercero.

17. Si m es un entero positivo, pruebe que (ma, mb) = m(a, b).

18. Si x = yn + t, demuestre que (x, n) = (t, n).

19. Sean a, b, n enteros. Pruebe que n se puede expresar como combi-nación lineal de a y b si y sólo si (a, b)|n.

41



20. Muestre que (a, bc) = 1 si y sólo si (a, b) = 1 y (a, c) = 1.

21. Defina el máximo común divisor de tres enteros a, b, c y verifique quees igual a ((a, b), c).

22. Demuestre la siguiente variante del algoritmo de la división: si a, b ∈Z con b ≥ 1, entonces existen enteros únicos q y r tales que

a = bq + r, −b/2 < r ≤ b/2.

23. Si p es un primo que divide a a2, para algún entero a, pruebe que p|a.

24. Si p1, p2, . . . , pn son primos, muestre que el entero 1 + (p1 p2 · · · pn) noes divisible por ninguno de los pj.

25. Sea n un enetero positivo, Demuestre que todo primo divisor de 1+ n!es mayor que n.

26. Muestre que un enetero positivoo a > 1 es el cuadrado de un enterosi y sólo si los exponentes de la descomposición como producto deprimos de a son enteros pares.

27. Compruebe que si b, c son eneteros positivos tales que bc es el cuadradode un entero y si (b, c) = 1, entonces b y c son cuadrados de aenteros.

28. Para un enetero positivo n, sea d(n) la cantidad de enteros positivosque dividen a n.

(a) Si p es un primo, muestre que d(pk) = k + 1.

(b) Si m, n son eneteros positivos con m, n) = 1, pruebe que d(mn) =d(m)d(n).

(c) Si p, q son primos, muestre que d(pkqk) = (k + 1)(h + 1).

(d) Generalice el inciso previo para encontrar una fórmula generalpara d(n) que se pueda calcular a partir de la descomposicióncomo producto de primos de n.

29. Determine los isomorfismos del grupo (Z6,+) con (Z7, ·).

30. Sea G un grupo cíclico de orden n y H un grupo cíclico de orden m.

42



(a) Pruebe que existe un homomorfismo de G sobre H si y s’olo sim|n.

(b) Si θ : GtoH es un hommomorfismo, muestre que el orden de g[G]divide a (n, m).

31. Demuestre que el grupo cíclico de orden 6 es el producto directo deun grupo cíclico d orden 2 y un grupo cíclico de orden 3.

32. Sea G = (R − {0}, ·) y H = ((0, ∞], ·) ≤ G . Encuentre los elementosrepresentativos de las distintas clases laterales de H en G y mustre que|G : H| = 2.

33. Pruebe que un grupo de orden n tiene un subgrupo propio si y sólo sin no es primo.

34. Sean p un primo y G un grupo abeliano que contiene a los elementosa, b tales que a no pertenece al grupo cíclico generado por b y a, b tienenorden p. Demuestre que {aibj : 0 ≤ i, j ≤ p − 1} es un subgrupo deorden p2.

35. Muestre que un grupo abeliano de orden 6 debe ser cíclico.

36. Muestre que todo grupo G con identidad e tal que x ∗ x = e para todax ∈ G es abeliano.

37. Si ∗ es una operación binaria en un conjunto S, un elemento x de S esidempotente para ∗ si x ∗ x = x. Pruebe que un grupo tiene exacta-mente un elemento idempotente.

38. Muestre que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces{hk : h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G.

39. Pruebe que un grupo cíclico con un sólo generador puede tener a lomás dos elementos.

40. Muestre que si a ∈ G, donde G es un grupo finito con identidad e,entonces existe n > 0 tal que an = e.

41. Muestre que si H ≤ G y K ≤ G, entonces H ∩ G ≤ G.

42. Sean G un grupo y a ∈ G. Muestre que la transformación λa : G → Gdada por λa(g) = ag para g ∈ G, es una permutación de G.

43



43. Sean p y q números primos. Encuentre el número de generadores delgrupo cíclico Zpq.

44. Sea p un primo. Encuentre el número de generadores del grupo cíclicoZpr .

45. Sea (S, ∗) el grupo de los reales excepto el −1 con la operación a ∗b = a + b + ab. Demuestre que (S, ∗) es isomorfo al grupo R∗ de losnúmeros reales distintos de cero con la multiplicación.

46. Sean G un grupo y g ∈ G. Demuestre que la transformación ig(x) =

gxg−1 para x ∈ G es un automorfismo de G.

