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Potencial gravitacional Potencial ElétricoO potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)
W=mgh W=q(VA-VB)
Energia Potencial e Trabalho
f iU U U WΔ = − = −
onde W é o trabalho feito pelo campo elétrico
É conveniente definirfU U W∞= = −
Na qual se considera que
Ou seja é o trabalho realizado pelo campo para mover a carga do infinito à posição atual qualquer
W∞
0U∞ =
Variação da energia potencial
mghEp =Δ
3RMmrGEp
rMmGEp
=
= Fora
Dentro
Energia potencial gravitacional
Terra
rMG
mE
V pg ==
Analogia Energia Potencial gravitacional
Potencial elétrico
Diferenças de energia potencial e de potencial elétrico, no entanto, são bem definidas:
O campo elétrico é definido como a força por unidade de carga:
E o potencial é a energia potencial elétrica por unidade de carga:
qUV
qFE
ΔΔ =
=r
r
∫−=−=2
112 ld.EVVVrr
Δ
Trabalho e Energia Potencial
∫ ⋅=→
2
121 ldFW
rr
r̂FFrr
=
• Os campos de forças centrais são do tipo conservativo, permitindo sua descrição por uma função escalar, denominada função potencial.
• A Força eletrostática é conservativa, portanto pode ser associada a uma energia potencial elétrica.
Substituindo, na expressão anterior
O trabalho realizado por uma força, quando a mesma se desloca entre dois pontos (i-f), é dado por:
Quando o campo é central a força pode ser escrita como
∫∫∫ ==⋅=→
2
1
2
1
2
121 drFcosdlFldr̂FW
rrrrθ
O trabalho representa uma variação da energia potencial: ∫−==− →
2
1
r
r2112 drFWUU
r
12
Fdl
Centro de força
θ
θr̂
Energia potencial eletrostática
∫∫ −−===→
f
iif
f
ifi )UU(rd.Eqrd.FW rrrr
∫∫ −−===→
2
1 122
2
121
11 ]rr
[QkqdrrQkqrd.EqW ooo
rr
A energia potencial eletrostática entre dois pontos i e f do campo elétrico, éigual ao valor negativo do trabalho sobre a carga para se deslocar entre esses dois pontos
Trajetória de uma carga qo que deslocaqntre os pontos 1 e 2 do campo criadopor uma carga Q.
]rr
[kQ]rr
[kQq
WqU
qUVV
ooo 2112
212121
1111 −=−−=−=−=− →
Potencial eletrostático
]rr
[kqVVif
if
11 −−=−
ii
ff r
kqVr
;rpara =∴→∞→ 01
A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer i e f do campoproduzido por uma carga qualquer q será:
Se o ponto final é o infinito, o potencial desse ponto será nulo, portanto:
Dessa maneira o potencial em um ponto qualquer distanciado de “r”de uma carga pontual será dado por:
rkqrd.E)r(V
r
∫∞
=−= rr
Potencial Elétrico devido a E constante
O potencial elétrico é a quantidade de trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto de referência a um ponto específico contra o campo elétrico. Em geral o ponto de referência é localizado na superfície da terra, (mas pode ser qualquer ponto do campo elétrico designado para isso)
∫−=→
f
ifi ld.EV
rrΔ
090 ==−=
==−=
=−=−=
∫
∫
∫∫
→
→
→
oC
BBC
C
AcA
B
A
B
ABA
cosCBEld.EV
EdcosACEld.EV
EddlEld.EV
rr
rr
rr
Δ
θΔ
Δ
Potencial Elétrico: análise• Supondo a carga q0 se move de um ponto
A para o ponto B através de uma região do espaço descrito por um campo elétrico E.
• Como existe uma força F=qo E que atua sobre a carga, um trabalho WAB deve ser realizado na tarefa de movimentar a carga de A para B.
