GUIA PARA EL EXAMEN DE TITULO DE SUFICIENCIA DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I (2014A)

PROFESOR : FRANCISCO HERNANDEZ LUGO

Primera Parte Conceptos de Estadística Población

Una población es e l conjunto de todos los e lementos a los que se somete a un estud io estad íst i co .

Individuo Un indiv iduo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen

la pob lación.

Muestra Una muestra es un conjunto representat ivo de la pob lación de re ferenc ia , e l

número de ind iv iduos de una muest ra es menor que e l de la pob lac ión.

Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estud iar, obtenidos de una

proporción reduc ida y representat iva de la pob lac ión.

Valor Un valor es cada uno de los d i s t intos resul tados que se pueden obtener en un

estud io estad ís t i co . S i l anzamos una moneda a l a i re 5 veces obtenemos dos va lores: cara y cruz .

Dato Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido a l rea l i zar un estud io

estad íst i co . S i l anzamos una mo neda a l a i re 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz .

Definic ión de variable Una variable estadíst ica es cada una de las característ icas o cual idades que

poseen los individuos de una población .

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa Las variables cual itat ivas se re f ie ren a característ icas o cual idades que no

pueden ser med idas con números . Podemos d i s t ingui r dos t ipos:

Variable cual itat iva nominal Una variable cual i tat iva nominal presenta modal idades no numéricas que no

admi ten un cri terio de orden . Por e jemplo:

E l estado c iv i l , con las s igu ientes modal idades: so l tero , casado, separado, d ivorc iado y v iudo.

Variable cual itat iva ordinal o variable cuasicuantitat iva Una variable cual i tat iva ordinal presenta modal idades no númericas , en las

que ex is te un orden . Por e jemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notab le , sobresa l iente . Puesto conseguido en una prueba deport iva: 1º, 2º, 3º, . . . Medal las de una prueba deport iva: oro , p lata, bronce.

Variable cuantitativa Una variable cuanti tat iva es la que se expresa mediante un número , por tanto

se pueden rea l i zar operaciones ari tméticas con e l la . Podemos d i s t ingui r dos t ipos:

Variable discreta Una variable discreta es aque l la que toma valores ais lados , es dec i r no admite

valores intermedios ent re dos va lores espec í f i cos. Por e jemplo:

E l número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .

Variable continua Una variable continua es aque l la que puede tomar valores comprendidos entre

dos números . Por e jemplo: La a l tura de los 5 amigos: 1 .73, 1 .82, 1 .77, 1 .69, 1 .75. En la práct i ca medimos la a l tura con dos dec imales, pero también se podr ía dar

con t res dec imales.

Distribución de frecuencias La distr ibución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en

forma de tabla de los datos estadíst icos , as ignando a cada dato su frecuencia

correspondiente .

Tipos de frecuencias Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es e l número de veces que aparece un determinado

valor en un estud io estad íst i co .

Se representa por f i . La suma de las frecuencias absolutas es igua l a l número to ta l de datos, que se

representa por N .

Para ind icar resumidamente estas sumas se ut i l i za la le tra gr iega Σ (s igma

mayúscula) que se lee suma o sumator ia .

Frecuencia relat iva La frecuencia relat iva es e l cociente ent re la frecuencia absoluta de un

determinado va lor y e l número total de datos . Se puede expresar en tantos por c iento y se representa por n i .

La suma de las f recuenc ias re lat ivas es igua l a 1 . Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales a l valor cons iderado.

Se representa por F i . Frecuencia relat iva acumulada

La frecuencia relat iva acumulada es e l cociente ent re la frecuencia acumulada de un determinado valor y e l número total de datos . Se puede expresar

en tantos por c iento . Ejemplo Durante e l mes de ju l io , en una c iudad se han reg is t rado las s igu ientes

temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 3 1, 31, 30, 30, 29, 29,

30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la pr imera co lumna de la tab la co locamos la var iab le ordenada de menor a

mayor, en la segunda hacemos e l recuento y en la tercera anotamos la f recuenc ia abso luta.

x i Recuento f i F i n i N i

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29

6 9 0.194 0.290

30

7 16 0.226 0.516

31

8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1

Este t ipo de tablas de frecuencias se ut i l i za con variables discretas .

Distribución de frecuencias agrupadas La distr ibución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se

emplea s i l as variables toman un número grande de valores o la variable es continua .

Se agrupan l os valores en intervalos que tengan la misma ampl i tud denominados clases . A cada clase se le as igna su frecuencia correspondiente .

Límites de la c lase

Cada clase está del imitada por e l l ímite inferior de la c lase y e l l ímite superior de la c lase .

Amplitud de la c lase La ampl i tud de la c lase es la diferencia ent re e l l ímite superior e inferior de

la clase . Marca de clase La marca de clase es e l punto medio de cada intervalo y es e l valor que

representa a todo e l intervalo para e l cálculo de a lgunos parámetros .

