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Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt -
Schuljahr 2016/2017
Kurs: Mathematik AHR 11.1
Kurslehrer: Langenbach
Grundlagen der Funktionentheorie – Lineare Funktionen
Inhalt
1 Koordinatensystem 1
2 Relationen und Funktionen 2
3 Lineare Funktionen (LF) 6
3.1 Punktprobe bei Linearen Funktionen 7
3.2 Fehlende y-Werte berechnen 7
3.3 Fehlende x-Werte berechnen 8
4. Zeichnen des Graphen einer LF 8
4.1 Wertetabellen von LF 9
4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sx und Sy) 10
4.2.1 Schnittpunkte mit der y-Achse (Sy) bestimmen 11
4.2.2 Schnittpunkte mit der x-Achse (Sx) bestimmen 12
4.2.3 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von Sx und Sy zeichnen 13
4.3 Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen 14
4.3.1 Die Steigung m einer LF 14
4.3.2 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b 17
5 Funktionsgleichungen von LF bestimmen 18
5.1 Ein Punkt P und der y-Achsenabschnitt b gegeben 18
5.2 Ein Punkt P und die Steigung m gegeben 19
5.3 Zwei Punkte P1 und P2 gegeben 19
5.3.1 Steigung m anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen 20
5.3.2 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen
(Beispiel) 22
5.4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen 23
5.5 Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen 25
6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen 26
7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben) 28
Lineare Funktionen (LF)
1
1 Koordinatensystem
Wird im Folgenden von einem Koordinatensystem (ohne weitere Angaben) gesprochen,
so meinen wir damit ein rechtwinkliges Koordinatensystem. In der Mathematik sprechen
wir auch von einem kartesischen Koordinatensystem. Diese Bezeichnung geht auf den
französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes zurück (1596-1650). Wir
verwenden in der Funktionentheorie das Koordinatensystem zur graphischen Veranschau-
lichung von Funktionen. Dazu werden einzelne Punkte des Graphen einer Funktion, die
durch die Angabe zweier Koordinaten in der zweidimensionalen Ebene eindeutig bestimmt
sind, in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.
In der zweidimensionalen Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den zwei Achsen
definiert. Werden die Achsen als x-Achse und y-Achse (bzw. wie in Abb.6 mit f (x)-Achse)
bezeichnet, so gibt die x-Koordinate eines Punktes seinen Abstand von der y-Achse an
und umgekehrt.
Hat ein Punkt P die x-Koordinate 3
und die y-Koordinate 2 (kurz: 3=x
und 2=y ), so schreiben wir kurz:
)2/3(P .
Seine Position ist durch das Zahlen-
paar (3/2) eindeutig festgelegt. Der
Punkt P kann vom Nullpunkt aus
erreicht werden, indem zuerst ent-
lang der Achse−x 3 Einheiten nach
rechts (d. h. in positiver x-Richtung)
und dann parallel zur Achse−y 2
Einheiten nach oben (d. h. in positi-
ver y-Richtung) „gegangen“ wird.
Hat der Punkt negative Koordinaten, so wird entsprechend nach links bzw. nach unten
„gegangen“.
Lineare Funktionen (LF)
2
2 Relationen und Funktionen
Sowohl Relation als auch Funktion sind Bezeichnungen für Zuordnungen zwischen zwei
Mengen. Sie unterscheiden sich jedoch in Bezug auf die Eindeutigkeit dieser Zuordnung,
sowie der Vollständigkeit mit der zumindest die erste Menge erfasst sein muss.
Definition (Relation)
Eine Zuordnung zwischen Elementen zweier Mengen A und B wird Relation genannt.
Die Zuordnung kann dabei ganz beliebig erfolgen, wobei nicht alle Elemente der beiden
Mengen beteiligt sein müssen.
Aus dem Alltag kennen wir Zuordnungen: Einem Produkt wird ein Preis zugeordnet, einem
Kind eine Schulklasse, einem Spielzeug eine Schublade, einem Kleidungsstück eine
Farbe.
Zuordnungen ordnen Elementen einer Definitionsmenge ein Element einer Wertemenge
zu.
Beispiele:
Zuordnung Definitionsmenge Wertemenge
Ein Ladenbesitzer ordnet
seinen Produkten Preise
zu
Alle Produkte im Laden Alle Preise, die vorkom-
men
Kinder sind Mitglied in
verschiedenen Vereinen Eine Gruppe von Kindern Die Vereine der Stadt
Kinderzimmer aufräumen Alle Spielzeuge im Raum Schubladen, Regalfächer,
Kisten
Am Marktstand wird der
Preis für Äpfel nach Ge-
wicht berechnet
Alle möglichen Mengen
Die Preise, die sich aus
der Menge und dem kg-
Preis berechnen
Zahlen wird jeweils das
Doppelte ihres Wertes
zugeordnet
Alle reellen Zahlen IR Alle reellen Zahlen IR
Kleidungsstücken werden
ihre Farben zugeordnet Alle Kleider einer Person
Die vorkommenden Far-
ben
Zuordnungen können auf unterschiedliche Arten dargestellt werden:
Lineare Funktionen (LF)
3
Wertetabelle
Eine Wertetabelle ist eine Tabelle mit zwei
Spalten, links stehen Elemente der Defini-
tionsmenge, rechts die zugeordneten
Elemente der Wertemenge.
Beispiel:
Der Marktstand; ein kg Äpfel soll 3,50€
kosten.
Menge in kg Preis in €
1 3,50
1,5 5,25
0,7 2,45
17,8 62,3
10,2 25,7
Paarmenge
Eine Menge von Paaren, in denen jeweils ein Element der Definitionsmenge und das
zugehörige Element der Wertemenge sind.
Beispiel:
Der Laden, z.B. ein Drogeriefachmarkt. Die Paarmenge könnte sein:
{(Deo-Roller|2,49€); (Handcreme|1,79€); (Waschmittel|3,29€); (Lippenstift|5,79€); .......}
Pfeilbild
Definitions- und Wertemenge werden als
Blasen dargestellt und die Zuordnung mit
Hilfe von Pfeilen veranschaulicht.
Beispiel:
Kinderzimmer aufräumen
Koordinatensystem
Enthalten sowohl Definitions- als auch Wertemenge Zahlen, so ist die Darstellung in einem
Koordinatensystem möglich.
