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Grafos

Os primeiros slides relacionados ao histórico dos grafos forambaseados nos slides do professor José Augusto Baranauskas doDepartamento de Física e Matemática da Universidade de SãoPaulo – FFCLRP-USP.

Grafos

407

• A primeira evidência sobre grafos remonta a1736, quando Euler fez uso deles para solucionaro problema clássico das pontes de Koenigsberg;• Na cidade de Koenigsberg (na Prússia Oriental),o rio Pregal flui em torno da ilha de Kneiphof,dividindo-se em seguida em duas partes;• Assim sendo, existem quatro áreas de terra que

Grafos - Histórico

• Assim sendo, existem quatro áreas de terra queladeiam o rio: as áreas de terra (A-D) estãointerligadas por sete pontes (a-g);• O problema das pontes de Koenigsberg consisteem determinar se, ao partir de alguma área deterra, é possível atravessar todos as pontesexatamente uma vez, para, em seguida, retornarà área de terra inicial.

408

• É possível caminhar sobre cada ponte exatamenteuma única vez e retornar ao ponto de origem?

Grafos - Histórico

b

409

• Um caminho possível consistiria em iniciar na áreade terra B, atravessar a ponte a para a ilha A; pegara ponte e para chegar à área D, atravessar a ponteg, chegando a C; cruzar a ponte d até A; cruzar aponte b até B e a ponte f, chegando a D.

Grafos - Histórico

b

410

• Esse caminho não atravessa todas as pontesuma vez, nem tampouco retorna à área inicial deterra B.

• Euler provou que não é possível o povo deKoenigsberg atravessar cada ponte exatamente

Grafos - Histórico

Koenigsberg atravessar cada ponte exatamenteuma vez, retornando ao ponto inicial.

• Ele resolveu o problema, representando asáreas de terra como vértices e as pontes comoarestas de um grafo (na realidade, um multigrafo).

411

• Um grafo consiste num conjunto de nós (ouvértices) e num conjunto de arcos (ou arestas).• Cada arco num grafo é especificado por um parde nós.

Grafos - Definições

B

D E GA

• A sequência de nós é {A,B,C,D,E,F,G,H},e oconjunto de arcos é {(A,B), (A,D), (A,C), (C,D),(C,F), (E,G), (A,A)}.

C

D E G

HF

A

412

• Se os pares de nós que formam os arcos forempares ordenados, diz-se que o grafo é um grafoorientado (ou dígrafo). Exemplos:


B

C

D E GA

• As setas entre os nós representam arcos. Aponta de cada seta representa o segundo nó nopar ordenado de nós que forma um arco, e o finalde cada seta representa o primeiro nó no par. Oconjunto de arcos do grafo acima é {<A,B>,<A,C>, <A,D>, <C,D>, <F,C>, <E,G>, <A,A>}.

C

HF

413

• Note que foram usados parênteses para indicarum par não-ordenado (desordenado) e chavesangulares para indicar um par ordenado.• Concentraremos inicialmente nosso estudo nosdígrafos.• Observe que, como vimos, um grafo não precisaser uma árvore, mas uma árvore tem de ser um


ser uma árvore, mas uma árvore tem de ser umgrafo. Note também que um nó não precisa terarcos associados a ele (por exemplo, nó H nografo anterior).• Um nó n incide em um arco x se n for um deseus dois nós no par ordenado de nós queconstituem x. (Dizemos também que x incide emn.)

414

• O grau de um nó é o número de arcosincidentes nesse nó.• O grau de entrada de um nó n é o número dearcos que têm n como cabeça, e o grau de saídade n é o número de arcos que têm n comoterminação da seta.

Por exemplo, o nó C no grafo abaixo tem grau


Por exemplo, o nó C no grafo abaixo tem graude entrada 2, grau de saída 1 e grau 3.

B

C

D E G

HF

A

415

• Um nó n será adjacente a um nó m se existir umarco de m até n. Se n for adjacente a m, n seráchamado sucessor de m e m será um predecessorde n.

• Uma relação R num conjunto A é uma sequênciade pares ordenados de elementos de A.

Por exemplo, se A = {3, 5, 6, 8, 10, 17}, o conjunto


Por exemplo, se A = {3, 5, 6, 8, 10, 17}, o conjuntoR = {<3,10>, <5,6>, <5,8>, <6,17>, <8,17>, <10,17>}será uma relação. Se <x, y> for um membro de umarelação R, diz-se que x está relacionado a y em R.

A relação R anterior pode ser descrita dizendo-seque x está relacionado com y se x for menor que y eo resto obtido a partir da divisão de y por x for ímpar.

416

Uma relação pode ser representada por umgrafo no qual os nós representam o conjuntobásico e os arcos representam os paresordenados da relação.

O grafo abaixo representa a relação anterior.


3 103

178

10

6

5

417

Um número pode ser associado a cada arco deum grafo, como no grafo abaixo.


3

178

10

5

1

7

1

5

3

1

Neste grafo, o número associado a cada arco éo resto obtido da divisão do inteiro posicionado nacabeça do arco pelo inteiro posicionado em suaterminação. Um grafo desse tipo, no qual existeum número associado a cada arco, é chamadografo ponderado ou rede. O número associado aum arco é chamado peso.

6

5

418

Identificaremos várias operações primitivas queserão úteis ao lidar com grafos. A operaçãoligar(a,b) introduz um arco do nó a até o nó b seainda não existir um; ligarComPeso(a,b,x) insereum arco de a até b com peso x num grafoponderado; remover(a,b) e removerComPeso(a,b,x) eliminam um arco de a até b, caso exista


(a,b,x) eliminam um arco de a até b, caso exista(removerComPeso define também x com seupeso). Embora possamos também acrescentar oueliminar nós de um grafo, discutiremos essaspossibilidades posteriormente. A funçãoadjacente(a,b) retorna true se b for adjacente a a,e false, caso contrário.

