GEOMETRÍA INTEGRADA

GIX 14-82  

Andrés Mauricio Sierra Estrada 

DOCENTE;

JUAN DAVID BUILES    

Instituto Tecnológico Metropolitano Institución Universitaria

(ITM)    

MEDELLIN    

2008

GUIA DE APRENDIZAJE No 1.  

NÙCLEO / ASIGNATURA: Geometría Integrada

UNIDAD DE APRENDIZAJE: Geometría Plana

ACTIVIDADES E/A/E: Definiciones y conceptos generales

ACADÈMICO / DOCENTE: Juan David Builes 

1. INTRODUCCIÓN / JUSTIFICACIÓN:

La geometría plana es una rama de las matemáticas que estudia la relación que existe entre los lados, los ángulos y los lados y los ángulos de objetos en el plano. Es importante que el educando conozca todas estas relaciones para la resolución de problemas reales que involucran dichos objetos. 

2.COMPETENCIA:

Aplicar las nociones de dimensión y medida a figuras geométricas, para resolver situaciones problema en distintos contextos.

 3.INDICADORES DE LOGROS:

En una situación problema concreta:

Utiliza los conceptos básicos de la geometría y la trigonometría, reconociendo la dimensión, las propiedades y las relaciones de los elementos que constituyen el objeto que representa dicha situación.

Determina la medida del objeto o de sus elementos, para resolver el problema.

 4.CONCEPTOS DESARROLLADOS:

SABER:

Punto, plano, recta, segmento, polígono regular, polígono no regular, triángulos, cuadrilátero, semejanza, congruencia, perímetro área.

Aportes de de Isaac Newton a la Física Mecánica

SABER HACER:

Aplicar esta serie de conceptos de geometría plana en la resolución de problemas reales.

SER:

Reconocer y valorar la importancia de la geometría plana para la resolución de problemas reales que involucran objetos en el espacio.

 5.ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS:

Para el docente:

Explicación – demostrativa. Propuestas de situaciones problemáticas. Formulación de preguntas. Entrevistas personales, que le permitan planear, ejecutar y

controlar su trabajo de orientador y facilitador del proceso de aprendizaje del aprendiz.

Para el alumno:

Análisis y resolución de problemas. Propuestas de situaciones problemáticas. Consultas.

6.MEDIOS DIDÁCTICOS Y RECURSOS EDUCATIVOS:

Guías de aprendizaje. Correo electrónico. Textos técnicos. Internet.

 7. EVALUACIÓN:

TÉCNICA:

Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.

INSTRUMENTO:

Cuestionario. 

TÉCNICA:

Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.

INSTRUMENTO:

Consulta y taller. 

8.DURACIÓN:

4 horas.  

9.ORIENTADOR:

Juan David Builes 

10. BIBLIOGRAFÍA:

.

GUIA DE APRENDIZAJE No 2.  

NÙCLEO / ASIGNATURA: Geometría Integrada

UNIDAD DE APRENDIZAJE: Geometría Plana

ACTIVIDADES E/A/E: Ángulos

ACADÈMICO / DOCENTE: Juan David Builes 

1. INTRODUCCIÓN / JUSTIFICACIÓN:

El ángulo es uno de los elementos de estudio más importante en la geometría ya que a través de él se determinan la mayoría de relaciones entre los lados de muchas figuras geométricas; por lo tanto, es importante que el educando interprete y a su vez aplique todas estas relaciones en la solución de problemas reales que involucren dicho objeto de estudio

En geometría, se define ángulo como el sector del plano contenido entre dos semirrectas de origen común y a dicho punto lo llamamos vértice del ángulo.

También se puede definir como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de partida; o se puede definir como dos segmentos finitos con un punto extremo común. 

2.COMPETENCIA:

Aplicar las nociones de dimensión y medida a figuras geométricas, para resolver situaciones problema en distintos contextos.

 3.INDICADORES DE LOGROS:

En una situación problema concreta:

Utiliza los conceptos básicos de la geometría y la trigonometría, reconociendo la dimensión, las propiedades y las relaciones de los elementos que constituyen el objeto que representa dicha situación.