Construcción de una tabla de datos agrupados 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7 , 34, 36, 39, 44, 31,

26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º Se loca l i zan los va lores menor y mayor de la d i s t r ibuc ión. En este caso son 3 y

48. 2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la d i ferenc ia y que

sea d iv i s ib le por e l número de interva los queramos estab lecer . Es conveniente que e l número de interva los osc i l e ent re 6 y 15. En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos e l número hasta 50 : 5 = 10 interva los. Se forman los interva los teniendo presente que e l l ímite infer io r de una c lase

pertenece a l interva lo , pero e l l ímite super io r no pertenece interva lo , se cuenta en e l s igu iente interva lo .

c i f i F i n i N i

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025

[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

Diagrama de barras Un diagrama de barras se ut i l i za para de presentar datos cual i tat ivos o datos

cuanti tat ivos de t ipo discreto . Se representan sobre unos e jes de coordenadas, en e l eje de abscisas se co locan

los valores de la variable , y sobre e l eje de ordenadas l as frecuencias absolutas o relat ivas o acumuladas .

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia .

Ejemplo Un estud io hecho a l conjunto de los 20 a lumnos de una c lase para determinar su

grupo sanguíneo ha dado e l s igu iente resul tado:

Grupo sanguíneo f i

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

Polígonos de frecuencia Un pol ígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras

med iante segmentos . También se puede rea l i zar t razando los puntos que representan las frecuencias y

uniéndo los mediante segmentos .

Ejemplo Las temperaturas en un d ía de o toño de una c iudad han sufr ido las s igu ientes

var iac iones:

Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

Un diagrama de sectores se puede ut i l i zar para todo t ipo de var iab les , pero se usa f recuentemente para las variables cual i tat ivas .

Los datos se representan en un círculo , de modo que e l ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspond iente .

E l d iagrama c i rcu lar se const ruye con la ayuda de un t ransportador de ángulos. Ejemplo En una c lase de 30 a lumnos, 12 juegan a ba loncesto , 3 pract i can la natación, 4

juegan a l fútbo l y e l resto no pract i ca n ingún depo rte .

Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

Un histograma es una representación gráf ica de una variable en forma de

barras . Se ut i l i zan para variables continuas o para variables discretas , con un gran

número de datos, y que se han agrupado en clases . En e l eje abscisas se const ruyen unos rectángulos que t ienen por base la

ampl i tud del intervalo , y por altura , l a frecuencia absoluta de cada intervalo . La superf ic ie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores

representados.

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados

se obt iene e l histograma de frecuencias acumuladas o su co rrespond iente pol ígono .

Histogramas con intervalos de amplitud diferente Para construir un histogramas con intervalo de ampl i tud di ferente tenemos

que calcular l as alturas de los rectángulos de l histograma .

h i es la a l tura de l interva lo . f i es la f recuenc ia de l interva lo .

a i es la ampl i tud de l interva lo . Ejemplo En la s igu iente tab la se muest ra las ca l i f i cac iones (suspenso, aprobado, notab le y

sobresa l iente) obtenidas por un grupo de 50 a lumnos.

f i h i

[0, 5) 15 3

[5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

Definic ión de parámetro estadíst ico Un parámetro estadíst ico es un número que se obt iene a part i r de los datos de

una distr ibución estadíst ica .

Los parámetros estadíst icos s i rven para s intet i zar la in formac ión dada por una

tab la o por una gráf i ca.

Tipos de parámetros estadísticos Hay t res t ipos parámetros estadíst icos : De cent ra l i zac ión. De pos i c ión

De d i spers ión.

Medidas de centralización Nos ind ican en torno a qué va lor (cent ro) se d i s t r ibuyen los datos. La medidas de central ización son: Media ar i tmét i ca La media es e l va lor promedio de la d i s t r ibuc ión. Mediana La mediana es la puntación de la esca la que separa la mitad superior de la

d i s t r ibuc ión y la inferior , es dec i r d iv ide la ser ie de datos en dos partes iguales .

Moda La moda es e l valor que más se repite en una d i s t r ibuc ión.

Medidas de posición Las medidas de posición d iv iden un conjunto de datos en grupos con e l mismo

número de ind iv iduos. Para ca l cu lar las medidas de posición es necesar io que los datos estén

ordenados de menor a mayor . La medidas de posición son: Cuart i l es

Los cuart i les div iden l a ser ie de datos en cuatro partes iguales .

Deci les Los deci les d iv iden la ser ie de datos en diez partes iguales . Percent i les

Los percenti les d iv iden la ser ie de datos en cien partes iguales .

Medidas de dispersión Las medidas de dispers ión nos informan sobre cuanto se a le jan de l cent ro los

va lores de la d i st r ibuc ión. Las medidas de dispers ión son: Rango o recorrido El rango es la diferencia ent re e l mayor y e l menor de los datos de una

d i s t r ibuc ión estadís t ica. Desviac ión media La desviación media es la media ari tmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media . Var ianza

La varianza es la media ari tmética de l cuadrado de las desviaciones respecto a la media .

