Gotische vensters

Simon Pop en Alex FleurenH5E

Wiskunde D: Analytische meetkunde

Inhoudsopgave

Vragen Gotische vensters construeren 3Vragen bissectrices Gotische vensters 6Extra … 8

2

Vragen Gotische vensters construeren

d+e. Construeer nu zelf zo’n Gotische driehoek met een passer. Plaats de figuur in een assenstelsel.

Zie de GeoGebra screenshot hierboven. 1. Maak lijnstuk AB.

2. Construeer de twee cirkels die AB als straal hebben. AB=r. (In dit geval is r=6.)3. ABC (C is het raakpunt van de twee cirkels) is nu je Gotische driehoek.

f. Wat zijn nu de coördinaten van A uitgedrukt in r? En van B?

A=(0|−12 r) B=(0|12 r )

3

g. Bereken de coördinaten van het punt M, uitgedrukt in r. Het middelpunt M van de ingeschreven cirkel ligt even ver van lijnstuk AB als van

boog BC. Ook ligt M even ver van lijnstuk AB als van AC. Zie de GeoGebra screenshots.

Alle punten die even ver van AB als van BC liggen (‘bissectrice’ door B):

d (c ,P )=d (AB ,P ) r−d (A ,P )=d ( AB ,P ) r−√(x−(−12 r))2

+( y−0 )2=√ ( x−x )2+ ( y−0 )2

√(x+ 12 r )2

+( y−0 )2=− y+r Kwadraterengeeft (x+ 12 r )2

+ y2=(− y+r )

x2+rx+ 14r2+ y2= y2−2 yr+r 2 −2 yr=x2+rx−

34r2 y=

−12r∙ x2−1

2x+ 38r Alle punten die

even ver van AB als van AC liggen (‘bissectrice’ door A):

d (d ,P )=d (AB , P ) r−d (B , P )=d ( AB, P ) r−√(x−(12 r))2

+( y−0 )2=√ ( x−x )2+ ( y−0 )2

√(x−12 r)2

+( y−0 )2=− y+r Kwadraterengeeft (x−12 r )2

+ y2=(− y+r )

x2−rx+ 14r2+ y2= y2−2 yr+r2 −2 yr=x2−rx−

34r2 y=

−12r∙ x2+ 1

2x+ 38r

Punt M ligt op het snijpunt van deze twee ‘bissectrices’. M ligt namelijk even ver van AC als van BC als van AB. Stel de formules van de twee ‘bissectrices’ aan elkaar

gelijk:

bissectrice door A=bissectrice door B −12 r∙ x2+ 1

2x+38r=−12r∙ x2−1

2x+ 38r 12x=−1

2x x=0

De x-coördinaat van M is dus x = 0. De y-coördinaat is (x = 0 invullen in een formule van de ‘bissectrice’):

yM=−12 r∙ x2+ 1

2x+ 38r yM=

−12 r∙ (0 )2+ 1

2(0 )+3

8r yM=

38r

De coördinaten van M zijn dus:

M (0|38 r )

4

Hier zie je hoe dit eruit komt te zien in GeoGebra met r = 6. M ligt nu op x = 0 en y = 2,25. De straal van de ingeschreven cirkel is uiteraard ook 2,25.

Vragen bissectrices Gotische vensters

50a. Welke vorm hebben de ‘bissectrices’ van het Gotische venster?De bissectrices door A en B zijn (delen van) parabolen.

De bissectrice door C is een rechte lijn.

b. Geef van elk van de ‘bissectrices’ een vergelijking.Die de screenshots van GeoGebra hierboven. (c en d zijn namen van cirkels.)

Alle punten die even ver van AB als van BC liggen (bissectrice door B):

d (c ,P )=d (AB ,P ) r−d (A ,P )=d ( AB ,P ) r−√(x−(−12 r))2

+( y−0 )2=√ ( x−x )2+ ( y−0 )2

√(x+ 12 r )2

+( y−0 )2=− y+r Kwadraterengeeft (x+ 12 r )2

+ y2=(− y+r )

x2+rx+ 14r2+ y2= y2−2 yr+r 2 −2 yr=x2+rx−

34r2 y=

−12r∙ x2−1

2x+ 38r Alle punten die

even ver van AB als van AC liggen (bissectrice door A):

5

d (d ,P )=d (AB , P ) r−d (B , P )=d ( AB, P ) r−√(x−(12 r))2

+( y−0 )2=√ ( x−x )2+ ( y−0 )2

√(x−12 r)2

+( y−0 )2=− y+r Kwadraterengeeft (x−12 r )2

+ y2=(− y+r )

x2−rx+ 14r2+ y2= y2−2 yr+r2 −2 yr=x2−rx−

34r2 y=

−12r∙ x2+ 1

2x+ 38r

Alle punten die even ver van AC als van BC liggen:d (d ,P )=d (c , P)

r−d (B , P )=r−d (A ,P )

r−√(x−(12 r))2

+( y−0 )2=r−√(x−(−12 r))2

+( y−0 )2

(x−12r )2

+ y2=( x+ 12r )2

+ y2

x2−rx+ 14r2+ y2=x2+rx+ 1

4r2+ y2

−2 xr=0 x=0

c. De ‘bissectrice’ uit A snijdt de lijn AB nogmaals. Waar?De formule van de ‘bissectrice’ door A is:

y=−12r∙ x2+ 1

2x+ 38r

De formule gelijkstellen aan 0 geeft de snijpunten met AB:−12 r∙ x2+ 1

2x+38r=0

D=b2−4ac D=¿ D=1

x=−b±√b2−4ac2a

x=−( 12 )+√1

2 (−12 r

) v x=

−( 12 )−√1

2(−12 r

)

x=−12r v x=

32r

De ‘bissectrice’ snijdt AB dus niet alleen A (0|−12 r) maar ook in (0|32 r). In de

6

GeoGebra screenshot zou dit (0|9 ) zijn en dit klopt.

Extra …

7