Determina la medida del objeto o de sus elementos, para resolver el problema.

 4.CONCEPTOS DESARROLLADOS:

SABER:

Interpretación de ángulo. Sistemas de medición. Conversión de ángulos. Clasificación de ángulos. Ángulos formados entre paralelas y una transversal.

SABER HACER:

Aplicar esta serie de conceptos de geometría plana en la resolución de problemas reales.

SER:

Reconocer y valorar la importancia de la geometría plana para la resolución de problemas reales que involucran objetos en el espacio.

 

5.ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS:

Para el docente:

Explicación – demostrativa. Propuestas de situaciones problemáticas. Formulación de preguntas. Entrevistas personales, que le permitan planear, ejecutar y

controlar su trabajo de orientador y facilitador del proceso de aprendizaje del aprendiz.

Para el alumno:

Análisis y resolución de problemas. Propuestas de situaciones problemáticas. Consultas.

6.MEDIOS DIDÁCTICOS Y RECURSOS EDUCATIVOS:

Guías de aprendizaje. Correo electrónico. Textos técnicos. Internet.

 7. EVALUACIÓN:

TÉCNICA:

Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.

INSTRUMENTO:

Cuestionario.

TÉCNICA:

Formulación de preguntas y situaciones problema sobre los conocimientos incorporados en las actividades de enseñanza - aprendizaje.

INSTRUMENTO:

Consulta y taller. 

8.DURACIÓN:

4 horas.  

9.ORIENTADOR:

Juan David Builes 

10. BIBLIOGRAFÍA:

. GELTNER, Meter B y PETERSON, Dale. Geometría. Tercera edición. Mexico. Thomson, 1998.

URIBE CALAD, Julio. Geometría analítica y vectorial. Sexta edición. Medellín 2005. Universidad Nacional de Colombia sede Medellín.

STEWART, James. REDLIN Lothar y WATSON Saleem. Precálculo. Tercera edición. Mexico, Thomson learnig.

MESA BETANCUR, Orlando. URIBE VÉLEZ. Consuelo y FERNANDEZ BETANCUR,León Dario. Matemáticas integradas, algebra y geometría. Medellín. ITM, 2002.

FLEMIG, Walter. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Mexico. Prentice Hall hispanoamerica, 1991.

SWOKOWSKI, Earl W .Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Mexico. Internacional Thompson, 2002.

SWOKOWSKI, Earl W .Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Mexico. Grupo editorial Iberoamérica, 1979.

BALDOR, Aurelio. Geometría Plana y del espacio y trigonometría, 17ª edición. Mexico. Publicaciones Cultura S.A..,2001.

Punto (geometría)De Wikipedia, la enciclopedia libre

La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto denominado origen.

El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido.

Suele representarse con una pequeña "equis" (x), una cruz (+), un círculo (o), un cuadrado o un triángulo. En relación a otras figuras, suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.

Algunas conceptos relacionados con los puntos Dos puntos determinan una recta y sólo una. Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.

Plano (geometría)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación

Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

Representación gráfica informal de un plano.

El plano, es un espacio geometrico que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Ecuación del plano

Un plano se puede definir mediante un punto y dos vectores.

Punto P = (x1, y1, z1)Vector u = (a1, b1, c1)Vector v = (a2, b2, c2)

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la formula para hallar la ecuacion cuando no esta en el origen es a(x-h)al cuadrado+b(y-k)al cuadrado+c(z-j)=0

RectaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsquedaPara otros usos de este término, véase Recta (desambiguación).

La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones

basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,1 establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

Un línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2). Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3). Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos

que están en ella (Libro I, definición 4).

También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:

Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).

Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, postulado 5).

Características de la recta

Algunas de las características de la recta son las siguientes:

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la

geometría euclidiana. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la

intersección de dos planos.

Ecuación de la recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre

constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas.

