Grundlagen der StochastikGrundlagen der Stochastik

Florian Schraepler21/05/2007

RouletteRoulette

• Vereinigungsmenge („oder“)

• Schnittmenge („und“)

• Gegenereignis (Ē)– Rot ≠ Schwarz(\0)

Begriffe und GrundlagenBegriffe und Grundlagen

• Relative Häufigkeit– =Anzahl geglückter Versuche/AZ. aller Versuche– Geht irgendwann gegen p

• Ereignisse– ω1, ω2 ….

• Ergebnis- /Ausgangsmenge (Ω)– Menge aller möglichen Ereignisse

Begriffe und GrundlagenBegriffe und Grundlagen

• Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit

Begriffe und GrundlagenBegriffe und Grundlagen

• Wahrscheinlichkeit (p)– Ohne Einheit

Anzahl gewollter Ereignisse

|Ω|– Zahl zwischen Null und Eins– 0 = unmöglich– 1 = sicher

BeispieleBeispiele

• Würfel: Ω={1,2,3,4,5,6}

• P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6})=1/6 = 0,16

BeispieleBeispiele

• Zufallszahl aus 50, die durch 6 oder durch 9 teilbar ist.

– |Ω| = 50

– E6 = {6,12,18,24,30,36,42,48} |E 6|=8

– E9 = {9,18,27,36,45} |E9 |=5

22,050

11

50

258)(

9696

EE

EEP

KombinatorikKombinatorik

• Bsp.: „6 aus 49“– Wieviele Möglichkeiten gibt es?

• Mögliche Kombinationen aus den Zahlen von 1 bis 49

– n=49 und k=6

.52010.068.347444546474849

)1(....)2()1( knnnn

KombinatorikKombinatorik

• Mögliche Kombinationen der 6 Ziffern– Kurz:6!

12....)2()1(! kkkk

720123456!6

• Anzahl möglicher Spielausgänge:

• Wahrscheinlichkeit:

816.983.13!6

444546474849

13983816

1

UrnenbeispielUrnenbeispiel

• Bsp: Urne mit 3 schwarzen, 2 weißen und 4 gelben Kugeln– Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2

schwarze Kugeln zu ziehen

Lösung mit KombinatorikLösung mit Kombinatorik

• Nummerierung der Kugeln– S=1,2,3 W=4,5 G=6,7,8,9– Günstige Ereignisse:

E1={(1;2),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;2)}

– Mögliche Ereignisse:

– Wahrscheinlichkeit:

7289

12

1

72

6

6231 E

Lösung mit dem BaumdiagrammLösung mit dem Baumdiagramm

S,W,G

S W G

S GW S GW S GW

8

2

9

3308,0

12

1

8

2

9

3

Die VierfeldermatrixDie Vierfeldermatrix

• Die Wahrscheinlichkeit für Männer (M) und Frauen (F), an Diabetes (D) zu erkranken kann man auch anders betrachten.

M F

D 0,035 0,015

0,565 0,385D

Die VierfeldermatrixDie Vierfeldermatrix

M F Summe

D 0,035 0,015 0,05

0,565 0,385 0,95

Summe 0,6 0,4 1

D

• Wahrscheinlichkeit, an Diabetes erkrankt zu sein: P(D)=0,05

• Wahrscheinlichkeit eines Mannes, an Diabetes erkrankt zu sein:

•Wahrscheinlichkeit, dass ein Diabeteserkrankter männlich ist:

3058,06,0

035,0)( DPM

7,005,0

035,0)( MPD

QuellenQuellen

• http://mathenexus.zum.de/html/stochastik/bedingte_wahrscheinlichkeit/BedWahrscheinlichkeitVierFelderT.htm

• Duden Abiturhilfen; Stochastik I

• Cornelsen; Stochastik, 10. Schuljahr

Präsentation unter:Präsentation unter:

• http://home.arcor.de/schraepler-stuttgart/mathe