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Mechanik

Grundlagen

Dominik Zobel

MechanikLernwochenende H13

GrundlagenDominik Zobel 20. Juli 2013

1

Übersicht

Wissen Mathematik

Winkelerkennung

Sinus und Kosinus

Vektoren

Wissen Mechanik

Rechtssysteme

Freischneiden

Bestimmtheit

Schwerpunkte



2

Übersicht

Wissen MathematikWinkelerkennung

Sinus und Kosinus

Vektoren

Wissen Mechanik

Rechtssysteme

Freischneiden

Bestimmtheit

Schwerpunkte



2

Übersicht

Wissen MathematikWinkelerkennung

Sinus und Kosinus

Vektoren

Wissen MechanikRechtssysteme

Freischneiden

Bestimmtheit

Schwerpunkte



2

Winkelerkennung

y

x

α

ll



3

Winkelerkennung

y

x

α

ll

ϕ1



3

Winkelerkennung

y

x

α

ll

ϕ1

Was stimmt?

ϕ1 = 180◦ − α

ϕ1 = 90◦ + α

ϕ1 = 90◦ − α



3

Winkelerkennung

y

x

α

ll

ϕ1α

α

α

Was stimmt?

ϕ1 = 180◦ − α

ϕ1 = 90◦ + α

ϕ1 = 90◦ − α



3

Winkelerkennung

y

x

α

llα

α

α



3

Winkelerkennung

y

x

α

llα

α

α

Was stimmt?

l − sin (α)

l sin (α)− l cos (α)

l cos (α)− l sin (α)



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ll

l

l

ϕ2



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ll

l

l

ϕ2

α

Was stimmt?

ϕ2 = α+ β

ϕ2 = 90− β

ϕ2 = 90− α



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ll

l

l

ϕ2

α

ξ

ξ

ξ

Was stimmt?

ϕ2 = α+ β

ϕ2 = 90− β

ϕ2 = 90− α



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ϕ3

ll

l

l

r

r



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ϕ3

ll

l

l

r

r

Was stimmt?

ϕ3 = 180◦ − 2α− β

ϕ3 = 90◦

ϕ3 = 2α+ β



3

Winkelerkennung

y

x

α

β

ϕ3

ll

l

l

r

r

45◦

45◦

Was stimmt?

ϕ3 = 180◦ − 2α− β

ϕ3 = 90◦

ϕ3 = 2α+ β



3

Sinus und Kosinus

sin (0◦) = 0 = cos (90◦)√1

2 = 12√

22√3

2sin (90◦) =

√4

2 = 1 = cos (0◦)



4

Sinus und Kosinus

45◦

45◦a

√2a

a

sin (0◦) = 0 = cos (90◦)√1

2 = 12

sin (45◦) =√

22 = cos (45◦)√3

2sin (90◦) =

√4

2 = 1 = cos (0◦)



4

Sinus und Kosinus

30◦

60◦r2

√3

2 rrsin (0◦) = 0 = cos (90◦)sin (30◦) =

√1

2 = 12 = cos (60◦)

sin (45◦) =√

22 = cos (45◦)

sin (60◦) =√

32 = cos (30◦)

sin (90◦) =√

42 = 1 = cos (0◦)



4

Vektoren

l

lylx

lz xy

z



5

Vektoren

l

lylx

lz xy

zS

Sx

Sz

Sy



5

Vektoren

l

lylx

lz xy

zS

Sx

Sz

Sy

lxl = Sx

S



5

Vektoren am Fachwerk

b

h

lxy

z



6


b

h

lxy

z

Was stimmt?

√√l2 + b22 + h2

√l2 + b2 + h2

√l2 + b2 +

√h2



6


b

h

lxy

z

AxAy

Az

Bx

Cx

Dz

Ez

Dy

Fy



6


b

h

lxy

z

AxAy

Az

Bx

Cx

Dz

Ez

Dy

Fy Was stimmt?

2 Nullstäbe

3 Nullstäbe

4 Nullstäbe



6


b

h

lxy

z

AxAy

Az

Bx

Cx

Dz

Ez

Dy

Fy

Was stimmt?