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y2 − y1 = m(x2 − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

Forma normal de la ecuación de la recta

Esta es la forma normal de la recta:

La recta en coordenadas cartesianas

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.

m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.

n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Rectas notables

La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).

La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).

Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: .

Dos rectas cualesquiera:

serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando

PUNTO

El punto es la unidad mínima de información visual, y está caracterizado por su forma (generalmente circular, pero también puede ser rectangular, como ocurre en los monitores, triangular o una mancha sin forma definida), por su tamaño, por su color y por la ubicación que tenga dentro de la composición gráfica.

El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a

otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido.

Suele representarse con una pequeña "equis" (x), una cruz (+), un círculo (o), un cuadrado o un triángulo. En relación a otras figuras, suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.

LINEA

La línea es el elemento básico de todo grafismo y uno de los más usados, teniendo tanta importancia en un grafismo como la letra en un texto. Representa la forma de expresión más sencilla y pura, pero también la más dinámica y variada.

Está formada por la unión de varios puntos en sucesión, pudiéndose asimilar a la trayectoria seguida por un punto en movimiento, por lo que tiene mucha energía y dinamismo. Su presencia crea tensión y afecta al resto de elementos cercanos a ella.

Una línea es una sucesión continua de puntos. La línea, es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los más utilizados. Representa la forma de expresión más sencilla y pura, pero también puede ser dinámica y variada. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección. Puede ser de varios tipos:

Recta (una dimensión)

Por tener una sola dimensión se denominará:

Línea recta, el lugar geométrico de la sucesión continua de puntos en la citada dimensión.

Planas (dos dimensiones)

Una sucesión continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga cualquier criterio, se denomina línea. Puede ser:

Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.

Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.

Línea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.

o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.

o poligonal cerrada, si cada segmento esta unido a otros dos

Línea mixta, una combinación de las anteriores.

Espaciales (tres dimensiones)

También, una línea es el lugar geométrico de una sucesión continua de puntos en un espacio tridimensional, aunque siga cualquier criterio. Puede ser:

Línea recta, curva o quebrada, similares a las anteriores. Línea curva alabeada, la que presenta formas

redondeadas y no puede ser contenida en un plano. Línea quebrada tridimensional, la que presenta puntos

angulosos y no puede ser contenida en un plano. Línea mixta tridimensional, una combinación de las

anteriores

 

PLANO

El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir

apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

POSICIONES RELATIVAS ENTRE LINEAS 

Secantes (tienes un punto y solo un punto en común) Paralelas (coplanares con intersección vacía o

coincidentes) No coplanares (alabeadas, se cruzan)

 

LÍNEAS PARALELAS Y TRANSVERSALES 

Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen y, por tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma distancia.

Lineas transversales. Cuando una línea n interseca a dos líneas paralelas, n se llama la transversal, y se forman ocho ángulos con varias propiedades especiales. 

PERPENDICULAR

Una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla, determina todas sus secciones ( en el plano que las contiene, según los casos) un ángulo recto. Esto se da en:

Rectas: cuando dos rectas se cortan (estando así en el mismo plano), originan no sólo uno, sino cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.

Semirrectas: dos semirrectas con el mismo punto de origen originan un ángulo de 90 grados (o sea, recto) y otro de 270°, aunque esta última parte no se suele nombrar.

Planos: similar a las rectas. Son perpendiculares cuando originan cuatro ángulos diedros de 90 grados cada uno; ver diedro para mayor información.

Semiplanos: dos semiplanos compartiendo la misma recta de origen delimitan un ángulo diedro de 90° y otro de 270º, aunque esta última parte no se suele nombrar.

POSICIONES RALATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CURVA (Secante y tangente) 

Se denomina secante de una circunferencia a toda recta que la intersecta en dos puntos. Si una

recta la intersecta en un y sólo un punto se llama tangente de la circunferencia.  

SEGMENTO 

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.  

SEMIRRECTA

Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos, o la parte de una recta formada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta.

Luego, una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.