47. Pruebe que todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a Zn.

48. Considere un grupo abeliano G y H el subconjunto de G que consta dela identidad junto con todos los elementos de G de orden 2. Muestreque H es un subgrupo de G.

49. Recuerde que ig(x) = gxg−1. Demuestre que el conjunto de las g ∈ Gtales que ig : G → G es el automorfismo identidad ie es un subgruponormal de G.

50. Muestre que si un grupo finito G contiene exactamente un subgrupoH de un orden dado, entonces H es un subgrupo normal de G.

Análisis Complejo

1. Sea n ∈ Z. Muestre que si n = 4r + 3, con 0 ≤ r ≤ 3, entonces

in =

1, si r = 0i, si r = 1−1, si r = −2−i, si r = 3.

44



2. Muestre por inducción que, para toda z 6= 1,

1 + 2z + 3z2 + · · ·+ nzn−1 =1 − (n + 1)zn + nzn+1

(1 − z)2

Deduzca que, si |z| < 1,

∞

∑n=1

nzn−1 =1

(1 − z)2 .

3. Encuentre la suma de la serie

cos θ + cos 3θ + · · ·+ cos(2n + 1)θ.

4. Sea γ = ρeθ(/∈ IR) una raíz de P(z) = 0, donde

P(z) = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0,

y a0, a1, . . . , an son reales. Muestre que γ también es una raíz e infieraque z2 − 2ρ cos θ + ρ2 es un factor de P(z).

5. Determine las raíces de las ecuaciones:

(a) z2 − (3 − i)z + (4 − 3i) = 0.

(b) z2 − (3 + i)z + (2 + i) = 0.

6. Determine las raíces de z5 = 1 y deduzca que

z5 − 1 = (z − 1)(z2 − 2z cos2π

5+ 1)(z2 − 2z cos

4π

5+ 1).

Infiera que

cos2π

5+ cos

4π

5= −1

2, cos

2π

5cos

4π

5= −1

4.

Concluya que

cosπ

5=

√5 + 14

, cos2π

5=

√5 − 14

.

45



7. Sea p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn un polinomio de grado n.Muestre que

lim|z→∞

p(z)anzn = 1.

8. Muestre que ez = ez para toda z ∈ C, y deduzca que

sen z = sen z, cos z = cos z.

9. Muestre que si F(z) = cosh2 z − sinh2 z, entonces F′(Z) = 0, y de-duzca que cosh2 z − sinh2 z = 1 para toda z.

10. Demuestre que z 7→ tan z es meromorfa, con polos simples en (2n +1)π/2 (n ∈ Z).

11. Investigue las singularidades de z 7→ 1/(z sin z).

12. Sea r una función racional con un polo de orden k en el punto c.Muestre que la derivada de r tiene un polo de orden k + 1 en c.

13. Sea γ(t) = z − a − t (0 ≤ t ≤ h). Pruebe que

∫

γ

dζ

ζn+1 =1n

(

1(z − a − h)n − 1

(z − a)n

)

.

14. Evalue∫

γ f (z)dz, donde

(a) f (z) = Re(z), γ(t) = t2 + it, t ∈ [0, 1].

(b) f (z) = z2, γ(t) = eit, t ∈ [0, π].

(c) f (z) = 1/z, γ(t) = eit, t ∈ [0, 6π].

15. Sea n

f (z) =z3 − 4z + 1

(z2 + 5)(z3 − 3),

y γ(t) = Reit (0 ≤ t ≤ π). Demuestre que∣

∣

∣

∣

∫

γf (z)dz

∣

∣

∣

∣

≤ πR(R3 + 4R + 1)(R2 − 5)(r3 − 3)

.

46



16. Aplique el Teorema de Cauchy a ez e integre alrededor de un contornocircular para probar que

∫ 2π

0er cos θ cos(r sen θ + θ)dθ = 0.

17. Evalue las siguientes integrales:

(a)∫

κ(0,1)ekz

zn+1 dz,

(b)∫

κ(0,2)z3

z2−2z+2dz,

(c)∫

κ(0,2)ez

πi−2zdz,

donde κ(a, r) es un círculo con centro en a y radio r.

18. Evalue∫

κ(0,2)

zm

(1 − z)n dz (m, n ∈ N).

19. Suponga que la función f es holomorfa en N(a, R) (la bola con centroen a y radio R). Pruebe que, si 0 < r < R,

f ′(a) =1

πr

∫ 2π

0F(θ)e−iθdθ,

donde F(θ) es la parte real de f (a + reiθ).

