guia de matemática i
DESCRIPTION
ijihjikjjkmTRANSCRIPT
-
Lima Per
2015
M a t e m t i c a I
AUTOR: MICHAELS MEJA LAGOS
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 2
MATEMTICA I
GUA DEL ESTUDIANTE
MATEMTICA I
GUA DEL ESTUDIANTE P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i n p a r c i a l o t o t a l d e
e s t a o b r a p o r c u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i n e s c r i t a d e l A u t o r .
Derechos Reservados 2015
Cuarta Edicin
Universidad Cientfica del Sur
rea de Matemtica
Universidad Cientfica del Sur S.A.C.
Carretera Antigua Panamericana Sur Km. 19
Villa El Salvador
Tlf: (51 1) 610 6400
Web: www.ucsur.edu.pe
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 3
Reservados todos los derechos
Ningn material de este manual puede ser reproducido sin autorizacin expresa por escrito del autor. La
autorizacin ser en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se
refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100,
slo para uso con fines educativos y sin lucro.
MBA Rolando Vallejo Cortz Presidente Ejecutivo
MBA Luis Prez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo
Dr. Jos Amiel Prez Rector
Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Acadmica
M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Bsicos de Ciencias
Ing. Jos Dvila Coordinador del rea de Matemtica
Lic. Michaels Meja Lagos Autor
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 4
E l e s t u d i o d e e s t a g u a d e p r c t i c a
p e r m i t i r :
Obtener informacin de los diferentes
temas del curso Matemtica I, de acuerdo
al perfil profesional.
Que se use en el desarrollo de los temas
del curso tanto en la teora como en la
prctica de los ejercicios y problemas
aplicativos.
Disponer de ejercicios propuestos.
Disponer de problemas de Aplicacin.
OBJETIVOS
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 5
CAPITULO I: FUNCIONES
1.1 Introduccin
1.2 Dominio
1.3 Contradominio
1.4 Imagen de una funcin
1.5 Representacin Grfica de Una Funcin
1.6 Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
1.7 Funciones Especiales
1.8 Operaciones con Funciones y Composicin de Funciones
CAPITULO II: LIMITE DE FUNCIONES
2.1 Limite de Una Funcin
2.2 Limites Al Infinito
2.3 Limite Trigonomtricos
2.4 Continuidad y Discontinuidad de Funciones
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 6
CAPITULO III: DERIVADAS
3.1 Definicin de Derivadas
3.2 Segunda Derivada
3.3 Derivadas Implcitas
3.4 Regla de LHOSPITAL
3.5 Aplicaciones de la Derivada: Mximos y Mnimos
3.6 Problemas de Optimizacin
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 7
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 8
1.1 Introduccin
RELACIN
Se define como relacin o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un
subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que
cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado,
varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} y la relacin R definida
como mayor que que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)
El diagrama (VENN) es:
A B
= {(, ) / }
Forma implcita:
Forma explcita:
= {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}
1 2
3
4
5
1
3
6
5
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 9
El conjunto de pares ordenados que forman parte de R est compuesto por un
elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y
adems satisfacen la condicin que define esa relacin. Se dice que:
(, )
FUNCIN
Una funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o
correspondencia entre dos o ms cantidades. El trmino funcin fue usado por
primera vez en 1637 por el matemtico francs Ren Descartes para designar una
potencia xn de la variable x. En 1694 el matemtico alemn Gottfried Wilhelm
Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su
pendiente. Hasta recientemente, su uso ms generalizado ha sido el definido en 1829
por el matemtico alemn, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (18051859), quien escribi:
Una variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto de
ello. Dos variables X y Y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a X
entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automticamente un valor a
Y, se dice que Y es una funcin (unvoca) de X. La variable X, a la que se asignan
libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y,
cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores
permitidos de X constituyen el dominio de definicin de la funcin y los valores que
toma Y constituye su recorrido.
DEFINICIN
Una funcin f de A en B es una relacin que le hace corresponder a cada elemento x
A uno y solo un elemento y B, llamado imagen de x por , que se escribe
= (). En smbolos, : .
Es decir una funcin es un vnculo entre elementos de dos conjuntos, de tal manera
que todos y cada uno de los elementos del conjunto de salida se conecta con un
nico elemento del conjunto de llegada.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 10
Al conjunto de salida se le denomina Dominio y al de llegada se le denomina
contradominio
Por ejemplo: dados los conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l}, presentaremos,
grficamente, (mediante Diagramas de Venn) algunas funciones definidas de A en B:
La flecha
indica una correspondencia entre los elementos de A y B. En el ejemplo (a), la
funcin tambin se puede expresar mediante un conjunto de pares ordenados,
llamados as por estar formados por dos valores, ordenados de forma tal que el
primero corresponde al conjunto de partida y el segundo al de llegada:
{(5, g),(6, h),(7, i),(8, j)} , {(5, g),(6, i),(7, j),(8, l)}, {(5, g),(6, g),(7, i),(8, l)}.
Para el ejemplo (a) Para el ejemplo (b) Para el ejemplo (c)
Debemos resaltar que cada elemento de A est unido con una flecha a un slo
elemento de B. As, de un mismo elemento xA no pueden partir dos o ms flechas.
De ste modo una relacin como la de la siguiente figura NO es una funcin.
87658765 8765
h g i l j h g i l j h g i l
(b) (a) (c)
87658765 8765
h g i l j h g i l j h g i l
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 11
Teorema: Una ecuacin define a una funcin si cada recta vertical en el sistema de
coordenadas cartesianas pasa a lo ms por un punto de la grfica de la ecuacin. Si
una recta vertical pasa por dos o ms puntos de la grfica de una ecuacin, entonces
la ecuacin no define una funcin.
Ejemplo 1.- Determinar si la grfica representa una funcin o una relacin.
Ejemplo 2.- Determinar si la grfica representa una funcin o una relacin.
Y
X x
Ejemplo 3.- Determinar si la grfica representa una funcin o una relacin.
Y
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2
Las rectas verticales intersecan esta
grfica en exactamente un punto. Por lo
tanto, esta grfica representa la grfica de
una funcin.
Representa a una funcin
porque cualquier paralela
al eje y corta a la curva
en un solo punto. Su
dominio es el conjunto
de los nmeros reales y
su imagen son los reales
no negativos, es decir,
Df = R, Cf = R+ U {0}.
El dominio de la
funcin es el conjunto
de todos los valores
que puede tomar la x,
y el conjunto imagen
est formado por
todos los valores que
puede tomar y bajo la
funcin.
No representa una funcin porque al
trazar paralelas al eje de las y se
observa que cada una de ellas corta a la
curva en dos puntos, es decir, cada
elemento del dominio tiene dos
imgenes, excepto el cero.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 12
X
El concepto de funcin, de acuerdo con su definicin, puede descomponerse en
diferentes constituyentes. stos son:
A nivel de conjunto Dominio y Contradominio
A nivel de elemento Argumento e Imagen
1 .2 Dominio
Se llama Dominio de una funcin al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente. El dominio de una funcin del tipo = () suele representarse
con alguna de estas expresiones: Df, Dom (f).
Definicin:
1 .3 Contradominio
En una funcin : , el dominio corresponde al primer
conjunto. Para el caso que nos ocupa, el dominio es el conjunto A.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 13
Se llama Contradominio, Rango o Imagen de una funcin al conjunto de valores que
puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede
alcanzar la funcin. El Contradominio de una funcin del tipo y = f(x) suele
representarse con alguna de estas expresiones: Cf, Rango (f), Im (f).
Definicin:
1.4 Imagen de Una Funcin
La asociacin a travs de una funcin f, de los conjuntos A y B, de A hacia B (o
simplemente f: A B) conlleva a la asociacin individualizada de cada uno de los
elementos del conjunto A (primer conjunto o dominio) con un nico elemento del
conjunto B (segundo conjunto o Contradominio).
Definicin:
El Contradominio, tambin llamado rango de la funcin, es el nombre
que se le da al segundo conjunto. Esto es, aquel en donde se encuentran los
valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio. Si la
funcin es : , el Contradominio es B.
Cada elemento del primer conjunto recibe el nombre de argumento de
la funcin; y a su correspondiente asociado, elemento del segundo conjunto,
se le denomina imagen del argumento bajo la funcin dada.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 14
= 3 2
Obsrvese la Figura.
A B
La funcin f que aparece es una funcin de variable real en donde:
Su regla de correspondencia es la ecuacin: = 3 2
Su dominio es el conjunto: A = {, -2, -1, 0, 1, 2,}
Y su Contradominio es el conjunto: B = {, -8, -5, -2, 1, 4,}
Si hacemos un anlisis elemento a elemento, encontramos por ejemplo que:
El argumento 2 est asociado a 4; es decir, la imagen de 2 es 4. Cul es la imagen
1? Cuntos argumentos posee el dominio?
