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Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie
Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie
Überblick über die wichtigsten Formeln
Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie
Inhaltsverzeichnis
1. PlanimetrieDreieck, Viereck, Vieleck, Kreis
2. Stereometrie2.1. Ebenflächig begrenzte KörperWürfel, Quader, Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf, Polyeder
2.2. Krummflächig begrenzte KörperKreiszylinder, Kegel, Kegelstumpf, Kugel
2Institut für Technik und ihre Didaktik
Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie
3Institut für Technik und ihre Didaktik
1. Planimetrie
Unter Planimetrie (griech., Flächenmessung) versteht man allgemein metrische Problemstellungen der ebenen Geometrie, insbesondere die Flächeninhaltsberechnung in der Ebene.
Der Flächeninhalt einfacher Flächen in der Ebene kann aus bekannten Längenwerten berechnet werden.
Die Errechnung komplizierter Flächen wird meist über Zerlegung in Flächenstücke erreicht.
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1.1. Das Dreieck
Die Eckpunkte eines Dreiecks werden im mathematischen Drehsinn mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.
Die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten erhalten die Bezeichnungen a, b und c.
Die jeweiligen Winkel zu den Eckpunkten werden α, β und γ genannt.
Die mit α1, β1 und γ1 bezeichneten Winkel sind Außenwinkel und entstehen, wenn die Dreiecksseiten über die Endpunkte hinaus verlängert werden.
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1.1. Das Dreieck
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad, dadurch lassen sich Dreiecke nach der Größe der in ihnen auftretenden Winkel einteilen (stumpf-, spitz- und rechtwinklig)
Außerdem lässt sich auch Eine Einteilung hinsichtlich der Beschaffenheit der Seiten vornehmen (ungleichseitige, gleichschenklige und gleich-Seitige Dreiecke)
Übersicht über die möglichen Dreiecksarten nach Euler.
ungleichseitig gleichschenklig gleichseitig
stumpf
spitz
rechtwinklig
Pester (1989), S. 35
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1.1. Das Dreieck
Sätze am Dreieck, die in der Schule behandelt werden:
- Satz des Euklid- Winkelsummensatz- Satz des Pythagoras- Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck- Kongruenzsätze- Satz des Thales- Strahlensätze- Ähnlichkeitssätze- Kreise am Dreieck: Umkreis, Inkreis, Ankreise
Flächeninhalt
Umfang
chbhahA cba2
1
2
1
2
1===
cbaU ++=
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1.2. Vierecke: Quadrat
Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind orthogonal• Die Diagonalen sind gleich lang
Flächeninhalt
Umfang
Diagonale
Umkreisradius
Inkreisradius
2ae =
aU 4=
²aA =
22
aru =
2
ar i =
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1.2. Vierecke: Rechteck
Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind gleich lang
Flächeninhalt
Umfang
Diagonale
Umkreisradius
abA =
baU 22 +=
²² bae +=
²²2
1baru +=
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1.2. Vierecke: Raute oder Rhombus
Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich• Die Diagonalen sind orthogonal
Umfang
Flächeninhalt oder2
efA =
aU 4=
bhahA ba ==
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1.2. Vierecke: gleichschenkliges Trapez
Eigenschaften:• Ein Gegenseitenpaar ist gleich lang• Ein Gegenseitenpaar ist parallel• Die Diagonalen sind gleich lang
Flächeninhalt
Umfang
hca
A2
+=
dcbaU +++=
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1.2. Vierecke: Parallelogramm
Eigenschaften:• Die Gegenseiten sind gleich lang• Die Gegenseiten sind parallel• Die Diagonalen halbieren sich
Flächeninhalt
Umfang baU 22 +=
bhahA ba ==
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1.3. Unregelmäßiges Vieleck
Ein Vieleck heißt unregelmäßig, wenn mindestens ein Winkel oder eine Seite gegenüber den anderen Winkeln und Seiten verschieden ist.
Zieht man von allen Eckpunkten Strecken zu einem beliebigen im Inneren des Vielecks gelegenen Punkt P, so erkennt man, dass die Summe W der inneren Winkel eines unregelmäßigen Vielecks bei n Ecken: W = (n-2)*180° beträgt.
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1.4. Kreis
Sätze im und am Kreis, die in der Schule behandelt werden:• Satz des Thales• Umfangswinkelsatz
Durchmesser
Radius
Flächeninhalt
Länge eines Kreisbogens
Fläche Kreissektor (in Grad)
rd 2=
2
dr =
²4
² drAπ
π ==
°=
3602
απrb
πα
²360
rAs°
=
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2. Stereometrie
Die Stereometrie (griech., Körpermessung) befasst sich mit geometrischen Gebilden im dreidimensionalen Raum.
Statt Stereometrie werden auch die Begriffe Raumgeometrie oder räumliche Geometrie verwendet.
