güncellenmiş yeni baskı - pegem.net...matematİk Öabt İle İlgİlİ Önemlİ bİlgİler...

2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

ANALİZDİFERANSİYEL DENKLEMLER

Fikret Hemek

ÖABT Lise Matematik Analiz-Diferansiyel Denklemler

ISBN 978-605-318-911-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

5.Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla Bardakçıoğlu

Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLERMATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015–2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

ÖN SÖZ .................................................................................................................................................. III

1. KISIMÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARPARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 5MUTLAK DEĞER FONKSİYONU .......................................................................................................................... 6MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ...................................................................................... 8SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ........................................................................................................................ 10İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................................................................................. 12TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ...................................................................................................... 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ .................................................................................................. 13TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ................................................................................................... 16FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ................................................................................................... 18

LİMİTLİMİT ...................................................................................................................................................................... 27SAĞ – SOL LİMİT................................................................................................................................................... 27GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ........................................................................................................... 29LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER .............................................................................................................................. 30ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ........................................................................................................... 32MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ...................................................................................................... 33SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ..................................................................................................................... 35TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ........................................................................................................... 36BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................ 37TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................... 38∞/∞ BELİRSİZLİĞİ .................................................................................................................................................. 41∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................................................. 420 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................................................... 44ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU .................................................................................................. 45SÜREKLİLİK ........................................................................................................................................................... 46SÜREKLİLİK TEOREMLERİ .................................................................................................................................. 47SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ..................................................................................................................................... 47 Kaldırılabilir Süreksizlik ................................................................................................................................. 47 Sıçrama Süreksizliği ..................................................................................................................................... 47 Sonsuz Süreksizliği ....................................................................................................................................... 48 Balzano Teoremi ........................................................................................................................................... 48DÜZGÜN SÜREKLİLİK .......................................................................................................................................... 49

TÜREVTÜREV ................................................................................................................................................................... 59SAĞ–SOL TÜREV.................................................................................................................................................. 60LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ............................................................................................................... 60TÜREV ALMA KURALLARI.................................................................................................................................... 61YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ................................................................................................................... 76ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ........................................................................................................ 79 Parçalı Fonksiyonların Türevi ....................................................................................................................... 79MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................... 80SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................................. 81TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ............................................................................................................ 81

vi

TÜREVİN UYGULAMALARI................................................................................................................................... 91 L'Hospital Kuralı ............................................................................................................................................ 91ÜSTEL BELİRSİZLİKLER....................................................................................................................................... 94 1∞, 00, ∞0 Belirsizlikleri ................................................................................................................................ 94TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU .............................................................................................................................. 96POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ................................................................................................................................. 97DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ........................................................................................................................ 97MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ............................................................................................................. 98 Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar .............................................................. 101TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ........................................................................................................................ 105 Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ......................................................................................................................... 105ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 110YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ....................................................................................................................... 113 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ............................................................................................ 114TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ .......................................................................................................................... 114 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ........................................................................................... 116TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ .................................................................................... 119ASİMPTOT KAVRAMI ............................................................................................................................................ 124 Düşey Asimptot ............................................................................................................................................. 124FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ............................................................................................................................... 127TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ............................................................................................................................. 128

İNTEGRALBELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................. 147TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ................................................................................................................. 148İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ .......................................................................................................................... 153 Değişken Değiştirme Yöntemi....................................................................................................................... 153ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................................................................ 156

a x2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................ 156

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ................................................................................................. 159TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ............................................................................................ 163 İndirgeme Bağıntıları..................................................................................................................................... 165KISMİ İNTEGRASYON ........................................................................................................................................... 166BELİRLİ İNTEGRAL ............................................................................................................................................... 172 Reimann Kavramları ..................................................................................................................................... 172İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ....................................................................................................... 174 Belirli İntegralin Özellikleri ............................................................................................................................. 174ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ .................................................................................................. 179İNTEGRALDE ALAN .............................................................................................................................................. 181İNTEGRALDE HACİM ............................................................................................................................................ 182 Kabuk Yöntemi.............................................................................................................................................. 188 Dönel Yüzeyin Alanı...................................................................................................................................... 193 Pappus – Guldin Teoremi.............................................................................................................................. 196

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARTANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ............................................................................................................................. 201 Seviye Eğrileri ............................................................................................................................................... 204 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ........................................................................................ 204 Süreklilik........................................................................................................................................................ 207 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) .................................................................................... 207 Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi....................................................................................................... 209

vii

Zincir Kuralı ................................................................................................................................................... 210 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi.............................................................................. 211ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ........................................................................ 212 Yerel Maksimum ........................................................................................................................................... 212 Yerel Minimum .............................................................................................................................................. 212 Kritik Nokta – Eyer Nokta .............................................................................................................................. 212 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ...................................................................................................................... 213 Maksimum–Minumum Problemleri................................................................................................................ 214ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ............................................................................................ 216 Çift Katlı İntegral ........................................................................................................................................... 216 Sınır Değiştirme ............................................................................................................................................ 218 Bölge Değiştirme........................................................................................................................................... 219 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ........................................................................................ 220 İki Katlı İntegralin Uygulamaları .................................................................................................................... 221 Hacim Hesabı ............................................................................................................................................... 224ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ............................................................................................................................. 226 Kütle Hesabı ................................................................................................................................................. 226AĞIRLIK MERKEZİ ................................................................................................................................................ 227ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ...................................................................................................................................... 227

KUTUPSAL KOORDİNATLARKUTUPSAL KOORDİNATLAR ............................................................................................................................... 235KARDİYOİD EĞRİSİ............................................................................................................................................... 237 Gül Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................................................... 243

