grundpraktikum physik i und ii · m 4 oberflächenspannung von flüssigkeiten ... flüssigkeiten...

MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT

HALLE-WITTENBERG

INSTITUT FÜR PHYSIK

GRUNDPRAKTIKUM

Grundpraktikum Physik

I und II

FÜR DIE STUDIENGÄNGE

PHYSIK, MEDIZINISCHE PHYSIK

UND PHYSIK LEHRAMT

10. AUFLAGE (2010)

PlatzhalterVorwort

Das Physikalische Grundpraktikum für Physik- und Medizinphysik-Bachelor erstreckt sich überdas 1. bis 4. Fachsemester des Regelstudiums. Grundpraktikum I (Einführung) und Grund-praktikum II sind Bestandteil des Moduls Experimentelle Physik A. Grundpraktikum III und IVsind Bestandteil des Moduls Experimentelle Physik B.

Der regelmäßige und erfolgreiche Besuch des Praktikums ist entsprechend der Studien-ordnungen Bedingung für den erfolgreichen Abschluss des Moduls.

Im Praktikum I sind 3 Versuche im Umfang von 2 h, in den Praktika II-IV je 10 Versuche miteinem Zeitumfang von 4 h durchzuführen. Die Reihenfolge der Versuche wird durch Aushangim Praktikum und im Intranet bekannt gegeben.

Studierende der Physik-Lehramt besuchen eine eigene Praktikumsveranstaltung, die sich überdas 3. und 4. Fachsemester des Regelstudiums erstreckt und zum Modul ExperimentalphysikLA-B gehört. Das 3. Semester beinhaltet eine Einführungsvorlesung und 10 ausgewählteVersuche aus dem gesamten vorliegenden Heft.

In den einführenden Kapiteln dieses Heftes finden Sie Hinweise zu Praktikumsablauf undLeistungskontrollen, Versuchsführung sowie zur Protokollierung und Auswertung derMessergebnisse. Kontrollfragen und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sindals Hilfestellung zur Vorbereitung gedacht. Weitere Hinweise finden Sie auch im Intranet aufder Homepage des Praktikums.

Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für PhysikPhysikalisches Grundpraktikum

http://www.physik.uni-halle.de/Lehre/Grundpraktikum

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergFachbereich Physik, GrundpraktikumTel.: 0345 55-25551, -25550Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]

Autoren:K.-H. Felgner, W. Fränzel, H. Grätz, J.Leschhorn, M. Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

10. Auflage Halle, September 2010

Inhaltsverzeichnis

ALLGEMEINE EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Fehlerrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IM 17 Statistische Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

W 1 Lineare Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IIM 2 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

M 6 Mathematisches und physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

M 9 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

M 10 QUINCKEscher Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

M 13 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

M 14 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

M 15 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

W 5 Kondensationswärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

W 6 Spezifische Wärme von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

W 10 Dampfdichte nach Dumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

W 12 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

W 16 Wärmeleitfähigkeit von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

W 21 Reales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

E 7 Innenwiderstände von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

E 10 Thermospannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ANHANG

Hinweise zur Bedienung von Cassy-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Kurzanleitung zur Software ORIGIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Einführung Laborordnung für das Praktikum

1

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in denPraktikumsräumen so zu verhalten, dassPersonen nicht gefährdet sowie Einrichtun-gen, Geräte und Versuchsaufbauten nichtbeschädigt werden.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Auftretende Störungen und Unregel-mäßigkeiten bei der Durchführung der Versu-che, Beschädigungen und Funktionsstörungenan Geräten und Einrichtungen sowie Unfällesind sofort zu melden. Es ist nicht zulässig,Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogenwerden.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlas-sen.

8 Essen und Trinken ist in den Prakti-kumsräumen nicht erlaubt. Rauchen ist imgesamten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

11 Für einen erfolgreichen Abschlussmüssen Sie alle Praktikumstermine wahr-nehmen. In sehr dringenden Fällen sowie beiKrankheit können mit dem Praktikumsperso-nal Ersatztermine vereinbart werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

12 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht an-geschlossen). Die Schaltungen sind übersicht-lich aufzubauen.

13 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung desrichtigen Messbereiches und die Verwendungder richtigen Messeingänge zu achten. (Über-lastungsgefahr!)

14 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Assistentenüberprüft werden!

15 Unter Spannung stehende Anlagenmüssen ständig überwacht werden.

16 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen(> 42 V) sind in jedem Fall durch Schutzvor-richtungen vor Berührung gesichert. Es istuntersagt, solche Schutzvorrichtungen außerBetrieb zu setzen!

17 Bei Unfällen ist die Spannung sofortabzuschalten (Notausschalter: gelb-roteTastschalter in jedem Raum). Der Unfallmuss unverzüglich gemeldet werden.

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

2

Arbeiten mit Chemikalien

18 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagenbeim Abwiegen von Chemikalien!

19 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille)müssen getragen werden!

20 Bei Unfällen oder bei Verschüttengefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Assistent verständigt werden!Es sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

21 Alle Chemikalien befinden sich inGefäßen mit eindeutiger Kennzeichnung desInhaltes. Dies ist besonders zu beachten,wenn Chemikalien nach der Verwendung indie Aufbewahrungsgefäße zurückgegossenwerden müssen.

22 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorrats-gefäßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

23 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnunggearbeitet. Die Strahlenbelastung währendeines Versuches ist 100...1000 mal geringerals bei einer Röntgenaufnahme.

24 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während derMessung einen Abstand von 0,5 m zumPräparat ein.

25 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

26 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keinebenachbarten Gegenstände entzünden kön-nen. Offene Flammen und eingeschalteteHeizgeräte müssen ständig beaufsichtigtwerden!

27 Abgebrannte Streichhölzer gehören nichtin Papierkörbe! Noch glimmende Streich-hölzer dürfen nicht weggeworfen werden.

28 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind vonoffenen Flammen fernzuhalten.

29 Wird ein Brand bemerkt, so ist diessofort zu melden und es sind nach Möglich-keit Löschmaßnahmen einzuleiten.

30 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöschersowie über die vorhandenen Fluchtwege zuinformieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikumstag)zu entnehmen.

Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangaben

am Ende jeder Versuchsanleitung) und dasProtokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenaus-

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

3

weises pro Versuchsgruppe abgeholt.

3 Kontrolle der Versuchsvorbereitung

Vor Versuchsbeginn erfolgt die Kontrolle derProtokollvorbereitung und ein kurzes mündli-ches Antestat beim zuständigen Assistenten.Bei ungenügender Vorbereitung darf derVersuch nicht durchgeführt werden und musszu einem späteren Termin innerhalb derVorlesungszeit des laufenden Semestersnachgeholt werden. Hierzu ist ein Termin zuvereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel vonZweiergruppen durchgeführt. Dreiergruppensind nicht zulässig. Jeder Student führt eineigenes Protokoll.

Aufbau des Versuches.

Elektrische Schaltungen müssen vor In-betriebnahme vom zuständigen Assistentenüberprüft werden!

Durchführung der Messungen und Protokoll-führung (siehe „Richtlinien zur Protokoll-führung“).

Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Assistenten am Tage der Ver-suchsdurchführung (falls die Auswertungnicht sofort fertiggestellt wird).

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn mög-lich, während der Praktikumszeit durch-geführt bzw. begonnen. Sie ist bis zumnächsten Praktikumstermin fertigzustellen.

Hinweise zur Auswertung geben die „Richt-linien zur Protokollführung“.

Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl.Kurvenlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden undstehen im Praktikum zur Verfügung. Milli-

meterpapier und zu manchen Versuchenerforderliche Spezialpapiere können imPraktikum erworben werden.

6 Kontrolle der Versuchsauswertung

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung incl. Auswertung erfolgt durchdie Eintragung von Note, Datum und Lang-unterschrift des betreuenden Assistenten indas Protokollheft (in der Regel zum nächstenPraktikumstermin).

Liegt die Auswertung nicht spätestens amübernächsten Praktikumstag vor, so ver-schlechtert sich die Bewertung um eine Notefür jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-den zwei zusätzliche Praktikumsterminegarantiert. (ein “Nachhol-Termin” für alle amSemesterende, weitere Termine nach Mög-lichkeit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei ist! Zu einemPraktikumstermin kann jeweils nur einVersuch durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zuBeginn des Praktikums (siehe oben) ist Vor-aussetzung für die Zulassung zum Versuch.

Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt, ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnotezwischen 1 und 5 gebildet, wobei die Testat-note sowie die Einschätzung der Versuchs-durchführung und der Versuchsauswertungdurch den betreuenden Assistenten berück-sichtigt werden.

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

4

10 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,

wenn alle Versuche vollständig durchgeführtwurden und 80% der Versuche mit einerNote von 4 oder besser bewertet wurden.

Richtlinien für die Protokollführung

Allgemeines

1 Jeder Student führt während des Versu-ches und unmittelbar ein Protokoll. DasProtokoll enthält - die Versuchsvorbereitung,- das Messprotokoll (alle Messwerte und

Beobachtungen in chronologischer Reihen-folge),

- die Auswertung.

2 Das Protokoll wird handschriftlich mitnicht löschbarem Stift geführt. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbargemacht werden. Fehler sind Teil der Arbeit,das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

3 Alle Protokolle des Praktikums sind ineinem gebundenen Heft der Größe A4 oder ineinem Schnellhefter zu führen und zu jederVeranstaltung mitzubringen.

4 Lose Blätter (auch Computerausdrucke)sind mit Name und Datum zu beschriften undin das Protokoll einzufügen.

Vorbereitung zu Hause

5 Jedes Protokoll muss einleitend enthal-ten: - Datum, - Versuchsbezeichnung und Aufgaben-

stellung (wörtlich), - kurze Beschreibung des Versuches mit

geplanter Durchführung (z. B. Schalt-skizze) und vorgesehener Auswertung ein-schließlich der dafür benötigten Formeln,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für dieAufnahme der Rohmessdaten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Ver-suchsbeginn vom Assistenten kontrolliert.

Protokollführung während des Versuches

6 Es werden alle Versuchsgeräte registriert(Versuchsaufbau).

7 Das Protokoll soll übersichtlich und gutlesbar sein, z.B durch eine klare Gliederungmit Zwischenüberschriften (“Messwerte zuAufgabe 1" oder ähnlich).

8 Alle physikalischen Größen sind voll-ständig mit Zahlenwert und Einheit anzuge-ben. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

9 Es werden grundsätzlich alle Messdatenvor jeglicher rechnerischer Aufbereitungprotokolliert (Urlisten).

10 Das Messprotokoll ist dann vollständig,wenn nur mit seiner Hilfe auch eine Person,die den Versuch nicht selbst durchgeführt hat,die vollständige Auswertung des Versuchesvornehmen kann!

11 Wenn die Auswertung nicht während derPraktikumszeit erfolgt, muss das Messproto-koll (jedes einzelne Blatt!) vom Assistentenmit Datum und Kurzunterschrift abgezeichnetwerden.

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

5

Zur Auswertung

12 Alle Rechnungen müssen anhand derFormeln und der Messdaten im Protokollnachvollziehbar sein.

13 Diagramme werden auf Millimeterpapiermit Lineal bzw. Kurvenlineal gezeichnet odermit dem Computer erstellt. Es sind geeigneteübersichtliche Maßstäbe zu wählen und dieAchsen sind mit Größe und Einheit zu be-schriften. In der Regel ist eine Legendeerforderlich.

14 Zu jedem Versuch gehört eine Fehler-diskussion, in der Regel mit Fehlerrechnung.

15 Die Versuchsergebnisse werden ineinem verbalen Ergebnissatz zusammenge-fasst, eingeschätzt (z. B. bezüglich ihrerMessgenauigkeit) und, wenn möglich, mitLiteraturwerten verglichen.

16 Das komplette Protokoll wird in derRegel (siehe „Hinweise zum Ablauf desPraktikums”) am nächsten Praktikumstagdem verantwortlichen Assistenten vorgelegt,von diesem durchgesehen und bewertet.Durch die Gesamtnote, das Datum und dieLangunterschrift wird der erfolgreicheVersuchsabschluss bescheinigt.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen Messfehlernbehaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinensowohl voneinander als auch vom zu be-stimmenden „wahren Wert“ ab. Ziel derFehlerrechnung ist das Ermitteln des bestenSchätzwertes für den wahren Wert (Mess-ergebnis) und für die Größe der Abweichung(Messunsicherheit).

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z.B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Ein-heit, z. B. U = 220 V, I = 2 A, m = 2 kg

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechneteErgebnis, z. B. P = U A I = 220 V A 2 A =440W

Messabweichung (früher Fehler genannt):Differenz zwischen Messwert (odereinem aus mehreren Messungen gewon-

nenen Wert) und wahrem Wert. Manunterscheidet zufällige und systematischeMessabweichungen. Die Messabwei-chung ist im Allgemeinen nicht genaubekannt, weil der wahre Wert nicht genaubekannt ist.

Zufällige oder statistische Messabweichun-gen (Fehler):

Sie treten unregelmäßig auf; sie schwan-ken in der Größe und im Vorzeichen.Hervorgerufen werden sie z. B. durchnicht beeinflussbare unsystematischeÄnderungen der Versuchs- und Umge-bungsbedingungen sowie durch Unvoll-kommenheiten beim subjektiven Erfassenvon Messwerten durch den Praktikanten.Durch mehrfaches Messen und Bildungdes arithmetischem Mittelwertes kann derEinfluss zufälliger Messabweichungenminimiert werden.

Systematische Messabweichungen (Fehler):Sie beeinflussen bei gleichen Versuchs-bedingungen die Messung in der gleichenWeise. Hervorgerufen werden sie z. B.durch Unvollkommenheiten der Mess-geräte, der Maßverkörperungen und der


6

s

x x

n

ii

n

=

−

−=

∑ ( )

.

2

1

1

(2)

′ =ss

n. (3)

∆ x

x x

n n

ii

n

=

−

⋅ −=

∑ ( )

( ).

2

1

1

(4)

xn

xii

n

==

∑1

1

. (1)

Messverfahren sowie durch systematischeÄnderungen der Versuchsbedingungen.Sie setzen sich aus einem bekannten undeinem unbekannten Anteil zusammen.Das Messergebnis ist um bekannte sys-tematische Messabweichungen zu korri-gieren.

Messunsicherheit:Schätzung der Messabweichung. Gibteinen Bereich (Intervall) an, in dem der„wahre“ Wert einer Messgröße oder einesMessergebnisses mit hoher Wahrschein-lichkeit liegt. Sie wird auf der Grundlagevon Messwerten (m. H. statistischerMethoden) und vorliegender Kenntnissezu systematischen Messabweichungengeschätzt. Beispiel (für den Messwert U = 220 V):∆U = 2,4 V (absolute Messunsicher-heit), ∆U/U = 1,1% (relative Messunsi-cherheit)Der wahre Wert liegt mit großer Wahr-scheinlichkeit im Intervall (U!∆U,U+∆U).

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit; z.B.U = 220,0 V ± 2,4 VU = (220,0 ± 2,4) VU = 220,0 V und ∆U/U = 1,1 %

2 Ermittlung von Messunsicherheiten

2.1 Berechnung von Messunsicherheitenbei zufälligen Fehlern

Eine Messgröße x werde n mal gemessen; dieeinzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n) streuen umeinen Mittelwert

Wenn bei dieser Messreihe nur zufällige(statistische) Fehler auftreten, so ist die Ver-teilung der Messwerte eine Normalverteilung(Gaußverteilung). Die graphische Darstellungeiner solchen Verteilung ergibt die soge-

nannte „Glockenkurve“.Als Maß für die Streuung der Messwerte wirddie Standardabweichung s eingeführt:

Für die Gaußverteilung ergibt sich, dass68,3 % der Messwerte im Intervall ± sxliegen, d. h. die Wahrscheinlichkeit, einenMesswert in diesem Intervall anzutreffen,beträgt 68,3 %.Im Intervall ± 2s liegen 95,5 % und imxIntervall ± 3s 99,7 % aller Messwerte.xWerden von der Messgröße weitere Mess-reihen vom Umfang n aufgestellt, so sind diedazugehörigen Mittelwerte ebenfalls normal-verteilt; die Standardabweichung s' für dieStreuung der Mittelwerte ist dann:

Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerxMessreihe mit n $ 10 Messwerten xi undkönnen dabei die systematischen Fehlergegenüber den zufälligen Fehlern vernachläs-sigt werden, so wird als Messunsicherheit ∆xdie Standardabweichung s' für den Mittel-wert gewählt:x

Ist die Messung eine Zählung zufälliger Er-eignisse (z. B. radioaktiver Zerfallsereig-nisse), x = N, so beträgt die Messunsicher-heit (bei Vernachlässigung systematischer

Fehler) ∆x = (siehe Versuch O16).N

2.2 Die Garantiefehlergrenze als Messun-sicherheit

Die Hersteller von Messgeräten geben in derRegel Garantiefehlergrenzen an (Beispiele:


7

y a b x= + ⋅ (5)

[ ]

F a b y

y a bx

i

n

i ii

n

( , )

( ) min.

=

= − + →

=

=

∑

∑

∆ 2

1

2

1

(6)

( )

( )

ax y x x y

n x x

ny b x

i i i i i

i i

i i

=−

−

= −

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

2

22

1(7a)

( )b

n x y x y

n x x

i i i i

i i

=−

−

∑ ∑ ∑∑ ∑2

2 (7b)

1,5 % vom Messbereich; 0,1 % vom Mess-wert + 2 Digit). Auf manchen Geräten ist die“Genauigkeitsklasse” angegeben. Das ist diemaximale Messabweichung in % vom End-wert des Messbereichs bzw. vom Wert derMaßverkörperung. Bei einer Genauigkeits-klasse von 1,5 und einem Messbereich von30V beträgt die Garantiefehlergrenze∆U = (1,5 % von 30 V) = 0,45 V.

2.3 Angabe einer geschätzten oberenFehlergrenze als Messunsicherheit

Liegen keine Angaben vor, so ist die Mess-unsicherheit zu schätzen:- Faustregel beim Ablesen von Skalen: ∆x =

(0,5 ... 1) Skalenteil- Längenmessungen mit einem Messschieber

(Noniusablesung): ∆l = 0,1 mm- Messung einer Schwingungsdauer T an-

hand von 20 Schwingungen: ∆(20T) = 0,2s. Für ∆T ergibt sich dann ∆T = 0,01 s.

- Die Messunsicherheit bei digital anzei-genden Messgeräten beträgt mindestens 1Digit (Digitalisierungsfehler), ist abermeist größer.

3 Anpassung einer Funktion an eineMessreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Mess-größen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher Zusammenhang ver-mutet.

Beispiel:Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + α@l0@∆T, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffi-zient, l0 die Länge bei der Temperaturdiffe-renz ∆T=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter a

und b. Grundsätzlich können a und b durchMessung von zwei Wertepaaren (x, y) be-stimmt werden. Meist wird jedoch eine ganzeMessreihe mit n Wertepaaren (xi, yi) (i = 1 ...n) aufgenommen, um zunächst den linearenZusammenhang nachzuweisen, ehe a und bermittelt werden.Werden die Messwerte graphisch dargestellt,so streuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichung umeine ausgleichende Gerade. Die Aufgabebesteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ an die Messpunkte angepasst ist.(Es wird vereinfachend angenommen, dassnur die yi fehlerbehaftet sind.)Der Abstand eines Messpunktes von derGeraden in y-Richtung ist ∆y = yi - y(xi) = yi -(a+bxi).Nach der GAUßschen Methode der kleinstenQuadrate ist für die am besten angepassteGerade die Summe der Abstandsquadrateminimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind alsodie partiellen Ableitungen MF/Ma = 0 undMF/Mb = 0 zu setzen. Dies führt zu demErgebnis

wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen.Die durch (5) und (7) bestimmte Gerade heißtRegressionsgerade oder Ausgleichsgerade.


8

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

yy

xx

y

xx

y

xx

yy

xx

nn

ii

i

n

= + + +

==

∑

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

11

22

1

...

.

(9)

( )s

y

n

x

n x xa

i i

i i

2

2 2

222

=− −

∑ ∑∑ ∑

∆(8a)

( )s

y

n

n

n x xb

i

i i

2

2

222

=− −

∑∑ ∑

∆. (8b)

Als Messunsicherheiten der Parameter a undb werden die entsprechenden Standardabwei-chungen verwendet, sofern die systemati-schen Messabweichungen gegenüber denzufälligen vernachlässigbar sind: ∆a = sa und ∆b = sb mit

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die GAUßsche Methodeder kleinsten Quadrate (6) nicht nur auf einelineare Funktion (5), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: non-linear curve fit bzw. Freie An-passung)Einige Funktionen können durch Transfor-mation bequem in eine lineare Funktionüberführt werden. In solchen Fällen kann dielineare Regression mit der transformiertenFunktion durchgeführt werden.

Beispiel:Beim Durchgang radioaktiver Strahlungdurch Materie der Dicke d gilt für die Intensi-tät I = I0@e

-µd. Der Schwächungskoeffizient µkann aus mehreren gemessenen Wertepaaren(I, d) durch lineare Regression entsprechend ln I = ln I0 - µ@d bestimmt werden.

3.3 Praktische Hinweise

Die Formeln (7) und (8) muss man sich nichteinprägen, dafür gibt es Software. Es istausreichend, das Regressionsverfahren grund-sätzlich und die Bedeutung der Parameter a,

b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich schon mit vielenTaschenrechnern durchführen. Dabei sind dien Wertepaare (xi, yi) einzugeben, danachkönnen die Werte a, b, n, Σxi, Σyi etc. abge-rufen werden. Die Standardabweichungen sa

und sb werden in der Regel nur vonComputerprogrammen berechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrech-nung, Anpassung und Fit (englisch) synonymverwendet.Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggraphisch (mit Bleistift auf Millimeterpapier)vor. Dabei wird die Regressionsgerade miteinem durchsichtigen Lineal „nach Augen-maß“ eingezeichnet, a und b werden abgele-sen und ihre Unsicherheiten geschätzt.

4 Messunsicherheiten für Messergeb-nisse (Fehlerfortpflanzung)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denMessunsicherheiten ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn zuberechnen ist. Wie groß ist dann die Mess-unsicherheit ∆y des Messergebnisses?

4.1 Größtfehlergleichung

Für kleine Messunsicherheiten ∆xi kann mandie Unsicherheit des Messergebnisses alstotales Differential von y berechnen:

Dabei ist My/Mxi die partielle Ableitung von ynach der Messgröße xi. Bei dieser Art der Berechnung wird ange-nommen, dass sich die Einflüsse aller Mess-unsicherheiten auf die Unsicherheit des


9

∆ ∆yyx

xi

ii

n

=

=

∑∂∂

2

2

1

. (10)

∆ ∆ ∆y

yn

x

xm

x

x= +

1

1

2

2

(15)

∆ ∆ ∆y

yn

x

xm

x

x=

+

2 1

1

2

2 2

2

2

. (16)

y y y y± ∆ ∆und , (17)

y c x c x= +1 1 2 2 (11)

∆ ∆ ∆y c x c x= +1 1 2 2(12)

∆ ∆ ∆y c x c x= +12

12

22

22 . (13)

y c x xn m= ⋅ ⋅1 2(14)

Ergebnisses addieren - es ergibt sich diemaximale Messunsicherheit ∆y (“Größt-fehler”).