SAF =√

l2+b2+h2

b Fy

SAF = −√

l2+b2+h2

h Az

SAF = − b√l2+b2+h2 Fy

SAF = h√l2+b2+h2 Az



6

Rechtssysteme

y

xz

yx

z

Richtung des Kreuzproduktes

Momentengleichgewicht



7

Rechtssysteme

y

xz

yx

z

Rechte-Hand-Regel:

x

y

z





7

Rechtssysteme

y

xz

yx

z

Rechte-Hand-Regel:

x

y

z

Für Momente:

P

F





7

Rechtssysteme

y

xz

yx

z

Rechte-Hand-Regel:

x

y

z

Für Momente:

P

F

r





7

Freischneiden

Lager

A

y x

z

Az



8

Freischneiden

Lager

A B

y x

z

AzBx

Bz



8

Freischneiden

Lager

A B C

y x

z

CxCz

M Cy

AzBx

Bz



8

Freischneiden

Lager Gelenke

A B C

y x

z

CxCz

M Cy

AzBx

Bz

a

y x

z

Ga,zGa,x



8

Freischneiden

Lager Gelenke

A B C

y x

z

CxCz

M Cy

AzBx

Bz

a b

y x

z

Ga,zGa,x

Gb,z

M Gb,y



8

Freischneiden

Lager Gelenke

A B C

y x

z

CxCz

M Cy

AzBx

Bz

a b c

y x

z

Gc,xGc,z

M Gc,y

Ga,zGa,x

Gb,z

M Gb,y



8

Bestimmtheit

Statische Bestimmtheit:mehr GGB als Lagerreaktionen ⇔ stat. unterbestimmtmehr Lagerreaktionen als GGB ⇔ stat. überbestimmt

Kinematische Bestimmtheit:statisch unterbestimmt ⇔ kinematisch unterbestimmtstatisch überbestimmt ⇔ kinematisch bestimmtstatisch bestimmt ⇔ kinematisch bestimmt∗

∗Ausnahmen (2D):



9

Bestimmtheit



∗Ausnahmen (2D):y

xz

A B



9

Bestimmtheit



∗Ausnahmen (2D):y

xz

Ay

Ax Bx



9

Bestimmtheit



∗Ausnahmen (2D):y

xz

Ay

Ax Bx

yx

zC D E



9

Bestimmtheit



∗Ausnahmen (2D):y

xz

Ay

Ax Bx

yx

z

Cy Dy Ey



9

Bestimmtheit

yx

zA B

Was stimmt?

statisch bestimmt

kinematisch bestimmt

weder noch



10

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

xx1

x2l2

l1



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

xx1

x2l2

l1 xs



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

Flächen: xs =∑

i xiAi∑i Ai

xx1

x2l2

l1 xs

A1

A2

x1

x2

x



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

Flächen: xs =∑

i xiAi∑i Ai

xx1

x2l2

l1 xs

A1

A2

x1

x2xs

x



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

Flächen: xs =∑

i xiAi∑i Ai

Massen: xs =∑

i ximi∑i mi

xx1

x2l2

l1 xs

A1

A2

x1

x2xs

x

m1m2

x1x2

x



11

Schwerpunktsformel

xs =∑

i xiGi∑i Gi

Linien: xs =∑

i xi li∑i li

Flächen: xs =∑

i xiAi∑i Ai

Massen: xs =∑

i ximi∑i mi

xx1

x2l2

l1 xs

A1

A2

x1

x2xs

x

m1m2

x1x2xs

x



11

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm

2m



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm

2m

5m

2 3



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm

2m

5m



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm

2m

5m

7m



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

mm

2m

7m



12

Schwerpunkte

xy 3m 2m

m

7m

m

4m 3m



12

Schwerpunkte

3m 2m

m3r

4r5r

3r

xy

m



12

Schwerpunkte

3m 2m

m3r

4r5r

3r

xy

m

7m

Was stimmt?

sx = 6514r

sx = 6314r

sx = 6114r



12

Schwerpunkte

3m 2m

m3r

4r5r

3r

xy

m

7m

Was stimmt?

sy = 5114r

sy = 4914r

sy = 4714r



12

Guldinsche Formeln

x

y



13

Guldinsche Formeln

x

y

A

L



13

Guldinsche Formeln

x

y

A

L

SL

SA

Orot = 2πdLL

Vrot = 2πdAA

d∗ ist der senkrechte Ab-stand von S∗ zur Dreh-achse



13

Guldinsche Formeln

x

y

z

Orot = 2πdLL

Vrot = 2πdAA

d∗ ist der senkrechte Ab-stand von S∗ zur Dreh-achse



13

Ende

Fragen?



14

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