20. Suponga que la función f es holomorfa en N(0, R′), y sea a tal que|a| = r < R < R′.

(a) Demuestre que

f (a) =1

2πi

∫

κ(0,R)

R2 − aa(z − a)(R2 − za)

f (z)dz.

(b) Deduzca la fórmula de Posson: si 0 < r < R, entonces

f (reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2 f (Reiϕ)dϕ.

47



21. Sea zk ∈ C cualquier raíz n-ésima de la unidad, pruebe que

1 + zk + z2k + · · ·+ zn−1

k = 0, si zk 6= 1.

22. Muestre que, en z = 0, la función

f (z) =

{

z3

|z|2 , si;z 6= 0,0, si; z = 0

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivadaen ese punto.

23. Si z = x + iy, muestre que no existe una función entera cuya derivadasea la función f (z) = x.

24. Sea g : [0, 1] → IR continua. Defina

f (z) =∫ 1

0

g(t)1 − zt

dt, |z| < 1.

Pruebe que f es analítica en |z| < 1 y encuentre su derivada.

25. Encuentre las tres soluciones de z3/2 = 4√

2 + i4√

2.

26. Encuentre las raices de la ecuación z4 − 4z3 + 6z2 − 4z+ 5 = 0 suponiendoque z1 = i es una rraíz.

27. SeaS = {z1, z2, . . . , zn} es un conjunto finito de números complejos.Muestre que S está acotado en C.

28. De una prueba de que la imagen de un círculo respecto a una transfor-mación lineal es un círculo.

29. Muestre que la transformación lineal que aplica el círculo |z − z0| = r1sobre el círculo |w − w0| = r2 se puede expresar como

A(w − w0) = (z − z0)r2, donde|A| = 1.

48



30. Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos respecto a la apli-cación w = z1/2.

(a) {reiθ : r > 1, π/3 < θ < π/2}.

(b) {reiθ : 1 < r < 9, 0 < θ < 2π/3}.

(c) {reiθ : r < 4,−π < θ < π/2}.

31. Sea f (z) = z2

|z|2 .

(a) Encuentre limz→0 f (z) sobre la recta y = x.

(b) Determine limz→0 f (z) sobre la recta y = 2x.

(c) Calcule limz→0 f (z) sobre la parábola y = x2.

(d) £Qué se puede concluir sobre el límite de f (z) cuando z → 0?

32. Sea f (z) = z/z. Muestre que f (z) no tiene límite conforme z → 0.

33. Sea f (z) = zRe(z)|z| cuando z 6= 0 y f (0) = 0. Muestre que f es continua

para toda z.

34. Sea f (z) = Re(z)/|z| cuando z 6= 0 y f (0) = 1. £Es f (z) continua enel origen?

35. Suponga |g(z)| ≤ M y que limz→z0 f (z) = 0. Demuestre que limz→z0 f (z)g(z) =0.

36. Pruebe que ddz

1z = −1

z2 .

37. Decida cuáles de las siguientes funciones son eneteras, suponiendoque f y g lo son:

(a) ( f (z))3 .

(b) f (1/z).

(c) f (z)g(z).

(d) f (z − 1).

(e) f (g(z)).

49



38. sea P el polinomio de grado 2 dado por

P(z) = (z − z1)(z − z2),

donde z1 y z2 son distintos. Demuestre que

P′(z))P(z)

=1

z − z1+

1z − z2

.

39. Muestre que f (z) = (y + ix)/(x2 + y2) es diferenciable para todo z 6=0.

40. Sea f (z) = |z|2. Pruebe que f es diferenciable en z0 = 0 pero no lo esen ningún otro punto.

41. Muestre que las siguientes funciones son enteras:

(a) f (z) = cosh x sin y − i sinh x cos y.

(b) cosh x cos y + i sinh x sin y.

42. Sea f (z) = x2 − y2 + i2|xy|.

(a) £Donde tien f derivada?

(b) £donde es f analítica?

43. Encuentre la función analítica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) dado lo sigu-iente:

(a) u(x, y) = y3 − 3x2y.

(b) u(x, y) = sin y sinh x.

(c) v(x, y) = ey sin x.

(d) v(x, y) = sin x cosh y.

44. suponga que u(x, y) es armónica. Pruebe que U(x, y) = u(x − y) esarmónica.

45. En los siguientes problemas encuentre la imagen del conjunto dadorespecto a la aplicación reciprocaw = 1/z en el plano complejo exten-dido.

