guia didactica geometria

8/2/2019 Guia didactica geometria

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GUIA DIDACTICA

Geometra Bsica

Autor: Prof. Dennar Oropeza

San Felipe, Julio 2010

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CCIIEENNCCIIAA DDEELLDDEEPPOORRTTEE CCUURRSSOO IINNTTRROODDUUCCTTOORRIIOO

-- MMAATTEEMMTTIICCAA--


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Matemtica Geometra Bsica- 2

GUIA DIDACTICA

Geometra Bsica

Datos de IdentificacinElaborado por: Dennar Oropeza

e-mail: [email protected]; Fecha Elaboracin: Julio de 2010

Fecha de ltima Actualizacin: Julio de 2010

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALLEEXXPPEERRIIMMEENNTTAALLDDEELLYYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL

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-- MMAATTEEMMTTIICCAA--
mailto:[email protected]:[email protected]


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Tabla de Contenidos

Introduccin ................................................................................................................................ 3Contenidos ................................................................................................................... 4Desarrollo del Aprendizaje ........................................................................................................ 4

1. La Geometra .................................................................................................................. 42. Sistema de Medidas ....................................................................................................... 53. Elementos bsicos ........................................................................................................... 84. Las Figuras Planas .......................................................................................................... 11

4.1. Polgonos .................................................................................................................. 11El Tringulo ................................................................................................................ 12Los Cuadrilteros ...................................................................................................... 14

4.2. Crculo y Circunferencia ....................................................................................... 17El Crculo, la circunferencia. ................................................................................... 17

5. Los cuerpos geomtricos. ............................................................................................ 195.1 Prismas ...................................................................................................................... 195.2. Cilindros .................................................................................................................... 205.3. Pirmides .................................................................................................................. 215.4. Conos ....................................................................................................................... 225.5. Esferas ....................................................................................................................... 23

Referencias Bibliogrficas ....................................................................................................... 25

Introduccin

En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de las figuras geomtricas y ladeterminacin de reas y volmenes. Slo espero tu emocin por aprender y sea tquien lo propicie En ti est el lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias estagua. Cualquier duda o inters en particular, puedes escribir un correo electrnico atu facilitador. Entonces, a ESTUDIAR!!!!

Objetivos Especficos.

Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiante sers capaz de:

Identificar las principales figuras geomtricas en el plano y en el espacio. Determinar permetros, reas y volmenes de las figuras estudiadas.


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Contenidos

1. La Geometra2. Sistema de Medidas3. Elementos bsicos4. Las Figuras Planas

4.1. PolgonosEl Tringulo.Tipos. Permetro y reaLos Cuadrilteros. Tipos. Permetro y rea

4.2. Crculo y Circunferencia. Elementos. Permetro y rea5. Los cuerpos geomtricos

5.1 Prismas.rea y Volumen5.2. Cilindros.rea y Volumen5.3. Pirmides. rea y Volumen5.4. Conos. rea y Volumen5.5. Esfera. rea y Volumen

Desarrollo del Aprendizaje

1. La GeometraHistricamente la Geometra es una de las ms antiguasciencias. Originariamente, formaba un conjunto deconocimientos prcticos relacionados longitudes, reas yvolmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada,segn los textos de Herdoto, Estrabn y Diodoro Sculo. Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en formaaxiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: la geometra euclidiana descrita enLos Elementos. El estudio de la astronoma y lacartografa , tratando de determinar las posiciones deestrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi comoimportante fuente de resolucin de problemas geomtricosdurante ms de un milenio. Mientras que Ren Descartes

desarroll simultneamente el lgebra y la geometra,donde curvas planas, podran ser representadasanalticamente mediante funciones y ecuaciones. Lageometra fue enriquecida con la estructura intrnseca delos entes geomtricos que analizan Euler y Gauss, dando origen a la topologa y lageometra diferencial. Para indagar ms, revisahttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementos
http://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3dotohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrab%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diodoro_S%C3%ADculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Planetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Planetahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Diodoro_S%C3%ADculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrab%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3dotohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia


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La geometra es la parte de las matemticas que estudia las propiedades y lasmedidas de las figuras en el plano o en el espacio. En esta gua estudiaremosalgunas formas geomtricas: Las formas geomtricas planas: Recta y Polgonos: Tringulo, Cuadriltero; y algunas formas geomtricas espaciales como: Superficiesde revolucin: Paraleleppedo, Cilindro,Cono y Esfera.