Berechnung von Oberfläche bzw. Mantelfläche und Volumen
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2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Würfel
Eigenschaften:• Alle Kanten sind gleich lang• Seine Flächen- und Kantenwinkel sind untereinander gleich; 90°• Die sechs quadratischen Begrenzungsflächen stoßen senkrecht aufeinander.
Volumen
Oberflächeninhalt
Flächendiagonale
Raumdiagonale
³aA =
²6aAO =
2af =
3ad =
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2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Quader
Eigenschaften:Der Quader besitzt…• … sechs rechteckige Flächen, deren Winkel alle rechte Winkel sind• … zwölf Kanten, von denen jeweils vier gleiche Längen besitzen und zueinander parallel sind.
Volumen
Oberflächeninhalt
Mantelflächeninhalt
Raumdiagonale
abcV =
)(2 bcacabAO ++=
²²² cbad ++=
)(2 bcacAM +=
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2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Prisma
Die angegebenen Formeln sind für jedes Prisma mit beliebiger Grundfläche gültig.
Volumen
Mantelflächeninhalt
Oberflächeninhalt
hAV eGrundfläch *=
hUA eGrundflächM *=
AAA MO += 2
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2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Pyramide & Pyramidenstumpf
Eine Pyramide ist ein Polyeder, das von einem Vieleck und so vielen Dreiecken begrenzt wird, wie das Vieleck Seiten hat.
Ein Pyramidenstumpf entsteht immer, wenn eine Pyramide zwischen der Spitze und der Grundfläche durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten wird.
Volumen
Oberflächeninhalt
AhV eGrundfläch*3
1=
AAA MeGrundflächO +=
)(3
2211 AAAAh
V +++=
AAAA MO ++= 21
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2.1. Ebenflächig begrenzte Körper: Polyeder
Unter einem regelmäßigen Polyeder oder Platonischen Körper versteht man einen Körper, der von lauter regelmäßigen und untereinander kongruenten Vielecken begrenzt wird.
Name des regelmäßigen Polyeders
Volumen Oberflächeninhalt
Tetraeder
Oktaeder
Hexaeder
Ikosaeder
Dodekaeder
212
³aV =
23
³aV =
³aV =
)53³(12
5+= aV
)5715(4
³+=
aV
3²aAo =
3²2aAo =
²6aAo =
3²5aAo =
)525(5²3 += aAo
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kreiszylinder
Unter einem geraden Kreiszylinder versteht man einen krummflächig begrenzten Körper mit zwei konzentrischen, kongruenten und zueinander parallelen Kreisflächen als Grundflächen und einer regelmäßig gekrümmten Mantelfläche, deren Krümmung mit der Krümmung des Umfanges der Grundflächen übereinstimmt.
Volumen
Mantelfläche
Oberfläche
hrV π²=
πdhAM =
)(2 hrrAO += π
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kegel & Kegelstumpf
Unter einem Kreiskegel versteht man einen krummflächig begrenzten Körper, dessen Grundfläche eine Kreisfläche ist und dessen gekrümmte Mantelfläche einerseits der Krümmung der Grundfläche entspricht und andererseits zu einer Spitze zusammenläuft.
Volumen
Mantelfläche
Oberfläche
hrV ²3
1=
πrsAM =
)( srrAO += π
²)²(3
2211 rrrrV ++=π
)( 21 rrsAM += π
)](²²[ 2121 rrsrrAO +++= π
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel
Volumen Kugelschicht
Oberflächeninhalt Kugelzone
²)²3²3(6
121 hhV ++= ρρπ
hrO π2=
Bey
er (
1986
), S
. 205
f
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel
Unter einer Kugel versteht man einen Körper, von dem jeder Punkt der Oberfläche den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat (Radius).
Volumen einer Kugel
Kugeloberfläche
π³3
4rV =
π²dAO =
Beyer (1986), S. 205f
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel
Volumen Kugelsegment
Oberflächeninhalt Kugelkappe
²)²3(6
1)3²(
3
11111 hhhrhV +=−= ρππ
hrO π2=
Bey
er (
1986
), S
. 205
f
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2.2. Krummflächig begrenzte Körper: Kugel
Volumen Kugelsektor
Oberflächeninhalt Kugelsektor
hrV π²3
2=
)2( ρπ += hrO
Beyer (1986), S. 205f
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LiteraturverzeichnisPester, Heinz (1989). Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Leipzig: VEB Fachbuchverlag Leipzig.
Beyer, & andere. (1986). Handbuch der Mathematik. Köln: Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH.
Müller-Philipp, S., & Gorski, H.-J. (2005). Leitfaden Geometrie (3. überarbeitete Ausg.).Wiesbaden: Vieweg.
Alle Grafiken wurden – falls nicht anders gekennzeichnet – mit Euklid DynaGeo erstellt.http://www.dynageo.de/
Anna [email protected] 2010