Auf der waagerechten Achse (x-Achse) werden die Elemente der Definitionsmenge, auf
der senkrechten (y-Achse) die der Wertemenge eingetragen.
Beispiel:
Jeder Zahl x wird das Doppelte ihres
Wertes zugeordnet,
man erhält eine Zahl y.
LKW
Bagger Legostein
Stoffhund
Bilderbuch
Teddy
Auto-
Legokiste
Bücherregal
Stoff-
tier-
Lineare Funktionen (LF)
4
Zu einer Zuordnung gehören also stets
• die Angabe einer Definitionsmenge (die Menge A),
• die Angabe eines Wertebereichs (die Menge B) sowie
• eine Zuordnungsvorschrift.
Während eine Relation bzw. ihre Zuordnungsvorschrift nicht eindeutig formuliert sein
muss, d. h. einem Wert x einer Menge A können durchaus zwei Werte y1 und y2 einer
Menge B zugeordnet werden, so ist es bei Funktionen anders:
Eine Funktion bzw. ihre Funktionsvorschrift ist stets eindeutig formuliert.
Definition (eindeutige Zuordnung)
Eine Zuordnung (Relation) ist eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau
ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird.
Definition (Funktion)
Eine Zuordnung (Relation) einer Menge A zur Menge B, die jedem Element x der Menge A
(kurz: Ax ∈ ) genau ein Element der Menge B (kurz: By ∈ ) zuordnet, bezeichnen wir als
Funktion.
Im Folgenden führen wir wichtige Bezeichnungen bzw. Festlegungen auf, die für das Ver-
ständnis der weiteren Ausführungen wichtig sind, von uns jedoch nicht als gesonderte
Definitionen gekennzeichnet werden.
• Wird eine Funktion in einem Koordinatensystem dargestellt, so ist es üblich, die
Definitionsmenge auf der x-Achse und die Wertemenge auf der y-Achse des Koor-
dinatensystems [auch )(xf -Achse genannt] abzutragen.
• Die Zuordnungsvorschrift erhalten wir in der Regel über eine Funktionsgleichung,
in der mit Hilfe des Funktionsterms für jedes x aus der Definitionsmenge der zuge-
hörige Funktionswert y berechnet wird.
• Die Menge aller Funktionswerte bildet die Wertemenge einer Funktion.
• Als Definitionsmenge nehmen wir im Folgenden – falls nicht anders festgelegt –
immer die Menge der reellen Zahlen IR an.
Lineare Funktionen (LF)
5
Betrachten wir noch einmal die Beispiele:
Ein Ladenbesitzer ordnet
seinen Produkten Preise zu
Jedes Produkt hat nur einen Preis,
daher ist dies eine eindeutige Zuord-
nung
Funktion
Kinder sind Mitglied in
verschiedenen Vereinen
Ein Kind kann Mitglied in verschiede-
nen Vereinen sein, daher ist dies
keine eindeutige Zuordnung
keine Funktion
Kinderzimmer aufräumen
Jedes Spielzeug hat einen eindeuti-
gen Platz (oder sollte es zumindest
haben...), daher ist dies eine eindeu-
tige Zuordnung
Funktion
Am Marktstand wird der
Preis für Äpfel nach Ge-
wicht berechnet
Eine bestimmte Menge Äpfel hat
einen eindeutig bestimmbaren Preis,
dies ist eine eindeutige Zuordnung
Funktion
Zahlen wird jeweils das
Doppelte ihres Wertes
zugeordnet
Verdoppelt man eine Zahl, so kommt
ein eindeutiger Wert heraus, dies ist
eine eindeutige Zuordnung
Funktion
Kleidungsstücken werden
ihre Farben zugeordnet
Ein Kleidungsstück kann mehrere
Farben haben, die Zuordnung ist nicht
eindeutig
keine Funktion
Üblicherweise erfolgt in der Mathematik die Angabe von Zuordnungen bei Funktionen in
Form von sogenannten Funktionsgleichungen, wie z. B.:
32)( += xxf , xxg21)( = oder xxxxh 542)( 23 −+= .
In manchen Büchern findet sich auch die Schreibweise 73 += xy , anstatt 73)( += xxf .
Durch Funktionsgleichungen wird jedem x eindeutig ein f(x) bzw. y zugeordnet.
Definition (Funktionsgraph)
Die Zuordnungen durch die Funktionsgleichungen ergeben „geordnete Paare“ der Form
( ))(/ xfx , die wir als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen.
Die Menge aller so ermittelten Punkte in einem Koordinatensystem wird als Graph der
Funktion f („Funktionsgraph“) bezeichnet.
Lineare Funktionen (LF)
6
Anmerkungen
I. Man kann die Koordinaten der Paare auch als Lösungen der Funktionsgleichung
auffassen. D. h. wenn wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen,
ergibt sich eine wahre Aussage.
II. Betrachtet man die Funktion f mit der Funktionsgleichung 32 += x)x(f , so bedeu-
tet dies, dass jeder Stelle 0x ( fIDx ∈0 ) eindeutig der Funktionswert
32)( 00 += xxf zugeordnet wird.
III. Der Funktionswert an der Stelle x = 5 wird bezeichnet als )5(f . Diesen Funktions-
wert ermitteln wir, indem wir die 5 statt des x in die Funktionsgleichung einsetzen:
( ) 133103525 =+=+⋅=)(f . Damit liegt der Punkt )/(P 135 auf dem zugehö-
rigen Funktionsgraphen.
3 Lineare Funktionen (LF)
Definition (lineare Funktion)
Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) in der Form
bxm)x(f +⋅=
mit IRb,m ∈ geschrieben werden kann, heißt lineare Funktion.
Als Definitionsbereich einer linearen Funktion wird meist IR (die Menge der reellen Zahlen)
gewählt.
Satz (Funktionsgraph linearer Funktionen)
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Anmerkungen
IV. Der Verlauf einer Geraden ist bereits durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Das
bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir
lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen. Dennoch werden wir, um das Verfah-
ren zu verdeutlichen, zunächst im Folgenden mehrere Funktionswerte bestimmen.
V. Wie sich später zeigen wird, reichen zwei Punkte aus, um die zugehörige Funkti-
onsgleichung eindeutig bestimmen zu können.