Desviac ión t íp i ca La desviación t ípica es la raíz cuadrada de la varianza . Definic ión de moda

La moda es e l valor que t iene mayor frecuencia absoluta . Se representa por Mo . Se puede ha l lar la moda para variables cual i tat ivas y cuant i tat ivas . Hal lar l a moda de la d i s t r ibuc ión: 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 Mo= 4 S i en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa

f recuenc ia es la máxima, la distr ibución es bimodal o multimodal , es dec i r , t i ene varias modas .

1 , 1 , 1 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9 , 9 , 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo t ienen la misma frecuencia , no hay moda .

2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 , 9 , 9 S i dos puntuaciones adyacentes t i enen la frecuencia máxima , l a moda es e l

promedio de las dos puntuac iones adyacentes. 0 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos t ienen la misma ampl i tud.

L i es e l l ímite infer ior de la c lase modal .

f i es la f recuenc ia abso luta de la c lase modal . f i - - 1 es la f recuenc ia abso luta inmediatamente infer io r a la c lase modal . f i - + 1 es la f recuenc ia abso luta inmediatamente poster io r a la c lase modal . a i es la ampl i tud de la c lase. También se ut i l i za ot ra fórmula de la moda que da un valor aproximado de

ésta:

Ejemplo Calcular l a moda de una d i s t r ibuc ión estad ís t i ca que v iene dada por la s igu iente

tab la:

f i

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

2º Los intervalos t ienen ampl i tudes dist intas. En pr imer lugar tenemos que ha l lar las a l turas.

La c lase modal es la que t iene mayor a l tura.

La fórmula de la moda aproximada cuando ex is ten d i st intas ampl i tudes es:

Ejemplo En la s igu iente tab la se muest ra las ca l i f i cac iones (suspenso, aprobado, notab le y

sobresa l iente) obten idas por un grupo de 50 a lumnos. Calcular la moda .

f i h i

[0, 5) 15 3

[5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

Definic ión de mediana Es e l valor que ocupa e l lugar central de todos los datos cuando éstos están

ordenados de menor a mayor . La mediana se representa por Me . La mediana se puede hal lar só lo para variables cuanti tat ivas .

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos l os datos de menor a mayor .

2 Si la ser ie t iene un número impar de medidas l a mediana es la puntuación

central de la misma. 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6Me= 5

3 Si la ser ie t iene un número par de puntuac iones la mediana es la media entre

las dos puntuaciones centrales . 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en e l intervalo donde la frecuencia acumulada l l ega

hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas .

Es dec i r tenemos que buscar e l interva lo en e l que se encuentre .

L i es e l l ímite infer ior de la c lase donde se encuentra la med iana.

es la semisuma de las f recuenc ias abso lutas.

F i - 1 es la frecuencia acumulada anter io r a la c lase mediana. a i es la ampl i tud de la c lase. La mediana es independiente de las ampl i tudes de los intervalos .

Ejemplo Calcular l a mediana de una d i s t r ibuc ión estad íst i ca que v iene dada por la

s igu iente tabla:

f i F i

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

100/2 = 50 Clase de la med iana: [66, 69)

Definic ión de media ari tmética

La media ari tmética es e l valor obtenido a l sumar todos los datos y dividir e l resul tado ent re e l número to ta l de datos .

es e l s ímbolo de la media ari tmética .

Ejemplo Los pesos de se i s amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Ha l lar e l peso medio .

Media aritmética para datos agrupados Si los datos v ienen agrupados en una tab la de f recuenc ias, la expres ión de la

media es:

Ejercic io de media ari tmética

En un test rea l i zado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuac iones que muest ra la tab la . Calcula la puntuación media .

x i f i x i · f i

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuac iones de una d i st r ibuc ión

respecto a la media de la misma igua l a cero .

La suma de las desv iac iones de los números 8, 3 , 5 , 12, 10 de su media ar i tmét i ca

7 .6 es igua l a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7. 6 = = 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los va lores de la var iab le

con respecto a un número cua lquiera se hace mínima cuando di cho número co inc ide con la media ari tmética .

3. Si a todos los va lores de la var iab le se les suma un mismo número , l a media

ari tmética queda aumentada en d i cho número .

4. Si todos los va lores de la var iable se multipl ican por un mismo número l a

media ari tmética queda multipl icada por d i cho número .

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hal lar só lo para variables cuanti tat ivas .

2. La media es independiente de las ampl i tudes de los intervalos .

3. La media es muy sens ib le a las puntuaciones extremas . S i tenemos una

d i s t r ibuc ión con los s igu ientes pesos: 65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igua l a 74 kg, que es una medida de central ización poco

representat iva de la d i s t r ibuc ión.

