gradientes
DESCRIPTION
Gradientes: definición, ejerciciosTRANSCRIPT
GRADIENTESMATEMÁTICAS FINANCIERAS
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Gradientes
En matemáticas financieras, gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente.
• Cada pago aumenta o disminuye en $25,000 mensualAritmético
• Cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual
Geométrico
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales
DIFERENCIAS ENTRE ANUALIDADES Y GRADIENTES
en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con relación al pago anterior.
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Existen diferentes formas en que se pueden presentar las gradientes:
Gradientes
• La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo
Anticipadas
• La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo
Vencidas
• Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia
Diferidas
• Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito
Perpetua
CLASES DE GRADIENTES
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Gradiente Aritmético
0 1 2 3 4
A
A + GA +
2GA + 3G
0 1 2 3 4
AA - G
A -
2G
A - 3G
Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente
Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Fórmulas Gradiente Aritmético
P=𝐴¿ Valor presente gradiente aritmético
Valor futuro gradiente aritmético
F=𝐴 ¿ Valor presente gradiente aritmético infinito
P=𝐴𝑖±
𝐺𝑖2
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.
Gradiente Aritmético
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
A = $150.000G = $10.000N = 24 mesesi = 3%
Gradiente Aritmético
01 2 3 4 24
150.000 160.000170.0
00
150.000 + (n-1)10.000
P=150.000¿P
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Si la tienda de Don Gustavo le representa unos ingresos mensuales por $350.000, los cuales aumentan en $10.000 todos los meses ¿Cuánto debe exigir Don Gustavo por su negocio si asumimos una tasa de interés del 1% mensual?
Gradiente Aritmético
𝑃=𝐴𝑖
+𝐺𝑖2
𝑃=350.0000,01
+10.000
0,012
P
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Gradiente Aritmético
Cuál será el valor futuro que se acumula en una cuenta de ahorros al termino de 1 año, si hacemos depósitos mensuales anticipados crecientes en $3000, y la cuenta reconoce un interés del 12% nominal mes vencidos, sabiendo además que el primer deposito es por la suma de $12000.
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
G = $3.000N = 12 mesesI = 12% NMV 1% mensualA = $12000
Gradiente Aritmético
𝐹=[(𝐴+ 𝐺𝑖 )((1+𝑖)𝑛−1
𝑖 )−( 𝐺∗𝑛𝑖 )] (1−𝑖 )…
360.510,35
𝐹=[(12.000+ 3.0000,01 )( (1+0,01)11−1
0,01 )−( 3000∗110,01 )] (1−0,01 )…
01 2 3 11 1
2
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Es una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente.
Gradiente Geométrico
0 1 2 3 4
A
A*(1 + G)
A*(1 +
G)^2 A*(1 + G)^3
0 1 2 3 4
AA*(1 - G)
A*(1 - G)^2
A*(1 - G)^3
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Fórmulas Gradiente Geométrico Valor presente gradiente geométrico
𝑃= 𝐴(𝐺−𝑖)
+[ (1+𝐺)𝑛
(1+ 𝑖)𝑛−1]𝐺≠ 𝑖 𝑃=
𝑛𝐴(1+𝑖)
𝐺=𝑖
Valor futuro gradiente geométrico
𝐹=𝐴
(𝐺− 𝑖)+[ (1+𝐺 )𝑛−(1+𝑖)𝑛 ] 𝐺≠ 𝑖 𝐹=
𝐴¿¿
Valor presente gradiente geométrico infinito
𝑃=𝐴
𝑖−𝐺𝐺<𝑖
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Obtenga el valor presente y el valor futuro de una serie de cuotas semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es por $250.000
Gradiente Geométrico
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
A = $250.000G = 4% semestralN = 11 semestresi = 12% EA 5,830% PMV
Gradiente Geométrico
𝑃= 250.000(0,04−0,583) [ (1+0,04)11
(1+0,583)11−1]
𝑃=2´ 385.095,95
𝐹=250.000
(0,04−0,583)¿
𝐹=4 ´ 448.411 ,75
01 2 3 4 11
250.000 260.000270.00
0
150.000*(1 + 4%)
P
F
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Una persona adquiere una deuda en una entidad financiera que le cobra un interés del 2,5986% mensual por la suma de $3´000.000, con el propósito de pagarlo mediante cuotas mensuales crecientes en un 5% en un plazo de 3 años.Determine el valor de la primera cuota, sabiendo además que esa entidad otorga un periodo de gracia de 3 meses
Gradiente Geométrico
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
i = 2,5986% PMP = $3´000.000G = 5%Pg = 3 MESESN = 3 AÑOS 36 MESES
Gradiente Geométrico
𝐴=
(1+𝑖)𝑛−(1+𝐺)𝑛
( 𝑖−𝐺)(1+𝑖)𝑛
𝑃 (1+𝑖)𝑝𝑔
01 2 3 4 34
3´000.000
5 35
36
𝐴=
(1+0,025986)33−(1+0,05)33
(0,025986−0,05)(1+0,025986)33
3 ´ 000.000 (1+0,025986)3
67.907,77
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Gradiente Geométrico
¿Cuanto será el valor acumulado al final de cinco años si se hacen depósitos mensuales anticipados en el primer año por la suma de $200.000? Los depósitos incrementan en un 10% anual, y se invierten en una entidad financiera que reconoce un interés del 2,4288371% mensualmente.
A= $200.000.G=10% anual.I = 2,4288371%.N =5 AÑOS.
𝐹=𝐴 [((1+𝑖)𝑛−𝐺𝑛
1+𝑖−𝐺 )] (1−𝑖 )
𝐹=𝐴 [((1+𝑖)𝑛−𝐺𝑛
1+𝑖−𝐺 )] (1−𝑖 )
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
Alex Franco se ganó la lotería y desea saber cuanto depositar hoy en una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 18% para que su madre pueda retirar mensualmente, y por tiempo indefinido $450.000 los cuales aumentaran en 1% mensual
Gradiente Geométrico
A = 450.000G = 1% i = 18%EA 1,39% PM𝑃=
𝐴(𝑖−𝐺)
𝑃=450.000
(0,0139−0,01)
𝑃=115 ´ 727.931,24