Lineare Funktionen (LF)
7
3.1 Punktprobe bei Linearen Funktionen
In diesem Abschnitt geht es darum zu ermitteln, ob ein bestimmter Punkt auf dem
Graphen einer linearen Funktion f (d.h. auf der zugehörigen Geraden) liegt, die durch
Funktion beschrieben wird.
Zeichnerisch ist das recht einfach: Man zeichnet die Gerade und den Punkt und sieht
sofort, ob der Punkt auf der Geraden liegt – zumindest ungefähr.
Wollen wir rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt )b/a(P auf dem Graphen zur Funktion f
liegt, muss geprüft werden, ob der Funktionswert )(af dieser Funktion an der Stelle a dem
Wert b des Punktes P entspricht, d. h. ob gilt: b)a(f = . Dieses Verfahren bezeichnen wir
als Punktprobe.
Erhält man so den y-Wert b des Punktes, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen.
Kommt ein anderer Wert heraus, so gehört P nicht zum Graphen der Funktion f.
Beispiel (Punktprobe)
Wir wollen überprüfen, ob bei der aus dem vorherigen Beispiel schon bekannten Funktion
f mit 350 += x,)x(f der Punkt ),/(P 523− auf dem Graphen von f liegt oder nicht. Dazu
überprüfen wir, ob 523 ,)(f =− .
Es ist 5135133503 ,,)(,)(f =+−=+−⋅=− .
Der Funktionswert dieser Funktion an der Stelle 3−=x ist also nicht 2,5.
Somit liegt der Punkt )5,2/3(−P nicht auf dem Graphen von f.
3.2 Fehlende y-Werte berechnen
Soll nun für einen Punkt – z.B. )y/(Q 20 – die fehlende y-Koordinate so berechnet
werden, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f
liegen soll, so verfährt man wie in der Anmerkung III auf Seite 6 beschrieben.
Soll also der Punkt )y/(Q 20 auf dem Graphen der Funktion f mit 350 += x,)x(f aus
dem obigen Beispiel liegen, dann muss für diese Funktion der Funktionswert an der Stelle
20=x bestimmt werden, indem wir die 20 statt des x in die Funktionsgleichung einset-
zen: ( ) 133103205020 =+=+⋅= ,)(f .
Damit liegt dann der Punkt )/(Q 1320 auf dem zugehörigen Funktionsgraphen.
Lineare Funktionen (LF)
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3.3 Fehlende x-Werte berechnen
Soll nun für einen Punkt – z.B. )/x(R 18− – die fehlende x-Koordinate so berechnet wer-
den, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f liegen
soll, so muss man auch hier Werte in die vorgegebene Funktionsgleichung einsetzen.
In diesem Fall ist der Funktionswert (y-Wert) des Punktes bekannt, so dieser Wert für
)x(f eingesetzt werden kann. Dadurch erhält man eine lineare Gleichung, die man nach x
„auflösen“ muss, um die gesuchte Lösung zu erhalten.
Beispiel (Berechnung der x-Koordinate)
Gegeben sei die Funktion f mit 35,0)( += xxf und der Punkt )/x(R 18− .
Dann gilt: 18−== )x(fy ,
also
.
Die gesuchte x-Koordinate ist also 510,− . Somit ist 18510 −=− ),(f .
Folglich liegt der Punkt )/,(R 18510 −− auf dem Graphen der Funktion f .
4. Zeichnen des Graphen einer LF
Für die Veranschaulichung der funktionalen Zusammenhänge ist das Zeichnen des Funk-
tionsgraphen (d.h. bei Linearen Funktionen: der zur Funktion gehörenden Geraden) erfor-
derlich.
Es gibt jedoch eine Reihe von unterschiedlichen Möglichkeiten dieses Vorhaben zu ver-
wirklichen.
x,
,:x,
x,
=−⇔=−⇔
−+=−
510
505021
335018
Lineare Funktionen (LF)
9
4.1 Wertetabellen von LF
Eine dieser Möglichkeiten ist das Anlegen einer Wertetabelle. Dazu werden zu vorgege-
benen x-Werten (Stellen) die zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen in die Funkti-
onsgleichung ermittelt und in Form einer Tabelle erfasst. In der Regel wählen wir das
Intervall von 3− bis 3+ als Vorgabe für die zu erfassenden Werte.
Beispiel (Wertetabelle und Funktionsgraph)
Gegeben ist die Funktion f mit 350 += x,)x(f .
Wir wählen als Ausgangsintervall die Zahlen von 3− bis 3, wobei wir nur die ganzen Zah-
len innerhalb des Intervalls betrachten. Zu berechnen sind dann:
5,13)3(5,0)3( =+−⋅=−f 5,3315,0)1( =+⋅=f
23)2(5,0)2( =+−⋅=−f 4325,0)2( =+⋅=f
5,23)1(5,0)1( =+−⋅=−f 5,4335,0)3( =+⋅=f
3305,0)0( =+⋅=f
Wir stellen diese Ergebnisse in einer Wertetabelle zusammen:
Wertetabelle zur Funktion 35,0)( += xxf
Um den Graphen der Funktion f zu zeichnen, sind somit die folgenden Punkte in ein Koor-
dinatensystem einzutragen:
),/(P 5131 − , )/(P 222 − , ),/(P 5213 − , )/(P 304 , ),/(P 5315 , )/(P 426 und ),/(P 5437
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
)(xf 51, 2 52, 3 53, 4 54,
Lineare Funktionen (LF)
10
4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sx und Sy)
In Anmerkung IV auf Seite 6 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass der Verlauf einer
Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funktion) bereits durch zwei
Punkte eindeutig festgelegt ist.
Das bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir
lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen.
Geeignet sind dabei vor allem besonders markante Punkte des Funktionsgraphen. Dazu
gehören sicherlich die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen, der Schnittpunkt
mit der y-Achse ( yS ) und der Schnittpunkt mit der x-Achse ( xS ).
In Abb.3 stellen wir eine Reihe von Punkten vor, die auf einer der Koordinatenachsen
liegen. Dabei fällt auf, dass die Punkte, die auf der x-Achse liegen, alle die y-Koordinate 0
und die Punkte, die auf der y-Achse zu finden sind, alle die x-Koordinate 0 gemeinsam
haben.