DİZİLER – SERİLERDİZİ ...................................................................................................................................................................... 253 Sonlu Dizi ...................................................................................................................................................... 253 Sabit Dizi ....................................................................................................................................................... 253EŞİT DİZİLER ......................................................................................................................................................... 254ALT DİZİ ................................................................................................................................................................. 254DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ...................................................................................................................................... 255DİZİLERDE SINIRLILIK .......................................................................................................................................... 256DİZİLERDE MONOTONLUK .................................................................................................................................. 256ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ................................................................................................................. 257 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................................. 257 Geometrik Dizi .............................................................................................................................................. 258DİZİLERDE LİMİT ................................................................................................................................................... 259 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler .................................................................................................................... 261 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları .............................................. 262SERİLER ................................................................................................................................................................ 263 Geometrik Seri .............................................................................................................................................. 265 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ............................................................................................... 268 Genel Terim Testi .......................................................................................................................................... 268 İntegral Testi.................................................................................................................................................. 268 p – Testi......................................................................................................................................................... 269 Karşılaştırma Testi ........................................................................................................................................ 269 Karşılaştırma Testinin Limit Formu................................................................................................................ 269 Cauchy – Kök Testi ....................................................................................................................................... 270 D'alambert Oran Testi ................................................................................................................................... 271 Alterne Seriler ............................................................................................................................................... 272

viii

Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ....................................................................................................... 272KUVVET SERİLERİ ................................................................................................................................................ 273 Yakınsaklık Yarıçapı ...................................................................................................................................... 273 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ................................................................................ 274 Taylor ve Maclaurin Serileri ........................................................................................................................... 275 Önemli Maclaurin Seri Açılımları................................................................................................................... 276ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 291

2. KISIMDİFERANSİYEL DENKLEMLERDİFERANSİYEL DENKLEMLER ............................................................................................................................ 403 Giriş ............................................................................................................................................................... 403 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................................... 404 Genel ve Özel Çözümler ............................................................................................................................... 405 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ............................................................................ 407

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ................................................................................................ 411DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER .......................................................... 413HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................................................................... 414 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................... 414HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 415TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER .................................................................................................................... 417İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ................................................ 419LİNEER DENKLEMLER ......................................................................................................................................... 421 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi............................................................................................ 421BERNOULLİ DENKLEMLERİ ................................................................................................................................. 423RİCCATİ DENKLEMİ .............................................................................................................................................. 424

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ........................................................ 431 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler .................................................................................... 431 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ........................................................................................................... 431 x'e Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................. 432 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................ 432CLAİRAUT DENKLEMİ .......................................................................................................................................... 433LAGRANGE DENKLEMİ ........................................................................................................................................ 434İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 435

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ..................................................................... 439 Mertebe İndirgeme ........................................................................................................................................ 440 Sabit Katsayılı Denklemler ............................................................................................................................ 441 Farklı Reel Kökler ......................................................................................................................................... 441 Katlı Reel Kökler ........................................................................................................................................... 442 Kompleks Kök ............................................................................................................................................... 442 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ....................................................................... 445 Belirsiz Katsayılar Yöntemi ........................................................................................................................... 445PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ............................................................................................................. 449CAUCHY – EULER DENKLEMİ ............................................................................................................................. 451ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 457

1. KISIM

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

5

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta-nımlı fonksiyon denir.

( )

( ),

( ),

( ),

f x

f x x a

f x a x b

f x b x

<

1

2

3

1

#

#

=

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.

( ),

,f x

x x

x x2

3 1

1

<2

$- =

- -

-* ise f(x)’in grafiğini çizelim.

Çözüm

f(x - 2) fonksiyonunda x → x + 2 için;

( ),

( ) ,;f x

x x

x xolup

1 1

2 1

<2

$=

- -

+ -*

y

x olur.

4

-1

-1-2

-2

y x 1= -y x 2 2= +^ h

1

Uyarı !, ,y f x k k y f x02= + =^ ^h h in y ekseninde k birim pozitif yönde öte-lenmişidir.

, ,y f x k k y f x02= - =^ ^h h in y ekseninde k birim negatif yönde öte-lenmişidir.

,y f x k k ise y f x02= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sola ötelenmi-şidir.

,y f x k k ise y f x01= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi-şidir.

,y f x y f x=- =^ ^h h x eksenine göre simetriğidir.

,y f x y f x= - =^ ^h h in y eksenine göre simetriğidir.

x

y

y=f(x)

3

2

-1

y f x= ^ h in grafiği verilmiştir. Buna göre y f x 1=- +^ h

fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

;y f x f x1= +^ ^h h in x ekseninde 1 birim sola ötelenmi-şidir.

x

x

y

y

2

2

-2

2

-2

-2

-1

-1

y=-f(x+1)

y=f(x+1)

elde edilir.

Buradan

6

Tek - Çift Fonksiyonlar

f A B"| için x A iken x A! !- olsun.

• f x f x- =^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.

• f x f x- =-^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.

Uyarı !Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.

Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

NOTHem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö-lümü çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo-runda değildir.

tanf xx

x x

1 2 3

2$

=

-

^^

hh

fonksiyonu için;

tan tanf xx

x x

x

x x f x1 12 3

2

2 3

2$ $ $

- =- -

- -=

-

-=-^

^

_ ^

^

^^h

h

h i

h

hh oldu-

ğundan f x^ h tektir.

cosg xx

x x

1 2

3 4$

=+

^ h fonksiyonu için;

cos cosg xx

x x

x

x x g x1 12

3 4

2

3 4$ $

- =+ -

- -=

+=^

^

^

^^h

h

h

hh oldu-

ğundan g x^ h çifttir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU;;;

f xf x f x

f xf x f x

00 0

0

2

1

= =

-

^

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

h

Z

[

\

]]]]]]]]]]

şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyo-nu adı verilir.

NOTMutlak değer fonksiyonlarının gra-fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi-lir ve daha sonra x ekseninin altın-da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.

f x x2 3= -^ h fonksiyonunun grafiğini çizelim:

ç .y x i in x y ve y x olur2 3 0 3 023

& &= - = =- = =

x

y

y

x

y=2x-3

-3

3

23

23

f x x2 3= -^ h

Bu grafikten

grafiği elde edilir.

7

-41

y=f(x)

y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y f x=- ^ h grafiğini çizelim.

Çözüm

,y f x y f x f x&= =^ ^ ^h h h in mutlak değer fonksiyonu olup y f x=- ^ h fonksiyonunun grafiği ise y f x= ^ h in x eksenine göre simetriğidir.

-4

-4

1

1

Buradan

grafiği elde edilir.

y f x= ^ h

y f x=- ^ h

●

●

●

●

y x= bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

.y x y x ve y x tir&= = =-

y=-x

y=xy

x

x y 24$ = bağıntısının grafiğinde koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulunuz.

x y 24$ =

şeklinde bir grafiği vardır.

Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır.