1. Sistema de MedidasPara hablar de medidas, definamos Medir. Desde el punto de vista fsico, medir unamagnitud fsica es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad enfuncin de la unidad patrn. En este caso se harn medidas y determinaciones delongitud, superficie y volumen; y el sistema a emplearse es el Sistema MtricoDecimal, donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de

10 respectivo, segn sean los mltiplos o submltiplos. No obstante, existen otrossistemas de medicin como el ingls y por supuesto las unidades de conversin quepermiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro.

En cuanto a medidas de longitud, el Sistema Mtrico Decimal es:

Submltiplos Mltiplos

Ejemplo:

Una longitud de 3 m para convertirlo en cm .Solucin:

Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km.Solucin:

Al determinara reas de superficies, la unidad principal es el metrocuadrado (m2) en el sistema mtrico decimal y para calcular superficies

3 m . 100 cm 300 cm

1 m =

Es ms fcil emplear factores deconversin que colaboran con lavisualizacin de las unidades

246 hm . 1 Km 24,6 Km10 hm =

En este caso la conversin es unadivisin.
http://enciclopedia.us.es/index.php/Rectahttp://enciclopedia.us.es/index.php/Pol%C3%ADgonohttp://enciclopedia.us.es/index.php?title=Superficie_de_revoluci%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Superficie_de_revoluci%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php/Cilindrohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Conohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Esferahttp://enciclopedia.us.es/index.php/Esferahttp://enciclopedia.us.es/index.php/Conohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Cilindrohttp://enciclopedia.us.es/index.php?title=Superficie_de_revoluci%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Superficie_de_revoluci%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://enciclopedia.us.es/index.php/Pol%C3%ADgonohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Recta


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mayores y menores que el m2, se emplean mltiplos y submltiplos, que aumentan odisminuyen de 100 en 100 respectivamente.

Mltiplos de metro cuadrado Submltiplos del metro cuadrado

En cuanto a las medidas agrarias, las superficiesde campo tienen como referencia un cuadradode 100 m de lado, as;

Ejemplo:

Un terreno de 24 dam 2 y convertirlo en dm2

Solucin:

Y en relacin al clculo de volumen, ste se mide por el metro cbico (m 3) ylas unidades de los mltiplos y submltiplos en el sistema mtrico decimalvaran de 1000 en 1000 segn el caso:

Mltiplos de metro cbico Submltiplos de metro cbico

Las unidades de volumen y capacidad se relacionan, empleando para ello al aguacomo referencia:

1 Litro (L)de Agua @ 4 C tiene una masa de 1 Kgy ocupa un volumen de 1dm3,

o que es equivalente o lo que es equivalente: 1 mL de Agua @ 4 C tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3,

24 dam 2 . 102 m2 . 102 dm 2 24*100 * 100 dm2 240.000 dm2 2,4x105 dm2 1 dam 2 1 m2 = = =


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Por eso 1 Les equivalente a 1 dm3, y 1mLes equivalente a 1 cm3

Ejemplo:

Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3, se necesita revisarlo en m3

Solucin

En otros sistemas de unidades:

Longitud

Superficie

Volumen

230 cm 3 . 103 dm 3 . 103 m3 230*1000 *1000 m3 230.000.000 m3 2,3x108 m31 cm 3 1 dm 3 = = =


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Actividad de Control: Convierte estos valores en las unidades indicadas

100 m a cm 776,009 pies a m 3,56782 mm a km 1269,0 cm a pulg 1245,768 dm2 a m 2 654,00 pulg2 a pie 2 0,00000657483 hm2 a dam 2 900000 m2 a yardas 2 0,030378 m3 a dm 3 10 m3 a galn 3 0,030378 mm3 a cm 3 34,98 L a m3

3. Elementos bsicosPara la comprensin y posterior clculos de medidas, es necesario aclarar algunosaspectos:

El Punto,es la unidad indivisible de la geometra. Un punto slo tiene posicin en elespacio y no tiene dimensin (largo, alto, ancho).