50



(a) El círculo |z| = 5.

(b) El semicírculo |z| = 12 , π/2 ≤ arg(z) ≤ 3π/2.

(c) El semicírculo |z| = 3, −π/4 ≤ arg(z) ≤ 3π/4.

(d) El cuarto de círculo |z| = 14 , π/2 ≤ arg(z) ≤ π.

(e) La linea y = 4.

(f) La linea x = 16 .

46. En los siguientes problemas conteste Verdadero o Falso. Si la afirma-ción es verdadera justifique su respeusta, si es Falsa dé un contraejem-plo.

(a) Si |ez| = 1, entonces z es un número imaginario puro.

(b) Re(ez) = cos(y).

(c) La aplicación w = ez transforma rectas verticales en el plano zsobre rectas horizontales en el plano w.

(d) Existen una cantidad infinita de soluciones z para la ecuaciónez = w.

(e) ln(i) = 12πi.

(f) Im(ln(z)) = arg(z).

(g) Para todo complejo z 6= 0, eLn(z) = z.

(h) Si w1, w2 son dos valores de ln(z), entonces Re(w1) = Re(w2).

(i) Ln(1z ) = −Ln(z) para cada z 6= 0.

(j) Para cualesquiera complejos no cero, Ln(z1z2) = Ln(z1)+ Ln(z2).

(k) Ln(z) es una función entera.

(l) El valor principal de ii+1 es e−π/2+i.

(m) La potencia compleja zα siempre es multi valuada.

(n) cos z es periódica con periodo 2π.

(o) Existen complejos z tales que | sin(z)| > 1.

(p) tan(z) tiene singularidades en z = (2n+ 1)π/2, para n = 0,±1,±2, . . ..

(q) cosh(z) = cos(iz).

(r) z = 12πi es un cero de cosh(z).

51



(s) La función sin(z) nunca es analítica.

(t) Cualquier rama de tan−1(z) es entera.

Topología General

1. Sean ∆ el conjunto de (x, y) ∈ R2 tales que x2 + y2 ≤ 1, S el conjuntode puntos de R2 de la forma (x, 0) con 0 ≤ x ≤ 1, y A = ∆ − S.Encuentre el interior, exterior, frontera y cerradura de A (en R2).

2. Sea X un espacio topológico. Si A es un subconjunto de X, denotamoscon Fr(A) la frontera de A, es decir, Fr(A) = A − A.

(a) Demuestre que Fr(A) ⊂ Fr(A), Fr(A) ⊂ Fr(A). Pruebe medi-ante un ejemplo (que estos tres pueden ser distintos. (Intente conX = R, A = Q ∩ [0, 1]). Compruebe que

Fr(A ∪ B) ⊂ Fr(A) ∪ Fr(B).

Encuentre un ejemplo para ilustrar que estos tres conjuntos puedenser distintos. Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces Fr(A ∪ B) =Fr(A) ∪ Fr(B).

3. (a) Cerciórese de que un conjunto con dos elementos hay 4 posiblestopologías.

(b) En un conjunto finito, pruebe que la uníca topología Hausdorff esla discreta.

4. Demuestre que un subconjunto abierto de R es la unión de una suce-sión de intervalos abiertos ajenos entre sí.

5. Usualmente se identifica R con el subconjunto R × {0} de R2. En-tonces [0, 1] tiene interior no vacío relativo a R, pero tiene interiorvacío relativo a R2.

6. Sea X el conjunto R equipado con la topología discreta. Muestre quela identidad de X en R es continua, pero no es abierta o cerrada.

52



7. Sean X, Y espacios topológicos, f una aplicación de X en Y. Las sigu-ientes condiciones son equivalentes:

(a) f es continua y cerrada.

(b) f (A) = f (A) para todo subconjunto A ⊆ X.

8. Sea E un espacio topológico e I = [0, 1]. En el espacio producto E × I.Considere la relación de equivalencia R cuyas clases son:

(a) Los conjuntos con un elemento {(x, t)} donde x ∈ E, t ∈ I, t 6= 1;

(b) el conjunto E × {1}.

El espacio topológico C = (E × I)/R es el cono sobre E.

(a) Para x ∈ E, denote por f (x) la imágen canónica de (x, 0) en C.Demuestre que f es un homeomorfismo de E sobre f (E).

(b) Comprueba que E es Hausdorff si y sólo si C es Hausdorff.

