gratton, julio - introducción a la mecánica cuántica

iINTRODUCCIN A LAMECNICA CUNTICA

JULIO GRATTON

h

^

x

ii

PRLOGOLas presentes notas son una versin corregida de apuntes que prepar hace dos aos para elCurso de Fsica 4, y hacen pareja con otra parte denominada Termodinmica e Introduccin a laMecnica Estadstica. El estudiante debera leer ambas pues son complementarias. Usamossiempre las unidades gaussianas en el desarrollo de la teora. Sin embargo, al considerarejemplos y al dar valores numricos se emplean a veces unidades prcticas o que pertenecen aotros sistemas. Por lo tanto el lector debe tener el debido cuidado en el empleo de las frmulas.Existe una bibliografa muy extensa que el estudiante puede consultar con provecho. Si bientodos los temas del curso Fsica 4 se tratarn en estas notas, se recomienda muy especialmente alos estudiantes que consulten y lean otros textos, para familiarizarse con la literatura y dado quealgunos temas se tratan en ellos con mayor detalle y/o con enfoques diferentes. El alumno nodebe desdear obras que se han escrito hace ya muchos aos, pues muchas de ellas sonexcelentes, y frecuentemente mejores que otras ms recientes. Entre los innumerables libros quese han escrito sobre la Mecnica Cuntica puedo indicar los siguientes:(a) de carcter introductorio1. R. Eisberg y R. Resnik, Fsica Cuntica, Limusa2. L. R. Argello, Fsica Moderna, Answer Just in Time.3. J. C. Wilmott, Fsica Moderna, Limusa.4. R. Eisberg, Fundamentos de Fsica Moderna, Limusa.5. S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, Benjamin.6. R. H. Dicke y J. P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley.7. R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol 3,

Quantum Mechanics, Addison-Wesley.8. F. Mandl, Quantum Mechanics, Butterworths.9. D. Park, Introduction to Quantum Theory, Mc Graw-Hill.10. S. Gasiorowicz, Quantum Physics, Wiley.(b) ms avanzados11. G. Baym, Lectures in Quantum Mechanics, Benjamin.12. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall.13. A. S. Davydov, Quantum Mechanics, Addison-Wesley.14. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford.15. L. D. Landau y E. M. Lifschitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory), Addison-

Wesley.16. A. Messiah, Quantum Mechanics, Wiley.17. E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley.18. L. I. Schiff, Quantum Mechanics, Mc. Graw-Hill.Tambin puede resultar provechoso consultar las diferentes voces en la EncyclopaediaBritannica, dado que han sido escritas por distinguidos especialistas.Pido disculpas por las erratas que pueden haber quedado en en estas notas pese a la revisin yagradecer que se me ponga al corriente de las que fueran detectadas.Julio GrattonBuenos Aires, septiembre de 2002.

iii

INDICE1. Introduccin 1

2. Naturaleza atmica de la materia y la electricidad 3La hiptesis atmica 3Evidencias de la naturaleza atmica de la materia 3Pesos atmicos y la Tabla Peridica de los elementos 5La Teora Cintica 5Tamao de los tomos 6La atomicidad de la carga elctrica 7Los rayos catdicos 7El electrn 8El experimento de Millikan y la cuantificacin de la carga 8

3. Estructura atmica 10Cargas atmicas positivas 10La dispersin de rayos X y la cantidad de electrones de cada tomo 10El modelo atmico de Thomson 12Radioactividad 13La dispersin de partculas por los tomos y el fracaso del modelo de Thomson 14El modelo de Rutherford y el ncleo atmico 15La constante que est faltando 18

4. Radiacin, fotones y la constante de Planck 20Introduccin 20La teora de Planck de la radiacin de cuerpo negro 20El postulado de Planck 22El efecto fotoelctrico 23Teora cuntica de Einstein del efecto fotoelctrico 25El efecto Compton 27La emisin de rayos X 31Creacin y aniquilacin de pares 33La naturaleza dual de la radiacin electromagntica 35

5. La Teora Cuntica Antigua 37Introduccin 37El espectro atmico 37Los postulados de Bohr 38Teora de Bohr del tomo con un electrn 39El espectro de lneas de rayos X 43Refinamientos del modelo de Bohr 44El principio de correspondencia 48El experimento de Franck y Hertz 49Constantes fundamentales, consideraciones dimensionales y escalas 51

iv

Crtica de la Teora Cuntica Antigua 52

6. Propiedades ondulatorias de la materia 53El postulado de Broglie 53Algunas propiedades de las ondas piloto 54El experimento de Davisson y Germer 56Interpretacin de la regla de cuantificacin de Bohr 57El principio de incerteza 58Interpretacin fsica de Heisenberg del principio de incerteza 62La relacin de incerteza entre la energa y el tiempo 63La dispersin de un paquete de ondas 64El principio de complementaridad 65

7. La teora de Schrdinger 68Introduccin 68La ecuacin de Schrdinger 68Interpretacin de la funcin de onda 70La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo 72Cuantificacin de la energa en la teora de Schrdinger 73Valores esperados y operadores diferenciales 76Propiedades matemticas de operadores lineales en espacios funcionales 79

8. El formalismo de la Mecnica Cuntica 87Introduccin 87Propiedades de las funciones de onda y de las autofunciones de la energa 88Normalizacin en una caja 90Relaciones de conmutacin 90Autoestados de una variable dinmica 91Mediciones simultneas y operadores que conmutan 92Las relaciones de incerteza de Heisenberg 94Constantes del movimiento y ecuaciones del movimiento para operadores 95El lmite clsico 97Representacin coordenadas y representacin impulsos 98Transformaciones unitarias 100

9. Soluciones de la ecuacin de Schrdinger 103Introduccin 103La partcula libre 103El potencial escaln 106Penetracin de una barrera de potencial 110El oscilador armnico simple 114

10. Fuerzas centrales, momento angular y tomo de hidrgeno 118Introduccin 118Propiedades del momento angular 118Magnitud del momento angular 119

vTraslaciones y rotaciones infinitesimales y sus generadores 120Fuerzas centrales y conservacin del momento angular 121Energa cintica y momento angular 121Reduccin del problema de fuerzas centrales 122Dependencia angular de las autofunciones 123El problema de autovalores para Lz y la cuantificacin espacial 125Teora elemental del efecto Zeeman 125Autovalores y autofunciones de L2 126La ecuacin radial 131Estados ligados de tomos con un solo electrn 133

11. El Spin 138El momento angular intrnseco 138La evidencia espectroscpica 138La hiptesis de Uhlenbeck y Goudsmit 139El experimento de Stern y Gerlach 140El spin como una variable dinmica 142Los spinores y la teora del spin en forma matricial 144Spin y rotaciones 146Las matrices de Pauli 150Operadores de momento magntico y momento angular intrnseco 152

12. tomos con varios electrones, el Principio de Exclusin y la Tabla Peridica 156Descripcin de un tomo con varios electrones 156El mtodo del campo autoconsistente 159Propiedades de los elementos 161El Principio de Exclusin 164El Principio de Exclusin y la estructura atmica 165La unin qumica y otras interacciones entre tomos 170

13. Partculas idnticas 183La indistinguibilidad y la funcin de onda de un sistema de varias partculas idnticas 183Funciones de onda simtricas y antisimtricas 185Bosones y Fermiones 186Sistemas de partculas independientes 187El Principio de Exclusin de Pauli 188Las interacciones de intercambio 189El tomo de helio 196

14. Segunda cuantificacin 200Segunda cuantificacin de sistemas de Bosones 200Segunda cuantificacin de sistemas de Fermiones 213Ecuaciones de movimiento para operadores de campos de Fermiones y Bosones 219Conexin de la segunda cuantificacin con la Teora Cuntica de Campos 221El mtodo de Hartree-Fok 223

vi

15. Las Estadsticas Cunticas 229El lmite clsico 229La funcin de particin de un sistema de partculas idnticas sin interaccin 230Las distribuciones de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac 232El gas perfecto de Bosones 233El gas de fotones y la radiacin de cuerpo negro 242La emisin y absorcin de fotones 246El gas perfecto de Fermiones 257El modelo de electrn libre de los metales 263El equilibrio de las enanas blancas 265

1. Introduccin

1

1. INTRODUCCINLa Mecnica Cuntica se ocupa del comportamiento de la materia y la radiacin en las escalasatmica y subatmica. De esta forma procura describir y explicar las propiedades de las mol-culas, los tomos y sus constituyentes: electrones, protones, neutrones, y otras partculas msesotricas como los quarks y los gluones. Esas propiedades incluyen las interacciones de laspartculas entre s y con la radiacin electromagntica.El comportamiento de la materia y la radiacin en la escala atmica presenta aspectos peculia-res; de acuerdo con ello las consecuencias de la Mecnica Cuntica no siempre son intuitivas nifciles de entender. Sus conceptos chocan con las nociones que nos resultan familiares porquederivan de las observaciones cotidianas de la naturaleza en la escala macroscpica. Sin embargo,no hay razones en virtud de las cuales el comportamiento del mundo atmico y subatmico debaseguir las mismas pautas que los objetos de nuestra experiencia diaria.El desarrollo de las ideas bsicas de la Mecnica Cuntica comenz a principios del siglo pa-sado, como consecuencia de una serie de descubrimientos y observaciones que pusieron en evi-dencia las graves dificultades de la Fsica Clsica para interpretar las propiedades del tomo ysus partes constituyentes as como las propiedades de la radiacin electromagntica y su interac-cin con la materia. Esos descubrimientos revolucionaron las nociones hasta entonces sustenta-das por los fsicos y plantearon una asombrosa cantidad de enigmas, cuya solucin oblig a rea-lizar un profundo replanteo de los fundamentos y conceptos bsicos de la Fsica.El estudio de la Mecnica Cuntica es importante por varias razones. En primer lugar porquepone de manifiesto la metodologa esencial de la Fsica. En segundo lugar porque tuvo un xitoformidable ya que permiti dar respuestas vlidas a casi todos los problemas en los cuales se laha aplicado. En tercer lugar porque es la herramienta terica bsica para numerosas disciplinasde gran importancia, como la Qumica Fsica, la Fsica Molecular, Atmica y Nuclear, la Fsicade la Materia Condensada y la Fsica de Partculas.Subsiste, sin embargo, una curiosa paradoja alrededor de la Mecnica Cuntica. A pesar de sunotable xito en todas las cuestiones de inters prctico en las que se la ha aplicado, sus funda-mentos contienen aspectos an no aclarados en forma completamente satisfactoria. En particular,cuestiones relacionadas con el proceso de medicin.Una caracterstica esencial de la Mecnica Cuntica, que la diferencia de la Mecnica Clsica, esque en general es imposible por razones de principio, efectuar una medicin sobre un sistema sinperturbarlo. Pero los detalles de la naturaleza de esta perturbacin, y el punto exacto en que ellaocurre son asuntos an oscuros y controvertidos. Por estos motivos la Mecnica Cuntica atrajoalgunos de los ms brillantes cientficos del siglo XX, que han erigido con ella un majestuoso yelegante edificio intelectual.Este es un curso introductorio. Por lo tanto pondremos el nfasis sobre el desarrollo de los con-ceptos bsicos de la Mecnica Cuntica, sin mayor pretensin de rigor y sin profundizar la teo-ra, dado que estos temas se estudian en otros cursos.En los Captulos 2 a 4 de estas notas pasaremos revista a estos temas desde una perspectiva his-trica, y mostraremos que el comportamiento de las partculas atmicas y de la radiacin no sepuede describir adecuadamente mediante las nociones clsicas de partcula y onda. Estos con-ceptos, que derivan de la experiencia a nivel macroscpico, no son adecuados en la escala at-mica y por lo tanto deben ser abandonados y reemplazados por una nueva teora, que es preci-samente la Mecnica Cuntica. Por razones de espacio no entraremos en los detalles prcticos y

