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Grundideen der allgemeinen Relativitätstheorie
David Moch – La Villa 2006
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Inhalt
● Newtons Physik und ihr Versagen
● Einsteins Lösung von Raum und Zeit: Die spezielle Relativitätstheorie
● Minkowskis Vereinigung von Raum und Zeit
● Gravitation und die Relativitätstheorie: Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie
● Schwarzschildsche Metrik
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Newtons Physik
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts:
● Newtons Physik „fundamental“
● bis dato erfolgreichste Beschreibung der Physik
● basierend auf den bekannten drei Axiomen
➔ Fordert Einführung des Inertialsystems, d.h. ruhendes oder gleichförmig bewegtes System
➔ Gleichwertigkeit der Inertialsysteme (Relativitätsprinzip)
➔ Setzt absoluten Raum und absolute Zeit voraus
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Aber: Schwere Konflikte mit Newtons Physik!
● Hypothese vom „Lichtäther“
● Anormale Perihelverschiebung des Merkur
● Anomalien der Maxwellgleichungen bei bewegten Beobachtern
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● Äther „Ausbreitungsmedium“ für elektromagnetische Felder
➔ Äther im absoluten Raum in Ruhe: Ausgezeichnetes Bezugssystem
➔ Lichtgeschwindigkeit für bewegte Beobachter stets unterschiedlich!
➔ Überprüfung durch Albert Michelson 1881: Lichtgeschwindigkeit konstant!
Erneute Überprüfung mit Edward Morley 1887, selbes Ergebnis!
Folgerung: Lichtgeschwindigkeit in allen Bewegungsrichtungen konstant!
Spiegel
Spiegel
Detektor
Lichtquelle
Halbdurchlässiger Spiegel
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Anfang des 20. Jahrhunderts:
● Risse im Fundament Newtons Physik
● Erste Gedanken zur Längenkontraktion
● Entwicklung der Lorentztransformation 1900
Aber: Noch keine komplette Aufgabe der absoluten Zeit!
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Albert Einsteins spezielle Relativitätstheorie
● 1905 von Einstein alleine und unabhängig entwickelt
● Ideen vorhanden – aber erst von Einstein zu Ende gedacht
● Wichtigste Forderung:
„Es gibt weder einen absoluten Raum noch eine absolute Zeit und daraus resultierend auch keinen Äther.“
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1. Gleichrangigkeit aller Bewegungszustände für physikalische Gesetze
2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Bewegungszuständen
Einsteins Prinzipien
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Folgerungen
➔ Kein absoluter Raum
➔ Kein „ruhender“ Raum
➔ Gleichwertigkeit aller Bezugssysteme
➔ Zeitdilatation und Längenkontraktion bewegter System für „ruhende“ Beobachter
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Beweisführung für die Vermischung von Raum und Zeit
Im Wagen:
A B
hinten vorne
Blitz
A
B
hinten vorne
Blitz
Für externen Beobachter:
Raum Raum
Zeit Zeit
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x A= x BvB⋅t B , y A= yB , z A=z B
t A= t bvB⋅x Bc2 mit = 1
1−2, =
vBc
● Einfache Beschreibung der SRT durch die Lorentztransformation
● Lorentztransformation zwischen Bezugssystem A und B:
● Für v<<c Übergang in bekannte Galileitransformation
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Beispiel:
Gitter bei Stillstand Gitter bei v=0,9c
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➔ Relativistische Impulse
➔ Unerreichbarkeit der Lichtgeschwindigkeit für massebehaftete Körper
➔ Materie als „andere“ Form der Energie:
E0=mc2
Spezielle Relativitätstheorie neues Metaprinzip der Physik
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Spezielle Relativitätstheorie erfolgreich, da:
● Gute Erklärung für Michelson-Morley-Experiment
● Maxwellgleichungen erhalten ihre „Schönheit“ wieder
➔ Lorentzkontraktion der magnetischen Feldlinien = geschlossene Feldlinien
Aber!
Gilt nur für gravitationsfreie Systeme bzw. sich gleichmäßig bewegende Systeme!
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Hermann Minkowskis vierdimensionale Raumzeit
● 1908: Minkowski vereinheitlicht Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raumzeit
● Gelungene mathematische Formulierung der SRT
● Anfängliche Ablehnung Einsteins
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● Minkowskis Raumzeit nicht relativ, sondern absolut
● Minkowskis Raumzeit vierdimensional, drei Ortskoordinaten, eine Zeitkoordinate
➔ Raumzeit nicht mehr euklidisch!
● Darstellbar durch Raum-Zeit-Diagramme:
Eine Raumkoordinate
Zeitkoordinate
c⋅t
x
Keine räumliche Bewegung, nur zeitliche
0 /0
Lichtstrahl mit v=c
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Wichtige Folgerungen:
➔ Ereignisse in der Raumzeit analog zu Punkten im Raum
➔ Absoluter Abstand zwischen Raumzeit-Ereignissen
➔ Raumzeit reales Gebilde mit Eigenschaften, die nicht von Bewegungen des
Beobachters abhängen
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F 12=−G⋅m1⋅m2∣ r12∣
2⋅r12∣ r12∣
mit: G≈6,674⋅10−11 m3
kg⋅s2(Gravitationskonstante)
Newtons Gravitationsgesetz:
„Alle Massenpunkte üben aufeinander eine entlang ihrer Verbindungslinie wirkende Kraft aus“
r2
r12 m2
m1
(0,0,0)
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Planetenbewegung nach Kepler
„Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit der Sonne im Brennpunkt“
Problem: Perihelbewegung des Merkur, keine geschlossene Ellipse
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Weiteres Problem der Newtonschen Gravitationsphysik:
➔ Gravitationskraft hängt von Entfernung zwischen den Körpern ab
➔ Entfernung aber relativ, da unterschiedliche Bezugssysteme!