4.2 GAUßsches Fehlerfortpflanzungsge-setz

Wenn die Einzelmessungen voneinanderstatistisch unabhängig sind, kann man erwar-ten, dass sich die Einflüsse der Einzel-Mess-unsicherheiten auf die Unsicherheit desErgebnisses teilweise gegenseitig aufheben.Die mathematische Behandlung dieses Pro-blems nach C. F. GAUß ergibt

Dies ist die wahrscheinliche Messunsi-cherheit (“Gaußfehler”).In der Regel ist die Messunsicherheit desErgebnisses nach (10) zu berechnen. Nurwenn die statistische Unabhängigkeit derEinzelmessungen nicht gesichert ist, ist dieGrößtfehlergleichung (9) zu verwenden.

4.3 Besonders einfache Fälle

Oft besitzt die Gleichung y = f(x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur, dann lässt sichdie Messunsicherheit des Ergebnisses ∆yohne großen Rechenaufwand ermitteln:Für

(c1, c2 Konstanten) ergibt sich durch Ein-setzen in (9) bzw. (10) der Größtfehler

bzw. der Gaußfehler

Für

(c reelle und n, m ganzzahlige Konstanten)ergibt sich aus (9) bzw. (10) der relativeGrößtfehler

bzw. der relative Gaußfehler

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 @ t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen und die Beschleunigung a ist zuberechnen:

ast

aa

ss

tt

= ⋅ =

+ ⋅

2 22

2 2

, .∆ ∆ ∆

5 Angabe der Messergebnisse mit ihrenMessunsicherheiten

Es ist immer das vollständige Messergebnisanzugeben:

wobei die Messunsicherheit ∆y nur ein oderzwei zählende (signifikante) Ziffern habendarf. Entsprechend ist die Zahl der Ziffern fürdas Messergebnis y zu wählen.

Beispiele:

y = (531,4 ± 2,3) mm; ∆y/y = 0,43 %

U = (20,00 ± 0,15) V; ∆U/U = 0,12 %

R = 2,145 kΩ ± 0,043 kΩ; ∆R/R = 2,0 %

Grundpraktikum I M 17 Statistische Auswertung

10

F h f Tk ii

k

ii

k

= == =

∑ ∑1 1

∆ (6)

Abb. 1: Empirische Häufigkeitsverteilung(Histogramm)

( )σ

µ=

−∑ T

ni

2

. (1)

( )s

T T

ni

=−

−

∑2

1. (2)

hnnk

k= . (3)

.k kk

h nf

T n T= =

∆ ⋅∆(4)

H nk ii

k

==

∑1

(5)

1 Aufgabenstellung

Die Schwingungsdauer eines Fadenpendelsist 300 mal zu messen. Aus dieser Messreihesind die empirische und die theoretischeVerteilung der Messwerte zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Wird die Schwingungsdauer T einesFadenpendels n mal gemessen, so streuendie Messwerte Ti (i = 1…n) auf Grund vonzufälligen Fehlern um den wahren Wert µ(statistisch: Erwartungswert).Als Maß für diese Streuung wird die Stan-dardabweichung σ definiert:

Da im Allgemeinen der wahre Wert µ einerMessgröße weder bekannt noch exakt be-stimmbar ist, wird als Näherung für dieseGröße das arithmetische Mittel T& eingeführt.Mit dieser Näherung ergibt sich dann für dieempirische Standardabweichung s der Einzel-messung:

Für die Ermittlung der empirischen Ver-teilung werden die Messwerte in Klassen mitder Klassenbreite ∆T zusammengefasst undabgezählt. Ist nk die Anzahl der Messwerte inder k-ten Klasse, so ist die relative Häufigkeithk

Sie gibt an, wieviel Prozent der Messwertesich in der k-ten Klasse befinden. Da dierelative Häufigkeit und somit auch der Ver-

gleich mit anderen (z.B. theoretischen)Verteilungen von der (willkürlich) gewähltenKlassenbreite abhängt, wird die relativeHäufigkeit pro Klassenbreite fk eingeführt:

Diese relative Häufigkeit pro Klassenbreite fk

ist die empirische Verteilungsdichte undwird in Abhängigkeit von der Messgröße Tals Histogramm (Treppenkurve) graphischdargestellt (Abb. 1).Unter der absoluten Summenhäufigkeit Hk

versteht man die Gesamtzahl der Messwerte,die sich in den Klassen 1 bis k befinden.Unter der relativen Summenhäufigkeit Fk

versteht man, wieviel Prozent der gesamtenMesswerte in den ersten k Klassen liegen.

Vergrößert man dem Umfang der Messreihen, so steigt auch die Anzahl nk der Messwertein einer Klasse. Dabei nähert sich die relativeHäufigkeit hk mit wachsendem n einemGrenzwert, der statistische Wahrscheinlich-

Statistische Auswertung M 17


11

f TdF T

dT( )

( )= (7)

F T f t t

T

( ) ( ) .=−∞

∫ d (8)

P T T f t dtT

T

( , ) ( ) .1 2

1

2

= ∫ (9)

( )

f Ts

e

T T

s( ) .= ⋅−

−1

2

2

22

π(10)

( )s

s

n

T T

n n

i′ = =

−

−

∑2

1( )(11)

Abb. 2: GAUSSsche Normalverteilung

keit. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlich-keit ein Messwert T in der k-ten Klasseangetroffen wird, bzw. wieviel Prozent dergesamten Messwerte auf die k-te Klasseentfallen.Verfeinert man zusätzlich die Klassenein-teilung (n 6 4 und ∆T 6 0), so gelangt manzur theoretischen Verteilung der stetigenMessgröße T. Die dazugehörige Verteilungs-dichte ist f(T):

und F(T) ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass ein Messwert kleiner als T auftritt:

Die theoretische Verteilungsdichte f(T) isteine Wahrscheinlichkeitsdichte und ent-spricht der relativen Häufigkeit pro Klassen-breite fk (sie ist deren Grenzwert für n 6 4).Die Größe F(T) heißt auch Verteilungs-funktion, sie entspricht der relativen Sum-menhäufigkeit Fk.Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreteneines Messwertes im Intervall T1 # T # T2

ergibt sich zu:

Dieser Wert entspricht der relativen Häufig-keit hk in diesem Intervall (er ist dessenGrenzwert für n 6 4).Nimmt man an, dass die stetige Messgröße Tnur zufällige Fehler aufweist, so ist T normal-verteilt. Die Verteilungsdichte (Wahrschein-lichkeitsdichte) dieser Normalverteilung istnach GAUSS:

Die graphische Darstellung dieser Normal-verteilungsdichte f(T) ist die GAUSSsche

Glockenkurve (Abb. 2).Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreteneines Messwertes in einem Intervall (T1, T2)ist proportional dem Flächeninhalt, der durch(9) bestimmt wird (Abb.2).

Im Intervall liegen 68,3 %T s T T s− ≤ ≤ +der Gesamtfläche unter der Glockenkurve,d.h. 68,3 % aller Messwerte liegen in diesemIntervall, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einenMesswert in diesem Intervall anzutreffen, ist68,3 %.

Im Intervall liegenT s T T s− ≤ ≤ +2 2

95,5 % und im Intervall T s T T s− ≤ ≤ +3 3liegen 99,7 % aller Messwerte.

Werden aus einer normalverteilten Grund-gesamtheit mit dem Erwartungswert T undder Standardabweichung s viele Stichprobenvom Umfang n entnommen, so sind dieMittelwerte dieser Stichproben ebenfallsnormalverteilt, und zwar mit dem gleichenErwartungswert T und mit der Standard-abweichung s´ des Mittelwertes:

Diese Standardabweichung des Mittelwerteswird häufig als Messunsicherheit für solcheMesswerte gewählt, bei denen nur zufälligeFehler auftreten.


12

ϕπ

( )x ex

=−1

2

2

2 (12)

xT T

s=

− (13)

f tx

s( )

( ).=

ϕ(14)

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenpendel- Computer mit Software Origin


Die Schwingungsdauer T des Fadenpendelswird 300 mal einzeln gemessen. Dabei istdarauf zu achten, dass das Pendel nicht mehrals 6° ausgelenkt wird, damit die Schwin-gungsdauer unabhängig von der Amplitudeist. Um unterschiedliche, subjektive systema-tische Fehler zu vermeiden, sollten die Mes-sungen nur von einem Studenten durch-geführt werden.Als Stoppuhr dient der Computer mit derDatenanalyse-Software Origin. Starten Siehierzu das Icon „Stoppuhr“ auf der Windows-oberfläche. Die gestoppten Zeiten werdenautomatisch in das Programm übernommenund stehen dort für die Auswertung zurVerfügung. Eine Kurzanleitung gibt dasStoppuhr-Worksheet, für weitere Hilfe nutzenSie die Online-Hilfe zu Origin oder fragenSie den zuständigen Assistenten.

5 Auswertung

Der Mittelwert T& und die empirische Stan-dardabweichung s nach (2) werden berechnet(in Origin z.B. mittels 'Spaltenstatistik'). DieMesswerte werden in etwa 10…20 Klassenzusammengefasst. Die Klassenbreite ∆T istentsprechend zu wählen.

Wenn die weitere Auswertung nicht imPraktikum erfolgt, ist die Arbeitsmappe mit

den klassierten Daten auszudrucken. Die 300Messwerte sollen nicht ausgedruckt werden!

Die empirische Verteilungsdichte fk wird nach(4) ermittelt und in Abhängigkeit von T alsTreppenkurve oder Säulendiagramm (vgl.Abb.1) graphisch dargestellt.Die Berechnung der theoretischen Vertei-lungsdichte f(T) an den Klassenmittelwertennach Gl. (10) soll ebenfalls mit Origin erfol-gen. Zur Berechnung ohne Computer-Hilfedient die Tabelle der normierten Normalver-teilung. Die Normierung besteht darin, dassfür die Streuung σ = 1 und für den Erwar-tungswert µ = 0 gesetzt wird. Somit ist dieVerteilungsdichte der normierten Normalver-teilung:

Mit Hilfe der Transformation:

und den tabellierten Werten von n(x) ergebensich die Funktionswerte für die theoretischeVerteilungsdichte f(T) aus:

Die Funktion f(T) wird in Abhängigkeit von Tin die gleiche graphische Darstellung wie dieempirische Verteilungsdichte fk als Kurveeingezeichnet und mit dieser verglichen.

Der Standardfehler des Mittel-∆ T s= 'wertes wird nach (11) berechnet. Es ist zubestimmen, wieviel Prozent der Messwerte

innerhalb der Intervalle sowie T s± T s± ′(Vertrauensbereich) liegen.

Grundpraktikum I W 1 Lineare Ausdehnung

13

( )[ ]( )[ ]

l l T T

l l T T

1 0 1 0

2 0 2 0

1

1

= + −

= + −

α

α(2)

l lT TT T2 1

2 0

1 0

11

=+ −

+ −

αα

( )( )

. (3)

∆ l l T T0 0 0= −α ( ) (1)

( )[ ]l l T T2 1 2 11= + −α , (4)

∆ ∆l l T= ⋅ ⋅1 α . (5)

1 Aufgabenstellung

Der lineare Ausdehnungskoeffizient zweierunbekannter Materialien ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

In Festkörpern und Flüssigkeiten führen dieTeilchen (Atome bzw. Moleküle) temperatur-abhängige Schwingungen aus. Wegen derunsymmetrischen Potentialkurve der zwi-schenatomaren Bindung werden die mittlerenAtomabstände mit zunehmender Schwin-gungsamplitude größer. Das äußert sich ineiner Volumenausdehnung, in festen Körpernauch in einer Längenausdehnung. Diese ist inhomogenen und isotropen Festkörpern (Me-tall, Polymere, Glas) in alle Richtungengleich groß.Bei der Erwärmung bzw. Abkühlung einesStabes ändert sich seine Länge mit der Tem-peratur T. Ist l0 die Länge des Stabes bei derTemperatur T0 = 0EC, so ist die Längen-änderung ∆l0 = l - l0

Dabei ist α der lineare Ausdehnungskoeffi-zient (SI-Einheit: 1/K), eine Materialgröße,die für das verwendete Metallrohr im Bereichvon 0EC bis 100EC nur geringfügig von derTemperatur abhängt. Ist l1 die Länge bei derTemperatur T1 und l2 die Länge bei derTemperatur T2, so ergibt sich:

und damit

Da α sehr klein ist, kann näherungsweise für

(3) gesetzt werden:

bzw. mit ∆l = l2 - l1

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Messuhr- Bandmaß- Halterung mit zwei eingespannten Rohren- Umwälzthermostat

3.1 Die Rohre sind einseitig eingespannt. ImAbstand l1 von der Einspannung drückt jedesRohr gegen den Stift einer Messuhr, so dassdie Längenänderung ∆l mit einer Genauigkeitvon 1/100 mm gemessen werden kann. DieTemperaturveränderungen werden mit Hilfeeines Thermostaten erzeugt, der das tempe-riertes Wasser durch die Rohre pumpt.


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegendeKurzanleitung zum Thermostaten. SchaltenSie zu Beginn auf keinen Fall die Thermostat-heizung ein, das Wasserbad benötigt viel Zeitum wieder abzukühlen!

Der Thermostat wird ohne Heizung (vor-gewählte Temperatur unterhalb der Raum-temperatur) in Betrieb genommen, damit dieRohre die Temperatur annehmen, die dasThermometer am Thermostaten anzeigt.Diese Temperatur wird abgelesen und dieMessuhr auf Null gestellt.Die Längen l1 zwischen der Einspannung undder Stirnseite der Rohre ist mit dem Bandmaßzu messen.

Lineare Ausdehnung W 1

Grundpraktikum I W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters

14

cCm

Qm T

= =∆

. (1)

Q U I t= ⋅ ⋅ , (3)

( )Q C T T m c T= ⋅ − = ⋅ ⋅2 1 ∆ (2)

Danach ist am Thermostat eine Temperatureinzustellen, die um ca. 10 K höher liegt alsdie Ausgangstemperatur. Etwa 5 min nachErreichen der Solltemperatur werden dieTemperatur T und die dazugehörigen Län-genänderungen ∆l abgelesen.Die Temperatur wird in Schritten von ca.10 K weiter erhöht; dabei sind jeweils dieTemperatur und die Längenänderungen ingleicher Weise zu messen, bis eine Tempera-tur von ca. 80EC erreicht ist.

Während der gesamten Messungen müssenErschütterungen vermieden werden!

5 Auswertung

Entsprechend der Gleichung (5) ist die Län-genänderung ∆l in Abhängigkeit von derTemperatur T graphisch darzustellen. DerAnstieg der Kurve ist durch lineare Regressi-on zu ermitteln. Aus dem Anstieg ist derlineare Ausdehnungskoeffizient α zu be-rechnen.Anhand des Ausdehnungskoeffizienten istdas Material der Rohre zu bestimmen.

1 Aufgabenstellung

Die Wärmekapazität eines Kalorimeters (sein“Wasserwert”) ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ∆T. Diespezifische Wärme c ist die Wärmekapazitätpro Masseneinheit:

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ∆T zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.

Die Messung der spezifischen Wärme vonFlüssigkeiten und festen Körpern geschieht inder Regel in einem (Flüssigkeits-)Kalori-meter. Ein Kalorimeter ist einfach ein gut

wärmeisoliertes Gefäß, das dem Idealfalleines adiabatischen Systems möglichst nahekommen soll. Bei der Messung muss berück-sichtigt werden, dass auch das Kalorimeterge-fäß selbst eine gewisse Wärmemenge auf-nimmt, wenn sich seine Temperatur ändert.Die Wärmekapazität eines Kalorimetergefä-ßes nennt man auch seinen Wasserwert.

Im durchzuführenden Versuch befindet sichin einem Kalorimeter mit der WärmekapazitätCK Wasser der Masse m und der bekanntenspezifischen Wärmekapazität c. Durch eineelektrische Heizung im Kalorimeter kanndem Wasser definiert Wärme zugeführtwerden.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tem-peratur T1. Wird die Heizung eingeschaltet, sowerden Kalorimeter und Wasser bis zurTemperatur T2 erwärmt. Dabei ist die von derHeizung in der Zeit t abgegebene Wärme-menge Q

wobei U die Spannung und I die Stromstärkesind. Die vom Wasser aufgenommene Wär-memenge QW und die vom Kalorimeter

Wärmekapazität eines Kalorimeters W 4


15

Abb. 1: Schaltbild des Versuchsaufbaus

CU I tT T

m cK W W=⋅ ⋅−

− ⋅2 1

. (5)

( ) ( )Q Q Q

m c C T T U I t

W K

W W K

+ =

⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅2 1 .(4)

aufgenommene Wärmemenge QK sind nachder Energieerhaltung gleich Q:

Daraus ergibt sich für die Wärmekapazitätdes Kalorimeters zu

3 Versuchsaufbau

3.0 GeräteKalorimeter mit elektrischer Heizung Digitalthermometer (∆T = 0,01 K)Waage (∆m = 0,1 g)StoppuhrMagnetrührer mit 1 MagnetrührstäbchenStromversorgungsgerät (Gleichspannung)Vielfachmessgeräte SchalterVerbindungskabel

3.1 Es gibt zwei verschiedene Typen vonKalorimetern: ein kleineres aus grauem PVCund ein größeres aus Aluminium. Beidebestehen aus einem inneren Gefäß aus Alumi-nium, das gegenüber dem äußeren Gefäßwärmeisoliert ist, sowie dem Deckel.Das Schaltbild für den Anschluss der Hei-zung ist in Abb. 1 gezeigt.


Die Masse des inneren KalorimetergefäßesmK ist zu bestimmen. Das Gefäß ist mit etwa

300 ml Wasser (kleines Kalorimeter) bzw.500 ml Wasser (großes Kalorimeter) zufüllen. Die Wassertemperatur soll zu Ver-suchsbeginn etwa gleich der Raumtemperatursein; zu kaltes Wasser kann später (vor demeigentlichen Versuch) mit der Kalorimeter-heizung noch etwas erwärmt werden. DieWassermasse m ist mit der Waage zu be-stimmen.Die elektrische Schaltung wird entsprechendAbb. 2 aufgebaut. Die Schaltung ist einemAssistenten vor Inbetriebnahme vorzuführen!

Der Rührer muss während des gesamtenExperiments laufen. Die Heizung wird zurProbe eingeschaltet. Es ist ein Heizungsstromvon 2,0 A für das kleine Kalorimeter bzw.2,6 A für das große Kalorimeter einzustellen;anschließend wird der Strom mit dem Schal-ter ausgeschaltet. Das Stromversorgungsgerätbleibt eingeschaltet, Strom- und Spannungs-regler unverändert.Die Temperatur im Kalorimeter und dieRaumtemperatur sind zu notieren. Die Diffe-renz sollte kleiner als 2 K sein.

Die Temperaturmessung muss ab jetzt miteiner Auflösung von 0,01 K erfolgen. Wennerforderlich, ist am Thermometer der ent-sprechende Messbereich zu wählen.Die Temperatur wird bei laufendem Rührerund ausgeschalteter Heizung etwa eineMinute lang beobachtet und ihr Wert T1 wirdnotiert. Nun wird die Stoppuhr gestartet unddie Heizung für eine Dauer von 4 Minuteneingeschaltet. Strom und Spannung werdenaller 30 s notiert. Einige Sekunden nach demAusschalten der Heizung wird die Tempera-tur konstant. Notieren Sie diesen Wert als T2.Beobachten Sie die Temperatur noch minde-stens eine Minute lang. Falls sie sich (sehrlangsam) ändert, kann daraus der systemati-sche Fehler abgeschätzt werden, der durchden unvollständigen adiabatischen Abschlussdes Kalorimetergefäßes entsteht.

Nach Beendigung des Versuches ist dasKalorimeter auszuleeren und zum Trocknenoffen stehen zu lassen!


16

5 Versuchsauswertung

Berechnen Sie die Wärmekapazität desKalorimeters CK und deren Messunsicherheitnach Gleichung (5). Es ist sowohl die absolu-te als auch die relative Unsicherheit an-zugeben.

Für die Einschätzung der Messunsicherheit ist

es günstig, die beiden Terme undU I tT T

⋅ ⋅−2 1

sowie deren Unsicherheit zunächstm cW W⋅

getrennt zu berechnen. Die Temperaturdiffe-renz T2 - T1 kann zur Vereinfachung derFehlerrechnung als eine Messgröße ∆T mitder Messunsicherheit ∆(∆T) betrachtet wer-den.Die spezifische Wärmekapazität des Wassersbeträgt 4187 J kg-1 K-1.

Grundpraktikum II M 2 Dichtebestimmung

17

ρ =m

V. (1)

F m g V gA M M= ⋅ = ⋅ ⋅ρ . (2)

ρρ ρ

=−

−

m m

m m

W L**

**

*

*. (7)

m g V g m g V gL N N L⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ρ ρ (3)

m m L

L N

* //

.= ⋅−

−

11

ρ ρρ ρ

(5)

m m** W

L N

= ⋅−

−

1

1

ρ ρ

ρ ρ

/

/. (6)

m mNL N

L

= ⋅−

−

11

ρ ρρ ρ

//

. (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte von drei Probekörpern istnach der Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.2 Die Dichte von Ethanol ist mit Hilfeeines Pyknometers zu bestimmen.

1.3 Die Dichten von Ethanol und NaCl-Lösung sind mit der Dichtewaage nach Mohr-Westphal und mit dem Aräometer zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V :

2.0 AnalysenwaageDie Bestimmung der Masse zählt zu dengenauesten Messverfahren der Physik. Mitden Analysenwaagen im Praktikum lassensich relative Genauigkeiten bis zu 10-6 erzie-len. Bei solchen Präzisionsmessungen mussder Auftrieb in Luft berücksichtigt werden.Jeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich derGewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (ARCHIMEDESsches Prinzip):

Dabei sind mM und ρM Masse bzw. Dichte desvom Körper verdrängte Mediums, V seinVolumen und g = 9,81 ms-2 die Fallbeschleu-nigung. Bei einer Analysenwaage (Balkenwaage)wirkt der Auftrieb in Luft der Dichte ρL so-wohl auf den zu wiegenden Körper (Masse m,Dichte ρ) als auch auf die Wägestücke (MassemN, Dichte ρN). Im Kräftegleichgewicht ist

bzw. mit V = m/ρ und VN = mN /ρN

Diese Formel für die Korrektur des Luftauf-triebs gilt auch für moderne elektronischeAnalysenwaagen. Hier werden zwar bei derWägung keine Gewichtstücke mehr benutzt,jedoch wird die Anzeige der Waage (ent-spricht mN) mit Hilfe von Normalgewicht-stücken mit der standardisierten Dichte vonρN = 8000 kg/m3 geeicht bzw. justiert.