419

Um caminho de comprimento k do nó a ao nób é definido como uma sequência de k + 1 nós n1,n2,..., nk + 1, tal que n1 = a, nk + 1 = b eadjacente(ni, ni + 1) é true para todo i entre 1 e k.Se, para algum inteiro k, existir um caminho decomprimento k entre a e b, existirá um caminhode a até b.


de a até b.Um caminho de um nó para si mesmo é

chamado ciclo.Se um grafo contiver um ciclo, ele será cíclico;

caso contrário, será acíclico.Um grafo acíclico orientado é chamado dag,

uma aglutinação das iniciais de directed acyclicgraph.

420

Uma análise do grafo abaixo possibilitaperceber a existência de:


H

G CB

• um caminho de comprimento 1 de A até C;• dois caminhos de comprimento 2 de B até G;• e um caminho de comprimento 3 de A até F.

Note que não existe um caminho de B até C.Existem ciclos de B para B, de F para F e de H

para H.

DF AE

421

Com base no que foi exposto e considerandoque o número de nós no grafo seja constante, ouseja, os arcos podem ser acrescentados oueliminados, mas os nós não.

Que estrutura poderia ser utilizada para suarepresentação?

Grafos - Representação

Um vetor bidimensional.

Se considerarmos que os nós de um grafoserão numerados de 0 a MAXNODES - 1 enenhuma informação é atribuída (associada) aeles. Além disso, também consideraremos aexistência de arcos sem a associação de pesosou outras informações aos mesmos.

422

Exercício:Nesse caso, defina como um grafo poderia ser

declarado.

#define MAXNODES valorInteiroPositivo

int adj[MAXNODES][MAXNODES];


int adj[MAXNODES][MAXNODES];

O valor de adj[i][j] será TRUE ou FALSE,dependendo de o nó j ser ou não adjacente ao nói. O vetor bidimensional adj[ ][ ] é chamado matrizde adjacência.

423

Exercício: Seguindo esta linha de raciocínio,defina uma representação mais completa para umgrafo.#define MAXNODES valorInteiroPositivostruct node {

/* informacao associada a cada noh */};


};struct arc {

int adj;/* informacao associada a cada arco */

};struct graph {

struct node nodes[MAXNODES];struct arc arcs[MAXNODES][MAXNODES];

};struct graph g;

424

Onde, assim como na representação anterior,cada nó do grafo é representado por um inteiroentre 0 e MAXNODES - 1, e o campo vetor nodesrepresenta as informações associadas a cada nó.O campo vetor arcs é um vetor bidimensionalrepresentando todo possível par ordenado de nós.O valor de g.arcs[i][j].adj é TRUE ou FALSE,


O valor de g.arcs[i][j].adj é TRUE ou FALSE,dependendo de o nó j ser ou não adjacente ao nói. Neste caso, o vetor bidimensional g.arcs[][].adj éa matriz de adjacência. No caso de um grafoponderado, cada arco poderá também receber aatribuição de informações.

425

Exercício: Considerando a representação de umgrafo apenas pela matriz de adjacência, ou seja,onde não serão atribuídos pesos e outrasinformação à arestas e nem informações ao nós.Implemente a operação ligar(a,b).

void ligar (int adj[][MAXNODES], int node1, int


void ligar (int adj[][MAXNODES], int node1, int node2){

adj[node1][node2] = 1;}

426

Exercício: Considerando a representação de umgrafo em questão. Implemente a operaçãoremover (a,b).

void remover (int adj[][MAXNODES], int node1, int node2)


node2){

adj[node1][node2] = 0;}

427

Exercício: Considerando a representação de umgrafo em questão. Implemente a operaçãoadjacente (a,b).

int adjacente (int adj[][MAXNODES], int node1, int node2)


node2){

return adj[node1][node2];}

428

Exercício: Proponha uma estrutura capaz derepresentar um grafo ponderado com um númerofixo de nós.

#define MAXNODES valorInteiroPositivostruct arc {


struct arc {int adj;int peso;

};struct arc g[MAXNODES][MAXNODES];

429

Exercício: Considerando a representação paraum grafo ponderado apresentada, implemente aoperação ligarP(...).

void ligarP (struct arc adj[][MAXNODES], int node1, int node2, int peso)


int node1, int node2, int peso){

adj[node1][node2].adj = 1;adj[node1][node2].peso = peso;

}

430

Exercício: Considerando a representação paraum grafo ponderado apresentada, implemente aoperação removerP(...).

void removerP (struct arc adj[][MAXNODES], int node1, int node2, int peso)


int node1, int node2, int peso){

adj[node1][node2].adj = 0;adj[node1][node2].peso = peso;

}

431

Exercício: Considerando a representação paraum grafo ponderado apresentada, implemente aoperação adjacenteP(...).

void adjacenteP (struct arc adj[][MAXNODES], int node1, int node2)


int node1, int node2){

return adj[node1][node2].adj;}

432

Examinaremos agora um exemplo de aplicaçãode um grafo. Vamos supor o seguinte problema:Considerando a existência de n cidades.Considerando que alguns pares destas cidadespossuem estradas que as ligam. Determine se épossível sair de uma cidade A e chegar em uma

Grafos - Aplicação

possível sair de uma cidade A e chegar em umacidade B utilizando exatamente nr estradas.

Determine uma estratégia para solucionar oproblema apresentado.

433

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