La Lnea,es una figura geomtrica que se genera por un punto enmovimiento.

Lnea recta L.

Si el punto se mueve sin cambiar de direccin, entonces es una lnearecta. Notacin:

Una Lnea curva se obtiene si el punto cambia continuamente dedireccin. Notacin:

Una lnea puede ser recta, curva o combinada y puede extenderse en formailimitada.

Un Rayo es una Lnea recta que crece en un solo sentido y una direccin.

Notacin:


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Un Trazo es una lnea segmentada caracterizada por dos puntosterminales y se le asocia una dimensin (longitud)Notacin:

El Plano,un plano es una superficie que tiene longitud yanchura pero no espesor, por lo tanto tiene dosdimensiones a diferencia de la mayora de los casos quenos rodean que estn en tres dimensiones.

De esta forma, la geometra plana sirve para estudiar tringulos, cuadrilteros, circunferencia, crculo.

El ngulo, es el espacio que existe por la formacin de dos semirectas que partende un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto comn vrtice.Notacin: Un ngulo se denota de la siguiente forma:

Una letra mayscula en elvrtice.

Una letra griega o un smbolo enla abertura.

Tres letras maysculas.

Para medir los ngulos se emplean varios sistemas, entre ellos el Sistema sexagesimalque divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partesconstituyen un grado sexagesimal. Adems, uno de estos grados se divide en 60partes iguales (60) que corres ponden, cada una de ellas, a un minuto; a su vez elminuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada unade estas partes a un segundo. Otro de los sistemas empleados para medir losngulos es el Sistema Radial, donde se usa el valor del irracional con unidades enradianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales: radianes equivalena 180

Para medir un ngulo se hace contra el movimiento de lasmanecillas de un reloj, considerndose en este caso, un ngulo


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positivo.

En funcin de la abertura se pueden obtener varios tipos de ngulos:

Cncavo 0 < < 180 Agudo: 0 < < 90

Recto: = 90 Obtuso: 90 < < 180

Convexo: 180 < < 360 Extendido o Llano: = 180 Completo = 360

Los ngulos tambin se encuentran en pareja:

ngulos adyacentes : Son ngulos que tienen unlado comn y los otros dos pertenecen a la mismarecta.

ngulos consecutivos , son ngulos que tienen un lado comn yel mismo vrtice.


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ngulos complementario, es un tipo especial de nguloadyacente cuya particularidad es que suman 90. .As, el


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El Tringulo,es el polgono (o figura plana y cerrada) de tres lados. Sus elementos son: Vrtice : A , B , C;Lados : a , b , c y ngulos : y estos ngulos

internos suman 180 , es decir:

Por otro lado, el tringulo se clasifica segn sus lados ysegn sus ngulos.

Clasificacin de los Tringulos

Segn susLados

(a, b, c)

Equiltero

Todos los lados igualesa = b = c

Issceles

Un lado distinto a = b cy

Escaleno

Todos los lados desiguales a b cy

Segn susngulosinteriores( )

Acutngulo

Tres ngulos agudos < 90

Rectngulo

Un ngulo recto= 90 entre a y bTeorema de Pitgoras Relaciona todos los ladosde un tringulorectngulo :a 2 + b2 = c2, donde Hipotenusa : c y Catetos : a y b

Obtusngulo Un ngulo obtuso Ejemplos: > 90

a b

c


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Los Cuadrilteros, son polgonos (o figura plana cerrada)de cuatro lados. Sus elementos son: Vrtices: A, B, C, D ;Lados : a, b, c, d ; Diagonales : e, f y ngulos :

donde . Los cuadrilteros se clasificande la siguiente manera: Paralelogramo, Trapecios yTrapezoides. Ac se muestran algunos de ellos con susreas y permetros.