24 ün pozitif bölen sayısı; 24 2 3 4 2 83&$ $= = oldu-

ğundan koordinatları tam sayı olan 8 4 32$ = farklı nok-ta vardır.

2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

SOYUT CEBİRLİNEER CEBİR

KomisyonÖABT Lise Matematik

Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-911-4Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.





5. Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel





İletişim




İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlan-mıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.


Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı

Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel

olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.



a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri


% 28

% 18

% 18

% 16


Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu

bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-

leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve Özellikleri ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.1. Rakam ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.2. Sayma Sayıları ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.3. Doğal Sayılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.4. Tam Sayılar ....................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................3

1.5. Aralarında Asallık ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.6. Rasyonel Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.7. İrrasyonel Sayılar .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.8. Reel Sayılar ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.9. Tek ve Çift Sayılar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3

1.10. Ardışık Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4

1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ................................................................................................................................................................................................................................................... 4

1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4

1.13. En Büyük Ortak Bölen ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

1.14. En Küçük Ortak Kat ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7

2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler .......................................................................................................................................................................................................................................................... 8

3. Euler {-Fonksiyonu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................11

{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri .................................................................................................................................................................................................................................................................................................11

4. Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13

Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................13

5. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri ........................................................................................................................................................................................................................................17

İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................18

6. İkinci Dereceden Kalanlar...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19

İkinci Dereceden Kongüranslar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................19

7. Gruplar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................28

7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................28

7.2. Mertebe ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30

8. Alt Gruplar ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................31

8.1. Normal Alt Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................33

9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar .....................................................................................................................................................................................................................................................................34

10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm .................................................................................................................................................................................................................................................................................35

10.1. Homomorfizma .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35

10.2. İzomorfizma......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................35

11. Bölüm Grupları ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38

12. Devirli Gruplar .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39

12.1. Devirli Grupların Alt Grupları .............................................................................................................................................................................................................................................................................................40

12.2. Üreteç Sayısı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41

13. Çarpım Grupları .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................41

İzomorf olmayan Abelyan Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................42

vi

14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................42

14.1. Alt Halka ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................44

14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................44

14.3. Bölüm Halkası .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

14.4. İdeal ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

14.5. Nilpotent Eleman .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

15. Polinom Halkası ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

16. Cisim ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.1. Cebirsel Sayı .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.2. Transandant Sayı ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

16.3. Sayılabilir Küme ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46

Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49

Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................51

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................53

Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59

Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................61

LİNEER CEBİR

1. Vektör Uzayları ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

1.1. Tanım ve Aksiyomlar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

2. Alt Vektör Uzayı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık .......................................................................................................................................................................................................................................................................72

3. İç Çarpım Uzayları ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74

3.1. İç Çarpım ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................74

3.2. Norm ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................76

4. Ortonormal Baz ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................82

5. Direkt Toplam Uzayı................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................87

7. Lineer Dönüşümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89

8. Matrisler ve Matris Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................96

8.1. Matris Toplamı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.2. Skaler ile Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.3. Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

8.4. Bir Matrisin Transpozu .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99

8.5. Kare Matrisler .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100

8.6. Bir Matrisin Tersi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................100

9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) ...........................................................................................................................................................................................................................................................................110

10. Determinantlar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................111

10.1 Sarrus Kuralı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................112

10.2 Minör ve Kofaktör ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

vii

11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................121

11.1 n-Lineer Fonksiyonlar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................121

12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ..................................................................................................................................................................................................................................................................121

Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı..........................................................................................................................................................................................................................................................................122

13. Matrislerin Polinomu ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................123

13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler .........................................................................................................................................................................................................................123

13.2. Karakteristik Uzay .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125

13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem .................................................................................................................................................................................................................................125

Çözümlü Test 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................128

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Çözümlü Test 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................135

Çözümlü Test 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................137

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................140

Çözümlü Test 4 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................142

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................144

Çözümlü Test 5 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................146

Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148

SOYUT CEBİR

3

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve Özellikleri1.1 Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.

1.2 Sayma Sayıları{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayıları kümesidir.

1.3 Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N+ pozitif doğal sayılar kü-mesini ifade eder.

1.4 Tam Sayılar Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z–), pozitif tam sayılar (Z+) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ dır.1.5 Aralarında Asallıkp ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı-larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.

1.6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.

1.7 İrrasyonel Sayılar

I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel ol-mayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.

1.8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.

x, y, z ∈ Z olmak üzere,

x . y = 12, y . z = 4 ve x . z = 3eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top-lamı en küçük toplamından kaç fazladır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

.

.. .y z

x yzx x z bulunur4

12 3 3& &= = =

Bu ifade x . z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa3z2 = 3 ⇒ z = "1 bulunur.z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.8 – (–8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.

a, b, c ∈ N olmak üzere

3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle-ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.a + b + c = 4 olur.

a ve b doğal sayılardır.

56 . a = b3

eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?

Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 23.756.a = 23.7.a = b3 tür.Buradan a = 72 seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur.

1.9 Tek ve Çift Sayılar2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).

1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler

1) T " T = Ç 5) Ç . Ç = Ç

2) Ç " Ç = Ç 6) T . T = T

3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tn = T

4) T . Ç = Ç 8) n ∈ N+ olmak üzere Çn = Ç'dir.

Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlana-maz. Örneğin 40 çift sayıdır.

, , T240

4040

6040Ç= = sayısı ne tek ne de çifttir.

4

1.10 Ardışık Sayılarn ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.

Kural:n ∈ Z+ için

....

nn n

1 2 21

+ + + =+` j

dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına

ardışık tek sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.

Kural:Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide

Terim Sayısı = + 1Son Terim – İlk Terim

Artış miktarı

ve

Terim Toplamı = Terim Sayısı . (Son terim + İlk terim)

2dir.

1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler1) (–) . (–) = (+) 5) (–) / (–) = (+)

2) (–) . (+) = (–) 6) (–) / (+) = (–)

3) (+) . (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+)

4) (+) . (–) = (–) 8) (+) / (–) = (–)

9) n ∈ N olmak üzere (–)2n = (+) dır.

10) n ∈ N olmak üzere (–)2n–1 = (–) dir.

11) n ∈ N olmak üzere (+)n = (+) dır.