9. Sea X un espacio topológico, L un subconjunto de X y x ∈ L. Decimosque L es localmente cerrado en x si existe una vecindad V de x en Xtal que L ∩ V es cerrado en el subespacio V. L es localmente cerradoen X si es localmente cerrado en cada uno de sus puntos.

(a) Muestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) L es localmente cerrado;

(ii) L es abierto en L;

(iii) L es la intersección de un abierto y un cerrado en X.

(b) La imagen inversa de un subconjunto localmente cerrado respectoa una aplicación continua es localmente cerrado.

(c) Si L1 y L2 son localmente cerrados en X, entonces L1 ∩ L2 es local-mente cerrado en X:

(d) Si L1 es es localmente cerrado en L2, y L2 es localmente cerrado enL3, entonces L1 es localmente cerrado en L3.

(e) Suponga que L es localmente cerrado en X. Sea U una familia deabiertos U de X con L ⊆ U y L cerrado en U. Sea F la frontera de Lcon respecto a L. Pruebe que X − F es el mayor elemento de U .

53



10. Sean X, Y espacios topológicos.

(a) Sean x, x1, x2, . . . ∈ X y y, y1, y2, . . . ∈ Y. Si la sucesión ((xn, yn))admite (x, y) como punto de adherencia en X × Y, entonces lasucesión (xn) (repectivamente (yn)) admite x (respectivamentey) como punto de adherencia en X (respectivamente Y).

(b) Demuestre que existe una sucesión ((xn, yn)) en R2 que no ad-mite ningún punto de adherencia, aunque las sucesiones (xn) y(yn) tengan un punto de adherencia en R.

11. Compruebe que las proyecciones canónicas de un espacio producto asus factores son abeirtos.

12. Sean X, Y espacios topológicos A ⊆ X y B ⊆ Y. Muestre que lassiguientes topologías en A × B coinciden:

(a) La topología inducida por la topología producto en X × Y;

(b) El producto de las topología inducidas en A y B.

13. En Rn, defina una relación de equivalencia R: (x1, x2, . . . , xn) y (y1, y2, . . . , yn)son R-equivalentes si xi − yi ∈ Z para toda i. Muestre que el espaciocociente Rn/R es homemorfo a Tn, donde T es el círculo unitario enR2.

14. Sean X, Y espacios Hausdorff, f un a aplicación continua de X en Y.Verifique que la gráfica de f es un subconjunto cerrado de X × Y.

15. Sea E un espacio topológico, F y G subconjuntos de E tal que G ⊆ F.Demuestre que para que G sea cerrado en F, es necesario y suficienteque G ∩ F = G, dondes G es la cerradura de G en E.

16. En R2 equipado con la métrica usual, sea D un disco abierto con centroen x0 y radio α > 0 y A un compacto contenido en D. Compruebe queexiste α′ ∈ (0, α) tal que A está contenido en el disco abiero con centroen x0 y radio α′.

17. Sean E un esapcio Hausdorff, (x1, x2, . . .) una sucesión de puntos en Eque tiende a x ∈ E. Muestre que {x1, x2, . . .} es compacto.

18. Verifique que los espacios topológicos (0, 1) y [0, 1] no son homeomor-fos.

54



19. Sea A = Rn+1 − {0}. Defina una relación de equivalencia Rn en A dela siguiente forma: dos puntos x, y ∈ A son R-equivalentes si existet ∈ R − {0} tal que y = tx. El espacio cociente A/Rn se denota Pn(R)y se llama el espacio proyectivo real de dimensión n.

(a) Sea π la aplicación canónica de A sobre Pn(R). Muestre que π esabierto.

(b) Demeustre que π no es cerrada.

(c) Sea Γ = {(x, y) ∈ A × A : xRy}. Verifique que Γ es cerrado.Deduzca que Pn(R) es Hausdorff.

20. Sean (X, d) un espacio métrico, A, B, C subconjuntos de X. Demeustreque no necesariamente ocurre d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C).

21. Sean X un espacio métrico, A un subconjunto cerrado de X, B un sub-conunto compacto de X. Suponga que A ∩ B = ∅. Demeustre qued(A, B) > 0.

22. Muestre que para toda familia {Os : s ∈ S} de topologías en un con-junto X existe una topología en X que es la menor cota superior de{Os : s ∈ S} (es decir, la más gruesa que es más fina que cualquiera delas Os) y que existe una topología en X que es la mayor cota inferior delas {Os : s ∈ S} (es decir, la topología más fina en la familia de todaslas topologías de X más gruesa que cualquiera de las Os.)

