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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria
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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria
Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo
E [h(X)/Y = y] =
∑x∈EX
h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0
∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,
y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.
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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria
Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo
E [h(X)/Y = y] =
∑x∈EX
h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0
∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,
y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.
Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ EY , lo que se prueba de forma totalmenteanaloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Ademas, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X)considerando la distribucion condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a la esperanza deuna funcion de una variable aleatoria.
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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria
Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo
E [h(X)/Y = y] =
∑x∈EX
h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0
∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,
y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.
Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ EY , lo que se prueba de forma totalmenteanaloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Ademas, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X)considerando la distribucion condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a la esperanza deuna funcion de una variable aleatoria.
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables
X: Numero de caras.
Y : Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.
Calcular E [X2/Y ].
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1]
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1))
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
� E [X2/Y = 3]
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3))
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1
2
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1
2=
9
2·
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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):
YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8
P (Y = yj) 6/8 2/8
Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:
� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =
(1× 1
2
)+
(4× 1
2
)=
5
2·
� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1
2=
9
2·
Por tanto, se deduce que
E [X2/Y ] =
5
2Y = 1
9
2Y = 3,
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
fY (y) =
∫ y
0
2dx = 2y, y ∈ (0, 1)
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
fY (y) =
∫ y
0
2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)
fY (y)=
1
y, x ∈ (0, y).
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
fY (y) =
∫ y
0
2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)
fY (y)=
1
y, x ∈ (0, y).
A partir de estas densidades se deduce que
E [X3/Y = y] =
∫ y
0
x3
ydx y ∈ (0, 1)
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
fY (y) =
∫ y
0
2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)
fY (y)=
1
y, x ∈ (0, y).
A partir de estas densidades se deduce que
E [X3/Y = y] =
∫ y
0
x3
ydx =
y3
4, y ∈ (0, 1)
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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �
Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].
Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :
fY (y) =
∫ y
0
2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)
fY (y)=
1
y, x ∈ (0, y).
A partir de estas densidades se deduce que
E [X3/Y = y] =
∫ y
0
x3
ydx =
y3
4, y ∈ (0, 1) ⇒ E
[X3/Y
]=
Y 3
4· �