1. Introduccin

2

tcnicos de los experimentos que contribuyeron a echar las bases de la Mecnica Cuntica y encambio sugerimos al lector que recurra a la bibliografa para satisfacer su natural curiosidad. Re-comendamos enfticamente que realice estas lecturas complementarias para adquirir una ade-cuada cultura cientfica.En el Captulo 5 presentamos a la Teora Cuntica Antigua, por su inters histrico y porqueconstituy, a pesar de sus falencias, el primer intento exitoso en resolver algunos de los proble-mas y paradojas surgidas del estudio del tomo.En los Captulos 6 y 7 introducimos las ideas fundamentales de la Mecnica Cuntica moderna,y en los siguientes Captulos desarrollamos el formalismo de la teora y mostramos su aplicacinpor medio de algunos ejemplos.Estas notas dejan de lado gran parte de las extensiones y aplicaciones de la Mecnica Cuntica.En particular, no tratamos ni la Mecnica Cuntica Relativstica, ni las Teoras de Campos.Tampoco incursionamos en las aplicaciones al ncleo atmico, a las partculas subnucleares y ala materia condensada.

2. Naturaleza atmica de la materia y la electricidad

3

2. NATURALEZA ATMICA DE LA MATERIA Y LA ELECTRICIDAD

La hiptesis atmicaEl concepto del tomo, en la forma que fuera aceptado por lo cientficos desde 1600 hasta 1900,se bas en las ideas de filsofos griegos del siglo V AC. Fueron Leucippo de Mileto y su disc-pulo Demcrito de Abdera quienes originaron la filosofa atmica, introduciendo la nocin de unconstituyente ltimo de la materia, que denominaron tomo (es decir, indivisible en la lenguagriega). Demcrito crea que los tomos eran uniformes, slidos, duros, incompresibles e indes-tructibles y que se movan en nmero infinito por el espacio vaco; segn sus ideas, las diferen-cias de forma y tamao de los tomos determinaban las propiedades de la materia. Estas espe-culaciones fueron luego continuadas por Epicuro de Samos.Si bien la teora atmica griega es significativa del punto de vista histrico y filosfico, carecede valor cientfico, pues no se funda en observaciones de la naturaleza, ni en mediciones, prue-bas y experimentos. Para los griegos, la ciencia constitua tan slo un aspecto de su sistema filo-sfico, mediante el cual buscaban una teora general que explicara el Universo. Con este fin ellosusaban casi exclusivamente la matemtica y el razonamiento, cuando hablaban de la Fsica. Fueas que Platn y Aristteles atacaron la teora atmica sobre bases filosficas y no cientficas. Enefecto, mientras Demcrito crea que la materia no se poda mover en el espacio sin el vaco, yque la luz consista del rpido movimiento de partculas a travs del vaco, Platn rechazaba laidea que atributos como bondad o belleza fueran simplemente manifestaciones mecnicasde tomos materiales. Del mismo modo, Aristteles no aceptaba la existencia del vaco, pues nopoda concebir que los cuerpos cayeran con igual rapidez en un vaco. El punto de vistaAristotlico prevaleci en la Europa medioeval, y la ciencia de los telogos Cristianos se bas enla revelacin y la razn, motivo por el cual las ideas de Demcrito fueron repudiadas por consi-derrselas materialistas y ateas.

Evidencias de la naturaleza atmica de la materiaCon el Renacimiento dio comienzo la nueva ciencia experimental, y se pusieron en duda lospuntos de vista Aristotlicos hasta entonces dominantes. Tan pronto como Galileo expres sucreencia de la existencia del vaco (en 1638), los cientficos comenzaron a estudiar las propieda-des del aire y del vaco (parcial), para poner a prueba los mritos relativos de la ortodoxiaAristotlica y de la teora atmica. As fue que Robert Boyle en 1658 comenz sus estudios sis-temticos sobre la elasticidad del aire que lo llevaron a establecer en 1662 la Ley que lleva sunombre1. Como conclusin de sus experimentos, Boyle escribi que toda materia est consti-tuida por partculas slidas de una nica clase, dispuestas en molculas de modo de dar a losmateriales sus diferentes propiedades. Cuarenta aos despus, en 1704, Isaac Newton, en su li-bro Optiks, expuso su visin del tomo, semejante a las de Demcrito y de Boyle. Fue as comolas antiguas especulaciones acerca de una partcula dura e indivisible fueron lentamente reem-plazadas por una teora cientfica basada en resultados experimentales y en deducciones mate-mticas. Pero fueron necesarios ms de 2000 aos antes que los fsicos modernos comprendieranque el tomo es divisible, y que no es ni duro, ni slido, ni inmutable.

1 Redescubierta en 1672 en forma independiente por el fsico francs Edme Mariotte.


4

En el curso del siglo XIX se acumul gran parte de la evidencia de que la materia est com-puesta por tomos. Recapitulamos brevemente los hitos ms relevantes.En primer lugar debemos citar algunas leyes de la qumica. Mencionamos en primer trmino laLey de las proporciones constantes, descubierta por Joseph Proust en 1794:

Ley de las proporciones constantes:cuando se unen elementos qumicos para formar un determinado compuesto, las propor-ciones en peso de los elementos que se combinan son siempre las mismas.

Dicha Ley fue extendida en 1808 por John Dalton, quien propuso la

Ley de las proporciones mltiples:cuando dos elementos se combinan de distintas formas para dar lugar a diferentes com-puestos, los pesos de uno de los dos elementos que se combinan con un peso definido delotro, guardan una relacin simple entre s.

La teora atmica permite explicar estas leyes. Toda cantidad macroscpica de algn elementoqumico consta de gran nmero de tomos de dicho elemento. Todos esos tomos tienen elmismo peso (o masa), que es caracterstico del elemento. Cuando dos elementos se combinanpara formar un compuesto, los tomos de los elementos se combinan en una proporcin simple,para dar lugar a una molcula del compuesto.Por ejemplo, si se forma xido cprico a partir de cobre y oxgeno, se encuentra siempre que63.5 g de cobre se combinan con 16 g de oxgeno. A partir de los mismos elementos tambin sepuede formar xido cuproso, pero en este caso 63.5 g de cobre siempre se combinan con 8 g deoxgeno. La hiptesis atmica explica estos hechos diciendo que los pesos atmicos del cobre yel oxgeno estn en la relacin 63.5:16, y que el xido cprico es CuO mientras que el xido cu-proso es Cu2O. Gracias a esta hiptesis tan simple se pudieron explicar cuantitativamente lospesos de combinacin que se observaron en qumica.Casi simultneamente, Joseph-Louis Gay Lussac (1808) encontr que en el estado gaseoso, noslo los pesos sino tambin los volmenes que participan en las reacciones qumicas siguen le-yes sencillas, siempre y cuando los gases se comporten segn las leyes de los gases ideales:

Ley de Gay-Lussac:en cada gas que se forma o se descompone, los volmenes de los gases componentes ycompuestos guardan relaciones simples entre s.

Si comparamos esta ley con las anteriores se llega a la conclusin que el volumen de un gas estrelacionado con el nmero de partculas del mismo, y como consecuencia de ello AmedeoAvogadro formul en 18112 la Ley que lleva su nombre:

Ley de Avogadro:volmenes iguales de distintos gases, en las mismas condiciones de temperatura y presin,contienen el mismo nmero de molculas.

Esta ley implica que, a una misma temperatura y presin, una cantidad de gas cuyo peso es igualal peso molecular3 ocupa siempre el mismo volumen especfico sin importar de que gas se trate.

2 El trabajo de Avogadro fue ignorado durante casi 50 aos, y su Ley fue aceptada por la comunidad cientfica

recin en 1858.


5

A temperatura y presin normales, o sea 0 C y 1 Atm, este volumen es de 22.4 litros. El nmerode molculas en un mol4 se denomina nmero de Avogadro, y su valor es

N0236 023 10= . (2.1)

El nmero de Avogadro se puede determinar de distintas maneras; la ms precisa se basa en me-dir las distancias atmicas por difraccin de rayos X.

Pesos atmicos y la Tabla Peridica de los elementosA medida que se descubrieron ms y ms elementos a lo largo del siglo XIX, los cientficos secomenzaron a preguntar qu relacin existe entre las propiedades fsicas de los elementos y supeso atmico. De esta forma, durante la dcada de 1860 se propusieron varios esquemas. En1869, el qumico Dmitry Ivanovich Mendeleyev introdujo la Tabla Peridica, basada sobre lospesos atmicos determinados a partir de la teora de Avogadro de las molculas diatmicas. En-contr que si se ordenaban a los elementos segn su peso atmico, se pona en evidencia unacaracterstica periodicidad de sus propiedades. Los elementos que tienen propiedades qumicassemejantes, o bien tienen pesos atmicos aproximadamente iguales (como ocurre con el grupoPt, Ir y Os), o bien tienen pesos atmicos que aumentan de manera uniforme (como K, Rb y Cs).Dejando de lado el Hidrgeno pues es anmalo, Mendeleyev orden5 los 63 elementos entoncesconocidos en seis grupos, de acuerdo con su valencia. Al observar que las propiedades qumicascambian gradualmente a medida que aumenta el peso atmico, Mendeleyev predijo la existenciade nuevos elementos en todos los casos en que haba un hueco en la secuencia de pesos atmi-cos de elementos consecutivos dentro del ordenamiento propuesto. Por lo tanto su sistema, ade-ms de ser una forma de clasificacin, sirvi tambin de herramienta para la investigacin. Almismo tiempo, la Tabla Peridica dej planteados interrogantes muy importantes para cualquierfutura teora del tomo: de dnde proviene el patrn de los pesos atmicos? cul es el origende la periodicidad de las propiedades qumicas de los elementos?