23. Demuestre que para todo conjunto abierto U en un espacio topológicoX y cada A ⊆ X se cumple U ∩ A = U ∩ A.

24. Verifique que para todo cerrado F en un espacio topológico X y cadaA ⊆ X es cierto que Int((F ∪ Int(A))) = Int(F ∪ A), donde Int(A) =A.

25. Muestre que cualquier subespacio abierto de un espacio denso en sımismoes denso en sí mismo.

26. Una familia {As : s ∈ S} de subconjuntos de un espacio topológico Xes localmente finita si para todo punto x ∈ X existe una vecindad U dex tal que {s ∈ S : U ∩ As 6= ∅} es finita. Sea {As : s ∈ S} una familialocalmente finita de un espacio X.

55



(a) Muestre que Fr(⋃

s∈S As) ⊆⋃

s∈S Fr(As).

(b) Verifique que si todos los mimebros de la familia {As : s ∈ S} sondensos en ninguna parte en X, entonce la unión

⋃

s∈S As tambiénes densa en ninguna parte en X.

27. Verifique que una aplicación f : X → Y es cerrada si y sólo si f (A) =f (A) para cada A ⊆ X y que f es una aplicación abierta si y sólo si escontinua y f (Int(A)) ⊆ Int(A) para toda A ⊆ X. Dé un ejemplo parailustrar que la última contención no puede sustituirse por igualdad.

28. Muestre que una aplicación f X → Y es abierta si y sólo si f−1(B) =f−1(B), equivalente Int( f−1(B) = f−1(Int(B)) para cada B ⊆ Y.

Lógica Matemática

1. Describa una fórmula equivalente a ϕ → ψ pero que sólo involucre elconectivo ↓, también conocido como NOR ≡ P NOR Q ≡ ¬P ∧ ¬Q.

2. Existe un conectivo ↑ (en ingles se denota NAND) que tiene la mismatabla de verdad que ¬(ϕ ∧ ψ).

(a) Escriba la tabla de verdad de ↑.

(b) Determine si ↑ es asociativo.

(c) Demuestre que

(ϕ ∧ ψ) ⇔ [(ϕ ↑ ψ) ↑ (ϕ ↑ ψ)].

(d) Determine si ↑ distribuye sobre ↓.

(e) Determine si ↓ distribuye sobre ↑.

3. Traduzca los siguientes enunciados al lenguaje proposicional, use lasvariables proposicionales indicadas

a) No es el caso que Óscar apruebe lógica suponiendo que él estudiey no haga la tarea (P,S, H).

56



b) Una condición suficiente para que Óscar apruebe lógica es queestudie y haga la tarea (P,S,H).

c) Si pierdo el tren, llegaré 10 minutos tarde, suponiendo que elsiguiente tren es puntual (M,L,N).

d) Si lógica es difícil, Óscar y Virginia aprobarán sólo si estudian(D,O,V,S).

e) Si la función f es continua en el intervalo (a, b), entonces f tieneun máximo en [a, b] o f no es continua en a y b (C,M,A,B).

f) Una condición necesaria para que la función f tenga un máximoen [a, b] es que f sea continua en (a, b) y f sea continua en a y enb (M,C,A,B).

4. Encuentra la conversa, inversa y contrapositiva de cada uno de lossiguientes enunciados condicionales

a) Si −→v es paralelo a −→w , entonces |−→v · −→w | = ||−→v || ||−→w ||.b) Dos rectas se intersectan si no son paralelas.

c) Una condición necesaria para que dos triángulos sean similareses que tengan lados iguales.

5. Dé la tabla de verdad de cada fórmula

a) A → (B → ¬A);

b) A ∧ ¬A → B ∨ ¬C;

c) (A ∧ ¬B ∧ C ∧ D) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C ∧ ¬D).

6. Para cada una de los siguientes parejas, use las tablas de verdad paradeterminar si

i) α ⇒ β.

ii) β ⇒ α.

iii) α ⇔ β.

iv) Ninguna de estas

a) α ≡ A → (B → ¬C) β ≡ A → (¬B → C);

57



b) α ≡ A ∧ B → ¬C β ≡ A → (C → ¬B);

c) α ≡ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) β ≡ C ∧ ¬C;

d) α ≡ (A → B) ∨ C β ≡ (A ↔ B) ∧ C;

7. Traduzca los argumentos y determine su validez mediante tablas deverdad. Recuerde que un argumento consiste en un conjunto de premisasy una conclusión. El argumento es válido si siempre que las premisasson verdaderas, también la conclusión lo es.

