GRE Recife Sul

1º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015

I) As visões compartilhadas estimulam a coragem de uma forma tão natural que as pessoas nem percebem a extensão de sua coragem. Ter coragem É simplesmentefazer o que for necessário para realizar a Visão ( Senge, 1999 p.236)

II) Se me perguntares qual o segredo de aprender matemática, eu não sei ! Porém, possote afirmar que somente com a prática e com a atenção necessária, aprendemos a amá-laPaulatinamente, somente assim, poderemos ser conquistado pela fala dos mais ínfimos segredos que os próprios números nos revelam. (Samuel Justino) .

RESOLUÇÃO DA LISTA DE MATEMÁTICAPARA O ENSINO MÉDIO – GRE RECIFE SULENCONTRO DE PROFESSORES MARÇO - 2015

GRE Recife Sul

1) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a vista aérea de um trecho de rodovia retilínea geoprocessada localizada na região de Garanhuns na região do agreste do estado de Pernambuco, cujo trajeto é feito por um automóvel, formando um triângulo de vértices ABC, cujas coordenadas dos vértices são A = (1, 1), B = (4, 0) e C = (3, 4), Considerando que a projeção de AC sobre AB corresponde ao seguimento AH conforme a figura abaixo, sabendo-se que as medidas das coordenadas estão em hectare, onde 1 hectare corresponde a 100 metros linear, uma equipe de engenharia e de Professores de matemática da GRE Recife Sul foram escalados, pelo secretário de Educação do Estado de Pernambuco para definir a área do terreno em m², neste caso os valor obtido foi igual a:

a) 5,1x10²m2 b) 7,5x10³m² c) 25x10 4 d) 35,104 e) 5,5x104m²

Área do Triângulo ABC = ( Base x Altura ) 2Base = distância entre os pontos A e B

Altura triângulo ACH ou BCH

dAB = distância entre os pontos A e B Sendo: A = (1, 1) e B = (4, 0)

dAB² = (4 – 1)² + ( 0 – 1)² dAB² = ( 3)² + ( – 1)² dAB = √10

dBC = distância entre os pontos B e C Sendo: C = (3, 4) e B = (4, 0)

dBC² = (4 – 3)² + ( 0 – 4)² dBC² = ( 1)² + ( – 4)² dBC = √17

dAC = distância entre os pontos A e C Sendo: A = (1, 1) e C = (3, 4)

dAC² = (3 – 1)² + ( 4 – 1)² dAC² = ( 2)² + ( 3)²

dAC = √13

Dados três lados de um triângulo qualquer, pela lei dos cossenos :

a² = b² + c ² - 2bc cos

dAB = c =√10 dBC = a = √17

dAC = b = √13

(√17) ² = (√13) ² + (√10) ² - 2 √13 √10 cosά

17 = 13 + 10 - 2 √13 √10 cosά

cosά = 3 / √130 Cálculo da altura h AH = b Cos ά AH = √13 . 3 / √13 √10 AH = 3 √10 10b² = h² + AH² h² = 13 – 9

10h = 11/ √10 Área = √10 . 11/ √10

2

Área = 5,5 hec

dAB = √10

dBC = √17

dAC

= √1

3

ab

c

Área = 5,5x104 m²

Por Geometria

h

Como 1 hec = 10 4 m²

Respota Letra E

Sendo: A = (1, 1) , B = (4, 0) C = (3, 4)

(1, 1) 3 4 1

(3, 4)

= ½ Det Matriz (A)

1 1 1

4 0 1(4, 0) 12 Det

Por Laplace: 1( 0 x1 – 4x1) 1( 4 x1 – 3x1) + 1( 4 x 4 – 3x0)-

- 4 -1 + 16

Det (A) =

Det (A) = Det (A) = 11

Logo a área do Triângulo ABC = ½ X 11 Área ∆ABC = 5,5 hec

Por Álgebra

Área ∆ABC

Área ∆ABC = 5,5x10 4 m²

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2) UFSCar 2007) - Em uma pesquisa, foram consultados 600 consumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa marca de sabão em pó. Cada consumidor deu uma nota de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 8,5. O número mínimo de consumidores que devem ser consultados, além dos que já foram, para que essa média passe para 9, é igual aa) 250. b) 300. c) 350. d) 400. e) 450.

Seja: S = a soma das notas dos 600 consumidores já consultados x = o número mínimo de novos consumidores a serem consultados. O número mínimo vai ocorrer quando a nota atribuída por cada dos consumidores for a máxima , ou seja igual a (10).

9,0

S600 = 8,5

Inicialmente temos

S = 5100

O número mínimo ocorre quando parte dos consumidores obtiverem a nota 10; para uma média, que sobe de 8,5 para 9,0.