Diese Eigenschaften werden benutzt, um die exakten Koordinaten der Schnittpunkte mit
den Koordinatenachsen von beliebigen Funktionen bestimmen zu können.
Abb.3: Punkte auf den Koordinatenachsen
P (0/–4)
P (0/–2)
P (0/1)
P (0/3)
P (0/5)
P (1/0) P (3/0) P (5/0)
P (–2/0) P (–4/0) P (–6/0)
Lineare Funktionen (LF)
11
Anmerkung:
Es gibt auch Funktionen, die keinen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzen.
Dies ist dann der Fall, wenn diese Funktionen bzw. der Funktionsgraph dieser Funktionen
stets den gleichen Abstand zur x-Achse einhält und sich dieser nicht weiter nähert.
Man sagt in diesem Fall der Graph einer solchen Funktion (die zugehörige Gerade) ver-
läuft parallel zur x-Achse.
Funktionen mit dieser Eigenschaft werden konstant Funktionen genannt.
Satz und Definition (konstante Funktion)
Eine Funktion f mit cxf =)( (mit IRc ∈ ) heißt konstante Funktion.
Eine konstante Funktion besitzt für 0≠c keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Für 0=c ist f identisch mit der x-Achse, d. h. sie besitzt unendlich viele gemeinsame
Punkte mit der x-Achse.
Beispiel: 5,1)( =xf
Bei dieser Funktion sind alle Funktionswerte
(y-Werte) 1,5 unabhängig vom eingesetzten
x-Wert.
Die Gerade zu f verläuft auf der Höhe von
5,1=y parallel zur x-Achse
4.2.1 Schnittpunkte mit der y-Achse (Sy) bestimmen
In der Abbildung auf Seite 10 kann man erkennen, dass der Schnittpunkt yS des Graphen
einer Funktion f mit der y-Achse stets die x-Koordinate 0 hat.
Dies gilt für jede beliebige Funktion.
Um die exakte y-Koordinate des Schnittpunkt yS herauszufinden, setzt man den Wert Null
für x in die Funktionsgleichung ein, man bestimmt also den Wert von )(f 0 .
Lineare Funktionen (LF)
12
Satz (Schnittpunkt mit der y-Achse)
Der Schnittpunkt yS des Graphen einer Funktion f mit der y-Achse hat stets die
x-Koordinate 0. Damit erfüllt er die Bedingung: 0=x .
Bei einer linearen Funktion f mit bmxxf +=)( ergibt sich daraus: bbmf =+⋅= 0)0( .
Somit schneidet der Graph der Funktion die y-Achse im Punkt )/0( bSy . Das Bedeutet,
dass bei einer Lineare Funktion f mit bmxxf +=)( der y-Achsenabschnitt b stets angibt,
wo diese Funktion die y-Achse schneidet.
Da die Bedingung 0=x universelle Gültigkeit hat bei der Bestimmung des Schnittpunktes
mit der y-Achse (d.h. diese Bedingung gilt für alle Funktionen), soll für die Bestimmung der
Koordinaten dieses Schnittpunktes auch bei Linearen Funktionen der folgende Ablauf
eingehalten werden:
Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 124)( −= xxf .
Bedingung: 0=x
1212040 −=−⋅=⇒ )(f ,
also: )12/0( −yS .
4.2.2 Schnittpunkte mit der x-Achse (Sx) bestimmen
In der Abbildung auf Seite 10 kann man auch erkennen, dass der Schnittpunkt xS des
Graphen einer Funktion f mit der x-Achse stets die y-Koordinate 0 hat.
Dies gilt für jede beliebige Funktion.
Um die exakte x-Koordinate des Schnittpunkt xS herauszufinden, setzt man den Wert Null
für )x(f in der Funktionsgleichung ein.
Satz und Definition (Schnittpunkt mit der x-Achse; Nullstelle) Der Schnittpunkt xS des Graphen einer Funktion f mit der x-Achse hat stets die
y-Koordinate 0.
Damit erfüllt er die die Bedingung: 0)( =xf .
Eine Stelle 0x , die diese Gleichung erfüllt, wird auch Nullstelle genannt.
Lineare Funktionen (LF)
13
Die Bedingung 0)( =xf führt für 0≠m stets zu einer linearen Gleichung, deren Lösung
die x-Koordinate des gesuchten Schnittpunktes ist.
Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 124)( −= xxf .
Bedingung: 0)( =xf
3
4:124
120124
=⇔
=⇔
+=−⇒
x
x
x
Somit ist )/(Sx 03 .
Anmerkung:
Gilt bei einer Linearen Funktion 0=m , so liegt eine konstante Funktion mit c)x(f = vor.
Auf Seite 11 wurde bereits festgestellt, dass eine konstante Funktion für 0≠c keinen
Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt.
für 0=c wird die konstante Funktion zu 0=)x(f und hat dann unendlich viele gemein-
same Punkte mit der x-Achse (sie ist mit ihr identisch).
4.2.3 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von Sx und Sy zeichnen
Da der Verlauf einer Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funkti-
on) durch die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ( yS und xS ) eindeutig
festgelegt ist, kann man den Graphen jeder Linearen Funktion mit Hilfe dieser beiden
Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 221 +−= x)x(f .
Schnittpunkt mit der y-Achse Schnittpunkt mit der x-Achse
Bedingung: 0=x
1212040 −=−⋅=⇒ )(f ,
( ) 220021 =+⋅−=⇒ )(f
also: )/(Sy 20 .
Bedingung: 0)( =xf
( )4
2
202
21
21
21
=⇔
−−=−⇔
−=+−⇒
x
:x
x
Somit ist )/(Sx 04 .
Lineare Funktionen (LF)
14
Aus den beiden oben durchgeführten Rechnungen ergeben sich die beiden Schnittpunkte
mit den Koordinatenachsen: )/(Sy 20 und )/(Sx 04 . Mit Hilfe dieser beiden Punkte erhält
man den folgenden Graphen:
4.3 Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen
Man kann lineare Funktionen mit Hilfe des y-Achsenabschnitts b und der Steigung m
zeichnen. Damit dies möglich ist, muss man sich über die Bedeutung der Steigung und
des y-Achsenabschnittes im Klaren sein.
Auf die Bedeutung des y-Achsenabschnittes ist im Zusammenhang mit dem Schnittpunkt
mit der y-Achse auf Seite 12 bereits hingewiesen worden.
