GTP Cálculo II - 2011 2.1 Integrales dobles

2 Integración

2.1 Integrales dobles

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas.

a)R 1−1R 10

¡x4y + y2

¢dydx b)

R π/20

R 10 (y cosx+ 2) dydx

c)R 10

R 10 (xye

x+y) dxdy d)R 0−1R 21 (−x ln y) dydx

2. Un leñador corta una pieza en forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r mediante doscortes de sierra hacia el centro del árbol, uno horizontal y otro a un ángulo θ. Calcularel volumen de la cuña usando el principio de Cavalieri.

3. Demostrar informalmente que el volumen de un sólido de revolución generado por el giroalrededor del eje x del gráfico de una función positiva f definida en el intervalo [a, b]es

V = π

Z b

a[f (x)]2 dx

4. Hallar el volumen comprendido entre la gráfica de la función f (x, y) = 1 + 2x + 3y y elrectángulo [1, 2]× [0, 1], acotado lateralmente por los planos verticales determinados porlos lados del rectángulo.

5. Evaluar las siguientes integrales, si R = [0, 1]× [0, 1] .

a)RR

¡x3 + y2

¢dA b)

RR yexydA

c)RR (xy)

2 cos¡x3¢dA d)

RR ln [(x+ 1) (y + 1)] dA

6. Sea f continua, f ≥ 0 en el rectángulo R. Probar queRR fdA = 0⇒ f = 0 en R.

7. Calcular el volumen del sólido en el primer octante acotado por los planos x = 1, y = 1, yla superficie z = x2 + y4.

8. Sea f continua en [a, b]× [c, d] . para a < x < b, c < y < d, definamos

F (x, y) =

Z x

a

Z y

cf (u, v) dvdu. (1)

Mostrar (usando el teorema de Fubini) que

∂2F

∂y∂x=

∂2F

∂x∂y. (2)

Si F es una función de clase C2, poniendo f (u, v) = ∂2F∂y∂x (u, v), el teorema fundamental

del Cálculo determina la validez de la fórmula (1). Entonces (2) demuestra el teorma delas derivadas mixtas.

9. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones determinadas por los límitesde integración.

a)R 10

R x20 dydx b)

R 10

R ex1 (x+ y) dydx

c)R 2−3R y20

¡x2 + y

¢dxdy d)

R 10

R yy2 (x

n + ym) dxdy

1

GTP Cálculo II - 2011 2.3 Cambio de variables

10. EvaluarR 10

R x20

¡x2 + xy − y2

¢dydx. Describir esta integral iterada como una integral

doble sobre cierta región D del plano xy.

11. Hallar el volumen de la región entre la superficie z = x2 + y2 y el plano z = 10.

12. Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h.

13. CalcularRD f (x, y) dA, donde f (x, y) = y2

√x y

D =©(x, y) : x > 0, y > x2, y < 10− x2

ª.

14. EvaluarRD ex−ydA, donde D es el triángulo con vértices (0, 0) , (1, 3) y (2, 2) .

15. Proar que 2R ba

R bx f (x) f (y) dydx =

³R ba f (x) dx

´2. Ayuda: Notar que

³R ba f (x) dx

´2=R

[a,b]×[a,b] f (x) f (y) dydx

2.2 Integrales triples

1. EvaluarRW x2dV , donde W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] .

2. EvaluarRW e−xydV , donde W = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] .

3. EvaluarRW x2 cos z dV , donde W es la región acotada por los planos z = 0, z = π, y =

0, y = 1, x = 0 y x+ y = 1.

4. Hallar el volumen de la región limitada por z = x2 + 3y2 y z = 9− x2.

5. Evaluar Z 1

0

Z 2x

0

Z x+y

x2+y2dzdydx

y esbozar la región de integración.

6. Cambiar el orden de integración enZ 1

0

Z x

0

Z y

0f (x, y, z) dzdydx

de varias maneras. Esbozar la región de integración.

2.3 Cambio de variables

1. EvaluarRD

¡x2 + y2

¢3/2dxdy, donde D es el disco x2 + y2 ≤ 4

2. Integrar zex2+y2 sobre el cilindro x2 + y2 ≤ 4, 2 ≤ z ≤ 3.

3. Sea D el disco unitario. ExpresarRD

¡1 + x2 + y2

¢3/2dxdy como una integral sobre el

rectángulo [0, 1]× [0, 2π] y evaluar.

4. Rehacer el ejercicio 11 de la sección 2.1

5. Integrar x2 + y2 + z2 sobre el cilindro x2 + y2 ≤ 2, − 2 ≤ z ≤ 3.

6. Mostrar que la función de cambio de coordenadas a esféricas s (ρ, θ, φ) = (ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ)es uno a uno excepto en un conjunto que es unión de un número finito de gráficas de fun-ciones continuas.

2

GTP Cálculo II - 2011 2.3 Cambio de variables

7. Sea B la bola unitaria. Evaluar ZB

dx dy dzp2 + x2 + y2 + z2

haciendo el cambio de variables apropiado.

8. Calcular ZS

dx dy dz

(x2 + y2 + z2)3/2,

donde S es el sólido acotado por las dos esferas x2 + y2+ z2 = a2 y x2 + y2+ z2 = b2,donde o < b < a.

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