Notacin:
La imagen de una funcin f se representa generalmente de la siguiente manera: f(x)
lase la imagen del argumento x bajo la funcin f.o simplemente efe de equis.
No obstante, independientemente de la forma en que se lea, siempre debe
interpretarse como corresponde. As, para el ejemplo dado en la Figura: = ()
-2
-1
0
1
-8
-5
-2
1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 15
Y como ejemplo, (2) = 4, observa que para el mismo caso, la regla de
correspondencia puede tambin escribirse como: () = 3 2
Para finalizar esta seccin, tomando en cuenta el mismo ejemplo, contesta: Cul es
la imagen de (5)?. Justifica tu respuesta con operaciones.
Ejemplo
1) Calcular el dominio y el Contradominio de la funcin: 2 xy
SOLUCIN:
Como los nmeros se han restringido a los nmeros reales, y es una funcin de x
slo si 02 x debido a que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se
denomina un solo valor de y, sin embargo, si x < 2, se tiene la raz cuadrada de un
nmero negativo, y en consecuencia, no se obtendr un nmero real y. Por tanto, se
debe restringir x de manera que 2x .
De este modo, el dominio de f es el intervalo ,2 , y su Contradominio es ,0
1 .5 Representacin Grfica de Una Funcin
Las funciones se pueden representar mediante una grfica sobre unos ejes llamados
ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas; sobre
l se sita la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de
ordenadas; sobre l se sita la variable dependiente. Para situar las variables sobre
los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos.
Si P es un punto del plano, trazando por P la paralela al eje y, obtenemos un punto
0 sobre el eje x al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la paralela al eje x,
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 16
obtenemos un punto 0 sobre el eje y al que llamamos ordenada de P. Diremos que
0 e 0 son las coordenadas de P y escribiremos = (0, 0) Grficamente:
Ejemplos:
Sea la funcin RRf : / f(x) = 3x + 1. Algunos puntos de su grfica son: (0,
1), (1, 4),(1, 2), ( 31, 2). De esta manera obtenemos la siguiente representacin
grfica de f:
-2 -1 1 2x
-4
-2
2
4
6
y
x
y
Conjunto de puntos (, ) del plano talque = () para todo x perteneciente al
dominio de se denomina grafica de .
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 17
-3 -2 -1 1 2 3x
1
2
3
4
5
y
Consideremos la funcin RRf : / f(x) = x2. Para obtener su grfico
aproximado podramos dar distintos valores a x y obtener los correspondientes
de y. Para ello es cmodo hacer una tabla como la siguiente:
Tema: Identificacin de funciones
1.- Indica cuales de las siguientes figuras representan una funcin.
x f(x) = x2
2 4
1 1
0 0
0,5 0,25
1 1
2 4
x
y
z
1
2
3
x
y
z
1
2
3
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 18
2.- Indica cuales de las siguientes graficas representa una funcin y cules no
(Argumenta).
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 19
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 20
Tema: Funciones
1.- Dados los conjuntos 4,3,2A y 6,5,3B Cual de las siguientes relaciones no es una funcin de A en B.
3,3;6,2;5,2
6,4;3,3;5,2
6,4;5,3;3,2
3
2
1
R
R
R
2.- Dados los conjuntos 4,2,0,1A y 8,6,0,2B . Hallar
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 21
a) xyBAf 2/:
b) Dominio y rango de la funcin
c) Diagrama sagital
d) Es una aplicacin?
3.- Sean los conjuntos 7,5,4,1A y 7,5,3,2B encontrar
1/, yxAxByxR realiza el diagrama sagital. Es R una funcin?
4.- Sean los conjuntos 5,4,3,2A y 26,15,8,3B encontrar = {(, ) = 2 11} realiza el diagrama cartesiano. Es R una funcin?
5.- Sean los conjuntos 4,3,1,2M y 3,2,1,1,2,3 N encontrar = {(, ) 2 = 2}realiza el diagrama sagital. Es R una funcin?
6.- Dados los conjuntos 5,4,3,2,1,0A y 12,11,9,7,5,3B . Hallar
a) 32/: xyBAf
b) Dominio y rango de la funcin
c) Diagrama sagital
d) Es una aplicacin?
7.- Hallar a y b sabiendo de que el conjunto ab ,6;,2;7,6;3,2 es una funcin.
8.- Hallar m y n sabiendo de que el conjunto 2,;,;12,;, mnmmnmnn es una funcin.
9.- Evaluar las siguientes funciones:
a) si 23 xxxf Calcular: 0
21
f
ff
b) si 12 2 xxf Calcular: 01
41
31
ff
ff
10.- Graficar las siguientes funciones:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 22
a) 14: xyNNf
b) 2
1:
xyNNf
c) 32: 2 xyZZf
11.- Cual debe de ser el valor de a para que la siguiente relacin sea una funcin?
= {(2; 5 1), (7; ), (22 2; 3), (7; 8 3)}
12.- Si1
12
2
1
x
xxQ Calcular el valor de 1aQ
13.- Si 1
12
x
xxf Calcular el valor de 12ff
14.- Si 12 xxxP simplificar 2211 xxPxPxPR
Tema: Graficas, dominio y rango e interseccin con los ejes de
coordenadas
1.- Representa las siguientes funciones grficamente:
a) y = 2x b) y = x c) y = 3x d) y = x
e) y = x 2 f) y = 3x + 5 g) y = x + 1 h) y = x + 4
i) y = 1 j) y = 4 k)y = 3
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 23
2.- Grafica cada una de las funciones lineales siguientes, dando el dominio y rango:
)3/24/(2)()
)82(4/1)()
)4(2/3)()
)1(5)()
2/34/)()
3
54)()
5)()
13)()
42)()
2)()
32
xxfj
xxfi
xxfh
xxfg
xxff
xxfe
xxfd
xxfc
xxfb
xxfa
3.-Hallar el dominio y el rango de la siguiente funcin:
8,6;13,6;1,32;3,5 MMF
4.- Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones lineales
a) 34)( xxf
b) 6)( xf
c) 10;18)( xxxf
d) 1)( xxf
e) 2)( xxf
f) 62)( xxf
c) x
xf1
)(
c) 34)( xxf
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 24
5.-Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones cuadrticas:
a) 2)( xxf
b) 1)(2 xxxf
c) 108)(2 xxxf
6.-Escribir el dominio y el rango de las funciones raz cuadrada:
a) 1)( xxf
b) xxf 210)(
c) 62)( xxf
d) 12)( xxf
7.-Escribir el dominio y el rango de las siguientes funciones racionales:
a) x
xf1
)(
b) 4
2)(
xxf
c) 32
64)(
2
23
xx
xxxxf
8.-Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones con valor absoluto.
a) 1 xy
b) 3 xy
c) 2 xy
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 25
d) 42
1 xy
9.-Identifica la funcin y da como respuesta su rango:
a) 2,1;1,3;1,2;1,1F
b) 2,1;2,1;2,1G
c) 10,5;5,3;3,10;5,10H
d) 1,3;2,3;1,2F
10.-Grafica cada funcin y halla su dominio y su rango
a) 32)( xxf
b) 2,22)( xxxf
c) 2,33)( xxxf
d) 3,42
1)( xxxf
11.- Tabulando encuentre el dominio, rango y grafique de las siguientes funciones.
a) xxf 2)(
b) x
xf2
)(
c) 2)( xxf
d) 3)( xxf
e) 44
3)(
x
xxf
f) 2
1)(
xxf
g) 62
5)(
xxf
12.- Determina el dominio y rango de las siguientes funciones, en forma algebraica.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 26
a) 15)( xxf
b) 22)( xxf
c) x
xf2
3)(
d) 1)( xxf
e) xxf 2)(
f) x
xf1
)(
g) x
xf1
)(
h) 4)(2 xxf
i) 4
1)(
xxf
1 .6 Funciones Especiales
FUNCIN LINEAL
Una funcin lineal es una funcin f de la forma: baxxf )( , donde a y b son
nmeros reales.
Veamos un ejemplo de funcin lineal:
Sea () = + 1. Observemos que en este caso a = 1 y b = 1.
Para graficar esta funcin armamos la siguiente tabla de valores
x f(x) = x + 1
3 2
-4 -2 2 4
x
-2
2
4
y
() = + 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 27
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
y
0,5 0,5
0 1
1 2
2 3
Notemos que los puntos de la grfica de f estn alineados y que a medida que
grafiquemos ms y ms puntos se ir formando una recta.
La caracterstica de poseer como grfica a una recta se puede generalizar a todas las
funciones lineales de la forma () = + . Recprocamente, toda recta del
plano que no es paralela al eje de ordenadas es la grfica de una funcin lineal.