4.3.1 Die Steigung m einer LF
Den Begriff der Steigung kennen wir aus dem Alltag. Eine starke Steigung bedeutet, dass
es steil bergauf geht. Es wird also bezogen auf den zurückgelegten Weg ein großer
Höhenunterschied überwunden.
Wenn an einer Straße vor einer starken Steigung gewarnt wird, so wird die
Steigung in Prozent angegeben.
Im Beispiel beträgt die Steigung 10012
%12 = , d.h. auf einer Strecke von
100m steigt der Weg um 12m an.
yS
xS
Lineare Funktionen (LF)
15
Wenn wir bei Funktionen die Steigung angeben wollen, so entspricht der zurückgelegte
Weg der Distanz auf der x-Achse, der Höhenunterschied der auf der y-Achse.
Eine Steigung von 10012 bedeutet, dass auf einer Strecke von 100 Einheiten auf der x-Achse
der Höhenunterschied auf der y-Achse 12 Einheiten beträgt.
Im Koordinatensystem sieht das so aus:
Es gilt für die Steigung m:
120506
10012
,m ===
Definition und Satz (Steigung)
Die Steigung m einer linearen Funktion f mit bxm)x(f +⋅= gibt an, um wie viel sich der
Funktionswert (y-Wert) verändert, wenn man den x-Wert genau um 1 vergrößert, wenn
man also „einen Schritt nach rechts geht“.
Der Funktionswert wird erhöht oder verringert – je nachdem, welches Vorzeichen die
Steigung m besitzt.
Die obige Definition macht deutlich, dass man den Wert der Steigung auch in der
Wertetabelle einer Linearen Funktion erkennen kann.
Beispiel:
Für die Funktionen 1f und 2f mit 121 −= x)x(f und 2502 +−= x,)x(f erhält man die
folgende Wertetabellen:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f1(x) −7 −5 −3 −1 1 3 5
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
Lineare Funktionen (LF)
16
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f2(x) 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5
Ist der Funktionsgraph (die Gerade) in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so wird die
Steigung oft mit Hilfe des sogenannten Steigungsdreiecks veranschaulicht.
Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senk-
rechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-Achse) durch die Länge der waa-
gerechten Seite (in Richtung der x-Achse) dividiert. Für das unten dargestellte Steigungs-
dreieck zwischen zwei Punkten P1 und P2 gilt demnach: c
am = .
Beispiele:
Bei den folgenden Funktionen ist jeweils 0=b , d.h. mxy = .
xxf 21)( = � 2
1=m
Zwei Einheiten in Rich-tung der x-Achse und
eine in die der y-Achse
xxg 3)( = � 133 ==m
Eine Einheit in Richtung der x-Achse und drei in
die der y-Achse
xxh =)( � 111==m
Eine Einheit in Richtung der x-Achse und eine in
die der y-Achse
xxk 5,1)( = � 235,1 ==m
Zwei Einheiten in Richtung der x-Achse und drei in die
der y-Achse
− 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5
c
a
P2
P1
Lineare Funktionen (LF)
17
Eine negative Steigung bedeutet, dass es „bergab“ geht, man zeichnet also das Stei-
gungsdreieck nicht nach oben, sondern nach unten ein.
xxf −=)(
111 −=−=m
Eine Einheit in Richtung der x-Achse
nach rechts, eine in Richtung der y-Achse nach unten
xxg 43)( −=
43−=m
Vier Einheiten nach rechts, drei
nach unten
xxh 3)( −=
133 −=−=m
Eine Einheit nach rechts, drei
nach unten
4.3.2 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b
Um eine lineare Funktionen mit Hilfe des y-Achsenabschnitts b und der Steigung m zu
zeichnen, wird zunächst der y-Achsenabschnitt auf der y-Achse markiert. Dann zeichnet
man ausgehend von diesem Punkt das Steigungsdreieck ein und erhält mit Hilfe des Stei-
gungsdreiecks einen Zweiten Punkt P2 des Funktionsgraphen.
Beispiel: 2)(32 += xxf , es ist also 2=b und 3
2=m
y-Achsenabschnitt
einzeichnen:
Punkt )2/0(P
Steigungsdreieck zeichnen:
3 Einheiten nach rechts,
2 Einheiten nach oben
Gerade zeichnen
2
3
P2 P2
Lineare Funktionen (LF)
18
5 Funktionsgleichungen von LF bestimmen
Um die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion mit bmx)x(f += eindeutig bestim-
men zu können, muss man immer mindestens einen Punkt des Funktionsgraphen kennen.
Ist dann eine der beiden Variablen m oder b bekannt (also entweder die Steigung oder der
y-Achsenabschnitt gegeben), so kann die jeweils fehlende Variable bestimmt werden,
indem man alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung (s.o.) einsetzt und
dann nach der noch unbekannten Variable auflöst.
5.1 Ein Punkt P und der y-Achsenabschnitt b gegeben
Die allgemeine Vorgehensweise ist oben bereits beschrieben worden. Aus diesem Grund
wird das Verfahren hier lediglich anhand eines Beispiels vorgestellt.
Beispiel 5.1
Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt
( )12 −/P verläuft und den y-Achsenabschnitt 5=b besitzt.
Lösung:
Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: bmx)x(f += .
Einsetzen der x-Koordinate 2 (von P) für x, der y-Koordinate 1− (von P) für )x(f und des
y-Achsenabschnitt 5 für b ergibt die folgende Gleichung:
m
:m
m
=−⇔⋅=−⇔
−+⋅=−⇒
3
226
5521
Setzt man nun den bekannten Wert 5=b und den nun bestimmten Wert 3−=m in die
allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung:
53 +−= x)x(f .
Lineare Funktionen (LF)
19
5.2 Ein Punkt P und die Steigung m gegeben
Auch dieses Verfahren wird hier anhand eines Beispiels vorgestellt.
Beispiel 5.2
Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt
( )83 /P verläuft und die Steigung 5=m besitzt.
Lösung:
Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: bmx)x(f += .
Einsetzen der x-Koordinate 3 (von P) für x, der y-Koordinate 8 (von P) für )x(f und der
Steigung 5 für m ergibt die folgende Gleichung:
b
b
b
=−⇔−+=⇔
+⋅=⇒
7
15158
358
Setzt man nun den bekannten Wert 5=m und den nun bestimmten Wert 7−=b in die
allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung:
75 −= x)x(f .
