graad 12 hoofstuk 5 + 6 trigonometrie dag 1 (hersiening
TRANSCRIPT
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 2
Voorbeeld 1
Bewys dat sin 2π₯
1+cos 2π₯= tan π₯
Oplossing
LK = sin 2π₯
1+cos 2π₯
= 2 sin π₯ cos π₯
1+(cos2 π₯βsin2 π₯)
= 2 sin π₯ cos π₯
1βsin2 π₯+cos2 π₯
= 2 sin π₯ cos π₯
2 cos2 π₯
= sin π₯
cos π₯
= tan π₯ = RK
Voorbeeld 2
Bewys dat
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 3
Voorbeeld
Bewys dat
Huiswerk Oefening 8 Bl 61 nr a) 2 b) 1 c) 1 d) 1, 2
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 4
Dag 2 - Trigonometriese grafieke
Sinus grafiek
Gewone π = π¬π’π§ π grafiek:
Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)
Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)
Draaipunte: (0π ; 0), (90π; 1), (180π; 0), (270π ; β1), (360π; 0)
Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde)
Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
π = ππ¬π’π§ π
As daar βn getal voor die sin is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as)
Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)
Amplitude = 2 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)
Draaipunte: (0π ; 0), (90π; 2), (180π; 0), (270π ; β2), (360π; 0)
Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde)
Minimum waarde = β2 (kleinste y-waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 5
π = π¬π’π§ ππ
As daar βn getal voor die π₯ is, word die periode beinvloed. (Maw op die π₯-as) Dit beteken daar pas twee sin grafieke in tussen 0π en 360π .
Periode = 360π
2= 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)
Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
π = βπ¬π’π§ π
As daar βn getal voor die sin is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die sin maak dat die grafiek onder begin. Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 6
π = π¬π’π§ π + 1 grafiek:
Hele sin-grafiek skuif een plek op Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0π ; 1), (90π; 2), (180π; 1), (270π ; 0), (360π; 1) Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde) Minimum waarde = 0 (kleinste y-waarde)
π = π¬π’π§(π β πππ) grafiek:
Hele sin-grafiek skuif 30π na regs Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (30π ; 0), (120π; 1), (210π ; 0), (300π; β1), (390π ; 0) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 7
Kosinus grafiek
Gewone π = ππ¨π¬ π grafiek:
Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0π ; 1), (90π; 0), (180π; β1), (270π ; 0), (360π; 1) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
π = πππ¨π¬ π
As daar βn getal voor die cos is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 2 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0π ; 2), (90π; 0), (180π; β2), (270π ; 0), (360π; 2) Maksimum waarde = 2 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β2 (kleinste y-waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 8
π = ππ¨π¬ ππ
As daar βn getal voor die π₯ is, word die periode beinvloed. (Maw op die π₯-as) Dit beteken daar pas twee cos grafieke in tussen 0π en 360π .
Periode = 360π
2= 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)
Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
π = βππ¨π¬ π
As daar βn getal voor die cos is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die cos maak dat die grafiek onder begin. Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 9
π = ππ¨π¬ π β 1
Hele cos-grafiek skuif een plek af Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (0π ; 0), (90π; β1), (180π; β2), (270π ; β1), (360π; 0) Maksimum waarde = 0 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β2 (kleinste y-waarde)
π = ππ¨π¬(π β πππ)
Hele cos-grafiek skuif 30π na regs Periode = 360π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = 1 (Van die middel tot die maks waarde of middel tot min waarde) Draaipunte: (30π ; 1), (12; 0), (210π; β1), (300π ; 0), (390π; 1) Maksimum waarde = 1 (grootste y-waarde) Minimum waarde = β1 (kleinste y-waarde)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 10
Tan grafiek
Die tan grafiek lyk anders omdat dit βn βbreukβ funksie is: tan π₯ =sin π₯
cos π₯
Onthou dat jy nie met 0 kan deel nie, so cos π₯ β 0 Dit beteken π₯ β 90π , 270π . As daar π₯-waardes is wat nie geld nie, kry jy asimptote.
Gewone π = πππ§ π grafiek:
Periode = 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum β of minimum β waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (45π; 1)
Asimptote by π₯ = 90π en π₯ = 270π .
π = ππππ§ π
Periode = 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum β of minimum β waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (πππ; π)
Asimptote by π₯ = 90π en π₯ = 270π .