FUNCIN CUADRTICA
Ahora analizaremos las funciones cuya ecuacin es un polinomio de segundo grado,
es decir, cbxaxxf 2)( , donde 0.
Intentemos hallar la grfica de la funcin cuadrtica ms sencilla: 2xy . Para
esto, ayudmonos con la siguiente tabla:
x f(x) = 2x
3 9
2 4
1 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 28
0 0
1 1
2 4
3 9
El grfico obtenido al dibujar y = 2x se denomina parbola, al igual que el grfico
de cualquier funcin cuadrtica.
Observemos que el menor valor que toma y es 0, cuando x = 0, y que y no puede
tomar valores negativos puesto que es de la forma y = 2x . El punto (0, 0) se
denomina vrtice de la parbola.
Formas polinmica y cannica de una funcin cuadrtica
La expresin de la funcin cuadrtica cbxaxxf 2)( recibe el nombre de
forma polinmica de la funcin.
Ahora bien, si a esta forma aplicamos el procedimiento visto anteriormente de
completamiento de cuadrados obtenemos una expresin de la forma:
khxaxf 2)( , lo que se conoce como forma cannica de la funcin cuadrtica.
Veamos en un ejemplo cmo llevar a la forma cannica una funcin dada en forma
polinmica.
Ejemplo:
Sea 582)(2 xxxf la forma polinmica de una funcin cuadrtica.
Completando cuadrados, resulta:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 29
13422
1342
2
54442
2
542)(
2222
xxxxxxxf
Por lo tanto, 1342)( 2 xxf es la forma cannica de la funcin, donde a = 2, h = 4 y k = 13.
Actividad
Completar el siguiente cuadro segn corresponda:
Forma Polinomica Forma Cannica
163)( 2 xxxf
523)( 2 xxg
882)( 2 xxxh
Desplazamientos del grfico de una funcin cuadrtica
Vamos a analizar qu sucede con el grfico de una funcin cuadrtica al variar los
parmetros a, h y k en la expresin cannica de la funcin.
Supongamos h = 0 y k = 0, entonces la funcin cuadrtica resulta de la forma
() = 2.
En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer a = 1,
a = 1, a = 3, a = 3, a = 21, a = 2
1 .
a = 1 aa=3
-3 -2 -1 1 2 3
x
-3
-2
-1
1
2
3
ya=1/2 a = 3 a = 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 30
Qu sucede si a < 0?
......................................................................................................................................
Qu sucede si a> 0?
......................................................................................................................................
Qu observa a medida que a aumenta? Qu sucede con las ramas de la
parbola?
......................................................................................................................................
Qu observa a medida que a disminuye? Qu sucede con las ramas de la
parbola?
......................................................................................................................................
Supongamos a = 1 y k = 0, entonces la funcin tiene la forma 2)( hxxf En el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer h = 0,
h = 2, h = 2, h = 4 y h = 5.
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
x
1
2
3
4
5
yh = 5 h = 2 h = 0 h = 2 h = 4
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 31
Hacia dnde se desplaza la parbola si > 0?
......................................................................................................................................
Hacia dnde se desplaza la parbola si < 0?
......................................................................................................................................
Supongamos a = 1 y h = 0, entonces la funcin tiene la forma () = 2 + . En
el siguiente grfico se pueden observar la parbolas que resultan de hacer k = 0,
k = 1, k = 2, k = 3 y k = 6.
Hacia dnde se desplaza la parbola si > 0?
......................................................................................................................................
Hacia dnde se desplaza la parbola si < 0?
......................................................................................................................................
-2 -1 1 2
x
-2
-1
1
2
3
y k = 0 k = 2
k = 2
k = 1
k = 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 32
Tomando como referencia a la parbola y = 2x podemos obtener el grfico de
cualquier funcin cuadrtica teniendo en cuenta la siguiente conclusin:
Dada la forma cannica de una funcin cuadrtica () = ( )2 + , se
tiene que:
El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parbola.
El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la
parbola.
El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parbola.
Ya vimos que el vrtice de la parbola y = 2x es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en
cuenta los desplazamientos analizados podemos inferir que el vrtice de una funcin
cuadrtica de la forma khxaxf 2)( es el punto (, ), ya que todos los puntos de su grfica estn desplazados h unidades en la direccin del eje de las x y k
unidades en la direccin del eje de las y.
Es til determinar cul es el vrtice de una parbola pues facilita hallar su grfica.
Por lo tanto, dada una funcin cuadrtica en forma polinmica slo necesitamos
obtener su expresin cannica para poder determinar su vrtice y de esta manera
poder graficarla fcilmente.
Tambin es importante advertir que las parbolas tienen un eje de simetra que las
divide en dos ramas simtricas como se puede observar en el siguiente grfico.
2)1( 2 xy
-1 1 2 3x
-2
-1
1
2
3
y
Eje de simetra
x = 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 33
Este eje de simetra es una recta paralela al eje y que pasa por el vrtice de la
parbola. Por lo tanto, la ecuacin de dicho eje est dada por x = h.
Actividad
1) Representar grficamente las siguientes funciones cuadrticas. Indicar dominio e
imagen, coordenadas del vrtice y ecuacin correspondiente al eje de simetra.
a) 422 xxy
b) 632 xy
c) 2
2
1 )3( xy
d) xxy 232
2) Encontrar la ecuacin de una funcin cuadrtica que tenga vrtice en el punto
)4,2( y pase por el punto (1, 1).
Races de una funcin cuadrtica
Al igual que las races de una funcin lineal, las races de una funcin cuadrtica son
los valores de x que anulan la funcin, es decir verifican la ecuacin
0)( 2 cbxaxxf . Grficamente los puntos )0,(x , con x raz de la funcin,
son los puntos de interseccin entre la funcin y el eje x.
Ejemplo:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 34
Consideremos la funcin 32)(2 xxxg y busquemos cules son sus races.
Para ello debemos resolver la ecuacin 0322 xx . Como vimos
anteriormente, esta ecuacin polinmica de grado 2 se puede resolver aplicando la
frmula cuadrtica. As, obtenemos:
2
42
12
)3(1422 2
2,1
x Luego, las races son: 11 x y
32 x
Por lo tanto, como se puede observar en el siguiente grfico, los puntos de
interseccin de la funcin )(xg con el eje x estn dados por )0,1( y )0,3( .
Ya hemos visto que una ecuacin de segundo grado puede tener dos races reales
distintas, una sola raz real o no poseer races reales.
Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica con una sola raz real?
Ejemplifique.
..............................................................................................................................
-4 -2 2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
(1, 0) (3, 0)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 35
Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica con 2 races reales distintas?
Ejemplifique.
..............................................................................................................................
Cmo sera el grfico de una funcin cuadrtica que no posea races reales?
Ejemplifique.
..............................................................................................................................
Actividad
1) Determinar, ayudndose con el grfico, los valores de x para los cuales se
satisface la desigualdad .0452 xx
2) Determinar, ayudndose con el grfico, los valores de x para los cuales se
satisface la desigualdad 0522 2 xx .
3) Sabiendo que 2 y 5 son races de una funcin cuadrtica y que dicha funcin
pasa por el punto (0, 10). Determinar la ecuacin cannica de dicha funcin.
FUNCIN RAZ CUADRADA
Primero encontramos el dominio de la funcin mediante la desigualdad + > 0
Luego a partir del dominio elaboramos una tabla de valores, graficamos y
obtenemos el recorrido.
EJEMPLO:
Graficar, obtener el dominio y el recorrido de () = 2 5
El dominio se obtiene de la desigualdad 2 5 > 0 > 2.5
A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.
2,5 3 4 5 6
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 36
() 0 1 1,73 2,24 2,65
EJEMPLO:
Graficar, obtener el dominio y el recorrido de () = 2 6 3
El dominio se obtiene de la desigualdad 2 6 > 0 < 1/3.
A partir del dominio elaboramos una tabla de valores y graficamos.
1/3 0 -1 -2 -3 () -3 -1,59 -0,17 0,74 1.47
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 37
FUNCIN RACIONAL Y ASNTOTAS
Una funcin racional est formada por la divisin de dos funciones polinomiales.
1
1 1 0
1
1 1 0
...( )
...
n n
n n
m m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio
del numerador es menor que el del denominador, n
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 38
Funcin racional
Se dice que f es una funcin racional si )(
)()(
xd
xnxf donde n(x) es un polinomio
cualquiera y d(x) es un polinomio que no sea el polinomio nulo. El dominio de f es el
conjunto de todos los nmeros reales tales que 0)( xd .
Ejemplos:1
3)(
2
x
xxxf ,
44)(
23
xxx
xxg ,
3
1)(
xxp
Se supone que, a menos que se advierta lo contrario, los polinomios n(x) y d(x)
no poseen factores comunes, esto es, que no pueden ambos anularse para el
mismo valor de x, pero tericamente, esa posibilidad siempre existe.