La Teora CinticaLa hiptesis atmica se fortaleci an ms debido al xito de la Teora Cintica, la cual trata losgases como compuestos por un nmero muy grande de molculas que se desplazan en el vacocon velocidades distribuidas al azar, cuya magnitud promedio se relaciona con la temperatura.De esta forma se pueden calcular las propiededes mecnicas y trmicas de los gases (ecuacin deestado, viscosidad, conductividad trmica, etc.) en trminos de la masa, el tamao y la velocidadde las molculas. El primero en desarrollar esta teora fue Daniel Bernoulli (1738), quien la em-ple para deducir la Ley de Boyle, basado en la idea que la presin se debe al choque de lasmolculas del gas con las paredes del recipiente que lo contiene. Sin embargo su trabajo fue re-chazado por ms de un siglo6. La teora fue vuelta a formular en forma independiente por John

3 Expresado (por ej.) en g.4 Un mol es la cantidad de sustancia cuyo peso es igual al peso molecular expresado en g.5 El nmero de orden de cada elemento dentro de la Tabla Peridica se denomina hoy nmero atmico, y como

veremos en el Captulo 3, es igual al nmero de electrones que posee el tomo.6 Fundamentalmente porque se daba ms crdito a las ideas de Newton, segn las cuales la presin se originaba

debido a una supuesta repulsin entre las molculas. Incluso los genios se equivocan!


6

Herapath (1820) y por John James Waterston (1845) quien fue el primero en deducir la equi-particin de la energa. Sin embargo, estos trabajos corrieron la misma suerte que el de Bernoulliy fueron ignorados7. Recin despus de los trabajos de James Prescott Joule (1840), que desa-creditaron la Teora del Calrico al mostrar que el calor es una forma de energa, el caminoqued despejado para la aceptacin de la Teora Cintica. Fue as que Rudolf Clausius desarrollen 1857 la matemtica correspondiente, y luego James Clerk Maxwell y Ludwig EduardBoltzmann completaron su desarrollo alrededor de 1860.En este contexto corresponde mencionar un fenmeno que constituye una de las comprobacionesms evidentes de la hiptesis atmica. Si se suspende un objeto diminuto dentro de un gas,tambin es bombardeado por las molculas. Como el nmero de las molculas es finito, no seestablece un equilibrio exacto en cualquier instante y en consecuencia el objeto se mueve enforma aleatoria. Un botnico, Robert Brown, fue el primero (1828) en observar este fenmeno(que en su honor se denomina movimiento Browniano) al observar bajo el microscopio una sus-pensin de granos de polen en agua. Mucho tiempo despus, en 1908, Jean Perrin us el movi-miento Browniano para determinar el nmero de Avogadro, basado en la analoga entre las par-tculas suspendidas en el lquido y las molculas en la atmsfera8. La teora correspondiente ha-ba sido publicada por Einstein y Smoluchowski en 1905. Luego del trabajo de Perrin ya nadiecuestion la existencia de los tomos.

Tamao de los tomosLas primeras estimaciones modernas del tamao de los tomos fueron realizadas por JosephLotschmidt en 1865, y se basaron en los resultados de la Teora Cintica. No las comentaremosaqu. Ser suficiente decir que conociendo el nmero de Avogadro, podemos calcular el tamaode los tomos de un slido (por ejemplo un metal) si suponemos que estn ubicados uno junto alotro de modo que los tomos vecinos se tocan entre s. Si A es la masa atmica9 de la sustancia y su densidad, el radio r de un tomo est dado por

rN

=

12 0

1 3A

/

(2.2)

Si se hace este clculo para varios elementos, desde el litio ( A = 7) al plomo ( A = 207) se en-cuentra que r vara entre 1.3x108 cm y 1.55x108 cm. De acuerdo con estas estimaciones todoslos tomos tienen un tamao del orden de 108 cm, es decir 1 . Otros mtodos, como la teoracintica, dan resultados semejantes. Se debe notar que no hemos definido con precisin lo quesignifica el radio de un tomo, y por lo tanto tenemos que tener cuidado con el uso de estetrmino; en particular no sabemos todava cmo vara la interaccin entre dos tomos como fun-cin de la distancia.

7 En esos tiempos estaba en boga la Teora del Calrico, motivo por el cual no se aceptaba la idea que el calor

estuviera relacionado con el movimiento de las molculas.8 La variacin de la densidad del aire con la altura depende del balance entre la gravedad (que tiende a hacer

descender las molculas) y la agitacin trmica (que tiende a expandir el aire). La relacin entre densidad y altura

para partculas Brownianas en suspensin obedece a un balance semejante.9 La masa atmica A es la masa de N0 tomos. El valor numrico de A, cuando se expresa en mltiplos enteros de la

masa del tomo de hidrgeno, se denomina nmero de masa y se indica con A.


7

La atomicidad de la carga elctricaLos experimentos sobre la electrlisis realizados por Michael Faraday a partir de 1832 demostra-ron que la cantidad de sustancia liberada en un electrodo de una cuba electroltica por el paso deuna carga elctrica Q es proporcional a la masa equivalente de la sustancia (la masa atmica di-vidida por la valencia). La constante de proporcionalidad F se denomina Faraday, y se tiene:

MQ

vF=

A (2.3)

donde M es la masa liberada de la sustancia, Q es la carga transferida y v es la valencia. El valorde un Faraday es

F = 96500C/mol equivalente (2.4)

El hecho que la masa liberada es estrictamente proporcional a la carga total transferida sugiereque la carga es transportada por los iones mismos. La hiptesis ms simple es que cada ion llevauna carga qv, es decir, un mltiplo de una carga elemental q. Entonces la carga necesaria paraliberar un mol es N0qv y por lo tanto, puesto que para un mol M = A , tendremos que

q F N= / . . C0 10 194 8 10 1 60 10u.e.s. (2.5)

Si combinamos la hiptesis atmica con los resultados de la electrlisis se concluye que cada ionest asociado con una carga determinada qv, que es un mltiplo de la carga elemental q. Por lotanto la carga elctrica tiene tambin una naturaleza atmica y en el electrolito cada ion lleva unnmero de tomos de carga igual a su valencia.

Los rayos catdicosA temperatura y presin normales los gases no conducen la electricidad, hasta que la intensidaddel campo elctrico es tal que se produce una chispa. Sin embargo, si se tiene un par de electro-dos en un recipiente cerrado y se reduce la presin a menos de 10 mm Hg, al aplicar algunos kVentre los electrodos se observa una descarga brillante, con colores y patrones llamativos. Si sereduce an ms la presin, la regin oscura que est delante del ctodo se extiende paulatina-mente hasta que a una presin de unos 103 mm Hg llena todo el recipiente. No obstante, siguepasando corriente elctrica. Si se hace un orificio en el nodo, se observa un resplandor verdosoen la pared del tubo de vidrio detrs del orificio. Los agentes que producen este resplandor via-jan en lnea recta desde el orificio del nodo, cosa que se puede verificar por la sombra que pro-duce cualquier objeto que se interponga entre el nodo y la pared de vidrio. Si se coloca unarueda de paletas en la trayectoria, comienza a girar, lo que muestra que los agentes llevan canti-dad de movimiento. Dichos agentes se denominaron rayos catdicos10.

10 Los rayos catdicos fueron descubiertos por Julius Plcker en 1858 e investigados por William Crookes en 1879,

quien encontr que se desvan en un campo magntico, y que la direccin de la desviacin sugiere que se trata de

partculas de carga negativa. Sin embargo la verdadera naturaleza de los rayos catdicos fue tema de controversia.

Una prueba crucial consisti en estudiar el efecto sobre los mismos de un campo elctrico. En 1892 Heinrich Hertz

llev a cabo un experimento que tuvo resultados negativos. Thomson consider que ello se deba a que el vaco no

haba sido suficientemente bueno en el experimento de Hertz, y decidi repetirlo con un vaco mejor.


8

El electrnJ. J. Thomson realiz varios experimentos en 1896-7 sobre un haz fino de rayos catdicos pro-ducido colimando los rayos que salen del orificio del nodo. Comprob que todos son desviadospor igual por un campo elctrico transversal a su trayectoria, y por el sentido de la desviacindedujo que todos tienen la misma carga negativa que indicamos con e, de modo que se trata dealgn tipo de partcula. Estudiando la desviacin concluy que, si estas partculas tienen unamasa m, se tiene que

mv

e

2= cte. (2.6)

Aplicando un campo magntico al haz de rayos catdicos observ una desviacin, a partir de lacual determin la relacin carga/masa de las partculas. El valor actualizado de esa relacin es:

e

m= ( . . )1 7598 0 0004 108 C/g (2.7)

Los experimentos de electrlisis permiten tambin calcular una relacin carga/masa. Si conside-ramos esta relacin para el elemento ms liviano, o sea el hidrgeno, resulta

Q

M= 9 57 104. C/g (2.8)

Si comparamos la relacin carga/masa (2.7) con la (2.8) obtenemos

( / )( / )

.e m

Q M= 1 84 103 (2.9)

Por lo tanto, o las partculas de los rayos catdicos son mucho ms livianas que el tomo de hi-drgeno, o bien llevan una carga casi dos mil veces mayor a la del ion hidrgeno. Esta ltimahiptesis parece tan poco lgica que J. J. Thomson propuso que tanto las partculas de los rayoscatdicos como el ion de hidrgeno llevan cargas de igual valor absoluto y que las partculas delos rayos catdicos, que denomin electrones, son mucho ms livianas que los tomos.

El experimento de Millikan y la cuantificacin de la cargaEn realidad hasta ahora slo podemos afirmar que la carga promedio en la electrlisis est cuan-tificada, pues si bien supusimos que cada tomo lleva una carga qv, en realidad solo es necesariosuponer que la carga promedio vale qv. Del mismo modo, los experimentos de Thomson se po-dran explicar suponiendo que dentro de los tomos hay algn material especial con carga ne-gativa y con una relacin carga/masa sumamente elevada, y que en las descargas elctricas algu-nos fragmentos de ese material son emitidos por los tomos del gas o por el ctodo. Todava nohemos presentado pruebas concluyentes de que ese material especial slo puede existir en canti-dades discretas, a parte las deducciones que se pueden hacer a partir de la electrlisis.Las pruebas cruciales fueron aportadas por Robert A. Millikan, quien en 1909 estudi la cada enel aire por efecto de la gravedad de minsculas gotas cargadas elctricamente. Mediante un parde electrodos poda introducir un campo elctrico vertical y as estudi el movimiento de lasgotas, con y sin el campo elctrico. No vamos a reproducir aqu las frmulas (ver J. C. Wilmott,


9

Fsica Atmica), pero se puede mostrar que de esta forma se puede calcular la carga de las gotasindividuales. Lo que encontr Millikan es que dichas cargas son siempre mltiplos enteros de lacarga ms pequea que puede llevar una gota. De este modo qued demostrado que la carga estcuantificada. El valor del cuanto de carga es

e = 4 80273 10 1 603 1010 19. .u.e.s. C (2.10)

valor que coincide con el que se deduce de la electrlisis (ec. (2.5)). Combinando este valor conla relacin carga/masa (2.7) podemos obtener la masa del electrn:

me = ( . . )9 108 0 012 10 28 g (2.11)

Recogiendo los resultados que hemos presentado hasta aqu, podemos concluir que a comienzosdel siglo XX haba quedado demostrada la naturaleza atmica de la materia. Sin embargo, encontradiccin con las ideas primitivas acerca del tomo, ste resultaba ser un objeto compuesto,y uno de sus componentes, el electrn, haba sido identificado.

