1

GRAFIČKO REŠAVANJE SISTEMA

Najčešći tip zadatka je onaj u kome se javlja jedna kvadratna funkcija cbxaxy ++= 2 i jedna linearna funkcija

y kx n= + .

Naš savet je da najpre rešite sistem analitički ( računski) pa tek onda da crtate grafike. Ako odmah crtate grafik

može se desiti da za presek ( preseke) koje dobijete ne možete precizno utvrditi koordinate...

Evo par primera:

primer 1.

Grafički rešiti sistem:

2 2 4 0

2 0

x x y

x y

− + + =

+ + =

Rešenje: Najpre ćemo izraziti y iz obe jednačine i rešiti sistem analitički.

2 22 4 0 2 4

2 0 2

x x y y x x

x y y x

− + + = → = − + −

+ + = → = − −

Sad oformimo jednu jednačinu “po x’’ upoređujući leve strane ove dve jednakosti ( desne su iste)

2

2

2

22

1,2

1 1

2 2

2 4 2

2 4 2 0

3 2 0

1; 3; 2

3 3 4 ( 1) ( 2)4 3 1 3 1

2 2 ( 1) 2 2

3 1 21

2 2

3 1 42

2 2

x x x

x x x

x x

a b c

b b acx

a

x x

x x

− + − = − −

− + − + + =

− + − =

= − = = −

− ± − ⋅ − ⋅ −− ± − − ± − ±= = = =

⋅ − − −

− + −= = → =

− −− − −

= = → =− −

Sad ove vrednosti vratimo u jednačinu 2y x= − − da nađemo y koordinate:

Za 1 1x = je 1 11 2 3y y= − − → = − pa je jedno rešenje tačka ( 1, - 3)

Za 2 2x = je 1 12 2 4y y= − − → = − pa je drugo rešenje tačka ( 2,- 4)

2

Sad možemo i da nacrtamo grafike, ali u istom koordinatnom sistemu.

Naravno, lakše je nacrtati pravu...Uzećemo dve tačke , recimo x=0 , pa naći y, a zatim uzmemo y=0 pa nađemo x.

2y x= − − imamo

xy

00-2-2

Kvadratnu funkciju nećemo detaljno ispitivati ( naravno, vi morate ako vaš profesor zahteva) već samo neophodne

stvari:

2 2 4y x x= − + −

Nule funkcije:

2

22

1,2

2 4 0

1; 2; 4

2 2 4( 1)( 4)4 2 12

2 2( 1) 12

x x

a b c

b b acx

a

− + − =

= − = = −

− ± − − −− ± − − ± −= = =

− −

Odavde zaključujemo da nemamo realnih rešenja, odnosno da grafik ove kvadratne funkcije nigde ne seče x osu.

Presek sa y osom

Da se podsetimo, presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 4c = −

Teme funkcije

2

( , )

21

2 2 ( 1)

4 123

4 4 4 ( 1)

(1, 3)

T

b

a

D b ac

a a

T

α β

α

β

= − = − =⋅ −

− −= − = − = − = −

⋅ −

−

Sada možemo nacrtati grafike :

www.matematiranje.com

3

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

y=-x-2

2 2 4y x x= − + −

(1,-3)

(2,4)

Vidimo da se grafička rešenja poklapaju sa analitičkim.

primer 2.

Grafički rešiti sistem:

2 4 3

2 6

y x x

y x

= − +

= −

Rešenje:

Najpre da rešimo računski:

2

2

2

2 2

1 2 1 2

4 3

2 6

4 3 2 6

4 3 2 6 0

6 9 0 ( 3) 0 3 2 3 6 0

y x x

y x

x x x

x x x

x x x x x y y y

= − +

= −

− + = −

− + − + =

− + = → − = → = = → = ⋅ − → = =

4

Dakle, postoji samo jedno rešenje ovog sistema , tačka ( 3,0) . To nam govori da će se grafici prave i parabole seći

samo u jednoj tački ( odnosno da je prava tangenta parabole)

Za pravu 2 6y x= − imamo da je

xy

00-6-3

Za parabolu 2 4 3y x x= − +

Nule funkcije: 2

22

1,2

1 2

4 3 0

1; 4; 3

4 ( 4) 4 1 34 4 2

2 2 2

3; 1

x x

a b c

b b acx

a

x x

− + =

= = − =

± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =

= =

Presek sa y osom

Presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je 3c =

Teme funkcije

2

( , )

42

2 2 1

4 41

4 4 4 1

(2, 1)

T

b

a

D b ac

a a

T

α β

α

β

−= − = − =

⋅−

= − = − = − = −⋅

−

x

y

1 2 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2 4 3y x x= − +

y=2x-6

-6

(3,0)

5

primer 3.

Grafički rešiti sistem:

2

1

y x

y x

=

= −

Rešenje:

2

2

2 2

1

1

1 0 4 1 4 3 0

y x

y x

x x

x x D b ac D

=

= −

= −

− + = → = − = − = − → <

Sistem nema realna rešenja. Dakle, grafici se ne seku!

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2y x=

xy0

0-1 1

y=x-1

Zaključak: Kad imamo da grafički rešimo sistem cbxaxy ++= 2 i y kx n= + može se desiti da imamo dve presečne tačke ( primer 1.), da se seku u jednoj tački ( primer 2.) ili da nema preseka ( primer 3.)

www.matematiranje.com

6

Evo par primera kad nije data linearna funkcija ( prava).

primer 4.

Grafički rešiti sistem:

12

7

xy

x y

=

+ =

Rešenje:

Kao i uvek, rešimo sistem najpre računski...Iz druge jednačine izrazimo y i zamenimo u prvu jednačinu:

2

2

1,2 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

12

7

7 7 zamenimo u prvu jed. 12

(7 ) 12

7 12 0

7 17 12 0 4 3

2

4 7 3 (4,3)

3 7 4 (3, 4)

xy

x y

x y y x xy

x x

x x

x x x x x

x y x y

x y x y

=

+ =

+ = → = − → =

− =

− − =

±− + = → = → = ∧ =

= → = − → = →

= → = − → = →

Rešili smo zadatak analitički...

Za pravu kao i uvek, uzimamo dve tačke:

xy

0077

Za hiperbolu 12

yx

= ćemo uzeti nekoliko tačaka, a ako se sećate od ranije, ona će pripadati prvom i trećem

kvadtantu:

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y -3 -4 -6 -12 12 6 4 3

Sada skiciramo grafik:

7

x

y

1 2 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

-6

3

6

6

7

7

x+y=7

12y

x=

primer 5.

Grafički reši sistem:

2

2

4 4

3 2

y x x

y x x

= − +

= − + −

Rešenje:

2

2

2 2

2 2

2

1 2

4 4

3 2

4 4 3 2

4 4 3 2 0

32 7 6 0 2

2

y x x

y x x

x x x x

x x x x

x x x x

= − +

= − + −

− + = − + −

− + + − + =

− + = → = ∧ =

Sad ove vrednosti zamenimo u bilo koju od dve jednačine ( recimo u prvu) :

2

1 2

2

1 1

2

2 2

4 4

32

2

2 2 4 2 4 0 (2,0)

3 3 3 1 3 14 4 ( , )

2 2 2 4 2 4

y x x

x x

x y

x y

= − +

= ∧ =

= → = − ⋅ + = →

= → = − ⋅ + = →

8

Dobili smo tačke preseka.

Po već poznatom postupku ispitamo tok dve zadate kvadratne funkcije i skiciramo:

x

y

1 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

2 4 4y x x= − +

-6

3

2 3 2y x x= − + −

(2,0)

(3/2,1/4)

www.matematiranje.com