Como el polinomio del denominador puede ser una constante (grado 0), todos
los polinomios se pueden considerar como funciones racionales.
Comportamiento de la funcin en los ceros de n(x) y d(x)
Mediante preguntas y discusin colectiva, llegar a las siguientes conclusiones:
1. Si d(a) = 0, (independientemente de que n(a) sea o no cero) entonces a no
pertenece al dominio de f, porque la divisin por cero no est permitida. Para x =
a no existe la funcin.
2. Si n(a) = 0 y 0)( ad entonces x = a es un cero de la funcin f. En el punto
x = a la grfica de f corta al eje de las x.
3. Si d(a) = 0 y 0)( an entonces la funcin f crece indefinidamente en valor
absoluto cuando x se acerca hacia a. Puede crecer hacia valores grandes y
positivos o hacia valores grandes negativos, o de formas diferentes a cada lado
de x = a.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 39
Ejercicio
Analizar el comportamiento de la funcin racional 1
2)(
xxf en las cercanas de
= 1.
Solucin:
a) Para valores de x prximos a 1 pero mayores que 1, la funcin toma valores
positivos que pueden sobrepasar a cualquier cantidad fijada de antemano
tomando una x suficientemente prximo a 1. Esto se escribe:
)(xf Cuando 1x
b) Para valores de x prximos a 1 pero inferiores a l, el denominador de la
fraccin es pequeo y negativo, as que f(x) toma valores negativos de valor
absoluto cada vez mayor a medida que x se aproxima hacia 1 por la izquierda.
Esto se simboliza:
)(xf Cuando 1x
La figura muestra la grfica de f en las proximidades de x = 1:
x 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 40
Asntotas verticales y asntotas horizontales
La recta x = a es una asntota vertical para la grfica de y = f(x) si f(x) aumenta o
disminuye sin lmite cuando x se aproxima hacia a desde la derecha o desde la
izquierda. De manera simblica:
)(xf )(xf cuando ax ax
La recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de y = f(x) si f(x) se aproxima
hacia b a medida que x aumenta sin lmite o disminuye sin lmite. De manera
simblica:
() Cuando +
Las figuras muestran las posibles posiciones relativas entre la funcin y la asntota.
a a a a
b b b b
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 41
Destacar que una funcin puede poseer muchas asntotas verticales pero slo
una horizontal hacia la derecha y otra horizontal hacia la izquierda (que, por lo
general, coinciden) ya que una funcin solo puede tomar un valor para cada x.
El comportamiento asinttico de las funciones racionales
Como se recordar, para valores de x tendiendo a infinito, las funciones polinmicas
siempre tienden a ms o a menos infinito, no tienen otra opcin porque el trmino
predominante es una potencia natural de x y solo puede tener este comportamiento.
En el caso de las funciones racionales, el comportamiento puede ser mucho ms
variado pues tanto en el numerador como en el denominador hay polinomios y
ambos crecen sin lmite cuando x se aleja del origen.
Como en cada uno de ellos el trmino principal (el de mayor grado) es el que
predomina para valores de x grandes, el comportamiento de la funcin racional ser
muy similar al cociente de los trminos principales del numerador y el denominador.
Resulta entonces la siguiente observacin importante:
Las funciones
01
01
...
...)(
bxbxb
axaxaxf
nn
mm
y
nn
mm
xb
xaxg )( poseen un
comportamiento similar cuando + . Es costumbre decir que
ambas funciones poseen el mismo comportamiento asinttico.
Como la funcin g es mucho ms fcil de analizar que la funcin f, debido a que las
potencias se simplifican, esto permite simplificar el anlisis del comportamiento de
una funcin racional para valores grandes de la variable.
Hay tres situaciones especialmente interesantes:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 42
Si m < n la funcin g queda: mn
n
m
xb
axg
)( que tiende hacia cero cuando
, as que, en este caso, la funcin f posee asntota horizontal y = 0 para
y
Si m = n la funcin g queda: n
m
b
axg )( que es una constante, y en este caso, la
funcin f posee asntota horizontal n
m
b
ay cuando y .
Si m = n + 1, se puede realizar la divisin y quedar un polinomio de primer grado
(cociente) ms una funcin racional con el grado del numerador (resto) menor que el
del denominador:
)(
)()(
xd
xrbmxxf
Como la parte fraccionaria tiende hacia cero cuando o , en este
caso la funcin f se comporta asintticamente como una recta inclinada, as que la
grfica posee una asntota oblicua cuya ecuacin es bmxy
Grafica de funciones racionales
La grfica de una funcin refleja todo nuestro conocimiento acerca de ella, de ah la
importancia de graficar una funcin. En el caso de las funciones racionales, los
elementos ms importantes a tomar en cuenta a la hora de construir su grfica son:
Las funciones racionales son continuas y suaves, salvo en los puntos donde se
anula el denominador.
Los interceptos con el eje x y el intercepto con el eje y.
El dominio de la funcin (todos los reales excepto los ceros del denominador).
Las asntotas verticales (ceros del denominador que no anulan el numerador).
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 43
El comportamiento asinttico de la funcin (trminos predominantes del
numerador y denominador).
Esquema de signos de la funcin (tal como se hizo al resolver inecuaciones).
Simetra de la funcin.
En general, con estos elementos se puede trazar una grfica bastante aproximada de
la funcin racional. Si esto no fuera suficiente, se puede evaluar la funcin en
algunos valores importantes de x.
1.5
25)(
2
x
xxH
Solucin:
2.6
)3()4()(
2
2
xx
xxxg
Solucin:
2 25
+ 5=( + 5)( 5)
( + 5); 5
() = 5 , 5
= {5}
= {10}
(0) = 0 5 = 5
(5) = 5 5 = 0
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 44
3. 6
1243)(
2
23
xx
xxxxf
Solucin:
4. Para la funcin 9
2)(
2
2
x
xxg :
(a) determine el dominio de la funcin
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 45
(b) encuentra las intercepciones de la grfica de la funcin con los ejes
(c) encuentra las asntotas verticales y horizontales si existen
(d) dibuja la grfica
(e) encuentra el recorrido de la funcin
Solucin:
(a) 3,3 RD f
(b) Las intercepciones con los ejes son: 00 yxSi
La curva corta al eje y en el punto (0,0)
00209
20 2
2
2
xxx
xySi
La curva corta al eje x en el punto (0, 0)
(c) asntotas:
Por el teorema 1, la grfica tiene asntotas verticales en = 3 y = 3
Por el teorema 2, puesto que = , la grfica de la funcin tiene una asntota
horizontal de la forma m
n
b
ay , es decir en = 2.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 46
(e) ),2(]0,( fR
5. Para la funcin 2
9)(
2
x
xxg
(a) determine el dominio de la funcin
(b) encuentra las intercepciones de la grfica de la funcin con los ejes
(c) encuentra las asntotas verticales y horizontales u oblicuas si existen
(d) dibuja la grfica
(e) encuentra el recorrido de la funcin
Solucin:
(a) 2 RR f
(b) La intercepciones con los ejes son:
2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
x
yy = (2x^2)/(x^2-9)
=22
2 9
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 47
2
90 yxSi , la curva corta al eje y en el punto (0, 9/2)
30 xySi , la curva corta al eje x en los puntos (-3, 0) y (3, 0).
(c) asntotas:
La recta = 2 es una asntota vertical
Por el teorema 2, como > , no hay asntotas horizontales.
Como n > m en una unidad, se tiene una asntota oblicua, cuya ecuacin es:
Dividiendo P(x) entre Q(x):
2
52
2
92
xx
x
x
La ecuacin de la asntota oblicua es = +
(d) la grfica queda as:
2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
x
yy = (x^2-9)/(x-2)
y = x+2 =
22
2 9 ; = + 2
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 48
(e) ),( fR
Ejercicio
Graficar las siguientes funciones:
1. 21
)(x
xxp
2. 2
86)(
2
2
xx
xxxf
3. 2
3)(
2
x
xxg
Solucin:
1. 21
)(x
xxp
Dominio = 1: xRx
Interceptos: (0, 0)
Simetra: () =
1()2=
12= (). La grfica es simtrica respecto al
origen.
Asntotas verticales: = 1 y = 1
Comportamiento asinttico: Cuando , 0)( xp
Cuando , 0)( xp
Esquema de signos: Ceros del numerador: x = 0
Ceros del denominador: x = 1 y x = 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 49
Con esta informacin se puede construir la grfica a mano alzada.
d) 2
86)(
2
2
xx
xxxf
Ceros del numerador: 0862 xx 0)2)(4( xx ; x = 2 y x = 4
Ceros del denominador: 022 xx 0)1)(2( xx ; x = 1 y x = 2
Dominio = 2 y 1: xxRx
Interceptos: ( 4, 0); ( 2, 0); (0, 4)
Simetra: No hay.