3. Estructura atmica

10

3. ESTRUCTURA ATMICA

Cargas atmicas positivasDe acuerdo con los resultados reseados en el Captulo 2 sabemos que la materia est formadapor tomos cuyo radio es de unos 108 cm. Estos tomos estn constituidos, al menos en parte,por electrones. Puesto que son elctricamente neutros es obvio que la carga debida a los electro-nes que contienen debe estar equilibrada por una carga positiva igual.Adems de los rayos catdicos, en los experimentos con tubos de descarga se observaron part-culas con carga positiva que emanan del nodo, que fueron denominadas rayos positivos1. En1898 Wilhelm Wien investig estos rayos y encontr que tienen una relacin masa/carga ms de1000 veces mayor que la de los electrones. Puesto que esta relacin es comparable con la rela-cin masa/(carga del electrn) de los tomos residuales del tubo de descarga, se sospech quelos rayos positivos son iones (tomos cargados positivamente porque les faltan uno o ms elec-trones) provenientes del gas presente en el tubo. En 1913 Thomson refin el dispositivo de Wienpara separar los diferentes iones y medir sus relaciones masa/carga. As determin la presenciade iones de varios estados de carga (es decir, tomos que han perdido uno, dos, tres, , etc.electrones), que aparecan como diferentes trazas en una placa fotogrfica. Al realizar sus expe-rimentos con nen, observ que los haces de iones del mismo estado de carga producan dos tra-zas en vez de una. Los qumicos haban atribuido al Ne un numero de masa de 20.2, pero las tra-zas observadas por Thomson sugeran nmeros atmicos de 20.0 (la traza ms intensa) y 22.0 (lams dbil). Concluy entonces que el Ne consiste de una mezcla de dos variedades, que deno-min istopos2: la ms abundante, 20Ne (con nmero de masa 20.0) y la ms escasa 22Ne (denmero de masa 22.0). Ms tarde se descubri un tercer istopo, el 21Ne, que tambin est pre-sente en cantidades diminutas3. Estos resultados demostraron que la hiptesis de Dalton, de quetodos los tomos de un dado elemento tienen la misma masa, est en error. La tcnica deThomson fue perfeccionada por Francis W. Aston, quien desarroll el espectrgrafo de masa en1919 y lo utiliz para analizar cerca de 50 elementos en los aos siguientes, lo que le permitidescubrir que la mayora tienen istopos.En conclusin, no hay ninguna evidencia de que en el tomo exista una partcula positiva equi-valente al electrn. Por lo tanto la carga positiva est de alguna manera (no trivial) asociada conla masa del tomo.

La dispersin de rayos X y la cantidad de electrones de cada tomoLas pruebas de que los tomos de una dada especie contienen un nmero definido de electronesprovienen de los experimentos sobre dispersin de rayos X.

1 A veces tambin llamados rayos canales. Fueron descubiertos por Eugen Goldstein en 1886.2 El trmino istopo proviene del griego y significa igual lugar. Se refiere al hecho que las variedades del mismo

elemento ocupan igual lugar en la Tabla Peridica, pues tienen (casi exactamente) las mismas propiedades

qumicas. Ya en 1886 Crookes avanz la idea que todos los tomos tienen pesos atmicos enteros y que los

elementos cuyos nmeros de masa tienen valores no enteros son en realidad mezclas. Asimismo, la existencia de

istopos fue sospechada por Soddy en 1910, al estudiar los productos del decaimiento radioactivo del torio.3 Hoy sabemos que de cada 1000 tomos de Ne, 909 son de 20Ne, 88 son 22Ne y 3 son 21Ne.


11

Los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm Conrad Roentgen en 1895, al realizar experimen-tos de descargas en gases. Cuando la diferencia de potencial entre el ctodo y el nodo es de al-gunos kV, al ser bombardeado por los electrones, el nodo emite una radiacin penetrante que sedenomin radiacin X. En poco tiempo se pudo mostrar que los rayos X son radiacin electro-magntica de longitud de onda muy corta, debido a que

Los rayos X se producen cuando electrones energticos impactan sobre un objeto s-lido. En estas circunstancias los electrones sufren una violenta desaceleracin, y deacuerdo con la teora electromagntica un electrn acelerado o desacelerado emiteradiacin.

Haga y Wind encontraron en 1899 que los rayos X se difractan al pasar por una ren-dija muy fina, lo que muestra que son un fenmeno ondulatorio. El tamao de lafigura de difraccin indica que la longitud de onda es del orden de 108 cm.

En 1906 Charles Glover Barkla mostr que los rayos X se pueden polarizar, lo que in-dica que son ondas transversales.

En 1912 Max von Laue desarrollo una tcnica para medir la longitud de onda de losrayos X, basada en la difraccin por una red cristalina.

Cuando la radiacin electromagntica incide sobre una partcula cargada, sta oscila por efectodel campo elctrico de la onda, y al ser acelerada emite radiacin. La intensidad total de la radia-cin emitida por una carga acelerada est dada por la frmula

Re a

c=

23

2 2

3 (3.1)

donde e es la carga, a es la aceleracin, c la velocidad de la luz y estamos usando unidadesGaussianas. Aqu lo que nos interesa es que la energa emitida es proporcional al cuadrado de laaceleracin. En un campo elctrico E, la aceleracin de una carga es eE m/ , de modo que lacantidad de energa dispersada por la carga es proporcional a e m4 2/ . Puesto que la masa de loselectrones es mucho menor que la de los dems constituyentes del tomo, es obvio que la disper-sin de los rayos X por los tomos se debe esencialmente a los electrones.Es posible entonces usar la dispersin de rayos X para estimar el nmero de electrones de untomo, siempre y cuando la longitud de onda de los rayos X que se emplean sea menor que ladistancia entre los electrones, pues en este caso las oscilaciones de los diferentes electrones casinunca estarn en fase (suponemos que las distancias que separan a los electrones no siguen unpatrn regular). En este caso las radiaciones emitidas por los diferentes electrones son incohe-rentes y podemos sumar sus intensidades. La intensidad total de la radiacin dispersada es en-tonces proporcional al nmero de electrones. Hay un segundo requisito que se debe cumplir, estoes, que la frecuencia de los rayos X sea mucho mayor que cualquiera de las frecuencias naturalesde oscilacin de los electrones dentro del tomo, de modo que podamos tratar a los electronescomo si fueran libres. Esto, en la prctica, significa que la longitud de onda de los rayos X debeser bastante menor que 108 cm. Omitiendo los detalles del clculo4, se puede mostrar fcilmenteque con estas hiptesis la intensidad total de la radiacin difundida por un electrn bajo la in-fluencia de una onda electromagntica de intensidad I es

4 Ver por ejemplo W. Panofsky y M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley.


12

R Ie

mcT T= =

= J/s , cm83

6 66 102

2

225 2

. (3.2)

donde T se denomina seccin eficaz de Thomson del electrn. La (3.2) tambin se puede es-cribir en trminos del radio clsico del electrn:

re

mc02

2132 817938 10= = . cm (3.3)

en la forma

T r=83 0

2 (3.4)

Si hay n electrones por unidad de volumen, la intensidad difundida por un trozo de materia deseccin unidad y espesor dx ser

ndx IT (3.5)

Esta es la energa perdida por el rayo, que por lo tanto sufre una variacin de intensidad dada por

dI n IdxT= (3.6)

La (3.6) implica que la intensidad del haz se atena exponencialmente al atravesar un espesordel material, es decir:

I I e n xT= 0 (3.7)

Luego midiendo la atenuacin de los rayos X que atraviesan un determinado espesor de materiase puede determinar n y de all el nmero Z de electrones de cada tomo. Los resultados experi-mentales muestran que Z es aproximadamente igual a la mitad del nmero de masa A.

El modelo atmico de ThomsonPara avanzar ms fue necesario realizar otros experimentos, sugeridos por un modelo propuestopor J. J. Thomson para explicar los datos conocidos, y que haca nuevas predicciones an noverificadas. De acuerdo con este modelo el tomo es una esfera de carga positiva de unos 108

cm de radio, con electrones en su interior como las pasas de uva dentro de un pan dulce.Suponiendo que la carga positiva est distribuida uniformemente, cabe esperar que tambin loselectrones estn distribuidos uniformemente, pues as la carga neta en toda esfera con centro enel centro del tomo es nula en promedio y la distribucin de cargas es estable. Este modelo estde acuerdo con todas las propiedades del tomo conocidas en su momento. Adems, si seperturban las posiciones de los electrones, stos oscilarn y por lo tanto emitirn radiacin deuna determinada frecuencia. Luego se explica, al menos cualitativamente, la emisin de luz porlos tomos (se puede ver, sin embargo, que muy difcilmente pueda haber un acuerdocuantitativo con el espectro de la radiacin emitida que se observa).El experimento crucial para probar el modelo fue realizado por Ernest Rutherford y sus colabo-radores en 1911 y consisti en el estudio de la dispersin de partculas por tomos. Veremos


13

que el modelo de Thomson predice que el nmero de partculas dispersadas en ngulos gran-des es despreciable. Pero el experimento desminti esta prediccin, y la explicacin de las ob-servaciones llev a Rutherford a proponer el modelo nuclear, segn el cual el tomo est cons-tituido por un pequeo ncleo central donde est concentrada la carga positiva y casi toda lamasa, rodeado por electrones en movimiento, de forma que el conjunto es totalmente neutro.