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 11
π = πππ§ ππ
As daar βn getal voor die π₯ is, word die periode beinvloed. (Maw op die π₯-as) Dit beteken daar pas dubbel soveel tan grafieke in tussen 0π en 360π.
Periode = 180π
2= 90π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi)
Amplitude = geen. Geen maksimum β of minimum β waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (ππ, ππ; π)
Asimptote by π₯ = 45π, π₯ = 135π , π₯ = 225π
en π₯ = 315π
.
π = βπππ§ π
As daar βn getal voor die tan is, word die amplitude beinvloed. (Maw op die y-as) Die negatief voor die tan maak dat die grafiek onder begin. Periode = 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Die belangrike punt om te onthou: (45π; β1)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 12
π = πππ§ π + 2 grafiek:
Die hele grafiek skuif 2 plekke op Periode = 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum β of minimum β waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (45π; 3)
Asimptote by π₯ = 90π en π₯ = 270π .
π = πππ§(π β πππ) grafiek:
Hele tan-grafiek skuif 30π na regs Periode = 180π (Hoeveel grade dit neem om een grafiek te voltooi) Amplitude = geen. Geen maksimum β of minimum β waarde nie. Die belangrike punt om te onthou: (75π; 1)
Asimptote by π₯ = 120π en π₯ = 300π .
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 15
Voorbeeld Bepaal die maksimum en minimum waardes van:
a. 2 sin π + 1 = 0
b. 1
3 cos2π+2 sin2 π= 0
Oplossing
a. 2 sin π + 1 = 0
Maksimum = 3 Minimum = -1
b. 1
3 cos2π+2 sin2 π= 0
1
cos2 π + 2 cos2 π + 2 sin2 π= 0
1
cos2 π + 2= 0
cos2 π se maksimum is 1 en minimum is 0 Die grafiek word twee eenhede opgeskuif, m.a.w. cos2 π + 2 se maksimum is 3 en minimum is 2
1
cos2π+2= 0 se maksimum is
1
2 en die minimum is
1
3
Huiswerk
Oefening 12 Bl 73 nr b) 1, 2, 4, 5, 6, 7 ; c ; d) 2,4,6,8,10,12 e) 9,10
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 19
Dag 3 - Trigonometriese 3D~probleme
Probleme in drie dimensies (Twee vlakke)
Voorbeeld1 βn Toring AB staan in βn horisontale vlak BCD. Vanaf A is die dieptehoek na C 30,70. As BD = 70m; CD = 52m en π΅οΏ½ΜοΏ½πΆ = 44,80 , bereken die hoogte van die toring.
Opmerking AB, die hoogte van die toring, is βn sy van βn driehoek waarvan al drie sye onbekend is. Ons moet eers die lengte van die sy bepaal wat gemeenskaplik is aan βABC (wat die verlangde hoogte bevat) en βCBD, βn horisontale driehoek wat voldoende inligting bevat om CB te kan bepaal.
Oplossing
In βCBD, n.a.v die cos-reΓ«l: CB2 = 702 + 522 β 2(70)(52) cos 44,80 =2 438,3... β΄ πΆπ΅ = 49,3
In βABC: π΄π΅
πΆπ΅= tan 30,7π
β΄ π΄π΅ = (49,3 β¦ )tan 30,7π
β΄ π΄π΅ = 29,3 β¦. β΄ Die hoogte van die toring is 29,3m. (Korrek tot 1 desimaal)
Die oppervlakte van βABC = 1
2ππ sin πΆ
(i) a2 = b2 + c2 β 2bc cos A (ii) b2 = a2 + c2 β 2ac cos B (iii) c2 = a2 + b2 β 2ab cos C
π
sin π΄=
π
sin π΅=
π
sin πΆ
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 20
Voorbeeld2 βn Seun staan by βn punt A en merk op dat die hoogtehoek na die bopunt van βn kerktoring x is en dat die
kerk in βn rigting N ππ W vanaf A is. Hy loop k meter reg oos en kom dan agter dat die kerk N πΌπ W van
hom af is. Toon aan dat die hoogte van die kerktoring cosβ tan π₯
sin(πΌβπ) meter bokant die grond is.