Asntotas verticales: = 1 y = 2
Comportamiento asinttico: Cuando , () 1
Cuando , () 1
1 0 1
() (+) () (+)
1 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 50
Esquema de signos:
Con estos datos se puede construir la grfica sin dificultad. La que sigue, se realiz
en Derive, salvo las asntotas e interceptos que han sido agregados para ms
claridad.
3.- () =32
+2
Ceros del numerador: = 0; ceros del denominador: = 2
Dominio = 2: xRx
Interceptos: (0, 0)
Simetra: No hay.
y = 1
x = 1
1
() (+) () (+)
4 2 2
(+)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 51
Asntotas verticales: = 2
Comportamiento asinttico:
Efectuando la divisin la funcin resulta: 2
1263)(
xxxg
Como la parte fraccionaria tiende hacia cero cuando , la funcin = 3 6
es una asntota oblicua.
Con los datos anteriores y teniendo en cuenta que cuando la funcin se
encuentra encima de la asntota oblicua y para debajo de ella, la grfica se
puede trazar sin dificultad. La figura que sigue se obtuvo en Derive y las asntotas e
interceptos se agregaron posteriormente.
y = 3x + 6 x = 2
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 52
1 .7 Funciones Inyect ivas, Sobreyect ivas y Biyect ivas
Ahora analizaremos algunas propiedades que cumplen ciertas funciones.
Inyectividad
Consideremos las siguientes funciones:
() = 2 y () = y sus correspondientes grficos
Puedes encontrar dos elementos distintos del dominio de f a los que les
corresponda una misma imagen?
..............................................................................................................................
Puedes hacer lo mismo con la funcin g?
...............................................................................................................................
Diremos que una funcin es inyectiva, cuando dados dos elementos distintos
cualesquiera del dominio stos poseen imgenes tambin diferentes. En smbolos:
-3 -2 -1 1 2 3
x
1
2
3
4
5
y
-2 -1 1 2 3
x
-2
-1
1
2
3
y
Una funcin es inyectiva si1,2 (): 1 2 (1) (2)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 53
En el ejemplo anterior, () = es inyectiva. Sin embargo () = 2no es
inyectiva, pues 2 y 2 son elementos distintos del dominio de f, pero sus imgenes
coinciden ya que ( 2) = (2) = 4.
Sobreyectividad
Recordemos que si f es una funcin definida de un conjunto A a otro conjunto B
(f: A B), el conjunto A era el dominio de la funcin, el conjunto B era el
codominio de la funcin y la imagen de f estaba dada por:
Im (f) = {yB: xA / f(x) = y}.
Diremos que una funcin f: A B es sobreyectiva si la imagen de la funcin f
coincide con el codominio B, es decir, si todo elemento del codominio es imagen de
la funcin.
En smbolos:
Ejemplo:
Si consideramos la funcin f: RR tal que 23)( xxf , sta es sobreyectiva,
puesto que su imagen es R y coincide con el codominio.
Por otra parte si consideramos la funcin h: RR tal que 31)( 2 xxh . Vemos
que su imagen es ,3 . Puesto que la imagen no coincide con el codominio, o
sea, ,3 R, la funcin h no es sobreyectiva.
Buscar elementos del codominio que no sean imgenes de la funcin h.
Una funcin f A B es sobreyectiva si : /() =
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 54
Si a la funcin h definida anteriormente, la redefinimos de la siguiente manera:
h: R ,3 . Es h sobreyectiva? Por qu?
Biyectividad
Diremos que una funcin f es biyectiva, si verifica simultneamente las condiciones
de infectividad y sobreyectividad.
Ejemplo 1: sea : R R, tal que () = 2 3
Es inyectiva ya que:
(1) = (2) 21 3 = 22 3 21 = 22 1 = 2
Ejemplo 2: Si : R R tal que f(x) () =21
+2con x -2
Es inyectiva?
21 1
1 + 2=22 1
2 + 2
212 + 41 2 2 = 212 1 + 42 2
1 = 2
Es Inyectiva
Ejemplo 3: La funcin : R R tal que x 2x 3 es Sobreyectiva
= ()
= 2 3
+ 3
2=
, la funcin es sobreyectiva
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 55
Ejemplo 4: Sea : R -1 R -0, tal que(x) =1
1 es Biyectiva, en efecto:
a) es Inyectiva
(1) = (2) 1
1 1=
1
1 2 1 2 = 1 1 2 = 1
2 = 1
Es inyectiva
a) es sobreyectiva :
=1
1
= 1 1
{0}
No es Sobreyectiva
De a y b no es Biyectiva.
Actividad:
Sean las siguientes funciones definidas de R en R. Identificar cules de ellas son
inyectivas, cules son sobreyectivas y cules biyectivas.
a) 2)( xf
b) 54)( xxg
c) 34)(2 xxxh
d)
1 si2
1 si1)1()(
2
xx
xxxk
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 56
Tema: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
1.- Determinar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas
a) 13 xxf
b) 26 xxf
c) xxf 74
d) 22 xxxf
e) 2 xxf
f) 212 xxf
g) 212 xxf
h) xxxf 714
i) 3xxf
j) 112 xxxxf
k) 22 2 xxxf
l) 0; aaxxf
m) 12 xxf
n) x
xf1
2
o) 6
11
xxf
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 57
p) 1
36
xxf
q) 1/; 22 xyRyxF
r) xyRyxF /; 2
s) 32 /; xyRyxF
t) xxyRyxF 22 /;
u) 27/; 2 xyRyxF
v) 0;/; 2 aaxyRyxF
w)
7
1/; 2
xyRyxF
FUNCION INVERSA
Veamos lo que sucede con las dos funciones lineales que presentamos a
continuacin: = 2 + 1 , =1
2
1
2, de las cuales vamos a construir sendas
tablas de valores para estudiar su comportamiento.
Para que una funcin = () admita una funcin inversa = 1(), es
condicin necesaria y suficiente que la misma sea INYECTIVA.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 58
x
2
1 -
2
1 xy
-3 -2
-1 -1
1 0
3 1
5 2
7 3
Podemos observar que en ambas funciones, los pares de valores correspondientes a
las coordenadas de los puntos de las respectivas grficas, aparecen permutados.
Cuando esto ocurre se dice que ambas funciones son inversas.
Para tener una idea ms amplia del comportamiento de las funciones inversas
podemos realizar las grficas.
Podemos observar que las grficas de las dos funciones son simtricas respecto de la
funcin y=x.
x = 2 + 1
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
3 7
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
0
1
2
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 59
Procedimiento para obtener la inversa de una funcin
Sea = () una funcin cualquiera, llamaremos 1() a su inversa (si sta
existe), y para obtenerla se deben seguir los siguientes pasos:
1. De la ecuacin de la funcin, se debe despejar la variable x
2. .Se deben intercambiar las variables x e y.
Ejemplo:
Dada = () = 2 + 1, obtener la expresin de 1().
1. 2
1 -y
2
1 x 1 2x y
2. 2
1 -x
2
1 y
Luego, 1() = 2
1 -x
2
1
Para contestar la segunda pregunta analizaremos el siguiente ejemplo:
Obtener f-1
(x) si y = f(x) = 2x
1. Primero despejamos x: y x xy 2
2. intercambiamos variables: x y
Pero aqu ha surgido un inconveniente, la ecuacin obtenida no corresponde a una
funcin por qu?
Aqu podemos, entonces, introducir la siguiente condicin:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 60
Volvamos al ejemplo de 2xy :
Si tomamos Dom: y Cod: +, veremos que
esta funcin es no inyectiva y no sobreyectiva,
sin embargo, podemos realizar algunas
restricciones en estos conjuntos, de tal manera
que la funcin = 2 resulte una
biseccin.
Si Dom: ; 0 y Cod: ; 0 ,
la grfica de la funcin = 2 queda
como se muestra a la izquierda y en estas
condiciones es una funcin biyectiva,
la cual admite inversa.
Si realizamos el procedimiento para encontrar la ecuacin de la funcin inversa,
obtendremos x y .
Las grficas de ambas funciones pueden
observarse a la izquierda, donde se resalta
la simetra respecto de la bisectriz del
primer cuadrante.
x
y
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
x
y
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 61
FUNCION EXPONENCIAL
Se llama funcin exponencial a toda funcin de la forma () = para a > 0 y
a 1
Grfica de funciones
exponenciales
trazando puntos:
Tracemos la grfica de las
funciones exponenciales,
x
y
-4 -2 0 2
-2
0
2
4
x
y
-2 0 2 4
0
2
4
6
() = Para > 1
() = Para 0 < < 1
x
y
-2 0 2 4
-2
0
2
4
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 62
haciendo previamente una tabla
x () = 3 () = (1/3)
-3 1/27 27
-2 1/9 9
-1 1/3 3
0 1 1
1 3 1/3
2 9 1/9
3 27 1/27
En general podemos ver que todas estas grficas pasan por el punto (0,1) porque
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 63
0 = 1 Para 0
Puede analizarse que existen tres tipos de funciones exponenciales = :
Si 0 < < 1 la funcin exponencial decrece rpidamente.
