Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”

Area de Tecnologıa

Complejo Academico Punto Fijo

Departamento de Fısica y Matematica

Unidad Curricular: Matematica II

Lapso Academico I-2010

Coordinador: Lcdo. Dulce Curiel.Profesores: Ing. Jose Ollarves, Ing. Nancy Requena, Lcdo. Aida Ulacio, Lcdo. Arnaldo Mendez, Lcdo. Ariel Luna.

GUIA N◦ 2 MATEMATICA II

INTEGRAL DEFINIDA

1. Dada la funcion f(x) definida en el intervalo I correspondiente, aproxime el area bajo la curva usandoel numero de rectangulos indicados

a. f(x) = x2, en [0, 1] con n = 3 b. f(x) = 3x − 2, en [1, 4] con n = 4

c. f(x) = x3 − 1, en [−1, 1] con n = 10 d. f(x) = 4 − x2, en [−2, 2] con n = 8

2. Calcule el valor exacto del area para las funciones dadas en el ejercicio anterior utilizando la definicionde integral de Riemann

∫ b

af(x)dx = lım

∆x→0

n∑

i=1

f(xi)∆xi

donde a = x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b

3. Calcule cada una de las siguientes integrales definidas.

a.

0∫

−2

(3x + 6)dx b.

4∫

0

(

3x −x4

5

)

dx c.

1∫

0

t

(

t2 +

√t

5

)

dt d.

π∫

0

sen(θ)dθ

e.

π/3∫

0

sec2(θ)dθ f.

−1∫

−2

2

r2dr g.

3π/4∫

π/4

sec(x) tan(x)dx h.

π∫

0

(

1 + cos(x))

dx

i.

0∫

π/2

cos2(θ)dθ j.

π/3∫

−π/3

sen2(x)dx k.

π/2∫

−π/2

(

8y2 + sen(y))

dy l.

√2

∫

1

r2 +√

r

rdr

m.

4∫

−2

(1 + 2x)3dx n.

1∫

0

y√

y2 + 1dy n.

2∫

−1

x√

2x2 + 8dx o.

1∫

−1

3x2√

x3 + 1dx

p.

4∫

0

(2t + 3t3)2dt q.

3∫

0

√

y + 1dy r.

3∫

1

dy

4 − ys.

e∫

1

sen(ln(x))

xdx

1

t.

√2

∫

0

dx√

4 − x2u.

√2/2

∫

0

x√

4 − x2dx v.

e∫

1

dx

xw.

4∫

1

ln(y)dy

x.

3∫

1

z2 + 1√

z3 + 3zdz y.

π/2∫

0

sen2(3x) cos(3x)dx z.

4∫

0

(√y +

√

2y + 1)

dy

4. Dibuje y calcule el area de las regiones limitadas por:

a. El eje x, el intervalo [2, 4], y la curva y = 4x − x2.

b. El eje x, y la curva y = 6x − x2.

c. La curva x = 3 − y2, y el eje y.

d. La curva x = y2 − 2y − 3, y el eje y.

e. El eje x, y la curva y = x − 4x2.

f. El eje x, y la curva y = x2 − 6x.

g. El eje x, y la curva y = x2 + 2x − 15.

h. El eje x, y la curva y = 8 − 2x − x2.

i. La curva y = 2 − x2, y la recta y = −x.

j. La curva x = 4 − y2, y el eje y.

k. El eje y, el eje x, la curva y = x2 − 6, y la recta x = 2.

l. La curva x = 2 − y2, y la recta y = x − 1.

m. Las curvas y = 6 − x2, y = x2 − 3.

n. Las curvas y2 − 1 = x, x = 3 − y2.

n. La curva x = 8 + 2y − y2, y las rectas y = −1, y = 3, x = 0.

o. Las curvas y = x2, y = 5 − x2.

p. Las curvas y = x2 + 2, y = 6 − x2.

5 En los siguientes ejercicios, explique por que es impropia la integral (en caso de serlo) y determine sies convergente o divergente. En caso de convergencia, calcule su valor.

a.

∞∫

0

e−xdx b.

∞∫

1

xe−xdx c.

∞∫

1

dx

x + 1d.

2∫

0

3

(x − 1)2/3dx

e.

4∫

0

dx

x√

xf.

∞∫

e

ln(x2)

x3dx g.

6∫

0

2x

(x2 − 4)2/3dx h.

∞∫

5

dx

x ln2(x)dx

i.

∞∫

−∞

x2ex3

dx j.

0∫

−∞

x

(x2 + 1)5/2dx k.

8∫

−1

dx3√

xl.

∞∫

4

dx

x√

x

2

m.

∞∫

1

dx

x ln(x)n.

∞∫

0

xe−2xdx n.

1∫

0

e√

x

√x

dx o.

9∫

0

dx

(9 − x)3/2

p.

−2∫

−∞

dx

(x + 1)3q.

∞∫

5

dx

(x − 1)3/2r.

e∫

1

dx

xs.

1∫

0

(

ex − xe)

dx

t.

∞∫

0

dx

x2 + 1u.

∞∫

0

e−x/3dx v.

0∫

−∞

x5−x2

dx w.

∞∫

5

dx√

x − 1

x.

∞∫

−∞

e−|x|dx y.

∞∫

√3

3

x2 + 9dx z.

∞∫

e

dx

x ln(x)aa.

1∫

0

dx√

1 − x

ab.

4∫

0

dx√

16 − x2ac.

π/2∫

0

tan(θ)dθ ad.

2∫

1

dx

x√

x2 − 1ae.

∞∫

0

eaxdx

af.

∞∫

1

dx

(1 + x)3/2ag.

a∫

0

dx√

a2 − x2ah.

3a∫

0

2x3

√

(x2 − a2)2dx ai.