2.1 Auftriebsmethode Mit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativeinfach die Dichte eines Körpers mit unbe-kanntem Volumen V bestimmen. Dazu wirdder Körper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen.m* bezeichne den Anzeigewert der Waage beiWägung in Luft. Nach (4) ist

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m**:

(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt:

2.2 PyknometerEin Pyknometer ist ein Gefäß, mit dem einFlüssigkeitsvolumen sehr genau reproduzier-bar ist, da der durch die Krümmung derOberfläche verursachte Volumenfehler wegen

Dichtebestimmung M 2


18

Abb.1:

Pyknometer

ρ ~ ,1

VM

(13)

m m mL Py

L N

L W

L N2 1 2

1

111

* /

///

=−

−+

−

−

ρ ρ

ρ ρρ ρρ ρ

(9)

m m mL Py

L N

L

L N3 1 3

1

11

1* /

//

/=

−

−+

−

−

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ(10)

Abb.2: Mohr-Westphalsche Waage

m mL Py

L N1 1

1

1* /

/= ⋅

−

−

ρ ρ

ρ ρ(8)

mm

3

2

3

2

=ρρ

. (11)

( )ρ ρ ρ ρ=−

−⋅ − +

m m

m mW L L

3 1

2 1

* *

* *. (12)

des geringen Kapillarquerschnittes sehr kleinist (Abb.1). So kann man damit über eineMessung der Masse sehr einfach und genaudie Dichte von Flüssigkeiten bestimmen.Dabei erfolgt erst eine Messung mit Luft, umdie Leermasse m1 des Pyknometers zu erhal-ten:

Danach wird die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser der Masse m2 und dannseine Masse mit der Messflüssigkeit derMasse m3 bestimmt (m* ist jeweils Anzeigeder Waage):

Wegen des konstanten Pyknometervolumensist außerdem

Mit Hilfe der Gleichungen (8) bis (11) lässtsich ρ berechnen:

2.3 Mohr-Westphalsche WaageDie Mohr-Westphalsche Waage ist eineungleicharmige Hebelwaage. Der rechte

Hebelarm ist durch Kerben in 10 gleicheTeile geteilt. Am Ende des Hebelarmesbefindet sich ein Senkkörper mit sehr genaudefiniertem Volumen. Wird der Senkkörperin eine Flüssigkeit getaucht, erfährt er einenAuftrieb, der durch die Gewichtskraft ent-sprechend aufgelegter Reiter kompensiertwerden kann. Zur original Mohr-Westphal-schen Waage (Abb. 2) gehören große, mitt-lere und kleine Reiter, deren Gewichtskräftesich wie 100 : 10 : 1 verhalten. Die relativeDichte ergibt sich aus der Position der Reiterin den Kerben 1 bis 10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teileeingeteilten Waagebalken, zwei Reiter imVerhältnis 100 : 1 und ein zusätzlichesAnhängegewicht. Die Dichte kann direkt ander Stellung der Reiter abgelesen werden.

2.4 AräometerMit Hilfe eines Aräometers (Abb. 3) kannebenfalls die Dichte einer Flüssigkeit be-stimmt werden. Schwimmt das Aräometer inder Messflüssigkeit, ist die Gewichtskraft desAräometers FG gleich der Auftriebskraft FA.Nach (2) folgt für die Dichte der Messflüssig-keit

wobei VM das eingetauchte Volumen desAräometers ist. Die Skala, die sich am Aräo-meter befindet, zeigt unmittelbar die denEintauchtiefen entsprechende Dichte an.


19

Abb.3:

Aräometer

3 Versuchsaufbau

3.1 Geräte zu Aufgabe 1:1 Analysenwaage mit Dichtebestimmungs-

einrichtung (Tauchkorb, Brücke, Becher-glas)

3 Probekörper1 Pinzette1 Spritzflasche mit H2O dest.

3.2 Geräte zu Aufgabe 2:1 Analysenwaage1 Pyknometer1 Pipette1 Spritzflasche mit H2O dest. 1 Flasche mit Ethanol

3.3 Geräte zu Aufgabe 3:1 Dichtewaage mit Senkkörper1 Senkglas (ca. 130 ml)2 Standzylinder (100 cm3)2 Aräometer2 Flaschen mit Ethanol und NaCl-Lösung1 Thermometer


Hinweise zur Handhabung der elektronischenWaage werden vom zuständigen Assistentengegeben bzw. der Gerätebeschreibung ent-nommen!

4.1 Zur Bestimmung der Dichte festerKörper nach der Auftriebsmethode werdendie beiliegenden Probekörper zunächst inLuft gewogen (Bestimmung von m*). Danachwird das Becherglas mit Wasser auf dieBrücke gestellt, der Tauchkorb vorsichtig

eingehängt und die Waage auf Null abgegli-chen (mit Tariertaste T). Jetzt stellt man denProbekörper mit der Pinzette auf den Tauch-korb, so dass der Körper völlig im Wassereintaucht. Das Ablesen der Waage ergibt m**.Dies ist für alle Probekörper durchzuführen. Hinweis zur Fehlerbetrachtung: In Formel (6)ist nicht berücksichtigt, dass durch das Ein-tauchen des Probekörpers der Wasserspiegelim Becherglas steigt und somit ein geringerzusätzlicher Auftrieb an den Halterungen desTauchkorbes entsteht.

4.2 Zur Ermittlung der Flüssigkeitsdichte istdie Brücke mit dem Becherglas zu entfernen.Es werden die Leermasse des Pyknometers(m*

1), die Masse des Pyknometers mit destil-liertem Wasser (m*

2) und die Masse desPyknometers mit der Messflüssigkeit (m*

3)bestimmt.

4.3 Messung mit der Dichtewaage:Zunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nach-justiert. Verfahren Sie hierzu entsprechendder ausliegenden Bedienungsanleitung.Für die Bestimmung der Dichte der beidenFlüssigkeiten muss der Senkkörper voll-ständig in diese eingetaucht sein. VermeidenSie Luftbläschen sowie die Berührung derGefäßwand! Die Waage wird durch Ver-schieben der Reiter abgeglichen. Dabei bleibtfür Dichten < 1 g/cm3 das Anhängegewichteingehängt, für Dichten > 1 g/cm3 wird esausgehängt.Die Temperaturen der Messflüssigkeit sind zumessen.Bei der Dichtebestimmung mit dem Aräo-meter werden die Messflüssigkeiten in dieentsprechenden Standzylinder, in denen sichdie Aräometer befinden, gegossen und dieDichten abgelesen.

Die Messflüssigkeiten sind im Anschluss indie richtigen Behälter zurückzufüllen!

5 Auswertung

5.1 Die Dichte der Probekörper ist nach der

Grundpraktikum II M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten

20

Abb.1: Kohäsionskräfte und Oberflächen-energie von Flüssigkeitsmolekülen.

Gleichung (7) zu berechnen. Das Ergebnis istmit Tabellenwerten zu vergleichen. Umwelches Material könnte es sich bei denProbekörpern handeln?Die Dichte des Wassers kW für die Raum-temperatur wird einer Tabelle entnommen.Für die Dichte der Luft wird der bei Normal-druck geltende Wert kL = 0.0013 g/cm3

verwendet.

5.2 Die Dichte der Flüssigkeit ist nachGleichung (12) zu berechnen und mit demErgebnis der anderen Methoden sowie mitdem Tabellenwert zu vergleichen.

5.3 Die Dichten, die nach den zwei Metho-den ermittelt wurden, sind zu vergleichen.

Die Messunsicherheiten der verschiedenenMethoden zur Bestimmung der Dichte sindzu vergleichen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

Geschke, D.(Hrsg.): Physikalisches Prakti-kum. B.G. Teubner Stuttgart Leipzig 2001

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Methoden zur Bestimmung derDichte von festen Körpern und Flüssigkeitenkennen Sie?

7.2 Welchen Einfluss hat der Auftrieb inLuft auf Wägungen?

7.3 Erläutern Sie die Messmethode mit demPyknometer! Worauf ist dabei besonders zuachten?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Oberflächenspannung von ver-schiedenen Flüssigkeiten ist mit Hilfe derAbreißmethode zu bestimmen.

1.2 Die Oberflächenspannung ist mit Hilfeder Steighöhe in Kapillaren zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Oberflächenspannung:Jedes einzelne Molekül einer Flüssigkeitwirkt innerhalb eines gewissen kugelförmigenBereiches anziehend auf seine Nachbarmole-küle (Kohäsion). Ein Molekül im Inneren derFlüssigkeit übt nach allen Seiten gleicheanziehende Kräfte aus und wird von denumgebenden Molekülen ebenfalls gleich-mäßig angezogen, so dass die Resultierendedieser Kohäsionskräfte gleich Null ist. Befin

det sich das Molekül an der Oberfläche derFlüssigkeit, so werden die Kräfte nicht voll-ständig durch die Wechselwirkungskräfte mitdem angrenzenden Medium (Adhäsion)kompensiert (Abb.1). Es ergibt sich eineresultierende Kraft in das Innere der Flüssig-keit. Möchte man jetzt ein Molekül aus demInneren an die Oberfläche bringen, muss man

Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M 4


21

∆ ∆W A= ⋅σ . (1)

∆ ∆ ∆W A r h1 2= ⋅ = ⋅σ σ π . (2)

∆ ∆ ∆W m g h r h g h22= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅π ρ . (3)

hr g

=2σ

ρ. (4)

die nach innen wirkenden Kräfte überwinden.Ein Molekül an der Oberfläche besitzt des-halb eine höhere potentielle Energie. DieEnergie der Gesamtheit aller in der Oberflä-che sitzenden Moleküle ist der Größe derOberfläche proportional und kann als Ober-flächenenergie bezeichnet werden. Will mandie Oberfläche um ∆A vergrößern, muss mander Flüssigkeit Energie zuführen, also Arbeit∆W verrichten:

Dabei ist σ die Oberflächenspannung, einevon der Temperatur abhängige Materialgröße.Die SI-Einheit ist N/m. In der Natur ist jedesSystem bestrebt, den Zustand kleinster poten-tieller Energie zu erreichen. Die Oberflächeeines Flüssigkeitsvolumens wird daher immereinen möglichst kleinen Wert annehmen.

2.2 Kapillarität:An einer Grenzfläche zwischen zwei Medienüben auch die verschiedenartigen MoleküleAnziehungskräfte aufeinander aus. Im Gegen-satz zur Kohäsion bezeichnet man die Anzie-hungskraft zwischen den Molekülen ver-schiedener Stoffe als Adhäsion.Die Oberfläche eines Festkörpers wird voneiner Flüssigkeit benetzt, wenn die Adhä-sionskräfte größer sind als die Kohäsions-kräfte innerhalb der Flüssigkeit. Die Flüssig-keit versucht dann, sich möglichst weit aufder Oberfläche auszubreiten. Taucht man eineKapillare mit dem Innendurchmesser 2r ineine benetzende Flüssigkeit (z.B. Glas inWasser), so steigt diese in der Kapillare nachoben (Kapillaraszension im Gegensatz zurKapillardepression bei nicht benetzendenFlüssigkeiten). Das ist folgendermaßen zuerklären:Die Benetzung der Kapillarinnenwand führtzu einer Vergrößerung der freien Flüssigkeits-oberfläche und damit der Oberflächenenergie.Durch das Aufsteigen der Flüssigkeit imInneren der Kapillare wird die Größe derfreien Oberfläche wieder verringert, dafürerhöht sich aber die potentielle Energie. DerGleichgewichtszustand ist der Zustand mini-

maler Energie. Die Höhe der Flüssigkeits-säule im Gleichgewicht kann man deshalb mitfolgender Überlegung berechnen:Steigt die Flüssigkeit um den kleinen Betrag∆h, so verringert sich die freie Oberfläche umden Betrag 2πr∆h und damit nach (1) dieOberflächenenergie um

Dabei vergrößert sich die potentielle Energiedurch das Anheben der Flüssigkeit in derKapillare um

(∆m ist der Massenzuwachs und ρ die Dichteder Flüssigkeit in der Kapillare, g = 9,81 m/s2

die Fallbeschleunigung.)Im Energieminimum ist ∆W = ∆W2 !∆W1 = 0,daraus ergibt sich die Steighöhe h zu

Gl. (4) kann auch mit Hilfe des Gleichge-wichtes aus dem Druck durch die gekrümmteOberfläche und dem Schweredruck derFlüssigkeitssäule hergeleitet werden (sieheLiteraturangaben).

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:1 Federkraftmesser 50 mN1 Glasgefäß1 Messring2 KapillarenGefäße mit Flüssigkeiten1 höhenverstellbarer Tisch

3.1 Zur Messung der Oberflächenspannungnach der Abreißmethode wird ein Messringmit dem Durchmesser 2@r verwendet, derzunächst völlig in die Flüssigkeit eingetauchtund damit vollständig benetzt wird. Beimlangsamen Herausziehen aus der Flüssigkeitbildet sich am Ring ein zylindrischer Flüssig-keitsfilm mit dem Durchmesser 2@r und derHöhe ∆h. Da sich der Film sowohl an derInnen- als auch an der Außenfläche des


22

( )∆ ∆A r h= ⋅ ⋅ ⋅2 2 π . (5)

∆ ∆W F h= ⋅ . (6)

σπ

=⋅ ⋅

F

r4. (7)

Ringes bildet, ergibt sich die Vergrößerungder Flüssigkeitsoberfläche zu:

Die dafür erforderliche Arbeit ist:

Setzt man Gleichung (5) und (6) in (1) ein,erhält man:

Die Kraft F wird mit einem Federkraftmessergemessen.


4.1 Um Verunreinigungen auszuschließen,sollten Messring und Glasgefäß zu Beginnunter fließendem Wasser gründlich abgespültwerden.Der trockene Messring (evtl. Tropfen abtup-fen) wird an den Federkraftmesser angehängt.Der Federkraftmessers ist durch Verschiebendes Außenmantels auf Null (oder, falls nichtmöglich, auf einen ganzen Wert, z. B. 10 mN) zu stellen. Das mit der zu untersuchen-den Flüssigkeit gefüllte Glasgefäß wird aufden höhenverstellbaren Tisch gestellt. DurchAnheben der Tischfläche lässt man denMessring vollständig in die Flüssigkeiteintauchen.Zur Messung wird der Tisch langsam undohne Erschütterung abgesenkt und dabei dieAnzeige des Federkraftmessers beobachtet.Beim Abreißen der Verbindung zwischenFlüssigkeit und der Unterkante des Mess-ringes wird die Kraft F abgelesen. Die Mes-sung ist für jede Flüssigkeit 10 mal durch-zuführen. Beim Wechsel der Flüssigkeit sindGefäß und Bügel gründlich abzuspülen.

4.2 Die Kapillaren werden sorgfältig unterfließendem Wasser gespült und dann entleert(schräg halten und langsam auslaufen lassen,den Rest Wasser mit feuchtem Zellstoffaussaugen). Danach taucht man sie in dieMessflüssigkeit. Die Höhe der senkrechten

Flüssigkeitssäule über der äußeren Flüssig-keitsoberfläche wird mit einem Lineal gemes-sen. Die Messung wird mit beiden Kapillarenund mit jeder Flüssigkeit fünf mal durch-geführt. Der Innendurchmesser ist auf denKapillaren angegeben mit einer Genauigkeitvon 2∆r = 0,02 mm.

5 Auswertung

5.1 Aus den zehn Messwerten für die Kraftist jeweils der Mittelwert zu bilden und nachGleichung (7) die Oberflächenspannung σund die zugehörige Messunsicherheit zuberechnen. Der mittlere Radius des Mess-ringes beträgt r = ( 14,85 ± 0.05 ) mm.

5.2 Aus den Mittelwerten der gemessenenSteighöhen ist mit Hilfe von Gl. (4) jeweilsdie Oberflächenspannung einschließlich derstatistischen Messunsicherheit zu berechnen.(Die Dichte von Wasser und Seifenlösungbeträgt 1,0 g/cm3.)

Für beide Teilversuche ist eine Fehlerrech-nung durchzuführen. Vergleichen Sie alleErgebnisse miteinander!

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2001

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de GruyterBerlin NewYork 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Form nimmt ein Wassertropfenan, wenn keinerlei äußere Kräfte auf ihnwirken? Warum? Worauf beruht die „norma-le“ Tropfenform?

7.2 Wovon hängt die Steighöhe einer Flüs-sigkeit in einer Kapillare ab?

7.3 Was ist Benetzung, wovon hängt sie ab?

Grundpraktikum II M 6 Mathematisches und Physikalisches Pendel

23

M m g s= − ⋅ ⋅ ⋅ sin .ϕ (1)

J m g s⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ɺɺ sinϕ ϕ (3)

M J= ⋅ ɺɺϕ (2)

ɺɺϕ ϕ+⋅ ⋅

⋅ =m g s

J0 (4)

TJ

m g s=

⋅ ⋅2π . (5)

J m l s l= ⋅ =2 und . (6)

Tlg

= 2π . (7)

TJ

m g s

l

gr

=⋅ ⋅

=2 2π π . (8)

′ = ′ =T T l lr r, . (10)

Abb.1 a - c: Physikalisches Pendel

lJ

msr = . (9)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines Fadenpendels (mathematisches Pendel)zu bestimmen.

1.2 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines physikalischen Pendels zu bestimmen.

2 Physikalische Grundlagen

Ein physikalisches Pendel ist ein starrerKörper, der drehbar um eine Achse A , dienicht durch den Massenmittelpunkt (Schwer-punkt) geht, gelagert ist (Abb.1). Wird dasPendel aus der Gleichgewichtslage um denWinkel n ausgelenkt, so ergibt sich einrücktreibendes Drehmoment M:

Dabei bedeuten: m = Masse des Pendels, s =Abstand Schwerpunkt-Drehachse, g = Erdbe-schleunigung (9,81 m/s ² )Die Bewegungsgleichung des schwingendenPendels lautet:

wobei J das Trägheitsmoment des Pendels,bezogen auf die Drehachse A ist.Aus (1) und (2) folgt

und für kleine Winkel (n < 6°)

die Differenzialgleichung einer harmonischenSchwingung.Aus der Lösung dieser Differenzialgleichungergibt sich die Schwingungsdauer T :

Für ein mathematisches Pendel (ein Masse-punkt mit der Masse m hängt an einemmassenlosen Faden mit der Länge l ) ist

Die Schwingungsdauer des mathematischenPendels ist dann

Als reduzierte Pendellänge lr eines physika-lisches Pendels bezeichnet man die Pendel-länge eines mathematischen Pendels, das diegleiche Schwingungsdauer hat wie das ent-sprechende physikalische Pendel. Aus

ergibt sich

Lässt man das physikalische Pendel um eineDrehachse A' schwingen, die zur Achse Aparallel ist und von ihr den Abstand lr hat(siehe Abb.1b), so ergibt sich die gleicheSchwingungsdauer wie bei der Schwingungum A:

Beweis: J0 bezeichne das Trägheitsmoment

Mathematisches und Physikalisches Pendel M 6


24

lr c s

sr =+ + ⋅

⋅

3 12

12

2 2 2

. (11)

für die Drehachse durch den Schwerpunkt.

Nach dem Satz von STEINER ist J J ms= +02

und somit . Mit lJ

msJms

sr = = +0 l s sr = + ′

ergibt sich daraus (*).′ =sJ

ms0

Analog ist für die Schwingung um den Dreh-

punkt A' . Ersetzt man s' mit′ =′

+ ′lJ

mssr

0

(*), so wird .′ = + =lJ ms

m J

J

mslr r

0

0

0

Mit Hilfe der Gleichheit der Schwingungs-dauer ist eine experimentelle Bestimmung derreduzierten Pendellänge möglich. Hieraufbasiert das Reversionspendel, welches früherzur Präzisionsbestimmung von g benutztwurde.Bei bekannter Masseverteilung des physika-lischen Pendels kann die reduzierte Pendel-

länge mit aus (9) berechnetJ r m= ∫ 2d

werden. Für einen homogenen zylindrischenStab entsprechend Abb.1c ergibt sich:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenpendel(mathematisches Pendel)- physikalisches Pendel- Bandmaß- Messschieber- Stoppuhr

3.1 Das mathematische Pendel wird durchein Fadenpendel annähend realisiert. MitHilfe einer verschiebbaren Einspannungkönnen verschiedene Pendellängen eingestelltwerden. Die absolute Messung der Pendellän-ge ist wegen der räumlichen Ausdehnung derPendelkugel relativ ungenau, jedoch kann dierelative Änderung der Pendellänge mit Hilfeeiner Markierung an der Einspannung an

einem fest angebrachten Metalllineal sehrgenau abgelesen werden. Durch ein geeigne-tes Auswerteverfahren (siehe 5.2) kann damiteine hohe Genauigkeit bei der Bestimmungvon g erzielt werden.

3.2. Als physikalisches Pendel wird ein Stabmit kreisförmigen Querschnitt verwendet,dessen Drehachse durch eine verschiebbareSchneide gebildet wird. Die Stabmitte(Schwerpunkt) und die Lage der erstenDrehachse (A in Abb.1b) sind durch eineneingravierten Ring markiert. Die Massebeträgt ca. 3,5 kg.


4.1 Es werden mindestens fünf verschiedenePendellängen des Fadenpendels eingestellt,die entsprechenden Stellungen der Einspan-nung auf der Skale abgelesen und die da-zugehörigen Schwingungsdauern aus denZeiten für jeweils 20 Schwingungen ermittelt.Dabei dürfen die maximalen Amplituden 6°nicht überschreiten.

4.2. Die Schneide des physikalischen Pen-dels wird zunächst auf die äußere Ringmarkeeingestellt, der Abstand s0 zwischen Dreh-achse und Schwerpunkt (d. h. zwischenbeiden Ringmarken) bestimmt und die da-zugehörige Schwingungsdauer T0 aus der Zeitfür 50 Schwingungen ermittelt. Dann wird die Schneide auf der anderenHälfte des Stabes befestigt und die Schwin-gungsdauer T in Abhängigkeit von s gemes-sen; s wird dabei in 5 cm Schritten von 10 bis60 cm variiert. Zur Bestimmung von T wer-den die Zeiten für jeweils 20 Schwingungengestoppt; die maximalen Amplituden dürfennicht größer als 6° sein. Der Durchmesser 2r des Stabes wird mit demMessschieber gemessen und die Länge c(Abb.1c) mit dem Bandmaß.


25

( )Tg

l hE2

24= +

π. (12)

TJ m s

m g sc sg s

=+ ⋅

⋅ ⋅=

+⋅

2 202 2

π π (13)

5 Auswertung

5.1. Bezeichnet man den an der Einspannungabgelesenen Wert mit lE, so ist die Pendellän-ge l = lE + h, wobei h eine unbekannteKonstante ist. Mit Gl. (7) ist

Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung gwird das Quadrat der Schwingungsdauer inAbhängigkeit von lE graphisch dargestellt.Nach (12) ergibt dies eine Gerade mit demAnstieg 4π2/g. Dieser wird mittels linearerRegression ermittelt und daraus die Erd-beschleunigung g berechnet.

5.2. Die Schwingungsdauer T des physika-lischen Pendels wird in Abhängigkeit vomAbstand s zwischen Drehachse und Schwer-punkt grafisch dargestellt.Aus dieser Darstellung wird der Abstand s'ermittelt, bei dem T = T0 und s'… s0 ist. Diereduzierte Pendellänge ist dann: lr = s0 + s'.Die Erdbeschleunigung g wird mit Hilfe derGleichung (8) bestimmt (mit T =T0).Die reduzierte Pendellänge lr wird außerdemnach der Gleichung (11) berechnet, wobeis = s0 gesetzt wird. Mit diesem Wert für lr

wird ebenfalls g aus (8) bestimmt.

Vergleichen Sie die auf verschiedenen Wegenermittelten Werte der Erdbeschleunigung undderen Messunsicherheiten miteinander!

Zusatzaufgabe:Mit Hilfe des STEINERschen Satzes wird ausGleichung (5):

mit J0 dem Trägheitsmoment für s = 0 undc = J0/m einer Konstante. Bestimmen Sie g mit Hilfe von (13) durchnichtlineare Regression!

6 Literatur

Geschke, D.(Hrsg.): Physikalisches Prakti-kum. B.G. Teubner Stuttgart Leipzig 2001


Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de Gruyter Berlin NewYork 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Warum soll die Auslenkung des Pendelsnicht größer als 6° sein?

