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Grado 10°Trigonometría
José David Ojeda
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Trigonometría
Viene del griego TRIGÓNO que significa triangulo y METRON que significa medida.
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triangulo.
Veamos algunos conceptos iniciales:
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Ángulos
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Ángulos
Es la unión de dos semirrectas con el mismo origen
Notación de un ángulo: Un angulo se nota con letras mayusculas, para el lado inicial, el vertice y el lado final.
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Ángulos
En trigonometría es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero. No es lo mismo ABC que CBA
A
B
C
ABC
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Angulos
A
B
C
CBA
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Ángulos
También podemos usar letras griegas para notar ángulos . , , ,
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Ángulos en el plano cartesiano
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Ángulos en el plano cartesiano
Un ángulo se encuentra en posición canónica o normal cuando en el plano cartesiano, el vértice coincide con el origen y el lado inicial coincide con el semieje horizontal positivo x.
O
y
x
Lado inicial
Lado final
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Ángulos en posición normalPrimer cuadrante
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
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Ángulos en el plano cartesiano
Un Angulo es positivo cuando se genera a partir de una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj
Angulo positivo
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Ángulos en el plano cartesiano
Un ángulo es negativo cuando se genera a partir de una rotación que tiene el mismo sentido que las manecillas del reloj.
Angulo negativo
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Medición de Ángulos
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Medición de Ángulos
Los ángulos se miden en grados y en radianes.El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radián es la unidad de medida en el sistema cíclico.
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Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN ES SISTEMA SEXAGESIMAL
•El ángulo generado por la rotación del ángulo en una vuelta, mide 360 grados y se denota 360°.•El grado sexagesimal (1°) se define como
de una vuelta.
1
360
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Medición de Ángulos
• Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos (1° = 60’)
• Un minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
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Medición de Ángulos
Ejercicio: Expresar el ángulo de 42,225° en grados, minutos y segundos.Solución:Primero determinamos los minutos a los que equivale la parte decimal:
0,225 60 13.5' Se multiplica
por 60
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Medición de Ángulos
Luego se determinan los segundos a los que equivale la parte decimal
Por lo anterior: 42,225° = 42° 13’ 30”
0,5 60 30" Se multiplica por 60
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Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN EL SISTEMA CICLICO
Sobre una circunferencia, un ángulo central β determina un arco de .Se dice que la medida del ángulo β es un radian (1 rad) si la longitud del arco que le corresponde es igual al radio de la circunferencia.
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Medición de Ángulos
A
B
β
r
r =
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Medición de Ángulos
Un radian es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide igual que un radio
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El número pi (π)
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El número π
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El numero π
Por lo anterior, la longitud de una circunferencia es πd, donde d es el diámetro de la circunferencia, pero sabemos que el diámetro es dos veces el radio de la circunferencia. Por tanto…
Longitud de la circunferencia = 2πr
Donde r es el radio de la circunferencia
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Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclicoDado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr, entonces la cantidad de arcos con longitud igual al radio en cualquier circunferencia es 2π.Por lo anterior, la cantidad de radianes en una circunferencia es de 2π. Entonces…
360° = 2π rad
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclico
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico
360°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
0°0
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclico
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclico
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TRIÁNGULOS
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TriángulosSi A, B y C son puntos no coloniales, entonces el triangulo ABC es la unión de los segmentos , y .Los puntos A, B y C son los vértices del triangulo; , y son los lados; BAC , ABC y BCA son los ángulos interiores.
A
B
C
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TriángulosDe acuerdo con la longitud de sus lados los triángulos se clasifican en :•Triangulo equilátero si sus lados son congruentes•Triangulo isósceles si dos de sus lados son congruentes•Triangulo escaleno si las medidas de sus lados son diferentes
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Triángulos
Triangulo equilátero
Triangulo isósceles
Triangulo escaleno
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TriángulosDe acuerdo a la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:•Triangulo acutángulo si todos sus ángulos internos miden menos de 90°•Triangulo obtusángulo si uno de sus ángulos mide mas de 90° (Angulo obtuso)•Triangulo rectángulo si uno de sus ángulos mide exactamente 90° (Angulo recto)
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Triángulos
Triangulo acutángulo
Triangulo obtusángulo
Triangulo rectángulo
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TriángulosNota: En un triangulo rectángulo, las rectas que forman el Angulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a dicho ángulo es denominado hipotenusa
Hipotenusa
Cateto
Cateto
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Propiedades de los triángulos
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Propiedades de los triángulos
De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos cumplen las siguientes propiedades:•Todo triangulo equilátero es equiángulo, es decir, las medidas de los ángulos son iguales.•Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes
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Propiedades de los triangulos
• Si dos ángulos de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.
• La medida de los ángulos internos de cualquier triangulo, suman 180°.
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Propiedades de los triángulos
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Teorema de Pitágoras
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Teorema de Pitágoras
• En un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
• h: Hipotenusa, a: y b: Catetos
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Teorema de Pitágoras• Ejemplo: Camilo viaja 4 kilómetros al
norte y 3 kilómetros al oeste desde su casa para llegar a su trabajo, ¿Cuál será la distancia mínima entre su casa y su lugar de trabajo?
N
S
EO
4
3
x4
3
x
2 2 2
2
2
4 3
16 9
25
25
5
x
x
x
x
x
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Teorema de PitágorasEjercicios: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?Andrés desea comprar un televisor de 42 pulgadas, al llegar a la tienda de electrodomésticos, nota que las TV’s no indican sus tamaños, pero un vendedor sabe que la altura y ancho son de 26 y 33 pulgadas respectivamente, ¿según esto se trata de una TV de 42 pulgadas o no?