RadioactividadEntre 1896 y 1898 Antoine-Henri Becquerel, Pierre Curie y Maria Curie (Maria Sklodowska)descubrieron que algunos elementos pesados como el uranio y el torio emiten espontneamenteradiaciones penetrantes, capaces de velar una placa fotogrfica. Haciendo pasar un haz colimadode estas radiaciones a travs de un campo magntico, se encontraron tres componentes quefueron denominados radiacin , y . Los rayos no son desviados por el campo magntico, loque indica que no tienen carga elctrica; en cambio, los rayos y se desvan, mostrando quelos primeros tienen carga positiva y los segundos, negativa. Estos experimentos se realizaronbajo vaco. Introduciendo aire en el dispositivo, se observ que bastan pocos centmetros de airepara detener la radiacin , pero no las otras dos componentes. Interponiendo lminas dedistintos espesores se encontr que pocos mm de un material denso son suficientes para detenerla radiacin ; en cambio, la radiacin slo disminuye apreciablemente si se interpone unbloque de plomo de varios cm de espesor. Actualmente sabemos que la radiacin estcompuesta por electrones de gran energa5, y que los rayos son radiacin electromagntica delongitud de onda extremadamente corta. La naturaleza de las partculas fue descubierta porRutherford, quien encontr que se trata de tomos de Helio doblemente ionizados6.Al estudiar la radioactividad del torio, Rutherford y Frederick Soddy descubrieron en 1902 quela radioactividad est asociada con profundos cambios dentro del tomo, que lo transforman enun elemento distinto. Encontraron que el torio produce continuamente una sustancia qumica-mente diferente, que es intensamente radioactiva. Si el elemento as producido se separa del to-rio, desaparece con el correr del tiempo, dado que a su vez se transmuta en otro elemento.Observando este proceso, Rutherford y Soddy formularon la ley del decaimiento exponencial,que establece que en cada unidad de tiempo, decae una fraccin fija del elemento radioactivo.El descubrimiento de la radioactividad y la transmutacin de los elementos oblig a los cien-tficos a modificar radicalmente sus ideas sobre la estructura atmica, pues demostr que eltomo no es ni indivisible ni inmutable. En vez de ser simplemente un receptculo inerte quecontiene electrones, se vio que el tomo puede cambiar de forma y emitir cantidades prodigiosasde energa. Adems, las radiaciones mismas sirvieron de instrumento para investigar el interiordel tomo.

La dispersin de partculas por los tomos y el fracaso del modelo de ThomsonSi se hace incidir un haz colimado de partculas sobre una hoja delgada (por ej. una lmina deoro de 104 cm de espesor) se observa que casi todas la atraviesan con una leve prdida de ener-ga, y que la mayora son desviadas menos de 1 desde su direccin original. Sin embargo, unapequea fraccin sufre desviaciones mayores y alrededor de una en cada 104 se desva en 90 o

5 No siempre los rayos llevan carga negativa; algunas sustancias radioactivas emiten positrones, de modo que enese caso los rayos llevan carga positiva.6 Se recomienda al alumno leer en la bibliografa citada la descripcin de estos experimentos.


14

ms. Estos fueron los resultados de los experimentos realizados por Rutherford y sus colabora-dores Hans Geiger y Ernest Marsden en 1911. Vamos a ver ahora el significado de dicho resul-tado.Al atravesar la lmina, las partculas de hecho atraviesan los tomos. En su trayectoria sondesviadas por los campos elctricos debidos a las cargas internas de los tomos. Correspondeaclarar que en este caso el efecto de los electrones es despreciable, debido a su masa muy pe-quea (aproximadamente 104 veces la masa de las partculas ): es fcil estimar que el orden demagnitud del ngulo de mxima desviacin en una colisin entre una partcula y un electrnatmico es de apenas 104 radianes. En consecuencia se pueden ignorar las colisiones con loselectrones y basta considerar los efectos de las cargas atmicas positivas.De acuerdo con el modelo de Thomson, los tomos constan de cargas positivas esfricas de unos108 cm de radio, con los electrones distribuidos en su interior. Estas esferas estn densamenteempaquetadas en la lmina, por lo tanto si sta tiene 104 cm de espesor, la partcula atravesaraproximadamente 104 tomos. Se trata entonces de un problema de dispersin mltiple, y la des-viacin final de la partcula es la suma de las desviaciones producidas por cada tomo queatraves. Estas desviaciones tienen sentidos distribuidos al azar, de modo que podemos estimarla probabilidad de que ocurra una determinada desviacin final si conocemos la desviacin pro-medio debida a cada tomo. Se trata de un problema anlogo al del paseo al azar y para nues-tro propsito es suficiente una estimacin grosera de las magnitudes de inters.Consideremos el choque de una partcula cuya carga es ze ( z = 2 ) y cuya cantidad de movi-miento es p mv= con una esfera de carga positiva Ze y radio R. Suponiendo que el ngulo dedesviacin es pequeo, podemos escribir

= pp

F t

p(3.8)

Podemos estimar la fuerza F como zZe R2 2/ y el tiempo que dura la colisin como t R v / .Obtenemos entonces

ZeER

2(3.9)

donde E es la energa cintica de la partcula . Sustituyendo en (3.9) los valores tpicos en estosexperimentos ( Z = 80 , e 4 8 10 10. u.e.s., R 10 10 m y E 5 MeV ) se obtiene

2 10 4 radianes (3.10)

Combinando un nmero muy grande n de estas colisiones, y suponiendo que las desviaciones delas mismas estn distribuidas al azar, se obtiene la siguiente expresin para la probabilidadP d( ) de que la desviacin total est comprendida entre y + d :

P dn

e dn( )

=1

22

2

2

(3.11)

El valor medio cuadrtico del ngulo de desviacin total es


15

rms n= ( ) =2 1 2/ (3.12)

Los resultados experimentales de Rutherford y sus colaboradores mostraron que entre 0 y 3 la(3.9) describe correctamente la dispersin de las partculas , con un valor de rms 1 , lo queimplica una desviacin promedio por tomo de 0 01 1 5 10 4. . radianes. De modo que en laregin de desviaciones pequeas, la concordancia con la prediccin del modelo es excelente.Pero se presenta una grave discrepancia para las desviaciones grandes, pues el experimentomuestra que alrededor de 1 de cada 104 partculas se desva en 90 o ms. En cambio, la (3.9)predice, por ejemplo, que la probabilidad que la desviacin sea mayor que 10 es de 2x1022. Enconsecuencia, el modelo de Thomson no describe correctamente las desviaciones en ngulosgrandes.El problema no tiene arreglo posible. Si, por ejemplo, disminuimos el radio R de la carga posi-tiva para as aumentar , (pues 1/ R), al disminuir el tamao de los tomos disminuye el n-mero n de colisiones (pues n R 2) y en consecuencia rms se mantiene constante, independien-temente de R. La conclusin es que la dispersin mltiple nunca puede producir las desviacionesa grandes ngulos que se observan.Claramente, la condicin rms = cte. vale solo para radios tales que n >> 1. Para radios muy pe-queos puede haber una sola colisin, y entonces el ngulo de desviacin es el que correspondea un nico evento. La ec. (3.9) sugiere que esto podra ocurrir para R 10 12 cm. Pero por otraparte todos los mtodos para medir radios atmicos indican R 10 8 cm .Est claro entonces que el modelo de Thomson se debe descartar.

El modelo de Rutherford y el ncleo atmicoDe resultas de la evidencia que acabamos de comentar, Rutherford propuso en 1911 que eltomo tiene un ncleo central diminuto donde reside toda la carga positiva y la mayor parte de lamasa, y que los electrones giran alrededor de l7. Veremos ahora que este modelo est deacuerdo con los resultados de los experimentos de dispersin de partculas , pero para eso pri-mero tenemos que formular una teora diferente para dicha dispersin.

La frmula de dispersin de RutherfordEn este caso, al analizar la dispersin de partculas , el ncleo central se puede considerar comouna carga puntual. A partir de este modelo se puede obtener una frmula para la dispersin departculas que concuerda muy bien con los resultados experimentales.Las hiptesis bsicas que permiten deducir dicha frmula son: La dispersin se debe a la interaccin entre la partcula y el ncleo, y slo es significativa

si la trayectoria pasa cerca del ncleo. Esto implica que los choques son raros y por lo tantoel problema es de una nica colisin.

La fuerza entre la partcula y el ncleo sigue la ley de Coulomb hasta distancias muy pe-queas.

7 Es interesante recordar que el fsico japons Hantaro Nagaoka haba propuesto en 1904 un modelo atmico

planetario semejante al de Rutherford, pero no fue tomado en cuenta por sus contemporneos debido al problema de

estabilidad que se presenta con esa clase de modelos. En efecto, el electromagnetismo predice que una carga

acelerada irradia; por lo tanto un electrn que gira alrededor de un ncleo debera perder energa y caer sobre l.


16

Se puede ignorar el efecto de los electrones.Nosotros para simplificar la discusin vamos a suponer adems que el ncleo est fijo en el refe-rencial del laboratorio y por brevedad citaremos los resultados sin dar la demostracin, ya que lamisma se puede encontrar desarrollada en la bibliografa citada y en la mayora de los textos deMecnica. Suponemos que la lmina tiene una espesor d, y que hay n tomos por unidad de vo-lumen. La geometra de la colisin se indica en la Fig. 3.1. El ncleo est fijo en el origen y lapartcula se aproxima desde la derecha con velocidad inicial v. Si no hubiera desviacin, lapartcula pasara a una distancia p del ncleo. La distancia p se denomina parmetro de impacto.Despus de la dispersin la partcula se ha desviado en un ngulo y tiene la velocidad final v f .Dado que el ncleo se supone inmvil, tendremos que | | | |v v= =f v , y como se conserva el mo-mento angular, es sencillo verificar que

cot( / ) 2 2 2=Ep

zZe(3.13)

donde E mv= 2 2/ es la energa dela partcula incidente. Como en unchoque frontal la mxima distan-cia de acercamiento es

azZe

E=

2 (3.14)

podemos escribir la (3.13) como

cot( / ) / 2 2= p a (3.15)

A partir de estos resultados es fcilmostrar que la probabilidad porunidad de ngulo slido de queuna partcula de energa E sea

dispersada en un ngulo es:

dP

d

nd zZe

E

nda( )csc ( / ) csc ( / )

=

=16

216

22 2

42

4 (3.16)

donde d d = 2 sen . La (3.16) es la famosa frmula de dispersin de Rutherford. Se puedeobservar que el nmero de partcula dispersadas es proporcional a Z2, de modo que el estudio dela dispersin de partculas permite determinar Z, un dato que no se conoca bien en su tiempo,pues slo se saba que Z A / 2 gracias a los resultados de la dispersin de rayos X.Las predicciones de la (3.16) fueron verificadas en 1913 por Geiger y Marsden y confirmaron demodo sorprendente dicha frmula, y as convalidaron el modelo atmico de Rutherford. Co-rresponde tambin mencionar que la (3.16) vale tambin en el marco de la Mecnica Cuntica.