➔ Newton setzt aber bevorzugtes Bezugssystem voraus, um Entfernungen zu messen
➔ Widerspruch zu Relativitätstheorie
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Der Weg zur Allgemeinen Relativitätstheorie
Einführung des Äquivalenzprinzips nach Einstein:
● Kleine, freifallende Bezugssysteme äquivalent zu gravitationsfreien Bezugssystemen
Gravitationsbedingte Zeitdilatation:
● Uhren in einem Gravitationsfeld fließen für externe Beobachter langsamer, je näher sie der Gravitationsquelle sind
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➔ Aber: Äquivalenzprinzip gilt nur für kleine Bezugssysteme
➔ Bei größeren Bezugssystemen treten Gezeitenkräfte auf
Mond
Erde
Gezeitenkraft
Gezeitenkraft
Ozean
Problem: Newtons Gravitationsgesetz erklärt Gezeitenkräfte – widerspricht aber der SRT
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● Erste Erklärungsversuche Einsteins:
„Raum flach – Zeit gekrümmt bzw. verzerrt“ -
➔ Widerspruch zur SRT
● Aufgabe dieser Idee, stattdessen:
„Raum und Zeit für jeden Beobachter gekrümmt“
➔ Unendlich viele gekrümmte Räume und Zeiten
➔ Vereinfachung von Minkowski: Vierdimensionale Raumzeit
➔ Krümmung von Raum und Zeit Krümmung der absoluten Raumzeit!
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Raum-Zeit-Krümmung
Flacher Raum:
➔ Parallele Geraden schneiden sich nie
Gekrümmter Raum:
➔ Geraden schneiden sich immer
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● In der Speziellen Relativitätstheorie:
➔ Raumzeit flach – gleichmäßige, unbeschleunigte Bewegung aller Teilchen entlang Geraden („geodätische Linie, Geodäte“) in der Raumzeit
● Mit dem Äquivalenzprinzip folgt:
➔ Freifallende Teilchen bewegen sich ebenfalls entlang einer Geodäte in der Raumzeit!
● Folgerung:
➔ Schneiden sich die Geodäten in der Raumzeit, muss diese gekrümmt sein!
➔ Gezeitenkräfte und Raumzeit-Krümmung gleiche Beschreibung für dasselbe
Problem!
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Bedeutende letzte Fragen:
● Wer krümmt die Raumzeit?
● Wie wird die Raumzeit gekrümmt?
● Wie sieht die Krümmung im einzelnen aus?
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● Letztlich Lösung durch David Hilbert (20.11.1915) und Albert Einstein (25.11.1915)
● Hilberts Lösung mathematischer Form, Einstein eher über empirischen Weg
● Beschreibung der Raumzeit-Krümmung durch die Einsteinsche Feldgleichung
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● Krümmung der Raumzeit wird durch Masse und Druck verursacht
➔ Druck i.d.R. unerheblich, Ausnahme: Neutronensterne
● Geodätische Linien freifallender Teilchen laufen entlang einer Achse zusammen:
➔ Krümmung positiv
● Geodätische Linien freifallender Teilchen laufen entlang einer Achse auseinander:
➔ Krümmung negativ
Einsteins Feldgleichung
„Summe der Krümmungen entlang der drei Achsen ist proportional der Massendichte plus dem Druck der Materie in der Umgebung eines Teilchens“
● Einsteins Feldgleichung gehorcht dem Relativitätsprinzip!
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● Erste Lösung der Feldgleichung durch Karl Schwarzschild 1916
● Beschreibung der Gravitation außerhalb eines nichtrotierenden,
sphärischen Objekts
● Gute Approximation für das Sonnensystem
● Erklärt Perihelbewegung des Merkur
Schwarzschildsche-Metrik
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● Schwarzschild-Metrik beschreibt gravitationsbedingte Zeitdilatation um Sterne
➔ Auf Sonnenoberfläche Zeit ca. 64 s langsamer pro Jahr als weit außerhalb
➔ Gravitationsbedingte Rotverschiebung des Lichts
➔ Krümmung der Raumzeit und Rotverschiebung stärker, je kompakter der Stern
● Starke Krümmung von Lichtbahnen um einen Stern
● Gravitation steigt in Schwarzschild-Metrik stärker an als bei Newton
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● Schwarzschildradius:
● Stern mit kritischem Umfang so genanntes „Schwarzschildsches Schwarzes Loch“
➔ Ereignishorizont
● Keine Entweichmöglichkeit für Licht
➔ Unendliche Rotverschiebung
Aber: Jahrzehnte lang Ablehnung der Schwarzschild-Singularitäten, auch durch Einstein oder Eddington!
r s=2GMc2
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Quellen
● Thorne, Kip S.: Gekrümmter Raum und verbogene Zeit: Einsteins Vermächtnis,
Knaur 1994
● Begelmann, Mitchell & Rees, Martin: Schwarze Löcher im Kosmos,
Spektrum Akademischer Verlag 2000
● Abbildungen:
➢ Wikipedia: www.wikipedia.de
➢ Begelmann & Rees, Kapitel 1, Abb. 1.4