Gráfico X individualLos gráficos de control por variables pueden también construirse para observaciones individuales procedentes de la línea de producción. Esto puede resultar necesario cuando el considerar muestras de tamaño mayor que 1 resulte demasiado caro, inconveniente, o imposible. En este procedimiento de control se emplea el rango móvil de dos observaciones sucesivas para estimar la variabilidad del proceso.

Ejemplo: La viscosidad de una pintura tapaporo para aviones es una característica de calidad importante. El producto se elabora por lotes y debido a que la producción de cada lote se lleva varias horas, la velocidad de producción es demasiado lenta para permitir tamaños de la muestra mayores que uno. Establecer una carta de control para mediciones individuales para este caso

Cálculo con MiniTab

Pasar la columna en la que se encuentran los datos al recuadro blanco de Variables:

Entrar a la pestaña Opciones de I-MR con lo que aparece la siguiente ventana, en la cual se debe asegurar que en la pestaña Estimar aparezca Rango móvil promedio como el método para estimar la desviación estándar. Aceptar.

Entrar en la pestaña Pruebas y escoger Realizar todas las pruebas para causas especiales. Aceptar.

Al inspeccionar el gráfico de control resultante encontramos que el proceso esta bajo control

Conclusión: Se puede ver que no existen causas asignables, es decir, el proceso se encuentra bajo control estadístico

Ejemplo hipotético: Considere los siguientes datos

Usando las opciones del ejemplo anterior, obtendremos el siguiente gráfico de control

El proceso esta fuera de control

Ejemplo: La longitud de un tramo de tubo se registra para cada producto. Realice la gráfica de control individual.

Usando las opciones del ejemplo anterior, obtendremos el siguiente gráfico de control

Resultados

El proceso esta fuera de control

Prueba 1. Una observación mayor que las 3 deviaciones estándar desde la línea central. La prueba falló en los puntos: 5

Prueba 6. Puntos consecutivos mayores que 1 desviación estándar desde la línea central (en un lado de LC). La prueba falló en los puntos: 12, 13

Gráficos de Control De Datos Individuales y Rangos Móviles (X-Rm)  Cuando hablamos de los gráficos de control XBarra-R y XBarra-S, tomamos subgrupos racionales, cuyo tamaño es normalmente 5. A medida que el tamaño del subgrupo racional sea más grande, aumenta la sensibilidad de los gráficos de control para detectar los cambios en la media o la variabilidad.

En algunas ocasiones, por cuestiones prácticas, es conveniente tomar subgrupos de tamaño 1, en ese caso trabajaremos con el gráfico de control X-Rm, de datos individuales y rangos móviles.

Si estamos muestreando algún tipo de líquido, generalmente el comportamiento es homogéneo en cuanto a sus propiedades, de tal suerte que si tomamos cinco muestras para formar un subgrupo racional, nos daríamos cuenta que las lecturas serían prácticamente idénticas. Así que, en estos casos, sería suficiente con tomar un subgrupo racional de tamaño 1.

En algunos casos la producción es demasiado baja, por ejemplo si se hace un producto por hora, por día, por semana o algún intervalo largo de tiempo. En ese caso, no tiene sentido formar subgrupos racionales de varios productos, ya que en el periodo en que se fabricaron esos productos las condiciones del proceso pudieron cambiar, así que no se satisface la condición de la muestra para que sea un subgrupo racional. En este caso lo indicado sería trabajar con gráficos de control de datos individuales y rangos móviles.

En el post sobre el gráfico de control XBarra-R habíamos comentado anteriormente que existe una relación entre la desviación estándar de la variable original y el rango medio, la cual viene dada por:

Cálculo de los Límites de ControlHaremos uso de las dos ecuaciones anteriores en la deducción de los límites de control de Datos Individuales.

Para el gráfico de control de rangos móviles, tenemos que el rango móvil es un rango calculado sobre dos valores, recordaremos que para el gráfico de Rangos, en el post sobre el gráfico de control XBarra-R, habíamos encontrado que los gráficos de control para el rango son:

Así que para este caso del rango móvil, las ecuaciones de los límites de control de gráfico del Rango Móvil, nos quedaría:

Resumiendo, tenemos que los gráficos de control de Datos Individuales y Rangos Móviles (X-Rm), quedarían. Para el gráfico de Datos Individuales:

Y para el gráfico de Rangos Móviles:

Se puede ver en la tabla de constantes para gráficos de control que cuando el tamaño del subgrupo es dos, como para este caso cuando el rango móvil se calcula sobre dos valores consecutivos:

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Walter A. Shewhart (1891-1967)

Gráficos de Control de 3 sigmas

En nuestro post anterior decíamos que Walter A. Shewhart diseñó los gráficos de control de 3 sigmas o 3 desviaciones estándar; y que cuando monitoreamos variables como voltaje, amperios, presión, etcétera; se utilizan dos gráficos de control, uno para monitorear la media de la variable (un gráfico de control de medias o de datos individuales usualmente), y la otra para monitorear la variabilidad de la variable (un gráfico de rangos, rangos móviles o desviación estándar generalmente).

Los gráficos de control de Shewhart están basados en los siguientes principios:

<!--[if !supportLists]-->a) <!--[endif]-->Los gráficos de Shewhart siempre usan límites de control los cuales se encuentran a una distancia de tres sigmas a cada lado de la línea central del gráfico de control.