S + 10X 600 + X

= 9 ( 600 + X) = S + 10X 5400 + 9X = S + 10X

5400 + 9X = 5100 + 10X X = 300 Resposta Letra b

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3) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a vista aérea de um trecho de rodovia retilínea geoprocessada localizada na região de Garanhuns na região do agreste do estado de Pernambuco, cujo trajeto é feito por um automóvel, formando um triângulo de vértices ABC, cujas coordenadas dos vértices são A = (1, 1), B = (4, 0) e C = (3, 4), Considerando que a projeção de AC sobre AB corresponde ao seguimento AH conforme a figura abaixo, sabendo-se que as medidas das coordenadas estão em hectare, onde 1 hectare corresponde a 104 m², uma equipe de engenharia e de Professores de matemática da GRE Recife Sul foram escalados, pelo secretário de Educação do Estado de Pernambuco para definir a área do terreno em m², neste caso o valor obtido foi igual a:

73,13

:

73,13

ɭɭ

ɭ

h

ɭ² = h² + ( ɭ / 2)² ) ɭ² = h² + ( ɭ² / 4 )

h² = ɭ² - ( ɭ² / 4 ) h² = 4ɭ² - ( ɭ² ) 4 h² = ɭ² (4 – 1) 4

h² = 3ɭ² 4

h = ɭ√3 2

Área ∆ (ABC )= ɭ x ɭ√3 2 2

A

B

C

Área ∆ (ABC )= ɭ²x√3 4

Área Hexágono= 3ɭ²√3 2

Área Lateral

20cm

16cmAl = 6x (20x16) =

Al = 1920 cm²

ABHR =Área da base do Hexagono regular : = 3ɭ²√3 2

Mas ɭ = 16cm

ABHR = 3 (16)² . 1,73 2

ABHR = 664,32 cm²

Área Total = 2 x ABHR + Aɭ

Área Total = 2 x 664,32 + 1920

Área Total = 2 x 664,32 + 1920

Área Considerada = 3.248,64 x 1,25cm²

Do problema ,Admite-se que se utilize 25% a mais de material

Área Considerada = 4.060,8 cm²

Área Total = 3.248,64 cm²

Ou seja a Área considerada = 1,25 da Área total

Respota Letra E

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Resposta Letra C

4) Faap No videogame da figura a seguir, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória y=(1/x)+1, e podem disparar suas balas na direção da tangente contra as pessoas ao longo do eixo x, em x=1, 2, 3, 4 e 5.Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em P(1, 2), sabendo-se que a declividade da reta tangente é igual a -1. a)pessoa em x = 2 b) pessoa em x = 5 c)pessoa em x = 3 d) pessoa em x = 4 e) não atinge ninguém

y- y0 = m ( x –x0)

y- 2 = -1( x – 1) y- 2 = - x +1 y = - x + 3

Para x=1 y= 2 Disparo

x= 2 y= 1 Fora do alcance

x= 3 y= 0 Atinge o alvo, conforme mostra a figura

x= 4

x= 5

y= -1

y= - 2

Fora do alcance

Fora do alcance

A equação da reta tangente a curva no ponto P , pode ser definida através da equação geral da reta :

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5) (ENEM 2011) O termo agronegócios não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro.Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais segundo o gráfico,

o período de queda ocorreu entre os anos de:a) 1998 e 2001 b) 2001 e 2003 c) 2003 e 2006 d) 2003 e 2007 e) 2003 e 2008

A

2 4 00 2 13 0 2

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Resposta Letra C

GRE Recife Sul

6) Enem 2010) O limite do consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 320 kWh. Pelas regras do racionamento, se esse limite for ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 16%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Pode-se então, concluir que o consumo de energia elétrica , no mês de outubro foi de aproximadamente:a)301 kWh b)343 kWh c)367 kWh d) 385 kWh e)413 kWh

Sem as Regras o valor pago é : VP = C . P,VP = Valor Pago C= Consumo em kwh P = Tarifa de Energia Elétrica

Em Agosto Com as novas regras o valor pago Será : VP = 320 x 1,16 P + ( C – 320) x 1,50 x1,16P

Em outubro o valor pago sera VP = 1,20 x Cx P :

320 x 1,16 P + [( C – 320) x 1,50 x1,16P] = 1,20 x Cx P :

P(320 x 1,16 + ( C – 320) x 1,50 x1,16) = P(1,20 x C) :

371,2 + 1,74C – 556,8 = 1,2 C

- 185,6 = - 0,54C C = - 0,54C C = 343,7 Resposta Letra b

Ou seja :

Se uma das raízes é 4 , então : podemos substituir o valor de x na equação: x3 + x2 + kx = 0 43 + 42 + 4k = 0 64 + 16 + 4k = 0