4. La media no se puede ca l cu lar s i hay un interva lo con una ampl i tud

indeterminada .

x i f i

[60, 63) 61.5 5

[63, 66) 64.5 18

[66, 69) 67.5 42

[69, 72) 70.5 27

[72, ∞ ) 8

100

En este caso no es pos ib le ha l lar la media porque no podemos ca l cu lar la marca

de clase de ú l t imo interva lo . Los cuart i les son los tres valores de la var iab le que dividen a un conjunto de

datos ordenados en cuatro partes iguales . Q1 , Q2 y Q3 determinan los va lores correspond ientes a l 25%, al 50% y al 75%

de los datos . Q2 co inc ide con la mediana .

Cálculo de los cuartiles

1 Ordenamos l os datos de menor a mayor .

2 Buscamos e l lugar que ocupa cada cuart i l med iante la expres ión

. Número impar de datos

2, 5 , 3 , 6 , 7 , 4 , 9

Número par de datos 2, 5 , 3 , 4 , 6 , 7 , 1 , 9

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En pr imer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la

tabla de las frecuencias acumuladas .

L i es e l l ímite infer ior de la c lase donde se encuentra e l cuart i l . N es la suma de las f recuenc ias abso lutas. F i - 1 es la frecuencia acumulada anter io r a la c lase de l cuart i l .

a i es la ampl i tud de la c lase.

Ejercic io de cuart i les Calcular los cuart i les de la d i st r ibuc ión de la tab la:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer cuart i l

Cálculo del segundo cuart i l

Cálculo del tercer cuart i l

Los deci les son los nueve valores que dividen l a ser ie de datos en diez partes

iguales . Los deci les dan los va lores correspond ientes a l 10%, a l 20%.. . y a l 90% de los

datos. D5 co inc ide con la mediana .

Cálculo de los deciles

En pr imer lugar buscamos la c lase donde se encuentra , en la

tab la de las f recuenc ias acumuladas.

L i es e l l ímite infer ior de la c lase donde se encuentra e l dec i l . N es la suma de las f recuenc ias abso lutas. F i - 1 es la frecuencia acumulada anter io r a la c lase e l dec i l . . a i es la ampl i tud de la c lase.

Ejercic io de deci les

Calcular los deci les de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer deci l

Cálculo del segundo deci l

Cálculo del tercer deci l

Cálculo del cuarto deci l

Cálculo del quinto deci l

Cálculo del sexto deci l

Cálculo del séptimo deci l

Cálculo del octavo deci l

Cálculo del noveno deci l

Los percenti les son los 99 valores que dividen l a ser ie de datos en 100 partes

iguales . Los percenti les dan los va lores correspond ientes a l 1%, a l 2%.. . y a l 99% de los

datos. P5 0 co inc ide con la mediana .

Cálculo de los percenti les

En pr imer lugar buscamos la c lase donde se encuentra , en la

tab la de las f recuenc ias acumuladas.

L i es e l l ímite infer ior de la c lase donde se encuentra e l percent i l . N es la suma de las f recuenc ias abso lutas. F i - 1 es la frecuencia acumulada anter io r a la c lase de l percent i l . a i es la ampl i tud de la c lase.

Ejercic io de percenti les Calcular e l percenti l 35 y 60 de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

f i F i

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percenti l 35

Percenti l 60

Desviación respecto a la media

La desviación respecto a la media es la diferencia en va lor abso luto ent re cada valor de la var iab le estad íst i ca y la media ari tmética .

D i = |x - x|

Desviación media La desviación media es la media ari tmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media .

La desviación media se representa por

Ejemplo Calcu lar la desviación media de la d i s t r ibuc ión: 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Desviación media para datos agrupados Si los datos v ienen agrupados en una tabla de frecuencias , l a expresión de la

desviación media es:

Ejemplo Calcu lar la desviación media de la d i s t r ibuc ión:

x i f i x i · f i |x - x| |x - x| · f i

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428

21 457.5 98.57

La varianza es la media ari tmética del cuadrado de las desviaciones

respecto a la media de una d i s t r ibuc ión estad íst i ca.

La var ianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para s impl i f i car e l cálculo de la varianza vamos o ut i l i zar las s igu ientes expres iones que son equiva lentes a las anter io res.

Varianza para datos agrupados

Ejercic ios de varianza Calcular la varianza de la d i s t r ibuc ión: 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Calcular la varianza de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

x i f i x i · f i x i2 · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza 1 La varianza será s iempre un valor posit ivo o cero , en e l caso de que las

puntuac iones sean igua les.

2 Si a todos los valores de la var iab le se les suma un número l a varianza no

varía .

3 Si todos los valores de la var iable se multipl ican por un número l a varianza

queda multipl icada por e l cuadrado de d i cho número .

4 Si tenemos var ias d i s t r ibuc iones con la misma media y conocemos sus

respect ivas varianzas se puede ca l cu lar la varianza total . S i todas las muest ras t ienen e l mismo tamaño:

S i l as muest ras t ienen d i s t into tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza , a l igua l que la med ia, es un índ ice muy sens ib le a las

puntuac iones ext remas.