7.2 Wie wird das Trägheitsmoment einesstarren Körpers für eine beliebige Drehachseberechnet?

7.3 Wie ist ein Reversionspendel aufgebaut?

Grundpraktikum II M 9 Erzwungene Schwingungen

26

J y C y D y⋅ + ⋅ + ⋅ =ɺɺ ɺ 0 (1)

ɺɺ ɺy y y+ ⋅ ⋅ + ⋅ =2 002δ ω (2)

y n Ty n T

n Tn T T

e konstT

( )(( ) )

exp( )exp( ( ))

.

⋅

+ ⋅=

− ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ += =⋅

1

δδ

δ

(6)

δ

ω

ω π

= ⋅

=

=

C J

D J

T

/ ( ) ,

/ ,

/ .

2

202

0 0

(3)

δ ⋅ =⋅

+ ⋅

T

y n T

y n Tln

( )

(( ) )1(7)

ɺɺ ɺ sin( ) .y y y B t+ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ′ ⋅2 02δ ω ω (8)

y b e tt= ⋅ ⋅ ⋅− ⋅δ ωcos (4)

ω ω δ ω π202 2 2= − =, / .T (5)

y A t= ⋅ ′ ⋅ −sin( ) .ω ϕ (9)

AB2

2

02 2 2 2 24

=− ′ + ⋅ ⋅ ′( )

.ω ω δ ω

(10)

1 Aufgabenstellung

1.1 Für ein Drehpendel sind die Schwin-gungsdauer und die Dämpfungskonstante beizwei verschiedenen Dämpfungen zu be-stimmen.

1.2 Für diese beiden Dämpfungen sind dieAmplituden des Drehpendels in Abhängigkeitvon der Erregerfrequenz des Motors zuermitteln (Resonanzkurven).


2.1 Die Bewegungsgleichung für die ge-dämpfte Schwingung eines Drehpendelslautet:

bzw.

mit

Es bedeuten: Winkelbeschleunigung;ɺɺy =Winkelgeschwindigkeit; y = Auslenk-ɺy =

winkel; J = Trägheitsmoment des Dreh-pendels; C = Reibungskonstante; D = Direk-tionsmoment der Feder; δ = Dämpfungskon-stante; ω0 = Kreisfrequenz und T0 = Schwin-gungsdauer der ungedämpften Schwingung.Eine Lösung der Differentialgleichung (1) ist:

mit

T ist die Schwingungsdauer und ω die Kreis-frequenz der gedämpften Schwingung, b der

Maximalwert der Amplitude und t die Zeit.Das Verhältnis zweier aufeinander folgenderAmplituden ist konstant:

Der Ausdruck

heißt logarithmisches Dekrement; es charak-terisiert die Dämpfung.

2.2 Ein Drehpendel habe die Eigenfrequenzf0 . Wird dieses Drehpendel von einem Motormit einer veränderlichen Drehzahl (Frequenzf ') zum Mitschwingen angeregt (erzwungeneSchwingungen), so lautet die Bewegungsglei-chung für die erzwungene, gedämpfteSchwingung des Drehpendels

B@sin(ω'@t) ist die Schwingung des erregendenSystems (Gestänge am Motor) mit der Kreis-frequenz ω' = 2 π @ f '.Nach dem Abklingen eines Einschwing-vorganges schwingt das Drehpendel mit derErregerfrequenz f '. Für diesen Fall ist dieLösung der inhomogenen Differentialglei-chung (8)

Für die Amplitude A des Drehpendels gilt

Die Amplitude erreicht ein Maximum bei

man spricht von Resonanz. Bei kleiner

2 2 20 2 ,ω ω δ′ = − (11)

Erzwungene Schwingungen M 9

Grundpraktikum II M 9 Erzwungene Schwingungen

27

′ =′

fT1

. (12)

Dämpfung (δ n ω) ist also im Resonanzfalldie Erregerfrequenz ω' gleich der Eigen-frequenz ω0. Die Phasenverschiebung nzwischen den Schwingungen des Erreger-systems und des erregten Systems ist imResonanzfall n = 90°.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Drehpendelgerät nach R. W. Pohl- regelbare Spannungsquelle für Motor und

Dämpfungsmagnetspule- Multimeter, analog- Schalter- Stoppuhr- Verbindungsleitungen- Diktiergerät

3.1 Beim Drehpendelgerät nach R. W. Pohlist das Drehpendel über eine Feder und einGestänge mit dem Motor gekoppelt. EineKonstantspannungsquelle liefert die Betriebs-spannung (24 Volt) für den Motor; seineDrehzahl (Frequenz f ') wird durch zweiWiderstände (“grob” und “fein”) geregelt.Die Dämpfung des Drehpendels erfolgt durchWirbelströme, die mit Hilfe eines Elek-tromagneten erzeugt werden. Eine regelbareGleichspannungsquelle (ca. 0...5 V) liefertden Spulenstrom von maximal 1 A, der mitdem Multimeter gemessen wird.Die Umlaufdauer T' des Motors ist mit einerStoppuhr zu messen; die Frequenz f ' ergibtsich dann aus


4.1 Zu Beginn wird die SchwingungsdauerT0 des ungedämpften Pendels durch Messungder Zeit für mindestens 10 Schwingungenmöglichst genau bestimmt.Die regelbare Gleichspannungsquelle (0...5V) wird über das Multimeter mit der Dämp-

fungsmagnetspule verbunden, der Spulen-strom wird zunächst auf 250 mA eingestellt.Die Ruhelage des Zeigers am Drehpendel istauf Null zu bringen. Dann wird das Dreh-pendel aus seiner Ruhelage ausgelenkt undlosgelassen; die aufeinander folgenden Am-plituden A (in Skt) auf einer Seite sind ab-zulesen. Es ist empfehlenswert, die Mess-werte auf das Diktiergerät zu sprechen, da dieMessung sehr schnell vonstatten geht.Die Schwingungsdauer T1 ist durch Messungder Zeit für möglichst viele Schwingungen zubestimmen.Die Messung der Amplituden und derSchwingungsdauer T2 wird für den Spulen-strom 500 mA wiederholt.

4.2 Die Resonanzkurve soll ebenfalls für diebeiden Dämpfungen mit den Spulenströmen250 mA und 500 mA gemessen werden.Die Spannungsquelle ist auf 24 V einzustel-len und über einen Schalter mit dem Motor zuverbinden.Zur Aufnahme einer Resonanzkurve wird mitHilfe der Regelwiderstände “grob” und “fein”die Motorfrequenz f ' zwischen 0,1 Hz und 1Hz variiert. Für jede eingestellte Drehzahl istdie Umlaufzeit T' des Motors und die Am-plitude A des Drehpendels zu messen. ZurBestimmung dieser Amplituden muss manwarten, bis die jeweiligen Einschwingvorgän-ge abgeklungen sind. Die dafür mindestenserforderliche Zeit kann aus den Messungen zu4.1 abgeschätzt werden.In der Nähe der Resonanzfrequenz sollten dieMessungen in kleinen Schritten erfolgen.Für die kleinste Frequenz, für die größteFrequenz und für die Resonanzfrequenzwerden die jeweiligen Phasenwinkel zwi-schen dem Erregersystem (Motor) und demerregten System (Drehpendel) abgeschätzt.

5 Auswertung

5.1 Die bei verschiedener Dämpfung gemes-senen Schwingungsdauern und die Frequen-zen des Drehpendels und ihre Messunsi-

Grundpraktikum II M10 QUINCKE'scher Versuch

28

y ytT

x1 0 2= ⋅ −

sin π

λ(1)

y ytT

x2 0 2= ⋅ +

sin .π

λ(2)

y y y ytT

x= + =

1 2 02 2 2sin cos .π πλ

(3)

cherheiten sind anzugeben.Für die Dämpfung mit 250 mA und 500 mAsind die maximalen Auslenkungen A inAbhängigkeit von der Zeit t grafisch dar-zustellen. Die logarithmischen Dekrementeδ·T und die Dämpfungskonstanten δ sind zubestimmen.

5.2 Die Amplituden A des Drehpendelssind für beide Dämpfungen in Abhängigkeitvon der Erregerfrequenz f' des Motorsgrafisch darzustellen (Resonanzkurven). DiePhasenwinkel n zwischen erregtem System(Drehpendel) und erregendem System (Mo-tor) für die kleinste und die größte Frequenzsowie für die Resonanzfrequenz sind an-zugeben.

5.3 Zusatzaufgaben (für Interessierte):Das logarithmische Dekrement ist aus demAnstieg der Funktion lnA (t) zu ermitteln.Die Konstanten B, ω0 und δ sind durchnichtlineare Regression der Resonanzkurvenmit der Modellgleichung (10) zu bestimmen.

6 Literatur


Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de Gruyter Berlin NewYork 1990

Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik. SpringerVerlag 1989

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Resonanz, Dämpfung, Phasen-verschiebung?

7.2 Wovon hängen Höhe und Breite desResonanzmaximums ab?

7.3 Nennen Sie Beispiele für Resonanzphä-nomene (erwünschte und unerwünschte)!

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist zubestimmen.

1.2 Der Adiabatenkoeffizient von Luft ist zubestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Trifft eine ebene Schallwelle der Am-plitude y1

auf eine akustisch "harte" Grenzfläche (z.B.aus der Luft auf eine Wasseroberfläche), so

wird die Welle reflektiert. Es entsteht einezurücklaufende Welle y2:

Es bedeuten: y1, y2 = Auslenkung, y0 = Am-plitude, t = Zeit, T = Schwingungsdauer, x =Weg, λ = Wellenlänge.Diese Schallwellen überlagern sich unterAnwendung des Additionstheorems

zusin sin sin cosα βα β α β

+ =+ −

22 2

Die resultierende Welle ist eine stehendeWelle; an den Stellen x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ...

QUINCKE'scher Versuch M 10


29

Abb.1: Stehende Wellen in einer Luftsäule miteinem geschlossenen und einem offenen Ende[nach Hellenthal: Physik]

c f= ⋅ λ (5)

p p T

Tρ ρ= 0

0 0

. (7)

cp

=κ

ρ. (6)

ln

= ⋅+

λ2 1

4(4)

ist zu jeder Zeit y = 0. Die Luftteilchen sindalso an diesen Stellen immer in Ruhe, manspricht von Schwingungsknoten. Jeweils inder Mitte zwischen den Knoten befinden sichdie Stellen maximaler Auslenkung, dieSchwingungsbäuche. Bedeutung erlangen stehende Wellen z.B. beider Ausbildung von Eigenschwingungeneiner Luftsäule mit einem geschlossenen undeinem offenen Ende (gedackte Pfeife, Abb.1).Bei der vom geschlossenen Ende (harteGrenzfläche) her gebildeten stehenden Welletritt am Ende stets ein Knoten auf, da diereflektierte Welle gegenüber der einlaufendenum 180° phasenverschoben ist. Bei derReflexion am offenen Ende der Säule kommtes ebenfalls zur Ausbildung einer stehendenWelle, bei der an der Grenzfläche stets einSchwingungsbauch auftritt. Die von beidenEnden resultierenden stehenden Wellenüberlagern sich. Das Resultat ist wieder einestehende Welle, wenn die Resonanzbedin-gung erfüllt ist, d. h. wenn der Abstandzwischen den Enden gerade so groß ist, dassdie Knoten der beiden Wellen jeweils angleichen Orten entstehen. Wird, wie in einer Pfeife, die Luftsäule vonaußen her durch einen Luftstrom zum Mit-schwingen angeregt. so werden nur solcheSchallfrequenzen hörbar sein, für welche dieLänge l der Luftsäule gerade gleich dem(2n+1)/4 fachen der Wellenlänge λ ist.

Im QUINCKEschen Resonanzrohr wird da-gegen durch eine äußere Schallquelle eineWelle mit einer definierten Frequenz f in dieLuftsäule eingestrahlt. Durch Variation derLänge der Luftsäule können Resonanzzustän-de mit

eingestellt werden, bei denen die Luftsäulemit maximaler Amplitude schwingt. Damitkann die Wellenlänge λ und mit

die Ausbreitungsgeschwindigkeit c derSchallwelle in Luft bestimmt werden.

2.2 Die Ausbreitung einer Schallwelle inLuft ist ein adiabatischer Vorgang, da dieDruckänderungen in der Welle so schnell vorsich gehen, dass kein Wärmeausgleich mitder Umgebung erfolgen kann. Die Aus-breitungsgeschwindigkeit c des Schalls hängtdeshalb von der Dichte ρ, vom Druck p undvom Adiabatenkoeffizienten κ ab:

Der Adiabatenkoeffizient κ = cp/cV einesGases ist das Verhältnis der spezifischenWärmekapazitäten bei Prozessführung unterkonstantem Druck cp bzw. konstantem Volu-men cV. Es gilt stets cp > cV, da das Gaswährend der Erwärmung bei konstantemDruck zusätzlich Ausdehnungsarbeit leistenmuss. Der Wert des Adiabatenkoeffizientenhängt nach der kinetischen Gastheorie davonab, ob es sich um ein-, zwei- oder mehr-atomige Gase handelt.Betrachtet man Luft als ideales Gas, so hängtder Quotient p/ρ und damit die Schallge-schwindigkeit von der Temperatur ab:

Dabei bedeuten:T = Temperatur in Kρ0 = Dichte der Luft unter Normalbedingun-


30

Abb.2: QUINCKEsches Resonanzrohr

κρ

= 0 02

0

T c

p T. (8)

gen T0 und p0,ρ0 = 1,293 kg m-3 ; T0 = 273,15 K = 0°C ; p0 = 0,1013 MPa = 760 Torr.

Aus den Gleichungen (6) und (7) folgt für dieBestimmung von κ:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:

- QUINCKEsches Resonanzrohr mit Lautspre-cher und Hörschlauch

- Wechselspannungsgenerator

3.1 Der Lautsprecher ist mit dem Generatorverbunden, an dem die Frequenz f und dieLautstärke variiert werden können. In einemoffenen Glasrohr (Resonanzrohr nach QUIN-CKE) befindet sich Wasser, dessen Oberflächevertikal verschoben werden kann, so dasseine Luftsäule mit veränderlicher Längeentsteht (Abb.2).


Der Generator wird eingeschaltet und dieFrequenz auf f1 = 500 Hz eingestellt. Durch

vertikales Verschieben der Wasseroberflächewerden die Resonanzstellen aufgesucht.Dabei die Lautstärke so zu wählen, dass dieResonanzstellen in dem aus Schlauch undTrichter bestehenden Hörrohr deutlich wahr-nehmbar sind, jedoch unnötige Geräusch-belästigungen der Umgebung vermiedenwerden.Jede Resonanzstelle wird fünf mal aufgesuchtund die jeweilige Lage der Wasseroberflächean der Skale abgelesen. Es empfiehlt sich,den Wasserbehälter zunächst relativ schnellzu verschieben, und die so gefundenen Reso-nanzstellen danach durch langsameres Ver-schieben genau auszumessen.Die Messungen sind anschließend für f2 = 800Hz und f3 = 1000 Hz zu wiederholen.Die Raumtemperatur T ist zu ermitteln.Hinweis zur Einschätzung der Messunsi-cherheit: Die Genauigkeit der Generator-frequenz kann durch den Vergleich mit einerStimmgabel abgeschätzt werden. (Für dieStimmgabel ist ∆f /f = 0,1 %.)

5 Auswertung

5.1 Aus den jeweils fünf Einzelmessungender Resonanzstellen werden die Mittelwertegebildet. Für jede Frequenz werden die Orte der Reso-nanzstellen l in Abhängigkeit von derenNummer n graphisch dargestellt. Nach Glei-chung (4) liegen die Punkte auf einer Gera-den. Aus dem Anstieg der Geraden, der durchlineare Regression ermittelt wird, ist mitHilfe von Gleichung (5) die Schallgeschwin-digkeit zu berechnen.

5.2 Der Adiabatenkoeffizient κ ist anhanddes Mittelwertes für die Schallgeschwindig-keit, der absoluten Temperatur T sowie derWerte für T0, ρ0 und p0 nach Gleichung (8) zuerrechnen.

Grundpraktikum II M 13 Dehnung

31

Abb.1: Dehnung (Zug) und Scherung

σ =FA

. (1)

ε =∆ l

l0

. (2)

6 Literatur

Walcher, W.: Praktikum der Physik. Teubner,1989


7 Kontrollfragen

7.2 Unter welchen Voraussetzungen kommt

es bei der Interferenz zweier Wellen zu a)Auslöschung, b) Verstärkung, c) Ausbildungeiner stehenden Welle?

7.3 Wovon hängt die Schallgeschwindigkeitc in einem Gas ab?

7.4 Welche Bedeutung hat der Adiabatenko-effizient κ und wie wird seine Größe nach derkinetischen Gastheorie erklärt?

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zweiMetallen und von Polyamid (Perlon) durchDehnungsmessungen zu bestimmen.


Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpern istdie Elastizität. Ein Körper ist elastisch, wenner nach einer durch äußere Kräfte hervor-gerufenen Gestaltsänderung seine ursprüng-liche Gestalt wieder annimmt, sobald dieseKräfte wegfallen.Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oderDrillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Quer-schnittsfläche, an der die Kraft angreift:

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft Fsenkrecht auf der Fläche A (Abb.1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb.1 rechts). Normalspannun-gen können als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden, Tangentialspannungen als

Scher- oder Torsionsspannungen.Die relative Längenänderung ∆l/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nenntman Dehnung:

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.2) dargestellt. Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas HOOKEsche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-

Dehnung M 13


32

Abb.2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm(schematisch)

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetz2 Metall im Bereich (a) elastischer und (b)

plastischer Verformung3 Blutgefäß. (c) Verhalten nach Hookeschem

Gesetz, (d) Verfestigung

ε σ=1

E. (3)

chungen vom HOOKEschen Gesetz. BeiMetallen tritt meist eine irreversible Verformung auf (Plastizität). Bei biologischenMaterialien und bei Polymeren ist bei hohenSpannungen aufgrund des makromolekularenAufbaus oft eine Verfestigung zu beobachten.Das Überschreiten der Zerreißgrenze führtzum Materialbruch.Die meisten Polymere und viele Biomateria-lien (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reineselastisches sondern sogenanntes viskoelasti-sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannungsondern auch von der Zeit ab, wobei diemaximale Dehnung bei Wirkung einer kon-stanten Spannung asymptotisch erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Material-größe. Im Bereich der Gültigkeit des HOO-KEschen Gesetzes stellt sein Kehrwert denProportionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung ∆l/l0 eines Stabes und der anlie-genden mechanischen Spannung F/A dar:Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des HOOKEschen Gesetzes zu:

Mit der Längenausdehnung verbunden isteine Verringerung des Querschnitts, die mitHilfe der elastischen MaterialkonstantenPOISSONsche Querkontraktionszahl beschrie-ben werden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- Inbusschlüssel für die Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatureingehängt werden. Auf ihm ist eine Mess-marke befestigt, diese wird unter den Fühlerder Messuhr geklemmt. Dazu ist der Fühlervorsichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 gvorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass derMessbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht ∆l = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiedenen


33

Stellen mit der Mikrometerschraube be-stimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200g bis 2000g in 200g-Schritten)belastet und die zugehörigen Längenänderun-gen ∆l gemessen (∆l bezieht sich hierbeiimmer auf die Stellung der Messuhr imvorbelasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beideMatalldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens istwesentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr sondern miteinem Lineal, Zeichendreieck oder mit demBandmaß gemessen. Der Perlonfaden wirdeingehängt und mit 100 g vorbelastet. SeinDurchmesser wird an 5 verschiedenen Stellenmit der Mikrometerschraube und die Länge l0

mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfadenreißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mitSchaumstoff-Füllung unter die Apparatur,ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Der Abstand a zwischen der Messuhr-Halte-rung und der Messmarke ist mit einem Linealzu messen. Dieser Abstand entspricht ∆l=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) der Abstand a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Mas-sestücke kann man beobachten, dass dieLänge nicht sofort konstant ist, sondern,immer langsamer werdend, noch etwasanwächst (Viskoelastizität). Zwischen jederÄnderung der Gewichte und der Messung vona ist deshalb eine Wartezeit von 5 min ein-zuhalten.

5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmesser

sind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Abständen a die Längenänderungen ∆lzu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung gnach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung(1) ist die Gewichtskraft der Massestücke(g = 9,81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung des g grafischdargestellt und der Elastizitätsmodul E alsKurvenanstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material derMetalldrähte zu schließen.Der mit Hilfe der Fehlerrechnung ermittelteMessfehler ist mit dem statistische Fehler ausder linearen Regression für den Elastizitäts-modul zu vergleichen.

6 Literatur

Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum.B. G. Teubner, Stuttgart Leipzig 2001


Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Material-verhalten?

7.2 Was besagt das HOOKEsche Gesetz?Welche Arten der elastischer Verformunggibt es?

7.3 Welche Formen nichtlinearen elasti-schen Verhaltens können auftreten?

Grundpraktikum II M 14 Viskosität

34

Abb.1: Laminare Strömung durch ein Rohr

F F FG R A= + . (1)

F r gA =4

33

2π ρ . (2)

F r gG =4

33

1π ρ . (3)

F rvR = 6πη (4)

4

36

4

33

13

2π ρ πη π ρr g rv r g= + (5)

( )64

33

1 2πη π ρ ρrv r g= − . (6)

( )η ρ ρ= −2

9

2

1 2

r

vg . (7)

1 Aufgabenstellung

Es ist die Viskosität η von Rhizinusöl alsFunktion der Temperatur mit einem HÖPP-LER-Viskosimeter (Kugelfallmethode) zubestimmen.

2 Grundlagen

Reale Flüssigkeiten und Gase sind durchWechselwirkungskräfte zwischen den Mole-külen innerhalb des Stoffes (Kohäsion) undzu Molekülen anderer Stoffe an Grenzflächenwie z.B. festen Wandungen (Adhäsion)gekennzeichnet. Bei idealen Flüssigkeitenoder Gasen werden solche Kräfte vernachläs-sigt.Strömt eine benetzende reale Flüssigkeitdurch ein starres konzentrisches Rohr, sostellt sich im Falle einer laminaren stationä-ren Strömung ein parabolisches Strömungs-profil (die Verteilung der Strömungsge-schwindigkeiten entlang des Rohrradius) ein(Abb. 1). Durch Adhäsionskräfte haftet dieFlüssigkeit am Rand und strömt in der Mitteam schnellsten. Zur Modellierung stellt mansich die Strömung als ineinander gleitendeZylinder vor, die sich mit geringen Geschwin-digkeitsunterschieden gegeneinander bewe-gen. Zwischen diesen Schichten tritt durchKohäsionskräfte Reibung auf. Ein Maß fürdiese innere Reibung ist die Viskosität η.

Eine Flüssigkeit, bei der die Viskosität nichtvon der Strömung selbst sondern nur von der

Temperatur abhängt, nennt man eineNEWTONsche Flüssigkeit.