Considerando la biyección entre una recta y los números reales, los reales positivos corresponden a una semirrecta, los

reales negativos corresponden a otra semirrecta y el cero corresponde al punto frontera entre las dos semirrectas, también llamado origen. 

RECTA

La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

LONGITUD

El término longitud (del latín longitudo) puede tener diversos significados, según el contexto:

Básicamente, la longitud es la magnitud con que se mide la distancia entre dos puntos.

En cartografía, longitud es la coordenada este-oeste utilizada para expresar una ubicación geográfica.

En cálculo integral y geometría diferencial, longitud de arco es la medida de la distancia a lo largo de una curva o dimensión lineal..

En mecánica ondulatoria, longitud de onda es la distancia entre dos crestas consecutivas de una onda;

En geometría, longitud dimensional es el largo de un objeto, es decir, la medida lineal de su eje tridimensional Y.

MEDIDA

En matemáticas, una medida es una función que asigna un número, es decir, un "tamaño", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El

concepto es importante para el análisis matemático y para la teoría de la probabilidad.

La medida de cualquier magnitud se expresa mediante un número seguido de una unidad. Cuando decimos que un coche lleva una velocidad de 30 km/h, la magnitud es la velocidad del coche, km/h es la unidad en que se mide dicha velocidad y 30 es la medida de la velocidad.

ÁnguloDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)

Grado centesimal Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos planos

Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor

de 0 rad y menor de rad (mayor de 0º y menor de 90º).Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad (equivalente a 90º). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Ángulo llano

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad (mayor a 90º y menor a 180º).

Ángulo llano o extendido

El ángulo llano tiene una amplitud de rad (equivalente a 180º).

Ángulo cóncavo

Ángulo completo

Ángulo cóncavo o reflejo

El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de rad y menos de rad (esto es, más de 180º y menos de 360°)

Ángulo completo o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad (equivalente a 360º)

Ángulos en el espacio vectorial Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos por la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales.

Ángulos complementarios

Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es 90º (grados sexagesimales).

Si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.

Así, para obtener el angulo complementario de α que tiene una amplitud de 40°, se restará α de 90°:

β = 90° – 40º = 50º

el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa). 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o

400 grados centesimales.

La diagonal de un rectángulo configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180º (grados sexagesimales).

Así, para obtener el angulo suplementario de α, que tiene una amplitud de 120°, se restará α de 180°:

β = 180° – 120º = 60º 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o

400 grados centesimales.

Propiedades

Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.

Ángulos conjugados

Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados sexagesimales).

Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes, tendrán sus lados comunes.

Así, para obtener el angulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250°, se restará α de 360°:

β = 360° – 250º = 110º el ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).

360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Ángulos adyacentesDos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas opuestas.

Tendrán el vértice común y dos de sus lados sobre una misma recta.

α y β son adyacentes

Propiedades

Los ángulos adyacentes son suplementarios. Son consecutivos y su suma es de 180º

El seno de los dos ángulos tendrá el mismo valor.

Ángulos congruentes

Ángulos congruentes se denominan aquellos ángulos que tienen la misma medida.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes.

Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruentes.

Ángulos opuestos por el vérticeÁngulos opuestos por el vértice son aquellos cuyos lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que se cortan en el vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

Teorema

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales (demostración atribuida a Tales de Mileto)

Siendo y dos ángulos opuestos por el vértice, y un ángulo adyacente y suplementario de los dos, tenemos:

por ser suplementario, luego:

Corolario

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectas opuestas.

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS   

Sistema sexagesimal

         Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. 

          Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales

(60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. 

          Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Mediana de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera, y A', B' y C' los centros respectivos de sus lados [BC], [AC] y [AB]. Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto. En el ejemplo, son (AA'), (BB') y (CC'). Las tres medianas se cortan en un único punto llamado centro de gravedad o centro de masa del triángulo. Corresponde al isobaricentro de los tres puntos A,B y C. Está ubicado a los dos tercios de la distancia a partir de los vértices. En un triángulo equilátero, las medianas se confunden con las mediatrices de los lados, con las alturas del triángulo, y con las bisectrices de los tres ángulos.