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será pos ib le ha l lar la

varianza .

3 La varianza no v iene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que

las desv iac iones están e levadas a l c uadrado. La desviación t ípica es la raíz cuadrada de la varianza .

Es dec i r , l a ra í z cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuac iones de

desv iac ión. La desviación t ípica se representa por σ .

Desviación t ípica para datos agrupados

Para s impl i f i car e l cá l cu lo vamos o ut i l i zar las s igu ientes expres iones que son

equiva lentes a las anter io res.

Desviación t ípica para datos agrupados

Ejercic ios de desviación t ípica Calcu lar la desviación t ípica de la d i s t r ibuc ión: 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Calcular la desviación t ípica de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

x i f i x i · f i x i2 · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la desviación típica 1 La desviación t íp ica será s iempre un valor posit ivo o cero , en e l caso de que

las puntuac iones sean igua les.

2 Si a todos los valores de la var iab le se les suma un número l a desviación

t ípica no varía .

3 Si todos los valores de la var iab le se multipl ican por un número l a

desviación t ípica queda multipl icada por d i cho número .

4 Si tenemos var ias d i s t r ibuc iones con la misma media y conocemos sus

respect ivas desviaciones t ípicas se puede ca l cu lar la desviación t ípica total . S i todas las muest ras t ienen e l mismo tamaño:

S i l as muest ras t ienen d i s t into tamaño:

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación t ípica , a l igua l que la med ia y la var ianza, es un índ ice muy

sens ib le a las puntuac iones ext remas.

2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será pos ib le ha l lar la

desviación t ípica .

3 Cuanta más pequeña sea la desviación t ípica mayor será la concentración de

datos a l rededor de la media .

Coeficiente de variación El coef ic iente de variación es la re lac ión ent re la desviación t ípica de una

muest ra y su media .

E l coef ic iente de variación se sue le expresar en porcentajes :

E l coef ic iente de variación permi te comparar las dispers iones de dos

d i s t r ibuc iones d i st intas, s iempre que sus medias sean posit ivas .

GUIA DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA I (2014A)

PROFESOR: FRANCISCO HERNANDEZ LUGO

PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SU SOLUCION

I. Ind ica que variables son cual i tat ivas y cua les cuanti tat ivas :

1 Comida Favor i ta .

2 Pro fes ión que te gusta.

3 Número de go les marcados por tu equipo favor i to en la ú l t ima temporada.

4 Número de a lumnos de tu Inst i tuto .

5 El co lor de los o jos de tus compañeros de c lase.

6 Coef i c iente inte lectua l de tus compañeros de c lase.

2. De las s igu ientes variables ind i ca cuá les son discretas y cua les continuas .

1 Número de acc iones vend idas cada d ía en la Bo lsa.

2Temperaturas reg ist radas cada hora en un observator io .

3 Per íodo de durac ión de un automóvi l .

4 El d iámetro de las ruedas de var ios coches.

5 Número de h i jos de 50 fami l i as .

6 Censo anual de los españo les.

3. Clas i f i car las s igu ientes variables en cual i tat ivas y cuant i tat ivas discretas o

continuas .

1 La nac iona l idad de una persona.

2 Número de l i t ros de agua contenidos en un depós i to .

3 Número de l ib ros en un estante de l ib rer ía .

4 Suma de puntos tenidos en e l l anzamiento de un par de dados.

5 La pro fes ión de una persona.

6 El área de las d i s t intas ba ldosas de un ed i f i c io .

4. Las puntuac iones obtenidas por un grupo en una prueba han s ido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13. Const ru i r l a tabla de distr ibución de frecuencias y d ibuja e l pol ígono de

frecuencias .

5. El número de est re l las de los hote les de una c i udad v iene dado por la s igu iente

ser ie: 3 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 2 ,

1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1 . Const ru i r l a tab la de d i s t r ibuc ión de f recuenc ias y d ibuja e l d iagrama de barras.

6. Las ca l i f i cac iones de 50 a lumnos en Matemát i cas han s ido las s igu ientes:

5 , 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2 , 10, 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 , 6 , 6 , 3 , 6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .

Const ru i r l a tabla de distr ibución de frecuencias y d ibuja e l diagrama de barras .

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábr i ca v ienen dados por la s igu iente tabla:

Peso [50,

60)

[60,

70)

[70,

80) [80,90)

[90,

100)

[100,

110)

[110,

120)

f i 8 10 16 14 10 5 2

1 Const ru i r l a tabla de frecuencias .

2 Representar e l histograma y e l pol ígono de frecuencias .

8. Los 40 a lumnos de una c lase han obtenido las s igu ientes puntuac iones, sobre

50, en un examen de F í s i ca. 3 , 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7 , 34, 36, 39, 44, 31,

26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1 Const ru i r l a tabla de frecuencias .