Cuadriltero Permetro reaCuadrado

Pcuadrado = 4 aAcuadrado = a2

Rectngulo

Prectngulo = 2 (a + b) A rectngulo = a b

Rombo

P = 4 ae, f: diagonales

Romboide oParalelogramo

Promboide = 2 (a + b)A romboide = a h

Trapecio

P = a + b + c + d


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Ejemplo

Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular elpermetro, las hectreas que tiene y el precio del campo si el metrocuadrado cuesta 150 BsF.

Solucin

Los datos son: b = 170 m, h = 28 m; Precio = 150 BsF/ m 2

El permetro es la suma de sus lados P rectngulo = b + b + h + h = 2.b + 2.h

evaluando tenemos que: P rectngulo = 2*170 m + 2*28 m = 340 m + 56 m

P rectngulo = 396 m El rea de un rectngulo es A rectngulo = b* h, recordando que en medidas agrarias

las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado,as 1 hectrea = 10000 m, entonces

Finalmente, el precio del campo es:

Actividad de Control: Resulvelos todos!!, son cortos y fcil de analizar.

Calcula el nmero de baldosas cuadradas, de 10 cm, de ladoque se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m debase y 9 m de altura.

Hallar el rea de un tringulo rectngulo issceles cuyos lados miden10 cm cada uno.

El permetro de un tringulo equiltero mide 0.9 dm y la altura mide25.95 cm. Calcula el rea del tringulo.

A rectngulo = 170 m * 28 m 4760 m2 . 1 hectrea 0,476 hectrea10000 m2 ==

170 m

28 m

(Recuerda que el permetro esuna longitud y se mide en m)

Precio Campo 150 BsF .. 4760 m2 714000 BsF m2 = =


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Calcula el nmero de rboles que pueden plantarse en un terrenorectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesitapara desarrollarse 4 m.

El rea de un trapecio es 120 m, la altura 8 m, y la base menor mide10 m. Cunto mide la otra base?

Calcular el rea de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su basemide 3 veces ms que su altura.

Calcula el rea de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuyadiagonal menor es la mitad de la mayor.

En el centro de un jardn cuadrado de 150 m de lado hay una piscinatambin cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el rea del jardn.

Calcula el rea del cuadrado que resulta de unir los puntos medios delos lados de un rectngulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

Cunto vale el rea de la parte subrayada de la figura, si el rea delhexgono es de 96 cm.

Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 mde ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el rea de la zonaarbolada que queda.

Un jardn rectangular t iene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardn estatravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz.Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el rea del jardn.

Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar lafachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg depintura por m 2.

Hallar el permetro y el rea de la figura:


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4.2. Crculo y Circunferencia

La Circunferencia, es el lugar geomtrico de todos los puntos queconforman esta figura y que equidistan de un punto llamadocentro de la circunferencia. Los elementos de una circunferenciacomprenden al Radio (R r: distancia desde el centro de lacircunferencia y la lnea del contorno), Dimetro (D: el doble delvalor del radio, D = 2*r), Cuerda, Secante y Tangente

El Crculo, representa la zona achurada, es el rea delimitadapor el contorno curvo denominada circunferencia. Loselementos de un crculo abraca el Segmento Circular que es elrea o zona comprendida en un arco de la circunferencia yuna recta secante; y el Sector Circular que cubre dos Radios yun arco de la circunferencia. Es de

hacer notar que el arco es un segmento de lacircunferencia.