Sinkt ein kugelförmiger Körper (Radius r,Dichte ρ1) in einer viskösen Flüssigkeit(Dichte ρ2), so wirken die Gewichtskraft FG,die Auftriebskraft FA und die ReibungskraftFR und es gilt im stationären Zustand:

Nach ARCHIMEDES ist der Auftrieb gleichdem Gewicht des von der Kugel verdrängtenFlüssigkeitsvolumens:

Für die Gewichtskraft FG gilt:

Da die STOKESsche Reibungskraft FR nach

proportional zur Geschwindigkeit v der Kugelist, stellt sich nach kurzer beschleunigterBewegung ein stationärer Zustand mit kon-stanter Fallgeschwindigkeit ein (wenn FR =FG ! FA erreicht ist). Aus Gleichung (1) folgt:

und:

Aus der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel ineiner unendlich ausgedehnten ruhendenNEWTONschen Flüssigkeit kann demnach dieViskosität η der Flüssigkeit bestimmt werden.Die Umstellung von Gleichung (6) nach ηliefert:

Viskosität M 14


35

( )η ρ ρ= −2

9

2

1 2

r

sgt. (8)

( )η ρ ρ= −K t1 2 . (9)

j eE

k TA

~ .− (10)

η η= ⋅0 eE

k TA

. (11)Ersetzt man die Geschwindigkeit v durch denFallweg s und die Fallzeit t [v = s/t], so erhältman:

Alle unveränderlichen Größen können ineiner Konstanten K vereinigt werden, so dassfolgt:

In einem HÖPPLER-Viskosimeter fällt dieKugel nicht in einer unendlich ausgedehntenFlüssigkeit, sondern in einer Röhre, derenDurchmesser wenig größer als der Kugel-durchmesser ist. Um eine definierte Abroll-bewegung zu erzielen, wird der Zylinder um10° gegen die Normale geneigt. Beidesbeeinflusst die Kugelkonstante K, so dass beiindustriell gefertigten Viskosimetern experi-mentell bestimmte Kugelkonstanten angege-ben werden.

Mikroskopisch lässt sich die Viskosität (wieauch einige andere Eigenschaften) von Flüs-sigkeiten mit Hilfe der Platzwechseltheorieverstehen. Die Teilchen werden durch Bin-dungskräfte an ihrem Platz gehalten undvollführen dort thermische Schwingungen miteiner sich ständig ändernden kinetischenEnergie. Um auf einen benachbarten Platz zugelangen, muss ein Teilchen eine Potential-schwelle überwinden, d. h. seine kinetischeEnergie muss größer als eine gewisse Anre-gungsenergie EA sein. Die Geschwindigkeitder Teilchen genügt der MAXWELL-BOLTZ-MANN-Verteilung, deshalb gilt für die Anzahlder Platzwechselvorgänge j :

Greift eine äußere Kraft an der Flüssigkeit an,so finden Platzwechsel bevorzugt in Richtungdes durch diese Kraft erzeugten Potentialge-fälles statt - die Flüssigkeitsschichten werdengegeneinander verschoben. Je größer j ist,desto schneller ist die Verschiebung. Deshalbgilt näherungsweise für die Viskosität:

Zur Herleitung von (11) siehe GRIMSEHL Bd.IV §132 und §140.

3 Versuchsaufbau

3.0 GeräteHÖPPLER-Viskosimeter2 StoppuhrenThermostat

3.1 Das HÖPPLER-Viskosimeter ist einPräzisionsmessinstrument. Es besteht auseinem drehbar gelagerten geneigten zylindri-schen Fallrohr, das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllt ist. Das Fallrohr wird voneinem Wasserbad umgeben, dessen Tempera-tur durch einen Thermostaten geregelt wird.Am Fallrohr befinden sich ringförmigeMessmarken, der Abstand zwischen derobersten und der untersten beträgt 100 mm.Die Messanordnung kann um einen im Fußgelagerten Führungszapfen in die Messlage(mit Arretierung) oder in die Rücklauflagegeschwenkt werden.Im Praktikum kann mit ausreichender Genau-igkeit in beiden Richtungen gemessen wer-den; Präzisionsmessungen mit der in derPrüfbescheinigung angegebenen Kugelkon-stante dürfen nur in Messposition durch-geführt werden.


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegen-den Kurzanleitungen zum Thermostaten undzum Viskosimeter. Schalten Sie zu Beginnauf keinen Fall die Thermostatheizung ein,das Wasserbad benötigt viel Zeit um wiederabzukühlen!Die Viskosität soll im Temperaturbereich vonRaumtemperatur bis 50°C bestimmt werden(etwa ein Messpunkt aller 5 K).Das Viskosimeter ist m. H. der Libelle hori-


36

zontal auszurichten. Vor der ersten Messungmuss die Kugel einmal die Messstreckedurchlaufen, um die Messflüssigkeit zudurchmischen.Die Messung der Fallzeiten zwischen deroberen und der unteren Ringmarke wird vonbeiden Studenten durchgeführt. Damit siesich gegenseitig nicht beeinflussen, startet(stoppt) der erste Student seine Uhr, wenn dieKugel mit ihrer unteren Fläche die obere(untere) Ringebene berührt. Der zweiteStudent beginnt die Messung, wenn die obereFläche der Kugel die obere Ringebene ver-lässt.Die Messungen sind bei jeder Temperaturfünf mal durchzuführen. Bei Messzeiten über2 min kann die halbe Messstrecke verwendetwerden. Falls das Fallen der Kugel durch einesehr große Luftblase behindert wird, ist derzuständige Assistent zu verständigen. Siedürfen das Viskosimeter nicht selbst öffnen!

Man beginnt zweckmäßigerweise bei Raum-temperatur. Der Thermostat ist einzuschalten,die Solltemperatur wird auf einen Wert unterRaumtemperatur gestellt, damit der Thermo-stat nur umwälzt. Falls erforderlich, muss vorder Messung ein Temperaturausgleich zwi-schen Thermostat und Viskosimeter abgewar-tet werden (etwa 10 min). Danach wird die Temperatur schrittweise (inSchritten von etwa 5 K) bis auf 50°C erhöhtund die Fallzeiten werden bestimmt. Nachjedem Erreichen der Solltemperatur amThermostaten muss jeweils etwa 10 mingewartet werden, da die Wärmeübertragungauf die Flüssigkeit im Messzylinder einegewisse Zeit erfordert. Damit wird außerdemberücksichtigt, dass für die Regelung dieTemperatur im Thermostat selbst verwendetwird, während für das Experiment die Tem-peratur der Thermostatflüssigkeit im Viskosi-meter gemessen wird.

5 Auswertung

Berechnen Sie die Viskosität η nach Glei-chung (9) und stellen Sie η als Funktion derTemperatur graphisch dar.

Die Dichte der Kugel ρ1 und der Wert derKonstanten K sind der Prüfbescheinigung desjeweiligen Viskosimeters zu entnehmen. (DieBescheinigung liegt am Messplatz aus, dieverwendete Kugel ist unterstrichen.)Dichte von Rhizinusöl: ρ2 = 0,96 g cm -3

Stellen Sie ln(η) in Abhängigkeit von 1000/Tgraphisch dar. Bestimmen Sie EA nach Gl.(11) und diskutieren Sie das Ergebnis. Um dieGrößenordnung zu beurteilen, sollte man EA

nicht in J sondern besser in eV oder in J/molangeben!

6 Literatur



Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.IV. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch unterscheiden sich reale undideale Flüssigkeiten?

7.2 Wie ist die Viskosität definiert undwelche Messverfahren gibt es dafür?

7.3 Wie beeinflusst innere Reibung dieStrömung in einem Rohr?

Grundpraktikum II M 15 Torsion

37

Abb.1: Scherbelastung Abb.2: Torsion eines zylindrischen Stabes

τ α= ⋅G . (1)

τ =FA

. (2)

d d dM r F r A

r G r dr

= ′ ⋅ = ′ ⋅ ⋅

= ′ ⋅ ′ ⋅ ′ ′

τ

α π2(3)

′ = ′ ⋅ = ⋅ ′s r lϕ α . (4)

MG

lr r

G r

l

r

= ′ ′ =∫2

23

0

4π ϕ πϕd . (5)

DG r

l=

π 4

2(6)

1 Aufgabenstellung

1.1 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul dreier Metallstäbe verschiedenerDicke ist zu bestimmen.

1.2 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul zweier Metalldrähte sind anhandder Schwingungsdauer eines Torsionspendelszu bestimmen.

2 Grundlagen

Greift an einem an seiner Unterseite fest-gehaltenen Würfel eine Kraft F (Schub- bzw.Scherkraft) tangential zur Deckfläche an, sowird er um den Winkel α geschert (Abb.1).Für kleine Winkel gilt das HOOKEsche Gesetzmit dem vom Material abhängigen Torsions-modul (auch Schub- oder Schermodul) G alsProportionalitätsfaktor:

Hierbei ist die Scherspannung τ der Quotientaus angreifender Kraft und Angriffsfläche:

Abb. 2 zeigt die Verdrillung eines obeneingespannten Stabes, dessen Länge l großgegen seinen Radius r sein soll, um denTorsionswinkel n. Dabei wird eine ursprüng-lich senkrechte Faser des Zylindermantels umden Scherwinkel α verdreht.

Wir betrachten zunächst einen Hohlzylindermit dem Radius r' und der Dicke dr'. Zuseiner Verdrillung ist ein Drehmoment dMerforderlich, welches sich mit (1) und (2) zu

ergibt.Für den Bogen s' gilt bei kleinem Winkel α':

Durch Einsetzen in Gl. (3) und Integrationberechnet man das zur Verdrillung des Stabesnotwendige Drehmoment:

Dieses ist (im Bereich der Gültigkeit desHOOKEschen Gesetzes) proportional zumTorsionswinkel n. Die Proportionalitätskon-stante

wird als Direktionsmoment bezeichnet undhat die Bedeutung einer Federkonstante füreine Torsionsfeder. D ist sowohl vom Materi-al als auch von der Geometrie des Stabes

Torsion M 15


38

Abb.3: Torsionspendel

M J Jt

= ⋅ = ⋅αϕd

d

2

2 . (7)

′ = − ⋅M D ϕ (8)

d

d

2

2 0ϕ

ϕt

DJ

+ = . (9)

( )ϕ ϕ ω β= ⋅ +0 sin t (10)

M m g s= ⋅ ⋅ ⋅ cos .ϕ (13)

TJD

= =2

2π

πω

. (11)

DJ

T=

4 2

2

π, (12)

abhängig.Zur Bestimmung des Torsionsmoduls nachGl. (5) kann man einfach das Drehmoment Mmessen, welches zur Verdrillung eines Stabesum einen bestimmten Winkel φ führt (stati-sche Methode). Bei einem Draht (dünner langer Stab) istdieses Drehmoment jedoch sehr klein, des-halb ist die dynamische Methode mit Hilfeder Messung der Schwingungsdauer einesTorsionspendels besser geeignet.Für die Drehbewegung des Torsionspendelsnach Abb.3 gilt (analog zum NEWTONschenGrundgesetz F=m@a) das Grundgesetz

Hierbei sind J das Trägheitsmoment des

Pendels und die durch Mα ϕ= d d2 2t

erfahrene Winkelbeschleunigung. Entsprechend (5) wirkt der Auslenkung umden Winkel φ das Drehmoment

entgegen. Das negative Vorzeichen berück-sichtigt die zu φ entgegengesetzte Richtungvon M'.

Aus M = M' ergibt sich die Differentialglei-chung einer harmonischen Schwingung:

Die Lösung von (9) ist die harmonischeSchwingung

mit der Schwingungsdauer

Somit lässt sich aus der Schwingungsdauerdes Torsionspendels das Direktionsmomentdes Drahtes berechnen:

welches entsprechend Gl. (6) durch denTorsionsmodul G und die Abmessungen desDrahtes bestimmt ist.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte

- Torsionsgerät mit Winkeleinteilung undHebelstange mit Zeiger

- 3 Metallstäbe- Stativmaterial zum Einspannen der Stäbe- Wandhalterung mit Torsionspendel und

Schutzgehäuse- Stoppuhr- Bandmaß- Mikrometerschraube- Analysenwaage- 8 Massestücke (ca. 50 g) mit Haken

3.1 Das Torsionsgerät gestattet die Ver-drillung der eingespannten Stäbe durchangehängte Massestücke und die Messungdes Drehwinkels. Wird am Hebelarm s dieMasse m angehängt und dabei der Hebelarmum den Winkel φ aus der Horizontalenverdreht, so wirkt ein Drehmoment

3.2 Das Torsionspendel (siehe Abb.3)besteht aus einem am oberen Ende einge-spannten Draht mit der Länge l und demDurchmesser d = 2Ar und einer am unterenDrahtende befestigten Achse mit zwei Mas-sestücken (Gesamtmasse m, Abstand vonAchsmitte s). Diese Massestücke lassen sichauf der Achse verschieben, so dass unter-schiedliche Trägheitsmomente J eingestelltwerden können.


39

TJ

D

m

Ds2

20

2

24 4= +

π π. (15)

J J m s= + ⋅02 , (14)

Das Trägheitsmoment ergibt sich zu

wobei J0 das Trägheitsmoment des Torsions-pendels ohne Massestücke ist und s derAbstand der Massestücke von der Drehachse.Zu jedem Abstand si erhält man also einTrägheitsmoment Ji und eine Schwingungs-dauer Ti.


4.1 Die Längen l der Stäbe werden mit demBandmaß und deren Durchmesser d mit derMikrometerschraube bestimmt.Die Stäbe werden nacheinander auf einerSeite eingespannt und auf der anderen Seitemit dem Torsionsgerät verbunden. Im unbe-lasteten Zustand soll der Winkelzeiger aufNull stehen (horizontaler Hebelarm).Jeder Stab wird mit fünf verschiedenenDrehmomenten belastet, wobei der Torsions-winkel φ mindestens 10° höchstens 60°betragen soll. Die verwendete Hebelarmlänges, die Masse m und der Drehwinkel φ sind zuprotokollieren. Die genaue Masse wirdjeweils mit der Waage bestimmt.

4.2 Für jeden Torsionsdraht wird die Längel mit dem Bandmaß und der Durchmesser dan 5 verschiedenen Stellen des Drahtes mitder Mikrometerschraube gemessen.Die Gesamtmasse m der Massestücke wirdmit der Analysenwaage bestimmt.Auf der Achse sind durch Kerben vier Ab-stände s1...s4 vom Mittelpunkt festgelegt(20 mm, 30 mm, 40 mm, 50 mm). Für dieseAbstände werden die zugehörigen Schwin-gungsdauern T1...T4 ermittelt. Dazu wird mitder Stoppuhr die Zeit für 20 Schwingungengemessen und daraus T bestimmt.

5 Auswertung

5.1 Für jede Einzelmessung wird das Direk-tionsmoment D = M/φ mit Hilfe von Gl.(13) berechnet und für jeden Stab wird ausden Ergebnissen der Mittelwert gebildet.

Die Direktionsmomente D der Stäbe sind inAbhängigkeit vom Radius r graphisch dar-zustellen.Der Torsionsmodul G der Metallstäbe istnach Gleichung (6) für jeden der Stäbe zuberechnen und zu vergleichen. Aus einerTabelle ist das vermutliche Material der Stäbezu ermitteln.

5.2 Zur Bestimmung der Direktionsmomen-te wird das Quadrat der Schwingungsdauer T2

in Abhängigkeit vom Abstandsquadrat derMassestücke s2 für beide Drähte in einemgemeinsamen Diagramm dargestellt. Aus (12) und (14) ergibt sich:

Durch linearer Regression sind jeweils dasDirektionsmoment D und das Trägheits-moment J0 zu bestimmen.Aus D wird nach Gleichung (6) der Torsions-modul G berechnet.Aus den Torsionsmoduln wird an Hand vonTabellenwerten das vermutete Material derDrähte bestimmt.

6 Literatur

Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum.B. G. Teubner, Stuttgart Leipzig 2001


Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1, de Gruyter, Berlin, NewYork 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Arten der elastischen Verfor-mung gibt es, welche Materialkonstantenspielen dabei eine Rolle?

7.2 Warum ist bei dem Versuch auf kleineAuslenkungen zu achten?

7.3 Was kennzeichnet harmonische Schwin-gungen?

Grundpraktikum II W 5 Kondensationswärme des Wasserdampfes

40

Abb.1: Isothermen für reale Gase. Dermögliche Übergangsbereich zwischen dergasförmigen und flüssigen Phase ist ge-strichelt eingerahmt.

∆ ∆ ∆Q U p V= + (1)

( )Q U U p V VV D Fl D Fl= − + − . (2)

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Kondensationswärme vonWasserdampf ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die meisten Stoffe können verschiedeneAggregatzustände einnehmen (fest, flüssig,gasförmig). Da neben den Änderungen dieserAggregatzustände auch noch innerhalb desfesten Zustandes Änderungen der Modifikati-on möglich sind, spricht man allgemein vonPhasenumwandlungen.Zur Beschreibung der Phasenumwandlunggasförmig-flüssig (Kondensation) wird inAbb.1 zunächst das Verhalten eines realenGases bei konstanter Temperatur T1 betrach-tet.Ist bei T1 das Volumen V>V2 (Abb.1), sobefindet sich der gesamte Stoff in der gasför-migen Phase; eine Verkleinerung des Volu-mens führt zu einer Steigerung des Druckes p.Wird bei V = V2 der Druck pS erreicht, setztKondensation (Verflüssigung) ein. Bei weiterer Volumenverkleinerung ändertsich der Druck nicht, es wird immer mehr

Flüssigkeit gebildet, bis bei V = V1 der ge-samte Stoff verflüssigt ist. Eine weitereVolumenverkleinerung führt nun zu einemstarken Druckanstieg, da Flüssigkeiten kaumkompressibel sind. Im Bereich zwischen V1 und V2 sind flüssigeund gasförmige Phase gleichzeitig vorhanden.

Trägt man in das p-V-Diagramm weitereIsothermen mit höheren Temperaturen ent-sprechend der VAN-DER-WAALSschen Zu-standsgleichung für reale Gase ein, so wirdder horizontale Teil der Isotherme immerkleiner, bis er nur noch aus einem Punktbesteht, dem kritischen PunktMan erkennt aus Abb.1, dass eine Verflüssi-gung nur unterhalb der kritischen Temperaturmöglich ist.Die Änderung eines Aggregatzustandes istsowohl mit einer Volumenänderung verbun-den als auch mit einer Änderung der innerenEnergie U des Stoffes. Diese enthält nebender kinetischen Energie der Teilchen aucheinen Anteil, der die Wechselwirkungen derTeilchen untereinander berücksichtigt. Dabeim Verdampfen eine Arbeit gegen dieseKräfte verrichtet wird (d. h. die innere Ener-gie in der Dampfphase UD ist größer als in derflüssigen Phase UFl), muss beim Verdampfeneines Stoffes Energie (die Verdampfungs-wärme QV) zugeführt werden. Die gleicheEnergie wird als Kondensationswärme frei,wenn der Dampf wieder verflüssigt wird.

Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamikist

bzw.

Dividiert man Gleichung (2) durch die Massem des Stoffes, so folgt

Kondensationswärme des Wasserdampfes W 5


41

( )[ ]rQ

m mU U p V VV

D Fl D Fl= = − + −1

. (3)

Q Q Q QV A W K+ = + (4)

( ) ( )rm c C

mT T c T TW W K

DW S=

+− − −2 1 2 .(6)

( )( ) ( )

r m m c T T

m c T T C T T

D D W S

W W K

+ − =

− + −

2

2 1 2 1

(5)

Die Größe r heißt die spezifische Verdamp-fungswärme (oder Kondensationswärme)eines Stoffes und hat die Einheit J/kg.

In einem geschlossenem Gefäß verdampftgenau so viel Flüssigkeit, bis der Raumoberhalb der Flüssigkeit mit Dampf „gesät-tigt“ ist, d.h. bis sich (im thermodynamischenGleichgewicht) der zur vorliegenden Tempe-ratur gehörende Sättigungsdampfdruck pS

eingestellt hat. Der Sättigungsdampfdruck istunabhängig vom Volumen und vom Vorhan-densein anderer Gase, er ist abhängig von derArt des Stoffes und von der Temperatur.Ist das Gefäß offen, so kann der Dampfentweichen, die Flüssigkeit „verdunstet“.Erhöht man die Temperatur bis zu demPunkt, an dem der Dampfdruck gleich demäußeren Druck (Luftdruck) ist, dann erfolgtdas Verdampfen auch im Inneren der Flüssig-keit, die Flüssigkeit „siedet“, der Punkt heißtSiedepunkt. Die Siedetemperatur einesStoffes hängt also vom Luftdruck ab. Er-wärmt man eine Flüssigkeit bei konstantemDruck bis zum Siedepunkt und führt weiterWärme zu, so bleibt dann die Temperatur(Siedetemperatur) konstant, bis die gesamteFlüssigkeit verdampft ist.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalorimeter - Laborkocher mit Siedegefäß- Magnetrührer, Rührstäbchen- Erlenmeyerkolben, Verbindungsrohre

und Stativmaterial- Becherglas- Digitalthermometer- Stoppuhr- Waage (0,1 g Auflösung)

3.1 Für die experimentelle Bestimmung derspezifischen Kondensationswärme r des

Wasserdampfes wird ein Kalorimeter mitWasser der Masse mW und der Temperatur T1

gefüllt. Wird eine bestimmte Menge Wasser-dampf mD mit der Siedetemperatur TS in dasWasser eingeleitet, so kondensiert der Dampfdort und gibt dabei die KondensationswärmeQv=mD@r ab. Dann kühlt sich die Masse deskondensierten Wasserdampfes auf die Misch-temperatur T2 ab, wobei die WärmeQA=mD@cW@(TS-T2) abgegeben wird. Beidiesem Vorgang werden das Wasser mit derMasse mW und das Kalorimeter auf die Misch-temperatur erwärmt, sie nehmen die Wärme-mengen QW bzw. QK=CK@(T2-T1) auf. Aus der Energiebilanz ergibt sich für diespezifische Kondensationswärme r:


4.1 Überprüfen Sie, ob sich im Wasserkesselauf dem Kocher Wasser befindet! Bringen Siedas Wasser bei Schaltstufe 9 zum Sieden. Derentstehende Dampf wird zunächst in dasBecherglas geleitet, bis die Dampfleitungetwa die Temperatur des Dampfes angenom-men hat. Die Heizleistung wird dann aufSchaltstufe 4 reduziert und bis zum Versuchs-ende nicht mehr geändert. Nach einer Warte-zeit von 5 min können die Messungen begon-nen werden.

4.2 Mit Hilfe der Waage mit 0,1 g Genau-igkeit sind zu bestimmen: Die Masse mK desinneren Kalorimetergefäßes mit Rührstäb-chen, die Masse m1 des kompletten Kalori-meters (mit Deckel) ohne Wasser und die


42

Abb.2: Temperatur-Zeit-Diagramm

Masse m2 des kompletten Kalorimeters mitWasser. Das Kalorimeter bis etwa 4 cm unterdem Rand mit möglichst kaltem Wasser zufüllen.

4.3 Der Rührer muss während des ganzenExperimentes laufen. Zur Bestimmung von rwird insgesamt 20 min lang der Temperatur-verlauf im Kalorimeter registriert, indem alle30 s die Temperatur abgelesen wird:

a) 5 min bevor der Dampf eingeleitet wird,

b) 10 min während Dampf eingeleitet wird,

c) 5 min nach Beendigung der Dampfein-leitung.

Die Dampfleitung darf im heißen Zustandnicht angefasst werden. Sie wird mit demgesamten Stativ bewegt. Dieser Vorgangsollte im kalten Zustand der Dampfleitungausprobiert werden.

4.4 Die Masse mD des kondensierten Was-serdampfes ist abschließend durch eineerneute Wägung des Kalorimeters zu er-mitteln (Masse m3 des Kalorimeters ein-schließlich Kondenswasser am Deckel). Fürdie genaue Bestimmung der SiedetemperaturTS wird der Luftdruck am Barometer abgele-sen.

