UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA I

PRÁCTICA Nº 2 - COMPLEMENTO

GRÁFICOS Y REGRESIONES

Por: Jorge Hernando Bautista Ruiz Doctor en ingeniería - Ciencia y Tecnología de Materiales. 1. OBJETIVOS:

Identificar los diferentes tipos de relaciones gráficas.

Aprender a manejar los rayados: el lineal, semi-log y log-log.

Adquirir habilidad en el manejo del método regresional.

Calcular experimentalmente el número π

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Así como el gerente de una compañía se ayuda con gráficas para analizar y explicar el

funcionamiento de su empresa, el experimentador en física también acude a gráficas

para comprender mejor el mecanismo de un fenómeno observado.

Las gráficas son muy utilizadas en medicina, meteorología, ingeniería, biología y otras

ciencias. En física, se puede conseguir información muy valiosa por el análisis de las

gráficas que elabora con los datos de las observaciones experimentales.

2.1 Funciones y su representación gráfica.

Una función es un ente matemático constituido por tres componentes: un primer

conjunto o dominio de la función; un segundo conjunto o codominio; y una regla dada de

alguna manera que hace corresponder a cada elemento del dominio un único elemento

en el codominio. No es contradictorio que dos elementos del dominio tengan una misma

imagen o elemento correspondiente en el codominio, pero no hay función si un mismo

elemento del dominio tiene dos imágenes o elementos que le corresponden en el

codominio. Por ejemplo, si un móvil viaja con una velocidad de 15 km/h, la distancia que

recorre dependerá funcionalmente del tiempo porque a cada número de unidades de

tiempo le corresponderá un único número de unidades de espacio recorrido. Durante

una hora recorrerá 15 km. Si mantiene su velocidad, durante dos horas recorrerá 30

km, durante tres horas recorrerá 45, y así sucesivamente.

En este ejemplo existen tres cantidades: la velocidad v, que es constante y solamente

dos variables: la distancia d (expresada en kilómetros) y el tiempo t (expresado en

horas). Para una velocidad v constante, la distancia recorrida es una función del

tiempo. En el ejemplo anterior la ley de correspondencia se expresa algebraicamente

como:

d = vt donde d se denomina variable dependiente y t es la variable independiente. En

consecuencia, como la distancia recorrida depende del tiempo que dure el movimiento,

se afirma que la distancia es una función del tiempo.

2. 2 TIPOS DE RELACIONES GRÁFICAS

2.2.1 Relación lineal.

Son relaciones de la forma BxAy +=

en donde A representa el punto de corte con el eje Y, y se determina por la lectura

directa en el gráfico. B es la pendiente de la recta que se determina por

∑=

=n

1iiB

N1

B donde 12

12i XX

YYXY

−−

=∆∆

=B

N es el número de pendientes calculadas.

Nota. Para determinar cualquier Bi, solo se deben tomar los puntos que estén sobre la

recta, si hacen falta puntos se toman sobre la recta aun sin ser experimentales.

Y

X

A

Relación lineal

2.2.2 Relación exponencial

Son relaciones de la forma: BXAeY =

Relación exponencial

Para este tipo de gráfico es necesario linealizar, con el objeto de determinar sus

constantes, de tal manera que la ecuación particular es: LnY . Al

graficar en papel semi-log se obtiene:

BxLnA +=

Linealización de una relación exponencial

A se obtiene por lectura directa

∑=

=n

1iiB

N1

B donde 12

1212i XX

LnYLnYX

YYLn−−

=∆

=)/(

B

N representa el número de pendientes.

Nota: Es necesario tener en cuenta que la equivalencia de una pendiente originada de un

exponencial y tratada en rayado Log-log es

Ln X = 2.3 Log X

2.2.3 Relación Logarítmica

Son relaciones de la forma: BLogXA +=Y

Relación logarítmica

Este tipo de gráfica se linealiza mediante su representación en papel semi-log. El

logaritmo va en el eje X.

Linealización de una relación logarítmica

La ecuación particular del gráfico linealizado se determina mediante:

A por lectura directa

∑=

=n

1iiB

N1

B donde 12

12

12

i LogXLogXYY

XXLogY

−−

=∆

=)/(

B

2.2.4 Relación potencial.

2.2.4.1 Del tipo: Y BAX=

Relación potencial

Se linealiza de la forma: LnY= LnA + BLnX si y solo si

LogY= LogA + B LogX

Se representa en papel Log-Log.

La ecuación particular se determina por:

A lectura directa

∑=

=n

1iiB

N1

B donde 12

12

12

12i LogXLogX

LogYLogYXXLogYYLog

−−

==)/()/(

B

2.2.4.2 Del tipo 2

210

B0

XaXaaY

AXaY

++=

+=

y en general para polinomios de grado n, se procede con cambios de variable o

programas de computadora.

2.3 Representaciones gráficas

A la hora de realizar representaciones gráficas se deben respetar las siguientes normas:

a) Ejes

Abscisa y Ordenada

Un convenio bien establecido en Física para todas las prácticas es representar en el eje

de abscisas (horizontal) la variable independiente (aquella que elige el experimentador

en cada medida), y en el eje de ordenadas (vertical) la variable dependiente (aquella

cuyo valor se determina); brevemente, se trata de representar efecto (en el eje vertical)

frente a causa (en el eje horizontal).

Papel

Los papeles más utilizados en las gráficas de Física son el lineal (normalmente graduado

en milímetros y por eso comúnmente llamado papel milimetrado), y el logarítmico, que

puede ser semilogarítmico (de rayado logarítmico en un solo eje y lineal en el otro) y

logarítmico sobre ambos ejes.