Si = 1 () es constante
Si > 1, la funcin crece rpidamente, y mientras ms grande sea la base,
ms rpido ser el crecimiento.
En cualquiera de estos casos la grfica nunca toca al eje x. As, para 1 la
funcin exponencial () = tiene dominio R e imagen (0,).
Transformaciones de funciones exponenciales. Desplazamiento vertical y
horizontal
Analicemos qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma
() =
() = . k
(a) () = 2 1
(b) () = 3. 2 3
(c) () = 5. 2 5
Podemos observar que k modifica el valor de la ordenada
Analicemos ahora qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma () =
x
y
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
a)
b)
c)
(a) (b) (c)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 64
x
y
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6 a)
b)c)
() = b Corrimiento
(a) () = 2 0 No hay
(b) () = 2+1 -
1
1 hacia la
izquierda.
(c) () = 21 1 1 hacia la
derecha
Observamos cmo el valor de b marca el corrimiento sobre el eje x
Analicemos, por ltimo, qu ocurre si a la funcin () = la presentamos de la forma () = + .
() = + . c Corrimiento Asntota
horizontal
(a) () = 2 0 No hay y = 0
(b) () = 2 + 1 1 1 hacia arriba y = 1
(c) () = 2 1 -1 1 hacia abajo y = -1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 65
Podemos entonces plantearnos, de forma general, que denominamos funcin
exponencial a toda funcin de la forma:
() = . +
Ejemplo:
Analizar la funcin () = 101 2 Determinar asntota, dominio y rango de
esta funcin
x
y
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
Modifica el
valor de la
ordenada al
origen
Indica el
corrimiento
sobre el eje x
Indica el
corrimiento
sobre el eje y
Es la asntota
horizontal
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 66
Utilizamos la grfica de la funcin () = 10 para comparar la funcin requerida y determinar los desplazamientos verticales y horizontales.
Podemos responder observando el grfico que la asntota horizontal es = 2, el
dominio es R y el rango es (2,).
FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
Cualquier nmero positivo puede utilizarse como base para una funcin
exponencial, pero algunas bases son utilizadas ms frecuentemente que otras. As,
las bases 2 y 10 son utilizadas para ciertas aplicaciones, pero la base ms utilizada es
el nmero identificado con la letra .
La notacin e para la base de la funcin exponencial natural fue elegida por el
matemtico suizo Euler, y su valor, con cinco decimales es: = 2,71828.
Por qu utilizar una base tan extraa para la funcin exponencial? Como veremos
ciertas aplicaciones utilizan el nmero e como la mejor base posible, tal es el caso
del inters compuesto y el crecimiento demogrfico.
() = 10 () = 101 2
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 67
x
y
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
y=e
2
x
Puesto que 2 < < 3, la grfica de la funcin exponencial natural se encuentra
entre las grficas de = 2 = 3
FUNCION LOGARITMICA
La funcin exponencial tiene una inversa (as como la suma es la inversa de la resta)
y se la conoce como funcin logartmica.
Sea un nmero positivo con 1, la funcin logaritmo con base a se define
como:
= = (Se lee logaritmo en base a de x)
Es decir que loga es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener x
El dominio de la funcin = son todos los nmeros reales, para > 0 Es
decir que el logaritmo de los nmeros negativos no existe, como tampoco existe el
logaritmo de cero.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 68
Decamos que las formas logaritmo y exponencial son equivalentes, por lo tanto
podemos pasar de una a otra como en los siguientes casos.
Forma logaritmo Forma exponencial
10 100000 = 5 105 = 100000
2 8 = 3 23 = 8
2 1/8 = 3 2-3
= 1/8
Grfica de la funcin logaritmo.
Tracemos la grfica de () = 2 , Comenzamos con una tabla de valores:
x y = log2x
1 0
2 1
4 2
8 3
-1
x
y
0 2 4 6
-2
0
2
4
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 69
Podemos ver que el logaritmo de un nmero que est entre cero y uno es negativo.
Que el logaritmo de uno es cero y el de un nmero mayor a 1 es positivo.
Visualicemos ahora una familia de logaritmos:
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 10
Volvamos ahora a observar la grfica de la funcin y = log x (en los logaritmos en
base 10 no hace falta indicar la base) que realizamos ms arriba. Si las reflejamos
sobre el eje x nos quedar la funcin
y = - log x
x
y
0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
x
y
0 2 4 6
-2
0
2
4
a)
b)
c)
d)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 70
Desplazamiento de grficas de funciones logaritmo
Podemos ampliar la expresin general de los logaritmos y expresarla como
= ( ) +
El nmero b es lo que se desplaza la funcin sobre el eje x, hacia la derecha (si el
valor de b est sumando a la x, entonces se desplaza para la izquierda)
El nmero c es lo que se desplaza la funcin sobre el eje y, hacia arriba (si el valor
de c es negativo, entonces se desplaza hacia abajo)
Veamos como ejemplo cmo trasladamos la funcin = en:
= + 4 , = ( + 3)
x
y
-2 0 2 4 6
0
5
y = log x
y =log x + 4
y = log (x + 3)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 71
FUNCION LOGARITMO NATURAL
De todas las bases a para logaritmos, la ms conveniente para los fines del clculo
es el nmero e. El logaritmo con base e se conoce como logaritmo natural y se
simboliza :
=
La funcin logaritmo natural y = ln x es la funcin inversa de la funcin exponencial
= . Por lo tanto podemos expresar:
= =
Tema: Funciones cuadrticas
1.- Realice la grfica de las siguientes funciones cuadrticas.
a) 2xy
b) 122 xxy
c) 31 2 xy
x
y
-2 0 2 4 6
-5
0
5
y=log (x)
y=ex
y=ln (x)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 72
d) 2xy
e) 422 xy
f) 132 xy
g) 32 xy
h) 23 xy
i) 242)(2 xxxf
j) 63)(2 xxf
2.- Determine el dominio y rango de las siguientes funciones cuadrticas.
a) 2xy
b) 122 xxy
c) 31 2 xy
d) 2xy
e) 422 xy
f) 132 xy
g) 32 xy
h) 23 xy
i) 242)(2 xxxf
j) 63)(2 xxf
k) 63)(2 xxxf
l) 121)( 2 xxxf
3.- Determine el mximo o mnimo de las siguientes funciones cuadrticas y trace la
grafica
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 73
a) 2)(2 xxf
b) 24)(2 xxf
c) 12)(2 xxxf
d) 242)(2 xxxf
e) 63)(2 xxf
f) 121)( 2 xxxf
Tema: Funcione racional
1.- Indica el dominio y rango en cada una de las siguientes funciones y su grafica
35
24
3
2
2
2
2
2
4
9)()
44
2)()
8)()
145
1)()
84
58)()
4
2)()
13
1)()
9
36)()
37)()
43
5)()
23
2)()
xx
xxfk
xx
xxfj
x
xxfi
xxxfh
x
xxfg
x
xxxff
x
xxfe
x
xxfd
x
xxfc
xxfb
x
xxfa
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 74
2.- Determine el dominio, rango y asntotas de las siguientes funciones racionales.
a) x
xf1
b) 3
2
xxf
c) 2
1
1
xxf
d) 2
3
xxf
e) 2
2
xxf
f) 5
3
xxf
g) 4
12
x
xf
h) 24
2
xxf
i) 29
2
xxf
j) 9
22
x
xf
k) 1
2
xxf
l) 6
3
xxf
m) 4
x
xxf
n) 1
33
x
xf
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 75
3.- Realice la grfica de las siguientes funciones racionales, indicando intersecciones
con los ejes, simetras, dominio, rango y asntotas.
a) 3
1
xxf
b) 2
x
xxf
c) 1
1
x
xxf
d) 2
42
x
xxf
e) 2)2(
2
xxf
f) 9
32
x
xxf
g) 4
52
x
xxf
h) 4
32
x
xxf
i) 1
12
2
x
xxf
j) 6
12
xx
xxf
k) 4
92
x
xxf
FUNCIN DEFINIDA POR PARTES
Existen funciones que no pueden representarse mediante una nica expresin. Por
ejemplo si consideramos la funcin que le asigna a los nmeros negativos el 1 y a
los nmeros positivos el 1, no podemos hallar ninguna expresin para dicha funcin.