5.3 Zwei Punkte P1 und P2 gegeben
Anhand von zwei Punkten des Graphen einer Linearen Funktion (der zugehörigen Gera-
den) kann man – anhand der Überlegungen zum Steigungsdreieck – die Steigung m die-
ses Graphen (bzw. dieser Geraden) bestimmen.
Ist diese bekannt, so kann mit dem aus 5.2 bekannten Verfahren der fehlende Wert für
den y-Achsenabschnitt b bestimmt werden. Da beide Punkte auf dem Graphen der Funkti-
on liegen sollen, kann man auswählen, welchen der beiden Punkte man zum Einsetzen
der Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung benutzt.
Lineare Funktionen (LF)
20
5.3.1 Steigung m anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen
Auf Seite 16 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass die Steigung des Funktionsgra-
phen (einer Gerade) in einem Koordinatensystem oft mit Hilfe des sogenannten Stei-
gungsdreiecks veranschaulicht wird.
Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senk-
rechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-Achse) durch die Länge der waa-
gerechten Seite (in Richtung der x-Achse) dividiert. Dies wird in der folgenden Abbildung
veranschaulicht.
Sind also zwei Punkte ( )111 y/xP und ( )222 y/xP gegeben, so kann mit Hilfe des Stei-
gungsdreiecks, das durch diese beiden Punkte festgelegt ist, die Steigung berechnet wer-
den.
Dazu muss man den Abstand der beiden Punkte in Richtung der y-Achse ermitteln und
dieser Wert durch den Abstand der Punkte in Richtung der x-Achse dividieren. Das Er-
gebnis dieser Division gibt dann den Wert der Steigung m an.
Den Abstand in Richtung der y-Achse bestimmen wir durch die Differenz der
y-Koordinaten der beiden gegebenen Punkte 12 yy − . Entsprechend kann man den Ab-
stand der Punkte in Richtung der x-Achse zu bestimmen, indem die Differenz der
x-Koordinaten der gegebenen Punkte 12 xx − berechnet wird.
Bildet man nun den Quotienten dieser beiden Werte, so gilt allgemein für eine Gerade, die
durch die Punkte 1P und 2P verläuft: 12
12xx
yym
−−= .
x2 − x1
P2(x2 / y2)
P1(x2 / y2)
y2 − y1
Lineare Funktionen (LF)
21
Satz (Steigung einer Geraden)
Ist eine Gerade f durch zwei Punkte )/( 111 yxP und )/( 222 yxP gegeben, so ist die Stei-
gung m dieser Geraden gleich dem Quotienten aus der Differenz der y-Werte
( 12 yy − ) und der Differenz der x-Werte ( 12 xx − ) der beiden Punkte:
12
12xx
yym
−−= .
Hinweis:
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, das heißt der Graph enthält keine
„Kurve“ oder einen „Knick“, an dem sich das Steigungsverhalten ändern könnte. Dies hat
zur Folge, dass die Steigung für den gesamten Verlauf des Graphen (der Geraden) gleich
bleibt. Zudem bedeutet, dass die Steigung mit einem Steigungsdreieck von zwei völlig
beliebigen Punkten bestimmt werden kann, das Ergebnis ist stets das gleiche.
Dies soll mit der Abbildung unten verdeutlicht werden.
Ist mit Hilfe des oben beschriebenen Verfahren die Steigung m bestimmt worden, so kann
für die Bestimmung der Funktionsgleichung einer gesuchten Linearen Funktion (von der
nur die beiden Punkte 1P und 2P bekannt sind) weiter das bereits aus 5.2 bekannte Ver-
fahren verwendet werden.
Das gesamte Verfahren soll nun in 5.3.2 anhand eines Beispiels veranschaulicht werden.
1
0,5
3
1,5
50351
150
,...,,
m ====
Lineare Funktionen (LF)
22
5.3.2 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P1 und P2
bestimmen (Beispiel)
Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer LF anhand von
zwei gegebenen Punkten zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:
Beispiel
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, deren Graph durch
)35/12(1P und )59/20(2P verläuft.
Lösung:
Allgemein gilt: bmx)x(f +=
I. Bestimmung der Steigung m:
Es ist 3824
12203559
12
12 ==== −−
−−
xx
yym .
II. Bestimmung des y-Achsenabschnittes b:
Einsetzen von 12=x , 35=y (also P1) und 3=m .
b
b
b
=−⇔−+=⇔
+⋅=⇒
1
363635
12335
III. Aufstellen der Funktionsgleichung:
Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung 13)( −= xxf .
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann man mit Hilfe der folgenden Strategie
bestimmen:
I. die Steigung m mit der bekannten Formel bestimmen,
II. den y-Achsenabschnitt b durch Einsetzen bestimmen und dann
III. die Funktionsgleichung aufstellen.
Lineare Funktionen (LF)
23
5.4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen
Betrachtet man die Graphen von zwei verschiedenen Linearen Funktionen f und g, so
schneiden sich die zugehörigen Funktionsgraphen (Geraden) in aller Regel. Die Bestim-
mung dieses Schnittpunktes wird in Kapitel 6 behandelt.
Es gibt jedoch zwei Sonderfälle für den Verlauf von zwei Geraden.
Zwei Geraden können parallel zueinander oder orthogonal zueinander verlaufen.
Hier soll nun zunächst auf parallel Geraden eingegangen werden.
In der obigen Abbildung sind zwei parallele Geraden dargestellt. Offensichtlich ist die
Steigung der beiden parallelen Geraden gleich. Dies ist geometrisch gleichbedeutend
damit, dass die Funktionsgraphen an jeder Stelle denselben Abstand voneinander besit-
zen.
Satz (Steigung paralleler Geraden; gemeinsame Punkte paralleler Geraden)
Zwei Geraden f und g mit 11 bxm)x(f +⋅= und 22 bxm)x(g +⋅=
sind genau dann parallel zueinander, wenn gilt: 12 mm = .
Hinweis:
• Für 12 bb ≠ sind die beiden Geraden echt parallel, d. h. sie haben keinen
gemeinsamen Punkt (� Abb. oben).