5 Auswertung

Der Temperaturverlauf T(t) im Kalorimeterwird in Abhängigkeit von der Zeit grafischdargestellt. Da die Mischung eine endlicheZeit beansprucht und in dieser Zeit auch einWärmeaustausch mit der Umgebung statt-findet, kann die Mischtemperatur T2 nichtunmittelbar gemessen werden. Der Wert fürdie Mischtemperatur, der sich im Falle einesunendlich schnellen Temperaturausgleichseinstellen würde, sowie der Wert für dieTemperatur T1 unmittelbar vorher könnenentsprechend Abb.2 aus dem Temperatur-Zeit-Diagramm ermittelt werden. Dazu ist diesenkrechte Gerade BD so einzuzeichnen, dassdie Flächen ABC und CDE etwa gleich großsind. Aus diesem Diagramm werden die

Temperaturen T1 und T2 ermittelt. Die Siedetemperatur TS ist für den gemesse-nen Luftdruck einer Tabelle zu entnehmen.Die Massen mW und mD sind aus den Massenm1…m3 zu berechnen. Die WärmekapazitätCK des Kalorimetergefäßes ist CK = mK@cK

mit cK = 920 J kg-1 K-1 (Aluminium); diespezifische Wärme des Wassers ist cW =4187 J kg-1 K-1.Die spezifische Kondensationswärme desWasserdampfes ist zu berechnen. Es ist eineFehlerabschätzung vorzunehmen.

6 Literatur

Geschke, D. (Hrsg.): Physikalisches Prakti-kum. B.G. Teubner Stuttgart Leipzig 2001

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, 10 Aufl., de GruyterBerlin-New York 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Beschreiben isotherme, isobare, adiaba-tische Zustandsänderungen!

7.2 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.3 Wann ist die Zustandsgleichung desidealen Gases und wann die VAN-DER-WAALS-Gleichung anwendbar?

Grundpraktikum II W 6 Spezifische Wärme von Metallen

43

cCm

Qm T

= =∆

. (1)

( )( ) ( )

Q Q Q

m c T T

m c T T m c T T

M W K

M M H

W W K K

= +

− =

− + −

2

2 1 2 1

(3)

( )( )( )

cm c m c T T

m T TM

W W K K

M H

=+ −

−

2 1

2

. (4)

( )Q C T T m c T= ⋅ − = ⋅ ⋅2 1 ∆ (2)

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von dreiverschiedenen Metallen ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ∆T. Diespezifische Wärme c ist die Wärmekapazitätpro Masseneinheit:

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ∆T zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.

Die Messung der spezifischen Wärme ge-schieht in einem Mischungskalorimeter.Das Kalorimetergefäß hat die Masse mK unddie spezifische Wärmekapazität cK. Im Kalo-rimetergefäß befindet sich Wasser der MassemW und der spezifischen Wärmekapazität cW.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tem-peratur T1. Dann wird ein heißes Metallstückder Masse mM mit der Temperatur TH in dasKalorimeter eingeführt. Durch Wärmeaus-tausch stellt sich nach einiger Zeit die Misch-temperatur T2 ein.Bei diesem Vorgang gibt der Metallkörper dieWärmemenge QM ab, das Wasser nimmt dieWärmemenge QW und das Kalorimeter dieWärmemenge QK auf. Nach dem Energie-erhaltungssatz gilt:

Für die spezifische Wärmekapazität cM desMetalls ergibt sich daraus:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalorimeter- Magnetrührer, Rührstäbchen- Digitalthermometer- 3 Probekörper- Gefäß zur Erwärmung der Probekörper- Laborkocher- Stoppuhr- Waagen (0,1 g und 0,001 g Auflösung)

3.1 Das Kalorimeter besteht aus eineminneren und einem äußeren Gefäß mit Deckelzur Wärmeisolierung.Das Temperaturmessgerät hat eine Mess-genauigkeit von 0,2 K und eine Auflösungvon 0,1 K. Durch langes Drücken der TasteTn wird die Differenz zur augenblicklichenTemperatur mit einer Auflösung von 0,01 Kangezeigt.


Zunächst werden die Massen der Probekörper(mM) und die Masse des Kalorimeters mK

(inneres Gefäß) bestimmt. Das innere Gefäß des Kalorimeters wird mitetwa 600 ml Wasser gefüllt. Die Wassermas-se ist mit einer geeigneten Waage zu be-stimmen. Die Wassertemperatur sollte etwa2…3 K unter der Raumtemperatur liegen.Protokollieren Sie die Anfangstemperatur desWassers und schalten Sie dann das Digital-thermometer auf 1/100 K -Anzeige um.Üben Sie einmal, einen Probekörper mög-lichst schnell und ohne anzustoßen in das

Spezifische Wärme von Metallen W 6

Grundpraktikum II W 6 Spezifische Wärme von Metallen

44

Kalorimeter einzuhängen.

Die Probekörper sind in siedendem Wasserzu erwärmen. Es ist darauf zu achten, dass dieKörper vollständig eintauchen und genügendlange (etwa 10 min) im Wasserbad verweilen,damit die Zuordnung der Siedetemperatur beigegebenem Luftdruck zur Körpertemperaturdes erwärmten Probekörpers gerechtfertigt ist.Die Probekörper dürfen weder den Rand nochden Boden des Gefäßes berühren.Während des gesamten Experiments mussDer Rührer gleichmäßig laufen.

Bei der Bestimmung der Temperaturen T1 undT2 für alle drei Probekörper soll der Wärme-austausch zwischen Kalorimeter und Umge-bung wie in Versuch W5, Abb.2, berück-sichtigt werden. Deshalb ist der Temperatur-verlauf im Kalorimeter über einen längerenZeitraum zu registrieren, indem in Abständenvon 30 Sekunden die Anzeige des Thermo-meters protokolliert wird. Am besten gehtman nach folgendem Plan vor:

t / min

0 Beginn der Temperaturmessung(Vorperiode)

5 Körper 1 in Kalorimeter tauchen

10 Körper 1 herausnehmen


16 Körper 2 herausnehmen


23 Ende der Messung (Nachperiode)

Für die Bestimmung der Siedetemperatur TB

wird der Luftdruck am Barometer (an derWand an der Fensterseite) abgelesen undentsprechend der Umrechnungstabelle dieSiedetemperatur ermittelt.

5 Auswertung

Zur Bestimmung der Temperaturdifferenz(T2 !T1) wird der tatsächliche Temperatur-anstieg auf eine sehr kleine Anstiegszeitkorrigiert. Hierzu geht man analog zu Ver-such W5 vor (vergl. W5, Abb.2).Der Temperaturverlauf im Kalorimeter wird

in Abhängigkeit von der Zeit graphischdargestellt. Die Bestimmung von T1 und T2

kann für alle drei Probekörper in einemDiagramm vorgenommen werden. Die spezifische Wärmekapazität der Metalleist nach Gleichung (4) zu berechnen. Dabeisind folgende Werte zu verwenden:

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

spezifische Wärmekapazität des Gefäßes: cK = 920 J kg-1 K-1

Für die Masse mK des Kalorimeters ist dieSumme aus der Masse des inneren Gefäßesund der Masse des Rührers einzusetzen. Die Siedetemperatur des Wassers ist anhanddes gemessenen Luftdrucks einer Tabelle zuentnehmen.

Mit Hilfe der Messergebnisse sind die unbe-kannten Metalle zu bestimmen.Berechnen Sie anschließend die molareWärmekapazität der drei Metalle und disku-tieren Sie das Ergebnis.

6 Literatur


Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, 10 Aufl., de GruyterBerlin-New York 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapazi-tät, Temperatur, abgeschlossenes thermo-dynamisches System, thermodynamischesGleichgewicht!

7.2 Nennen Sie Temperaturmessverfahren!

7.3 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.4 Welche Modellvorstellungen gibt es zurmolaren Wärmekapazität?

Grundpraktikum II W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS

45

DMML L

= =ρρ

. (2)

M D= ⋅28 98, .g

mol(3)

m mk

L K

L1

1

1 8= ⋅

−

− −

ρ ρ

ρ gcm 3 (7)

F V g m gA LL

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρρρ

(4)

m g m g m g m gLa a

L⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅−

ρ

ρ

ρ

8gcm 3 (5)

m m

V

k

L K

L

E

L E

L

2

22

1

1 8

1

1 8

= ⋅−

−

+ ⋅ ⋅−

−

−

−

ρ ρ

ρ

ρρ ρ

ρ

gcm

gcm

3

3

(8)

m ma

L

L

= ⋅−

− −

1

1 8

ρ ρ

ρ gcm.3 (6)

ρ

ρ1

2

1

2

=M

M. (1)

1 Aufgabenstellung

Die relative Dampfdichte und die Molmassevon Ethanol sind zu bestimmen.


Die Dichten zweier idealer Gase verhaltensich wie ihre Molmassen:

Die relative Dampfdichte D eines Gases istdas Verhältnis der Dichte ρ des Gases zurLuftdichte ρL bei gleicher Temperatur undgleichem Druck:

Die Molmasse von Luft beträgt 28,98 g/mol,so dass

Somit kann die Molmasse M eines Stoffesmit Hilfe der Bestimmung der relativenDampfdichte D ermittelt werden.Zur Bestimmung der Massen wird eineelektronische Analysenwaage verwendet. Beisehr genauen Wägungen muss die Auftriebs-kraft berücksichtigt werden, die der zu wä-gende Körper der Masse m und Dichte ρ inLuft mit der Dichte ρL erfährt. Die Auftriebs-kraft FA ist gleich der Gewichtskraft der vomKörper verdrängten Luft:

V = m/ρ: verdrängtes Volumen; g = 9,81 m/s².

Ebenso erfährt das Prüfgewicht bei derKalibrierung bzw. Eichung der Waage einenAuftrieb. Die Dichte von Prüfgewichten fürPräzisionswagen ist standardisiert und beträgt8000 kg/m3.

Bezeichnet man die Anzeige der Waage mitma , so ist wegen des Kräftegleichgewichts

bzw.

Der Luftauftrieb ist bei einer Wägung immerdann zu berücksichtigen, wenn eine relativeGenauigkeit von 10-3 oder besser erwünschtist.Bei dem Verfahren nach DUMAS zur Be-stimmung der Dampfdichte wird eine aus-reichende Menge Flüssigkeit (hier: Ethanol)in einen Glaskolben gegeben und im Wasser-bad erhitzt, bis sie restlos verdampft ist.Dabei verdrängt der Ethanoldampf die imKolben verbliebene Luft, so dass am Ende derKolben vollständig mit Ethanoldampf derTemperatur T2 des Wasserbades gefüllt ist. Indiesem Zustand wird der Kolben gasdichtverschlossen. Der Glaskolben habe die Massemk, die Dichte ρk und das innere Volumen V.Mit ihm sind im Verlauf des Experimentesdrei Wägungen durchzuführen (m1, m2 und m3

bezeichnen die von der Waage angezeigtenWerte):

1. Wägung: offener Kolben mit Luft bei derTemperatur T1:

2. Wägung: verschlossener Kolben mitEthanol, ρE2 = Dichte von Ethanoldampf beider Temperatur T2:

Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS W 10

Grundpraktikum II W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS

46

ρ ρE E

TT

= ⋅22

1

. (13)

( ) ( )

( )D

m m m m T

m m T

E

L

w

L= =

− + −

⋅

− ⋅

ρ

ρ

ρρ2 1 3 2 2

3 1 1

.(14)

ρρ

L

p T

p T=

⋅ ⋅

⋅0 1 0

0 1

(15)

m m

V

k

L K

L

W

L W

L

2

1

1 8

1

1 8

= ⋅−

−

+ ⋅ ⋅−

−

−

−

ρ ρ

ρ

ρρ ρ

ρ

gcm

gcm

3

3

(9)

( ) ( )ρρ

ρρE

L

w

L

m m m m

m m2

2 1 3 2

3 1

=

− ⋅ + −

−.

(10)

p V

T

p V

T1 1

1

2 2

2

⋅=

⋅(11)

p

T

p

T1

1 1

2

2 2ρ ρ⋅=

⋅. (12)

3. Wägung: Kolben mit Wasser gefüllt, ρw =Dichte des Wassers bei T3 (T3.T1):

Aus den Gleichungen (7), (8) und (9) folgt:

Da die relative Dampfdichte D das Verhält-nis der Dichten bei gleicher Temperatur undgleichem Druck ist, muss die Dichte vonEthanol entsprechend umgerechnet werden.Es gilt (für ideale Gase):

bzw.

Mit T1 der Raumtemperatur, T2 der Tempera-tur des gasförmigen Ethanols und p1 = p2

ergibt sich für die Ethanoldichte ρE bei T1:

Aus Gleichung (10) wird damit:

Die Dichte der Luft für die RaumtemperaturT1 und den Luftdruck p1 berechnet man nach

mit ρ0 = 0,001293 g /cm³: Dichte der Luft beiT0 = 273,15 K (= 0°C) und p0 = 101308 Pa (=760 Torr).

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Kolben mit Ansatzrohr- Halterung für den Kolben- Bunsenbrenner- Wasserbad mit Kocher- Thermometer- Pinzette- Fläschchen mit Ethanol

3.1 Für die 1. und 2. Wägung wird eineelektronische Analysenwaage mit einerGenauigkeit von 1 mg, für die 3. Wägung(Kolben mit Wasser) eine Analysenwaage miteiner Genauigkeit von 100 mg verwendet.Für das Füllen des Kolbens mit Wasser (3.Wägung) steht ein großer, mit Wasser gefüll-ter Behälter zur Verfügung. Es darf keinfrisches Leitungswasser verwendet werden.


Arbeitsschutzhinweise:Arbeiten Sie nicht unmittelbar neben deroffenen Flamme mit Ethanol!Nachdem der Kolben in 4.2 aus dem Was-serbad entnommen wurde, darf er nichtwieder in die Flamme gehalten werden!Bei Undichtigkeiten könnte Luft angesaugtwerden; Gemische von 3,5…15 Vol%Ethanoldampf mit Luft sind explosiv!Während der Arbeitsschritte zu 4.2 ist dieSchutzbrille zu tragen!

4.1 Das Ansatzrohr des Kolbens wird amoffenen Ende mit dem Bunsenbrenner erhitztund das Rohrende mit der Pinzette zu einerKapillare ausgezogen. Die Länge der Kapilla-re wird so gewählt (mit der Pinzette ab-brechen), dass ein einwandfreies Zuschmel-zen möglich ist. Die Masse des offenenKolbens (mit Luft) ist zu bestimmen: 1.Wägung (m1).

4.2 Zum Einfüllen von 1…2 ml Ethanol inden Kolben wird dieser leicht erwärmt, dasRohr in das Ethanol eingetaucht und dasEthanol durch Abkühlung des Kolbens

Grundpraktikum II W 12 Luftfeuchtigkeit

47

angesaugt. Der Kolben ist nun mit der Halte-rung in das Wasserbad zu bringen, wobei derkugelförmige Teil des Kolbens völlig unter-tauchen muss. Das Wasser wird mit demKocher bis zum Sieden erwärmt. Wenn dasEthanol vollständig verdampft ist (Kolbenständig beobachten!), wird die Öffnung derKapillare mit dem Bunsenbrenner zuge-schmolzen, dabei ist die Badtemperatur T2 zumessen.Die Masse des geschlossenen Kolbens mitEthanol wird bestimmt: 2. Wägung (m2).

4.3 Danach bringt man den Kolben in dengroßen, mit Wasser gefüllten Behälter undbricht die Spitze unter Wasser ab. DerKolben füllt sich mit Wasser, wobei dasAnsatzrohr immer unter Wasser bleibenmuss!Die Masse des Kolbens mit Wasser ist zubestimmen: 3. Wägung (m3).Außerdem sind die Werte für die Raum-temperatur T1 , die Wassertemperatur T3 undden Luftdruck p1 zu ermitteln.

5 Auswertung

Die relative Dampfdichte D wird mit Hilfeder Gleichung (14) und (15) berechnet, dabeiist die Dichte des Wassers ρw anhand derTemperatur T3 einer Tabelle zu entnehmen.Die Molmasse M wird nach der Gleichung (3)ermittelt.

6 Literatur


7 Kontrollfragen

7.1 Bei der 2. Wägung (nach dem Ab-schmelzen) ist zu beobachten, dass sichFlüssigkeit im Kolben befindet. Warum?

7.2 Warum wird zum Füllen des Kolbensvor der 3. Wägung kein (frisches) Leitungs-wasser benutzt, sondern abgestandenesWasser aus einem Behälter?

7.3 Nach dem Füllen bleibt eine kleineGasblase im Kolben. Warum? Schätzen Sieden Fehler ab, der dadurch entsteht!

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelementist zu kalibrieren.

1.2 Die relative Luftfeuchtigkeit ist mitHilfe eines Taupunkt-Hygrometers zu be-stimmen.

1.3 Das RAOULTsche Gesetz (Dampfdruck-erniedrigung in Lösungen) ist qualitativ zubestätigen.


2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-

Luftfeuchtigkeit W 12


48

U TT = ⋅α ∆ . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

fp

pr

d

S

= . (3)

fm

Va

d= . (2)

∆ p

p

p p

px

n

n nS

S S L

S

=−

= =+

,.2

1 2

(4)

dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter, z.B. Kupfer und Konstantan wie in Abb.1, zueinem Stromkreis und bringt die beidenKontaktstellen auf verschiedene Temperatu-ren T0 und T1, so entstehen in den beidenLeitern unterschiedliche innere Potentiale.Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und dasMessgerät, isotherm sein.) In vielen Lehrbüchern wird die Thermospan-nung falsch als „Kontaktspannung“ erklärt.Dies ist nicht richtig! (siehe Literaturhinweis)

Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ∆T =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie bieten den Vor-teil, dass sich die Thermospannungen un-mittelbar als Eingangssignale für Computer,Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Luftfeuchtigkeit nennt man den Gehaltder Luft an Wasserdampf.

Die absolute Luftfeuchtigkeit fa ist dieWasserdampfmasse md pro Volumen V derLuft:

Die relative Luftfeuchtigkeit fr ist das Ver-hältnis der vorhandenen Wasserdampfmengezur Sättigungsmenge bzw. das Verhältnis desvorhandenen Dampfdruckes pd zum Sätti-gungsdampfdruck pS bei der vorliegendenTemperatur T :

Die relative Luftfeuchtigkeit wird meist inProzent angegeben.In einem geschlossenen Gefäß, in dem sichreines Wasser und darüber Luft befinden,verdampft ein Teil des Wassers, bis der Raumoberhalb der Flüssigkeit mit Wasserdampfgesättigt ist. Es bildet sich im thermodyna-mischen Gleichgewicht der Sättigungsdampf-druck pS aus, der nur von der Art der Flüs-sigkeit (hier Wasser) und von der Temperatur(etwa exponentiell) abhängt. Die relativeLuftfeuchtigkeit beträgt in diesem Fall100 %. Ist die Flüssigkeit im geschlossenen Gefäßeine wässrige Lösung, so ist der Sättigungs-dampfdruck über der Lösung entsprechenddem RAOULTschen Gesetz um ∆p verringert.Diese Dampfdruckerniedrigung ist unabhän-gig von der Art des gelösten Stoffes, sie hängtnur von der Anzahl der gelösten Teilchen ab:

Dabei ist x der Molenbruch des gelöstenStoffes (n2: Menge der gelösten Teilchen, n1:Teilchenmenge des Lösungsmittels), pS ist derSättigungsdampfdruck des reinen Lösungs-mittels und pS,L der der Lösung. Bei derBestimmung von x muss die Dissoziation desgelösten Stoffes berücksichtigt werden. DasRaoultsche Gesetz gilt nur für n2 n n1, beihöheren Konzentrationen x ist die beobachte-


49

Abb.2:

Versuchsaufbau zur Be-stimmung der Luftfeuchte

fp T

p T

p

p Trd

S

S

S

= =( )

( )

( )

( ).

τ(5)

te Dampfdruckerniedrigung geringer. Infolgedes Raoultschen Gesetzes ist die Luftfeuch-tigkeit über einer Lösung kleiner als 100 %.

Ist bei der Temperatur T die Luftfeuchtigkeitim Raum kleiner als 100 %, so kann man100 %ige Luftfeuchtigkeit erreichen, indemman die Temperatur erniedrigt. Ab einerbestimmten Temperatur τ, dem Taupunkt,kondensiert der Wasserdampf und schneidetsich z. B. auf einer Oberfläche ab. Dies dientzur Messung der Luftfeuchtigkeit mit einemTaupunkthygrometer: Anhand der Tempera-tur τ kann der zugehörige Sättigungsdampf-druck pS(τ) ermittelt werden, der gleich demDampfdruck pd(T) ist. Die relative Luftfeuch-tigkeit fr ergibt sich dann aus

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Taupunkthygrometer (Alu-Grundkörper

mit Peltierkühler, Metallspiegel, Thermo-element und Lichtschranke, Abdeckhaube)

- Steuergerät für Lichtschranke- Stromversorgungsgerät für Peltierkühler- Kupfer-Konstantan-Thermoelement, eine

Lötstelle in Röhrchen mit Gallium- 2 Bechergläser- flache Schale- Flasche mit 3 molarer CaCl2-Lösung- Sensor-Cassy mit µV-BOX

- Computer, CassyLab-Software

3.1 Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes dienen zweiFixpunkte: der Schmelzpunkt von Wasserund der von Gallium (TS = 29,5 °C). DieThermospannung wird mittels Sensor-Cassy/µV-Box und Computer gemessen.

Eine Kurzanleitung zur Benutzung der Cassy-Lab Software befindet sich im Anhang.

3.2 Das Taupunkthygrometer (Abb.2)besitzt eine abkühlbare, spiegelnde Metallflä-che (polierter Aluminiumblock), deren Tem-peratur gemessen und deren Bedeckung mitkondensiertem Wasserdampf beobachtetwerden kann. Zur Temperaturerniedrigungdient ein Halbleiterkühlelement (Nutzung desPeltier-Effektes), das mit Hilfe eines Strom-versorgungsgerätes (30V/1,5A; Betrieb alsKonstantstromquelle) betrieben wird. DieTemperaturmessung erfolgt mit einemKupfer-Konstantan-Thermoelement, dessenMessstelle sich im Kupferblock befindet unddie Vergleichsstelle bei 0°C in einem Eis-Wasser-Gemisch. Die Thermospannung wirdmit der µV-Box des Sensor-Cassy gemessenund mit Hilfe des Computers registriert.Zur reproduzierbaren Beobachtung derWasserdampf-Kondensation dient eineReflexlichtschranke mit Anzeige-LED undRelaisausgang. Das Relais der Lichtschrankeermöglicht eine einfache Temperaturregelungzum Erreichen des Taupunktes, indem es denKühlerstrom entsprechend der Betauung desSpiegels automatisch ein- und ausschaltet.

3.3 Das Taupunkthygrometer befindet sichzusammen mit einer Schale mit Wasser bzw.


50

3 molarer CaCl2-Lösung unter einer Plastik-haube.


4.1 Die Schaltung wird entsprechend Abb. 1aufgebaut. Als Spannungsmesser dient dieµV-Box des Sensor-Cassy. Starten Sie dasProgramm CASSYLab-W12 erst, nachdemdas Messgerät mit Strom versorgt ist. AlleEinstellungen im Programm (Messbereich,Messintervall etc.) sind bereits richtig vor-eingestellt. Mit der Taste F9 oder Mausklick

auf wird die Aufzeichnung einer Mess-reihe gestartet und auch wieder beendet.