En los clculos de rea de la superficie de figurascirculares aparece el valor del nmero irracional Pi ( ). Elnmero Pi, es la relacin entre la longitud de lacircunferencia y su dimetro. Algo ms de ello lo encuentras enhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagraday/o en http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagradahttp://webs.adam.es/rllorens/pihome.htmhttp://webs.adam.es/rllorens/pihome.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagrada


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De esta forma en:

Circunferencia Permetro (Po): Po = 2* * r

rea (Ao): NO TIENE ________________________

Crculo Permetro (Po): Po = 2* * r

rea (Ao): Ao = * r2

Ejemplo:Determina la longitud de la circunferencia y el rea de un crculo de 30 cm dedimetro.

Solucin Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm. La longitud de la circunferencia es el mismo permetro

Pcircunferencia = 2* * r

entonces: Pcircunferencia = 2* * 15 cm = 3,141592 * 30 cm = 94,2477 cm

Pcircunferencia = 94,25 cm

El rea del crculo es: A crculo = * r2 y sustituyendo valores se tiene que:

A crculo = * (15cm)2 = 3,141592 * 225 cm2 A crculo = 706,86cm2

La Elipse,es una variacin de un crculo ya que posee dos radios: r1 y r2

As reaelipse = * r1 * r2


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5. Los cuerpos geomtricos.

Los cuerpos geomtricos, son todas aquellas figuras quetienen TRES DIMENSIONES (anchura, altura yprofundidad) o, lo que es lo mismo, volumen ocapacidad, ocupando un lugar en el espacio.

Las partes bsicas de un cuerpo geomtrico son: bases,caras laterales y altura.

Las figuras geomtricas ms importantes son; prisma,pirmide, cilindro, cono y esfera.

5.1 PrismasUn prisma es una figura geomtrica formada por varios paralelogramos igualesllamados caras laterales, y dos polgonos iguales y paralelos llamados bases. Losprismas se denominan segn sean sus bases:

Prisma triangular (sus bases son tringulos) Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados) Prisma pentagonal (sus bases son pentgonos)

Elrea de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras:

A prisma = (permetro de la base x altura) + (rea de la base x 2)Elvolumen de un prisma se calcula con la siguiente expresin:

Vprisma = Ade la base x altura

CuboAcubo = 6 a2 Vcubo = a3

Ortoedro o Paraleleppedo

A paraleleppedo = 2 (ab + ac + bc)

V paraleleppedo = a b c


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Prisma recto A prisma recto = P (h + a)

V prisma recto = AB h(3)

5.2. CilindrosUn cilindro es la figura geomtrica que se obtiene al hacer girar un rectnguloalrededor de uno de sus lados. El rea de la superficie de esta figura geomtricaresulta de la suma de las superficies de todas sus caras, as que ser necesario eldesarrollo del cilindro, que es un rectngulo y dos crculos. De esta forma su frmulaes:

total cilindro = (Arectngulo )+ (2 x Acrculo)

A total cilindro = 2 * * R * h ] + (2 * * R2)

A total cilindro = 2 * * R *(h + R)

Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresin:

Vcilindro= Abase x altura

Es decir, V = * R2 h

Podemos resumir el clculo del volumen de prismas o paraleleppedos y cilindros enel siguiente esquema:

Obteniendo factor comn 2 * *
http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm#notas#notashttp://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm#notas#notashttp://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm#notas#notashttp://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm#notas#notas


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5.3. PirmidesUna pirmide es un poliedro que tiene como base un polgono y cuyas caraslaterales son tringulos con un vrtice comn.

Elrea de la superficie de una pirmide es la suma de las superficies de todas suscaras, frmula es:

A pirmide = (rea de cara lateral x nmero de caras laterales) + (rea de la base)

Ahora, el volumen de una pirmide es:V pirmide = rea de la base x Altura / 3

V pirmide = (1/3)*b * h


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5.4. ConosUn cono es la figura geomtrica que se obtiene al hacer girar un tringulo

rectngulo alrededor de uno de sus catetos.