1.12 Tam Sayılarda Bölünebilmem, n, r ∈ Z olmak üzere m . n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m | r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir.

1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bö-lünür.

1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.

1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basa-mağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama-ğı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları al-tına sağdan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.

1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basa-mağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.

1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top-lamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basa-mağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.

1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.

NOTVerilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1'dir.

Hangi n doğal sayıları için (n + 1)|(n2 + 1) dir.

n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için(n + 1)|(n2 – 1) dir.(n + 1)|(n2 + 1) ve (n + 1)|(n2 – 1) olduğundann + 1|[(n2 + 1) – (n2 – 1)] ⇒ n + 1|2 olur. n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.

Kural:[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı

nx& 0 dir.

Kural:a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.

n < m için a

a

2 1

2 1

n

m

+

− dir.

Kural:n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.n – 1|nk – 1 dir.

5

Kural:n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun.(1 + 2 + ... + n)|(1k + 2k + ... + nk) dır.

Kural:a, b ∈ Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2a – 1 sayısı 2b – 1 ile bölündüğünde kalan 2r – 1'dir.

{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?

13600 46=' 1 adettir.

1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür?

[1, 1000] kümesinde

171000 58=) 3 ve 0 ∈ N için 17|0 olup toplam 58 + 1 = 59

adet sayı 17 ile tam bölünür.

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölüne-bilmesi için n en az kaç olmalıdır?

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) = (12 + 1) + (22 + 2) + ... + (n2 + n) = (12 + 22 + ... + n2) + (1 + 2 + ... + n)

.n n n n n

n n n6

1 2 12

1

31 2

=+ +

++

=+ +

` ` `

` `

j j j

j j

sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çar-panlarından en az biri 41'e bölünmelidir.n + 2 = 41 ⇒ n = 39 olmalıdır.

Teorem:m, n ve r tam sayı olmak üzere,

i) ∀m ∈ Z iken al0 dır.

ii) ∀m ∈ Z için ±1lm ve ±mlm dir.

iii) ml±1 ⇔ m = "1 dir.

iv) mln ise ±ml±n dir.

v) mln ve nlr ise mlr dir.

vi) mln ve nlm ise m = ±n dir.

vii) c ≠ 0 olmak üzere cmlcn ise mln dir.

viii) ve ise ..

mn

mn

m mn n

11

22

1 21 2

dir.

ix) mln ve mlr ise mln+r dir.

Çıkmış Sorular

k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğü-nü ifade eder.

Buna göre a, b ve c tam sayıları için,

I. c a b$ ise c a ve c b 'dir.

II. a b c$ ise a c ve b c 'dir.

III. a b ve b c ise a c 'dir.

yargılarından hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III

D) II ve III E) Yalnız III

c sayısı a⋅b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir, 6 2 3$ tür ama 6 2 ve 6 3 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur.

Cevap D

Tanım:(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.

Tanım: (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combi-ned) sayı denir.

Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.

Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır.

Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

GEOMETRİİSTATİSTİK ve OLASILIK

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-911-4







Proje-Yayın: Çağla BardakcıoğluDizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık

Kapak Tasarımı: Pegem Akademi




İletişim




İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Ola-sılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamak-tadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.


Başarılar...


MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı

Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel

olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.



a. Analiz

b. Cebir

c. Geometri


% 28

% 18

% 18

% 16


Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu

bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik-

leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

UZAYDA VEKTÖRLER ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 5

İki Vektörün Paralelliği................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Vektörlerin Lineer Bileşimi ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

Standart Birim Vektörleri ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 6

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6

İki Vektör Arasındaki Açı.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7

Dik İzdüşüm Vektörü ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................7

Vektörel (Çapraz) Çarpım ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................8

Paralelkenarın Alanı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................9

Paralelyüzün Hacmi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................13

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................15

UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ

UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ .......................................................................................................................................................................................................................................................................17

İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ..................................................................................................................................................................................................................................................................................19

Düzlem ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................20

Çözümlü Sorular - I .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................22

Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................25

Çözümlü Sorular - II ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................25

Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ..................................................................................................................................28

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................29

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................30

İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...................................................................................................................................................................................34

Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı .........................................................................................................................................................................................................................................................................34

İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................34

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34

Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ......................................................................................................................................................................................................................................................................................36

Uzayda Simetri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................37

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38

Çözümlü Test - 1 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................43

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45

Çözümlü Test - 2 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................47

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................49

vi

YÜZEYLER

E3 DE YÜZEY .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

KÜRE ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55

Küre Olma Koşulları ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56

Kürenin Parametrik Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

Kürenin Teğet Düzlemi ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

SİLİNDİR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57

KONİ .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................59

Bazı Kuadratik Yüzeyler ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63

Çözümlü Sorular ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................63

Silindirin İsimlendirilmesi ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................64

Dönel Yüzeyler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................66

SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

KÜRESEL KOORDİNATLAR .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................68

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................69

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................71

KONİKLER

TANIM ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................75

Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...............................................................................................................................................................................................................................................75

ELİPS - HİPERBOL - PARABOL

ELİPS .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79

Elipsin Denklemi ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................79

Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri......................................................................................................................................................................................................................................................................................80

Elipsin Parametrik Denklemi...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................81

HİPERBOL ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83

Hiperbolün Denklemi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................83

PARABOL ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

Parabolün Denklemi ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................86

Çözümlü Test ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................89

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................91

Karma Test - 1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................95

Karma Test - 2 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................97

Çözümler .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................99

vii

2. BÖLÜM

İSTATİSTİK VE OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Değişken ve Türleri .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Fonksiyon ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................105

Evren ve Örneklem..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107

İstatistik ve Parametre..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................108

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................110

VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ

VERİNİN DÜZENLENMESİ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113

Grafik Çizme ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................113

Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri .........................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Mod (Tepedeğer) ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Medyan (Ortanca) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................114

Aritmetik Ortalama ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................115

Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması .....................................................................................................................................................................................................................................116

Ağırlıklı Ortalama ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................117

DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Ranj (Açıklık) ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Mutlak Kayma .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Varyans ve Standart Kayma ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................118

Bağıl Değişkenlik Katsayısı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ................................................................................................................................................................................................................................................................120

z Puanı ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

T Puanı ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................120

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................122

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................125

viii

OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................129

Olasılık ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................130