Ein Becherglas wird mit gestoßenem Eis und(nicht zuviel) Wasser gefüllt, das zweite Glasmit heißem Wasser. Die Vergleichs-Lötstelledes verwendeten Thermoelements wird in dasEis-Wasser-Gemisch getaucht. Zur Kalibrie-rung des Kupfer-Konstantan-Thermoelemen-tes wird eine Messreihe gestartet und dasRöhrchen mit Gallium in das heiße Wassergetaucht. Bei einer Temperatur von T1 =29,5°C schmilzt das Gallium, so dass dieSpannungs-Zeit-Kurve einen Haltepunktaufweist, bis das gesamte Gallium geschmol-zen ist. Bringt man danach das Röhrchen indas Becherglas mit dem Eis-Wasser-Ge-misch, so zeigt der Spannungsverlauf bei T1 =29,5°C wieder einen Haltepunkt (evtl. erstnach einer Unterkühlung der Galliumschmel-ze). Aus dem Mittelwert der Haltepunktebeim Schmelzen und beim Erstarren desGalliums wird mit (1) der Seebeck-Koeffi-zient α des Kupfer-Konstantan-Thermo-elementes berechnet.

4.2 Die Versuchsanordnung ist entsprechendAbb.2 aufzubauen. Die Vergleichs-Lötstelledes Thermoelements des Taupunkthygro-meters muss sich im Eis-Wasser-Gemischbefinden. Die Thermospannung wird wieunter 4.1 mit Hilfe des Computers registriert.Der Schaltzustand der Lichtschranke wirddurch eine LED signalisiert. Die Komparator-

schwelle wird so eingestellt, dass bei nichtbeschlagenem Spiegel gerade noch Reflexionangezeigt wird (LED leuchtet), bei beschlage-nem Spiegel jedoch die LED erlischt. Nach dem Start einer Messreihe in CassyLabwird die Stromversorgung des Kühlers einge-schaltet und die Thermospannung registriert(Kühlerstrom I .1 A mittels Stromreglereinstellen). Die LED der Lichtschrankeleuchtet. Wenn der Taupunkt unterschrittenwird, erlischt die LED und der Kühlerstromwird durch das Relais unterbrochen. DieTemperatur im Taupunkthygrometer steigtwieder; der Belag auf der Spiegelflächeverdampft, so dass die LED wieder aufleuch-tet und der Kühler automatisch wieder einge-schaltet wird. Auf diese Weise ergeben sich„Regelschwingungen“ um die Thermospan-nung, die dem Taupunkt entspricht. DieRegelung funktioniert am besten, wenn derKühlerstrom so eingestellt wird, dass Abkühl-und Aufheizgeschwindigkeit etwa gleichsind. (Warum?) Es werden etwa 10 Regel-schwingungen aufgezeichnet. Nach Beendi-gung der Messung ist der Kühler auszu-schalten.Die Thermospannung am Taupunkt ist durchMittelwertbildung im Programm CassyLab zubestimmen.

4.3 Zum Nachweis des Raoultschen Ge-setzes wird neben das Hygrometer eineSchale mit Wasser gestellt, dessen Tempera-tur gleich der Raumtemperatur ist. Hygro-meter und Wasserschale werden gemeinsammit der Plastikhaube abgedeckt. Die Luft-feuchtigkeit unter der Haube wird nun lang-sam bis auf nahezu 100 % ansteigen. Nach20…30 min wird die Messung gestartet undder Kühlerstrom eingeschaltet (günstig sindhier etwa 0,2…0,5 A). Die Thermospannungwird solange aufgezeichnet, bis sich derTaupunkt nicht mehr ändert (etwa 5 min). Der Versuch wird wiederholt, wobei dieSchale nun mit 3 molarer CaCl2-Lösunggefüllt ist. Die o.g. Wartezeit ist wiedereinzuhalten; die Messkurve wird in das selbeDiagramm geschrieben.


51

n nV n M

M1 = =−

H2OCaCl2 CaCl2

H2O

ρ. (7)

ρ =+

=+

m m

V

n M n M

V

CaCl2 H2O

CaCl2 CaCl2 H2O H2O .

(6)

n n2 3= ⋅ CaCl2 . (8)

Die Thermospannungen am Taupunkt werdendurch Mittelwertbildung im ProgrammCassyLab bestimmt.

Die CaCl2-Lösung wird nach Versuchs-ende wieder in die Flasche zurück gefüllt!

5 Auswertung

5.1 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Der Seebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes ist nach Gl. (1)zu berechnen.

5.2 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Die Raumtemperatur und der Taupunktsind aus UT zu ermitteln. Die relative Luft-feuchtigkeit fr wird nach (5) berechnet, wobeidie Sättigungsdampfdrücke der beiliegendenTabelle entnommen werden.

5.3 Die Taupunkte und die relativen Luft-feuchtigkeiten über Wasser und 3 molarerCaCl2-Lösung (Dichte: 1,25 g cm-3, Dissozia-tionsgrad 100%) werden wie unter 5.2 er-mittelt. Die durch Dampfdruckerniedrigungnach dem Raoultschen Gesetz zu erwartendeLuftfeuchtigkeit über der CaCl2-Lösung istmit Hilfe Gl. (4) zu berechnen. Die gemesse-nen Luftfeuchtigkeiten sind mit den theore-tisch erwarteten Werten zu vergleichen.

Hilfe zur Berechnung des Molenbruches:mCaCl2 und mH2O sind die Massen, nCaCl2 undnH2O die Stoffmengen und MCaCl2 und MH2O

die Molmassen der CaCl2- und der H2O-Moleküle in V = 1 l Salzlösung. Dann ist dieDichte der Lösung

Daraus ergibt sich die Teilchenmenge desLösungsmittels

Wegen der Dissoziation ist die Menge dergelösten Teilchen

6 Literatur

Bergmann - Schäfer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik. de Gruyter Lehrbuch, 11.Auflage 1998


http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie die Entstehung von Wetter-erscheinungen wie Regen, Nebel, Tau!

7.2 Wie funktioniert ein Thermoelement?

7.3 Bei welcher Temperatur siedet eineSalzlösung (in Wasser)?

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

52

Abb. 1: Stationärer Temperaturgradient

Φ =ddQt

(1)

Φ = − λ ATx

dd

. (2)

[ ]λ = =J m

s m KW

K m .2 (3)

Φ = −−

−λ A

T Tx x

2 1

2 1

. (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonEisen und Messing nach dem stationärenAbsolutverfahren.

1.2 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonMessing nach dem stationären Vergleichs-verfahren.

2 Grundlagen

Auf der ungeordneten, thermischen Bewe-gung der Moleküle eines Körpers (BROWN-sche Bewegung) beruhen zwei grundlegendephysikalische Phänomene, die allgemein alsTransportvorgänge bezeichnet werden: dieWärmeleitung und die Diffusion. Während bei der Wärmeleitung thermischeEnergie vom wärmeren zum kälteren Bereichtransportiert wird, handelt es sich bei derDiffusion um einen auf einen Konzentrations-ausgleich gerichteten makroskopischenTeilchenstrom. Beide Prozesse sind mit einerZunahme an Entropie verbunden.Als Wärmestrom

bezeichnet man die pro Zeiteinheit trans-portierte Wärmemenge Q.Besteht in einem Material ein Temperatur-gradient (in x-Richtung), so fließt durch einenQuerschnitt A der Wärmestrom

Das Minuszeichen in (2) berücksichtigt, dassdie Wärmeleitung entgegengesetzt zumTemperaturgradient erfolgt. Die Materialkon-stante λ heißt Wärmeleitfähigkeit und hat dieSI-Einheit

Gleichung (2) ist analog zum 1. FICKschenGesetz der Diffusion (siehe Versuch W25).In Abb.1 sind zwei Wärmereservoire unter-schiedlicher aber fester Temperatur T1 und T2

(T1 > T2) gezeigt, die über einen Stab derLänge ∆x = x2 - x1 thermisch miteinanderverbunden sind. Nach einiger Zeit stellt sichein stationäres Temperaturgefälle (T2-T1)/(x2-x1) über die gesamte Stablänge ein, d. h. derTemperaturgradient dT/dx = ∆T/∆x ist orts-unabhängig und der Wärmestrom ist zeitlichkonstant. Damit wird aus (2):

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Anordnung von Metallstäben mit Thermo-

elementen und Heizung (Abb.2)- Stromversorgungsgerät- 2 Vielfachmesser

Wärmeleitung von Metallen W 16

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

53

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

∆ T UT= ⋅1α

(5)

- Nanovoltmeter- Messstellenumschalter- Verbindungsleitungen- Thermometer

3.1 Den Aufbau der Messanordnung zeigtAbb.2. Mit Hilfe des Heizers wird ein kon-stanter Wärmestrom Φ erzeugt, der durch denEisen- und Messingstab in die große Metall-platte (großes Wärmereservoir) fließt und sofür ein nahezu konstantes Temperaturgefällesorgt. Mit Hilfe der fest eingebauten Kupfer-Konstantan-Thermoelemente werden dieTemperaturdifferenzen ∆T = T2 - T1 ent-sprechend (4) gemessen, ∆x ist der Abstandzwischen den Lötstellen der Thermoelemente.Die Temperaturdifferenzen ergeben sich ausden mit einem hochempfindlichen Nanovolt-meter gemessenen Thermospannungen UT

entsprechend

(siehe auch Versuch E10). Der schwachtemperaturabhängige Seebeck-Koeffizient αist einer Grafik zu entnehmen; die mittlere

Temperatur der Thermoelemente ist hierfürzu schätzen.


Die Schaltung nach Abb.2 wird aufgebaut.Die Messungen werden bei zwei verschiede-nen Heizleistungen durchgeführt. Zuerst wirdeine Heizspannung von etwa 10 V eingestellt.Alle 2 Minuten sind die ThermospannungenUT, Fe und UT, Ms der beiden Thermoelementezu protokollieren. Nach Erreichen des statio-nären Zustandes (nach mindestens 30 min)sind die Temperatur am Messaufbau sowieStrom I und Spannung U am Heizer zumessen. Die Temperaturdifferenzen ∆TFe und∆TMs werden nach (5) ermittelt, wobei derSeebeck-Koeffizient α bei der geschätztenmittleren Temperatur des Eisen- bzw. desMessingstabes einzusetzen ist.Die Messung wird bei einer Heizspannungvon etwa 20 V zu wiederholt. (Dabei musswieder der stationäre Zustand abgewartetwerden.)

Grundpraktikum II W 21 Reales Gas

54

Φ = ⋅U I . (6)

λ =U I x

A T

∆

∆. (7)

Φ∆

∆= − λFe

Fe Fe

Fe

A Tx

. (8)

λ λMs FeFe Fe Ms

Ms Ms Fe

A T xA T x

=∆ ∆

∆ ∆. (9)

5 Auswertung

Bei der gegebenen Versuchsanordnung gibtes dazu zwei Möglichkeiten:

5.1 Beim stationären Absolutverfahren gehtman davon aus, dass die elektrisch erzeugteHeizleistung nahezu vollständig durch Wär-meleitung durch den Eisen- und Messingstaban die Grundplatte abgeführt wird:

Damit ergibt sich aus (4):

5.2 Beim stationären Vergleichsverfahrennutzt man die Tatsache, dass der Eisen- undder Messingstab thermisch in Reihe ge-schaltet sind. Sie werden im stationärenZustand vom gleichen Wärmestrom durch-flossen. Ist die Wärmeleitfähigkeit von Eisenbekannt, so ergibt sich der Wärmestrom zu

Setzt man Φ in Gleichung (4) ein, so erhältman

Die Wärmeleitfähigkeiten von Eisen undMessing sind für beide Heizleistungen nach

beiden Verfahren (5.2 nur für Messing) zuberechnen.Die Ergebnisse sind miteinander und mitLiteraturwerten zu vergleichen. Die für beideVerfahren unterschiedlichen systematischenFehler sind abzuschätzen.

Für die Berechnung sind folgende Werte zuverwenden:dFe = dMs = 30 mm (Durchmesser der Stäbe)

∆xFe = 4,0 cm; ∆xMs = 5,0 cm

λFe = 52,3 W m-1 K-1 (für 5.2).

6 Literatur

Bergmann-Schäfer: Lehrbuch der Experimen-talphysik. de Gruyter Lehrbuch, 11. Auflage1998


7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Wärmeleitung? Welche Prozes-se spielen dabei eine Rolle?

7.2 Welche systematischen Fehler erkennenSie in der Messanordnung?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise einesThermoelements!

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Isothermen eines realen Gases(Schwefelhexafluorid SF6) sind für vierverschiedenen Temperaturen aufzunehmenund der kritische Punkt ist aufzusuchen.

1.2 Aus den Messdaten sind die kritischenDaten pk, Vk und Tk, die Stoffmenge und dievan-der-Waals-Koeffizienten zu ermitteln.

1.3 Aus der Dampfdruckkurve pS(T) ist diemolare Verdampfungswärme zu bestimmen.

2 Grundlagen

Im Modell des idealen Gases werden dieGasteilchen als Punktmassen betrachtet, dienur durch ihre Masse und ihre Geschwindig-

Reales Gas W 21


55

p V N k T n R T⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (1)

p V R Tm⋅ = ⋅ . (2)

a p V b Vk m k m k= =313

2, ,, (5)

( )pn aV

V nb n R T+

⋅ − = ⋅ ⋅

2

2 (3)

( )pa

VV b R T

mm+

⋅ − = ⋅2 . (4)

Abb.1: Isothermen eines realen Gases nachVAN DER WAALS (Clapeyron-Diagramm)

keit charakterisiert werden. Mit Hilfe derkinetischen Gastheorie findet man in diesemsehr einfachen Modell die Beziehung

zwischen den Zustandsgrößen Druck p,Volumen V und Temperatur T . Dabei bedeuten N : Teilchenanzahl k : Boltzmannkonstante n : Stoffmenge R = NA @ k : molare Gaskonstante NA : Avogadrokonstante

Führt man das Molvolumen Vm = V / n ein,so vereinfacht sich (1) zu

In vielen Fällen wird das Verhalten realerGase durch (2) recht genau beschrieben. Beigroßen Dichten (d. h. große Drücke oderkleine Temperaturen) gibt es jedoch deutlicheAbweichungen vom “idealen” Verhalten, diedurch das in diesem Fall nicht mehr ver-nachlässigbare Eigenvolumen der Teilchenund durch die vor allem bei kleinen Ab-ständen merklichen attraktiven Wechsel-wirkungen zwischen den Teilchen hervor-gerufen werden.Um zu einer für reale Gase besser geeigneteZustandsgleichung zu gelangen, muss man in(1) bzw. (2) entsprechende Korrekturenanbringen. Damit erhält man die Zustands-gleichung nach VAN DER WAALS

bzw. mit Hilfe des Molvolumens vereinfacht

Die Korrekturen berücksichtigen den Binnen-druck (Kohäsionsdruck) a/Vm

2 sowie das vander Waals'sche Kovolumen b (das vierfacheEigenvolumen der Teilchen, welches für ihreBewegung nicht zur Verfügung steht).

Die van-der-Waals-Gleichung beschreibtauch noch die Verflüssigung von Gasenzufriedenstellend. Die Isothermen im p-V-Diagramm (Abb.1) sind Hyperbeln 2. Grades.Für Temperaturen T1 < Tk verläuft eine realeZustandsänderung zwischen den Punkten Aund B entlang einer Geraden (der “Maxwell-geraden”). Dabei kondensiert das Gas zurflüssigen Phase; in A ist nur Gas, in B nurFlüssigkeit vorhanden. Für T = Tk entartet derBereich zwischen A und B zu einem Punkt.Oberhalb Tk, der kritischen Temperatur, findetkein Phasenübergang mehr statt. Der graueBereich in Abb.1 kennzeichnet das Koexis-tenzgebiet von Flüssigkeit und Gas.

Am kritischen Punkt verschwinden dieUnterschiede in den physikalischen Eigen-schaften zwischen Flüssigkeit und Gas. Aus den kritischen Zustandsgrößen pk, Vk undTk, die experimentell bestimmt werden kön-nen, lassen sich die van-der-Waals-Koeffi-zienten a und b bestimmen. In diesem Punkt

sind 1. und 2. Ableitung und Null∂∂

p

V∂

∂

2

2

p

V

(Horizontalwendepunkt). Aus Gl.(4) folgtdamit:

mit Vm,k = Vk / n.


56

( )limV

p V n R T→ ∞

⋅ = ⋅ ⋅ (6)

( )Q Tdp

dTV VG Fl= − (7)

Abb.2: Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes

Die Stoffmenge n kann mit Hilfe folgenderÜberlegung bestimmt werden: Mit wachsen-der Verdünnung (V÷ 4) nähern sich dieEigenschaften des realen Gases denen desidealen Gases immer mehr an. Es gilt also

Trägt man p@V über 1/V graphisch auf undextrapoliert nach 1/V = 0, so kann man aus(6) die Stoffmenge berechnen.

Im Bereich der Koexistenz von flüssiger undgasförmiger Phase herrscht (im thermodyna-mischen Gleichgewicht) ein konstanterDruck. Dieser heißt Sättigungsdampfdruck pS;er hängt von der Temperatur (und natürlichvom Stoff) ab. Trägt man die bei verschiede-nen Temperaturen gemessenen Sättigungs-dampfdrücke über der Temperatur auf, soerhält man die Dampfdruckkurve.Mit der CLAUSIUS-CLAPEYRON-Gleichung

kann aus der Dampfdruckkurve p(T ) und derDifferenz zwischen Gas- und Flüssigkeits-volumen (siehe Abb.1) die Verdampfungs-wärme Q bestimmt werden. Am kritischenPunkt wird VG = VFl , folglich wird die Ver-dampfungswärme dort Null. Für VG o VFL istsie dagegen näherungsweise konstant.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Gerät zur Untersuchung des kritischen

Punktes - Umwälzthermostat

3.1 Das Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes (Abb.2) besteht aus einer mitQuecksilber gefüllten Kompressionskammermit aufgesetztem Messrohr aus besondersdruckfestem Glas. Das zu untersuchende GasSF6 wird mit einem Handrad in dieses Rohrhinein komprimiert. Am Messrohr ist eineSkale zur Volumenmessung angebracht, mit

der Kompressionskammer verbunden ist einManometer zum Messen des Druckes bismaximal 50 bar = 50 @105 Pa.Das Messrohr ist von einer transparentenWasserkammer umgeben, welche die Be-obachtung des Testgases gestattet. Die Tem-peratur des Wassers kann mit Hilfe desUmwälzthermostaten geregelt und mit einem(in Abb.2 nicht gezeigten) genauen Thermo-meter gemessen werden.

Die kritische Temperatur von SF6 ist 45,5 °C.


Achtung!

Der Maximaldruck von 50 bar darf aufkeinen Fall überschritten werden. DieTemperatur darf 60 °C nicht übersteigen.

Das Quecksilber soll nie unter den Ansatzdes Glasrohres abgesenkt werden. NachBeendigung des Versuches ist ein Volumenvon etwa 4 cm3 einzustellen.

Die Isothermen sollen bei den Temperaturen


57

25 °C, 35 °C, 45 °C und 55 °C aufgenom-men werden. Warten Sie nach Erreichen derSolltemperatur noch einige Minuten, bis dasGas in dem dickwandigen Glasrohr dieTemperatur der Umgebung angenommen hat.Beginnen Sie mit der Messung von p und Vbei V = 4 ml und verringern Sie das Volumenanfangs in Schritten von 0,4 ml. Bei V < 2 mlsollte die Schrittweite auf 0,2 ml und in derUmgebung der Punkte A und B (Abb.1) auf0,1 ml oder noch kleinere Werte verringertwerden. Die Messreihen sind bis zu einemDruck von annähernd 50 bar fortzusetzen.

Beobachten Sie die Effekte, die in der Nähedes kritischen Punktes auftreten. Beschreibenund erklären Sie Ihre Beobachtungen. Variie-ren Sie hierzu die Temperatur geringfügig(höchstens ± 1 K) um den kritischen Wert.Versuchen Sie, durch geschicktes Experimen-tieren die Veränderung bis nahe an dasvöllige Verschwinden der Phasengrenze zuverfolgen. Folgendes können Sie unter Ande-rem sehen: übersättigten Dampf, kritischeOpaleszenz, Verringerung der Oberflächen-spannung und der Reflektivität der Phasen-grenze.

Die kritischen Werte TK, pK und VK sind zuprotokollieren!

5 Auswertung

5.1 Die Isothermen sind in einem p-V-Diagramm graphisch darzustellen und derkritische Punkt ist einzuzeichnen.

5.2 Tragen Sie in einem zweiten Diagrammfür alle Messreihen p@V über 1/V auf undextrapolieren Sie linear bis nach 1/V = 0.Ermitteln Sie die Stoffmenge n entsprechend

Gl.(6) aus den Schnittpunkten der Extra-polationsgeraden mit der Ordinate.Berechnen Sie nach (5) die van-der-Waals-Koeffizienten a und b.Zeichnen Sie in das p-V-Diagramm aus 5.1zusätzlich die Isotherme für das ideale Gasbei T = 55 °C ein.

5.3 Zeichnen Sie die DampfdruckkurvepS (T ) und bestimmen Sie näherungsweiseden Anstieg der Kurve in jedem Messpunkt.Berechnen Sie mit Hilfe von Gl.(7) an jederMesstemperatur T < Tk die molare Verdamp-fungswärme Qm = Q/n. Dabei sind die Volu-mina VG und VFl dem p-V-Diagramm zuentnehmen. Die ermittelten Größen T, pS,dp/dT, VG!VFl und Qm sind übersichtlich ineiner Tabelle darzustellen.

Diskutieren Sie alle Ergebnisse und verglei-chen Sie, soweit möglich, mit Literatur-werten.

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Worin unterscheidet sich ein reales vomidealen Gas?

7.2 Welche Phänomene treten in der Nähedes kritischen Punktes auf?

7.3 Wie ist die “kritische Opaleszenz” zuerklären?

Grundpraktikum II E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen

58

Abb.1: Ersatzschaltbild einer Spannungs-quelle

U I R I Ri L0 = ⋅ + ⋅ (1)

U I RK L= ⋅ . (2)

U U I RK i0 = + ⋅ . (3)

IU

R RL i

=+

0 . (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinienverschiedener Gleichspannungsquellen sindaufzunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Bei der Messung elektrischer Spannungen(besonders bei sehr kleinen Spannungen wieBiopotentialen) hängen die Messergebnisseentscheidend von der Wahl des Messverfah-rens ab. Genauso wie bei Spannungsmessun-gen an Akkumulatoren oder Batterien, kannauch bei Messungen an biologischen Objek-ten (z.B. EKG-Ableitung) nicht ohne Rück-wirkung auf die Spannung gemessen werden.Zwischen der zu messenden Spannungsquelle(U0 - Urspannung) und den Klemmen desMessgerätes (UK - Klemmenspannung)besteht ein zusätzlicher Innenwiderstand Ri,der vom “Innenleben” der Spannungsquelleabhängt. Der innere Widerstand des an-geschlossenen Messgerätes stellt den Last-widerstand RL dar, mit dem die Spannungs-quelle während der Messung belastet wird.Dieser Zusammenhang wird im allgemeinenErsatzschaltbild für eine Spannungsquelledargestellt (Abb.1).