En estos casos dividimos el dominio de la funcin en partes, de tal forma que para
cada parte del dominio, s podamos encontrar una expresin que se ajuste a la
funcin dada. En el caso anterior, el dominio quedara divido en dos partes: los
nmeros negativos, para los cuales corresponde la expresin () = 1, y los
nmeros positivos, para los cuales corresponde la expresin () = 1. Escribimos:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 76
0 si1
0 si1)(
x
xxf
Cul es el dominio de dicha funcin?
..............................................................................................................................
Y la imagen?
..............................................................................................................................
Y cul es su grfica?
..............................................................................................................................
Veamos otros ejemplos:
3 si
31 si4
1 si12
)(
xx
x
xx
xf
Cunto vale (0)? Para poder responder esta pregunta es necesario que
identifiquemos cul de las partes en las que est dividido el dominio es la que
contiene al nmero 0. Como 0 verifica la segunda condicin, es decir, 301 ,
entonces, la imagen que le corresponde es 4.
Si, en cambio, queremos hallar ( 5), entonces, puesto que 5 cumple la primer
condicin, es decir, 5 < 1, la imagen que le corresponde es 2.5 + 1 = 11.
Luego ( 5) = 11.
Cunto vale (3)? (80)? ( 1)?
..............................................................................................................................
El grfico de la funcin f est dado por:
f(x)
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 77
Actividad
Graficar las siguientes funciones, indicar dominio, imagen e intersecciones con los
ejes coordenados:
0 xsi
0 si)(
x
xxxf
3 si5
30 si4
4 si5
)( 2
x
xx
xx
xg
2 si8
20 si2
02 si2
2 si8
)(2
2
x
xx
xx
x
xh
1.8 Operaciones con Funciones y Composicin de Funciones
OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se
llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la funcin definida por
( + )() = () + ()
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 78
Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos
funciones reales de variable real f y g, como la funcin
( )() = () ()
Para que esto sea posible es necesario que f y g estn definidas en un mismo
intervalo.
Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo.
Se llama funcin producto de f y g a la funcin definida por
(. )() = (). ()
Cociente de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo,
se llama funcin cociente de f y g a la funcin definida por
(/)() = ()/()
(La funcin f/g est definida en todos los puntos en los que la funcin g no se anula.)
Producto de un nmero por una funcin
Dado un nmero real a y una funcin f, el producto del nmero por la funcin es la
funcin definida por
(. )() = . ()
Propiedades:
Para el anlisis de una funcin deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 79
1. Dominio: Es el conjunto de nmeros reales tales que la funcin tenga sentido.
2. Asntotas: Son rectas a las cuales se pega el grfico de la funcin, pero no la toca.
3. Interceptos con los ejes:
Con el eje X son puntos de la forma (; 0) Con el eje Y son puntos de la forma (0; )
4. Extremos: Mximos: son puntos de la forma (x; f(x)) tale que f(x) es el mayor
valor que alcanza la funcin en un entono de x (siempre que x pertenezca al Dom.(f)
.Mnimos: (Idem).
Ejercicio: operaciones con funciones
1.- Sean las funciones () = 3 + 1, () = 2 4.
Definir la funcin + y calcular las imgenes de los nmeros 2,3 1/5.
Resolucin:
La funcin + se define como
( + )() = () + () = + 1 + 2 4 = 5 3.
( + )(2) = 5 2 3 = 7
( + )(3) = 5(3) 3 = 18
( + )(1/5) = 5 1/5 3 = 2
Obsrvese que si se calculan las imgenes de por separado y se suman, el resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen del 2
(2) = 3.2 + 1 = 7 ( + )(2) = 7 + 0 = 7
(2) = 2.2 4 = 0
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 80
2.- Dadas las funciones () = 3, () = + 3, definir la funcin ( )().
Calcular las imgenes de 1/3,2 0 mediante la funcin .
Resolucin:
( )() = () () = 3 ( + 3) = 3 3 = 6
( )(1/3) = (1/3) 1/3 6 = 56/9 ( )(2) = (2) (2) 6 = 0 ( )(0) = (0) 0 6 = 6 Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado,
y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
3.- Dadas las funciones () = /2 3 () = 2. + 1, definir la funcin .
Resolucin:
(. )() = (). () = (/2 3). (2. + 1) = 11. /2 3
Calculando las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g por separado,
y multiplicando despus, se obtienen los mismos resultados.
4.- Dadas las funciones () = 1, () = 2 + 3, definir /.
Calcular las imgenes de los nmeros 1, 2 3/2 mediante /.
Resolucin:
(/)() = ()/() = ( 1)/(2. + 3)
La funcin f/g est definida para todos los nmeros reales, salvo para x = -3/2,
donde la funcin g se anula.
(/)(1) = 0/1 = 0
(/)(2) = 3/7
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 81
(/)(3/2) = (5/2)/6 = 5/12
Calculando por separado las imgenes de los nmeros mediante las funciones f y g,
y despus efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
5.- Dada la funcin () = + 2, calcular 3. /3.
Obtener las imgenes de los nmeros 2, 1 y 0 mediante la funcin 3 f.
Resolucin:
(3. )() = 3. () = 3. ( + 2) = 3. + 3. 6
(1/3). () = (1/3). ( + 2)
(3. )(2) = 3.2 + 3.2 6 = 12
(3. )(1) = 3.1 + 3.1 6 = 0
(3. )(0) = 3.0 + 3.0 6 = 6
6.- Resolver:( + )(); ( )(); ( )(); ( )()( )() en las
siguientes funciones
() = { + 1 , 3
22 2, < 1 , () = {
+ 1 , 723 + 1 , > 12
Para hallar la suma, resta producto y divisin de funciones se tiene que intersectar
los dominios de las funciones:
= ] , 1[ [3 , +[ = ] , 7] ]12 ,+[
Entonces: =
-1 3 7 12
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 82
= ] , 1[ [3 , 7] ]12 , +[
Suma:
] , 1[ = 22 2 + ( + 1) = 22 3 + 1
[3 , 7] = + 1 + ( + 1) = 2
]12 , +[ = + 1 + 22 + 1 = 22 + + 2
( + )() = {22 3 + 1 , ] ,1[
2 , [3 , 7]
22 + + 2 , ]12 , +[
Resta:
] , 1[ = 22 2 ( + 1) = 22 1
[3 , 7] = + 1 ( + 1) = 2
]12 , +[ = + 1 (22 + 1) = 22 +
( )() = {22 1 , ] ,1[
2 , [3 , 7]
22 + , ]12 , +[
Producto:
] , 1[ = (22 2) ( + 1) = 23 + 22
[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) = 1 2
]12 , +[ = ( + 1) (22 + 1) = 23 + 22 + + 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 83
( )() = {
23 + 22 , ] , 1[
1 2 , [3 , 7]
23 + 22 + + 1 , ]12 , +[
Divisin:
( )()
] , 1[ = (22 2) ( + 1) =22 2
1
[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) = + 1
1
]12 , +[ = ( + 1) (22 + 1) = + 1
22 + 1
( )() =
{
22 2
1 , ] , 1[
+ 1
1 , [3 , 7]
+ 1
22 + 1 , ]12 , +[
( )()
] , 1[ = ( + 1) (22 2) =1
22 2
[3 , 7] = ( + 1) ( + 1) =1
+ 1
]12 , +[ = (22 + 1) ( + 1) =22 + 1
+ 1
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 84
( )() =
{
1
22 2 , ] , 1[
1
+ 1 , [3 , 7]
22 + 1
+ 1 , ]12 , +[
Ejercicios propuestos de algebra de funciones
1.- En los siguientes ejercicios se definen las funciones Determine las funciones resultantes xgf , xgf , xgf . , xgf
1. 1 xxf 4 xxg
2. 5 xxf 12 xxg 3.
1
1
x
xxf
xxg
1
4. xxf 12 xxg 5. 2 xxf xxxg 42 2 6. 4 xxf 42 xxg 7.
4
62)(
x
xxf xxg 25
2.- Resolver las siguientes operaciones con funciones:
( + )(); ( )(); ( )(); ( )()( )()
a)() = {2 + 1 , 12 2, < 0
, () = {3 + 1 , 823 , > 10
b)() = {2 + 1 , [3,0[ + 2, [0,4]
, () = {2 + 1 , [2,2]
4 , ]2,5]
c)() = { + 4 , < 1 3, 1 < 4
, () = {2, 4 < < 34 , 3
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 85
d)() = { + 1 , 222 2, < 1
, () = {3 + 1 , 733 , > 11
e)() = {2 1 , [0,1[
2 , [2,5[ , () = {
3 , ]1,1]2, ]1,4]
f)() = { + 3 , [4,0]3 + 2, ]0,5[
, () = {2 4 , [3,2]2 , ]2,8[
COMPOSICIN DE FUNCIONES
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva
funcin llamada la "compuesta de f y g".
Sean f: A B y g: B C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de
l.