• Für 12 bb = sind die beiden Geraden identisch, d. h. sie haben unendlich viele ge-
meinsame Punkte.
Lineare Funktionen (LF)
24
Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden
zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:
Beispiel 5.4
Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung 124)( −= xxf .
Bestimmen Sie die Gleichung der Linearen Funktion g , deren Gerade (d.h. deren Graph)
parallel zur Geraden von f durch den Punkt )11/2(P verläuft.
Lösung:
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann in 3 Schritten bestimmt
werden:
I. Bestimmung der Steigung m,
II. Bestimmung des y-Achsenabschnitts b und
III. Aufstellen der Funktionsgleichung.
I.) Bestimmung der Steigung m:
Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden f mit 124)( −= xxf .
Auf Grund der Parallelität gilt: 412 == mm .
II.) Bestimmung des y-Achsenabschnittes b:
Die Gerade verläuft durch den Punkt )11/2(P .
Einsetzen von 2=x , 11=y und 4=m .
b
b
b
=⇔−+=⇔
+⋅=⇒
3
8811
2411
III.) Aufstellen der Funktionsgleichung
Die zu f durch den Punkt P parallele Gerade hat die Funktionsgleichung
34)( += xxg .
Lineare Funktionen (LF)
25
5.5 Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen
Orthogonale Geraden sind Sonderfälle von zwei Geraden, die sich in einem gemeinsa-
men Punkt S schneiden (→ Kapitel 6):
Sie schließen einen Winkel von 90° ein (einen sogenannten „rechten Winkel“). Eine an-
dere Bezeichnung sagt dass diese Geraden „senkrecht aufeinander stehen“.
Die Steigung der orthogonalen Geraden ergibt sich durch das Drehen des Steigungs-
dreiecks am Schnittpunkt S um 90°. In der Abbildung unten wird dies dargestellt.
Satz (Steigung zweier orthogonaler Geraden)
Zwei Geraden f und g mit 11 bxm)x(f += bzw. 22 bxm)x(g +=
sind genau dann orthogonal zueinander, wenn gilt:
12
1m
m −= bzw. 121 −=⋅ mm .
Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden
zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:
Beispiel 5.5
Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die orthogonal zur Geraden von f mit der
Funktionsgleichung 124)( −= xxf ist und durch den Punkt )3/20(P verläuft.
Lösung: Wir folgen auch hier dem bekannten Dreischritt.
m
+1
–1
m
S
Drehung um 90°
Lineare Funktionen (LF)
26
I. Bestimmung der Steigung 2m :
Die Gerade g verläuft orthogonal zur Geraden f mit 124)( −= xxf ,
somit ist 250411
12 ,
mm −=−=−= .
II. Bestimmung des y-Achsenabschnitts 2b :
Die gesuchte Gerade g verläuft durch den Punkt )3/20(P .
Einsetzen von 20=x , 3=y und 4=m .
2
2
2
8
553
202503
b
b
b,
=⇔++−=⇔
+⋅−=⇒
III. Aufstellen der Funktionsgleichung:
Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung 825,0)( +−= xxg .
6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen
Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Graphen von zwei verschiedenen Linearen
Funktionen sich oft in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
Die Abbildung auf der nächsten Seite macht deutlich, dass sich die Funktionswerte (y-
Werte) der beiden dort abgebildeten linearen Funktionen f und g an – fast – allen Stellen
unterscheiden. Es gibt lediglich eine einzige Ausnahme, den Schnittpunkt S. Dort besitzen
f und g nicht nur die gleiche x- Koordinate, sondern auch die gleiche y- Koordinate (d.h.
den gleichen Funktionswert).
Setzt man also den gemeinsamen x-Wert in beide Funktionsgleichungen ein, so gilt dem-
nach für den Schnittpunkt S : )x(g)x(f = .
Dieser Ansatz führt zu einer linearen Gleichung mit deren Hilfe man die gemeinsame
x-Koordinate bestimmen kann. Setzt man diesen x-Wert dann in eine der beiden Funkti-
onsgleichungen ein, so erhält man die y-Koordinate des Schnittpunktes.
Lineare Funktionen (LF)
27
Beispiel (Bestimmung des Schnittpunktes zweier LF)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Graphen der beiden linearen Funktionen f und g
mit 32)( −= xxf und 2)(21 +−= xxg .
Lösung:
I. Schnittstelle bestimmen (x-Wert):
Bedingung: )x(g)x(f =
2
52552
32352
23221
21
=⇔=⇔
+=−⇔
++−=−⇒
x
,:x,
x,
xxx
II. y-Koordinate bestimmen
Die y-Koordinate wird bestimmt, indem man die ermittelte x-Koordinate in
eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:
1343222 =−=−⋅=)(f
III. Schnittpunkt angeben:
Der Schnittpunkt der Graphen von f und g ist der Punkt )/(S 12 .
S
Lineare Funktionen (LF)
28
7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben)
Im Zusammenhang mit den Linearen Funktionen gibt es eine Reihe von verschiedenen
Anwendungsmöglichkeiten.
In vielen Fällen ist die Realität jedoch wesentlich komplexer, so dass man sich oft auch mit
vereinfachten Modellannahmen begnügen muss, um die jeweiligen Problemstellungen
lösen zu können.
Die verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten sollen im Folgenden anhand von vier
Beispielen demonstriert werden.
Beispiel 1 (Energiekosten)
Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen
Strom an: Eine kWh (Kilowattstunde) kostet 0,14 €, bei einer monatlichen Grundgebühr
von 7,30 €.
a) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung mit der der monatliche Strompreis in Abhän-
gigkeit von der verbrauchten Strommenge (in kWh) angegeben werden kann.
b) Die Stromrechnung im Monat Mai beläuft sich auf 55,60 €. Wie viel Strom (in kWh)
wurde verbraucht?
c) Ein anderer Versorger bietet den Strom für 0,10 € pro kWh an, bei einer monatli-
chen Grundgebühr von 9,80 €. Wie groß muss der durchschnittliche monatliche
Stromverbrauch mindestens sein, damit sich ein Wechsel des Stromanbieters
lohnt?
Lösung:
a) Für jede kWh muss 0,14 € gezahlt werden, d. h. für x kWh müssen x mal 0,14 €
bezahlt werden. Zuzüglich zum Verbrauch muss stets eine Grundgebühr in einer
Höhe von 7,30 € gezahlt werden. Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
37140 ,x,)x(f += .
b) Die Funktionsgleichung gibt die Kosten in Abhängigkeit vom Stromverbrauch an.