Birleşik Olayların Olasılığı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ..................................................................................................................................................................................................................................................................................131

Olaylar Arasındaki Bağıntılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................132

Bağımsız Olaylar ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133

TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...............................................................................................................................................................136

Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...............................................................................................................................................................................................................................................................................142

Varyansın Hesabı ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................145

Momentler ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................148

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................157

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................160

OLASILIK DAĞILIMLARI

OLASILIK .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165

Binom Olasılık Dağılımı .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................165

Poisson Olasılık Dağılımı..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................167

Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................168

Normal Olasılık Dağılımı ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................175

Standart Normal Olasılık Dağılımı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................176

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................178

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................181

Çözümlü Deneme - 1 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................184

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................187

Çözümlü Deneme - 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................190

Çözümler .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................193

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

5

UZAYDA VEKTÖRLER

R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.

z

y

P(a, b, c)

0

x

, ,a b cOP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös-terilir.

, , .a b c a b c dirOP OP P 2 2 2&= = = + +` j

AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.

A(x1, y

1, z

1) ve B(x

2, y

2, z

2) ise;

, ,x x y y z z

x x y y z zOP

AB

AB

2 1 2 1 2 1

2 12

2 12

2 12

= − − −

= = − + − + −

`

` ` `

j

j j j

Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.

z

y0

x

A(x1, y1,z1) B(x2, y2,z2)

P(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Çıkmış Sorular

Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.

AB AC= olduğuna göre m kaçtır?

A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27

, , , ,mAB AC1 3 7 1 0 4= − − = − −` `j j

.

.

d rm

mm olur

AB AC AB AC 01 1 3 0 7 4 0

27 027

ı& $

$

= =

− + − + − − =+ ==−

` ` ` `j j j j

Cevap A

ÖrnekA(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.

AB 26= br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.

, ,a

a

a

aa a veya a

AB

AB

1 1 4

26 1 1 4 26

1 17 26

1 91 3 2 4

2 2 2

2

2

&

&

&

& &

= + −

= + + + − =

+ + =

+ =+ = = =−

`

`

`

` `

j

j

j

j j

Çıkmış Sorular

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör-

leri için u v 8$ = , u v u v 16+ + − = olduğuna göre

u v+ değeri kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

.

u v u v u v

u v u v u v

u u v u v olurv

2

2

4

2 2

2 2

2

2

2

2&

$ $

$ $

$ $

+ = + +

− = + +

=+ − −

Buna göre;

u v u v u v u v 4 816

$ $+ + − + − − =` `j j1 2 3444444444 444444444

u v u vu v u v

u v

216

+ − − =

+ + + + = +

+ .olur9=Cevap B

6

İki Vektörün Paralelliği

, , 0, ,a b aR k b 003d ! !! olmak üzere,

. //a b a bk += dir.

, , , ,a x y z ve b x y z olmak zereü1 1 1 2 2 2= =` `j j

//a bxx

yy

zz

2

1

2

1

2

1+ = = dir.

Örnek

A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile

, ,v x y x y2 1= − +` j vektörü veriliyor.

// vAB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.

Çözüm

2

, ,

, ,

//

, , .

v

v

x yx y

x y x y

x y x y

x y olur

AB

AB

2 1

4 2 2

2 1

4 22

21

1 1

&

&− =

+ =−

= −

= − +

−=

−

+=

= −

`

`

` `

j

j

j j4

Vektörlerin Lineer Bileşimi

, , , ...,, , , ..., R ve k k k k RV V V Vn n1 2 33

1 2 3d d

olmak üzere,

. . .. ...u k k kk V V VV n n2 2 3 311= + + + + vektörüne,

, , , ...,V V V Vn1 2 3 vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

, , , ...IR de V V V Vn3

1 2 3 vektörleri verilsin.

. . .. ...c c cc V V V V 0n n1 2 2 3 31 + + + + = denklemi yalnız

c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer

bağımsız; c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 değerlerinden en az

biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.

Uyarı, , ...V V V V1 2 n= & 0, IR3 uzayının bir alt kü-

mesi olmak üzere , , ...det AV V Vn1 2 =b l

olsun.

I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı,

II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.

Standart Birim Vektörleri

z

y0

x

e3 = 0,0,1` j

e1 = 1,0,0` j

e2 = 0,1,0` j

R3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.

, ,

, ,

, ,

e i

e j

e k

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

2

3

=

= =

= =

= `

`

`

j

j

j

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı

Her , RA B 3! için;

, , , ,x y z ve x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j olmak üzere,

, x x y y z zA B A B< > 1 2 1 2 1 2$ $ $$ = = + +

şeklinde tanımlanan işleme, "R3 de Öklid iç çarpım işle-mi" denir.

Özellikleri

1. ,A A A A A A2

$ $= =

2. A B B A$ $= (değişme özelliği)

3. A B C A B A C$ $ $+ = +` j (çarpmanın toplama üzeri-ne dağılma özelliği)

7

Örnek

, , , ,a ve aA B3 2 2 10= − =` `j j vektörleri veriliyor.

A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu-lunuz.

Çözüm

..a aaa

A B 53 2 2 10 5

5 255

=

+ − =

=

=

İki Vektör Arasındaki Açı

, RA B 3! verilsin. veA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere,

cosA B A B$ $ $ a= olur.

A B= ise a = 90° için cosa = 0 olduğundan

.A B A B 0+= = olur.

Örnek

, , , ,veA B1 2 3 1 1 2= − = −` `j j vektörleri arasındaki

açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm

. . .

. .

.

cos

cos

cos

A B A B

1 2 6 1 2 3 1 1 2

14 63

2 213

2 2 2 2 2 2i

i

i

=

− − + = − + + + − +

= =

` `j j

Örnek

, , , ,veA B1 1 2 3 1 3 1 4= = − − −` `j j vektörleri ara-sındaki açının cosinüsünü bulunuz.Çözüm

.

.

.