Dispersin hacia adelantePara analizar la aplicacin de la frmula de Rutherford a los experimentos de dispersin de par-tculas es preciso aclarar primero algunas cuestiones. Se puede ver de la (3.16) que cuando

q

Fig. 3.1. Dispersin de una partcula _ por un ncleo.

q + dq p p + dp

dq


17

es muy pequeo, dP d( ) / es mayor que la unidad, y tiende al infinito para 0 . Clara-mente los experimentos indican que esto no ocurre. Pero debemos tener en cuenta que no tene-mos derecho de extender la validez de la (3.16) a valores muy pequeos de , porque en ese casono se cumplen nuestras hiptesis bsicas: primero porque no se puede ignorar el efecto de loselectrones, segundo porque no es cierto que la desviacin total es el resultado de una nica co-lisin. El principal efecto de los electrones (adems de ocasionar ellos mismos dispersionesmltiples) es el de apantallar la carga nuclear, de forma que una partcula que pasa lejos delncleo no experimenta toda la repulsin Coulombiana del mismo. Si bien por ahora no sabemoscmo es la distribucin de carga debida a los electrones, lo que s sabemos es que a una distanciadel ncleo del orden del radio atmico R, el apantallamiento es completo y por lo tanto las part-culas que inciden con parmetros de impacto mayores que R no experimentan desviacin. Si elnmero de tomos por unidad de rea del blanco es bajo, de manera que nd R 2 1< , entonces laprobabilidad de dispersin es menor que la unidad. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, conblancos gaseosos de poco espesor (un blanco gaseoso de 1 cm de espesor a 102 mm Hg contieneaproximadamente 4x1014 tomos/cm2, luego nd R 2 0 1 . ). En cambio cuando nd b 2 1> ocurredispersin mltiple. En este caso, la probabilidad total de dispersin no es igual a la probabilidadde dispersin por tomo multiplicada por el nmero de tomos en el blanco, pues una vez queuna partcula ha chocado una vez, los choques subsiguientes no aumentan la probabilidad dedispersin sino que solamente modifican la desviacin, como ya se vio anteriormente. Por lotanto, para lminas metlicas, la distribucin angular de las partculas dispersadas vara concontinuidad desde la distribucin de Rutherford para ngulos grandes hasta la distribucin dedispersin mltiple para ngulos pequeos, de modo tal que la probabilidad total de dispersines siempre igual o menor que la unidad.

El tamao del ncleoLa frmula de Rutherford (3.16) se obtuvo suponiendo que el ncleo y las partculas soncargas puntuales. Esta aproximacin vale siempre y cuando la distancia de mximo acerca-miento sea mayor que el radio del ncleo. En consecuencia se puede decir que el radio del n-cleo debe ser seguramente menor que el valor ms pequeo del acercamiento mximo para elcual la (3.16) da todava el valor correcto del nmero de partculas dispersadas.En la dispersin de las partculas emitidas por el radio (E = 5 3. MeV ) por un blanco de cobre(para el cual Z = 29, como se deduce a partir del nmero de partculas dispersadas) se observque la ley (3.16) vale hasta 180. En este caso de la (3.14) se deduce que

a = 1 58 10 12. cm (3.17)

y por lo tanto se concluye que el radio del ncleo del cobre es menor o igual que dicha cantidad.

Comentarios sobre el modelo de RutherfordEn conclusin, los experimentos de Rutherford demostraron que el tomo contiene un ncleo demuy pequeas dimensiones (radio menor o igual a 1012 cm), donde reside toda la carga positivay casi toda la masa del tomo. Tambin mostraron que la carga positiva, medida en unidades de


18

la carga electrnica, es decir el nmero Z, es igual (dentro del error experimental) al nmeroatmico del elemento8.Por todo ello Rutherford propuso un modelo en el que el tomo est formado por un ncleo conuna carga positiva igual a Ze, alrededor del cual giran Z electrones, de manera que su movi-miento equilibra dinmicamente la atraccin Coulombiana que sobre ellos ejerce el ncleo. Laextensin del movimiento electrnico determina que el tamao del tomo sea de aproximada-mente 108 cm. Este concepto sugiere que las propiedades qumicas de un elemento estn deter-minadas por el nmero de electrones de sus tomos (y no por la masa atmica, como se pensabahasta entonces), y tambin sugiere que deben existir elementos para todos los valores posibles deZ, hasta que Z se hace demasiado grande y el ncleo se vuelve inestable pues probablemente yano puede mantener ms carga positiva en su interior.Sin embargo, es evidente que el modelo todava es incompleto y presenta serias fallas. En primerlugar no se da todava ninguna idea acerca de cmo los electrones determinan las propiedadesqumicas. En segundo lugar tampoco se explica porqu todos los tomos de una misma especietienen aparentemente el mismo tamao, y adems, porqu los tomos de especies muy distintastienen casi exactamente el mismo tamao. Comentaremos este asunto en la siguiente Seccin.Por ltimo, el modelo enfrenta una objecin an ms grave: al girar alrededor del ncleo, loselectrones sufren una aceleracin continua y por lo tanto deberan irradiar ondas electromagn-ticas y perder energa, y en consecuencia caer en espiral hacia el ncleo. Veremos ms adelanteque la solucin de esta dificultad requiere abandonar la fsica clsica.

La constante que est faltandoConsideremos el caso ms sencillo, el del tomo de Hidrgeno, pues es suficiente para entenderla esencia de la dificultad de explicar los tamaos atmicos. Supongamos que el electrn giraalrededor del ncleo en una rbita circular. La fuerza centrpeta es la fuerza de Coulomb y por lotanto tendremos

mv

r

e

r

2 2

2= (3.18)

que nos da la relacin

rve

m2

2= (3.19)

En esta ecuacin r puede tener cualquier valor, pues la (3.19) slo nos dice que si escalamos rpor un factor k2 es necesario escalar v por el factor k1. Se puede verificar que la (3.19) equi-vale a la Tercera Ley de Kepler.El origen del problema reside en que las nicas constantes que intervienen en el modelo clsicodel tomo de Rutherford son la carga y la masa del electrn, y con ellas no podemos formar unalongitud caracterstica.Existe una manera de combinar e y m con una constante universal clsica, de modo de formaruna longitud, y es usar la velocidad de la luz, c. Se construye as la constante

8 Es decir el nmero por el cual se ordenan los elementos en la Tabla Peridica.


19

re

mce =

2

2132 8 10. cm (3.20)

Esta longitud es el radio clsico del electrn, que ya mencionamos en conexin con la disper-sin Thomson, pero no tiene nada que ver con las dimensiones atmicas, ya que surge decomparar el equivalente energtico de la masa del electrn con la energa del campo elctrico delmismo electrn. Es obvio que la velocidad de la luz puede intervenir slo cuando se consideranefectos relativsticos, y este no es el caso del tomo pues se ve de inmediato a partir de la (3.19)que si r 10 8 cm resulta que v c

4. Radiacin, fotones y la constante de Planck

20

4. RADIACIN, FOTONES Y LA CONSTANTE DE PLANCK

IntroduccinEn el Captulo 3 vimos que el modelo atmico de Rutherford est de acuerdo con los resultadosde los experimentos de dispersin de partculas , pero que no hay ningn concepto de la fsicaclsica que permite explicar el tamao de los tomos. Aparentemente existe una constante de lanaturaleza, que an no sabemos cmo interviene en la teora, que determina sta y otras propie-dades no clsicas de la materia y la radiacin. Cuando Rutherford formul su modelo ya se co-noca esa constante: se trata de la constante de accin de Planck, que fuera introducida por MaxPlanck cuando present un artculo sobre la radiacin de cuerpo negro en la Sociedad FsicaAlemana a fines de 1900. En este Captulo presentaremos algunas evidencias de la naturalezauniversal de dicha constante, en lo referente a fenmenos en los que interviene la radiacinelectromagntica.

La teora de Planck de la radiacin de cuerpo negroYa estudiamos varios aspectos de la radiacin de cuerpo negro1 y por lo tanto no volveremos so-bre ello, pero queremos recordar que al estudiar la Mecnica Estadstica mostramos que la canti-dad de modos de radiacin electromagntica de frecuencia comprendida entre y + d pre-sentes en una cavidad de volumen V est dada por

N dV

cd( ) = 8 3

2 (4.1)

y que la aplicacin del teorema de equiparticin, segn el cual a cada modo de oscilacin delcampo electromagntico le corresponde en el equilibrio una energa media = kT (k indica laconstante de Boltzmann), lleva a la distribucin espectral de Rayleigh-Jeans2:

u T dc

dkT

cd( , ) = =8 8

2

3

2

3 (4.2)

donde u T( , ) es la densidad de energa (energa por unidad de volumen) en el intervalo de fre-cuencia entre y + d . Dicha frmula contradice la experiencia y es a todas luces absurdapues al integrar la (4.2) sobre todas las frecuencias predice una densidad de energa divergente.A este resultado se le dio el nombre de catstrofe ultravioleta. Previamente Wilhelm Wien(1896) haba propuesto la frmula u T e A T( , ) / = cte. 3 ( A = cte.), que ajusta bastante bienlos datos experimentales para las frecuencias altas, pero que falla para las frecuencias bajas.Procurando resolver la discrepancia entre teora y experimento, Planck lleg a sospechar que nose cumpliera la equiparticin, que est a la base de la teora de Rayleigh-Jeans. Puesto que la(4.2) reproduce correctamente el espectro para bajas frecuencias, mientras que para altas fre-

1 Ver Termodinmica e introduccin a la Mecnica Estadstica, Captulos 15 y 17.2 Deducida por Lord Rayleigh (John William Strutt) en 1900. En su trabajo, publicado en Nature en 1905, estim

mal el nmero de modos, por un factor 8 en exceso, error que fue corregido ese mismo ao por James Jeans.

Tambin corresponde mencionar que en 1905 Einstein obtuvo la frmula (4.2) en su artculo sobre el efecto

fotoelctrico que se comenta ms adelante.


21

cuencias el valor observado de u T( , ) tiende a cero, es razonable suponer que la expresin co-rrecta de debe cumplir

0 0kT , (4.3)

Recordemos ahora el origen de la ley de equiparticin. Bsicamente, es una consecuencia de ladistribucin de Boltzmann, que en este caso expresa que la probabilidad P d( ) que un modo deoscilacin tenga una energa entre y + d vale

P de

kT

kT( )

/

=

(4.4)

En trminos de la distribucin de Boltzmann, se calcula como

=

P d

P d

( )

( )

0

0

(4.5)

y al calcular las integrales en la (4.5) se obtiene precisamente = kT .La gran contribucin de Planck consisti en que advirti que poda obtener el resultado que bus-caba y que cumpliera las condiciones (4.3), si trataba como una variable discreta, en lugar dela variable continua que es en la fsica clsica. En consecuencia Planck postul que la energa decada modo de oscilacin puede tomar slo ciertos valores discretos, en lugar de cualquier valor,y que estos valores discretos estn uniformemente distribuidos. De acuerdo con ello los valorespermitidos de la energa son

= 0 2 3, , , , (4.6)

Si es una variable discreta, las integrales en la (4.5) se deben reemplazar por sumas. Es decir:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n P n

P n

n

kTe

kTe

ne

e

d

de

n

n

n kT

n

n kT

n

n

n

n

n

n

n

( )

( )

ln

/

/

0

0

0

0

0

0

0

1(4.7)

donde = / kT . Pero

ee

n

n

=

=

0

11

(4.8)

y por lo tanto

=

= =

=

d

d e

d

de

e

e eln ln( )

11

11 1

(4.9)


22

Ahora bien, para cumplir las condiciones (4.3) es evidente que = / kT debe ser una funcincreciente de . Efectuando trabajo numrico, Planck encontr que poda tomar, simplemente, , y en consecuencia escribi

= h (4.10)

donde h es la constante de proporcionalidad, denominada constante de Planck. Resulta entonces

= h

eh kT/

1(4.11)

Usando este valor de en lugar de kT en la (4.2), Planck obtuvo su clebre frmula para la dis-tribucin espectral del cuerpo negro:

u T dc

h

edh kT( , ) /

= 8

1

2

3 (4.12)

Ajustando la (4.12) a la distribucin espectral observada determin el valor de h como

h = = 6 63 10 6 63 1034 27. .J s erg s (4.13)

y con ese valor, la frmula de Planck concuerda perfectamente con los espectros medidos.Recapitulando, Planck no alter la distribucin de Boltzmann (4.4), sino simplemente supusoque la energa de las ondas electromagnticas puede tomar solamente los valores discretos

= 0 2 3, , , ,h h h (4.14)

y no cualquier valor, como haban supuesto Rayleigh y Jeans.A partir de la frmula de Planck se puede, como sabemos, obtener la ley de Stefan-Boltzmann yla ley de Wien.