a) Si Óscar asiste a clases, Miriam o Virginia asisten a clase. Miriamno asiste a clase. Por lo tanto, Virginia asiste a clase si Óscar lohace (O,M,V).

b) Si Óscar asiste a clase, entonces Virginia asiste a clase sólo si Jorgeasiste a clase. Jorge asiste a clase. Por lo tanto, si Óscar asiste aclase, Virginia también lo hace (O,V,J).

c) Una condición necesaria para que Óscar asista a clase es que Miriamo Virginia asistan. Una condición suficiente para que Virginiaasista a clase es que Jorge asista. Sin embargo, Jorge no asistea menos que Miriam asista, y Virginia asiste sólo si Óscar asiste.Por lo tanto, Virginia asiste a clase si y sólo si Óscar asiste (O,M,V,G).

8. Determine la validez de cada uno de los siguientes argumentos us-ando tablas de verdad

a) – Premisas: O → M ∨ V, M, V → O.– Conclusión: O.

b) – Premisas: O → M, G → V,¬M ∨ ¬V, G ∨ ¬M.– Conclusión: O ↔ ¬G.

c) – Premisas: O ∧ G → V, V → ¬M, ¬J → M, M → ¬G.– Conclusión: G → (O → J).

d) – Premisas: (M → O)∧ (G → V), M ∨ G, O.– Conclusión: O ∧ V.

9. Demuestre las leyes de De Morgan para proposiciones α1, . . . , αn, esdecir

58



a) ¬(α1 ∨ α2 ∨ · · · ∨ αn) ≡ ¬α1 ∧ ¬α2 ∧ · · · ∧ ¬αn.

b) ¬(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) ≡ ¬α1 ∨ ¬α2 ∨ · · · ∨ ¬αn.

No intente escribir las tablas de verdad. Argumente directamente delas condiciones de veracidad para disyunción y conjunción.

10. Un conjunto C de conectivos lógicos es adecuado si dada cualquierfórmula ϕ del cálculo proposicional, podemos encontrar una fórmulaψ construida exclusivamente mediante variables proposicionales y conec-tivos en C tal que ϕ ≡ ψ. Muestre que {¬,∨} es adecuado. Pruebe que{¬,→} es un conjunto adecuado.

11. Recuerde que un conjunto Σ de fórmulas es consistente si existe unaasignación que hace cierta a cada fórmula en Σ. Determine si los sigu-ientes conjuntos son consistentes.

(a) Σ = {A ∧ ¬B, A → B}.

(b) Ψ = {A ∨ ¬B, B ∨ ¬A, A → C}.

(c) Θ = {A ∨ C ∨ G, F → G, G ↔ A}.

(d) Σ = {A ∧ B → C, A ∧ ¬C}.

(e) Ψ = {A → B ∨ C, A ∧ ¬B}.

12. Si Σ = {A ∨ B, A → C}, pruebe que Σ |= B ∨ C.

13. Si Σ = {A ↔ C, B ↔ D, (A ∨ B) ∧ (C ∨ D)} pruebe que Σ 6|= (A ∧B) ∨ (C ∧ D).

14. Pruebe que si {A,¬B} |= C ∧ ¬C entonces {A} |= B.

15. Pruebe que si Σ ∪ {A} |= B, entonces Σ |= A → B.

16. Sea Ψ un conjunto de fórmulas cerrado respecto a ∧,∨ y ¬, y Σ unsubconjunto consistente de Ψ. Decimos que Σ es máximo consistentesi, para todo Σ′ ⊆ Ψ con Σ ⊆ Σ′, Σ′ es inconsistente. Pruebe que unconjunto Σ es máximo consistente si y sólo si para toda proposiciónσ ∈ Ψ, ocurre exactamente una de las siguientes afirmaciones:

i) σ ∈ Σ.

ii) ¬σ ∈ Σ.

59



17. Muestre que los siguientes enunciados son equivalentes.

(a) ϕ |= ψ

(b) |= ϕ → ψ,

(c) ϕ ∧ ¬ψ no es satisfacible,

(d) ϕ ≡ ϕ ∧ ψ, donde ϕ ≡ ψ significa que ψ |= ϕ y ϕ |= ψ.

18. Sea Σ un conjunto finito de fórmulas y ∧Σ la conjunción de sus miem-bros. Pruebe que para cualquier fórmula las siguientes afirmacionesson equivalentes

a) Σ |= α.

b) |= ∧Σ → α.

c) |= ⊢ α.

