MAT 106

Derivadas y sus aplicaciones

1.- Hallar '( )f x en cada caso:

a) 7( )f x x= g) ( ) ( ) cos( )f x sen x x= +

b) 4( ) 3f x x= h) 3 2( ) ( 2 )f x x x= +

c) ( ) ln(2 )f x x= i) 2( ) cos( )f x x=

d) 2( ) 3 5 3f x x x= + j) 2

( )2 3

xe xf xx+

=+

e) 2( ) 7xf x e x= + k) 2

( ) 3x xf x += f) 2 3( ) xf x e x= +

2.- Para 5 3 2( ) 3 2 7 2f x x x x= + + + . Calcular

a) '(2)f b) ''(0)f c) (4) ( 1)f 3.- Dada 3( ) 3f x x x= . Hallar la recta tangente a la grfica de f en ( 2, ( 2))f . 4.- Hallar la recta tangente a la grfica de f en el punto (1,2), donde 2( ) 5 6f x x x= + . 5.- Hallar la recta tangente a la grfica de f en el punto (3,4) donde 2( ) 3 4f x x x= + 6.- Hallar mximos y mnimos locales para f en cada caso:

a) 2( ) 5 6f x x x= + b) 2 3( ) 3f x x x= 7.- Realizar el anlisis de curva en cada caso, luego graficar

a) 3 2( ) 2 15 24f x x x x= + . 8.- Se desea inscribir un tringulo recto en la parbola de ecuacin 26y x x= . Hallar las dimensiones de los catetos de modo que su rea sea mxima. 9.- Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de mts/seg, el desplazamiento est dado por la ley 2( ) 64 16s t t t= .

a) Determinar la velocidad media durante el primer segundo. b) Determinar la velocidad instantnea al cabo de 3 segundo. c) Cundo alcanza la pelota la altura mxima?.

MAT 106 10.- La temperatura T, en grados centgrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso, viene dada en funcin del tiempo t, en horas, por la expresin:

2( ) 4 10T t t t= , con 0 4t a) Represente grficamente la funcin T y determine la temperatura mxima que alcanza la

pieza. b) Qu temperatura tendr la pieza transcurrida 1 hora? Volver a tener esa misma

temperatura en algn otro instante? 11. La concentracin de ozono contaminante, en microgramos por metro cbico, en una ciudad viene dada por la funcin 2( ) 90 15 0.6C x x x= + , donde x es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en aos.

a) Hasta qu ao est creciendo la concentracin de ozono?

b) Cul es la concentracin mxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?. 12.- Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies/seg. Su altura en pies despus de t segundos est dada por 2( ) 40 16S t t t= .

a) Encuentre la velocidad a los 2 segundos. b) En qu instante obtuvo la altura mxima? c) Cul es la altura mxima que alcanza la pelota?

13.- La funcin de movimiento 3( ) 4 6 2S t t t= + + denota el desplazamiento (en metros) de una partcula que se mueve en lnea recta, t es medido en segundos.

a) Encuentre la velocidad de la partcula en los instantes 1t = , y 3t = . b) Encuentre la variacin media del desplazamiento de la partcula en los tiempos [ ]2 , 5 .

14.- Se suelta un globo en un punto a 150m de un observador a nivel del piso. El globo se eleva en lnea recta a una velocidad constante de 8m/s Qu tan rpido est aumentando la distancia del observador y el globo cuando ste ltimo se encuentra a 50m de altura? 15.- Una escalera de 5 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se est resbalando a razn de 1.2 m/s, a qu velocidad desciende el extremo superior cuando ste est a 3 m del suelo?