Mediatriz

figura 1

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio.

En efecto, sea AB el segmento determinado por los puntos A y B (véase la figura 1). Sea M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

figura 2

Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B, esto es que los

segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz rdel ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el segmento AB. Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en esta simetría, los puntos A y B son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.

Aplicación En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, el circuncentro (O en la figura) que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

En efecto, consideremos las mediatrices del lados AB y BC. Dichas mediatrices se cortan porque sus perpendiculares son rectas secantes. El punto de corte O equidista de los puntos A, B y C. En particular de los puntos A y C y se halla por tanto sobre la mediatriz del tercer lado.

El punto O, al ser equidistante de los tres vértices es centro de una circunferencia que pasa por estos tres puntos. Esta circunferencia es la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.

Propiedad : los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.

Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos cóncavos. Cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las dos rectas. Este resultado se establece fácilmente observando que cada bisectriz es el eje de simetría de su ángulo: la simetría axial respecto de una bisectriz deja el ángulo invariante.

En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.

Aplicación

Construcción gráfica con compás

La bisectriz es la recta que divide al angulo en 2 partes iguales con el transportador. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser

paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Otras propiedades

Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.

Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos

TriánguloUn triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana.1

Propiedades de los triángulos

En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, es igual a 180°.

La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente. Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del

coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

Centros del triángulo Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro : es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

Circuncentro : es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.

Incentro : es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Ortocentro : es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

El único caso en que estos tres centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Clasificación de los triángulos Por la longitud de sus lados se clasifican en:

Triángulo equilátero : si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó

radianes.) Triángulo isósceles: si tiene dos lados y dos ángulos

iguales Triángulo escaleno: si todos sus lados y ángulos son distintos. 

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos:

Triángulo rectángulo : si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior recto (90°).

o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

o Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo. 

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. 

Triángulo equilátero isósceles escaleno

acutángulo

rectángulo

obtusángulo

Cálculo de la superficie de un triángulo

Área del triángulo: equivalencia gráfica.

La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la superficie S queda expresada del siguiente modo:

Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón.

donde p = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo.

Reescribiendo la fórmula anterior obtenemos: (suponiendo a ≥ b ≥ c )

Otra forma de calcular el área es:

donde a y b son dos lados del triangulo y es el ángulo comprendido entre ellos.

Triángulos oblicuángulos Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza el Teorema del seno y el del coseno.

Altura de un triánguloLa altura del triángulo, respecto de un lado, es la distancia más corta entre la recta que contiene al lado y el vértice opuesto. Equivale a un segmento perpendicular a dicho lado con un extremo en el vértice opuesto y el otro en dicho lado, o en su prolongación.

En la figura, las alturas respecto de sus tres lados BC, CA y AB" son AA", BB" y CC".

La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, siendo su valor: a = b·h/2, donde a es el área, b la base –la longitud del lado "inferior"–, y h su altura correspondiente.

En la figura, pueden ser BC·AA"/2, AB·CC"/2 o AC·BB"/2.

Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base y la misma altura.

Características y propiedades En todo triangulo:

al menos una de las alturas se encuentra dentro del triangulo;

la altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triangulo;

las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo (H en el gráfico);

las alturas contienen a las mediatrices del triángulo A'B'C' (que se construye trazando paralelas a los lados por los vértices opuestos);

el ortocentro del triángulo ACD es el circuncentro del triángulo A'B'C'.

Vértice (geometría)Para otros usos de este término véase Vértice.

Vértices de un icositetraedro pentagonal

En geometría, vértice es el punto donde concurren las dos semirrectas que conforman un ángulo.

También, en el plano, un vértice será:

El punto donde concurren dos o más rectas. El punto común entre dos lados consecutivos de una

figura geométrica. El punto de algunas curvas, en que se existe un eje de

simetría.

En tres dimensiones, será:

El punto en que concurren tres o más planos. La unión de tres o más aristas, conforman un vértice en

un cuerpo geométrico.