Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de Cs. de la Salud - RehabilitacionFMM 002 - Matematicas

GUIA DERIVADAS

1. Usando la definicion de derivada calcule las siguientes derivadas dadas las funciones:

(a) f(x) =√

2x + 1

(b) f(x) = x2 + 3x + 5

(c) f(x) = 2√

x

2. Utilizando propiedades y reglas de derivacion, obtenga f ′(x)

(a) f(x) = 2ex + lnx

(b) f(x) =sinx + cos x

sinx− cos x

(c) f(x) = 3 cos x + 2 sinx

(d) f(x) =√

x− 1√x

(e) f(x) =ex · cos x

1− sinx

(f) f(x) =x + 1x− 1

(g) f(x) =sinx

x2

3. Utilizando regla de la cadena, encuentre y′ a partir de

(a) y = e3x2 · x(b) y = (2x− 1)2 − 6 sin(5x)

(c) y =(√

x3 + 5) 5

2

(d) y = 2 ln(cos(2x))

(e) y =√

1−√

(2x + 1)

(f) y =x2 · ln(4x)

e2x

(g) y = sin2(2x) + cos2(2x)

(h) y =ln(sin(x2 + 1))

x

4. Demuestre que

(a) y = xe−x2

2 , satisface la ecuacion xy′ − (1− x2)y = 0.

(b) y = x sinx, satisface la ecuacion x2y′′ − 2xy′ + (x2 + 2)y = 0.

(c) y = xex, satisface la ecuacion xy′ = y − xy

(d) y = ex, satisface la ecuacion y′′ + xy′ − y = xex

5. Hallar f ′(

π2

), si f(x) = sin2(x− cos x).

6. Demuestre que y =x2ex

2, satisface la ecuacion

d2y

dx2− 2

dy

dx+ y = ex

7. Sea f(x) =2x3

3+

x2

2− x − 1. Hallar los puntos de la grafica de f en que la pendiente de la recta

tangente en ese punto sea igual a

(a) 0. Sol: x = 12 o x = −1.

(b) -1. Sol: x = 0 o x = −12 .

(c) 5. Sol: x = 32 o x = −2.

8. Sea f(x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la graficade f en el punto de coordenadas (2, 4).

9. Calcular el area del triangulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curva y =√

9− xen el punto de coordenadas (5, 2).

10. Calentamiento de un plato. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radioaumenta a razon de 0,01 cm/min. ¿Cual es la razon de cambio del area cuando el radio mide 50 cm?

Sol: πcm2/min

11. Cambio de dimensiones en un rectangulo. El lado ”l” de un rectangulo disminuye a razon de 2 cm/s,mientras que el ancho ”w” aumenta a razon de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar lasrazones de cambio de:

(a) El area. Sol: 14 cm2

s .

(b) El perımetro. Sol: 0.

(c) La diagonal.Sol: −1413

cmseg

12. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la baseesta a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razon de 1,5 m/s.

(a) ¿Cual es la razon de cambio del area del triangulo formado. Por la escalera, la pared y el sueloen ese instante?

(b) ¿Cual es la razon de cambio del angulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?Sol: a) Disminuye a razon de 5.61 m2/s b) 0.986 rad/s

13. Un bloque de hielo cubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr, ¿a querazon disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm?

Sol:600cm3

hra

14. Se introduce una poblacion de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en numero de acuerdo con la

funcion P (t) = 500(

1 +4t

50 + t2

)donde t se mide en horas. Hallar a que ritmo esta creciendo la

poblacion cuando han pasado 120 minutos.

Sol: 31.55bacteriashra

15. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada varıa en funcion del tiempo tsegun la ley y = at3 . Hallar la velocidad de variacion de la abscisa en funcion del tiempo.

Sol:a13

16. Demuestre que si f(x) = ln(

1 + x

1− x

)y g(x) = f

(a + x

1 + ax

), entonces f ′(x) = g′(x).

17. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, lapresion P y el volumen V satisfacen la ecuacion PV = c , donde c es una constante. En determinadoinstante el volumen del gas es 600 cm3, la presion es 150 KPa y crece a una razon de 20 KPa/ min.¿Con que velocidad disminuye el volumen en este momento?.

Sol: Disminuye a razon de 80 cm3

min

18. Se estima que dentro de t anos, la poblacion de cierta comunidad suburbana sera p(t) = 10− 20(t + 1)2

miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monoxido de carbonoen el aire sera c(p) = 0.8

√p2 + p + 139unidades cuando la poblacion sea de p miles. ¿ A que razon

porcentual cambiara el nivel de monoxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 ano?

Sol: 1.69 u/ano

19. Un hombre camina a razon de 4 Km por hora hacia la base de una torre de 25 mts. de altura. ¿Conque razon se aproxima a la cima de la torre cuando esta a 20 metros de su base?