<!--[if !supportLists]-->b) <!--[endif]-->En el cálculo de los límites de control tres sigmas, siempre se utilizan estadísticos de dispersión promedio, tales como: Rbarra, Rm y SBarra (la excepción para esto son los gráficos de atributos, los cuales utilizan un estadístico de localización –tales como pbarra, cbarra, ubarra, etc- para calcular los límites).

<!--[if !supportLists]-->c) <!--[endif]-->Otro concepto muy importante en los gráficos de control de Shewhart es el muestreo racional y los subgrupos racionales.

Subgrupos Racionales

Por otra parte otro concepto importante definido por Walter Shewhart, fue el de subgrupos racionales, el cual podemos decir, nos da un criterio para tomar las mediciones las cuales graficaremos en nuestros gráficos de control.

Un subgrupo racional es aquel subgrupo de datos individuales que se colectan para graficar un punto de cada gráfico de control (un punto para el gráfico de medias y otro para el gráfico de Rangos en el caso de que estemos trabajando con gráficos XBarra-R) seleccionado de datos que estén muy cerca en el tiempo, de tal forma que se asegure la homogeneidad de las condiciones dentro del subgrupo. Si los datos del subgrupo se colectan en instantes muy cercanos en el tiempo, se busca que en ese tiempo no haya un cambio en el proceso.

El siguiente subgrupo racional se colectará posteriormente, podría ser una hora después u otro intervalo de tiempo que se haya establecido, con el mismo criterio que antes comentamos, tomando los datos muy cercanos en el tiempo de tal forma que sean homogéneos entre sí, y se hayan tomado prácticamente bajo las mismas condiciones.

Al ir construyendo nuestros gráficos de control, lo que nos interesa es ir contrastando los puntos que fuimos graficando a intervalos regulares de tiempo y ver como se van comportando, de alguna forma cada punto graficado representará una foto del proceso en ese instante, el gráfico de control representará la película de la variabilidad del proceso a través del tiempo.

     

Falsas AlarmasDebemos tener claro que cuando estamos monitoreando un proceso, el cual está en control estadístico, “casi todos los puntos” (de un 99% al 100% dependiendo de la distribución de la variable que se está monitoreando) caen dentro de los gráficos de control.

Sin embargo, en la mayor parte de las variables que nos toque monitorear en la práctica diaria, aún y cuando las variables se mantengan en control estadístico, será difícil que el 100% de los puntos caigan dentro de los límites de control.

Quien trabaja en control estadístico de proceso se encontrará mayormente con variables a monitorear que tienen una distribución normal, y con menor frecuencia se encontrará con variables con distribución Weibull, etc.

Consideremos el caso más común, el de una variable con distribución normal. Como recordaremos, los gráficos de control Shewhart son gráficos de control cuyos límites se encuentran a una distancia de 3 sigmas a ambos lados de la media.

Y recordando la tercera parte de la regla empírica, y particularmente, para la distribución normal, tenemos que el 99.73% (ó 99.73% viéndolo como probabilidad) de los valores caen alrededor de la media cuando mucho a una distancia de 3 sigmas (Desv. Std).

Lo anterior nos lleva a que aún y cuando la variable esté en control, el 0.27% de los puntos caerán fuera de los límites de control (o bien, la probabilidad de que un punto caiga fuera de los límites de control es 0.0027). A este tipo de puntos les llamaremos falsas alarmas, es decir, una falsa alarma es un punto que cae fuera de los límites de control, cuando realmente el proceso no ha cambiado, no ha salido de control.Esto quiere decir que si observamos un punto fuera de los límites de control de alguno de los gráficos de control, podemos tener dos escenarios:

a)    El proceso no se ha salido de control y el punto representa una falsa alarmab)    El proceso realmente se ha salido de control.

La mayor parte de los libros de texto contemplan únicamente la posibilidad b), pero no podemos perder de vista que la posibilidad a) también puede ocurrir.

ARL para un gráfico de control de Medias.Por ejemplo para un gráfico de control de medias de una variable que se distribuya normal o cuyas medias muestrales tengan una distribución muy parecida a una distribución normal como la de la anterior figura, en promedio vamos a tener 1 falsa alarma, cada 370 puntos graficados en el gráfico de control.

A este concepto se le llama (ARL =average run length) longitud promedio de corrida. Entonces tenemos que el ARL para un gráfico de control de medias es: ARL =370.38

ARL para un gráfico de Rangos y de Desviación Estándar.Para los gráficos de control R de Rangos y S de desviación estándar es más complicada, ya que el valor de ARL, depende del tamaño de muestra de los subgrupos. Por ejemplo, para un gráfico de Rangos con tamaño de muestra 5, el ARL es 213.24. Mientras que para un gráfico S de desviación estándar con tamaño de muestra 5 el ARL es 256.47, lo cual quiere

decir que este tipo de gráfico de control con este tamaño de muestra en promedio veremos una falsa alarma cada 256.47 puntos.

Para gráficos de control que monitorean la variabilidad, generalmente es más eficiente trabajar con gráficos de control S que con gráficos R de rangos, debido a que nos dan menos falsas alarmas.