Identificación de cada eje

Los ejes deben marcarse siempre con el nombre y símbolo de la magnitud representada

junto a las unidades en que se expresa. También debe indicarse, en su caso, la potencia

de 10 correspondiente, por la que va multiplicada la unidad. De este modo, las divisiones

en un eje pueden enumerarse 1, 2, 3,... en lugar de 10.000, 20.000, 30.000,... ó de

0.001, 0.002, 0.003,... etc., si en el eje se indica ×104 ó ×10-3 , respectivamente. En los

ejes se marcarán los valores de las variables representadas, a intervalos regulares, de

acuerdo con la escala escogida.

Escalas

La selección de la escala utilizada en cada eje debe hacerse de modo que:

• Los puntos experimentales no queden todos juntos, debiendo cubrir toda la zona del

papel.

• La escala debe ser sencilla. Lo más sencillo es representar por un milímetro una

potencia de 10 de la unidad; la siguiente simplicidad es aquella en que un milímetro (ó

un centímetro) representa 2 ó 5 unidades.

• El origen de la representación no tiene por qué ser el punto (0, 0). Salvo en casos

especiales la escala y el origen se tomarán de manera que la curva a representar

quede centrada en el papel y ocupe la mayor parte de éste.

• Cada punto se representa por un punto (.), un asterisco (*), u otro símbolo parecido. Si

existen varias curvas en la misma gráfica con diferentes significados, los puntos de cada

una se representan con distintos símbolos.

b) Representación gráfica del error de las medidas

Si se representan los errores se deben reflejar como una cruz o un rectángulo, centrados

en el punto y de dimensiones horizontales y verticales el doble del valor del error

absoluto de las coordenadas horizontales y verticales del punto en cuestión.

c) Ajuste de líneas a los puntos representados

Si se traza una curva para unir una serie de puntos se deben de respetar las siguientes

normas:

• Debe de ser lo más regular posible.

• Debe de pasar lo más cerca posible de los puntos, aunque no tiene que pasar

necesariamente por todos ellos (incluso puede que no pase por ninguno).

• Si existe algún punto aislado lo más normal es que se trate de un error y puede que

sea conveniente repetir la medida correspondiente a ese punto.

• No unir nunca los puntos mediante una línea quebrada.

2.3 METODO DE REGRESIONES PARA DETERMINAR ECUACIONES

PARTICULARES

Las regresiones son técnicas estadísticas computacionales, empleadas para obtener

ecuaciones particulares; cuando el comportamiento gráfico del fenómeno muestra una

tendencia sencilla como las expuestas anteriormente. Para tendencias polinómicas se

emplean programas computacionales o aproximaciones a series de Fourier.

La confiabilidad de un ajuste, se mide de acuerdo al criterio estadístico de correlación (r),

de la siguiente manera: Si r tiene la tendencia a 1, se afirma que el ajuste es

bueno; si r tiende a 0 entonces se tiene un ajuste malo.

3 MATERIALES

- Papel milimetrado - Papel semi-log -Papel log-log

-Calculadora -Manual de la calculadora - Juego de discos

- Lápiz - Escuadras.

4 PROCEDIMIENTO

4.1 Ubicar las siguientes series de puntos en el papel que corresponda

Serie 1 = { (log 0.1 , 12) , (log 7 , 14) , (log 19 , 20) }

Serie 2 = { (log 0.02 , log 500) , (log 0.2 , log 1050) , (log 1 , log 9650) }

Serie 3 = { (12 , log 187) , (10 , log 5) , ( 20 , log 787) }

4.2 Con cada una de los datos de las siguientes tablas:

a. Representar Y→ f(X) en papel lineal

b. Linealizar

c. Hallar la ecuación particular

Tabla 1. Tabla 2. Tabla 3

X Y X Y X Y

0 5 0.1 1 1 2

1 1.83 1 3 2 8

2 0.67 4 4.20 3 18

3 0.25 6 4.6 4 32

4 10 5 5 50

4.3 Identifique en el manual de su calculadora la sección correspondiente al análisis

estadístico. Para cada uno de los ejemplos del manual: Represente los datos en el

rayado lineal para visualizar las tendencias, Linealice utilizando el rayado adecuado,

ejecute el procedimiento del manual para obtener la ecuación particular, Identifique las

formas de entrar y salir del programa.

4.4 Con ayuda de los módulos de madera. Usando solamente papel milimetrado, mida el

espesor, la longitud y el diámetro de cada disco del módulo. Tome varias medidas de un

mismo parámetro y calcule el promedio. Lleve los datos a la tabla 4.

4.5 Empleando la balanza electrónica, mida la masa de cada disco. Lleve la información

a la tabla 4.

5 DATOS Y OBSERVACIONES

Tabla 4.

Disco 1 2 3 4 5 …

Espesor ( )

Longitud ( )

Diámetro ( )

Masa ( )

6 ANALISIS

1. En la geometría euclidiana se encuentra que el numero pi (π), es el número de veces

que está contenido el diámetro de la circunferencia en la longitud de la circunferencia,

esto es DL

=π , en donde L es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro de la

circunferencia. La ecuación anterior se puede escribir como L . Dπ=

Represente en papel lineal L → f(D). De acuerdo con el comportamiento observado,

determine por método gráfico y regresional el número π (pendiente de la recta). Halle

el error porcentual tomando como valor teórico (más aceptado) π=3.1416

El error porcentual se determina por

100v

vV

TEORICO

ALEXPERIMENTTEORICOerror *%

−=

2. Represente en papel lineal M→ f(V). De acuerdo con el comportamiento observado,

determine por el método gráfico y computacional la densidad del material del módulo.

7 BIBLIOGRAFIA