El propsito es asignar a cada elemento de A un nico elemento de C, y el camino
natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g.
Definicin:
Sean : : dos funciones. La composicin de las funciones , denotada por ( ) es la funcin:
( )() = ( () )
Ejemplo:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 86
( ) () = [()] = (2) = 3 (2) + 1 = 6 + 1
( ) (1) = 6 1 + 1 = 7
Dominio
( ) = { / () }
Propiedades
Asociativa:
( ) = ( )
No es conmutativa.
El elemento neutro es la funcin identidad, () = . = =
Ejemplo:
Si f y g son las funciones definidas por: () = 2
3x y () = x hallar:
a) ()() b) ()()
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 87
Solucin:
a) ( )() = ( () ) = )(xf = 2
3x
b) ( )() = ( () ) = 2
3)( xg =
2
3x
Tema: Composicin de Funciones
1.- Encuentre y , as como sus respectivos dominios.
a) x
xxg
x
xxf
3)(
2)(
b) 5)(4)( xxgxxf
c) 3)(1)(2 xxgxxxf
d) 1)()(2 xxgxxf
e) 12)()(2 xxgxxf
f) 1)(1)(4 xxgxxf
g) 1)(1)(4 xxgxxf
b) Sea2)( xxf encuentre una funcin tal que() = () =
2.- Graficar la funcin inicial y las funciones que se originan al realizar la
transformacin indicada.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 88
a) 2)(2)()(222 xxfxxfxxf
b) 2)3()(2)3()()(222 xxfxxfxxf
c) 222 )()(2)()( xxfxxfxxf
d) 22)( yxxxf
e) 1)(1)()(333 xxfxxfxxf
f) 233 )2()()2()()( xxfxxfxxf
g) 33)( yxxxf
Tema: Operaciones con funciones y composicin de funciones
1.- Siendo() = 2 + 1 ; () =(2)
, () =
2
(1) . Calcula:
a) xgh b) xgf c) xhf d) xhg
e) xf 1 f) xg 1 g) xh 1
2.- Hallar la funcin inversa de:
a)3+x
1+2x =y b)
2-2x
5+x =y c)
2+x
1-x =y
d)1-x
1+2x =y e)
5-3x
4-x =y f)
3-2x
1-2x =y
3.- Dadas las funciones: () =32
24, () =
1
. Calcular: () ()
4.- Calcula la inversa de las funciones:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 89
a)x-1
2+3x =y b) 3+2x =y
5.- Dadas las funciones: () = 2 2, () = 5, () =+2
22 Calcula:
a) xgh b) xgf c) xhf d) xhg
e) xf 1 f) xg 1 g) xh 1
6.- Operaciones con funciones para () = 32 + 5 + 2 , () = 2 + obtener:
a) xgf b) xgf c) xgf
d) )(
)(
xg
xf e) xgf
7.- Para1
)(
x
xxf ; y
21)( xxg , encuentre:
a) xgf b) xgf c) )(
)(
xg
xf
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 90
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 91
2.1 Limite de Una Funcin
La nocin de lmite de una funcin en un nmero (un punto de la recta real) se
presentar mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la
grfica de la funcin
1
3
x
1-x = xf
Para todo punto x 1 podemos trazar la grfica por los mtodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la grfica de f cerca de x=1,
usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ? 3,003001 3,0301 3,31
f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 92
La figura 1 es la grfica de la funcin 11
3
xx
1-x = xf y cmo podemos
observar, en dicha grfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la
funcin 12 xxxg f no est definida en el nmero 1. Es de notar que sta grfica es la de la funcin menos el punto (1; 3). La funcin g se obtiene a partir de
la funcin f, factorizando el numerador y simplificando. La discusin anterior
conduce a la siguiente descripcin informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un
nmero L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el lmite f(x) cuando x tiende a a es L,
LxfLimax
Teorema 1. Lmite de una funcin lineal.
Sea bmx = xf donde m y b son dos nmeros reales cualesquiera y, entonces
bmabmxLimLxfLimaxax
Ejemplo 1.
5712734743
xLimx
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 93
Teorema 2. Lmite de una funcin constante.
Si c es una constante (un nmero real cualquiera), entonces ccLimax
Ejemplo 1.
224
x
Lim
Teorema 3. Lmite de una funcin identidad.
Sea xxf , entonces axLimax
Ejemplo 1.
22
xLimx
Teorema 4. Lmite de la suma y de la diferencia de funciones.
Si LxfLimax
y MxgLimax
, entonces:
MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax
Ejemplo 1.
Sean 2423
xLimx
y 933
xLimx
, entonces,
1192342342333
xLimxLimxxLimxxx
792342342333
xLimxLimxxLimxxx
Teorema 5. Lmite de la suma y de diferencia de n funciones.
Si nnaxaxax
LxfLimyLxfLimLxfLim
2211 , entonces:
n
naxaxax
nxax
LLL
xfLimxfLimxfLimxfxfxfLim
21
211
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 94
Teorema 6. Lmite del producto de dos funciones.
Si LxfLimax
y MxgLimax
, entonces:
MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax
Ejemplo 1.
Sean 2423
xLimx
y 933
xLimx
, entonces,
1892342342333
xLimxLimxxLimxxx
Teorema 7. Lmite del producto de n funciones.
Si nnaxaxax
LxfLimyLxfLimLxfLim
2211 , entonces:
nnaxaxax
nxax
LLLxfLimxfLimxfLimxfxfxfLim
21211
Teorema 8. Lmite de la n-sima potencia de una funcin.
Si LxfLimax
, y n es cualquier nmero entero positivo, entonces
nnax
n
axLxfLimxfLim
Ejemplo 1.
Sea, 201052
xLimx
entonces,
40020105105 222
2
2
xLimxLim
xx
Teorema 9. Lmite del cociente de dos funciones.
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 95
Si LxfLimax
y MxgLimax
, entonces:
0
MSi
M
L
xgLim
xfLim
xg
xfLim
ax
ax
ax
Ejemplo 1.
Sean 2423
xLimx
y 933
xLimx
, entonces, 2
9
42
3
42
3
3
3
3
xLim
xLim
x
xLim
x
x
x
Teorema 10. Lmite de la raz n-sima de una funcin.
Si n es un nmero entero positivo y LxfLimax
, entonces
nnax
n
axLxfLimxfLim
con la restriccin que si n es par, L> 0.
Ejemplo 1.
Sea, 41
2
364
xLim
x entonces
44 23
4
12
31066464
xLimxLim
xx
Teorema 11. Lmite del logaritmo de una funcin.
Sean: b un nmero real positivo y distinto de 1, y 0
LxfLimax
, entonces
xfLimxfLimax
bbax
loglog
Ejemplo 1.
Calcule: exLimex
2ln aplicando el teorema 2.12.
Apliquemos el teorema exigido:
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 96
1ln2ln2ln2ln2ln
eeeeLimxLimexLimexLimexexexex
Sin aplicar el teorema:
1ln2ln2ln
eeeexLimex
Teorema 12. Unicidad del lmite de una funcin.
Si 1LxfLimax
y 2LxfLimax
, entonces21 LL
Este teorema asegura que si el lmite de una funcin existe ste es nico.
Procedimiento para calcular lmites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a
cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas
es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que
a la propiedad 6 cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo,
la propiedad 7 se aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.
Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indetermidada 0/0 es
posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la
funcin de tal modo que se pueda evitar la divisin por cero: para lograr esto
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la
conjugada, etc.
EJERCICIOS
1.-
73x
Lim 2.-
735
xLimx
3.-
1222
xxLimx
4.-
15
54
3 x
xLimx
5.-
3
18
1 x
xLimx
6.-
32
94 2
2
3 x
xLimx
7.-
492
16832
2
4 xx
xxLimx
8.-
x
xLimx
22
0
9.-
x
xLimx
113
0
10.-
34134
325223
23
3 xxx
xxxLimx
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 97
11.-
16
84
3
2 x
xLimx
Soluciones
1. Solucin
773
x
Lim
2. Solucin:
8753735
xLimx
3. Solucin:
7122212 222
xxLimx
4. Solucin:
2
1
135
534
15
54
3
x
xLimx
5. Solucin:
2
3
4
9
31
118
3
18
3
18
11
x
xLim
x
xLim
xx
6. Solucin:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada
0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente
el lmite aplicando el TL1:
632
3232
32
3232
32
94
2
3
2
3
2
2
3
xLimx
xxLim
x
xLim
xxx
-
Matemtica I | Gua del Estudiante | 98
7. Solucin:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada
0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente
el lmite aplicando el TL7 o el TL4(III):
7
16
142
443
12
43
124
434
492
1683
442
2
4
x
xLim
xx
xxLim
xx
xxLim
xxx
8. Solucin:
No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la