80 = -4K K = -20 Decompondo esta equação temos : x(x2 + x - 20) = 0 logo a segunda raiz é x=0

x2 + x – 20 =0Resolvendo a equação

∆ = 9

x1 , x2 = -1 +/- √9 2.1

x1 = 4

x2 = -5

Logo as duas outras são requisitada são : {0, -5 }

A equação fica definida da seguinte forma : x3 + x2 - 20x = 0,

7) Adaptado - GRE RCF-SUL Na introdução do estudo de Equação polinomial ou Equação algébrica sabemos por definição, que equação polinomial é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio. O conjunto solução da equação é formado pelas raízes de uma equação polinomial. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução, "Resolver" uma equação significa calcular suas raízes. Toda equação polinomial, de grau n, (n ˃ 1) possui, pelo menos, uma raiz complexa (real ou não). Considerando o texto acima, a equação polinomial x3 + x2 + kx = 0 , onde k é um coeficiente real. Se uma das raízes dessa equação é 4, as outras raízes Serão iguais a:

a)(0,-5) b) (0,5) c(0,3) d) (1,3) e) (-1,3)

Resposta Letra a

8 – ( D1) No desenho abaixo, NP é paralelo a QR.

Qual é a medida aproximada do comprimento do segmento NQ desse desenho?A) 10 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 13 cm

15 cm

6 + x

5cm

6cm

Por semelhança de triângulos : 15 5 = 6 + x

6 5( 6 + x ) = 6 . 15

( 6 + x ) = 18 x = 12

3

Resposta Letra C

x X= NP

Logo Q = 12

Separando os triângulos

9 – ( D2 ) Sabendo-se que o volume de um cone circular reto é igual a [(1/3).π r2 . h] e que o volume de uma esfera é [(4/3) πr³], considere a placa de propaganda de uma determinada sorveteria onde está exposto um sorvete casquinho gigante com dimensões conforme figura abaixo. Túlio, criança curiosa, pensou quanto sorvete caberia ali dentro, então, determine quantos litros de sorvete caberiam dentro do sorvete gigante. Considere π= 3.

Pela figura Temos uma semi esfera e um cone

raio é comum as duas figuras – r = 1cmVolume da Figura = [(1/3).π r2 . h] + ½ [(4/3) πr³],

Volume da Figura = [(1/3).3. 12 . 3] + ½ [(4/3) 3.1³],

Volume da Figura = 3 + 2 Volume da Figura = 5m3

Resposta Letra A

a) 5.000l b) 500l c) 50l d) 5l

1m 3 = 1000litros Logo 5m 3 = 5000litros

10 – (D3) Observe as figuras abaixo.

Cortando essas figuras com um plano paralelo às bases, obtem-se um círculo em: A) I e IV. B) I e III. C) II e IV. D) II e V.

Resposta Letra A

11–(D4) A figura, representada abaixo, é de um prisma com x faces, y vértices e z arestas.

Qual é o valor de x + y + z ? A) 18. B) 24. C) 32. D) 38.

X= faces y= vértices z= arestas

Nº de vértices = 12

Nº de Faces = 8 ( 02 faces da base e 06 faces laterais )

Nº de vértices = 18

Logo x + y + z = Logo 8 + 12 + 18 = 38

Resposta Letra A

12 – (D5) Uma viga está apoiada em uma parede, conforme representado no desenho abaixo.

Qual é o comprimento mais aproximado dessa viga?A) 5,25 m B) 6,00 m C) 7,00 m D) 7,56 m

Sen36º = 0,6

Sen36º = 4,2 viga

Comprimento da viga = 4,2 0,6

Comprimento da viga = 7m Resposta Letra C

13 – ( D6) O ponto em que a reta corta o eixo das abcissas é igual a

A)(4,-1) B) ( 0,3) C( 2,0) D) (3,0)

P(3,0)

Respsta Letra D

14 –( D7) Sobre o Gráfico (01) da questão anterior, podemos afirmar que a reta apontada no gráfico que intercepta o plano cartesiano possuí um coeficiente angular igual a A) - 1 B) 3 C) 1 D) -3

Gráfico 01 da questão anterior

Coeficiente Angular: m = y- y0

x – x0

Coeficiente Angular: m = y- y0

x – x0

P1 ( 0,3) P 2 ( 4,-1)

Coeficiente Angular: m = -1- 3 4 - 0

Coeficiente Angular: m = - 1

Resposta Letra A

15 – (D8) A equação da reta que passa pelo ponto P(1, – 3) e tem inclinação igual a 3/2 é

y- y0 = m ( x –x0)Pela equação geral da reta :

[ y- (-3)] = 3 ( x –1) 2

2 (y +-3) = 3 ( x –1)

2 y + 6 = 3 x – 3 2 y = 3 x – 9) y = 3 x – 9 2 2

Resposta Letra D

GRE Recife Sul

Obrigado a todos!

Um abraço!