∞∫

0

dx

a2 + b2x2

aj.

∞∫

3

x√

9 + x2dx ak.

∞∫

2

dt

t ln(t)al.

∞∫

−∞

x√

x2 + 4dx am.

3∫

0

y√

9 − y2dy

an.

ln(2e)∫

−∞

x

e|x|dx an.

∞∫

1

ln(x)

x3dx

Solidos de revolucion

6. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del solido generado al rotar entorno a la rectaespecificada, la region acotada por las funciones dadas.

a. y = 2x2, y = 0 y x = 5, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

b. y = x3, y =√

x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

c. y = 2√

2x, el eje de las x y la recta x = 2, alrededor del eje x.

d. x = 9 − y2, y = x − 7, alrededor de x = 4.

e. y =√

x − 1, x = 5, y = 0, alrededor de y = 3.

f. y = x3, y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

3

g. y =x2

4, x = 4, y = 0, alrededor del eje x.

h. y = 2 − x2, y = x2, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.

7. Encuentre el volumen del solido generado cuando la region indicada se gira alrededor del eje o rectaespecificado.

5

1

20

y=

x2+

1

x

y

(a) Eje de las x

�

�

4

20

y=

4−

x2

x

y

(b) Recta x = 3

3

�

�

4

20

y=

4−

2x

x

y

(d) Eje de las y

�

�

(c) Eje de las x

1 40

y =1

x

x

y

�

�

4

Respuestas de los ejercicios

1a. Aproximacion por abajo : A ≈5

27= 0.185 1b. Aproximacion por abajo : A ≈

111

8= 13.875

Aproximacion por arriba : A ≈14

27= 0.518 Aproximacion por arriba : A ≈

159

8= 19.875

1c. Aproximacion por abajo : A ≈9

5= 1.8 1d. Aproximacion por abajo : A ≈

17

2= 8.5

Aproximacion por arriba : A ≈11

5= 2.2 Aproximacion por arriba : A ≈

25

2= 12.5

2a. A =1

3= 0.333 . . . 2b. A =

33

2= 16.5 2c. A = 2 2d. A =

32

3= 10.666 . . .

3a. 6 3b. −424

253c.

33

1003d. 2 3e.

√3 3f. 1 3g. − 2

√2

3h. π 3i. −π

43j.

π

3−

√3

43k.

2π3

33l.

5

2+ 2

√

√2 3m. 810 3n.

√8 − 1

3

3n.4 −

√10

23o.

4√

2

33p.

819968

1053q.

16

33r. ln 3 3s. 1 − cos(1) 3t.

π

4

3u. 2 −

√

7

23v. 1 3w. 4 ln(4) − 3 3x.

8

33y. −

1

93z. 14

4a.

A = 16

3

x

yy

=4x

−x2

4

2 4

4c.A = 4

√

3x

y

x = 3− y 2

√3

−√

3

3

4e.A = 1

96

x

y

y = x − 4x2

1

16

1

8

1

4

4g.

A = 256

3

x

y

y=

x2

+2x

−15

−5 3

−16

−1

5

4i.A = 9

2

x

y

y=

2−

x2

y=

−x

2

−1

−2

√2 2−

√2

4k. A = 28

3

x

y y = x2− 6

−6

√6

x = 2

2

4m.A = 18

√

2

x

y

y = x2− 3

y = 6 − x2

3√

2−

3√

2

−3

6

4n.A = 92

3

x

y

x = 8 + 2y − y2

5 9

1

y = 3

y = −1

4p. A = 16√

2

3

x

y

y = x2 + 2

y = 6 − x2

−

√

2√

2

6

2

5a. Converge, 1 5b. Converge,2

e5c. Diverge 5d. Converge, 18

5e. Diverge 5f. Converge,3

2e25g. Converge, 9

3√

4 5h. Converge,1

ln(5)

5i. Diverge 5j. Converge,−1

35k. Converge,

9

25l. Converge, 1

5m. Diverge 5n. Converge,1

45n. Converge, 2(e − 1) 5o. Diverge

6

5p. Converge,−1

25q. Converge, 1 5r. No es impropia, 1 5s. No es impropia,

e2 − 2

e + 1

5t. Converge,π

25u. Converge, 3 5v. Converge,−

1

2 ln(5)5w. Diverge

5x. Diverge 5y. Converge,π

35z. Diverge 5aa. Converge, 2

5ab. Converge,π

25ac. Diverge 5ad. Converge,

π

65ae.

Diverge si a > 0

−1

asi a < 0

5af. Converge,√

2 5ag.

π

2si a > 0

−π

2si a < 0

5ah. Converge, 93√

a2 5ai. Converge,π

2ab

5aj. Diverge, 1 5ak. Diverge 5al. Diverge 5am. Converge, 3

5an. Converge,−2 − ln(2)

2e5an. Converge,

1

4

6a.Alrededor del eje x: V = 2500 π = 7853.98

Alrededor del eje y: V = 625π = 1963.56b.

Alrededor del eje x: V = 5

14π = 1.12

Alrededor del eje y: V = 2

5π = 1.26

6c. Alrededor de la recta x = 2: V = 16 π = 50.27 6d. Alrededor de la recta x = 4: V = 3335 π = 209.23

6e. Alrededor de la recta y = 3: V = 28 π = 87.96 6f.Alrededor del eje x: V = 8

21π = 1.197

Alrededor del eje y: V = 8

15π = 1.68

6g. Alrededor del eje x: V = 645 π = 40.21 6h.

Alrededor del eje x: V = 16

3π = 16.755

Alrededor del eje y: V = π = 3.1416

7a. V =206

15π = 43.14 7b. V = 12π = 37.7 7c. V =

3

4π = 2.36 7d. V =

16

3π = 16.75516

7