• Define-se o potencial elétrico como sendo a diferença:
Será essa uma boa definição?•VB - VA é independente de q0
•VB - VA é independente do percurso
A B
q0E
VB − VA ≡ WAB
q0
Potential devido a uma carga pontual
20
20
0
0 0
1 ˆ4
14
1 ( )4
1 1( )4 4
f
i
f
i
f
i
f
i
s
f i s
r
i r
r
i r
ri r
if i
V V E ds
qV r drrqV drrqVr
q qVr r
πε
πε
πε
πε πε
= − ⋅
= − ⋅
= −
= − − |
= + −
∫
∫
∫
r
r
r r
r
0
1( )4
qV rrπε
= If 0
14i
i
qVrπε
≡
Potencial devido a N cargas
O potencial devido a N cargas, éigual à soma do potencial devido a cada carga separadamente.
xr1
r2 r3
q1
q3
q2
⇒ V (r) = Vn (r)n =1
N
∑ = 14πε 0
qn
rnn =1
N
∑
V (r) = −
r E • d
r l
r= ∞
r= r
∫ = −r E n • d
r l
n =1
N
∑r= ∞
r= r
∫
Potencial devido a um dipolo
0
1 ( )4
q qV V Vr rπε+ −
+ −
−= + = +
P
r+ r−
prθ
0
( )4
r rqVr rπε
− +
+ −
−=
Se o ponto de interesse Pestá muito afastado do dipolo teremos:
20
cos( )4
q dVr
θπε
=
20
1 cos( )4
pVr
θπε
=
20
ˆ1 ( )4
p rVrπε⋅=
r
r̂
Superfícies Equipotenciais e linhas de campo
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.
Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.
VqU Δ=Δ 0
Exemplo: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo elétrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.
KWU E Δ−=−=Δ
Superfícies Equipotenciais
Se ΔV é escolhido como sendo o mesmo entre superfíciesadjacentes, o campo elétrico será inversamente proporcional àseparação espacial entre superfícies equipotenciais.
Cálculo do Potencial a partir do Campo Elétrico
f
i
s
f i sV V V E dsΔ = − = − ⋅∫
r
r
r r
f
i
s
f i sV V E ds= − ⋅∫
r
r
r rou
O potencial em um ponto qualquer VP pode ser associado a qualquervalor de referência Viref cujo valor pode, inclusive, ser zero:
∫−=P
refrefP sd.EVV rr
Potencial devido a uma distribuição contínua de carga
0
14
dqdVrπε
=
0
14
dqV dVrπε
= =∫ ∫ dVdAdldq
ρσλ
===
Se uma distribuição de carga q é contínua, escolhe-se um elemento diferencial de carga dq, e determina-se o potencial dV em um ponto P devido à dq,
e então integra-se sobre toda a distribuição de carga
Linha de carga
2122 /P )ax(dxk
rdqkdV
+== λ
]a
)al(lln[k
]aln})al(l[ln{k}])ax(x[ln{k
)ax(dxk
)ax(dxkdVV
Vtomando
/
/
l/
l
/
l
/P
ref
2122
2122
02122
02122
02122
0
++=
−++=++=
+=
+==
=
∫∫ ∫
λ
λλ
λλ
25
Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um anel de raio a e carga q
rdqkdVP =
∫+= dq
axkVP 22
como 22 axr +=
∫∫ +==
22 axdqkdVV PP
22 axkqVP +
=⇒
Anel de carga
Para x>>ax
kqVP =⇒ Monopolo!!!
Disco de cargaConsideremos um elemento de carga dq formado por um anel de raio r e espessura radial dr
22
22
xrdr)r(k
rdqkdV
dr)r(dq
P +==
=πσ
πσ
Para determinar o potencial resultante em P deve-se somar as contribuições de todos os anéis no intervalo {0,a}
)xax(krx
rdrkdVVa
PP
−+=+
== ∫ ∫22
022
2
2
πσ
πσ