19. Si Σ1, Σ2 son conjuntos de fórmulas, determine si las siguientes afir-maciones son ciertas (recuerde que Cn(Σ) denota el conjunto de con-secuencias lógicas de Σ, es decir, el conjunto de fórmulas ϕ para lascuales se cumple Σ |= ϕ.

a) Cn(Σ1 ∪ Σ2) = Cn(Σ1) ∪ Cn(Σ2).

b) Cn(Σ1 ∩ Σ2) = Cn(Σ1) ∩ Cn(Σ2).

Si la afirmación es falsa, proporcione un contraejemplo. Si es cierta,demuéstrela.

20. Suponga que el conjunto Σ es consistente, pruebe que Σ ∪ {ϕ} es in-consistente si y sólo si Σ |= ¬ϕ.

21. Si Σ1 ⊆ Cn(Σ2) entonces Cn(Σ1 ∪ Σ2) = Cn(Σ2).

22. (a) Encuentre una fórmula ϕ en FNC que tenga la siguiente tabla deverdad.

60



A B C ϕF F F FV F F VF V F VF F V VV V F FV F V FF V V FV V V V

(b) Encuentre una fórmula en FND que tenga la tabla de verdad ante-rior.

23. Dadas las siguientes tablas de verdad, encuentre una fórmula ϕ quetenga la tabla de verdad dada. Después encuentre la FNC de la fór-mula ϕ.

i) La primera tabla es

P Q R S ϕV V V V FV V V F FV V F V FV V F F FV F V V VV F V F VV F F V VV F F F FF V V V FF V V F FF V F V FF V F F VF F V V FF F V F FF F F V VF F F F V

ii) La segunda tabla es:

61



A1 A2 A3 A4 ϕV V V V FV V V F FV V F V FV V F F VV F V V VV F V F VV F F V FV F F F FF V V V FF V V F VF V F V FF V F F FF F V V FF F V F FF F F V VF F F F F

24. Encuentre fórmulas en FNC equivalentes a cada una de las siguientes.

(a) (A ↔ B) ↔ C.

(b) (A → (B ∨ C)) ∨ (C → ¬A).

(c) (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ (B ∧ C) ∨ A.

25. Sean Φ y Ψ conjuntos de fórmulas. Decimos que Φ es equivalente a Ψ,Φ ≡ Ψ, si para toda asignación A, A |= Φ si y sólo si A |= Ψ.

(a) Muestre que lo siguiente es cierto:Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ, si y sólo si Φ |= ψ para cadaψ ∈ Ψ y Ψ |= ϕ para cada ϕ ∈ Φ.

(b) Demuestre que lo siguiente no es cierto:Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ si y sólo si para cada ψ ∈ Ψexiste ϕ ∈ Φ tal que ψ |= ϕ y para cada ϕ ∈ Φ existe ψ ∈ Ψ talque ϕ |= ψ.

26. Considere el conjunto de variables P = {A1, . . . , An}.

62



(a) Muestre que la siguiente fórmula es una tautología.

∨

1≤i<j≤n

(Ai ∧ Aj)

↔∧

1≤i≤n

∨

j 6=i

Aj

.

(b) £Qué asignación en P hace falsa la siguiente fórmula:

(

∨

1≤i≤n

Ai

)

↔∧

1≤i≤n

∨

j 6=i

Aj

?

(c) Muestre que la fórmula previa es lógicamente equivalente a

∧

1≤i≤n

Ai →∨

j 6=i

Aj

.

27. Considere un conjunto P de variables. Identificamos {0, 1}(= {V, F})con el campo 〈Z2,+,×, 0, 1〉.

(a) Exprese los conectivos usuales en términos de + y ×.

(b) Exprese las operaciones + y × usando los conectivos usuales.

(c) Muestre que cada fórmula proposicional ϕ[A1, . . . , An] se puedeasociar con un polinomio en n incógnitas Pϕ ∈ Z2[X1, . . . , Xn] talque para toda asignación A, se cumple

A(ϕ) = Pϕ(A(A1), . . . ,A(An)),

donde Pϕ denota a la función polinomial (de {0, 1}n a {0, 1}) aso-ciada con el polinomio Pϕ. Dada una fórmula ϕ £es único el poli-nomio Pϕ?

(d) De lo anterior, deduzca un procedimiento para determinar si dosfórmulas son lógicamente equivalentes o si una fórmula es unatautología.

63



guia para preparar el examen de ingreso al posgrado en...

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