Oplossing
Die twee waarnemingspunte en die kerk se fondament is in dieselfde horisontale vlak. Die gronplan lyk soos in die skets:
οΏ½ΜοΏ½1 = 90π
β΄ π»οΏ½ΜοΏ½π΅ = 90π + π
οΏ½ΜοΏ½1 = 90π β πΌ β΄ π» = 180π β (90π + π + 90π β πΌ)
= 180π β (180π + π β πΌ) = 180π β 180π β π + πΌ = πΌ β π
In βABH, n.a.v die sin-reΓ«l: π΄π»
sin(90π β πΌ)=
π
sin(πΌ β π)
β΄ π΄π» = π cos πΌ
sin(πΌ β π)
As die kerktoring ingevoeg word lyk die figuur so:
In βAHC:
πΆπ»
π΄π»= tan π₯
β΄ πΆπ» = AH tan π₯
β΄ πΆπ» = π tan π₯ cos πΌ
sin(πΌβπ)
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 21
Wenke vir die oplos van probleme wat driehoeke in meer as een vlak behels:
Dit gebeur dikwels dat die hoogte of lengte wat bepaal moet word, in βn driehoek is waar onvoldoende inligting gegee is. Dis gewoonlik moontlik om die lengte van βn sy te bereken wat gemeenskaplik is in hierdie driehoek en βn ander driehoek waarin genoeg inligting gegee is. Ons begin dan om hierdie gemeenskaplike sy se lengte te bepaal β dit is ook dikwels die lyn wat die twee vlakke verdeel.
As kompasrigting en hoogte- of dieptehoeke gegee word, trek heel eerste βn grondplan. In reghoekige driehoek behoort trigonometriese verhoudings (of die sin-reΓ«l) gebruik te word.
As βn driehoek nie reghoekig is nie, gebruik die cos-reΓ«l as twee sye en die ingeslote hoek of die drie sye gegee is β so nie, gebruik die sin-reΓ«l.
Huiswerk
Oefening 1 Bl 86 nr a, c, d
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 23
Dag 4 - Trigonometriese 3D~probleme
Toepassing van identiteite van saamgestelde hoeke in een of twee vlakke Voorbeeld 1
Bewys : Oppervlakte van βABC = π2 sin π΅ sin πΆ
2 sin π΄
Oplossing
Opp van βABC = 1
2ab sin πΆ ........ (1)
Maar π
sin π΄ =
π
sin π΅
β΄ π = π sin π΅
sin π΄ ........ (2)
Vervang (2) in (1): Opp van βABC = 1
2a (
π sin π΅
sin π΄ ) sin πΆ
= π2 sin π΅ sin πΆ
2 sin π΄
Voorbeeld 2
B, C en D is drie punte in dieselfde horisontale vlak, sodanig dat BD = CD = d en CοΏ½ΜοΏ½D = x. AB is loodreg op die vlak en die hoogtehoek vanaf C na A is y.
a) Bewys: AB = 2dcosx.tany
b) As dit gegee word dat d = β2eenhede, x = 75π en y = 30π, bereken AB, sonder om βn sakrekenaar te gebruik.
Oplossing
a) In βBCD: πΆ1 = π₯ οΏ½ΜοΏ½1 = 180π β 2π₯
π΅πΆ
sin(1800 β 2π₯)=
π
sin π₯
β΄ π΅πΆ = π sin(1800 β 2π₯)
sin π₯
β΄ π΅πΆ = π sin 2π₯
sin π₯
β΄ π΅πΆ = π 2sin π₯ . cos π₯
sin π₯
β΄ π΅πΆ = 2π cos π₯ ....... (1)
Maar βABC is reghoekig, dus is:
tan π¦ = π΄π΅
π΅πΆ
β΄ π΄π΅ = BC tan π¦ ....... (2)
Vervang (1) in (2): AB = 2dcosx.tany
Graad 12 Hoofstuk 5 + 6 Trig
Grey Kollege 24
b) AB = 2β2 cos 75π. tan 300
= 2β2 cos(30π + 45π ). tan 300
= 2β2(tan 300)(cos300 cos 450 β sin 300 sin 45π)
= 2β2 (1
β3) β(
β3
2) (
β2
2) β (
1
2) (
β2
2)β
= 1 β1
β3
= β3β1
β3
Huiswerk
Oefening 2 bl. 89 No. a, c, d, f