Somit entspricht der Betrag von 55,60 € dem Funktionswert (y) und der zugehörige
x-Wert (Stromverbrauch) muss bestimmt werden.
345
140348140
3765537140
655
=⇔=⇔
−=+⇒
=
x
,:,x,
,,,x,
,)x(f
Der Verbrauch im Mai betrug also 345 kWh.
Lineare Funktionen (LF)
29
c) Die Funktionsgleichung wird analog zu a) bestimmt:
8910 ,x,)x(g += .
Die Kosten sind gleich beim Schnittpunkt der Graphen von f und g.
Bei einem höheren Verbrauch ist der zweite Anbieter günstiger, da dieser Vertrag
eine höhere Grundgebühr, jedoch geringere Verbrauchskosten beinhaltet.
562
04052040
3710891037140
,x
,:,x,
,x,,x,,x,
)x(g)x(f
=⇔=⇔
−−+=+⇒
=
Bei einem monatlichen Stromverbrauch von mehr als 62,5 kWh ist also der Anbieter
II günstiger als der Anbieter I.
Beispiel 2 (Schwimmbecken)
Aus einem Schwimmbecken wird zu Reinigungszwecken das Wasser abgelassen. Pro
Minute werden 1600 Liter abgepumpt. Nach 160 Minuten sind noch 272 000 Liter Wasser
im Becken.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit der die Wassermenge nach x Minuten
bestimmt werden kann.
b) Wie viel Wasser war ursprünglich im Becken?
c) Wann ist das Becken leer?
Lösung a)
Bei der gesuchten Funktionsgleichung ist x die Zeitangabe in Minuten und der Funktions-
wert (y) entspricht der im Becken verbliebenen Wassermenge. Somit liegt
)/(P 000272160 auf dem Graphen. Die pro Minute abgelassene Wassermenge ent-
spricht der Steigung der Funktion.
Es gilt: 1600−=m .
Mit bmxxf +=)( erhalten wir die lineare Gleichung
b
b
b
=⇔
++−=⇔+⋅−=
000528
000256000256000272
1601600000272
Also: 0005281600 +−= x)x(f .
Lineare Funktionen (LF)
30
Lösung b)
Die ursprüngliche Füllmenge entspricht der Wassermenge zum Zeitpunkt 0=x :
00052800052801600)0( =+⋅−=f .
Somit waren ursprünglich 528 000 Liter Wasser in dem Becken.
Lösung c)
Das Becken ist leer, wenn 0)( =xf ist.
330
)1600(:0005281600
00052800005281600
0)(
=⇔−−=−⇔
−=+−⇒
=
x
x
x
xf
Das Becken ist somit nach 330 Minuten vollständig geleert.
Beispiel 3 (Black Label)
Die Firma „Black Label“ produziert Sonderanfertigungen von T-Shirts. Die bei der Produk-
tion entstehenden Kosten K sind abhängig von der produzierten Stückzahl. Bei der Pro-
duktion von 100 Stück entstehen Kosten von 385 €, bei der Produktion von 200 Stück
entstehen Kosten von 410 €. Zwischen der Stückzahl und den Kosten besteht ein linearer
Zusammenhang.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Kostenfunktion K.
b) Wie hoch sind die Kosten bei einer Produktion von 136 T-Shirts?
c) Geben sie die Funktionsgleichung der Erlösfunktion E an, wenn ein Verkaufspreis
von 5,05 € pro T-Shirt erzielt wird?
d) Bei welcher Menge x liegt die Gewinnschwelle, d.h. wann liegen die Erlöse über
den Kosten?
Lösung a)
Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion K linear ist.
Auf ihrem Graphen liegen die Punkte )/(P 3851001 und )/(P 4102002 .
Die Funktionsgleichung bestimmen wir dann in altbewährter Manier:
I. 25,041
10025
100200385410
12
12 ===−−=
−−=
xx
yymK
Lineare Funktionen (LF)
31
II. Einsetzen der Koordinaten von 2P und der Steigung mk:
360
5041050
41020025,0
=⇔
−=+⇔=+⋅⇒
b
b
b
III. Aufstellen der Funktionsgleichung:
36025,0)( += xxK
Lösung b)
Hier suchen wir den Funktionswert an der Stelle 136=x :
3943603436013613641 =+=+⋅=)(K .
Die Kosten bei der Produktion von 136 T-Shirts betragen also 394 €.
Lösung c):
Pro verkauftes T-Shirt erzielen wir einen Erlös von 5,05 €. Daher ist
x,)x(E 055= .
Offensichtlich ist die Erlösfunktion E, wie die Kostenfunktion K, eine lineare Funktion.
Lösung d)
Die Gewinnschwelle liegt dort, wo sich die Graphen von K und E schneiden. Es geht hier
also um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen.
x
x
xxx
xExK
=⇔
=⇔
−=+⇒
=
75
8,4:8,4360
25,005,536025,0
)()(
Interpretation: Bei einer Produktion von mehr als 75 T-Shirts wird ein Gewinn erwirtschaf-
tet, d. h. ab 75 T-Shirts ist der Erlös größer als die Kosten.
Lineare Funktionen (LF)
32
Beispiel 4 (Überprüfung der Rechtwinkligkeit)
Ein Dreieck ist gegeben durch die Punkte )/(A 421 − , )/(B 52
7 und )/(C 22
5− .
Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
Lösung:
Die Steigungen der Dreiecksseiten werden bestimmt:
Für die Steigung der Dreiecksseite AB gilt
3399)4(5
26
21
27
===−−−=
−−=
AB
ABAB
xx
yym .
Für die Steigung der Dreiecksseite BC gilt
21
212
27
25 6
3352 =−−=
−−=
−−−=BCm .
Für die Steigung der Dreiecksseite AC gilt
23
66)4(2
26
21
25
−=−
=−
=−−−−=ACm .
Es gilt also
BCAC
mm
1−= ,
da die Steigung der Strecke AC der negative Kehrwert der Steigung der Strecke BC ist,
somit sind die Seiten AC und BC orthogonal, d. h. sie bilden einen rechten Winkel.