( ) ( ) ( )

..

cos

cos

cos

olur

A BA B

A B

A

B

3 1 3 1 8 6

1 1 2 16

3 1 3 1 4

4 2 3 4 2 3 1624 2 6

6 2 66

21

2 2 2

2 2 2

i

i

i

=

= − − − + =

= + + =

= − + − − +

= − + + +

= =

=

=

` `j j

Örnek

ileA B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,

veA B2 2 3= = olduğuna göre,

. 3 2A B A B+ −` `j j iç çarpımının sonucunu bulunuz.

Çözüm

. . . . . . . .

. . .

. . . .

.

cos

olur

A B A B A A A B A B B B

A A B B

3 2 3 3 2 2

3 2

3 8 2 2 3 45 2 9

24 6 1812

°

2 2

+ − = + − −

= + −

= + −

= + −

=

` `j j

Dik İzdüşüm Vektörü

0 Hu

A

B

, , , , ,x y z x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j vektörleri verilsin.

A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü

uOH = olsun. ileA B arasındaki açı a olmak üzere;

..

.cos cosdir u

A B

A

A

Ba a= = yazılırsa

.

. .u uA A B

A

B

A BB&= = dik izdüşüm vektörünün

uzunluğudur.

.u uB

B= olacağından

. .uB

A B B2= dik izdüşüm vektörünü verir.

2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

ALAN EĞİTİMİ

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-318-911-4







Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu

Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel


Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde

Yenimahalle/ANKARATel : 0312 394 55 91


İletişim




İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.


Başarılar...


MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.


1) Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Analiz

b) Cebir

c) Geometri

d) Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

2) Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014-2015-2016-2017 ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?Matematik Nedir?......................................................................................................................................................3

Mutlakçılar ............................................................................................................................................................3Yarı Deneyselciler .................................................................................................................................................4Teorik-Uygulamalı Matematik ...............................................................................................................................4Klasik-Modern Matematik .....................................................................................................................................4Akademik-Okul Matematiği...................................................................................................................................4Çözümlü Test ........................................................................................................................................................7Çözümler ..............................................................................................................................................................9

2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETMEMatematiği Öğrenme ve Öğretme ........................................................................................................................13

Bilişsel Öğrenme Alanı .......................................................................................................................................13Duyuşsal Öğrenme Alanı....................................................................................................................................13Devinişsel Öğrenme Alanı ..................................................................................................................................13Davranışçı Yaklaşım ...........................................................................................................................................13

Klasik Koşullanma ........................................................................................................................................13Edimsel Koşullanma .....................................................................................................................................14

Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım .........................................................................................................................14Fonksiyonalist Yaklaşım .....................................................................................................................................14Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım ................................................................................................................................14Yapılandırmacı Yaklaşım ....................................................................................................................................14Buluş Yoluyla Öğrenme ......................................................................................................................................15Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) ......................................................................................................................16Bilgi-İşlem Yaklaşımı ..........................................................................................................................................16Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) ........................................................................................................16Gerçekçi Matematik Eğitimi ................................................................................................................................16Çoklu Zekâ Kuramı .............................................................................................................................................17Öğrenme Stilleri ..................................................................................................................................................17Matematik Öğretimi Yöntemleri ..........................................................................................................................17

Düz Anlatım Yöntemi ....................................................................................................................................17Tanımlar Yardımıyla Öğretim ........................................................................................................................17Buluş Yoluyla Öğretim ..................................................................................................................................17Analizle Öğretim ...........................................................................................................................................18Senaryo ile Öğretim ......................................................................................................................................18Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ........................................................................................................18Kurallar Yardımıyla Öğretim .........................................................................................................................18Deneysel Etkinliklerle Öğretim......................................................................................................................18Oyunlarla Öğretim ........................................................................................................................................18

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................19Çözümler ............................................................................................................................................................21

3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMIOrtaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ................................................................................................25

2006 Programın Özellikleri .................................................................................................................................254+4+4 Eğitim Sistemi..........................................................................................................................................25Öğretim Programının Genel Amaçları ................................................................................................................26Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı ..........................................................................................27Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı .................................................................................27

vi

Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler .......................................................................................................28Öğretim Programında Değerler Eğitimi ..............................................................................................................29Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar .....................................................................29Öğretim Programının Yapısı ...............................................................................................................................29Çözümlü Test ......................................................................................................................................................35Çözümler ............................................................................................................................................................37

4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZMEProblem Çözme .....................................................................................................................................................41

Problem Nedir?...................................................................................................................................................41Problem Çözme ..................................................................................................................................................41

Problemi Anlama ..........................................................................................................................................41Çözüm İçin Plan Yapma ...............................................................................................................................41Planın Uygulanması .....................................................................................................................................41Değerlendirme ..............................................................................................................................................41

Problem Çözme Öğretimi ...................................................................................................................................43Sistematik Liste Yapma ................................................................................................................................43Tahmin ve Kontrol .........................................................................................................................................43Diyagram Çizme ...........................................................................................................................................43Bağıntı Bulma ...............................................................................................................................................44Değişken Kullanma.......................................................................................................................................44Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma ...........................................................................................44Geriye Doğru Çalışma ..................................................................................................................................44Eleme ...........................................................................................................................................................44Tablo Yapma .................................................................................................................................................44Muhakeme etme ...........................................................................................................................................44

Problem Kurma...................................................................................................................................................45Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma ..............................................................................................45Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma ..................................................................................................45Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ......................................................................................................46

Matematik Eğitiminde Problem Çözme ..............................................................................................................46Problem Çözme İçin Öğretim .......................................................................................................................46Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ................................................................................................................46Problem Çözme ile Öğretim .........................................................................................................................46

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................47Çözümler ............................................................................................................................................................49

5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi .....................................................................................................................................................53

Temel Kavramların Öğretimi ...............................................................................................................................53Önerme Kavramı ..........................................................................................................................................53Önermenin Olumsuzu (Değili) ......................................................................................................................54

Bileşik Önermeler ...............................................................................................................................................54Veya Bağlacı (∨) (Dahili Birleşim) .................................................................................................................55Ve Bağlacı (∧) ...............................................................................................................................................55Koşullu Önerme (⇒) .....................................................................................................................................55İki Yönlü Koşullu Önerme (⇔) .....................................................................................................................55