2 Dibujar e l histograma y e l pol ígono de frecuencias .

9. Sea una d i s t r ibuc ión estad ís t i ca que v iene dada por la s igu iente tab la:

x i 61 64 67 70 73

f i 5 18 42 27 8

Calcu lar:

1 La moda, mediana y media .

2 El rango, desviación media, varianza y desviación t ípica .

10.Calcu lar la media , l a mediana y la moda de la s igu iente ser ie de números: 5 ,

3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4 .

11 Hal lar la varianza y la desviación t ípica de la s igu iente ser ie de datos:

12, 6 , 7 , 3 , 15, 10, 18, 5 .

12 Hal lar la media, mediana y moda de la s igu iente ser ie de números:

3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6 .

13. Hal lar la desviación media, la varianza y la desviación t ípica de la ser ies

de números s igu ientes:

2 , 3 , 6 , 8 , 11. 12, 6 , 7 , 3 , 15, 10, 18, 5 .

14 Se ha ap l i cado un test a los empleados de una fábr i ca, obteniéndose la

s igu iente tabla:

f i

[38, 44) 7

[44, 50) 8

[50, 56) 15

[56, 62) 25

[62, 68) 18

[68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibujar e l histograma y e l pol ígono de frecuencias acumuladas .

15. Dadas las ser ies estad ís t i cas:

3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 . 3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1 . Ca lcu lar:

La moda , l a mediana y la media . La desviación media, la varianza y la desviación t ípica . Los cuart i les 1º y 3º. Los deci les 2º y 7º. Los percenti les 32 y 85.

16. Una d is t r ibuc ión estad ís t i ca v iene dada por la s igu iente tab la:

[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

f i 3 5 7 4 2

Hal lar: La moda, mediana y media .

E l rango , desviación media y varianza .

Los cuart i les 1º y 3º. Los deci les 3º y 6º. Los percenti les 30 y 70.

17. Dada la d i s t r ibuc ión estad íst i ca:

[0, [5, [10, [15, [20, [25,

5) 10) 15) 20) 25) 30)

f i 3 5 7 8 2 6

Calcu lar: La mediana y moda . Cuarti l 2º y 3º. Media .

SEGUNDA PARTE PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD AZAR y DESCONOCIMIENTO. El azar está relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo determinado. No todos los artículos producidos son idénticos, cada artículo puede calificarse como "bueno'' o "defectuoso''. Si de toda la producción se escoge un artículo "a ciegas'', ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artículo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica qué tan probable es que el artículo sea defectuoso o nó. AZAR e INCERTIDUMBRE. Hay otro concepto asociado al azar y es el de incertidumbre. Veamos un ejemplo. Respecto a una inversión, podemos estar contemplando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversión puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con interés fijo; pero pensemos en una empresa. El negocio puede resultar desde un gran éxito hasta un fracaso, es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del éxito a obtener. Si no podemos evaluar qué tan factible es cada monto posible de la ganancia, tenemos una situación de incertidumbre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qué tan probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situación de riesgo. Esta última es la que llamamos aleatoria o azarosa. ESPACIO MUESTRAL. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o situación aleatoria. Si en una caja hay 10 manzanas y 2 están echadas a perder (¡al menos en este momento!), al extraer tres manzanas y ver cuantas son buenas podemos obtener 1, 2 o 3 buenas (¡0 buenas es imposible!). De modo que en este ejemplo el espacio muestral es: { 1, 2, 3 }. Si un juego consiste en tirar todas las aves que hagan falta hasta obtener tres perdoces seguidas o hasta que sean 15 aves, si nos fijamos en el número de aves requeridas, el espacio muestral es: { 3, 4, 5, . . . , 15 }. Pero si nos fijáramos en el número de disparos que resultan, entonces el espacio muestral es: { 0, 1, 2, . . . , 15 }. Es claro que para determinar el espacio muestral en un experimento aleatorio es necesario entender perfectamente: Qué se va a observar o contar. EVENTOS o SUCESOS. Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles. Las dos definiciones anteriores son muy abstractas. Veamos un ejemplo. Al comprar llantas para mi coche, puede ser que manifiesten un defecto de fabricación dentro del período de garantía total y que el fabricante deba reponerlas. También puede pasar que el defecto se manifieste en el período de garantía parcial y que el fabricante bonifique sólo un porcentaje o que el defecto se manifieste después de vencido el período de garantía en cuyo caso el fabricante no paga nada. También puede pasar que las llantas no tengan defecto de fabricación aparente y que no haya garantía que reclamar. Como se puede considerar que las llantas que me vendieron se escogieron al azar de entre toda la producción, tenemos un experimento aleatorio. El espacio muestral en este experimento es: S = { T, P1, P2, P3, N, OK }. Con la siguiente notación T: pago total, 100% P1 pago del 50%, P2: pago del 30%, P3: pago del 10%, N: nada de pago, OK: llantas sin defecto. El suceso { OK } sólo se realiza cuando las llantas no tienen defecto. En este último ejemplo se tiene un suceso simple porque consta de un solo punto del espacio muestral. Será compuesto cuando tenga varios puntos del espacio muestral. Se llama suceso imposible al que no puede ocurrir; éste