Sol: 2.49 m/hra

20. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0, en el punto (−2, 3).

Sol:y =7x

10+

225

.

21. (a) La ecuacion sin(x + y) = x sin y define implıcitamente ”y” como una funcion de x. Encuentre y′

en el punto (0, 0).Sol: -1

(b) Encuentre y′ para y = ln(2x3) + sin(1− x)− xe3x.

Sol:y′ =3x− cos(1− x)− e3x − 3xe3x

22. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2y3 − 6 = 5y3 + x cuando x = 2 e y = −2.

Sol: y = −33x

12+

216

23. Hallardy

dxsi x2y + 2y3 = 3x + 2y y evaluela en (2, 1).

24. Sea f(2) = −3; f ′(x) =√

x2 + 5; g(x) = x2 · f(

xx−1

). Hallar g′(2).

Sol: -24.

25. Verificar que la funcion y = sin(lnx) + cos(lnx) satisface la ecuacion

x2y′′ + xy′ + y = 0

26. Se desea cercar un terreno rectangular de area de 10000 m2 , sabiendo que uno de sus lados ya estacubierto por un rıo. Hallar las dimensiones del terreno, de manera que el costo del cercado sea mınimo.

Sol: Ancho=50√

2; Largo=100√

2

27. La reaccion a dos drogas como funcion del tiempo( medido en horas) esta dada por:

R1(t) = t · e−t;R2(t) = t · e−2t2

Debido a las caracterısticas de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tenga una reaccionmaxima mayor ¿Que droga se debe elegir?

Sol: La droga 1.

28. Una persona tose cuando hay un objeto extrano en su traquea. La velocidad de la tos depende deltamano del objeto. Suponga que una persona tiene una traquea cuyo radio es 20 mm. Si un objetoextrano tiene un radio ”r”( en milımetros), entonces la velocidad ”V ” ( en milımetros por segundo),necesaria para eliminar el objeto mediante la tos esta dada por:

V (r) = k(20r2 − r3); 0 ≤ r ≤ 20

donde k es una constante positiva. ¿Para que tamano del objeto se necesita la velocidad maxima conel fin de removerlo?

Sol:r = 403

29. El flujo de sangre en los vasos sanguıneos es mas rapido cuando se dirige hacia el centro del vaso ymas lento hacia el exterior. La velocidad del fluido sanguıneo V esta dada por:

V =p

4Lk(R2 − r2)

donde R es el radio del vaso sanguıneo, r es la distancia que recorre la sangre desde el centro del vaso,y p, L y k son constantes fısicas relacionadas con la presion. Cuando se excava nieve en medio delaire frıo, una persona con historial medico de dificultades cardıacas puede desarrollar angina (dolorde pecho) debido a la contraccion de los vasos sanguıneos. Para contrarrestarlo, puede tomar unatableta de nitroglicerina, que dilata los vasos sanguıneos. Suponga que despues de tomar una tabletade nitroglicerina, el radio de un vaso sanguıneo se dilata a razon de 0.0025 mm/ min en un lugar enel vaso sanguıneo donde el radio es R= 0.02 mm, encuentre la razon de cambio de la velocidad de lasangre.

Sol:2.5 · 10−5 p4Lkmm/min

30. Sean f, g : I ⊆ R → R dos funciones derivables que tienen un punto crıtico en x0 ∈ I . Demuestre quela funcion h(x) = f(x) · g(x) tiene un punto crıtico en x0 .

31. Se construye un contenedor de modo que su capacidad sea de 288 pies cubicos. El contenedor tienecomo base un cuadrado y cuatro caras verticales. Si la base y la tapa del contenedor estan hechasde acero y las caras laterales de concreto. ¿ Cuales seran las dimensiones del contenedor para que elcosto de construccion sea mınimo sabiendo que el concreto tiene un costo de US 3 por pie cuadrado yel acero un costo de US 4 por pie cuadrado?

Sol: Debe ser de 6 x 6 x 8 pies

32. Para la funcion definida por f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x, encuentre los valores crıticos y clasifıquelos enmaximos o mınimos

33. Encuentre y′ a partir de

y2 + y = ln x

34. (a) El siguiente lımite representa la derivada de una funcion f en un punto x

limh→0

2(x + h)2 − 2x2

hDeduzca f(x).

(b) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva y = ax2, con a ∈ R, en el punto cuandox = 1.

35. La cosecha de una explotacion agrıcola de maız Y en funcion del nivel de nitrogeno N en el suelo, sepuede modelar como

Y (N) =N

1 + N2con N ≥ 0

Calcule el nivel de nitrogeno que maximiza la cosecha.