El postulado de PlanckLa hiptesis de Planck se puede generalizar y enunciar como un postulado del modo siguiente:

Postulado de Planck:cualquier ente fsico con un grado de libertad mecnico, cuya coordenada generalizadarealiza oscilaciones armnicas simples slo puede poseer valores discretos de la energa,dados por

= nh , n = 0 1 2, , ,

donde es la frecuencia de la oscilacin y h es una constante universal.

Si la energa del ente obedece el postulado de Planck se dice que est cuantificada, los nivelesde energa permitidos se llaman estados cunticos y el nmero entero n se denomina nmerocuntico.Se podra tal vez pensar que hay sistemas fsicos cuyo comportamiento no est de acuerdo con elpostulado de Planck, por ejemplo, sistemas macroscpicos como el pndulo. Pero es fcil cons-tatar que en esos casos, debido a la pequeez de h, la diferencia de energa h entre los niveles es


23

insignificante: no se puede medir la energa de un sistema macroscpico con suficiente precisincomo para verificar si el postulado de Planck se cumple o no. Las consecuencias del postuladode Planck se ponen de manifiesto solamente cuando es muy grande y/o es tan pequea que = h es del mismo orden que . Un caso, por supuesto, es el que acabamos de estudiar: laradiacin de alta frecuencia del cuerpo negro.Cabe aclarar que Planck restringi originariamente la cuantificacin de la energa a las oscila-ciones de los electrones radiantes de la pared de la cavidad del cuerpo negro, pues pensaba queuna vez emitida, la energa electromagntica se esparca por el espacio en forma de ondas. Laextensin de la cuantificacin de la energa a la radiacin misma se debe a Einstein, quien (comoveremos al discutir el efecto fotoelctrico) propuso que la energa radiante est cuantificada enpaquetes concentrados que hoy llamamos fotones o cuantos de luz. Tambin es justo sealar quepara llegar a su resultado, Planck comenz por buscar una frmula que interpolara entre la deRayleigh-Jeans (correcta para frecuencias bajas) y la de Wien (correcta para las altas frecuen-cias). As obtuvo heursticamente la (4.12). Al comprobar que dicha frmula permita obtener unacuerdo asombrosamente bueno con los datos experimentales de Lummer y Pringsham (1900)de la distribucin espectral de la radiacin de cuerpo negro, procur entender el porqu. Aslleg a la conclusin que la energa de la radiacin est cuantificada de acuerdo con la (4.14).Tambin debemos mencionar que el postulado de Planck resuelve el problema de los calores es-pecficos de los slidos, cuya dependencia con la temperatura no se describe correctamente me-diante la teora clsica basada en la equiparticin de la energa. El problema es enteramenteanlogo al de la radiacin de cuerpo negro y el lector lo puede encontrar tratado en el Captulo17 de Termodinmica e introduccin a la Mecnica Estadstica.En lo que sigue examinaremos los procesos de interaccin entre la radiacin y la materia.Consideraremos el efecto fotoelctrico, el efecto Compton y la creacin de pares, que implicanla absorcin o dispersin de radiacin, y procesos de emisin de radiacin como el bremss-trahlung (o radiacin de frenamiento) y la aniquilacin de pares. En todos estos casos la eviden-cia experimental indica que en sus interacciones con la materia la radiacin se comporta comocorpsculo, a diferencia de su naturaleza ondulatoria cuando se propaga.

El efecto fotoelctricoEl efecto fotoelctrico fue descubierto por Hertz en 1887, cuando observ que una descargaelctrica entre dos electrodos se produce ms fcilmente si sobre uno de ellos incide luz ultra-violeta. Poco despus, los trabajos de Hallwachs (1888), Stoletow (1890) y ms tarde Philipp L.A. Lenard (1900) demostraron que la luz ultravioleta facilita la descarga porque provoca la emi-sin de electrones desde la superficie del ctodo y determinaron las caractersticas de dicha emi-sin, un fenmeno que se denomin efecto fotoelctrico. La Fig. 4.1 muestra el esquema de unexperimento para estudiar el efecto fotoelctricoLa Fig. 4.2 muestra la corriente fotoelctrica como funcin de la diferencia de potencial entrectodo y nodo. Se observa que para V suficientemente grande, i alcanza un valor lmite, o desaturacin, para el cual todos los electrones emitidos por el ctodo son colectados por el nodo.La corriente de saturacin es proporcional a la intensidad del haz de luz que incide sobre el c-todo. Si V se hace negativo, la corriente no cae de inmediato a cero, lo que sugiere que los elec-trones son emitidos con cierta energa cintica, de modo que algunos alcanzan el otro electrodo apesar que el campo elctrico se opone a su movimiento. Sin embargo, para cierto valor negativoV0, llamado potencial de frenamiento, la corriente fotoelctrica se anula.


24

luz ultravioletaventana de cuarzo

Vi

ctodo nodo

Fig. 4.1. Experimento para estudiar el efectofotoelctrico. El dispositivo est bajo vaco.El voltaje V entre el ctodo y el nodo sepuede variar de forma continua, y se mide lacorriente i.

Fig. 4.2. Corriente vs. voltaje en el aparatode la fig. 4.1. La curva b corresponde a luzcuya intensidad es la mitad de la de la curvaa.

ia

V

ib

a

b

V0 0 +

i

La energa cintica mxima de los fotoelectro-nes es entonces

K eVmax = 0 (4.15)

y es independiente de la intensidad de la luz.El comportamiento del potencial de frena-miento V0 como funcin de la frecuencia dela luz fue estudiado por Millikan en 1914 y seobtuvo un grfico lineal como el de la Fig. 4.3.Se observa una frecuencia de corte 0 bien de-finida, que depende del material del ctodo, por

debajo de la cual no hay efecto fotoelctrico.Hay tres aspectos fundamentales del efecto fotoelctrico que no se pueden explicar en trminosde la teora ondulatoria clsica de la luz: Segn la teora ondulatoria, la intensidad del haz luminoso es proporcional al cuadrado de la

amplitud E del campo elctrico oscilante de la onda. Como la fuerza sobre el electrn es eE,la energa cintica de los fotoelectrones debera aumentar con la intensidad del haz, pero elexperimento muestra que Kmax es independiente de la intensidad del haz; esto fue probadosobre un rango de intensidades de 107.

Segn la teora ondulatoria el efecto fotoelctrico debera ocurrir para cualquier frecuencia,con tal que el haz tenga suficiente intensidad como para suministrar la energa necesaria paraemitir los fotoelectrones. Pero el experimento muestra que para cada superficie hay una fre-cuencia de corte 0 , por debajo de la cual no hay efecto fotoelctrico, sin que importe cunintenso sea el haz de luz.

Si la energa que adquiere el fotoelectrn es absorbida de la onda, debe tenerse presente quela seccin eficaz de absorcin para un electrn en un metal difcilmente sea mucho mayorque la seccin transversal de un tomo. Por otra parte, en la teora clsica, la energa lumi-nosa est uniformemente distribuida sobre el frente de onda. Por lo tanto, si la intensidad de

Fig. 4.3. Potencial de frenamiento en funcinde la frecuencia de la luz.

i

V0

i0


25

la luz es baja, cabra esperar que exista un tiempo de retraso fcilmente medible, entre elinstante en que la luz comienza a incidir sobre el ctodo y el momento en que es emitido elfotoelectrn, pues durante ese intervalo el electrn ir absorbiendo la energa del haz hastaacumular la que necesita para escapar3. Sin embargo nunca se observ tal retraso.

Teora cuntica de Einstein del efecto fotoelctricoEn 1905 Einstein, influenciado por los trabajos de Lenard, puso en duda la teora clsica de laluz y, muchos aos antes de los experimentos de Millikan, propuso que la energa luminosa estcuantificada en paquetes concentrados, a los que hoy llamamos fotones. El argumento deEinstein se apoyaba en que los experimentos de interferencia y difraccin de la luz, sobre loscuales se basa la teora ondulatoria, se efectan en situaciones en que el nmero de fotones esmuy grande. Por lo tanto sus resultados representan el promedio de los comportamientos de losfotones individuales, lo que explica porqu en esos experimentos no manifiestan los fotones.Por cierto, los experimentos clsicos de interferencia y difraccin muestran de manera definitivaque los fotones no viajan desde donde son emitidos hasta donde son finalmente absorbidos delmismo modo que lo hara una partcula clsica: viajan como ondas, en el sentido que los clculosbasados en la propagacin de ondas explican correctamente los patrones de interferencia y dedifraccin, que dependen, como dijimos, del modo en que se desplazan en promedio los fotones.Pero Einstein no se preocup de la propagacin de la radiacin, sino principalmente de como esemitida y absorbida. Pens que el requisito de Planck, que la energa contenida en las ondaselectromagnticas de frecuencia slo puede ser un mltiplo entero de h implica que en elproceso de emisin se producen cuantos de energa electromagntica, cada uno de los cualeslleva una energa h.Einstein supuso que esos paquetes de energa estn localizados inicialmente en una pequea re-gin del espacio, y que se mantienen localizados mientras se alejan de la fuente con la velocidadc. Supuso adems que la energa de cada paquete o fotn est relacionada con su frecuencia deacuerdo con la ecuacin

E h= (4.16)

Tambin supuso que en el efecto fotoelctrico cada fotn es completamente absorbido por unelectrn.Cuando un electrn es emitido por el fotoctodo, su energa cintica es

K h w= (4.17)

donde h es la energa del fotn absorbido y w es el trabajo necesario para extraer el electrn delmetal. Este trabajo toma en cuenta el efecto de los campos elctricos atractivos debidos a lostomos de la superficie y las prdidas de energa cintica del electrn causadas por las colisionesque sufre hasta que sale de la superficie. Algunos electrones estn ligados ms fuertemente queotros, o soportan ms colisiones en el trayecto. Por lo tanto es lgico suponer que hay una ener-ga cintica mxima con la cual un fotoelectrn puede ser emitido, que se tiene cuando la energa

3 Una sencilla estimacin muestra que si la energa necesaria para extraer un fotoelectrn es de 2 eV y la seccin

eficaz de absorcin es igual al rea transversal de un tomo, con una fuente luminosa de 1 W a 1 m de distancia se

precisaran 200 s para que el electrn adquiera la energa necesaria para escapar.


