gráficas en 2 dimensiones dra. marva angelica mora lumbreras

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TLAXCALADepartamento de Ingeniería y Tecnología

Ingeniería en Computación

Gráficas en 2 Dimensiones

DRA. MARVA ANGELICA MORA LUMBRERAS



Gráficas en 2 Dimensiones

3 OPERACIONES BÁSICAS EN GRAFICACION

Translación EscalamientoRotación

Casita en 2D

X Y0 02 02 21 30 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Translación

Mover un objeto de posición

X’=X+TXY’=Y+TY

Ejemplo de la casita (trabajar en excel)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

T(TX,TY)=(3,-1)

Translación

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6

Escalamiento

Translación

Escalar un objeto

X’=X*SXY’=Y*SY

Escalar la casita

X Y0 02 02 21 30 20 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

T(X*SX,Y*SY)

=(4,4)

Escalamiento

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15

REGLAS DE ESCALAMIENTO

Si SX>1 La imagen crece horizontalmente

Si SX=1 La imagen se conservaSi 0<SX<1 La imagen se contraeSi SX=0 La imagen se colapsa en

el eje Y

REGLAS DE ESCALAMIENTO

Si -1<SX<0 La imagen se refleja y se contrae

Si SX=-1 La imagen se refleja horizontalmente

Si SX<-1 La imagen se refleja y crece

SX=SY Escalamiento Uniforme

Escalamiento alrededor de un punto fijo

Escalamiento alrededor de un punto fijo

Llevar el punto fijo al origen

Escalar

Regresar el punto fijo a su posición

Paso 1

X’=X-XFY’=Y-YF

Paso 2

X’’=(X-XF)SXY’’=(Y-YF)SY

Paso 3

X’’’=(X-XF)SX+XFY’’’=(Y-YF)SY+YF

Paso 3

X’’’=XSX-XFSX+XFY’’’=YSY-YFSY+YF

Paso 3

X’’’=XSX+(1-SX)XFY’’’=YSY+(1-SY)YF

Ejemplo

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8

Rotación alrededor del origen

r=

r’=r

O’=O+


P es un punto a rotar alrededor del origen por un ángulo α.

P’ es el punto resultante después de la rotación.

La rotación puede expresarse usando coordenadas polares: P’ = <r, θ+α>.


Es posible convertir el punto P’ = <r, θ+α> a coordenadas rectangulares (x’, y’)


Desarrollando el seno y el coseno de la suma de esos dos ángulos:

Y notando que ◦x = r ⋅ cos(θ ) ◦x = r ⋅ sin(θ ) son las coordenadas rectangulares

del punto original P, obtenemos las ecuaciones finales de la rotación como:


La matriz R(α ) asociada a la rotación por α está dada por


La rotación del punto P alrededor del origen por un ángulo α produciendo un punto P’, se puede expresar en coordenadas homogéneas como el producto matricial


Rotación Inversa

R(α ) representa a la matriz de rotación (la dirección del giro es hacia la izquierda)

Si se cambia el signo en el ángulo de rotación de α a -α, la dirección de giro en R(−α ) será hacia la derecha, entonces la matriz se puede escribir como:

Rotación InversaEntonces, la rotación del punto P

alrededor del origen por un ángulo α

produciendo un punto P’, se puede expresar en coordenadas homogéneas como el

producto matricial P'= P⋅ R(α ) , de la siguiente manera



ROTACION EN UN PUNTO FIJO-Transladar al origen-Rotar-Regresar a posición inicial

Rotación (punto fijo)

Las rotaciones generales 2D por un ángulo α son alrededor de un punto fijo (pf )

Rotación (punto fijo)Tres etapas:

◦Primero se debe llevar el punto fijo al origen pf T(− pf )

◦Después se realiza la rotación por un ángulo α alrededor del origen R(α )

◦Finalmente se debe regresar el punto fijo del origen a su posición inicial T( pf )

Rotación (punto fijo)Representación Matricial



-5,-3 5,3



-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 0 2 4 6 8



-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-5 0 5 10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-10 -5 0 5 10

90 grados 180 grados

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4 6 8

270 grados

MacroSub Rotar()

For k = 1 To Range("B21").Value

Calculate NextEnd Sub

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