Mit dem Maschensatz (ÿ KIRCHHOFFscheGesetze) folgt für diesen einfachen Strom-kreis:

mit I als fließendem Strom.Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

Damit lässt sich (1) schreiben als:

Der Innenwiderstand kann aus der Abhängig-keit der Klemmenspannung UK vom Strombestimmt werden. Wenn die Größenordnung des Innenwider-standes bekannt ist, dann kann man meist eingeeignetes Spannungsmessverfahren (bzw.Messgerät) auswählen, bei dem RL o Ri ist.Dann gilt I@Ri n UK bzw. UK . U0, d. h. dieUrspannung U0 (auch Leerlaufspannunggenannt) wird nahezu unverfälscht gemessen.Mit Hilfe einer Kompensationsschaltung istes auch möglich, die Leerlaufspannungunmittelbar (bei I = 0) zu messen.

Entsprechend Gl. (3) liegt an den Polen einerSpannungsquelle im unbelasteten Zustand,das heißt wenn der Quelle kein Strom ent-nommen wird, die Urspannung U0 oderLeerlaufspannung (früher auch als elektro-motorische Kraft bezeichnet) an. Wird nun andie Spannungsquelle ein “Verbraucher”angeschlossen, so dass ein Strom fließt, sowird die Spannung an den Polen der Quelleauf einen Wert sinken, der als Klemmen-spannung UK bezeichnet wird.Für den Laststrom folgt aus (3):

Aus Gleichung (3) ist zu erkennen, dass dieKlemmenspannung linear mit der Strombela-

Innenwiderstand von Spannungsquellen E 7


59

Abb.2: Strom-Spannungs-Kennlinie einerSpannungsquelle mit konstantem Innenwider-stand.

P P PU

R Rg i Li L

= + =+

02

. (8)

η = =+

=

+

P

P

R

R R R

R

L

G

L

i L i

L

1

1.

(9)

P U IL K= ⋅ (5)

( )P

U

R RRL

i L

L=+

⋅02

2 . (6)

( )P

U

R RRi

i L

i=+

⋅02

2 . (7)

stung sinkt. Die graphische Darstellung desZusammenhangs zwischen Klemmenspan-nung und Strom wird als Strom-Spannungs-Kennlinie einer Spannungsquelle bezeichnet.Abbildung 2 zeigt eine solche Kennlinie füreine Spannungsquelle mit konstantem Innen-widerstand. Aus der Darstellung geht hervor,dass bei I = 0 die Klemmenspannung UK

gleich der Urspannung U0 ist. Mit abnehmen-dem Lastwiderstand RL steigt der Strom unddie Klemmenspannung sinkt, bis der Span-nungsabfall über Ri den Wert der Urspannungerreicht hat. Jetzt ist der Lastwiderstand Nullund der Spannungsabfall am InnenwiderstandRi ist gleich der Urspannung U0. Diesen Fallnennt man Kurzschluss. Im Kurzschlussfallwird UK Null und es fließt der maximalmögliche Strom, der als Kurzschlussstrombezeichnet wird.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielTrockenbatterien oder Akkumulatoren auf, dasie einen relativ konstanten Innenwiderstandbesitzen.

Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher(Widerstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über denInnenwiderstand Ri) einen Teil der am ge-samten Umsatz beteiligten Leistung auf. Diean den Verbraucher abgegebene Leistung

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)umgeformt werden zu:

Analog gilt für die in der Spannungsquelleverbrauchte Leistung:

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die innerhalb der Spannungsquelleverbrauchte Leistung gering zu halten, solltedie Bedingung RL >> Ri eingehalten werden,d.h. es muss in Leerlaufnähe gearbeitetwerden. Diese Forderung gilt für Primär- undSekundärelemente wegen deren endlicherKapazität (entnehmbare Ladung), die übli-cherweise in Ah (Amperestunden) angegebenwird und die nicht mit der Kapazität einesKondensators verwechselt werden sollte.Anders ist die Situation bei Solarzellen, dadie Sonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, dem Verbraucher einemöglichst hohe Leistung zuzuführen. DerLastwiderstand RL, für den die Leistung PL

maximal wird, kann bestimmt werden indemdie erste Ableitung von Gleichung (6)dPL/dRL = 0 gesetzt wird. Es ergibt sich dieeinfache Beziehung RL = Ri. In diesem Fallspricht man von (Leistungs-) Anpassung.


60

Abb.3: Versuchsschaltung

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:verschiedene Gleichspannungsquellen:

Trockenbatterie, Bleiakku, Solarzellen-modul

verschiedene Lastwiderstände:Schiebewiderstand 140 Ω, Drehwider-stand 5 Ω, 4 Dekadenwiderstände 1/10/100/1000 Ω

2 Digitalmultimeter1 SchalterVerbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:Für die Aufnahme der Strom-Spannungs-Kennlinie wird die Schaltung nach Abb.3aufgebaut. Als Spannungsmesser wird einMessgerät mit hohem Eingangswiderstand

verwendet, so dass die Spannungsquelle beigeöffnetem Schalter nur mit einem minimalenStrom belastet wird.


Achtung!Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durcheinen Kurzschluss können Kabel ver-schmelzen! Falsch angeschlossene Mess-geräte können beschädigt werden! LassenSie die Schaltung vor dem Anschließen derSpannungsquellen kontrollieren!

Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderstände

vertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Messen Sie die Leerlaufspannungen U0 fürden Bleiakku und für die Trockenbatterie.Damit diese beiden Spannungsquellen wäh-rend der Messung nicht zu stark entladenwerden, muss der Strom begrenzt werden auf3 A für den Bleiakku und 200 mA für dieTrockenbatterie. Berechnen Sie aus diesenWerten die erforderlichen Lastwiderstände RL

und entscheiden Sie dann, welche Wider-stände Sie für die Batterie und den Akkuverwenden wollen. Für das Solarzellenmodulwerden die vier Dekadenwiderstände (0 …10000 Ω) verwendet. Stellen Sie die ver-änderlichen Widerstände (den Schiebewider-stand bzw. die Dekadenwiderstände) vorBeginn der Messung so ein, dass die genann-ten Ströme in keinem Fall - auch nicht bei zuvernachlässigendem Innenwiderstand -überschritten werden.Zur Aufnahme der I-U-Kennlinie wird dieSchaltung nach Abbildung 3 aufgebaut. Für die Kennlinie des Akkus werden minde-stens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehöri-gen Klemmenspannungen Uk sowie dieUrspannung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden min-destens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 200 mA gewählt. Die da-zugehörigen Klemmenspannungen Uk sowiedie Urspannung U0 (bei I = 0) sind wieder zumessen.Für das Solarzellenmodul ist die gesamte I-U-Kennlinie, d.h. von der Leerlaufspannung biszum Kurzschlussstrom, aufzunehmen. Eswerden mindestens 20, bezüglich der Stroms-tärke möglichst äquidistante Punkte gemes-sen. Hier sind neben der Stromstärke I undder Klemmenspannung Uk auch die Werte derzugehörigen Lastwiderstände RL zu erfassen.


61

Abb.4: Bestimmung des Innenwiderstandeseiner Spannungsquelle mit Hilfe der linearenRegression.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien graphischdargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungs-quellen sind die Innenwiderstände aus demAnstieg der Regressionsgeraden in dengraphischen Darstellungen zu ermitteln. Ausdem Schnittpunkt der Geraden mit der Ordi-nate wird die Urspannung U0 bestimmt unddann aus diesen beiden Werten der Kurz-schlussstrom berechnet. Vergleichen Sie dieso bestimmte Urspannung mit dem gemesse-nen Wert! Wie ist die Genauigkeit des be-rechneten Kurzschlussstromes zu bewerten?

Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene Leistung

PL nach (5) berechnet. Der InnenwiderstandRi, der Lastwiderstand RL sowie die LeistungPL sind in Abhängigkeit vom Strom grafischdarzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung)!

6 Literatur

Geschke, D.: Physikalisches Praktikum. B.G.Teubner Stuttgart Leipzig 2001

Walcher, W.: Praktikum der Physik. B.G.Teubner Stuttgart 1989

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung.

7.4 Sie haben die Aufgabe, mit einemVoltmeter die Urspannung einer Spannungs-quelle mit dem Innenwiderstand Ri = 500 kΩzu bestimmen. Wie groß muss der Innen-widerstand des Messgerätes mindestens sein,damit der Messwert um nicht mehr als 1%vom wahren Wert abweicht?

Grundpraktikum II E 10 Thermospannung

62

Abb.2: Kompensationsschaltung

U TT = ⋅α ∆ . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

1 Aufgabenstellung

Der SEEBECK-Koeffizient eines Thermo-elementes ist mit Hilfe einer Kompensations-methode zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.

Verbindet man zwei verschiedene Leiter zueinem Stromkreis (Abb.1) und bringt diebeiden Kontaktstellen auf verschiedeneTemperaturen T0 und T1, so entstehen in denbeiden Leitern unterschiedliche innere Poten-tiale. Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.

(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und das Mess-gerät, isotherm sein.)

In vielen Lehrbüchern wird die Thermospan-nung falsch als „Kontaktspannung“ erklärt.Dies ist nicht richtig! (siehe Literaturhinweis)Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ∆T =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie bieten den Vorteil,dass sich die Thermospannungen unmittelbarals Eingangssignale für Computer, Steuer-und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Kompensationsschaltung: Die Messungder Urspannung einer Spannungsquelle ist nurmöglich, wenn der Quelle dabei kein Stromentnommen wird (siehe Versuch E 7). Strom-lose Spannungsmessungen lassen sich mitHilfe einer Kompensationsschaltung vorneh-men (Abb.2).

Hierzu werden neben der zu messendenSpannungsquelle U0 eine Hilfsspannungs-

Thermospannung E10


63

1 2

10 1

1 2

.

h

E

U I R I R

RU I R U

R R

= ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅+

(2)

Abb.3: Versuchsaufbau

IURh

h= . (3)

U R IR U

Rhh

1 11= ⋅ =

⋅. (4)

quelle Uh (genau bekannte Spannung, gerin-ger Innenwiderstand), ein Spannungsteiler(bestehend aus den Teilwiderständen R1 undR2) und ein Galvanometer (hochempfindli-ches Amperemeter, Nullinstrument) benötigt.Wird jetzt durch Veränderung des Verhält-nisses zwischen R1 und R2 erreicht, dass derSpannungsabfall über R1 gleich der SpannungU0 ist, so wird der Spannungsquelle U0 keinStrom entnommen.Für die beiden Maschen in der Schaltung inAbb.2 gilt in diesem Fall nach der KIRCH-HOFFschen Regel:

Mit Hilfe des Galvanometers kann die Kom-pensationsschaltung genau abgeglichenwerden; U0 wird dann nach (2) berechnet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Halterung mit Thermoelement- Heizplatte mit Magnetrührer- Becherglas- Alu-Gefäß- Rührstäbchen- Digitalthermometer- Stöpselwiderstand- elektronisches Galvanometer- Akkumulator- Vielfachmesser- Verbindungsleitungen

3.1 Zur Bestimmung der Thermospannun-gen UT wird eine Kompensationsschaltungnach Abb.3 verwendet. Die linke Lötstelledes Thermoelementes wird mit Hilfe einesEis-Wasser-Gemisches auf einer konstantenTemperatur von T0 = 0EC gehalten; dieTemperatur der rechten Lötstelle T1 kanndurch die Erwärmung des Wasserbades (Alu-Gefäß) verändert werden. Für T1-T0 = ∆T … 0entsteht eine Thermospannung UT .Die Widerstände R (Gesamtwiderstand) undR1 (Teilwiderstand von R) werden durch denPräzisions-Stöpselwiderstand gebildet. Dieserkann durch Einstecken von Metallstöpselnverändert werden (dabei werden jeweils dieaufgedruckten Teilwiderstände kurzgeschlos-sen). Mit Hilfe zweier Abgriffstöpsel kann einbeliebiger, genau definierter Teilwiderstandabgegriffen werden.Der Stöpselwiderstand ist an einem Akkumu-lator mit der (Hilfs-) Spannung Uh ange-schlossen, es fließt ein Strom Ih:

Der Spannungsabfall U1 am Widerstand R1

zwischen den verstellbaren Abgriffspitzen(Abb.3) beträgt

Mit dieser (Gegen-) Spannung U1 kann dieThermospannung UT kompensiert werden; esist U1 = UT, wenn der Thermostrom IT, dervom Galvanometer G angezeigt wird, gleichNull ist.


Achtung! Bevor der Akku an den Stöpsel-widerstand angeschlossen wird, muss dieSchaltung vom Assistenten überprüft werden!Beim Auf- und Abbau des Versuches sowiebeim Messen darf das Galvanometer nichtüberlastet werden!

Bauen Sie die Schaltung nach Abb.3 auf. Der


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α =ddUT

T . (5)

Gesamtwiderstand R des Stöpselwiderstandesist durch Einfügen von Messingstöpselngeeigneter Anzahl und Position so einzurich-ten, dass der Strom Ih = 0,05 mA beträgt.Dazu ist R zunächst mit Hilfe der aufgedruck-ten Akku-Spannung Uh zu berechnen. NachInbetriebnahme der Schaltung erfolgt einFeinabgleich m.H. des Amperemeters.

Das Becherglas ist mit einer Eis-Wasser-Mischung zu füllen, so dass die linke Löt-stelle eine Temperatur von T0 = 0EC an-nimmt. Dazu wird das Eis in der neben demWaschbecken bereitstehenden Keramik-schüssel fein zerstoßen. Das Alu-Gefäß istmit Wasser von ca. 5°C zu füllen (einigeEisstückchen hineingeben). Es ist ein Widerstand R1 so einzustellen, dassam Galvanometer G ein negativer Ausschlagentsteht, d.h. U1 > UT. Erwärmt man dann das Wasserbad (unterständigem Rühren), so steigt T1 und damit dieThermospannung UT. Wenn IT = 0 ist (Null-durchgang am Galvanometer), ist UT = U1. Indiesem Moment ist die Temperatur T1 ab-zulesen. Danach wird die Gegenspannung U1

mit Hilfe von R1 wieder erhöht (Linksaus-schlag am Galvanometer). Die weitere Erwärmung führt erneut zu IT = 0(also UT = U1), wobei beim Nulldurchgangdes Zeigers am Galvanometer wieder dieTemperatur T1 gemessen wird. Dieses Ver-fahren wird bis zur Siedetemperatur fortge-setzt. Zur Einstellung der Gegenspannungen U1

empfiehlt es sich, folgende Widerstandswertefür R1 zu wählen: 5Ω, 10Ω, 15Ω, 20Ω, …

5 Auswertung

Für alle Messpunkte wird die Thermospan-nung UT berechnet und in Abhängigkeit von

der Temperatur T1 graphisch dargestellt. Aus der graphischen Darstellung ist dieThermokraft (der Seebeckkoeffizient) α durchlineare Regression zu ermitteln. VergleichenSie das Ergebnis mit Literaturwerten!

Zusatzaufgabe:Wurden die Messungen sehr sorgfältig durch-geführt, so sollte aus der Grafik zu erkennensein, dass die Thermospannung nicht exaktlinear mit der Temperatur ansteigt. Passen Sieeine Parabel oder einen Polynom höherenGrades an die Messwerte an und berechnenSie den Seebeckkoeffizient als Funktion derTemperatur durch Differenzieren:

Stellen Sie α als Funktion der Temperaturgraphisch dar.

6 Literatur

Bergmann-Schäfer: Lehrbuch der Experimen-talphysik, Bd. II, de Gruyter, Berlin - NewYork 1987

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Wie entsteht eine Thermospannung?

7.2 Welche Vorteile hat ein Thermoelementverglichen mit anderen Temperaturmess-verfahren?

7.3 Warum verwendet man zur Messung derThermospannung eine Kompensationsschal-tung?

Anhang Hinweise zur Bedienung von Cassy-S

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Hinweise zur Bedienung des Computer-gesteuertenMesswerterfassungssystems Cassy-S

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CassyLab. Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung, die mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte pro Sekunde)erfasst werden. Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.Pocket- und Mobile-Cassy besitzen die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal,messen nur 104 bzw. 5 Werte pro Sekunde und benötigen keinen Stromanschluss. Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte an, kann Werte speichern und ermöglicht dieAuswahl von Messgröße und Messbereich.Die Software CassyLab steuert die Messung, stellt die Messergebnisse in einfacher Weisegrafisch dar und bietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung istrelativ einfach und erfordert nur wenige Grundkenntnisse. CassyLab ist beim Hersteller unterhttp://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vomMessungen aus dem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PCverbunden und mit Strom versorgt sind. Starten Sie nun das Programm CassyLab. Der DialogEinstellungen, Cassy wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Gerätekonfiguration.

Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechende Eingang oder Ausgang ââââ angeklicktwerden. Es erscheint ein Fenster, in dem der Eingang bzw. Ausgang konfiguriert werden kann:

Messgröße (falls mehreremöglich sind), Stellgröße(bei einem Ausgang),Messbereich (dazu gehörtauch Nullpunkt rechts,links oder Mitte) und ggf.weitere Parameter müssenden Erfordernissen ent-sprechend eingestellt wer-den.

Nun müssen noch dieMessparameter eingestelltwerden (Button Messpara-meter anzeigen im FensterEinstellungen):


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Automatische Aufnahme bedeutett, dass der Computer mehrere Messpunkte nacheinanderaufzeichnet. Neue Messreihe anhängen bewirkt, dass in einer Grafik mehrere Messreihen (d. h.Kurven) dargestellt werden können. Die wichtigste Größe, die hier auf einen sinnvollen Werteingestellt werden muss, ist das MessIntervall. Bei 10 µs entstehen pro Sekunde 100.000Messwerte! Aus Intervall und Messzeit ergibt sich die Anzahl der Einzelmessungen. Wenn beiMesszeit kein Wert eingetragen ist, wird die Messreihe fortgesetzt bis sie manuell gestoppt wird.

Eine Messreihe kann mit F9 oder durch Klick auf gestartet und beendet werden.

Grundlegende Bedienelemente

Es gibt keine Menüzeile wie inden meisten Programmen üb-lich. Alle Funktionen lassensich entweder über die Button-

leiste ãããã bzw. die zugehörigenFunktionstasten oder überKontext-Menüs (Rechts-Klickauf Messwerte, Diagramm,Achsen, Messinstrumente etc.)erreichen.

ääää Anzeigeinstrument.Rechts-Klick: Messgrößeund Messbereich ein-stellen

åååå Umschalten zwischenmehreren Darstellungen(definieren in Einstel-lungen)

ææææ Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

çççç Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Anzeige-Einstellungen, Anmerkungen und Markierungen einfügen, alle mathematischenAuswertungen

èèèè Achsen bzw. Skalen können verschoben und mit Rechts-Klick geändert werden

éééé Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen


67

êêêê Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm ausdrucken (Bitte drucken Sie keine Tabelle mit 10.000 Werten!!)

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Das Fenster Einstellungen aufrufen; zweimal drücken für Messparameter

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F1 Hilfe

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument IA1 ein/aus schalten

Tipps und Tricks zu CassyLab

• Klicken Sie mit der rechten Maustaste in das Diagramm um ein Menü mit allen Anzeige-und Auswertefunktionen zu erhalten.

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Änderung des Messbereiches: Rechts-Klick auf das betreffende Anzeigeinstrument.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• In den Einstellungen auf der Seite Parameter/Formel/FFT kann eine neue physikalischeGröße erzeugt werden, die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelleeingetragen werden kann. Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) derWiderstand R(t) als Funktion der Zeit berechnet werden, oder aus dem gemessenen Weg s(t)durch Differentiation die Geschwindigkeit. Die Regeln für die Eingabe von Formeln findenSie in der Hilfe.

• Zusätzliche Diagramme können in den Einstellungen auf der Seite Darstellung als „neueDarstellung“ angelegt werden. Beispiel: Sie messen die Temperaturen T1 und T2 alsFunktion der Zeit; dann können Sie in einem weiteren Diagramm T2 als Funktion von T1

darstellen.

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.lab Dateien) auch am eigenen PC zuhause oder im Computerpool auswerten. Messwertekönnen als *.txt Dateien exportiert werden (mit F2 speichern und Dateityp ASCII Exportauswählen) und mit anderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und Datenanalysesoftware Origin 8.0zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software, die sich auch vonzuhause aus nutzen lässt. Nähere Informationen hierzu gibt es in Stud.IP und auf den Webseitendes Universitäts-Rechenzentrums.

1. Grundsätzliches

• Englisch ist die empfohlene und voreingestellte Sprache. Im Help Menü kann auf Deutschumgestellt werden, dann sind jedoch einige Begriffe ungünstig oder falsch übersetzt.

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur die Arbeitsmappe Book1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten erzeugt man mittels Rechtsklick in

den leeren Bereich oder mit ., weitere Arbeitsmappen mit File - New... oder .

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Plot wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

2. Arbeitsmappen (Workbook)

• Die Dateneingabe ist Windows-typisch. Weitere Spalten erhält man mit .

• In den Spaltenkopf sollte man immer Long Name und Units eingetragen - sie werdenautomatisch in die Achsen-Beschriftung und in die Legende einer Grafik übernommen.

• Denominierung von Spalten als x oder y: Rechtsklick in Spaltenkopf und Set As auswählen.

• Rechnen mit Spalten: Rechtsklick in Spaltenkopf und Set Column Values... wählen.

Syntax: Spalte A ! Spalte B col(A) !col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

%&x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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3. Grafiken (Graph)

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einer bereits existierenden Grafik:

Weg1: in der Arbeitsmappe die zu zeichnenden Spalten auswählen (markieren); in dasgewünschte Koordinatensystem (“Layer”) klicken; im Menü Graph - Add Plot to Layer

wählen.

Weg 2: Doppelklick auf das “Layersymbol” links oben im Graph, unter Available Data

Spalten auswählen, den => Button klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Graph - New Layer (Axes) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Graph - New Legend

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit den Werkzeugen Screen Reader / Data Reader .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; denDiagrammtyp “Linie + Symbol” wählen; Linie - Connect - Spline oder B-Spline einstellen.

• Lineare Regression: Analysis - Fit Linear wählen. Bei mehreren Kurven vorher im MenüDaten die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve angepasst werden, dann

vorher mit den Werkzeugen Data Selector und Mask Tool den Bereich einschränken.Mit Fit Linear: Grundpraktikum-Standard wird die Regression sofort ausgeführt, alleParameter sind bereits für die meisten Anwendungsfälle im Praktikum sinnvoll eingestellt.

4. Ausdruck von Grafiken und Arbeitsmappen

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Arbeitsmappen mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Solche mit nur drei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Arbeitsmappen und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

File - New... Layout wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Arbeitsmappen hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik, Arbeitsmappe oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Anhang Naturkonstanten

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Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 @ 108 m/s. 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,673 9 @ 1011 N m2 kg!2

Elementarladung e0 = 1,602 177 33 @ 10!19 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 389 7 @ 10!31 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 277 @ 10!27 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 @ 10!12 A s V!1 m!1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante µ0 = 1,256 637 1 @ 10!6 V s A!1 m!1

(Permeabilität des Vakuums)

Planck-Konstante h = 6,626 075 5 @ 10!34 J s(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 7 @ 10!15 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 136 7 @ 1023 mol!1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 658 @ 10!23 J/K

Gaskonstante R = 8,314 510 J mol!1 K!1

Faraday-Konstante F = 9,648 4 @ 104 As/mol

grundpraktikum physik i und ii · m 4 oberflächenspannung von flüssigkeiten ... flüssigkeiten...

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