26

de unin del electrn es la mnima posible y cuando ste no pierde energa cintica por colisio-nes. Esta energa cintica mxima es

K K h wmax max( )= = 0 (4.18)

donde w0 , que se denomina la funcin trabajo, es la energa mnima necesaria para extraer unelectrn del metal y es una propiedad del metal del ctodo.Veremos ahora que las hiptesis de Einstein explican satisfactoriamente el efecto fotoelctrico,lo que no se logra en cambio con la teora ondulatoria clsica. El primer hecho, que Kmax es independiente de la intensidad de la luz, es consecuencia de la

(4.18). De acuerdo con la teora de Einstein, la intensidad de la luz es proporcional al nmerode fotones que llegan a la superficie (por unidad de tiempo y de rea), por lo tanto la co-rriente fotoelctrica es proporcional a la intensidad, pero cada proceso individual de emisines independiente de la intensidad y slo depende de la frecuencia de la radiacin.

La existencia de una frecuencia de corte, es tambin una consecuencia de la (4.18). Enefecto, para cada metal, existe una frecuencia 0 tal que

h w0 0= (4.19)

y para esa frecuencia Kmax( )0 0= . En otras palabras, un fotn de la frecuencia 0 tienejustamente la energa suficiente para extraer un fotoelectrn, sin que le sobre nada que puedaaparecer como energa cintica del electrn. Si < 0, los fotones no tienen energa sufi-ciente para extraer fotoelectrones y no hay efecto fotoelctrico, por grande que sea la inten-sidad (o sea el flujo de fotones) del haz de luz.

La ausencia del tiempo de retraso tambin se explica, pues la energa necesaria para que elelectrn sea emitido se suministra en paquetes concentrados. Tan pronto la iluminacin delfotoctodo deja de ser nula, hay por lo menos un fotn, que puede ser absorbido provocandola emisin de un fotoelectrn.

Si sustituimos K eVmax = 0 (ec. (4.15)) en la ecuacin de Einstein (4.18) obtenemos

Vh

e

w

e00= (4.30)

Por lo tanto, la teora de Einstein predice que el potencial de frenamiento V0 es una funcin li-neal de , en perfecto acuerdo con los resultados experimentales (Fig. 4.3). La pendiente de lacurva experimental permite determinar

h

e= 3 9 10 15. V s (4.31)

Multiplicando esta relacin por la carga electrnica se puede determinar h. Examinando cuida-dosamente estos datos, Millikan encontr h = 6 57 10 34. J s con una precisin del 0.5%, valorque concuerda con el que se deriva de la frmula de radiacin del cuerpo negro. Es ciertamentenotable el acuerdo entre estas dos determinaciones de h usando fenmenos y teoras completa-mente diferentes, y constituye una prueba de la validez de la suposicin fundamental del cuantode luz, o fotn.


27

Actualmente el concepto de fotn se usa en todo el espectro electromagntico y no slo en laregin del visible o cerca de l. La energa de los fotones vara por 18 rdenes de magnitud entrelos fotones de las ondas de VLF ( 104 Hz ) y los fotones ms energticos de los rayos csmi-cos ( 1022 Hz).Corresponde mencionar que para que un fotn pueda ser absorbido, como ocurre en el efectofotoelctrico, es necesario que el electrn est ligado a un tomo o a un slido. Un electrn libreno puede absorber un fotn, pues como veremos ms adelante, en tal proceso no se pueden con-servar simultneamente la energa y la cantidad de movimiento (por la misma razn un electrnlibre tampoco puede emitir un fotn). Para que el electrn absorba (o emita) un fotn debe inter-venir en el proceso una tercera partcula, pues slo as se pueden conservar tanto la energa comola cantidad de movimiento. Debido a la gran masa de un tomo o de un slido, el sistema puedeabsorber la cantidad de movimiento necesaria para el balance sin adquirir una cantidad aprecia-ble de energa. Por lo tanto la ecuacin de la energa (4.18) sigue siendo vlida, y el efecto esposible porque adems del electrn emitido existe una partcula pesada que absorbe la cantidadde movimiento necesaria para que haya conservacin del impulso.Para fotones de energa comparable a las de los rayos X o superiores, el efecto fotoelctrico esun mecanismo importante de absorcin. A energas todava mayores se vuelven importantesotros procesos que estudiaremos ms adelante.Por ltimo, es preciso recalcar que en el modelo de Einstein un fotn de frecuencia tieneexactamente la energa h, y no mltiplos enteros de h. Segn el modelo de Einstein, la radia-cin de la cavidad de un cuerpo negro constituye un gas de fotones. Aplicando este concepto,aos despus de la deduccin de Planck, Bose y Einstein volvieron a obtener la misma frmula4

(4.12).

El efecto ComptonEn 1923 los experimentos de Arthur Holly Compton dieron una nueva confirmacin de la natu-raleza corpuscular de la radiacin. Compton hizo incidir un haz colimado de rayos X de longitudde onda bien definida sobre un blanco de grafito y midi la intensidad y la longitud de onda delos rayos dispersados en varias direcciones. Se observ que aunque el haz incidente consisteesencialmente de una nica longitud de onda, en los rayos X dispersados en direcciones queforman un ngulo no nulo con la direccin del haz, aparecen dos longitudes de onda: una es lamisma de la radiacin incidente y la otra, , es mayor, esto es = + . Este corrimiento , denominado corrimiento Compton, vara con el ngulo en que se observan los rayos Xdispersados.La presencia en la radiacin dispersada de una longitud de onda diferente de la de la radiacinincidente es imposible de explicar si se considera a la radiacin X como una onda electromagn-tica clsica. De acuerdo con el Electromagnetismo clsico, el campo elctrico de la onda inci-dente, que oscila con la frecuencia , acta sobre los electrones libres del blanco y los fuerza aoscilar con esa misma frecuencia. Los electrones oscilantes irradian en todas las direcciones on-das electrmagnticas, de frecuencia igual a la frecuencia de la oscilacin. Por lo tanto, segn lateora clsica, la radiacin dispersada tiene la misma frecuencia y longitud de onda que la radia-cin incidente.

4 El tema se trata en el Captulo 14.


28

Ante estos hechos, Compton (y tambin Debye en forma independiente) interpret los resultadosdel experimento suponiendo que la radiacin X incidente est compuesta por un conjunto de fo-

tones, cada uno de los cuales lleva una energaE h= y que esos fotones chocan con los elec-trones libres del blanco. Segn este punto de vista,los fotones que han chocado constituyen la radia-cin dispersada. Como en la colisin el fotn cedeparte de su energa al electrn, el fotn dispersadodebe tener una energa menor,


29

donde p y pe son la cantidad de movimiento del fotn y del electrn luego de la colisin y , son los ngulos entre p y p , pe , respectivamente. Eliminando entre estas ecuaciones resulta

p p pp pe2 2 22+ =cos (4.36)

La conservacin de la energa relativstica total requiere

E m c E m c Ke e+ = + +2 2 (4.37)

donde K es la energa cintica del electrn despus de la colisin. Usando la (4.33), la condicinde conservacin de la energa se escribe como

c p p K( ) = (4.38)

Usando la (4.32) podemos escribir K en funcin de pe :

( )m c K c p m ce e e2 2 2 2 2 4+ = + (4.39)

que se reduce a

2 2 2 2Km K c pe e+ =/ (4.40)

Usando ahora la (4.38), la condicin de conservacin de la energa se escribe como

2 2 2m c p p p p pe e( ) ( ) + = (4.41)

Finalmente podemos eliminar pe entre la (4.36) y la (4.41) para obtener la relacin entre p y p :

m c p p ppe ( ) ( cos ) = 1 (4.42)

que podemos escribir en la forma

1 1 11

=

p p m ce( cos ) (4.43)

Recordando la (4.33), la (4.43) se puede llevar a la forma

= hm ce

( cos )1 (4.44)

La (4.44), que expresa entonces la conservacin de la energa y la cantidad de movimiento en lacolisin es la ecuacin de Compton. La cantidad

Ce

h

m c= = 2.42631058 10 cm10 (4.45)

se denomina longitud de onda Compton del electrn. En trminos de C el corrimientoCompton se expresa como


30

= C ( cos )1 (4.46)

Se puede observar que el corrimiento Compton depende solamente del ngulo de dispersin , yes independiente de la longitud de onda del fotn incidente.La ecuacin de Compton describe correctamente los corrimientos observados. De acuerdo con la(4.46) vara desde 0 para = 0 (que corresponde a una colisin rasante en la que el fotnincidente no sufre desviacin) hasta 2C para = 180 (colisin frontal, en la cual el fotn re-gresa en la misma direccin desde la cual vino).En experimentos posteriores (de Compton, Simon, Wilson, Geiger y Blass) se detect tambin elelectrn de retroceso que resulta de la colisin y se comprob que aparece simultneamente conla radiacin X dispersada. Tambin se verific la prediccin sobre la energa y direccin de mo-vimiento del electrn dispersado.Falta todava explicar porqu para ngulos 0 se observan fotones dispersados con la mismalongitud de onda de la radiacin incidente. Hasta aqu hemos supuesto que el electrn que sufrela colisin est libre. Esta suposicin es razonable, incluso si el electrn est inicialmente ligado,siempre y cuando la energa cintica que adquiere en la colisin sea mucho mayor que suenerga de ligadura. Sin embargo, si el electrn est fuertemente ligado, o si la energa del fotnincidente es muy pequea, el electrn no es expulsado del tomo. Entonces la colisin ocurre, enla prctica, con el tomo como un todo y podemos repetir las consideraciones anteriores acercade la conservacin de la energa y la cantidad de movimiento, pero en lugar de la masa me delelectrn, tenemos que poner la masa ma del tomo, pues ste retrocede como un todo durante lacolisin. Puesto que ma es varios miles de veces mayor que me, el corrimiento Compton paracolisiones con electrones fuertemente ligados es insignificante e imposible de detectar.En conclusin: en el experimento se observan los fotones dispersados por los electrones dbil-mente ligados, que son expulsados del tomo por la colisin, y esos fotones modifican su longi-tud de onda, pero al mismo tiempo se observan los fotones dispersados por otros electronesfuertemente ligados, que siguen ligados despus de la colisin, y estos fotones no modifican sulongitud de onda.El proceso de dispersin sin cambio de la longitud de onda no es otra cosa que la dispersin deThomson, de la cual hemos ya hablamos en el Captulo 3. La correspondiente teora fue desarro-llada por Thomson en 1900 en a partir del Electromagnetismo clsico. Pese a que la deduccinde la dispersin Thomson es diferente de la presente interpretacin cuntica de la dispersinCompton, ambas explica

gratton, julio - introducción a la mecánica cuántica

Documents