evento corresponde al conjunto vacío. Otro suceso extremo es el espacio muestral mismo que, puesto que siempre ocurre, se llama suceso o evento seguro. La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Ejemplo : tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar: Ejemplo : lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir. En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección). Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Ejemplo : en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo. Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que definir una serie de conceptos: Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar. Ejemplo : al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6. Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales. Ejemplo : lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6 O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18). Espacio muestral: se denomina al conjunto de todos los posibles sucesos elementales. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles). Ejemplo : si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz. Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz). Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones: a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias. Ejemplo:lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b) Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a). b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos. c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6 d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan. Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par). e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo. f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa). Probabilidad de sucesos Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo : lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b). b) Dos sucesos pueden ser iguales : en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas. Ejemplo : lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6. Su probabilidad será por tanto:

P(A B) = 2 / 6 = 0,33 d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A B) = 2 / 6 = 0,33 Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666 e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada). Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto, P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A) Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar. La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50 Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50 g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1. Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada el que pueda producirse el otro: Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa. Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones: P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B. Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B. P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A. Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A. P (A ^ B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidsad del suceso B. Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B también es independiente del suceso A. Ejemplo 1º: analicemos dos sucesos: Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1 Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08 Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas: P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B)) P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A)) P (A ^ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B)) Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algún grado de dependencia entre ellos. Ejemplo 2º: analicemos dos sucesos: Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4 Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5 Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2 Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas: P (B/A) = P (A ^ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B)) P (A/B) = P (A ^ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A)) P (A ^ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B)) Por lo tanto, estos dos sucesos sí son independientes .

SEGUNDA PARTE DEL CURSO Ejercicios Propuestos para Solucion de Probabilidades Y que corresponden a la segunda parte del curso

1. Determina cuáles de los siguientes experimentos son predeterminados y cuáles son aleatorios: a) jugar un kino

b) mezclar agua y azúcar c) enfriar agua a 0º C d) lanzar una piedra y medir su alcance e) comprar un número de rifa f) aportar en una carrera de caballos g) preguntarle a un desconocido si fuma

2. Señala el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) lanzar una moneda b) lanzar dos monedas c) lanzar un dado d) lanzar dos dados

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en el lanzamiento de dos dados? 4. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener par en el lanzamiento de un dado? 5. Al lanzar dos monedas, qué probabilidad hay de:

a) obtener dos caras b) obtener una cara y un sello c) obtener lados iguales

6. En el lanzamiento de un dado, cuál es la probabilidad de: a) obtener el número 5 b) no obtener el número 2 c) obtener 3 ó 5 d) obtener un número menor que 5

7. En el lanzamiento de dos dados, cuál es la probabilidad: a) que la suma sea 11 b) que la suma sea mayor que 9 c) que la suma sea menor que 4 d) no salgan números iguales.

8. Al lanzar un dado dos veces consecutivas, qué probabilidad hay de: a) obtener 2 ases b) obtener primero un 3 y luego un número par. c) Obtener primero un 4 y luego no obtener 4. d) Obtener un número par primero y luego el 3.

9. En un naipe inglés (52 cartas) qué probabilidad hay de: a) obtener un trébol al sacar una carta b) obtener 2 ases en una entrega (13 cartas)

10. En una caja hay 12 bolas negras y 8 rojas, qué probabilidad hay de: a) sacar una bola negra b) sacar una bola roja c) sacar una bola negra y, sin reponerla, sacar luego una bola roja. d) Sacar una bola negra y luego de reponerla, sacar una bola roja.

11. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo de nuevo sume con el primer resultado un número menor que 9?

12. Al comprar clavos, la probabilidad de obtener uno defectuoso es de 0,015. ¿Cuántos clavos defectuosos habrá en un paquete que contiene 10 cajas y cada caja contiene aproximadamente 40?

13. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma?

14. En una caja hay 10 bolitas rojas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 bolitas azules en 3 sacadas diferentes sin reposición?

15. En un grupo de 30 personas todas tienen edades diferentes menores de 50 años. Si se integra una nueva persona también menor de 50 años, ¿cuál es la probabilidad de que su edad coincida con la de alguno de los 30?

16. Hay 150 números en una rifa. ¿Cuántos habrá que comprar para tener un 8% de probabilidad para ganarla? 17. ¿Qué probabilidad hay que al lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6?

18. Hay 16 monedas de $ 100; 22 monedas de $ 50 y 12 monedas de $ 10. Al sacar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar una de $ 100 o de $ 50?

19. En un curso, la mitad de los alumnos son hombres. Si el 40% de los hombres sabe inglés y el 50% de las mujeres, francés; ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno sepa inglés o francés?

20. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de una rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números?

21. Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades, es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?

22. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra?

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la

primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar

la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

23. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe

que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la

de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que

apruebe el examen para obtener licencia?

24. Una tienda de ropa, ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: pago al contado y a Crédito. Se sabe que el 30% de las ventas de la tienda se realizan a crédito. Si un día determinado se han realizado 8 ventas, calcule:

a) La probabilidad de que 2 ventas se hayan realizado a crédito R.- 29.65% b) La probabilidad de que por lo menos 6 ventas se efectúen al contado R.- 55.18%

25. Tradicionalmente el 25% de las declaraciones anuales a la renta presenta inconsistencias. Un fiscalizador del servicio de impuestos internos es capaz de revisar 10 declaraciones diarias. Calcule la probabilidad de:

a) Que encuentre por lo menos 3 declaraciones defectuosas R.- 47.44% b) Que encuentre no menos de 9 sin inconsistencias R.- 24.40%

26. Un consultorio de atención primaria atiende 50 pacientes diarios. Tradicionalmente 10 de ellos son derivados a hospitales del sector público. Si un día se toma una encuesta a 20 pacientes ¿cuál es la probabilidad de que:

a) 5 de ellos sean derivados a algún hospital? R.- 21.51% b) No mas de 2 sean derivados a algún hospital? R.- 13.90%

27. La siguiente tabla presenta al personal de una repartición pública separado por sexo y por escalafón

Profesionales Administrativos Auxiliares

Hombres 30 50 70

Mujeres 45 40 35

Si se forma un comité de capacitación de 5 personas calcule la probabilidad de:

a) Que 2 sean mujeres R.- 33.87% b) Que por lo menos 1 sea profesional R.- 80.35%

c) Que 3 sean administrativos o auxiliares R.- 29.07%

28. El SESMA ha adquirido 40 instrumentos de precisión para medir la contaminación del aire en Santiago. Se seleccionan aleatoriamente 8 instrumentos y se someten a una prueba para encontrar defectos. El fabricante sabe que a entregado 4 de los 40 artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga no mas de un instrumento defectuoso? R.- 82.77%

29. En un autolavado llegan automóviles a razón de 9 cada media hora. Calcule la probabilidad de que:

a) En cualquier período dado de media hora lleguen cuando menos 2 automóviles R.- 99.88% b) En 15 minutos lleguen más de 2 vehículos R.- 82.64%

30. Un funcionario de la asistencia pública de cierta comuna, sospecha que un 7% de los niños sufren de una extraña enfermedad. En esa

área viven 2.000 niños.

a) Si se selecciona una muestra de 4 niños, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno sufra del virus? b) Si se selecciona una muestra de 80 niños, ¿Cuál es la probabilidad aproximada (por poisson), de que cuando menos 5 de ellos sufran

del virus?

31. Una compañía de seguros planea vender seguros de vida en Chile. De datos del Instituto Nacional de Estadísticas se sabe que la probabilidad de que un hombre muera antes de los 40 años es de 40% y que la probabilidad de que una mujer muera antes de los 40 es de 30%. También se sabe que si un hombre es mayor de 20 años la probabilidad de que muera antes de los 40 se reduce a 20% y que si una mujer ha cumplido 20 años la probabilidad de que muera antes de los 40 es de 10%. Los seguros ofrecidos por esta empresa entregan $2.000.000 a los herederos. Determine:

a) Si se venden seguros a 4 hombres, cual es la probabilidad de que todos mueran antes de los cuarenta años b) Si se venden seguros a 3 mujeres, cual es la probabilidad de que todas mueran antes de los cuarenta años c) Suponga que la forma de contratar el seguro es pagar de una sola vez $10.000. Determine la esperanza matemática de ganar o perder

dinero para: c1) Un hombre menor de 40 años c2) Una mujer menor de 40 años c3) Un Hombre mayor de 20 años pero menor de 40 años c4) Una mujer mayor de 20 años pero menor de 40 años

d) Cual debería ser el precio justo a pagar por una prima de seguros para cada uno de los cuatro tipos de personas recién señalados e) Si se venden seguros a 5 personas: dos mujeres menores de 40 años y tres hombres menores de 40 años pero mayores de 20, ¿Cuál es

la esperanza de ganancia o pérdida de la aseguradora?

El propósito de esta guía es elaborar un ensayo y resolver los problemas que están propuestos.

¿Qué es un ensayo? ALGUNAS CARACTERISTICAS SON:

Ofrece claridad.

Ofrece un estilo de redacción interesante.

Consiste principalmente en que expongas tus ideas sobre el tema.

Utiliza un tono formal.

Recuerda que para comenzar a redactar el ensayo necesitas hacer lo siguiente: • Redactando diversas preguntas. • Localiza información que te permita contestar las preguntas. • Escribe tus propias ideas. • Identifica la idea principal. • Escribe de forma que se apoye tu idea principal.