36. Sea f(x) = (αx− 2)2 + 3, con α ∈ R. Encuentre el valor de α tal que f ′(1) = −2

37. Verifique si la funcion y = x · e3x, satisface la ecuacion

y′′ − y′ − 6xe3x = 0

38. Un artıculo en una revista de sociologıa afirma que si ahora se iniciase un programa especıfico deservicios de salud, entonces al cabo de ”t” anos, N miles de personas adultas recibirıa beneficiosdirectos, donde

N =t3

3− 6t2 + 32t; 0 ≤ t ≤ 8

¿ Para que valor de t es maximo el numero de beneficiarios?

39. En Nueva Escocia se llevo a cabo un estudio de la polilla de invierno. Las larvas de la polilla caen alpie de los arboles huespedes a una distancia de ”x” pies de la base del arbol. La densidad de larvas”D” ( numero de larvas por pie cuadrado de suelo ), viene dada por:

D = 59.3− 1.5x + 0.5x2; 1 ≤ x ≤ 9

(a) ¿Con que rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuando estas estan a6 pies de la base del arbol?

(b) ¿A que distancia de la base del arbol la densidad de larvas decrece a razon de 6 larvas por piecuadrado por pie?

40. Suponga que t semanas despues del brote de una epidemia,

f(t) =2000

1 + 3e−0.8t

personas la adquieren.

¿Cual es la razon de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1?

41. Dada la funcion f(x) = x3 − 3x2 − x + 1

(a) Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto cuando x = 3.

(b) Si g(x) = sin x, calcule (f o g)′.

42. Calcular la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva

y2 − y

x+ x · y = 1

en el punto de coordenada (1, 1).

43. Si f(x) = 2√

x + lnx y g(x) = 2ex + sinx, demuestre que

2 · f ′(1)− g′(0)f ′(g(0))

= 2√

2− 2

44. Suponga que en un cultivo, el numero de bacterias presente despues de t horas, viene dado por

N(t) = 1000 · e−t2

2

¿A que razon esta cambiando el numero de bacterias, cuando han transcurrido 2 horas?

45. Los gusanos de yema del abeto son una plaga importante que desfolia los pinos del Canada. Susdepredadores son los pajaros. Un modelo de la velocidad de depredacion es

V (N) =aN

k2 + N2

siendo N la densidad de gusanos, donde a y k son constantes positivas.¿Para que densidad de gusanoses maxima la velocidad de depredacion? ¿Cuanto vale la velocidad maxima de depredacion?

46. Considere la funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c

(a) Determine completamente la funcion cuadratica, es decir, calcular a, b, c, de modo que

f(0) = 3 ; f ′(0) = 2 ; f ′′(0) = 6

(b) Con la funcion cuadratica obtenida en la parte (a), encuentre el valor de x de modo que f(x) seamınima.

47. Si y =1

2x− 1, verifique si:

y′′

y+ 2y′ = 0.

48. La cantidad de bioxido de nitrogeno, gas cafe que dificulta la respiracion, presente en la atmosfera encierto dıa de Mayo en una comunidad, se aproxima mediante la funcion

A(t) =544

4 + (t− 4.5)2+ 28; 0 ≤ t ≤ 11

donde A(t) se mide con un ındice estandar de contaminacion ( PSI, por sus siglas en ingles ) y t semide en horas, con t = 0 correspondiente a las 7 A.M

(a) ¿Cuando crece el PSI?

(b) Determine a que hora del dıa el PSI alcanza su maximo.

(c) ¿Cual es el valor maximo del PSI en ese instante?

49. Determine la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y = x3−4x2+3, cuando la abscisa vale 1.

50. Si y define una funcion implıcita de x en

x3 = y2 − 2x2y + x4

Encuentre y′.

51. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

(a) y =√

3x2 − 7

(b) y = 4x(7x + 1)2 + 3x− 6

52. Thomas Young ha sugerido la siguiente regla para calcular la dosis de medicina para ninos entre uno ydoce anos. Si a denota la dosis para un adulto ( en mg ) y si t es la edad del nino ( en anos ), entoncesla dosis infantil esta dada por

F (t) =a · t

t + 12

Suponga que la dosis para un adulto de una sustancia es 500 mg. ¿Cual es la razon de cambio de dichadosis para un nino de 10 anos?

53. El nivel aproximado de ozono, un gas invisible, irritante y que perjudica la respiracion, en un dıa demayo en una determinada localidad lo da la expresion

A(t) = 1.0974 · t3 − 0.0915 · t4

donde A(t) se mide mediante un ındice estandar de contaminacion y t se mide en horas, con t = 0correspondiente a las 7 A.M. Determine a que hora del dıa el nivel de contaminacion es maximo.