guia 4 productos notables i

I BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO

Definitivamente las matemáticas, en sus orígenes estuvieron directamente relacionadas con las condiciones de vida de la época. El hombre primitivo necesitaba el número (al menos los primeros números naturales) para verificar la cuenta de su rebaño, para efectuar rudimentarios intercambios comerciales o para llevar la cuenta de su calendario que les permitía controlar las cosechas.Solo con los Egipcios se puede comenzar a hablar de ciencia matemática. Obligados por las inundaciones anuales se vieron en la necesidad de manejar líneas y números. Conocieron hechos

matemáticos, supieron manejar formulas y razonar con figuras geométricas, pero solo por una necesidad práctica, sin una concepción de la ciencia teórica.Sin embargo, las cosas cambian radicalmente cuando abordamos "La Época Griega". De la mano de Thales de Mileto (640 - 560 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.), Demócrito (460 - 370 a.C.) y Euclides (360 - 275 a.C.) aparecen conceptos precisos como la abstracción, generalización, análisis y la síntesis. La escuela de Pitágoras se apasiono por estas cuestiones : "Todas las cosas son números".La obra de Euclides "Los Elementos" (320 a.C.), que le origino una gran reputación ha sido usado como texto de estudios cerca de 2000 años. Dicha obra, constituida por trece libros, es la coronación de las investigaciones realizadas por los Geómetras de Atenas y de sus antecesores.Como encargado de la Biblioteca de Alejandría, era tal su entusiasmo que diariamente le comunicaba de sus avances matemáticos a Tolomeo II (308 - 246 a.C.) Rey de Egipto, sumiéndolo constantemente en situaciones por demás incomodas.

96

900 a.C. 800 a.C. 700 a.C. 600 a.C. 500 a.C. 400 a.C. 300 a.C. 200 a.C.

CULTURA OLMECA (1200 - 400 a.C.)

CULTURA CHAVIN (850 - 200 a.C.)

IMPERIO ASIRIO (883-612 a.C.) IMPERIO PERSA (550 - 331 a.C.)

COMERCIO FENICIO (900 - 600 a.C.)

PRIMERAS CIUDADES GRIEGAS-GRECIA CLÁSICA (750-330 a.C.)

REPÚBLICA ROMANA (509 - 27 a.C.)

EUCLIDES(360 - 275 a.C.)


Observemos las siguientes figuras:

Es un cuadrado de lado (a + b), hacemos 2 cortes imaginarios tal que se

forman 2 cuadrados (lados a y b) y 2 rectángulos.

Área Total = (a + b)2

Pero también: AT = A1 + A2 + A3 + A4

(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ahora es un cuadrado de lado “a” y hacemos nuevamente 2 cortes

imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados “b” y “a - b”) y 2

rectángulos.

A1 = AT – A2 – A3 – A4

(a - b)2 = a2 – b2 – b(a - b) – b(a - b)

(a - b)2 = a2 – b2 – ab + b2 – ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Otra vez hacemos el par de cortes imaginarios y obtenemos lo siguiente:

AT – A1 = A2 + A3

a2 – b2 = a(a - b) + b(a - b)

Extrayendo factor común obtenemos:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

97

1

2

4

3

ba

a

b

1

2

3

4

ba - b

b

a

a - b

a

a-b

b

2

13

ba - ba

a

a-b

b

¡Interesante

Verdad!

¡Soy un genio!

PRODUCTOS NOTABLES I


PRODUCTOS NOTABLESSon los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTOEs el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

TCP

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejm.:

Ψ (a + 3)2 = a2 + 6a + 9

Ψ (2x + 5)2 = 4x2 + 20x + 25

Ψ (x - 7)2 = x2 – 14x + 49

Ψ (3x - 1)2 = 9x2 – 6x + 1

Ψ (x + 6)2 =

Ψ (4x + 3)2 =

Ψ (m - 4)2 =

Ψ (5m - 2)2 =

De acá se generan las identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a - b)2 = 4ab

Ejm.:

Ψ (3x + 2)2 + (3x - 2) 2 =

Ψ (4x + 7)2 – (4x – 7) 2 =

Ψ

2. (3x + 5)2 + (3x - 5)2 =

Ψ (x + 9)2 - (x - 9)2 =

3. DIFERENCIA DE CUADRADOSEs el resultado generado de la multiplicación del binomio suma por su diferencia.

(a + b) (a - b) = a2 – b2

Ejm.:

Ψ (x + 3) (x - 3) = x2 - 9

Ψ (3x + 5)(3x - 5) = 9x2 – 25

Ψ (2x3 + 5)(5 – 2x3) = 25 – 4x6

Ψ

98

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 QUINTO AÑO

Diferencia de Cuadrados


4. (x + 7)(x - 7) = Ψ (2x – 4)(2x + 4) =

Ψ (x4 + 8)(8 – x4) =

5. BINOMIO AL CUBO (SUMA)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab(a + b) *

BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

= a3 - b3 - 3ab(a - b) *

Ejm.:

Ψ (x + 3)3 = x3 + 3x2 . 3 + 3x . 9 + 27= x3 + 27 + 3(3x)(x + 3)

Ψ (a - 5)3 = a3 – 3a2.5 + 3a.25 - 125

= a3 – 125 – 3(5a)(a - 5)Ψ

6. (y + 2)3 =

Ψ (m - 1)3 =

7. SUMA DE CUBOS

(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS

(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejm.:

Ψ (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8

Ψ (y - 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125

Ψ (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) = (2x)3 + 33 = 8x3 + 27

Ψ (5x - 1)(25x2 + 5x + 1) = (5x)3 – 13 = 125x3 - 1

Ψ

8. (a + 4)(a2 – 4a + 16) =

Ψ (m - 2) ( ) = m3 - 23

Ψ (4x + 3) ( ) = (4x)3 + 33

Ψ (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4) =

9. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejm.:

Ψ (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15

Ψ (x + 4) (x - 2) = x2 + 2x - 8

Ψ (x + 7) (x - 9) = x2 – 2x – 63

Ψ (2x - 5) (2x - 3) = 4x2 – 8(2x) + 15

Ψ

10. (x + 1) (x + 6) =

Ψ (x - 5) (x + 9) =

Ψ (x + 4) (x - 10) =

Ψ (3x - 1) (3x - 6) =

99

Las equivalencias que aparecen con

asterisco son para problemas con

condición.


1. Reducir:A = (2x + 3)2 – (2x - 3)2 + (3x - 4)2 – 8x2 - 16

a) 0 b) 2 c) xd) x2 e) 2x2

2. Efectuar:)1x)(x1)(1x()1x)(1x( +−++−+

a) x2 b) 1 c) 0d) 2x2 e) 2

3. Reducir:22 )2332()2332(A −++=

a) 15 b) 20 c) 25d) 60 e) 67

4. Simplificar:

4

244244

xy

)yx()yx(L

−−+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5. Efectuar:E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256

a) x b) x2 c) x4

d) x6 e) x8

6. Multiplicar:M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1) + 1

a) x3 b) x4 c) x6

d) x9 e) N.A.

7. Efectuar:

)420100()210(L 33333++−=

a) 1 b) 10 c) 2d) 8 e) 1

8. Reducir:A = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn + 7)

a) xn b) x2n c) 2xn

d) -5 e) -19. Simplificar:

1x)2x)(1x)(1x(E ++−+=

a) x2 + x b) x2 + x + 1 c) x2 + x - 1

d) x2 – x + 1 e) N.A.

10. Simplificar:

)1xx)(1x)(1x)(1x)(1x( 2444++++−+

a) x6 + 1 b) x6 – 1 c) x2 + 2

d) x2 – 2 e) N.A.

11. Reducir:

M = (2x + 3y - z)3 + (3x – 3y + z)3 – 124x3 + 15x(2x + 3y - z) (3x – 3y + z)

a) 0 b) x2 c) x3

d) 1 e) 2z

12. Hallar “E” en:33

5002550025E −++=

a) 1 b) 2 c) 3

100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En este último producto notable debemos tener muy presente los signos de cada término, de los factores en cuestión.


d) 4 e) 5

13. Evaluar:32 842 )19)(19)(19(801E ++++=

a) 9 b) 3 c) 81d) 1 e) 6

14. Simplificar:

mcb3a2m

bc3)ca2m)(b3a2m(−

+++−++++

a) m b) a c) 2ad) b e) c

15. Reducir:)623221()24381(A +−−+++=

a) 1 b) 12 c) 13d) 14 e) 18

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1. Reducir:

M = (x + 2)2 – (2 - x)2 + (x - 4)2 – x2 - 16

a) 0 b) 2 c) xd) 4x e) x + 2

2. Efectuar:)x4)(4x()4x)(2x)(2x( −+++−+

a) 0 b) 1 c) 2

d) x2 e) 2x2

3. Reducir:22 )37()37(M −++=

a) 10 b) 13 c) 20d) 18 e) 36

4. Simplificar:

6

266266

302

)65()65(A −−+=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Efectuar:

E = (a + 5)(a - 5)(a2 + 52)(a4 - 54) – a8

a) 54 b) -58 c) -56

d) -254 e) Hay dos claves correctas

6. Multiplicar:

M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2 – ab + b2)

a) a6 – b3 b) a3 – b6 c)

(a - b)6

d) a6 – b6 e) Hay dos claves correctas

7. Efectuar:

)139()13(L 333+−+=

a) 3 b) 4 c) 8d) -4 e) N.A.

8. Reducir:M = (x5 + 4) (x5 + 7) – (x5 + 2) (x5 + 9)

a) 5 b) x10 c) x20

d) 10 e) 15

9. Simplificar:1)4x)(3x)(2x)(1x(L +++++=

a) x2 + 5x + 5 b) x2 – 5x + 5 c) x2 - 5

d) –x2 – 5x – 5 e) N.A.

10. Simplificar:

)bbaa)(ba)(ba)(ba)(ba( 42244444+++−++

a) a6 + b6 b) a6 – b6 c)

a3 + b3

d) a3 – b3 e) N.A.

11. Reducir:M = (x + 2y – 7z)3 + (x – 2y + 7z)3 – 8x3 +

6x(x + 2y – 7z) (x – 2y + 7z)

a) x b) 2xyz c) 0d) x – y e) 2y2

101


12. Hallar “M” en:33

3922039220M −++=

a) 1 b) 6 c) 20d) 4 e) 8

13. Evaluar:8 842 1)12)(12)(12(3 ++++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Simplificar:

acbax

bc)cax)(bax(−

+++−++++

a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 8x

15. Reducir:)6321()6321(P +−−+++=

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) -1

102

guia 4 productos notables i

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