Elrea de la superficie del cono ser la de su realateral que es un sector circular cuyo radio es lageneratriz sumado al rea del crculo de la base.Como la circunferencia completa tiene una longitud2 r, entonces el sector circular tiene una esalongitud 2 r. Entonces podemos establecer lasiguiente relacin entre ambos:

torsecde lerficiesuparcodellongitud

circulode lerficiesupnciacircunfereladelongitud

De esta forma el volumen de un cono se calcula apartir de la expresin:

V cono = A de la base x altura / 3

V Cono base circular = (1/3)* b * h = (1/3) * r2 * h

Podemos resumir el clculo del volumen de pirmides y conos en el siguienteesquema:


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5.5. EsferaLa esfera es la figura geomtrica que se obtiene al hacer girar unsemicrculo alrededor de un dimetro.

Elrea de la esfera se calcula a partir de la expresin:

A esfera =4 * *r2

Finalmente, el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresin:

EjemploTomando los datos del crculo anterior, determine el volumen la esfera de 30 cm dedimetro.

Solucin Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm. El volumen de la esfera es: V esfera = 4/3 * * r3 y sustituyendo valores se tiene

que:

V esfera = 4/3 * * r3 = 4/ 3 * * (15cm)3 = (4 * 3,141592 * 3375 cm3)/3

V esfera = 14137,17cm3

Actividad de Control: Resulvelos todos!!, son cortos y fcil de analizar.

Calcula el volumen, en centmetros cbicos, de una habitacinque tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina

a razn de 6 BsF el metro cuadrado. Cunto costar pintarla? . Cuntos litros deagua sern necesarios para llenarla?

En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altoqueremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm deancho y 4 dm de alto. Cuantas cajas podremos almacenar?

Calcula la altura de un prisma que tiene como rea de la base 12 dm 2 y48 l de capacidad.


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Calcula la cantidad de hojalata que se necesitar para hacer 10 botesde forma cilndrica de 10 cm de dimetro y 20 cm de altura.

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura

mide 125.66 cm. Calcular: El rea total y su vo lumen. La cpula de una catedral t iene forma semiesfrica, de dimetro 50 m. Si

restaurarla tiene un coste de 300 BsF el m 2 , A cunto ascender elpresupuesto de la restauracin?

Cuntas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m deprofundidad?

Un recipiente cilndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena deagua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, cul es la masa delrecipiente vaco?

Para una fiesta, Lus ha hecho 10 gorros de forma cnica con cartn.Cunto cartn habr util izado si las dimensiones del gorro son 15 cm deradio y 25 cm de generatriz?

Un cubo de 20 cm de arista est lleno de agua. Cabra esta agua enuna esfera de 20 cm de radio?

Actividad de Control: En la figura, encuentra diez (10) cuadrados.


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Actividad de Control: Revisa esta pgina Web, para que practiques estos clculos:http://www.thatquiz.org/es-4/

Actividad de Control: Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho

Referencias Bibliogrficas

Para el estudio del despeje de incgnitas en una ecuacin, te muestro algunasreferencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido ac; son textosde Matemtica usados en Educacin Bsica. Adems, algunas direccioneselectrnicas:

Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Baldor, A. 2000. Aritmtica. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Grupo Editorial Girasol. 2007. Gua- Terica-Prctica Matemtica 7. Terra editores. http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm http://ens5.buenosaires.edu.ar/doc/blog/MateDepo.pdf http://www.sectormatematica.cl/deportes.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/00-01/PG00-01-gorria.pdf http://foks-foks.blogspot.com/
http://www.thatquiz.org/es-4/http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htmhttp://ens5.buenosaires.edu.ar/doc/blog/MateDepo.pdfhttp://www.sectormatematica.cl/deportes.htmhttp://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/00-01/PG00-01-gorria.pdfhttp://foks-foks.blogspot.com/http://foks-foks.blogspot.com/http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/00-01/PG00-01-gorria.pdfhttp://www.sectormatematica.cl/deportes.htmhttp://ens5.buenosaires.edu.ar/doc/blog/MateDepo.pdfhttp://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htmhttp://www.thatquiz.org/es-4/

guia didactica geometria

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