Bileşik Önermelerin Özellikleri ............................................................................................................................56Tek Kuvvet Özelliği .......................................................................................................................................56Değişme Özelliği...........................................................................................................................................56Birleşme Özelliği ...........................................................................................................................................56

vii

Dağılma Özelliği ��56Totoloji ve Çelişki ��57Açık Önermeler��57Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler ��57Çözümlü Test ��59Çözümler ��61

6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi ��65

Temel Kavramların Öğretimi ��65Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi ��66Kümelerle İşlemlerin Öğretimi ��67

Birleşim İşlemi ��67Kesişim İşlemi��68Fark İşlemi ��68Kartezyen Çarpım��68

Çözümlü Test ��70Çözümler ��72

7. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİGerçek Sayılar Öğretimi ��75

Karekök Kavramı ��76Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi��77

İşlem Özelliklerinin Öğretimi ��77Çarpma İşlemi Öğretimi ��77

İşlem Özelliklerinin Öğretimi ��78Bölme İşlemi Öğretimi ��78Gerçek Sayılar ��79Eşitlik Özellikleri��79Eşitsizlik Özellikleri ��80Asal Sayılar ��81Bölünebilme Kuralları ��82En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ��84Aralıklar ��84Denklem Çözümü ��85Çözümlü Test ��86Çözümler ��89

8. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİÜslü ve Köklü İfadeler Öğretimi ��93

Üslü İfadeler Öğretimi ��93Üslü Denklemler ��94Köklü İfadeler Öğretimi ��94Çözümlü Test ��97Çözümler ��99

9. BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİPolinomlar Öğretimi ��103

Polinomlar Öğretimi ��103Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi ��104

Toplama ve Çıkarma Öğretimi ��104

viii

Çarpma Öğretimi ........................................................................................................................................105Bölme Öğretimi ...........................................................................................................................................105

Çarpanlara Ayırma Öğretimi .............................................................................................................................107Ortak Çarpan Parantezine Alma.................................................................................................................107Gruplandırma..............................................................................................................................................107Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ..................................................................................................107a2 + 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ...........................................................................................108a2 - 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ............................................................................................108a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması .................................................................109a2 - b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ......................................................................................................109a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması .............................................................................. 110x3 - a3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ...................................................................................................... 110ax2 + bx + c Polinomunun Çarpanlara Ayrılması ........................................................................................ 110

Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi ....................................................................................................... 112Çözümlü Test .................................................................................................................................................... 114Çözümler .......................................................................................................................................................... 116

10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİİkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi �� 119

İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi .............................................................................................................120Eşitsizlikler Öğretimi .........................................................................................................................................123İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi ...........................................................................................................126

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................128Çözümler ..........................................................................................................................................................130

11. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİOlasılık ve İstatistik Öğretimi ��133

Olasılık Öğretimi ...............................................................................................................................................134Toplama Yoluyla Sayma İlkesi ....................................................................................................................134Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi .....................................................................................................................134Permütasyon ..............................................................................................................................................134

Tekrarlı Permütasyon............................................................................................................................135Kombinasyon ..............................................................................................................................................135Binom Açılımı .............................................................................................................................................136Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar..................................................................................................................136Olay Çeşitleri ..............................................................................................................................................137

Kesin ve İmkânsız Olaylar ....................................................................................................................137Tümleyen Olay .....................................................................................................................................138Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar ............................................................................................................138Bağımlı ve Bağımsız Olaylar ................................................................................................................138

Koşullu Olasılık ...........................................................................................................................................139Olasılık Çeşitleri....................................................................................................................................139

İstatistik Öğretimi ..............................................................................................................................................142Veri Toplama ...............................................................................................................................................142Tablo ve Grafikler........................................................................................................................................142Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri ............................................................................................................144

Aritmetik Ortalama ................................................................................................................................144Tepe Değer (Mod).................................................................................................................................144Ortanca (Medyan).................................................................................................................................145Açıklık (Ranj) ........................................................................................................................................145Standart Sapma....................................................................................................................................145

ix

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................148Çözümler ..........................................................................................................................................................150

12. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİTrigonometri Öğretimi ..........................................................................................................................................153

Yönlü Açılar Öğretimi........................................................................................................................................153Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi ................................................................................................................155Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ............................................................................................................156Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi .....................................................................................................157Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi ..................................................................................................157Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi.............................................................................................................159Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi ......................................................................................................................159Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi ...............................................................................................................160Çözümlü Test ....................................................................................................................................................162Çözümler ..........................................................................................................................................................164

13. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİKarmaşık Sayılar Öğretimi ��167

Karmaşık Sayılar Öğretimi................................................................................................................................168Karmaşık Kökler ...............................................................................................................................................168Çözümlü Test ....................................................................................................................................................169Çözümler ..........................................................................................................................................................170

14. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİÜstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi��173

Üstel Fonksiyon ................................................................................................................................................174Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................................................174Onluk ve Doğal Logaritma ................................................................................................................................175Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri................................................................................................................176Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler ................................................................................................176Çözümlü Test ....................................................................................................................................................177Çözümler ..........................................................................................................................................................179

15. BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİDiziler Öğretimi .....................................................................................................................................................183

Toplam Sembolü ................................................................................................................................................183Diziler .................................................................................................................................................................184Monoton Diziler ..................................................................................................................................................184Aritmetik Dizi ......................................................................................................................................................185 Geometrik Dizi ...................................................................................................................................................185Çözümlü Test .....................................................................................................................................................187Çözümler ...........................................................................................................................................................189

16. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİFonksiyon Öğretimi .............................................................................................................................................193

Fonksiyon Kavramı ...........................................................................................................................................194Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi ............................................................................................194

Venn Şeması ile Gösterim ..........................................................................................................................195Liste Biçiminde Gösterim ............................................................................................................................195Grafiklerle Gösterim....................................................................................................................................195

x

Cebirsel Gösterim .......................................................................................................................................196Fonksiyonların Grafiği.......................................................................................................................................196Fonksiyon Türleri ..............................................................................................................................................197Ters Fonksiyon .................................................................................................................................................198Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar.................................................................................................................198Çift ve Tek Fonksiyon .......................................................................................................................................199Fonksiyonlarda İşlemler....................................................................................................................................199

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ....................................................................................................................200Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi...........................................................................................................201Parçalı Fonksiyonlar .........................................................................................................................................201Mutlak Değer Fonksiyonu .................................................................................................................................201Çözümlü Test ....................................................................................................................................................203Çözümler ..........................................................................................................................................................205

17. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİLimit ve Süreklilik Öğretimi .................................................................................................................................209

Limit ..................................................................................................................................................................209Süreklilik ........................................................................................................................................................... 211Çözümlü Test ....................................................................................................................................................213Çözümler ..........................................................................................................................................................215

18. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİTürev ve İntegral Öğretimi ...................................................................................................................................219

Türev..................................................................................................................................................................220Türevin Uygulamaları.........................................................................................................................................221Belirli İntegral .....................................................................................................................................................223Belirsiz İntegral ..................................................................................................................................................224Belirli İntegralin Uygulamaları ............................................................................................................................224Çözümlü Test .....................................................................................................................................................226Çözümler ...........................................................................................................................................................228

19. BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİGeometri Öğretimi ................................................................................................................................................231

Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi ....................................................................................................232Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi.............................................................................................................237Üçgenin Yardımcı Elemanları ............................................................................................................................239Pisagor Bağıntısı ...............................................................................................................................................239Trigonometrik Oranlar ........................................................................................................................................239Analitik Geometri ...............................................................................................................................................240Çember ve Daire................................................................................................................................................240Geometrik Cisimler ............................................................................................................................................241Dönüşüm Geometrisi .........................................................................................................................................243Uzay Geometri ...................................................................................................................................................246Çözümlü Test .....................................................................................................................................................247Çözümler ...........................................................................................................................................................248

Kaynaklar .............................................................................................................................................................249

MATEMATİK NEDİR?

3

MATEMATİK NEDİR?Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise mede-niyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şe-killer, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonk-siyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir.

Örnek

“İki çift sayının çarpımı, çifttir.” önermesinde matematik-sel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır?A) İndirgeme

B) Genelleme

C) Soyutlama

D) Tümevarım

E) Tümdengelim

Çözüm

“İki çift sayının çarpımı çifttir.” önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğru-luğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. “Genelden özele” şeklinde özetlenebi-len bu düşünce yapısı tümdengelimdir.

Cevap E

Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:

1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.

2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti.

Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çı-karacak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran’dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci’nin meşhur tavşan prob-leminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsa-dığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı do-ğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır.

Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda “kendi kendi-ne yeterlik” özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmak-tadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur.

Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlam-landırmak, tam anlamıyla “matematik yapmak” demektir.

Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler “amaç olarak matematik” görüşünü sa-vunurken uygulamalı matematikçiler ise “araç olarak matematik” görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir.

Örnek

Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir?

A) Sosyoloji-Psikoloji

B) Dil-Mantık

C) Fizik-Kimya

D) Tıp-Biyoloji

E) Tarih-Edebiyat

Çözüm

Matematiğin “kendi kendine yeterlik” özelliği olduğu ha-tırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır.

Cevap B

Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmek-tedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algı-lamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır.

Mutlakçılar

Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir.

Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebile-ceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temel-ler üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır.

Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantık-tan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kural-larına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savu-nanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

4

Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terim-ler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içe-rikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler ma-tematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir.

Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullan-madan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğru-luğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tü-mevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meş-hur sezgiciler Brouwer ile Poincare’dir.

Yarı Deneyselciler

Lakatos’a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematik-çiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğru-lar her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir.

Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak ge-lenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukla-rı, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein’a göre, matematiksel ve mantık-sal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gra-merini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur.

Örnek

Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır?

A) Sezgici yaklaşım

B) Deneyselci yaklaşım

C) Mutlakçı yaklaşım

D) Formalist yaklaşım

E) Mantıkçı yaklaşım

Çözüm

Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nes-ne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler.

Cevap D

Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-mo-dern matematik, akademik-okul matematiği gibi.

Teorik-Uygulamalı Matematik

Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teo-rik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi en-telektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy’nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur."

Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matema-tikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur.

Klasik-Modern Matematik

Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel iş-lemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir ge-ometrinin ele alındığı matematiktir.

1960’lı yıllarda ABD’de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanı-larak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi gö-rünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlan-tılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970’li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır.

Akademik-Okul Matematiği

Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı ma-tematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin ama-cı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır.

Okul matematiği “Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz?” sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili “Ne öğretelim?” ve “Nasıl öğretelim?” konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere akta-rılması, okul matematiğinin işidir.

Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düze-yinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen ma-tematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

5

tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenci-ye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matemati-ğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır.

Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir:

• Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma

• Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama

• Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme

• Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme

• Zihinsel bağımsızlığı geliştirme

• Estetik değerleri geliştirme

• Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma

• Toplumun gelişmesine katkıda bulunma

Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci;

• Matematiğe değer vermeyi öğrenir,

• Matematiksel düşünme becerisi kazanır,

• Matematiği iletişim aracı olarak kullanır,

• Problem çözme becerisi kazanır.

Örnek

“Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, mate-matiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak” hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır?

A) Okul öncesi

B) İlköğretim

C) Ortaöğretim

D) Yükseköğretim (Fen fakültesi)

E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi)

Çözüm

Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matema-tiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir.

Cevap D

Örnek

Aşağıda, matematik tarihinden bazı olaylar verilmiştir.

I. Harezmi’nin ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik çalışmaları

II. Euler’in i 1= - gösterimini kullanması

III. Apollonuis’un koniklerle ilgili çalışmaları

IV. Descartes’ın analitik geometriyle ilgili çalışmaları

Bu olayların kronolojik sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) I, III, IV, II B) III, IV, I, II C) III, I, IV, II

D) I, III, II, IV E) III, I, II, IV

Çözüm

İkinci dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgili çalış-malar yapan Harezmi 750-820 yıllarında, gösterimini ilk kez kullanan Euler 1707-1783 yıllarında, i 1= -

koniklerle ilgili çalışmalar yapan Apollonios M.Ö.260-190 yıllarında ve analitik geometriyle ilgili çalışmalar yapan Descartes 1596-1650 yıllarında yaşamıştır. Buna göre söz konusu olayların kronolojik sırası “III-I-IV-II” olur.

Cevap C

güncellenmiş yeni baskı - pegem.net...matematİk Öabt İle İlgİlİ Önemlİ bİlgİler...

Documents